上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题

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上海交通大学试卷(答案)

上海交通大学试卷(答案)（2018至2019学年第2学期）课程名称概率论(MS107)第1题：[10分]以下两题任选一题解答：(1)箱子中有20个白球和30个黑球。

球被一个个取出直到箱子中只剩下同样颜色的球为止。

试计算剩下的球全为白球的概率。

(2)一个罐子中有10个黑球和12个白球。

每次从罐子中等概率挑出一个球，再放回两个与之同色的球。

试说明前七次挑球看到颜色序列为(白白黑白白黑白)的概率与看到(黑黑白白白白白)的概率一致。

第2题：[10分]以下两题任选一题解答：(i)设Y1,...,Y n为一列独立同分布存在期望的随机变量。

令X1=Y1+···+Y nn ,X2=Y1+···+Y n−1n−1,...,X n−1=Y1+Y22,X n=Y1。

试说明X1,X2,...,X n是一个鞅序列。

(ii)一个罐子中有10个黑球和12个白球。

每次从罐子中等概率挑出一个球，再放回九个与之同色的球。

令X n表示第n次取放球操作后罐子中黑球所占比例。

试说明(X n)是一个鞅序列。

第3题：[10分]设A 为自然数集合的一个子集，且lim n →∞|A ∩{1,...,n }|n=δ。

对s >1,令P s (A )=∑n ∈A n −s∑∞n =1n−s 。

求证：lim s →1+P s (A )=δ。

第4题：[15分]设(Ω,F ,P )为一个概率空间，G 为F 的子σ-代数，X ∈L 1(Ω,F ,P ),Y ∈L 1(Ω,G ,P )。

试说明Y ≤E (X |G )几乎必然成立当且仅当∫G (Y −X )dP ≤0对所有G ∈G 成立。

如果条件Y ∈L 1(Ω,G ,P )被替换为Y ∈L 1(Ω,F ,P )，请判断前述结论是否仍成立。

第5题：[15分](a)假定X,Y∈L1(Ω,F,P)且E(X|Y)≤Y与E(Y|X)≤X都几乎必然成立。

试说明P(X=Y)=1。

上海交通大学冬令营选拔英语测试

上海交通大学2007年冬令营英语试卷PART I Vocabulary (20 %)Directions: Choose the best answer from the four alternatives given to completeeachof the following sentences. Mark your answers on the ANSWER SHEET.1. Our hopes＿＿＿＿ and fell in the same instant.A) arose B) rose C) raised D) aroused2. The fire was finally brought under control, but not＿＿＿＿extensive damage had been done.A) before B) after C) since D) as3. Extensive reporting on television has helped to ＿＿＿＿＿＿ interest in a wide variety of sports and activities.A) assemble B) yield C) generate D) gather4. Eating too much fat can ＿＿＿＿＿＿ heart disease and cause high blood pressure.A) attribute to B) contribute to C) attend to D) devote to5. According to the American federal government, residents of Hawaii have the longest life ＿＿＿＿＿＿＿＿: 77.2 years.A) rank B) scale C) span D) scope6. After several months' study, I was able to easily read Japanese novels in the ＿＿＿＿.A) origin B) source C) reference D) original7. He had a ＿＿＿＿＿＿＿ escape from the gas explosion.A) slim B) narrow C) thin D) small8. There are usually at least two ＿＿＿＿＿＿＿ of looking at every question.A) means B) opinions C) directions D) ways9. ＿＿＿＿＿＿＿＿ I admit there are problems, I don't agree that they can not be solved.A)As B) While C) For D) Despite10. From her ＿＿＿＿＿＿＿＿ answer I couldn't tell whether she was giving me a compliment or a veiled insult.A) explicit B) notable C) intelligible D) ambiguous11. It should be very cold for this time of year, and the high temperatures are ＿＿＿＿＿＿＿＿A) abnormal B) unique C) nasty D) scarce12. He lost all of his money and now lives in ＿＿＿＿＿＿＿ circumstances as a poor man.A) opposing B) hateful C) adverse D) critical13. When her sons walked into the room, they broke into tears,＿＿＿＿＿＿＿＿ with joy to see her again.A) overwhelmed B) illustrated C) effected D) affected14. While the legislation may ＿＿＿＿＿＿＿ the way for future equality of coverageof physical and mental illnesses, the newly adopted legislation is confusing and inconsistent.A) unfold B) pave C) construct D) build15. A heroin user was ＿＿＿＿＿＿＿＿ for life yesterday for the murder of the Irishjournalist Veronica Guerin.A) accused B) jailed C) captured D) arrested16. The little boy and the dog. ＿＿＿＿＿＿ each other as soon as they met.A) took to B) took after C) took in D) took up17. Lions don't harm domestic animals if wild ones areA) adaptable B) available C) acceptable D) achievable18. I didn't know what to do but then an idea suddenly ＿＿＿＿＿＿＿ to me.A) happened B) entered. C) occurred D) hit19. Jack will ＿＿＿＿＿＿＿ his nervousness once he's in front of the camera.A) get away B) get off C) get through D) get over20. Mothers tend to encourage personal safety and ＿＿＿＿＿＿＿＿, whereas fathers are more challenging when it comes to achievement, independence, and risk-taking.A) superiority B) caution C) criterion D) fantasyPART Ⅱ Reading Comprehension (20 %) Directions: Read the following passages carefully and do the multiple-choice questions. Mark your answers on the ANSWER SHEET.Passage OneThe decline in moral standards -- which has long concemed social analysts -- has at last captured the attention of average Americans. And Jean Bethke Elshtain, for one, is glad.The fact that ordinary citizens are now starting to think seriously about the nation's moral climate, says this ethics professor at the University of Chicago, is reason to hope that new ideas will come forward to improve it.But the challenge is not to be underestimated. Materialism and individualism in American society are the biggest obstacles. "The thought that 'I'm in it for me' has become deeply rooted in the national consciousness," Ms. Elshtain says.Some of this can be attributed to the decay of traditional communities, in which neighbors looked out for one another, she says. With today's greater mobility and with so many couples working, those bonds have been weakened, replaced by a greater emphasis on self.In a 1996 poll of Americans, loss of morality topped the list of the biggest problems facing the U.S. And Elshtain says the public is correct to sense that: Data show that Americans are struggling with problems unheard of in the 1950s, such as classroom violence and a high rate of births to unmarried mothers.The desire for a higher moral standard is not a lament (挽歌) for some nonexistent "golden age," Elshtain says, nor is it a wishful longing for a time that denied opportunities to women and minorities. Most people, in fact, favor a decrease in prejudice.Moral decline will not be reversed until people find ways to counter the materialism in society, she says. "Slowly, you recognize that the things that matter are those that can't be bought.21. Professor Elshtain is pleased to see that AmericansA) have adapted to a new set of moral standardsB) are longing for the return of the good old daysC) have realized the importance of material thingsD) are awakening to the lowering of their moral standards22. The moral decline of American society is caused mainly by.A) its growing wealthB) the self-centeredness of individualsC) underestimating the impact of social changesD) the prejudice against women and minorities23. Which of the following characterizes the traditional communitiesA) Great mobility, B) Emphasis on individual effort.C) Concern for one's neighbors. D) Ever-weakening social bonds.24. In the 1950s, classroom violence.A) was something unheard of B) attracted a lot of public attentionC) was by no means a rare occurrence D) began to appear in analysts' data25. According to Elshtain, the current moral decline may be reversedA) if people can return to the "golden age"B) when women and men enjoy equal rightsC) when people rid themselves of prejudiceD) if less emphasis is laid on material thingsPassage TwoThe U.S. military has blocked public access to nearly all its web sites after its servers were attacked by a new computer virus.Late last week, the U.S. Space Command, which provides security for military computers, instructed all military organizations to block public access after a number of sites had contracted the virus, called the "Code Red" bug, according to an official.The virus is known as a "denial of service" bug, because it replicates (自我复制) itself by reading the data files on a network server and sending copies to other servers -- thereby multiplying and sometimes crashing a system -- and denying access to legitimate (合法的) users of the site."The Code Red worm did in fact show up in some DoD (Department of Defense) web sites and we're working to contain that," Command spokesman Army Maj. Barry Venable said. "Ways we're going about that include blocking public access to the Web sites, because that's the way this worm works, to prevent it from using our networks to propagate (繁殖) itself."The virus exploits a security flaw in certain Microsoft network servers. The flaw was announced last month when a patch was released to fix it."To protect our DoD web sites from being compromised, DoD organizations have been told to review the status of the Internet information servers.., to make sure that all the patches that were previously installed had been installed," says Venable. Only a handful of the major Defense Department sites, with the suffix ".mil," appear currently accessible to the public, including the central public affairs site DefenseLink and the military services' main homepages. Public access is blocked to information connected to those sites, and others such as the National Missile Defense site and the U.S. Air Force's European site. Registered Department of Defensepersonnel continue to have access to the sites, Venable said.26. Which of the following can be the best title for this passageA) The Code Red Worm. B) DoD Blocks Public Web Site Access.C) DoD Was Attacked. D) Protect DoD Web Sites Against Virus.27. The word "contracted"(Line 3, Para.2) most probably meansA) made less or smaller B) caught a diseaseC) made a legal agreement D) formally agreed to marry somebody28. Which of the following statement is NOT true about the Code Red wormA) It can multiply in large numbers.B) It may make a computer system stop working.C) It's included in a patch released by Microsoft.D) It may destroy the connection between legitimate users and the sites.29. Public access is blocked to most DoD Web sites so thatA) the Code Red worm can't use the web site to replicates itself and send copies.B) DoD organizations can have necessary patches installed to protect their sites.C) the defense secrets can be prevented from being revealed.D) the mistake in certain Microsoft network servers can be corrected.30. Which of the following is NOT a measure taken by DoD to fight against the Code Red wormA) Blocking public access.B) Shutting down e-mail.C) Reviewing the status of the Internet information servers.D) Having necessary patches installed.PART Ⅲ Writing (60 %)1. Directions: Write an enquiry letter to the undergraduate admission office of SJTU, based on the information given below. Write your letter on the ANSWER SHEET (20%)假设你是王大伟，向上海交通大学招生办公室写一封信，询问有关2007年上海交通大学本科生招生情况。

2007年上海交通大学冬令营数学试题

2007年上海交通大学冬令营数学试题90分钟答题时间填空题（每小题5分，共50分）1. 设函数()f x 满足()()232361f x f x x +-=+，则()f x =_______________。

2. 设,,a b c 均为实数，且364a b ==，则11a b-=_______________。

3. 设0a >且1a ≠，则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为_______________。

4. 设扇形的周长为6，则其面积的最大值为_______________。

5. 11!22!33!!n n ⋅+⋅+⋅++⋅= _______________。

6. 设不等式()()11x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 与N 。

若M N Ü，则k 的最小值为_______________。

7. 设函数()x f x x=，则()()()21123n S f x f x nf x -=+++= _______________。

8. 设0a ≥，且函数()()()cos sin f x a x a x =++的最大值为252，则a =_______________。

9. 6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为_______________。

10. 已知函数()1211x f x x -=+，对于*n N ∈定义()()()11n n f x f f x +=，若()()355f x f x =，则()28f x =_______________。

计算与证明题（每小题10分，共50分）11. 工件内圆弧半径测量问题。

为测量一工件的内圆弧半径R ，工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，试写出R 用h 表示的函数关系式，并计算当10r mm =，4h mm =时，R 的值。

(完整)上海交通大学_2007-2008学年_高等数学(高数)_期末考试_解答

1、解 22()()()0xy xx yy B AC f ab f ab f ab -=-≥，排除A 、B.(,)f x b 在点x a =处取得极小值：(,)0xx f a b ≥，同理：(,)0yy f a b ≥.答案：C2、解 0[()()()]C W F dr yzx t xzy t zz t dt π'''=⋅=-++⎰⎰u r r22200[sin cos ]2t t t t t dt tdt πππ=++==⎰⎰答案：B3、解 22:1(1)S z x y =+≤，方向为下侧，[221]S S S I y y dv dxdy -++Ω∑+=+=--+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò32251133πππ=-⋅-⋅=-答案：A4、解1|(1)|nn n n a ∞∞==-=∑∑――A 错11||n n n n n a a ∞∞∞+====≥∑∑∑，发散 ――B 错1111||||n nn n n n n a a +∞∞∞+===-=-≥∑∑∑，发散 ――C 错1111||||n nn n n n n a a +∞∞∞+===+=+=∑∑∑n n ∞∞===≈∑∑，收敛 ――D 对答案：D5、解 (0)(0)(3)()02S S S S ππππ-+-+===答案：D6、解1 2{(,)|cos 2}D r r θθ=≤，2.......Dxy dxdy =⎰⎰解2 ***22***Dxy dxdy dy xy dx +-==⎰⎰⎰⎰07、解()()()222222552323222cc c x xy y ds x y ds x y ds π-+=+=+=⋅=⎰⎰⎰蜒?5π8、2cos x P Qx e y y x∂∂=+=∂∂ 解1 2(2sin )(cos )0x x xy e y dx x e y dy +++= ⇒ 2(2)(sin cos )0x x xydx x dy e ydx e ydy +++= ⇒ 2()(sin )0x d x y d e y += 通解为：2sin x x y e y C +=解2 (,)2(0,0)(2sin )(cos )x y x x u xy e y dx x e y dy =+++⎰220(cos )sin y x x x e y dy x y e y =+=+⎰通解为：2sin x x y e y C +=9、()()div rot F F =∇⋅∇⨯u r u r ()5(2)(3)23xy zx y z x y z x y z yzxz xy∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-∂-==++=∂∂∂∂∂∂-010、解1(1)n n n a x ∞=+∑的收敛半径2R =111(1)(1)(1)n n n n n n na x n a x ∞∞-+==⇒+=++∑∑的收敛半径2R =，11(1)n n n n a x ∞+=⇒+∑的收敛半径R =211、32332x x u z e yz e yz x x∂∂=+∂∂ 323232()3x x zyze yz e yz e xy+=+--+ (0,1,1)u x -∂⇒∂121232()333e e--=--=--12、解 12112xy yI dy ye dx =⎰⎰1212()y e e dy =-⎰21(2)2e e =-13、解 1C : 0y =（:15x →），11CC C C +=-⎰⎰⎰Ñ51[(2Dy dxdy xdx =+⋅--⎰⎰⎰512Ddxdy xdx =-⎰⎰⎰12512222π-=⋅⋅-212π=-14、解1(1) xzSD S dS ==⎰⎰⎰⎰(2) yzSD S dS ==⎰⎰⎰⎰ √yzSD S dS ==⎰⎰⎰⎰（yz D ：0z =,z y =和1y =所围成的三角形区域）100dy =⎰⎰10==⎰ 解2:(01)C y x =≤≤c c S zds yds ==⎰⎰0=⎰012==⎰z 11Oz15、合一投影法：{}{}{}(cos cos cos ),,cos ,cos ,cos ,,xyD Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dSP Q R dS P Q R ndxdyαβγαβγ∑∑∑++=++=⋅=±⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰v其中 {}(,),,,1x y z z x y n z z ==--v解1 合一投影法：原式{}{}2223,,22,2,1x y yx y z x y dxdy +≤=--⋅-⎰⎰2222(1)1(622)x y x y z dxdy +-≤=-+⎰⎰222(1)18x y x dxdy +-≤=⎰⎰22222221184()u v u v u dudv u v dudv +≤+≤==+⎰⎰⎰⎰14224ππ=⋅⋅= 解2 Gauss 公式设22:2()z y x y z ∑=+≤，取上侧，则原式SS +∑∑==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò()31232dV xdydz ydzdx zdxdy Ω∑=-----⎰⎰⎰⎰⎰22222442z x y yx z zdxdz ydxdy +≤+≤=-+⎰⎰⎰⎰ 22222(1)1()122(1)[4(1)4]2z x y x z dxdz y dxdy -+-≤+≤-=-++-+⎰⎰⎰⎰ 2222112(1)4[1]u v u v v dudv v dudv +≤+≤=-+++⎰⎰⎰⎰22122u v dudv π+≤==⎰⎰16、解对级数10(1)321n n nn yn +∞=-+∑，1233321n n u n u n ++=⋅→+，13R =,13y =-时，100(1)313()21321n n n n n n n +∞∞==--=++∑∑发散， 13y =时，100(1)31(1)3()21321n n n nn n n n +∞∞==--=++∑∑收敛，得10(1)321n n nn y n +∞=-+∑的收敛域为：11(,]33-，故原级数的收敛域为：22211,332x x -⎛⎤∈- ⎥+⎝⎦，即 (][)2,11,2x ∈--⋃.17、解()()()2111(1)11()1913nnn n n nn n n ∞∞==-+-=-++∑∑11111919nnn n n ∞∞==⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭∑∑ 11911|101n x n x n ∞=-==--+∑()101111111()11x n n n n n n S x x x x dx n x n x ∞∞∞+======++∑∑∑⎰011()[ln(1)]1x x dx x x x x x==----⎰ ()()21113n n n nn ∞=-⇒+∑1111109109(ln )9ln 1091099109S ⎛⎫=---=-+-=- ⎪⎝⎭18、证 (1)22343232,22.2n n a a a a a a -==+<=<假设， 121122,3:2n n n n n n n a a a a n a --+-=+<<∀><则故.(2) 11211222n n n n n a x x x ----<=,故当12x <时，级数 11n n n a x ∞-=∑（绝对）收敛.111212231()n n n n n n S x a a x a xa a x a x ∞∞-++===++=++∑∑111111n n n n n n x a xa x ∞∞+++===+++∑∑211121n n n n n n x x a xx a x ∞∞--===+++∑∑21()[()1]x x S x x S x =+++-211x x=--。

上海交通大学《高等数学》2006-2007学年期末试卷

1上海交通大学《高等数学》2006-2007 学年期末考试及答案一、单项选择题（每小题3分，共 15分） 1. 设 xoy 平面上区域D ={(x , y )| x 2+y2≤1, y ≥ x }， D 1 是D 在第一象限的部分，则∫∫(xy 3 +sin 2 x sin y )dxdy 等于（）D（A ） 2 ∫∫ sin 2 x sin ydxdy ； D （C ） 4 ∫∫ (xy 3 + sin 2 x sin y )dxdy ；D 解 ∫∫(xy 3 + sin 2 x sin y )dxdyD= ∫∫ xy 3dxdy + ∫∫ sin 2x s in y dxdyD D= 2 ∫∫ sin 2x sin ydxdyD 答案： A（B ） 2 ∫∫ xy 3dxdy ；D （D ） 0 .2. 设 Ω ={(x , y , z ) | x 2+ y 2+ z2≤ 1}，则三重积分∫∫∫e xdv = （）Ω（A ）；（B ） π；（C ）；（D ） 2π .解 1 e xdv >dv = π，排除答案 A 、 B ；猜： C 或 De |x | : 1 → 2.718， 3π/ 4π = 1.125， 2π/ 4π= 1.52 3 3答案： D解 2 ∫∫∫ e xdv = ∫1 dx ∫∫ e xdydzΩ y 2 +z 2 ≤1−x 2= ∫1πe x (1 − x 2 )dx = 2π∫01e x (1 − x 2 )dx= −2π+4π∫01xe x dx= −2π+4πe − 4π(e − 1) = 2π答案： D解 3 ∫∫∫e xdv = ∫∫∫e zdv = ∫02πd θ∫0ππππd ϕ∫01eρcos ϕρ2sin ϕd ρΩ Ω= 2π∫0ππππd ϕ∫01eρcos ϕρ2sin ϕd ρD 1111π= 2π∫1d ρ[∫02 e ρcos ϕρ2 sin ϕd ϕ+∫ππππππππe −ρcos ϕρ2sin ϕd ϕ] 2= 2π∫01d ρ[ −ρe ρcos ϕ02 +ρe −ρcos ϕ|ϕϕ=ππππππππ] 2= 4π∫01ρ(e ρ − 1)d ρ= 2π答案： D3. 设 F = y i + zj + x k ,则 rot F = （）（A ）i + j + k ；（B ）−( i + j + k )；（C ）i − j + k ；（D ）−i + j − k .解 rot F = ∂ ∂ ∂( −1, −1, −1)答案： B4. 幂级数x n 在收敛域[ −1,1) 上的和函数s (x ) = （）（A ）ln(1 − x )；（B ）− ln(1 − x )；（C ）− ；（D ）−x ln(1 − x ) .解x n = xx n −1 = x ∫0x(x n −2 )dx= x ∫0x()dx = −x ln(1 − x )答案： D1,π 0 ≤ x <2≤ x ≤π展开成正弦级数，其和函数s (x ) =b n sin nx ，则s (−) =（A ） −1；（B ） −2；（C ） 1；（）（D ） 2 .解 s (− 9π) = s (−π) = −s (π) = − 1 + 3= −22 2 2 2 答案： B二、填空题（每小题3分，共 15分） 6. 设 u = z +,则div (grad u ) = .∂x ∂y ∂zϕ=π5. 设函数f (x ) = 45 − x , π解 div (grad u ) = div (x , y,1)x 2 + y 2 x 2 + y 2x 2 + y 2 − x ⋅ x x 2 + y 2 − y ⋅y= ( x 2 + y 2 ) + ( x 2 + y 2 ) + 0y 2 + x 2 1= =7. 设 f (x ) 是连续函数，F (t ) = ∫∫∫ f (x 2 + y 2 + z 2 )dv ，F ′(t ) = .x 2 +y 2 +z 2 ≤t 2解 F (t ) = 2π⋅ 2 ⋅ ∫0tf (ρ2 )ρ2d ρ， F ′(t ) = 4πt 2 f (t 2)8. 设 C 为曲线x = e t cos t , y = e t sin t , z = e t 上对应于t 从0 变到2 的这段弧，则曲线积分ds = .解该积分 = ∫02dt= ∫02dt =(1 − e −2)9. 全微分方程(x +y − 1)dx +(e y +x )dy = 0 的通解为 .解 1 (x + y − 1)dx + (e y + x )dy = 0⇒ (x − 1)dx +(ydx +xdy )+e y dy = 0⇒ d () +d (xy )+d (e y ) = 0⇒ 通解：+xy +e y = C解 2 u = ∫(x + y − 1)dx + (e y + x )dy= ∫0x(x − 1)dx + ∫0y(e y+x )dy=+ xy +e y − 1⇒ 通解：+xy +e y − 1 = Cx 2 + y 2 x 2 + y 2(x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 x 2 + y 210. 级数的敛散性为 .解 un +1 == n + 1 = 1，收敛u n n ! (2n + 1)(2n + 2) 2(2n )!三、计算下列各题（第 1小题6分，第2 小题8分, 共 14分） 11. 设 z 是方程x +y − z = e z所确定的x , y 的隐函数，求∂2z解 ∂z = − 1 = 1 ∂z = − 1 =1 ∂x −1 − e z 1 + e z，∂y −1 − e z 1 +e z= () y = −= − = −12. 计算曲面z = y 2 − x 2 夹在圆柱面x 2 +y 2 = 1 和x 2 +y 2 = 9 之间部分的面积.解 1 +2+ 2=，则所求面积I = ∫∫dxdy1≤x 2 +y 2 ≤9 = ∫02πd θ∫13rdr= 2π⋅ (1 + 4r 2 ) |13 = (37 − 5)四、计算下列各题（每小题 10分，共30分）13. 计算曲线积分(x +e sin y )dy − (y − )dx ，其中C 是位于第一象限中的直线x +y = 1 与位于第二象限中的圆弧x 2 +y 2 = 1 构成的曲线，方向从A (1, 0) 经过B (0,1)，再到C (−1, 0) .解 L ： y = 0，方向从(−1, 0) 到(1, 0)，并记C + L 所围区域为D ，则所求曲线积分I = −∫C +L L= 2dxdy − ∫−1 2dx∂x ∂y .1 1π π2 214. 试求参数λ，使当曲线C 落在区域D ={(x , y )| y > 0}时，曲线积分(x 2 +y 2 )λdx −(x 2 +y 2 )λdy 与路径无关，并求u (x , y ) = ∫(x 2 + y 2 )λdx −(x 2 + y 2 )λdy .解记P =(x 2 + y 2)λ， Q = −(x 2 + y 2)λ，则∂P2λxy 2 (x 2 + y 2)λ−1− x (x 2 + y 2)λ=∂Q 2x (x 2 + y2)λ+ 2λx 3 (x 2 + y 2)λ−1= −= ⇒ 2λxy 2 + x (x 2 + y 2 ) + 2λx 3 = 0⇒λ= −解 1 = ⇒ u =+ϕ(y )= −及 u (0,1) = 0 ⇒ u =− 1解 2 u (x , y ) = ∫dx −dy= ∫1y0dy + ∫0xdxx 2 + y 2y15. 求 ∫∫2xzdydz + yzdzdx − z 2dxdy ，其中Σ 为Σz = 与 z = 所围立体表面的外侧.解记Σ 所围立体为Ω，则∫∫ 2xzdydz + yzdzdx − z 2dxdy = ∫∫∫ zdxdydzΣ Ω∂x y 2∂P ∂Q∂y ∂x ∂y y 2= − 1= + 1 − 1 == zdz dxdy +∫ 22 2zdz dxdyx 2 +y 2 ≤z 2 x 2 +y 2 ≤8 −z 2= ∫02z ⋅πz 2dz + 2z ⋅π(8 − z 2 )dz = 8π 五、（本题 10 分） 16. 将函数f (x ) =展开为x − 1 的幂级数.解 f (x ) =4x − 3 = 2 +12 1 1= ⋅ −3 1 +1 − (x − 1)= −n(x − 1)n −(x − 1)n=( −1)nn +1− 1 (x − 1)n， 0 < x < 2六、（本题8 分） 17. 设 f (x ) =(x − 1)n ，求f (n ) (1) .解 f (x ) = (x − 1)nf (k ) (1) =， (k = 0,1, 2, )f (n ) (1) == e −1七、（本题8 分）18. 设 f (x ) 在(−1,1) 内具有三阶连续导数，且f ′′′(0) ≠ 0，证明：级数∞ 1 1绝对收敛.(2x +1)(x − 2) 2x +1 x − 22 1 2(x − 1) +3 (x − 1) − 1 = + 证明 lim x →∑ {n [f ( ) − f ( − )] − 2f ′(0)}n =1 n n( )( ) = lim = > 0→ lim n f n 1 − f − n 1− 2f ' 0= f ''' 0 > 0f (x ) − f ( −x ) − 2xf '(0) f ′(x ) + f ′( −x ) − 2f '(0) f ′′(x ) − f ′′( −x ) ( ) ( )x →0 6 3( ) n →∞ 1 32故由级数收敛，可知级数∞ 1 1n lim 3 x →0 xlim 2 ∑ {n [f ( ) − f ( − )] − 2f ′(0)}n =1 n n绝对收敛.x →0 3x limx →0 6x ===f ′′′ x + f ′′′ −x f ''' 0。

上海交通大学2002-2010年保送生考试数学试题

y
20．（本题 14 分）设数列{an}满足关系 an+1 = 2an2 −1 (n = 1, 2,L) ，若 N 满足
aN = 1(N = 2, 3,L) ，试证明：(1) | a1 |≤ 1；
(2)
a1
=
cos
kπ 2N −2
（k 为整数）
21．（本题 16 分）设 f (x) =| lg x |, a,b 为实数，且
10．若 a,b 满足关系： a 1− b2 + b 1− a2 = 1 ，则 a2+b2=____________． 11． (x2 +1− 1 )9 的展开式中 x9 的系数是_____________．
2x
12．当1 ≤ a < 2 时，方程 a2 − x2 = 2 − | x | 的相异实根个数共有_____________个．
7．
(1 −
1 22
)(1 −
1 32
)L(1
−
1 n2
)
的值为_____________．
8．函数
y
=
sec2 sec2
x x
− +
tgx tgx
的值域为______________．
9．若圆内接四边形 ABCD 的边长 AB=4，BC=8，CD=9，DA=7，则 cosA=__________．
上海交通大学 2002 年保送生考试数学试题
一、填空题（本题共 64 分，每小题 4 分）
1．设方程 x3=1 的一个虚数根为ω, 则ω 2n + ω n +1 (n 是正整数)=__________．
2．设 a,b 是整数，直线 y=ax+b 和 3 条抛物线：y=x2+3,y=x2+6x+7 与 y=x2+4x+5 的交点个数分别是 2，1，0，则(a,b)=___________．

上海交通大学《概率论与数理统计》历年考试试题及答案评分细则

P( X Y 1, Z 0) 2 pq 2 P( X Y 1)P(Z 0) ；
P( X Y 1, Z 1) 2 pq 2 P( X Y 1)P(Z 1) ；
P( X Y 2, Z 0) pq 2 P( X Y 2)P(Z 0) ；
P( X Y 2 , Z 1) p3 P( X Y 2)P(Z 1) .
E( X ) 未必存在( )
5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第
二类错误的概率不能同时减少 ( )
二．选择题（15 分，每题 3 分） 1. 设每次试验成功的概率为 p (0 p 1) ，重复进行试验直到第 n 次才取
得 r (1 r n) 次成功的概率为
上海交通大学《概率论与数理统计》历年考试试题及答案评分细则
2003-2004年《概率论与数理统计》考试试卷及参考答案……………………2 2003-2004年《概率论与数理统计》考试试卷及参考答案……………………8 2003-2004年《概率论与数理统计》考试试卷及参考答案……………………17 2003-2004年《概率论与数理统计》考试试卷及参考答案……………………32 2003-2004年《概率论与数理统计》考试试卷及参考答案……………………41 2011-2012年《概率论与数理统计》考试试卷及参考答案……………………50
故拒绝原假设 H 0 ，即认为该天的纤度的总体方差不正常 .
五、证明题 (7 分) 由题设知
X0 1 P qp
X Y 0 1 2
P
q 2 2 pq p 2
P( X Y 0, Z 0) q3 P( X Y 0)P(Z 0) ；
P( X Y 0 , Z 1) pq 2 P( X Y 0)P(Z 1) ；

历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案

上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题一、填空题(每小题5分，共50分)1 设函数f(x)满足2f(3x) f (2 3x) 6x 1，贝卩f(x) ________________________ .2.设a,b,c均为实数，且3a 6b 4，则1丄.a b3 .设a 0且a 1 ,则方程a x 1 x2 2x 2a的解的个数为____________ .4. _______________________________________________ 设扇形的周长为6,则其面积的最大值为___________________________ .5. 1 1! 2 2! 3 3! L n n! ____________________ .6•设不等式x(x 1) y(1 y)与x2 y2 k的解集分别为M和N.若M N ,贝H k的最小值为___________ .7 设函数f(x)- , 则xS 1 2 f (x) 3f2(x) L nf n1(x) _____________ .8 .设a 0 ,且函数f (x) (a cosx)(a sin x)的最大值为空,则2a ________________ .9. 6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 _______________ .10. 已知函数f1(x)気」，对于n 1,2,L，定义f n 1(x) f1(f n(x))，若x 1f35 ( x) f s(x)，贝S f28(X) _____________ .二、计算与证明题(每小题10分，共50分)11.工件内圆弧半径测量问题.为测量一工件的内圆弧半径R，工人用三个半径均为r的圆柱形量棒O1Q2Q3放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒02顶侧面的垂直深度h，试写出R用h表示的函数关系式，并计算当r 10mm, h 4mm 时，R 的值.12. 设函数f(x) |sinx cosx，试讨论f(x)的性态(有界性、奇偶性、单调性和周期性)，求其极值，并作出其在0,2内的图像.13. 已知线段AB长度为3，两端均在抛物线x y2上，试求AB的中点M 到y轴的最短距离和此时M点的坐标.参考答案:1. 2x 12. 1丄3. 2 4. n 1 ! 1 6. 242410.7. 11. !n n 12n11 2n 1 42 2R r r ,h12.1^.21k 2d min14.略; 反证法x 08.x 060mm15. 2 29.；周期为2；3; 3 43 45222n2008年交大冬令营数学试题参考答案 1.若 f(x)2 1 3厂，g(x) f1(x)'则 g(5)2x 3 5 3x2008.1.1xH 的最大值为 ------------ .13 .等差数列中，5a 8 3^3，则前n 项和S n 取最大值时,2.函数y.204 .复数|z| 1 ,若存在负数a 使得z 2 2az a 25.若 cosx sin xcos 3x2.3sin x111613.n 的值为a 0，则6.数列a.的通项公式为a n1 nn 1 (n 1). n,则这个数列的前 99乙厂生产的占20%甲厂商品的合格率为95%乙厂商品的合格率为 90%若某人购买了此商品发现为次品，贝眦次品为甲厂生产的概率10.若曲线C i ：x 2 y 2 0与C 2：(x a)2 y 2 1的图像有3个交点，则a _______ . 1二.解答题1. 30个人排成矩形，身高各不相同.把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为a ;把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为 b .(1) a 是否有可能比b 咼？ (2)a 和b 是否可能相等？1. 解：1不可能① 若a 、b 为同一人，有a b ;② 若a 、b 在同一行、列，则均有a b ;③ 若a 、b 不在同一行、列，同如图1以5*6的矩形为例，记a所在列与b 所在行相交的人为x 。

上海交大数学试题(2000-2008)

交通大学2000年保送生数学试题一、选择题(本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内)1．若今天是星期二，则31998天之后是 ( ) A ．星期四 B ．星期三 C ．星期二 D ．星期一2．用13个字母A ，A ，A ，C ，E ，H ，I ，I ，M ，M ，N ，T ，T 作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MATHEMA TICIAN”一词的概率是 ( )A ．4813!B ．21613!C ．172813!D ．813!3．方程cos 2x -sin 2x +sin x ＝m +1有实数解，则实数m 的取值范围是( )A ．18m ≤B ．m >-3C ．m >-1D ．138m -≤≤4．若一项数为偶数2m 的等比数列的中间两项正好是方程x 2+px +q ＝0的两个根，则此数列各项的积是 ( ) A ．p m B ．p 2m C ．q m D ．q 2m 5．设f ’(x 0)＝2，则000()()limh f x h f x h h→+-- ( )A ．-2B ．2C ．-4D ．4二、填空题（本题共24分，每小题3分）1．设f (x )1，则10(2)f x dx =⎰__________． 2．设(0,)2x π∈，则函数(222211sin )(cos )sin cos x x xx++的最小值是__________．3．方程316281536xxx⋅+⋅=⋅的解x ＝__________．4．向量2a i j =+ 在向量34b i j =+上的投影()ba = __________．5．函数2y x =+的单调增加区间是__________．6．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同的项的个数是__________．7．方程7x 2-(k +13)x +k 2-k -2＝0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k 的取值范围是__________．8．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是________．三、证明与计算（本题61分）1．(6分)已知正数列a 1，a 2，…，a n ，且对大于1的n 有1232n a a a n +++=，1212n n a a a +=．试证：a 1，a 2，…，a n 中至少有一个小于1．2．(10分)设3次多项式f (x )满足：f (x +2)＝-f (-x )，f (0)＝1，f (3)＝4，试求f (x )．3．(8分)求极限112lim (0)p p pp n np n+→∞+++> ．4．(10分)设2,0(),0x bx c x f x lx m x ⎧++>=⎨+≤⎩在x ＝0处可导，且原点到f (x )中直线的距离为13，原点到f (x )中曲线部分的最短距离为3，试求b ，c ，l ，m 的值．(b ,c >0)5．(8分)证明不等式：3412≤≤，[0,]2x π∈．6．(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是12．若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率．7．(11分)如图所示，设曲线1y x=上的点与x 轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB 1A 1，△A 1B 2A 2，…，直角顶点在曲线1y x=上．试求A n 的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在．2000年交大联读班试题1. 直线y ax b =+关于y x =-的对称直线为_______________。

交大_离散_期末考卷lisan200704a

交大_离散_期末考卷lisan200704a一、选择题（每题1分，共5分）A. 整数分解B. 背包问题C. 确定图是否是连通的D. 确定图是否有哈密顿回路2. 在离散数学中，下列哪个关系是自反的？A. 小于关系B. 整除关系C. 约等于关系D. 矩阵乘法关系A. R1={(1,1), (2,2), (3,3), (1,2)}B. R2={(1,1), (2,2), (3,3), (2,1)}C. R3={(1,1), (2,2), (3,3), (3,1)}D. R4={(1,1), (2,2), (3,3), (1,3)}A. 一个有6个顶点的完全图B. 一个有5个顶点的环图C. 一个有4个顶点的完全二部图D. 一个有3个顶点的路径图5. 在图论中，一个有n个顶点的树有多少条边？A. nB. n1C. n+1D. 2n二、判断题（每题1分，共5分）1. 离散数学中的图论部分主要研究网络的性质和结构。

（）2. 所有的图都至少有一个哈密顿回路。

（）3. 在一个有向图中，每个顶点的入度等于出度。

（）4. 离散数学中的逻辑部分不涉及命题逻辑和谓词逻辑。

（）5. 欧拉定理可以用来判断一个图是否存在欧拉回路。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 一个有n个顶点的连通图至少有______条边。

2. 在一个无向图中，如果任意两个顶点都相邻，则称该图为______。

3. 命题“如果今天下雨，那么我不去公园”的逆否命题是“如果我去公园，那么今天______”。

4. 一个集合的幂集是指该集合所有______的集合。

5. 在图论中，两个顶点之间的路径长度是指连接这两个顶点的路径上边的______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述什么是离散数学。

2. 解释什么是哈密顿回路。

3. 简述集合的笛卡尔积。

4. 什么是命题逻辑中的蕴含关系？5. 解释什么是图的同构。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 给定集合A={1,2,3,4}，求A的所有子集。

上海交通大学历年概率统计试卷

上海交通大学概率论与数理统计试卷 2004—01姓名：班级：学号：得分: 一．判断题（10分，每题2分）1。

在古典概型的随机试验中，0)(=A P 当且仅当A 是不可能事件（） 2．连续型随机变量的密度函数)(x f 与其分布函数)(x F 相互唯一确定 ( ) 3．若随机变量X 与Y 独立，且都服从1.0=p 的（0,1) 分布，则Y X = （ ) 4．设X 为离散型随机变量, 且存在正数k 使得0)(=>k X P ，则X 的数学期望)(X E 未必存在( ）5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时，犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少 ( ）二．选择题（15分，每题3分）1. 设每次试验成功的概率为)10(<<p p ，重复进行试验直到第n 次才取得)1(n r r ≤≤ 次成功的概率为。

(a ） r n r r n p p C ----)1(11；（b ） r n rr n p p C --)1(； (c ） 1111)1(+-----r n r r n p pC ; (d) r n r p p --)1(。

2. 离散型随机变量X 的分布函数为)(x F ，则==)(k x X P 。

（ａ) )(1k k x X x P ≤≤-；（ｂ） )()(11-+-k k x F x F ；（ｃ） )(11+-<<k k x X x P ；（ｄ） )()(1--k k x F x F 。

3。

设随机变量X 服从指数分布，则随机变量)2003,(max X Y =的分布函数 .(ａ）是连续函数；（ｂ) 恰好有一个间断点; （ｃ）是阶梯函数；（ｄ) 至少有两个间断点。

4。

设随机变量),(Y X 的方差,1)(,4)(==Y D X D 相关系数,6.0=XY ρ则方差=-)23(Y X D .(ａ) 40; （ｂ） 34；（ｃ) 25.6；（ｄ） 17.6 5。

2007年上海交大推优

2007年上海交大推优、保送生考试数学题(摘选)加入时间：2008-6-30 18:53:17 浏览次数：433一、填空题(每题5分，共50分)1.若2f(3x)+f(2-3x)=6x+1则f(x)=__________2.已知3a=4b=6，则1a-1b=_________3.a＞0，且a≠1，则方程ax+1=-x2+2x+2a的解的个数是_______4.一个扇形周长为6，则此扇形面积的最大值是_________5.集合M=｛(x，y)—x(x-1)≤y(1-y)｝，N=｛(x，y)—x2+y2≤K｝若M奂N，则K的最小值为________6.化简1·1！+2·2！+3·3！+…+n·n!=___________7.函数f(x)=—x—x则s=1+2f(x)+3f2(x)+……+nf(n-1)(x)=8.若a≥0，f(x)=(a+cosx)(a+sinx)的最大值为252，则a为________9.6名考生坐在西侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后顺序不一定，每人考完后立即交卷，则其中一人交卷时为达到通道而打扰其它正在考试的学生的概率为_________10.f(x)=2x-1x+1f n+1 (x)=f(f n (x))，已知f 35 (x)=f 5 (x)则f28(x)=________二、解答题设f(x)=—sin—+—cosx—，试讨论其函数特性(有界性、单调性、奇偶性，周期性)，求出最值，并画出其在[0，2蒹]上的函数图象13.线段AB=3，端点都在y2=x上，求AB中点M 到y轴距离的最小值，并求此时的M点坐标。

2008年交大冬令营数学试题2008[1].1.1参考答案

2008年交大冬令营数学试题2008.1.1参考答案一．填空题1．2 2．14 3．20 4．125．1116 6．910 7．3921225 8．(1)(1)(1)nnn n --+ 9．2310．1± 二．解答题 1． ()1不可能① 若a 、b 为同一人，有a b =； ② 若a 、b 在同一行、列，则均有a b ≤； ③ 若a 、b 不在同一行、列，同如图1以5*6的矩形为例，记a 所在列与b 所在行相交的人为x 。

因为a 为a 、x 列最矮的人，所以有a x <；又因为b 为b x 、列最高的人，所以有b x >；于是有a x b <<。

综上，不可能有a b >()2有可能，不妨令30个人身高由矮至高分别为1,2,330……，如图2所示：此时有26a b ==． 2．没有。

法一： 2()(1)0f x x ax b x c -=+-+=无实数根， 2(1)40b ac =--< ；(())0f f x x -=．222()()0a ax bx cb ax bxc c x ++++++-=22222()()0a ax bx c ax ax b ax bx c c x ++-+++++-=．2222()()(1)(1)(1)0a ax bx c x ax bx c x b ax b x c b ++-++++++-++=．222(1)(1)(1)(1)0a ax b x c ax b x c b ax b x c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+++++++-+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 222(1)(1)10ax b x c a x a b x b c ⎡⎤⎡⎤+-++++++=⎣⎦⎣⎦．于是有2(1)0ax b x c +-+=或22(1)10a x a b x ac b +++++=．21(1)40b ac =--< ； 2222(1)4(1)a b a ac b =+-++222(1)4440a b a c a ⎡⎤=---<<⎣⎦。

(完整)上海交通大学年数学分析

上海交通大学2007年数学分析一、（每小题6分,共24分）判断下列命题的真伪，正确的命题请简要证明，错误的命题举出反例.1、若{}n x 为有界数列，记{}sup n x β=,则{}n x 必有子列{}k n x ，使得lim k n k x β→∞=. 2、若函数()f x 和()g x 在[),a +∞上一致连续,则()()f x g x 在[),a +∞上一致连续.3、若函数列{}()n f x 在区间(],a c 和[),c b 上一致收敛，那么{}()n f x 在(),a b 上一致收敛。

4、若级数1n n a ∞=∑绝对收敛，而lim 1n n b →∞=,则1n n n a b ∞=∑绝对收敛.二、（每小题8分，共64分）计算下列各题。

1、计算极限2sin sin sin lim()121n n n n n n n n πππ→∞++++++. 2、计算极限112112ln(1sin(1))lim()11x x x e x x e -→-++-+-+。

3、设221()arctan 1x f x x+=-,求高阶导数()()n f x ,其中n N ∈. 4、设广义积分20sin()px I dx x +∞=⎰（1p >-）。

试问p 为何值时广义积分绝对收敛，p 为何值时广义积分条件收敛?5、设()f x 在闭区间[]0,1上连续且恒正，20()n n a x f x dx =⎰。

求函数项级数0n n n x a ∞=∑的收敛域。

6、设二元函数222222,0(,)0,0x y x y x y f x y x y α⎧+≠⎪+=⎨⎪+≠⎩，0α>.问α为何值时函数(,)f x y 在点(0,0)处可微？.7、计算三重积分3()arctan I y z zdxdydz Ω=-⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面2221()2x y z R +-=,0z =，z h =所围成的立体。

资料：2007-6上海交通大学线性代数试卷及答案

一单项选择题（每题3分，共18分）1．设33)(⨯=j i a A 为非零实矩阵，j i j i A a =，j i A 是行列式 ||A 中元素j i a 的代数余子式，则行列式||A ＝a. 0；b. 1；c. 2；d. 3。

2．设A 为n 阶非奇异矩阵)2(>n ，*A 为A 的伴随矩阵，则 a. A A A n 2||)(-**=； b. A A A n 1||)(+**=； c. A A A n 1||)(-**=； d. A A A n 2||)(+**=。

3．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=96342321k A ，0)(33≠=⨯j i b B ，且0=AB ，则a. 当6=k 时，必有秩1)(=B r ；b. 当6=k 时，必有秩2)(=B r ；c. 当6≠k 时，必有秩2)(=B r ；d. 当6≠k 时，必有秩1)(=B r 。

4. 设B A ,为 n 阶矩阵,且0=AB ,0≠B ，则必有a. 222)(B A B A +=+； b. 0||=B ； c. 0||*=B ； d. 0||*=A 。

5．设n m A ⨯为实矩阵,则线性方程组0=Ax 只有零解是矩阵)(A A T为正定矩阵的a. 充分条件；b. 必要条件；c. 充要条件；d. 无关条件。

6. 已知32121,,,,αααββ为四维列向量组，且行列式 4,,,1321-==βαααA ，1,,,2231=-=βαααB ，则行列式 =+B Aa. 12；b. 12-；c. 3-；d. 16-。

上海交通大学试卷（ A 卷）（ 2006 至 2007 学年第2学期）班级号___________________学号_________ _____姓名课程名称线性代数成绩二填空题（每题3分，共18分）7．设行列式 2154301200011311=D ，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则 =+2414A A 。

2006年上海交通大学自主招生保送生测试数学试卷

2006年上海交通大学冬令营选拔测试
数学试题
说明：考试时间2小时，考生根据自己情况选题作答，综合优秀或单科突出给予A的认定。

满分l00分。

一、填空题(每题5分．共50分)
1．矩形中，，，过作相距为的平
行线，则．
2．一个正实数与它的整数部分，小数部分成等比数列，那么这个
正实数是．
3．的末尾有连续个零．
4．展开式中，项的系数为．
5．在地面距离塔基分别为100、200、300的处测得塔顶的仰角分别为，且，则塔高为．
6．三人玩剪子、石头、布的游戏，在一次游戏中，三人不分输赢的概率为；在一次游戏巾，甲获胜的概率为．
7．函数在上单调递增，则实数的取值范围
是.
8．是的非实数根，．
9．2张100元，3张50元，4张10元人民币，共可组成种不同的面值．
10.已知，则数列()前l00项和为.
二、解答题(第11题8分，第12、13、14题每题10分，第15题12分)
11.,,有两个相等根，
求证：成等差数列
12．椭圆，一顶点，是否存在这样的以为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形，若存在，求出共有几个．若不存在，请说明理由．
13．已知，是实数，是复数，求的最大值．
14．若函数形式为，其中为关于的多项式，
为关于的多项式，则称为类函数，判断下列函数是否是类函数，并说明理由．
(1)；
(2)．
15．设，解方程．。

上海交大附中2007-2008学年度第二学期高一期终(数学)

上海交通大学附属中学2007-2008学年度第二学期高一数学期终试卷（满分100分，90分钟完成，答案一律写在答题纸上）一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共计36分）1、已知m >0时)1lg()10lg(10mm x +=，则x 的值为_____________； 2、设)(1x f-是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数，若8)](1[)](1[11=+⋅+--b fa f，则b a +的值为__________；3、已知f (x )是定义域为｛x |x ∈R 且x ≠0｝的偶函数，在区间（0，+∞）上是增函数，若 f (1)< f (lg x ) ，则x 的取值范围是_______________；4、已知A 、B 为两个锐角，且1tan tan tan tan ++=⋅B A B A ，则cos （A +B ）的值是______；5、已知钝角α的终边经过点P （θ2sin ，θ4sin ），且21cos =θ，则α的值为____________； 6、电流强度I （安）随时间t （秒）变化的函数I=)20,0,0)(sin(πϕωϕω<<>>+⋅A t A 的图象如图所示，则当501=t 秒时，电流强度是安； 7、将函数x x f y sin )(=的图象向右平移4π个单位后，再作关于x 轴对称的曲线，得到函数x y 2sin 21-=，则()f x 是_____； 8、函数)arccos(2x x y -=的值域为______； 9、曲线)4cos()4sin(2ππ-+=x x y 和直线21=y 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则 | P 2P 4 | 等于______；10、△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边。

如果a 、b 、c 成等差数列，30B ∠=，△ABC 的面积为23，那么b =______； 11、根据右边的框图，请写出所打印数列的全部项的和_____；12、已知等比数列{a n }及等差数列{b n }，其中b 1=0，公差0≠d 。

上海交通大学试卷A卷

上海交通大学试卷（ A 卷）课程线性代数（B 类）学期 2011－2012第1学期班级号学号姓名一．单项选择题（每题3分，共18分）1．设A ，B 为n 阶方阵，且A A =2，B B =2。

则（）（A ）)()(B r A r =时，A ，B 不相似；（B ）)()(B r A r ≠时，A ，B 相似；（C ）)()(B r A r =时，A ，B 相似；（D ）以上都有可能。

2．设A 为n 阶反对称矩阵，则（）（A ）0)(=+E A r ；（B ）n E A r =+)(；（C ）n E A r <+<)(0；（D ）以上都有可能。

3．设B A ,为n 阶方阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A C 00。

则伴随矩阵*C 为（）（A ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛**B A A B ||00||；（B ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛**B B A A ||00||；（C ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛**A AB B ||00||；（D ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛**A B B A ||00||。

4．设A 为n m ⨯的实矩阵，矩阵)(A A T正定的充分必要条件为（）（A ）m A r =)(；（B ）m A r <)(；（C ）m A r <)(；（D ）n A r =)(。

5．设α是单位向量，矩阵ααTk E A +=，其中1-≠k 。

则（）我承诺，我将严格遵守考试纪律。

（A ）A 为正交矩阵；（B ）A 为正定矩阵；（C ）A 为可逆矩阵；（D ）A 为反对称矩阵。

6．设向量组321,,ααα线性无关，向量321,,βββ线性相关但相互不成比例，且， 321332123211,,αααβαααβαααβk k k ++=++=++=。

则（）（A ）2-=k 或 1=k ；（B ）1=k ；（C ）2-≠k 且 1≠k ；（D ）2-=k 。

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上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题
一、填空题（每小题5分，共50分）
1．设函数()f x 满足2(3)(23)61f x f x x +-=+，则()f x = ．
2．设,,a b c 均为实数，且364a b ==，则
11a b
-= ．
3．设0a >且1a ≠，则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为．
4．设扇形的周长为6，则其面积的最大值为．
5．11!22!33!!n n ⋅+⋅+⋅++⋅= ．
6．设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N ．若M N ⊂，则k 的最小值为．
7．设函数()x f x x
=，则2112()3()()n S f x f x nf x -=++++= ．
8．设0a ≥，且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为252
，则a = ．
9．6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为．
10．已知函数121()1x f x x -=+，对于1,2,n = ，定义11()(())n n f x f f x +=，若355()()f x f x =，则28()f x = ．
二、计算与证明题（每小题10分，共50分）
11．工件内圆弧半径测量问题．
为测量一工件的内圆弧半径R ，工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，试写出R 用h 表示的函数关系式，并计算当10,4r mm h mm ==时，R 的值．
12．设函数()sin cos f x x x =+，试讨论()f x 的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性），求其极值，并作出其在[]0,2π内的图像．
13．已知线段AB 长度为3，两端均在抛物线2x y =上，试求AB 的中点M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标．
14．设432()(1)(32)4f x a x x a x a =++-+-，试证明对任意实数a ：
（1）方程()0f x =总有相同实根；
（2）存在0x ，恒有0()0f x ≠．
15．已知等差数列{}n a 的首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 的首项为b ，公比为a ，1,2,n = ，其中,a b 均为正整数，且11223a b a b a <<<<．
（1）求a 的值；
（2）若对于{}{},n n a b ，存在关系式1m n a b +=，试求b 的值；
（3）对于满足（2）中关系式的m a ，试求12m a a a +++ ．
参考答案：
1. 21x -
2. 1
2-
3. 2
4. 9
4
5. ()1!1n +-
6. 2
7. ()()()1102
112104n
n n x n x ⎧+>⎪⎪⎨+--⎪<⎪⎩ 8.
±
9. 43
45
10. 23
53x x --
11. 22
R r r h =+，60R mm =
12.
⎡⎣；偶函数；11
,224k k πππ⎡⎤
+⎢⎥⎣⎦
()k Z ∈；11,242k k πππ+⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ ()k Z ∈；周期为2π
13. min 5
4d =
；5
,42M ⎛⎫
± ⎪ ⎪⎝⎭
14. 略；反证法
15. 2；3；232322n n --⨯+。