一轮复习之平面向量数量积的坐标表示模夹角(颜贞)
课件9：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
(2)因为 a＝(1，2)，b＝(2，x)， 所以 a·b＝(1，2)·(2，x)＝1×2＋2x＝－1， 解得 x＝－32. 【答案】(1)C (2)D
归纳升华 数量积坐标运算的方法 1．进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2， 并能灵活运用以下几个关系： |a|2＝a·a.(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2. (a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
归纳升华 利用数量积求两向量夹角的步骤
1．求数量积：利用平面向量数量积的坐标表示公 式求出这两个向量的数量积． 2．求模：利用|a|＝ x2＋y2计算出这两个向量的模．
3．求余弦值：由公式 cos θ＝ x21x＋1xy2＋21 yx1y22＋2 y22直接 求出 cos θ 的值． 4．求角：在 0≤θ≤ π 内，由 cos θ 的值求角 θ.
4. 若 a＝(4，－2)，b＝(k，－1)，且 a⊥b，则 k＝________． 【解析】因为 a⊥b，a·b＝(4，－2)·(k，－1)＝4k＋2＝0， 则 k＝－12. 【答案】－12
5．已知 a＝( 3，1)，b＝(－ 3，1)，则向量 a，b 的夹角
θ＝________．
【解析】因为 a＝( 3，1)，b＝(－ 3，1)，
课堂小结 1．数量积坐标表示的作用及记忆口诀 (1)作用：数量积实现了向量的数量积的运算与两向量 的坐标的运算的转化． (2)记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘 计算和”．
2．向量的模的坐标运算的实质 向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标 系中两点间的距离，则在平面直角坐标系中，即平面 直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量 的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离 的运算．
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
( )( )
r r 已知a = (1, x), b = 3，1） （例3 . r r r r (1)当x为何值时，a＋b与a − 2b平行？ 2 r r r r (2)当x为何值时，a＋b与a − 2b垂直？ 2
并判断∆ABC的形状，给出证明。
4、两向量夹角公式的坐标运算 、
r r 已知两个非零向量a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) , r r r r θ 是a与b的夹角，如何求a与b的夹角的余弦值呢？
），向量 已知 a =（4，3），向量 的单位向量， 的单位向量，求 b .
例5
b 是垂直于 a
平面向量数量积的坐标表示、 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
达标测评： 达标测评： ⋅ 1 、已知 = （-3，4）， = （5，2）,求a b,| a |,| b | 已知a ），b 3 ， ）求 | ），b 2、a = （2，3）， = （-2，4）， c = （-1，-2） 求a b， ， ）， 2 1 2 ， ），a ），（a （a + b） （a - b）， （b + c），（ + b)2 ） ）， ），（ 3、已知 = （-2，4）， = （1，-2），则a 与b的关系是 ），b 、已知a 2 ， 2），则 的关系是 A、不共线 、 B、垂直 C、共线同向 D、共线反向 、 、 、 4、以A（2，5）， （5，2）， （10，7）为顶点的三角 ），B（ ， ）， ），C（ ， ） 、 （ ， ）， 形的形状是 A、等腰三角形 √ 直角三角形 C、等腰直角三角形 B、 、 、 、 D、等腰三角形或直角三角形 、
平面向量数量积的坐标表示、 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
平面向量数量积的坐标表示、 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1 P ( x , )在线段AB的中垂线上，则 2
1 2
x＝
.
课堂小结
1. a b x1 x2 y1 y2 .
2. 平面内两点间的距离公式:
| a | ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 2
3. 向量垂直的判定:
a b x1 x2 y1 y2 0.
(1) 设 a ( x , y ), 则
a x y或 a
2 2 2
x y .
2 2
2.平面内两点间的距离公式:
( 2)如果表示向量 a 的有向线段的起 点和终边的坐标分别为( x1 , y1 ), ( x 2 , y2 ),
那么
2.平面内两点间的距离公式:
( 2)如果表示向量 a 的有向线段的起 点和终边的坐标分别为( x1 , y1 ), ( x 2 , y2 ),
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3 ), 3 1),
b ( 3 1,
则 a 与 b 的夹角是多少?
讲解范例:
例3. 已知 a (1,
3 ), 3 1),
b ( 3 1,
则 a 与 b 的夹角是多少?
评述：已知三角形函数值求角时，
应注重角的范围的确定.
练习：
1．教材P.107练习第1、2题.
2. 已知A(3，2)，B(－1，－1)，若点
规定:
零向量与任一向量的数 量积
为0，即a 0 0 .
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:
(1) a b a b 0 .
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:
(2) 当 a 与 b 同向时, a b a b .
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1 / 1 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【知识点的知识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量a →，b →如果以O 为起点，作OA →=a →，OB →=b →，那么射线OA ，OB 的夹角θ叫做向量a →与向量b →
的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量a →，b →的夹角为θ，那么我们把|a →||b →|cos θ叫做a →与b →的数量积，记做a →⋅b → 即：a →⋅b →=|a →||b →|cos θ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：0→•a →=0．
注意：
①a →⋅b → 表示数量而不表示向量，符号由cos θ决定；
②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：b →在a →上的投影是一个数量|b →|cos θ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若a →=（x 1，y 1），b →=（x 2，y 2），则a →⋅b →=x 1x 2+y 1y 2， 3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：a →与b →的数量积a →⋅b →等于a →的长度|a →|与b →在a →的方向上的投影|b →|cos θ的积．。
一轮复习之平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(颜贞)
一轮复习之平面向量数量积的坐标表示、模、夹角广东省和平县福和高级中学高三数学组 颜贞1. 知识与能力①让学生掌握数量积的坐标表达式，并会进行平面向量数量积的运算.②能运用平面向量数量积的坐标表示去分析向量的模长、夹角等坐标表示，并会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
③能运用本节课的知识点去解决模长，夹角等综合性的具体问题。
2. 过程与方法本节课将通过小组合作学习方式，让学生主动参与问题的探究讨论，并通过分析、类比，发散等思维手段去掌握本节课的知识点，让学生真正成为学习的主人。
3. 情感、态度与价值观通过师生互动、生生互动的教学活动过程，帮助学生体验到数学学习活动中的成功与快乐，培养学生对数学的良好情感，激发学生学习数学的热情，形成锲而不舍的钻研精重点：平面向量数量积的坐标表示以及模长，夹角坐标公式的运算。
教学方法：本节课的课型为高三第一轮“复习课”。
课堂教学组织形式是“小组合作性学习”。
本节课的内容是在复习了平面向量数量积的概念基础上，进一步复习坐标化问题。
教学中通过引导学生联系已有的知识，进行分析、类比、发散等思维，自主得出运算法则并能灵活应用。
使学生在通过小组合作学习的过程中，充分体会数学知识的“再发现”、“再运用”，从而达到本节复习课的目标。
教学手段：采用多媒体辅助教学，增强直观性，加大课堂容量，提高教学效率；组织学生小组间交流合作学习，6人一小组，由三个层次高点的学生带三个层次稍微弱一点的学生，学生和学生之间互相学习和激励，从而提高学习效率。
一、 复习引入老师：（提出问题）1、平面向量数量积的概念？2、由数量积公式你能推出夹角公式、模长公式吗？3、平面向量数量积的几何意义是什么？学生：积极回忆，回答教师提出的问题。
教师：总结并通过“数字化”意义以及共线向量坐标公式引出本节要研究的主要问题坐标化。
“数字化”就是将现实问题或信息转化为数字，再通过二进制代码，让计算机来处理，从而使问题快速得以解决，“数字化”概念的提出极大的加快了社会发展的速度。
(完整word版)平面向量数量积的坐标表示模夹角
平面向量数量积的坐标表示模夹角教学目标1．掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点)2．会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题．(难点)3．分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点)[基础·初探]教材整理平面向量数量积的坐标表示、模、夹角阅读教材P106“探究”以下至P107例6以上内容，完成下列问题．1．平面向量数量积的坐标表示：设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.2.向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a|3．两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝4．向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与b夹角为θ，则cos θ＝a·b|a|·|b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为0度．()(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．( ) (3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角．( )解：(1)×.因为当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 的夹角也可能为180°.(2)√.由向量数量积定义可知正确． (3)×.因为两向量的夹角有可能为180°. 【答案】 (1)× (2)√ (3)×[小组合作型]平面向量数量积的坐标运算(1)(2016·安溪高一检测)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，x )，且a·b ＝－1，则x 的值等于( )A ．12 B ．－12 C ．32D ．－32(2)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，2)，则a·b ＝________，a ·(a －b )＝________.(3)已知a ＝(2，－1)，b ＝(3，2)，若存在向量c ，满足a·c ＝2，b ·c ＝5，则向量c ＝________.根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解．解：(1)因为a ＝(1，2)，b ＝(2，x )，所以a·b ＝(1，2)·(2，x )＝1×2＋2x ＝－1， 解得x ＝－32.(2)a·b ＝(－1，2)·(3，2)＝(－1)×3＋2×2＝1，a·(a －b )＝(－1，2)·[(－1，2)－(3，2)]＝(－1，2)·(－4，0)＝4. (3)设c ＝(x ，y )，因为a·c ＝2，b ·c ＝5， 所以⎩⎨⎧2x －y ＝2，3x ＋2y ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝97，y ＝47，所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫97，47.【答案】 (1)D (2)1 4 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫97，471．进行数量积运算时，要正确使用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2＝a·a ；(a ＋b )(a －b )＝|a|2－|b|2； (a ＋b )2＝|a|2＋2a·b ＋|b|2.2．通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系．3．向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充．[再练一题]1．设向量a ＝(1，－2)，向量b ＝(－3，4)，向量c ＝(3，2)，则向量(a ＋2b )·c ＝( )A ．(－15，12)B ．0C ．－3D ．－11解：依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，∴(a ＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.【答案】 C向量的模的问题(1)(2016·莱州期末)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|等于()A．4 B．5C．3 5 D．4 5(2)已知向量a＝(1，2)，b＝(－3，2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.(1)两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2－x2y1＝0.(2)已知a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.解：(1)由y＋4＝0知y＝－4，b＝(－2，－4)，∴2a－b＝(4，8)，∴|2a－b|＝4 5.故选D．(2)由题意知，a＋b＝(－2，4)，a－b＝(4，0)，因此|a＋b|＝（－2）2＋42＝25，|a－b|＝4.【答案】(1)D(2)25 4向量模的问题的解题策略：(1)字母表示下的运算，利用|a|2＝a2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算．(2)坐标表示下的运算，若a ＝(x ，y )，则|a|＝x 2＋y 2.[再练一题]2．已知向量a ＝(2x ＋3，2－x )，b ＝(－3－x ，2x )(x ∈R )，则|a ＋b|的取值范围为________.解：∵a ＋b ＝(x ，x ＋2)， ∴|a ＋b|＝x 2＋（x ＋2）2＝2x 2＋4x ＋4＝2（x ＋1）2＋2≥2，∴|a ＋b|∈[2，＋∞)． 【答案】 [2，＋∞)[探究共研型]向量的夹角与垂直问题探究1 设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？【提示】 cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.探究2 已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，当a 与b 的夹角α为钝角时，λ的取值范围是什么？【提示】 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)， ∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1.∵a ，b 的夹角α为钝角，∴⎩⎨⎧λ－1<0，21＋λ2≠1－λ，即⎩⎨⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0，∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1)．(1)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，－2)D ．(－2，2)(2)已知a ＝(3，4)，b ＝(2，－1)，且(a ＋m b )⊥(a －b )，则实数m 为何值？(1)可利用a ，b 夹角为锐角⇔⎩⎨⎧a·b>0a ≠λb求解．(2)可利用两非零向量a ⊥b ⇔a ·b ＝0来求m .解：(1)当a·b 共线时，2k －1＝0，k ＝12，此时a ，b 方向相同，夹角为0°，所以要使a 与b 的夹角为锐角，则有a·b>0且a ，b 不同向．由a·b ＝2＋k >0得k >－2，且k ≠12，即实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，选B ． 【答案】 B(2)a ＋m b ＝(3＋2m ，4－m )，a －b ＝(1，5)，因为(a ＋m b )⊥(a －b )，所以(a ＋m b )·(a －b )＝0，即(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0，所以m＝233.1．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．(2)求模．利用|a|＝x2＋y2计算两向量的模．(3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22求夹角余弦值．(4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值．2．涉及非零向量a、b垂直问题时，一般借助a⊥b⇔a·b＝x1x2＋y1y2＝0来解决．[再练一题]3．已知a＝(1，2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．解：设a与b的夹角为θ，则a·b＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos θ＝0，所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－1 2.(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos θ<0且cos θ≠－1，所以a ·b <0且a 与b 不反向． 由a ·b <0得1＋2λ<0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向， 所以λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12. (3)因为a 与b 的夹角为锐角， 所以cos θ>0，且cos θ≠1， 所以a ·b >0且a ，b 不同向．由a ·b >0，得λ>－12，由a 与b 同向得λ＝2，所以λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)． [构建·体系]1．已知a ＝(1，－1)，b ＝(2，3)，则a·b ＝( ) A ．5 B ．4 C ．－2D ．－1【解析】 a·b ＝(1，－1)·(2，3)＝1×2＋(－1)×3＝－1. 【答案】 D2．已知a ＝(－2，1)，b ＝(x ，－2)，且a ⊥b ，则x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解：由题意，a·b ＝(－2，1)·(x ，－2)＝－2x －2＝0，解得x ＝－1.故选A ．【答案】 A3．(2016·邢台期末)平行四边形ABCD 中，AB →＝(1，0)，AC →＝(2，2)，则AD→·BD →等于( ) A ．－4 B ．－2 C ．2D ．4解：AD →·BD →＝(AC →－AB →)·(AC →－2AB →) ＝AC2→＋2AB 2→－3AC →·AB → ＝8＋2－3×2＝4.故选D ． 【答案】 D4．已知a ＝(3，－4)，则|a|＝________. 解：因为a ＝(3，－4)，所以|a|＝32＋（－4）2＝5.【答案】 55．已知向量a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)， 求：(1)a·b ；(2)(a ＋b )2；(3)(a ＋b )·(a －b )． 解：(1)因为a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)， 所以a·b ＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5. (2)a ＋b ＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)， 所以(a ＋b ) 2＝|a ＋b|2＝42＋(－3)2＝25. (3)a ＋b ＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)， a －b ＝(3，－1)－(1，－2)＝(2，1)，(a ＋b )·(a －b )＝(4，－3)·(2，1)＝8－3＝5.学业分层测评[学业达标]一、选择题1．(2016·开封质检)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(0，2)，若a ⊥(b －c )，则实数x 的值为( )A ．43 B ．34 C ．－34D ．－43解：b －c ＝(x ，－4)，由a ⊥(b －c )知3x －4＝0， ∴x ＝43.故选A ． 【答案】 A2．(2016·马鞍山质检)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，4)，且a ∥b ，则|a －b|＝( )A ．5 3B ．3 5C ．2 5D ．2 2解：∵a ∥b ，∴4＋2x ＝0，∴x ＝－2，a －b ＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6)， ∴|a －b|＝3 5.故选B ． 【答案】 B3．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，23)，则a 与b 的夹角是( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解：设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a||b|＝（1，3）·（－2，23）2×4＝12，解得θ＝π3.故选C ． 【答案】 C4．若a ＝(2，3)，b ＝(－4，7)，则a 在b 方向上的投影为( ) A ．655 B ．65 C ．135D ．13解：a 在b 方向上的投影为|a |cos<a ，b >＝a ·b|b |＝（2，3）·（－4，7）（－4）2＋72＝2×（－4）＋3×765＝655.【答案】 A5．已知正方形OABC 两边AB ，BC 的中点分别为D 和E ，则∠DOE 的余弦值为( )A ．12 B ．32 C ．35D ．45解：以点O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设边长为1，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，于是cos ∠DOE ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，12⎝ ⎛⎭⎪⎫12，112＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＝45.【答案】 D 二、填空题6．已知OA→＝(－2，1)，OB →＝(0，2)，且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是________．解：设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)， BC→＝(x ，y －2)，AB →＝(2，1)． 由AC→∥OB →，BC →⊥AB →，得 ⎩⎨⎧2（x ＋2）＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝6，∴点C 的坐标为(－2，6)． 【答案】 (－2，6)7．(2016·德州高一检测)若向量a ＝(－2，2)与b ＝(1，y )的夹角为钝角，则y 的取值范围为________．解：若a 与b 夹角为180°，则有b ＝λa (λ<0)即⎩⎪⎨⎪⎧1＝－2λy ＝2λλ<0，解得y ＝－1且λ＝－12，所以b ≠λa (λ<0)时y ≠－1；①若a 与b 夹角θ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π时，则只要a·b<0且b ≠λa (λ<0)． 当a·b <0有－2＋2y <0解得y <1.② 由①②得y <－1或－1<y <1 【答案】 (－∞，－1)∪(－1，1) 三、解答题8．已知AB→＝(6，1)，BC →＝(4，k )，CD →＝(2，1)． (1)若A ，C ，D 三点共线，求k 的值；(2)在(1)的条件下，求向量BC→与CD →的夹角的余弦值． 解：(1)因为AC →＝AB →＋BC →＝(10，k ＋1)，由题意知A ，C ，D 三点共线，所以AC→∥CD →，所以10×1－2(k ＋1)＝0，即k ＝4. (2)因为CD→＝(2，1)，设向量BC →与CD →的夹角为θ，则cos θ＝BC →·CD →|BC→||CD →|＝1242×5＝31010.9．已知a ＝(1，1)，b ＝(0，－2)，当k 为何值时， (1)k a －b 与a ＋b 共线； (2)k a －b 与a ＋b 的夹角为120°. 解：∵a ＝(1，1)，b ＝(0，－2)， k a －b ＝k (1，1)－(0，－2)＝(k ，k ＋2)， a ＋b ＝(1，1)＋(0，－2)＝(1，－1)． (1)∵k a －b 与a ＋b 共线，∴k ＋2－(－k )＝0，∴k ＝－1.即当k ＝－1时，k a －b 与a ＋b 共线． (2)∵|k a －b |＝k 2＋（k ＋2）2，|a ＋b |＝12＋（－1）2＝2，(k a －b )·(a ＋b )＝(k ，k ＋2)·(1，－1) ＝k －k －2＝－2，而k a －b 与a ＋b 的夹角为120°， ∴cos 120°＝（k a －b ）·（a ＋b ）|k a －b ||a ＋b |，即－12＝－22·k 2＋（k ＋2）2，化简整理，得k 2＋2k －2＝0，解之得k ＝－1±3. 即当k ＝－1±3时，k a －b 与a ＋b 的夹角为120°.[能力提升]1．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73解：设c ＝(x ，y )，又因为a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)， 所以c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又因为(c ＋a )∥b ，所以有(x ＋1)·(－3)－2·(y ＋2)＝0， 即－3x －2y －7＝0，① 又a ＋b ＝(3，－1)，由c ⊥(a ＋b )得：3x －y ＝0，② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－79，y ＝－73，因此有c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73.【答案】 D2．(2016·徐州高一检测)在平面直角坐标系内，已知三点A (1，0)，B (0，1)，C (2，5)，求：(1)AB→，AC →的坐标；(2)|AB →－AC →|的值；(3)cos ∠BAC 的值． 解：(1)AB→＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)， AC→＝(2，5)－(1，0)＝(1，5)． (2)因为AB →－AC →＝(－1，1)－(1，5)＝(－2，－4)， 所以|AB→－AC →|＝（－2）2＋（－4）2＝2 5.(3)因为AB →·AC →＝(－1，1)·(1，5)＝4， |AB→|＝2，|AC →|＝26， cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝42×26＝21313.。
课件8：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
D．2
【解析】由 AC＝ AB＋ AD＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)， 得 AD·AC＝(2,1)·(3，－1)＝5. 【答案】A
类题通法 数量积坐标运算的两条途径
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则 和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向 量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数 量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
(×)
(2)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. ( × ) (3)若两个非零向量的夹角 θ 满足 cos θ＜0，则两向量的夹角
θ 一定是钝角．
(× )
2．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是
A．23
B．7
C．－23
【答案】D
() D．－7
题型四 求解平面向量的数量积 典例 已知点 A，B，C 满足| AB|＝3，|BC |＝4， |CA|＝5，求 AB·BC ＋BC ·CA＋CA·AB的值． 解：[法一 定义法] 如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形，且 B＝π2， cos A＝35，cos C＝45，
∴ AB·BC ＋BC ·CA＋CA·AB ＝ BC ·CA＋CA·AB ＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A) ＝－20cos C－15cos A ＝－20×45－15×53 ＝－25.
活学活用 如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB， BC的中点，那么cos∠DOE的值为________．
【解析】法一： 以 O 为坐标原点，OA，OC 所在的直线分别为 x 轴，y 轴 建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得OD ＝1，12，OE ＝12，1. 故 cos∠DOE＝|OODD|··|OOEE|＝1×125＋125×1＝45.
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
解：ka b (k 2, 1), a 3b (7,3)
1平行：3k 2 (1)7 0 k 1 .
3
2垂直：7k 2 (1)3 0
k 17 . 7
练习：已知a 1, 2,b 2, 3, c 2a b, d a mb,
若c与d的夹角为45 ，求实数m的值.
例6、已知a k,1,b 2, 2,且a与b的夹角为锐角，
2利用b // a，设b的坐标为4,3 ，再利用 b 1构造方程.例3、已知ຫໍສະໝຸດ (4,3),求与a垂直的单位向量b.
解：设b x, y
b a且 b 1
4x 3y 0
x
2
y2
1
x
y
3 5
4 5
或
x
y
4 5
3 5
b
3 5
,
4 5
或
3 5
,
4 5
例4、已知A(1, 2), B(2,3),C(2,5),试判断ABC的形状.
1.a b x1x2 y1y2 2. AB x2 x1 2 y2 y1 2
3.a b x1x2 y1y2 0
4.a / /b x1y2 x2 y1 5.cos x1x2 y1y2
x12 y12 . x22 y22
4、两向量共线的坐标表示：已知a x1, y1 ,b x2, y2
a与b共线 a=b x1 y2 x2 y1 0
新知探究： a b a b cos 为a与b的夹角
1、平面向量的数量积的坐标表示：
1i2 __1__，j2 __1__，i j __0__ .
2已知a x1, y1 ,b x2, y2 , a b _x_1_x2___y_1_y_2 _ .
平面向量数量积的坐标表示、模和夹角
目标要求1.掌握向量数量积的坐标表达式，会进行向量数量积的坐标运算．2．能运用数量积表示两个向量的夹角、计算向量的长度，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.热点提示向量的数量积是高考命题的热点，主要考查数量积的运算、化简、证明，向量平行、垂直的充要条件的应用以及利用向量解决平面几何问题．本节单独命题时，一般以选择、填空题的形式出现，属容易题；本节还可以与平面几何、解析几何、三角等内容交叉出现，一般以解答题形式出现，综合性较强，难度也较大，学习本节时应熟练掌握运算律，记准公式.1．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.知识要点3．三个重要公式(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.重要公式观察思考若向量a＝(x，y)，你可知与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标吗？设与a 共线的单位向量为a 0，则a 0＝±1|a |a ＝±(x |a |，y |a |)＝±(x x 2＋y 2，y x 2＋y 2)，其中正号，负号分别表示与a 同向和反向， 易知b ＝(－y ，x )和a ＝(x ，y )垂直， ∴与a 垂直的单位向量b 0的坐标为±(－y x 2＋y 2，x x 2＋y 2)，其中正，负号表示不同的方向．温馨提示自我测评1．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b()A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向解析：已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，a·b＝－30＋30＝0，则a与b垂直，选A.答案：A2．设向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b和a垂直，那么λ＝()A．2 B．1 C．－2 D．－1答案：D3．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为()A.13B.135 C.655 D.65答案：C4．已知向量a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，设向量a 与b 的夹角为θ，且，则cos θ＝________.分析：设向量b ＝(x ，y )，则有2b －a ＝(2x,2y )－(3,3)解得x ＝1，y ＝2，∴b ＝(1,2)，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝(3，3)·(1，2)32×5＝31010.所求为 答案：310105．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，求a·b，|3a－b|，(a＋b)·(2a－b)．解：a·b＝1×2＋3×5＝17.∵3a＝3(1,3)＝(3,9)，b＝(2,5)，∴3a－b＝(1,4)，∴|3a－b|＝12＋42＝17.∵a＋b＝(3,8)，2a＝(2,6)，∴2a－b＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，∴(a＋b)·(2a－b)＝3×0＋8×1＝8.温馨提示过标实现问题数应与(1)通向量的坐表示向量代化，注意方程、函等知的系数识联.(2)向量的理有思路：一是向量式，另一问题处两种种纯种标两补.是坐式，者互相充总结规律我们在进行向量的数量积运算时，要牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再由已知计算．三是如果涉及图形的数量积运算，只需把握图形特点，求出相关点的坐标，利用向量的三角形减法由终点坐标与起点坐标的差得到向量的坐标即可．1若向量a＝(2，－1)，向量b＝(3，－2)，求向量(3a －b)·(a－2b)．=？解：由已知得a·b＝＝8，a2＝＝5，b2＝＝13，所以(3a－b)·(a－2b)＝-15.所求为b a b a b a a b ⋅=⋅==求求：已知例,43)2(;,//)1(1,21πθ，分两种情况：）由解：（b a //1;2,=⋅b a b a 同向，当。
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
y A(x1,y1)
B(x2,y2)
r
r ra
bj
这就是说，两个向量的数量 积等于它们对应坐标的乘积的和。
o
r i
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向量的 数量积的运算可转化为向量的坐标运算。
讲授新课
2、向量的模和两点间的距离公式
讲授新课
3、两向量垂直和平行的坐标表示 （1）垂直
（2）平行
讲授新课
证明u：uur
C(-2,5) y
Q在们C是uAuAu(Au平 标 直-CuBu2rBr，面出角u=uAu=5u直三Aur()Cu-三((r角角122，=点--坐形u1121u，标.,)u,，r53发(系--B-现32中2()2))△，+，==1A3我(()B-，13C3,,1=3))0
B(2,3) A(1,2)
巩固新课
rr 解：a Байду номын сангаас b = 1 + 3，
rr a b = 2 4 + 2 3 = 2(1 +
rr cosθ = ra br = 1 ,
ab 2
3)，
Q 0o θ 180o ,θ = 60o.
巩固新课
例３：已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
设a =（x1, y1 ),b = (x2 , y2 ), 则a b
x1x2 + y1y2 = 0
（4）向量平行
r
r
rr
若a =（x1, y1 ),b = (x2 , y2 ), 则a//b
x1y2 - x2y1 = 0.
（5）两向量夹角公式的坐标运算
r
(完整版)必修四平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(附答案)
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角[学习目标] 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．知识点一 平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．思考 已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，怎样用a 与b 的坐标表示a ·b ？上述结论是怎样推导的？答案 推导：∵a ＝x 1i ＋y 1 j ，b ＝x 2i ＋y 2 j ，∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1 j )·(x 2i ＋y 2 j )＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i ·j ＋x 2y 1 j ·i ＋y 1y 2 j 2.又∵i ·i ＝1，j ·j ＝1，i ·j ＝j ·i ＝0，∴a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.知识点二 平面向量的模(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.思考 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为平面内任意两点，试推导平面内两点间的距离公式．答案 推导：∵AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.知识点三 平面向量夹角的坐标表示设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 特别地，若a ⊥b ，则有x 1x 2＋y 1y 2＝0；反之，若x 1x 2＋y 1y 2＝0，则a ⊥b .思考 (1)已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(1，x )，a ⊥b 则x ＝________.(2)若a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)，则a 与b 的夹角为________．(3)已知A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则△ABC 的形状是________三角形．答案 (1)2 (2)34π (3)直角题型一 平面向量数量积的坐标运算例1 已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10.(1)求a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c .解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)．(2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝1×2＋2×4＝10，∴a (b·c )＝0a ＝0，(a·b )c ＝10(2，－1)＝(20，－10)．跟踪训练1 已知a ＝(－3，－2)，b ＝(－4，k )，若(5a －b )·(b －3a )＝－55，试求b 的坐标． 解 ∵a ＝(－3，－2)，b ＝(－4，k )，∴5a －b ＝(－11，－10－k )．b －3a ＝(5，k ＋6)，∴(5a －b )·(b －3a )＝(－11，－10－k )·(5，k ＋6)＝－55－(k ＋10)(k ＋6)＝－55，∴(k ＋10)(k ＋6)＝0，∴k ＝－10或k ＝－6，∴b ＝(－4，－10)或b ＝(－4，－6)．题型二 平面向量的夹角问题例2 已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角．解 设a 与b 的夹角为θ，则a·b ＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos θ＝0，所以a·b ＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12.(2)因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos θ<0且cos θ≠－1，所以a·b <0且a 与b 不反向．由a·b <0得1＋2λ<0，故λ<－12， 由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向．所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12. (3)因为a 与b 的夹角为锐角，所以cos θ>0，且cos θ≠1，所以a·b >0且a ，b 不同向．由a·b >0，得λ>－12，由a 与b 同向得λ＝2. 所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞)．跟踪训练2 已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求λ的取值范围． 解 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1.∵a ，b 的夹角α为钝角．∴⎩⎨⎧ λ－1<0，21＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0. ∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．题型三 平面向量数量积坐标形式的综合运用例3 已知在△ABC 中，A (2，－1)、B (3,2)、C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．解 设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)，∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，∴存在实数λ，使BD →＝λBC →，即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－6λy －2＝－3λ.∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.①又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.即2x ＋y －3＝0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1， 即D 点坐标为(1,1)，AD →＝(－1,2)．∴|AD →|＝(－1)2＋22＝5，即|AD →|＝5，D (1,1)．跟踪训练3 在平面直角坐标系内，已知三点A (1,0)，B (0,1)，C (2,5)，求：(1)AB →，AC →的坐标；(2)|AB →－AC →|的值；(3)cos ∠BAC 的值．解 (1)AB →＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，AC →＝(2,5)－(1,0)＝(1,5)．(2)因为AB →－AC →＝(－1,1)－(1,5)＝(－2，－4)，所以|AB →－AC →|＝(－2)2＋(－4)2＝2 5.(3)因为AB →·AC →＝(－1,1)·(1,5)＝4，AB →＝2，|AC →|＝26，cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝42×26＝21313.当心“角”下陷阱例4 已知a ＝(1,3)，b ＝(2，λ)，设a 与b 的夹角为θ，要使θ为锐角，求λ的取值范围． 错解 因为θ为锐角，所以cos θ>0，由a ·b ＝|a ||b |cos θ知，只需a·b >0，即1×2＋3λ>0，即λ>－23. 错因分析 本题误以为两非零向量a 与b 的夹角为锐角等价于a·b >0，事实上，两向量的夹角θ∈[0，π]，当θ＝0时，有cos θ＝1>0，对于非零向量a 与b 有a·b >0.两非零向量a 与b 的夹角为锐角的等价条件是a·b >0且a 不平行于b .正解 由θ为锐角，得cos θ>0且θ≠0，由ab ＝|a |·|b |cos θ，而|a |、|b |恒大于0，所以a·b >0，即1×2＋3λ>0，即λ>－23；若a ∥b ，则1×λ－2×3＝0，即λ＝6，但若a ∥b ，则θ＝0或θ＝π，这与θ为锐角相矛盾，所以λ≠6.综上，λ>－23且λ≠6.1．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π22．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．43．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－14．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.5．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．(1)求a 与b 的夹角的余弦；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．一、选择题1．已知向量a ＝(－5,6)，b ＝(6,5)，则a 与b ( )A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向2．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )A ．－17 B.17 C ．－16 D.163．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．124．已知OA →＝(－2,1)，OB →＝(0,2)，且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是( )A ．(2,6)B ．(－2，－6)C ．(2,6)D ．(－2,6)5．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( ) A. 5 B.10 C ．5 D ．256．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73B.⎝⎛⎭⎫－73，－79C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 二、填空题7．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________.8．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________.9．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为________．10．设a ＝(2，x )，b ＝(－4,5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是____________________．三、解答题11．在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值．12．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.13．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．当堂检测答案1．答案 B解析 ∵|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22. 又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π4. 2．答案 C解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0，∴n ＝± 3. ∴|a |＝12＋n 2＝2.3．答案 B解析 因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，由(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.4．答案 82解析 ∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，∴a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c ＝a －6b ，∴c 2＝a 2－12a ·b ＋36b 2＝20－12×6＋36×5＝128.∴|c |＝8 2.5．解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝255＝2525. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)，又(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝529. 课时精练答案一、选择题1．答案 A解析 a·b ＝－5×6＋6×5＝0，∴a ⊥b .2．答案 A解析 由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)． 又(λa ＋b )·(a －2b )＝0，∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17. 3．答案 B解析 a ＝(2,0)，|b |＝1，∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1.∴|a ＋2b |＝a 2＋4×a ·b ＋4b 2＝2 3.4．答案 D解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)，BC →＝(x ，y －2)，AB →＝(2,1)．由AC →∥OB →，BC →⊥AB →，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2(x ＋2)＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6. ∴点C 的坐标为(－2,6)．5．答案 C解析 ∵|a ＋b |＝52，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5＋2×10＋b 2＝(52)2，∴|b |＝5.6．答案 D解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)， 又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②解得①②得x ＝－79，y ＝－73.二、填空题7．答案 1解析 a －2b ＝(1，3)，(a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1.8．答案 (－4,8)解析 由题意可设b ＝λa ＝(λ，－2λ)，λ<0， 则|b |2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，∴b ＝－4a ＝(－4,8)．9．答案 655解析 设a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝2×(－4)＋3×722＋32(－4)2＋72＝55， 故a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝13×55＝655. 或直接根据a·b |b |计算a 在b 方向上的投影． 10．答案 x <85且x ≠－52解析 ∵θ为钝角，∴cos θ＝a ·b |a ||b |<0， 即a ·b ＝－8＋5x <0，∴x <85. ∵a ∥b 时有－4x －10＝0，即x ＝－52， 当x ＝－52时，a ＝(2，－52)＝－12b ， ∴a 与b 反向，即θ＝π.故a 与b 的夹角为钝角时，x <85且x ≠－52. 三、解答题11．解 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)．若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23； 若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0，∴k ＝113； 若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0，∴k ＝3±132. 故所求k 的值为－23或113或3±132. 12．解 (1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即1×(2x ＋3)＋x ×(－x )＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)∵a ∥b ，∴1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.又|a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2，∴|a －b |＝2或2 5.13．(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)，又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →.设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5. ∴C 点坐标为(0,5)．由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，所以AC →·BD →＝8＋8＝16>0，|AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5.设AC →与BD →夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45>0， ∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.。
数学(2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角)
方向性
向量的模只与向量的长度有关， 与其方向无关。
模的计算方法
定义法
根据定义直接计算向量的模 。
勾股定理法
如果向量在直角坐标系中的 坐标已知，可以使用勾股定 理计算模。
向量分解法
将向量分解为两个互相垂直 的分量，然后分别求出分量 的模，再求和。
模的性质
共线性质
如果两个向量共线，那么它们的模相等或互为相反数。
05
实例分析
数量积的坐标表示实例
要点一
总结词
通过具体例题，展示如何利用坐标表示计算平面向量的数 量积。
要点二
详细描述
假设有两个向量$overset{longrightarrow}{a} = (x_{1}, y_{1})$和$overset{longrightarrow}{b} = (x_{2}, y_{2})$， 它们的数量积为$overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$。 通过具体例题，展示如何利用坐标表示计算平面向量的数量 积。
平面向量的模
定义与性质
定义
平面向量$vec{a}$的模定义为 $left|vec{a}right| = sqrt{a_1^2 + a_2^2}$，其中$a_1$和$a_2$ 分别是向量$vec{a}$模总是非负的，即 $left|vec{a}right| geq 0$。
数量积与夹角的关系
数量积与夹角余弦值的关系
向量的数量积等于两个向量模的乘积乘以它们夹角的余弦值，即$mathbf{A} cdot mathbf{B} = |mathbf{A}| times |mathbf{B}| times costheta$。
一轮复习之平面向量数量积的坐标表示模夹角(颜贞)共6页文档
一轮复习之平面向量数量积的坐标表示、模、夹角广东省和平县福和高级中学高三数学组 颜贞①让学生掌握数量积的坐标表达式，并会进行平面向量数量积的运算.②能运用平面向量数量积的坐标表示去分析向量的模长、夹角等坐标表示，并会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
③能运用本节课的知识点去解决模长，夹角等综合性的具体问题。
2. 过程与方法本节课将通过小组合作学习方式，让学生主动参与问题的探究讨论，并通过分析、类比，发散等思维手段去掌握本节课的知识点，让学生真正成为学习的主人。
3. 情感、态度与价值观通过师生互动、生生互动的教学活动过程，帮助学生体验到数学学习活动中的成功与快乐，培养学生对数学的良好情感，激发学生学习数学的热情，形成锲而不舍的钻研精。
课堂教学组织形式是“小组合作性学习”。
本节课的内容是在复习了平面向量数量积的概念基础上，进一步复习坐标化问题。
教学中通过引导学生联系已有的知识，进行分析、类比、发散等思维，自主得出运算法则并能灵活应用。
使学生在通过小组合作学习的过程中，充分体会数学知识的“再发现”、“再运用”，从而达到本节复习课的目标。
教学手段：采用多媒体辅助教学，增强直观性，加大课堂容量，提高教学效率；组织学生小组间交流合作学习，6人一小组，由三个层次高点的学生带三个层次稍微弱一点的学生，学生和学生之间互相学习和激励，从而提高学习效率。
一、 复习引入老师：（提出问题）1、平面向量数量积的概念？2、由数量积公式你能推出夹角公式、模长公式吗？3、平面向量数量积的几何意义是什么？学生：积极回忆，回答教师提出的问题。
教师：总结并通过“数字化”意义以及共线向量坐标公式引出本节要研究的主要问题坐标化。
“数字化”就是将现实问题或信息转化为数字，再通过二进制代码，让计算机来处理，从而使问题快速得以解决，“数字化”概念的提出极大的加快了社会发展的速度。
在数学领域，也注重这种转化.为什么我们说向量是沟通几何与代数的桥梁了？因为向量问题可以转化为坐标化处理。
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
A、B两点间的距离公式:已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),
AB ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ,
2 2
cos （1）
x1 x2 y1 y2 x1 y1
3.解：
(a b) a 2a b b 49
cos 1 13 74
a 2 b 1,2a 13, b 2 74
证明： AB (2 1,3 2) (1,1)
BC (2 2,5 3) (4,2)
AC (2 1,5 2) (3,3) AB AC 1 (3) 1 3 0
△ABC是直角三角形
思考：还有 其他证明方 法吗？
提示：尝试用勾股定理来证明
2.解
a b 2 (-2) 3 4 8
(a b) (a - b) a 2 b2 (22 32 ) [(2)2 42 ] 7
a (b c) a b a c
2 ( 2) 3 4 2 ( 1) 3 ( 2) 0
x1 x2 y1 y2 x1 y1
2 2
x2 y2
2
2
（2） a // b x1y2 x2 y1 0 （3） a b x1 x2 y1 y2 0
例2：已知A（1, 2）,B（2,3）,C（－2,5）,试判断 △ABC的形状，并给出证明。
解：如图在平面直角坐标系中标出A（1, 2）,B（2,3）,C（－2,5） 三点，我们以现△ABC是直角三角形，下面证明：
例3：设a=(5, － 7) ， b=(－ 6 , － 4) ，求a· b 及a、b间的夹角（精确到1°）
平面向量数量积坐标表示、模、夹角Word版含答案]
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平面向量数量积的坐标表示、模、夹角明目标、知重点 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3. 能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．【出处： 21 教育名师】1．平面向量数量积的坐标表示若a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，那么 a·b＝x1x2＋y1y2.即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，则a⊥b? x1x2＋y1y2＝0.3．平面向量的模(1)向量模公式：设 a＝(x1，y1)，那么|a|＝x21＋y21.(2)两点间距离公式：假设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，→ 2 2那么|AB|＝x2 －x1＋ y2 －y1 .4．向量的夹角公式设两非零向量a＝(x1，y1 2，y2)，a与b的夹角为a·b ＝x1x2＋ y1y2)，b＝ (x θ，那么 cos θ＝|a||b| x12＋ y12 x22＋ y22.[ 情境导学 ]在平面直角坐标系中，平面向量可以用有序实数对来表示，两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面向量的数量积之后，它能否用坐标来表示？假设能，如何通过坐标来实现？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示？通过回忆两个向量的数量积的定义及向量的坐标表示，在此根底上推导、探索平面向量数量积的坐标表示．21*cnjy*com探究点一平面向量数量积的坐标表示思考 1两个非零向量a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，怎样用 a 与 b 的坐标表示a·b?答∵ a＝x1i＋y1j， b＝x2i＋y2j，∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)2 2＝x1x2i＋ x1y2i·j＋x2y1j·i＋ y1y2j .又∵ i·i＝1， j·j＝1， i·j＝ j·i＝0，∴a·b＝x1x2＋y1y2.思考 2假设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a·b＝x1x2＋y1y2，这就是平面向量数量积的坐标表示．你能用文字描述这一结论吗？【来源：】答两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．例 1a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求 a 的坐标；(2)假设 c＝(2，－1)，求 a(b·c)及(a·b)c.解(1)设a＝λb＝( λ， 2λ) (λ>0) ，那么有a·b＝λ＋4λ＝ 10，∴ λ＝ 2，∴a＝ (2,4) ．(2)∵ b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝1×2＋2×4＝10，∴a(b·c)＝0a＝0，(a·b)c＝ 10(2，－ 1)＝ (20，－ 10)．反思与感悟两个向量的数量积是实数，这和前面三种运算性质不同．同时本例进一步验证了平面向量的数量积不满足结合律．跟踪训练1 假设a＝ (2,3)，b＝ ( － 1，－ 2)，c＝ (2,1) ，那么 (a·b)·c＝ ____________ ；a·(b·c) ＝____________.2-1-c-n-j-y答案 (－ 16，－ 8) (－ 8，－ 12)解析∵ a·b＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8，∴(a·b) ·c＝－ 8× (2,1) ＝ (－16，－ 8)．∵b·c＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4，∴a·(b·c)＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12)．探究点二平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式思考 1 假设a＝ (x， y)，如何计算向量的模 |a|?答∵ a＝x i＋y j，∴a2＝(x i＋y j)2＝(x i)2＋2xy i·j＋(y j)2＝x2i2＋ 2xy i·j＋ y2j2.又∵ i2＝1， j2＝1， i·j＝0，∴a2＝x2＋y2，∴|a|2＝x2＋y2，∴|a|＝x2＋ y2.思考 2 如图，假设→A(x1， y1)， B(x2， y2)，如何计算向量 AB 的模？→ → → 答∵ AB ＝ OB － OA＝ ( x 2， y 2)－ (x 1， y 1)＝ ( x 2－ x 1， y 2－ y 1)，→22∴|AB|＝ x 2 －x 1 ＋ y 2 －y 1 .探究点三 平面向量夹角的坐标表示思考 1设向量 a ＝ (x 1 ，y 1)， b ＝(x 2，y 2)，假设 a ⊥b ，那么 x 1， y 1， x 2， y 2 之间的关系如何？反之成立吗？答 a ⊥ b ? x 1x 2＋ y 1y 2＝ 0.思考 2设 a ， b 都是非零向量， a ＝ (x 1， y 1)， b ＝ (x 2， y 2)， θ是 a 与 b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？【版权所有： 21 教育】a ·b x 1x 2＋ y 1y 2答 cos θ＝|a||b |＝ x 12＋ y 12· x 22＋ y 22.例如， (1)假设 a ＝ (3,0)， b ＝ (－ 5,5)，那么 a 与 b 的夹角为 ________．(2) A(1,2)， B(2,3)， C(－ 2,5)，那么△ ABC 的形状是 ________三角形．答案 (1)34π (2) 直角例 2 a ＝ (1,2)， b ＝ (1，λ)，分别确定实数 λ的取值范围，使得： (1) a 与 b 的夹角为直角； (2) a 与 b 的夹角为钝角； (3) a 与 b 的夹角为锐角． 21·世纪 * 解 设 a 与 b 的夹角为 θ， 那么 a ·b ＝ (1,2) (1·， λ)＝ 1＋ 2λ.(1) 因为 a 与 b 的夹角为直角，所以cos θ＝ 0，1所以 a ·b ＝ 0，所以 1＋ 2λ＝ 0，所以 λ＝－ .2(2) 因为 a 与 b 的夹角为钝角，所以 cos θ<0 且 cos θ≠ － 1，所以 a ·b <0 且 a 与 b 不反向．由 a ·b <0 得 1＋ 2λ<0，故 λ<－12，由 a 与 b 共线得 λ＝ 2，故 a 与 b 不可能反向．所以 λ的取值范围为 － ∞ ，－12 .(3) 因为 a 与 b 的夹角为锐角，所以 cos θ>0 ，且 cos θ≠ 1，所以 a ·b >0 且 a ， b 不同向．由 a ·b >0，得 λ>－ 12，由a 与b 同向得 λ＝ 2.所以 λ的取值范围为－ 1， 22∪ (2，＋ ∞ )．反思与感悟由于两个非零向量a， b 的夹角θ满足0°≤ θ≤180°，所以用cosθ＝a·b来判|a||b|断，可将θ分五种情况： cos θ＝1，θ＝ 0°；cos θ＝ 0，θ＝ 90°；cos θ＝－ 1，θ＝180°；cos θ<0 且 cos θ≠ － 1，θ为钝角； cos θ>0 且 cos θ≠1，θ为锐角．跟踪训练2a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，假设a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围．解∵ a＝(1，－1)， b＝(λ，1)，2∴|a|＝ 2，|b|＝ 1＋λ，a·b＝λ－ 1.∵a， b 的夹角α为钝角．λ－ 1<0 ，λ<1，∴2 即2＋2λ＋ 1≠ 0.2 1＋λ≠ 1－λ，λ∴λ<1 且λ≠ － 1.∴λ的取值范围是 (－∞，－ 1)∪ (－ 1,1)．例 3 在△ ABC 中， A(2，－ 1)、 B(3,2)、C(－ 3，－ 1) ，AD 为 BC 边上的高，求→|AD|与点 D 的坐标．解设点 D 的坐标为 (x， y)，→→那么AD ＝ (x－2， y＋ 1)，BC＝( －6，－ 3)，→BD ＝(x－ 3， y－ 2)，→→∵D 在直线 BC 上，即 BD 与 BC共线，→→∴存在实数λ，使 BD ＝λBC，即( x－3， y－ 2)＝λ(－6，－ 3)．x－ 3＝－ 6λ，∴y－ 2＝－ 3λ.∴x－ 3＝ 2(y－ 2)，即 x－ 2y＋ 1＝ 0.①→→又∵ AD⊥ BC，∴AD ·BC＝ 0，即( x－2， y＋ 1) ·(－ 6，－ 3)＝0，∴－ 6(x－ 2)－ 3(y＋ 1)＝ 0.即2x＋ y－ 3＝0.②x＝ 1，由①② 可得y＝ 1，→即 D 点坐标为 (1,1) ， AD＝( －1,2)．→225，∴|AD|＝－ 1 ＋ 2 ＝→5，D (1,1) ．即|AD|＝反思与感悟 在几何中利用垂直及模来求解点的题型是一种常见题型，其处理方法： 设出点的坐标，利用垂直及模长列出方程组进行求解．【来源： 21cnj*y.co*m 】跟踪训练 3以原点和 A(5,2) 为两个顶点作等腰直角△ →OAB ，∠B ＝ 90°，求点 B 和 AB 的坐标．→ 22解 设 B(x ，y) ，那么 |OB|＝ x ＋ y ，→ 2 ＋ y －2 2. ∵B(x ， y)， A(5,2)， ∴|AB|＝ x － 5 → → 2 2 ＝ 22 又∵ |AB|＝ |OB|， ∴ x － 5 ＋ y － 2 x ＋ y . 可得 10x ＋ 4y ＝ 29， ①→ → → →又OB ＝ (x ，y)， AB ＝ (x － 5， y － 2)，且 OB ⊥ AB ，→ →∴OB ·AB ＝ 0， ∴ x(x － 5)＋ y(y － 2)＝ 0， 即 x 2 －5x ＋ y 2－ 2y ＝ 0， ②x 1＝3， x 2＝7， 由①② 解得 2或273y 1＝ ，2 y 2＝－ .23 7 7 3∴B 2， 2 或 2，－ 2.→ 7 3 →3 7 ∴AB ＝－ ，2 或 AB ＝ － ，－2.221． a ＝ (3，－ 1)， b ＝(1 ，－ 2)，那么 a 与 b 的夹角为 ()ππππ A. 6答案B解析 ∵ |a |＝ 10，|b |＝ 5，a ·b ＝ 5.∴cos 〈 a ， b 〉＝a ·b＝5＝2 |a ||b |10× 5 2 .又∵ a ， b 的夹角范围为 [0 ， π]．π∴a 与 b 的夹角为 4.2．向量a ＝ (1， n)，b ＝ (－ 1， n)，假设 2a － b 与 b 垂直，那么 |a |等于 ( )A ． 1 B. 2 C ． 2 D ． 4答案C解析∵ (2a － b ) ·b ＝2a ·b － |b |22 2 2＝2( － 1＋ n )－ (1＋ n )＝ n － 3＝ 0， ∴n 2＝ 3.∴ |a |＝ 12＋ n 2＝ 2.→ →，那么 k 的值为 ________． 3．在△ ABC 中，∠ C ＝ 90°， AB ＝ (k,1)， AC ＝ (2,3) 答案 5解析 → → →－k,2)，∵ BC ＝ AC －AB ＝(2,3) － (k,1)＝(2→ → → AC ＝ (2,3)，∴ BC ·AC ＝ 2(2－ k)＋ 6＝ 0，∴ k ＝ 5. 4．平面向量 a ＝ (2,4)， b ＝ (－ 1,2)，假设 c ＝ a － (a ·b )b ，那么 |c |＝ ________.答案 8 2解析 ∵ a ＝ (2,4)， b ＝ (－1,2) ， ∴a ·b ＝ 2× (－ 1) ＋ 4× 2＝ 6， ∴ c ＝ a － 6b ， ∴c 2 ＝ a 2－ 12a ·b＋ 36b 2＝ 20－ 12× 6＋ 36× 5＝ 128.∴ |c |＝ 8 2.[ 呈重点、现规律 ]1．向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．www-2-1-cnjy-com2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要 不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．21 教育名师原创作品3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以比照学习、记忆．假设a ＝(x 1， y 1)， b ＝ (x 2， y 2)．那么 a ∥ b ? x 1 y 2－x 2y 1＝ 0，a ⊥ b ? x 1x 2＋ y 1y 2＝ 0.一、根底过关π)1．向量 a ＝ (1， 3)， b ＝ (3，m)．假设向量 a ， b 的夹角为 ，那么实数 m 等于 ( 6A ． 2 3B. 3C ． 0D ．－ 3 答案 B解析 ∵ a ·b ＝ (1 ， 3) ·(3， m)＝ 3＋ 3m ， 又 a ·b ＝ 12＋3 2× 32＋ m 2× cos π，6 ∴3＋ 3m ＝23 2×22π1 ＋3 ＋ m × cos，6∴m ＝ 3.2． a ＝ ( －3,2)， b ＝ (－ 1,0)，向量 λa ＋ b 与 a －2b 垂直，那么实数 λ的值为 ()1 1A ．－ 7 B. 71 1C．－ 6 D. 6答案 A解析由 a＝(－3,2)， b＝(－1,0)，知λa＋ b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)．又(λa＋b) ·(a－2b)＝ 0，1∴3λ＋ 1＋ 4λ＝ 0，∴λ＝－7.3．平面向量 a 与 b 的夹角为60°，a＝ (2,0) ， |b|＝ 1，那么 |a＋ 2b|等于 ()A. 3 B． 2 3C． 4 D ． 12答案 B解析a＝(2,0)，|b|＝1，∴|a|＝ 2，a·b＝ 2× 1× cos 60 °＝ 1.∴|a＋ 2b|＝a2＋ 4×a·b＋ 4b2＝ 2 3.4．向量a＝(1,2)， b＝(2，－3)．假设向量 c 满足(c＋a)∥ b， c⊥(a＋ b)，那么 c 等于()A. 7，7B. －7，－ 79 3 3 9C. 7，7D. －7，－73 9 9 3答案 D解析设 c＝(x，y)，那么 c＋ a＝(x＋1，y＋2)，又(c＋a)∥b，∴ 2(y＋2) ＋3(x＋ 1)＝ 0.①又c⊥(a＋ b)，∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.②77由①② 解得 x＝－9，y＝－3.5．假设向量a＝(1,2)， b＝(1，－1)，那么2a＋ b 与 a－ b 的夹角等于()ππA ．－ 4 B. 6π3πC.4D. 4答案 C解析2a＋b＝ 2(1,2) ＋ (1，－ 1)＝(3,3) ，a－ b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，(2a＋ b)·(a－b)＝9，|2a＋b|＝ 3 2， |a－b|＝3.设所求两向量夹角为α，那么 cos α＝9 ＝2，3 2× 3 2π∵0≤ α≤ π， ∴α＝ 4.6．设 a ＝ (2，x)， b ＝ (－ 4,5)，假设 a 与 b 的夹角 θ为钝角，那么 x 的取值范围是________．答案 x<8且 x ≠－552解析∵ θ为钝角， ∴ cos θ＝a ·b，|a ||b |<0 即 a ·b ＝－ 8＋5x<0 ， ∴ x<8.5∵ a ∥ b 时有－ 4x － 10＝ 0，即 x ＝－ 5，255 )＝－ 1当 x ＝－ 时， a ＝ (2，－ 2 b ，22 ∴a 与 b 反向，即 θ＝ π.故 a 与 b 的夹角为钝角时， x<8且 x ≠ － 5. 527． a ＝ (4,3) ，b ＝ (－ 1,2)．(1) 求 a 与 b 的夹角的余弦；(2) 假设 (a － λb )⊥(2a ＋ b )，求实数 λ的值．解 (1) ∵a ·b ＝ 4× (－ 1)＋ 3× 2＝ 2，|a |＝ 42＋ 32＝ 5， |b |＝ － 1 2＋ 22＝ 5，∴cos 〈 a ， b 〉＝ a ·b 2 2 5|a ||b |＝ 5 5 ＝ 25 .(2) ∵ a －λb ＝ (4＋ λ，3－ 2λ)， 2a ＋ b ＝(7,8)，又( a － λb )⊥ (2a ＋ b )，∴( a － λb ) ·(2a ＋ b )＝ 7(4＋ λ)＋ 8(3－ 2λ)＝ 0，52∴λ＝ .二、能力提升8．向量m ＝ (λ＋ 1,1)， n ＝(λ＋ 2,2)，假设 (m ＋ n )⊥ (m － n )，那么 λ等于 ( )A ．－ 4B ．－ 3C ．－ 2D ．－ 1答案B解析因为 m ＝( λ＋ 1,1)， n ＝ (λ＋2,2)．所以 m ＋ n ＝ (2λ＋3,3)， m － n ＝ (－ 1，－ 1)．因为 (m ＋n )⊥ (m － n )，所以 (m＋n) ·(m－n)＝ 0，所以－ (2λ＋3)－ 3＝ 0，解得λ＝－ 3.9．点→ →A(－ 1,1)、 B(1,2) 、C(－ 2，－ 1)、 D (3,4)，那么向量 AB 在 CD 方向上的投影为 ()3 23 15 A.2 B. 23 23 15C. － 2 D ．－ 2答案 A解析 → → ，AB ＝ (2,1)， CD ＝ (5,5)→ →→ → 2×5＋ 1× 5 方向上的投影为 AB ·CD＝ ∴AB 在CD → 2 ＋5 2|CD| 5 ＝15 ＝ 3 2.5 2210．平面向量 a ＝ (1,2)， b ＝ (4,2)， c ＝m a ＋b ( m ∈ R )，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，则 m ＝ ________.答案2解析因为向量 a ＝ (1,2) ，b ＝ (4,2)，所以 c ＝ m a ＋ b ＝(m ＋ 4,2m ＋ 2)，所以a ·c ＝ m ＋ 4＋ 2(2m＋ 2) ＝ 5m ＋ 8， b ·c ＝ 4(m ＋ 4)＋ 2(2m ＋ 2)＝ 8m ＋ 20.21·cn ·jy ·com因为 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，所以a ·c ＝b ·c ，即 a ·c ＝ b ·c ，所以 5m ＋ 8＝ 8m ＋ 20，|a ||c | |b ||c ||a | |b |52 5解得 m ＝2.→→k 的值．11．在△ ABC 中， AB ＝ (2,3) ， AC ＝ (1， k)，假设△ ABC 是直角三角形，求 → →解 ∵ AB ＝ (2,3) ， AC ＝ (1， k)，→ → → ∴BC ＝AC － AB ＝ ( －1， k － 3)．→ →2 ；假设∠ A ＝ 90°，那么 AB ·AC ＝ 2× 1＋ 3×k ＝ 0， ∴ k ＝－ 3→ →假设∠ B ＝ 90°，那么 AB ·BC ＝ 2× (－ 1)＋ 3(k － 3)＝ 0，∴ k ＝ 113；→ →假设∠ C ＝90°，那么 AC ·BC ＝1× (－ 1)＋ k(k － 3)＝ 0，∴ k ＝3± 13.2故所求 k 的值为－2或11或3±13.3 3212．设 a ＝ (1,2)，b ＝ (－ 2，－ 3) ，又 c ＝ 2a ＋ b ， d ＝ a ＋ m b ，假设 c 与 d 的夹角为 45°，求实数m 的值．21*cnjy*com解∵ a＝(1,2)， b＝(－2，－3)，∴c＝2a＋ b＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)，d＝ a＋m b＝(1,2)＋m(－2，－3)＝(1－2m,2－3m)，∴c·d＝0×(1－2m)＋1×(2－3m)＝2－3m.又∵ |c|＝ 1， |d|＝ 1－ 2m 2＋ 2－ 3m 2，∴cos 45 °＝c·d 2－3m 2 |c||d| ＝1－ 2m2＋ 2－ 3m 2＝2.2 3化简得 5m － 8m＋ 3＝ 0，解得 m＝ 1 或 m＝5.三、探究与拓展13．三个点A(2,1) ，B(3,2) ， D(－ 1,4)．(1)求证： AB⊥ AD；(2)要使四边形 ABCD 为矩形，求点 C 的坐标并求矩形 ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值．(1) 证明∵ A(2,1)，B(3,2)，D (－1,4)，→→∴AB ＝(1,1) ，AD ＝ (－ 3,3)，→→又∵ AB·AD ＝1× (－ 3)＋ 1× 3＝ 0，→→∴AB ⊥AD，即 AB⊥ AD.→→(2) 解AB⊥AD ，四边形ABCD 为矩形，→ →∴AB ＝DC .设 C 点坐标为→＝ (1,1)→(x， y)，那么AB ，DC ＝ (x＋ 1， y－ 4)，x＋ 1＝1，x＝ 0，∴得y－ 4＝1，y＝5.∴C 点坐标为 (0,5)．→→由于 AC＝ (－ 2,4)， BD＝ (－ 4,2)，→→所以 AC·BD ＝ 8＋ 8＝ 16>0，→→|AC|＝ 2 5， |BD |＝2 5.→→设AC 与BD 的夹角为θ，那么→→AC·BD16 4cos θ＝→→ ＝20＝5>0，|AC| ·|BD |4 ∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为5.。
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(2019年11月)
y A(x1,y1)
B(x2,y2)
a bj
oi x
根据平面向量数量积的坐标表示，向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。
2、向量的模和两点间的距离公式
3、两向量垂直和平行的坐标表示 （1）垂直
（2）平行
4、两向量夹角公式的坐标运算
三、基本技能的形成与巩固
例1 (1)已知a (1,2 3),b (1,1),
AC (2 1,5 2) (3,3)
B(பைடு நூலகம்,3)
AB AC 1 (3) 1 3 0
A(1,2)
AB AC
x
三角形ABC 是直角三角形.
0
练习2：以原点和A（5，2）为两 个顶点作等腰直角三角形OAB， B=90，求点B的坐标.
y B
A
O
x
四、逆向及综合运用
2.4.2 平面向量 数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的
1、推导并掌握两个向量数量积的坐标 表示方法；
2、掌握平面两点间距离公式和向量垂 直坐标表示的充要条件及夹角公式；
3、能把向量的数量积的运算与两向量
的坐标运算联系起来解决有关问题。
教学重点
能把向量的数量积的运算转化为 向量的坐标运算。通过推导和题组训 练，理解并掌握平行、垂直、夹角及 距离公式，形成转化技能。
a x1i y1 j, b x2 i y2 j,
a b (x1i y1 j) (x2 i y2 j)
2
2
x1x2 i x1 y2 i j x2 y1i j y1 y2 j
x1x2 y1 y2
故两个向量的数量积等于它们对应
坐标的乘积的和。即
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一轮复习之平面向量数量积的坐标表示、模、夹角广东省和平县福和高级中学高三数学组 颜贞①让学生掌握数量积的坐标表达式，并会进行平面向量数量积的运算.②能运用平面向量数量积的坐标表示去分析向量的模长、夹角等坐标表示，并会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
③能运用本节课的知识点去解决模长，夹角等综合性的具体问题。
2. 过程与方法本节课将通过小组合作学习方式，让学生主动参与问题的探究讨论，并通过分析、类比，发散等思维手段去掌握本节课的知识点，让学生真正成为学习的主人。
3. 情感、态度与价值观通过师生互动、生生互动的教学活动过程，帮助学生体验到数学学习活动中的成功与快乐，培养学生对数学的良好情感，激发学生学习数学的热情，形成锲而不舍的钻研精。
课堂教学组织形式是“小组合作性学习”。
本节课的内容是在复习了平面向量数量积的概念基础上，进一步复习坐标化问题。
教学中通过引导学生联系已有的知识，进行分析、类比、发散等思维，自主得出运算法则并能灵活应用。
使学生在通过小组合作学习的过程中，充分体会数学知识的“再发现”、“再运用”，从而达到本节复习课的目标。
教学手段：采用多媒体辅助教学，增强直观性，加大课堂容量，提高教学效率；组织学生小组间交流合作学习，6人一小组，由三个层次高点的学生带三个层次稍微弱一点的学生，学生和学生之间互相学习和激励，从而提高学习效率。
一、 复习引入老师：（提出问题）1、平面向量数量积的概念？2、由数量积公式你能推出夹角公式、模长公式吗？3、平面向量数量积的几何意义是什么？学生：积极回忆，回答教师提出的问题。
教师：总结并通过“数字化”意义以及共线向量坐标公式引出本节要研究的主要问题坐标化。
“数字化”就是将现实问题或信息转化为数字，再通过二进制代码，让计算机来处理，从而使问题快速得以解决，“数字化”概念的提出极大的加快了社会发展的速度。
在数学领域，也注重这种转化.为什么我们说向量是沟通几何与代数的桥梁了？因为向量问题可以转化为坐标化处理。
我们知道11221221(,),(,),0a x y b x y a b x y x y ==⇔-= 若当。
那么平面向量数量积问题能不能进行坐标化表示呢？回答是肯定的。
那么公式是如何推导了？【设计意图】：让学生回忆学过的知识，有利于本节课的顺利进行。
再通过进一步的设问，激发学生的学习兴趣，培养学生的探索精神。
二、 坐标表示的公式推导与发散老师：如何推导平面向量数量积的坐标公式了？（这个问题师生一起完成）由平面向量基本定理，若1122(,),(,)a x y b x y == ，则根据向量坐标表示的定义1122,,,1a x i y jb x i y j i j =+=+ 其中是互相垂直且模长为的单位向量，即0i j ⋅= ，1i j == . 所以11221212()()a b x i y j x i y j x x y y ⋅=+⋅+=+ .【设计意图】：这个分析的过程就是知识迁移的过程。
大部分学生在老师的引导下，认识到数学是培养理性思维的学科。
过程是美妙的！数学分析具有思维严密性和抽象性的思维品质。
所以在接下来的公式推广环节，让学生自己做学习的主人，参与到这个过程中去，也就可以开始了。
老师：下面请各组开始推导夹角公式、模长公式的坐标表示公式。
（布置任务）学生：在组长的主持下，各小组进行公式探究。
并让小组学生代表给出公式结果。
平面向量长度（模长）的坐标表示：若222||||a ),,(y x a a a y x a +==⇒=⋅=则 若给出的1122,(,),(,)a AB A x y B x y = 其中，则||AB =平面向量夹角的坐标表示：cos θ=【设计意图】：让学生体会坐标公式的形成过程，培养学生独立解决问题的能力。
三、公式应用老师：请各小组快速解决下面两道基础题型，并由各组推荐代表上黑板板演。
例一：已知向量.c 2,a ),3,1(b )1,3(的坐标的向量试求模为若和c b c a ⋅=⋅=-=(若时间充裕，可以让学生探究这道题的几何特征。
)分析：设(,),,,c x y a c y b c x a c b c =⋅-⋅=⋅=⋅ 则由，建立方程组22,2y x x y x y -=+==+=⎪⎩解之得 很明显，0,a b a b a b a b ⋅=⊥ 所以，且＝，故以，为邻边的平形四边形是正方形，又由于 a c b c ⋅⋅ ＝，所以与正方形的对角线共线。
且1()2c a b =±+ 。
例二：设向量(2sin ,2cos )(0),(,a a a a b a b π=-≤≤=- 则的夹角为（ ）A .α B. π－a C . 2a π- D . 2a π-分析：设0cos sin a b a θθπθ≤≤= 和的夹角为，且，由夹角坐标公式可得，当02a π≤<时， cos cos()2a πθ=-，故2a πθ=-；当2a ππ<≤时，cos sin cos()2a a πθ==-，此时，2a πθ=-.综上所述，2a πθ=-.【设计意图】：让学生及时巩固所学知识，并对每一类题型进行总结。
第一题的探究一问要引导学生用数形结合的思想方法去分析，并让学生体会代数，几何，三角，向量之间的联系，并能认识到向量作为解题工具的功能以及它的科学价值、应用价值。
例二在例一的基础上，能力要求更高，因为它是一道学科内综合性稍强的题，须结合三角函数的相关知识点来解决。
这种层次分明的习题，可以满足不同学生的知识需求，以达到提升每一位学生解题能力的目标。
四、公式进一步推广与应用老师：上面我们已经复习了向量（平行）共线的坐标表示，大家能够推导出两个向量垂直的坐标表示吗？学生：快速回答。
当11221212(,),(,),00a x y b x y a b a b x x y y ==⊥⇔=⇔+= 若。
老师：我们也知道平面向量数量积的几何意义是向量在向量方向上的投影与向量的长度的乘积。
那么向量在向量方向上的投影坐标表示又是什么了？【设计意图】：上面两个连续的问题，遵循先易后难的原则。
学生在第二个问题中可能会遇到障碍，而这本身就是一种教学手段，这样能让一些思维开小差的学生，因为这个挑战性问题而重新积极思考。
学生：有部分学生在这里可能思维受阻，因为如果没有理解好投影的概念是无法作答的。
老师：在这里，要进一步强调投影概念的重要性，因为在以后的立几复习中更涉及到向量问题，所以须讲清楚。
并给出高考真题去得到及时的教学反馈。
例三：（07重庆）已知向量=⊥==OC ,//,OC )5,3(),6,4(则且OB AC OA ，OB OA （ ） A . )72,73(- B . )214,72(- C . )72,73(- D . )214,72(- 例四：（07湖北）设225),3,4(上的投影为在=，214.b x ≤ 在轴上的投影为，且b 则为（ ）A .（2，14） B. (2,27－) C. (227－，) D. (24721，－) 【设计意图】：答案略。
通过高考真题的强化训练，不仅仅能让学生体验高考考察的知识范围以及高考的能力要求，还可以用来让学生自我检验所学效果，找出问题，及时弥补。
同时也为了进一步突出教学中的重难点.五、 能力提高例五：（05天津）在直角坐标系xoy 中，已知点A （0，1）和点B （－3，4）。
若点C 在角AOB 的平分线上，且2OC = ＝，则OC ____________（用坐标表示）分析：方法一 由于A O B ∠平分线对应的方向向量为O A O B O A O B+ ,从而OC OA λ OA OB ＝（+）OB ,0,λ>又OA OB OA OB+ =(0,1)+(3439,)(,)5555-=-,所以OC λ= 39（－，）55。
因为2OC OC λ ＝，所以 方法2 ：设(,),OC OC C x y OA OB= OA OB 依题意有,即22234,44,55y x y OC x y =-++= 又＝，即又0,x x y <==所以. 【设计意图】：本题可以用两种方法解决。
所以鼓励小组间讨论用多种角度去理解角平分线从而解题，培养其发散思维的能力，增强知识点的应用意识。
例六：（学科整合）已知平面向量11),(22a b =-= （1）证明：a b ⊥（2）若存在不同时为零的实数和，使2(),,x a t k b y sa tb y =+-=-+⊥ 且x ，试求函数关系式()s f t =.（3）若()s f t =在[1,)+∞上是增函数，试求的取值范围。
分析：（1）由题意知111,0,22a b a b a b ==⋅=-=⊥ 且所以 （2）由于2222,0,()()0x y x y s a t sk st a b t t k b ⊥⋅=-++-⋅+-= 则从而，化简整理有3()s f t t kt ==-（3）导数分析：要使函数在已知区间内是增函数，则2()30[1,)f t t k t '=-≥∈+∞在恒成立。
即23[1,)k t t ≤∈+∞在恒成立。
显然，3k ≤【设计意图】：学科整合题型可以增强学生对知识网络的链接，也体现高考思维。
将向量与函数结合，利用导数工具判断单调性是本题的出发点。
若时间不充裕，可以作为课后思考题，以满足部分学生的求知欲.六、 课堂小结学生代表回答：1、平面向量的数量积的坐标表示.2、向量模长的坐标表示3、向量夹角的坐标表示4、向量共线与垂直坐标表示5、向量在向量方向上的投影坐标表示向量在向量方向上的投影坐标表示【设计意图】：学生反思总结，可以让学生总结获取知识的能力同时使学生的认知结构更加完整，知识更系统化.七、布置作业。