抛物线中点轨迹方程的应用
抛物线的几何性质的应用
y
A
y 2 px( p 0)
2
O
F B
x
由已知条件可得点A的坐标是 （40，30），代入方程可得
302 2 p 40
45 p 4
25 所求的标准方程为y x 2 45 焦点坐标为 ( , 0) 8
抛物线的几何 性质应用
一、复习
(一) 抛物线的定义
平面内与一个 定 点F和一条 定 直线l(l不经过
点F)的距离 相等 的点的轨迹叫做抛物线.
其中:F叫做抛物线的 焦 点,l叫做抛物线的 准 线.
(二) 抛物线的标准方程
(1)开口向右 y2 = 2px (p>0) (2)开口向左 y2 = -2px (p>0) (3)开口向上 x2 = 2py (p>0) (4)开口向下 x2 = -2py (p>0) 其中p的几何意义为焦点到准ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的距离.
y
x F
一 判断直线与抛物线位置关系
把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程 直线与抛物线的 对称轴平行 相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0
相交
相切
相离
例 1 已知抛物线的方程为 y 4 x ,直线 l 过定点 P (2,1) , 斜率为 k , k 为何值时 ,直线 l 与抛物线 y 2 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶ 没有公共点?
1 解得k 1，或k . 2 1 即当k 1或k 时，方程组没有实数解， 2 即直线与抛物线没有公共点。
抛物线 标准方程、几何性质、经典大题归纳总结
一、 第一讲: 抛物线标准方程 二、 考点、热点回顾一、定义: 在平面内,及一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.即：的轨迹是抛物线。
则点若M MNMF,1 三、 (定点F 叫做抛物线的焦点, 定直线l 叫做抛物线的准线。
)标准方程:设定点F 到定直线l 的距离为p(p 为已知数且大于0).取过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴, x 轴及l 交于K, 以线段KF 的垂直平分线为y 轴, 建立直角坐标系抛物线上的点M(x, y)到l的距离为d, 抛物线是集合p={M||MF|=d}.化简后得: y2=2px(p＞0).由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况, 抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：二、典型例题(2)例1.(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x, 求它的焦点坐标和准线方程；已知抛物线的焦点坐标是F(0, -2), 求它的标准方程．方程是x2=-8y.例2.根据下列所给条件, 写出抛物线的标准方程:(1)焦点是F(3, 0)；(3)焦点到准线的距离是2.答案是：(1)y2=12x；(2)y2=-x；(3)y2=4x, y2=-4x, x2=4y, x2=-4y．三、课堂练习1.抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是________答案：2解析: 解析: 抛物线y2＝4x的焦点F(1,0), 准线x＝－1.∴焦点到准线的距离为2.2.分别求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上.答案：解析: 解: (1)设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0), 则将点(－3,2)代入方程得2p＝或2p＝, 故抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.(2)①令x＝0, 由方程x－2y－4＝0, 得y＝－2.∴抛物线的焦点为F(0, －2).设抛物线方程为x2＝－2py(p>0), 则由＝2, 得2p＝8. ∴所求抛物线方程为x2＝－8y.②令y＝0，由方程x－2y－4＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为F(4,0).设抛物线方程为y2＝2px(p>0), 则由＝4, 得2p＝16.∴所求抛物线方程为y2＝16x.综上, 所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.3.已知抛物线的顶点在原点, 对称轴是x轴, 抛物线上的点M(-3, m)到焦点的距离等于5, 求抛物线的方程和m的值解法一: 由焦半径关系, 设抛物线方程为y2=-2px(p＞0), 则准线方因为抛物线上的点M(-3, m)到焦点的距离|MF|及到准线的距离得p=4.因此, 所求抛物线方程为y2=-8x.又点M(-3, m)在此抛物线上, 故m2=-8(-3)．解法二: 由题设列两个方程, 可求得p和m. 由学生演板. 由题意在抛物线上且|MF|=5, 故四、课后作业1.分别求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上.答案：解析: (1)设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0), 则将点(－3,2)代入方程得2p＝或2p＝, 故抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.(2)①令x＝0, 由方程x－2y－4＝0, 得y＝－2.∴抛物线的焦点为F(0, －2).设抛物线方程为x2＝－2py(p>0), 则由＝2, 得2p＝8. ∴所求抛物线方程为x2＝－8y.②令y＝0，由方程x－2y－4＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为F(4,0).设抛物线方程为y2＝2px(p>0), 则由＝4, 得2p＝16.∴所求抛物线方程为y2＝16x.综上, 所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.2.若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M, 其横坐标为－9, 它到焦点的距离为10, 求抛物线方程和M点的坐标.解析: 解: 由抛物线的定义, 设焦点F(－, 0). 则准线为x＝.设M到准线的距离为|MN|,则|MN|＝|MF|＝10, 即－(－9)＝10, ∴p＝2. 故抛物线方程为y2＝－4x.将M(－9，y)，代入抛物线方程得y＝±6. 故M(－9,6)或M(－9，－6)．3.已知抛物线C的焦点F在x轴的正半轴上, 点A(2, )在抛物线内. 若抛物线上一动点P到A.F两点距离之和的最小值为4, 求抛物线C的方程.解析: 解: 设抛物线方程为y2＝2px(p＞0), 其准线为x＝－, 过P点作抛物线准线的垂线, 垂足为H(图略), 由定义知, |PH|＝|PF|.∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PH|, 故当H、P、A三点共线时, |PA|＋|PF|最小. ∴|PA|＋|PF|的最小值为＋2＝4, p＝4, 即抛物线C的方程为y2＝8x.4.动圆M经过点A(3,0)且及直线l: x＝－3相切, 求动圆圆心M的轨迹方程.解：设圆M及直线l相切于点N. ∵|MA|＝|MN|, ∴圆心M到定点A(3,0)和定直线x＝－3的距离相等．根据抛物线的定义, M在以A为焦点, l为准线的抛物线上．∵＝3，∴p＝6. ∴圆心M的轨迹方程为y2＝12x.第二讲: 抛物线简单几何性质一、考点、热点回顾定义: 在平面内,及一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.补充：1.通径: 通过焦点且垂直对称轴的直线, 及抛物线相交于两点, 连接这两点的线段叫做抛物线的通径。
抛物线的参数方程及其应用
一、抛物线的参数方程抛物线的标准方程的形式有四种，故对应参数方程也有四种形式．下面仅介绍22(0)x py p =>及22(0)y px p =>两种情形．（1）对于抛物线22(0)x py p =>，其参数方程为222x pt y pt =⎧⎨=⎩，，设抛物线22x py =上动点P 坐标为2(22)pt pt ，，O 为抛物线的顶点，显然222OP pt k t pt==，即t 的几何意义为过抛物线顶点O 的动弦OP 的斜率． （2）同理，以圩抛物线22(0)y px p =>，其参数方程为222x pt y pt ⎧=⎨=⎩，，设抛物线22x py =上动点P 坐标为2(22)pt pt ，，O 为抛物线的顶点，可得22112OP OPpt k t pt t k ==⇒=，t 的几何意义是过抛物线的顶点O 的动弦OP 的斜率的倒数．二、应用举例例1 直线2y x =与抛物线22(0)y px p =>相交于原点和A 点，B 为抛物线上一点，OB 和OA 垂直，且线段AB 长为513，求P 的值．解析：设点A B ，分别为22(22)(22)A A B B pt pt pt pt ，，，，则112A OA t k ==，12B OA OBt k k ==-=-． A B ，的坐标分别为(84)2p p p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，． 228(4)2p AB p p p ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∴5135132p ==．2p =∴．例2 已知A B ，为抛物线24x y =上两点，且OA OB ⊥，求线段AB 中点的轨迹方程．解析：设OA k t =，1OB OB OA k t⊥⇒=-， 据t 的几何意义，可得2244(44)A t t B t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，． 设线段中点()P x y ，，则222214142214142.2x t t t t y t t t t ⎧⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪=+=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，t得P点的轨迹方程为22(4)=-．x y。
轨迹方程综合练习题
轨迹方程综合练习题轨迹方程综合练习题在数学中，轨迹方程是描述一个物体运动轨迹的数学表达式。
它可以帮助我们理解和预测物体在空间中的运动规律。
本文将通过一些综合练习题来加深对轨迹方程的理解和应用。
练习题一：抛物线轨迹方程假设有一个抛物线轨迹，顶点坐标为（0，0），焦点坐标为（2，0）。
求该抛物线的轨迹方程。
解答：设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c，由于顶点坐标为（0，0），所以c = 0。
又因为焦点坐标为（2，0），根据抛物线的性质可知焦距等于顶点到直线的距离的两倍，即2a = 2。
解得a = 1。
所以，该抛物线的轨迹方程为y = x^2 + bx。
练习题二：椭圆轨迹方程现有一个椭圆轨迹，长轴长度为6，短轴长度为4。
求该椭圆的轨迹方程。
解答：设椭圆的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a为长轴长度的一半，b为短轴长度的一半。
根据题意，a = 6/2 = 3，b = 4/2 = 2。
所以，该椭圆的轨迹方程为x^2/9 + y^2/4 = 1。
练习题三：双曲线轨迹方程给定一个双曲线轨迹，焦点坐标为（0，2），离心率为2。
求该双曲线的轨迹方程。
解答：设双曲线的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a为双曲线的焦点到中心的距离，b为离心率。
根据题意，a = 2/2 = 1，离心率为2。
所以，该双曲线的轨迹方程为x^2 - y^2/4 = 1。
练习题四：直线轨迹方程给定一个直线轨迹，过点（2，3），斜率为2。
求该直线的轨迹方程。
解答：设直线的方程为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
根据题意，斜率k = 2，过点（2，3），代入方程可得3 = 2*2 + b，解得b = -1。
所以，该直线的轨迹方程为y = 2x - 1。
通过以上练习题，我们可以看到轨迹方程的应用广泛且多样化。
无论是抛物线、椭圆、双曲线还是直线，轨迹方程都可以帮助我们更好地理解和描述物体的运动规律。
抛物线运动的轨迹及运动方程
抛物线运动的轨迹及运动方程引言：抛物线运动是一种常见的物体运动形式，具有特殊的轨迹和运动方程。
本文将通过分析抛物线运动的特点和数学表达来阐述其轨迹和运动方程。
一、抛物线运动的定义和特点抛物线运动是指物体在一个斜向上抛后，在重力作用下向下运动的路径。
它的特点包括：1. 运动轨迹呈抛物线形状，具有对称性；2. 运动过程中，物体的水平分速度不断保持恒定，垂直分速度在受到重力作用下以等加速度运动；3. 物体的最高点为抛体的顶点，也是运动过程中的最高位置。
二、抛物线运动的运动方程抛物线运动的数学表达可以通过运动的方程来描述。
根据运动学原理，抛物线运动的水平和垂直分速度可以分别用以下两个方程表示：1. 水平方程：在水平方向上，物体的运动速度保持恒定，所以水平方程可以用直线方程来表示：x = v0 * t其中，x为物体在水平方向上的位移，v0为物体的水平初速度，t为运动时间。
2. 垂直方程：在垂直方向上，物体受到重力加速度的作用，所以垂直方程可以用平抛运动的加速度公式来表示：y = v0 * sin(θ) * t - (1/2) * g *t^2其中，y为物体在垂直方向上的位移，v0为物体的初速度大小，θ为运动的发射角度，g为重力加速度，t为运动时间。
三、抛物线运动的轨迹根据抛物线运动的运动方程，可以得到物体抛出后的运动轨迹。
将水平方程代入垂直方程中，可以得到抛物线运动的轨迹方程：y = (tan(θ) * x) - (g * (x^2) / (2 * (v0^2) * (cos^2(θ))))，其中，y为物体在垂直方向上的位移，x为物体在水平方向上的位移，v0为物体的初速度大小，θ为运动的发射角度，g为重力加速度。
由上述轨迹方程可以看出，抛物线运动的轨迹为一个对称的抛物线，其形状由发射角度和初速度大小决定。
当抛物线运动的发射角度为45度时，物体的水平和垂直分速度相等，轨迹形成一个标准的抛物线形状。
结论：抛物线运动是一种具有特殊轨迹和运动方程的运动形式。
高考数学 专题13 抛物线解答题解法荟萃(解析版)
专题13 抛物线解答题解法荟萃一．【学习目标】1.掌握抛物线的定义；2.掌握焦点三角形的应用和几何意义；3.掌握抛物线方程的求法；4.掌握直线与抛物线的位置关系；5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。
二．【知识点】 1．抛物线的定义平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离______的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程、图形及几何性质 标准y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)方程图 形焦点 )0,2(p F 准线x ＝p 2范围 ① x ≥0，y ∈R ② x ≤0，y ∈R③ x ∈R ，y ≥0 ④ x ∈R ，y ≤0对称轴 ⑤________ ⑥_________ 顶点 O (0，0) O (0，0) 离心率 e ＝1e ＝1开口⑦____ ⑧____⑨____ ⑩____3.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点)0,2(pF 的距离|PF |＝x 0＋p 2.三．【方法总结】1.求抛物线标准方程的实质是求p 值，常用的方法是待定系数法，若开口不定时，可以设抛物线方程为y 2＝mx(m≠0)或x 2＝ny(n≠0).2.利用抛物线定义可知，抛物线的焦半径与焦点弦有许多特殊的性质，应用起来非常方便.如：已知AB 是抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点弦，且A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，点F 是抛物线的焦点(如图)，可以证明：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. (2)|AB|＝x 1＋x 2＋p.(3)1|AF|＋1|BF|为定值2p .(4)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. (5)以AF(或BF)为直径的圆与y 轴相切. (6)∠CFD ＝90°. 四．【题型方法】（一）抛物线的轨迹方程 （二）定点问题（三）直线与抛物线涉及的面积问题 （四）直线与抛物线中涉及的角的问题 （五）定值问题 （六）范围问题（七）抛物线与向量的综合 （八）最值问题 五．【题型举例】（一）抛物线的轨迹方程例1. 已知曲线()2C:2y x =+上有一点A ，定点()B 2,0，求线段AB 中点P 的轨迹方程。
高中数学选择性必修一课件：3.3.3抛物线的方程与性质的应用
作示意图如图所示，过点M作MA⊥l1，垂足为A，作准线的垂线MC，垂 足为C，连接MF，根据抛物线定义有|MA|＋ |MC|＝|MA|＋|MF|，即动点M到直线l1：4x－3y ＋6＝0和l2：x＝－1距离之和等于|MA|＋|MF|， 当A，M，F三点共线时，距离之和最小，即点 F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离|4－160＋＋96|＝2.
∴当1t ＝23，即t＝23时，||OMMF||取得最大值2
3
3 .
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
题型3 抛物线中的对称问题 已知O为坐标原点，F是抛物线C：x2＝4y的焦点，M是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q. (1)是否存在过点F，斜率为k的直线l，使得抛物线C上存在两点关于 直线l对称？若存在，求出k的范围，若不存在，说明理由； (2)是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在， 求出点M的坐标，若不存在，说明理由．
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
所以AB中点N－2k，k22＋m.由题意N在直线l上， 所以k22＋m＝－1，即m＝－1－k22，
代入①式可得－1－k12>0，无实数解，故不存在符合题意的直线．
(2)设点Mx0，x420，Qx3，12. 抛物线C：x2＝4y变形为y＝x42，所以y′＝2x.
因为直线MQ为抛物线的切线，
|素养达成|
课后提能训练
规范解答 直线与抛物线的位置关系
在平面直角坐标系Oxy中，点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的
联立yy＝2＝k4xx＋2＋1， 得k2x2＋(4k2＋2k－4)x＋4k2＋4k＋1＝0.
|课堂互动||素养Fra bibliotek成|课后提能训练
轨迹方程知识点总结
轨迹方程知识点总结一、轨迹方程的概念轨迹方程是指在平面直角坐标系中，描述某一特定几何对象的运动过程中所有可能位置点的集合的方程。
它是描述物体或点在运动中所遵循的规律和路径的数学工具。
轨迹方程是一种抽象的数学概念，通过它可以描述所有可能的位置点的集合，从而揭示几何对象的运动轨迹规律。
二、轨迹方程的表示1. 参数方程表示法轨迹方程可以使用参数方程来表示。
参数方程的形式通常为x=f(t)，y=g(t)，其中t为参数，x和y是时间t的函数。
通过变化参数t的取值范围，就可以得到轨迹上的所有点的坐标。
2. 极坐标方程表示法轨迹方程也可以使用极坐标来表示。
极坐标方程的形式通常为r=f(θ)，其中r是极坐标系下到原点的距离，θ是到x轴正向的角度。
通过变化θ的取值范围，就可以得到轨迹上的所有点的极坐标表示。
3. 一般方程表示法轨迹方程还可以用一般方程来表示。
一般方程的形式通常为F(x,y)=0，其中F是一个关于x和y的函数。
通过解一般方程，就可以得到轨迹上的所有点的坐标。
三、轨迹方程的应用1. 描述物体的运动轨迹轨迹方程可以被用来描述物体在运动中所遵循的路径规律。
通过物体的运动速度和加速度等信息，可以推导出物体的轨迹方程，从而预测物体的位置和运动状态。
2. 分析几何对象的性质轨迹方程可以被用来分析几何对象的性质。
通过对轨迹方程的分析，可以得到几何对象的面积、周长、对称性等性质，从而深入理解几何对象的结构和特点。
3. 解决实际问题轨迹方程也可以被用来解决实际问题。
例如，通过轨迹方程可以计算物体的轨迹长度、运动时间、最大速度、最大加速度等参数，从而为实际问题的分析和解决提供数学工具和方法。
四、轨迹方程的求解方法1. 参数方程的求解对于参数方程表示的轨迹方程，可以通过分离变量、积分等方法求解。
例如，对于一条直线的参数方程x=at，y=bt，可以求解出轨迹方程为y=ax/b。
2. 极坐标方程的求解对于极坐标方程表示的轨迹方程，可以通过代入坐标变换、积分等方法求解。
轨迹方程求法汇总
轨迹方程求法汇总轨迹方程是描述物体运动轨迹的数学表达式。
在不同情况下，轨迹方程的求法也会有所不同。
下面将对一些常见的情况下的轨迹方程求法进行汇总。
1.直线运动：当物体做直线运动时，轨迹方程可以使用直线的一般方程来表示。
直线的一般方程是y = kx + b，其中k表示直线的斜率，b表示直线在y轴上的截距。
根据物体的运动情况和给定的初始条件，可以求解出k和b的值，从而得到轨迹方程。
2.圆周运动：当物体做圆周运动时，轨迹方程可以使用圆的标准方程来表示。
圆的标准方程是(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。
根据物体的运动情况和给定的初始条件，可以求解出(a,b)和r的值，从而得到轨迹方程。
3.椭圆运动：当物体做椭圆运动时，轨迹方程可以使用椭圆的标准方程来表示。
椭圆的标准方程是(x-a)²/a²+(y-b)²/b²=1，其中(a,b)表示椭圆心的坐标。
根据物体的运动情况和给定的初始条件，可以求解出(a,b)的值，从而得到轨迹方程。
4.抛物线运动：当物体做抛物线运动时，轨迹方程可以使用抛物线的标准方程来表示。
抛物线的标准方程是y = ax² + bx + c，其中a, b, c为常数。
根据物体的运动情况和给定的初始条件，可以求解出a, b, c的值，从而得到轨迹方程。
5.双曲线运动：当物体做双曲线运动时，轨迹方程可以使用双曲线的标准方程来表示。
双曲线的标准方程是(x-a)²/a²-(y-b)²/b²=1，其中(a,b)表示双曲线的中心坐标。
根据物体的运动情况和给定的初始条件，可以求解出(a,b)的值，从而得到轨迹方程。
6.螺旋线运动：当物体做螺旋线运动时，轨迹方程可以使用极坐标方程来表示。
极坐标方程是r=aθ，其中r表示到原点的距离，θ表示与x轴的夹角，a为常数。
抛物线运动的轨迹方程
抛物线运动的轨迹方程抛物线运动的轨迹方程，这个话题听起来好像有点高大上，其实它就是在说我们生活中那些看似简单却充满奥妙的运动。
想象一下，你在公园里扔一个球，球在空中划出一个优美的弧线，最后稳稳落地。
这个过程就像是一场小型的物理秀，充满了变化和惊喜。
你扔得越高，球飞得越远，越像是在进行一场精彩的“飞球大赛”。
这个轨迹就可以用抛物线来描述。
说到抛物线，大家可能会想到数学课上那些复杂的公式，但实际上，它们跟我们生活的关系可大了去了。
我们来聊聊抛物线的公式吧，听起来是不是有点干巴巴的？抛物线的轨迹方程通常是这样的：y = ax^2 + bx + c。
别担心，这不是高深的黑暗料理，而是抛物线运动的基本原理。
这里的“y”代表高度，“x”代表水平距离，而“a”、“b”、“c”就像调料，不同的比例会影响到这个轨迹的样子。
举个简单的例子，当“a”是正数时，抛物线就像一只展翅飞翔的鸟儿，优雅地向上升起；而当“a”是负数时，它就像一颗失落的星星，朝着地面坠落。
想象一下，如果你在玩飞镖，那个飞镖在空中划出的轨迹，不就是抛物线的真实写照吗？有时候我们可能会觉得抛物线就像一条小河，弯弯曲曲，流向未知的远方。
要是你能把这些理论用在实际生活中，那真是妙不可言。
比如说，打篮球的时候，你需要把球投得既高又远，抛物线的运动轨迹就是你成功的关键。
如果你用力过猛，球可能会飞得很高但落得很远，正好对应了“适可而止”的道理。
这里面满是学问啊！再说说生活中的例子。
比如，你在游乐场玩过山车，过山车在空中划出那一瞬间，真是让人心跳加速。
上升、下降，那一系列的变化简直像是一场运动会。
要是你仔细观察，就会发现它的轨迹和抛物线有很多相似之处。
每一次起伏，都是在告诉我们：抛物线的美丽就在于它的起伏变化。
这种变化就像生活中的波折，虽然有时会让人心慌意乱，但最终都会平静下来，给人一种释然的感觉。
如果我们再来看看抛物线的实际应用，那简直是无处不在。
比如，建筑师设计的屋顶，很多时候就是抛物线形状，这样不仅美观，还能排水。
抛物线的轨迹方程
抛物线的轨迹方程一、抛物线的定义和性质抛物线是一种平面曲线，其轨迹方程可以用一般式表示为y=ax^2+bx+c。
其中，a、b和c为常数，a不等于0。
抛物线的形状取决于a的正负和大小。
抛物线的最低点叫做顶点，记作（h，k）。
顶点是抛物线的对称中心，也是抛物线的最低或最高点。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点为最高点。
抛物线的轴称为对称轴，记作x=h。
对称轴垂直于x轴，并通过顶点。
抛物线上的每个点到对称轴的距离都相等，具有对称性。
抛物线的焦点是一个重要的概念。
焦点到对称轴的距离称为焦距，记作f。
焦点是抛物线的特殊点，具有许多有趣的性质和应用。
二、抛物线的应用抛物线在现实生活中有广泛的应用。
以下是一些例子：1. 抛物线的应用于建筑设计。
许多建筑物的外观和结构以抛物线为基础，如拱门、圆顶和拱形窗户。
抛物线的稳定性和美学价值使得它成为建筑设计中常用的曲线形状。
2. 抛物线的应用于物理学。
在物理学中，抛物线通常用来描述抛体运动的轨迹。
例如，当一个物体以一定的速度和角度从地面上抛出时，它的轨迹将是一个抛物线。
这个概念在炮弹的射程计算、跳水运动员的轨迹分析等方面有重要的应用。
3. 抛物线的应用于天文学。
行星和卫星的运动轨迹也可以用抛物线来描述。
例如，当一个卫星被发射到地球的轨道上时，它的轨迹将是一个抛物线。
天文学家可以利用抛物线的性质来计算和预测天体的运动。
4. 抛物线的应用于工程学。
在工程学中，抛物线的形状和特性可以用来设计道路、桥梁和管道等结构。
例如，高速公路的坡度和弧度可以通过抛物线来设计，以确保车辆行驶的平稳和安全。
总结抛物线的轨迹方程是描述抛物线形状和特性的数学表达式。
抛物线具有许多重要的性质和应用，包括建筑设计、物理学、天文学和工程学等领域。
了解抛物线的定义和性质，以及它在现实生活中的应用，有助于我们更好地理解和应用这一重要的数学概念。
通过本文的阐述，希望读者能够对抛物线的轨迹方程有更深入的理解，并能将其运用到实际问题中。
点差法_抛物线_互相垂直的弦的中点轨迹方程_概述说明
点差法抛物线互相垂直的弦的中点轨迹方程概述说明引言部分是文章的开头，旨在介绍文章的背景和目的，以及提供读者阅读全文的动机。
以下是关于“1. 引言”部分的详细内容：1.1 概述：本文旨在探讨点差法、抛物线以及互相垂直的弦的中点轨迹方程三个主题。
点差法是一种数学方法，可以应用于多个领域，具有广泛的实际应用价值。
抛物线作为一个经典的曲线形状，在几何学和物理学等领域中被广泛研究和应用。
而互相垂直的弦的中点轨迹方程则涉及到几何学中特殊情况下曲线性质的研究。
1.2 文章结构：本文共包括五个部分：引言、点差法、抛物线、互相垂直的弦的中点轨迹方程以及结论与总结。
每个部分将详细介绍相应主题，并包含相关定义、原理、公式推导和实际应用案例等内容。
1.3 目的：该文旨在揭示点差法、抛物线特性以及互相垂直的弦中点轨迹方程的相关概念、性质和应用。
通过对这些主题的深入探讨，读者将能更好地理解这些数学概念的实际应用，并为进一步研究和探索提供基础。
本文引言部分介绍了文章的概述、结构和目的。
接下来将在第二部分开始详细阐述点差法的定义、原理以及应用范围。
2. 点差法2.1 定义和原理点差法是一种用于测量直线距离的方法，它基于三角学原理。
其核心思想是通过测量两点之间的角度和这两点到待测曲线的距离来确定曲线上某一点的坐标。
在点差法中，我们假设已知一条直线段AB，其中A为起点，B为终点。
我们希望确定从该直线段到曲线上某一点P的垂直距离h。
首先，在直线AB上选择一个参考点O，并测量出AO与BO之间的夹角α和AO的长度d。
根据三角学原理，我们可以推导出以下关系式：tan(α) = h / d，h = d * tan(α)。
因此，在已知α和d的情况下，我们可以计算出待测曲线上任意一点P到直线AB的垂直距离h。
2.2 应用范围点差法主要应用于地质勘探、航空摄影、地图制作、城市规划等领域。
通过使用该方法，我们可以快速而准确地获取各种地形或场景中不可达位置的坐标，并绘制出对应的图像或图表。
物理抛物线轨迹方程
物理抛物线轨迹方程稿子一：嘿，朋友们！今天咱们来聊聊物理里超有趣的抛物线轨迹方程！你们知道吗，抛物线这东西在生活中到处都是。
就像咱们扔个小石子，那小石子飞出去的轨迹就是个抛物线。
那这个抛物线轨迹方程到底是啥呢？其实就是用数学公式来描述物体抛出去后的运动路径。
比如说，水平抛出一个东西，它的横坐标和纵坐标的变化就可以用一个方程来表示。
想象一下，一个篮球从你手中飞出去，它在空中划过的那道弧线，是不是很美？而这个美丽的弧线背后，就藏着抛物线轨迹方程的秘密。
这方程可不是随便搞出来的哦，那可是物理学家们经过好多思考和实验得出来的。
它能帮我们预测物体抛出去后会落到哪里，多神奇呀！而且哦，咱们还能通过改变抛出的速度和角度，来控制这个抛物线的形状和落点。
是不是感觉像在变魔术？所以呀，别小看这个抛物线轨迹方程，它在好多领域都大有用处呢，比如体育比赛、工程建设等等。
怎么样，是不是觉得物理也没那么枯燥，还挺好玩的？稿子二：哈喽呀！今天咱们来扯扯物理里的抛物线轨迹方程，这可是个好玩的东西！每次看到小朋友扔沙包，我就会想到抛物线轨迹方程。
你看那沙包飞出去，忽高忽低，落到地上，整个过程就被这个神秘的方程给“掌控”着。
这个方程就像是给物体的运动画了一幅地图，告诉我们它会怎么走。
比如说，你要是从楼上扔个苹果，通过这个方程就能算出来它啥时候落地，会不会砸到别人的脑袋。
是不是有点小神奇？其实啊，这就是物理的魅力所在。
它能把看似随意的东西，用数学的方式变得有规律可循。
想想看，要是没有这个方程，咱们怎么能准确地设计炮弹的发射轨迹，怎么能让运动员在投掷项目中发挥得更好？而且哦，研究这个方程的时候，感觉就像在解谜。
你要不断地思考，不断地尝试，才能找到那个正确的答案。
还有还有，当你真正理解了这个方程，再看到那些物体在空中飞舞的轨迹，你就会有一种“哇，我懂你”的感觉，超有成就感的！怎么样，有没有对这个抛物线轨迹方程感兴趣啦？。
抛物线的方程公式
抛物线：轨迹方程公式与应用抛物线是数学中的基础概念之一，它经常出现在物理、工程等领域中。
本文将学习抛物线的定义、轨迹方程公式及其应用。
一、抛物线的定义
抛物线是一条与地面平面对称的曲线。
一般情况下，抛物线的形状是一个开口向上的弧线，它的两个端点位于同一水平线上。
抛物线是因为在重力和运动惯性的作用下，物体的运动轨迹形如抛物线而得名。
二、抛物线的轨迹方程公式
抛物线的轨迹方程公式可以用以下的形式表示：
y = ax^2 + bx + c
其中，a、b、c分别表示抛物线的参数，x和y为曲线上的坐标。
参数a控制抛物线的开口程度，正数为开口向上，负数为开口向下。
常见的抛物线方程包括标准式、顶点式和焦点式等。
三、抛物线的应用
抛物线在物理、工程等领域中应用广泛。
例如，抛物线的轨迹方程可用于描述物体的运动轨迹、以及建造跳台、弧形拱桥、抛物面反光镜等工程。
总之，抛物线是一种十分有用的数学概念。
掌握其基本概念和轨迹方程公式，能够帮助我们更好地理解和应用于实际问题中。
抛物线弦中点轨迹方程
抛物线弦中点轨迹方程抛物线是数学中一种重要的曲线，通过分析抛物线的特性及其应用，为科学研究提供了重要的参考依据。
其中，抛物线弦中点的轨迹方程尤其引起了学术界的广泛关注。
本文将以“抛物线弦中点轨迹方程”为主题，运用数学分析方法，详细探讨其特征及其解析过程，以期达到加深认识抛物线弦中点轨迹方程的目的。
首先，我们来谈谈抛物线弦中点轨迹方程的定义：抛物线弦中点轨迹方程是指在空间的抛物线弦上，其中心点的轨迹可以用一个方程来表示。
抛物线弦中点轨迹方程定义为：z=a(x^2+y^2-2x+2y)其中a是常数，2x和2y分别表示x轴和y轴方向上的抛物线弦长度。
接下来，我们来分析一下抛物线弦中点轨迹方程的性质。
首先，从公式中可以看出，抛物线弦中点轨迹方程是一个三维空间的曲面方程，可以用三维坐标来表示；其次，抛物线弦中点轨迹方程是一个双曲曲线，其曲面的两个焦点分别在x轴上的原点和y轴上的原点，其中x轴上的焦点距离原点的距离等于a，y轴上焦点距离原点的距离也等于a。
最后，我们来看抛物线弦中点轨迹方程的解析，根据抛物线弦中点轨迹方程的定义，可以将抛物线弦中点轨迹方程改写为：z=a(x^2+y^2)+2a(x+y)+C其中C是常数，可以根据a和2a(x+y)之间的关系，得出C= -4a^2，将C带入原式中得到：z=a(x^2+y^2)+2a(x+y)-4a^2从上述式中可见，抛物线弦中点轨迹方程实际上是一个三次多项式，其各项系数分别是1、2a以及-4a^2，因此，可以将抛物线弦中点轨迹方程简化为：z=a(x+y)^2-4a^2。
综上，抛物线弦中点轨迹方程定义为：z=a(x^2+y^2-2x+2y)，是一个三维空间的曲面方程，是一个双曲曲线，其中焦点分别在x轴上的原点和y轴上的原点，其中x轴上的焦点距离原点的距离等于a，y轴上焦点距离原点的距离也等于a；其次，抛物线弦中点轨迹方程可以简化为三次多项式，其各项系数分别是1、2a以及-4a^2。
抛物线轨迹方程
抛物线轨迹方程
抛物线轨迹方程是描述抛物线形状的数学公式。
它可以用来计算抛物线上任意一点的坐标，而无需事先知道该点的具体位置。
抛物线轨迹方程通常是二次方程形式，即y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，x和y分别表示抛物线上一点的横纵坐标。
其中a称为抛物线的开口方向和大小，b称为抛物线的横向偏移量，c则是抛物
线的纵向偏移量。
抛物线轨迹方程的解法有很多种，其中最常见的方法是通过已知抛物线上三个点的坐标来求解。
根据这三个点的坐标，可以列出三个方程，进而求出a、b、c的值。
另一种解法是使用配方法，将二次方程转化为标准形式，即y=(x-h)^2+k，其中h和k分别是抛物线的顶点坐标。
这种方法比较适用于已知抛物线的顶点和焦点坐标的情况。
抛物线轨迹方程在物理学和工程学等学科中有广泛的应用。
例如，在物理学中，可以用抛物线轨迹方程来描述自由落体运动和抛体运动的轨迹；在工程学中，抛物线轨迹方程可以用来设计建筑物的屋顶、桥梁的拱形等。
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专题66 抛物线与轨迹方程(理)(解析版)
专题66 抛物线与轨迹方程（理）专题知识梳理1．抛物线的几何性质 (1)焦半径：抛物线上一点到焦点的距离称为焦半径．y 2＝2px (p >0)上的点M (x 0，y 0)的焦半径为r ＝p2＋x 0，y 2＝－2px (p >0)上的点M (x 0，y 0)的焦半径为r ＝p2－x 0，x 2＝2py (p >0)上的点M (x 0，y 0)的焦半径为r ＝p2＋y 0，x 2＝－2py (p >0)上的点M (x 0，y 0)的焦半径为r ＝p2－y 0.(2)焦点弦长：已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有以下性质：①AB ＝x 1＋x 2＋p 或AB ＝2psin2α(α为弦AB 的倾斜角)；②y 1y 2＝－p 2； ③x 1x 2＝p24.2．直线与抛物线的位置关系(1)位置关系的判定：联立直线l：y＝kx＋m和抛物线y2＝2px(p>0)消y整理得：k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.当k≠0时，①Δ>0⇔直线与抛物线相交，有两个不同公共交点；②Δ＝0⇔直线与抛物线相切，只有一个公共交点；③Δ<0⇔直线与抛物线相离，没有公共交点．当k＝0时，则直线是抛物线的对称轴或与对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，只有一个公共交点．(2)弦长公式：若直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝1＋k2x1＋x22－4x1x2.考点探究考向1 直线与抛物线的交点问题【例】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p>0)．(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)当p＝1时，若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求线段PQ的中点M的坐标．【解析】 (1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0.由点⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0在直线l ：x －y －2＝0上， 得p2－0－2＝0，即p ＝4.所以抛物线C 的方程为y 2＝8x . (2)当p ＝1时，曲线C ：y 2＝2x .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点M (x 0，y 0)． 因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ， 于是直线PQ 的斜率为－1，则可设其方程为y ＝－x ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋b ，y2＝2x ，消去x ，得y 2＋2y －2b ＝0.(*) 因为P 和Q 是抛物线l 的两相异点，则y 1≠y 2.从而Δ＝4－4×1×(－2b )＝8b ＋4>0.(**) 因此y 1＋y 2＝－2，所以y 0＝－1.又M (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1.所以点M (1，－1)，此时b ＝0满足(**)式．故线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1).题组训练1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (8，－4)，P (2，t )(t <0)在抛物线y 2＝2px (p >0)上．(1)求p ，t 的值；(2)过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，直线AM 与抛物线的另一个交点为B ，点C 在直线AM 上．若PA ，PB ，PC 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，且k 1＋k 2＝2k 3，求点C 的坐标．【解析】 (1)将点A (8，－4)代入y 2＝2px 中得p ＝1，所以抛物线的方程为y 2＝2x .将点P (2，t )代入y 2＝2x 中得t ＝±2.，因为t <0，所以t ＝－2. (2)依题意知点M 的坐标为(2,0)，直线AM 的方程为y ＝－23x ＋43.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－23x ＋43，y2＝2x ，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所以k 1＝－13，k 2＝－2.由k 1＋k 2＝2k 3，得k 3＝－76， 从而直线PC 的方程为y ＝－76x ＋13，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－23x ＋43，y ＝－76x ＋13，解得C ⎝⎛⎭⎪⎫－2，83.考向2 与抛物线有关的弦长、中点、面积问题 【例】已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且AB ＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．【解析】 (1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得AB ＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0，则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.题组训练1.抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若AF →＝2 FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值． 【解析】 (1)依题意知F (1,0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1.将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.因为AF →＝2 FB →，所以y 1＝－2y 2.联立上述三式，消去y 1，y 2得m ＝±24. 所以直线AB 的斜率是±2 2.(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB . 因为2S △AOB ＝2×12·OF ·|y 1－y 2| ＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝41＋m2，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.2.抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．【解析】由题意，设抛物线方程为x 2＝2ay (a ≠0)．设公共弦MN 交y 轴于A ，则MA ＝AN ，且AN ＝5.∵ON ＝3，∴OA ＝32－52＝2，∴N (5，±2)．∵N 点在抛物线上，∴5＝2a ·(±2)，即2a ＝±52，故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2＝－52y .抛物线x 2＝52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，58，准线方程为y ＝－58. 抛物线x 2＝－52y 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－58，准线方程为y ＝58.3.在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＝－1，点T (3，0)．动点P 满足PS ⊥l ，垂足为S ，且OP →·ST →＝0．设动点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设Q 是曲线C 上异于点P 的另一点，且直线PQ 过点(1，0)，线段PQ 的中点为M ，直线l 与x 轴的交点为N ．求证：向量SM →与NQ →共线． 【解析】（1）设P (x ，y )为曲线C 上任意一点 ．因为PS ⊥l ，垂足为S ，又直线l ：x ＝－1，所以S (－1，y )．因为T (3，0)，所以OP →＝(x ，y )， ST →＝(4，－y )．因为OP →·ST →＝0，所以4x －y 2＝0，即y 2＝4x ． 所以曲线C 的方程为y 2＝4x ．（2）因为直线PQ 过点(1，0)，故设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1．P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2―4my ―4＝0．所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝―4．因为M 为线段PQ 的中点，所以M 的坐标为(x1＋x22，y1＋y22)，即M (2m 2＋1，2m )．又因为S (－1，y 1)，N (－1，0)，所以SM →＝(2m 2＋2，2m －y 1)，NQ →＝(x 2＋1，y 2)＝(my 2＋2，y 2)．因为(2m 2＋2) y 2－(2m －y 1)(my 2＋2)＝(2m 2＋2) y 2－2m 2y 2＋my 1y 2－4m ＋2y 1 ＝2(y 1＋y 2)＋my 1y 2－4m ＝8m －4m －4m ＝0．所以向量SM →与NQ →共线．考向3 与抛物线有关的定点定值问题【例】在平面直角坐标系xOy 中，设点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹方程C ；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长TS 是否为定值？请说明理由.【解析】 (1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ，所以RQ 是线段FP 的垂直平分线．因为|PQ |是点Q 到直线l 的距离．点Q 在线段FP 的垂直平分线上，所以PQ ＝QF .故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为y 2＝2x (x >0)．(2)弦长TS 为定值．理由如下：取曲线C 上一点M (x 0，y 0)，M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0， 圆的半径r ＝MA ＝x 0－12＋y 20，则TS ＝2r2－d2＝2y20－2x0＋1，因为点M 在曲线C 上，所以x 0＝y202，所以TS ＝2y20－y20＋1＝2，是定值．题组训练1.已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)过点(2,1)，直线l 过点P (0，－1)与抛物线C 交于A ，B 两点．点A 关于y 轴的对称点为A ′，连结A ′B .(1)求抛物线C 的标准方程；(2)问直线A ′B 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【解析】 (1)将点(2,1)代入抛物线C ：x 2＝2py 的方程得，p ＝2. 所以，抛物线C 的标准方程为x 2＝4y .(2)设直线l 的方程为y ＝kx －1，又设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ′(－x 1，y 1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x2，y ＝kx －1，得x 2－4kx ＋4＝0.则Δ＝16k 2－16＞0，x1·x 2＝4，x 1＋x 2＝4k .所以k A ′B ＝y2－y1x2－－x 1＝x224－x214x1＋x2＝x2－x14.于是直线A ′B 的方程为y －x224＝x2－x14(x －x 2)． 所以y ＝x2－x14(x －x 2)＋x224＝x2－x14x ＋1.当x ＝0时，y ＝1，所以直线A ′B 过定点(0,1)．2.已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点．【解析】 (1)因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为(1,0)，所以p2＝1，所以p ＝2. 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t24，t ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t24，－t .因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以t t24·－t t24＝－12，化简得t 2＝32.所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8.②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y2＝4x ，y ＝kx ＋b ，化简得ky 2－4y ＋4b ＝0.根据根与系数的关系得y A y B ＝4b k ，因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以yA xA ·yB xB ＝－12，即x A x B ＋2y A y B ＝0.即y2A 4·y2B4＋2y A y B ＝0，解得y A y B ＝0(舍去)或y A y B ＝－32.所以y A y B ＝4bk ＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ，y ＝k (x －8)．综上所述，直线AB 过定点(8,0)．3.如图，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点)．(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2，证明：MN 2－MN 21为定值，并求此定值.【解析】 (1)证明：依题意可设AB 方程为y ＝kx ＋2，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋2)，即x 2－4kx －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8.直线AO 的方程为y ＝y1x1x ；BD 的方程为x ＝x 2. 解得交点D 的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x2，y ＝y1x2x1，注意到x 1x 2＝－8及x 21＝4y 1，则有y ＝y1x1x2x21＝－8y14y1＝－2. 因此D 点在定直线y ＝－2上(x ≠0)．(2)依题意，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入x 2＝4y 得x 2＝4(ax ＋b )，即x 2－4ax －4b ＝0.由Δ＝0得(4a )2＋16b ＝0，化简整理得b ＝－a 2.故切线l 的方程可写为y ＝ax －a 2.分别令y ＝2，y ＝－2得N 1，N 2的坐标为N 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋a ，2，N 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＋a ，－2，则MN 2－MN 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －a 2＋42－⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋a 2＝8， 即MN 2－MN 21为定值8.4.（2018·苏北四市一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线2:4C y x =于点P ，点F 为C 的焦点．圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ，PF ，x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E ． ⑴求曲线E 的方程；⑵若直线1l 与曲线E 相切于点(,)Q s t ，过Q 且垂直于1l 的直线为2l ，直线1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ．当线段AB 的长度最小时，求s 的值．【解析】（1）因为抛物线C 的方程为24y x =，所以F 的坐标为(1,0)，设(,)M m n ，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴，所以圆M 的半径为n ，点P 2(,2)n n ， 则直线PF 的方程为2121y x n n -=-，即22(1)(1)0n x y n ---=，n =，又,0m n ≠， 所以22211m n n --=+，即210n m -+=，所以E 的方程为2=1y x -(0)y ≠（2）设2(1,)+Q t t ，1(0,)A y ，2(0,)B y ，由（1）知，点Q 处的切线1l 的斜率存在，由对称性不妨设0>t ，由'y，所以121AQ t y k t -==+，221BQ t y k t -==-+ 所以1122=-t y t ，3223=+y t t ， 所以33151|23|2(0)2222t AB t t t t t t t =+-+=++>． 令351()222f t t t t =++，0t >，则42222511251()6222t t f t t t t +-'=+-=，由()0f t '>得t ，由()0f t '<得0t <<，所以()f t 在区间单调递减，在)+∞单调递增，所以当t =时，()f t 取得极小值也是最小值，即AB 取得最小值此时21s t =+．。
抛物线性质归纳、证明和应用
抛物线性质归纳、证明和应用抛物线是平面内到定点距离等于到定直线（定点在定直线外）距离点轨迹，它是椭圆过渡到双曲线瞬间曲线，它只有一支（双曲线有两支），只有一条对称轴，没有渐近线和对称中心，属于无心曲线．抛物线焦半径、焦点弦性质丰富多彩，此外还有定点、定值、定弦、最值等问题也值得探讨，抛物线许多性质也是历年高考重点和热点，这里就它一些性质加以归纳，说明和证明，及其在历年高考和模拟考试出现典例． 一、焦半径、焦点弦性质如图，是过抛物线 y 2＝2（p ＞0）焦点F 弦，、是准线垂线，垂足分别为D 、C ，M 是中点，N 是中点．设点A (x 1，y 1)、点B (x 2，y 2)，直线交y 轴于点K (0，y 3)，则：⑴ ① y 1y 2＝－p 2；② x 1x 2＝；③ ＋＝；④ | |＝x 1＋x 2＋p ＝ （为倾斜角）；⑤ S △＝，S 梯形＝.. ⑵ |)＋|)＝； ⑶ ∠＝∠＝∠； ⑷ 、是抛物线切线；⑸ 、分别是∠和∠平分线；⑹ 、、y 轴三线共点，、、y 轴三线共点；⑺ A 、O 、C 三点共线，B 、O 、D 三点共线； ⑻ 若| |：| |＝m ：n ，点A 在第一象限，为直线倾斜角. 则＝ ； K (0，y 3)C M DB (x 2，y 2)ROF ( ，0)A (x 1，y 1)xyHG x ＝－N Q⑼以为直径圆及y轴相切，以为直径圆及y轴相切；以为直径圆及准线相切.⑽交抛物线于点Q，则，Q是中点.★⑴①y1y2＝－p2；②x1x2＝；③＋＝④ | |＝x1＋x2＋p＝（为倾斜角）；⑤S△＝，S梯形＝.【证明】设过焦点F(，0)直线方程为x＝＋，代入抛物线方程y2＝2得y2－2－p2＝0，因此①y1y2＝－p2，y1＋y2＝2.另由⑶得在△中，⊥，有| |2＝| |·| |，而| |＝| y1 |，| |＝| y2 |，| |＝p，且y1 y2＜0∴y1y2＝－p2.②又点A、B在抛物线上，有x1＝，x2＝，因此x1x2＝·＝＝.③＋＝＝＝－，在直线方程x＝＋中令x＝0，得y3＝－，代入上式得＋＝④【证法一】根据抛物线定义，| |＝| |＝x1＋，| |＝| |＝x2＋，| |＝| |＋| |＝x1＋x2＋p又| |＝＝| y2－y1 |＝＝＝2p(1＋m2)当m≠0时，m＝＝＝，有1＋m2＝1＋＝（k为直线斜率）当m＝0时，＝90，1＋m2＝1也满足D A(x1，y1)yθB1CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyO F(，0)θ图11＋m2＝∴| |＝2p(1＋m2)＝ .【证法二】如图2，过A、B引x轴垂线1、1，垂足为A1、B1，那么| |＝| |－| 1 |＝| |－| ，∴| |＝|,1－)＝同理，| |＝|,1＋)＝∴| |＝| |＋| |＝＋＝ .【证法三】极坐标法，设抛物线极坐标方程为＝，则| |＝1＝，| |＝2＝))＝ .∴| |＝| |＋| |＝＋＝ .⑤S△＝S△＋S△＝| y1 |＋| y1 |＝··(| y1 |＋| y1 |)∵y1y2＝－p2，则y1、y2异号，因此，| y1|＋| y1|＝| y1－y2|∴S△＝| y1－y2 |＝＝＝＝ .又∵| |＝| ＝，| |＋| |＝| |＝.∴S梯形＝(| |＋| |)·| |＝××＝.【例1】（2001年新课程高考文）设坐标原点为O，抛物线y2＝2x及过焦点直线交于A、B两点，则·＝·······（）A. B. － C. 3 D. －3【解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－，故选B.【例2】（2009年福建理）过抛物线y2＝2（p＞0）焦点F作倾斜角为45直线交抛物线于A、B两点，若线段长为8，则p＝ .【解】由性质⑴得| |＝＝＝8，∴p＝＝4.★⑵ |)＋|)＝【证法一】由⑴x 1x 2＝，且| |＝x 1＋，| |＝x 2＋.∴|)＋|)＝＋＝＝＝p 24＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24 )＝p2(x 1＋x 2＋p ) )＝【证法二】由| |＝1＝ ，| |＝2＝))＝ .∴|)＋|)＝＋＝＋＝【例3】（2000全国）过抛物线y ＝2（a ＞0）焦点F 用一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段及长分别是p 、q ，则＋等于 · （ ）A. 2aB.C.4aD.【解】由y ＝2得x 2＝ y ，（抛物线焦点到准线距离为），由此得＋＝4a ，故选C.★⑶ ∠＝∠＝∠，先证明：∠＝∠ 【证法一】延长交延长线于E ，如图3，则△≌△，∴| |＝| |，| |＝| | ∴| |＝| |＋| |＝| |＋| | ＝| |＋| |＝| | ∴△为等腰三角形，又M 是中点， ∴⊥，即∠＝∠【证法二】取中点N ，连结，则| |＝(| |＋| |)＝(| |＋| |)＝| |，∴| |＝| |＝| |CD B (x 2，y 2)RA (x 1，y 1)xy OF EN M 图3∴△为直角三角形，为斜边，故∠＝∠.【证法三】由已知得C (－，y 2)、D (－，y 1)，由此得M (－，).∴＝＝＝＝＝，同理＝ ∴·＝·＝＝＝－1 ∴⊥，即∠＝∠.【证法四】由已知得C (－，y 2)、D (－，y 1)，由此得M (－，).∴＝(x 1＋，)，＝(x 3＋，)∴·＝(x 1＋)(x 2＋)＋＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋－ ＝＋(＋)＋－ ＝＋＝＋＝0∴⊥，故∠＝∠. 【证法五】由下面证得∠＝90，连结，则＝.又＝，故△≌△，如图4 ∴∠1＝∠2，同理∠3＝∠4 ∴∠2＋∠3＝×180＝90∴∠＝∠.接着证明：∠＝∠【证法一】如图5，由于| |＝| |，∥，故可设∠＝∠＝∠＝， 同理，设∠＝∠＝∠＝，而∠＋∠＋∠＋∠＝180 ∴2(＋)＝180，即＋＝90，故∠＝90图5C D B (x 2，y 2)R A (x 1，y 1)xy O F ( ，0) ααα ββ βCD BRAxyO F 图41 2 3 4M【证法二】取中点M ，即M (－，)由前知＝，＝＝＝ ∴＝，∥，同理，∥ ∴∠＝∠＝90.【证法三】∵＝(p ，－y 1)，＝(p ，－y 2)，∴·＝p 2＋y 1y 2＝0∴⊥，故∠＝90.【证法四】由于| |2＝p 2＝－y 1y 2＝| |·| |，即|)＝|)，且∠＝∠＝90∴ △∽△∴∠＝∠，而∠＋∠＝90 ∴∠＋∠＝90 ∴∠＝90【例4】（2009年湖北文）如图7，过抛物线y 2＝2（P ＞0）焦点F 直线及抛物线相交于M 、N 两点，自M 、N 向准线l 作垂线，垂足分别为M 1、N 1，求证：1⊥1★⑷ 、是抛物线切线C D B (x 2，y 2)R A (x 1，y 1)xy O FM 图6G HD 1N 1NMxyO F图7M 1l D R A (x 1，y 1) xy OFM D 1【证法一】∵＝，直线方程为y －y 1＝(x －)及抛物线方程y 2＝2联立消去x 得y －y 1＝(－)，整理得y 2－2y 1y ＋＝0可见△＝(2y 1)2－4＝0， 故直线及抛物线y 2＝2相切， 同理也是抛物线切线，如图8.【证法二】由抛物线方程y 2＝2，两边对x 求导，＝，得2y ·＝2p ，＝，故抛物线y 2＝2在点A (x 1，y 1)处切线斜率为k 切＝| y ＝y 1＝.又＝，∴k 切＝，即是抛物线在点A 处切线，同理也是抛物线切线. 【证法三】∵过点A (x 1，y 1)切线方程为y 1y ＝p (x ＋x 1)，把M (－，)代入左边＝y 1·＝＝＝1－，右边＝p (－＋x 1)＝－＋1，左边＝右边，可见，过点A 切线经过点M ， 即是抛物线切线，同理也是抛物线切线.★⑸ 、分别是∠和∠平分线【证法一】延长交延长线于E ，如图9，则△≌△，有∥，＝， ∴∠＝∠＝∠， 即平分∠，同理平分∠.【证法二】由图9可知只须证明直线倾斜角是直线倾斜角2倍即可，即＝2. 且M (－，)∵＝＝＝错误!＝错误!. ＝＝＝＝＝＝.CD B (x 2，y 2)R A (x 1，y 1)xyO F EN M图9∴ 2＝＝＝＝＝＝∴＝2，即平分∠，同理平分∠.★⑹ 、、y 轴三线共点，、、y 轴三线共点 【证法一】如图10，设及相交于点G 1，由以上证明知| |＝| |，平分∠，故1也是边上中线， ∴G 1是中点.设及y 轴交于点D 1，及y 轴相交于点G 2， 易知，| 1 |＝| |，1∥， 故△1G 2≌△2∴| 2 |＝| 2 |，则G 2也是中点.∴G 1及G 2重合（设为点G ），则、、y 轴三线共点，同理、、y 轴也三线共点.【证法二】直线方程为y －y 1＝(x －)，令x ＝0得及y 轴交于点G 1(0，)，又直线方程为y ＝－(x －)，令x ＝0得及y 轴交于点G 2(0，) ∴、及y 轴相交同一点G (0，)，则、、y 轴三线共点， 同理、、y 轴也三线共点H ．由以上证明还可以得四边形是矩形.★⑺ A 、O 、C 三点共线，B 、O 、D 三点共线 【证法一】如图11，＝＝错误!＝错误!，＝－p2 )＝－＝－＝－＝∴＝，则A 、O 、C 三点共线，CDB (x 2，y 2)R A (x 1，y 1)xyOF C D B (x 2，y 2)R A (x 1，y 1)xy O FM 图10G HD 1同理D 、O 、B 三点也共线. 【证法二】设及x 轴交于点O，∵∥∥∴|)＝|)＝|)，O F |)＝|)，又| |＝| |，| |＝| |，∴ |)＝O F |)∴||＝| O F |，则O及O 重合，即C 、O 、A 三点共线，同理D 、O 、B 三点也共线. 【证法三】设及x 轴交于点O，∥，OF |)＝|)，∴| O F |＝|·| |)＝|·| |＋| |)＝错误!＝错误!【见⑵证】∴O及O 重合，则即C 、O 、A 三点共线，同理D 、O 、B 三点也共线.【证法四】∵＝(－，y 2)，＝(x 1，y 1)，∵－·y 1－x 1 y 2＝－·y 1－ y 2＝－－＝－＋＝0 ∴∥，且都以O 为端点∴A 、O 、C 三点共线，同理B 、O 、D 三点共线.【推广】过定点P (m ，0)直线及抛物线y 2＝2（p ＞0）相交于点A 、B ，过A 、B 两点分别作直线l ：x ＝－m 垂线，垂足分别为M 、N ，则A 、O 、N 三点共线，B 、O 、M 三点也共线，如下图：OyNMBAPxOy NM BAP x【例5】（2001年高考）设抛物线y 2＝2（p ＞0）焦点为F ，经过点F 直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线准线上，且∥x 轴. 证明直线经过原点O .【证法一】因为抛物线y 2＝2（p ＞0）焦点为F (－，0)，所以经过点F 直线方程可设为x ＝＋； 代入抛物线方程得y 2－2－p 2＝0设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程两个根， ∴y 1y 2＝－p 2因为∥x 轴，且点C 在准线x ＝－上，故C (－，y 2)，∴直线斜率为 ＝－p2 )＝＝＝.∴直线经过原点O .【证法二】如图13，过A 作⊥l ，D ∥∥连结及相交于点N ，则|, | | )＝|, | | )＝|, | | )，|, | | )＝|, | | )由抛物线定义可知：| |＝| |，| |＝| | ∴| |＝|·| |, | | )＝|·| |, | | )＝| |. 即N 是中点，及抛物线顶点O 重合，所以直线经过原点O . ★⑻ 若| |：| |＝m ：n ，点A 在第一象限，为直线倾斜角. 则＝；【证明】如图14，过A 、B 分别作准线l 垂线，垂足分别为D ，C ，过BCB (x 2，y 2)R A (x 1，y 1)xyOF 图12C D B (x 2，y 2)E A (x 1，y 1)xyO F图13N作⊥于E ，设| |＝，| |＝，则| |＝| |，| |＝| |，| |＝| |－| |＝(m －n )t∴在△中，∠＝|)＝(m －n )t ,(m ＋n )t )＝ ∴＝∠＝.【例6】设经过抛物线y 2＝2焦点F 直线及抛物线相交于两点A 、B ，且| |：| |＝3：1，则直线倾斜角大小为 . 【答案】60或120.★⑼ 以为直径圆及y 轴相切，以为直径圆及y 轴相切；以为直径圆及准线相切.【说明】如图15，设E 是中点，则E 坐标为(p2＋x 1 ,2)，)，则点E 到y 轴距离为d ＝p2＋x 1 ,2)＝| |故以为直径圆及y 轴相切， 同理以为直径圆及y 轴相切.【说明】如图15，设M 是中点，作⊥准线l 于N ，则| |＝(| |＋| |)＝(| |＋| |)＝| | 则圆心M 到l 距离| |＝| |， 故以为直径圆及准线相切.★⑽ 交抛物线于点Q ，则Q 是中点.C DBR A xy O EF图14lC DBR A xy O F 图15lM N E【证明】设A(，y1)，B(，y1)，则C(－，y2)，D(－，y1)，M(－，)，N(，)，设中点为Q，则Q (错误!，错误!)∵错误!＝错误!＝错误!＝错误!∴点Q在抛物线y2＝2上，即Q是中点.二、定点、定值、定直线问题（共9个结论）★⑴平行于抛物线对称轴光线，被抛物面反射后会聚焦于抛物线焦点，如图17.【证明】如图17，设抛物线方程为y 2＝2（p ＞0），直线∥x 轴，点A 坐标为(x 0，y 0)，则过A 点切线方程为y 0y ＝p (x ＋x 0)，直线l 斜率为k 0＝，设直线到l 角为，则＝，设直线斜率为k 1，则k 1＝x 0－p2 )＝ ，设直线l 到角为，则＝＝错误!＝错误!＝错误!. ∴＝，又、∈[0，)，则＝，也就是说平行于抛物线对称轴光线，被抛物面反射后会聚焦于抛物线焦点.【例7】（2004年福建省质检）如图18，从点M (x 02)发出光线沿平行于抛物线y 2＝4x 轴方向射向抛物线点P ，反射后经焦点F 又射向直线l ：x －2y －7＝0上点N ，再反射后又设回点M ，则x 0＝ .【解】∥x 轴，点P 在抛物线上，得P 坐标为(1，2)，经过F (1，0)点后反射在Q 点，则Q 坐标为(1，－2)，经Q 反射后点N 坐标为(3，－2)，设M 关于l 对称点为M ，依题意，Q 、N 、M 共线.故可设M(x 1，－2)，图17FA B xOTl图18FPMxO QNyM由此得 ，解得x 0＝6.【另解】若设Q 关于直线l 对称点为Q，设Q(a ，b )，由于Q 、Q关于直线l 对称，由此得，解得则Q坐标为(，－)，又M 、N 、Q 三点共线，＝，即＝，∴x 0＝6.★⑵若C (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2（p ＞0）上任一点，过C 引两条互相垂直直线交抛物线于A 、B ，则直线过定点(2p ＋x 0，－y 0).【证明】设A (，s )、B (，t )（s ，t ，y 0互不相等）那么，由⊥得·＝x 0－s 22p )·x 0－t22p)＝错误!·错误!＝错误!＝－1 ∴4p 2＝－(y 0＋s )(y 0＋t ) ∴＝－4p 2－(s ＋t )y 0－ ①又直线方程为＝t 22p －s 22p)，整理得，y ＝ ②把①代入②得 y ＝＝－y 0＝(x －2p －x 0)－y 0 令x －2p －x 0＝0，即x ＝2p ＋x 0，得y ＝－y 0. 故直线过定点(2p ＋x 0，－y 0).特别地，当C 是抛物线顶点时，定点P 坐标为(2p ，0).【拓展】C (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2（p ＞0）上一定点，直线及抛物线相交于A 、B 两点（都异于C ），若直线、斜率、乘积为定值m ，那么，直线过定点(x 0－，－y 0).xy OA (，s )图19B (，t )C (x 0，y 0)【例8】（2000京皖春季高考）如图20，设点A和B 为抛物线y 2＝4（p ＞0）上原点以外两个动点，已知⊥，⊥，求点M 轨迹方程，并说明它表示什么曲线．【解法一】点A ，B 在抛物线y 2＝4上，设A (，)，B (，)，、斜率分别为、．∴＝错误!＝错误!，＝错误!，＝错误!＝错误!. 由⊥，得·＝＝－1 ······· ①∴直线方程为，y －＝(x －)，即(＋)(y －)＝4p (x －) ② 由⊥，得直线方程y ＝＋ ,4p ) ···· ③设点M (x ，y )，则x ，y 满足②、③两式，将②式两边同时乘以－，并利用③式整理得，2＋－(x 2＋y 2)＝0 ········ ④ 由③、④两式得－＋－(x 2＋y 2)＝0， 由①式知，＝－16p 2，所以x 2＋y 2－4＝0． 因为A 、B 是原点以外两点，所以x ≠0． 所以点M 轨迹是以(2p ，0)为圆心，以2p 为半径圆，去掉坐标原点．【解法二】由性质(2)易知经过定点P (4p ，0)，由于⊥，那么，M 轨迹以(2p ，0)为圆心，以2p 为半径圆，去掉坐标原点．其轨迹方程为x 2＋y 2－4＝0（x ≠0）.★⑶抛物线y 2＝2（p ＞0）弦中点D 恰好在定直线l ：x ＝m （m ＞0）上，图20图21则线段垂直平分线过定点M(m＋p，0).【证明】如图22，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(m，y0)，那么①－②得－＝2p(x1－x2)∴直线斜率＝＝＝∴直线斜率＝－＝－图22∴直线方程为y－y0＝－(x－m)令y＝0，得x＝m＋p∴直线垂直平分线恒过定点(m＋p，0).【例9】（2008湖南理科高考）若A、B是抛物线y2＝4x上不同两点，弦（不平行于y轴）垂直平分线及x轴相交于点P，则称弦是点P一条“相关弦”.已知当x＞2时，点P(x，0)存在无穷多条“相关弦”．给定x0＞2．⑴证明：点P(x0，0)所有“相关弦”中点横坐标相同；⑵（略）【说明】应用性质⑶，由已知得p＝2，由定点P(x0，0)得m＋p＝x0，故m＝x0－2∴“相关弦”中点横坐标为x0－2.★⑷设直线l 及抛物线y 2＝2（p ＞0）相交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，那么①若直线l 过抛物线对称轴定点M (a ，0)，则y 1y 2＝－2，x 1x 2＝a 2；反之②若y 1y 2＝k （定值），则直线l 恒过定点N (－，0). ③若直线l 及y 轴相交于点(0，y 3)，则＋＝.【证明】①设过点M (a ，0)直线方程为x ＝＋a ，代入抛物线方程y 2＝2得y 2－2－2＝0，因此y 1y 2＝－2，x 1x 2＝·＝＝＝a 2.②设直线l 方程为x ＝＋b ，代入抛物线方程y 2＝2得y 2－2－2＝0，即方程根y 1、y 2是P 、Q 两点纵坐标∴y 1y 2＝－2，又y 1y 2＝k .∴－2＝k ，即b ＝－，则直线l 方程为x ＝－ 令y ＝0，得x ＝－，则直线l 恒过定点N (－，0). ③由l 方程x ＝＋a 中，令x ＝0得y 3＝－，y 1＋y 2＝2 ∴＋＝＝＝－＝.【例10】（北京2005年春季高考理科）如图24，O 为坐标原点，直线l 在x 轴和y 轴上截距分别为a 和b （a ＞0，b ≠0），且交抛物线y 2＝2（p ＞0于M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)两点.图23⑴写出直线l截距式方程；⑵证明：＋＝.⑴【解】直线l截距式方程为＋＝1.⑵由上面性质⑶证明可得＋＝.★⑸过抛物线y 2＝2（p ＞0）焦点F 作直线l 及抛物线交于A 、B 两点，且及准线交于点M ，设＝，＝，则＋＝0.【证法一】设过点F (，0)直线方程为x ＝＋，代入抛物线方程y 2＝2得y 2－2－p 2＝0，因此y 1y 2＝－p 2，y 1＋y 2＝2令x ＝－，得＝－ 由＝得(x 1＋，y 1＋)＝(－x 1，－y 1)∴y 1＋＝－ y 1，＝1＋，同理，＝1＋∴＋＝2＋＋＝2＋y 2)＝2＋＝2－2＝0.【证法二】由已知＝，＝，得·＜0．则错误!＝－错误! ···· ①过点A ，B 分别作准线l 垂线，垂足分别为A 1，B 1，则有：错误!＝错误!＝错误! ② 由①②得－错误!＝错误!，即＋＝0.【例11】（2007年福建理科高考）如图27，已知点F (1，0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上动点，过P 作直线l 垂线，垂足为点Q ，且·＝·． ⑴求动点P 轨迹C 方程；⑵过点F 直线交轨迹C 于A ，B 两点，交直线l 于点M ，已知 ＝1，＝2，求1＋2值； B (x 2，y 2)A (x 1，y 1)xyOF 图25MB (x 2，y 2)A (x 1，y 1)xyO F 图26MA 1BOyx1－1 l F图27【略解】⑴动点P轨迹C方程为：y2＝4x；⑵1＋2＝0.★⑹定长为l 弦两个端点在抛物线y 2＝2上，M 是 中点，M 到y 轴距离为d ，那么，M 轨迹方程为：4(y 2＋p 2)(2－y 2)＝p 2l 2，且①当0＜l ＜2p 时，d 最小值为，此时，∥y 轴；②当l ≥2p 时，d 最小值为，此时，弦过焦点F .【解】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M 坐标为(x 0，y 0)，直线方程为x ＝＋b ，代入抛物线方程y 2＝2得y 2－2－2＝0. ∴y 1＋y 2＝2，y 1y 2＝－2. 又中点为M (x 0，y 0)，且点M 在直线上， ∴y 0＝＝，x 0＝0＋b ，m ＝，b ＝x 0－0＝x 0－.∴| |2＝l 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋b －2－b )2＋(y 1－y 2)2＝(1＋m 2)(y 1－y 2)2＝(1＋m 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2] ＝(1＋)[4＋8]＝(1＋)[4＋8p (x 0－)]整理得，4(＋p 2)(20－)＝p 2l 2. 故中点M 轨迹方程为：4(y 2＋p 2)(2－y 2)＝p 2l 2.由上可知d ＝x ＝＋，令t ＝y 2＋p 2≥p 2，即y 2＝t －p 2，则d ＝x ＝＋＝＋－（t ≥p 2）.令＝，得t ＝.①当0＜l ＜2p 时，p 2＞，d 在t ∈[ p 2，＋∞)上是增函数， ∴当t ＝p 2，即y ＝0时，＝＋－＝，此时，m ＝0，即∥y 轴. ②当l ≥2p 时，p 2≤，∴d ＝＋－≥2－＝.当且仅当＝，即t ＝≥p 2时取等号，故d 最小值为.图28②【证法二】当l ≥2p 时，过A 、B 、M 作准线x ＝－垂线，垂足为A 、B 、M ，则||＝d ＋＝(| |＋| |)＝(| |＋| |)≥| |＝l .上式当且仅当| |＋| |＝| |，即弦过抛物线焦点M 时取等号，则d 最小值为l －＝.【说明】经过焦点F 最短弦是通经2p ，因此当弦长l ＜2p 时，不能用证法二证明d 最小值为.【例12】长度为a 线段两个端点在抛物线x2＝2（a ≥2p ＞0）上运动，以中点C 为圆心作圆及抛物线准线相切，求圆C 最小半径.【解】依题意，问题转化为定长弦两个端点在抛物线上，弦中点C 到y轴距离最值问题，由上面性质可知当弦经过焦点F 时，点C 到准线距离为最小值. 如图30. ∴圆C 最小半径为r ＝.★⑺过抛物线y 2＝2（p ＞0）对称轴上定点M (m ，0)（m ＞0），作直线及抛物线相交于A ，B 两点．点N 是定直线l ：x ＝－m 上任一点，则直线，，斜率成等差数列.【证明】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (－m ，n )，由性质⑶有y 1y 2＝－2，BAx y OF图29M A ' M ' B 'BAx yO图30C FBN(－m ，n )y则直线、斜率为＝，＝ ∴＋＝错误!＋错误!＝＋ ＝＋＝＝＝＝＝－ 又∵直线斜率为＝＝－. ∴＋＝2∴直线，，斜率成等差数列.★⑻抛物线一组平行弦中点共线，且所在直线平行于对称轴或及对称轴重合.【证明】设斜率为k （k 为常数）一组平行线及抛物线y 2＝2（p ＞0）交于点、（i ＝1，2，…）弦中点为，（即M 1，M 2，…，），且直线方程为y ＝＋（为直线在y 轴上截距），(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(，).联立方程组，消去x 得y 2－y ＋＝0 ∴y 1＋y 2＝，又是中点∴＝＝，则M 1，M 2，…，在平行于x 轴直线y ＝上.当直线及x 轴垂直（即直线斜率不存在时），易知M 1，M 2，…，在x 轴上.【例13】（2009年陕西卷理20文21）已知抛物线C ：y ＝2x 2，直线y ＝＋2交C 于A ，B 两点，M 是线段中点，过M 作x 轴垂线交C 于点N ．⑴证明：抛物线C 在点N 处切线及平行；【证明】如图34，设A(x1，2)，B(x1，2)，把y＝＋2代入y＝2x2得2x2－－2＝0，由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝－1，∴＝＝＝，即N点坐标为(，)设抛物线在点N处切线l方程为y－＝m(x－)，将y＝2x2代入上式得2x2－＋－＝0，∵直线l及抛物线C相切，∴＝m2－8(－)＝0，解得m＝k，即l∥.【说明】其实，也就是及平行弦，它们中点在过中点且及对称轴（x轴）平行直线上，它及C交点N，此时切点就是这些弦缩点，故过N点抛物线C切线及平行.★⑼过定点P(x0，y0)作任一直线l及抛物线y2＝2（p＞0）相交于A、B 两点，过A、B两点作抛物线切线l1、l2，设l1，l2相交于点Q，则点Q 在定直线－y0y＋0＝0上.【证明】设A(x1，y1)、B(x2，y2)，因为过点P及x轴平行直线及抛物线只有一个交点，所以直线及x轴不平行，故可设方程为x－x0＝m(y－y0).联立方程组，消去x得y2－＋0－x0＝0∴y1y2＝2p(0－x0)PABQOx y图35又过A 、B 两点抛物线切线方程为y 1y ＝p (x ＋x 1)和y 2y ＝p (x ＋x 2)，联立方程组解得 ＝＝－错误!＝错误!＝0－x 0 ····· ① ＝p ·＝ ·············· ②由②得m ＝ 代入①得＝ y 0－x 0，∴点Q 在直线－y 0y ＋0＝0上.【例14】（2007年重庆文科高考题）如图36，对每个正整数 n ，(，)是抛物线x 2＝4y 上点，过焦点F 直线交抛物线于另一点(，). ⑴试证：＝－4（n ≥1）；⑵取＝2n，并记为抛物线上分别以及为切点两条切线交点.试证：| 1 |＋| 2 |＋…＋| |＝2n－2－n ＋1＋1.【说明】本题第⑴小题就是抛物线焦点弦性质y 1y 2=－p 2.第⑵小题两条切线交点就是上面抛物线性质，即点必在直线y ＝－1上.【例15】（2008年山东理科高考）如图，设抛物线方程为x 2＝2（p ＞0），M 为 直线y ＝－2p 上任意一点，过M 引抛物线切线，切点分别为A ，B . ⑴求证：A ，M ，B 三点横坐标成等差数列；⑵⑶略.【证明】由题意设A (x 1，)，B (x 2，)，x 1＜x 2，M (x 0，－2p )由x 2＝2得y ＝，y ＝A 2A 1B 1 B 2F Oxy图36yBAO M－2p图37所以，＝，＝，因此直线方程为y＋2p＝(x－x0)，直线方程为y＋2p＝(x－x0)，所以，＋2p＝(x1－x0)…………①，＋2p＝(x2－x0)…………②，①－②得，＝－∴＝x1＋x2－x0，即2x0＝x1＋x2所以A，M，B三点横坐标成等差数列.★⑽过抛物线y2＝2（p＞0）焦点F直线l及抛物线交于A、B两点，线段垂直平分线交x轴于点M，则|)＝2.（m≠0），且A(x1，y1)、B(x2，y2)，把x＝＋代入y2＝2，得y2＝2＋p2，即y2－2－p2＝0∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－p2∴x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋p ＝22＋p ， ∴中点N 坐标为(2＋，)垂直平分线方程为y －＝－m (x －2－) 令y ＝0，得M 横坐标为x ＝2＋∴| |＝| － |＝2＋p ＝p (m 2＋1)，又| |＝x 1＋x 2＋p ＝2p (m 2＋1).∴|)＝＝2【证法二】设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，过A 、B 分别作准线垂线，垂足分别为C 、D ，则C (－，y 1)、D (－，y 2)，则中点E 坐标为(－，)，由证法一知y 1＋y 2＝2， ∴E (－，)，所以＝－p 2－p2 )＝－m又＝，所以·＝(－m )·＝－1 ∴⊥，又⊥，所以∥又∥x 轴，所以四边形为平行四边形 ∴| |＝| |＝(| |＋| |)＝| | 所以|)＝2★⑾P 是过抛物线y 2＝2（p ＞0）上一定点，过P 作及x 轴平行直线m ，过直线为n ，直线l ⊥x 轴，l 及m 、n 分别相交于A 、B 两点，则中点M 在点P 处切线.【证明】设P (，t )，则m 方程为y ＝t ，直线n （即）方程为y ＝x ， 设直线l 方程为x ＝s （s ≠），那么A 坐标为(s ，t )，B 坐标为(s ，)，中点M 坐标为(t ，)，即(t ，) 又过点P (，t )抛物线切线方程为＝p (x＋) ∴y ＝(x ＋)当x ＝＝s 时，y ＝(s ＋)＝＋＝＝ 可见点M 在点P 处切线n 上.★⑿点P (a ，0)（a ≠0）是抛物线y 2＝2（p ＞0）对称轴上一点，过P 直线l 及抛物线相交于两点A 、B ，A 关于x 轴对称点为A ，又点Q (－a ，0)，那么A、B 、Q 三点共线.【证明】设直线l 方程为x ＝＋a ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则A(x 1，－y 1)，联立方程组 ，消去x 得－－a ＝0，那么y 1 y 2＝－2， 又＝(x 1＋a ，－y 1)，＝(x 2＋a ，y 2)， ∵(x 1＋a )y 2＋(x 2＋a )y 1 ＝(＋a )y 2＋(＋a )y 1＝＋＋a (y 1＋y 2)＝＋a (y 1＋y 2)＝(y 1＋y 2)(＋a )＝(y 1＋y 2)(＋a )＝0 ∴∥l nmyxMABOFPyO xQ PBA'A∴Q、A、B三点共线.【例16】给出一个抛物线，根据其性质，用尺规作图求出该抛物线对称轴、顶点和焦点.2图a 图b 【作法】1.任意作两条平行弦A1B1和A2B2；2.分别取A1B1和A2B2中点M、N，过M、N作直线m；3.作直线⊥m，交抛物线于C、D；4.取中点E；5.过E作直线l∥m，交抛物线于点O.则直线l为抛物线对称轴，O为抛物线顶点，如图a.6.过顶点O作两条互相垂直弦、；7.设及对称轴l相交于点G；8.取靠近O四等分点F.则F为抛物线焦点.【说明】1.根据性质⑻，平行弦中点共线，且及对称轴平行；2.垂直于对称轴弦中点在对称轴上，故l为抛物线对称轴；3.根据性质⑵得过顶点(2p，0)，故F为抛物线焦点.31 / 31。
抛物线的轨迹方程
抛物线的轨迹方程抛物线是一种常见的曲线形状，它的轨迹方程可以用数学公式表示。
抛物线的轨迹方程是一个二次函数，通常用以下形式表示：y = ax² + bx + c其中，a、b、c是常数，x和y是变量。
这个方程描述了抛物线的形状和位置。
抛物线的轨迹方程可以通过以下步骤推导得出：1. 假设抛物线的顶点坐标为(h, k)，其中h是横坐标，k是纵坐标。
2. 假设抛物线经过另外一点(x1, y1)。
3. 根据抛物线的性质，顶点是抛物线的最高点，因此顶点的纵坐标k 是抛物线的最大值。
4. 根据抛物线的对称性，抛物线的两侧是对称的，因此抛物线经过点(x1, y1)的对称点也在抛物线上。
5. 假设对称点的坐标为(x2, y2)，则有x2 = 2h - x1，y2 = 2k - y1。
6. 根据对称点的坐标和抛物线的定义，可以列出以下两个方程：y1 = ax1² + bx1 + cy2 = ax2² + bx2 + c7. 将x2和y2用x1和y1表示，得到：y1 = ax1² + bx1 + cy1 = a(2h - x1)² + b(2h - x1) + c8. 将两个方程相减，消去y1，得到：a(x1² - (2h - x1)²) + b(x1 - 2h) = 09. 化简上式，得到：a = 1 / 4hb = 0c = k10. 将a、b、c代入轨迹方程，得到：y = 1 / 4h x² + k这就是抛物线的轨迹方程。
抛物线的轨迹方程可以用来描述抛物线的形状和位置。
通过调整a、b、c的值，可以改变抛物线的大小、位置和方向。
抛物线的轨迹方程在物理学、工程学和计算机图形学等领域都有广泛的应用。
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������ ������ = ������������ − ������������ 下面分类讨论， 第一种情况， 如果 l 大于 p 时， 图像是 w 型。 如果 l 大于 p 既是弦长 2l 大于通径 2p， 比如弦长为 5 大于通 径 4 的时候x ′ 可以等于 0，既可以取得最小值。 此时 x=l-p/2，既是 x1+x2=2x=2l-p， 既是(x1+p/2)+(x2+p/2)=2l 正好是焦点弦！
对于抛物线y 2 = 4x来说， y 2= pl − p2 =2*5/2-2^2=1，所以 y 等于 1 或-1 时取得最小值， 此时的 x=l-p/2=5/2-2/2=3/2
如果弦长为 8 时的函数图像是：是不是更像 W 了？
图一 第一种情况下，x ′ = 0有三个零点，如图一，y^2=1 既是 y=1 或 y=-1 时取得极小值（最小值）和 y=0 时取得极大值。
y 2 = pl − p2 第二种情况，抛物线型。如果 l 小于 p 既是弦长 2l 小于通径 2p 时,比如弦长为 3 小于通径 4 的时候只有 y 等于 0 时， x ′ = 0，x 可以取得最小值。比如：
这时中点的纵坐标为 0，既是一条垂直于 x 轴的线段。 第二种情况下，x ′ = 0有一个零点。 下面是对应的导函数 的图像
l2 4 y2 p + 2p 2
等于
y2 2p
+
p 2
时取得最小值，此时������ ������ = ������������ − ������������ ， 既是
y=± pl − p2 最小值是������ = ������ − 。
������ ������
第二种情况：l<p 时 当 l< ������时， < ，
作者：东阿县实验高中，程浩
整理后得 x=
pl 2 2(y 2 +p 2 )
+
y2 2p ′ pl 2 2
x 对 y 求导后，x = x ′ = y(
−pl 2 1
∗
−2y (y 2 +p 2 )
2 + =y(
y
−pl 2 (y 2 +p 2 )
p
2 + )
p
(y 2 +p 2 )2
+ )=0，如果 y 不等于 0，整理后得
x k2
l2 4
调递增。 因为 < ，所以当
������ ������ y2 2p ������ ������
+
p 2
取得最小值时，x 取得最小值，此时 y = 0。
x= 。
2p
l2
下面利用构造不等式求最小值。 第一种情况：l>p 时 x=
pl 2 2 y 2 +p 2
+ l2 4
y2 2p
=
p l2 2 y 2 +p 2
+
y2 2p
=
p l2 1 ∗ 2 2p y2 p2 + 2p 2p
+
y2 2p
y2 p p l2 p p = 2 + + − ≫2 − =l− y p 2p 2 2 4 2 2 + 2p 2 当
������ ������ ������ ������ y2 2p
+
p 2
最小值是 。
2
p
l ( )2 y2 p p y2 p p 2 x= 2 + + − = 2 + + − y p p 2p 2 2 y 2p 2 2 + + 2p 2 2p 2 从 y=x+ 的图像(k>0)可知 x=k 时取得最小值(x>0)。x>k 时单