广东省佛山市2021届新高考数学五模试卷含解析
(新高考)广东省2021届高三数学下学期5月卫冕联考试题(含解析)
（新高考）广东省2021届高三数学下学期5月卫冕联考试题（含解析）本试卷共4页，22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2，3}，B ＝{x|x 2－4x<0}，则A ∩B ＝ A.{0，1，2，3} B.{1，2，3} C.{0，1，2} D.{－1，1，2，3}2.复数z ＝31i 12i-+的虚部为A.－15iB.15iC.－15D.153.“a<8”是“方程x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋a ＝0表示圆”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数f(x)＝2|x|3x 1xe x-+；的大致图象为5.在梯形ABCD中，AB//CD，AB＝4CD，M为AD的中点，BM BA BCλμ=+，则λ＋μ＝A.98 B.58C.54D.326.核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量X n与扩增次数n满足lgX n＝nlg(1＋p)＋lgX0，其中p为扩增效率，X0为DNA的初始数量。
已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为(参考数据：100.2≈1.585，10－0.2≈0.631)A.0.369B.0.415C.0.585D.0.6317.已知双曲线C：22221x ya b-=(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是C的渐近线上一点，|F1F2|＝|MF2|，∠F1F2M＝120°，则双曲线C的离心率为57 C.3238.已知函数f(x)的定义域为R，f(5)＝4，f(x＋3)是偶函数，任意x1，x2∈[3，＋∞)满足()()1212f x f xx x-->0，则不等式f(3x－1)<4的解集为A.(23，3) B.(－∞，23)∪(2，＋∞) C.(2，3) D.(23，2)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届金太阳高三新高考(广东卷)联考数学试题(解析版)
设这7天降雨量分别为X],a∙2 tx3tx4tx5tx6, J7
因为1厘米=10毫米,这7天降雨量分别为IOxI, 10‰, IOX3，IOX4，IoX5，IOX6，IO-V7,
平均值为10无二265,
所以标准差变为-X（IOxll-IOx）'xf=10×6」=61.
Y 7ZI=Iy 7/?=i
故选：C
【点睛】
本题考査统讣知识，考查标准差的求解，考查数据处理能力，屈于基础题・
4.若0<方<1,则““>戻”是“u>b”的（）
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【详解】
因为OCbVl,所以b-b3=b（l-b2）>0,即b>b∖故">方可推出a > b'，
A. (0, 1)B.(—3,0)<j(1,2)
C.(—3,1)D.(―2,0)<j(1,3)
【答案】B
【解析】化简集合A, B,根据交集运算即可求值.
【详解】
因为A = {x∖x<x2} =(Y,0)u(1,+oc),
B = {x∖x2+X —6 v0} = (-3,2)
所以ACB = (-3,0)u(l,2)∙
而a >b3推不出u >b,（例如“=丄"=丄）42
故“α>Z√”是∏"的必要不充分条件.
故选:A
【点睹】
本题主要考查了充分条件，必要条件，不等式的性质，属于中档题.
5.函数/(X) = x2SinX-XCOSx⅛[-π,π]±的图象大致为()
广东省佛山市2021届新高考数学一模考试卷含解析
广东省佛山市2021届新高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题①()g x 的值域为(0,1] ②()g x 的一个对称轴是12x π=③()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫⎪⎝⎭④()g x 存在两条互相垂直的切线 其中正确的命题个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】由图象变换的原则可得11()cos 2262g x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,由cos 2[1,1]6x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭可求得值域；利用代入检验法判断②③；对()g x 求导,并得到导函数的值域,即可判断④. 【详解】由题,21cos 2()sin 2x f x x -==, 则向右平移12π个单位可得,1cos 21112()cos 22262x g x x ππ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭==--+ ⎪⎝⎭ cos 2[1,1]6x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,()g x ∴的值域为[0,1],①错误；当12x π=时,206x π-=,所以12x π=是函数()g x 的一条对称轴,②正确；当3x π=时,226x ππ-=,所以()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫⎪⎝⎭,③正确； ()sin 2[1,1]6g x x π⎛⎫'=-∈- ⎪⎝⎭,则1212,,()1,()1x x R g x g x ''∃∈=-=,使得12()()1g x g x ''⋅=-,则()g x 在1x x =和2x x =处的切线互相垂直,④正确.故选:C 【点睛】本题考查三角函数的图像变换,考查代入检验法判断余弦型函数的对称轴和对称中心,考查导函数的几何意义的应用.2．已知命题300:2,80p x x ∃>->，那么p ⌝为（ ）A ．3002,80x x ∃>-≤ B ．32,80x x ∀>-≤ C ．3002,80x x ∃≤-≤ D ．32,80x x ∀≤-≤【答案】B 【解析】 【分析】利用特称命题的否定分析解答得解. 【详解】已知命题0:2p x ∃>，380x ->，那么p ⌝是32,80x x ∀>-≤. 故选：B ． 【点睛】本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.3．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t+>++有解，则t 的取值范围是（ ） A ．(,2ln 2)-∞- B ．(],2ln 2-∞- C ．(,112ln 2)-∞-+ D ．(],112ln 2-∞-+【答案】C 【解析】 【分析】先求导得221()ax x f x x -+='（0x >），由于函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，转化为方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，根据∆，12x x +，12x x ⋅，求出a 的取值范围，而()()()12122f x f x x x t +>++有解，通过分裂参数法和构造新函数51()1ln(2)048h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭，通过利用导数研究()h a 单调性、最值，即可得出t 的取值范围.由题可得：221()ax x f x x-+='（0x >），因为函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ， 所以方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有1212180,10,210,2a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩解得108a <<. 若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解， 所以()()()1212max 2t f x f x x x <+-+⎡⎤⎣⎦因为()()()12122f x f x x x +-+()2211122212ln ln 2ax x x ax x x x x =-++-+-+()()()21212121223ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦51ln(2)4a a=---.设51()1ln(2)048h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭， 254()04a h a a -'=>，故()h a 在10,8⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 故1()112ln 28h a h ⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭， 所以112ln 2t <-+，所以t 的取值范围是(,112ln 2)-∞-+. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度.4．已知双曲线221x y a+=的一条渐近线倾斜角为56π，则a =（ ）A ．3 B．C．3-D ．3-【答案】D由双曲线方程可得渐近线方程，根据倾斜角可得渐近线斜率，由此构造方程求得结果. 【详解】由双曲线方程可知：0a <，渐近线方程为：y x=，一条渐近线的倾斜角为56π，5tan 6π==，解得：3a =-. 故选：D . 【点睛】本题考查根据双曲线渐近线倾斜角求解参数值的问题，关键是明确直线倾斜角与斜率的关系；易错点是忽略方程表示双曲线对于a 的范围的要求.5．设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B =A ．{}12x x -≤≤ B ．{}02x x <≤C ．{}04x x <≤D ．{}14x x -≤≤【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A 和它的补集，然后求得集合B 的解集，最后取它们的交集得出结果. 【详解】对于集合A ，()()210x x -+>，解得1x <-或2x >，故[]1,2R C A =-.对于集合B ，22log 2log 4x ≤=，解得04x <≤.故()(]0,2R C A B ⋂=.故选B. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为0，然后通过因式分解，求得对应的一元二次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.6．已知向量(22cos m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为D ．y f x =在,0π⎛⎫-上是增函数【解析】 【分析】 【详解】()22cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π=+=+=++，当12x π=时,sin(2)sin163x ππ+=≠±,∴f(x)不关于直线12x π=对称；当512x π=时,2sin(2)116x π++= ,∴f(x)关于点5(,1)12π对称； f(x)得周期22T ππ==， 当(,0)3x π∈-时,2(,)626x πππ+∈-,∴f(x)在(,0)3π-上是增函数． 本题选择D 选项.7．若双曲线22214x y b -=的离心率e =）A ．B ．2C D ．1【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的解析式及离心率，可求得,,a b c 的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解. 【详解】双曲线22214x y b -=的离心率e =，则2a =，c e a ==，解得c =()，所以b ===则双曲线渐近线方程为2y x =±20y ±=，不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得d ==故选：C.本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题.8．已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且22QP PF =，120QF QF ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ） A1 B．1C2D2【答案】D 【解析】由双曲线的方程22221x y a b-=的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线C 上的一点，Q 为双曲线C 的渐近线上的一点，且,P Q 都位于第一象限，且2122,0QP PF QF QF =⋅=， 可知P 为2QF 的三等分点，且12QF QF ⊥,点Q 在直线0bx ay -=上，并且OQ c =，则(,)Q a b ，2(,0)F c ， 设11(,)P x y ，则11112(,)(,)x a y b c x y --=--， 解得1122,33a c b x y +==，即22(,)33a c bP +， 代入双曲线的方程可得22(2)1144a c a +-=，解得2c e a ==，故选D ． 点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．9．若x ，y 满足约束条件103020x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，则22x y +的最大值是（ ）A ．92B．2C ．13D【答案】C 【解析】 【分析】【详解】 解：22xy +表示可行域内的点(,)x y 到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由1020x y x +-=⎧⎨+=⎩解得32y x =⎧⎨=-⎩即()2,3A -点()2,3A -到坐标原点(0,0)的距离最大，即2222()(2)313max x y +=-+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题．10．设()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，0.22log 0.3,log 0.3a b ==，则（ ） A ．()()(0)f a b f ab f +>> B ．()(0)()f a b f f ab +>> C ．()()(0)f ab f a b f >+> D ．()(0)()f ab f f a b >>+【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，比较+,a b ab 即可. 【详解】解：0.22lg0.3lg0.3+log 0.3log 0.3+lg0.2lg 2a b =+=55lg 0.3lglg 0.3lg 22lg5lg 2lg5lg 2⨯⨯==--⨯⨯()0.22lg 0.3lg 0.3log 0.3log 0.3lg 0.2lg 2lg 0.3lg 0.3lg 0.3lg 0.3lg 5lg 2lg 5lg 2lg 0.3lg 0.3lg 5lg 210lg 0.3lg3lg 5lg 2ab =⨯=⨯-⨯⨯==⨯⨯-⨯-=⨯⨯=-⨯显然510lglg 23<，所以+a b ab < ()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，所以()()(0)f ab f a b f >+> 故选：C 【点睛】本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题.11．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40 B ．-20C ．20D ．40【答案】D 【解析】令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x +-．511()(2)x x x x+-的通项521552155(2)()(1)2r r r r r r r r T C x x C x ----+=-=-，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x ，选3个提出1x ；若第1个括号提出1x ，从余下的括号中选2个提出1x，选3个提出x. 故常数项=223322335353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X⋅⋅-+⋅-⋅=-40+80=4012．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()330f x f x --+-=，若()11f =，()22f =-，则()()()()1232020f f f f ++++=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】首先判断出()f x 是周期为6的周期函数，由此求得所求表达式的值. 【详解】由已知()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-， 而()()330f x f x --+-=， 所以()()33f x f x -=+， 所以()()6f x f x =+，即()f x 的周期为6.由于()11f =，()22f =-，()00f =， 所以()()()()33330f f f f =-=-⇒=，()()()4222f f f =-=-=， ()()()5111f f f =-=-=-， ()()600f f ==.所以()()()()()()1234560f f f f f f +++++=， 又202063364=⨯+， 所以()()()()1232020f f f f ++++=()()()()12341f f f f +++=.故选：C 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(适用于新高考新教材)单元质检卷五 数列 Word版含解析
单元质检卷五 数列(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021湖南永州高三月考)“a ,b ,c 成等比数列”是“a 2,b 2,c 2成等比数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2.(2021福建宁德高三三模)在等差数列{a n }中,其前n 项和为S n ,若S 1=S 25,a 3+a 8=32,则S 16=( ) A.80B.160C.176D.198 3.(2021湖北武汉高三月考)“十二平均律”是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制,各相邻两律之间的振动数之比完全相等,亦称“十二等程律”,即一个八度13个音,相邻两个音之间的频率之比相等,且最后一个音的频率是最初那个音的2倍.设第8个音的频率为f ,则频率为√842f的音是( ) A.第3个音 B.第4个音C.第5个音D.第6个音 4.(2021河北邯郸高三期末)在等差数列{a n }中,a 2+2a 5=15,S n 为数列{a n }的前n 项和,则S 7=( )A.30B.35C.40D.455.(2021湖北武昌高三一模)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,若存在m ∈N *,满足S 2m S m =9,a2m a m=5m+1m -1,则数列{a n }的公比为( )A.-2B.2C.-3D.36.(2021浙江金华高三月考)已知数列na n 是等差数列,则( )A.a 3+a 6=2a 4B.a 3+a 6=a 4+a 5C.1a 3+1a 6=2a 4D.1a 3+1a 6=1a 4+1a 57.(2021北京朝阳高三二模)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和,已知a 1=8,a 4=-1,则数列{S n }( ) A.有最大项,有最小项 B .有最大项,无最小项 C.无最大项,有最小项D .无最大项,无最小项8.(2021湖南长郡中学高三二模)在数列{a n }中,a n =1f (n ),其中f (n )为最接近√n 的整数,若数列{a n }的前m 项和为20,则m=( ) A.15B.30C.60D.110二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2021山东德州高三期中)在数列{a n}中,a1=1,a n a n-1-a n-1+1=0(n≥2,n∈N*),S n是其前n项和,则()2A.a6=2B.S12=6C.a112=a10a12D.2S11=S10+S1210.(2021河北衡水一中高三月考)已知数列{a n}是等比数列,公比为q,前n项和为S n,下列说法正确的有()为等比数列A.数列1a nB.数列log2a n为等差数列C.数列{a n+a n+1}为等比数列D.若S n=3n-1+r,则r=-1311.(2021广东佛山高三开学考试)若直线3x+4y+n=0(n∈N*)与圆C:(x-2)2+y2=a n2(a n>0)相切,则()A.a1=65B.数列{a n}为等差数列C.圆C可能过坐标原点D.数列{a n}的前10项和为2312.(2021广东珠海高三二模)分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学,分形的外表结构极为复杂,但其内部却是有规律可循的,一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的方程式,即一种基于递归的反馈系统.下面我们用分形的方法得到一系列图形,如图1,在长度为1的线段AB,以线段CD为边在线段AB的上方作一个正方形,然后擦掉线AB上取两个点C,D,使得AC=DB=14段CD,就得到图2;对图2中的最上方的线段EF作同样的操作,得到图3;依次类推,我们就得到以下的一系列图形.设图1,图2,图3,……,图n,各图中的线段长度和为a n,数列{a n}的前n项和为S n,则()A.数列{a n}是等比数列B.S10=6657256C.a n<3恒成立D.存在正数m,使得S n<m恒成立三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021江苏南通高三三模)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公差为d,若S2n=2S n+n2,则d=.14.(2021福建三明高三二模)已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,a n a n+1=22n+1,则S n=.15.(2021江西南昌高三开学考试)在数列{a n}中,a n+a n+2=n(n∈N*),则数列{a n}的前20项和S20=.16.(2021北京昌平高三模拟)已知数列{a n}的通项公式为a n=ln n,若存在p∈R,使得a n≤pn对任意n ∈N*都成立,则p的取值范围为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021广西南宁高三月考)已知等差数列{a n}满足a n+2a n+1=3n+5.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记数列1a n a n+1的前n项和为S n.若∀n∈N*,S n<-λ2+4λ(λ为偶数),求实数λ的值.18.(12分)(2021山东泰安高三模拟)已知S n为等比数列{a n}的前n项和,若a3=2,且4a1,3S2,2S3是等差数列{b n}的前三项.(1)求数列{a n}的前n项和S n;(2)求数列{b n}的通项公式,并求使得a n>b n的n的取值范围.19.(12分)(2021重庆巴蜀中学高三月考)已知数列{a n}满足a n>0,数列{a n}的前n项和为S n,若,在以下三个条件中任选一个条件填入横线上,完成问题(1)和(2):①a1+3a2+32a3+…+3n-1a n=n·3n(n∈N*);②数列{c n}满足:c n=1a n+1−1a n,a1=3,且{c n}的前n项和为12n+3−13;③S n=(a n+1)24-1(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}是首项和公比均为2的等比数列,求数列{a b}中有多少个小于2 021的项.n20.(12分)已知数列{a n}的前n项和S n满足:tS n+1-S n=t(a n+1+a n-1),t∈R且t(t-1)≠0,n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)已知数列{b n}是等差数列,且b1=3a1,b2=2a2,b3=a3,求数列{a n b n}的前n项和T n.21.(12分)(2021福建龙岩高三期中)已知各项均为正数的无穷数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,nS n+1=(n+1)S n+n(n+1)(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记[x]表示不超过x的最大整数,如[0.99]=0,[3.01]=3.令b n=[√a n],求数列{b n}的前51项和T51.22.(12分)(2021天津和平高三模拟)已知函数f(x)=x2+m,其中m∈R,定义数列{a n}如下:a1=0,a n+1=f(a n),n∈N*.(1)当m=1时,求a2,a3,a4的值;(2)是否存在实数m,使a2,a3,a4成公差不为0的等差数列?若存在,请求出实数m的值;若不存在,请说明理由;时,总能找到k∈N*,使得a k>2 021.(3)求证:当m>14单元质检卷五 数列1.A 解析 若a ,b ,c 成等比数列,则b 2=ac ,此时a 2c 2=(ac )2=b 4,则a 2,b 2,c 2成等比数列,即充分性成立.反之当a=1,b=1,c=-1时满足a 2,b 2,c 2成等比数列,但a ,b ,c 不成等比数列,即必要性不成立,即“a ,b ,c 成等比数列”是“a 2,b 2,c 2成等比数列”的充分不必要条件.故选A .2.B 解析 设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则根据题意可知,{a 1=25a 1+12×25×24×d ,a 1+2d +a 1+7d =32,即{2a 1+25d =0,2a 1+9d =32,解得{a 1=25,d =-2,故S 16=16×25+12×16×15×(-2)=160.故选B .3.C 解析 由题意知,这13个音的频率成等比数列,设这13个音的频率分别是a 1,a 2,…,a 13,公比为q (q>0),则a13a 1=q 12=2,得q=√212,所以a n =a 8q n-8=(√212)n-8f=2n -812f.令2n -812f=√842f=2-14f ,解得n=5.故选C .4.B 解析 由a 2+2a 5=15得a 2+a 4+a 6=15,即3a 4=15,因此a 4=5,于是S 7=7a 4=7×5=35.故选B .5.B 解析 设数列{a n }的公比为q.若q=1,则S 2m S m=2,与题中条件矛盾,故q ≠1.∵S2m S m=a 1(1-q 2m )1-q a 1(1-q m )1-q=q m +1=9,∴q m=8.∵a 2m a m=a 1q 2m -1a 1q m -1=q m =8=5m+1m -1,∴m=3,∴q 3=8,∴q=2.故选B .6.C 解析 设数列na n 的公差为d ,则4a 4=3a 3+d ,5a 5=3a 3+2d ,6a 6=3a 3+3d ,因此1a 3+1a 6=1a 3+163a 3+3d =123a 3+d =12×4a 4=2a 4,故选项C 正确;a 6=2a 3da 3+1,a 4=4a 3da 3+3,不满足a 3+a 6=2a 4,故选项A 错误;a 5=5a 32da 3+3,a 3+a 6≠a 4+a 5,故选项B 错误;1a 3+1a 6=32a 3+12d ,1a 4+1a 5=2720a 3+1320d ,则1a 3+1a 6≠1a 4+1a 5,故选项D 错误.故选C .7.A 解析 设数列{a n }的公比为q ,则q 3=a 4a 1=-18,所以q=-12,所以S n =a 1(1-q n )1-q=8[1-(-12) n ]1-(-12)=1631--12n.当n 为偶数时,S n =1631-12n,即S 2<S 4<S 6<…<163;当n 为奇数时,S n =163(1+12n),即S 1>S 3>S 5>…>163,所以数列{S n }有最大项S 1,最小项S 2,故选A .8.D 解析 由题意知,函数f (n )为最接近√n 的整数.f (1)=1,f (2)=1,f (3)=2,f (4)=2,f (5)=2,f (6)=2,f (7)=3,f (8)=3,f (9)=3,f (10)=3,f (11)=3, f (12)=3,…,由此可得在最接近√n 的整数f (n )中,有2个1,4个2,6个3,8个4,….又由a n =1f (n ),可得a 1=a 2=1,a 3=a 4=a 5=a 6=12,a 7=a 8=…=a 12=13,…,则a 1+a 2=2,a 3+a 4+a 5+a 6=2,a 7+a 8+…+a 12=2,….因为数列{a n }的前m 项和为20,即S m =10×2=20,可得m 为首项为2,公差为2的等差数列的前10项和,所以m=10×2+10×92×2=110.故选D .9.ABC 解析 当n=2时,有a 2a 1-a 1+1=0,即12a 2-12+1=0,解得a 2=-1,同理可得a 3=2,a 4=12,因此数列{a n }的项以3为周期重复出现,且S 3=a 1+a 2+a 3=12-1+2=32,所以a 6=a 3=2,故选项A正确;S 12=4S 3=4×32=6,故选项B 正确;因为a 11=a 2=-1,a 10=a 1=12,a 12=a 3=2,所以a 112=a 10a 12,故选项C 正确;因为2S 11=2(S 9+a 10+a 11)=23×32+12-1=8,S 10+S 12=S 9+a 10+S 12=3S 3+4S 3+a 10=7×32+12=11,所以2S 11≠S 10+S 12,故选项D 不正确,故选ABC.10.AD 解析 对于A 选项,设b n =1a n ,则b n+1b n =a n a n+1=1q (n ≥1,n ∈N *),所以数列1a n 为等比数列,故A 正确;对于B 选项,若a n <0,则log 2a n 没意义,故B 错误;对于C 选项,当q=-1时,a n +a n+1=0,等比数列的任一项都不能为0,故C 错误;对于D 选项,由题意得q ≠1,S n =a 1(1-q n )1-q=a 1q q -1q n-1-a 1q -1.由S n =3n-1+r 得,q=3,a 1q q -1=1,即a 1=23,所以r=-a 1q -1=-13,故D 正确.故选AD .11.BCD 解析 由圆C :(x-2)2+y 2=a n 2(a n >0),则圆心C (2,0),半径为a n .因为直线3x+4y+n=0与圆C :(x-2)2+y 2=a n 2(a n >0)相切,所以圆心C (2,0)到直线3x+4y+n=0的距离为a n ,即√9+16=n+65=a n ,则a 1=75,故选项A 错误;由a n =n+65,可得a n+1-a n =15,所以数列{a n }是以15为公差的等差数列,故选项B 正确;将(0,0)代入C :(x-2)2+y 2=a n 2,解得a n =2.由n+65=2,解得n=4,所以当n=4时,圆C 过坐标原点,故选项C 正确;设数列{a n }的前n 项和为S n ,则S n =n(75+n+65)2=n (n+13)10,所以S 10=10×(10+13)10=23,故选项D 正确.故选BCD.12.BC 解析 由题意可得a 1=1,a 2=a 1+2×12,a 3=a 2+2×122,以此类推可得a n+1=a n +2×12n ,则a n+1-a n =22n ,所以a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1)=1+221+222+…+22n -1=1+1-12n -11-12=3-12n -2,所以数列{a n }不是等比数列,故A 错误;对于B 选项,S 10=3×10-2(1-1210)1-12=26+128=6 657256,故B 正确;对于C 选项,a n =3-12n -2<3恒成立,故C 正确;对于D 选项,因为a n =3-12n -2>0恒成立,且a n+1-a n =3-12n -1-3+12n -2=12n -1>0,则数列{S n }为递增数列,所以数列{S n }无最大值,因此不存在正数m ,使得S n <m ,故D 错误.故选BC .13.1 解析 因为数列{a n }为公差为d 的等差数列,所以S 2n =2n (a 1+a 2n )2=n (a 1+a 2n ),S n =n (a 1+a n )2.又S 2n =2S n +n 2,所以n (a 1+a 2n )=2×n (a 1+a n )2+n 2,即a 1+a 2n =a 1+a n +n ,所以a 2n -a n =nd=n ,解得d=1.14.2n+1-2 解析 设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q (q>0),首项为a 1(a 1>0). 因为a n a n+1=22n+1,所以a n+1a n+2=22n+3,因此a n+1a n+2an a n+1=22n+322n+1=4,即q 2=4,所以q=2.而a 1a 2=8,即a 12q=8,所以a 1=2,所以S n =2(1-2n )1-2=2n+1-2.15.95 解析 因为a n +a n+2=n (n ∈N *),所以a n+1+a n+3=n+1(n ∈N *),所以a n +a n+1+a n+2+a n+3=2n+1(n ∈N *),所以S 20=a 1+a 2+…+a 20=(a 1+a 2+a 3+a 4)+…+(a 17+a 18+a 19+a 20)=2×1+1+2×5+1+2×9+1+2×13+1+2×17+1=2×(1+5+9+13+17)+5=2×(1+17)×52+5=95. 16.ln33,+∞ 解析 若存在p ∈R ,使得a n ≤pn 对任意的n ∈N *都成立,则p ≥lnnnmax .设f (x )=lnxx(x ∈N *),则f'(x )=1x ·x -lnxx 2.令f'(x )=1-lnxx 2=0,解得x=e,所以函数f (x )在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以函数在x=e 时取最大值.因为n ∈N *,所以当n=3时函数最大值为ln33,所以p 的取值范围是ln33,+∞. 17.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d. 因为a n +2a n+1=3n+5,所以{a 1+2a 2=8,a 2+2a 3=11即{3a 1+2d =8,3a 1+5d =11,解得{a 1=2,d =1,所以a n =2+(n-1)=n+1.经检验,a n =n+1符合题设,所以数列{a n }的通项公式为a n =n+1. (2)由(1)得,1a n a n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2,所以S n =12−13+13−14+…+1n+1−1n+2=12−1n+2. 因为n ∈N *,所以S n <12.又因为∀n ∈N *,S n <-λ2+4λ, 所以-λ2+4λ≥12,即(λ-2)2≤72. 因为λ为偶数,所以实数λ的值为2.18.解 (1)设等比数列{a n }的公比为q.由4a 1,3S 2,2S 3是等差数列{b n }的前三项,得6S 2=4a 1+2S 3,即3S 2=2a 1+S 3, 所以3(a 1+a 1q )=2a 1+a 1+a 1q+a 1q 2,整理得q 2=2q ,解得q=2. 由a 3=2,得a 1×22=2,所以a 1=12, 所以S n=12(1-2n )1-2=2n -12. (2)由(1)得a n =2n-2,所以4a 1=2,3S 2=92,2S 3=7, 即等差数列{b n }的前三项为2,92,7, 所以b n =2+(n-1)92-2=12(5n-1).由a n >b n ,得12×2n-1>12×(5n-1),即2n-1>5n-1. 令c n =2n-1-5n+1,则有c n+1-c n =2n-1-5.当1≤n ≤3时,c n+1-c n <0,即c 1>c 2>c 3>c 4; 当n ≥4时,c n+1-c n >0,即c 4<c 5<…<c n <…. 而c 1=-3,c 5=-8,c 6=3,所以使a n >b n 的n 的取值范围是{n|n ≥6,n ∈N *}. 19.解 (1)若选①.因为a 1+3a 2+32a 3+…+3n-1a n =n·3n (n ∈N *),所以当n ≥2时,a 1+3a 2+32a 3+…+3n-2a n-1=(n-1)·3n-1, 两式相减得3n-1a n =(2n+1)·3n-1,则a n =2n+1. 又a 1=2+1=3,符合上式,所以a n =2n+1(n ∈N *). 若选②.由于c1+c2+…+c n=1a2−1a1+1a3−1a2+…+1a n+1−1a n=1a n+1−1a1=12n+3−13,又a1=3,所以a n+1=2n+3,因此当n≥2时,a n=2n+1.又a1=2+1=3,符合上式,所以a n=2n+1(n∈N*).若选③.当n=1时,a1=3.因为S n=(a n+1)24-1(n∈N*),所以当n≥2时,S n-1=(a n-1+1)24-1(n∈N*),两式相减得a n=S n-S n-1=(a n+1)24−(a n-1+1)24,即4a n=a n2+2a n+1-a n-12-2an-1-1,所以(a n+a n-1)(a n-a n-1-2)=0.又a n>0,所以a n-a n-1=2, 故数列{a n}为等差数列,而a1=3,d=2,所以a n=2n+1.(2)由已知得b n=2n,所以a bn =2b n+1=2n+1+1,易知数列{a bn}为递增数列.又210=1 024<2 021,211=2 048>2 021,所以n+1≤10,n≤9,n∈N*,所以数列{a bn}中有9个小于2 021的项.20.解(1)当n=1时,tS2-S1=t(a2+a1-1),解得a1=t,当n≥2时,tS n+1-S n=t(a n+1+a n-1),tS n-S n-1=t(a n+a n-1-1),两式相减得ta n+1-a n=t(a n+1-a n-1),即a n=ta n-1.又因为a1=t≠0,所以a n-1≠0,即a na n-1=t,所以数列{a n}是以t为首项,t为公比的等比数列,故数列{a n}的通项公式为a n=t n,n∈N*.(2)由题意可知,2b2=b1+b3,即4a2=3a1+a3,所以4t2=3t+t3.因为t≠0,所以t2-4t+3=0,解得t=3,t=1.又因为t≠1,所以t=3,故a n=3n,n∈N*.设数列{b n}的公差为d.由b1=9,b2=18,b3=27,可知d=9,因此b n=b1+(n-1)d=9+9(n-1)=9n,所以a n b n=9n·3n=n·3n+2,所以T n=1×33+2×34+3×35+…+n·3n+2, ①3T n=1×34+2×35+…+(n-1)·3n+2+n·3n+3, ②①-②得-2T n=33+34+35+…+3n+2-n·3n+3=3n+3-272-n·3n+3,所以T n=(2n-1)3n+3+274.21.解(1)因为nS n+1=(n+1)S n+n(n+1),所以S n+1n+1=S nn+1.又因为S1=a1=1,所以数列S nn是以1为首项,1为公差的等差数列,因此S nn=n,即S n=n2.当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-1,又因为a1=1符合上式,故a n=2n-1(n∈N*).(2)由(1)知b n=[√a n]=[√2n-1],当n∈{1,2}时,b n=[√2n-1]=1;当n∈{3,4}时,b n=[√2n-1]=2;当n∈{5,6,7,8}时,b n=[√2n-1]=3;当n∈{9,10,11,12}时,b n=[√2n-1]=4;当n∈{13,14,15,16,17,18}时,b n=[√2n-1]=5;当n∈{19,20,21,22,23,24}时,b n=[√2n-1]=6;当n∈{25,26,…,31,32}时,b n=[√2n-1]=7; 当n∈{33,34,…,37,40}时,b n=[√2n-1]=8;当n∈{41,42,…,49,50}时,b n=[√2n-1]=9;当n=51时,b n=[√2n-1]=10,所以数列{b n}的前51项和T51=2×1+2×2+4×3+4×4+6×5+6×6+8×7+8×8+10×9+1×10=320.22.(1)解因为m=1,所以f(x)=x2+1.因为a1=0,所以a2=f(a1)=f(0)=1,a3=f(a2)=f(1)=2,a4=f(a3)=f(2)=5.(2)解存在.(方法1)假设存在实数m,使得a2,a3,a4成公差不为0的等差数列,则a2=f(0)=m,a3=f(m)=m2+m,a4=f(a3)=(m2+m)2+m.因为a2,a3,a4成等差数列,所以2a3=a2+a4,所以2(m2+m)=m+(m2+m)2+m,化简得m2(m2+2m-1)=0,解得m=0(舍),m=-1±√2.经检验,此时a2,a3,a4的公差不为0,所以存在m=-1±√2,使得a2,a3,a4成公差不为0的等差数列.(方法2)因为a2,a3,a4成等差数列,所以a3-a2=a4-a3,即a22+m-a2=a32+m-a3,所以(a32−a22)-(a3-a2)=0,即(a3-a2)(a3+a2-1)=0.因为公差d≠0,故a3-a2≠0,所以a3+a2-1=0,解得m=-1±√2.经检验,此时a2,a3,a4的公差不为0,所以存在m=-1±√2,使得a2,a3,a4成公差不为0的等差数列.(3)证明因为a n+1-a n=a n2+m-a n=a n-122+m-14≥m-14,且m>14,所以令t=m-14>0,得a n-a n-1≥t,a n-1-a n-2≥t,…,a2-a1≥t.将上述不等式全部相加得a n-a1≥(n-1)t,即a n≥(n-1)t, 因此要使a k>2 021成立,只需(k-1)t>2 021,因此只要取正整数k>2021t+1,就有a k≥(k-1)t>2021t·t=2 021.综上,当m>14时,总能找到k∈N*,使得a k>2 021.11。
2021年广东省春季高考数学模拟试卷(6)(解析版)
2021年广东春季高考数学模拟试卷(6)解析版注：本卷共22小题，满分150分。
一、单选题（本大题共15小题，每小题6分，满分90分）1．已知集合{}02A x x =<<，集合{}13B x x =<<，则（ ）A ．{}01A B x x ⋂=<<B ．{}03A B x x ⋂=<<C ．{}12A B x x ⋃=<< D ．{}03A B x x ⋃=<<【答案】D 【解析】 【分析】根据题中条件，由交集和并集的概念，直接计算，即可得出结果. 【详解】因为集合{}02A x x =<<，集合{}13B x x =<<，所以{}03A B x x ⋃=<<，{}12A B x x ⋂=<<， 故ABC 都错，D 正确. 故选：D. 【点睛】本题主要考查求集合的交集和并集，属于基础题型. 2．下列各组函数表示同一函数的是（ ）A ．2(),()f x g x =B ．0()1,()f x g x x ==C ．21()1,()1x f x x g x x -=+=-D ．(),()f x x g x ==【答案】D 【解析】 【分析】根据函数定义域和对应关系，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断. 【详解】对A ：()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为[)0,+∞，定义域不同；对B ：()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，定义域不同； 对C ：()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为()(),11,-∞⋃+∞，定义域不同； 对D ：()(),f x g x 定义域都为R ，且()()g x x f x ==，故两函数相等； 故选：D . 【点睛】本题考查函数相等的判断，一般从定义域和对应关系入手考虑即可，同时要注意细节即可. 3．已知()f x 是实数集上的偶函数，且在区间[0,)+∞上是增函数，则(2)f -，()f π-，(3)f 的大小关系是（ ）A ．()(2)(3)f f f π->->B ．(3)()(2)f f f π>->-C ．(2)(3)()f f f π->>-D ．()(3)(2)f f f π->>-【答案】D 【解析】 【分析】结合()f x 的奇偶性和单调性比较出三者的大小关系.因为()f x 是实数集上的偶函数，所以(2)(2)f f -=，()()f f ππ-=， 又因为在区间[0,)+∞上是增函数，并且32π>>，所以()(3)(2)f f f π>>， 所以()(3)(2)f f f π->>-，所以D 选项的正确的． 故选：D 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题. 4．已知函数()sin(2)()2f x x x R π=-∈下列结论错误的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 是偶函数C ．函数()f x 的图象关于直线4x π=对称D ．函数()f x 在区间[0,]2π上是增函数【答案】C 【解析】试题分析：原函数利用诱导公式化简为：()sin 2cos 22f x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，此函数为最小正周期为π的偶函数，所以A,B 正确，函数的对称轴由：()2x k k Z π=∈得到：()2k x k Z π=∈，显然，无论k 取任何整数，4x π≠，所以C 错误，答案为C.考点：1.诱导公式；2.三角函数的性质.5．在ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果::1:2:3A B C =，那么::a b c 等于（ ）A ．2B ．1:2:3C ．1:4:9D ．【解析】 【分析】先根据::1:2:3A B C =可求出,,A B C ，再利用正弦定理可知::sin :sin :sin a b c A B C =，即可求解. 【详解】在ABC 中，::1:2:3A B C =，,,632A B C πππ∴===，由正弦定理可得1::sin :sin :sin :22a b c A B C ===. 故选：A. 【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题.6．已知平面向量()3,1a =，(),3b x =-，且a b ⊥，则x =（ ） A ．3- B ．1-C ．3D ．1【答案】D 【解析】 【分析】由330a b x ⋅=-=解得结果可得解. 【详解】 ∵a b ⊥，∴330a b x ⋅=-=； ∴1x =.【点睛】本题考查了平面向量垂直的坐标表示，属于基础题.7．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ， 22a ， 3a 成等差数列，若11a =，则4s =（ ） A ．7 B ．8C ．15D ．16【答案】C 【解析】试题分析：由数列为等比数列，且成等差数列，所以，即，因为，所以，解得：，根据等比数列前n 项和公式．考点：1．等比数列通项公式及前n 项和公式；2．等差中项．8．关于x 的不等式210x mx -+>的解集为R ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()0,4B ．()(),22,-∞-+∞C ．[]22-,D ．()2,2-【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得出∆<0，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】不等式210x mx -+>的解集为R ，所以∆<0，即240m -<，解得22m -<<.因此，实数m 的取值范围是()2,2-. 故选：D. 【点睛】本题考查利用一元二次不等式恒成立求参数，考查计算能力，属于基础题. 9．设α、β、γ为平面，a 、b 为直线，给出下列条件：①a α⊂，b β⊂，//a β，//b α ②//αγ，//βγ③αγ⊥，βγ⊥ ④a α⊥，b β⊥，//a b 其中能推出//αβ的条件是（ ）. A ．①② B ．②③C ．②④D ．③④【答案】C 【解析】 【分析】由①③分别可举反例，而②是面面平行的判定，④面面平行的推论，即可知答案 【详解】 ①有如下反例：故，不能推出//αβ②面面平行的判定：平行于同一个平面的两个平面平行，能推出//αβ③有如下反例：故，不能推出//αβ④面面平行的推论：如果两个平面的垂线平行，那么这两个平面平行，能推出//αβ 故选：C 【点睛】本题考查了面面平行，对“面面平行的判定与性质”等考点的理解，属于简单题 10．过点()3,4P 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线有( ) A ．0条 B ．1条C ．2条D ．3条【答案】C 【解析】 【分析】过点A 且在x 、y 轴上的截距互为相反数的直线有2条，分别求出即可． 【详解】设直线在x 、y 轴上的截距分别为a 和()0a a -≠，则直线l 的方程为1x ya a-=， 直线过点()3,4A ，341a a∴-=，解得：1a =-， 此时直线l 的方程为10x y -+=；当0a =时，直线过原点，设直线方程为y kx =，过点()3,4A ，此时直线l 的方程为43y x =， 即430x y -=；综上，直线l 的方程有2条． 故选：C ． 【点睛】本题考查了直线的截距式方程应用问题，容易疏忽过原点的情况，是基础题．11．某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40,90]之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（ ）A ．得分在[40,60)之间的共有40人B ．从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60,80)的概率为0.5C ．估计得分的众数为55D ．这100名参赛者得分的中位数为65 【答案】D 【解析】 【分析】根据频率和为1，求得0.005a =，根据得分在[40,60)的频率是0.40，得到A 正确；根据得分在[60,80)的频率为0.5，得到B 正确；根据最高的小矩形对应的底边中点为50260+，得到C 正确，进而得到答案．【详解】根据频率和为1，计算(0.0350.0300.0200.010)101a ++++⨯=，解得0.005a =，得分在[40,60)的频率是0.40，估计得分在[40,60)的有1000.4040⨯=人，A 正确；得分在[60,80)的频率为0.5，可得这100名参赛者中随机选取一人，得分在[60,80)的概率为0.5，B 正确；根据频率分布直方图知，最高的小矩形对应的底边中点为5060525+=，即估计众数为55，C 正确，故选D. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中对于用样本估计总体主要注意以下两个方面：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观；2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.12．从1、2、3、4这4个数中一次随机地取2个数，记所取的这2个数的和为m ，则下列说法错误的是（ ）A ．事件“5m =”的概率为13B ．事件“5m ≥”的概率为12C ．事件“4m =”与事件“6m =”为互斥事件D ．事件“7m =”与事件“7m <”互为对立事件 【答案】B 【解析】 【分析】列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可判断A 、B 选项的正误，利用互斥事件的概念可判断C 选项的正误，利用对立事件的概念可判断D 选项的正误，综合可得出结论. 【详解】从1、2、3、4这4个数中一次随机地取2个数，所有的基本事件有：()1,2、()1,3、()1,4、()2,3、()2,4、()3,4，共6种，事件“5m =”包含的基本事件有：()1,4、()2,3，共2个，则()21563P m ===； 事件“5m ≥”包含的基本事件有：()1,4、()2,3、()2,4、()3,4，则()42563P m ≥==； 由互斥事件的定义可知，事件“4m =”与事件“6m =”为互斥事件；事件“7m =”包含的基本事件有：()3,4，事件“7m <”包含的基本事件有：()1,2、()1,3、()1,4、()2,3、()2,4，由对立事件的定义可知，事件“7m =”与事件“7m <”互为对立事件.综上所述，A 、C 、D 选项正确，B 选项错误. 故选：B. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，同时也考查了互斥事件和对立事件的判断，考查计算能力与推理能力，属于基础题.13．已知0,0x y >>，231x y +=，则48x y +的最小值为（ ） A ．8 B ．6C ．22D ．33【答案】C 【解析】 【分析】结合题中的条件利用基本不等式求解48x y +的最小值即可. 【详解】∵00x y >>，，231x y +=，∴232482x y x y ≥+=+= 当且仅当2322x y =即11,46x y ==时，等号成立，所以48x y +的最小值为 故选：C【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，属于基础题.14．定义运算,*,m m n m n n m n≥⎧=⎨<⎩，则函数()()*01x x f x a a a -=<<的大致图象为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】【分析】根据新定义运算将()f x 表示为分段函数的形式，由此判断出()f x 的图象.【详解】依题意，定义运算,*,m m n m n n m n ≥⎧=⎨<⎩，而01a <<， 所以(),0,0x x a x f x a x -⎧≤=⎨>⎩，当0x ≤时，()01x y a a =<<递减，且函数值不小于1.当0x >时()01x y a a -=<<递增，且函数值大于1.结合指数函数的图象的特点可知()f x 的图象为B 选项对应的图象，D 选项对应的图象不符合. 故选：B【点睛】本小题主要考查新定义运算，考查函数图象的识别，属于基础题.15．已知数列{a n }满足a n ＝1+2+3++n ，则122020111a a a +++=（ ） A ．20202021 B ．20191010 C ．20192020 D ．40402021【答案】D【解析】【分析】利用等差数列求和公式化简n a ，再利用裂项相消法求和.【详解】因为()12n n n a +=，则1112[]1n a n n =-+， 所以2202011111111140402[1]223202*********a a a +++=⨯-+-++-=. 故选：D【点睛】本题考查等差数列求和公式、裂项相消法求和，属于基础题.二、填空题16．直线l ：3450x y --=被圆C ：22240x y x y +--=截得的弦AB 的长为______．【答案】2【解析】【分析】先求出圆心和半径，再求圆心到直线的距离，然后利用勾股定理可求得答案【详解】解：由22240x y x y +--=，得22(1)(2)5x y -+-=，则圆心(1,2)C圆心(1,2)C 到直线3450x y --=的距离为1025d ===， 所以弦AB 的长为2=故答案为：2【点睛】 此题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题17．若函数()ln ,01,02x x x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，则1f f e ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________． 【答案】2【解析】【分析】 根据分段函数解析式，由内而外逐步代入，可得1f f e ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值 【详解】11ln 1f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()111122f f f e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故答案为：2【点睛】本题考查分段函数求函数值，属于简单题.18．给出下列四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若a ，b 满足||||a b >且a ，b 同向，则a b >；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④对于任意向量a ，b ，必有||||||a b a b +≤+.其中正确命题的序号为________.【答案】④【解析】【分析】根据向量的基本概念对四个选项逐一判断即可.【详解】对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错误；对于②，向量是不能比较大小的，故②错误；对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错误；只有④正确.故答案为：④【点睛】本题主要考查了向量的相关概念，属于基础题.19．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.【答案】1:47【解析】【分析】求出长方体体积与三棱锥的体积后即可得到棱锥的体积与剩下的几何体体积之比.【详解】设长方体长宽高分别为2a ，2b ，2c ，所以长方体体积12228V a b c abc =⨯⨯=， 三棱锥体积2111326V a b c abc =⨯⨯⨯⨯=， 所以棱锥的体积与剩下的几何体体积的之比为：21211614786abc V V V abc ==-⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为：1:47.【点睛】本题主要考查了长方体体积公式，三棱锥体积公式，属于基础题.三、解答题20．若平面向量3,2sin 2x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, cos ,cos 2x n x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()x R ∈，函数()f x m n =⋅． （1）求函数()f x 的值域；（2）记ABC ∆的内角、、A B C 的对边长分别为c a b 、、，若()f A =2b c =，求角C 的值．【答案】（1）[]22-,（2）6C π=【解析】【分析】（1）根据向量数量积运算,代入坐标可得()f x 的表达式,进而得到值域.（2）先求得角A,再由2b c =及2222cos a b c bc A =+-求得a 、c 的关系，进而得到角C ．【详解】（1）由()f x m n =⋅代入坐标,可得 ()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 得函数()f x 的值域为[]22-,（2）因为()f A =所以sin 3A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 又()0,A π∈ 所以3A π=由2b c =及2222cos a b c bc A =+-得a =则sin sin A a C c==所以1sin 2C =因为a c >所以A C > 则6C π=【点睛】本题考查了向量的坐标运算，正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题．21．如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是菱形,PA PC =,E 为PB 的中点.(1)求证:PD 面AEC ；(2)求证:平面AEC ⊥平面PDB .【答案】（1）要证明线面平行，则可以根据线面平行的判定定理来证明．（2）对于面面垂直的证明，要根据已知中的菱形的对角线垂直，以及AC ⊥面PBD 来加以证明．【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）由题意得只需在平面AEC 内找一条直线与直线PD 平行即可．设AC BD O =，连接EO ，由三角形中位线可得PD EO 即得；（2）连接PO ，由题意得PO⊥AC ，又底面为菱形，则AC⊥BD ，由面面垂直的判定定理即得．试题解析：（1）证明：设AC BD O =，连接EO ，因为O ，E 分别是BD ，PB 的中点，所以PD EO 而,PD AEC EO AEC ⊄⊂面面，所以PD 面AEC（2）连接PO ，因为PA PC =，所以AC PO ⊥，又四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥ 而PO ⊂面PBD ，BD ⊂面PBD ，PO BD O =，所以AC ⊥面PBD又AC ⊂面AEC ，所以面AEC ⊥面PBD考点：1．线面平行的判定定理；2．面面垂直的判定定理；22．在新冠肺炎疫情的影响下，南充高中响应“停课不停教，停课不停学”的号召进行线上教学，高二年级的甲､乙两个班中，需根据某次数学测试成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次测试他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86．（1）求出x ，y 的值，且分别求甲､乙两个班中5名学生成绩的方差2212,S S ，并根据结果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？（2）从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名．求至少有1名来自甲班的概率．【答案】（1）答案见解析 ．（2）710【解析】【分析】（1）根据甲平均成绩可计算得x 的值，根据乙中位数可得y 的值;由方差公式即可求得两个班的方差,并根据平均数和方差的意义,作出选择.（2）根据古典概型概率求法,列举出所有可能,即可求解.【详解】（1）甲班的平均分为1748284(80)90835x x +++++==， 解得5x =易知6y =．()()()()()22222217483828384838583908327.25S -+-+-+-+-==； 又乙班的平均分为283x =，∴()()()()()22222227383758386839083918357.25S -+-+-+-+-==； ∵12x x =，2212S S <，说明甲班同学成绩更加稳定，故应选甲班参加．（2）85分及以上甲班有2人，设为,a b ；乙班有3人，设为,,x y z ，从这5人中抽取2人的选法有：,,,,,,,,,ab ax ay az bx by bz xy xz yz ，共10种，其中甲班至少有1名学生的选法有7种，则甲班至少有1名学生被抽到的概率为710 P【点睛】本题考查了茎叶图求的简单应用,方差公式求方差值,古典概型概率的求法应用,属于基础题.。
2021年广东省春季高考数学模拟试卷(1)(解析版)
2021年广东春季高考数学模拟试卷(1)解析版注：本卷共22小题，满分150分。
一、单选题（本大题共15小题，每小题6分，满分90分）1．已知集合{}2,3,4,6A =，{}1,2,3,4,5B =，则A B =（）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}2,3D ．{}2,3,4【答案】D【解析】【分析】直接利用交集的定义计算即可.【详解】因为{}2,3,4,6A =，{}1,2,3,4,5B =，所以{}2,3,4A B =.故故:D.【点睛】本题考查了集合交集的计算，属于基础题.2．圆C : x 2+y 2= 1的面积是（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π 【答案】C【解析】【分析】根据圆的方程即可知圆的半径，由圆的面积公式即可求其面积.【详解】由圆的方程知：圆C 的半径为1，所以面积2S r ππ==，故选：C【点睛】本题考查了圆的标准方程，由圆的方程求面积，属于简单题.3．的值为 （ ）A．- BC．- D．【答案】A【解析】()()2sin585sin 585720sin 1352=-=-=-. 4．已知实数,x y 满足不等式组2034802x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4【答案】D【解析】【分析】 画出可行域，然后作出目标函数的一条等值线20x y -=，通过平移等值线找到目标函数取最大值的最优解，可得结果.【详解】如图由2z x y =-，令0z =，则目标函数的一条等值线为20x y -=当该等值线经过点()2,0A 时，目标函数有最大值所以max 2204z =⨯-=故选：D【点睛】本题考查线性规划的问题，此种类型的问题，常看几步：（1）画出可行域；（2）根据线性的和非线性的理解z 的含义，然后简单计算，属基础题.5．设等差数列{}n a 的前n 项为n S ，若537,3a S ==，则6a =( ) A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D【解析】【分析】 由等差数列的性质得出11473(31)332a d a d +=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩，解出1,a d ，即可求出6a . 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d11473(31)332a d a d +=⎧⎪∴⎨⨯-+=⎪⎩ 解得11,2a d =-=61259a ∴=-+⨯=故选：D【点睛】本题主要考查了等差数列基本量的计算，属于基础题.6．如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则x y +的值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】C【解析】【分析】 观察茎叶图，利用甲组数据的中位数与乙组数据的平均数分别求出x y 、，相加即可.【详解】因为甲组数据的中位数为17，所以7x =，因为乙组数据的平均数为17.4，所以91616(10)2917.45y +++++=，解得7y =，所以14x y +=.故选：C【点睛】本题考查根据茎叶图求数据的中位数与平均数，属于基础题.7．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴，若(4,3)P 是角θ终边上的一点，则cos θ=（ ） A ．35 B ．45 C ．43 D ．34【答案】B【解析】【分析】由P 的坐标求得||OP ，再由任意角的三角函数的定义得答案.【详解】由(4,3)P ，得5OP ==，又角θ终边经过(4,3)P ，4cos 5θ∴=. 故选：B .【点睛】 本题主要考查任意角的三角函数的定义，是基础题.8．在ABC 中，10BC =，1sin 3A =，则ABC 的外接圆半径为（ ）A ．30B ．C ．20D ．15 【答案】D【解析】【分析】结合已知条件，由正弦定理即可求ABC 的外接圆半径.【详解】若外接圆半径为R ，由正弦定理知：||2sin BC R A=， ∴310152R =⨯=， 故选：D【点睛】 本题考查了正弦定理，由2sin a R A=结合已知边角求外接圆半径，属于简单题. 9．下列函数为偶函数，且在()0,∞+单调递增的是（ ）A ．1y x =B ．2y x x =+C ．22y x =-D ．2y x =-【答案】D【解析】【分析】采用逐一验证法，先判断函数的定义域，然后计算根据奇偶性以及单调性的判断方法可得结果.【详解】对A ：令()1==y f x x，定义域为()(),00,-∞⋃+∞ ()()11-===-f x f x x x，所以函数为偶函数，但该函数在()0,∞+单调递减，故A 错对B ：令()2==+y f x x x ，定义域为R ()()2-=-≠f x x x f x ，所以该函数不是偶函数，故B 错对C ：令()22==-y f x x ，定义域为R ()()22-=-=f x x f x ，所以函数为偶函数且在()0,∞+单调递减，故C 错对D ：令()2==-y f x x ，定义域为R()()2-=-=f x x f x 所以函数为偶函数且在()0,∞+单调递增，故D 正确故选：D【点睛】本题考查函数的性质，熟练掌握函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等，属基础题.10．设053a =．，30.5b =，3log 0.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>【答案】A【解析】【分析】 利用对数函数和指数函数的性质求解．【详解】解：∵00.51333<<，∴0.5131<<，即13a <<，∵3000.80.8<<，∴300.81<<，即01b <<，∵3log y x =在(0,)+∞上为增函数，且0.51<，∴33log 0.5log 10<=，即0c <∴a b c >>，故选：A ．【点睛】此题考查对数式、指数式比较大小，属于基础题11．函数()x f =的定义域为（ ）A ．[)()1,22,-⋃+∞B ．()1,-+∞C ．[)1,2-D ．[)1,-+∞【答案】A【解析】【分析】根据题意可得出关于x 的不等式组，由此可解得函数()f x 的定义域.【详解】对于函数()x f =，有1020x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥-且2x ≠.因此，函数()x f =的定义域为[)()1,22,-⋃+∞.故选：A.【点睛】本题考查函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.12．已知函数()()()21020x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若()10f a =，则a 的值是（）A ．3-或5B ．3或3-C ．3-D ．3或3-或5【答案】A【解析】【分析】 根据函数解析式，分别讨论0a ≤，0a >两种情况，结合题中条件，即可求出结果.【详解】若0a ≤，则()2110f a a =+=，∴3a =-（3a =舍去）， 若0a >，则()210f a a ==，∴5a =，综上可得，5a =或3a =-.故选：A ．【点睛】 本题主要考查由分段函数值求参数，属于基础题型.13．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈10=尺，1斛 1.62=立方尺，圆周率3π=），则该圆柱形容器能放米（ ）A ．900斛B ．2700斛C ．3600斛D ．10800斛【答案】B【解析】【分析】计算出圆柱形容器的底面圆半径，由此计算出圆柱形容器的体积，由此可得出结果.【详解】设圆柱形容器的底面圆半径为r ，则5454926r π===（尺）， 所以，该圆柱形容器的体积为221839184374V r π=⨯=⨯⨯=（立方尺）， 因此，该圆柱形容器能放米437427001.62=（斛）. 故选：B.【点睛】本题考查立体几何中的新文化，考查柱体体积的计算，考查计算能力，属于基础题. 14．已知直线l 过点(0,2)-，当直线l 与圆222x y y +=相交时，其斜率k 的取值范围是（ ） A．(- B．(,)-∞-⋃+∞C．44⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D．,44⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】【分析】由圆的方程可得圆的圆心和半径，再由直线与圆相交的性质即可得1d =<，即可得解.【详解】圆222x y y +=的方程可变为()2211x y +-=，圆心为()0,1，半径为1， 因为直线l 过点(0,2)-，且斜率为k ，所以直线l 的方程为2y kx +=即20kx y --=， 若要使直线l 与圆相交，则圆心到直线l的距离1d =<，解得((),k ∈-∞-⋃+∞.故选：B.【点睛】本题考查了直线与圆位置关系的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.15．已知x ，y 的几组对应数据如下表：根据上表求得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆ 2.2b =，那么ˆa =（ ） A ．2B ．1.6C ．1.2D ．11.2-【答案】B【解析】【分析】 求出样本点的中心，再代入回归直线的方程，从而求得ˆa的值. 【详解】∵012342369102,655x y ++++++++====， ∴样本点的中心()2,6，∴ˆˆ6 2.22 1.6aa =⨯+⇒=. 故选：B.【点睛】本题考查利用样本点的中心求回归直线方程的截距，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.二、填空题16．已知平面向量()2,2a =-，()1,b m =-，若a b ⊥，则b =______.【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算列关系求参数即可.【详解】解：∵a b ⊥，∴220a b m ⋅=--=，解得1m =-，()1,1b ∴=--，∴2b =..【点睛】本题考查了利用向量坐标运算求参数，属于基础题.17．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若2228log log 1a a +=，则37a a ⋅= ．【答案】2【解析】试题分析：由222822828log log 1log 12a a a a a a +=⇒⋅=⇒⋅= ，又数列{}n a 是等比数列，所以37282a a a a ⋅=⋅=考点：本题考查等比数列的性质，对数式的运算点评：解决本题的关键是熟练掌握等比数列的性质18．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中2,1AB BC ==，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是_____.【答案】4π 【解析】【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积之比即可得到结果．【详解】设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则2112()124P A ππ⨯==⨯. 故答案为：4π. 【点睛】本题主要考查了几何槪型的概率的计算，求出对应的图形的面积是解决本题的关键，属于基础题． 19．已知234a b +=，则48a b +的最小值为______.【答案】8【解析】【分析】由232428a a b b +=+，利用基本不等式即可求解.【详解】由234a b +=，则2322848a b a b =+≥===+，当且仅当232a b ==，即21,3a b ==时取等号， 故答案为：8【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.三、解答题20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,，已知35a =，39S =.（I ）求首项1a 和公差d 的值；（II ）若100n S =，求n 的值.【答案】（I ）11a =；2d =；（II ）10n =【解析】【分析】 （I ）利用()13332a a S +=求得11a =；根据等差数列通项公式可求得d ；（II ）利用等差数列前n 项和公式可构造出关于n 的方程，解方程求得结果.【详解】（I ）由题意得：()()1313335922a a a S ++===，解得：11a = 则公差3151222a a d --===（II ）由（I ）知：()2112n n n S na d n -=+= 若100n S =，即2100n =又*n N ∈，解得：10n =【点睛】本题考查等差数列通项公式和前n 项和的基本量的求解，涉及到等差数列通项公式和前n 项和公式的应用，属于基础题.21．已知函数()2sin cos 122f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（2）求函数()f x 的单调减区间.【答案】（1）π，最大值为2；（2）3,()44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）先化简得()sin 21f x x =+，即得函数的最小正周期和最大值；（2）解不等式3222()22k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即得解. 【详解】（1）()2sin()cos()12cos sin 12sin cos 122f x x x x x x x ππ=+-+=+=+ sin 21x =+ 所以函数的最小正周期为22T ππ==，当sin 21x =时最大值为2； （2）令3222()22k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以3()44k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ()f x ∴单调递减区间是3[,]()44k k k Z ππππ++∈. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，111B C CC ⊥，点E ，F 分别是BC ，11A B 的中点，平面11AC CA ⊥平面11BCC B ．（1）求证：111B C AC ⊥； （2）求证：EF //平面11AC CA ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据平面11AC CA ⊥平面11BCC B ，可得11B C ⊥平面11ACC A ，可得结果.（2）取11A C 的中点G ，根据 EC //FG ，且EC FG =，可得平行四边形FECG 是平行四边形，然后根据EF //GC ，以及线面平行的判定定理，可得结果.【详解】（1）因为111B C C C ⊥，平面11AC CA ⊥平面11BCC B ，平面11AC CA ⋂平面111BCC B C C =，11B C ⊂平面11BCC B ，则11B C ⊥平面11ACC A ．又因为1AC ⊂平面11AC CA ， 所以111B C AC ⊥． （2）取11A C 的中点G ，连接FG ，GC ．在111A B C △中，因为F ，G 分别是11A B ，11A C 的中点， 所以FG //11B C ，且1112FG B C =． 在平行四边形11BCC B 中，因为E 是BC 的中点， 所以EC //11B C ，且1112EC B C =， 所以EC //FG ，且EC FG =在平行四边形FECG 是平行四边形，所以EF //GC ．又因为EF ⊄平面11AC CA ，GC ⊂平面11AC CA ， 所以EF //平面11AC CA ．【点睛】本题考查面面垂直的性质定理，以及线面平行的判定，属基础题.。
2021年广东高考数学试卷含答案
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线 的图象，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线 上任取一点 ，对函数 求导得 ，
【详解】A： 且 ，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为 ，则第二组的中位数为 ，显然不相同，错误；
C： ，故方差相同，正确；
D：由极差的定义知：若第一组的极差为 ，则第二组的极差为 ，故极差相同，正确；
故选：CD
10.已知 为坐标原点，点 ， ， ， ，则（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
9.有一组样本数据 ， ，…， ，由这组数据得到新样本数据 ， ，…， ，其中 ( 为非零常数，则（）
A. 两组样本数据的样本平均数相同
B. 两组样本数据 样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同
D. 两组样数据的样本极差相同
【答案】CD
【解析】
【分析】A、C利用两组数据的线性关系有 、 ，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.
【详解】因为函数 的单调递增区间为 ，
对于函数 ，由 ，
解得 ，
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
则 ， ，A选项满足条件，B不满足条件；
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
且 ， ，CD选项均不满足条件
故选：A.
【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 形式，再求 的单调区间，只需把 看作一个整体代入 的相应单调区间内即可，注意要先把 化为正数．
广东省佛山市2021届新高考五诊数学试题含解析
广东省佛山市2021届新高考五诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】画出曲线与围成的封闭区域，表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，然后结合图形求解可得所求范围．【详解】画出曲线与围成的封闭区域，如图阴影部分所示．表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，设，结合图形可得或，由题意得点A,B的坐标分别为，∴，∴或，∴的取值范围为．故选D．【点睛】解答本题的关键有两个：一是根据数形结合的方法求解问题，即把看作两点间连线的斜率；二是要正确画出两曲线所围成的封闭区域．考查转化能力和属性结合的能力，属于基础题．2．若()*3n x n N x x ⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a ，则22a aa x dx --=（ ） A ．36πB ．812πC ．252πD ．25π【答案】C【解析】 ()*3x n n N x x ∈展开式的通项为 ()52133,0,1,,rn r n r r n r r r n n T C x C x r n x x ---+===L ，因为展开式中含有常数项，所以502n r -=，即25r n =为整数，故n 的最小值为1． 所以222252552a a x dx x dx π--⎰-=⎰-=.故选C 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.3．已知向量()0,2=r a ，()23,b x =r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则x=（ ） A ．-2B ．2C ．1D ．-1【答案】B【解析】【分析】 由题意cos 3a b a bπ⋅=r r r r ，代入解方程即可得解. 【详解】 由题意21cos 32212a b a b x π⋅===+r r r r ， 所以0x >，且2212x x =+2x =.故选：B.【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.4．在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点，2AM AD =u u u u r u u u r ，BM AB AC λμ=+u u u u r u u u r u u u r ，则λμ+=（ ）A ．12- B ．-2 C ．12 D ．2【答案】A【解析】【分析】 设BD k BC =u u u r u u u r ，用,AB AC u u u r u u u r 表示出BM u u u u r ，求出,λμ的值即可得出答案.【详解】设BD k BC k AC k AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r由2AM AD =u u u u r u u u r()112222k k BM BA BD AB AC AB ∴=+=-+-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1222k k AB AC ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ， 1,222k k λμ∴=--=， 12λμ∴+=-. 故选：A【点睛】本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题.5．已知集合{|12},{|15}=-<=-A x x B x x 剟?，定义集合*{|,,}==+∈∈A B z z x y x A y B ，则*(*)B A B 等于（ ）A ．{|61}-<x x „B ．{|112}<x x „C ．{|110}-<x x „D ．{|56}-<x x „【答案】C【解析】【分析】根据*A B 定义，求出*A B ，即可求出结论.【详解】因为集合{|15}=-B x x 剟，所以{|51}=--B x x 剟， 则*{|61}=-<A B x x „，所以*(*){|110}=-<B A B x x „.故选:C.【点睛】本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题.6．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）A ．413B ．213C ．926D 313【答案】A【解析】【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．【详解】在ABD ∆中，3AD =，1BD =，120ADB ∠=︒，由余弦定理，得222cos12013AB AD BD AD BD =+-⋅︒ 所以13DF AB =. 所以所求概率为24=1313DEF ABC S S ∆∆=.故选A.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．7．当0a >时，函数()()2x f x x ax e =-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】由()0f x =，解得20x ax -=，即0x =或x a =，0,a >∴Q 函数()f x 有两个零点，,A C ∴，不正确，设1a =，则()()()()22,'1x x f x x x e f x x x e =-∴=+-，由()()2'10x f x x x e =+->，解得152x -+>或152x --<，由()()2'10x f x x e =-<，解得：151522x ---+-<<，即1x =-是函数的一个极大值点，D ∴不成立，排除D ，故选B.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.8．在ABC V 中，点P 为BC 中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM AB λ=u u u u r u u u r ，(0,0)AN AC μλμ=>>u u u r u u u r ，则λμ+的最小值为（ ）A ．54B ．2C ．3D ．72【答案】B【解析】【分析】由M ，P ，N 三点共线，可得11122λμ+=，转化11()22λμλμλμ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用均值不等式，即得解.【详解】因为点P 为BC 中点，所以1122AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ， 又因为AM AB λ=u u u u r u u u r ，AN AC μ=u u u r u u u r ， 所以1122AP AM AN λμ=+u u u r u u u u r u u u r ． 因为M ，P ，N 三点共线， 所以11122λμ+=，所以111111()12222222λμλμλμλμμλ⎛⎫⎛⎫+=++=++++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…， 当且仅当,11122λμμλλμ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即1λμ==时等号成立，所以λμ+的最小值为1．故选：B【点睛】本题考查了三点共线的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.9．已知平面向量,a b r r ，满足1,13a b ==r r ，且2a b a b +=+r r r r ，则a r 与b r 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【答案】C【解析】【分析】 根据2a b a b +=+r r r r ， 两边平方222a b a b +=+r r r r ，化简得()223ab a =-r r r ，再利用数量积定义得到()22cos ,3a b a b a =-r r r r r 求解. 【详解】因为平面向量,a b r r ，满足1,13a b ==r r ，且2a b a b +=+r r r r ， 所以222a b a b +=+r r r r ，所以()223ab a =-r r r，所以 ()22cos ,3a b a b a =-r r r r r ， 所以1cos ,2a b =-r r ， 所以a r 与b r 的夹角为23π. 故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的模，向量的夹角和数量积运算，属于基础题.10．若某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则此几何体的体积是（ ）A ．36 cm 3B ．48 cm 3C ．60 cm 3D ．72 cm 3【答案】B【解析】 试题分析：该几何体上面是长方体，下面是四棱柱；长方体的体积，四棱柱的底面是梯形，体积为，因此总的体积.考点：三视图和几何体的体积. 11．古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为( )A ．15B ．25C ．35D ．110【答案】B【解析】【分析】推导出基本事件总数，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，由此能求出6和28恰好在同一组的概率．【详解】解：将五个“完全数”6，28，496，8128，33550336，随机分为两组，一组2个，另一组3个，基本事件总数2353C 10n C ==，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数202123234m C C C C =+=，∴6和28恰好在同一组的概率42105m p n ===． 故选：B ．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 12．圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．12πB ．32πC ．2πD ．3π【答案】B【解析】【分析】 三视图对应的几何体为如图所示的几何体，利用割补法可求其体积.【详解】根据三视图可得原几何体如图所示，它是一个圆柱截去上面一块几何体，把该几何体补成如下图所示的圆柱，其体积为213π⨯⨯，故原几何体的体积为32π.故选：B.【点睛】本题考查三视图以及不规则几何体的体积，复原几何体时注意三视图中的点线关系与几何体中的点、线、面的对应关系，另外，不规则几何体的体积可用割补法来求其体积，本题属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省佛山市2021届新高考数学四模试卷含解析
广东省佛山市2021届新高考数学四模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．运行如图程序，则输出的S 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2018D ．2017【答案】D【解析】【分析】【详解】 依次运行程序框图给出的程序可得 第一次：2017sin2018,32S i π=+==，不满足条件； 第二次：32018sin 201812017,52Si π=+=-==，不满足条件； 第三次：52017sin 2018,72Si π=+==，不满足条件； 第四次：72018sin 201812017,92Si π=+=-==，不满足条件； 第五次：92017sin 2018,112Si π=+==，不满足条件； 第六次：112018sin 201812017,132S i π=+=-==，满足条件，退出循环．输出1．选D ． 2．某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A 必须排在前三项执行，且执行任务A 之后需立即执行任务E ，任务B 、任务C 不能相邻，则不同的执行方案共有（ ）A ．36种B ．44种C ．48种D ．54种【答案】B【解析】【分析】 分三种情况，任务A 排在第一位时，E 排在第二位；任务A 排在第二位时，E 排在第三位；任务A 排在第三位时，E 排在第四位，结合任务B 和C 不能相邻，分别求出三种情况的排列方法，即可得到答案．【详解】六项不同的任务分别为A 、B 、C 、D 、E 、F ，如果任务A 排在第一位时，E 排在第二位，剩下四个位置，先排好D 、F ，再在D 、F 之间的3个空位中插入B 、C ，此时共有排列方法：222312A A =；如果任务A 排在第二位时，E 排在第三位，则B ，C 可能分别在A 、E 的两侧，排列方法有122322=12C A A ，可能都在A 、E 的右侧，排列方法有2222=4A A ；如果任务A 排在第三位时，E 排在第四位，则B ，C 分别在A 、E 的两侧11222222=16C C A A ；所以不同的执行方案共有121241644+++=种．【点睛】本题考查了排列组合问题，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题．3．如图是二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象，则函数()ln ()g x a x f x '=+的零点所在的区间是（ ）A ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】B【解析】【分析】根据二次函数图象的对称轴得出b 范围，y 轴截距，求出a 的范围，判断()g x 在区间端点函数值正负，即可求出结论.【详解】∵2()f x x bx a =-+，结合函数的图象可知，二次函数的对称轴为2b x =，0(0)1<=<f a ， 1122<=<b x ，∵()2'=-f x x b ， 所以()ln ()ln 2'=+=+-g x a x f x a x x b 在(0,)+∞上单调递增. 又因为11ln 10,(1)ln12022⎛⎫=+-<=+-> ⎪⎝⎭g a b g a b ， 所以函数()g x 的零点所在的区间是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选:B.【点睛】本题考查二次函数的图象及函数的零点，属于基础题.4．定义,,a a b a b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数21()2sin f x x =-，21()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．2【答案】A【解析】【分析】根据分段函数的定义得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值.【详解】依题意得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,22222211111()()()[(2sin )(2cos )]2sin 2cos 32sin 2cos f x g x x x x x x x+=+=+-+-----222212cos 2sin 14(2)(232sin 2cos 33x x x x --=++≥+=--(当且仅当222cos 2sin x x --222sin 2cos x x-=-，即221sin cos 2x x ==时“=”成立.此时,2()()3f x g x ==，42()3F x ∴≥，()F x ∴的最小值为23， 故选：A.【点睛】本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出2()()()F x f x g x ≥+，再由基本不等式求得最值，属于中档题.5．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UA B =∅I ð”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】作出韦恩图，数形结合，即可得出结论.【详解】如图所示，⊆⇒⋂=∅U A B A B ð，同时⋂=∅⇒⊆U A B A B ð.故选:C.【点睛】本题考查集合关系及充要条件，注意数形结合方法的应用，属于基础题.6．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( )A ． 3B ． 2C ． 33D ． 22【答案】C【解析】【分析】直线过定点，直线y=kx+1与圆x 2+y 2=1相交于P 、Q 两点，且∠POQ=120°（其中O 为原点），可以发现∠QOx 的大小，求得结果．【详解】如图，直线过定点（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°，∴由对称性可知k=±3故选C ．【点睛】本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题．7．已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-u u u v u u u v u u u v ，．点P 为BC 边上的动点，则()PC PA PB PC ⋅++u u u v u u u v u u u v u u u v 的最小值为（ ）A ．2B ．34-C ．2-D ．2512- 【答案】D【解析】【分析】 以BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，，运用向量的坐标表示，求得点A 的轨迹，进而得到关于a 的二次函数，可得最小值．【详解】以BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，， 由2BA BC ⋅=-u u u r u u u r ，可得()()120222x y x +⋅=+=-，，，即20x y =-≠，， 则()()()101100PC PA PB PC a x a a a y ⋅++=-⋅---+-++u u u r u u u r u u u r u u u r ，， ()()()()21312332a x a a a a a =--=---=--21253612a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当16a =时，()PC PA PB PC ⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为2512-． 故选D ．【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题． 8．已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点，则4AB 的最小值为（ ）A ．5ln 2+B ．5ln 2-C ．3ln 2+D ．3ln 2-【答案】A【解析】【分析】设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，用a 表示出1x ，2x ，求出4||AB ，令2()2ln f a a a =+-，利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出4||AB 的最小值．【详解】解：设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，则1ln 21a x =+，11(ln 1)2x a ∴=-， 而2x 满足2221a x =-，2212a x +∴= 那么()()22211144()4ln 122ln 22a AB x x a a a ⎡⎤+=-=--=+-⎢⎥⎣⎦设2()2ln f a a a =+-，则221()a f a a -'=，函数()f a 在2⎛ ⎝⎭上单调递减，在2⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，所以minmin 242()25ln 22AB f a f ⎛⎫===+ ⎪ ⎪⎝⎭故选：A ．【点睛】本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题．9．把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ）A ．(,0)3πB ．(,0)4πC ．(,0)12πD ．(0,0)【答案】D【解析】【分析】【详解】 试题分析：把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得1sin()26y x π=+的图象；再将图象向右平移3π个单位，可得11sin[()]sin 2362y x x ππ=-+=的图象，那么所得图象的一个对称中心为(0,0)，故选D.考点：三角函数的图象与性质.10．设函数()()21ln 11f x x x =+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（ ）． A ．()1,+∞B ．()(),11,-∞-+∞UC ．()1,1-D ．()()1,00,1-U【答案】B【解析】【分析】由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由单调性的性质可知()f x 在[)0,+∞上单调递增，由此知()f x 在(],0-∞上单调递减，从而将所求不等式化为1x >，解绝对值不等式求得结果.【详解】由题意知：()f x 定义域为R ， ()()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x xx -=+--=+-=++-Q ，()f x ∴为偶函数， 当0x ≥时，()()21ln 11f x x x=+-+， ()ln 1y x =+Q 在[)0,+∞上单调递增，211y x =+在[)0,+∞上单调递减， ()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，则()f x 在(],0-∞上单调递减，由()()1f x f >得：1x >，解得：1x <-或1x >，x \的取值范围为()(),11,-∞-+∞U .故选：B .【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.11． “11x y -≤+≤且11x y -≤-≤”是“221x y +≤”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】画出“11x y -≤+≤,11x y -≤-≤,221x y +≤,所表示的平面区域,即可进行判断. 【详解】如图，“11x y -≤+≤且11x y -≤-≤”表示的区域是如图所示的正方形，记为集合P ，“221x y +≤”表示的区域是单位圆及其内部，记为集合Q ，显然P 是Q 的真子集,所以答案是充分非必要条件，故选:A .【点睛】本题考查了不等式表示的平面区域问题,考查命题的充分条件和必要条件的判断,难度较易.12．已知双曲线22214x y b-=（0b >30x y ±=，则b =（ ） A ．3B 3 C 3D ．43【答案】A【解析】【分析】根据双曲线方程22214x y b -=（0b >），确定焦点位置，再根据渐近线方程30x y ±=得到3b a =求解. 【详解】因为双曲线22214x y b -=（0b >）， 所以2a =，又因为渐近线方程为30x y ±=，所以32b b a ==， 所以b =23.故选：A.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省汕头市2021届新高考五诊数学试题含解析
广东省汕头市2021届新高考五诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列{}n a 满足：11,a =13,21,n n n n n a a a a a ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则6a =( ) A ．16 B ．25 C ．28 D ．33【答案】C 【解析】 【分析】依次递推求出6a 得解. 【详解】n=1时，2134a =+=， n=2时，32419a =⨯+=， n=3时，49312a =+=， n=4时，5212125a =⨯+=， n=5时，625328a =+=. 故选：C 【点睛】本题主要考查递推公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．已知复数1cos23sin 23z i =+oo和复数2cos37sin37z i =+oo，则12z z ⋅为 A．122- B．12i + C．12+ D12i - 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出． 【详解】z 1z 2＝（cos23°+isin23°）•（cos37°+isin37°）＝cos60°+isin60°＝122+． 故答案为C ．熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键，复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算. 3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a <”是“20210S <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的前n 项和公式，判断出正确选项. 【详解】由于数列{}n a 是等比数列，所以20212021111q S a q -=⋅-，由于2021101q q ->-，所以 1202100a S <⇔<，故“10a <”是“20210S <”的充分必要条件.故选：C 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比数列前n 项和公式，属于基础题.4．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为，即命题是错误，则是正确的；在边长为4的正方形内任取一点，若的概率为，即命题是正确的，故由符合命题的真假的判定规则可得答案是正确的，应选答案B 。
广东省佛山市石门中学2021届高三下学期5月高考模拟数学试题含答案
2021届高三高考模拟数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.【黄志平】已知U =R ,函数()ln 1y x =-的定义域为M ,集合{}220N x x x =->,则=)(N C M U （ ）A. (],0-∞ B. ()0,1 C. [)1,2 D. [)2,+∞2.设()()1i i 2x y +-=，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x y +=A ．1BCD ．23.【刘振龙】在一个抛硬币的游戏里，抛出的前2个硬币都是正面朝上，则在抛第3个硬币时，正面朝上的概率为（ ）A.18 B.14 C.12 D.384.若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.【付强】如图，圆柱1OO 的轴截面11ABB A 是正方形，,D E 分别是1AA 和1BB 的中点，C 是弧AB 的中点，则经过C D E 、、的平面与圆柱1OO 侧面相交所得到的的曲线的离心率是（ ）C. 2D. 6. 【黄志平】已知,a b 是单位向量，且()1,1a b +=-，若向量c a b =-，则a 与c 的夹角为（ ） A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．2π37.【马安华】 (x 2+2a x- a)5的展开式中各项的系数和为1024,则a 的值为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、48.【罗建中】已知两点()()1,3,2,3,M N --在曲线上存在点P 满足|MP |=|NP |的曲线方程是（ ）A ．2410x y +-= B. 22125x y +=C. 2212y x += D. 2212y x -= 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错得0分。
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广东省佛山市2021届新高考数学五模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若[]x 表示不超过x 的最大整数(如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-)，已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）A ．2B ．5C ．7D ．8【答案】B 【解析】 【分析】求出1b ，2b ，3b ，4b ，5b ，6b ，判断出{}n b 是一个以周期为6的周期数列，求出即可． 【详解】解：2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦.*111(102)n n n b a b a a n n --∈≥N ＝，＝，，∴112027[]a b ＝＝＝，2200[287]a ＝＝， 2281028b -⨯＝＝，同理可得：332855a b ＝，＝；4428577a b ＝，＝；55285711a b ＝，＝.662857144a b ＝，＝；72857142a ＝，72b ＝，…….∴6n n b b +＝.故{}n b 是一个以周期为6的周期数列， 则20196336335b b b ⨯+＝＝＝. 故选：B. 【点睛】本题考查周期数列的判断和取整函数的应用． 2．已知函数3ln ()3ln x a xf x a x x=-+-在区间()1,+∞上恰有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,3)(3,)e +∞UB ．[)0,eC ．()2,e +∞D ．(,){3}e -∞U【答案】A 【解析】 【分析】函数3ln ()3ln x a x f x a x x =-+-的零点就是方程3ln 30ln x a x a x x-+-=的解，设()ln x g x x =，方程可化为(()3)(())0g x g x a --=，即()3g x =或()g x a =，求出()g x 的导数()g x '，利用导数得出函数的单调性和最值，由此可根据方程解的个数得出a 的范围． 【详解】 由题意得3ln 30ln x a x a x x-+-=有四个大于1的不等实根，记()ln xg x x =，则上述方程转化为3(()3)10()g x a g x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即(()3)(())0g x g x a --=，所以()3g x =或()g x a =． 因为2ln 1()(ln )x g x x '-=，当()1,x e ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(),x e ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；所以()g x 在x e =处取得最小值，最小值为()g e e =．因为3e >，所以()3g x =有两个符合条件的实数解，故3ln ()3ln x a xf x a x x=-+-在区间()1,+∞上恰有四个不相等的零点，需a e >且3a ≠． 故选：A ． 【点睛】本题考查复合函数的零点．考查转化与化归思想，函数零点转化为方程的解，方程的解再转化为研究函数的性质，本题考查了学生分析问题解决问题的能力．3．已知直线,m n 和平面α，若m α⊥，则“m n ⊥”是“//n α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．不充分不必要【答案】B 【解析】 【分析】由线面关系可知m n ⊥，不能确定n 与平面α的关系，若//n α一定可得m n ⊥，即可求出答案. 【详解】,m m n α⊥⊥Q ,不能确定αn ⊂还是αn ⊄，//m n n α∴⊥¿，当//n α时，存在a α⊂，//,n a ， 由,m m a α⊥⇒⊥又//,n a 可得m n ⊥，所以“m n ⊥”是“//n α”的必要不充分条件， 故选：B 【点睛】本题主要考查了必要不充分条件，线面垂直，线线垂直的判定，属于中档题.4．已知集合{A =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ）A ．0B ．0或3C ．1D ．1或3【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】因为A B A ⋃=,所以B A ⊆,所以3m =或m =.若3m =，则{{1,3}A B ==,满足A B A ⋃=.若m =0m =或1m =.若0m =，则{1,3,0},{1,3,0}A B ==，满足A B A ⋃=.若1m =，{1,3,1},{1,1}A B ==显然不成立，综上0m =或3m =，选B.5．若复数z 满足1z =，则z i -（其中i 为虚数单位）的最大值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可知复数z 对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，再根据复数的几何意义即可确定z i -，即可得z i -的最大值. 【详解】由1z =知，复数z 对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，z i -表示复数z 对应的点与点()0,1间的距离，又复数z 对应的点所在圆的圆心到()0,1的距离为1， 所以max 112z i -=+=. 故选：B 【点睛】本题考查了复数模的定义及其几何意义应用，属于基础题.6．函数2()ln(1)x xe ef x x --=+在[3,3]-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数奇偶性排除B ，再根据函数极值排除A ；结合特殊值即可排除D ，即可得解. 【详解】函数2()ln(1)x xe ef x x --=+，则2()()ln(1)x xe ef x f x x ---==-+，所以()f x 为奇函数，排除B 选项； 当x →+∞时，2()ln xe f x x≈→+∞，所以排除A 选项； 当1x =时，11 2.720.37(1) 3.4ln(11)ln 20.69e e e ef -----==≈≈+，排除D 选项； 综上可知，C 为正确选项， 故选：C. 【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图像，注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用，属于基础题. 7．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h ，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km/h 的频率分别为（ ）A ．300，0.25B ．300，0.35C ．60，0.25D ．60，0.35【答案】B 【解析】 【分析】由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过90/km h 的频率． 【详解】由频率分布直方图得：在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，的频率为0.0650.3⨯=， ∴在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，的车辆数为：0.31000300⨯=， 行驶速度超过90/km h 的频率为：()0.050.0250.35+⨯=． 故选：B ． 【点睛】本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ） A ．4amB ．2a m+ C ．2a mm+ D ．42a mm+ 【答案】D 【解析】 【分析】由试验结果知m 对0～1之间的均匀随机数,x y ，满足0101x y <<⎧⎨<<⎩，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对(,)x y ，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计π的值． 【详解】解：根据题意知，m 名同学取m 对都小于1的正实数对(),x y ，即0101x y <<⎧⎨<<⎩，对应区域为边长为1的正方形，其面积为1，若两个正实数,x y 能与1构成钝角三角形三边，则有22110101x y x y x y ⎧+<⎪+>⎪⎨<<⎪⎪<<⎩， 其面积142S π=-；则有142a m π=-，解得42a mmπ+= 故选：D ． 【点睛】本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解. 9．设复数z 满足21z i z -=+，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ） A ．2430x y --= B ．2430x y +-= C ．4230x y +-= D ．2430x y -+=【答案】B 【解析】 【分析】设z x yi =+，根据复数的几何意义得到x 、y 的关系式，即可得解； 【详解】 解：设z x yi =+∵|2||1|z i z -=+，∴2222(2)(1)x y x y +-=++，解得2430x y +-=. 故选：B 【点睛】本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题. 10．已知函数2sin ()1xf x x =+．下列命题：①函数()f x 的图象关于原点对称；②函数()f x 是周期函数；③当2x π=时，函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（ ）A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义可判断出①正确；由周期函数特点知②错误；函数定义域为R ，最值点即为极值点，由02f π⎛⎫'≠ ⎪⎝⎭知③错误；令()()1g x f x x =-，在0x >和0x <两种情况下知()g x 均无零点，知④正确.【详解】由题意得：()f x 定义域为R ，()()()()22sin sin 11x xf x f x x x --==-=-+-+Q ，()f x ∴为奇函数，图象关于原点对称，①正确； sin y x =Q 为周期函数，21y x =+不是周期函数，()f x ∴不是周期函数，②错误；()()()2221cos 2sin 1x x x xf x x +-'=+Q ，02f π⎛⎫'∴≠ ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫∴⎪⎝⎭不是最值，③错误； 令()()221sin 1sin 111x x x x g x f x x x x x --=-=-=++，当0x >时，sin x x <，10x>，()0g x ∴<，此时()f x 与1y x =无交点；当0x <时，sin x x >，10x<，()0g x ∴>，此时()f x 与1y x =无交点；综上所述：()f x 与1y x=无交点，④正确. 故选：A . 【点睛】本题考查函数与导数知识的综合应用，涉及到函数奇偶性和周期性的判断、函数最值的判断、两函数交点个数问题的求解；本题综合性较强，对于学生的分析和推理能力有较高要求. 11．下列不等式成立的是（ ） A ．11sincos 22> B ．11231122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．112311log log 32< D ．11331123⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误. 【详解】对于A ，1024π<<Q ，11sin cos 22∴<，A 错误； 对于B ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭Q 在R 上单调递减，11231122⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误；对于C ，1221log log 313=>Q ，1331log log 212=<，112311log log 32∴>，C 错误； 对于D ，13y x =Q 在R 上单调递增，11331123⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎭∴⎝，D 正确.故选：D . 【点睛】本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幂函数的单调性.12．两圆()224x a y ++=和()221x y b +-=相外切，且0ab ≠，则2222a b a b +的最大值为（ ） A ．94B ．9C ．13D ．1【答案】A 【解析】 【分析】由两圆相外切，得出229a b +=，结合二次函数的性质，即可得出答案. 【详解】因为两圆()224x a y ++=和()221x y b +-=相外切3=，即229a b +=()2222222298192499a a a ab a b ⎛⎫--+⎪-⎝⎭==+当292a =时，2222a b a b +取最大值8119494⨯= 故选：A 【点睛】本题主要考查了由圆与圆的位置关系求参数，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。