上海市2018-2019学年吴淞中学高二上期中考试数学试卷
2018-2019学年上海中学高二(上)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年上海中学高二（上）期中数学试卷一、填空题1．直线2x﹣y+3＝0的倾斜角为．2．行列式中元素0所对应的代数余子式的值为．3．若直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，则a＝．4．若＝（1，﹣2），＝（x，1），＝（1，2），且（）⊥，则x＝．5．以＝（﹣3，2）为方向向量的直线平分圆x2+y2+2y＝0，直线l的方程为．6．经过两条直线2x+3y+1＝0和3x﹣y+4＝0的交点，并且平行于直线3x+4y﹣7＝0的直线方程是．7．若直线ax+by﹣3＝0与圆x2+y2+4x﹣1＝0相切于点P（﹣1，2），则a+b＝．8．如图，△ABC中D在边BC上，且＝2，E为AD的中点，记＝，＝，则＝（用、的线性组合表示）9．二阶方阵A＝称矩阵为A的转置矩阵记作A T，设M、N是两个二阶矩阵，对于下列四个结论：（1）（M T）T＝M；（2）（M+N）T＝M T+N T；（3）（MN）T＝M T N T；（4）“M＝”是“M T＝M”的充分不必要条件；其中真命题的序号为．10．在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若＝0，则点A的横坐标为．11．设动点M在x轴正半轴上，过动点M与定点P（2，1）的直线l交y＝x（x＞0）于点Q，那么的最大值为．12．如图，已知向量的夹角为，|﹣|＝6，向量，的夹角为，|﹣|＝2，则与的夹角为，的最大值为．二.选择题13．“D2＝4F且E≠0”是“圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要14．在下列向量组中，可以把向量＝（3，2）表示出来的是（）A．＝（0，0），＝（1，2）B．＝（﹣1，2），＝（5，﹣2）C．＝（3，5），＝（6，10）D．＝（2，﹣3），＝（﹣2，3）15．实数x，y满足，若z＝2x+y的最大值为9，则实数m的值为（）A．1B．2C．3D．416．如图，△ABC的AB边长为2，P，Q分别是AC，BC中点，记•+•＝m，•+•＝n，则（）A．m＝2，n＝4B．m＝3，n＝1C．m＝2，n＝6D．m＝3n，但m，n的值不确定三、解答题（共4小题，满分0分）17．已知二元一次方程组的增广矩阵为，请利用行列式求解此方程组．18．已知||＝4，||＝3，（2﹣3）•（2+）＝61．（1）求与的夹角θ；（2）若，且＝0，求t及||19．在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A的入射光线l1被直线l：反射，反射光线l2交y轴于B点．圆C过点A且与l1、l2相切．（1）求l2所在的直线的方程和圆C的方程；（2）设P、Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．20．已知a、b、c为△ABC的三边长，直线l的方程ax+by+c＝0，圆M：（x+a）2+（y+b）2＝c2．（1）若△ABC为直角三角形，c为斜边长，且直线l与圆M相切，求c的值；（2）若△ABC为正三角形，对于直线l上任意一点P，在圆M上总存在一点Q，使得线段|PQ|的长度为整数，求c的取值范围；（3）点E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，1）、G（1，1）、H（1，﹣1），设E、F、G、H四点到直线l的距离之和为S，求S的取值范围．2018-2019学年上海中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．直线2x﹣y+3＝0的倾斜角为arctan2．【解答】解：因为直线2x﹣y+3＝0的斜率为k＝﹣＝2，设直线的倾斜角为θ，则tanθ＝2，所以θ＝arctan2，故填：arctan2．2．行列式中元素0所对应的代数余子式的值为﹣6．【解答】解：行列式中元素0所对应的代数余子式的值为：（﹣1）5•＝﹣6．故答案为：﹣6．3．若直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，则a＝﹣2．【解答】解：直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，由于直线的斜率存在，所以斜率乘积为﹣1，即﹣1•（）＝﹣1，所以a＝﹣2．故答案为：﹣2．4．若＝（1，﹣2），＝（x，1），＝（1，2），且（）⊥，则x＝1．【解答】解：；∵；∴；∴x＝1．故答案为：1．5．以＝（﹣3，2）为方向向量的直线平分圆x2+y2+2y＝0，直线l的方程为2x+3y+3＝0．【解答】解：根据题意，要求直线的方向向量为＝（﹣3，2），设其方程为2x+3y+m ＝0，圆x2+y2+2y＝0，即x2+（y+1）2＝1，其圆心为（0，﹣1），若要求直线平分圆，则圆心在要求直线上，则有2×0+3×（﹣1）+3＝0，解可得m＝3，则要求直线的方程为2x+3y+3＝0；故答案为：2x+3y+3＝0．6．经过两条直线2x+3y+1＝0和3x﹣y+4＝0的交点，并且平行于直线3x+4y﹣7＝0的直线方程是3x+4y+＝0．【解答】解：联立直线的方程，得到两直线的交点坐标为（﹣，），平行于直线3x+4y﹣7＝0的直线方程是3x+4y+c＝0，则3（﹣）+4×+c＝0，解得c＝，所以直线方程为3x+4y+＝0．故填：3x+4y+＝0．7．若直线ax+by﹣3＝0与圆x2+y2+4x﹣1＝0相切于点P（﹣1，2），则a+b＝3．【解答】解：根据题意，圆x2+y2+4x﹣1＝0的圆心为（﹣2，0），若直线ax+by﹣3＝0与圆x2+y2+4x﹣1＝0相切于点P（﹣1，2），则有，解可得a＝1，b＝2；则a+b＝3；故答案为：3．8．如图，△ABC中D在边BC上，且＝2，E为AD的中点，记＝，＝，则＝（用、的线性组合表示）【解答】解：∵E为AD的中点，，∴＝＝＝＝＝，故答案为：．9．二阶方阵A＝称矩阵为A的转置矩阵记作A T，设M、N是两个二阶矩阵，对于下列四个结论：（1）（M T）T＝M；（2）（M+N）T＝M T+N T；（3）（MN）T＝M T N T；（4）“M＝”是“M T＝M”的充分不必要条件；其中真命题的序号为（1）（2）（4）．【解答】解：对于（1），设M＝，则M T＝，（M T）T＝，所以（M T）T＝M，（1）正确；对于（2），设M＝，N＝，则M+N＝，∴（M+N）T＝；M T＝，N T＝，则M T+N T＝，∴（M+N）T＝M T+N T，（2）正确；对于（3），设M＝，N＝，则MN＝，∴（MN）T＝；M T＝，N T＝，则M T N T＝，∴（MN）T≠M T N T，（3）错误；对于（4），M＝时，M T＝，充分性成立，M T＝M时，M不一定为，如M＝，即必要性不成立，是充分不必要条件，（4）正确．综上，其中真命题的序号是（1）、（2）、（4）．故答案为：（1）、（2）、（4）．10．在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若＝0，则点A的横坐标为3．【解答】解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）＝0．联立，解得D（1，2）．∴＝．解得：a＝3或a＝﹣1．又a＞0，∴a＝3．即A的横坐标为3．故答案为：3．11．设动点M在x轴正半轴上，过动点M与定点P（2，1）的直线l交y＝x（x＞0）于点Q，那么的最大值为．【解答】解：设l：y＝k（x﹣2）+1，要它与y＝x（x＞0）相交，则k＞1或k＜0．令y＝0，可得：M（2﹣，0），令y＝x，得Q．∴|MP|＝，|PQ|＝．∴u＝＝．于是u2＝＝g（k），k＞1或k＜0．g′（k）＝，可得：k＝﹣2，函数g（k）取得极大值，g（﹣2）＝5．∴u max＝．此时M（﹣，0）．故答案为：．12．如图，已知向量的夹角为，|﹣|＝6，向量，的夹角为，|﹣|＝2，则与的夹角为，的最大值为．【解答】解：如图，设，则，，，∴AB＝6，，AC＝，又，∴A，O，B，C四点共圆，在△ABC中，由正弦定理得，即，∴sin∠ABC＝，则．由同弧所对圆周角相等，可得，即与的夹角为；设∠OAC＝θ，则，在△AOC中，由正弦定理得：，∴OC＝，，∴＝＝＝64×＝64×（）＝64×（）＝64×（）＝64[]．∴当，即时，有最大值为．故答案为：，．二.选择题13．“D2＝4F且E≠0”是“圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：圆的方程可化为：，故若D2＝4F且E≠0，则圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切，若圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切，则D2＝4F且E≠0，综上“D2＝4F且E≠0”是“圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切”的充要条件．故选：C．14．在下列向量组中，可以把向量＝（3，2）表示出来的是（）A．＝（0，0），＝（1，2）B．＝（﹣1，2），＝（5，﹣2）C．＝（3，5），＝（6，10）D．＝（2，﹣3），＝（﹣2，3）【解答】解：根据，选项A：（3，2）＝λ（0，0）+μ（1，2），则3＝μ，2＝2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）＝λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3＝﹣λ+5μ，2＝2λ﹣2μ，解得，λ＝2，μ＝1，故选项B能．选项C：（3，2）＝λ（3，5）+μ（6，10），则3＝3λ+6μ，2＝5λ+10μ，无解，故选项C 不能．选项D：（3，2）＝λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3＝2λ﹣2μ，2＝﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．故选：B．15．实数x，y满足，若z＝2x+y的最大值为9，则实数m的值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点B时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大，此时2x+y＝9．由，解得，即B（4，1），∵B在直线y＝m上，∴m＝1，故选：A．16．如图，△ABC的AB边长为2，P，Q分别是AC，BC中点，记•+•＝m，•+•＝n，则（）A．m＝2，n＝4B．m＝3，n＝1C．m＝2，n＝6D．m＝3n，但m，n的值不确定【解答】解：∵P，Q分别是AC，BC中点，∴m＝•+•＝＝＝＝＝2；∵P，Q分别是AC，BC中点，∴，，∴n＝•+•＝+＝＝＝6．故选：C．三、解答题（共4小题，满分0分）17．已知二元一次方程组的增广矩阵为，请利用行列式求解此方程组．【解答】解：对于增广矩阵，当m＝2时，矩阵化为，此时方程组有无数个解；当m＝﹣2时，矩阵化为，此时方程组无解；当m≠±2，矩阵第二行有，（2+m）（2﹣m）•y＝（m+1）（2﹣m），得进第一行得，综上所述，当m＝2时，方程有无数个解；当m＝﹣2时，方程组无解；当m≠±2时，，．18．已知||＝4，||＝3，（2﹣3）•（2+）＝61．（1）求与的夹角θ；（2）若，且＝0，求t及||【解答】解（1）∵||＝4，||＝3，（2﹣3）•（2+）＝61，∴•＝﹣6．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴cos θ＝＝＝﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又0≤θ≤π，∴θ＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）＝（）＝t+（1﹣t）＝﹣15t+9＝0∴t＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴||2＝（+）2＝，∴||＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A的入射光线l1被直线l：反射，反射光线l2交y轴于B点．圆C过点A且与l1、l2相切．（1）求l2所在的直线的方程和圆C的方程；（2）设P、Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）直线l1：y＝2，设l1交l于D，则D（2，2）．∵l的倾斜角为30°，∴l2的倾斜角为60°，…∴，∴反射光线l2所在的直线方程为y﹣2＝（x﹣2）．即．…已知圆C与l1切于点A，设C（a，b），∵圆心C在过点D且与l垂直的直线上，∴①…又圆心C在过点A且与l1垂直的直线上，∴②，由①②得，圆C的半径r＝3．故所求圆C的方程为．…（Ⅱ）设点B（0，﹣4）关于l的对称点B'（x0，y0），则，…得．固定点Q可发现，当B'、P、Q共线时，PB+PQ最小，故PB+PQ的最小值为为B'C﹣3．…，得，最小值．…（16分）20．已知a、b、c为△ABC的三边长，直线l的方程ax+by+c＝0，圆M：（x+a）2+（y+b）2＝c2．（1）若△ABC为直角三角形，c为斜边长，且直线l与圆M相切，求c的值；（2）若△ABC为正三角形，对于直线l上任意一点P，在圆M上总存在一点Q，使得线段|PQ|的长度为整数，求c的取值范围；（3）点E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，1）、G（1，1）、H（1，﹣1），设E、F、G、H四点到直线l的距离之和为S，求S的取值范围．【解答】解（1）因为若△ABC为直角三角形，c为斜边长，所以a2+b2＝c2，直线l与圆M相切，所以圆心（a，b）到直线ax+by+c＝0的距离为c，即，所以，即c2﹣c＝±c2，得c＝，或者c＝0（舍）．（2）若△ABC为正三角形，若△ABC为正三角形，则此时圆是以{c，c}为圆心，c为半径的圆，直线方程为x+y+1＝0，设圆心（c，c）到直线的距离为d，则d＝，要使直线l上任意一点P，在圆M上总存在一点Q，使得线段|PQ|的长度为整数，需满足同时成立，即，解得c≥．（3）依题意S＝+++，因为三角形的两边之和大于第三边，所以S可化为：S＝，∵c＜a+b，，∴S≤＝4，下面求S的最小值，从几何意义上看，S代表（1，1）到直线l的距离的二倍，而直线l在x轴上的截距为﹣，在y轴上的截距为﹣，三边中若c为最大值，则直线l在两坐标轴上的截距均小于﹣1，此时（1，1）到直线l 的最小距离大于2，即S＞4．若c不是最大值，不妨设a为最大值，则S＝＞＝＝2．综上2＜S＜．。
2018届上海市吴淞中学高三上学期期中考试数学试题及答案
上海市吴淞中学2018届高三上学期期中考试数学试题期中)试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 .1．.ss “若0=ab 则a 、b 中至少有一个为零”的逆否ss 是____________ ___． 2．已知点M （a ，b ）与N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关于直线0=+y x 对称，则点Q 的坐标为 ．3．要使()a x x x y ≥+=42有反函数，则a 的最小值为__________．4．∞→n limnn ++++ 212=__________．5．已知不等式≤a ||22x x +对x 取一切负数恒成立，则a 的取值范围是__________．6．用数学归纳法证明“()()()()1231221-⋅⋅=+++n n n n n n”，从“k 到1+k ”左端需增乘的代数式为 ．7．函数132222++++=x x x x y 的值域为 ． 8．已知a =()2,λ，b =()5,3-，且a 与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是 ．9．在ABC ∆中, 30,1,3=∠==B AC AB ,则ABC ∆的面积= .10．设)(1x f-是函数1)((21)(>-=-a a a x f x x）的反函数，则使1)(1>-x f 成立的x 的取值范围是 ．11．如图,在矩形ABCD 中,2AB BC ==，点E 为BC 的中点,点F在边CD 上,若2=⋅→→AF AB ,则→→⋅BF AE 的值是___.12．函数x x y 2143-+=的最大值为 ．13．设()sin2cos2f x a x b x ＝＋，其中,,0a b R ab ∈≠. 若()⎪⎭⎫⎝⎛≤6πf x f 对一切x R ∈恒成立，则()012111=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ;()⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛51272ππf f ;()()x f 3既不是奇函数也不是偶函数； ()4()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++32,6ππππ是()x f 的单调区间；； ()5存在经过点()b a ,的直线与函数()x f 的图象不相交。
2010-2023历年上海市吴淞中学高二上学期期中考试化学试卷
2010-2023历年上海市吴淞中学高二上学期期中考试化学试卷第1卷一.参考题库(共20题)1.下列离子方程式书写正确的是A、H2SO4与Ba(OH)2溶液反应：Ba2＋十SO42－→BaSO4↓B、向氢氧化亚铁中加入足量的稀硝酸：Fe(OH)2 + 2H+ = Fe2+ + 2H2OC、向明矾溶液中加入过量的氢氧化钡溶液：Al3+ + 2SO42- +2Ba2+ + 4OH- =2BaSO4↓+ AlO2- + 2H2OD CH3COOH溶液与NaOH溶液反应：H＋＋OH－→H2O2.只用一种试剂可以区别Na2SO4、MgCl2、FeCl2、FeCl3、Al2(SO4)3、(NH4)2SO4六种溶液，这种试剂是A．Ba(OH)2B．H2SC．NaOHD．AgNO33.将5.6克不纯的铁与足量稀硫酸反应，生成氢气0.2克。
该不纯的铁含有的杂质可能是A．碳和锌B．铁锈C．碳和铝D．碳4.金属在生产和日常生活中有重要的应用。
下列说法不正确的是A．明矾水解形成胶体能吸附水中悬浮物，可用于水的净化。
B．现代建筑的门框架，常用古铜色的硬铝制造，硬铝含有的元素是Al、Cu、Mg等。
C．金属在自然界中一般以化合态存在，越活泼的金属越难冶炼。
D．日常生活中应用的金属材料一般为合金，合金的熔点一般比组分金属高。
5.根据实验室中测定硫酸铜晶体（CuS04·XH20）结晶水含量的实验，填写下列空白：(1) 从下列仪器选出无需用到的仪器是（用标号字母填写）。
(A) 电子天平(B) 坩埚钳(C) 试管夹(D) 酒精灯(E) 蒸发皿(F) 玻璃棒(G) 坩埚(H) 干燥器(I) 石棉网(J) 三脚架（K）泥三角除上述仪器外，还需要的仪器是。
(2) 某学生实验后得到以下数据：加热前质量加热后质量W1（容器）W2（容器+晶体）W3（容器+无水硫酸铜）5.4g7.9g6.8g请写出结晶水含量（H2O%）和X的值的计算公式（用W1、W2、W3表示）H2O %= ，X= ，该生测定结果是偏高还是偏低? 。
2018-2019学年上海市宝山区吴淞中学高三(上)期中数学试卷(附答案详解)
2018-2019学年上海市宝山区吴淞中学高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.函数f(x)=m x(m>0,m≠1)是定义在[a,b]上的减函数，则y=−f−1(x)()A. 在[f(a),f(b)]上是增函数B. 在[f(a),f(b)]上是减函数C. 在[f(b),f(a)]上是增函数D. 在[f(b),f(a)]上是减函数2.在△ABC中“sinA<sinB”是“tanA<tanB”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.如图所示，单位圆中A^B的长为x，f(x)表示弧A^B与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y=f(x)的图象是()A.B.C.D.4.已知函数f(x)=log12x，g(x)=(12)x，ℎ(x)=x12，且f(a)=g(a)，f(b)=ℎ(b)，g(c)=ℎ(c)，则a、b、c的大小关系是()A. c<b<aB. a<b<cC. a<c<bD. b<a<c二、单空题（本大题共12小题，共60.0分）5.已知集合A={x|2x>1}，B={x|lg(x+2)<1}，则A∩B=______．6.已知i是虚数单位，化简∣∣∣12i∣∣=______．3+4i5∣7.椭圆x2+4y2=16的焦距为______．8.若(a−x)6展开式中x3的系数为−540，则实数a的值为______．9.若|a⃗|=1，|b⃗ |=√2，(a⃗−b⃗ )⋅a⃗=0，则a⃗与b⃗ 的夹角是______．10.在△ABC中，A、B、C的对边分别是a，b，c，且b cos B是a cos C，c cos A的等差中项，则角B=______．])的值域是______．11.函数f(x)=2sin(arccosx)(x∈[−1,1212.若函数y=(x+1)(x2+ax+b)的图像关于点(1,0)对称，则a+b=______．≥1,x∈Z}中随机取出两个不同的数，则这两个数互质的概率为13.从集合{x|18−xx−2______．14.设{a n}是公比为q的等比数列，|q|>1，令b n=a n+1(n=1,2，…)，若数列{b n}有连续四项在集合{−53,−23,19，37，82}中，则q=______．)，则实数a=______．15.已知函数f(x)=sinx+acosx，对任意x∈R恒有f(x)≤f(π316.设数列{a n}中，对任意n∈N∗都有a1=2，a n+3≤a n+3，a n+2≥a n+2，则a2=______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，已知长方体ABCD−A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，P为线段AC的中点，若异面直线PA1与BC所成角的大小是60°，求长方体ABCD−A1B1C1D1的体积．(a>0,a≠1)．18.已知函数f(x)=log a1+x1−x(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性；(2)若f(t2−t−1)+f(t−2)<0，求实数t的取值范围．19.我国加入WTO后，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量P的关系)).(x为允许近似的满足：y=P(x)=2(1−kt)(x−b)2(其中t为关税的税率，且t∈[0,12时的市场供应量曲线如图市场价格，b、k为正常数)，当t=18(1)根据图象求k、b的值；(2)若市场需求量为Q，它近似满足Q(x)=211−12x.当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率t的最小值．20.已知双曲线的中心在原点，F1、F2为左、右焦点，焦距是实轴长的√2倍，双曲线过点(4,−√10)．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M(3,m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3)在(2)的条件下，若直线MF2交双曲线于另一点N，求△F1MN的面积．21.设数列{a n}的各项都是正数，且对于任意n∈Z+都有a13+a23+a33+⋯+a n3=(S n)2，记S n为数列{a n}的前n项和．(1)计算a1、a2、a3的值；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)设b n=4n+(−1)n−1λ⋅3a n，若{b n}为单调数列，求λ的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：因为f(x)单调递减，所以0<m<1，且f(x)∈[f(b),f(a)]．所以y=−f−1(x)=−log m x，x∈[f(b),f(a)]为增函数．故选：C．根据指数函数的单调性得0<m<1，所以f−1(x)=log m x为减函数，再进行选项判断．本题考查反函数的概念，对数函数与指数函数的单调性．2.【答案】D【解析】解：sinA<sinB⇔a<b⇔π>B>A>0，∵π>B>A>0推不出tanA<tanB，tanA<tanB推不出π>B>A>0，∴“sinA<sinB”是“tanA<tanB”的既不充分也不必要条件．故选：D．根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．3.【答案】D【解析】本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中根据已知计算出函数的解析式，从而分析函数的性质及图象表象是解答本题的关键．由已知中(x)表示弧A^B与弦AB所围成的弓形面积的2倍，根据扇形面积公式及三角形面积公式，我们易求出f(x)的解析式，然后利用特值法，分别判断不同区间上函数图象与直线y=x的关系，即可得到答案．解：如图所示，单位圆中A^B的长为x，f(x)表示弧A^B与弦AB所围成的弓形面积的2倍扇形OAB的面积为x2π⋅π=x2，三角形ABC的面积为sinx2，弓形面积为x2−sinx2则f(x)=x−sinx，f(π)=π∴(1)0≤x≤π，sinx≥0，f(x)=x−sinx≤x，此时f(x)的图象在y=x的下方(2)π<x≤2π，sinx≤0，f(x)=x−sinx≥x，此时f(x)的图象在y=x的上方观察四个选项，只有D符合，故选D4.【答案】A【解析】解：画出y=f(x)，y=g(x)，y=ℎ(x)的图象，结合图象，以及f(a)=g(a)，f(b)=ℎ(b)，g(c)=ℎ(c)，可得a>b>c，故选：A．画出y=f(x)，y=g(x)，y=ℎ(x)的图象，结合图象可得．本题考查了指数函数，对数函数和幂函数的图象和性质，属于基础题．5.【答案】(0,8)【解析】解：∵A={x|2x>1}={x|x>0}，B={x|lg(x+2)<1}={x|−2<x<8}，∴A∩B={x|x>0}∩{x|−2<x<8}=(0,8)．故答案为：(0,8)．分别求解指数不等式与对数不等式化简A与B，再由交集运算得答案．本题考查交集及其运算，考查指数不等式与对数不等式的解法，是基础题．6.【答案】13−6i【解析】解：∣∣∣12i3+4i5∣∣∣=5−2i(3+4i)=13−6i，故答案为：13−6i．根据行列式展开公式进行展开．本题考查复数运算，行列式展开，属于基础题．7.【答案】4√3【解析】解：椭圆x2+4y2=16的标准方程为：x216+y24=1，焦点在x轴上，a=4，b=2，所以椭圆的焦距为2c=2√42−22=4√3．故答案为：4√3．化简椭圆方程为标准方程，然后求解焦距即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．8.【答案】3【解析】解：(a−x)6的展开式中的通项公式为T r+1=∁6r⋅a6−r⋅(−1)r⋅x r，令r=3，可得x3的系数是−∁63⋅a3=−540，则实数a=3，故答案为：3．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．9.【答案】π4【解析】解：由(a ⃗ −b ⃗ )⋅a ⃗ =0，得出a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b ⃗ =0.将|a⃗ |=1代入得出，a ⃗ ⋅b ⃗ =1 则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角θ的余弦值cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=1×√2=√22又0≤θ≤π，所以θ=π4 故答案为：π4由(a ⃗ −b ⃗ )⋅a ⃗ =0，得出a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b ⃗ =0.将|a⃗ |=1代入得出，a ⃗ ⋅b ⃗ =1，再由两个向量夹角的范围求出θ的值．本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量夹角的范围，根据三角函数的值求角，属于基础题．10.【答案】π3【解析】解：∵bcosB 是a cos C ，c cos A 的等差中项， ∴2bcosB =acosC +ccosA ，由正弦定理可得2sinBcosB =sinAcosC +sinCcosA ， 即2sinBcosB =sin(A +C)=sinB ，又∵sinB >0，上式两边同除以sin B 可得cosB =12， ∵0<B <π，∴B =π3 故答案为：π3．由题意可得2bcosB =acosC +ccosA ，结合正弦定理和三角函数公式可得cosB =12，由三角形内角的范围可得B 值．本题考查等差数列的性质和解三角形，属中档题．11.【答案】[0,2]【解析】解：当x ∈[−1,12]时，arccosx ∈[π3,π]， 所以sin(arccosx)∈[0,1]， 所以2sin(arccosx)∈[0,2]， 即函数f(x)的值域为[0,2]． 故答案为：[0,2]．由反三角函数可求得arccos x的范围，结合正弦函数图象可求得sin(arccosx)的范围，进而得到函数f(x)的值域．本题主要考查正弦型函数值域的求解问题，关键是能够利用反三角函数知识求得角所处的范围，进而结合正弦函数图象求得结果，属于基础题．12.【答案】−1【解析】解：因为函数y=(x+1)(x2+ax+b)的图像关于点(1,0)对称，则图像过点(1,0)，代入可求，a+b=−1，故答案为：−1因为连续函数图像关于点(1,0)对称，则图像过点(1,0)，代入可求．本题考查函数关于点对称，属于基础题．13.【答案】914【解析】解：从集合{x|18−xx−2≥1,x∈Z}={x|2<x≤10,x∈Z}={3,4，5，6，7，8，9，10}，从集合中随机取出两个不同的数，基本事件总数n=C82=28，这两个数互质包含的基本事件有18个，分别为：(3,4)，(3,5)，(3,7)，(3,8)，(3,10)，(4,5)，(4,7)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(9,10)，∴这两个数互质的概率为P=1828=914．故答案为：914．从集合中随机取出两个不同的数，基本事件总数n=C82=28，这两个数互质包含的基本事件有18个，利用列举法能求出这两个数互质的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】−32【解析】解：由题意知，{a n}是公比为q的等比数列，由数列{b n}有连续四项在集合{−53,−23,19，37，82}中，可得{a n}有连续四项在集合{−54,−24,18，36，81}中，由于集合中仅有三个正数，两个负数，故{a n}各项中必有两个为负数，所以公比为负即q<0由于两个负数分别为−54，−24，故q2=94或49，解得q=−32或−23又|q|>1，故q=−32故答案为−32由题设条件可先得出，{a n}公比为q的等比数列，它有连续四项在集合{−54,−24,18，36，81}中，即可判断出两个负数−54，−24是数列中的两项，且序号相差2，由此即可得到公比的方程，求解即可得到答案本题考查等比数列的性质，解题的关键是判断出两个负数−54，−24是数列中的两项，再由等比数列的性质即可得到关于公比的方程，本题考查了判断推理能力及转化的思想15.【答案】√33【解析】解：因为对任意x∈R恒有f(x)≤f(π3)，所以f(π3)=f(x)max，因为f(x)=sinx+acosx=√1+a2sin(x+φ)，其中tanφ=a，所以f(x)max=√1+a2，所以f(π3)=sinπ3+acosπ3=√32+12a=√1+a2，解得a=√33．故答案为：√33．根据不等式恒成立可知f(π3)=f(x)max，由辅助角公式可确定f(x)max=√1+a2，由此构造方程求得a的值．本题主要考查根据正弦函数的最值求解参数值的问题，涉及利用辅助角公式化简三角函数的知识，关键是能通过恒成立的不等式确定函数的最大值点，进而根据正弦型函数的最值求得结果，属于中档题．16.【答案】3【解析】解：由a n+2≥a n +2，得a 5≥a 3+2≥a 1+2+2=6，由a n+3≤a n +3，得a 5≤a 2+3，∴a 2+3≥6，即a 2≥3；由a n+3≤a n +3，得a 4≤a 1+3=5，由a n+2≥a n +2，得a 4≥a 2+2，∴a 2+2≤5，即a 2≤3．综上，a 2=3．故答案为：3．由已知数列递推式分别推出a 2≥3且a 2≤3，即可求得a 2=3．本题考查数列递推式，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属中档题．17.【答案】解：建立空间直角坐标系，如图所示：设长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的高为a(a >0)，则C(0,0，0)，A(2,2，0)，P(1,1，0)，B(0,2，0)，A 1(2,2，a)；所以PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，a)，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,0)， 计算PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2+a 2，所以|PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ ||PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2×√2+a 2=cos60°=12， 解得a =√2，所以长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的体积为V =2×2×√2=4√2．【解析】建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，利用异面直线所成的角求出长方体的高，再求长方体的体积．本题考查了异面直线所成的角和长方体体积计算问题，是基础题．18.【答案】解：(1)1+x 1−x >0⇒D =(−1,1)关于原点对称；任意取x ∈(−1,1)，f(−x)=log a 1−x 1+x =−log a 1+x 1−x =−f(x)，故函数f(x)是奇函数;(2)因为x ∈(−1,1)时，1+x 1−x =−1+21−x 单调递增故a >1时，f(x)单调递增；0<a <1时，f(x)单调递减，因为f(x)是奇函数，故f(t 2−t −1)+f(t −2)<0⇔f(t 2−t −1)<f(2−t)， 当a >1时，−1<t 2−t −1<2−t <1得t ∈(1,√3)，当0<a <1时，−1<2−t <t 2−t −1<1得t ∈(√3,2)．【解析】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的判断，是基础知识的考查．(1)求出函数的定义域，利用奇偶性的定义判断函数f(x)的奇偶性；(2)判断函数的单调性，然后通过f(t 2−t −1)+f(t −2)<0，求实数t 的取值范围．19.【答案】解：(1)由图可知，t =18时有{2(1−k 8)(5−b)2=12(1−k 8)(7−b)2=2解得{k =6b =5 (2)当P =Q 时，得2(1−6t)(x−5)2=211−12x 解得：t =16[1−22−x 2(x−5)2]=16[1−17−(x−5)2(x−5)2]=−112[17(x−5)2−1x−5−2]令m =1x−5，∵x ≥9，∴m ∈(0,14]，则t =−112(17m 2−m −2)，∴对称轴m =134∈(0,14]，且开口向下；∴m =14时，t 取得最小值19192，此时x =9∴税率t 的最小值为19192．【解析】第一问能根据图象求出k 、b 的值．第二问能根据题意构造函数，并能在定义域内求函数的最小值．考查的知识综合性较强，对学生理解题意的能力也是一个挑战． 此题是个指数函数的综合题，但在求解的过程中也用到了构造函数的思想及二次函数在定义域内求最值的知识．考查的知识全面而到位！20.【答案】解：(1)∵焦距是实轴长的√2倍，∴e =√2，故可等轴设双曲线的方程为x 2−y 2=λ(λ≠0)，∵过点(4,−√10)，∴16−10=λ，∴λ=6．∴双曲线方程为x 2−y 2=6．即：x 26−y 26=1．(2)证明：由(1)可知：在双曲线中，a =b =√6，∴c =2√3．∴F 1(−2√3,0)，F 2(2√3,0)．∴MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3−3,−m)，MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3−3,−m)．∴MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3−3)(2√3−3)+m 2=−3+m 2．∵M 点在双曲线上，∴9−m 2=6，∴m 2=3．∴MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0．∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上；(3)由(2)不妨M(3,√3)，F 2(2√3,0)，直线MF 2的方程为：y =(−2−√3)(x −2√3)，代入双曲线方程可得：消去x 可得：(6−4√3)y 2−4√3(2−√3)y +6=0，因为M 的纵坐标为√3，所以N 的纵坐标为：y 2⋅√3y 2=6−4√3，解得y 2=−(2+√3)，△F 1MN 的面积为：12×4√3×(√3+2+√3√3)=12+4√3．【解析】(1)求出离心率e ，故可等轴设双曲线的方程为x 2−y 2=λ(λ≠2)，过点(4,−√10)，可得16−10=λ，即可求双曲线方程；(2)求出向量坐标，利用向量的数量积公式，即可证明结论．(3)利用M 与F 2可得直线方程，求出N 的纵坐标，然后求解三角形的面积．本题考查双曲线的方程与性质，考查向量的数量积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)在已知式中，当n =1时，a 13=S 12=a 12， ∵a 1>0∴a 1=1，当n =2时，a 13+a 23=(a 1+a 2)2，解得a 2=2，当n =3时，a 13+a 23+a 33=(a 1+a 2+a 3)2，解得a 3=3；(2)当n ≥2时，a 13+a 23+a 33+⋯+a n 3=S n2， a 13+a 23+a 33+⋯+a n−13=S n−12， 两式相减得，a n 3=S n 2−S n−12=(S n −S n−1)(S n +S n−1)，∵a n >0，∴a n 2=S n +S n−1=2S n −a n ，①∵a 1=1适合上式，当n ≥2时，a n−12=2S n−1−a n−1，②①−②得：a n2−a n−12=2(S n −S n−1)−a n +a n−1=2a n −a n +a n−1=a n +a n−1， ∵a n +a n−1>0，∴a n −a n−1=1，∴数列{a n }是等差数列，首项为1，公差为1，可得a n =n ；(2)b n =4n +(−1)n−1λ⋅3a n =4n +(−1)n−1λ⋅3n ，∴b n+1=4n+1+(−1)n λ⋅3n+1，∴b n+1−b n =3×4n +4λ(−1)n ⋅3n ，∵{b n }为单调数列，∴b n+1−b n >0，或b n+1−b n <0，当b n+1−b n >0时，3×4n +4λ(−1)n ⋅3n >0，即(−1)n−1λ<(43)n−1⋅当n =2k −1(k ∈N ∗)时，即为λ<(43)2k−2，对k ∈N ∗都成立，∴λ<1，当n =2k(k ∈N ∗)时，⑤式即为λ>−(43)2k−1，对k ∈N ∗都成立，∴λ>−43， 当b n+1−b n <0时，3×4n +4λ(−1)n ⋅3n <0，即(−1)n−1λ>(43)n−1⋅当n =2k −1(k ∈N ∗)时，即为λ>(43)2k−2，对k ∈N ∗都成立，此时λ不存在， 当n =2k(k ∈N ∗)时，⑤式即为λ<−(43)2k−1，对k ∈N ∗都成立，此时λ不存在， ∴λ>−43，综上所述：λ的取值范围为(−43,1)．【解析】(1)利用n =1，n =2，n =3求出a 1、a 2、a 3的值，(2)利用a 13+a 23+a 33+⋯+a n 3=S n 2，a 13+a 23+a 33+⋯+a n−13=S n−12，做差推出a n −a n−1=1证明是等差数列．(3)假设存在λ使得满足题意，然后计算化简b n+1−b n，再结合恒成立问题进行转化，将)n−1对任意的n∈N∗恒成立．然后分n为奇偶数讨论即可问题转化为：(−1)n−1λ<(43获得λ的范围，再结合为整数即可获得问题的解答．本题考查的是数列与不等式的综合题．在解答的过程当中充分体现了数列通项与前n项和的知识、分类讨论的知识以及恒成立问题的解答规律．值得同学们体会和反思．。
上海市高二上学期期中数学试卷含答案
4、计算： lim 4n n (2 n
2= 1)2
．
5、已知等比数列 an 中， a1 3, a4 81, 则该数列的通项 an
．
6、设 a 2, 3 , b 1,1 ， c 是 a b 的单位向量，则 c 的坐标是 7、等差数列 a n 中， a1 a4 a8 a12 a15 20 ，则 S15
（C） 65
（D） 65 5
16、一条曲线是用以下方法画成： ABC 是边长为 1 的正三角形，曲线 CA1、 A1A2、 A2 A3 分别
以 A、B、C 为圆心， AC、 BA1、 CA2 为半径画的弧， CA1A2A3 为曲线的第 1 圈，然后又以 A
为圆心， AA3 为半径画弧 ，这样画到第 n 圈，则所得曲线 CA1A2A3 A3n 2 A3n 1A3n 的总长
2.
10、 已知数列 an ，an
n 2 kn ，若 an 是递增数列， 则 k 的取值范围是 _____(
3 , ) ______
2
11、数列 an 中， a1 1,an 1 3an 2 ，则通项 an ______ 2 3n 1 1 _______ 。
12、如图所示：矩形 AnBn PnQn 的一边 An Bn 在 x 轴上，另两个顶点 Pn , Qn 在函数 f (x)
lim
n
Sn =
.
y
1 Qn
O An 1
Pn
Bn
x
1
二、选择题（每题 4 分，共 16 分）
13、用数学归纳法证明： 1
1
n1 n 2
1 nn
从“ k 到 k 1 ”左端需增加的代数式为
1 A
2k 1
1 B
2018-2019学年上海市宝山区吴淞中学高二(上)期中数学试卷(附答案详解)
2018-2019学年上海市宝山区吴淞中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分） 1. 直线2x −3y +1=0的一个方向向量是( )A. (2,−3)B. (2,3)C. (−3,2)D. (3,2)2. 若M 为△ABC 所在平面内一点，且满足(MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2MA)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则△ABC 的形状为( )A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形3. 已知|a ⃗ |=2|b ⃗ |≠0，且关于x 的方程x 2+|a ⃗ |x +a ⃗ ⋅b ⃗ =0有实根，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角的取值范围是( )A. [0,π6]B. [π3,π]C. [π3,2π3]D. [π6,π]4. 下列命题：①“0<a ≤12”是“存在n ∈N ∗，使得(12)n =a 成立”的充分条件； ②“a >0”是“存在n ∈N ∗，使得(12)n <a 成立”的必要条件； ③“a >12”是“不等式(12)n <a 对一切n ∈N ∗恒成立”的充要条件． 其中所以真命题的序号是( )A. ③B. ②③C. ①②D. ①③二、单空题（本大题共12小题，共60.0分） 5. 方程组{x −2y −5=03x +y =8的增广矩阵为______．6. n →∞lim[1−n 22+n 2+(34)n ]的值是______．7. 已知|a ⃗ |=1,|b ⃗ |=6,a ⃗ ⋅(b ⃗ −a ⃗ )=2，则向量a ⃗ 与向量b ⃗ 的夹角是______． 8. ∣∣∣∣132−1−11014∣∣∣∣的值为______．9. 某种珍稀动物经普查今年存量为1100只，5年前有1000只，在这5年中该动物的年平均增长率为百分之______(精确到0.1)．10. 数列{a n }满足a 1=2，a 2=1，并且a n−1−ana n ⋅a n−1=a n −a n+1a n+1⋅a n(n ≥2)，则数列的第100项为______．11. 直线l 的一个法向量n⃗ =(cosθ,1)(θ∈R)，则直线l 倾斜角α的取值范围是______． 12. 平面直角坐标系中，已知点P 0(1,0)，P 1(2,1)，且P n P n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12P n−1P n⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (n ∈N ∗).当n →+∞时，点P n 无限趋近于点M ，则点M 的坐标为______．13. 设集合M ={(x,y)|y =x +b}，N ={(x,y)|y =3−√4x −x 2}，当M ∩N ≠⌀时，则实数b 的取值范围是______ ．14. 如果M 是函数y =f(x)图象上的点，N 是函数y =g(x)图象上的点，且M ，N 两点之间的距离|MN|能取到最小值d ，那么将d 称为函数y =f(x)与y =g(x)之间的距离．按这个定义，函数f(x)=√x 和g(x)=√−x 2+4x −3之间的距离是______． 15. 设a n =log n+1(n +2)(n ∈N ∗)，称a 1a 2a 3⋯a k 为整数的k 为“希望数”则在(1,2018)内所有“希望数”的个数为______．16. 若非零向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 满足a ⃗ +2b ⃗ +3c ⃗ =0⃗ ，且a ⃗ ⋅b ⃗ =b ⃗ ⋅c ⃗ =c ⃗ ⋅a ⃗ ，则b ⃗ 与c⃗ 的夹角为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 已知向量m⃗⃗⃗ =(a x , −a), n ⃗ =(a x , a)，其中a >0且a ≠1， (1)当x 为何值时，m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ；(2)解关于x 的不等式| m ⃗⃗⃗ +n ⃗⃗⃗ |<| m ⃗⃗⃗⃗⃗ −n ⃗⃗⃗ |．18. (1)已知直线l 经过点P(−2,√3)，且与直线l n ：x −√3y +2=0的夹角为π3，求直线l的方程；(2)已知△ABC 中顶点A(4,−1)，∠B ，∠C 的平分线方程分别为x −y −1=0和x −1=0，求BC 边所在的直线方程．19.已知圆C：x2+y2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0(m∈R)．(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；(2)若直线l与圆C相交于A、B，求|AB|=8时l的方程．)x的图象20.已知点P1(a1,b1)，P2(a2,b2)，…P n(a n,b n)，(n为正整数)都在函数y=(12上．(1)若数列{a n}是等差数列，证明：数列{b n}是等比数列；(2)设a n=n，(n∈N+)，过点P n，P n+1的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为c n，试求最小的实数t，使c n≤t对一切正整数n恒成立；(3)对(2)中的数列{a n}，对每个正整数k，在a k与a k+1之间插入3k−1个3，得到一个新的数列{d n}，设S n是数列{d n}的前n项和，试探究2016是否是数列{S n}中的某一项，写出你探究得到的结论并给出证明．21.设m个正数a1，a2，…，a m(m≥4,m∈N∗)依次围成一个圆圈．其中a1，a2，a3，…，a k−1，a k(k<m,k∈N∗)是公差为d的等差数列，而a1，a m，a m−1，…，a k+1，a k是公比为q的等比数列．(1)若a1=d=1，q=2，k=8，求数列a1，a2，…，a m的所有项的和S m；(2)若a1=d=q=3，m<2015，求m的最大值；(3)当q=2时是否存在正整数k，满足a1+a2+⋯+a k−1+a k=3(a k+1+a k+2+⋯+a m−1+a m)？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由题意可得：直线2x −3y +1=0的斜率为k =23， 所以直线2x −3y +1=0的一个方向向量d ⃗ =(1,23)，或(3,2) 故选D ．题意可得首先求出直线的斜率为：k =23，即可得到它的一个方向向量(1,k)，再利用平面向量共线(平行)的坐标表示即可得出答案．本题主要考查直线的方向向量，以及平面向量共线(平行)的坐标表示，是基础题．2.【答案】C【解析】解：由(MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2MA)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0 CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=0 从而可得以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为邻边作平行四边形的对角线与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直 从而可得|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ | 故选：C由(MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2MA)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，即CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，根据向量加法的平行四边形法则可求 本题主要考查了利用向量的加法与减法的运算的平行四边形法则判断三角形的形状，解题的关键是要能利用基本法则看到MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的转换方法．3.【答案】B【解析】解：|a ⃗ |=2|b ⃗ |≠0，且关于x 的方程x 2+|a ⃗ |x +a ⃗ ⋅b ⃗ =0有实根， 则|a ⃗ |2−4a ⃗ ⋅b ⃗ ≥0，设向量a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为θ， cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |≤14|a ⃗ |212|a ⃗ |2=12，∴θ∈[π3,π]， 故选：B ．根据关于x 的方程x 2+|a ⃗ |x +a ⃗ ⋅b ⃗ =0有实根，可知方程的判别式大于等于0，找出|a ⃗ |2−4a ⃗ ⋅b ⃗ ≥0，再由cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |≤14|a ⃗ |212|a ⃗ |2=12，可得答案． 本题主要考查平面向量数量积的逆应用，即求角的问题．属基础题．4.【答案】B【解析】解：选项①当0<a ≤12时，不一定存在n ∈N ∗，使得(12)n =a 成立， 比如取a =13，则不存在自然数n ，使(12)n =13，故前者是后者的非充分条件，但存在n ∈N ∗，使得(12)n =a 成立时，a 即为(12)n 当n ∈N ∗，时的取值范围，即0<a ≤12， 故“0<a ≤12”应是“存在n ∈N ∗，使得(12)n =a 成立”的必要非充分条件，故①错误； 选项②当存在n ∈N ∗，使得(12)n <a 成立时，a 只需大于(12)n 当n ∈N ∗，时的最小取值即可，故可得a >0，故“a >0”是“存在n ∈N ∗，使得(12)n <a 成立”的必要条件，故②正确；选项③由①知，当n ∈N ∗时(12)n 的取值范围为0<a ≤12， 故当a >12时，必有“不等式(12)n <a 对一切n ∈N ∗恒成立”，而要使不等式(12)n <a 对一切n ∈N ∗恒成立”，只需a 大于(12)n 的最大值即可，即a >12 故“a >12”是“不等式(12)n <a 对一切n ∈N ∗恒成立”的充要条件． 故选B选项①“0<a ≤12”应是“存在n ∈N ∗，使得(12)n =a 成立”的充要条件；选项②当存在n ∈N ∗，使得(12)n <a 成立时，a 只需大于(12)n 当n ∈N ∗，时的最小取值即可，可得a >0；选项③由充要条件的证明方法可得．本题考查命题真假的判断与应用，涉及指数函数和恒成立问题，属基础题．5.【答案】(1−25318)【解析】解：由题意，方程组的增广矩阵为其系数及常数项构成的矩阵 故方程组{x −2y −5=03x +y =8的增广矩阵是(1−25318)．故答案为：(1−25318)．理解方程增广矩阵的涵义，即可由二元线性方程组，写出增广矩阵．本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．6.【答案】−1【解析】解：n →∞lim[1−n 22+n 2+(34)n ] =n →∞lim1−n 22+n 2+n →∞lim(34)n =n →∞lim1n 2−12n 2+1+0=−1． 先把n →∞lim[1−n 22+n 2+(34)n]等价转化为n →∞lim 1−n 22+n 2+n →∞lim(34)n，进而得到n →∞lim 1n 2−12n2+1+0，由此能求出基结果．本题考查极限的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意极限运算法则的合理运用．7.【答案】π3【解析】解：设a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ则∵a ⃗ ⋅(b ⃗ −a ⃗ )=2即a ⃗ ⋅b ⃗ −a ⃗ 2= 2∵|a ⃗ |=1，a ⃗ ⋅b ⃗ −1 = 2 ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =3∴cosθ=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |=36=12∵θ∈[0,π] ∴θ=π3故答案为：π3据题意a ⃗ ⋅b ⃗ −a ⃗ 2= 2可得a ⃗ ⋅b ⃗ =3，∴cosθ=a ⃗ ⋅b ⃗|a ⃗ ||b⃗ |=36=12进一步利用向量夹角的范围求出夹角．解决向量的夹角问题，一般利用向量的数量积公式进行解决．但要注意向量夹角的范围．8.【答案】5【解析】解：∣∣∣∣132−1−11014∣∣∣∣=−4+0−2−0+12−1=5，故答案为：5．根据行列式展开公式直接代入． 本题考查行列式的展开，属于基础题．9.【答案】1.9【解析】解：设平均每年的增长率为x%， 故1000×(1+x%)5=1100， 解得：x =1.9． 故答案为：1.9．直接利用等比数列的通项公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：等比数列的通项公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】150【解析】解：∵a n−1−a n a n ⋅a n−1=a n −a n+1a n+1⋅a n(n ≥2)，∴1a n−1an−1=1an+1−1a n，故{1a n}为等差数列，1a 1=12，1a 2=1，故d =12，∴1a n=12+(n −1)×12=n2∴a 100=150故答案为：150． 化简等式可得1a n−1an−1=1an+1−1a n，故{1a n}为等差数列，即可求出答案．本题考查了等差数列的定义及通项公式，考查了计算能力，属于中档题．11.【答案】[0,π4]∪[3π4,π)【解析】解：∵直线l 的一个法向量n ⃗ =(cosθ,1)(θ∈R)，∴直线l 的一个方向向量为m ⃗⃗⃗ =(−1,cosθ)． 故有tanα=cosθ−1∈[−1,1]．再由0≤α<π可得0≤α≤π4，或3π4≤α<π， 所以倾斜角α的取值范围是[0,π4]∪[3π4,π)， 故答案为[0,π4]∪[3π4,π)．先求出直线l 的一个方向向量为m ⃗⃗⃗ =(−1,cosθ)，再由tanα=cosθ−1∈[−1,1]确定直线l 倾斜角α的取值范围．本题主要考查直线的法向量和方向向量，直线的倾斜角和斜率，属于中档题．12.【答案】(53,23)【解析】解：∵P n P n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−12P n−1P n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (n ∈N ∗)， =(−12)n P 0P 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12)n (OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(−12)n(1,1)．∴P 2(2−12,1−12)，P 3(2−12+(−12)2,1−12+(−12)2)，…，P n (2−12+(−12)2+⋯+(−12)n−1,1−12+(−12)2+⋯+(−12)n−1) ∴P n (2+−12[1−(−12)n−1]1+12,1+−12[1−(−12)n−1]1+12,)，∵点P n 无限趋近于点M ，∴点M 的坐标为(53,23) 故答案为(53,23).由题设条件知P n P n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−12P n−1P n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12)n (1,1).再由n →∞lim (−12)n (1,1)=(1,1)能得到M 点的坐标．本题考查数列的极限和应用，解题时要注意向量的坐标运算．同时考查了运算能力和分析归纳推理能力，属中档题题．13.【答案】[1−2√2,3]【解析】解：∵集合M ={(x,y)|y =x +b}，N ={(x,y)|y =3−√4x −x 2}， M ∩N ≠⌀，∴直线y =x +b 与半圆(x −2)2+(y −3)2=4(1≤y ≤3)有交点， 半圆(x −2)2+(y −3)2=4(1≤y ≤3)表示：圆心在(2,3)，半径为2的圆的下半部分， y =x +b 表示斜率为1的平行线， 其中b 是直线在y 轴上的截距，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即圆心(2,3)到直线y =x +b 的距离d =|2−3+b|√2=2，解得b =1−2√2或b =1+2√2(舍)， 由图知b 的取值范围是[1−2√2,3]． ∴实数b 的取值范围是[1−2√2,3]． 故答案为：[1−2√2,3]．由已知得直线y =x +b 与圆(x −2)2+(y −3)2=4(1≤y ≤3)有交点，由此能求出实数b 的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，直线与圆的位置关系，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．14.【答案】√72−1【解析】解：∵y =g(x)=√−x 2+4x −3， ∴y 2+(x −2)2=1(y ≥0)，设圆心P(2,0)，M(x,y)为f(x)=√x 上任意一点，则|MP|2=(x −2)2+y 2=(x −2)2+x =(x −32)2+74≥74， ∴|MP|min =√72， ∴f(x)=√x 和g(x)=√−x 2+4x −3之间的距离是|MN|=√72−1．故答案为：√72−1．依题意，可将g(x)=√−x 2+4x −3变形，得到其轨迹是以(2,0)为圆心，1为半径的上半圆，从而可求得函数f(x)=√x 和g(x)=√−x 2+4x −3之间的距离．本题考查两点间的距离公式，着重考查转化思想与数形结合思想的综合运用，考查抽象思维能力与创新能力的应用，属于难题．15.【答案】9【解析】解：∵a n =log n+1(n +2)=lg(n+2)lg(n+1)， ∴a 1a 2a 3⋯a k =lg3lg2⋅lg4lg3⋅lg5lg4⋅…⋅lg(k+2)lg(k+1)=lg(k+2)lg2=log 2(k +2)，令m =log 2(k +2)，则k =2m −2，其中m ∈Z ， ∵k ∈(1,2018)，∴1<2m−2<2018，∴1<m<11，又∵m∈Z，一个m对应一个k，∴满足条件的k共有9个．故答案为：9．由对数的运算性质和换底公式可得a1a2a3⋯a k=log2(k+2)，所以k=2m−2，其中m∈Z，再由k的范围即可求出m的范围，进而得到整数m的个数，即为k的个数．本题主要考查了对数的运算性质，熟记对数的运算法则，以及换底公式是本题的解题关键，属于中档题．16.【答案】3π4【解析】解：∵a⃗+2b⃗ +3c⃗=0⃗，∴a⃗=−2b⃗ −3c⃗，代入a⃗⋅b⃗ =b⃗ ⋅c⃗，得(−2b⃗ −3c⃗ )⋅b⃗ =b⃗ ⋅c⃗，即|b⃗ |=√−2b⃗ ⋅c⃗，再代入b⃗ ⋅c⃗=c⃗⋅a⃗，b⃗ ⋅c⃗=c⃗⋅(−2b⃗ −3c⃗ )，即|c⃗|=√−b⃗ ⋅c⃗，∴cos<b⃗ ，c⃗>=b⃗⋅c⃗|b⃗|⋅|c⃗ |=−√22，∴b⃗ 与c⃗的夹角为3π4，故答案为：3π4．由a⃗+2b⃗ +3c⃗=0⃗，得到a⃗=−2b⃗ −3c⃗，结合a⃗⋅b⃗ =b⃗ ⋅c⃗=c⃗⋅a⃗，得到|b⃗ |=√−2b⃗ ⋅c⃗，|c⃗|=√−b⃗ ⋅c⃗，然后代入数量积求夹角公式求解．本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，是中档题．17.【答案】解：(1)因为m⃗⃗⃗ ⊥n⃗,所以m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=0，(2分)得a2x−a2=0，即a2x=a2.(4分)所以2x=2，即x=1，∴当x=1时，m⃗⃗⃗ ⊥n⃗ .(6分)(2)∵|m⃗⃗⃗ +n⃗|<|m⃗⃗⃗ −n⃗|，∴(m⃗⃗⃗ +n⃗ )2<(m⃗⃗⃗ −n⃗ )2，∴m⃗⃗⃗ ⋅n⃗<0．所以a2x−a2<0，即a2x<a2.(10分)当0<a<1时，x>1，当a>1时，x<1．综上，当0<a<1时，不等式的解集为(1,+∞)；当a >1时，不等式的解集为(−∞,1).(14分)【解析】(1)利用向量垂直的充要条件列出方程，解方程求出x 的值．(2)利用向量模的平方等于向量的平方，将已知不等式平方展开，得到指数不等式；讨论底数与1的大小；利用指数函数的单调性求出解集．本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的性质：模的平方等于向量的平方、考查指数函数的单调性与底数与1的大小有关．18.【答案】解：(1)∵直线l 经过点P(−2,√3)，且与直线l n ：x −√3y +2=0的夹角为n3， 直线l n 的斜率为√33，倾斜角为π6，故直线l 倾斜角为π2或5π6，直线l 的斜率不存在或斜率为−√33，故直线l 的方程为x =−2，或y −√3=−√33(x +2)，即直线l 的方程为x +2=0，或√3x −3y −√3=0．(2)已知△ABC 中顶点A(4,−1)，∠B ，∠C 的平分线方程分别为x −y −1=0和x −1=0． 则点A(4,−1)关于∠B 平分线方程x −y −1=0 的对称点为M( 0,3)， 点A(4,−1)关于∠C 的平分线方程x =1的对称点N(−2,1)， M 、N 再直线BC 上，故BC 边所在的直线方程为y+11+1=x−4−2−4，即x +3y +2=0．【解析】(1)先求得已知直线的倾斜角，可得要求直线的倾斜角，从而得到要求直线的斜率，再用点斜式求出直线的方程．(2)先求出A 关于两条角平分线的的对称点，再利用角平分线的性质，用两点式求得BC 边所在的直线方程．本题主要考查直线的斜率，一条直线到另一条直线的夹角公式，用点斜式，两点式求直线的方程，角平分线的性质，属于中档题．19.【答案】证明：(1)∵直线l ：(2m +1)x +(m +1)y −7m −4=0(m ∈R)，∴(x +y −4)+m(2x +y −7)=0， ∵m ∈R ，∴{2x +y −7=0x +y −4=0，解得x =3，y =1，即l 恒过定点M(3,1)，∵圆心C(0,0)，|MC|=√10<5，∴点M 在圆C 内，即直线l 恒与圆C 相交于两点． (2)设d 为圆心C 到直线了的距离，当直线l 斜率不存在时，即l 垂直于x 轴，A(3,4)，B(3,−4)， 满足|AB|=8，此时直线l ：x =3，当直线l 的斜率存在时，设y −1=k(x −3)，即kx −y +1−3k =0， ∵|AB|=8， ∴d =√r 2−(AB|2)2=√25−16=3，∴d =√1+k 2，解得k =−43， 故直线l 的方程为y −1=−43(x −3)，即4x +3y −15=0， 综上所述，直线l 的方程为x =3或4x +3y −15=0．【解析】(1)先求出直线l 的顶点M ，再根据|MC|小于半径，即M 在圆内，即可求证． (2)根据已知条件，结合垂径定理和点到直线的距离公式，即可求解．本题主要考查了直线与圆的位置关系，需要学生较强的综合能力，属于中档题．20.【答案】证明：(1)设数列{a n }的公差为d ，由已知得b n =(12) a n ，∴b n+1b n=(12)a n+1−a n=(12)d，(常数)， ∴数列{b n }是等比数列．解：(2)若a n =n ，则b n =(12)n ， ∴P n (n,(12)n )，P n+1(n+1,(12)n+1)，k P n Pn+1=(12)n+1−(12)n (n+1)−n=−(12)n+1，直线P n P n+1的方程为y −(12)n =−(12)n+1(x −n)， 它与x 轴，y 轴分别交于点A n (n +2,0)，B n (0,n+22n+1)， ∴c n =12⋅|OA n |⋅|OB n |=(n+2)22n+2，c n −c n+1=(n+2)22n+2−(n+3)22n+3=n 2+2n−12n+3>0，∴数列{c n }随n 增大而减小， ∴c n ≤c 1=98．∴最小的实数t 的值为98，使c n ≤t 对一切正整数n 恒成立．(3)2016不是数列{S n}中的某一项，证明如下：∵a n=n，∴数列{d n}中，从第一项a1开始到a k为止，(含a k项)的所有项的和是：(1+2+⋯k)+(31+32+⋯+3k−1)=k(k+1)2+3k−32，当k=7时，其和为：28+37−32=1120<2008，而当k=8时，其和是36+38−32=3315>2008，∵2008−1120=888=296×3，是3的倍数，∴存在自然数m，使S m=2008．此时，m=7+(1+3+32+33+34+35)+296=667．将2016代入，可知2016不是其中的一项．【解析】(1)设数列{a n}的公差为d，推导出b n+1b n =(12)d，(常数)，由此能证明数列{b n}是等比数列．(2)若a n=n，则b n=(12)n，推导出c n−c n+1>0，从而数列{c n}随n增大而减小，进而c n≤c1=98.由此能求出最小的实数t的值为98，使c n≤t对一切正整数n恒成立．(3)a n=n，数列{d n}中，从第一项a1开始到a k为止，(含a k项)的所有项的和是k(k+1)2+3k−32，从而得到存在自然数m，使S m=2008.由此能推导出2016不是其中的一项．本题考查等比数列的证明，考查满足条件的实数的最小值的求法，考查2016是否是数列中的某一项的探究与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列性质、作差法、数列求和等知识点的合理运用．21.【答案】解：(1)由题意可得：a k=8，因此数列a1，a2，…，a m为1，2，3，4，5，6，7，8，4，2共10个数，此时m=10，S m=42．(2)∵a1，a2，a3，…，a k−1，a k(k<m,k∈N∗)是首项为3，公差为3的等差数列，∴a k=3k．而a1，a m，a m−1，…，a k+1，a k是公比为q的等比数列，∴a k=3m+2−k，因此3k=3m+2−k，∴k⋅3k=3m+1，要使m最大，则k必须最大．又k<m<2015，故k的最大值为36，可得36⋅3729=3m+1，解得m的最大值是734．(3)由a1，a2，a3，…，a k−1，a k(k<m,k∈N∗)是公差为d的等差数列，可得a k=a1+ (k−1)d．而a1，a m，a m−1，…，a k+1，a k是公比为2的等比数列，∴a k=a1⋅2m+1−k．故a1+(k−1)d=a1⋅2m+1−k，∴(k−1)d=a1(2m+1−k−1)．又a1+a2+⋯+a k−1+a k=3(a k+1+a k+2+⋯+a m−1+a m)，a m=2a1，∴ka1+12k(k−1)d=3×2a1×1−2m−k1−2，则ka1+12k[a1(2m+1−k−1)]=6(2m−k−1)，则12k⋅2m+1−k+12k=6(2m−k−1)，即k⋅2m+1−k+k=6×2m+1−k−12，k≠6，则2m+1−k=k+126−k =−1+186−k，∴k<6，代入验证可得：当k=4时，上式等式成立，此时m=6.综上可得：当且仅当m=6时，存在k=4满足等式．【解析】(1)由题意可得：a k=8，因此数列a1，a2，…，a m为1，2，3，4，5，6，7，8，4，2共10个数，即可得出．(2)由于a1，a2，a3，…，a k−1，a k(k<m,k∈N∗)是首项为3，公差为3的等差数列，可得a k=3k.而a1，a m，a m−1，…，a k+1，a k是公比为q的等比数列，可得a k=3m+2−k，因此3k=3m+2−k，要使m最大，则k必须最大．又k<m<2015，即可得出；(3)由a1，a2，a3，…，a k−1，a k(k<m,k∈N∗)是公差为d的等差数列，可得a k=a1+ (k−1)d.而a1，a m，a m−1，…，a k+1，a k是公比为2的等比数列，可得a k=a1⋅2m+1−k.故a1+(k−1)d=a1⋅2m+1−k，(k−1)d=a1(2m+1−k−1).又a1+a2+⋯+a k−1+a k=3(a k+1+a k+2+⋯+a m−1+a m)，a m=2a1，化简整理即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2018-2019学年上海市吴淞中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市吴淞中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知22110a b +≠，22220a b +≠，则“11220a b a b =”是“直线1111:0l a x b y c ++=与 2222:0l a x b y c ++=平行”的（ ）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要 【答案】B【解析】22110a b +≠，22220a b +≠，则“11220a b a b =”化为12210a b a b -=，即1212a ab b -=- 直线1111:0l a x b y c ++=与2222:0l a x b y c ++=平行”可推出：1212a a b b -=-，1212c cb b -≠- 22110a b ∴+≠，22220a b +≠，则“11220a b a b =”是“直线1111:0l a x b y c ++=与2222:0l a x b y c ++=平行”的必要不充分条件故选B2．在平面内,设A 、B 为两个不同的定点,动点P 满足:2PA PB k ⋅=(k 为实常数)，则动点P 的轨迹为（ ） A.圆 B.椭圆C.双曲线D.不能确定【答案】A【解析】以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，化简得到2222x y a k +=+，得到答案.【详解】设2AB a =， 以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系 如图所示：则(,0),(,0)A a B a - 设(,)P x y2222(,)(,)PA PB a x y a x y x y a k ⋅=-----=+-=即2222x y a k +=+，表示圆故选：A【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生的计算能力. 3．已知S n 是等差数列{}()*N n a n ∈的前n 项和，且675SS S >>，有下列四个命题，假命题的是（ ） A.公差0d <B.在所有S 0n <中，13S 最大C.满足S 0n >的n 的个数有11个D.67a a >【答案】C【解析】根据题设条件可判断数列是递减数列，这样可判断A 是否正确；根据6S 最大，可判断数列从第七项开始变为负的，可判断D 的正确性：利用等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质，可判断12S 、13S 的符号，这样就可判断B 、C 是否正确． 【详解】等差数列{}n a 中，6S 最大，且6751S S S 0a >>∴>，0d <，∴A 正确；675S S S >>，60a ∴>，70a <，∴D 正确；1137713S 1313022a a a a ++=⨯=⨯<, 7567S S 0a a -=+>，67a a >-，67112121212022a a a aS ++=⨯=⨯>；S n ∴的值当6n ≤递增，当7n ≥递减，前12项和为正，当13n =时为负．故B 正确；满足0n S >的n 的个数有12个，故C 错误.故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的最值.在等差数列中,S n 存在最大值的条件是：10a >，0d <;S n 存在最小值的条件是：10a <，0d >．4．在给出的下列命题中，是假命题的是（ ） A.设O A B C 、、、是同一平面上的四个不同的点，若(1)(R)OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈，则点、、A B C 必共线B.若向量,a b 是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为(R)c a b λμμλ=+∈、，且表示方法是唯一的C.已知平面向量OA OB OC 、、满足||||(0)OA OB OC r r ==>|=|，且0OA OB OC ++=，则ABC ∆是等边三角形D.在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量a b c d 、、、，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直 【答案】D【解析】由()()1OA m OB m OC OA OC m OB OC CA mCB =⋅+-⋅⇒-=⋅-⇒=⋅ 则点A B C 、、必共线，故A 正确； 由平面向量基本定理可知B 正确；由 (0)OA OB OC r r ===>可知O 为ABC ∆的外心，由0OA OB OC ++=可知O 为ABC ∆的重心，故O 为ABC ∆的中心，即ABC ∆是等边三角形，故C 正确；故选D.二、填空题 5．计算:21ii=+_______(i 为虚数单位). 【答案】1i +【解析】直接利用复数的除法运算，化简得到答案. 【详解】22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i -+===+++-故答案为：1i + 【点睛】本题考查了复数的计算，属于基础题型.6．经过抛物线24y x =的焦点,且以()11d =，为方向向量的直线的方程是_______.【答案】1y x =-【解析】计算焦点和斜率，由点斜式可得到答案. 【详解】抛物线24y x =的焦点为(1,0)()11d =，为方向向量的直线1k =直线方程为：1y x =- 故答案为：1y x =- 【点睛】本题考查了直线方程的计算，意在考查学生的计算能力.7．在等差数列{}n a 中,5632a a ==-，，则348a a a ++⋯+=________. 【答案】3【解析】利用等差数列的性质得到答案. 【详解】34838756645()()()3()3a a a a a a a a a a a +++++⋯+=+++==故答案为：3 【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于基础题型.8．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为_____________【答案】x 2＋y 2－4x ＝0.【解析】设圆心坐标为(,0)(0)a a >,则圆方程为:(x −a )2+y 2=4,根据点到直线的距离公式,得2d R ===,解得a =2或143a =-(舍去),所以圆C 的方程为:(x −2)2+y 2=4,整理为一般方程为:2240x y x +-=.9．在等比数列{}n a 中，若3571a a a =，则19lg lg a a +的值等于_________. 【答案】0【解析】直接利用等比数列的性质得到答案. 【详解】33575511a a a a a ==∴=()219195lg lg lg lg lg10a a a a a =⋅+===故答案为：0 【点睛】本题考查了数列的计算，利用等比数列的性质可以化简运算，是解题的关键. 10．已知双曲线C 经过点(1,1),它的一条渐近线方程为y =，则双曲线C 的标准方程是___.【答案】221223x y -= 【解析】根据渐近线方程设双曲线方程为：223y x λ-=，代入点(1,1)解得答案.【详解】双曲线一条渐近线方程为y =设双曲线方程为：223y x λ-= 代入点(1,1)解得23λ= ，即22233y x -=双曲线C 的标准方程是：221223x y -= 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，根据渐近线设223y x λ-=可以简化运算，是解题的关键.11．方程0x y +=所表示的曲线与直线y x b =+有交点,则实数b 的取值范围是________.【答案】2,⎡⎣【解析】化简式子得到224(0,0)x y x y +=≤≥，根据图像计算临界情况的b ，计算得到答案. 【详解】0x y +=则0x =且0y =则224(0,0)x y x y +=≤≥ 如图所示：当直线y x b =+与圆相切时：2(0)d b b ==>∴=当直线y x b =+过端点时：2b =综上所述：b ⎡∈⎣故答案为：2,⎡⎣【点睛】本题考查了直线的圆的位置关系，化简式子得到224(0,0)x y x y +=≤≥是解题的关键.12．已知向量()1222n a a b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，，，，若()*1n a a b n N +=⋅∈，且11a ，=则n a =_______.【答案】21n -【解析】根据向量乘法得到121n n a a b a +=⋅=+，故数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，计算得到答案. 【详解】向量()1222n a a b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，，，，若121n n a a b a +=⋅=+，()1121n n a a ++=+则数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列1221n n n n a a +=∴=-故答案为：21n - 【点睛】本题考查了数列的通项公式，变形得到()1121n n a a ++=+是解题的关键.13．抛物线()240y mx m =>的焦点为F ,点P 为抛物线上的动点,又点A ()0m -，，则PFPA的最小值为_________.【解析】根据题意得到cos (0)2PF PD PAF PAF PA PA π==∠≤∠<，转化为求tan PAF ∠的最大值，利用均值不等式计算得到答案.【详解】如图所示：过点P 作PD DA ⊥于D ，则PF PD = 根据对称性，不妨设(,)P x y 在第一象限，cos (0)2PF PD PAF PAF PA PA π==∠≤∠< cos PAF ∠的最小值等价于求tan PAF ∠得最大值21tan 144y y PAF y m y x m m m y m∠===≤+++，故cos PAF ∠≥当2x my m =⎧⎨=⎩时，等号成立【点睛】本题考查了抛物线中的最值问题，等价转化思想是解题的关键. 14．若{}n a 为等比数列，0n a >，且2018a =则2017201912a a +的最小值为________ 【答案】4 【解析】{}n a 为等比数列，0n a >，∴公比0q >20182017a a q=，201720181q a a == 20192018a qa =，2019201811a qa ==20172019124a a q∴+=+≥=q=，即q = 2017201912a a ∴+的最小值为415．曲线C:)222x y x y ++=+，对曲线C 所围封闭图形的面积为________.【答案】323π+ 【解析】先计算图形在第一象限内的面积，再根据对称性计算得到答案. 【详解】)222x y x y ++=+当0,0x y ≥≥时，)22222((4x y x y x y ++=+∴-+-=在第一象限内的面积为圆面积减去两个弓形的面积.在ABC ∆中：2CA CB ==，AB，则2AB =，ABC ∆为等边三角形。
上海市行知中学2018-2019学年上学期高二期中数学试卷附答案解析
上海市行知中学2018-2019学年上学期第一次月考高二数学试卷一、单选题1．用数学归纳法证明等式1+2+3+⋯+(n +3)=(n+3)(n+4)2(n ∈N ∗)时，第一步验证n =1时，左边应取的项是( ) A ．1 B ．1+2 C ．1+2+3 D ．1+2+3+42．有命题：（1）三阶行列式的任一元素的代数余子式的值和其余子式的值互为相反数；（2）三阶行列式可以按其任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和；（3）如果将三阶行列式的某一列的元素与另一列的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零，其中所有正确命题的序号是（ ）． A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）3．当向量(2,2)a c ==-v v，(1,0)b =r 时，执行如图所示的程序框图，输出的i 值为（ ）．A ．5B ．4C ．3D ．24．已知数列{}n a 中，12a =， 点列(1,2,)n P n =L 在ABC △内部，且n P AB △与n P AC △的面积比为2:1，若对n *∈N 都存在数列{}n b 满足11(32)02n n n n n n b P A a P B a P C ++++=u u u r u u u r u u u r r，则4a 的值为（ ）．A ．54B ．68C ．76D ．80二、填空题5．已知向量(4,1),(1,5)OA OB ==u u u r u u u r ，则与向量AB u u u r同向的单位向量是________．6．若三点(2,2),(,0),(0,4)A B a C ，若存在实数λ，使得AB BC λ=u u u r u u u r，则实数a =________．7．已知向量()()2,1,1,1m n =-=r r .若()()2m n am n -⊥+r r r r,则实数a =_______. 8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则12lim (32)nn n nS n S →+∞+=+9．已知数列{}n a 满足10a =，1)n a n *+=∈N ，则10a 的值为________．10．求值：1123(12)2114⎡--⎤⎛⎫⎛⎫⋅+⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎣⎦________． 11．已知||||2a b ==r r，a r 与b r的夹角为3π，则a b +r r 在a r 上的投影为________． 12．各项都为正数的无穷等比数列{}n a ，满足24,a m a t ==，且x m y t=⎧⎨=⎩是增广矩阵为3122012-⎛⎫⎪⎝⎭的线性方程组1112112222a x a y c a x a y c +=⎧⎨+=⎩的解，则无穷等比数列{}n a 各项和的数值是________．13．函数2sin(2)y x =的图像按a r 平移后得到的图像解析式是2sin(2)13y x π=++，则当||a r 取得最小时，a =r________．14．已知数列{}n a 的通项公式是23()n a n n *=+∈N ，数列{}n b 满足1()n n b b a n *+=∈N 且11b a =，则数列{}n b 的通项公式为________．15．如图，在同一个平面内，向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 的模分别为1，OA u u u r 与OC u u ur 的夹角为α，且tan 7α=，OA u u u r 与OB uuu r的夹角为135°.若(),OC mOA nOB m n =+∈R uu u r uu r uu u r ，则m n +=__________．16．已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2132n n S S n n -+=≥若对任意1,n n n N a a *+∈<恒成立，则a 的取值范围是_________.三、解答题17．已知(1,2),(2,1),(3,2),(2,3)A B C D --． （1）求23AD BD BC +-u u u r u u u r u u u r；（2）若非零向量AM u u u u r满足：AM BC ⊥u u u u r u u u r且||AM =u u u u r ，求点M 的坐标．18．用矩阵行列式的知识解关于x ，y 的方程组()12mx y m m R x my m +=+⎧∈⎨+=⎩.19．如图，ABCD Y 中，234,3,,,,34AB AD AB a AD b BM BC AN AB ======u u u r r u u u r r ．（1）试用,a b r r来表示,DN AM u u u r u u u u r ；（2）若60DAB ∠=︒，求AD DN DN NA ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r的值；（3）若0AD DB ⋅=u u u r u u u r ，求DN AB ⋅u u u r u u u r．20．已知数列{}n a 和{}n b 满足：111a b ==，且124,2,4a a a 成等比数列，2344,2,b b b 成等差数列．（1）行列式21111213234234()111n n n a a a M M M n *++-=-++∈N ，且1113M M =，求证：数列{}n a 是等差数列；（2）在（1）的条件下，若{}n a 不是常数列，{}n b 是等比数列， ①求{}n a 和{}n b 的通项公式；②设,m n 是正整数，若存在正整数,,()i j k i j k <<，使得,,m j m n i n k a b a a b a b ⋅⋅⋅⋅成等差数列，求m n +的最小值．21．设函数()()23232kkf x x k x k =-++⋅，x ∈R .（1）若()10f ≤，求实数k 的取值范围；（2）若k 为正整数，设()0f x ≤的解集为[]212,k k a a -，求1234a a a a +++及数列{}n a 的前2n 项和2n S ； （3）对于（2）中的数列{}n a ，设()2121nn n nb a a --=，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最大值.解析上海市行知中学2018-2019学年上学期第一次月考高二数学试卷一、单选题1．用数学归纳法证明等式1+2+3+⋯+(n +3)=(n+3)(n+4)2(n ∈N ∗)时，第一步验证n =1时，左边应取的项是( ) A ．1 B ．1+2C ．1+2+3D ．1+2+3+4【答案】D【解析】由数学归纳法的证明步骤可知：当n =1时，等式的左边是1+2+3+1+3=1+2+3+4，应选答案D 。
上海市吴淞中学高二上学期期中考试数学试题.pdf
Ⅰ． Teaching Aims and Demands 1． Knowledge Objects （1） Target Language By the time she got to class, the teacher had already started teaching． When she got to school, she realized she had left her backpack at home． When I got home, I realized I had left my keys in the backpack． （2）The Three Forms of the verbs． 2． Ability Objects （1） Train the students’ listening skill． （2） Train the students’ writing skill with the target language． （3） Train the students’ speaking skill． （4） Train the students to use the three forms of the verbs． 3． Moral Object Try to be a careful person and do everything carefully． Remember not to be as careless as Tina． Ⅱ． Teaching Key Points 1． Listening practice with the target language． 2． Use the correct verb forms to fill in the blanks by listening． 3． Make sentences using the Past Perfect Tense． 4． The three forms of the verbs． Ⅲ． Teaching Difficult Points 1． Write an ending for the story in Activity 2c． 2． The three verb forms in Grammar Focus． Ⅳ． Teaching Methods 1． Listening 2． Pairwork Ⅴ． Teaching Aids A tape recorder Ⅵ． Teaching Procedures Step I Revision 1． Revise what happened to Tina in the morning by asking one or two students to tell the story on page 68． They may say like this: Tina had a bad morning． First of all she overslept． By the time she got up, her brother had already gotten in the shower． And by the time she went outside, the bus had already left． She had to run all the way to school．When she got to school, she realized she had left her backpack at home． All these made her look stressed out． After that, ask the whole class to work in pairs, telling the story and helping each other in turns． Remind them to use the correct verb forms． 2． Ask students to check each other’s homework in pairs, pointing out all the mistakes they might have made． 3． Revise the Past Perfect Tense by asking the children when to use it and what its verb structure is． Step Ⅱ 2a This activity provides guided listening practice using the target language． We have known Tina had a bad morning． But something worse happened to Tina later． Let’s go to Activity 2a on page 69 and see what happened to Tina later in the morning． Read the instructions to the class． Be sure that all of them know what to do． Call the students’ attention to the four pictures． Get them to guess the correct order of the pictures first． The first one is given as a sample． Ask one or two children to tell their stories bydescribing the pictures according to their own order Then, we will hear Tina talking about what happened to her after she got to school． We can see there is a small box in each picture． Please write a number from 1 to 4 in each box to show each picture’s correct order． The first one has been given as a sample． Get the children to get ready to listen to Tina continue her story． Play the recording the first time, students only listen． Play the recording again and ask the children to number each picture． Check the answers with the class and see who have ever got the correct answers without listening． Answers The pictures should be numbered in this order: 3 1 2 4 Tapescript Boy: So then what did you do, Tina? Girl: Well, I ran home to get my backpack． But when I got home, I realized I had left my keys in the backpack． Boy: You’re kidding! Girl: So I ran back to school without my keys or my backpack． And by the time I got back to school, the bell had rung． Boy: Oh, no! Girl: And by the time I walked into class, the teacher had started teaching already． She asked for our homework, but of course I didn’t have it． Step Ⅲ 2b This activity gives students practice in understanding and writing the target language． Ask the students to read the instructions together． Point out the blanks in the sentences and the verbs in the brackets． This activity has two parts． First let’s fill in the blanks with the correct verb forms． We can see some verbs in the brackets． They are the base forms of the given verbs． For example, get and got, Get is the base form of the verb． Your job is to write the correct forms of these verbs in the blanks．Look at number one． A sample answer is given． Let the students fill in the blanks with the correct forms individually． Move around the classroom collecting the common mistakes they may make． After they all finish writing, tell them to get ready to listen to the conversation and check their answers． I will play the recording again． Please check your answers and correct any mistakes you might have made while listening． Play the recording． Students listen and check their answers． Correct the answers by asking seven different students to say theirs to the class． Answers 1． got home 2． realized 3． had left 4． got 5． had rung 6． walked 7． had started Step Ⅳ 2c This activity gives students oral practice with the target language． Ask the whole class to read the instructions together． We have a new task now． We know Tina was late for class． What do you think happened after Tina was late for class? Work with a partner． Make up an ending for the story by continuing it． The beginning has been given． Get students to discuss in pairs． Complete the ending． Make sure they are talking in English．Move around the classroom, offering language support if needed． After ten minutes, ask students to stop discussing． Get some pairs of students to tell the class how they think the story ended And let thewhole class decide whose ending is the best． Tell each pair to write down their ending, or do it after class if time is not enough． Sample ending of the story The teacher looked at Tina and said, " Why are you late and where is your homework, Tina?" "I had a bad morning today． " Tina said sadly． "I’m sorry to hear that, but may I know what happened? said the teacher． Then Tina told the teacher and the whole class her story． All her classmates laughed loudly after it． Some of them said, "Poor Tina!" Bob, one of Tina’s classmates, stood up and said, "Well, Tina, I’d love to help you． Why not let me keep the keys for you? I would put your keys in my backpack．" Step Ⅴ Grammar Focus This activity introduces the target language of this unit． Call students’ attention to the sentences on the left． Ask four different students to read the four sentences and point out where had plus a past participle is used． Write the sentences on the blackboard． Draw a simple time line for each sentence to help students to understand the grammar focus． For example: Then get the students to look at the box． Teach students to read the three forms of each verbs first． Then ask several students to read the verbs to the class to see if they can read． Write the verbs on the blackboard． Ask the students to make sentences correctly using each form of the verbs in the box． For example: I usually get up at 6:30． I got up at 5:30 yesterday． By the time I got up, my sister had already gotten in the shower． Tell the students when we talk about the first thing that happened． We use had plus a past participle （had gotten） and when we talk about the second thing that happened, we use the simple past tense （got up）． Ask some to read their sentences to the class． Ask the students to make their own lists of other verbs used in this unit． Tell them to put the lists in their notebooks using a three-column format like the one in the Look! section． The lists have to include these verbs; leave, walk, start, oversleep, ring, be． Check the answers． Some sample sentences with the three verb forms 1． I got up at 6:30 every day． I got up at 6:00 yesterday． By the time I got up, my sister had already gotten in the shower． 2． We usually go to school at 7:30． We went to school at 8:30 yesterday． By the time we got to the classroom, the students had gone to the chemistry lab． 3． My father leaves home at 8:30． He left home at 9:30 this morning． When my father went outside, the bus had left． 4． The teacher often starts teaching at 9:00． The teacher started teaching at 8:30 the day before yesterday． When Tina got to class, the teacher had already started teaching． The three forms of the verbs used in this unit: Leave left left Walk walked walked start started started oversleep overslept overslept ring rang rung be was/were been Step Ⅵ Summary Say, In this class, we’ve done much listening and writing practice with target language． We’ve also done some oral practice in pairs． And we’ve discussed the Grammar Focus of this unit． Step Ⅶ Homework 1． Write down the ending of Tina’s story． 2． Make sentences using each form of the verbs below: leave, walk, start, oversleep, ring, be 3． Review the Grammar Focus． Step Ⅷ Blackboard Design Unit 10 By the time I got outside, the bus had already left． Section A The Second Period Target Language: 1． By the time she got up, her brother had already gone into the bathroom． 2． By the time she went outside, the bus had already gone． 3． By the time she got to class, the teacher had already started teaching． 4． When she got to school, she realized she had left her backpack at home． Verbs: Get got gotten Go went gone leave left left start started started 初中学习网，资料共分享！我们负责传递知识！。
上海市吴淞中学高二数学上学期期中试题沪教版
上海市吴淞中学2013-2014学年高二数学上学期期中试题沪教版一、填空题：1．132111014--的值为 ． 2．如右图，该程序运行后输出的结果为 ．3．若279315A ⎛⎫=⎪--⎝⎭，314026B -⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪-⎝⎭，6411103C -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则()A B C += ．4．若关于x,y,z 的线性方程组增广矩阵变换为1002003020m n -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭，方程组的解为241x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则m n ⋅= ．5．若||1||2||2a b a b ==-=r r r r ，，则||a b +=r r． 6．lim(12)nn x x →∞-如果存在，那么的取值范围是 ．7．已知向量(cos sin )a θθ=r，，向量(31)b =-r ，，则2a b -r r 的最大值是 ． 8．设(,1)A a ，(2,)B b ，(4,5)C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA u u u r 与OB uuu r 在OC u u u r方向上的投影相同，则45a b -= ．9．O 为ABC ∆中线AM 上的一个动点，若4AM =，则()OA OB OC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值为 ．10．设()f x =221+x.利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得 (5)(4)(0)(5)(6)f f f f f -+-+++++……的值为 ．11．已知||2||0a b =≠r r ，且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=r r r 有实根，则a r 与b r 的夹角的取值范围是 ．12．已知数列{a n }的通项公式是21232n a n n =-+-，其前n 项和是S n ，则对任意的n >m （其中n 、m ∈N *），n m S S -的最大值是 ．13．若数列{a n }、{b n }的通项公式分别是2007(1)n n a a +=-⋅，nb n n 2008)1(2+-+=，且n n a b <，对任意*n N ∈恒成立，则常数a 的取值范围是 ．14．设正数数列{a n }的前n 项之和是n b ，数列{b n }前n 项之积是n c ，且1n n b c +=，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1中最接近108的项是第 项． 二、选择题：15．若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为正常数，n *∈N ），则称{}n a 为“等方比数列”．甲：数列{}n a 是等方比数列； 乙：数列{}n a 是等比数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件16．用数学归纳法证明“(1)(2)()2(21)nn n n n n +++=-g g ……13?…”，从“1k k +到”左端需增乘的代数式为（ ）A ．21k +B ．2(21)k +C ．211k k ++ D ．231k k ++ 17．已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若OC a OA a OB 2001+=，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200 =（ ）A ．201B ．200C ． 101D ．10018．设{}n a 是集合{22|0}s ts t s t Z +≤<∈，且，中所有的数从小到大排成的数列，则50a 的值是（ ）A ．1024B ．1032C ．1040D ．1048三、解答题：19．等差数列{}n a 中，前m 项的和为77（m 为奇数），其中偶数项的和为33，且118m a a -=，求这个数列的通项公式．20．如图所示，1OA OB ==u u u r u u u r ，OA u u u r 与OB uuu r 的夹角为0120，OC uuu r 与OA u u u r 的夹角为030，OC 5=u u u r，且OC m OA n OB =⋅+⋅u u u r u u u r u u u r ，求实数m n 、的值．21．已知向量(cos sin )a αα=r ，，(cos sin )b ββ=r，，且a r ，b r 满足关系3ka b kb +=-r r r，（k 为正整数）． （1）求将a b r rg表示为k 的函数()f k ； （2）求函数()f k 的最小值及取最小值时a b r r，的夹角θ．22．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足.1,2,2211==+=+a a kS S n n 又 （1）求k 的值； （2）求n S ； （3）是否存在正整数,,n m 使211<--+m S m S n n 成立？若存在求出这样的正整数；若不存在，说明理由．23．设**(,)()()(,)2n n N n f n n f n N n ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩为奇数为偶数， (1)(2)(3)(2)n n a f f f f =++++L *()n N ∈ （1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）写出n a 与1n a -的一个递推关系式，并求出n a 关于n 的表达式．（3）设数列{}n b 的通项为*2log (32)10()n n b a n N =--∈，前n 项和为n S 整数103是否为数列}{n n S b ⋅中的项：若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由．上海市吴淞中学2014学年第一学期高二年级数学考试卷一、填空题：1．132111014--的值为5 ． 2．如右图，该程序运行后输出的结果为45 ．3．若279315A ⎛⎫=⎪--⎝⎭，314026B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，6411103C -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则()A B C += ．111102413⎛⎫⎪-⎝⎭4．若关于x,y,z 的线性方程组增广矩阵变换为1002003020m n -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭，方程组的解为241x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则m n ⋅=24- ．5．若||1||2||2a b a b ==-=r r r r ，，则||a b +=r r6 6．lim(12)nn x x →∞-如果存在，那么的取值范围是[01)，7．已知向量(cos sin )a θθ=r，，向量(31)b =-r ，，则2a b -r r 的最大值是 4 8．设(,1)A a ，(2,)B b ，(4,5)C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA u u u r 与OB uuu r 在OC u u u r方向上的投影相同，则45a b -= 39．O 为ABC ∆中线AM 上的一个动点，若4AM =，则()OA OB OC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值为8-．10．设()f x =221+x.利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得 (5)(4)(0)(5)(6)f f f f f -+-+++++……的值为32；11．已知||2||0a b =≠r r ，且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=r r r 有实根，则a r 与b r 的夹角的取值范围是 ．],3[ππ．12．已知数列{a n }的通项公式是21232n a n n =-+-，其前n 项和是S n ，则对任意的n >m （其中n 、m ∈N *），n m S S -的最大值是 10 ．13．若数列{a n }、{b n }的通项公式分别是2007(1)n n a a +=-⋅，nb n n 2008)1(2+-+=，且n n a b <，对任意*n N ∈恒成立，则常数a 的取值范围是[)21-， ；14．设正数数列{a n }的前n 项之和是n b ，数列{b n }前n 项之积是n c ，且1n n b c +=，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1中最接近108的项是第 10 项． 二、选择题：15．若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为正常数，n *∈N ），则称{}n a 为“等方比数列”．甲：数列{}n a 是等方比数列； 乙：数列{}n a 是等比数列，则（ B ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件16．用数学归纳法证明“(1)(2)()2(21)nn n n n n +++=-g g ……13?…”，从“1k k +到”左端需增乘的代数式为（ B ）A ．21k +B ．2(21)k +C ．211k k ++ D ．231k k ++ 17．已知等差数列｛n a ｝的前n 项和为n S ，若a a 2001+=，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200 =（ D ）A ．201B ．200C ． 101D ．10018．设{}n a 是集合{22|0}s ts t s t Z +≤<∈，且，中所有的数从小到大排成的数列，则50a 的值是（C ）A ．1024B ．1032C ．1040D ．1048三、解答题：19．等差数列{}n a 中，前m 项的和为77（m 为奇数），其中偶数项的和为33，且118m a a -=，求这个数列的通项公式． 解答：323n a n =-+．20．如图所示，1OA OB ==u u u r u u u r ，OA u u u r 与OB uuu r 的夹角为0120，OC uuu r 与OA u u u r 的夹角为030，OC 5=u u u r，且OC m OA n OB =⋅+⋅u u u r u u u r u u u r ，求实数m n 、的值．解：如图所示，()0,1A ，()，，即，所以由⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∠25235C ,30sin 5,5cos30C 30COA 000 132B ⎛- ⎝⎭，()53513OC ,10-22mOA nOB m n ⎫⎛=+=+⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r 即，， 103531-22.5353223m m n n n ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩， OB OA OC 33533+=∴，10353m n ∴==21．已知向量(cos sin )a αα=r ，，(cos sin )b ββ=r，，且a r ，b r 满足关系3ka b kb +=-r r r，（k 为正实数）． （1）求将a b r rg表示为k 的函数()f k ； （2）求函数()f k 的最小值及取最小值时a b r r，的夹角θ． 解：（1）21()(0)4k f k k k+=> （2）()f k 的最小值为12，此时，3πθ=22．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足.1,2,2211==+=+a a kS S n n 又 （1）求k 的值； （2）求n S ； （3）是否存在正整数,,n m 使211<--+m S m S n n 成立？若存在求出这样的正整数；若不存在，说明理由．于是}{n a 是等比数列，公比为21，所以)211(4211])21(1[2n n n S -=---⋅=（3）不等式211<--+m S m S n n，即21)211(4)211(41<----+mmn n ，整理得6)4(22<-<m n 假设存在正整数n m ,使得上面的不等式成立，由于2n为偶数，m -4为整数，则只能是4)4(2=-m n⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=∴14,42;24,22m m n n 或 因此，存在正整数21,2,3;1,21<--====+m S m S n m n m n n 使或23．设**(,)()()(,)2n n N n f n n f n N n ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩为奇数为偶数， (1)(2)(3)(2)n n a f f f f =++++L *()n N ∈ （1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）写出n a 与1n a -的一个递推关系式，并求出n a 关于n 的表达式．（3）设数列{}n b 的通项为*2log (32)10()n n b a n N =--∈，前n 项和为n S ．整数103是否为数列}{n n S b ⋅中的项：若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由． 分析：（1）2)1()1()2()1(1=+=+=f f f f a631)2()1()3()1()4()3()2()1(12=++=+++=+++=a f f f f f f f f a 3(1)(2)(3)(8)22a f f f f =++++=L（2）)2()2()1(11--+++=n n f f f a Λ，。
2018-2019学年上海市吴淞中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市吴淞中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知22110a b +≠，22220a b +≠，则“11220a b a b =”是“直线1111:0l a x b y c ++=与 2222:0l a x b y c ++=平行”的（ ）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要 【答案】B【解析】22110a b +≠，22220a b +≠，则“11220a b a b =”化为12210a b a b -=，即1212a ab b -=- 直线1111:0l a x b y c ++=与2222:0l a x b y c ++=平行”可推出：1212a a b b -=-，1212c cb b -≠- 22110a b ∴+≠，22220a b +≠，则“11220a b a b =”是“直线1111:0l a x b y c ++=与2222:0l a x b y c ++=平行”的必要不充分条件故选B2．在平面内,设A 、B 为两个不同的定点,动点P 满足:2PA PB k ⋅=(k 为实常数)，则动点P 的轨迹为（ ） A.圆 B.椭圆C.双曲线D.不能确定【答案】A【解析】以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，化简得到2222x y a k +=+，得到答案.【详解】设2AB a =， 以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系 如图所示：则(,0),(,0)A a B a - 设(,)P x y2222(,)(,)PA PB a x y a x y x y a k ⋅=-----=+-=即2222x y a k +=+，表示圆故选：A【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生的计算能力. 3．已知S n 是等差数列{}()*N n a n ∈的前n 项和，且675SS S >>，有下列四个命题，假命题的是（ ） A.公差0d <B.在所有S 0n <中，13S 最大C.满足S 0n >的n 的个数有11个D.67a a >【答案】C【解析】根据题设条件可判断数列是递减数列，这样可判断A 是否正确；根据6S 最大，可判断数列从第七项开始变为负的，可判断D 的正确性：利用等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质，可判断12S 、13S 的符号，这样就可判断B 、C 是否正确． 【详解】等差数列{}n a 中，6S 最大，且6751S S S 0a >>∴>，0d <，∴A 正确；675S S S >>，60a ∴>，70a <，∴D 正确；1137713S 1313022a a a a ++=⨯=⨯<, 7567S S 0a a -=+>，67a a >-，67112121212022a a a aS ++=⨯=⨯>；S n ∴的值当6n ≤递增，当7n ≥递减，前12项和为正，当13n =时为负．故B 正确；满足0n S >的n 的个数有12个，故C 错误.故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的最值.在等差数列中,S n 存在最大值的条件是：10a >，0d <;S n 存在最小值的条件是：10a <，0d >．4．在给出的下列命题中，是假命题的是（ ） A.设O A B C 、、、是同一平面上的四个不同的点，若(1)(R)OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈，则点、、A B C 必共线B.若向量,a b 是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为(R)c a b λμμλ=+∈、，且表示方法是唯一的C.已知平面向量OA OB OC 、、满足||||(0)OA OB OC r r ==>|=|，且0OA OB OC ++=，则ABC ∆是等边三角形D.在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量a b c d 、、、，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直 【答案】D【解析】由()()1OA m OB m OC OA OC m OB OC CA mCB =⋅+-⋅⇒-=⋅-⇒=⋅ 则点A B C 、、必共线，故A 正确； 由平面向量基本定理可知B 正确；由 (0)OA OB OC r r ===>可知O 为ABC ∆的外心，由0OA OB OC ++=可知O 为ABC ∆的重心，故O 为ABC ∆的中心，即ABC ∆是等边三角形，故C 正确；故选D.二、填空题 5．计算:21ii=+_______(i 为虚数单位). 【答案】1i +【解析】直接利用复数的除法运算，化简得到答案. 【详解】22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i -+===+++-故答案为：1i + 【点睛】本题考查了复数的计算，属于基础题型.6．经过抛物线24y x =的焦点,且以()11d =，为方向向量的直线的方程是_______.【答案】1y x =-【解析】计算焦点和斜率，由点斜式可得到答案. 【详解】抛物线24y x =的焦点为(1,0)()11d =，为方向向量的直线1k =直线方程为：1y x =- 故答案为：1y x =- 【点睛】本题考查了直线方程的计算，意在考查学生的计算能力.7．在等差数列{}n a 中,5632a a ==-，，则348a a a ++⋯+=________. 【答案】3【解析】利用等差数列的性质得到答案. 【详解】34838756645()()()3()3a a a a a a a a a a a +++++⋯+=+++==故答案为：3 【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于基础题型.8．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为_____________【答案】x 2＋y 2－4x ＝0.【解析】设圆心坐标为(,0)(0)a a >,则圆方程为:(x −a )2+y 2=4,根据点到直线的距离公式,得2d R ===,解得a =2或143a =-(舍去),所以圆C 的方程为:(x −2)2+y 2=4,整理为一般方程为:2240x y x +-=.9．在等比数列{}n a 中，若3571a a a =，则19lg lg a a +的值等于_________. 【答案】0【解析】直接利用等比数列的性质得到答案. 【详解】33575511a a a a a ==∴=()219195lg lg lg lg lg10a a a a a =⋅+===故答案为：0 【点睛】本题考查了数列的计算，利用等比数列的性质可以化简运算，是解题的关键. 10．已知双曲线C 经过点(1,1),它的一条渐近线方程为y =，则双曲线C 的标准方程是___.【答案】221223x y -= 【解析】根据渐近线方程设双曲线方程为：223y x λ-=，代入点(1,1)解得答案.【详解】双曲线一条渐近线方程为y =设双曲线方程为：223y x λ-= 代入点(1,1)解得23λ= ，即22233y x -=双曲线C 的标准方程是：221223x y -= 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，根据渐近线设223y x λ-=可以简化运算，是解题的关键.11．方程0x y +=所表示的曲线与直线y x b =+有交点,则实数b 的取值范围是________.【答案】2,⎡⎣【解析】化简式子得到224(0,0)x y x y +=≤≥，根据图像计算临界情况的b ，计算得到答案. 【详解】0x y +=则0x =且0y =则224(0,0)x y x y +=≤≥ 如图所示：当直线y x b =+与圆相切时：2(0)d b b ==>∴=当直线y x b =+过端点时：2b =综上所述：b ⎡∈⎣故答案为：2,⎡⎣【点睛】本题考查了直线的圆的位置关系，化简式子得到224(0,0)x y x y +=≤≥是解题的关键.12．已知向量()1222n a a b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，，，，若()*1n a a b n N +=⋅∈，且11a ，=则n a =_______.【答案】21n -【解析】根据向量乘法得到121n n a a b a +=⋅=+，故数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，计算得到答案. 【详解】向量()1222n a a b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，，，，若121n n a a b a +=⋅=+，()1121n n a a ++=+则数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列1221n n n n a a +=∴=-故答案为：21n - 【点睛】本题考查了数列的通项公式，变形得到()1121n n a a ++=+是解题的关键.13．抛物线()240y mx m =>的焦点为F ,点P 为抛物线上的动点,又点A ()0m -，，则PFPA的最小值为_________.【解析】根据题意得到cos (0)2PF PD PAF PAF PA PA π==∠≤∠<，转化为求tan PAF ∠的最大值，利用均值不等式计算得到答案.【详解】如图所示：过点P 作PD DA ⊥于D ，则PF PD = 根据对称性，不妨设(,)P x y 在第一象限，cos (0)2PF PD PAF PAF PA PA π==∠≤∠< cos PAF ∠的最小值等价于求tan PAF ∠得最大值21tan 144y y PAF y m y x m m m y m∠===≤+++，故cos PAF ∠≥当2x my m =⎧⎨=⎩时，等号成立【点睛】本题考查了抛物线中的最值问题，等价转化思想是解题的关键. 14．若{}n a 为等比数列，0n a >，且2018a =，则2017201912a a +的最小值为________ 【答案】4 【解析】{}n a 为等比数列，0n a >，∴公比0q >20182017a a q=，201720181q a a == 20192018a qa =，2019201811a qa ==20172019124a a q∴+=+≥=q=，即q = 2017201912a a ∴+的最小值为415．曲线C:)222x y x y ++=+，对曲线C 所围封闭图形的面积为________.【答案】323π+ 【解析】先计算图形在第一象限内的面积，再根据对称性计算得到答案. 【详解】)222x y x y ++=+当0,0x y ≥≥时，)22222((4x y x y x y ++=+∴-+-=在第一象限内的面积为圆面积减去两个弓形的面积.在ABC ∆中：2CA CB ==，AB，则2AB =，ABC ∆为等边三角形。
上海吴淞中学18-19学度高二上年末考试-数学
上海吴淞中学18-19学度高二上年末考试-数学〔总分值150分，考试时间120分钟〕一、填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分。
1.假设向量(1,2)a =-，(2,1)b =，那么2a b -等于 、52.正方体1111D C B A ABCD -中，与直线1AD 异面，且与1AD 所成角为︒60的面对角线共有 条、43.增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-111311的线性方程组的解为________________.⎩⎨⎧==12y x 4.行列式987654321中元素8的代数余子式为______________.6431-=65.|a |＝4,|b |＝2,a 与b 的夹角为3π，那么b 在a 上的投影为_____________.16.极限nn x )1(lim +∞→存在，那么实数x 的取值范围是____________.]0,2(-7.球的表面积为2cm 16π，那么球的体积为___________3cm .323π8.21,e e 是两个不共线的平面向量，向量)(,22121R e e b e e a ∈+=-=λλ，假设//，那么λ＝_____________、 21-9.数列{}n a 中，43,411-==+n n a a a ，那么数列{}n a 的前n 项和n S = .n S a n n n n 213,2321+-=+⋅=-10.假设取地球的半径为6371米，球面上两点A 位于东经721210'，北纬8310'，B 位于东经721210'，北纬5250'，那么A 、B 两点的球面距离为_____________千米(结果精确到1千米)、 67311.正数数列{}n a 〔n N *∈〕定义其“调和均数倒数”12111nn a a a V n++⋅⋅⋅+=〔n N *∈〕，那么当12n n V +=时，2012a =_______________.20121 12.如图，由编号1，2，…，n ，…〔*n ∈N 且3n ≥〕的圆柱自下而上组成、其中每一个圆柱的高与其底面圆的直径相等，且对于任意两个相邻圆柱，上面圆柱的高是下面圆柱的高的一半、假设编号1的圆柱的高为4，那么所有圆柱的体积的和为_______________〔结果保留π〕、128π713.假设{}n a 是等差数列，,,m n p 是互不相等的正整数，有正确的结论：()()()0p m n m n a n p a p m a -+-+-=，类比上述性质，相应地，假设等比数列{}n b ，,,m n p 是互不相等的正整数，有_________.1=⋅⋅---mp npn mnm pb b b14.如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置， A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半;B.将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P ; C 、任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P ; D.假设往容器内再注入a 升水，那么容器恰好能装满. 其中真命题的代号是：___________________〔写出所有真命题的代号〕、B,D二、选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。
上海市吴淞中学高二数学上学期期中考试试题【会员独享】
吴淞中学2011学年第一学期高二年级期中考试数学学科试卷考生注意：1、答卷前，考生务必在答题纸上用钢笔或圆珠笔清楚填写班级、姓名、准考证号，并用铅笔在答题纸上正确涂写准考证号。
2、考生答题请将答案用钢笔或圆珠笔写在答题纸上。
用铅笔答题或将答案写在试卷上一律不给分。
3、选择题答案必须全部涂写在答题纸上。
考生应将代表正确答案的小方格用铅笔涂黑。
注意试题题号和答题纸编号一一对应，不能错位。
答案需要更改时，必须将原选项用橡皮擦去，重新选择。
4、考试时间120分钟，满分150分 一、填空题：(本题满分56分)1. ])43(21[lim 22nn n n ++-∞→的值是___________．2. 已知函数1()()1()R x Q f x x C Q ∈⎧=⎨-∈⎩，在编写流程图时应采用 ___________结构．3. 已知1a =6=，()2=-⋅，则向量与向量的夹角是___________． 4. 已知首项为31, 公差为6-的等差数列中, 前n 项和为n S , 则数列{}n S 中与零最接近的项是第 项．3)]1a n -=，则实数a 10．已知非零向量AB 与AC 满足(||||AB AC AB AC +)·BC =0且||||AB AC AB AC = 12， 则△ABC 的形状为___________．11．数列}{n a 满足12a =，21a =，并且1111n n n n n n n na a a a a a a a -+-+--=⋅⋅(2≥n )，则数列的第100项 为___________．12．给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,则x y +的最大值是 .13. 已知数列}{n a 的通项公式是12-=n n a ，数列}{n b 的通项公式是n b n 3=，令集合},,,,{21 n a a a A =，},,,,{21 n b b b B =，*N n ∈．将集合B A 中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为}{n c ．则数列}{n c 的前28项的和28S = ．14. 设n 为正整数，在1n x n <<+的范围内，使函数1()()2f x x x =-取整数函数值的x 的个数记为n a ；设()n n b f a k =+，若{}n b 为单调递增数列，则k 的取值范围为 ． 二、选择题：(本题满分20分)15．给出下列算法：第一步，输入n ，第二步，判断n 是不是2，若2n =，则n 满足条件；若2n >，则执行第3步；第三步，依次从2到1n -，检验能不能整除n ，若不能整除，则n 满足条件．则其算法结果为（ ）A ．素数B ．奇数C ．偶数D ．约数16. 已知数列{}n a 为等差数列，且17134a a a π++=，则212tan()a a +的值为 （ ）A．．．-17．某种珍稀动物经普查今年存量为1100只，5年前有1000只．在这5年中，该动物的年平均增长率为百分之（ ） A ． 1．8B ．1．9C ．2．0D ．2．118. 对于数列{}n a ，若存在常数M ，使得对任意*n N ∈，n a 与1n a +中至少有一个不小于M ，则记作{}n a M ，那么下列命题正确的是 （ ） A ．若{}n a M ，则数列{}n a 各项均大于或等于MB ．若{}n a M ，则22{}n a MC ． 若{}n a M ，{}n b M ，则{}2n n a b M +D ．若{}n a M ，则{21}21n a M ++三、解答题： 19.（本题满分12分）已知向量(sin a θ=，(1cos )b θ=，，()22ππθ∈-，，求||a b +的范围.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分。
2022-2023学年上海市吴淞中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市吴淞中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．若事件E 与F 相互独立，且()()14P E P F ==，则()P E F ⋂的值等于 A ．0 B ．116C ．14D ．12【答案】B 【详解】事件“EF ”表示的意义是事件E 与F 同时发生，因为二者相互独立，根据相互独立事件同时发生的概率公式得：()()()111·4416P E F P E P F ⋂==⨯=.2．已知两圆分别为圆221:49C x y +=和圆2226890C x y x y +--+=:，这两圆的位置关系是（ ）A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切【答案】B【分析】先求出两圆圆心和半径，再由两圆圆心之间的距离和两圆半径和及半径差比较大小即可求解.【详解】由题意得，圆1C 圆心()0,0，半径为7；圆()()222:3416C x y -+-=，圆心()3,4，半径为4，5=，因为74574-<<+，故这两圆的位置关系是相交. 故选：B.3．给出下列命题：（1）存在实数α使3sin cos 2αα+=； （2）直线2x π=-是函数sin y x =图象的一条对称轴； （3）cos(cos )y x =（x R ∈）的值域是[cos1,1]；（4）若α，β都是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>． 其中正确命题的序号为（ ） A ．（1）（2） B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（1）（4）【答案】B【分析】（1）利用辅助角公式将4sin cos πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭可判断（1）；（2）根据函数y ＝sin x 图象的对称轴方程可判断（2）；（3）根据余弦函数的性质可求出y ＝cos （cos x ）（x ∈R ）的最大值与最小值，从而可判断（3）的正误；（4）用特值法令α，β都是第一象限角，且α＞β，可判断（4）．【详解】解：（1）∵3242sin cos sin πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭＜，∴（1）错误；（2）∵y ＝sin x 图象的对称轴方程为()2x k k Z ππ=+∈，k ＝﹣1，2x π=-，∴（2）正确；（3）根据余弦函数的性质可得cos x []1,1∈-， y ＝cos （cos x ）的最大值为ymax ＝cos0＝1，ymin ＝cos （cos1），其值域是[cos1，1]，（3）正确；（4）不妨令943παπβ==，，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tan α＜tan β，（4）错误；故选：B ．【点睛】本题考查正弦函数与余弦函数、正切函数的性质，着重考查学生综合运用三角函数的性质分析问题、解决问题的能力，属于中档题．4．如图，上海海关大楼的钟楼可以看作一个正四棱柱，且钟楼的四个侧面均有时钟悬挂，在0点到12点时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面时钟的时针两两相互垂直的情况的次数为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．12【答案】B【分析】根据正四棱柱相邻侧面的线线关系即可判断． 【详解】∵3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，∴在0点到12点时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面时钟的时针两两相互垂直的情况的次数为2， 故选：B ．二、填空题5．已知球的半径是2，则球体积为____________. 【答案】32π3【分析】根据球的体积公式直接计算得结果. 【详解】由于球的半径为2，故体积为34π32π233⨯=. 【点睛】本小题主要考查球的体积公式，考查运算求解能力，属于基础题. 6．椭圆221164x y +=的离心率为______________.【分析】由椭圆的标准方程可知，2216,4a b ==，而222c a b =-，ce a=即可求出．【详解】由题可得，2216,4a b ==，所以22212c a b =-=，即4,a c ==c e a ==【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质的应用，离心率的求法，属于基础题． 7．已知一组数据6、7、8、8、9、10，则该组数据的方差是__________． 【答案】53##213【分析】先求出一组数据6、7、8、8、9、10的平均数，由此能求出该组数据的方差． 【详解】一组数据6、7、8、8、9、10的平均数为：()1678891086x =+++++=， ∴该组数据的方差为()()()()()222222687828839810568s -+-+⨯--=+=-+． 故答案为：53．8．过定点()2,1且倾斜角是直线x －y ＋1＝0的倾斜角的两倍的直线一般方程为______． 【答案】20x -=【分析】先求出直线x －y ＋1＝0的倾斜角，从而得到所求直线的倾斜角，得到直线方程.【详解】直线x －y ＋1＝0的倾斜角为45°，故过定点()2,1的所求直线的倾斜角为90°，故所求直线方程为：20x -=. 故答案为：20x -=9．与椭圆2216338x y +=有相等的焦距，且过圆22680x y x y +--=的圆心的椭圆的标准方程为______．【答案】2214520x y +=或2214015y x +=，【分析】先求出椭圆2216338x y +=的焦距，再设出椭圆方程，求出22680x y x y +--=的圆心坐标，列方程组可求得答案【详解】由2216338x y +=，得2633825c =-=，得5c =，圆22680x y x y +--=的圆心坐标为(3,4)，当所求椭圆的焦点在x 轴上时，设椭圆方程为22221(0)x ya b a b+=>>，则2222916125a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩解得224520a b ⎧=⎨=⎩， 所以椭圆方程为2214520x y +=， 当所求椭圆的焦点在y 轴上时，设椭圆方程为22221(0)y xa b a b+=>>，则2222169125a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩解得224015a b ⎧=⎨=⎩， 所以椭圆方程为2214015y x +=，综上，所求椭圆方程为2214520x y +=或2214015y x +=， 故答案为：2214520x y +=或2214015y x +=， 10．已知直线220x y +-=和10kx y --=的夹角为4π，那么k 的值为____________. 【答案】3或13-【分析】利用两直线夹角的正切公式：1212tan 1k k k k θ-=+（θ为两直线的夹角且2πθ≠,），得到方程，求解出参数k 的值即可.【详解】因为220x y +-=的斜率12k =-，10kx y --=的斜率2k k =，又因为两直线的夹角为4π，所以()()2tan 1124k k π--==+-， 解得：3k =或13-.故答案为3或13-.【点睛】本题考查两直线夹角的正切公式的运用，难度一般.已知两条直线的夹角为θ（2πθ≠）且两条直线的斜率为12,k k ，则1212tan 1k k k k θ-=+.11．将某校全体高一年级学生期末数学成绩分为6组：[40，50)， [50，60)， [60，70)， [70，80)， [80，90)， [90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，现需要随机抽取60名学生进行问卷调查，采用按成绩分层随机抽样，则应抽取成绩不少于60分的学生人数为_______________.【答案】48【分析】根据频率分布直方图，求出成绩不少于60分的频率，然后根据频数=频率⨯总数，即可求出结果．【详解】根据频率分布直方图，成绩不低于60（分）的频率为()1100.0050.0150.8-⨯+=， 由于需要随机抽取60名学生进行问卷调查，利用样本估计总体的思想，则应抽取成绩不少于60分的学生人数为600.848⨯=人． 故答案为：48．12．在空间直角坐标系O xyz -中，若平面OMQ 的一个法向量()2,1,2n =-，则点()1,1,4P -到平面OMQ 的距离为___________.【答案】3【分析】利用空间向量法可求得点P 到平面OMQ 的距离.【详解】由已知可得()1,1,4OP =-，因此，点P 到平面OMQ 的距离为933OP n d n⋅===. 故答案为：3.13．现对某批电子元件的寿命进行测试，因此使用随机数法从该批次电子元件中抽取200个进行加速寿命试验，测得的寿命（单位：h ）结果如下表所示： 寿命（h ） 100 120 140 160 180 200 220 240 个数1032443424261218试估计这批电子元件的第60百分位数60P =____________ 【答案】170【分析】根据条件及百分位数的含义即得. 【详解】∵1032443460200100+++=，故这批电子元件的第60百分位数160180601702P +==160. 故答案为：170.14．直线2360x y +-=分别交,x y 轴于,A B 两点，点P 在直线=1y x --上，则PA PB +的最小值是________.【分析】先计算得到()()3,0,0,2A B ，计算A 关于直线=1y x --对称的点为()11,4A --，利用11PA PB PA PB A B +=+≥得到答案.【详解】直线2360x y +-=分别交,x y 轴于,A B 两点，则()()3,0,0,2A B 设A 关于直线=1y x --对称的点为()1,A x y 则133122y x y x ⎧=⎪⎪-⎨+⎪=--⎪⎩ 解得14x y =-⎧⎨=-⎩11PA PB PA PB A B +=+≥1A PB 三点共线时等号成立【点睛】本题考查了利用对称求距离的最值问题，找出对称点是解题的关键. 15．从点M(x,3)向圆(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值是________．【答案】【分析】设切线长为d ，则d 2＝(x ＋2)2＋52－1＝(x ＋2)2＋24，再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解.【详解】设切线长为d ，则d 2＝(x ＋2)2＋52－1＝(x ＋2)2＋24，∴d min＝故答案为【点睛】本题主要考查圆的切线问题，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.16．若实数1212,,,x x y y ：满足222211221?,1x y x y +=+=，121212x x y y +=，则112211x y x y +-++-的最大值为_____________ 【答案】26+【分析】根据条件结构特征，转化为单位圆上两点到定直线距离和的关系，再根据圆的几何性质求最值.【详解】因为222211221,1x y x y +=+=，121212x x y y +=， 所以1122(,),(,)A x y B x y 在单位圆221x y +=上， 且因为1212cos OA OB x x y y OA OB AOB ⋅=+=⋅∠， 所以1πcos 23AOB AOB ∠=∴∠=，因为112211*********x y x y x y x y ⎛⎫+-+-+-++-=+ ⎪⎝⎭2()22A l B l M l d d d ---=+=,其中:10,l x y M +-=为AB 中点.又因为3||2OM =,所以313222M l O l d d --≤+=+,即112211x y x y +-++-的最大值为1322()2 6.22+=+ 【点睛】本题考查向量数列积、点到直线距离公式、以及圆的性质，考查综合分析转化求解能力，属难题.三、解答题17．如图，已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，高为23，底面半径为2．(1)求该圆锥的侧面积；(2)设OA 、OB 为该圆锥的底面半径，且∠AOB ＝90，M 为线段AB 的中点，求直线PM 与直线OB所成的角的正切值，【答案】(1)8π(2)13【分析】（1）先求圆锥的母线l，再根据圆锥的侧面积公式可求出结果；（2）取OA的中点N，连接MN，PN，易知∠PMN或其补角即为所求，先证OB⊥平面POA，推出MN⊥平面POA，故MN⊥PN，在直角三角形PMN中求解可得结果.【详解】（1）由题意知，圆锥的高23h=，底面半径2r=，所以圆锥的母线221244l h r=+=+=，∴圆锥的侧面积12π2S l r=⋅=142π28π2=⨯⨯⨯=．（2）取OA的中点N，连接MN，PN，∵M为AB的中点，∴MN//OB，∴∠PMN或其补角即为直线PM与直线OB所成的角，∵OB⊥OA，OB⊥OP，OA∩OP＝O，OA、OP⊂平面POA，∴OB⊥平面POA，∴MN⊥平面POA，∴MN⊥PN，PN =112MN OB ==，在直角三角形PMN 中，有tan PN PMN MN ===故直线PM 与直线OB18．设常数k ∈R ，2()cos cos f x k x x x =，x ∈R . （1）若()f x 是奇函数，求实数k 的值；（2）设1k =，ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()1f A =，a =3b =，求ABC 的面积S .【答案】（1）0k =；（2【解析】（1）由(0)0f =，知0k =，再对0k =进行检验，即可； （2）结合二倍角公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质，可推出3A π=，再由余弦定理求出c 的值，最后根据1sin 2S bc A =，即可得解．【详解】（1）解：由题意()00f k ==检验：()cos =f x x x 对任意x ∈R 都有()()()cos =cos =()----f x x x x x f x∴()f x 是奇函数 ∴0k =.（2）解：21cos 21()cos cos 2sin 21262A f A A A A A A π+⎛⎫===++= ⎪⎝⎭，整理得π1sin 262A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，A 是三角形的内角 所以π5π266A += ∴π3A =由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=，即219726c c +-=整理得2320c c -+=，解得1c =或2c =133sin 24S bc A ==，或332. 19．如图，公路AM AN 、围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tan 1α=-，在该块土地中P 处有一小型建筑，经测量，它到公路AM AN 、的距离分别为1,2km km ，现要过点P 修建一条直线公路BC ，将三条公路围成的区域ABC 建成一个工业园.（1）以A 为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出P 点的坐标； （2）三条公路围成的工业园区ABC 的面积恰为24km ，求公路BC 所在直线方程. 【答案】(1) (1,1)；(2) 340x y +-=.【解析】(1)以A 为坐标原点, AB 所在直线为x 轴，过点A 且垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.根据条件求出直线AN 的方程，设出点P 坐标，代点到直线的距离公式即可求出所求； (2)由(1)及题意设出直线BC 的方程后，即可求得点B 的横坐标，与点C 的纵坐标，由 142ABC B C S x y =⋅⋅=求得k 后，即可求解.【详解】(1)以A 为坐标原点, AB 所在直线为x 轴，过点A 且垂直于AB 的直线为y 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系由题意可设点(,1)P a ，且直线AN 的斜率为tan 1AN k α==-，并经过点(0,0)A ， 故直线AN 的方程为：0x y +=， 又因点P 到AN 222=1a =或3a =-(舍去) 所以点P 坐标为(1,1).(2)由题意可知直线BC 的斜率一定存在，故设其直线方程为：1(x 1)y k -=-， 与直线AN 的方程：0x y +=，联立后解得:11C k x k -=+，11C k y k -=-+对直线BC 方程：1(x 1)y k -=-，令0y =，得111B k x k k -=-+=， 所以111()421ABC k k S k k --=⋅⋅-=+，解得13k =-， 所以直线BC 方程为：11(1)3y x -=--，即:340x y +-=. 【点睛】本题以直线方程的相关知识为背景，旨在考查学生分析和解决问题的能力，属于中档题. 20．一动点到两定点距禽的比值为非零常数λ，当1λ≠时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆，已知两定点12,F F 的坐标分别为：12(4,0),(1,0)F F ，动点N 满足122F N F N =.(1)求动点N 的方程；(2)过(2,3)Q 作动点N 所在圆的切线l ，求l 的方程；(3)如图，过点(0,1)P ）且互相垂直的两条直线分别与圆22:4O x y +=交于点A ，B ，与圆22:(2)(1)1M x y -+-=交于点C ，D ，CD 的中点为E ，求ABE 面积的取值范围.【答案】(1)224x y +=；(2)=2x 或512260x y -+=；(3)354⎤⎥⎝⎦.【分析】（1）设(),N x y ，利用两点距离表示关系122F N F N =并化简即可；（2）当斜率存在时，设出直线方程，由圆心到切线距离等于半径求得参数，得切线方程，再验证斜率不存在时是否满足要求；（3）当直线AB 的斜率不存在时，求得ABE 的面积；当直线AB 的斜率存在时，当0k =和0k ≠时，结合二次函数的性质，分别求得ABE 的面积的取值范围，即可得到结论.【详解】（1）（1）设动点N 坐标为(),x y ，则1F N2F N = 又知122F N F N =，得224x y +=，故动点N 的方程为224x y +=； （2）（2）当l 的斜率存在为k 时，设l 的方程为：23y kx k =-+，因为l 与圆相切，所以2d ==，得：512k =， 所以512260x y -+=为l 的方程，当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为：=2x ，圆心()0,0到直线=2x 的距离2，所以圆心()0,0到直线=2x 的距离等于半径，满足要求，所以=2x 为l 的方程为，综上：l 的方程为=2x 或512260x y -+=；（3）当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为=0x ，所以AB 4=，直线CD 的方程为1y =，点E 的坐标为()2,1，所以ABE 的面积14242S =⨯⨯=； 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为1y kx =+，当0k =时，直线AB 的方程为1y =，直线CD 的方程为=0x ，直线=0x 与圆22:(2)(1)1M x y -+-=不相交，此时ABE 不存在，舍去；当0k ≠时，直线1:1CD y x k=-+，1<得23k >，所以(,)k ∈-∞⋃+∞．因为2242AB ⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以AB = 因为ME CD ⊥，AB CD ⊥，所以AB//ME ，所以E 点到直线AB 的距离即M 点到直线AB的距离d ==所以ABE 的面积12S AB d =⋅=令21t k =+，则4t >，所以S ==因为4t >，所以1104t <<，所以35,42S ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭， 综上可得，ABE 面积的取值范围是35,42⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. 21．设12, A A 分别是椭圆222: 1(1)x y a aΓ+=>的左､右顶点，点B 为椭圆的上顶点.（1）若124A B A B →→⋅=-，求椭圆Γ的方程；（2）设2a =2F 是椭圆的右焦点，点Q 是椭圆第二象限部分上一点，若线段2F Q 的中点M 在y 轴上，求2F BQ △的面积.（3）设3a =，点P 是直线6x =上的动点，点C 和D 是椭圆上异于左右顶点的两点，且C ，D 分别在直线1PA 和2PA 上，求证：直线CD 恒过一定点.【答案】（1）2215x y +=；（2）21；（3）证明见解析. 【解析】（1）计算得1(,1)A B a →=，2(,1)A B a →=-，代入124A B A B →→⋅=-解方程即可得a ，故可得椭圆Γ的方程；（2）设另一焦点为1F ，则1FQ x ⊥轴，计算出点Q 坐标，计算22F BQ BF M BQM S S S =+△△△即可； （3）设点P 的坐标为(6,)m ，直线1PA ：(3)9m y x =+，与椭圆方程2219x y +=联立，由韦达定理计算得出2223276,99m m C m m ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理可得222332,11m m D m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，分C D x x =，C D x x ≠两种情况表示出直线CD 方程，从而确定出定点.【详解】（1）12(,0),(,0)A a A a -，(0,1)B1(,1)A B a →=，2(,1)A B a →=-，21214A B A B a →→⋅=-+=-，解得25a = 即椭圆Γ的方程为2215x y +=.（2）椭圆的方程为2212x y +=，由题意2(1,0)F ，设另一焦点为()11,0F -， 设(,)Q Q Q x y ，由线段2F Q 的中点在y 轴上，得1FQ x ⊥轴，所以1Q x =-，代入椭圆方程得Q y =，即Q ⎛- ⎝⎭2211212F BQ BF M BQM S S S ⎛=+=⋅= ⎝⎭△△△ （3）证明：由题意12(3,0),(3,0)A A -，设点P 的坐标为(6,)m ，直线1PA ：(3)9m y x =+，与椭圆方程2219x y +=联立 消去y 得：2222(9)69810m x m x m +++-= 由韦达定理得223279C m x m -+=+即2223276,99m m C m m ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭； 同理222332,11m m D m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭； 当C D x x =，即22222733391m m m m --=++即23m =时， 直线CD 的方程为32x =； 当C D x x ≠时，直线CD ：2222243313(3)1m m m y x m m m ⎛⎫---=- ⎪+-+⎝⎭化简得2433(3)2m y x m ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，恒过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭； 综上所述，直线CD 恒过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点睛：解决第（3）的关键是能够运用韦达定理表示出,C D 点的坐标，从而表示出直线CD ，并能通过运算整理成关于m 的方程，从而确定出定点，考查学生的运算求解能力，有一定的难度.。
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2018学年第一学期吴淞中学高二年级期中考试
数学试卷
填空题：
1.方程组250
38x y x y --=⎧⎨+=⎩
的增广矩阵为__________
2.22
13lim 24n n n n →∞⎡⎤
-⎛⎫+⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦
的值是_________ 3.已知()
1,6,2a b a b a ==⋅-=，则向量a 与向量b 的夹角是_________ 4.132
111014
--的值为__________
5.某种珍稀动物经普查今年存量为1100只，5年前有1000只，在这5年中该动物的年平局年增长率为百分之_________（精确到0.1）
6.数列{}n a 满足122,1a a ==，并且()11
112n n n n n n n n
a a a a n a a a a -+-+--=≥⋅⋅，则数列的第100项为
__________.
7.直线l 的一个法向量()()cos ,1n R θθ=∈，则直线l 倾斜角α的取值范围是_________ 8.平面直角坐标系中，已知点()()011,0,2,1P P ，
且()*111
N 2n n n n P P P P n +--∈.当n →+∞时，点n P 无限趋近于点M ，则点M 的坐标为
__________
9.设集合(){}(){,,,3M x y y x b N x y y ==+==，当M N ⋂≠∅时，实数b 的取
值范围是____________
10.如果M 是函数()y f x =图像上的点，N 是函数()y g x =图像上的点，且,M N 两点之间的距离MN 能取到最小值d ，那么将d 称为函数()y f x =与()
y g x =之间的距离.按这个定义，函数(
)f x =和()g x =__________
11.设()()
*1log 2n n a n n N +=+∈，称123k a a a a 为整数的k 为“希望数”则在()1,2018内所有
“希望数”的个数为___________
12.若非零向量,,a b c 满足230a b c ++=，且a b b c c a ⋅=⋅=⋅，则b 与c 的夹角为_________.
二、选择题：
13.直线2310x y -+=的一个方向向量是（ ） A.()2,3-
B.()2,3
C.()3,2-
D.()3,2
14.若M 为ABC ∆所在平面内一点，且满足()()
20MB MC MB MC MA -+-=，则ABC ∆的形状为（ ） A.正三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
15.已知20a b =≠，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是（ ） A.0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B.,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C.2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D.,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
16.下列命题：①“102a <≤”是“存在*n N ∈，使得12n
a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
成立”的充分条件；②“0a >”
是“存在n N ∈，使得12n a ⎛⎫< ⎪⎝⎭成立”的必要条件；③“12a >”是“不等式12n
a ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
对一
切*n N ∈恒成立”的充要条件，其中所以真命题的序号是（ ） A.③
B.②③
C.①②
D.①③
三、解答题：
17.（本题满分14分），已知向量()()
,,,x x m a a n a a =-=，其中0a >且1a ≠， （1）当x 为何值时，m n ⊥；
（2）解关于x 的不等式m n m n +<-.
18.（本题满分14分）（1）已知直线l 经过点(P -，且与直线:20n l x +=的夹角为
3
n
，求直线l 的方程； （2）已知ABC ∆中顶点()4,1,,A B C -∠∠的平分线方程分别为10x y --=和10x -=.求BC 边所在的直线方程
19.（本题满分14分）已知圆22:25C x y +=， 直线()()():21174l m x m y m m R +++--=∈
（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）若直线l 与圆C 相交于A B 、，求8AB =时l 的方程.
20.（本题满分16分）已知点()()()111222,,,,,,n n n P a b P a b P a b ，（n 为正整数）都在函数
12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
的图像上. （1）若数列{}n a 是等差数列，证明：数列{}n b 是等比数列；
（2）设()
*,n a n n N =∈，过点1,n n P P +的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为n C ，试求最小的实数t ，使n C t ≤对一切正整数n 恒成立；
（3）对（2）中的数列{}n a ，对每个正整数k ，在k a 与1k a +之间插入13k -个3，得到一个新的数列{}n d ，设n S 是数列{}n d 的前n 项和，试探究2016是否是数列{}n S 中的某一项，写出你探究得到的结论并给出证明.
21.（本题满分18分）设m 个正数()*12,,
,4,m a a a m m N ≥∈依次围成一个圆圈，其中
()*1231,,,,,,k k a a a a a k m k N -<∈是公差为d 的等差数列，而111,,,,,m m k k a a a a a -+是公比为q 的等比数列.
（1）若11,2,8a d q k ====，求数列12,,
,m a a a 的所有项的和m S
（2）若13,2015a d q m ===<，求m 的最大值； （3）当2q =时是否存在正整数k ，满足()121113k k k m m a a a a a a a -+-++++=+++？若
存在，求出k 值；若不存在，请说明理由.。