函数中的数形结合思想
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用【摘要】二次函数教学中，数形结合思想的应用是非常重要的。
通过将数学与几何相结合，可以帮助学生更深入地理解二次函数的概念和特性。
通过实例分析和图形展示，学生能够直观地看到二次函数的图像与方程之间的关系，从而加深对这一知识点的理解。
通过实践操作，学生可以更好地掌握数学知识，提升他们的实际运用能力。
数形结合思想不仅可以提升学生的学习兴趣和效果，还可以帮助他们从多角度理解数学知识，提高数学素养。
在二次函数教学中，充分利用数形结合思想是非常有益的，可以有效提升学生的学习水平和综合素质。
【关键词】二次函数、数形结合、教学、图形、特性、实例分析、数学、几何、理解、实践操作、学习兴趣、学习效果、多角度、数学素养。
1. 引言1.1 二次函数教学的重要性二次函数作为高中数学中的重要内容之一，在学生数学学习中具有重要的地位。
学会了二次函数的相关知识，可以帮助学生理解和掌握高中数学中的很多概念和方法，为以后的学习打下坚实的基础。
二次函数的教学内容丰富多样，不仅可以帮助学生提高数学的解题能力，还可以培养学生的数学思维和创新能力。
二次函数具有许多独特的特性和规律，通过学习二次函数，可以让学生在数学上有更深入的认识和了解。
二次函数也广泛应用于生活和科学领域，学会了二次函数相关知识可以帮助学生更好地理解和解决实际问题。
二次函数教学的重要性不言而喻。
只有深入理解和掌握二次函数的相关知识，才能在数学学习中取得更好的成绩，为将来的发展打下坚实的基础。
二次函数的教学不仅具有重要的理论意义，更具有重要的实践意义。
通过深入的学习和实践，可以帮助学生更好地理解和应用二次函数相关知识，提高数学素养和解决实际问题的能力。
1.2 数形结合思想的意义数形结合思想在二次函数教学中扮演着至关重要的角色。
通过将数学与几何相结合，可以帮助学生更直观地理解抽象的数学概念，提高他们的学习兴趣与学习效果。
在二次函数这一抽象概念中，数形结合思想可以将函数的数学性质与图形的几何特征相联系，使学生更全面地理解二次函数的本质。
巧用数形结合思想求函数最值
巧用数形结合思想求函数最值
1.利用函数图像：函数的图像能够直观地表示出函数的性质和变化规律。
通过观察函数图像的形状和趋势，可以得到函数的最值。
例如，对于一个连续递增函数，其最小值一定在定义域的最左边，最大值一定在定义域的最右边。
对于一个连续递减函数，则相反。
因此，可以通过观察函数图像的趋势来确定函数的最值。
2.利用导数和极值：当函数存在导数时，可以通过导数和极值的关系来求函数的最值。
根据导数的定义，函数的极值点对应着导数为0的点。
因此，求函数的最值可以转化为求函数导数的零点。
利用微积分的知识，可以求得函数的导数，然后找出导数为0的点，通过比较这些点的函数值来确定函数的最值。
3.利用平均值不等式：平均值不等式是数学中的一个重要定理，它可以用来求函数的最值。
平均值不等式的基本内容是：对于一组非负数的平均值，其最大值等于这组数中的最大值，最小值等于这组数中的最小值。
利用这个定理，可以将函数的求最值问题转化为一组非负数的最值问题，进而求得函数的最值。
除了以上几种常见的数形结合思想，还有其他一些方法，如利用等式和不等式的性质，利用对称性等。
这些方法在不同的问题中都有所应用。
最后，需要注意的是，求函数的最值并不总是一件容易的事情，它涉及到数学的各个方面，需要灵活运用各种方法。
在解决问题的过程中，除了观察图形和利用数学定理外，还需要深入理解问题的背景和条件，灵活运用数学知识，才能得出准确的结果。
因此，在求函数最值时，需要注意综合运用各种数学思想和方法，以取得较好的效果。
数形结合思想在函数解题中的应用
数形结合思想在函数解题中的应用摘要：数形结合思想是数学教学重视数学思想培养之一。
高中数学教学和学习中，灵活地应用数形结合思想可以更好地对于数的概念以及形的特征把握，可以化抽象为具体，能通过数与形快速解决问题。
解决数学问题关键的一大利器是利用数形结合思想关键词：数形结合思想；函数；解题1. 阐述数形结合思想在高中数学的教与学的过程中要重视合理的转化数与形，实现将难懂的的数学问题的性质清晰表现处理。
寻找到潜藏在数与形之间的对应关系是数形结合思想的本质所在，常见的我们是把数转化成形，从而直观形象的解决问题，同时大家不要忽略有时学会形转化成数。
这是因为过于直观和具体的形，无法凝练出具有一般性的特征。
充分理解数与形互化关系，把形转化成为数，答案通过计算得出。
总而言之，数形结合是高中数学重要的数学思想之一，学会数学互化的重要思想。
本文主要讨论的是数形结合的思想在函数解题中的应用：研究单调性，求函数的最值，函数的零点问题等。
2.数形结合思想在函数性质中的应用新课改更注重学生的自主学习，自己提练信息，所以出题更偏爱将函数的几种性质综合在一起考查学生。
如果学生只是从代数的角度去解题，那无疑会增加解题的难度，如果能利用图形的直观性，能大大的提高解题效果。
我们要引导学生解题的要充分利用数形结合的思想。
（1）数形结合思想在函数单调中的应用例1.设函数f(x)=若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，求实数a取值范围解析：函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.总结：单调性是函数的重要性质之一，它的主要应用是用来求解最值，求解不等式，比较大小，求参数等，不管哪一种应用，能画出函数的图像，通过图像中的单调得出答案，能大大的提高解题效率，充分体现了数形结合思想的重要性（2）数形结合思想在函数最值中的应用例题1：定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设M=max{2x，2x－3，6－x}，求M的最小值解析：画出函数M={2x，2x－3，6－x}的图象(如图)，由图可知，函数M在点A(2，4)处取得最小值22=6－2=4，故M的最小值为4.总结：函数的最值是函数中比较热点的题目。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数教学中的“数形结合”思想的应用二次函数作为高中数学中的重要内容之一，其教学一直备受学生和教师的关注。
在二次函数教学中，要求学生不仅要能够掌握相关的概念和定理，还要能够应用所学的知识解决实际问题。
“数形结合”思想在二次函数教学中的应用显得尤为重要。
本文将针对二次函数教学中的“数形结合”思想进行分析和探讨，以期能够更好地引导学生理解和掌握二次函数的相关知识。
一、探究二次函数图像的特点在二次函数教学中，学生首先需要了解二次函数的图像特点。
一般来说，二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数的正负性决定，开口向上的抛物线代表二次项系数大于0，开口向下的抛物线代表二次项系数小于0。
二次函数的顶点坐标、对称轴方程、零点坐标等也是学生需要掌握的内容。
通过学习这些内容，学生可以初步认识二次函数图像的特点，从而为后续的学习打下基础。
在教学中，可以通过让学生观察二次函数图像的变化，来引导他们探究二次函数图像的特点。
可以让学生改变二次函数的系数，观察对图像的影响，从而深入理解二次函数的图像特点。
老师还可以通过实例演示的方式，引导学生进一步理解二次函数图像的特点，激发学生的学习兴趣，提高他们对二次函数图像特点的理解能力。
二、数形结合的实际应用在学生掌握了二次函数的图像特点后，就可以引入“数形结合”思想，让学生将数学知识与实际问题相结合，进行实际应用。
可以通过实际问题来引导学生分析和解决问题，从而培养学生的数学建模能力和解决问题的能力。
通过实际问题的应用，还可以让学生更加直观地理解二次函数的意义和应用价值，提高他们对数学知识的兴趣和学习积极性。
在教学中，老师可以鼓励学生提出问题、进行实验和观察，从而引导他们进行自主探究。
通过这样的方式，学生可以更加深入地理解二次函数的相关知识，同时也可以培养其独立思考和问题解决的能力。
在探究性学习的过程中，老师要给予适当的指导和帮助，促进学生的学习成果，从而提高他们的学习效果。
数形结合思想在函数与方程中的应用
数形结合思想在函数与方程中的应用数形结合思想，就是把代数中的数与几何中的形结合起来理解问题，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想在高考数学中占有重要地位。
下面练习利用数形结合思想解决函数与方程问题（一）数形结合在函数中的应用例1.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(－x)，当x∈时，f(x)＝log(x＋1)，则f(x)在区间内是( )2A.减函数且f(x)>0B.减函数且f(x)<0C.增函数且f(x)>0D.增函数且f(x)<0解析由f(x＋1)＝f(－x)可知，函数f(x)的图象关于直线x＝对称，又函数f(x)为奇函数，故f(x＋1)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)的周期为2，又当x∈时，f(x)＝log(x＋1)，故可得到函数f(x)的大致图象如图所示.由图象可知选B.2答案 B例2.已知函数y＝的图象与函数y＝kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________.解析y＝＝＝函数y＝kx过定点(0，0).由数形结合可知：0＜k＜1或1＜k＜k，OC∴0＜k＜1或1＜k＜2.答案 (0，1)∪(1，2)例3.已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是( )A.9B.10C.11D.18解析：在坐标平面内画出y＝f(x)与y＝|lg x|的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是10，故选B.答案 B[点评] 解决本题的关键是在同一坐标系中准确画出两函数的图象，有几个交点，原函数就有几个零点.1.数形结合在方程中的应用例4.已知点在函的图象上，且．求方程解的个数。
思路分析方程解的个数问题，用数形结合思想，其实是画出图像求图像交点个数答案：3解析：，画出及的图像，方程解的个数既为函数图像交点的个数，由图像知原方程有3个解。
数形结合在函数教学中的应用
数形结合在函数教学中的应用数学中存在着“数”与“形”两个基础概念，数量关系与空间图形往往有机结合在一起，相互解释，这便是“数形结合”的思想。
在初中函数中，函数变量关系与绘制图像联系密切，变量关系中彰显出隐含的图像信息，图像之中也能反映出函数的变量关系。
在解答函数题目时，往往需要结合绘制图像，在较为直观的图形中把握函数关系，为分析、解答提供了极大的方便。
例如在一次函数的教学中，设计了如下一些教学思路：（1）探究性课题：1、水电费账单数据的分析。
2、物理学科中电阻、电压、电流关系。
提出一些问题：探究这些变量之间的数量关系，画出相应的函数图象，并结合数学知识编制新问题。
这样把实际生活中的问题上升为数学问题并构建为数学模型。
设计练习：a:直角三角形的两个锐角的度数分别为x、y，用x表示y的关系式；b:从边长为20的正方形的四角剪去四个边长为x的小正方形，做成一个无盖的小方盒子，设此盒的容量为v，写出v关于x的函数解析式，所有这些问题中自变量的取值范围是什么？（2）问题情境：龟兔赛跑的结局提出新的问题：兔子醒来后，发现乌龟已在自己前面2500米处，很后悔，就以每小时3000米的速度去追，而乌龟仍以每小时500米的速度前进，那么谁能最终获胜？学生猜测、讨论思考：若设兔子醒后追了t小时，龟、兔离开睡觉处S（米）与时间t（小时）是什么关系？学生：兔：S=3000t (t>0)龟：S2=2500+500t (t>0)提问：1：能用学过的方法直观反映问题吗？（画图）2：图像的交点表示什么实际意义？交点的左侧呢？右侧呢？由学生通过讨论、计算得出3个结论。
教学策略：猜想—探究通过讨论、质疑、尝试，结合函数关系，利用数形结合进行分析，在实际问题与数学知识之间建立数学模型，探究结论，准确直观的解决问题。
在反比例函数和二次函数的教学中，有意识的去引导学生把“数”和“形”结合起来去解决相关问题，让学生在自我尝试中体会数学的魅力，从而降低了教与学的难度。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数是初中高中数学中的重要内容，其教学既涉及到运算规律的讲解，也涉及到数学思维的培养。
在二次函数教学中，运用“数形结合”思想是非常有效的教学方法之一。
下面从二次函数教学中“数形结合”思想的应用方面进行探讨。
首先，二次函数图像与根的关系是教学中重要的内容。
二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），可以通过推导，得到二次函数的判别式△=b²-4ac，若△>0，则函数有两个不同的实根，若△=0，则函数有两个相同的实根，若△<0，则函数无实根。
在教学中，可以通过绘制二次函数的图像，让学生看得更直观。
通过图像观察，可以判断二次函数是否有根，若有，还可以计算出根的大致范围。
同时，也可以通过根的公式计算出根的精确值，并用数轴来表示。
这样，通过“数形结合”的方式，可以深化学生对二次函数图像和根的理解，加深记忆，提高学生的学习效果。
其次，二次函数图像的性质也是二次函数教学中的重点内容。
通过图像，可以发现，二次函数是一个开口朝上或朝下的抛物线。
当a>0时，抛物线开口朝上，二次函数的最小值为顶点坐标，当a<0时，抛物线开口朝下，二次函数的最大值为顶点坐标。
同时，二次函数的对称轴为y=-b/2a。
在教学中，可以通过绘制多组图像，让学生观察抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴等图像性质，并找出它们之间的联系。
通过这种“数形结合”的方式，可以帮助学生更加深入地理解二次函数图像的性质，从而提高学生的学习兴趣和学习积极性。
最后，二次函数的应用也是教学中不可忽视的内容。
二次函数常常在物理、工程等领域中得到应用。
例如，通过绘制二次函数图像，可以解决物理问题中的抛物线运动。
在教学中，可以通过引导学生分析实际问题，并建立相应的数学模型，进一步加深学生对二次函数的应用理解。
同时，通过数学软件的辅助，还可以帮助学生更加直观地观察二次函数图像，提高学生学习的趣味性和实用性。
数形结合思想在初中数学教学中的应用——以“函数”教学为例
教学·策略数形结合思想在初中数学教学中的应用———以“函数”教学为例文|林欣为了促进教学活动的顺利、高效开展，明确落实教学目标，教师需要重视对教学理念的创新与变革，以便为学生创造良好的学习环境，进一步挖掘学生的潜能，为学生高效开展数学学习奠定基础。
数形结合思想作为重要的数学思想，对提升学生的数学学习能力有着重要意义。
教师应将数形结合思想融入日常教学中，以助力学生更高效地解决数学问题，促使学生形成良好的数学思维。
同时函数作为初中数学的重要内容，对学生数学素养与能力的提升有着重要影响。
因此，在“函数”教学中，教师应重视对数形结合思想的有效应用，直观、生动地展现抽象的函数知识，充分发挥学生的形象思维能力，帮助学生掌握问题的本质，使其能够快速、高效地解决问题，从而为初中数学教学的高质、高效开展提供助力。
一、创设教学情境在初中数学教学活动中，教师可以结合教学知识创设生动、有趣的教学情境，以吸引学生的注意力，使学生能够真正关注到问题，并运用图形对问题中所包含的内容进行直观呈现，让学生亲身感受到数形结合所创造的便利，进而激发学生运用数形结合方法解决数学问题的热情，并深刻认识到数形结合思想的价值与意义。
例如，教师可以结合生活实际设置例题，通过创设良好的教学情境，激发学生的解题兴趣。
问题：25路公交车往返于A、B两地，两地的发车时刻表相同。
假设公交车均速直线向前行驶，从A 地到B地，从B地到A地所用时间都是60分钟，每间隔10分钟发一趟车。
提问：一辆25路公交车从A 地出发，途中能遇到几辆由B地出发的25路公交车？在分析问题后：学生1：能够遇到4辆。
学生2：能够遇到5辆。
学生3：能够遇到6辆。
学生4：能够遇到7辆。
教师：针对这一问题，大家的答案各不相同，以前也有数学家针对类似问题进行了激烈争论。
虽然这道题十分简单，却隐藏着重要信息，需要我们运用合理的方法解题。
学生一听数学家都没有解出这道题都感到十分的疑惑，非常想知道最后数学家是怎样解出问题的。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用1. 引言1.1 引言二次函数是数学教学中一个重要的内容，学生在学习过程中常常会面临着一些挑战。
如何让学生更好地理解和掌握二次函数，是每个教师都面临的问题。
在教学中，数形结合的思想被广泛应用，通过将数学概念与几何形态相结合，帮助学生更好地理解抽象的数学概念。
本文将介绍在二次函数教学中如何运用数形结合的思想，提高学生的理解能力和激发学生的兴趣。
通过具体的案例分析和教学实践，展示数形结合在二次函数教学中的重要性和实际应用。
通过本文的阐述，希望能够帮助教师更好地引导学生学习二次函数，同时也激发学生对数学的兴趣，提高他们的学习效果和学习动力。
2. 正文2.1 二次函数教学中的挑战在二次函数教学中，教师常常面临着一些挑战。
学生可能会对二次函数的概念和性质感到困惑，特别是对于开口方向、顶点坐标、零点、轴对称等概念可能存在误解。
二次函数的图像比较抽象，学生很难直观地理解二次函数的变化规律，导致他们缺乏对二次函数的直观感受和认识。
二次函数的解题方法比较复杂，涉及到方程的解法、图像的绘制等多个方面，容易让学生感到困惑和压力。
针对这些挑战，教师可以通过数形结合的教学方法来帮助学生更好地理解和掌握二次函数的相关知识。
通过将数学公式和图形结合起来，可以使学生更直观地理解二次函数的性质和规律。
可以通过绘制二次函数的图像来帮助学生理解二次函数的开口方向、顶点位置等特点，从而加深他们对二次函数的认识。
通过数学计算和几何推理相结合的方式，可以让学生从不同角度去理解和掌握二次函数的相关知识，提高他们的数学思维能力和解题能力。
数形结合在二次函数教学中具有重要的意义，可以帮助学生克服困难，提高学习效果，激发学生对数学的兴趣和热情。
通过巧妙地将数学概念与几何图形相结合，教师可以让学生在实践中更好地理解和掌握二次函数的相关知识，培养他们的数学思维能力和创造力。
【2000字】2.2 数形结合的重要性数形结合在二次函数教学中扮演着至关重要的角色。
数形结合思想在函数中的应用
数形结合思想在函数中的应用所谓数形结合思想就是在研究问题时把数和形结合起来考虑，或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化．本文以一次函数为例，说明它的几个应用．一、“形”到“数”的思想应用例1 小明同学骑自行车去效外春游，图1表示他离家的距离y （千米）与所用时间x （小时）之间的关系图象．（1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？（2）求小明出发两个半小时时离家多远？（3）求小明出发多少时间距家12千米？解：（1）由图象知离家最远30千米需要3小时．（2）线段CD 的函数关系式为y =15x -15（2≤x ≤3），当x =2.5时，y =15×2.5－15＝22.5（千米）．所以小明出发2.5小时时，离家22.5千米．（3）小明距家12千米时应在OB 线段或EF 线段，线段OB 函数关系式为y =15x （0≤x ≤1），线段EF 函数关系式为y =-15x +90（4≤x ≤6）．当y =12时，有15x =12，-15x +90=12．解得45x =或265． 所以小明出发45小时，或265小时，离家12千米． 二、“数”到“形”的思想应用例2 某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间t （小时）与山高h （千米）之间函数关系用图象表示是（ ）解：（B ）、（C ）显然不符合，比较（A ）和（D ），发现（A ）爬山高度超过3千米，所以选（D ）．三、数形结合思想应用例3 如图2，表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中路程y （千米）随时间x （分）的变化图象（全程），根据图象回答下列问题．（1）求比赛开始多少分钟两人第一次相遇；（2）求这次比赛全程是多少千米？（3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇；解：（1）由图象知第一次相遇在AB 段且距出发地6千米．线段AB 的一次函数关系式为110(1533)93y x x =+≤≤．当110693x=+时，x=24（分）．第一次相遇时间为24分钟．（2）由（1）知，线段OD过点（24，6），所以OD的一次函数关系式为1(048)4y x x=≤≤．当x=48时，148124y=⨯=（千米）．所以比赛全程为12千米．（3）由图象知第二次相遇在BC段，线段BC的一次函数关系式为119(3343) 22y x x=-≤≤．线段BC与OD交点为方程组1411922y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，的解．解得3819.2xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，．所以第二次相遇在第38分钟．数学家华罗庚说过：数形结合千般好，数形分离万事休．数形结合思想是一种重要思想方法，请同学们一定留意它在数学中的应用．。
浅谈初中函数教学中的 “数形结合”思想方法
（追问）T: ⑸你能从解析式出发给出证明吗？
在上面的教学设计中，教师借助几何画板课件，帮助学生形象直观的理解了反比例函数图象的变化规律，发现变化过程中的特殊点的，自然的归纳出反比例函数增减性的性质及自变量的取值范围，并且通过结合符号语言和解析式全方位诠释增减性的意义。学生不但理解而且记忆，而且途径全面，更好的感受到函数的三种表示方法的整体一致性。
浅谈初中函数教学中的“数形结合”思想方法
函数是初中数学教学中的重要内容，学生初次接触函数，感觉难度大，不容易理解。那么怎样进行函数教学，学生会学的轻松一点呢？我在函数的教学过程中，针对学生的知识结构与年龄特点，结合自己的一点教学经验，谈谈函数教学中的“数形结合”思想方法。
一、数形结合的思想方法是初中数学中一种重要的思想方法。数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学。而数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题。它包含以形助数和以数解形两个方面，利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长。
（2）切莫急于呈现画函数图象的简单画法。首先，在探索具体函数形状时，不能取得点太少，否则学生无法发现点分布的规律，从而猜想出图象的形状；其次，教师过早强调图象的简单画法，追求方法的“最优化”，缩短了学生知识探索的经历过程。所以，在教新知识时，教师要允许学生从最简单甚至最笨拙的方法做起，渐渐过渡到最佳方法的掌握，达到认识上的最佳状态。
（1）让学生经历绘制函数图象的具体过程。首先，对于函数图象的意义，只有学生在亲身经历了列表、描点、连线等绘制函数图象的具体过程，才能知道函数图象的由来，才能了解图象上点的横、纵坐标与自变量值、函数值的对应关系，为学生利用函数图象数形结合研究函数性质打好基础。其次，对于具体的一次函数、反比例函数、二次函数的图象的认识，学生通过亲身画图，自己发现函数图象的形状、变化趋势，感悟不同函数图象之间的关系，为发现函数图象间的规律，探索函数的性质做好准备。
函数与方程思想、数形结合思想
第1讲函数与方程思想、数形结合思想数学思想解读1.函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点，描述两个量之间的依赖关系，刻画数量之间的本质特征，在提出数学问题时，抛开一些非数学特征，抽象出数量特征，建立明确的函数关系，并运用函数的知识和方法解决问题.有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系，列出方程(组)，进而通过解方程(组)求得未知量.函数与方程思想是相互联系，相互为用的.2.数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.热点一函数与方程思想应用1求解不等式、函数零点的问题【例1】(1)(2017·衡阳联考)设0<a<1，e为自然对数的底数，则a，a e，e a－1的大小关系为()A.e a－1<a<a eB.a e<a<e a－1C.a e <e a －1<aD.a <e a －1<a e(2)(2017·衡水中学质检)设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，且当x ∈[－2，0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －6.若在区间(－2，6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)设f (x )＝e x －x －1，x >0，则f ′(x )＝e x －1， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (0)＝0，f (x )>0， ∴e x －1>x ，即e a －1>a .又y ＝a x (0<a <1)在R 上是减函数，得a >a e ， 从而e a －1>a >a e .(2)由f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期为4， 因为当x ∈[－2，0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－6.所以若x ∈[0，2]，有－x ∈[－2，0]， 则f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x－6＝3x －6，因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝3x －6，x ∈[0，2]， 由f (x )－log a (x ＋2)＝0得f (x )＝log a (x ＋2)， 作出函数f (x ) 的图象如图.当a >1时，要使方程f (x )－log a (x ＋2)＝0恰有3个不同的实数根，则等价于函数f (x )与g (x )＝log a (x ＋2)有3个不同的交点，则满足⎩⎨⎧g （2）<f （2），g （6）>f （6），即⎩⎨⎧log a 4<3，log a 8>3，解得34<a <2，故a 的取值范围是(34，2).答案 (1)B (2)(34，2)探究提高 1.第(1)题构造函数，转化为判定函数值的大小，利用函数的单调性与不等式的性质求解.2.函数方程思想求解方程的根或图象交点问题(1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题.(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决. 【训练1】 (1)设函数f (x )＝x 2－cos x ，则方程f (x )＝π4所有实根的和为( ) A.0 B.π4 C.π2D.3π2(2)(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析 (1)由f (x )＝x 2－cos x ＝π4，得x 2－π4＝cos x ， 令y ＝x 2－π4，y ＝cos x .在同一坐标系内作出两函数图象，易知两图象只有一个交点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0.∴方程f (x )＝π4的实根之和为π2. (2)由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x ，∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)， 联立⎩⎨⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1，消去y 得ax 2＋ax ＋2＝0.依题意，Δ＝a 2－8a ＝0，∴a ＝8(a ＝0舍去). 答案 (1)C (2)8应用2 函数与方程思想在数列中的应用【例2】 (2017·深圳调研)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1＋a 4＝14，且a 1，a 2，a 7成等比数列.(1)求{a n }的通项公式a n 与前n 项和公式S n ；(2)令b n ＝S nn ＋k ，若{b n }是等差数列，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n 的最小值.解 (1)a 1＋a 4＝2a 1＋3d ＝14，由a 1，a 2，a 7成等比数列得a 1(a 1＋6d )＝(a 1＋d )2，整理得d 2＝4a 1d ， ∵d ≠0，∴d ＝4a 1，由d ＝4a 1与2a 1＋3d ＝14联立，解得a 1＝1，d ＝4， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －3，S n ＝n （1＋4n －3）2＝2n 2－n .(2)由(1)知b n ＝2n 2－nn ＋k ，∵{b n }为等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，代入可解得k ＝－12或k ＝0，当k ＝－12时，b n ＝2n ，则1b n b n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n4（n ＋1），又y ＝x 4（x ＋1）＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴当n ＝1时，T n 有最小值18. 当k ＝0时，b n ＝2n －1，则1b n b n ＋1＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝n2n ＋1.又y ＝x 2x ＋1＝12＋1x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴当n ＝1时，T n 取到最小值13. 综上，当k ＝－12时，T n 的最小值为18； 当k ＝0时，T n 的最小值为13.探究提高 1.本题完美体现函数与方程思想的应用，第(2)问利用裂项相消求T n ，构造函数，利用单调性求T n 的最小值.2.数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式与前n 项和公式即为相应的解析式，因此在解决数列最值(范围)问题的方法如下：(1)由其表达式判断单调性，求出最值；(2)由表达式不易判断单调性时，借助a n ＋1－a n 的正负判断其单调性.【训练2】 已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列.(1)若a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ； (2)在(1)的条件下，数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n ，若对任意的n ∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，求实数k 的最小值. 解 (1)∵a 1＝2，a 23＝a 2(a 4＋1)， 又∵{a n }是正项等差数列，故d ≥0，∴(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，得d ＝2或d ＝－1(舍去)， ∴数列{a n }的通项公式a n ＝2n . (2)∵S n ＝n (n ＋1)，则1S n＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.∴b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2－1n ＋3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12n ＋1 ＝1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1＝12n ＋1n ＋3. 令f (x )＝2x ＋1x (x ≥1)，则f ′(x )＝2－1x 2>0恒成立，∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝3，(b n )max ＝16. 要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立， 则须使k ≥(b n )max ＝16， ∴实数k 的最小值为16.应用3 函数与方程思想在几何问题中的应用【例3】 设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点. (1)若ED → ＝6DF → ，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值.解 (1)依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)(如图)，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4. 故x 2＝－x 1＝21＋4k2.① 由ED → ＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)， 得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k2； 由D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2， 得x 0＝21＋2k .所以21＋2k ＝1071＋4k 2， 化简得24k 2－25k ＋6＝0， 解得k ＝23或k ＝38.(2)根据点到直线的距离公式和①式知，点E ，F 到AB 的距离分别为 h 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2（1＋2k ＋1＋4k 2）5（1＋4k 2），h 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2（1＋2k －1＋4k 2）5（1＋4k 2）.又|AB |＝22＋12＝5， 所以四边形AEBF 的面积为 S ＝12|AB |(h 1＋h 2)＝12·5·4（1＋2k ）5（1＋4k 2）＝2（1＋2k ）1＋4k 2＝21＋4k 2＋4k1＋4k 2＝21＋41k ＋4k ≤22， 当且仅当4k 2＝1(k ＞0)，即当k ＝12时，上式取等号. 所以S 的最大值为2 2.即四边形AEBF 面积的最大值为2 2.探究提高 几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值问题的求法来求解，这是求面积、线段长最值(范围)的基本方法.【训练3】 (1)(2017·平顶山一模)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作直线y ＝－b a x 的垂线，垂足为A ，交双曲线左支于B 点，若FB → ＝2F A → ，则该双曲线的离心率为( ) A. 3 B.2 C. 5D.7(2)已知正四棱锥的体积为323，则正四棱锥的侧棱长的最小值为________. 解析 (1)设F (c ，0)，则直线AB 的方程为y ＝ab (x －c )代入双曲线渐近线方程y ＝－b a x 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2c ，－ab c .由FB → ＝2F A → ，可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2－c2c ，－2ab c ，把B 点坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，得（2a 2－c 2）2a 2c 2－4a 2c 2＝1.∴c 2＝5a 2，所以离心率e ＝ca ＝ 5.(2)如图所示，设正四棱锥的底面边长为a ，高为h .则该正四棱锥的体积V ＝13a 2h ＝323，故a 2h ＝32，即a 2＝32h . 则其侧棱长为l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋h 2＝16h＋h 2. 令f (h )＝16h ＋h 2，则f ′(h )＝－16h 2＋2h ＝2h 3－16h 2， 令f ′(h )＝0，解得h ＝2.显然当h ∈(0，2)时，f ′(h )<0，f (h )单调递减； 当h ∈(2，＋∞)时，f ′(h )>0，f (h )单调递增.所以当h ＝2时，f (h )取得最小值f (2)＝162＋22＝12， 故其侧棱长的最小值l ＝12＝2 3. 答案 (1)C (2)2 3 热点二 数形结合思想应用1 讨论函数的零点或方程的根【例4】 (1)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________.(2)(2016·山东卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.解析(1)由f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，可得|2x－2|＝b有两个不等的实根，从而可得函数y＝|2x－2|的图象与函数y＝b的图象有两个交点，如图所示.结合函数的图象，可得0＜b＜2.(2)作出f(x)的图象如图所示.当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2.∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m2<m，即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.答案(1)(0，2)(2)(3，＋∞)探究提高 1.本题利用数形结合思想，将函数零点或方程的根的情况转化为两函数图象交点问题.2.探究方程解的问题应注意两点：(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解.(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合.【训练4】(2017·乐山二模)若函数f(x)满足f(x－1)＝1f（x）－1，当x∈[－1，0]时，f(x)＝x，若在区间[－1，1)上，g(x)＝f(x)－mx＋m有两个零点，则实数m 的取值范围为________.解析∵x∈[－1，0]时，f(x)＝x.∴当x∈(0，1)时，－1<x－1<0，∴f(x－1)＝x－1，从而x－1＝1f（x）－1.因此，x ∈(0，1)时，f (x )＝1x －1＋1， 作出函数f (x )在[－1，1)上的图象，如图所示.因为g (x )＝f (x )－mx ＋m 有两个零点.∴y ＝f (x )的图象与直线y ＝m (x －1)在区间[－1，1)上有两个交点， 又k AB ＝0－（－1）1－（－1）＝12，由几何直观知0<m ≤12.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 应用2 利用数形结合思想求最值、范围【例5】 (1)记实数x 1，x 2，…，x n 中最小数为min{x 1，x 2，…，x n }，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f (x )＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }的最大值为( ) A.5 B.6 C.8D.10(2)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0).若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A.7 B.6 C.5D.4解析 (1)在同一坐标系中作出三个函数y ＝x 2＋1，y ＝x ＋3，y ＝13－x 的图象如图：由图可知，在实数集R 上，min{x 2＋1，x ＋3，13－x }为y ＝x ＋3上A 点下方的射线，抛物线AB 之间的部分，线段BC ，与直线y ＝13－x 点C 下方的部分的组合图.显然，在区间[0，＋∞)上，在C 点时，y ＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }取得最大值.解方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋3，y ＝13－x 得点C (5，8).所以f (x )max ＝8.(2)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3，4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m .因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离. 因为|OC |＝32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.答案 (1)C (2)B探究提高 1.第(1)题利用函数的图象求最值，避免分段函数的讨论；第(2)题利用几何直观，把m 的值转化为圆上的点到原点的距离. 2.运用数形结合思想求解最值问题(1)对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解.(2)应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.【训练5】 (2017·九江十校联考)设A ，B 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且|AB |＝3，点P 在直线l ：3x ＋4y －12＝0上运动，则|P A → ＋PB → |的最小值为( ) A.3 B.4 C.175D.195解析 设AB 的中点为D ，则P A → ＋PB → ＝2PD →，∴当且仅当O ，D ，P 三点共线时，|P A → ＋PB → |取得最小值，此时OP ⊥AB ，且OP ⊥l .∵圆心到直线的距离为129＋16＝125，|OD |＝1－34＝12，∴|P A → ＋PB → |的最小值为2⎝ ⎛⎭⎪⎫125－12＝195. 答案 D应用3 数形结合求解不等式、参数问题【例6】 (1)(2015·全国Ⅱ卷)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)∪(0，1) B.(－1，0)∪(1，＋∞) C.(－∞，－1)∪(－1，0)D.(0，1)∪(1，＋∞)(2)(2017·西安调研)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，mx －y ≤0，x －2y ＋2≥0，若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m ＝( ) A.－1 B.－2 C.1D.2解析 (1)设g (x )＝f （x ）x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2.当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0. ∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图象的示意图如图所示.当x >0时，由f (x )>0，得g (x )>0，由图知0<x <1，当x <0时，由f (x )>0， 得g (x )<0，由图知x <－1，∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1).(2)将目标函数变形为y ＝2x －z ，当z 取最大值时，直线y ＝2x －z 在y 轴上的截距最小，故当m ≤12时，不满足题意.当m >12时，作出不等式组⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，mx －y ≤0，x －2y ＋2≥0表示的平面区域，如图阴影部分所示(含边界).y ＝2x －z 过点B 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z ＝2x －y 取得最大值. 易求点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22m －1，2m 2m －1，∴最大值为z ＝2×22m －1－2m2m －1＝2，解得m ＝1. 答案 (1)A (2)C探究提高 1.第(1)题利用了数形结合思想，由条件判断函数的单调性，再结合f (－1)＝0可作出函数的图象，利用图象即可求出x 的取值范围.2.求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答.【训练6】 (1)当x ∈(1，2)时，(x －1)2<log a x 恒成立，则实数a 的取值范围是________.(2)(2017·沈阳调研)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥0，x ＋y ≤0，2x ＋y ＋2≤0，则z ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫y －1x －1＋32的取值范围是________. 解析 (1)由题意，易知a >1.在同一坐标系内作出y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)及y ＝log a x 的图象.若y ＝log a x 过点(2，1)， 得log a 2＝1，所以a ＝2.根据题意，函数y ＝log a x ，x ∈(1，2)的图象恒在y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)的上方. 结合图象，a 的取值范围是(1，2]. (2)作线性约束条件表示的可行域如图所示. 令t ＝y －1x －1表示可行域内的点P (x ，y )与定点M (1，1)连线的斜率.易求点B (－1，0)，k MB ＝1－01－（－1）＝12，且x ＋y ＝0的斜率为－1.∴－1<t ≤12，从而12<y －1x －1＋32≤2，故－1<z ≤1.答案 (1)(1，2] (2)(－1，1]1.当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想.2.借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解.3.许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量.4.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的.5.有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的.。
函数思想与数形结合解题方法的联系5篇
函数思想与数形结合解题方法的联系5篇第1篇示例：函数思想与数形结合解题方法的联系函数是数学中的一个重要概念，它描述了两个变量之间的关系。
函数思想的核心就是将一个输入映射到一个唯一的输出。
这种抽象的概念让我们能够理解各种数学问题，并通过函数的定义和性质来解决这些问题。
数形结合解题方法更加直观和具体，它以图形和形状为载体，来帮助我们理解数学概念。
通过图形和形状的变化，我们可以看到数学规律和关系的表现，从而更好地理解和应用数学知识。
函数思想与数形结合解题方法的联系在于，它们之间有着密切的关系。
函数描述了数学问题中的关系，而数形结合解题方法则能够帮助我们直观地理解这种关系。
通过将函数与数形结合起来，我们可以更深入地理解和掌握数学知识。
在解决关于两个变量之间的关系的问题时，我们可以首先通过函数的方法建立数学模型，然后利用数形结合解题方法来直观地展示这种关系。
通过图形和形状的变化，我们可以看到函数的性质，从而更好地理解和解决问题。
函数思想与数形结合解题方法的联系还能够帮助我们发现数学问题的新解法。
通过将抽象的函数概念与具体的图形结合起来，我们可以从不同的角度来理解和解决问题，从而提高解题的效率和准确性。
第2篇示例：函数思想与数形结合解题方法之间的联系是非常紧密的，两者相辅相成，互相促进，能够帮助我们更加深入地理解数学中的问题并得出准确的答案。
函数思想是数学中非常重要的概念之一，它可以描述一个变量如何随着另一个变量的变化而变化。
在解题过程中，我们经常会遇到多个变量之间的关系，需要通过函数来建立它们之间的联系。
以一元函数为例，我们可以通过函数表达式来描述输入和输出之间的对应关系，从而实现对问题的建模和求解。
函数思想的引入使得数学问题的复杂性降低了不少，使得我们能够更清晰地理解问题的本质，并且得到更有力的解答。
数形结合是一种非常直观和具体的解题方法，它通过几何图形和数学符号的结合，可以更加形象地展现问题的内在联系。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数是高中数学中的重点内容之一，也是考试中经常出现的考点，掌握二次函数的知识对于学生而言非常重要。
在二次函数的教学过程中，采用“数形结合”的教学方法可以提高学生的学习兴趣和掌握程度。
下面将从以下两个方面介绍二次函数教学中“数形结合”思想的应用。
在二次函数的例题教学中，通过“数形结合”的教学方法可以加强学生对知识点的理解和记忆。
例如，当讲解二次函数的基本形式y=ax²+bx+c时，通过画出y=x²、y=2x²、y=0.5x²等曲线示意图，让学生能够直观地感受到参数a的正负、大小对图像的影响，帮助学生更好地理解二次函数的概念和性质。
在讲解二次函数图像和性质时，可以使用多组例题来巩固学生的掌握程度。
例如，可以让学生用手绘图法，画出y=x²-1和y=-x²+3的图像，并分析它们的性质。
通过手绘图的方式，不仅可以帮助学生更好地理解二次函数图像的基本特征，还可以加深对二次函数对称轴、顶点、开口方向等基本特征的理解。
在二次函数的应用题教学中，通过“数形结合”的教学方法可以帮助学生更好地理解和应用二次函数知识。
例如，在讲解极值问题时，可以引导学生通过手绘图形的方式，搭建一个简单的桥梁模型，让学生可以清晰地看到桥梁两端的高低和中间点的最低位置，从而引导学生理解和应用极值概念和解决问题的方法。
在讲解最值问题时，可以引导学生通过手动计算和手绘图像的方式，来理解问题所在，并进行分析综合。
例如，可以让学生计算二次函数y=x²-6x+8在区间[1,5]内的最大值和最小值，并通过手绘图的方式，将函数图像和区间范围清晰呈现出来，以便更好地理解和应用最值问题求解方法。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数是高中数学中的重要内容之一，它的教学涉及到数学概念、数学方法和数学技巧的培养。
在教学过程中，如何引导学生掌握二次函数的数学知识，培养数学思维，实现数学与现实生活的结合是教学的关键。
数形结合是数学教学中的一种重要教学思想，它通过将抽象的数学概念与具体的图形形象相结合，帮助学生更加直观地理解和掌握数学知识。
本文将以二次函数教学为例，谈谈数形结合在二次函数教学中的应用，并探讨如何有效地开展数形结合教学，使学生更好地掌握二次函数的知识。
一、数形结合的意义与作用二、数形结合在二次函数教学中的应用1. 通过图形展示二次函数的基本性质二次函数是平面解析几何中的一个重要内容，它的图象——抛物线是解析几何中的一个重要曲线。
在二次函数的教学中，可以通过绘制二次函数的图象来展示二次函数的基本性质，如顶点、对称轴、开口方向等，使学生直观地感受二次函数的特点，从而对二次函数有一个清晰的认识。
二次函数的图象是一个抛物线，它的形状随着参数a、b、c的变化而发生变化。
在二次函数的教学中，可以通过改变参数a、b、c的值，绘制不同的二次函数图象，并让学生观察图象的变化规律，探讨参数对二次函数图象的影响，帮助学生深入理解二次函数的变化规律。
3. 通过实际问题引导学生建立二次函数模型二次函数是描述抛射、运动、变化规律等问题的数学模型，它在实际生活中有着广泛的应用。
在二次函数的教学中，可以通过实际问题引导学生建立二次函数模型，并通过绘制二次函数图象来解决实际问题，使学生理论联系实际，培养学生的数学建模能力。
三、如何有效地开展数形结合教学1. 合理选择教学内容在开展数形结合教学时，需要根据学生的实际情况和教学要求，合理选择教学内容。
可以根据二次函数的特点，选择一些具有代表性的例题和实际问题，通过图形展示和解释，帮助学生理解和掌握二次函数的相关知识。
2. 创设丰富多彩的教学情境在开展数形结合教学时，可以通过举一反三、对比分析等教学方法，创设丰富多彩的教学情境，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用1. 引言1.1 引言概述二次函数在数学教学中扮演着重要的角色，而数形结合思想则是二次函数教学中的一种重要方法。
数形结合思想是指将数学概念与几何图形相结合，通过观察和分析图形，深入理解数学概念。
在二次函数教学中，运用数形结合思想可以帮助学生更直观地理解函数的性质和特点，提高他们的学习兴趣和学习效果。
本文将围绕数形结合思想在二次函数教学中的应用展开讨论。
我们将探讨数形结合的重要性，说明其对学生学习的益处。
接着，我们将分析如何在二次函数教学中应用数形结合思想，介绍具体的教学方法和技巧。
然后，我们将讨论数形结合在二次函数图像的解析中的应用，以及在实际问题中的具体运用。
我们将总结数形结合思想在二次函数教学中的启示，展望其在其他数学教学中的潜在应用价值。
通过本文的讨论，希望能够为教师和学生提供有益的启示，促进数学教学的创新与发展。
2. 正文2.1 数形结合的重要性数形结合是数学教学中一种重要的思维方式，它通过将数学概念与几何形状相结合，帮助学生更深入地理解抽象的数学概念。
在二次函数教学中，数形结合的重要性体现在以下几个方面：数形结合能够帮助学生从直观的角度理解二次函数的性质。
通过观察二次函数图像的形状、拐点位置等特征，学生可以更加直观地感受到二次函数的凹凸性、极值点等数学概念，从而加深对二次函数性质的理解。
数形结合可以提高学生的解题能力和应用能力。
在解决与二次函数相关的实际问题时，通过将数学模型与几何图形相结合，学生可以更快地找到问题的解决方法，并更好地理解问题的本质，从而提高解题效率。
数形结合还能够激发学生对数学的兴趣和热情。
通过观察二次函数图像的变化规律、探讨数形结合在实际问题中的应用等，可以帮助学生发现数学的美感和实用性，从而增强对数学学习的动力和积极性。
数形结合在二次函数教学中的重要性不言而喻，它能够帮助学生更好地理解数学概念，提高解题能力，培养数学兴趣，促进学生全面发展。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
＼
／０
Ａ
／
一 —
一
ｌ０
Ｂ
：
与函数 ｙ ｌ ｇ的图像 的交 点个数 为 １ ＝ｏ ｇ ；
（ ）若 ｌａ ｅ ３ ＜ ＜ 时 ，ｙ Ｗ与 ｙ ｘ有两个交 点 ，故 ＝ ＝
函数 ｙ Ｗ与 函数 ｙ ｌｇ ＝ ＝ｏ￣的图像的交点个数为 ２ ．
于是 ．正确的答案为 Ａ ．
例２函 数 等 的 图像大致为 （ ）
１ ４
攀黼
方程为 ｙ 。 。 ｎ ）（ 。，因为过原点 ，得 （ 。・ １ ）
而 。 ，所 以 ｌ ＝ ｎ 。 １
幕 ；
，
‘
ｙ
Ｌ
，
从而 ｅ ，那么 ：
（ ）若 ａ ｅ １ ＞ 时 ，ｙ Ｗ与 ｙ ｘ没有 交点 ，故 函数 ＝ ＝ ｙ Ｗ与函数 ｙ ｌ 的图像 的交 点个 数为 ０ ＝ ＝ｏ ￣ ； （ ）若 ａ ｅ ２ ＝ 时 ，ｙ Ｗ与 ｙ ｘ相切 ，故 函数 ｙ Ｗ ＝ ＝ ＝
潮翻
函数中的数形结合思想
■ 艾龙彪
学 有
“ 数少形 时缺直观 ，形少数时难入微” ，它准确地 告诉我们 ：数形结合 ，相得益彰 ：利用数 、式进行深 入细致 的分析 ；利用 图形直观又可 以看 出数 、式的内 在关系 ；数形结合思想是重要 的数学思想 ，它是分析 问题 的思路基 础． 因此 ，每年高考 一定会 重点考 查 ． 本文主要谈 一下函数 中的数形结合思想．
例 ３ 当 ａ ｌ ，函数 ＿ 与 函数 ｙ ｌｇ ． ＞时 ｙ ＝ ＝ｏ， ， ｘ的图像
的交点个数 （ ） Ａ 可能是 ０个 、１ ． 个或 ２个
Ｂ 只可 能 是 ２个 ． Ｃ 只可 能 是 ０个 ． Ｄ 可以是 ３ ． 个 解 析 ： 定 与 ｙ 相 切 于 （。 。，则 切 线 假 ＝ ，Ｙ）
ｆｘ ＝ １ （ ） ３ ，且 ｆ（ ） 图 像 ｘ的 关于直线 ｘ ｌ对称 的基础 上 ＝ 可得 ＿ ） 图像 如 右 ． 比 厂 的 （ 欲
－
合在 一起 ，通过 函数与导 函数 图像之 间的关 系产生结
论 ．
例 ６若 函数 ） ． 的反函数为ｆ （） ，则函数， １ （ ） 一
（ （ ） 一（＿） ＜，…函 递 选Ａ ｅＢ ≠ 羔 ～ ’ 即 数 减， ． ４ ０ ｅ … 一 。
点 评 ：本 题 若 是 想 先 作 出 图形 ．再 对 照 选 项 选 出
Ｂ
结论 的话 ， 可 能永 远 无 法 达 到 目的 ， 由数 到 形 ，为我 们 求 解此 类 问题 开 辟 新 的 通 道 ．
一
Ｌ
、
１
＼
１（
－
Ｄ
１ ： ຫໍສະໝຸດ ）０ １ 、
Ａ Ｂ
／ 一 。
、
函数 中的 由数 到形
由数 到形是 函数 中数形结合的第一步 ，面对一个 函数可 以思考到其 图形的特征 ，并能抓住 这个 特征进 行 深入分析 ，只有如此 ，才可能在函数中应用 到数形 结合思想．
＼ 、
０ １ Ｄ
／ 。 １ Ｄ
Ｃ
ｙ
例 １设 ａｂ ． ＜ ，函数 ｙ （一 ）（— ） ＝ 。 ｂ 的图像 可能是
（ ）
｛
Ｏ 。
Ａ
解 析 ：首先 由函数 的定义域 可得 ｅ≠ｅ ≠一 —
＼
；
ｊ ≠０ 看 看 图 形 ， 立 即 排 除 ｃ、Ｄ 再 南 Ｙ ＝ ， ．
点 评 ：本 题 凭 主 观 易错 选 答 案 Ｃ， 当我们 对 图 形 能 够 深入 的 分 析 以 后会 发现 真 正 的 正 确 答 案却 是 Ａ．
｝
０／
Ｃ
＼
／
√ ０
Ｄ
例 ４ 设 函数 厂 ） ． （ 定义在实数集上 ，它 的图像关 于
直线 ｘ ｌ ＝ 对称 ，且当 ≥１ ， ）３ ，则有（ 时 Ａｘ＝ ￣ｌ
并利用这些特征．
．
．
／
Ｄ
、
／ ０ 、／
。 ．
１
一
Ｃ
Ｄ
解析：由于， ） 的图像关于ｙ ｘ （ 与， （ ） ＝ 对称 ，
ｙ Ｌ
／／
．
ｙ ｜
二 、初 等 函数 图形 的应 用
６
ｆ
Ｃ
ｊ ／
Ｄ
０ 口 ｆ
初等 函数是我们接触到最 为基础 的函数 ．也是最 为重要的 函数 ，高考对其考查也相 当频繁 ，因此 ，掌 握初等函数的图形 应用 是在 函数 中应用数形结合思想
的重 要 基 础 ．
）
点评 ：本 题 要 将 函数 与 其 对 应 的 图像 性 质 紧密 结
Ａ ｝＜手＜ ． ）（ ＜｝ ． ）（）（ Ｂ ＜ ）（） ， － ， ， 厂 ） ｃ ）（ ＜争 ． ）（） ｝ ． ＜ ）（）Ｄ（ ＜手＜ ） 碍 ， － ， ， Ｉ 手厂
解析 ：建 立 在 ≥１时 ，
解析 ：看看函数式 ，可以发现 扩＋ 。 时 ， 一＋ ＋。 ， 再看 图形特征 ，立即排 除 Ａ、Ｂ ；再看 ａｘ ｂ时， ＜ ， ＜＜ ０
再 看 图形 ，排 除 Ｄ，于 是 选 Ｃ ． 点 评 ：本 题 将 函 数 式 的 特 征 与 图形 特 征 对 照 分 析 ，很 快 排 除 了干 扰 支 ，产 生 正 确 结论 ．
与广。 一 ） （ １的图像可能是 （ ）
较（）（ ， ２大 ／ ， ） ） ｝／ ，
小 ，主 要 看 １
，
｜ ． ‘ Ｉ ／ ／
－
１一
ｊ
３
，
与 对
Ｄ １ Ａ
Ｊ
Ｄ
２
称轴的距离 ．
Ｂ
易 ， ）（） ｝， Ｂ 得（ ＜手＜ ） ． ｝ ｜ 选 厂
点 评 ：本 题 借 助 图像会 很 轻 松 地 产 生 结 论 ，倘 若
２
没有 图像 ，可能要在 “ 黑暗” 中摸索更长一段 时间．
三、抽 象 函数 图形 的应 用
只有 函数符号而没有具体函数式的函数 ，我们 称 为抽象 函数 ． 对于抽 象 函数 ，我们要 根据所 给 出的条 件对其 图形进行分析 、判断 ，可 以发现 图形 的特征 ，