数学成才之路必修四第二章综合检测题
【成才之路】2015-2016学年人教A版高中数学必修4习题第二章平面向量2.3.2、2.3.3
第二章 2.3 2.3.2、2.3.3基础巩固一、选择题1．已知MN →＝(2,3)，则点N 位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．不确定[答案] D[解析] 因为点M 的位置不确定，则点N 的位置也不确定． 2．已知M (2,3)、N (3,1)，则NM →的坐标是( ) A ．(2，－1) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(1，－2) [答案] B[解析] NM →＝(2,3)－(3,1)＝(－1,2)．3．已知i 、j 分别是方向与x 轴正方向、y 轴正方向相同的单位向量，O 为原点，设OA →＝(x 2＋x ＋1)i －(x 2－x ＋1)j (其中x ∈R )，则点A 位于( )A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] D[解析] ∵x 2＋x ＋1>0，－(x 2－x ＋1)<0，∴点A 位于第四象限，故选D ．4．设i 、j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，且OA →＝4i ＋2j ，OB →＝3i ＋4j ，则△OAB 的面积等于( )A ．15B ．10C ．7.5D ．5[答案] D[解析] 由题意可知A (4,2)，B (3,4)，|OA →|＝42＋22＝25，|OB →|＝32＋42＝5，AB →＝OB →－OA →＝－i ＋2j ，|AB →|＝(－1)2＋22＝5，|AO →|2＋|AB →|2＝|OB →|2，所以12×25×5＝5，故选D ．5．已知AB →＝a ，且A ⎝⎛⎭⎫12，4，B ⎝⎛⎭⎫14，2，又λ＝12，则λa 等于( ) A ．⎝⎛⎭⎫－18，－1 B ．⎝⎛⎭⎫14，3 C ．⎝⎛⎭⎫18，1D ．⎝⎛⎭⎫－14，－3[答案] A[解析] a ＝AB →＝⎝⎛⎭⎫14，2－⎝⎛⎭⎫12，4＝⎝⎛⎭⎫－14，－2，λa ＝12a ＝⎝⎛⎭⎫－18，－1，故选A ． 6．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)[答案] D[解析] 由题意，得4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，则d ＝－4a －4b ＋2c －2(a －c )＝－6a －4b ＋4c ＝(－2，－6)． 二、填空题7．若O (0,0)、A (1,2)且OA ′→＝2OA →，则A ′的坐标为______． [答案] (2,4)[解析] A ′(x ，y )，OA ′→＝(x ，y )，OA →＝(1,2)，∴(x ，y )＝2(1,2)＝(2,4)．8．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝________. [答案] (－3，－5)[解析] ∵BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(AC →－AB →)－AB →＝AC →－2AB →＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．三、解答题9．已知A (2,0)，a ＝(x ＋3，x －3y －5)，若a ＝OA →，O 为原点，求x ，y 的值． [解析] ∵a ＝OA →＝(2,0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝2x －3y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－2， ∴x ＝－1，y ＝－2.10．已知点A (－1,2)，B (2,8)，及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C 、D 和CD →的坐标．[解析] 设点C 、D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)． ∵AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，∴(x 1＋1，y 1－2)＝13(3,6)，(－1－x 2,2－y 2)＝－13(－3，－6)，即(x 1＋1，y 1－2)＝(1,2)，(－1－x 2,2－y 2)＝(1,2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝1，y 1－2＝2，⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0. ∴点C 、D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)． 因此CD →＝(－2，－4)．能力提升一、选择题1．(2015·凯里高一检测)已知向量a 、b 满足：a ＋b ＝(1,3)，a －b ＝(3，－3)，则a 、b 的坐标分别为( )A ．(4,0)、(－2,6)B ．(－2,6)、(4,0)C ．(2,0)、(－1,3)D ．(－1,3)、(2,0)[答案] C[解析] ∵a ＋b ＝(1,3) ① a －b ＝(3，－3) ② ∴①＋②得：a ＝(2,0)． ①－②得：b ＝(－1,3)．2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，c ＝(11,7)，若c ＝k a ＋l b ，则k 、l 的值为( ) A ．－2,3 B ．－2，－3 C ．2，－3 D ．2,3[答案] D[解析] 利用相等向量的定义求解． ∵a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，c ＝(11,7)， ∴(11,7)＝k (1,2)＋l (3,1)，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝k ＋3l 7＝2k ＋l，解得：k ＝2，l ＝3. 3．(2015·广东佛山)若向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b 满足( ) A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限角的平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限角的平分线 [答案] C[解析] ∵a ＋b ＝(0，x 2＋1)， ∴向量a ＋b 满足平行于y 轴．4．在△ABC 中，已知A (2,3)，B (6，－4)，G (4，－1)是中线AD 上一点，且|AG →|＝2|GD →|，那么点C 的坐标为( )A ．(－4,2)B ．(－4，－2)C ．(4，－2)D ．(4,2)[答案] C[解析] 由题意，知点G 是△ABC 的重点，设C (x ，y )，则有⎩⎨⎧2＋6＋x3＝4，3－4＋y3＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2.故C (4，－2)． 二、填空题5．已知两点M (3，－2)，N (－5，－1)，点P 满足MP →＝12MN →，则点P 的坐标是________．[答案] (－1，－32)[解析] 设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)， MN →＝(－8,1)．∵MP →＝12MN →，∴(x －3，y ＋2)＝12(－8,1)．即⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝－4y ＋2＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－32，∴P (－1，－32)． 6．设向量OA →绕点O 逆时针旋转π2得向量OB →，且2OA →＋OB →＝(7,9)，且向量OB →＝________.[答案] ⎝⎛⎭⎫－115，235 [解析] 设OA →＝(m ，n )，则OB →＝(－n ，m )，所以2OA →＋OB →＝(2m －n,2n ＋m )＝(7,9)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m －n ＝7，m ＋2n ＝9.解得⎩⎨⎧m ＝235，n ＝115.因此，OB →＝⎝⎛⎭⎫－115，235. 三、解答题7．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，将下列向量表示成x a ＋y b 的形式． (1)p ＝(2,3)；(2)q ＝(－3,2)．[解析] x a ＋y b ＝x (1,1)＋y (1，－1)＝(x ＋y ，x －y )．(1)由p ＝(2,3)＝(x ＋y ，x －y )，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，即⎩⎨⎧x ＝52，y ＝－12.所以p ＝52a －12B ．(2)由q ＝(－3,2)＝(x ＋y ，x －y )，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－3x －y ＝2，即⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝－52.所以q ＝－12a －52B ．8．已知向量u ＝(x ，y )与向量ν＝(y,2y －x )的对应关系用ν＝f (u )表示．(1)求证：对于任意向量a 、b 及常数m 、n ，恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立； (2)设a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，求向量f (a )及f (b )的坐标； (3)求使f (c )＝(p ，q )(p 、q 为常数)的向量c 的坐标．[解析] (1)证明：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则m a ＋n b ＝(ma 1＋nb 1，ma 2＋nb 2)，∴f (m a ＋n b )＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)，mf (a )＋nf (b )＝m (a 2,2a 2－a 1)＋n (b 2,2b 2－b 1)＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)．∴f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立．(2)f (a )＝(1,2×1－1)＝(1,1)，f (b )＝(0,2×0－1)＝(0，－1)． (3)设c ＝(x ，y )，则f (c )＝(y,2y －x )＝(p ，q )． ∴y ＝p,2y －x ＝q .∴x ＝2p －q . ∴向量c ＝(2p －q ，p )．。
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4：本册综合能力测试学生用
高中数学必修4综合测试题一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2013·泰安期末)tan 83π的值为( )A.33 B ．－33C.3 D ．－ 3 2．(2013·辽宁理)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A ．(35，－45) B ．(45，－35) C ．(－35，45) D ．(－45，35)3．(2013·诸城月考)集合{x |k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )4．已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为( )A ．4 cm 2B ．6 cm 2C ．8 cm 2D ．16 cm 25．已知α是锐角，a ＝(34，sin α)，b ＝(cos α，13)，且a ∥b ，则α为( )A ．15°B ．45°C ．75°D ．15°或75° 6．若sin α＝1213，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan2α的值为( ) A.60119 B.120119 C ．－60119 D ．－1201197．(2013烟台模拟)已知cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，α，β都是锐角，则cos β＝( )A ．－6365B ．－3365 C.3365 D.63658．函数y ＝sin x (π6≤x ≤2π3)的值域是( )A ．[－1,1]B ．[12，1]C ．[12，32]D ．[32，1]9．要得到函数y ＝3sin(2x ＋π4)的图象，只需将函数y ＝3sin2x 的图象( )A ．向左平移π4个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π8个单位D ．向右平移π8个单位10．已知a ＝(1，－1)，b ＝(x ＋1，x )，且a 与b 的夹角为45°，则x 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．0或－1 D ．－1或1 11．(2012·全国高考江西卷)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan2α＝( )A ．－34 B.34 C ．－43 D.4312．设a ＝sin17°cos45°＋cos17°sin45°，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则有( ) A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．若tan α＝3，则sin αcos α的值等于________．14．已知：|a |＝2，|b |＝2，a 与b 的夹角为π4，要λb －a 与a 垂直，则λ为________．15．(2013南通调研)设α、 β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝513，tan α2＝12，则cos β的值为________． 16．已知△ABC 中，AC ＝4，AB ＝2，若G 为△ABC 的重心，则AG →·BC →＝__ . . 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π6，π2]上的最大值和最小值．18．(本题满分12分)已知向量a ＝3e 1－2e 2，b ＝4e 1＋e 2，其中e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，求：(1)a ·b ；|a ＋b |；(2)a 与b 的夹角的余弦值．19．(本题满分12分)(2011～2012浙江调研)设向量α＝(3sin 2x ，sin x ＋cos x )，β＝(1，sin x －cos x )，其中x ∈R ，函数f (x )＝α·β.(1)求f (x )的最小正周期； (2)若f (θ)＝3，其中0<θ<π2，求cos(θ＋π6)的值．20．(本题满分12分)(2012济宁模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，θ∈[0，π]，向量b ＝(3，－1)．(1)若a ⊥b ，求θ的值； (2)若|2a －b |<m 恒成立，求实数m 的取值范围．21．(本题满分12分)(2013山东潍坊高一期末)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示． (Ⅰ)求f (x )的解析式；(Ⅱ)将函数y ＝f (x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，再将所得函数图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(Ⅲ)当x ∈[－π2，5π12]时，求函数y ＝f (x ＋π12)－2f (x ＋π3)的最值．22．(本题满分12分)(2012·全国高考山东卷)已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos2x )(A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)将函数y ＝f (x )的图象像左平移π12个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π24上的值域。
【成才之路】2015-2016学年人教A版高中数学必修4习题第二章平面向量2.4.2
第二章 2.4 2.4.2基础巩固一、选择题1．已知点A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则AB →·AC →等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 [答案] B[解析] ∵AB →＝(2,3)－(1,2)＝(1,1)，AC →＝(－2,5)－(1,2)＝(－3,3)，∴AB →·AC →＝1×(－3)＋1×3＝0.2．若a ＝(2，－3)，b ＝(x,2x )，且3a ·b ＝4，则x 等于( )A ．3B ．13C ．－13D ．－3 [答案] C[解析] 3a ·b ＝3(2x －6x )＝－12x ＝4，∴x ＝－13，故选C ． 3．已知a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )．若2a －b 与b 垂直，则|a |＝( )A ．1B ． 2C ．2D ．4 [答案] C[解析] 由2a －b 与b 垂直，得(2a －b )·b ＝0，即2a ·b －b 2＝0.故2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝0，解得n 2＝3.所以，|a |＝1＋n 2＝1＋3＝2.4．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 上的投影为( )A ．13B ．135C ．655D ．65[答案] C[解析] ∵a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，∴a ·b ＝2×(－4)＋3×7＝13，|a |＝13，|b |＝65，∴cos θ＝a·b |a ||b |＝55.∴a 在b 上的射影为|a |cos θ＝13×55＝655. 5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A ．(79，73) B ．(－73，－79) C ．(73，79) D ．(－79，－73) [答案] D [解析] 不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，对于(c ＋a )∥b ，则有－3(1＋m )＝2(2＋n )．又c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0，∴m ＝－79，n ＝－73，故选D ． 6．(2015·重庆南开中学)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则a ·b ＝( )A ．12B ．1C ．32 D ． 3[答案] B[解析] |a |＝2，a ·b ＝|a |·|b |·cos60°＝2×1×12＝1.二、填空题7．已知a ＝(1，3)，b ＝(－2,0)，则|a ＋b |＝________.[答案] 2[解析] 因为a ＋b ＝(－1，3)，所以|a ＋b |＝(－1)2＋(3)2＝2.8．a ＝(－4,3)，b ＝(1,2)，则2|a |2－3a ·b ＝________.[答案] 44[解析] ∵a ＝(－4,3)，∴2|a |2＝2×((－4)2＋32)2＝50.a ·b ＝－4×1＋3×2＝2.∴2|a |2－3a ·b ＝50－3×2＝44.三、解答题9．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若k a ＋b 与a －3b 垂直，求k 的值．[解析] k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．又k a ＋b 与a －3b 垂直，故(k a ＋b )·(a －3b )＝0.即(k －3)·10＋(2k ＋2)·(－4)＝0得k ＝19.10．已知a ＝(3，1)，b ＝(2,23)．(1)求a ·b ；(2)求a 与b 的夹角θ.[解析] (1)a ·b ＝23＋23＝4 3.(2)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22 ＝433＋1·4＋12＝32， 又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°.能力提升一、选择题1．(2015·广东佛山高三质检)已知向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,2)，则向量a 、b 的夹角为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2 [答案] B[解析] 由于2a ＋b ＝(4,2)，则b ＝(4,2)－2a ＝(2,0)，则a ·b ＝2，|a |＝2，|b |＝2.设向量a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝22. 又θ∈[0，π]，所以θ＝π4. 2．(全国高考重庆卷)设x 、y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A ． 5B ．10C ．2 5D ．10 [答案] B[解析] 由a ⊥c ，得2x －4＝0 则x ＝2，由b ∥c 得－4＝2y 则y ＝－2，|a ＋b |＝(2＋1)2＋(1－2)2＝10.[考点定位] 本题主要考查两个向量垂直和平行的坐标表示、模长公式，解决问题的关键在于根据a ⊥c ，b ∥c ，得到x ，y 的值，只要记住两个向量垂直、平行和向量的模的坐标形式的充要条件，就不会出错，注意数学的运算．3．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则b 等于( )A ．⎝⎛⎭⎫32，12B ．⎝⎛⎭⎫12，32 C ．⎝⎛⎭⎫14，334 D ．(1,0)[答案] B[解析] 方法1：令b ＝(x ，y )(y ≠0)，则{ x 2＋y 2＝1， ①3x ＋y ＝3， ②将②代入①得x 2＋(3－3x )2＝1，即2x 2－3x ＋1＝0，∴x ＝1(舍去，此时y ＝0)或x ＝12⇒y ＝32. 方法2：排除法，D 中y ＝0不合题意；C 不是单位向量，舍去；代入A ，不合题意，故选B ．4．(2015·河北省正定中学模拟)已知向量a ＝(2cos θ，2sin θ)，b ＝(0，－2)，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则向量a 、b 的夹角为( )A ．3π2－θ B ．θ－π2 C ．π2＋θ D ．θ[答案] A[解析]解法一：由三角函数定义知a 的起点在原点时，终点落在圆x 2＋y 2＝4位于第二象限的部分上(∵π2<θ<π)，设其终点为P ，则∠xOP ＝θ， ∴a 与b 的夹角为3π2－θ. 解法二：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－4sin θ2×2＝－sin θ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－θ，∵θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴3π2－θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝3π2－θ. 二、填空题5．(2013·新课标理)已知两个单位向量a 、b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________.[答案] 2[解析] ∵|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝12，|b |2＝1，∵b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )b 2＝12t ＋(1－t )＝1－12t ＝0，∴t ＝2. 6．(2015·金华十校)△ABO 三顶点坐标为A (1,0)、B (0,2)、O (0,0)、P (x ，y )是坐标平面内一点，满足AP →·OA →≤0，BP →·OB →≥0，则OP →·AB →的最小值为________．[答案] 3[解析] ∵AP →·OA →＝(x －1，y )·(1,0)＝x －1≤0，∴x ≤1，∴－x ≥－1，∵BP →·OB →＝(x ，y －2)·(0,2)＝2(y －2)≥0，∴y ≥2.∴OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,2)＝2y －x ≥3.三、解答题7．已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥C ．(1)求b 和c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m 与向量n 的夹角的大小．[解析] (1)∵a ∥b ，∴3x －36＝0.∴x ＝12.∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0.∴y ＝－3.∴b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)，设m ，n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n |m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)2×72＋12＝－25252＝－22. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，即m ，n 的夹角为3π4. 8．已知a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，当k 为整数时，向量m ＝k a ＋b 与n ＝a ＋k b 的夹角能否为60°？证明你的结论． [解析] 假设m 、n 的夹角能为60°，则cos60°＝m ·n |m ||n |， ∴m ·n ＝12|m ||n |.① 又∵a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，∴|a |＝|b |＝1，且a ·b ＝0.∴m ·n ＝k a 2＋a ·b ＋k 2a ·b ＋k b 2＝2k ，②|m ||n |＝k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2·a 2＋2k a ·b ＋k 2b 2＝k 2＋1.③由①②③，得2k ＝12(k 2＋1)．∴k 2－4k ＋1＝0. ∵该方程无整数解．∴m 、n 的夹角不能为60°.。
成才之路高中数学第二三章平面向量三角恒等变换综合测试题新人教B版必修4
【成才之路】2021-2021 学年高中数学第二、三章平面向量三角恒等变换综合测试题新人教B版必修4 本试卷分第一卷选择题与第二卷非选择题两局部，总分值150分，时间120分钟。
第一卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．有以下四个命题：①存在x∈R，2＋2＝；②存在x、y∈R，(x－y)＝－；③x∈[0，π]，＝；④假设＝，那么x＋y＝.其中不正确的选项是( )A．①④B．②④C．①③D．②③[答案] A[解析] ∵对任意x∈R，均有2＋2＝1，故①不正确，排除B、D；又x∈[0，π]，＝＝，故③正确，排除C，应选A.2．(2021·山东潍坊重点中学高一期末测试)假设向量a＝(2α，－1)，b＝(，α)，且a∥b，那么α＝( )A．B．－C．±D．－[答案] B[解析] ∵a∥b，∴2α·α＝－，即α＝－.3．(2021·陕西咸阳市三原县北城中学高一月考)函数y＝22x －1是( )A．最小正周期为2π的偶函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数[答案] C[解析] y＝22x－1＝2x，故函数y＝22x是最小正周期为π的偶函数．4．在△中，假设4＋2＝1,2＋4＝3，那么的大小是( )A．－B．C．或D．[答案] D[解析] 由条件，得(4＋2)2＝1，(2＋4)2＝27，∴20＋16＋16＝28.∴＋＝.即(A＋B)＝.∴＝[π－(A＋B)]＝(A＋B)＝.5．函数y＝(＋)2＋1的最小正周期是( )A．B．πC．D．2π[答案] B[解析] y＝(＋)2＋1＝1＋2＋1＝2＋2x.∴最小正周期T＝π.6．设5π<θ<6π，＝a，那么的值等于( )A．－B．－C．－D．－[答案] D[解析] ∵5π<θ<6π，∴<<，∴<0，∴＝－＝－.7．(2021·山东济宁梁山一中高一月考)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，那么＋＝( ) A．B．C．2 D．10[答案] B[解析] ∵a⊥c，∴a·c＝2x－4＝0，∴x＝2.又∵b∥c，∴－4＝2y，∴y＝－2.∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)，∴＋＝＝.8．平面向量a及b的夹角为60°，a＝(2,0)，＝1，那么＋2＝( )A．B．2C．4 D．12[答案] B[解析] ∵a＝(2,0)，∴＝2，＋2＝＝，∵a·b＝·60°＝1，∴＋2＝＝2.9．275°＋215°＋75°15°的值为( )A．B．C．D．1＋[答案] C[解析] 原式＝215°＋215°＋15°15°＝1＋30°＝.10．设△的三个内角为A、B、C，向量m＝(，)，n＝(，)，假设m·n＝1＋(A＋B)，那么C＝( )A．B．C．D．[答案] C[解析] ∵m·n＝＋＝(A＋B)＝1＋(A＋B)，∴(A＋B)－(A＋B)＝1，∴＋＝1，即2＝1，∴＝，∴C＋＝，∴C＝.11．在△中，2A＋2B＋2C＝2，那么△为( )A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形[答案] C[解析] 由，得＋＋2C＝2，∴1－(2A＋2B)＋2C＝2，∴2A＋2B＋22C＝0，∴(A＋B)·(A－B)＋2C＝0，∴[－(A－B)－(A＋B)]＝0，∴··＝0，∴＝0或＝0或＝0.∴△为直角三角形．12．假设f()＝3－2x，那么f()＝( )A．3－2x B．3－2xC．3＋2x D．3＋2x[答案] C[解析] f()＝3－2x＝3－(1－22x)＝2＋22x，∴f(x)＝2＋2x2∴f()＝2＋22x＝2＋1＋2x＝3＋2x.第二卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13的值为．[答案] －[解析] 原式＝＝－·＝－.14．向量a、b夹角为45°，且＝1，|2a－＝，那么＝.[答案] 3[解析] ∵＝1，〈a，b〉＝45°，|2a－＝，∴42－4a·b＋2＝10，∴4－4×1×45°＋2＝10，∴2－2－6＝0，∴＝3.15．假设＝2 014，那么＋2α＝.[答案] 2 014[解析] ＋2α＝＋＝＝＝＝＝2 014.16．在△中，＝，那么2A的值为．[答案][解析] 在△中，＝>0，∴＝＝.∴2A＝＝2＝2＝2××＝.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题总分值12分)求值(5°－5°)·.[解析] 解法一：原式＝·＝·＝－2··＝－210°·10°＝－2.解法二：原式＝·＝·＝－·＝－2.解法三：原式＝·＝·＝·＝－2.18．(本小题总分值12分)(2021·山东烟台高一期末测试)向量a、b满足＝2，＝1，且a及b的夹角为，求：(1)a在b方向上的投影；(2)(a－2b)·b.[解析] (1)a在b方向上的投影为〈a，b〉＝2×＝2×(－)＝－1.(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝2×1×－2×1＝－1－2＝－3.19．(本小题总分值12分)(2021·山东济宁梁山一中高一月考)α为锐角，且(＋α)＝2.(1)求α的值；(2)求的值．[解析] (1)(＋α)＝＝2，∴α＝.(2)∵α为锐角，α＝，∴α＝，α＝.∴2α＝2αα＝2××＝，2α＝1－22α＝1－2×＝.∴＝＝＝.20．(本小题总分值12分)＝－，＝，且<α<π，0<β<，求的值．[解析] ∵<α<π，0<β<，∴<α－<π.∵＝－，∴＝.又∵<<，∴－<－β<.∵＝，∴＝.故＝＝－＝×－×＝，＝＝＋＝×＋×＝，∴＝＝＝.21．(本小题总分值12分)设平面内两向量a⊥b，且＝2，＝1，k、t是两个不同时为零的实数．(1)假设x＝a＋(t－3)b及y＝－＋垂直，求k关于t的函数关系式k＝f(t)；(2)求函数k＝f(x)的最小值．[解析] (1)∵x⊥y，∴x·y＝0，即[a＋(t－3)b]·(－＋)＝0，∴－2＋t(t－3)b2－k(t－3)a·b＋·b＝0.由＝2，＝1，a·b＝0，可得－4k＋t(t－3)＝0.∵k、t不同时为0，那么t≠0，∴k＝，即f(t)＝(t≠0)．(2)f(t)＝＝.故当t＝时，f(t)＝－.22．(本小题总分值14分)向量a＝(θ，θ－2θ)，b＝(1,2)．(1)假设a∥b，求θ的值；(2)假设＝,0<θ<π，求θ的值．[解析] (1)∵a∥b，∴2θ＝θ－2θ，∴4θ＝θ，∴θ＝.(2)由＝，得2θ＋(θ－2θ)2＝5，∴1－22θ＋42θ＝5.∴－22θ＋2(1－2θ)＝4，即2θ＋2θ＝－1，∴＝－.又∵0<θ<π，∴<2θ＋<，∴2θ＋＝或.∴θ＝或θ＝.。
最新【成才之路】高中数学-第二、三章--平面向量-三角恒等变换综合测试题-新人教B版必修4资料
【成才之路】2014-2015学年高中数学 第二、三章 平面向量 三角恒等变换综合测试题 新人教B 版必修4本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．有下列四个命题：①存在x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12；②存在x 、y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ； ③x ∈[0，π]，1－cos2x2＝sin x ； ④若sin x ＝cos y ，则x ＋y ＝π2. 其中不正确的是( ) A ．①④ B ．②④ C ．①③ D ．②③[答案] A[解析] ∵对任意x ∈R ，均有sin 2x2＋cos 2x2＝1，故①不正确，排除B 、D ；又x ∈[0，π]，1－cos2x 2＝sin 2x ＝sin x ，故③正确，排除C ，故选A.2．(2014·山东潍坊重点中学高一期末测试)若向量a ＝(2cos α，－1)，b ＝(2，tan α)，且a ∥b ，则sin α＝( )A ．22 B ．－22C ．±22D ．－12[答案] B[解析] ∵a ∥b ，∴2cos α·tan α＝－2，即sin α＝－22. 3．(2014·陕西咸阳市三原县北城中学高一月考)函数y ＝2cos 2x －1是( ) A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数[答案] C[解析] y ＝2cos 2x －1＝cos2x ，故函数y ＝2cos2x 是最小正周期为π的偶函数． 4．在△ABC 中，若4sin A ＋2cos B ＝1,2sin B ＋4cos A ＝33，则sin C 的大小是( ) A ．－12B ．32C ．12或32D ．12[答案] D[解析] 由条件，得(4sin A ＋2cos B )2＝1，(2sin B ＋4cos A )2＝27， ∴20＋16sin A cos B ＋16sin B cos A ＝28. ∴sin A cos B ＋cos A sin B ＝12.即sin(A ＋B )＝12.∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝12.5．函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋1的最小正周期是( ) A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π[答案] B[解析] y ＝(sin x ＋cos x )2＋1 ＝1＋2sin x cos x ＋1＝2＋sin2x . ∴最小正周期T ＝π.6．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4的值等于( )A ．－1＋a2 B ．－1－a2 C ．－1＋a2D ．－1－a2[答案] D[解析] ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2， ∴sin θ4<0，∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2.7．(2014·山东济宁梁山一中高一月考)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A ． 5B ．10C ．2 5D ．10[答案] B[解析] ∵a ⊥c ，∴a ·c ＝2x －4＝0，∴x ＝2. 又∵b ∥c ，∴－4＝2y ，∴y ＝－2. ∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)， ∴|a ＋b |＝32＋－2＝10.8．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝( ) A ． 3 B ．2 3 C ．4 D ．12[答案] B[解析] ∵a ＝(2,0)，∴|a |＝2，|a ＋2b |＝a ＋2b2＝a 2＋4a·b ＋4b 2，∵a·b ＝|a|·|b |cos60°＝1， ∴|a ＋2b |＝4＋4＋4＝2 3.9．cos 275°＋cos 215°＋cos75°cos15°的值为( ) A ．62B ．32C ．54D ．1＋34[答案] C[解析] 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15° ＝1＋12sin30°＝54.10．设△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6[答案] C[解析] ∵m·n ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，∴3sin(A ＋B )－cos(A ＋B )＝1，∴3sin C ＋cos C ＝1，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝12，∴C ＋π6＝5π6，∴C ＝2π3.11．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝2，则△ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形[答案] C[解析] 由已知，得1－cos2A 2＋1－cos2B 2＋sin 2C ＝2，∴1－12(cos2A ＋cos2B )＋sin 2C ＝2，∴cos2A ＋cos2B ＋2cos 2C ＝0， ∴cos(A ＋B )·cos(A －B )＋cos 2C ＝0， ∴cos C [－cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝0， ∴cos A ·cos B ·cos C ＝0， ∴cos A ＝0或cos B ＝0或cos C ＝0. ∴△ABC 为直角三角形．12．若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝( ) A ．3－cos2x B ．3－sin2x C ．3＋cos2x D ．3＋sin2x[答案] C[解析] f (sin x )＝3－cos2x ＝3－(1－2sin 2x )＝2＋2sin 2x ， ∴f (x )＝2＋2x 2 ∴f (cos x )＝2＋2cos 2x ＝2＋1＋cos2x ＝3＋cos2x .第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13.2tan150°1－tan 2150°的值为________． [答案] － 3[解析] 原式＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－331－⎝⎛⎭⎪⎫－332＝－233·32＝－ 3.14．已知向量a 、b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. [答案] 3 2[解析] ∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝45°，|2a －b |＝10，∴4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝10，∴4－4×1×|b |cos45°＋|b |2＝10，∴|b |2－22|b |－6＝0，∴|b |＝3 2.15．若1＋tan α1－tan α＝2 014，则1cos2α＋tan2α＝________.[答案] 2 014[解析] 1cos2α＋tan2α＝1cos2α＋sin2αcos2α＝1＋sin2αcos2α＝α＋sin α2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 014.16．在△ABC 中，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝513，则cos2A 的值为________．[答案]120169[解析] 在△ABC 中，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝513>0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝1213.∴cos2A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2A ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2×1213×513＝120169.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)求值(tan5°－cot5°)·cos70°1＋sin70°.[解析] 解法一：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan5°－1tan5°·cos70°1＋sin70° ＝tan 25°－1tan5°·sin20°1＋cos20°＝－2·1－tan 25°2tan5°·sin20°1＋cos20°＝－2cot10°·tan10°＝－2. 解法二：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin5°cos5°－cos5°sin5°·sin20°1＋cos20°＝sin 25°－cos 25°sin5°·cos5°·sin20°1＋cos20° ＝－cos10°12sin10°·2sin10°·cos10°2cos 210°＝－2. 解法三：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－cos10°sin10°－1sin10°1＋cos10°·sin20°1＋cos20°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos10°sin10°－1＋cos10°sin10°·sin20°1＋cos20°＝－2cos10°sin10°·2sin10°·cos10°2cos 210°＝－2. 18．(本小题满分12分)(2014·山东烟台高一期末测试)已知向量a 、b 满足|a |＝2，|b |＝1，且a 与b 的夹角为2π3，求：(1)a 在b 方向上的投影； (2)(a －2b )·b .[解析] (1)a 在b 方向上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉＝2×cos 2π3＝2×(－12)＝－1.(2)(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝2×1×cos 2π3－2×1＝－1－2＝－3.19．(本小题满分12分)(2014·山东济宁梁山一中高一月考)已知α为锐角，且tan(π4＋α)＝2.(1)求tan α的值；(2)求2α＋π4α－sin αcos2α的值．[解析] (1)tan(π4＋α)＝1＋tan α1－tan α＝2，∴tan α＝13.(2)∵α为锐角，tan α＝13，∴sin α＝1010，cos α＝31010. ∴sin2α＝2sin αcos α＝2×1010×31010＝35， cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×110＝45.∴2α＋π4α－sin αcos2α＝n2α＋cos2αα－sin αcos2α＝35＋4531010－101045＝2105. 20．(本小题满分12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求tan α＋β2的值．[解析] ∵π2<α<π，0<β<π2，∴π4<α－β2<π.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝459. 又∵π4<α2<π2，∴－π4<α2－β<π2.∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝53.故sin α＋β2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝459×53－⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×23＝2227， cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527，∴tan α＋β2＝sinα＋β2cosα＋β2＝22277527＝22535.21．(本小题满分12分)设平面内两向量a⊥b ，且|a |＝2，|b |＝1，k 、t 是两个不同时为零的实数．(1)若x ＝a ＋(t －3)b 与y ＝－ka ＋tb 垂直，求k 关于t 的函数关系式k ＝f (t )； (2)求函数k ＝f (x )的最小值． [解析] (1)∵x⊥y ，∴x·y ＝0， 即[a ＋(t －3)b ]·(－ka ＋tb )＝0，∴－ka 2＋t (t －3)b 2－k (t －3)a·b ＋ta·b ＝0.由|a |＝2，|b |＝1，a·b ＝0，可得－4k ＋t (t －3)＝0.∵k 、t 不同时为0，则t ≠0，∴k ＝t t －4，即f (t )＝t t －4(t ≠0)．(2)f (t )＝t 2－3t 4＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫t －322－94.故当t ＝32时，f (t )min ＝－916.22．(本小题满分14分)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．[解析] (1)∵a ∥b ，∴2sin θ＝cos θ－2sin θ， ∴4sin θ＝cos θ，∴tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |，得sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，∴1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5. ∴－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4， 即sin2θ＋cos2θ＝－1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22.又∵0<θ<π，∴π4<2θ＋π4<9π4，∴2θ＋π4＝5π4或7π4.∴θ＝π2或θ＝3π4.。
【成才之路】高中数学人教B版必修4同步练习：212向量的加法.docx
第二章 2.1 2.1.2基础巩固一、选择题1. 向量(AB+MB)+(BO+BC) + dM^于( )A. BC C. AC［答案］C［解析 1 原式=AB+BC+MB+Bb+OM=AC+^=AC.2. 若°、〃为非零向量，则下列说法中不正确的是（）A. 若向量“与〃方向相反，且|如方|,则向量a+b 与“的方向相同B. 若向量a 与方方向相反，且|a|<|b|,贝!J 向量a+〃与“的方向相同［答案1 B［解析］T”与b 方向相反，且|“|v|b|时，a+b 与a 的方向相反，a+b 与〃的方向相同, 故B 不正确.3. “、b 、a+b 为非零向量，且a+〃平分"与〃的夹角，贝％ ）A. a=b C. \a\ = \h\D.以上都不对［答案］C［解析1由向量加法的平行四边形法则知，若a+b 平分"与b 的夹角，则四边形是菱 形,因此\a\ = \b\.4. △ABC 屮，D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、AC 的中点，则下面结论正确的是（）C. 若向量。
与方方向相同, 则向量a+h 与a 的方向相同D. 若向量“与〃方向相同,则向量a+h 与〃的方向相同B. albA. AE=AD+FA C. AB+BC+CA^O［答案］DB. DE+AF=0 D. AB+BC+AC^OB. AB［解析］AE=AD+DE,又DE^FA,故排除A；DE=AF9故庞+乔HO,排除B；AB+ BC+CA=O,排除C；故选D.5.已知下列各式：®AM+MB+BA；®AB+CA+BD+DC；③OA + OC+BO+cb.K 中结果为零向量的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3［答案］C［解析］AM+MB+BA=O, AB+CA + Bb+DC=AB+BD+DC+CA=O f OA + OC+BO + CO=OA+BO f故选C.6.在四边形ABCD中，AC=AB+AD,则四边形ABCD一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形［答案］D［解析］在四边形ABCD中，AC=AB+BC t^AC=AB+AD, ：.BC=AD,・•・四边形ABCD是平行四边形.二、填空题7•如图所示, 已知梯形ABCD,AD//BC,则OA+AB+BC=［答案］0C［解析1 OA+AB+BC=OB+BC=OC.8.根据右图填空：b+c= _________ ；a+〃= ________ ；b+c+d= __________ ；f+e= _________ ;［答案1 a f f b 6［解析］由向量加法的多边形法则可知.三、解答题9.两个力鬥和局同时作用在一个物体上，其中Fi=40N,方向向东，F 2=4（）V3N, 方向向北，求它们的合力.［解析］如图所示，顶表示F ］,丽表示尺，以04、03为邻边作平行 四边形0ACB,则荒表示合力F.易知F=80N,合力F 与F|的夹角为60。
数学成才之路必修四1-2-3
1.2.3一、选择题1．(2010·广东普宁市高一下学期期末测试)若α为第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝ ( )A.15 B ．－15C.513 D ．－513[答案] D[解析] ∵tan α＝sin αcos α＝－512，∴sin 2αcos 2α＝25144，∴sin 2α1－sin 2α＝25144，∴sin 2α＝25169，∵α为第四象限角，∴sin α＝－513.2．已知sin α、cos α是方程3x 2－2x ＋a ＝0的两根，则实数a 的值为() A.65 B ．－56C.34D.43[答案] B[解析] 由Δ≥0知，a ≤13，又⎩⎨⎧ sin α＋cos α＝23(1)sin α·cos α＝a 3 (2)由(1)2得：sin αcos α＝－518，∴a 3＝－518，∴a ＝－563．设sin α＋cos α＝2，则tan α＋cot α的值为( )A ．±2B ．－2C ．1D ．2[答案] D[解析] (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝2，∴sin αcos α＝12，tan α＋cot α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112＝2. 4．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( ) A ．－310B.310 C ．±310D.34[答案] B [解析] 将等式sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2的左边分子、分母同除以cos θ，得tan θ＋1tan θ－1＝2，解得tan θ＝3，∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝310. 5．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则|tan α|tan α＋sin α1－cos 2α的值等于( ) A ．2或－2B ．－2或0C ．2或－2D ．0或2[答案] B[解析] ∵α的终边在直线y ＝－x 上，∴tan α＝－1，∴原式＝－1＋sin α|sin α| (1)当α在第二象限时，原式＝－1＋1＝0；(2)当α在第四象限时，原式＝－1－1＝－2.故选B.6．(2010·四川绵阳市高一下学期期末测试)已知x 为第四象限角，则1－sin x 1＋sin x －1＋sin x 1－sin x＝( ) A ．－2tan xB ．2tan xC ．2tan x 或－2tan xD ．0 [答案] A[解析] ∵x 为第四象限角，∴原式＝(1－sin x )2cos 2x －(1＋sin x )2cos 2x ＝1－sin x cos x －1＋sin x cos x ＝－2sin x cos x＝－2tan x . 7．已知α为第四象限角，则cos α·csc α·sec 2α－1的值为( )A. 3 B ．－ 3C ．1D ．－1[答案] D [解析] 原式＝cos α·1sin α·|tan α|＝cot α·(－tan α)＝－1. 8．若0≤x ≤π2，sin x cos x ＝12，则11＋sin x ＋11＋cos x的值为( ) A ．39＋10 5B ．9－2 5C ．9＋215D ．4－2 2[答案] D[解析] ∵sin x ·cos x ＝12， ∴sin x ·cos x sin 2x ＋cos 2x ＝tan x tan 2x ＋1＝12，∴tan x ＝1， 又0≤x ≤π2，∴x ＝π4， ∴原式＝11＋22＋11＋22＝4－2 2. 二、填空题 9．(2009·北京)若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________. [答案] －35 [解析] ∵sin θ＝－45，tan θ>0， ∴cos θ<0.∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35. 10．若sin 2θ＋4cos θ＋1＝2，则(cos θ＋3)(sin θ＋1)＝________. [答案] 4[解析] sin 2θ＋4cos θ＋1＝2，∴sin 2θ＋4＝2cos θ＋2,1－cos 2θ＋4＝2cos θ＋2，∴(cos θ＋3)(cos θ－1)＝0，∴cos θ＝－3(舍去)或cos θ＝1，此时sin θ＝0.11．已知sin θ＋sin 2θ＝1，则cos 2θ＋cos 4θ的值为________．[答案] 1[解析] ∵sin θ＋sin 2θ＝1，∴sin θ＝cos 2θ，∴原式＝cos 2θ＋sin 2θ＝1.12．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，0<α<π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. [答案] 223[解析] 由已知π4<α＋π4<34π， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.三、解答题13．已知3sin α－2cos α＝0，求下列各式的值．(1)cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α； (2)sin 2α－2sinαcos α＋4cos 2α.[分析] 解此题的常规思路是由3sin α＝2cos α得tan α＝23.再讨论α在第一或第三象限时sin α和cos α的值，进而可求出所要求的值．但这种方法计算量过大．我们注意到(1)中分子、分母是关于sin α和cos α的一次齐次式，因此在它的分子、分母同除以cos α，就转化成用tan α表示，因而很容易求出其值．(2)中把分母看作是1，并用sin 2α＋cos 2α来代替，因而与(1)类似地转化即可．[解析] (1)显然cos α≠0，∴tan α＝23cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α＝1－tan α1＋tan α＋1＋tan α1－tan α＝1－231＋23＋1＋231－23＝265. (2)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α＝sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝tan 2α－2tan α＋4tan 2α＋1＝49－43＋4491＝2813. 14．求证：sin 2α·tan α＋cos 2α·cot α＋2sin α·cos α＝tan α＋cot α.[解析] 左边＝sin 2α·sin αcos α＋cos 2α·1tan α＋2sin α·cos α ＝sin 3αcos α＋cos 3αsin α＋2sin α·cos α＝sin 4α＋cos 4α＋2sin 2αcos 2αsin α·cos α＝(sin 2α＋cos 2α)2sin α·cos α＝1sin αcos α，右边＝tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝1sin αcos α，∴原式成立． 15．已知tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1.[解析] ∵tan 2α＝2tan 2β＋1，∴sin 2αcos 2α＝2sin 2βcos 2β＋1， ∴sin 2α1－sin 2α＝1＋sin 2β1－sin 2β， ∴sin 2α(1－sin 2β)＝(1－sin 2α)(1＋sin 2β)，∴sin 2β＝2sin 2α－1.16．已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－kx ＋k ＋1＝0的两个实根，且0<θ<2π，求实数k 、θ的值． [解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝k 2－4(k ＋1)≥0 (1)sin θ＋cos θ＝k (2)sin θ·cos θ＝k ＋1 (3)(2)2－(3)×2得，1＝k 2－2k －2.解得k ＝3(不满足(1)舍去)或k ＝－1.将k ＝－1代入(3)得sin θcos θ＝0.∴θ＝π或θ＝π2(不满足(2)舍去)或θ＝3π2. ∴k ＝－1，θ＝π或3π2即为所求． 17．化简1－sin 6θ－cos 6θ1－sin 4θ－cos 4θ[解析] 原式＝sin 2θ＋cos 2θ－sin 6θ－cos 6θsin 2θ＋cos 2θ－sin 4θ－cos 4θ＝sin 2θ(1－sin 4θ)＋cos 2θ(1－cos 4θ)sin 2θ(1－sin 2θ)＋cos 2θ(1－cos 2θ) ＝sin 2θ(1＋sin 2θ)(1－sin 2θ)＋cos 2θ(1＋cos 2θ)(1－cos 2θ)sin 2θ(1－sin 2θ)＋cos 2θ(1－cos 2θ)＝sin 2θ·cos 2θ(1＋sin 2θ)＋sin 2θ·cos 2θ(1＋cos 2θ)sin 2θ·cos 2θ＋cos 2θ·sin 2θ＝sin 2θ·cos 2θ(1＋sin 2θ＋1＋cos 2θ)2sin 2θ·cos 2θ＝32.。
【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版)必修四练习：2.2.1 平面向量基本定理]
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第二章 2.2 2.2.1一、选择题1．设e 1、e 2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1 C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1 D ．e 2和e 1＋e 2[答案] B[解析] ∵4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)， ∴3e 1－2e 2与4e 2－6e 1共线，不能作为基底．2．已知c ＝m a ＋n b ，要使a 、b 、c 的终点在一条直线上(设a 、b 、c 有公共起点)，m 、n (m 、n ∈R )需满足的条件是( )A ．m ＋n ＝－1B ．m ＋n ＝0C ．m －n ＝1D ．m ＋n ＝1[答案] D[解析] a 、b 、c 的终点要在同一直线上， 则c －a 与b －a 共线， 即c －a ＝λ(b －a )，∵c ＝m a ＋n b ，∴m a ＋n b －a ＝λb －λa ， ∴(m －1＋λ)a ＝(λ－n )b ，∵a 、b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＋λ＝0λ－n ＝0，消去λ，∴m ＋n ＝1.3．下面给出了三个命题：①非零向量a 与b 共线，则a 与b 所在的直线平行；②向量a 与b 共线的条件是当且仅当存在实数λ1、λ2，使得λ1a ＝λ2b ； ③平面内的任一向量都可用其它两个向量的线性组合表示． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] B[解析] 命题①两共线向量a 与b 所在的直线有可能重合；命题③平面内的任一向量都可用其它两个不共线向量的线性组合表示．故①③都不正确．4．给出下列结论：①若a ≠b ，则|a ＋b |<|a |＋|b |；②非零向量a 、b 共线，则|a ＋b |>0；③对任意向量a 、b ，|a －b |≥0；④若非零向量a 、b 共线且反向，则|a －b |>|a |.其中正确的有( )个．( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] ①中有一个为零向量时不成立；②中a ，b 若是相反向量则不成立；③、④正确，故选B.5．已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(x －y )e 1＋(2x ＋y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 的值等于( )A ．3B ．－3C ．6D ．－6[答案] C[解析] ∵e 1、e 2不共线，∴由平面向量基本定理可得⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝62x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－3. 6．设一直线上三点A ，B ，P 满足AP →＝λPB →(λ≠±1)，O 为平面内任意一点，则OP →用OA →、OB →表示为( )A ．OP →＝OA →＋λOB → B ．OP →＝λOA →＋(1＋λ)OB →C ．OP →＝OA →＋λOB →1＋λD ．OP →＝1λOA →＋11－λOB →[答案] C[解析] ∵OP →＝OA →＋λPB →＝OA →＋λ(OB →－OP →)＝OA →＋λOB →－λOP →， ∴(1＋λ)OP →＝OA →＋λOB →，∴OP →＝OA →＋λOB→1＋λ.二、填空题7．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________(用a 、b 表示)．[答案] －14a ＋14b[解析] ∵AN →＝3NC →，∴4AN →＝3AC →＝3(a ＋b )，AM →＝a ＋12b ，∴MN →＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 8．已知向量a 与b 不共线，实数x 、y 满足等式3x a ＋(10－y )b ＝(4y ＋7)a ＋2x b ，则x ＝________，y ＝________.[答案]4711 1611[解析] ∵a 、b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝4y ＋710－y ＝2x ，解得⎩⎨⎧x ＝4711y ＝1611.三、解答题9．如图，已知△ABC 中，M 、N 、P 顺次是AB 的四等分点，CB →＝e 1，CA →＝e 2，试用e 1、e 2表示CM →、CN →、CP →.[解析] 利用中点的向量表达式得： CN →＝12e 1＋12e 2；CM →＝14e 1＋34e 2；CP →＝34e 1＋14e 2.一、选择题1．如图，在△ABC 中，BD →＝12DC →，AE →＝3ED →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则BE →＝( )A ．13a ＋13bB ．－12a ＋14bC ．12a ＋14bD ．－13a ＋13b[答案] B[解析] ∵AE →＝34AD →＝34(AB →＋BD →)＝34(AB →＋13BC →)＝34(AB →＋13AC →－13AB →)＝34(23a ＋13b )＝12a＋14b .∴BE →＝AE →－AB →＝－12a ＋14b . 2．已知P 为△ABC 所在平面内一点，当P A →＋PB →＝PC →成立时，点P 位于( ) A ．△ABC 的AB 边上 B ．△ABC 的BC 边上 C ．△ABC 的内部D ．△ABC 的外部[答案] D[解析] 由P A →＋PB →＝PC →，得P A →＝PC →－PB →＝BC →， 所以P A ∥BC ，所以P 在△ABC 的外部．3．已知在△ABC 所在平面上有一点P ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC 与△ABC 的面积之比是( )A ．13B ．12C ．23D ．34[答案] C[解析] 由P A →＋PB →＋PC →＝AB →，得P A →＋PB →＋PC →－AB →＝0，即P A →＋PB →＋BA →＋PC →＝0，∴P A →＋P A →＋PC →＝0，即2P A →＝CP →，所以点P 是CA 边上靠近点A 的三等分点，故S △PBC S △ABC ＝23.4．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心[答案] B[解析] 因AB →|AB →|与AC →|AC →|都为单位向量且λ∈[0，＋∞)，所以λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|平分AB →与AC →的夹角，即AP →平分∠A ，∴P 点轨迹通过△ABC 的内心．二、填空题5．设平面内有四边形ABCD 和点O ，OA →＝a 、OB →＝b 、OC →＝c 、OD →＝d ，若a ＋c ＝b ＋d ，则四边形ABCD 的形状是________．[答案] 平行四边形[解析] 如图所示，∵a ＋c ＝b ＋d ，∴a －b ＝d －c ，即BA →＝CD →，故AB ∥CD ，且AB ＝CD ，即ABCD 为平行四边形．6．如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC于点H ，M 为AH 的中点．若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________.[答案] 23[解析] 因为AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ， 所以BH ＝1，BH ＝13BC .因为点M 为AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12(AB →＋13BC →)＝12AB →＋16BC →，即λ＝12，μ＝16， 所以λ＋μ＝23.三、解答题7．如图，在△AOB 中，OA →＝a 、OB →＝b ，设AM →＝2MB →，ON →＝3NA →，而OM 与BN 相交于点P ，试用a 、b 表示向量OP →.[解析] OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋23AB →＝OA →＋23(OB →－OA →)＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b.∵OP →与OM →共线，令OP →＝tOM →， 则OP →＝t ⎝⎛⎭⎫13a ＋23b .又设OP →＝(1－m )ON →＋mOB →＝34a ·(1－m )＋m b∴⎩⎨⎧ t 3＝34(1－m )23t ＝m，∴⎩⎨⎧m ＝35t ＝910.∴OP →＝310a ＋35b .8．在▱OACB 中，BD ＝13BC ，OD 与BA 相交于点E ，求证：BE ＝14BA .[分析] 利用向量证明平面几何问题的关键是选好一组与所求证的结论密切相关的基底．[解析] 如图，设E ′是线段BA 上的一点，且BE ′＝14BA ，只要证点E 、E ′重合即可，设OA →＝a ，OB →＝b ，则BD →＝13a ，OD →＝b ＋13a .∴OE ′→＝OB →＋BE ′→＝b ＋14BA →＝b ＋14(a －b )＝14(a ＋3b )＝34(b ＋13a )＝34OD →， ∴O 、E ′、D 三点共线，∴E 、E ′重合．∴BE ＝14BA .9．如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP PM 的值．[解析] 设BM →＝e 1，CN →＝e 2，则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1，BN →＝2e 1＋e 2 ∵A 、P 、M 和B 、P 、N 分别共线， ∴存在实数λ、μ使AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2， BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2，故BA →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2由基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝23λ＋μ＝3，解得⎩⎨⎧λ＝45μ＝35.故AP →＝45AM →，即AP PM ＝。
【成才之路】高中数学 第2章 平面向量综合能力检测 北师大版必修4
【成才之路】2014-2015学年高中数学 第2章 平面向量综合能力检测 北师大版必修4本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·陕西文，2)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－ 2 B ． 2 C ．－2或 2 D ．0[答案] C[解析] 本题考查了向量的坐标运算，向量平行的坐标表示等．由a ∥b 知1×2＝m 2，即m ＝2或m ＝－ 2.2．若向量BA →＝(2,3)，CA →＝(4,7)，则BC →＝( ) A ．(－2，－4) B ．(2,4) C ．(6,10) D ．(－6，－10)[答案] A[解析] 本题考查向量的线性运算． BC →＝BA →＋AC →＝BA →－CA →＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．平面向量的坐标运算即对应坐标相加减．3．已知|a |＝63，|b |＝13，且a·b ＝－3，则a 与b 的夹角为( )A ．2π3B ．5π6C ．π3D ．π6[答案] B[解析] 设θ为向量a 与b 的夹角，则由cos θ＝a·b |a ||b |可得，cos θ＝－363×13＝－32，又θ∈[0，π]，所以θ＝5π6.选B. 4．设a ，b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b | [答案] C[解析] 本题考查向量共线的条件． 若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a 与b 方向相反． 则存在b ＝λa .反之则不然．5．(2014·重庆理，4)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3D ．152[答案] C[解析] 本题考查了平面向量的坐标运算与向量的垂直，因为2a －3b ＝(2k －3，－6)，又因为(2a －3b )⊥c ，所以，(2a －3b )·c ＝0，即(2k －3，－6)·(2,1)＝0，解得k ＝3，本题根据条件也可以转化为2a ·c －3b ·c ＝0化简求解．6．直线(3－2)x ＋y ＝3和直线x ＋(2－3)y ＝2的位置关系是( ) A ．相交但不垂直 B ．垂直 C ．平行 D ．重合[答案] B[解析] 直线(3－2)x ＋y ＝3的方向向量为(1，2－3)，直线x ＋(2－3)y ＝2的方向向量为(1，2＋3)，则(1，2－3)·(1，2＋3)＝1＋(2－3)(2＋3)＝1＋(－1)＝0，所以两直线垂直．选B.7．已知作用在A 点的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，且A (1,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3终点的坐标为( )A ．(1,9)B ．(9,1)C ．(8,0)D ．(0,8)[答案] B[解析] F ＝(8,0)，设终点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝8，y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝1.8．在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是( ) A ．|AC →|2＝AC →·AB →B ．|BC →|2＝BA →·BC →C ．|AB →|2＝AC →·CD → D ．|CD →|2＝AC →·AB →BA →·BC →|AB →|2[答案] C[解析] ∵AC →·AB →＝AC →·(AC →＋CB →) ＝AC →2＋AC →·CB →＝AC →2，∴|AC |→2＝AC →·AB →成立；同理|BC →|2＝BA →·BC →成立； 而AC →·AB →|AB →|·BA →·BC→|BA →|＝|AD →|·|BD →|＝|CD |2＝|CD →|2.故选C.9．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝ 3 BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝( )A ．2 3B ．32C ．33D ． 3[答案] D[解析] 本题考查了向量的运算． ∵AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋ 3 BD →，∴AC →·AD →＝(AB →＋ 3 BD →)·AD →＝AB →·AD →＋ 3 BD →·AD →， 又∵AB ⊥AD ，∴AB →·AD →＝0，∴AC →·AD →＝ 3 BD →·AD →＝3|BD →|·|AD →|·cos∠ADB ＝3|BD →|·cos∠ADB ＝3·|AD →|＝ 3.10．对向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，定义一种新的运算“*”的意义为a *b ＝(x 1y 2，x 2y 1)，它仍是一个向量；则对任意的向量a ，b ，c 和任意实数λ，μ，下面命题中：①a *b ＝b *a ； ②(a *b )*b ＝a *(b *b )； ③(λa )*(μb )＝(λμ)(a *b )； ④(a ＋b )*c ＝a *c ＋b *c 正确命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0[答案] B[解析] 代入验证知①②不成立，③④成立，故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________.(用a ，b ，c 表示)[答案] a ＋c －b[解析] OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →＝a ＋c －b .12．(2013·江苏，10)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．[答案] 12[解析] 本题考查平面向量基本定理应用． 由已知DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，从而λ1＋λ2＝12.13．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________，DE →·DC →的最大值为________．[答案] 1 1[解析] 本题考查平面向量的数量积． 建立平面直角坐标系如图：则CB →＝(0，－1)，设E (x 0,0)， 则DE →＝(x 0，－1)，∴DE →·CB →＝(x 0，－1)·(0，－1)＝1， 又DC →＝(1,0)，∴DE →·DC →＝x 0，而0≤x 0≤1， ∴DE →·DC →最大值为1.14．在直角坐标系中，已知PA →＝(3,1)，PB →＝(5,10)，若点A 关于向量PB →所在直线的对称点是A ′，则向量PA ′→＝________.[答案] (－1,3)[解析] 设AA ′与向量PB →所在直线相交于点M ，则|PM →|＝|PA →|cos 〈PA →，PB →〉＝PA →·PB →|PB →|＝5，所以PM →＝15PB →＝(1,2)，从而AM →＝PM →－PA →＝(－2,1)，PA ′→＝PM →＋MA ′→＝PM →＋AM →＝(－1,3)．15．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________．[答案] 5[解析] 本题主要考查向量的坐标知识在解析几何中应用，如图，建立平面直角坐标系，根据题意设CD ＝a ，则A (2,0)，B (1，a )，P (0，y )，则PA →＝(2，－y )，PB →＝(1，a －y )， PA →＋3PB →＝(2，－y )＋(3,3a －3y )＝(5,3a －4y )，故|PA →＋3PB →|＝25＋a －4y2的最小值即当3a ＝4y 时，|PA →＋3PB →|min ＝5.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)如图所示，M ，N ，P 分别是△ABC 三边上的点，且BM →＝14BC →，CN →＝14CA →，AP →＝14AB →，设AB →＝a ，AC →＝b ，试将MN →，MP →，PN →用a ，b 表示，并计算MP →＋PN →－MN →.[解析] 由题设得AP →＝14AB →＝14a ，CN →＝14CA →＝－14AC →＝－14b ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ，BM →＝14BC →＝14(b －a )，所以MN →＝MC →＋CN →＝34BC →＋14CA →＝34(b －a )－14b ＝－34a ＋12b .同理可得MP →＝－12a －14b ，PN →＝－14a ＋34b .将它们代入得MP →＋PN →－MN →＝0. 17．(本小题满分12分)已知a ，b 是两个非零向量，若a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，试求a 与b 的夹角θ.[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3b a －5b ＝0，a －4ba －2b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0.①②由①－②得46a ·b －23b 2＝0， 即2a ·b －b 2＝0，即2a ·b ＝b 2， 代入①式得a 2＝b 2，∴|a |＝|b |. ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b2b 2＝12.∴a 与b 的夹角为θ＝60°.18．(本小题满分12分)已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 的夹角为3π4，且m ·n ＝－1.(1)求向量n ；(2)设向量a ＝(1,0)，向量b ＝(cos x ，sin x )，其中x ∈R ，若n ·a ＝0，试求|n ＋b |的取值范围．[解析] (1)设n ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，x ＋y 2·x 2＋y 2＝cos 3π4＝－22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.∴n ＝(－1,0)或n ＝(0，－1)． (2)∵a ＝(1,0)，n ·a ＝0， ∴n ＝(0，－1)．∴n ＋b ＝(cos x ，sin x －1)． ∴|n ＋b |＝x2＋x －2＝2－2sin x ＝2·1－sin x . ∵－1≤sin x ≤1， ∴0≤1－sin x ≤ 2. ∴0≤|n ＋b |≤2，即|n ＋b |的取值范围是[0,2]．19．(本小题满分12分)在直角坐标系中，已知OA →＝(4，－4)，OB →＝(5,1)，OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|，求MB →的坐标．[解析] 设点M 的坐标为M (x ，y )． ∵OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|， ∴OM →⊥MB →，∴OM →·MB →＝0.又OM →＝(x ，y )，MB →＝(5－x,1－y )， ∴x (5－x )＋y (1－y )＝0. 又点O 、M 、A 三点共线，∴OM →＝λOA →，∴x 4＝y －4.∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋y －y ＝0，x 4＝y－4.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.∴MB →＝OB →－OM →＝(5－2,1＋2)＝(3,3)．20．(本小题满分13分)设0<|a |≤2，f (x )＝cos 2x －|a |sin x －|b |的最大值为0，最小值为－4，且a 与b 的夹角为45°，求|a ＋b |.[解析] f (x )＝1－sin 2x －|a |sin x －|b | ＝－(sin x ＋|a |2)2＋|a |24－|b |＋1.∵0<|a |≤2，∴当sin x ＝－|a |2时，|a |24－|b |＋1＝0.当sin x ＝1时，－|a |－|b |＝－4.由⎩⎪⎨⎪⎧|a |24－|b |＋1＝0，－|a |－|b |＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝2，|b |＝2.∴|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝22＋2×2×2·cos45°＋22＝8＋42， ∴|a ＋b |＝22＋ 2.21．(本小题满分14分)如图所示，在Rt △ABC 中，已知BC ＝a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ →与BC →的夹角θ取何值时，BP →·CQ →的值最大？并求出这个最大值．[解析] 解法一：∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝0.∵AP →＝－AQ →，BP →＝AP →－AB →，CQ →＝AQ →－AC →， ∴BP →·CQ →＝(AP →－AB →)·(AQ →－AC →) ＝AP →·AQ →－AP →·AC →－AB →·AQ →＋AB →·AC → ＝－a 2－AP →·AC →＋AB →·AP → ＝－a 2＋AP →·(AB →－AC →)＝－a 2＋12PQ →·BC →＝－a 2＋a 2cos θ.当θ＝0°时，BP →·CQ →最大，其最大值为0.解法二：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．设|AB →|＝c ，|AC →|＝b ，则A (0,0)，B (c,0)，C (0，b )， 且|PQ →|＝2a ，|BC →|＝a ，设P 点的坐标为(x ，y )， 则Q (－x ，－y )．∴BP →＝(x －c ，y )，CQ →＝(－x ，－y －b )，BC →＝(－c ，b )，PQ →＝(－2x ，－2y )．∴BP →·CQ →＝－x (x －c )－y (y ＋b ) ＝－x 2－y 2＋cx －by ，cos θ＝BC →·PQ →|BC →||PQ →|＝2cx －2by 2a 2＝cx －bya 2， 即cx －by ＝a 2cos θ. ∴BP →·CQ →＝－a 2＋a 2cos θ.故当cos θ＝1时，即θ＝0°(PQ →与BC →同向)时，BP →·CQ →最大，其最大值为0.。
《成才之路》2015-2016学年人教A版高中数学必修4习题第二章平面向量2.3.4
第二章 2.3 2.3.4基础巩固一、选择题1．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥b ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向[答案] D[解析] ∵c ∥d ，∴c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )，又a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝λ，1＝－λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，k ＝－1..∴c ＝－d ，∴c 与d 反向．2．(陕西高考文)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－ 2 B ． 2 C ．－2或 2 D ．0[答案] C[解析] 本题考查了向量的坐标运算，向量平行的坐标表示等．由a ∥b 知1×2＝m 2，即m ＝2或m ＝－ 2.3．(2015·北京西城高三第一学期期末)已知点A (－1,1)，点B (2，y )，向量a ＝(1,2)，若AB →∥a ，则实数y 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] C[解析] AB →＝(3，y －1)，又AB →∥a ， 所以(y －1)－2×3＝0，解得y ＝7.4．(2015·新课标全国Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4)[答案] A[解析] 设C (x ，y )，∵A (0,1)，AC →＝(－4，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，∴C (－4，－2)，又B (3,2)，∴BC →＝(－7，－4)，选A ．5．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2,1)，若a ＋2b 与3a ＋λb 平行，则λ的值等于( ) A ．－6B ．6C ．2D ．－2[答案] B[解析] a ＋2b ＝(5,5)，3a ＋λb ＝(3＋2λ，9＋λ)， 由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0， ∴λ＝6.6．(2015·济南模拟)若a ＝(1,2)，b ＝(－3,0)，(2a ＋b )∥(a －m b )，则m ＝( ) A ．－12B ．12C ．2D ．－2[答案] A[解析] 2a ＋b ＝2(1,2)＋(－3,0)＝(－1,4)， a －m b ＝(1,2)－m (－3,0)＝(1＋3m,2) ∵(2a ＋b )∥(a －m b ) ∴－1＝(1＋3m )×2 ∴6m ＝－3，解得m ＝－12二、填空题7．(2015·北京东城区模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)，若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ的值为________．[答案] 12[解析] a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2) ∵(a ＋λb )∥c ，∴4(1＋λ)－3×2＝0，∴λ＝12.8．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)．若λa ＋u b 与a ＋b 共线，则λ与u 的关系为________． [答案] λ＝u[解析] ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)， ∴a ＋b ＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa ＋u b ＝λ(1,2)＋u (－2,3)＝(λ－2u,2λ＋3u )． 又∵(λa ＋u b )∥(a ＋b )，∴(－1)×(2λ＋3u )－5(λ－2u )＝0.∴λ＝u . 三、解答题9．已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A 、B 、C 三点共线，求k 的值． [解析] ∵AB →＝(4－k ，－7)，BC →＝(－k －4,5)，因A 、B 、C 三点共线，即AB →∥BC →，∴7(k ＋4)－5(4－k )＝0，∴k ＝－23.10．已知A (3,5)，B (6,9)，且|AM →|＝3|MB →|，M 是直线AB 上一点，求点M 的坐标． [解析] 设点M 的坐标为(x ，y )，由于|AM →|＝3|MB →|， 则AM →＝3MB →或AM →＝－3MB →.由题意，得AM →＝(x －3，y －5)，MB →＝(6－x,9－y )． 当AM →＝3MB →时，(x －3，y －5)＝3(6－x,9－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝3(6－x )，y －5＝3(9－y )，解得x ＝214，y ＝8.当AM →＝－3MB →时，(x －3，y －5)＝－3(6－x,9－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－3(6－x )，y －5＝－3(9－y )，解得x ＝152，y ＝11.∴点M 的坐标是⎝⎛⎭⎫214，8或⎝⎛⎭⎫152，11. 能力提升一、选择题1．已知向量a ＝(－2,4)，b ＝(3，－6)，则a 和b 的关系是( ) A ．共线且方向相同 B ．共线且方向相反 C ．是相反向量 D ．不共线[答案] B[解析] 因为a ＝(－2,4)，b ＝(3，－6)，所以a ＝－23b ，由于λ＝－23<0，故a 和b 共线且方向相反．2．(2015·福州高一检测)设a ＝(32，sin α)，b ＝(cos α，13)，且a ∥b ，则锐角α为( )A ．30°B ．60°C ．75°D ．45°[答案] D[解析] 32×13＝sin αcos α，sin2α＝1,2α＝90°，α＝45°.3．(重庆高考文)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2[答案] D[思路点拨] 分别求出a ＋b,4b －2a ，将向量共线的条件转化为坐标运算，从而求出x 的值．[解析] 因为a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，所以a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)，由于a ＋b 与4b －2a 平行，得6(x ＋1)－3(4x －2)＝0，解得x ＝2.4．已知向量集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋μ(4,5)，μ∈R }，则M ∩N ＝( )A ．{(1,1)}B ．{(1,2)，(－2，－2)}C ．{(－2，－2)}D ．Ø[答案] C[解析] 设a ∈M ∩N ，则存在实数λ和中μ，使得(1,2)＋λ(3,4)＝(－2，－2)＋μ(4,5)，即(3,4)＝(4μ－3λ，5μ－4λ)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4μ－3λ＝35μ－4λ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝0，∴a ＝(－2，－2)． 二、填空题5．(北京高考)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.[答案] 1[解析] a －2b ＝(3，3)．因为a －2b 与c 共线， 所以k 3＝33，解得k ＝1. 6．已知点P 1(2，－1)，点P 2(－1,3)，点P 在线段P 1P 2上，且|P 1P →|＝23|PP 2→|，则求点P 的坐标为________．[答案] (45，34)[解析] 设点P 的坐标为(x ，y )，由于点P 在线段P 1P 2上，则有P 1P →＝23PP 2→，又P 1P →＝(x －2，y ＋1)，PP 2→＝(－1－x,3－y )，由题意得⎩⎨⎧x －2＝23(－1－x )，y ＋1＝23(3－y )，解得⎩⎨⎧x ＝45，y ＝35，∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，35. 三、解答题7．平面内给定三个向量：a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 和n ； (3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .[解析] (1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．(2)∵a ＝m b ＋n c ，m ，n ∈R ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2.解得⎩⎨⎧m ＝59，n ＝89.∴m ＝59，n ＝89.(3)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)． 又∵(a ＋k c )∥(2b －a )， ∴(3＋4k )×2－(－5)×(2＋k )＝0. ∴k ＝－1613.8．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →.(1)求E ，F 的坐标； (2)判断EF →与AB →是否共线．[解析] (1)设E (x 1，y 1)、F (x 2，y 2)， 依题意得AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)． 由AE →＝13AC →可知(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)，即⎩⎨⎧x 1＋1＝23y 1＝23，解得⎩⎨⎧x 1＝－13y 1＝23，∴E (－13，23)．由BF →＝13BC →可知(x 2－3，y 2＋1)＝13(－2,3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3＝－23y 2＋1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝73，y 2＝0. ∴F (73，0)，即E 点的坐标为(－13，23)，F 点的坐标为(73，0)．(2)由(1)可知EF →＝OF →－OE →＝(73，0)－(－13，23)＝(83，－23)，(O 为坐标原点)，又AB →＝(4，－1)， ∴EF →＝23(4，－1)＝23AB →，即EF →与AB →共线．。
【成才之路】高二数学北师大版必修4同步训练：第二章 平面向量 综合能力检测2 Word版含解析[ 高考]
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第二章综合能力检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·四川文，2)设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6[答案] B[解析] 由向量平行的性质，有＝x，解得x ＝3，选B ． 2．若向量BA →＝(2,3)，CA →＝(4,7)，则BC →＝( ) A ．(－2，－4) B ．(2,4) C ．(6,10) D ．(－6，－10)[答案] A[解析] 本题考查向量的线性运算．BC →＝BA →＋AC →＝BA →－CA →＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)． 平面向量的坐标运算即对应坐标相加减．3．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A ．(35，－45)B ．(45，－35)C ．(－35，45)D ．(－45，35)[答案] A[解析] 因为AB →＝(3，－4)，|AB →|＝5，所以与向量AB →同向的单位向量为AB →|AB →|＝(3，－4)5＝(35，－45)，选A ． 4．已知向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角为( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2[答案] C[解析] 设a 与b 的夹角为θ，则据向量数量积公式可得cos θ＝a·b|a ||b |，则cos θ＝21×4＝12.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.5．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－2 B ． 2 C ．－2或 2 D ．0[答案] C[解析] 本题考查了向量的坐标运算，向量平行的坐标表示等．由a ∥b 知1×2＝m 2，即m ＝2或m ＝－ 2.6．设a ，b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b | [答案] C[解析] 本题考查向量共线的条件． 若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a 与b 方向相反． 则存在b ＝λA ．反之则不然．7．已知作用在A 点的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，且A (1,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3终点的坐标为( )A ．(1,9)B ．(9,1)C ．(8,0)D ．(0,8) [答案] B[解析] F ＝(8,0)，设终点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝8，y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝1.8．在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形[答案] D[解析] 因为AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →＝AB →·(AC →－BC →)＋CA →·CB →＝AB →·AB →＋CA →·CB →，所以CA →·CB →＝0，即CA →⊥CB →，所以三角形为直角三角形，选D ．9．已知a ，b 均为单位向量，(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°[答案] A[解析] ∵(2a ＋b )·(a －2b )＝2a 2－4a ·b ＋a ·b －2b 2＝－3a ·b ＝－332，∴a ·b ＝32.设夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝32， 又θ∈[0°，180°]，∴θ＝30°.10．直线(3－2)x ＋y ＝3和直线x ＋(2－3)y ＝2的位置关系是( ) A ．相交但不垂直 B ．垂直 C ．平行 D ．重合[答案] B[解析] 直线(3－2)x ＋y ＝3的方向向量为(1，2－3)，直线x ＋(2－3)y ＝2的方向向量为(1，2＋3)，则(1，2－3)·(1，2＋3)＝1＋(2－3)(2＋3)＝1＋(－1)＝0，所以两直线垂直．选B ．11．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝ 3 BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝( )A ．2 3B ．32C ．33D ． 3[答案] D[解析] 本题考查了向量的运算． ∵AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋ 3 BD →，∴AC →·AD →＝(AB →＋ 3 BD →)·AD →＝AB →·AD →＋ 3 BD →·AD →， 又∵AB ⊥AD ，∴AB →·AD →＝0，∴AC →·AD →＝ 3 BD →·AD →＝3|BD →|·|AD →|·cos ∠ADB ＝3|BD →|·cos ∠ADB ＝3·|AD →|＝ 3.12．对向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，定义一种新的运算“*”的意义为a *b ＝(x 1y 2，x 2y 1)，它仍是一个向量；则对任意的向量a ，b ，c 和任意实数λ，μ，下面命题中：①a *b ＝b *a ； ②(a *b )*b ＝a *(b *b )； ③(λa )*(μb )＝(λμ)(a *b )； ④(a ＋b )*c ＝a *c ＋b *c 正确命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0[答案] B[解析] 代入验证知①②不成立，③④成立，故选B ．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________.(用a ，b ，c 表示)[答案] a ＋c －b[解析] OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →＝a ＋c －B ．14．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC ，已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则点D 的坐标为________．[答案] (0，－2)[解析] 设D (m ，n )，则AB →＝(8,8)，DC →＝(8－m,6－n )， 又AB ∥DC ，AD ∥BC ，则ABCD 为平行四边形，∴AB →＝DC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 8－m ＝86－n ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0n ＝－2.15．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________，DE →·DC →的最大值为________．[答案] 1 1[解析] 本题考查平面向量的数量积． 建立平面直角坐标系如图：则CB →＝(0，－1)，设E (x 0,0)， 则DE →＝(x 0，－1)，∴DE →·CB →＝(x 0，－1)·(0，－1)＝1， 又DC →＝(1,0)，∴DE →·DC →＝x 0，而0≤x 0≤1， ∴DE →·DC →最大值为1.16．(2015·安徽文，15)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①a 为单位向量； ②b 为单位向量； ③a ⊥b; ④b ∥BC →； ⑤(4a ＋b )⊥BC →. [答案] ①④⑤[解析] ∵等边三角形ABC 的边长为2，AB ―→＝2a ， ∴|AB ―→|＝2|a |＝2⇒|a |＝1，故①正确；∵AC ―→＝AB ―→＋BC ―→＝2a ＋BC ―→，∴BC ―→＝b ⇒|b |＝2，故②错误，④正确；由于AB ―→＝2a ，BC ―→＝b ⇒a 与b 夹角为120°，故③错误；又∵(4a ＋b )·BC ―→＝(4a ＋b )·b ＝4a·b ＋|b|2＝4×1×2×(－12)＋4＝0，∴(4a ＋b )⊥BC ―→，故⑤正确，因此，正确的编号是①④⑤.三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．[解析] (1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)． 所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故所求两条对角线的长分别为42，210. (2)由题设知OC →＝(－2，－1)， AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )． 由(AB －tOC →)·OC →＝0，得 (3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－115.18．(本小题满分12分)已知a ，b 是两个非零向量，若a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，试求a 与b 的夹角θ.[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋3b )·(7a －5b )＝0，(a －4b )·(7a －2b )＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0.①②由①－②得46a ·b －23b 2＝0， 即2a ·b －b 2＝0，即2a ·b ＝b 2， 代入①式得a 2＝b 2，∴|a |＝|b |. ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b2b 2＝12.∴a 与b 的夹角为θ＝60°.19．(本小题满分12分)已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 的夹角为3π4，且m ·n ＝－1.(1)求向量n ；(2)设向量a ＝(1,0)，向量b ＝(cos x ，sin x )，其中x ∈R ，若n ·a ＝0，试求|n ＋b |的取值范围．[解析] (1)设n ＝(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，x ＋y 2·x 2＋y2＝cos 3π4＝－22，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.∴n ＝(－1,0)或n ＝(0，－1)． (2)∵a ＝(1,0)，n ·a ＝0， ∴n ＝(0，－1)．∴n ＋b ＝(cos x ，sin x －1)． ∴|n ＋b |＝(cos x )2＋(sin x －1)2＝2－2sin x ＝2·1－sin x .∵－1≤sin x ≤1， ∴0≤1－sin x ≤ 2.∴0≤|n ＋b |≤2，即|n ＋b |的取值范围是[0,2]．20．(本小题满分12分)在直角坐标系中，已知OA →＝(4，－4)，OB →＝(5,1)，OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|，求MB →的坐标．[解析] 设点M 的坐标为M (x ，y )． ∵OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|， ∴OM →⊥MB →，∴OM →·MB →＝0. 又OM →＝(x ，y )，MB →＝(5－x,1－y )， ∴x (5－x )＋y (1－y )＝0.又点O 、M 、A 三点共线， ∴OM →＝λOA →，∴x 4＝y －4.∴⎩⎨⎧x (5－x )＋y (1－y )＝0，x 4＝y－4.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.∴MB →＝OB →－OM →＝(5－2,1＋2)＝(3,3)．21．(本小题满分12分)设0<|a |≤2，f (x )＝cos 2x －|a |sin x －|b |的最大值为0，最小值为－4，且a 与b 的夹角为45°，求|a ＋b |.[解析] f (x )＝1－sin 2x －|a |sin x －|b | ＝－(sin x ＋|a |2)2＋|a |24－|b |＋1.∵0<|a |≤2，∴当sin x ＝－|a |2时，|a |24－|b |＋1＝0.当sin x ＝1时，－|a |－|b |＝－4.由⎩⎪⎨⎪⎧|a |24－|b |＋1＝0，－|a |－|b |＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝2，|b |＝2.∴|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝22＋2×2×2·cos45°＋22＝8＋42， ∴|a ＋b |＝22＋ 2.22．(本小题满分12分)如图所示，在Rt △ABC 中，已知BC ＝a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ →与BC →的夹角θ取何值时，BP →·CQ →的值最大？并求出这个最大值．[解析] 解法一：∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝0.∵AP →＝－AQ →，BP →＝AP →－AB →，CQ →＝AQ →－AC →，∴BP →·CQ →＝(AP →－AB →)·(AQ →－AC →) ＝AP →·AQ →－AP →·AC →－AB →·AQ →＋AB →·AC → ＝－a 2－AP →·AC →＋AB →·AP → ＝－a 2＋AP →·(AB →－AC →)＝－a 2＋12PQ →·BC →＝－a 2＋a 2cos θ.当θ＝0°时，BP →·CQ →最大，其最大值为0.解法二：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．设|AB →|＝c ，|AC →|＝b ，则A (0,0)，B (c,0)，C (0，b )， 且|PQ →|＝2a ，|BC →|＝a ，设P 点的坐标为(x ，y )， 则Q (－x ，－y )．∴BP →＝(x －c ，y )，CQ →＝(－x ，－y －b )，BC →＝(－c ，b )，PQ →＝(－2x ，－2y )． ∴BP →·CQ →＝－x (x －c )－y (y ＋b ) ＝－x 2－y 2＋cx －by ，cos θ＝BC →·PQ→|BC →||PQ →|＝2cx －2by 2a 2＝cx －bya 2，即cx －by ＝a 2cos θ. ∴BP →·CQ →＝－a 2＋a 2cos θ.故当cos θ＝1时，即θ＝0°(PQ →与BC →同向)时， BP →·CQ →最大，其最大值为0.。
【成才之路】高中数学 第2章 平面向量基础知识检测 北师大版必修4
【成才之路】2014-2015学年高中数学 第2章 平面向量基础知识检测 北师大版必修4本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．以a ＝(－1,2)，b ＝(1，－1)为基底表示c ＝(3，－2)为( ) A ．c ＝4a ＋b B ．c ＝a ＋4b C ．c ＝4b D ．c ＝a －4b[答案] B[解析] 令c ＝xa ＋yb ，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝3，2x －y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，即c ＝a ＋4b .2．下列说法正确的是( ) A ．两个单位向量的数量积为1 B ．若a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，则b ＝c C ．AB →＝OA →－OB →D ．若b ⊥c ，则(a ＋c )·b ＝a ·b [答案] D[解析] A 中两向量的夹角不确定；B 中若a ⊥b ，a ⊥c ，b 与c 反方向则不成立；C 中应为AB →＝OB →－OA →；D 中b ⊥c ⇒b ·c ＝0，所以(a ＋c )·b ＝a ·b ＋c ·b ＝a ·b .3．设向量a 与b 的夹角为θ，a ＝(2,1)，a ＋2b ＝(4,5)，则cos θ＝( ) A ．1010B ．31010C ．35D ．45[答案] D[解析] 由已知条件知b ＝12[(4,5)－a ]＝(1,2)，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝45×5＝45.4．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，m )，若a 与a ＋2b 垂直，则m 的值为( ) A ．12B ．1C ．－12D ．－1[答案] D[解析] ∵a ＋2b ＝(1,3)＋2(－2，m ) ＝(－3,3＋2m )， ∵a 与a ＋2b 垂直．∴1×(－3)＋3(3＋2m )＝0，∴m ＝－1.5．(2013·辽宁理，3)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A ．(35，－45)B ．(45，－35)C ．(－35，45)D ．(－45，35)[答案] A[解析] 因为AB →＝(3，－4)，|AB →|＝5，所以与向量AB →同向的单位向量为AB→|AB →|＝，－5＝(35，－45)，选A. 6．已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －te |≥|a －e |，则( ) A ．a ⊥e B ．a ⊥(a －e ) C ．e ⊥(a －e ) D ．(a ＋e )⊥(a －e )[答案] C[解析] 由条件可知|a －te |2≥|a －e |2对t ∈R 恒成立，又∵|e |＝1， ∴t 2－2a ·e ·t ＋2a ·e －1≥0对t ∈R 恒成立， 即Δ＝4(a ·e )2－8a ·e ＋4≤0恒成立． ∴(a ·e －1)2≤0恒成立， 而(a ·e －1)2≥0，∴a ·e －1＝0.即a ·e ＝1＝e 2，∴e ·(a －e )＝0，即e ⊥(a －e )．7．已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2C ． 2D ．22[答案] C[解析] 由(a －c )·(b －c )＝0得a ·b －(a ＋b )·c ＋c 2＝0，即c 2＝(a ＋b )c ，故|c |·|c |≤|a ＋b |·|c |， 即|c |≤|a ＋b |＝2，故选C.8．(2014·四川理，7)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] D[解析] 本题考查了平面向量的坐标运算以及向量的夹角公式．c ＝ma ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)， a ·c ＝5m ＋8，b ·c ＝8m ＋20.由两向量的夹角相等可得a ·c |a |＝b ·c |b |，即为5m ＋85＝8m ＋2020，解得m ＝2. 9．点O 在△ABC 所在平面上，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( ) A ．三条中线交点 B ．三条高线交点 C ．三条边的中垂线交点 D ．三条角分线交点[答案] B[解析] 由OA →·OB →＝OB →·OC →，得 OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·CA →＝0，∴OB →⊥CA →； 同理OA →⊥BC →，OC →⊥AB →. ∴点O 是三条高线的交点．10．已知向量a ＝(2cos θ，－2sin θ)，θ∈(π2，π)，b ＝(0,1)则向量a 与b 的夹角是( )A ．3π2－θB ．π2＋θC ．θ－π2D ．θ[答案] A[解析] 本题可以用向量的坐标运算和向量数量积的概念求解．即cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a |·|b |＝－2sin θ2·1＝－sin θ，∵0<〈a ，b 〉<π，∴cos 〈a ，b 〉＝cos(32π－θ)，∴〈a ，b 〉＝32π－θ.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．已知平面向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，若A ，B ，C 三点共线，则实数k ＝________.[答案] 11或－2[解析] AB →＝(4－k ，－7)，AC →＝(10－k ，k －12)． ∵A ，B ，C 三点共线，∴(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0， ∴k 2－9k －22＝0，∴k ＝11或k ＝－2.12．(2014·北京理，10)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.[答案]5[解析] 本题考查了平面向量的坐标运算与数量积的运算． 由λa ＋b ＝0，有b ＝－λa ，于是|b |＝|λ|·|a |， 由b ＝(2,1)，可得|b |＝5， 又|a |＝1，故|λ|＝ 5.13．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC ，已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则点D 的坐标为________．[答案] (0，－2)[解析] 设D (m ，n )，则AB →＝(8,8)，DC →＝(8－m,6－n )，AD →＝(m ＋2，n )，BC →＝(2，－2)，又AB ∥DC ，AD ∥BC ，则AB →∥DC →，AD →∥BC →，则⎩⎪⎨⎪⎧－n －－m ＝0，－m ＋－2n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝－2.14．已知向量a ＝(6,2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的方程为________．[答案] 2x －3y －9＝0[解析] 设B (x ，y )为直线l 上任意一点，则l 的方向向量为AB →＝(x －3，y ＋1)． 又a ＋2b ＝(－2,3)，由题意知(x －3，y ＋1)·(－2,3)＝0，展开化简得2x －3y －9＝0.15.如图所示，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________.[答案] 1＋32 32[解析] ∵AD →＝xAB →＋yAC →，又AD →＝AB →＋BD →， ∴AB →＋BD →＝xAB →＋yAC →，∴BD →＝(x －1)AB →＋yAC →. 又AC →⊥AB →，∴BD →·AB →＝(x －1)|AB →|2. 设|AB →|＝1，则由题意|DE →|＝|BC →|＝ 2.又∠BED ＝60°，∴|BD →|＝62.显然BD →与AB →的夹角为45°，∴由BD →·AB →＝(x －1)|AB →|2，得62×1×cos45°＝(x －1)×12，∴x ＝1＋32.BD →与AC →的夹角易知为45°，则BD →·AC →＝y |AC →|2，得62×1×cos45°＝y ×12，∴y ＝32.综上，x ＝1＋32，y ＝32. 三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°. 求：(1)(2a －b )·(a ＋3b )；(2)|a －b |.[解析] a ·b ＝|a ||b |cos120°＝2×3×(－12)＝－3.(1)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋5a ·b －3b 2＝8－15－27＝－34. (2)|a －b |＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝4＋6＋9＝19.17．(本小题满分12分)如果正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，试求cos ∠DOE 的值．[解析] 以OA ，OC 所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图，则由已知条件，可得OD →＝(1，12)，OE →＝(12，1)．故cos ∠DOE ＝OD →·OE→|OD →|·|OE →|＝1×12＋12×152×52＝45.18．(本小题满分12分)已知a ＝(－12，32)，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b .[解析] 设向量b ＝(x ，y )，则OA →＝a －b ＝(－12－x ，32－y )，OB →＝a ＋b ＝(－12＋x ，32＋y )，由题意可知，OA →·OB →＝0，|OA →|＝|OB →|，从而有⎩⎪⎨⎪⎧－12－x －12＋x ＋32－y 32＋y ＝0，－12－x 2＋32－y 2＝－12＋x2＋32＋y 2，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝－12.所以b ＝(32，12)或b ＝(－32，－12)． 19．(本小题满分12分)如图所示，△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M ，N 分别是边OA ，OB 上的点，且OM →＝13a ，ON →＝12b ，设AN →与BM →相交于P ，用向量a ，b 表示OP →.[分析] 先利用平面向量基本定理设出，然后利用共线向量的条件列出方程组，从而确定参数的值．[解析] OP →＝OM →＋MP →＝ON →＋NP →.设MP →＝mMB →，NP →＝nNA →，则OP →＝OM →＋mMB →＝13a ＋m (b －13a )＝13(1－m )a ＋mb ，OP →＝ON →＋nNA →＝12b ＋n (a －12b )＝12(1－n )b ＋na . ∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 13－m ＝n 12－n ＝m⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ＝15，m ＝25.∴OP →＝15a ＋25b .20．(本小题满分13分)如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2BA ，∠ABC ＝60°，作AE ⊥BD 交BC 于E ，求BE EC .[解析] 解法一：设BA →＝a ，BC →＝b ，|a |＝1，|b |＝2， 则a·b ＝|a ||b |cos60°＝1，BD →＝a ＋b . 设BE →＝λBC →＝λb ，则AE →＝BE →－BA →＝λb －a ， 由AE ⊥BD ，得AE →·BD →＝0， 即(λb －a )(a ＋b )＝0， 得λ＝25，所以BEEC ＝2535＝解法二：以B 为坐标原点，直线BC 为x 轴建立平面直角坐标系， 根据条件，设B (0,0)，C (2,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32.又设E (m,0)，则BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫m －12，－32， 由AE ⊥BD ，得AE →·BD →＝0， 即52⎝ ⎛⎭⎪⎫m －12－32×32＝0，得m ＝45，所以BE EC ＝4565＝21．(本小题满分14分)已知平面向量a ＝(32，－12)， b ＝(12，32)． (1)证明：a ⊥b ；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使x＝a＋(t2－k)b，y＝－sa＋tb，且x⊥y，试求函数关系s＝f(t)；(3)若s＝f(t)在[1，＋∞)上是增函数，试求k的取值范围．[解析] (1)由题知|a|＝|b|＝1，且a·b＝32×12－12×32＝0，所以a⊥b.(2)由于x⊥y，则x·y＝0，从而－s|a|2＋(t＋sk－st2)·a·b＋t(t2－k)|b|2＝0，故s＝f(t)＝t3－kt.(3)设t1>t2≥1，则f(t1)－f(t2)＝t31－kt1－(t32－kt2)＝(t1－t2)(t21＋t1t2＋t22－k)．因为s＝f(t)在[1，＋∞)上是增函数．所以t21＋t1t2＋t22－k>0，即k<t21＋t1t2＋t22在[1，＋∞)上恒成立．又t21＋t1t2＋t22>3，所以只需k≤3即可．。
【成才之路】2015-2016学年人教A版高中数学必修4习题第二章平面向量2.4.1
第二章 2.4 2.4.1基础巩固一、选择题1．若|a |＝4，|b |＝2，a 和b 的夹角为30°，则a 在b 方向上的投影为( )A ．2B ． 3C ．2 3D ．4[答案] C[解析] a 在b 方向上的投影为|a a ，b ＝4×cos30°＝23，故选C ． 2．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是( )A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c[答案] B[解析] A 中，若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，故A 错；C 中，若a 2＝b 2，则|a |＝|b |，C 错；D 中，若a ·b ＝a ·c ，则可能有a ⊥b ，a ⊥c ，但b ≠c ，故只有选项B 正确，故选B ．3．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则|a |＝( )A ．2B ．4C ．6D ．12[答案] C[解析] ∵(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，∴a 2－a·b －6b 2＝－72.∴|a |2－|a ||b |cos60°－6|b |2＝－72.∴|a |2－2|a |－24＝0.又∵|a |≥0，∴|a |＝6.4．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( ) A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π3 [答案] D[解析] ∵|a ＋b |＝|a －b |，∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，∴a ·b ＝0.又∵|a ＋b |＝2|a |，∴|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝4|a |2，∴|b |2＝3|a |2.设a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝(a ＋b )·(a －b )|a ＋b ||a －b |＝|a |2－|b |24|a |2＝－2|a |24|a |2＝－12， 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3. 5．P 是△ABC 所在平面上一点，若P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则P 是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[答案] D[解析] 由P A →·PB →＝PB →·PC →得PB →·(P A →－PC →)＝0，即PB →·CA →＝0，∴PB ⊥CA ．同理P A ⊥BC ，PC ⊥AB ，∴P 为△ABC 的垂心．6．设a 、b 、c 是三个向量，有下列命题：①a 、b 反向⇔a ·b ＝－|a ||b |；②若a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，则b ＝c ；③(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2；④(a ·b )c －(c ·a )b ＝0.其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 [答案] A[解析] ①由于a 与b 反向所以夹角为180°，因此a ·b ＝|a ||b |cos180°＝－|a ||b |，反应也成立，故①正确；②中，a ·b －a ·c ＝a ·(b －c )＝0，又a ≠0，则b ＝c 或a ⊥(b －c )，即②不正确；③中，左边＝9a 2－6a ·b ＋6b ·a －4b 2＝9|a |2－4|b |2＝右边，即③正确；④由于数量积是实数，因此(a ·b )c ，(c ·b )b 分别表示与c ，b 共线的向量，运算结果不为0，故④错误．二、填空题7．(江苏高考)已知e 1、e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则实数k 的值为________．[答案] 54[解析] 由a ·b ＝0得(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0.整理，得k －2＋(1－2k )cos 2π3＝0，解得k ＝54. 8．(2012年全国高考全国卷)已知向量a 、b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.[答案] 3 2[解析] |2a －b |＝10⇔(2a －b )2＝10⇔4＋|b |2－4|b |cos45°＝10⇔|b |＝3 2.三、解答题9．已知|a |＝10，|b |＝12，a 与b 的夹角为120°，求：(1)a ·b ；(2)(3a )·⎝⎛⎭⎫15b ； (3)(3b －2a )·(4a ＋b )．[解析] (1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝10×12×cos120°＝－60.(2)(3a )·⎝⎛⎭⎫15b ＝35(a ·b )＝35×(－60)＝－36. (3)(3b －2a )·(4a ＋b )＝12b ·a ＋3b 2－8a 2－2a ·b ＝10a ·b ＋3|b |2－8|a |2＝10×(－60)＋3×122－8×102＝－968.10．已知向量a 与b 的夹角是120°，且|a |＝|b |＝4，求b ·(2a ＋b )的值．[解析] 由题意知，a ·b ＝|a ||b |cos120°＝16×(－12)＝－8，则 b ·(2a ＋b )＝2a ·b ＋b 2＝－16＋16＝0.能力提升一、选择题1．(2015·泉州四校二次联考)定义：|a ×b |＝|a |·|b |·sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，则|a ×b |等于( )A ．－8B ．8C ．－8或8D ．6[答案] B[解析] 由|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，得cos θ＝－35，sin θ＝45，∴|a ×b |＝|a |·|b |·sin θ＝2×5×45＝8.2．(2015·重庆理)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π[答案] A [解析] 由条件，得(a －b )·(3a ＋2b )＝3a 2－2b 2－a ·b ＝0，即a ·b ＝3a 2－2b 2.又|a |＝223|b |，所以a ·b ＝3·(223|b |)2－2b 2＝23b 2，所以a ，b ＝a ·b |a |·|b|＝23b 2223b 2＝22，所以a ，b ＝π4，故选A ．3．已知△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形[答案] C[解析] 由AB →2－AB →·AC →＝BA →·BC →＋CA →·CB →，得AB →·(AB →－AC →)＝BC →·(BA →－CA →)，即AB →·CB →＝BC →·BC →，∴AB →·BC →＋BC →·BC →＝0，∴BC →·(AB →＋BC →)＝0，则BC →·AC →＝0，即BC →⊥AC →，所以△ABC 是直角三角形，故选C ．4．如右图，O 、A 、B 是平面上的三点，向量OA →＝a ，OB →＝b ，设P 为线段AB 的垂直平分线上任意一点，向量OP →＝p .若|a |＝4，|b |＝2，则p ·(a －b )等于( )A ．1B ．3C ．5D ．6 [答案] D[解析] 由图知CP →⊥BA →，则CP →·BA →＝0，p ＝OP →＝OC →＋CP →＝12(OA →＋OB →)＋CP →， 则p ·(a －b )＝⎣⎡⎦⎤12(a ＋b )＋CP →·(a －b )＝12(a ＋b )·(a －b )＋CP →·(a －b )＝12(a 2－b 2)＋CP →·BA →＝12(|a |2－|b |2)＋0＝12(42－22)＝6. 二、填空题5．(安徽高考文)若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________．[答案] －13[解析] 本题主要考查了向量运算及夹角分式运用．∵|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，∴|a |2＝9|b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ，∴a ·b ＝－|b |2，∴cos 〈a ·b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－|b |23|b |·|b |＝－13.6．(2015·北京东城高三第一学期期末)已知向量a 、b 满足：|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则a 与b 的夹角为________；|2a －b |＝________.[答案] 1227 [解析] 由于a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝a ·b －1＝2，则a ·b ＝3.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝12， 又θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 因为|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝28，所以|2a －b |＝27.三、解答题7．已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，试问：当k 为何值时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直？[解析] ∵(k a －b )⊥(a ＋2b )，∴(k a －b )·(a ＋2b )＝0，即k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即k ×52＋(2k －1)×5×4×cos60°－2×42＝0，∴k ＝1415.∴当k ＝1415时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直． 8．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.(1)求|a ＋b |；(2)求向量a 在向量a ＋b 方向上的投影．[解析] (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.∵|a |＝4，|b |＝3，∴a ·b ＝－6， ∴|a ＋b |＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝42＋32＋2×(－6)＝13.(2)∵a ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b ＝42－6＝10， ∴向量a 在向量a ＋b 方向上的投影为 a ·(a ＋b )|a ＋b |＝1013＝101313.。
【成才之路】高中数学-模块综合能力检测题精品练习-新人教A版必修4
模块综合能力检测题本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(09·全国Ⅰ文)已知tan α＝4，tan β＝3，则tan (α＋β)＝( ) A.711 B ．－711 C.713 D ．－713[答案] B[解析] ∵tan β＝3，tan α＝4，∴tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝4＋31－4×3＝－711.2．(09 广东文)函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数[答案] A[解析] 因为y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 为奇函数，T ＝2π2＝π，所以选A . 3．(09·山东文)将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝2cos 2x B ．y ＝2sin 2x C ．y ＝1－sin (2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x[答案] A4．(09·浙江文)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A ．(79，73)B ．(－73，－79)C ．(73，79)D ．(－79，－73)[答案] D[解析] 设c ＝(m ，n )，∵c ＋a ＝(m ＋1，n ＋2)，a ＋b ＝(3，－1)， ∴由(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )得：⎩⎪⎨⎪⎧－3(m ＋1)－2(n ＋2)＝03m －n ＝0，解得m ＝－79，n ＝－73.故选D.5．函数y ＝cos x ·|tan x |⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2的大致图象是( )[答案] C[解析] ∵y ＝cos x ·|tan x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <0sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x <π2，故选C.6．在△ABC 中，sin A ＝35，cos B ＝513，则cos C 的值为( )A ．－5665B ．－1665C.1665D.5665[答案] C[解析] ∵cos B ＝513，∴sin B ＝1213，∵sin B >sin A ，A 、B 为△ABC 的内角， ∴B >A ，∴A 为锐角， ∵sin A ＝35，cos A ＝45，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－45×513＋35×1213＝1665.7．已知a ＝(1,3)，b ＝(2＋λ，1)，且a 与b 成锐角，则实数λ的取值范围是( ) A ．λ>－5B ．λ>－5且λ≠－53C ．λ<－5D ．λ<1且λ≠－53[答案] B[解析] ∵a 与b 夹角为锐角，∴a ·b ＝2＋λ＋3>0，∴λ>－5， 当a 与b 同向时，存在正数k ，使b ＝k a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋λ＝k 1＝3k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝13λ＝－53，因此λ>－5且λ≠－53.8．(09·陕西理)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A.103B.53C.23 D ．－2 [答案] A[解析] ∵3sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－13，∴原式＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝tan 2α＋11＋2tan α＝19＋11－23＝103，故选A.9．若sin 4θ＋cos 4θ＝1，则sin θ＋cos θ的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 [答案] D[解析] 解法一：由sin 4θ＋cos 4θ＝1知⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝0cos θ＝±1或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝±1cos θ＝0，∴sin θ＋cos θ＝±1.解法二：∵sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2sin 2θcos 2θ＝1，∴sin 2θcos 2θ＝0，∴sin θcos θ＝0， ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝1， ∴sin θ＋cos θ＝±1.10．a 与b 的夹角为120°，|a |＝2，|b |＝5，则(2a －b )·a ＝( ) A ．3 B ．9 C ．12 D ．13 [答案] D[解析] a ·b ＝2×5×cos120°＝－5， ∴(2a －b )·a ＝2|a |2－a ·b ＝8－(－5)＝13.11．设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，若A 、B 、D 三点共线，则k 的值为( )A ．－94B ．－49C ．－38D ．不存在 [答案] A[解析] BD →＝BC →＋CD →＝(－k e 1－e 2)＋(3e 1－2k e 2) ＝(3－k )e 1－(1＋2k )e 2， ∵A 、B 、D 共线，∴AB →∥BD →， ∴3－k 3＝－1－2k 2，∴k ＝－94. 12．(09·宁夏、海南理)已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，且PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心 外心 垂心B ．重心 外心 内心C ．外心 重心 垂心D ．外心 重心 内心(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心) [答案] C[解析] ∵O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，∴O 是△ABC 外接圆的圆心，由NA →＋NB →＋NC →＝0，得N 是△ABC 的重心； 由PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →得 PB →·(PA →－PC →)＝PB →·CA →＝0，∴PB ⊥CA ，同理可证PC ⊥AB ，PA ⊥BC ， ∴P 为△ABC 的垂心．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是________． [答案] 1－ 2[解析] y ＝2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， ∵x ∈R ，∴y min ＝1－ 2.14．在▱ABCD 中，M 、N 分别是DC 、BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，用c 、d 表示AB →＝________. [答案] 43d －23c[解析] d ＝AB →＋BN →＝AB →＋12AD →①c ＝AD →＋DM →＝AD →＋12AB →②解①②组成的方程组得AD →＝43c －23d ，AB →＝43d －23c .15．已知点P (sin α＋cos α，tan α)在第二象限，则角α的取值范围是________． [答案] 2k π－π4<α<2k π或2k π＋π2<α<2k π＋3π4k ∈Z[解析] ∵点P 在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α>0tan α<0，如图可知，α的取值范围是2k π－π4<α<2k π或2k π＋π2<α<2k π＋3π4k ∈Z .16．如图所示，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________. [答案] c ＋a －b[解析] OD →＝OC →＋CD →＝OC →＋BA →＝OC →＋(OA →－OB →)＝c ＋a －b .三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(09·湖南文)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)．(1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．[解析] (1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ， 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5. 从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4， 即sin2θ＋cos2θ＝－1， 于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22. 又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4，或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2，或θ＝3π4.18．(本题满分12分)(09·重庆文)设函数f (x )＝(sin ωx ＋cos ωx )2＋2cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象向右平移π2个单位长度得到，求y ＝g (x )的单调增区间．[解析] (1)f (x )＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋2sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx ＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋2 ＝2sin(2ωx ＋π4)＋2，依题意得2π2ω＝2π3，故ω＝32.(2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4＋2，依题意得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π4＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －5π4＋2，由2k π－π2≤3x －5π4≤2k π＋π2 (k ∈Z )解得23k π＋π4≤x ≤23k π＋7π12(k ∈Z )， 故g (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23k π＋π4，23k π＋7π12 (k ∈Z )．19．(本题满分12分)(09·陕西文)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的周期为π，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时，求f (x )的最值．[解析] (1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2得A ＝2，由T ＝π得ω＝2πT ＝2ππ＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－2 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，∴4π3＋φ＝2k π－π2即φ＝2k π－11π6，k ∈Z ，又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴k ＝1，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，∴当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )取得最大值 3.20．(本题满分12分)(北京通州市09～10高一期末)已知向量a ＝(3cos ωx ，sin ωx )，b ＝sin(ωx,0)，且ω>0，设函数f (x )＝(a ＋b )·b ＋k ，(1)若f (x )的图象中相邻两条对称轴间距离不小于π2，求ω的取值范围；(2)若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈－π6，π6时，f (x )的最大值为2，求k 的值．[解析] ∵a ＝(3cos ωx ，sin ωx )，b ＝(sin ωx,0)， ∴a ＋b ＝(3cos ωx ＋sin ωx ，sin ωx )．∴f (x )＝(a ＋b )·b ＋k ＝3sin ωx cos ωx ＋sin 2ωx ＋k ＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＋k＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋12＋k . (1)由题意可得：T 2＝2π2×2ω≥π2.∴ω≤1，又ω>0， ∴ω的取值范围是0<ω≤1. (2)∵T ＝π，∴ω＝1. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12＋k ∵－π6≤x ≤π6，∴－π2≤2x －π6≤π6.∴当2x －π6＝π6，即x ＝π6时，f (x )取得最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2. ∴sin π6＋12＋k ＝2.∴k ＝1.21．(本题满分12分)(09·江苏文)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β) (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .[解析] (1)∵a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)∵a 与b －2c 垂直，∴a ·(b －2c )＝a ·b －2a ·c ＝4cos αsin β＋4sin αcos β－2(4cos αcos β－4sin αsin β)＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，∴tan(α＋β)＝2. (2)∵b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)∴|b ＋c |2＝sin 2β＋2sin βcos β＋cos 2β＋16cos 2β－32cos βsin β＋16sin 2β ＝17－30sin βcos β＝17－15sin2β， 当sin2β＝－1时，最大值为32， ∴|b ＋c |的最大值为4 2.(3)由tan αtan β＝16得sin αsin β＝16cos αcos β 即4cos α·4cos β－sin αsin β＝0，∴a ∥b .22．(本题满分14分)(09·福建文)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，|φ|<π2.(1)若cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f (x )的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数．[解析] 解法一：(1)由cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0得cos π4cos φ－sin π4sin φ＝0， 即cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0.又|φ|<π2，∴φ＝π4；(2)由(1)得，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4.依题意，T 2＝π3.又T ＝2πω，故ω＝3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. 函数f (x )的图象向左平移m 个单位后，所得图象对应的函数为g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(x ＋m )＋π4，g (x )是偶函数当且仅当3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝k π3＋π12(k ∈Z )． 从而，最小正实数m ＝π12.解法二：(1)同解法一．(2)由(1)得，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4. 依题意，T 2＝π3.又T ＝2πω，故ω＝3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. 函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所得图象对应的函数为g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(x ＋m )＋π4.g (x )是偶函数当且仅当g (－x )＝g (x )对x ∈R 恒成立，亦即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋3m ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3m ＋π4对x ∈R 恒成立．∴sin(－3x )cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋π4＋cos(－3x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋π4 ＝sin3x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋π4＋cos3x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋π4， 即2sin3x cos ⎝⎛⎭⎪⎫3m ＋π4＝0对x ∈R 恒成立．∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋π4＝0， 故3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，∴m ＝k π3＋π12(k ∈Z )， 从而，最小正实数m ＝π12.。
【成才之路】2015-2016学年人教A版高中数学必修4习题第二章平面向量2.1
第二章 2.1基础巩固一、选择题1．下列命题中正确的是( )A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．模相等的两个平行向量是相等向量C ．若a 和b 都是单位向量，则a ＝bD ．两个相等向量的模相等 [答案] D2．下列说法中，不正确的是( ) A ．向量AB →的长度与向量BA →的长度相等 B ．任何一个非零向量都可以平行移动C ．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D ．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同 [答案] D[解析] 很明显选项A ，B ，C 正确，共线向量只与方向有关，方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D 不正确．3．已知非零向量a 、b 满足a ∥b ，则下列说法错误的是( ) A ．a ＝bB ．它们方向相同或相反C ．所在直线平行或重合D ．都与零向量共线[答案] A4．数轴上点A 、B 分别对应－1、2，则向量AB →的长度是( ) A ．－1 B ．2 C ．1 D ．3[答案] D5．(2015·临沂高一检测)以下说法错误的是( ) A ．零向量与任一非零向量平行 B ．零向量与单位向量的模不相等 C ．平行向量方向相同 D ．平行向量一定是共线向量 [答案] C6．下列说法正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a 、b 的长度相等且方向相同或相反B ．若向量AB →、CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →C ．若a ≠b ，则a 与b 可能是共线向量D ．若非零向量AB →与CD →平行，则A 、B 、C 、D 四点共线 [答案] C 二、填空题7．零向量与单位向量的关系是________(填“共线”、“相等”、“无关”)． [答案] 共线8．等腰梯形ABCD 两腰上的向量AB →与DC →的关系是______________． [答案] |AB →|＝|DC →| 三、解答题9．如右图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中， (1)写出与AF →、AE →相等的向量； (2)写出与AD →模相等的向量．[解析] (1)与AF →相等的向量为BE →、CD →，与AE →相等的向量为BD →. (2)DA →，CF →，FC →.10．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：(1)与AB →相等的向量共有几个；(2)与AB →平行且模为2的向量共有几个？ (3)与AB →方向相同且模为32的向量共有几个？[探究] 非零向量平行(共线)包括两种情况：一种是方向相同，另一种是方向相反． [解析] (1)与向量AB →相等的向量共有5个(不包括AB →本身)． (2)与向量AB →平行且模为2的向量共有24个． (3)与向量AB →方向相同且模为32的向量共有2个．能力提升一、选择题1．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形D ．等腰梯形[答案] C[解析] 由BA →＝CD →⇒BA ∥CD 且|BA →|＝|CD →|，又|AB →|＝|AD →|，故四边形ABCD 为菱形. 2．下列说法中错误的是( )A ．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B ．若向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量C ．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D ．方向相反的两个非零向量必不相等 [答案] C3．设O 为△ABC 外接圆的圆心，则AO →，BO →，CO →是( ) A ．相等向量 B ．平行向量 C ．模相等的向量 D ．起点相同的向量[答案] C[解析] |AO →|，|BO →|，|CO →|都等于△ABC 外接圆的半径，故选C .4．已知A ＝{与a 共线的向量}，B ＝{与a 长度相等的向量}，C ＝{与a 长度相等，方向相反的向量}，其中a 为非零向量，则下列命题中错误的是( )A ．C AB ．A ∩B ＝{a }C ．C BD ．A ∩B{a }[答案] B[解析] 因为A ∩B 中还含有a 方向相反的向量，所以B 错． 二、填空题5．如图ABCD 是菱形，则在向量AB →、BC →、CD →、DA →、DC →和AD →中，相等的有________对．[答案] 2[解析] AB →＝DC →，BC →＝AD →.其余不等．6．(2015·海南三亚调研)把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O ，则这些向量的终点构成的图形的面积等于____________．[答案] 3π[解析] 这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π. 三、解答题7．在如图所示的方格纸上(每个小方格边长均为1)，已知向量a .(1)试以B 为起点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么． [分析] 用有向线段表示向量，注意起点、方向、长度．[解析] (1)根据相等向量的定义，所作向量应与a 平行，且长度相等，如图所示． (2)满足条件的向量c 可以是图中的CD →.所有这样的向量c 的终点的轨迹是以C 为圆心，2为半径的圆，如图．8．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km 到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000km 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行10002km 到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？[解析] 如图所示，A 、B 、C 、D 分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC 为正三角形，∴AC ＝2000km.又∵∠ACD ＝45°，CD ＝10002，∴△ACD 为直角三角形，即AD ＝10002km ，∠CAD ＝45°.答：丁地在甲地的东南方向，距甲地10002km.。
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第二章综合检测题本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(08·湖北文)设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c ＝( )A ．(－15,12)B ．0C ．－3D ．－11[答案] C[解析] ∵a ＋2b ＝(－5,6)，c ＝(3,2)，∴(a ＋2b )·c ＝－5×3＋6×2＝－3.2．已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )A ．λ>1B ．λ<1C ．λ<－1D ．λ<－1或－1<λ<1[答案] D[解析] 由条件知，a ·b ＝λ－1<0，∴λ<1，当a 与b 反向时，假设存在负数k ，使b ＝k a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝k 1＝－k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1λ＝－1. ∴λ<1且λ≠－1.3．在四边形ABCD 中，若AB →·CD →＝－|AB →|·|CD →|，且BC →·AD →＝|AD →|·|BC →|，则该四边形一定是( )A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形[答案] A[解析] 由AB →·CD →＝－|AB →|·|CD →|可知AB →与CD →的夹角为180°，∴AB ∥CD .又由BC →·AD →＝|AD →|·|BC →|知BC →与AD →的夹角为0°，∴BC ∥AD ，∴四边形ABCD 是平行四边形．4．如果两个非零向量a 和b 满足等式|a |＋|b |＝|a ＋b |，则a ，b 应满足( )A ．a ·b ＝0B ．a ·b ＝|a |·|b |C ．a ·b ＝－|a |·|b |D ．a ∥b[答案] B[解析] 由|a |＋|b |＝|a ＋b |知，a 与b 同向，故夹角为0°，∴a ·b ＝|a |·|b |cos0°＝|a |·|b |.5．(08·湖南理)设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE→＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直[答案] A[解析] AD →＋BE →＋CF →＝AB →＋BD →＋BC →＋CE →＋BF →－BC →＝AB →＋13BC →＋BC →－23AC →－13AB →－BC →＝23(AB →－AC →)＋13BC →＝23CB →＋13BC →＝－13BC →，故选A.6．在▱ABCD 中，已知AC →＝(－4,2)，BD →＝(2，－6)，那么|2AB →＋AD →|＝( )A ．5 5B ．2 5C ．210 D.85[答案] D[解析] 设AB →＝a ，AD →＝b ，则a ＋b ＝AC →＝(－4,2)，b －a ＝BD →＝(2，－6)，∴b ＝(－1，－2)，a ＝(－3,4)，∴2AB →＋AD →＝2a ＋b ＝(－7,6)，∴|2AB →＋AD →|＝(－7)2＋62＝85.7．如右图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且E 、F分别为AB 、CD 的中点，则( )A.EF →＝12(a ＋b ＋c ＋d )B.EF →＝12(a －b ＋c －d ) C.EF →＝12(c ＋d －a －b ) D.EF →＝12(a ＋b －c －d ) [答案] C[解析] ∵EF →＝OF →－OE →＝12(OC →＋OD →)－12(OA →＋OB →) ＝12(c ＋d )－12(a ＋b )， ∴EF →＝12(c ＋d －a －b )． 8．在矩形ABCD 中，AE →＝12AB →，BF →＝12BC →，设AB →＝(a,0)，AD →＝(0，b )，当EF →⊥DE →时，求得|a ||b |的值为( ) A ．3B ．2 C.3 D. 2[答案] D[解析] 如图，∵EF →＝EB →＋BF →＝12AB →＋12AD → ＝⎝⎛⎭⎫a 2，0＋⎝⎛⎭⎫0，b 2＝⎝⎛⎭⎫a 2，b 2.又∵DE →＝DA →＋AE →＝－AD →＋12AB →＝(0，－b )＋⎝⎛⎭⎫a 2，0＝⎝⎛⎭⎫a 2，－b ， ∵EF →⊥DE →，∴a 24－b 22＝0，∴|a ||b |＝ 2. 9．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上求一点P ，使AP →·BP →取最小值，则P 点的坐标是( )A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(2,0)D ．(4,0)[答案] A[解析] 设P (x 0,0)，且AP →＝(x 0－2，－2)，BP →＝(x 0－4，－1)，∴AP →·BP →＝(x 0－2)(x 0－4)＋2＝x 20－6x 0＋10＝(x 0－3)2＋1，∴x 0＝3时，AP →·BP →取最小值．10．(08·浙江理)已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2 C. 2 D.22[答案] C[解析] 由(a －c )(b －c )＝0得a ·b －(a ＋b )·c ＋c 2＝0，即c 2＝(a ＋b )c ，故|c |·|c |≤|a ＋b |·|c |，即|c |≤|a ＋b |＝2，故选C.11．(09·辽宁文)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝( )A. 3B ．2 3C ．4D ．12[答案] B[解析] ∵a ＝(2,0)，∴|a |＝2，|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b＝4＋4＋4×2×1×cos60°＝12，∴|a ＋2b |＝23，∴选B.12．设e 1与e 2为两不共线向量，AB →＝2e 1－3e 2，BC →＝－5e 1＋4e 2，CD →＝e 1＋2e 2，则( )A ．A 、B 、D 三点共线B ．A 、C 、D 三点共线C ．B 、C 、D 三点共线D ．A 、B 、C 三点共线[答案] A[解析] ∵BD →＝BC →＋CD →＝－4e 1＋6e 2＝－2(2e 1－3e 2)＝－2AB →，∴AB →∥BD →，∵AB →与BD →有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．与向量a ＝(－5,12)共线的单位向量为________．[答案] ⎝⎛⎭⎫－513，1213和⎝⎛⎫513，－1213 [解析] ∵|a |＝13，∴与a 共线的单位向量为±a |a |＝±⎝⎛⎭⎫－513，1213. 14．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，D 是边BC 的中点，则AD →·BC →＝________.[答案] 52[解析] 由已知得AD →＝12(AB →＋AC →)， BC →＝AC →－AB →，∴AD →·BC →＝12(AB →·AC →)·(AC →－AB →) ＝12(|AC →|2－|AB →|2)＝12(9－4)＝52. 15．已知a ＋b ＝2e 1－8e 2，a －b ＝－8e 1＋16e 2，其中|e 1|＝|e 2|＝1，e 1⊥e 2，则a ·b ＝________.[答案] －63[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2e 1－8e 2a －b ＝－8e 1＋16e 2得， ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3e 1＋4e 2b ＝5e 1－12e 2， ∴a ·b ＝(－3e 1＋4e 2)·(5e 1－12e 2)＝－15|e 1|2＋56e 1·e 2－48|e 2|2＝－63.16．已知OA →＝(k,2)，OB →＝(1,2k )，OC →＝(1－k ，－1)，且相异三点A 、B 、C 共线，则实数k ＝________.[答案] －14[解析] AB →＝OB →－OA →＝(1－k,2k －2)，AC →＝OC →－OA →＝(1－2k ，－3)，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →∥AC →，∴(1－k )·(－3)－(2k －2)·(1－2k )＝0，∴k ＝1或－14. ∵A 、B 、C 是不同三点，∴k ≠1，∴k ＝－14. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知a ＝(1,1)，且a 与a ＋2b 的方向相同，求a ·b 的取值范围．[解析] ∵a 与a ＋2b 方向相同，且a ≠0，∴存在正数λ，使a ＋2b ＝λa ，∴b ＝12(λ－1)a . ∴a ·b ＝a ·⎣⎡⎦⎤12(λ－1)a ＝12(λ－1)|a |2 ＝λ－1>－1.即a ·b 的取值范围是(－1，＋∞)．18．(本题满分12分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，(1)k a ＋b 与a －3b 垂直？(2)k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？[解析] (1)k a ＋b ＝k ×(1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3×(－3,2)＝(10，－4)．当(k a ＋b )·(a －3b )＝0时，这两个向量垂直．由10(k －3)＋(2k ＋2)(－4)＝0，解得k ＝19.即当k ＝19时，k a ＋b 与a －3b 垂直．(2)当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一的实数λ使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)得，⎩⎪⎨⎪⎧ k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得⎩⎨⎧ k ＝－13，λ＝－13.即当k ＝－13时，两向量平行． ∵λ＝－13，∴－13a ＋b 与a －3b 反向． 19．(本题满分12分)已知a ＝3i －4j ，a ＋b ＝4i －3j ，(1)求向量a 、b 的夹角的余弦值；(2)对非零向量p ，q ，如果存在不为零的常数α，β使αp ＋βq ＝0，那么称向量p ，q 是线性相关的，否则称向量p ，q 是线性无关的．向量a ，b 是线性相关还是线性无关的？为什么？[解析] (1)b ＝(a ＋b )－a ＝i ＋j ，设a 与b 夹角为θ，根据两向量夹角公式：cos θ＝a ·b |a ||b |＝3－452＝－210. (2)设存在不为零的常数α，β使得αa ＋βb ＝0，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 3α＋β＝0－4α＋β＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧α＝0β＝0， 所以不存在非零常数α，β，使得αa ＋βb ＝0成立．故a 和b 线性无关．20．(本题满分12分)已知正方形ABCD ，P 为对角线AC 上任一点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥BC 于点F .求证：DP ⊥EF .[证明] 以A 为原点，AB 、AD 分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，设正方形边长为1，则AB →＝(1,0)，AD →＝(0,1)．由已知，可设AP →＝(a ，a )，并可得EB →＝(1－a,0)，BF →＝(0，a )，EF →＝(1－a ，a )，DP →＝AP →－AD →＝(a ，a －1)，∵DP →·EF →＝(1－a ，a )·(a ，a －1)＝(1－a )a ＋a (a －1)＝0.∴DP →⊥EF →，因此DP ⊥EF .21．(本题满分12分)设直线l ：mx ＋y ＋2＝0与线段AB 有公共点P ，其中A (－2,3)，B (3,2)，试用向量的方法求实数m 的取值范围．[解析] (1)P 与A 重合时，m ×(－2)＋3＋2＝0，∴m ＝52. P 与B 重合时，3m ＋2＋2＝0，∴m ＝－43. (2)P 与A 、B 不重合时，设AP →＝λPB →，则λ>0.设P (x ，y )，则AP →＝(x ＋2，y －3)，PB →＝(3－x,2－y )．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝λ(3－x )y －3＝λ(2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3λ－2λ＋1y ＝2λ＋3λ＋1，把x ，y 代入mx ＋y ＋2＝0可解得λ＝2m －53m ＋4， 又∵λ>0，∴2m －53m ＋4>0.∴m <－43或m >52. 由(1)(2)知，所求实数m 的取值范围是－∞，－43∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞. 22．(本题满分14分)已知a ，b 是两个非零向量，夹角为θ，当a ＋t b (t ∈R )的模取最小值时．(1)求t 的值；(2)求b 与a ＋t b 的夹角．[解析] (1)|a ＋t b |2＝a 2＋2t a ·b ＋t 2b 2＝|b |2t 2＋2|a ||b |cos θ·t ＋|a |2.∴当t ＝－|a |cos θ|b |时，|a ＋t b |有最小值． (2)当t ＝－|a |cos θ|b |时， b ·(a ＋t b )＝a ·b ＋t |b |2＝|a |·|b |cos θ－|a |cos θ|b |·|b |2＝0. ∴b ⊥(a ＋t b )，即b 与a ＋t b 的夹角为90°.。