2021届高考数学(理)考点复习：二项分布与正态分布(含解析)

2021届高考数学（理）考点复习二项分布与正态分布1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝P(AB)P(A)(P(A)>0)．在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝n(AB) n(A).(2)条件概率具有的性质①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．2．相互独立事件(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件．(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．(4)P(AB)＝P(A)P(B)⇔A与B相互独立．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．4．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．5．正态分布(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝12πσ22()2exμσ--，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们称函数φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的特点①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π； ④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)≈0.997 3. 概念方法微思考1．条件概率中P (B |A )与P (A |B )是一回事吗？提示 不一样，P (B |A )是在A 发生的条件下B 发生的概率，P (A |B )是在B 发生的条件下A 发生的概率．2．“事件相互独立”与“事件互斥”有何不同？提示 两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．1．（2017•新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：)cm ．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X 及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，16162221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-∑∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1i =，2，⋯，16．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=，160.99740.9592≈，0.0080.09≈．【解析】（1）由题可知尺寸落在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974， 则落在(3,3)μσμσ-+之外的概率为10.99740.0026-=，因为001616(0)(10.9974)0.99740.9592P X C ==⨯-⨯≈， 所以(1)1(0)0.0408P X P X =-==， 又因为~(16,0.0026)X B ， 所以()160.00260.0416E X =⨯=；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ⅱ）由9.97x =，0.212s ≈，得μ的估计值为ˆ9.97μ=，σ的估计值为ˆ0.212σ=，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外，因此需对当天的生产过程进行检查． 剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=， 因此μ的估计值为10.02．162221160.212169.971591.134ii x==⨯+⨯≈∑，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为 221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈， 因此σ0.0080.09．1．（2020•青羊区校级模拟）设随机变量X ，Y 满足：31Y X =-，~(2,)X B p ，若5(1)9P X =，则()(D Y = )A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】随机变量X ，Y 满足：31Y X =-，~(2,)X B p ，5(1)9P X =， 0224(0)1(1)(1)9P X P X C p ∴==-=-=， 解得13p =，1~(2,)3X B ∴，114()2(1)339D X ∴=⨯⨯-=，4()9()949D Y D X ∴==⨯=． 故选A ．2．（2020•奎文区校级模拟）设随机变量X 服从1(6,)2B ，则(3)P X =的值是( )A ．316B ．516 C ．38D ．58【答案】B【解析】随机变量X 服从1(6,)2，3336611205(3)()()22216P X C ∴====故选B ．3．（2019•道里区校级三模）已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ．若()2E X =，4()3D X =，则(p = ) A ．34B ．23 C ．13D ．14【答案】C【解析】由随机变量X 服从二项分布(,)B n p ． 又()2E X =，4()3D X =， 所以24(1)3np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：13p =，故选C ．4．（2019•道里区校级一模）设随机变量~(2,)B p ξ，~(4,)B p η，若5(1)9P ξ=，则(2)P η的值为( ) A ．3281B ．1127C ．6581D ．1681【答案】B【解析】随机变量~(2,)B p ξ，5(1)9P ξ=， 002251(1)9C p p ∴--=，13P ∴=，1~(4,)3B η∴，22233144044412121211(2)()()()()()()33333327P C C C η∴=⨯+⨯+=， 故选B ．5．（2020•江西模拟）已知随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，若(2)(8)0.15P P ξξ<=>=，则(25)(P ξ<= )A ．0.3B ．0.35C ．0.5D ．0.7【答案】B【解析】根据题意，正态分布2(,)N μσ，若(2)(8)0.15P P ξξ<=>=，则5μ=，即这组数据对应的正态曲线的对称轴5x =，则(5)0.5P ξ<=， 又由(2)0.15P ξ<=，得(25)0.50.150.35P ξ<=-=． 故选B ．6．（2020•红岗区校级模拟）在如图所示的正方形中随机投掷40000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布(2,4)N -的密度曲线）的点的个数的估计值为( )（附2:~(,)x N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<+=，(22)0.9545P X μσμσ-<+=．)A ．906B ．1359C ．2718D ．3413【答案】B 【解析】~(2,4)X N -∴ 阴影部分的面积(02)S P X =1[(62)(10)]2P x P x =--- 1(0.95450.6827)0.13592=-=， 则在正方形中随机投一点， 该点落在阴影内的概率为0.13594P =， ∴ 落入阴影部分的点的个数的估计值为0.13594000013594⨯≈． 故选B ．7．（2020•辽宁三模）已知随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，且(02)0.3P X =，则(4)(P X >=) A ．0.6 B ．0.2C ．0.4D ．0.35【答案】B【解析】由随机变量X 服从正态分布2(2,)N o ，所以正态曲线的对称轴是2x =， 又(02)0.3P X =，所以(4)(0)0.50.30.2P X P X >=<=-=． 故选B ．8．（2020•运城模拟）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布(1N ，2)(0)σσ>，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.6，则ξ在(2,)+∞内取值的概率为( ) A ．0.8 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2【答案】D【解析】2~(1,)N ξσ，(2)(0)P P ξξ∴>=<， 又(02)0.6P ξ<<=，∴10.6(2)0.22P ξ->==． 故选D ．9．（2020•益阳模拟）若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<+=，(22)0.9545P μσξμσ-<+=，设2~(1,)N ξσ，且(3)0.15865P ξ=，在平面直角坐标系xOy 中，若圆222x y σ+=上恰有两个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围为( ) A ．(26-，13)(13-⋃，26) B ．(26,26)-C ．(39-，13)(13-⋃，39)D ．(39,39)-【答案】C【解析】由题意知：1(3)(1)[1(13)]2P P P ξξξ=-=--<<，(13)0.6827P ξ∴-<<=，11σ∴-=-，13σ+=．2σ∴=．故圆的方程为224x y +=，圆心为(0,0)，半径为2．如图，1L ，2L 表示与1250x y c -+=平行的直线，OA ，OB ，OC 共线且垂直于1L ，2L ． 当1BC AC ==时，圆上分别恰有1个，3个点到直线的距离等于1，此时圆心到直线的距离分别为3，1．当直线介于1L ，2L 之间时，符合题意． 故221312(5)<<+-，13||39c ∴<<，3913c ∴-<<-或1339c <<．故选C ．10．（2020•安阳二模）2020年2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象．在政府部门的牵头下，部分工厂转业生产口罩，已知某工厂生产口罩的质量指标~(15,0.0025)N ξ，单位为g ，该厂每天生产的质量在(14.9,15.05)g g 的口罩数量为818600件，则可以估计该厂每天生产的质量在15.15g 以上的口罩数量为()参考数据：若2~(,)N ξμσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，(22)0.9545P μσξμσ-<<+=，(33)0.9973P μσξμσ-<<+=．A ．158 700B ．22 750C ．2 700D ．1 350【答案】D【解析】由题意知，~(15,0.0025)N ξ，即15μ=，20.0025σ=，即0.05σ=； 所以0.68270.9545(14.915.05)(2)0.81862P P ξμσξμσ+<<=-<<+==，所以该厂每天生产的口罩总量为8186000.81861000000÷=（件)， 又10.9973(15.15)(3)2P P ξξμσ->=>+=， 所以估计该厂每天生产的质量在15.15g 以上的口罩数量为10.9973100000013502-⨯=（件)． 故选D ．11．（2020•重庆模拟）若随机变量X 服从正态分布(N μ，2)(0)σσ>，则(||)0.6826P X μσ-≈，(||2)0.9544P X μσ-≈，(||3)0.9974P X μσ-≈．已知某校1000名学生某次数学考试成绩服从正态分布(110,100)N ，据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为( ) A ．159 B ．46 C ．23 D ．13【答案】C【解析】由题意，110μ=，10σ=， 故10.9544(130)(2)0.02282P X P X μσ->=>+==． ∴估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为10000.022822.823⨯=≈．故选C ．12．（2020•福建模拟）已知随机变量(2,1)X N ∽，其正态分布密度曲线如图所示．若在边长为1的正方形OABC 内随机取一点，则该点恰好取自黑色区域的概率为( )附：若随机变量2~(,)N ξμσ，则()0.6826P μσξμσ-+=，(22)0.9544P μσξμσ-+=．A ．0.1359B ．0.6587C ．0.7282D ．0.8641【答案】D【解析】由题意1(01)(0.95440.6826)0.13592P X <=⨯-=．在正方形OABC 内随机取一点，则该点恰好落在阴影部分的概率为110.13590.864111P ⨯-==⨯．故选D ．13．（2020•重庆模拟）某公司生产了一批新产品，这种产品的综合质量指标值x 服从正态分布2(100,)N σ且(80)0.2P x <=．现从中随机抽取该产品1000件，估计其综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为( )A ．200B ．300C ．400D ．600【答案】B【解析】因为综合质量指标值x 服从正态分布2(100,)N σ且(80)0.2P x <=． (80)(120)0.2P x P x ∴<=>=，(100)(100)0.5P x P x ==． (100120)(100)(120)0.3P x P x P x ∴=->=．故综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为10000.3300⨯=． 故选B ．14．（2020•唐山一模）已知随机变量X 服从正态分布(0,1)N ，随机变量Y 服从正态分布(1,1)N ，且(1)0.1587P X >=，则(12)(P Y <<= )A ．0.1587B ．0.3413C ．0.8413D ．0.6587【答案】B【解析】由已知得(1)0.1587(2)P X P Y >==>， (2)1(2)0.8413P Y P Y ∴<=->=．又(1)(1)0.5P Y P Y ==，(12)(2)(1)0.3413P Y P Y P Y ∴<<=<-=．故选B ．15．（2020•广西模拟）已知随机变量X 服从正态分布(1,4)N ，(2)0.3P X >=，(0)(P X <= ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.7 D ．0.8【答案】B【解析】随机变量X 服从正态分布(1,4)N ，∴正态分布曲线的对称轴为1X =，2μ=，又(2)0.3P X >=，(0)(2)0.3P X P X <=>=， 故选B ．16．（2020•道里区校级一模）某地区有10000名高三学生参加了网上模拟考试，其中数学分数服从正态分布(120,9)N ，成绩在(117，126]之外的人数估计有( )（附：若X 服从2(,)N μσ，则()0.682P X μσμσ-<+=，(22)0.9545)P X μσμσ-<+= A ．1814人 B ．3173人 C ．5228人 D ．5907人【答案】A【解析】由数学分数服从正态分布(120,9)N ，得120μ=，3σ=． 则(117126)(117123)(123126)P x P X P X <=<+<1()[(22)()]2P X P X P X μσμσμσμσμσμσ=-<++-<+--<+10.682(0.95450.682)0.818252=+-=．则成绩在(117，126]之内的人数估计有8183，∴成绩在(117，126]之外的人数估计有1817，与1814最接近．故选A ．17．（2020•青岛模拟）已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额ξ（单位：元）服从正态分布(2000N ，2100)，则该市某居民手机支付的消费额在(1900,2200)内的概率为( ) 附：随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P μσξμσ-<<+=，(22)0.9544P μσξμσ-<<+=，(33)0.9974P μσξμσ-<<+=．A ．0.9759B ．0.84C ．0.8185D ．0.4772【答案】C【解析】ξ服从正态分布(2000N ，2100)， 2000μ∴=，100σ=，则1(19002200)()[(22)()]2P P P P ξμσξμσμσξμσμσξμσ<<=-<<++-<<+--<<+10.6826(0.95440.6826)0.81852=+-=．故选C ．18．（2020•毕节市模拟）已知2~(1,)X N σ，若(11)P X a -<<=，则(3)(P X >= ) A ．12a - B ．1a - C ．aD ．12a +【答案】A【解析】作出该函数图象，易知关于直线1x =对称，所以(11)(13)P X P X a -<<=<<=， 则121(3)(1))22a P X P X a ->=<-==-即为所求． 故选A ．19．（2019•西宁模拟）设随机变量1~(6,)2X B ，则(3)P X ==__________．【答案】516【解析】随机变量X 服从二项分布1(6,)2B ，3336115(3)()(1)2216P X C ∴==⨯-=．故答案为：516． 20．（2020•呼和浩特模拟）为了更好地贯彻党的“五育并举”的教育方针，某市要对全市中小学生“体能达标”情况进行了解，决定通过随机抽样选择几个样本校对学生进行体能达标测试，并规定测试成绩低于60分为不合格，否则为合格，若样本校学生不合格人数不超过其总人数的5%，则该样本校体能达标为合格．已知某样本校共有1000名学生，现从中随机抽取40名学生参加体能达标测试，首先将这40名学生随机分为甲、乙两组，其中甲乙两组学生人数的比为3:2，测试后，两组各自的成绩统计如下：甲组的平均成绩为70，方差为16，乙组的平均成绩为80，方差为36．（Ⅰ）估计该样本校学生体能测试的平均成绩； （Ⅱ）求该样本校40名学生测试成绩的标准差s ；（Ⅲ）假设该样本校体能达标测试成绩服从正态分布2(,)N μσ，用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值估计该样本校学生体能达标测试是否合格？ （注：①本题所有数据的最后结果都精确到整数； ②若随机变量z服从正态分布，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974)P Z μσμσ-<<+=．【解析】（1）由题知，甲、乙两组学生数分别为24和16， 则这40名学生测试成绩的平均分702480167440x ⨯+⨯==．故可估计该样本校学生体能测试的平均成绩为74． （2）由2211()n i i s x x n ==-∑变形得22211()n i i s x nx n ==-∑，设第一组学生的测试成绩分别为1x ，2x ，3x ，⋯，24x ， 第二组学生的测试成绩分别为25x ，26x ，27x ，⋯，40x ， 则第一组的方差为222222112241[()2470]424s x x x =++⋯+-⨯=， 解得：222212224(1670)x x x ++⋯+=⨯+． 第二组的方差为22222225264021[()1680]616s x x x =++⋯+-⨯=， 解得：222225264016(3680)x x x ++⋯+=⨯+． 这40名学生的方差为2222222212242526401[()40]40s x x x x x x x =++⋯++++⋯- 2221[24(1670)16(3680)4074]4840=⨯++⨯+-⨯=， 所以48437s =． 综上，标准差7s =．（3）由74x =，7s ≈，得μ的估计值为ˆ74μ=，σ的估计值ˆ7σ=， 故(74277427)0.9544P X -⨯<<+⨯=，即(6088)0.9544P X <<=， 所以11(60)(88)[1(6088)](10.9544)0.022822P X P X P X <==-<<=-=．从而，在全校1000名学生中，“不合格”的有10000.022822.823⨯=≈（人)． 而235%1000<， 故可估计该样本校学生“体能达标”测试合格．21．（2020•潍坊模拟）为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程，某企业每天从该生产线上随机抽取10000个零件，并测量其内径（单位：)cm ．根据长期生产经验，认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径X 服从正态分布2(,)N μσ．如果加工的零件内径小于3μσ-或大于3μσ+均为不合格品，其余为合格品．（1）假设生产状态正常，请估计一天内抽取的10000个零件中不合格品的个数约为多少；（2）若生产的某件产品为合格品则该件产品盈利；若生产的某件产品为不合格品则该件产品亏损．已知每件产品的利润L （单位：元）与零件的内径X 有如下关系：5,3,4,3,6,3,5,3.X X L X X μσμσμσμσμσμσ-<-⎧⎪--⎪=⎨-+⎪⎪->+⎩求该企业一天从生产线上随机抽取10000个零件的平均利润．附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，有()0.6826P X μσμσ-<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<+=．【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974， 从而抽取一个零件为不合格品的概率为0.0026． 因此一天内抽取的10000个零件中不合格品的个数约为： 100000.002626⨯=；（2）由题意，(3)0.0013P X μσ<-=．1(3)(0.99740.6826)0.15742P X μσμσ-<+=-=；(3)0.99740.15740.8400P X μσμσ-+=-=； (3)0.0013P X μσ>+=．故随机抽取10000个零件的平均利润：为1000010000(50.001340.157460.840050.0013)56566L =-⨯+⨯+⨯-⨯=元．22．（2020•济南模拟）法国数学家庞加是个喜欢吃面包的人，他每天都会购买一个面包，面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1000g ，上下浮动不超过50g ．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g ，标准差为50g 的正态分布．（1）假设面包师的说法是真实的，从面包师出售的面包中任取两个，记取出的两个面包中质量大于1000g 的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）作为一个善于思考的数学家，庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到数据如表，经计算25个面包总质量为24468g ． 庞加莱购买的25个面包质量的统计数据（单位：)g 981 972 966 992 1010 1008 954 952 969 978 989 1001 1006 957 952 969 981 984 952 959 98710061000977966尽管上述数据都落在(950,1050)上，但庞加菜还是认为面包师撒谎，根据所附信息，从概率角度说明理由 附：①若2~(,)X N μσ，从X 的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y ，则由统计学知识可知：随机变量2~(,)25Y N σμ；②若2~(,)N ημσ，则()0.6826P μσημσ-<<+=，(22)0.9544P μσημσ-<<+=，(33)0.9974P μσημσ-<<+=；③通常把发生概率在0.05以下的事件称为小概率事件． 【解析】（1）由题意知，ξ的所有可能取值为0，1，2， 0022111(0)()()224P C ξ===；12111(1)222P C ξ==⨯⨯=；2202111(2)()()224P C ξ===．ξ∴的分布列为：ξ0 1 2 P1412141110121424E ξ∴=⨯+⨯+⨯=；（2）记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X ． 假设面包师没有撒谎，则~(1000X N ，250)，根据附①，从X 的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y ， 则~(1000Y N ，210)，庞加莱记录的25个面包质量，相当于从X 的取值中随机抽取了25个数据． 这25个数据的平均值为24468978.72100021098025Y ==<-⨯=． 由附②数据知，10.9544(980)0.02280.052P Y -<==<． 由附③知，事件“980Y <”为小概率事件．∴ “假设面包师没有撒谎”有误．故庞加莱认为面包师撒谎．。