2019中考数学专题练习-几何体的表面积(含解析)
简单几何体的表面积与体积跟踪训练含答案
8.3简单几何体的表面积与体积跟踪训练(答案)一、选择题1、已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( B )A.2B.2 2C.4D.4 2解：设圆锥的母线长为l，因为该圆锥的底面半径为2，侧面展开图为一个半圆，所以2π×2＝πl，解得l＝2 2.2、现有同底等高的圆锥和圆柱，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面积为( D )A.3πB.3π2 C.5π2 D.5π解：设底面圆的半径为R，圆柱的高为h，依题意2R＝h＝2，∴R＝1.∴圆锥的母线l＝h2＋R2＝22＋1＝5，因此S圆锥侧＝πRl＝1×5π＝5π.3、等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积为( B )A．2πB．2π或()1＋2πC．22πD．22π或()2＋2π解：如果绕直角边所在直线旋转，那么形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线长就是直角三角形的斜边长2，所以所形成的几何体的表面积S＝πrl＋πr2＝π×1×2＋π×12＝(2＋1)π；如果绕斜边所在直线旋转，那么形成的是同底的两个圆锥，圆锥的底面半径是直角三角形斜边高为22，两个圆锥的母线长都是1，所以形成的几何体的表面积S＝2×πrl＝2×π×22×1＝2π.综上可知，形成几何体的表面积是(2＋1)π或2π.故选B．4、对24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义：0～1010～2525～5050～100小雨中雨大雨暴雨小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级( B )A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨解：由相似关系可得，雨水形成的小圆锥的底面半径r ＝20022＝50(mm)，故 V 小圆锥＝13×π×502×150＝503·π(mm 3)，从而可得积水厚度h ＝V 小圆锥S 大圆＝503·ππ·1002＝12.5(mm)，属于中雨.5、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( C )A ．5－14B ．5－12C ．5＋14D ．5＋12解：设正四棱锥的高为h ，底面正方形的边长为2a ，斜高为m ，依题意得h 2＝12×2a ×m ，即h 2＝am ①，易知h 2＋a 2＝m 2 ②，由①②得m ＝1＋52a (舍负)，所以m2a ＝1＋52a 2a ＝1＋54.故选C ．6、已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( B )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π解：设圆柱的轴截面的边长为x ，则由x 2＝8，得x ＝22，所以S 表＝2S 底＋S 侧＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.故选B ．7、已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为( C )A ．81πB ．100πC ．168πD ．169π解：圆台的轴截面如图，设上底面半径为r ，下底面半径为R ，高为h ，母线长为l ，则它的母线长l ＝h 2＋(R －r )2＝(4r )2＋(3r )2＝5r ＝10，所以r ＝2，R ＝8.故S 侧＝π(R ＋r )l ＝π(8＋2)×10＝100π， S 表＝S 侧＋πr 2＋πR 2＝100π＋4π＋64π＝168π.8、正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( D )A.20＋12 3B.28 2C.563D.2823解：连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，因为该四棱台上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高h ＝22－（22－2）2＝2，下底面面积S 1＝16，上底面面积S 2＝4，所以该棱台的体积V ＝13h (S 1＋S 2＋S 1S 2)＝13×2×(16＋4＋64)＝2823.9、已知三棱锥S －ABC 中，∠SAB ＝∠ABC ＝π2，SB ＝4，SC ＝213，AB ＝2，BC ＝6，则三棱锥S －ABC 的体积是( C )A.4B.6C.4 3D.6 3解：∵∠ABC ＝π2，AB ＝2，BC ＝6，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝22＋62＝210.∵∠SAB ＝π2，AB ＝2，SB ＝4，∴AS ＝SB 2－AB 2＝42－22＝2 3.由SC ＝213，得AC 2＋AS 2＝SC 2，∴AC ⊥AS .又∵SA ⊥AB ，AC ∩AB ＝A ，∴AS ⊥平面ABC ，∴AS 为三棱锥S －ABC 的高，∴V 三棱锥S －ABC ＝13×12×2×6×23＝4 3. 10、如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是( C )A ．23πB ．324πC ．223πD ．22π解：如图所示，过点P 作PE ⊥平面ABC ，E 为垂足，点E 为等边三角形ABC 的中心，连接AE 并延长，交BC 于点D .AE ＝23AD ，AD ＝32， 所以AE ＝23×32＝33， 所以PE ＝P A 2－AE 2＝63.设圆柱底面半径为r ，则r ＝AE ＝33，所以圆柱的侧面积S ＝2πr ·PE ＝2π×33×63＝22π3.11、已知三棱锥S -ABC 中，∠SAB ＝∠ABC ＝π2，SB ＝4，SC ＝213，AB ＝2，BC ＝6，则三棱锥S -ABC 的体积是( C )A ．4B ．6C ．4 3D ．6 3解：因为∠ABC ＝π2，AB ＝2，BC ＝6，所以AC ＝AB 2＋BC 2＝22＋62＝210.因为∠SAB ＝π2，AB ＝2，SB ＝4，所以AS ＝SB 2－AB 2＝42－22＝2 3.由SC ＝213，得AC 2＋AS 2＝SC 2，所以AC ⊥AS .又因为SA ⊥AB ，AC ∩AB ＝A ，所以AS ⊥平面ABC ，所以AS 为三棱锥S -ABC 的高，所以V 三棱锥S -ABC ＝13×12×2×6×2 3＝4 3.12、(多选)已知正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，若θ＝30°，侧棱长为21，则( AC )A.正四棱锥的底面边长为6B.正四棱锥的底面边长为3C.正四棱锥的侧面积为24 3D.正四棱锥的侧面积为12 3解： 如图，在正四棱锥S －ABCD 中，O 为正方形ABCD 的中心，SH ⊥AB ，设底面边长为2a (a ＞0)，因为∠SHO ＝30°，所以OH ＝a ，OS ＝33a ，SH ＝233a ，在Rt △SAH 中，a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233a 2＝21，所以a＝3，底面边长为6，侧面积为S ＝12×6×23×4＝24 3.故选AC.二、填空题13、已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为__39π______．解：设该圆锥的高为h ，则由已知条件可得13×π×62×h ＝30π，解得h ＝52，则圆锥的母线长为h 2＋62＝254＋36＝132，故该圆锥的侧面积为π×6×132＝39π.14、一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm 和8 cm ，若两底面圆心的连线长为12 cm ，则这个圆台的母线长为____13____cm.解：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.在Rt△ABC中，AC＝12 cm，BC＝8－3＝5(cm).所以AB＝122＋52＝13(cm).15、已知圆锥的顶点为A，过母线AB，AC的截面面积是2 3.若AB，AC的夹角是60°，且AC与圆锥底面所成的角是30°，则该圆锥的表面积为___(6＋43)π_____.解：如图所示，∵AB，AC的夹角是60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴34×AC2＝23，解得AC＝2 2.∵AC与圆锥底面所成的角是30°，∴圆锥底面半径r＝OC＝AC cos 30°＝22×32＝ 6.则该圆锥的表面积＝π×(6)2＋12×2π×6×22＝(6＋43)π.16、学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体.其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为__118.8____g.解：由题意得，四棱锥O－EFGH的底面积为4×6－4×12×2×3＝12(cm2)，其高为点O到底面EFGH的距离，为3 cm，则此四棱锥的体积为V1＝13×12×3＝12(cm3).又长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为V2＝4×6×6＝144(cm3)，所以该模型的体积V＝V2－V1＝144－12＝132(cm3)，因此模型所需原材料的质量为0.9×132＝118.8(g).17、棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为____1____.解：如图，由正方体棱长为2及M，N分别为BB1，AB的中点，得S△A1MN ＝2×2－2×12×2×1－12×1×1＝32，又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2，∴V A1－D1MN ＝V D1－A1MN＝13·S△A1MN·D1A1＝13×32×2＝1.18、圆台的上、下底面半径分别为10 cm，20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的表面积为___1 100π_____cm2.(结果中保留π)解：如图所示，设圆台的上底面周长为c cm，因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10(cm)，所以SA＝20 cm.同理可得SB＝40 cm，所以AB＝SB－SA＝20 cm，所以S表＝S侧＋S上底＋S下底＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2).故圆台的表面积为1 100π cm2.19、如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为___23_____.解：如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH .则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱.依题意，三棱锥E －ADG 的高EG ＝12，直三棱柱AGD －BHC 的高AB ＝1. 则AG ＝AE 2－EG 2＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.取AD 的中点M ，则MG ＝22， 所以S △AGD ＝12×1×22＝24，∴V 多面体＝V E －ADG ＋V F －BHC ＋V AGD －BHC ＝2V E －ADG ＋V AGD －BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝23.20、如图，设正三棱锥S -ABC 的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO ＝3，则此正三棱锥的表面积为________．解：如图，设正三棱锥的底面边长为a ，斜高为h ′，过点O 作OE ⊥AB ，与AB 交于点E ，连接SE ，则SE ⊥AB ，SE ＝h ′.因为S 侧＝2S 底， 所以12·3a ·h ′＝34a 2×2. 所以a ＝3h ′.因为SO ⊥OE ，所以SO 2＋OE 2＝SE 2.所以32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫36×3h ′2＝h ′2.所以h ′＝23，所以a ＝3h ′＝6.所以S 底＝34a 2＝34×62＝93，S 侧＝2S 底＝18 3. 所以S 表＝S 侧＋S 底＝93＋183＝27 3.21、已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为__39π______.解;设该圆锥的高为h ，则由已知条件可得13×π×62·h ＝30π，解得h ＝52，则圆锥的母线长为h 2＋62＝254＋36＝132，故该圆锥的侧面积为π×6×132＝39π.22、如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，ED ⊥平面ABCD ，FC ⊥平面ABCD ，ED ＝2FC ＝2，则四面体ABEF 的体积为____23____.解： ∵ED ⊥平面ABCD 且AD ⊂平面ABCD ，∴ED ⊥AD . ∵在正方形ABCD 中，AD ⊥DC ， 而DC ∩ED ＝D ， ∴AD ⊥平面CDEF .易知FC ＝ED2＝1，V A －BEF ＝V ABCDEF －V F －ABCD －V A －DEF . ∵V E －ABCD ＝ED ×S 正方形ABCD ×13＝2×2×2×13＝83，V B －EFC ＝BC ×S △EFC ×13＝2×2×1×12×13＝23，∴V ABCDEF ＝83＋23＝103.又V F －ABCD ＝FC ×S正方形ABCD×13＝1×2×2×13＝43，V A－DEF＝AD ×S △DEF ×13＝2×2×2×12×13＝43，V A －BEF ＝103－43－43＝23.23、若E ，F 是三棱柱ABC －A 1B 1C 1侧棱BB 1和CC 1上的点，且B 1E ＝CF ，三棱柱的体积为m ，则四棱锥A －BEFC 的体积为____m3____.解： 如图所示，连接AB 1，AC 1.因为B 1E ＝CF ，所以梯形BEFC 的面积等于梯形B 1EFC 1的面积. 又四棱锥A －BEFC 的高与四棱锥A －B 1EFC 1的高相等， 所以V A －BEFC ＝V A －B 1EFC 1＝12V A －BB 1C 1C .又V A －A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·AA 1， V ABC －A 1B 1C 1＝S △A 1B 1C 1·AA 1＝m ， 所以V A －A 1B 1C 1＝m 3，所以V A －BB 1C 1C ＝V ABC －A 1B 1C 1－V A －A 1B 1C 1＝2m3， 所以V A －BEFC ＝12×2m 3＝m3， 即四棱锥A －BEFC 的体积是m3.24、现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P -A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍，若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？解：由PO 1＝2 m ，知O 1O ＝4PO 1＝8 m ．因为A 1B 1＝AB ＝6 m ，所以正四棱锥P -A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)；正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)，所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3).故仓库的容积是312 m3.25、如图所示，底面半径为1，高为1的圆柱OO1中有一内接长方体A1B1C1D1-ABCD.设矩形ABCD的面积为S，长方体A1B1C1D1-ABCD的体积为V，AB＝x.(1)将S表示为x的函数；(2)求V的最大值．解：(1)连接AC(图略)，因为矩形ABCD内接于⊙O，所以AC为⊙O的直径．因为AC＝2，AB＝x，所以BC＝4－x2，所以S＝AB·BC＝x4－x2(0<x<2).(2)因为长方体的高AA1＝1，所以V＝S·AA1＝x4－x2＝x2(4－x2)＝－(x2－2)2＋4.因为0<x<2，所以0<x2<4，故当x2＝2即x＝2时，V取得最大值，此时V max＝2.。
高二数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析
高二数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1.正四棱锥的五个顶点在同一个球面上,若其底面边长为4,侧棱长为,则此球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设球的半径为，正方形的ABCD的对角线的交点 M，则球心在直线PM上．，由勾股定理得,再由射影定理得即∴此球的表面积为.【考点】球的表面积.2.一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（）平方米.A．B．C．D．【答案】D.【解析】所求几何体的体积为阴影部分的面积与高的乘积，在中，,则,,体积.【考点】组合体的体积.3.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是_________．【答案】【解析】由正视图可知四棱锥的底面边长为2，高为2，可求出斜高为，因此四棱锥的侧面积，答案为.【考点】1.几何体的三视图；2.锥体的侧面积计算4.已知球的直径SC=4，A.,B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC的体积为_________【答案】【解析】设ＡB的中点为D，球心为O，连结SD，CD，OD，由SC=4为球的直径知，∠SBC=∠SAC=90o,因为∠ASC=∠BSC=45°，所以SA=BC=SB=AC=，所以SD⊥AB，DC⊥AB，所以AB⊥面SDC，因为AB=2，所以SD=DC==，所以DO= =，所以= ===.考点:球的性质，线面垂直判定，三棱锥的体积公式，转化思想5.如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞，且知，若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的 .【答案】【解析】过作截面平行于平面,可得截面下体积为原体积的，若过点F，作截面平行于平面,可得截面上的体积为原体积的，若C为最低点，以平面为水平上面，则体积为原体积的，此时体积最大.【考点】体积相似计算.6.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是．【答案】【解析】如图甲，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心．因，故，从而．记此时小球与面的切点为，连接，则．考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如图乙．记正四面体的棱长为，过作于．因，有，故小三角形的边长．小球与面不能接触到的部分的面积为（如答图2中阴影部分）．又，，所以．由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为．【考点】(1)三棱锥的体积公式；（2）分情况讨论及割补思想的应用。
山东省滨州市2019届中考数学真题试题(含解析)17.doc
中考数学真题试题一、选择题（每小题3分，共12小题，合计36分）1.计算－(－1)＋|－1|，结果为A．－2B．2C．0D．－12.一元二次方程x2－2x＝0根的判别式的值为A．4B．2C．0D．－43.如图，直线AC∥BD，AO，BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线，那么下列结论错误的是A．∠BAO与∠CAO相等B．∠BAC与∠ABD互补C．∠BAO与∠ABO互余D．∠ABO与∠DBO不等4.下列计算：（1）()2＝2，（2）＝2，（3）()2＝12，（4），其中结果正确的个数为A．1B．2C．3D．45.若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为A．B．2C．D．16.分式方程的解为A．x＝1B．x＝－1C．无解D．x＝－27.如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为A．2＋B．2C．3＋D．38.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为A．40°B．36°C．80°D．25°9.某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个．若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是A．22x＝16(27－x)B．16x＝22(27－x)C．2×16x＝22(27－x)D．2×22x＝16(27－x)10.若点M(－7，m)、N(－8，n)都是函数y＝－(k2＋2k＋4)x＋1（k为常数）的图象上，则m 和n的大小关系是A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．不能确定11.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN 在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM ＝PN恒成立，（2）OM＋ON的值不变，（3）四边形PMON的面积不变，（4）MN的长不变，其中正确的个数为A．4B．3C．2D．112.在平面直角坐标系内，直线AB垂直于x轴于点C（点C在原点的右侧），并分别与直线y＝x和双曲线y＝相交于点A、B，且AC＋BC＝4，则△OAB的面积为A．2＋3或2－3B．＋1或－1C．2－3D．－1第II卷（非选择题，共84分）二、填空题：本大题共6个题，每小题4分，满分24分．13.计算：＋(－3)0－|－|－2-1－cos60°＝____________．14.不等式组的解集为___________．15.在平面直角坐标系中，点C、D的坐标分别为C(2，3)、D(1，0)．现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点D的对应点B在x轴上且OB＝2，则点C的对应点A的坐标为_______．16.如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC 相交于点F．若AD＝8，AB＝6，AE＝4，则△EBF周长的大小为___________．17.如图，一个几何体的三视图分别是两个矩形、一个扇形，则这个几何体表面积的大小为_________．18.观察下列各式：，……请利用你所得结论，化简代数式＋＋＋…＋（n≥3且为整数），其结果为__________．三、解答题：本大题共6个小题，满分60分．19．（本小题满分8分）（1）计算：(a－b)(a2＋ab＋b2)（2）利用所学知识以及（1）所得等式，化简代数式．20．（本小题满分9分）根据要求，解答下列问题．（1）根据要求，解答下列问题．①方程x2－2x＋1＝0的解为________________________；②方程x2－3x＋2＝0的解为________________________；③方程x2－4x＋3＝0的解为________________________；…………（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2－9x＋8＝0的解为________________________；②关于x的方程________________________的解为x1＝1，x2＝n．（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．21．（本小题满分9分）为了考察甲、乙两种成熟期小麦的株高长势状况，现从中各随机抽取6株，并测得它们的株高（单位：cm）如下表所示：（1）请分别计算表内两组数据的方差，并借此比较哪种小麦的株高长势比较整齐？（2）现将进行两种小麦优良品种杂交试验，需从表内的甲、乙两种小麦中，各随机抽取一株进行配对，以预估整体配对状况．请你用列表法或画树状图的方法，求所抽取的两株配对小麦株高恰好都等于各自平均株高的概率．22．（本小题满分10分）如图，在□ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F；再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形．（1）根据以上尺规作图的过程，求证四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，AE＝4，求∠C的大小．23．（本小题满分10分）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）求证：DE2＝DF·DA．24．（本小题满分14分）如图，直线y＝kx＋b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A(－4，0)、B(0，3)，抛物线y＝－x2＋2x＋1与y轴交于点C．（1）求直线y＝kx＋b的解析式；（2）若点P(x，y)是抛物线y＝－x2＋2x＋1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y＝－x2＋2x＋1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE＋EF的最小值．中考数学真题试题一、选择题（每小题3分，共12小题，合计36分）1.计算－(－1)＋|－1|，结果为A．－2B．2C．0D．－1【答案】B.【解析】原式=1+1=2，故选B.2.一元二次方程x2－2x＝0根的判别式的值为A．4B．2C．0D．－4【答案】A.【解析】在这个方程中，a＝1，b＝－2，c＝0，△=，故选A.3.如图，直线AC∥BD，AO，BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线，那么下列结论错误的是A．∠BAO与∠CAO相等B．∠BAC与∠ABD互补C．∠BAO与∠ABO互余D．∠ABO与∠DBO不等【答案】D.4.下列计算：（1）()2＝2，（2）＝2，（3）()2＝12，（4），其中结果正确的个数为A．1B．2C．3D．4【答案】D.【解析】根据二次根式的性质可得（1）、（2）、（3）正确；根据平方差公式可得（4）正确，故选D.5.若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为A．B．2C．D．1【答案】A.【解析】如图，由题意得，OA=2，△AOM是等腰直角三角形，根据勾股定理可得OM=，故选A.6.分式方程的解为A．x＝1B．x＝－1C．无解D．x＝－2【答案】C.7.如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为A．2＋B．2C．3＋D．3【答案】A.【解析】设AC=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，即可得AB=2x，BC=x，所以BD=BA=2x 即可得CD=x+2x=（+2）x，在Rt△ACD中，tan∠DAC=，故选A.8.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为A．40°B．36°C．80°D．25°【答案】B.【解析】设∠B=x，因AB=AC根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C=x，因AD=CD，根据等腰三角形的性质可得∠DAC=∠C=x，因BD=BA，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得∠BAD=∠ADB=2x，在△ABD中，根据三角形的内角和定理可得x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠B=36°，故选B.9.某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个．若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是A．22x＝16(27－x)B．16x＝22(27－x)C．2×16x＝22(27－x)D．2×22x＝16(27－x)【答案】D10.若点M(－7，m)、N(－8，n)都是函数y＝－(k2＋2k＋4)x＋1（k为常数）的图象上，则m 和n的大小关系是A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．不能确定【答案】A.【解析】因，所以，即可得y随x的增大而减小，又因-7<-8，所以m>n，故选A.11.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN 在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM ＝PN恒成立，（2）OM＋ON的值不变，（3）四边形PMON的面积不变，（4）MN的长不变，其中正确的个数为A．4B．3C．2D．1【答案】B.12.在平面直角坐标系内，直线AB垂直于x轴于点C（点C在原点的右侧），并分别与直线y＝x和双曲线y＝相交于点A、B，且AC＋BC＝4，则△OAB的面积为A．2＋3或2－3B．＋1或－1C．2－3D．－1【答案】A.【解析】如图，分线段AB在双曲线和直线y=x交点的左右两侧两种情况，设点C的坐标为（m，0），则点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（m，），因AC+BC=4，所以m+=4，解得m=2±，当m=2-时，即线段AB在双曲线和直线y=x交点的左侧，求得AC=2-BC=2+所以AB=(2+)-(2-)=2即可求得△OAB的面积为；当m=2+时，即线段AB在双曲线和直线y=x交点的右侧，求得AC=2+BC=2-所以AB=(2+)-(2-)=2即可求得△OAB的面积为，故选A.第II卷（非选择题，共84分）二、填空题：本大题共6个题，每小题4分，满分24分．13.计算：＋(－3)0－|－|－2-1－cos60°＝____________．【答案】.【解析】原式=.14.不等式组的解集为___________．15.在平面直角坐标系中，点C、D的坐标分别为C(2，3)、D(1，0)．现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点D的对应点B在x轴上且OB＝2，则点C的对应点A的坐标为_______．【答案】（4，6）或（-4，-6）.【解析】已知点D（1，0），点D的对应点B在x轴上，且OB=2，所以位似比为2，即可得点A的坐标为（2×2，3×2）或[2×（-2），3×（-2）]即点A的坐标为（4，6）或（-4，-6）.16.如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F．若AD＝8，AB＝6，AE＝4，则△EBF周长的大小为___________．【答案】8.17.如图，一个几何体的三视图分别是两个矩形、一个扇形，则这个几何体表面积的大小为_________．【答案】12+15π.【解析】这个几何体的表面积为：2×3+2×3+++=12+15π.18.观察下列各式：，……请利用你所得结论，化简代数式＋＋＋…＋（n≥3且为整数），其结果为__________．【答案】.【解析】根据题目中所给的规律可得原式====.三、解答题：本大题共6个小题，满分60分．19．（本小题满分8分）（1）计算：(a－b)(a2＋ab＋b2)（2）利用所学知识以及（1）所得等式，化简代数式．【答案】（1）a3－b3；（2）m＋n．【解析】20．（本小题满分9分）根据要求，解答下列问题．（1）根据要求，解答下列问题．①方程x2－2x＋1＝0的解为________________________；②方程x2－3x＋2＝0的解为________________________；③方程x2－4x＋3＝0的解为________________________；…………（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2－9x＋8＝0的解为________________________；②关于x的方程________________________的解为x1＝1，x2＝n．（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．【答案】（1）①x1＝1，x2＝1；②x1＝1，x2＝2；③x1＝1，x2＝3．（2）①x1＝1，x2＝8，②x2－(1＋n)x＋n＝0；（3）x1＝1，x2＝8．【解析】试题分析：（1）观察这些方程可得，方程的共同特征为二次项系数均为1，一次性系数分别为－2、－3、－4，常数项分别为1，2，3．解的特征：一个解为1，另一个解分别是1、2、3、4、…，由此写出答案即可；（2）根据（1）的方法直接写出答案即可；（3）用配方法解方程即可.（3）x2－9x＋8＝0x2－9x＝－8x2－9x＋＝－8＋(x－)2＝∴x－＝±．∴x1＝1，x2＝8．21．（本小题满分9分）为了考察甲、乙两种成熟期小麦的株高长势状况，现从中各随机抽取6株，并测得它们的株高（单位：cm）如下表所示：（1）请分别计算表内两组数据的方差，并借此比较哪种小麦的株高长势比较整齐？（2）现将进行两种小麦优良品种杂交试验，需从表内的甲、乙两种小麦中，各随机抽取一株进行配对，以预估整体配对状况．请你用列表法或画树状图的方法，求所抽取的两株配对小麦株高恰好都等于各自平均株高的概率．【答案】(1)乙种小麦长势整齐；（2）．【解析】试题分析：(1)先分别计算出这两组数据的平均数，再利用方差公式分别求得这两组数据的方差，比较即可得答案；（2）列表（或画树状图）求得所有等可能的结果，利用概率公式求得所抽取的两株配对小麦株高恰好都等于各自平均株高的概率即可．（2）列表如下∴共有36种情况，其中小麦株高恰好都等于各自平均株高（记为事件A）有6种．∴P(A)＝．22．（本小题满分10分）如图，在□ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F；再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形．（1）根据以上尺规作图的过程，求证四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，AE＝4，求∠C的大小．【答案】（1）详见解析；（2）60°.【解析】试题解析：（1）由作图过程可知，AB＝AF，AE平分∠BAD．∴∠BAE＝∠EAF．∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD．∴∠AEB＝∠EAF．∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE．∴BE＝AF．∴四边形ABEF为平行四边形．∴四边形ABEF为菱形．（2）连接BF，∵四边形ABEF为菱形，∴BF与AE互相垂直平分，∠BAE＝∠FAE．∴OA＝AE＝．∵菱形ABEF的周长为16，∴AF＝4．∴cos∠OAF＝＝．∴∠OAF＝30°，∴∠BAF＝60°．∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠C＝∠BAD＝60°．23．（本小题满分10分）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）求证：DE2＝DF·DA．【答案】详见解析.【解析】试题解析：证明：（1）如图1，连接DO，并延长交⊙O于点G，连接BG；∵点E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC．∵∠G＝∠BAD，∴∠MDB＝∠G，∵DG为⊙O的直径，∴∠GBD＝90°，∴∠G＋∠BDG＝90°．∴∠MDB＋∠BDG＝90°．∴直线DM是⊙O的切线；（2）如图2，连接BE．∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD．∵∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠CBD＝∠CAD．24．（本小题满分14分）如图，直线y＝kx＋b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A(－4，0)、B(0，3)，抛物线y＝－x2＋2x＋1与y轴交于点C．（1）求直线y＝kx＋b的解析式；（2）若点P(x，y)是抛物线y＝－x2＋2x＋1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y＝－x2＋2x＋1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE＋EF的最小值．【答案】(1) y＝x＋3；（2）P(，)；（3）．【解析】试题分析：（1）将A、B两点坐标代入y＝kx＋b中，求出k、b的值；（2）作出点P到直线AB的距离后，由于∠AHC＝90°，考虑构造“K形”相似，得到△MAH、△OBA、△NHP 三个三角形两两相似，三边之比都是3∶4∶5．由“”可得，整理可得d关于x的二次函数，配方可求出d的最小值；（3）如果点C关于直线x＝1的对称点C′，根据对称性可知，CE＝C′E．当C′F⊥AB时，CE＋EF最小．试题解析：解：（1）∵y＝kx＋b经过A(－4，0)、B(0，3)∴，解得k＝，b＝3．∴y＝x＋3．（2）过点P作PH⊥AB于点H，过点H作x轴的平行线MN，分别过点A、P作MN的垂线段，垂足分别为M、N．（3）作点C关于直线x＝1的对称点C′，过点C′作C′F⊥AB于F．过点F作JK∥x轴，，分别过点A、C′作AJ⊥JK于点J，C′K⊥JK于点K．则C′(2，1)设F(m，m＋3)∴CE＋EF的最小值＝C′E＝．。
内蒙古呼和浩特市2019年中考数学试题(解析版)
2019年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分.）1.如图，检测排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，下面检测过的四个排球，在其上方标注了检测结果，其中质量最接近标准的一个是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意可知：质量最接近标准的排球就是检测结果的绝对值最小的．，，，，【详解】解：由题意得：四个排球质量偏差的绝对值分别为：0.60.72.53.5绝对值最小的为0.6，最接近标准．故选：A．【点睛】此题主要考查了正数和负数，本题的解题关键是求出检测结果的绝对值，绝对值越小的数越接近标准．2.甲骨文是我国的一种古代文字，下面是“北”“比”“鼎．射”四个字的甲骨文，其中不是轴对称的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A 、是轴对称图形，故本选项错误；B 、不是轴对称图形，故本选项正确；C 、是轴对称图形，故本选项错误；D 、是轴对称图形，故本选项错误．故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3.二次函数2y ax ＝与一次函数y ax a ＝在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由一次函数y=ax+a 可知，一次函数的图象与x 轴交于点（-1，0），即可排除A 、B ，然后根据二次函数的开口方向，与y 轴的交点；一次函数经过的象限，与y 轴的交点可得相关图象进行判断．【详解】解：由一次函数y ax a +＝可知，一次函数的图象与x 轴交于点10-（，），排除A B 、；当a 0＞时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当a 0＜时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C ；故选：D ．【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系．4.已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为（ ） A. 22 B. 25 C. 42 D. 210【答案】C【解析】【分析】 首先根据题意画出图形，然后由菱形的性质，求得OA=1，AC ⊥BD ，然后由勾股定理求得OB 的长，继而求得答案． 【详解】解：如图，Q 四边形ABCD 是菱形，1OA OC AC 12∴＝＝＝，OB OD AC BD ⊥＝，， 2222OB AB OA 3122∴--＝＝＝，BD 2OB 42∴＝＝；故选：C ．【点睛】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．5.某学校近几年来通过“书香校园”主题系列活动，倡导学生整本阅读纸质课外书籍．下面的统计图是该校2013年至2018年纸质书人均阅读量的情况，根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）A. 从2013年到2016年，该校纸质书人均阅读量逐年增长B. 2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的中位数是46.7本C. 2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的极差是45.3本D. 2013年至2018年，该校后三年纸质书人均阅读量总和是前三年纸质书人均阅读量总和的2倍【答案】D【解析】【分析】利用折线统计图结合相应数据，分别分析得出符合题意的答案．【详解】解：A 、从2013年到2016年，该校纸质书人均阅读量逐年增长，正确；B 、2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的中位数是43.450.146.72+=本，正确；C 、2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的极差是60.815.545.3﹣＝本，正确；D 、2013年至2018年，该校后三年纸质书人均阅读量总和是前三年纸质书人均阅读量总和的60.850.158.41.74243.338.515.5++≈≠++倍，错误；故选：D ．【点睛】此题主要考查了折线统计图，利用折线统计图获取正确信息是解题关键．6.若不等式25123x x +-≤-的解集中x 的每一个值，都能使关于x 的不等式3(1)552()x x m x +++﹣＞成立，则m 的取值范围是（ ） A. 35m >- B. 15m <- C. 35m <- D. 15m >- 【答案】C【解析】【分析】求出不等式2x 512x 3+-≤-的解，求出不等式3（x-1）+5＞5x+2（m+x ）的解集，得出关于m 的不等式，求出m 即可． 【详解】解：解不等式2x 512x 3+-≤-得：4x 5≤， Q 不等式2x 512x 3+-≤-的解集中x 的每一个值，都能使关于x 的不等式3x 155x 2m x +++（﹣）＞（）成立， 1m x 2-∴＜， 1m 425-∴＞， 解得：3m 5-＜， 故选：C ．【点睛】本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于m 的不等式是解此题的关键．7.如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图完全一样，则这个几何体的表面积是（ ）A. 802π﹣B. 804π+C. 80D. 806π+【答案】B【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是长方体，中间是空心圆柱体，长方体的长宽高分别为4，4，3，圆柱体直径为2，高为3，据此解答即可．【详解】解：由三视图可知，该几何体是长方体，中间是空心圆柱体，正方体的长宽高分别为443，，，圆柱体直径为2，高为3，长方体表面积：44243480⨯⨯+⨯⨯＝，圆柱体表面积236π⨯＝，上下表面空心圆面积：2π， ∴这个几何体的表面积是：806π2π804π++﹣＝，故选：B ．【点睛】本题考查了几何体的表面积，熟练掌握三视图是解题的关键．8.若12x x ，是一元二次方程230x x +-=的两个实数根，则3221417-+x x 的值为（ ）A. ﹣2B. 6C. ﹣4D. 4【答案】A【解析】【分析】 利用根与系数的关系可得出x 1+x 2=-1、x 1•x 2=-3，211x x 3+＝，将代数式2132x 4x 17+﹣进行转化后，再代入数据即可得出结论．【详解】解：12x x Q ，是一元二次方程2x x 30+﹣＝的两个实数根， 12x x 1∴+＝﹣，12x x 3g ＝﹣，211x x 3+＝，3221x 4x 17∴+﹣32211418--+＝x x()()2222111418=-++-+x x x x ()211114418=---⨯-+x x21184418=---+x x()2118418=--++x x10432=-⨯=-故选：A ．【点睛】本题考查了方程的解、根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则1212,b c x x x x a a +=-=. 9.已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A B C D 、、、按逆时针依次排列，若点A 的坐标为()23，，则B 点与D 点的坐标分别为（ ）A. ()()2,3,2,3--B. ()()3,2,3,2--C. ()()3,2,2,3--D. 721721,,,2222⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】【分析】连接OA 、OD ，过点A 作 AF ⊥x 轴于点F ，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，易证△AFO ≌△OED （AAS ），则OE AF 3＝＝，DE=OF=2，D 3,2-（），因为B 、D 关于原点对称，所以()B 32-，. 【详解】解：如图，连接OA OD 、，过点A 作AF x ⊥轴于点F ，过点D 作DE x ⊥轴于点E ，易证AFO OED AAS V V ≌（）， OE AF 3∴＝＝，DE OF 2＝＝，D 3,2∴-（）， B D Q 、关于原点对称，()B 32∴-，，故选：B ．【点睛】本题考查了正方形，熟练运用正方形的性质、全等三角形的性质以及中心对称的性质是解题的关键．10.以下四个命题：①用换元法解分式方程221211x x x x +-+=+时，如果设21x y x+=，那么可以将原方程化为关于y 的整式方程220y y +﹣＝；②如果半径r 为的圆的内接正五边形的边长为a ，那么254a rcos ︒＝；③有一个圆锥，与底面圆直径是3且体积为32π的圆柱等高，如果这个圆锥的侧面展开图是半圆，那么它的母线长为43；④二次函数221y ax ax +＝﹣，自变量的两个值12x x ，对应的函数值分别为12y y 、，若1211x x ﹣＞﹣，则120a y y （﹣）＞．其中正确的命题的个数为（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【答案】D【解析】【分析】①利用换元法代入并化简；②作OF ⊥BC ，在Rt △OCF 中，利用三角函数求出a 的长； ③这个圆锥母线长为R ，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到180?π·R 2πr 180=，然后解关于R 的方程即可； ④根据二次函数图象的性质和绝对值的意义进行判断可得出正确的结论．【详解】解：①设2x1yx+＝，那么可以将原方程化为关于y的整式方程2y y20+﹣＝，故正确；②作OF BC⊥．∵∠COF=72°÷2=36°，∴CF=r•sin36°，∴CB=2rsin36°，即a=2rsin36°=2rcos54°．故正确；③设圆锥的高为h，底面半径为r，母线长为R，根据题意得180?π·R2πr180＝，则R：r=2：1．由23322hππ⎛⎫⋅=⎪⎪⎝⎭得到233h=所以h2+r2=R2，即22223134R R⎛⎫+=⎪⎪⎝⎭，则43R=即它的母线长是4 3故正确；④二次函数y=ax2-2ax+1的对称轴是x=1，所以1x-表示自变量为x时，对应点离对称轴的距离。
简单几何体的表面积和体积(含答案)
简单几何体的表面积和体积[基础知识]1．旋转体的侧面积名称 图形侧面积公式 圆柱侧面积：S 侧＝______圆锥侧面积：S 侧＝______圆台侧面积：S 侧＝________ 2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积S 直棱柱侧＝______(c 为底面周长，h 为高) S 正棱锥侧＝______(c 为底面周长，h ′为斜高)S 正棱台侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上、下底面周长，h ′为斜高)3．体积公式(1)柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝____．(2)锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝_____(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝13(S ′＋S ′S ＋S)h ．[基础练习]1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( )A ．8B ．8πC ．4πD ．2π2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为( )A ．1＋2π2πB ．1＋4π4πC ．1＋2ππD ．1＋4π2π3．中心角为135°，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B 等于( )A ．11∶8B ．3∶8C ．8∶3D ．13∶84．已知直角三角形的两直角边长为a 、b ，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为( )A ．a ∶bB ．b ∶aC ．a 2∶b 2D ．b 2∶a 25．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm )，则该几何体的表面积和体积分别为( )A ．24π cm 2,12π cm 3B ．15π cm 2,12π cm 3C ．24π cm 2,36π cm 3D ．以上都不正确 6．三视图如图所示的几何体的全面积是( )A ．7＋ 2B ．112＋ 2C ．7＋ 3D ．32[典型例题]例1. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，求此三棱锥的体积．练1.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．例2.已知五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别是8 cm和18 cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13 cm，求它的侧面积．练2.圆台上底的面积为16π cm2，下底半径为6 cm，母线长为10 cm，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？例3.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9．6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0．01平方米)；(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0．3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．练3.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是______cm．例4.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．练4.如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？简单几何体的表面积和体积活页作业一、选择题1．圆柱的侧面展开图是一个边长为6π和4π的矩形，则圆柱的全面积为( )A ．6π(4π＋3)B ．8π(3π＋1)C ．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D ．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)2．正棱锥的高缩小为原来的12，底面外接圆半径扩大为原来的3倍，则它的体积是原来体积的( )A.32B.92C.34D.943．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )A.8π3B.82π3 C ．82π D.32π34．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为( )A ．18πB ．30πC ．33πD ．40π 5．(2011·福州质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )A.283πB.163πC.43π＋8 D ．12π 6．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD ＝a ，则三棱锥D －ABC 的体积为( )A.a 36B. a 312C.312a 3D.212a 3 7.圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( )A.233πB ．23π C.736πD.733π8．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是( )A ．96 3B ．16 3C ．24 3D ．48 3二、填空题9．如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，O 为底面正方形ABCD 的中心， 则三棱锥B 1－BCO 的体积为________．10．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是________．11．已知球O 的表面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ， DA ＝AB ＝BC ＝3，则球O 的体积等于________．12. 如图所示是一个几何体的三视图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得该几何体的表面积为________cm 2. 三、解答题13．如图所示，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，则该圆锥与圆柱等底等高．若圆锥的轴截面是一个正三角形，求圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比．14如图，如图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体15．有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5、圆心角为6π5的扇形，在这个圆锥中内接一个高为x 的圆柱．(1)求圆锥的体积．(2)当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？16．如图所示，从三棱锥P －ABC 的顶点P 沿着三条侧棱P A 、PB 、PC 剪开成平面图形得到△P 1P 2P 3，且P 2P 1＝P 2P 3.(1)在三棱锥P －ABC 中，求证：P A ⊥BC .(2)若P 1P 2＝26，P 1P 3＝20，求三棱锥P －ABC 的体积．简单几何体的表面积和体积答案[基础知识]1．旋转体的侧面积名称 图形侧面积公式 圆柱侧面积：S 侧＝______圆锥侧面积：S 侧＝______圆台侧面积：S 侧＝________ 2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积S 直棱柱侧＝______(c 为底面周长，h 为高) S 正棱锥侧＝______(c 为底面周长，h ′为斜高)S 正棱台侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上、下底面周长，h ′为斜高)3．体积公式(1)柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝____．(2)锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝_____(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝13(S ′＋S ′S ＋S)h ．答案：1．名称 图形 侧面积公式圆柱侧面积：S 侧＝2πrl圆锥侧面积：S 侧＝πrl 圆台侧面积：S 侧＝π(r 1＋r 2)l 2．ch 12ch ′ 3．(1)Sh (2)13Sh[基础练习]1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( )A ．8B ．8πC ．4πD ．2π2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为( )A ．1＋2π2πB ．1＋4π4πC ．1＋2ππD ．1＋4π2π3．中心角为135°，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B 等于( ) A ．11∶8 B ．3∶8 C ．8∶3 D ．13∶84．已知直角三角形的两直角边长为a 、b ，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为( )A ．a ∶bB ．b ∶aC ．a 2∶b 2D ．b 2∶a 25．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm )，则该几何体的表面积和体积分别为( )A ．24π cm 2,12π cm 3B ．15π cm 2,12π cm 3C ．24π cm 2,36π cm 3D ．以上都不正确 6．三视图如图所示的几何体的全面积是( )A ．7＋ 2B ．112＋ 2C ．7＋ 3D ．32答案：1．B [易知2πr ＝4，则2r ＝4π，所以轴截面面积＝4π×2＝8π．]2．A [设底面半径为r ，侧面积＝4π2r 2，全面积为＝2πr 2＋4π2r 2，其比为：1＋2π2π．] 3．A [设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则2πr ＝34πl ，则l ＝83r ，所以A ＝83πr 2＋πr 2＝113πr 2，B ＝83πr 2，得A ∶B ＝11∶8．]4．B [以长为a 的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V ＝13πb 2a ，以长为b 的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V ＝13πa 2b ．]5．A [该几何体是底面半径为3，母线长为5的圆锥，易得高为4，表面积和体积分别为24π cm 2，12π cm 3．]6．A [图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，棱柱的高为1．可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，2，表面积S 表面＝2S 底＋S 侧面＝12(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋2)×1＝7＋2．][典型例题]例1. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，求此三棱锥的体积．解析：折叠起来后，B 、D 、C 三点重合为S 点，则围成的三棱锥为S －AEF ，这时SA ⊥SE ，SA ⊥SF ，SE ⊥SF ，且SA ＝2，SE ＝SF ＝1，所以此三棱锥的体积V ＝13·12·1·1·2＝13.练1. (2011·昆山模拟)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点，若截面△BC 1D 是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．解析：由题意，设AB ＝a ，AA 1＝b ，再由12BD ·DC 1＝6可得a 2＋b 24＝12.又由BC 2＋CC 21＝BC 21， 得a 2＋b 2＝24， 可得a ＝22，b ＝4， ∴V ＝34×(22)2×4＝8 3. 答案：8 3例2. 已知五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别是8 cm 和18 cm ，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13 cm ，求它的侧面积．解析：如图所示的是五棱台的一个侧面，它是一个上、下底的边长分别为8 cm 和18 cm ，且腰长为13 cm 的等腰梯形，由点A 向BC 作垂线，垂足为点E ；由点D 向BC 作垂线，垂足为点F .∵四边形ABCD 为等腰梯形，∴BE ＝CF ＝12(BC －AD )＝12(18－8)＝5 cm.在Rt △ABE 中，AB ＝13 cm ，BE ＝5 cm ，∴AE ＝12 cm ，∴S 四边形ABCD ＝12(AD ＋BC )·AE ＝12×(8＋18)×12＝156(cm 2)．∴S 五棱台侧＝5×156＝780(cm 2)．即此五棱台的侧面积为780 cm 2.练2. 圆台上底的面积为16π cm 2，下底半径为6 cm ，母线长为10 cm ，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？解析：首先，圆台的上底的半径为4 cm ，于是S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ＝100π(cm 2)． 其次，如图，圆台的高h ＝BC＝BD 2－OD －AB 2＝102－6－42＝46(cm)，所以V 圆台＝13h (S ＋SS ′＋S ′)＝13×46×(16π＋16π×36π＋36π) ＝3046π3(cm 3)． 例3. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9．6米铁丝，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)． (1)当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0．01平方米)； (2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0．3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．解析：由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为9.6－8×2r8＝1．2－2r ，∴塑料片面积S ＝πr 2＋2πr (1．2－2r ) ＝πr 2＋2．4πr －4πr 2＝－3πr 2＋2．4πr ＝－3π(r 2－0．8r )＝－3π(r －0．4)2＋0．48π．∴当r ＝0．4时，S 有最大值0．48π，约为1．51平方米．(2)若灯笼底面半径为0．3米，则高为1．2－2×0．3＝0．6(米)．制作灯笼的三视图如图．练3. 圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是______cm ．解析：设球的半径为r cm ，则πr 2×8＋43πr 3×3＝πr 2×6r ．解得r ＝4 (cm 3)．例4.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．解析：由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V ＝V 圆锥－V球＝13π·(3r )2·3r －43πr 3＝53πr 3，而将球取出后，设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ，从而容器内水的体积是V ′＝13π·(33h )2·h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h ＝315r ．即容器中水的深度为315r ．练4. 如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm 的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？解析： 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须V 圆锥≥V 半球，V 半球＝12×43πr 3＝12×43π×43，V 圆锥＝13Sh ＝13πr 2h ＝13π×42×h ．依题意：13π×42×h ≥12×43π×43，解得h ≥8．即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm ，高大于或等于8 cm 时，冰淇淋融化后不会溢出杯子． 又因为S 圆锥侧＝πrl ＝πrh 2＋r 2，当圆锥高取最小值8时，S 圆锥侧最小，所以高为8 cm 时，制造的杯子最省材料．简单几何体的表面积和体积活页作业答案一、选择题1．圆柱的侧面展开图是一个边长为6π和4π的矩形，则圆柱的全面积为( )A ．6π(4π＋3)B ．8π(3π＋1)C ．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D ．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)解析： 设圆柱的底面半径为r ，母线为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2πr ＝4πl ＝6π或⎩⎪⎨⎪⎧2πr ＝6πl ＝4π， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝2l ＝6π或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3l ＝4π， ∴圆柱的全面积为24π2＋8π或24π2＋18π，即8π(3π＋1)或6π(4π＋3)．答案： C2．正棱锥的高缩小为原来的12，底面外接圆半径扩大为原来的3倍，则它的体积是原来体积的( )A.32B.92C.34D.94解析： 设原棱锥高为h ，底面面积为S ，则V ＝13Sh ，新棱锥的高为h2，底面面积为9S ，∴V ′＝13·9S ·h2，∴V ′V ＝92.答案： B3．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )A.8π3B.82π3 C ．82π D.32π3 答案： B解析： S 圆＝πr 2＝1⇒r ＝1，而截面圆圆心与球心的距离d ＝1，∴球的半径为R ＝r 2＋d 2＝2，∴V＝43πR 3＝82π3，故选B.4．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为( )A ．18πB ．30πC ．33πD ．40π解析： 由三视图知该几何体由圆锥和半球组成．球半径和圆锥底面半径都等于3，圆锥的母线长等于5，所以该几何体的表面积S ＝2π×32＋π×3×5＝33π.答案： C 5．(2011·福州质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )A.283πB.163πC.43π＋8 D ．12π解析： 由三视图可知，该几何体为底面半径是2，高为2的圆柱体和半径为1的球体的组合体，则该几何体的体积为π×22×2＋43π＝283π.答案： A6．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD ＝a ，则三棱锥D －ABC 的体积为( )A.a 36B. a 312C.312a 3D.212a 3 解析： 设正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点E ，沿AC 折起后，依题意得：当BD ＝a 时，BE ⊥DE ，∴DE ⊥面ABC ，∴三棱锥D －ABC 的高为DE ＝22a ， ∴V D －ABC ＝13·12a 2·22a ＝212a 3.答案： D7.圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( )A.233πB ．23πC.736πD.733π解析：上底半径r ＝1，下底半径R ＝2.∵S 侧＝6π，设母线长为l ，则π(1＋2)·l ＝6π，∴l ＝2，∴高h ＝l 2－(R －r )2＝3，∴V ＝13π·3(1＋1×2＋2×2)＝733π.答案：D8．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是( )A ．96 3B ．16 3C ．24 3D ．48 3解析：由43πR 3＝323π，∴R ＝2，∴正三棱柱的高h ＝4，设其底面边长为a ，则13·32a ＝2，∴a ＝43，∴V ＝34(43)2·4＝48 3. 答案：D二、填空题9．如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，O 为底面正方形ABCD 的中心，则三棱锥B 1－BCO 的体积为________．解析： V ＝13S △BOC ·B 1B ＝13×12BO ·BC ·sin 45°·B 1B ＝16×2×2×22×2＝23.答案： 2310．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是________．解析： 由三视图可知，该几何体为底面半径为1，母线长为2的圆锥的一半，所以圆锥的高为3，因此所求体积V ＝12×13×π×12×3＝36π.答案： 36π11．已知球O 的表面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝3，则球O 的体积等于________． 解析： 如图， 易知球心O 为DC 中点，由题意可求出CD ＝3，所以球O 的半径为32，故球O 的体积为43π×⎝⎛⎭⎫323＝9π2. 答案： 9π212.如图所示是一个几何体的三视图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得该几何体的表面积为________cm 2.答案 36解析 由三视图可知，此几何体是一个以AA ′＝2，AD ＝4，AB ＝2为棱的长方体被平面A ′C ′B 截去一个角后得到的，在△A ′C ′B 中，因为A ′C ′＝BC ′＝25，BA ′＝22，所以S △A ′C ′B ＝12×22×(25)2－(2)2＝6，故几何体表面积为2×4×2＋2×2＋12×4×2×2＋12×2×2＋6＝36.三、解答题13．如图所示，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，则该圆锥与圆柱等底等高．若圆锥的轴截面是一个正三角形，求圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比．解析： 设圆锥底面半径为r ，则母线为2r ，高为3r ，∴圆柱的底面半径为r ，高为3r ，∴S 圆柱侧S 圆锥侧＝2πr ·3r πr ·2r ＝ 3. 14如图，如图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体解析：(1)如图所示．(2)所求多面体体积V =V 长方体-V 正三棱锥=446-131222⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭2=2843(cm 3)．15．有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5、圆心角为6π5的扇形，在这个圆锥中内接一个高为x 的圆柱． (1)求圆锥的体积．(2)当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？解析： (1)因为圆锥侧面展开图的半径为5，所以圆锥的母线长为5.设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝5×6π5，解得r ＝3. 所以圆锥的高为4.从而圆锥的体积V ＝13πr 2×4＝12π.(2)右图为轴截面图，这个图为等腰三角形中内接一个矩形．设圆柱的底面半径为a ，则3－a 3＝x 4，从而a ＝3－34x . 圆柱的侧面积S (x )＝2π(3－34x )x ＝32π(4x －x 2) ＝32π[4－(x －2)2](0<x <4)． 当x ＝2时，S (x )有最大值6π.所以当圆柱的高为2时，圆柱有最大侧面积为6π.16．如图所示，从三棱锥P －ABC 的顶点P 沿着三条侧棱P A 、PB 、PC 剪开成平面图形得到△P 1P 2P 3，且P 2P 1＝P 2P 3. (1)在三棱锥P －ABC 中，求证：P A ⊥BC .(2)若P 1P 2＝26，P 1P 3＝20，求三棱锥P －ABC 的体积．解析： (1)证明：由题设知A 、B 、C 分别是P 1P 3，P 1P 2，P 2P 3的中点，且P 2P 1＝P 2P 3，从而PB ＝PC ，AB ＝AC ，取BC 的中点D ，连AD 、PD ，则AD ⊥BC ，PD ⊥BC ，∴BC ⊥面P AD .故P A ⊥BC .(2)由题设有AB ＝AC ＝12P 1P 2＝13，P A ＝P 1A ＝BC ＝10， PB ＝PC ＝P 1B ＝13，∴AD ＝PD ＝AB 2－BD 2＝12，在等腰三角形DP A 中， 底边P A 上的高h ＝AD 2－⎝⎛⎭⎫12P A 2＝119， ∴S △DP A ＝12P A ·h ＝5119，又BC ⊥面P AD ， ∴V P －ABC ＝V B －PDA ＋V C －PDA＝13BD ·S △DP A ＋13DC ·S △PDA ＝13BC ·S △PDA ＝13×10×5119 ＝503119.。
空间几何体的表面积和体积经典例题(教师讲义打印一份)
空间几何体的表面积和体积一．课标要求：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。
二．命题走向近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。
即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。
由于本讲公式多反映在考题上，预测2016年高考有以下特色：（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；三．要点精讲1．多面体的面积和体积公式表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。
2．旋转体的面积和体积公式表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。
四．典例解析题型1：柱体的体积和表面积例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：⎩⎨⎧=++=++24)(420)(2z y x zx yz xy )2()1(由（2）2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16所以l =4(cm)。
点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。
我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。
例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=3π。
高中数学空间几何体的表面积与体积练习题及答案
空间几何体的表面积与体积专题一、选择题1．棱长为2的正四面体的表面积是( C )．A. 3 B ．4 C ．4 3 D ．16解析 每个面的面积为：12×2×2×32＝ 3.∴正四面体的表面积为：4 3.2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 ( B )． A ．2倍 B ．22倍 C.2倍 D.32倍解析 由题意知球的半径扩大到原来的2倍，则体积V ＝43πR 3，知体积扩大到原来的22倍．3．如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为( B )． A.1423 B.2843 C.2803D.1403解析 根据三视图的知识及特点，可画出多面体 的形状，如图所示．这个多面体是由长方体截去 一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×2＝2843. 4．某几何体的三视图如下，则它的体积是( A) A ．8－2π3 B ．8－π3C ．8－2πD.2π3解析 由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，所以V ＝23－13×π×2＝8－2π3.5．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为( A)A ．24－32π B ．24－π3 C ．24－π D ．24－π2据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积V ＝2×3×4－12×π×12×3＝24－3π2.6．某品牌香水瓶的三视图如图 (单位：cm)，则该几何体的表面积为( C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫95－π2 cm 2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫94－π2 cm 2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫94＋π2 cm 2D.⎝⎛⎭⎪⎫95＋π2 cm 2解析 这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一个四棱柱．上面四棱柱的表面积为2×3×3＋12×1－π4＝30－π4；中间部分的表面积为2π×12×1＝π，下面部分的表面积为2×4×4＋16×2－π4＝64－π4.故其表面积是94＋π2.7．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S-ABC 的体积为( C)．A ．3 3B ．2 3 C. 3 D ．1解析 由题可知AB 一定在与直径SC 垂直的小圆面上，作过AB 的小圆交直径SC 于D ，设SD ＝x ，则DC ＝4－x ，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S-ABD 和C-ABD ，在△SAD 和△SBD 中，由已知条件可得AD ＝BD ＝33x ，又因为SC 为直径，所以∠SBC ＝∠SAC ＝90°，所以∠DCB ＝∠DCA ＝60°，在△BDC 中 ，BD ＝3(4－x )，所以33x ＝3(4－x )，所以x ＝3，AD ＝BD ＝3，所以三角形ABD 为正三角形，所以V ＝13S △ABD ×4＝ 3.二、填空题8．三棱锥PABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC 的体积等于__3______．解析 依题意有，三棱锥PABC 的体积V ＝13S △ABC ·|PA |＝13×34×22×3＝ 3.9．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_ 3∶2_______．解析 设圆柱的底面半径是r ，则该圆柱的母线长是2r ，圆柱的侧面积是2πr ·2r ＝4πr 2，设球的半径是R ，则球的表面积是4πR 2，根据已知4πR 2＝4πr 2，所以R ＝r .所以圆柱的体积是πr 2·2r ＝2πr 3，球的体积是43πr 3，所以圆柱的体积和球的体积的比是2πr 343πr 3＝3∶2.10．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是___26_____．解析由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为22，所以体积V＝13×1×1×22＝26.11．如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是____2πR2____．解析由球的半径为R，可知球的表面积为4πR2.设内接圆柱底面半径为r，高为2h，则h2＋r2＝R2.而圆柱的侧面积为2πr·2h＝4πrh≤4πr2＋h22＝2πR2(当且仅当r＝h时等号成立)，即内接圆柱的侧面积最大值为2πR2，此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为2πR2.12．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为___13_____cm. 解析根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝13 (cm)．三、解答题13．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图．(1)请画出该安全标识墩的侧视图；(2)求该安全标识墩的体积．解析(1)侧视图同正视图，如图所示：(2)该安全标识墩的体积为V＝VPEFGH ＋V ABCDEFGH＝13×402×60＋402×20＝64 000(cm3)．14 .一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.解析 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为3，所以V ＝1×1×3＝ 3.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面BCC1B1， 所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形， S ＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋2 3.15．已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S .解析 由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h 1的等腰三角形，左、 右侧面均为底边长为6，高为h 2的等腰三角形，如右图所示． (1)几何体的体积为：V ＝13·S 矩形·h ＝13×6×8×4＝64.(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h 1＝42＋32＝5.左、右侧面的底边上的高为：h 2＝42＋42＝4 2.故几何体的侧面面积为：S ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×8×5＋12×6×42＝40＋24 2. 1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）. .解：设展开图的正方形边长为a ，圆柱的底面半径为r ，则2πr =a ，2ar π=，底面圆的面积是24a π，于是全面积与侧面积的比是2221222a a a πππ++=， 2．在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（ ）.2．解：正方体的体积为1，过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的体积是111111()3222248⨯⨯⨯⨯=，于是8个三棱锥的体积是61，剩余部分的体积是65， 3．一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，对角线长分别是6cm 和8cm ，高是5cm ，则这个直棱柱的全面积是 。
高三数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析
高三数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1.如图, 四棱柱的底面ABCD是正方形, O为底面中心, ⊥平面ABCD,．（1）证明: // 平面;（2）求三棱柱的体积．【答案】（1）证明详见解析；（2）体积为1.【解析】本题主要考查线线平行、面面平行、线面垂直、柱体的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，由图象可得到，，，所以得到四边形为平行四边形，所以，利用面面平行的判定得证；第二问，由面ABCD，所以得到是三棱柱的高，利用体积转化法，得到三棱柱的体积.试题解析：（1）设线段的中点为，∵BD和是的对应棱，∴，同理，∵AO和是棱柱的对应线段，∴，且，且四边形为平行四边形且，面面.（2）∵面ABCD，∴是三棱柱的高，在正方形ABCD中，，在中，，，所以，.【考点】线线平行、面面平行、线面垂直、柱体的体积.2.（正四棱锥与球体积选做题）棱长为1的正方体的外接球的体积为________．【答案】.【解析】正方体的体对角线，就是正方体的外接球的直径，所以球的直径为：所以球的半径为：，∴正方体的外接球的体积V=．【考点】１．球的体积；２．球内接多面体．3.如图，ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，ED＝1，EF∥BD且EF＝BD．(1)求证：BF∥平面ACE；(2)求证：平面EAC⊥平面BDEF(3)求几何体ABCDEF的体积．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)2【解析】(1)利用线线平行，推证线面平行；(2)利用一个面内一条直线与另一个平面垂直，则这两个平面垂直，证明面面垂直；(3)将不规则几何体转化为主题或椎体的体积求解．试题解析：(1)证明：记AC与BD的交点为O，则DO＝BO＝BD，连接EO，∵EF∥BD且EF＝BD，∴EF∥BO且EF＝BO，则四边形EFBO是平行四边形，∴BF∥EO，又∵面ACE，面ACE，∴BF∥平面ACE；(2)证明：∵ED⊥平面ABCD，平面ABCD，∴ED⊥AC．∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又ED∩BD＝D，∴AC⊥平面BDEF，又平面EAC，∴平面EAC⊥平面BDEF；(3)解：∵ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD，又∵EF∥BD且EF＝BD，∴BDEF是直角梯形，又∵ABCD是边长为2的正方形，BD＝2，EF＝，∴题型BDEF的面积为，由(1)知AC⊥平面BDEF，∴几何体的体积VABCDEF ＝2VA－BDEF＝2×S BDEF·AO＝．【考点】空间直线与平面位置关系，几何体的体积4.如图，多面体的直观图及三视图如图所示，分别为的中点．（1）求证：平面；(2）求多面体的体积．【答案】（1）证明：见解析；（2）多面体的体积．【解析】（1）由多面体的三视图知，三棱柱中,底面是等腰直角三角形，，平面,侧面都是边长为的正方形．连结，则是的中点，由三角形中位线定理得，得证.（2）利用平面，得到,再据⊥，得到⊥平面，从而可得：四边形是矩形,且侧面⊥平面. 取的中点得到,且平面．利用体积公式计算.所以多面体的体积． 12分试题解析：（1）证明：由多面体的三视图知，三棱柱中,底面是等腰直角三角形，，平面,侧面都是边长为的正方形．连结，则是的中点，在△中，，且平面，平面，∴∥平面． 6分（2）因为平面，平面,,又⊥，所以，⊥平面，∴四边形是矩形,且侧面⊥平面 8分取的中点,,且平面． 10分所以多面体的体积． 12分【考点】三视图，平行关系，垂直关系，几何体的体积.5.正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为A．B．C．D．【答案】C【解析】如下图所示，连接，因为是正三角形，且为中点，则，又因为面，故，且，所以面，所以是三棱锥的高，所以．【考点】1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．6.棱长为的正四面体的外接球半径为．【答案】【解析】记正四面体棱长为，外接球半径为，在正四面体中，利用棱，与棱共顶点的高及这条棱在对面上的射影构成的直角三角形可解得，因此中本题中.【考点】正四面体（正棱锥的性质）.7.如图，已知平面，，，且是的中点，.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求此多面体的体积.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.【解析】（1）取的中点，连结、，利用中位线证明，利用题中条件得到，进而得到，于是说明四边形为平行四边形，得到，最后利用直线与平面平行的判定定理证明平面；（2）由平面得到，再利用等腰三角形三线合一得到，利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，结合（1）中的结论证明平面，最后利用平面与平面垂直的判定定理证明平面平面；（3）利用已知条件得到平面平面，然后利用平面与平面垂直的性质定理求出椎体的高，最后利用椎体的体积公式计算该几何体的体积.（1）取中点，连结、，为的中点，，且，又，且，且，为平行四边形，，又平面，平面，平面；（2），，所以为正三角形，，平面，，平面，又平面，，又，，平面，又，平面，又平面，平面平面；（3）此多面体是一个以为定点，以四边形为底边的四棱锥，，平面平面，等边三角形边上的高就是四棱锥的高，.【考点】1.直线与平面平行；2.平面与平面垂直；3.椎体体积的计算8.如图，在三棱锥中，，，°，平面平面，，分别为，中点．（1）求证：∥平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3）.【解析】本题主要考查线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力.第一问，由于D、E分别为AB、AC中点，所以利用三角形的中位线得出∥，再利用线面平行的判定直接得到结论；第二问，由，而∥得，而D为AB中点，PA=PB，得，所以利用线面垂直的判定得平面，再利用线面垂直的性质得；第三问，由于，利用面面垂直的性质得平面，所以PD是三棱锥的高，而，所以. （1）因为，分别为，中点，所以∥，又平面，平面，所以∥平面. 4分（2）连结，因为∥，又°，所以.又，为中点，所以.所以平面，所以. 9分（3）因为平面平面，有，所以平面，所以. 14分【考点】线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积.9.棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为 .【答案】【解析】 .【考点】几何体的表面积.10.已知等腰梯形PDCB中(如图),PB=3,DC=1,PD=BC=,A为PB边上一点,且PA=1,将△PAD沿AD折起,使平面PAD⊥平面ABCD(如图).(1)证明：平面PAD⊥平面PCD.(2)试在棱PB上确定一点M,使截面AMC把几何体分成的两部分VPDCMA ∶VMACB=2∶1.(3)在M满足(2)的情况下,判断直线PD是否平行平面AMC.【答案】（1）见解析（2）M为线段PB的中点时（3）不平行【解析】(1)因为PDCB为等腰梯形,PB=3,DC=1,PA=1,则PA⊥AD,CD⊥AD.又因为面PAD⊥面ABCD,面PAD∩面ABCD=AD,CD⊂面ABCD,故CD⊥面PAD. 又因为CD⊂面PCD,所以平面PAD⊥平面PCD.(2)所求的点M即为线段PB的中点.证明如下：设三棱锥M-ACB的高为h1,四棱锥P-ABCD的高为h2,当M为线段PB的中点时,==,所以===,所以截面AMC把几何体分成的两部分VPDCMA ∶VMACB=2∶1.(3)当M为线段PB的中点时,直线PD与面AMC不平行.证明如下：(反证法)假设PD∥面AMC,连接DB交AC于点O,连接MO.因为PD⊂面PBD,且面AMC∩面PBD=MO,所以PD∥MO.因为M为线段PB的中点时,则O为线段BD的中点,即=,而AB∥DC,故==,故矛盾.所以假设不成立,故当M为线段PB的中点时,直线PD与平面AMC不平行.11.棱长为2的三棱锥的外接球的表面积为（）A．6πB．4πC．2πD．π【答案】A【解析】由题意知,此三棱锥为正四面体,以此正四面体的各棱为正方形的对角线拓展出一个正方体,则三棱锥外接球的半径为正方体外接球的半径.因三棱锥棱长为2,所以正方体棱长为,其外接球的直径为所以三棱锥的外接球的表面积为6π．12.如图，在三棱锥中，，，平面平面，为中点，点分别为线段上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为________．【答案】【解析】因为且为中点，所以，因为平面平面，由面面垂直的性质定理可得，即。
专题8.3 简单几何体的表面积与体积(解析版)
专题8.3 简单几何的表面积与体积运用一 体积【例1】（1）（2019·北京高二学业考试）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，如果3AB =，1AC =，12AA =，那么直三棱柱111ABC A B C -的体积为( )A.2B.3C.4D.6（2）（2019·云南省玉溪第一中学高二月考）一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）B.D.（3）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A.1123B.1363C.48D.56【答案】（1）B （2）A （3）C 【解析】（1）因为AB AC ⊥，所以322ABCAB AC S ⋅==； 所以11113232ABC A B C ABC V SAA -=⨯=⨯=，故选：B.（2）由三视图知，该几何体是一个直四棱锥，底面是一个直角梯形，底面积为()122+=，高为2，因此，这个四棱锥的体积为1232⨯=，故选：A.（3）根据三视图知，该几何体是平放的四棱柱，如图所示，且该四棱柱的底面为等腰梯形， 棱柱的高为4，它的体积为()12444482V Sh ==⨯+⨯⨯=．故选：C ．【举一反三】1．（2019·北京高一期末）已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形，则这个圆柱的体积是（ ） A ．22π B ．2πC ．22π D ．23π【答案】A【解析】底面圆周长22l r ππ==，1r = ，2S r ππ==所以222V Sh πππ==⨯= 故选：A2．（2019·河北高三月考（理））圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则该圆锥的高为（ ）A B ．4C ．3D ．2【答案】A【解析】设母线为l ，底面半径为r ，高为h ，则4rl ππ=，1r =，所以h =.答案选A3．设正六棱锥的底面边长为1 ）A. C. D.2【答案】B【解析】由底面边长为12h ==.又因为底面积16222S =⨯⨯=112332V Sh ==⨯⨯=.故选B.4．已知圆台上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积为6π，则这个圆台的体积为（ ）．A ．14πB ．143πC ．3D ．【答案】C【解析】依题意知圆台上底面半径为1r = ，下底面半径为2R =如图所示圆台展开为一个圆环的一部分即ABCD ，其小扇形弧长2AD π=，大扇形弧长4BC π=， 由2BC AD=知道OA AB l == ，则圆台的侧面积11622S BC OB AD OA π=-=2l ⇒= 所以高h =圆台的体积221()3V h r rR R π=++= 故选C 5．（2019·四川绵阳中学高一月考）圆台上底半径为2，下底半径为6，母线长为5，则圆台的体积为（ ） A.40π B.52πC.50πD.2123π 【答案】B【解析】作出圆台的轴截面如图所示：上底面半径2MD =，下底面半径6NC =，过D 做DE 垂直NC ， 则624EC =-=由5CD =故3DE =即圆台的高为3,所以圆台的体积为2213(26523V πππ=⋅⋅⋅+⋅+=.故选：B ． 运用二 表面积【例2】(1)（2019·山西高二月考（文））已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为() A.27πB.36πC.54πD.81π(2)（2019·福建高三月考（文））《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）A ．2B ．4+C ．4+D ．6+(3)（2019·安徽高二期末（文））如图，长度为1的正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体表面积为（ ）A ．16+B ．16+C ．12+D ．12+【答案】(1)B(2)D(3)D【解析】(1)设圆柱的底面半径为r ．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r ．因为该圆柱的体积为54π，23π2π54πr h r ==，解得3r =，所以该圆柱的侧面积为2π236r r ⨯=π．(2),斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的表面积12222262S =⨯+⨯⨯=+故选：D ． (3)由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥，底面是矩形，AD ＝4，AB ＝2，四棱锥的高为2．则其表面积为S 111424222412222=⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+．故选：D ． 【举一反三】1．（2019·湖南高一期末）已知一个圆柱的高是底面圆半径的2倍，则该圆柱的侧面积与表面积的比值为（ ） A.14B.12C.23D.45【答案】C【解析】设圆柱底面圆的半径为r ，则高2h r =，该圆柱的侧面积为224r h r ππ⋅=，表面积为222426r r r πππ+=，故该圆柱的侧面积与表面积的比值为224263r r ππ=. 2．（2019·湖南高三期末（文））一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．5【答案】A【解析】1234511122222S S S S S S =++++=++++=+ 故答案选A3．若圆锥的轴截面是正三角形，则它的侧面积是底面积的（ ）A 倍B ．3倍C ．2倍D ．5倍【答案】C【解析】由题意可知，如下图所示，设OC r =，则2AC r =所以圆锥的底面积为21S r π=，圆锥的侧面积为()2212222S r r r ππ=⋅= 即圆锥的侧面积是底面积的22212=2S r S rππ=倍故答案选C 运用三 球【例3】(1)由球O 的球面上一点P 作球的两两互相垂直的三条弦PA ，PB ，PC ．已知3cm PA =，PB =，PC =，求球O 的表面积和体积．(2)（2019·四川石室中学高三月考（文））已知球O 的内接圆锥体积为23π，其底面半径为1，则球O 的表面积为__________.(3)正方体的外接球与内切球的半径之比为（ ） ABC ．2:1D ．3:1【答案】(1)()236cmπ,()336cm π(2)254π(3)B 【解析】(1)以点P 为一个顶点，PA ，PB ，PC 为三条相邻棱，构造长方体PADB CEFG -．由于点P ，A ，B ，C 都在球O 的球面上，显然长方体PADB CEFG -内接于球O ，其对角线PF 长就是球O 的直径，所以()26cm R ==，3cm R =．()22436cm S R ππ∴==球，()33436cm 3V R ππ==球．(2)由圆锥体积为23π，其底面半径为1，设圆锥高为h 则221133h ππ=⨯⨯，可求得2h = 设球半径为R ，可得方程：()2221R R --=，解得：54R =25254=164S ππ∴=⨯本题正确结果：254π(3)设正方体的边长为1，画出图像如下图所示，设O 为正方体体对角线的交点，1O 为上底ABCD 的中心，所以正方体外接球的半径为122AC OA ===，正方体内切球的半径为111122OO CC ==，故正方体的外接球与内切球的半径之比为1:22=，故选B.【举一反三】1．已知一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球．求： （1）圆锥的侧面积． （2）圆锥内切球的体积．【答案】（1）侧面积96S π=；（2）2563V π=【解析】(1)作出轴截面, 如下图所示：则等腰三角形CAB 内接于圆O ,而圆1O 内切于CAB ∆,设圆O 的半径为R ,由题意,得349723R ππ=,3729R ∴=, 918R CE =∴=; 已知162CD ED =∴=,连接AE ,CE 是直径,CA AE ∴⊥,21816288CA CD CE =⋅=⨯=,CA ∴=,AB CD ⊥, ,216232AD CD DE ∴=⋅=⨯=,AD ∴=,所以圆锥的侧面积96S AD CA πππ=⨯⨯=⨯=; (2)设圆锥的内切球1O 的半径为r ,也即CAB ∆的内切圆的半径为r ，ABC ∆的周长为c ==,111622ABC S AB CD ∆∴=⨯⨯=⨯=,又三角形的面积12ABC S c r ∆=⨯⨯，所以12r ⨯= 4r ∴=;∴圆锥的内切球1O 的体积3425633V r ππ==.2．（2019·广东实验中学高三月考（理））三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰三角形，120C ∠=，侧面PAB 是等边三角形且与底面ABC 垂直，2AC =，则该三棱锥的外接球表面积为__________．【答案】20π【解析】由题意，由余弦定理2221AB =2+2-222-2⎛⎫⨯⨯⨯∴ ⎪⎝⎭，ABC 的外接圆半径21,R R =∴=等边三角形PAB 的高为3，设球的半径为,r 球心到底面的距离为x ，则22222r 2x 13x =+=+-（），所以x 1=，所以该三棱锥的外接球的表面积为24r 20ππ=． 故答案为：20π．3．已知棱长为a 的正方体，甲球是正方体的内切球，乙球是正方体的外接球，丙球与正方体的各棱都相切，则甲、乙、丙三球的表面积之比为（ ）．A ．91:3:4B ．1:3:2C ．D ．31:2【答案】B【解析】由已知得甲球是正方体的内切球，示意图如下图1，从中截面可以看出甲球的直径等于正方体的棱长，设甲球的半径为1R ，则12R a =，所以12a R =，所以甲球的表面积为22211442a S R a πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭； 乙球是正方体的外接球，示意图如下图2, 从中截面可以看出乙球的直径等于正方体的体对角线长，设乙球的半径为2R ，则22R ==，所以2R =，所以乙球的表面积为222224432S R aπππ⎛⎫===⎪⎪⎝⎭；丙球与正方体的各条棱相切，示意图如下图3, 从中截面可以看出丙球的直径等于正方体的面对角线长，设丙球的半径为3R，则32R==，所以32R=，所以丙球的表面积为222334422S R aπππ⎛⎫===⎪⎪⎝⎭；所以()()()222123:::3:21:3:2S S S a a aπππ==，故选：B.1．（2019·四川棠湖中学高二月考）一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为（）A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：6【答案】A【解析】由题意可知：几何体被平面ABCD 平面分为上下两部分，设正方体的棱长为2，上部棱柱的体积为：121222⨯⨯⨯=； 下部为：22226⨯⨯-=，截去部分与剩余部分体积的比为：13．故选：A ． 2．（2019·全国高三月考（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.23B.43C.83D.163【答案】C【解析】根据三视图可得对应的几何体为四棱锥P ABCD - ， 它是正方体中去掉一个三棱锥和三棱柱，又2ABCD S ==矩形，P 到底面ABCD ，故1833V =⨯=， 故选C.3．（2019·天水市第一中学高三月考（理））已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.36π+B.66π+C.312π+D.12【答案】A【解析】由三视图知，该几何体有四分之一圆锥与三棱锥构成，故体积为211113433436,4332V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+，故选A.4．（2019·安徽省泗县第一中学高二期末（文））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A ．12B ．15C ．18D ．21【答案】B【解析】根据三视图可得出该几何体为底面为直角梯形的直棱柱，底面积1(23)252S =⨯+⨯=，故该几何体的体积5315V =⨯=，故选：B ．5（2019·广东高一期末）已知圆柱的轴截面为正方形，且该圆柱的侧面积为36π，则该圆柱的体积为 A.27π B.36πC.54πD.81π【答案】C【解析】设圆柱的底面半径r .因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r 因为该圆柱的侧面积为36π，所以2236r r ππ⨯=，解得3r =， 故该圆柱的体积为2232354r h πππ=⨯⨯⨯=.故答案选C6．（2019·江西上高二中高二月考（理））圆锥的母线长为4，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥表面积为（ ） A ．10π B ．12πC ．16πD ．18π【答案】B【解析】一个圆锥的母线长为4，它的侧面展开图为半圆， 半圆的弧长为12442l ππ=⨯⨯=，即圆锥的底面周长为4π， 设圆锥的底面半径是r ，则得到24r ππ=，解得2r =，这个圆锥的底面半径是2，∴圆锥的表面积为242212S πππ=⋅⋅+⋅=．故选：B ．7．（2019·江苏高一期末）已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角为3π，则此圆锥的侧面积为（ ）A. B.2πD.π【答案】B【解析】由于圆锥的底面半径1r =，母线与底面所成的角为3π， 所以母线长121cos32r l π=== ，故圆锥的侧面积=2S rl ππ=；故答案选B 8．（2019·河北高一月考）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的表面积之比为（ ）A．6:1):4+ B．64 C．5:1):4+D．5:4【答案】A【解析】设球的半径为R ，圆柱的表面积2221S 246R R R πππ=+=。
初三数学立体图形试题答案及解析
初三数学立体图形试题答案及解析1.一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“预祝中考成功”，把它折成正方体后，与“成”相对的字是（）A．中B．功C．考D．祝【答案】B．【解析】这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，相对两个面之间隔一个正方形．因此，其中面“成”与面“功”相对，“中”与面“考”相对，面“预”与面“祝”相对．故选B．【考点】正方体及其表面展开图．2.如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥。
如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱，下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是A．五棱柱B．六棱柱C．七棱柱D．八棱柱【答案】B【解析】九棱锥侧面有9条棱，底面是九边形，也有9条棱，共9+9=18条棱，A、五棱柱共15条棱，故此选项错误；B、六棱柱共18条棱，故此选项正确；C、七棱柱共21条棱，故此选项错误；D、九棱柱共27条棱，故此选项错误；故选：B．【考点】棱柱与棱锥3.如图所示的是某几何体的三视图，则该几何体的形状是（）A．三棱锥B．正方体C．三棱柱D．长方体【答案】C．【解析】根据三视图可以想象出该物体由三条棱组成，底面是三角形，此只有三棱柱的三视图与题目中的图形相符．故选C．【考点】由三视图判断几何体．4.下面给出的正多边形的边长都是20cm，请分别按下列要求设计一种剪拼方法（用虚线表示你的设计方案，把剪拼线段用粗黑实线，在图中标注出必要的符号和数据，并作简要说明．（1）将图1中的正方形纸片剪拼成一个底面是正方形的直四棱柱模型，使它的表面积与原正方形面积相等；（2）将图2中的正三角形纸片剪拼成一个底面是正三角形的直三棱柱模型，使它的表面积与原正三角形的面积相等；（3）将图3中的正五边形纸片剪拼成一个底面是正五边形的直五棱柱模型，使它的表面积与原正五边形的面积相等．【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析（3）作图见解析【解析】思路分析：（1）在正方形四个角上分别剪下一个边长为5的小正方形，拼成一个正方形作为直四棱柱的底面即可；（2）在正三角形的每一角上找出到顶点距离是5的点，然后作边的垂线，剪下后拼成一个正三角形，作为直三棱柱的一个底面即可；（3）在正五边形的每一角上找出到顶点距离是5的点，然后作边的垂线，剪下后拼成一个正五边形，作为直五棱柱的一个底面即可．解：（1）如图1，沿黑线剪开，把剪下的四个小正方形拼成一个正方形，再沿虚线折叠即可；（2）如图，2，沿黑线剪开，把剪下的三部分拼成一个正三角形，再沿虚线折叠即可；（3）如图3，沿黑线剪开，把剪下的五部分拼成一个正五边形，再沿虚线折叠即可．点评：本题考查了图形的剪拼，解题的关键在于根据拼成棱柱的表面积与原图形的面积相等，从而判断出剪下的部分拼成的图形应该是棱柱的一个底面．5.如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据（单位：cm）可求得这个几何体的体积为A．2cm3B．3cm3C．6cm3D．8cm3【答案】B【解析】该几何体的主视图以及左视图都是相同的矩形，俯视图也为一个矩形，可确定这个几何体是一个长方体，此长方体的长与宽都是1，高为3，所以该几何体的体积为1×1×3=3cm3。
习题范例解决立体几何中的表面积问题
习题范例解决立体几何中的表面积问题在立体几何中，我们常常会遇到计算各种形状的表面积的问题。
本文将通过习题范例的方式，帮助读者解决立体几何中的表面积问题。
习题一：计算长方体表面积已知一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，请计算长方体的表面积。
解答：长方体的表面积可以通过计算各个面的面积之和得到。
长方体有六个面，分别是底面、顶面、前面、后面、左面和右面。
底面和顶面的面积相等，等于a*b；前面和后面的面积相等，等于a*c；左面和右面的面积相等，等于b*c。
所以长方体的表面积等于2ab + 2ac + 2bc。
习题二：计算圆柱体的表面积已知圆柱体的底面直径为d，高为h，请计算圆柱体的表面积。
解答：圆柱体的表面积由三个部分组成，上底面、下底面和侧面。
上底面和下底面的面积都等于π * (d/2)^2，即π * (d^2)/4；侧面的面积等于圆周长乘以高，即2π * (d/2) * h = πdh。
所以圆柱体的表面积等于2 * (π * (d^2)/4) + πdh = (πd/2) * (d/2 + h)。
习题三：计算球体的表面积已知球体的半径为r，请计算球体的表面积。
解答：球体的表面积等于4πr^2。
习题四：计算锥体的表面积已知锥体的底面半径为r，母线长度为l，请计算锥体的表面积。
解答：锥体的表面积等于底面的面积加上锥面的面积。
底面的面积等于πr^2；锥面的面积等于πrl。
所以锥体的表面积等于πr^2 + πrl = πr(r + l)。
通过以上习题范例，我们可以看到计算不同形状立体几何的表面积时，可以根据不同的公式进行计算，而不同形状的表面积计算公式也有一定的规律可循。
在实际应用中，掌握这些表面积的计算方法可以帮助我们更好地理解和解决立体几何问题。
同时，熟练掌握这些计算方法也有助于我们在解决实际问题时更加便捷和准确地计算出表面积。
例如在装修房间时，需要计算墙面的面积；在包装物品时，需要计算包装盒的表面积等等。
初三数学下册综合算式专项练习题立体几何表面积运算深入训练
初三数学下册综合算式专项练习题立体几何表面积运算深入训练在初中数学的学习中，立体几何是一个重要的内容。
而在立体几何中，计算表面积是一个常见的题型。
本文将为大家提供一些综合算式专项练习题，以帮助大家深入训练立体几何表面积运算。
题目一：正方体表面积一块边长为24cm的正方形材料，可以用来制作一个正方体。
请计算这个正方体的表面积是多少？解析：正方体的表面积等于六个正方形的面积之和。
因此，我们可以通过计算正方形的面积，然后乘以6来得到正方体的表面积。
首先计算正方形的面积：边长的平方。
24cm × 24cm = 576cm²然后，将正方形的面积乘以6：576cm² × 6 = 3456cm²答案：这个正方体的表面积是3456cm²。
题目二：长方体表面积一个长方体的长、宽、高分别为12cm、8cm和6cm。
请计算这个长方体的表面积是多少？解析：长方体的表面积等于两个长方形、两个宽方形和两个高方形的面积之和。
因此，我们可以通过计算这些方形的面积，然后相加来得到长方体的表面积。
首先计算长方形的面积：长 ×宽。
12cm × 8cm = 96cm²然后计算宽方形的面积：宽 ×高。
8cm × 6cm = 48cm²最后计算高方形的面积：高 ×长。
6cm × 12cm = 72cm²将这三个面积相加：96cm² + 48cm² + 72cm² = 216cm²答案：这个长方体的表面积是216cm²。
题目三：圆柱体表面积一个圆柱体的底面是半径为5cm的圆，高为10cm。
请计算这个圆柱体的表面积是多少？解析：圆柱体的表面积由三部分组成：底面圆的面积、顶面圆的面积和侧面的矩形面积。
首先计算底面圆的面积：半径的平方乘以π。
半径为5cm，面积为5cm × 5cm × π ≈ 78.54cm²顶面圆的面积同底面圆面积相同。
中考数学专题练习几何体的表面积(含解析)
2019中考数学专题练习-几何体的表面积（含解析）一、单选题1.下列哪个图形阴影部分的面积与已知图形阴影部分的面积不相等（）A.B.C.D.2.图中的几何体，由两个正方体组合而成，大正方体的棱长为a，小正方体的棱长是b，则这个几何体的表面积等于（）A. B.C.D.3.棱长是1cm的小立方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积是（）A. 36cm2B. 33cm2C. 30cm2 D.27 cm24.如图所示，由6块边长为1的相同立方体组成的几何体．其表面积是（）A. 24B. 26C. 28D . 305.若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积超过7，则正方体的个数至少是（）A. 2B. 3C. 4D. 56.10个棱长为1的正方体木块堆成如图所示的形状，则它的表面积是（）A. 30B. 34C. 36D . 487.棱长是1cm的小立方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积（）A. 36cm2B. 33cm2C. 30cm2D. 27cm28.从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的表面积是（）A. 20B. 22C. 24D . 269.如图，将一张边长为3的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正三角形的棱柱，这个棱柱的侧面积为（）A. 9B. 9﹣3C.D.二、填空题10.如图所示的积木是由16块棱长为acm的正方体堆积而成的，则这个几何体的表面积是________ cm2 ．11.如图所示，一个长方体的长为4cm，宽为3cm，高为5cm．则长方体所有棱长的和为________；长方体的表面积为________．12.王老师有一罐茶叶，茶叶罐的高是12厘米，底面是边长为8厘米的正方形，茶叶罐侧面贴着一圈商标纸，商标纸的面积是________平方厘米，茶叶罐的体积是________立方厘米．13.某产品是长方体，它的长、宽、高分别为10cm、8cm、6cm，将12个这种产品摆放成一个大的长方体，则此大长方体的表面积最少为________ cm2 ．14.如图是一个几何体的三视图，若这个几何体的体积是 36，则它的表面积是________.15.用一些棱长为a的正方形，摆成如图所示的形状，请你求出该物体的表面积．________．三、解答题16.．如图，某玩具是由两个正方体用胶水黏合而成的，它们的棱长分别为1dm和2dm，为了美观，现要在其表面喷涂油漆，已知喷涂1dm2需用油漆59克，求喷涂这个玩具共需多少克油漆？17.已知一个长方体的长为4cm，宽为3cm，高为5cm，请求出：（1）长方体所有棱长的和．（2）长方体的表面积．四、综合题18.从棱长为2的正方体毛坯的一角挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图的零件，求：（1）这个零件的表面积（包括底面）；（2）这个零件的体积．19.棱长为a的正方体，摆放成如图所示的形状．（1）如果这一物体摆放三层，试求该物体的表面积；（2）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下20层，求该物体的表面积．答案解析部分一、单选题1.下列哪个图形阴影部分的面积与已知图形阴影部分的面积不相等（）A.B.C.D.【答案】D【考点】几何体的表面积【解析】【解答】解：依题意有已知图形阴影部分的面积=1面积单位．A、图形阴影部分的面积=1×1=1面积单位，与已知图形阴影部分的面积相等；B、图形阴影部分的面积=1×2÷2=1面积单位，与已知图形阴影部分的面积相等；C、图形阴影部分的面积=1×2÷2=1面积单位，与已知图形阴影部分的面积相等；D、图形阴影部分的面积=1×1÷2=面积单位，与已知图形阴影部分的面积不相等．故选D．【分析】根据题意可知已知图形阴影部分的面积为1面积单位，分别求出各图形阴影部分的面积，比较即可．2.图中的几何体，由两个正方体组合而成，大正方体的棱长为a，小正方体的棱长是b，则这个几何体的表面积等于（）A. B.C.D.【答案】A【考点】几何体的表面积【解析】【分析】分大正方体的表面积为六个正方形的面积减去重叠部分小正方形的面积，小正方体的五个表面的面积，然后根据正方形的面积公式列式进行计算即可得解．【解答】∵大正方体的棱长为a，小正方体的棱长是b，∴大正方体的表面积为6a2-b2 ，小正方体可看见的面的面积为5b2 ，所以，这个几何体的表面积等于6a2-b2+5b2=6a2+4b2 ．故选A．【点评】本题考查了几何体的表面积，以及整式的加减运算，要注意重叠部分的面积为小正方形的面积，需要在大正方体与小正方体分别减去一次．3.棱长是1cm的小立方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积是（）A. 36cm2B. 33cm2C. 30cm2 D.27 cm2【答案】A【考点】几何体的表面积【解析】【分析】几何体的表面积是几何体正视图，左视图，俯视图三个图形中，正方形的个数的和的2倍．【解答】正视图中正方形有6个；左视图中正方形有6个；俯视图中正方形有6个．则这个几何体中正方形的个数是：2×（6+6+6)=36个．则几何体的表面积为36cm2 ．故选：A．【点评】本题考查的是几何体的表面积，这个几何体的表面积为露在外边的面积和底面之和．4.如图所示，由6块边长为1的相同立方体组成的几何体．其表面积是（）A. 24B. 26C. 28D . 30【答案】B【考点】几何体的表面积【解析】【解答】解：正视图中正方形有4个，中间2个面；左视图中正方形有3个；俯视图中正方形有5个．则这个几何体中看到正方形的个数是：2×（4+3+5）+2=26个．则几何体的表面积为26．故选：B．【分析】几何体的表面积是几何体正视图，左视图，俯视图三个图形中，小正方形面积的个数的和的2倍．5.若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积超过7，则正方体的个数至少是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【考点】几何体的表面积【解析】【分析】根据图示逐层算出露出的面积加以比较即解．【解答】∵要求塔形露在外面的面积超过7（不包括下底面)，最下面的立方体棱长为1，∴最下面的立方体露出的面积为：4×（1×1)+0.5=4.5；那么上面一层假如有立方体的话露出的面积为4×0.5+0.5×0.5=2.25，这两层加起来的面积为：6.75．那么上面一层假如还有立方体的话露出的面积为4×0.25+0.25×0.25=1.0625，这三层加起来的面积为：7.8125．∴立方体的个数至少是3．故选B．【点评】本题需注意假如上面有一层立方体的话露出的表面积为：4×正方形的面积+一半正方形的面积6.10个棱长为1的正方体木块堆成如图所示的形状，则它的表面积是（）A. 30B. 34C. 36D . 48【答案】C【考点】几何体的表面积【解析】【解答】根据以上分析露出的面积=5+4×2+2+4×2+3+2×1+2+6=36．【分析】第一层露出5个面；第二层露出4×2+2个面；第三层露出4×2+3+2×1+2；底面6个面．7.棱长是1cm的小立方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积（）A. 36cm2B. 33cm2C. 30cm2D. 27cm2【答案】A【考点】几何体的表面积【解析】试题【分析】几何体的表面积是几何体正视图，左视图，俯视图三个图形中，正方形的个数的和的2倍。
精品三年高考(2019)高考数学试题分项版解析 专题22 几何体的表面积与体积 文(含解析)
专题22 几何体的表面积与体积 文考纲解读明方向分析解读 1.理解柱、锥、台、球的侧面积、表面积和体积的概念.2.结合模型,在理解的基础上熟练掌握柱、锥、台、球的表面积公式和体积公式.3.备考时关注以三视图、柱、锥与球的接切问题为命题背景,突出空间几何体的线面位置关系的命题.4.高考对本节内容的考查以计算几何体的表面积和体积为主,分值约为5分,属中档题.2018年高考全景展示1．【2018年新课标I 卷文】在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为 A. B. C.D.【答案】C点睛：该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长久显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.2．【2018年新课标I卷文】已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和. 3．【2018年全国卷Ⅲ文】设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：作图，D为MO 与球的交点，点M为三角形ABC的重心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得。
详解：如图所示，点M为三角形ABC的重心，E为AC中点，当平面时，三棱锥体积最大，此时，，，,点M为三角形ABC的重心，，中，有，，，故选B.点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型。
2019年高考数学高频考点揭秘与仿真测试专题55立体几何空间几何体的表面积和体积文 含答案解析
专题55 立体几何 空间几何体的表面积和体积【考点讲解】一、具本目标：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）. 二、知识概述： 1.体积公式：柱体：h S V ⋅=，圆柱体：h r V ⋅=2π。
斜棱柱体积：l S V ⋅'=（其中，S '是直截面面积，l 是侧棱长）；锥体：h S V ⋅=31， 圆锥体：, 台体：圆台体：, 球体：334r V π=。
正方体的体积 3a V = ；正方体的体积 abc V =. 2.侧面积：直棱柱侧面积：h c S ⋅=，斜棱柱侧面积：l c S ⋅'=；正棱锥侧面积：h c S '⋅=21，正棱台侧面积：；圆柱侧面积：，圆锥侧面积：，圆台侧面积：，球的表面积：24r S π=。
3.几个基本公式：弧长公式：r l ⋅=α（α是圆心角的弧度数，α>0）；扇形面积公式：r l S ⋅=21； 圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角公式：πθ2⋅=lr； 圆台侧面展开图（扇环）的圆心角公式：；球面上两点间的距离公式：r l θ=。
4.几何体的表面积：圆柱的表面积；圆锥的表面积；圆台的表面积球体的表面积 24R S π=.柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和. 把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.【温馨提示】1.多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．2.圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．3.（1）已知几何体的三视图求其体积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表体积公式求其体积.(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．4.求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.【常考题型】以结合三视图、几何体的结构特征考查几何体的面积体积计算为主，题型基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；也有几何体的面积或体积在解答题中与平行关系、垂直关系等相结合考查的情况. 以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．【真题分析】1.【2015高考课标2】已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=900,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36π B.64π C.144π D.256π 【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时，故6R =，则球O 的表面积为，故选C ．【答案】C2.【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A.20πB.24πC.28πD.32π 【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积为，圆柱的底面面积为，故该几何体的表面积为，故选C.【答案】C3.【2016高考新课标3】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A.18+B.54+【解析】由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积是：，故选B ．【答案】B4.【2017浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．12+πB ．32+πC ．123+πD ．323+π【解析】本题的考点是根据三视图还原立体图形后求体积的问题，由三视图可知，原立体图形是一个组合体，是圆锥的一半与一个三棱锥的组合，圆锥的底面半径是1，三棱锥的底面是以2为底边的等腰直角三角形，两锥体的高是3.体积为.【答案】A5.【2017山东，理13】由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .【解析】由三视图可知长方体的长为2，宽为1，高为1，圆柱的底面半径是，高也为1.长方体的体积为，圆柱一半的体积为：.几体的体积为：【答案】22π+6.【2018年天津卷】已知正方体的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为__________.【解析】根据题中给出的条件，要求四棱锥的体积，首先要求出四棱锥的底面积，然后求出四棱锥的高.观察图形可得底面四边形EFGH 的正方形，面积为.顶点M 到底面四边形EFGH 的距离为12d =，所以四棱锥M EFGH -的体积为.【答案】1127．【2018年江苏卷】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【解析】先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，所以该多面体的体积为.【答案】438．【2018年全国卷II 】已知圆锥的顶点为S ，母线,SA SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB ∆的面积为__________．【解析】本题先要根据三角形的面积公式求出母线的长，再根据母线与底面所成角求出圆锥的底面半径，最后求出圆锥的侧面积.由母线,SA SB 所成角的余弦值为78，可求得母线,SA SB 所成角的正弦值8，由SAB ∆的面积为l ，可知l SA SB ==，由三角形的面积公式可得，所以可得2=80l ，又因为SA 与圆锥底面所成角为45°，底面半径为，圆锥的侧面积为.【答案】【模拟考场】1. 【2015高考新课标2】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A ．81 B ．71 C ．61 D ．51【解析】由三视图得，在正方体中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ，则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51，故选D ． 【答案】D2.2，且三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π【解析】因底面边长为3,故底面中心到顶点的距离是1,即球的截面圆的半径为1,所以,其表面积为,故应选B.【答案】B3.【2015高考课标1】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r =（ ）A.1B.2C.4D.8【解析】由正视图与俯视图可以看出，此几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱与球的半径都是r，圆柱的高为2r，表面积为.可得=2r.【答案】B4.【原题】（必修2第28页习题1.3第3题）如图将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比。
九年级数学下册立体几何的表面积练习题
九年级数学下册立体几何的表面积练习题在九年级数学下册中，立体几何的表面积是一个重要的概念和技能。
通过解决表面积练习题，学生可以加深对立体几何中各种几何体表面积的理解和计算方法的掌握。
本文将通过一系列练习题，帮助学生巩固这方面的知识。
1. 计算长方体的表面积1.1 练习题1：一个长方体的长为6cm，宽为3cm，高为4cm，求其表面积。
解析：长方体的表面积等于各个面积的和。
根据长方体的特点，可知它有6个面，每个面都是矩形，所以可以通过计算每个面的面积得到结果。
这道题中，长方体的底面积为6cm * 3cm = 18cm²，侧面积为6cm * 4cm = 24cm²，顶面积也为18cm²。
所以总的表面积为：18cm²+ 18cm² + 24cm² = 60cm²。
1.2 练习题2：一个长方体的长、宽、高分别为8cm、5cm、3cm，求其表面积。
解析：按照上述的计算方法，分别计算底面积、侧面积和顶面积，然后将它们相加即可得到结果。
根据计算可得：底面积为8cm * 5cm = 40cm²，侧面积为 8cm * 3cm + 5cm * 3cm = 24cm² + 15cm² = 39cm²，顶面积也为40cm²。
所以总的表面积为：40cm² + 40cm² + 39cm² = 119cm²。
2. 计算正方体的表面积2.1 练习题3：一个正方体的边长为4cm，求其表面积。
解析：正方体是一种特殊的长方体，它的各个面都是正方形。
所以在计算表面积时，只需要计算一个面的面积，然后将其乘以6即可得到结果。
这道题中，正方体的边长为4cm，所以一个面的面积为4cm * 4cm = 16cm²。
因此，总的表面积为16cm² * 6 = 96cm²。
中考数学模拟试题二十七立体几何中的体积与表面积计算
中考数学模拟试题二十七立体几何中的体积与表面积计算在数学学科中，几何是一个重要的分支，而立体几何更是其中的一个重要内容。
掌握好立体几何的体积与表面积计算方法对于解决与空间相关的问题具有重要意义。
下面将介绍一些中考数学模拟试题中常出现的立体几何问题，以及相关的体积与表面积计算方法。
1. 立方体的体积与表面积计算立方体是最基本的立体几何体之一，它的所有边长相等，并且拥有六个相等的正方形的面。
当给定立方体的边长时，可以使用以下公式计算其体积和表面积：- 体积公式：V = a^3，其中a为立方体的边长；- 表面积公式：S = 6a^2。
例如，给定一个立方体，边长为5厘米，则可以计算出它的体积为V = 5^3 = 125立方厘米，表面积为S = 6(5^2) = 150平方厘米。
2. 长方体的体积与表面积计算长方体是另一种常见的立体几何体，它有六个面，其中相对的两个面是相等的长方形。
当给定长方体的长、宽和高时，可以使用以下公式计算其体积和表面积：- 体积公式：V = lwh，其中l为长方体的长度，w为宽度，h为高度；- 表面积公式：S = 2lw + 2lh + 2wh。
例如，给定一个长方体，长为4厘米，宽为3厘米，高为2厘米，则可以计算出它的体积为V = 4 * 3 * 2 = 24立方厘米，表面积为S =2(4*3) + 2(4*2) + 2(3*2) = 52平方厘米。
3. 圆柱体的体积与表面积计算圆柱体是由一个圆形的底面和一个与底面平行的圆形盖面所围成的立体几何体。
当给定圆柱体的底面半径r和高度h时，可以使用以下公式计算其体积和表面积：- 体积公式：V = πr^2h，其中π取近似值3.14；- 表面积公式：S = 2πr^2 + 2πrh。
例如，给定一个圆柱体，底面半径为2厘米，高度为5厘米，则可以计算出它的体积为V = 3.14 * 2^2 * 5 = 62.8立方厘米，表面积为S = 2 * 3.14 * 2^2 + 2 * 3.14 * 2 * 5 = 87.92平方厘米。
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2019备战中考数学专题练习-几何体的表面积（含解析）
一、单选题
1.附图的长方体与下列选项中的立体图形均是由边长为1公分的小正方体紧密堆砌而成．若下列有一立体图形的表面积与附图的表面积相同，则此图形为何？（）
A. B. C. D.
2.一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把14个棱长为1dm的正方体摆在课桌上成如图的形式，然后他把露出的表面都涂上不同的颜色，则被他涂上颜色部分的面积为（）
A. 33dm2
B. 24dm2
C. 21dm2
D. 42dm2
3.如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“我”字一面的相对面上的字（）
A. 的
B. 中
C. 国
D. 梦
4.棱长是1cm的小立方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积是（）
A. 36cm2
B. 33cm2
C. 30 cm2
D. 27 cm2
5.10个棱长为1的正方体木块堆成如图所示的形状，则它的表面积是（）
A. 30
B. 34
C. 36
D. 48
6.右图可以折叠成的几何体是（）
A. 三棱柱
B. 四棱柱
C. 圆柱
D. 圆锥
7.把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图所示的立方体，然后将露出的表面部分染成红色，那么红色部分的面积为（）
A. 21
B. 24
C. 33
D. 37
8.若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积超过7，则正方体的个数至少是（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
二、填空题
9.用一个长3cm宽2cm的长方形纸卷一个圆柱，则圆柱的侧面积为 ________，底面周长为 ________．
10.李强同学用棱长为1的正方体在桌面上堆成如图所示的图形，然后把露出的表面都染成红色，则表面被他染成红色的面积为________
11.一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把14个棱长为1分米的正方体摆在课。