宜川中学2020学年度第一学期高三数学期中考试卷 人教版
上海市宜川中学2024-2025学年高三上学期数学阶段测试数学试卷(无答案)
宜川中学2024学年第一学期阶段测试高三数学试卷考生注意：1．本考试设试卷和答题纸，答案写在答题纸上，写在试卷上无效。
2．答题前，考生务必在答题纸上清楚填涂班级、姓名和准考证号。
3．本试卷共4页，考试时间120分钟，试卷满分150分。
一、填空题：（第1—6题每小题4分，第7—12题每小题5分，满分54分）1写成指数幂形式为_________．2．已知集合，，则_________．3．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则_________．4．若关于的不等式组的解集为空集，则实数的取值范围为_________．5．已知圆：与圆：外切，则实数_________．6．若函数的一个零点是，则函数的最大值为_________．7．为等差数列的前项和，，，则与的等比中项为_________．8．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为左焦点、长轴长为40万公里、短轴长为4万公里的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为左焦点、长轴长为20万公里的椭圆轨道绕月飞行，则椭圆轨道的短轴长为_________万公里（近似到0.01）．9．菱形的对角线把平面折起与平面成的二面角后，点到平面的距离为_________．10．已知_________．11．已知是定义在上的奇函数，且对于任意的，都有成立，当)0x >{}0,1,2,3A =(){}40B x x x =-<A B = ()y f x =R 0x ≤()()2lg f x x a =+()3f =x ()()130x x x a⎧--<⎨>⎩a 1C ()()22341x y ++-=2C ()2216x y k +-=k =()sin f x a x x =π3()y f x =n S {}n a n 936S =-13104S =-5a 7a P F 1T P F 2T 2T ABCD AC =BD ABD BCD 120︒A BCD sin sin 3παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭()y f x =R x ()()2f x f x =-时，，则函数在区间内所有零点之和为_________．12．已知函数，，且，，若，则的最小值为_________．二、选择题（第13—14题每小题4分，第15—16题每小题5分，共18分）13．下图是某地区2010年至2019年污染天数（单位：天）与年份的折线图．根据2010年至2014年数据，2015年至2019年的数据，2010年至2019年的数据分别建立线性回归模型，，，则（ ）A ．，；B ．，；C ．，；D ．，．14．已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A ．若，，则；B ．若，，则；C ．若、是异面直线，，，，，则；D ．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则．15．已知的三边长分别为4、5、7，记的三个内角的正切值所组成的集合为，则集合中的最大元素为（ ）A ．BC ．D ．16．已知函数的表达式为，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10x -≤<()()2log f x x =-()2y f x =+()1,8-()y f x =()y g x =()3e x f x -=()1ln g x x =+()()f m g n =n m -y x 11ˆˆy a x b =+22ˆˆy a x b =+33ˆˆy a x b =+123ˆˆˆa a a <<123ˆˆˆb b b <<132ˆˆˆa a a <<132ˆˆˆb b b <<231ˆˆˆa a a <<132ˆˆˆb b b <<231ˆˆˆa a a <<321ˆˆˆb b b <<m n αβγαβ⊥βγ⊥αγ∥m n ∥n α⊂m α∥m n m α⊂m β∥n β⊂n α∥αβ∥αβαβ∥ABC △ABC △M M -()y f x =()e x f x x=()()()222e e g x f x af x a ⎡⎤=+--⎣⎦a (),2e -∞-(),e -∞-2,e ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭三、解答题（共78分，在答题纸上写出必要的步骤．）17．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数的表达式为，（1）设，求函数，的单调增区间；（2）设实数，的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围．18．（本大题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，、、为圆锥三条母线，．（1）证明：；（2，为底面直径，且，求二面角的大小．19．（本大题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某市YC 中学体育节开展趣味运动比赛，其中、两个班级进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每局比赛不存在平局，获胜者得1分，失败者不得分，其中累计得分领先对方2分即可赢得最终胜利，或者5局比赛结束积分领先赢得最终胜利．假设每局比赛中班获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．（1）求趣味比赛班以3比1赢得最终胜利的概率；（2）此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的局数为，求的分布及数学期望．20．（本大题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第，3小题满分8分）已知双曲线：，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点．（1）求右焦点到双曲线的渐近线的距离；（2）若，求直线的方程；（3）若，其中、两点均在轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围．21．（本大题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第，3小题满分8分）()y f x =()πsin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭0ω>1ω=()y f x =[]0,πx ∈πa >()f x π[]π,x a ∈a PA PB PC AB AC =PA BC ⊥BC 2BC =B PA C --A B A 23A X X C 2213y x -=1F 2F ()11,A x y ()22,B x y 2F 223AF F B =AB 12AF BF ∥A B x 12AF F B如图，在区间上，曲线与直线，，轴围成的阴影部分面积记为面积，若（为函数的导函数），则．设函数，（1）若，，求的值；（2）已知，点，，，过点的直线分别交，于，两点（，在第一象限），设四边形的面积为，写出的表达式（用，表示）并证明：；（3）若函数有两个不同的零点，，比较与的大小，并说明理由．[],a b ()y f x =x a =x b =x S ()()F x f x '=()F x '()y F x =()()S F b F a =-()()10f x x x=>1a =2b =S 0b a >>(),0A a (),0D b ,22a ba b M f ⎛⎫++⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭M x a =x b =B C B C ABCD 1S 1S a b 1S S >()()ln g x f x x m =-1x 2x 12x x 2e。
2020届高三数学上学期期中试题
2020届高三数学上学期期中试题一、选择题：1、已知全集，，则（）A、 B、 C、 D、2、若函数的最小正周期为，则正数的值是（）A、 B、 C、 D、3、已知都是实数，那么“”是“”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件4、欧拉公式为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限 D、第四象限5、函数的图像大致是（）6、若函数在上是增函数，则正数的最大值是（）A、 B、 C、 D、7、已知函数的零点，其中常数满足，，则整数的值是（）A、 B、 C、 D、8、若关于的不等式的解集中有个整数，则实数的取值范围是（）A、 B、 C、 D、9、设，则（）A、 B、 C、 D、10、设是的外心，满足，若，则面积的最大值是（）A、 B、 C、 D、二、填空题11、已知向量，则_________，若，则_________.12、已知角的终边经过点，则___________，_________.13、已知函数，则_________，若，则实数的值是_________. 14、如右图，四边形中，分别是以和为底的等腰三角形，其中，则_________，_________.15、设，曲线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的值是_________.16、设向量是单位向量且，则_________.17、若为实数，对任意，当时，不等式恒成立，则的最大值是_________.三、解答题：18、设，.（1）解不等式：；（2）若是成立的必要不充分条件，求的取值范围.19、在中，分别为角所对的边的长.且.（1）求角的值；（2）若，求的面积.20、已知函数.（1）若不等式在上有解，求的取值范围；（2）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.21、已知平面向量，且.（1）若，平面向量满足，求的最大值；（2）若平面向量满足，，，求的取值范围.22、设，已知函数.（1）设，求在上的最大值；（2）设，若的极大值恒小于，求证：.2020届高三数学上学期期中试题一、选择题：1、已知全集，，则（）A、 B、 C、 D、2、若函数的最小正周期为，则正数的值是（）A、 B、 C、 D、3、已知都是实数，那么“”是“”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件4、欧拉公式为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限5、函数的图像大致是（）6、若函数在上是增函数，则正数的最大值是（）A、 B、 C、 D、7、已知函数的零点，其中常数满足，，则整数的值是（）A、 B、 C、 D、8、若关于的不等式的解集中有个整数，则实数的取值范围是（）A、 B、 C、 D、9、设，则（）A、 B、 C、 D、10、设是的外心，满足，若，则面积的最大值是（）A、 B、 C、 D、二、填空题11、已知向量，则_________，若，则_________.12、已知角的终边经过点，则___________，_________.13、已知函数，则_________，若，则实数的值是_________.14、如右图，四边形中，分别是以和为底的等腰三角形，其中，则_________，_________.15、设，曲线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的值是_________.16、设向量是单位向量且，则_________.17、若为实数，对任意，当时，不等式恒成立，则的最大值是_________.三、解答题：18、设，.（1）解不等式：；（2）若是成立的必要不充分条件，求的取值范围.19、在中，分别为角所对的边的长.且.（1）求角的值；（2）若，求的面积.20、已知函数.（1）若不等式在上有解，求的取值范围；（2）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.21、已知平面向量，且.（1）若，平面向量满足，求的最大值；（2）若平面向量满足，，，求的取值范围.22、设，已知函数.（1）设，求在上的最大值；（2）设，若的极大值恒小于，求证：.。
2020-2021高三数学上期中模拟试卷(及答案)(5)
2020-2021高三数学上期中模拟试卷(及答案)(5)一、选择题1．已知等差数列{}n a 中，10103a =，20172017S =，则2018S =（ ） A ．2018B ．2018-C ．4036-D ．40362．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形3．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．10B ．12C ．31log 5+D ．32log 5+4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S5．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．166．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．167．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ） A ．10B ．120C ．130D ．1408．20,{0,0x y z x y x y x y y k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-39．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( )A ．2BC．2D ．410．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019111a a a ++⋯+=（ ） A ．20202019B ．20191010C ．20171010D ．4037202011．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ） A ．3或13- B ．-3或13C ．3或13D ．-3或13-12．若正数,x y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为 A ．13B ．38C ．37D ．1二、填空题13．已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列，且前n 项和分别为n S 和n T ，若321n n S n T n +=+，则44a b =_____． 14．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令114(1)n n n n nb a a -+=-，则数列{}n b 的前100的项和为______． 15．已知数列{}n a 满足11a =，111n na a +=-+，*n N ∈，则2019a =__________． 16．已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为2，则112n na a a a a a a a +=⋅⋅⋅L _______________．17．已知在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c +=，则C ∠的取值范围为________18．数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为_____．19．已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数=+z -ax y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为__________．20．设0x ＞，0y ＞，4x y +=，则14x y+的最小值为______． 三、解答题21．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD ＝5百米，且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD＝θ，θ∈(2π，π)．（1）当cos θ＝55-时，求小路AC 的长度； （2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度． 22．已知数列{n a }的前n 项和1*1()2()2n n n S a n N -=--+∈，数列{n b }满足n b =2n n a ．(I)求证数列{n b }是等差数列，并求数列{n a }的通项公式； (Ⅱ)设2log n n n c a =，数列{22n n c c +}的前n 项和为T n ，求满足*25()21n T n N <∈的n 的最大值.23．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且asin B ＝－bsin 3A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.(1)求A ；(2)若△ABC 的面积S ＝34c 2，求sin C 的值． 24．若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，24S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13,n n n n b T a a +=是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m .25．设数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和.26．已知n S 是数列{}n a 的前n 项之和，*111,2,n n a S na n N +==∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设211(1)n n n n a b a a ++=-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和n T ，若112019n T +<，求正整数n 的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：由题意首先求得10091a =，然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.详解：由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：120171009201710092201720172017201722a a aS a +=⨯=⨯==， 则10091a =，据此可得：()12018201710091010201810091009440362a a S a a +=⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．B解析：B 【解析】 【分析】先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,33B AC ππ=+=,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23sin sin sin 4B AC =⋅=，整理计算即可得出答案.【详解】因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，所以2,33B AC ππ=+=, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以23sin sin sin 4B AC =⋅= 所以222sin sin sin sin cos sin cos333A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111132sin 2cos 2sin 22442344A A A A A π⎛⎫=+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为203A π<< 所以3A π=故选B 【点睛】本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,33B AC ππ=+=，再利用三角公式转化，属于中档题.3．A解析：A 【解析】 【分析】利用对数运算合并，再利用等比数列{}n a 的性质求解。
2020学年上海市宜川中学高二上学期期中数学试题(解析版)
上海市宜川中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．设a 、b 为两条直线，α、β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A ．若a 、b 与α所成的角相等，则//a bB ．若a α⊆，//a β，则//αβC ．若//a α，b β∥，αβ∥，则//a bD ．若a α⊥，b α⊂，则a b ⊥ 【答案】D【解析】根据线线位置关系可判断A,C 错误，根据面面平行判定定理可判断B 错误，根据线面垂直可证D 正确. 【详解】若a 、b 与α所成的角相等，则a 、b 可平行、相交或异面； 若a α⊆，//a β，则αβ，可平行或相交；若//a α，b β∥，αβ∥，则a 、b 可平行、相交或异面； 若a α⊥，则a 垂直α内任一直线，因为b α⊂，所以a b ⊥ 故选：D 【点睛】本题考查空间线面位置关系判定,考查空间想象能力以及综合分析判断能力，属基础题.2．P 是ABC △所在平面内一点，若CB PA PB λ=+，其中R λ∈，则P 点一定在（ ） A ．ABC △内部 B ．AC 边所在直线上 C ．AB 边所在直线上 D ．BC 边所在直线上【答案】B【解析】由CB PA PB λ=+知道CP PA λ=，即可选出答案。
， 【详解】根据题意，CB PA PB CB PB PA CP PA λλλ=+⇔-=⇔=，∴点P 在AC 边所在直线上，故选B. 【点睛】本题考查向量的运算，属于基础题。
3．如图，一个水平放置的平面图的直观图（斜二测画法）是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（ ）A ．1+22B ．2+2C ．1+2D ．122【答案】B【解析】先还原几何体，再根据直角梯形面积公式得结果. 【详解】几何体为一个直角梯形，上底长为1，下底长为1+2，高为2，因此面积为12(112)2 2.2⨯⨯++=+选B. 【点睛】本题考查直观图，考查基本分析求解能力，属基础题.4．如图，设P 是单位圆和x 轴正半轴的交点，M 、N 是单位圆上的两点，O 是坐标原点，3POM π∠=，PON α∠=，[0,)απ∈，()f OM ON α=⋅，则()f α的取值范围为（ ）A ．1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】先根据三角函数定义得M,N 坐标，再根据向量数量积坐标表示得()f α解析式，最后根据正弦函数性质求取值范围. 【详解】根据三角函数定义得1((cos ,sin )2M N αα,1()cos sin()26f OM ON παααα∴=⋅=+=+ 因为[0,)απ∈，所以71[,)()(,1]6662f πππαα+∈∴∈- 故选：A 【点睛】本题考查三角函数定义、向量数量积以及正弦函数性质,考查综合分析判断能力，属基础题. 二、填空题5．空间中，“ABC ∆的三个顶点到平面α距离相等”是“平面α平面ABC ”成立的________条件． 【答案】必要不充分【解析】根据A,B,C 与平面α位置关系判定充要关系. 【详解】当A,B,C 不在平面α同侧时，A,B,C 到平面α距离也可相等，即ABC ∆的三个顶点到平面α距离相等时，平面α与平面ABC 可相交，所以充分性不成立，当平面α平面ABC 时，A,B,C 到平面α距离必相等，所以必要性成立， 故答案为：必要不充分【点睛】本题考查线面位置关系以及充要关系判定,考查基本分析判断能力，属基础题.6．已知数列{}n a 的前n 项和21n S n n =-+，数列{}n a 的通项公式为：．【答案】11222n n a n n =⎧=⎨-≥⎩【解析】当1n =时，111a s ==，当12,n n n n a s s -≥=-=221[(1)(1)1]22n n n n n -+----+=-11a =不适合n a 22n =-，故11222n n a n n =⎧=⎨-≥⎩．点睛：本题考查了由数列的前n 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分1n =和2n ≥两种情形，第二要掌握1(2)n n n a s s n -=-≥这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式. 7．半径为1的球O 上两点A ，B 球面距离为2π，则弦AB 的长为________．【解析】根据球面距离得球心角，再求弦AB 的长 【详解】因为半径为1的球O 上两点A ，B 球面距离为2π，所以2AOB π∠=,因此||AB ==【点睛】本题考查球面距离以及弦长,考查基本分析求解能力，属基础题. 8．已知向量(,1)a x =在(1,3)b =x =________．【解析】根据投影定义以及向量数量积坐标表示列式求解. 【详解】因为向量(,1)a x =在(1,3)b =，3||a b x b ⋅=∴==【点睛】本题考查向量投影定义、向量的模以及向量数量积坐标表示,考查基本分析求解能力，属基础题.9．棱长为1的正方体的外接球体积为________．【解析】先确定正方体的外接球半径，再根据球体积公式求结果. 【详解】因为棱长为1的正方体的外接球直径2R 为正方体对角线长，所以2R R =,因此外接球体积为34322π=【点睛】本题考查正方体的外接球以及球体积公式,考查基本分析求解能力，属基础题.10．在Rt ABC ∆中，90︒∠=C ，5AC =，则AB AC ⋅=________． 【答案】25【解析】根据向量数量积的定义直接求解即可.【详解】22⋅=+⋅===AB AC AC CB AC AC()525,故答案为：25【点睛】本题考查向量数量积,考查基本分析求解能力，属基础题.11．有一种多面体的饰品，其表面右6个正方形和8各正三角形组成（如图），AB与CD所成的角的大小是_____________π【答案】3【解析】【详解】该饰品实际上就是正方体的8个顶角被切掉，切线经过正方体每条棱边的中点，如图因为异面直线所成的角是锐角或直角， 所以AB 与CD 所成的角为3π．12．已知圆锥的母线与底面所成角为60，高为6，则圆锥的侧面积为________． 【答案】24π【解析】根据条件求出底面半径以及母线长，再根据圆锥的侧面积公式求结果. 【详解】因为圆锥的母线与底面所成角为60，高为6， 所以圆锥的母线长为6si 60n l =，底面半径为6ta 60n r =， 因此圆锥的侧面积为60662604sin tan rl πππ=⋅=， 故答案为：24π 【点睛】本题考查圆锥的侧面积,考查基本分析求解能力，属基础题.13．已知等差数列{}2log n a 满足2122210log log log 10a a a ++⋯+=，则110a a =________．【答案】4【解析】先根据等差数列性质求21210log log a a +，再根据对数运算性质求结果. 【详解】因为{}2log n a 为等差数列，所以212221021210log log log 5(log log )a a a a a ++⋯+=+，因为2122210log log log 10a a a ++⋯+=，所以2121021101102log log log 2()2,24a a a a a a ==+=∴=故答案为：4 【点睛】本题考查等差数列性质以及对数运算性质,考查基本分析求解能力，属基础题.14．如图1所示的正方体的棱长为1，沿对角面（图中阴影部分）将其分剖成两块，重新拼接成如图2所示的斜四棱柱，则所得的斜四棱柱的表面积是________．图1 图2 【答案】422+【解析】根据斜四棱柱各个侧面以及底面形状求面积和，即得表面积. 【详解】由拼接规律得：斜四棱柱的上下两个底面为矩形，长为12； 左右为两个正方形，边长为1；前后为两个平行四边形，相邻两边长为1与245，从而斜四棱柱的表面积是221221212sin4224π⨯⨯+⨯=+故答案为：422+ 【点睛】本题考查斜四棱柱表面积,考查基本分析求解能力，属基础题.15．已知ABC △是边长为1的正三角形，PQ 为ABC ∆外接圆O 的一条直径，M 为ABC ∆边上的动点，则PM MQ ⋅最大值为________．【答案】14【解析】先根据向量基底表示将PM MQ ⋅转化为22OP OM -,再根据2OM 最小值得PM MQ ⋅最大值. 【详解】因为ABC △是边长为1的正三角形，所以ABC ∆，ABC ∆， 因此22()()()()PM MQ PO OM MO OQ OP OM OM OP OP OM ⋅=+⋅+=-+⋅--=-， 因为22223131(),(312OP OM ===≥,所以1113124PM MQ ⋅≤-=，即PM MQ ⋅最大值为14， 故答案为：14【点睛】本题考查向量数量积,考查综合分析求解能力，属中档题.16．在如图所示的三棱柱111ABC A B C -中，点A ，1BB 的中点M 以及11B C 的中点N 所确定的平面AMN 把三棱柱切割成体积不相同的两部分，则小部分的体积和大都分的体积之比为________．【答案】13:23【解析】先确定平面AMN 与棱11A C 交点D 的位置，再将上部分几何体分割成三棱锥1M DNB -和四棱锥11D A AMB -，分别计算它们体积与原三棱柱体积的比，最后求比值. 【详解】设平面AMN 与棱11A C 交点为D ，则112A D DC =，(可先补成四棱柱，如图易得结论）所以11111=6DNB A B C S S ∆∆,111134A AMB A ABB S S =11111111113236DNB M DNB ABC A B C A B C S h V V S h ∆--∆⋅==⋅，1111111111111111133133222A AMB D A AMB D A AMB ABC A B C C A ABB A ABB S h V V V V S h ----⋅===⋅ 所以上部分几何体体积1111111111113+=(+)36336M DNB D A AMB ABC A B C ABC A B C V V V V ----= 因此小部分的体积和大都分的体积之比为13:(3613)13:23-=故答案为：13:23 【点睛】本题考查平面截面以及锥体与柱体体积公式,考查空间想象能力以及综合分析求解能力，属中档题. 三、解答题17．已知平面向量a 与b 是夹角为120的两个单位向量． （1）若2a b -与k +a b 垂直，求实数k 的值； （2）求2a b +与a b -的夹角的大小．【答案】（1）54（2）3π【解析】（1）先根据向量数量积定义求a b ⋅，再根据向量垂直关系列方程解得结果,（2）先分别求2a b +与a b -的模，再根据向量夹角公式求结果. 【详解】21=11cos32a b π⋅⨯⨯=- （1） 因为2a b -与k +a b 垂直，所以(2)()0a b a kb -⋅+=22152(21)02(21)024a kb k a b k k k ∴-+-=⋅∴---=∴=（2）221|2|=44412a b a b a b +++⋅=+-⨯=22||=2111a b a b a b -+-⋅=++=2213(2)()22122a b a b a b a b +⋅-=--⋅=-+= 因此3(2)()12cos 2,2|2|||33a b a b a b a b a b a b +⋅-<+->===+⋅-⋅2,3a b a b π∴<+->=【点睛】本题考查向量数量积定义、向量垂直以及向量夹角,考查综合分析求解能力，属中档题.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，22PA AD AB ===，E 是PB 的中点．（1）求异面直线EC 和AD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求三棱锥P AEC -的体积． 【答案】（1）5arctan42）13【解析】（1）先通过平移得ECB ∠为异面直线EC 和AD 所成角，再解三角形得结果，（2）根据（1）CB 垂直平面PAB 得高，再根据锥体体积公式求结果. 【详解】（1）因为//DA BC ，所以ECB ∠为异面直线EC 和AD 所成角， 因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面,ABCD 所以PA BC ⊥， 因为底面ABCD 是矩形，所以AB BC ⊥ 因为,,PAAB A PA AB =⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB因为PB ⊂平面PAB ,所以BC ⊥PB因为22PA AD AB ===，所以55,2PB BE BC === 因为5552tan 2ECB ECB ∠===（2）由(1)得BC ⊥平面PAB ，所以111112233223P AEC C AEP AEP V V BC S --∆==⋅=⨯⨯⨯⨯=【点睛】本题考查异面直线所成角、线面垂直判定定理以及锥体体积公式,考查综合分析论证与求解能力，属中档题.19．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ，点D ，E ，F 为圆O 上的点，DBC ∆，ECA ∆，FAB ∆分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起DBC ∆，ECA ∆，FAB ∆，使得D ，E ，F 重合于P ，得到三棱锥P ABC -．（1）当43AB =P ABC -的体积；（2）当ABC △的边长变化时，三棱锥P ABC -的侧面和底面所成二面角为θ，求cos AB θ⋅的取值范围．【答案】（1）415（2）(0,53)【解析】（1）先求斜高，再求高，最后根据锥体体积公式求结果； （2）先根据二面角定义确定θ，再用ABC △的边长表示cos AB θ⋅，最后根据边长取值范围确定结果. 【详解】在圆形纸片上连OF 交AB 与M ，则M 为AB 中点，折后图形如下：其中,,PM AB OM AB PO ⊥⊥⊥平面ABC（1）因为43AB =222,523325OM PM PO ==-=∴=-=,21135(43)41533P ABC ABC V PO S -∆=⋅==（2）因为,,PM AB OM AB ⊥⊥所以PMO ∠为三棱锥P ABC -的侧面和底面所成二面角的平面角,即PMO θ∠= 设ABC △的边长为x ，则235cos 2323103523OM PM x x θ==-==- 由OM PM <得053x <<2cos 53)103AB x xθ⋅=<<- 设22(103)103103cos (),(53103)t x t AB t t t t θ=∴⋅==<< 10353)cos (0,53)t AB t θ-∴⋅∈ 【点睛】本题考查二面角、锥体体积公式以及分式函数取值范围,考查综合分析求解能力，属中档题.20．如图，该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径4BC =，AB AC =，90BAC ︒∠=，D 为半圆弧11B C 的中点，若异面直线BD 和1AB 所成角的大小为2cos 3arc ．（1）证明：1A D ⊥平面11BCC B ； （2）求该几何体的表面积和体积； （3）求点D 到平面11AB C 的距离．【答案】（1）见解析（2）表面积为812162π++体积为168+π，（3）455【解析】（1）先根据弧中点性质得111A D B C ⊥,再根据直三棱柱性质得11A D B B ⊥,最后根据线面垂直判定定理证结果，（2）建立空间直角坐标系，根据异面直线BD 和1AB 所成角利用向量数量积解得棱柱的高，再根据圆柱侧面积、柱体体积公式求几何体的表面积和体积； （3）利用等体积法求点D 到平面11AB C 的距离． 【详解】（1）因为D 为半圆弧11B C 的中点，所以111A D B C ⊥， 因为直三棱柱111ABC A B C -,所以1B B ⊥平面111A B C ， 因为1A D ⊂平面111A B C ,所以11A D B B ⊥ 因为1111111,,B C B B B B C B B =⊂平面11BCC B ,所以1A D ⊥平面11BCC B ；（2）以A 为坐标原点，AC,AB,AA 1所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，设棱柱的高为,h 则1(0,22,),(22,22,)(0,22,0),h D B h B221222(22,0,),cos ,888h BD AB h BD h h h∴=∴<>=+++ 因为异面直线BD 和1AB 所成角的大小为2cos 3arc ，所以2222=16,483h h h h ∴==+几何体的表面积为2211[(22)2]224224*********πππ+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++ 几何体的体积为2211[(22)2]416822=+ππ+⨯⨯（3）因为直三棱柱111ABC A B C -,所以1A A ⊥平面11DB C ，111111111111133D AB C A DB C D AB C AB C DB C V V d S AA S ---∆∆=∴=⋅1111111142445212542DB C D AB C AB C AA S d S ∆-∆⨯⨯⨯⋅∴===⨯⨯ 即点D 到平面11AB C 的距离为45【点睛】本题考查线面垂直判定定理、柱体表面积与体积公式以及点到平面距离,考查综合分析论证与求解能力，属中档题.21．已知在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长1AA 为3，H 、G 分别是AB ，11A C 中点．（1）证明：GH 平面11BCC B ；（2）若10GH =（3）若P 为侧棱1AA 上一点，且1AP =，1PC 与平面11AA B B 所成角大小为4π，求此三棱柱的体积．【答案】（1）见解析（2）18（3）63【解析】（1）取BC 中点M ，证四边形HMC 1G 为平行四边形,再根据线面平行判定定理得结果；（2）先求出正三棱柱底边边长，再根据矩形面积公式求三棱柱的侧面积； （3）取A 1B 1中点N ，证得1N C P ∠为1PC 与平面11AA B B 所成角，再根据线面角求出正三棱柱底边边长，最后根据三棱柱体积公式求结果. 【详解】(1)取BC 中点M ，连HM,MC 1,因为G 是11A C 中点，所以111111,22////HM A HM AC GC A G C C C === 因此四边形HMC 1G 为平行四边形,所以1,//HG MC HG ⊄平面11BCC B ，1MC ⊂平面11BCC B ，所以GH平面11BCC B ；（2）因为10GH =，所以由（1）得110MC =因为正三棱柱111ABC A B C -，所以1CC BC ⊥,因为侧棱长为3，因此210312MC BC =-=∴=，从而三棱柱的侧面积为32318=⨯⨯， （3）取A 1B 1中点N ，连PN,NC 1,因为正三棱柱111ABC A B C -，所以1111,A B N A A C ⊥⊥平面11111A C A C A B N ⇒⊥,因为1111111,,A AA B A A A A B =⊂平面11AA B B ,所以1NC ⊥平面11AA B B ，从而1N C P ∠为1PC 与平面11AA B B 所成角，即1=4C PN π∠，设正三棱柱底边边长为2x ，则1,N PN C =因为1=4C PN π∠，所以1=x C N PN ==23⨯=【点睛】本题考查线面平行判定定理、柱体表面积与体积公式以及线面角,考查综合分析论证与求解能力，属中档题.。
上海市宜川中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题
所以
ì-3 +
í î
-3´
2 2
= =
b c
，解得
ìb íîc
= =
-1 -6
，
所以 b + c = -7 .
故答案为： -7 .
3． -2 【分析】根据根式的性质计算可得.
【详解】因为 x < 0 ，所以 2
x
+6
x6 x
+5
x5
=
2
x
+x x
+x
=
-2x - x + x x
= -2 .
故答案为： -2 4． a ¹ 1且 b ¹ 1
【分析】由 a = 1或 b = 1的否定为 a ¹ 1且 b ¹ 1，从而可得结果.
【详解】因为 a = 1或 b = 1的否定为 a ¹ 1且 b ¹ 1，所以反证法证明时应假设“ a ¹ 1且 b ¹ 1 ”.
答案第11 页，共22 页
故答案为： a ¹ 1且 b ¹ 1.
5．1 +
a b
【分析】利用换底公式及对数的运算性质计算可得.
y Î R}， S = {( x, y) | x × y = xy , x Î R, y Î R} ，则下列关于集合 P ， Q ， S 关系的表
述． 12．若正实数 a,b, c 满足 2ab = 2a + b, abc = 2a + b + c ，则 c 的最大值为 .
试卷第11 页，共33 页
② a2 1
+
a22
+L+
an2
=
b2 1
+ b22
+L + bn2 ;
【20套试卷合集】上海市宜川中学2019-2020学年数学高一上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案本试卷分选择题和非选择题两部分共22题，共120分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题，共计48分)一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，满分48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合()(){}0312<-+=x x x A |，{}5≤∈=+x N x B |，则=⋂B A ( ).A {}321,, .B {}21, .C {}54, .D {}54321,,,,2.函数xy 3=与xy )(31=的图象（ ）.A 关于x 轴对称 .B 关于y 轴对称 .C 关于原点对称 .D 关于直线x y =对称3.已知c a b 212121log log log <<，则（ ）.A b a c 222>> .B c b a 222>> .C a b c 222>> .D c a b 222>>4.用二分法研究函数13)(3-+=x x x f 的零点时第一次经计算0)5.0(,0)0(><f f 可得其中一个零点∈0x 第二次应计算 以上横线处应填的内容为（ ）.A ())25.0(5.0,0f .B ())25.0(1,0f .C ())75.0(1,5.0f .D ())125.0(5.0,0f5已知函数()533f x ax bx cx =-+-，()37f -=，则()3f 的值 ( ) .A 13- .B 13 .C 7 .D 7- 6.已知b a ==3lg ,2lg 则12log 15=（ ）.A b a b a +++12 .B b a b a +++12 .C b a b a +-+12 .D ba ba +-+127.函数11+-=x xx f lg )(的奇偶性是（ ）.A 奇函数 .B 偶函数 .C 既是奇函数又是偶函数 .D 既不是奇也不是偶函数8.如果)(x f 是偶函数，它在(]0,∞-上是增函数，若()()1lg f x f >，则x 的取值范围是（ ）.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛1,101 .B ()+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛,,11010 .C ⎪⎭⎫⎝⎛10,101 .D ()()+∞⋃,,1010 9．到银行存入a 元，若年利率为x ，且按复利计算，到可取回款（ ）元.（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.） .A 81)(x a + .B 91)(x a + .C 9)1(x a ++ .D 8)1(x a ++10.如图在直角梯形OABC 中OC AB //,1=AB ,2==BC OC ，直线t x l =:，],[20∈t 截得此梯形所得位于l 左方的图形面积为S ，那么函数()t f S =的图象大致可为下列图中的（ ）11.方程03lg =-+x x 的实数解为0x ，则0x 所在的一个区间为（ ）.A ()+∞,3 .B ()3,2 .C ()2,1 .D ()1,012.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤+->=12)214(1x x a x a x f x是R 上的增函数，求a 的取值范围（ ） .A ()+∞,1 .B ()8,1 .C ()8,4 .D [)84,第II 卷(非选择题，共计72分)二、填空题（本小题共4个小题。
上海市宜川中学2024-2025学年高三上学期数学阶段测试数学试卷
上海市宜川中学2024-2025学年高三上学期数学阶段测试数学试卷一、填空题1)0x >写成指数幂形式为．2．已知集合{}0,1,2,3A =，(){}40B x x x =-<，则A B =I ．3．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，()()2lg f x x a =+，则()3f =.4．若不等式组(1)(3)0x x x a --<⎧⎨>⎩的解集为空集，则实数a 的取值范围为．5．已知圆1C ：()()22341x y ++-=与圆2C ：()2216x y k +-=外切，则实数k =．6．若函数()sin f x a x x =的一个零点是π3，则函数()y f x =的最大值为7．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，91336,104S S =-=-，则5a 与7a 的等比中项为. 8．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为左焦点、长轴长为40万公里、短轴长为4万公里的椭圆轨道1T 绕月飞行，之后卫星在点P 第二次变轨进入仍以F 为左焦点、长轴长为20万公里的椭圆轨道2T 绕月飞行，则椭圆轨道2T 的短轴长为万公里．（近似到0.1）9．菱形ABCD 的对角线AC =沿BD 把平面ABD 折起与平面BCD 成120︒的二面角后，点A 到平面BCD 的距离为．10．已知πsin sin 3αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭．11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且R x ∀∈，都有()()2f x f x =-，当10x -≤<时，()()2log f x x =-，则函数()()2g x f x =+在区间()1,8-内所有零点之和为．12．已知函数()y f x =，()y g x =，且()3e xf x -=，()1lng x x =+，若()()f m g n =，则n m-的最小值为.二、单选题13．下图是某地区2010年至2019年污染天数y （单位：天）与年份x 的折线图．根据2010年至2014年数据，2015年至2019年的数据，2010年至2019年的数据分别建立线性回归模型11ˆˆy a x b =+，22ˆˆy a x b =+，33ˆˆy a x b =+，则（ ）A ．123ˆˆˆa a a <<，123ˆˆˆb b b <<B ．132ˆˆˆa a a <<，132ˆˆˆb b b << C ．231ˆˆˆa a a <<，132ˆˆˆb b b << D ．231ˆˆˆa a a <<，321ˆˆˆb b b << 14．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A ．若αβ⊥，βγ⊥，则//αγ；B ．若//m n ，n ⊂α，则//m α；C ．若m 、n 是异面直线，m α⊂，//m β，n β⊂，//n α，则//αβ；D ．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ．15．已知ABC V 的三边长分别为4、5、7，记ABC V 的三个内角的正切值所组成的集合为M ，则集合M 中的最大元素为（ ）A ．BC ．-D ．16．已知函数()y f x =的表达式为()e x f x x=，若函数()()()222e e g x f x af x a ⎡⎤=+--⎣⎦恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),2e -∞-B ．(),e -∞-C ．2,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．1,e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭三、解答题17．已知函数()y f x =的表达式为()πsin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0ω>(1)设1ω=，求函数()y f x =，[]0,πx ∈的单调增区间；(2)设实数πa >，()f x 的最小正周期为π，若在[]π,x a ∈上恰有3个零点，求a 的取值范围． 18．如图，PA 、PB 、PC 为圆锥三条母线，AB AC =.(1)证明:PA BC ⊥；(2),BC 为底面直径，2BC =，求二面角B PA C --的大小19．某市YC 中学体育节开展趣味运动比赛，其中A 、B 两个班级进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每局比赛不存在平局，获胜者得1分，失败者不得分，其中累计得分领先对方2分即可赢得最终胜利，或者5局比赛结束积分领先赢得最终胜利．假设每局比赛中A 班获胜的概率均为23，且各局比赛的结果相互独立．(1)求趣味比赛A 班以3比1赢得最终胜利的概率；(2)此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的局数为X ，求X 的分布及数学期望．20．已知双曲线22:13y C x -=，点1F 、2F 分别为双曲线的左、右焦点，A x 1,y 1 、B x 2,y 2 为双曲线上的点.(1)求右焦点2F 到双曲线的渐近线的距离；(2)若223AF F B =u u u u r u u u u r，求直线AB 的方程；(3)若12//AF BF ，其中A 、B 两点均在x 轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形12AF F B 的面积的取值范围.21．如图，在区间[],a b 上，曲线y =f x 与,,x a x b x ==轴围成的阴影部分面积记为面积S ，若()()F x f x '=（()F x '为函数()y F x =的导函数），则()()S F b F a =-.设函数()1(0)f x x x=>(1)若1,2a b ==，求S 的值；(2)已知0b a >>，点()(),0,,0,(,()22a b a bA a D b M f ++，过点M 的直线分别交,x a x b ==于,B C 两点（,B C 在第一象限），设四边形ABCD 的面积为1S ，写出1S 的表达式（用,a b 表示）并证明：1S S >：(3)函数()()ln g x f x x m =-有两个不同的零点12,x x ，比较21x x 与2e 的大小，并说明理由.。
2020届高三数学上学期期中试题(含解析)_10
2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题）已知集合，，则的元素的个数为A. 2B. 3C. 4D. 7若a，b，且，则下列不等式中一定成立的是A. B. C. D.已知是等差数列的前n项和，且，，则等于A. 50B. 42C. 38D. 36函数的图象大致为A. B.C. D.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是A. 84B.C.D.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到，则的函数解析式为A. B.C. D.设命题p：，命题，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是A. B. C. D.已知，，，则A. B. C. D.已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，设点P是该椭圆和双曲线的一个公共点，且，若椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为A. B. C. D.设a，b为正实数，且，则的最大值和最小值之和为A. 2B.C.D. 9二、填空题（本大题共7小题）抛物线的焦点坐标是______，准线方程是______．已知点，，点在线段AB上，则直线AB的斜率为______；的最大值为______．若实数满足约束条件，则的最小值为______；的最小值为______．已知长方体中，，则直线与平面所成的角为______；若空间的一条直线l与直线所成的角为，则直线l与平面所成的最大角为______．已知是等比数列，且，，则______，的最大值为______已知圆O：，设点P是恒过点的直线l上任意一点，若在该圆上任意点A满足，则直线l的斜率k的取值范围为______．已知点，为单位圆上两点，且满足，则的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题）已知的最大值为．Ⅰ求实数a的值；Ⅱ若，求的值．在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，．Ⅰ求A；Ⅱ求的取值范围．如图，在三棱锥中，和都为等腰直角三角形，，，M为AC的中点，且．Ⅰ求二面角的大小；Ⅱ求直线PM与平面PBC所成角的正弦值．已知数列的前n项和为，且满足：．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ数列满足，，求数列通项公式．在平面直角坐标系中，已知，，若线段FP的中垂线l与抛物线C：总是相切．Ⅰ求抛物线C的方程；Ⅱ若过点的直线交抛物线C于M，N两点，过M，N分别作抛物线的切线，相交于点，分别与y轴交于点B，C．证明：当变化时，的外接圆过定点，并求出定点的坐标；求的外接圆面积的最小值．2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题）已知集合，，则的元素的个数为A. 2B. 3C. 4D. 7若a，b，且，则下列不等式中一定成立的是A. B. C. D.已知是等差数列的前n项和，且，，则等于A. 50B. 42C. 38D. 36函数的图象大致为A. B.C. D.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是A. 84B.C.D.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到，则的函数解析式为A. B.C. D.设命题p：，命题，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是A. B. C. D.已知，，，则A. B. C. D.已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，设点P是该椭圆和双曲线的一个公共点，且，若椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为A. B. C. D.设a，b为正实数，且，则的最大值和最小值之和为A. 2B.C.D. 9二、填空题（本大题共7小题）抛物线的焦点坐标是______，准线方程是______．已知点，，点在线段AB上，则直线AB的斜率为______；的最大值为______．若实数满足约束条件，则的最小值为______；的最小值为______．已知长方体中，，则直线与平面所成的角为______；若空间的一条直线l与直线所成的角为，则直线l与平面所成的最大角为______．已知是等比数列，且，，则______，的最大值为______已知圆O：，设点P是恒过点的直线l上任意一点，若在该圆上任意点A满足，则直线l的斜率k的取值范围为______．已知点，为单位圆上两点，且满足，则的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题）已知的最大值为．Ⅰ求实数a的值；Ⅱ若，求的值．在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，．Ⅰ求A；Ⅱ求的取值范围．如图，在三棱锥中，和都为等腰直角三角形，，，M为AC的中点，且．Ⅰ求二面角的大小；Ⅱ求直线PM与平面PBC所成角的正弦值．已知数列的前n项和为，且满足：．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ数列满足，，求数列通项公式．在平面直角坐标系中，已知，，若线段FP的中垂线l与抛物线C：总是相切．Ⅰ求抛物线C的方程；Ⅱ若过点的直线交抛物线C于M，N两点，过M，N分别作抛物线的切线，相交于点，分别与y轴交于点B，C．证明：当变化时，的外接圆过定点，并求出定点的坐标；求的外接圆面积的最小值．。
2020年高中必修一数学上期中试卷带答案
2020年高中必修一数学上期中试卷带答案一、选择题1．若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =IA ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．∅2．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭3．若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭4．不等式()2log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．(]1,2C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦5．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 6．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．1(0,)3C ．11[,)73D ．1[,1)77．设log 3a π=，0.32b =，21log 3c =，则（ ） A ．a c b >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a b c >>8．设函数22,()6,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围（ ）A ．[)2,+∞B ．[]0,3C ．[]2,3D ．[]2,49．已知函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数,则()()f a f b +=（ ） A ．5B ．5-C ．0D ．201910．已知定义在R 上的函数()21()x mf x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<11．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （ ） A ．3(3,)2--B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(,3)212．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，若实数a 满足()()120f a f a +->，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．()0,1C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．若函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩恰有2个零点，则λ的取值范围是______.14．给出下列四个命题：（1）函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件是0c =； （2）函数()20xy x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<；（3）若函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，则4a ≤-或0a ≥；（4）若函数()1y f x =-是偶函数，则函数()y f x =的图像关于直线0x =对称. 其中所有正确命题的序号是______.15．函数()22()log 23f x x x =+-的单调递减区间是______．16．某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P 与店面经营天数x 的关系是P(x)=21300,0300245000,300x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≥⎩则总利润最大时店面经营天数是___. 17．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．18．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m的取值范围为______．19．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-． 若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则实数m 的取值范围是_____．20．已知函数42()(0)f x x ax bx c c =+++<，若函数是偶函数，且4((0))f f c c =+，则函数()f x 的零点共有________个.三、解答题21．已知满足(1)求的取值范围；(2)求函数的值域．22．已知函数24()(0,1)2x xa af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数. （1）求a 的值：（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围.23．已知函数22()f x x x=+. （1）求(1)f ，(2)f 的值；（2）设1a b >>，试比较()f a 、()f b 的大小，并说明理由； （3）若不等式2(1)2(1)1f x x m x -≥-++-对一切[1,6]x ∈恒成立，求实数m 的最大值. 24．设全集U=R ，集合A={x|1≤x ＜4}，B={x|2a≤x ＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A ，B∩(∁U A)；（2）若A∪B=A ，求实数a 的取值范围． 25．有一种候鸟每年都按一定的路线迁陟，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数301log lg 2100x v x =-，单位是min km ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（参考数据：lg 20.30=， 1.23 3.74=， 1.43 4.66=）（1）若02x =，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少min km ？ （2）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（3）若雄鸟的飞行速度为2.5min km ，雌鸟的飞行速度为1.5min km ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？26．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >． （1）求()1f 的值；（2）解不等式()(3)2f x f x -+-≥-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C【解析】 【分析】求出集合B 后可得A B I . 【详解】因为集合{}|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{}2|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则A B =I {}|01x x ≤≤，选C【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.2．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.3．D解析：D 【解析】 【分析】函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-则()()22f f =-，再结合()f x 在(]1-∞-，上是增函数，即可进行判断. 【详解】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题.4．C解析：C 【解析】 【分析】由()2223122-+=-+≥x x x 以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对a 讨论求解即可. 【详解】由()2log 231a x x -+≤-可得()21log 23log -+≤a ax x a， 当1a >时，由()2223122-+=-+≥x x x 可知2123-+≤x x a无实数解，故舍去； 当01a <<时，()2212312-+=-+≥x x x a在x ∈R 上恒成立，所以12a ≤，解得112a ≤<. 故选：C 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.5．B解析：B 【解析】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-. 考点：集合的运算6．C解析：C 【解析】 【分析】要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则要求①当1x <，()(31)4f x a x a =-+在区间(,1)-∞为减函数，②当1x ≥时，()log a f x x =在区间[1,)+∞为减函数，③当1x =时，(31)14log 1a a a -⨯+≥，综上①②③解方程即可.【详解】令()(31)4g x a x =-+，()log a h x x =.要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则有()(31)4g x a x =-+在区间(,1)-∞上为减函数，()log a h x x =在区间[1,)+∞上为减函数且(1)(1)g h ≥,∴31001(1)(31)14log 1(1)a a a g a a h -<⎧⎪<<⎨⎪=-⨯+≥=⎩,解得1173a ≤<. 故选：C. 【点睛】考查分段函数求参数的问题.其中一次函数y ax b =+，当0a <时，函数y ax b =+在R 上为减函数，对数函数log ,(0)a y x x =>，当01a <<时，对数函数log ay x =在区间(0,)+∞上为减函数.7．C解析：C 【解析】 【分析】先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解. 【详解】 由题得21log 3c =2log 10<=，a>0,b>0. 0.30log 3log 1,22 1.a b πππ====所以b a c >>.故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查指数函数对数函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比.8．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数22y x x =--的图象，结合图象及题意分析可得所求范围． 【详解】画出函数22y x x =--的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数()22,,6,,x x x a x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是在R 上的增函数，需满足22226a a a a ≥⎧⎨--≥-⎩，解得24x ≤≤． 所以实数a 取值范围是[]2,4． 故选D ． 【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系．9．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数，即可求出a ，b ，从而得出f （x ）的解析式，进而求出f （a ）+f （b ）的值． 【详解】∵f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数； ∴0320b a a =⎧⎨-+=⎩；∴a ＝1，b ＝0； ∴f （x ）＝x 2+2；∴f （a ）+f （b ）＝f （1）+f （0）＝3+2＝5． 故选：A ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，已知函数求值的方法．10．B解析：B由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.11．D解析：D 【解析】试题分析：集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭,故选D.考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.12．B解析：B 【解析】 【分析】求出函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的单调性与奇偶性，将所求不等式变形为()()21f a f a >-，然后利用函数()y f x =的单调性与定义域可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】对于函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，则函数()y f x =的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-，所以，函数()y f x =为奇函数，由于函数()1ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数，函数()2ln 1y x =-在区间()1,1-上为减函数，所以，函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--在()1,1-上为增函数， 由()()120f a f a +->得()()()1221f a f a f a >--=-，所以，11112121a a a a -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得01a <<.因此，实数a 的取值范围是()0,1.【点睛】本题考查函数不等式的求解，解答的关键就是分析函数的单调性和奇偶性，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．【解析】【分析】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象结合图象分析可得答案【详解】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象如图：若函数恰有2个零点即函数图象与轴有且仅有2个交点则或即的取值范围是：解析：(1，3](4,)+∞U ． 【解析】 【分析】根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，结合图象分析可得答案． 【详解】根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，如图：若函数()f x 恰有2个零点，即函数()f x 图象与x 轴有且仅有2个交点， 则13λ<…或4λ>，即λ的取值范围是：(1，3](4,)+∞U 故答案为：(1，3](4,)+∞U ．【点睛】本题考查分段函数的图象和函数的零点，考查数形结合思想的运用，考查发现问题解决问题的能力.14．（1）（2）（3）【解析】【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确由函数的值域是得出其真数可以取到所有的正数由二次函数判别式大于等于0求解可判断出（3）正确解析：（1）（2）（3）【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确，根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确， 由函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，得出其真数可以取到所有的正数，由二次函数判别式大于等于0求解，可判断出（3）正确，根据函数图像平移可判断（4）不正确. 【详解】解：（1）当0c =时，()=+f x x x bx ，()()()-=---=-+=-f x x x bx x x bx f x ，当函数为奇函数时()()f x f x -=-，即()++=----+=+-x x bx c x x bx c x x bx c ，解得0c =，所以0c =是函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件，所以（1）正确；（2）由反函数的定义可知函数()20xy x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<，所以（2）正确；（3）因为函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，所以2y x ax a =+-能取遍(0,)+∞的所有实数，所以240a a =+≥△，解得0a ≥或4a ≤-，所以（3）正确； （4）函数()1y f x =-是偶函数，所以()1y f x =-图像关于y 轴对称，函数()y f x =的图像是由()1y f x =-向左平移一个单位得到的，所以函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，故（4）不正确. 故答案为：（1）（2）（3） 【点睛】本题主要考查对函数的理解，涉及到函数的奇偶性、值域、反函数等问题.15．【解析】设（）因为是增函数要求原函数的递减区间只需求（）的递减区间由二次函数知故填解析：()-3∞-，【解析】设2log y t =，223t x x =+-，（0t >）因为2log y t =是增函数，要求原函数的递减区间，只需求223t x x =+-（0t >）的递减区间，由二次函数知(,3)x ∈-∞-，故填(,3)x ∈-∞-．16．200【解析】【分析】根据题意列出总利润L(x)的分段函数然后在各个部分算出最大值比较大小就能确定函数的最大值进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数【详解】设总利润为L(x)则L(x)=则L(x)解析：200 【解析】 【分析】根据题意，列出总利润L(x)的分段函数，然后在各个部分算出最大值，比较大小，就能确定函数的最大值，进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数.【详解】设总利润为L(x),则L(x)=2120010000,0300210035000,300x x x x x ⎧-+-≤<⎪⎨⎪-+≥⎩则L(x)=21(200)10000,0300210035000,300x x x x ⎧--+≤<⎪⎨⎪-+≥⎩当0≤x<300时,L(x)max =10000,当x ≥300时,L(x)max =5000,所以总利润最大时店面经营天数是200.【点睛】本题主要考查分段函数的实际应用，准确的写出各个部分的函数关系式是解决本题的关键. 17．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值 解析：-8【解析】 试题分析：2tan 1tan 1,42x x x ππ∴∴Q 设2tan t x =()()()2221412222142248111t t t y t t t t -+-+∴==-=----≤-⨯-=----当且仅当2t =时成立考点：函数单调性与最值18．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没 解析：{|2m m >或2}3m <-【解析】【分析】分类讨论m 的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m 的范围.【详解】解：∵函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值， 则函数2(2)2y mx m x m =+-+-有最大值或最小值，且y 取最值时，0y >. 当0m =时，22y x =--，由于y 没有最值，故()f x 也没有最值，不满足题意.当0m >时，函数y 有最小值，没有最大值，()f x 有最大值，没有最小值.故y 的最小值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->， 求得 2m >；当0m <时，函数y 有最大值，没有最小值，()f x 有最小值，没有最大值. 故y 的最大值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->， 求得23m <-. 综上，m 的取值范围为{|2m m >或2}3m <-. 故答案为：{|2m m >或2}3m <-. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题. 19．【解析】【分析】若方程有四个不同的实数解则函数与直线有4个交点作出函数的图象由数形结合法分析即可得答案【详解】因为函数是定义在R 上的偶函数且当时所以函数图象关于轴对称作出函数的图象：若方程有四个不同 解析：(1,0)-【解析】【分析】若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点，作出函数()f x 的图象，由数形结合法分析即可得答案．【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数且当0x ≥时，2()2f x x x =-，所以函数()f x 图象关于y 轴对称，作出函数()f x 的图象：若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点，由图象可知：10m -<<时，即有4个交点.故m 的取值范围是(1,0)-，故答案为：(1,0)-【点睛】本题主要考查了偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，数形结合，属于中档题.20．2【解析】因为是偶函数则解得又所以故令所以故有2个零点点睛：本题涉及函数零点方程图像等概念和知识综合性较强属于中档题一般讨论函数零点个数问题都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题本题 解析：2【解析】因为()42(0)f x x ax bx c c =+++<是偶函数，则()()f x f x -=，解得0b =，又()()4240()f f f c c ac c c c ==++=+，所以0a =，故4()f x x c =+，令4()0f x x c =+=，40x c =->，所以4x c =±-，故有2个零点.点睛：本题涉及函数零点，方程，图像等概念和知识，综合性较强，属于中档题.一般讨论函数零点个数问题，都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题，本题由于涉及函数为初等函数，可以考虑方程来解决，转化为方程根的个数，同时注意偶函数性质在本题中的应用.三、解答题21．(1) (2) 【解析】 试题分析（1）先将不等式化成底相同的指数，再根据指数函数单调性解不等式（2）令，则函数转化为关于 的二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值，得到值域.试题解析：解：(1) 因为由于指数函数在上单调递增(2) 由（1）得令，则，其中因为函数开口向上，且对称轴为 函数在上单调递增 的最大值为，最小值为 函数的值域为. 22．（1）2a =（2）()1,1-（3）(10,3)+∞ 【解析】【分析】 （1）利用函数是奇函数的定义求解a 即可(2)判断函数的单调性，求解函数的值域即可(3)利用函数恒成立，分离参数m ,利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可.【详解】（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()()f x f x -=- 即：242422x x x x a a a a a a a a---+-+=-++. 即2(4)2422x x x x a a a a a a a a+-+⋅-+-=+⋅+ 整理可得2a =.（2）222212()12222121x x x x x f x ⋅--===-⋅+++在R 上递增 ∵211x +>，22021x ∴-<-<+, 211121x ∴-<-<+ ∴函数()f x 的值域为()1,1-.（3）由()220xmf x +-> 可得，()2 2xmf x >-，21()2221x x x mf x m -=>-+. 当[]1,2x ∈时，(21)(22)21x x x m +->- 令(2113)x t t -=≤≤）， 则有(2)(1)21t t m t t t+->=-+， 函数21y t t=-+在1≤t ≤3上为增函数，∴max 210(1)3t t -+=， 103m ∴>， 故实数m 的取值范围为(10,3)+∞ 【点睛】 本题主要考查了函数恒成立条件的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，属于中档题.23．（1）(1)3f =，(2)5f =；（2）()()f a f b >；详见解析（3）1-.【解析】【分析】（1）根据函数解析式,代入即可求值.（2）根据函数解析式,利用作差法即可比较()f a 、()f b 的大小.（3）将解析式代入,化简不等式,转化为关于二次函数的恒成立问题,即可求得实数m 的最大值.【详解】（1）因为函数()22f x x x=+ 所以()221131f =+= ()222252f =+= （2）()()f a f b >,理由如下:因为1a b >>则()()f a f b -2222a b a b=+-- ()()()2b a a b a b ab -=-++()2a b a b ab ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ 因为1a b >>,则2a b +>，1ab >, 所以22ab<,即20a b ab +->,()0a b -> 所以()20a b a b ab ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭即()()f a f b >（3）因为函数()22f x x x=+ 则代入不等式可化为()()22212111x x m x x -+≥-++-- 化简可得243x x m -+≥,即()221x m --≥因为对于一切[]1,6x ∈恒成立所以()2min21x m ⎡⎤--≥⎣⎦ 当2x =时,二次函数取得最小值,即1m -≥所以实数m 的最大值为1-【点睛】本题考查了函数的求值,单调性的证明及不等式恒成立问题的综合应用,属于基础题.24．（1）B ∩A =[1，4），B ∩(∁U A )= [-4,1)∪[4,5)；（2）1[,)2+∞ .【解析】【分析】(1)利用补集的定义求出A 的补集,然后根据交集的定义求解即可直接求解即可；(2 )分类讨论B 是否是空集，列出不等式组求解即可.【详解】（1）∵A ={x |1≤x ＜4}，∴∁U A ={x |x ＜1或x ≥4}，∵B ={x |2a ≤x ＜3-a }，∴a =-2时，B ={-4≤x ＜5}，所以B ∩A =[1，4），B ∩(∁U A )={x |-4≤x ＜1或4≤x ＜5}=[-4,1)∪[4,5).（2）A ∪B =A ⇔B ⊆A ，①B =∅时，则有2a ≥3-a ，∴a ≥1,②B ≠∅时，则有，∴,综上所述，所求a 的取值范围为. 【点睛】本题主要考查集合的交集、集合的补集以及空集的应用，属于简答题.要解答本题，首先必须熟练应用数学的转化与划归思想及分类讨论思想，将并集问题转化为子集问题，其次分类讨论进行解答，解答集合子集过程中，一定要注意空集的讨论，这是同学们在解题过程中容易疏忽的地方，一定不等掉以轻心.25．（1）1.70/min km ；（2）466；（3）9【解析】试题分析：（1）直接代入求值即可，其中要注意对数的运算；（2）还是代入求值即可；（3）代入后得两个方程，此时我们不需要解出1x 、2x ，只要求出它们的比值即可，所以由对数的运算性质，让两式相减，就可求得129x x =． 试题解析：（1）将02x =，8100x =代入函数式可得：31log 81lg 22lg 220.30 1.702v =-=-=-= 故此时候鸟飞行速度为1.70/min km ． （2）将05x =，0v =代入函数式可得：310log lg 52100x =-即3log 2lg52(1lg 2)20.70 1.40100x ==⋅-=⨯= 1.43 4.66100x ∴==于是466x =． 故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．（3）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟的耗氧量为2x ，依题意可得：13023012.5log lg 2100{11.5log lg 2100x x x x =-=-两式相减可得：13211log 2x x =，于是129x x =． 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍．考点：1．函数代入求值；2．解方程；3．对数运算．26．（1）()10f = （2）{|10}x x -≤<．【解析】【分析】（1）根据()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，即可得出()1f 的值；（2）由0x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，根据()f x 的单调性，结合函数的定义域，列出不等式解出x 的范围即可.【详解】（1）令1x y ==，则()()()111f f f =+，()10f =.（2）解法一：由x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，且030x x ->⎧⎨->⎩，即0x <. ∵()()()f xy f x f y =+，(),0,x y ∈+∞且112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()()32f x f x -+-≥-可化为()()1322f x f x f ⎛⎫-+-≥-⎪⎝⎭，即()()113022f x f f x f ⎛⎫⎛⎫-++-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()()()331112222x x x x f f f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔-+≥⇔-⋅≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则03122x x x <⎧⎪⎨--⋅≤⎪⎩，解得10x -≤<. ∴不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为{|10}x x -≤<．【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.。
宜川中学数学高三上期中测试卷(专题培优)
一、选择题1．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若(){}nf a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的如下函数： ①()3f x x =；②()xf x e =；③()f x =④()ln f x x =则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④2．下列命题正确的是A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2B ．若a ＞b ，则 ac ＞bcC ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b3．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．164．若正数,x y 满足20x y xy +-=，则32x y+的最大值为（ ） A ．13B ．38C ．37D ．15．若ABC 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=,2ABCS =,则b =（ ）A ．5B ．25C D ．6．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ）A ．10 kmB kmC ．D ．7．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30方向，且与B 相距，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．3km8．若a ，b ，c ，d∈R，则下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若a ＞b ，c ＞d ，则a+c ＞b+d C ．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则c d a b> D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d9．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9B ．92C ．5D ．5210．在等比数列{}n a 中，21a a 2-=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为( ) A ．9B ．27C ．54D ．8111．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++12．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ） A ．3或13- B ．-3或13C ．3或13D ．-3或13-13．已知正项数列{}n a *12(1)()2n n n a a a n N ++=∈，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =14．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 23sin 0b A a B +=，3b c =，则ca的值为（ ） A ．1B 3C 5D 7 15．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1{3(3)x x y y a x ≥+≤≥-,若z=2x+y 的最小值为1，则a=A ．B ．C ．1D ．2二、填空题16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，且对于任意1n >，*n N ∈，满足11n n S S +-+=2(1)n S +，则10S 的值为__________17．设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a =___________． 18．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a 使得122m n a a a ⋅=，则14m n+的最小值为__________． 19．对一切实数x ，不等式2||10x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_______ 20．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T 若对任意自然数n 都有2343n n S n T n -=-，则935784a ab b b b +++的值为_______． 21．如图所示，在平面四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，AB AD ⊥，AC CD ⊥，3AD AC =，则AC =__________．22．设等差数列{}na 的前n 项和为n S ．若35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列，则数列{}n a 的通项公式n a =____．23．正项等比数列{}n a 满足2418-=a a ，6290-=a a ，则{}n a 前5项和为________.24．数列{}n b 中，121,5b b ==且*21()n n n b b b n N ++=-∈，则2016b =___________.25．已知实数x ，y 满足约束条件20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩，若2z x y =+的最小值为3，则实数b =____ 三、解答题26．已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,2cos (cos cos )0.a b c C a C c A b ++=， （1）求角C 的大小；（2）若2,23,b c ==，求ABC ∆的面积.27．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，各项为正的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S28．已知{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，且b 1＝a 1＝1，b 3＝a 4，b 1＋b 2＋b 3＝a 3＋a 4.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .29．在ΔABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222sin sin sin sin sin A C B A C +=-.(1)求B 的大小;(2)设BAC ∠的平分线AD 交BC 于,23,1D AD BD ==,求sin BAC ∠的值. 30．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1250,15a a S +==，数列{}n b 满足：12b a =，且131(2).n n n n n nb a b a b ++++=（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若211(5)log n n n c a b +=+⋅，求数列{}n c 的 前n 项和.n T【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．C 3．C 4．A 5．A 6．D7．D8．B9．B10．B11．A12．C13．B14．D15．B二、填空题16．91【解析】【分析】由Sn+1+Sn﹣1＝2（Sn+1）可得Sn+1﹣Sn＝Sn﹣Sn﹣1+2可得an+1﹣an＝2利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【详解】∵对于任意n＞1n∈N*满足Sn+17．【解析】∵∴将以上各式相加得：故应填；【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住中系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法迭代法等；18．【解析】【分析】由求得由可得结合为正整数讨论四种情况可得的最小值【详解】设等比数列的公比为由可得到由于所以解得或因为各项全为正所以由于存在两项使得所以可得当时;当时；当时;当时;综上可得的最小值为故19．－2+）【解析】【分析】根据题意分x=0与x≠0两种情况讨论①x=0时易得原不等式恒成立②x≠0时原式可变形为a≥-（|x|+）由基本不等式的性质易得a的范围综合两种情况可得答案【详解】根据题意分两20．【解析】【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式代值计算可得【详解】∵{an}{bn}为等差数列∴∵＝∴故答案为【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式属基础题21．3【解析】分析：详解：设在直角中得所以在中由余弦定理由于所以即整理得解得点睛：在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信息一般地如果式子中含有角22．【解析】设等差数列的公差为d∵且成等差数列∴解得∴23．93【解析】【分析】运用等比数列通项公式基本量的计算先求出首项和公比然后再运用等比数列前项和公式求出前项和【详解】正项等比数列满足即则有代入有又因为则故答案为【点睛】本题考查了求等比数列前项和等比数24．-4【解析】【分析】根据已知可得即可求解【详解】且故答案为:-4【点睛】本题考查数列的递推关系以及周期数列考查计算求解能力属于中档题25．【解析】【分析】画出可行域由图象可知的最小值在直线与直线的交点处取得由解方程即可得结果【详解】由已知作可行域如图所示化为平移直线由图象可知的最小值在直线与直线的交点处取得由解得故答案为【点睛】本题主三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】设等比数列{}n a的公比为q，验证()()1nnf af a+是否为非零常数，由此可得出正确选项.设等比数列{}n a 的公比为q ，则1n na q a +=. 对于①中的函数()3f x x =，()()3313112n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，该函数为“保等比数列函数”；对于②中的函数()xf x e =，()()111n n n n a a a n a n f a e e f a e++-+==不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”； 对于③中的函数()f x =()()1n n f a f a +===，该函数为“保等比数列函数”；对于④中的函数()ln f x x =，()()11ln ln n n n na f a f a a ++=不是常数，该函数不是“保等比数列函数”.故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.2．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c ，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C3．C解析：C 【解析】 【分析】数列{}n a ，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项1a ，得通项公式，从而得结论． 【详解】最下层的“浮雕像”的数量为1a ，依题有：公比()717122,7,101612a q n S -====-，解得18a =，则()12*82217,n n n a n n N -+=⨯=≤≤∈，57352,2a a ∴==，从而()()571212352352222,log log 212a a a a ⋅=⨯=∴⋅==，故选C ．本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解．4．A解析：A 【解析】 【分析】根据条件可得出2x >，212y x =+-，从而33222(2)52x y x x =+-++-，再根据基本不等式可得出3123x y ≤+，则32x y +的最大值为13.【详解】0x，0y >，20x y xy +-=，2122x y x x ∴==+--，0x >， 333222212(2)522x y x x x x ∴==+++-++--，22(2)5592x x -++≥=-， 当且仅当122x x -=-，即3x =时取等号， 31232(2)52x x ∴≤-++-，即3123x y ≤+， 32x y ∴+的最大值为13. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算和推理能力，属于中档题.5．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得c =．由余弦定理可得：5b ===．解析：D 【解析】 【分析】直接利用余弦定理求出A ，C 两地的距离即可． 【详解】因为A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°， 则A ，C 两地的距离为：AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos ∠ABC ＝102+202﹣2110202⎛⎫⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭700． 所以AC ＝107km ． 故选D ． 【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．7．D解析：D 【解析】 【分析】先判断三角形DAB 为直角三角形,求出BD ,然后推出CBD ∠为直角,可得CD ,进一步可得cos BDF ∠,最后在三角形EDB 中用余弦定理可得BF .【详解】取AB 的中点E ,连DE ,设飞机飞行了15分钟到达F 点,连BF ,如图所示:则BF 即为所求.因为E 为AB 的中点,且120AB km =,所以60AE km =, 又60DAE ∠=,60AD km =,所以三角形DAE 为等边三角形,所以60DE km =,60ADE ∠=,在等腰三角形EDB 中,120DEB ∠=,所以30EDB EBD ∠=∠=, 所以90ADB ∠=,由勾股定理得2BD 22221206010800AB AD =-=-=, 所以3BD km =,因为9030CBE ∠=+120=,30EBD ∠=,所以CBD ∠90=, 所以222108006013240CD BD BC =+=+⨯=km ,所以cos 2404BD BDC CD ∠===, 因为1360904DF km =⨯=, 所以在三角形BDF 中,222222cos 90290BF BD DF BD DF BDF =+-⋅⋅∠=+-⨯ 10800=,所以BF =km .故一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B有. 故选D . 【点睛】本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.8．B解析：B 【解析】 【分析】利用不等式的性质和通过举反例否定一个命题即可得出结果. 【详解】A 项，虽然41,12>->-，但是42->-不成立，所以不正确；B 项，利用不等式的同向可加性得知，其正确，所以成立，即B 正确；C 项，虽然320,210>>>>，但是3221>不成立，所以C 不正确； D 项，虽然41,23>>-，但是24>不成立，所以D 不正确； 故选B. 【点睛】该题考查的是有关正确命题的选择问题，涉及到的知识点有不等式的性质，对应的解题的方法是不正确的举出反例即可，属于简单题目.9．B解析：B 【解析】 【分析】设f （x ）1221x x=+-，根据形式将其化为f （x ）()1152221x x x x-=++-．利用基本不等式求最值，可得当且仅当x 13=时()11221x x x x-+-的最小值为2，得到f （x ）的最小值为f （13）92=，再由题中不等式恒成立可知m ≤（1221x x+-）min ，由此可得实数m 的最大值．【详解】 解：设f （x ）11222211x x x x=+=+--（0＜x ＜1） 而1221x x+=-[x +（1﹣x ）]（1221x x +-）()1152221x x x x -=++- ∵x ∈（0，1），得x ＞0且1﹣x ＞0 ∴()11221x x x x -+≥-=2， 当且仅当()112211x x x x -==-，即x 13=时()11221x x x x-+-的最小值为2 ∴f （x ）1221x x =+-的最小值为f （13）92= 而不等式m 1221x x ≤+-当x ∈（0，1）时恒成立，即m ≤（1221x x+-）min 因此，可得实数m 的最大值为92故选：B ．【点睛】本题给出关于x 的不等式恒成立，求参数m 的取值范围．着重考查了利用基本不等式求函数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题． 10．B解析：B【解析】【分析】根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，由22a 为13a 和3a 的等差中项，可得21322a 3a a ⨯=+，利用等比数列的通项公式代入化简为2q 4q 30-+=，解得q ，又21a a 2-=，即()1a q 12-=，q 1≠，分析可得1a 、q 的值，可得数列{}n a 的通项公式，将n 4=代入计算可得答案．【详解】解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，若22a 为13a 和3a 的等差中项，则有21322a 3a a ⨯=+，变形可得21114a q 3a a q =+，即2q 4q 30-+=，解得q 1=或3；又21a a 2-=，即()1a q 12-=，则q 3=，1a 1=，则n 1n a 3-=，则有34a 327==；故选：B ．【点睛】本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．11．A解析：A【解析】【分析】【详解】试题分析：在数列{}n a 中，11ln 1n n a a n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+12ln ln ln 2121n n n n -=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-- 12ln()2121n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-- ln 2n =+故选A.12．C解析：C【解析】很明显等比数列的公比1q ≠，由题意可得：()231113S a q q=++=，①且：()21322a a a +=+，即()211122a q a a q +=+，② ①②联立可得：113a q =⎧⎨=⎩或1913a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， 综上可得：公比q =3或13. 本题选择C 选项. 13．B解析：B 【解析】【分析】()()1122n n n n+-=-的表达式，可得出数列{}n a的通项公式.【详解】(1)(1),(2)22n n n nn n+-=-=≥1=，所以2,(1),nn n a n=≥=，选B.【点睛】给出n S与n a的递推关系求n a，常用思路是：一是利用1,2n n na S S n-=-≥转化为na的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S的递推关系，先求出n S与n之间的关系，再求n a. 应用关系式11,1{,2nn nS naS S n-==-≥时，一定要注意分1,2n n=≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.14．D解析：D【解析】分析：由正弦定理可将sin2sin0b A B=化简得cosA=，由余弦定理可得222227a b c bccosA c=+-=，从而得解.详解：由正弦定理，sin2sin0b A B+=，可得sin2sin0sinB A B+=，即2sin sin0sinB AcosA B=由于：0sinBsinA≠，所以cosA=：，因为0＜A＜π，所以5πA6=．又b=，由余弦定理可得22222222337a b c bccosA c c c c=+-=++=.即227a c=，所以ca=.故选：D．点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．15．B解析：B【解析】【分析】【详解】画出不等式组表示的平面区域如图所示：当目标函数z=2x+y 表示的直线经过点A 时，z 取得最小值，而点A 的坐标为（1，2a -），所以221a -=，解得12a =，故选B. 【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.二、填空题16．91【解析】【分析】由Sn+1+Sn ﹣1＝2（Sn+1）可得Sn+1﹣Sn ＝Sn ﹣Sn ﹣1+2可得an+1﹣an ＝2利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【详解】∵对于任意n ＞1n ∈N*满足Sn+解析：91【解析】【分析】由S n+1+S n ﹣1＝2（S n +1），可得S n+1﹣S n ＝S n ﹣S n ﹣1+2，可得a n+1﹣a n ＝2．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【详解】∵对于任意n ＞1，n∈N *，满足S n+1+S n ﹣1＝2（S n +1），∴n≥2时，S n+1﹣S n ＝S n ﹣S n ﹣1+2，∴a n+1﹣a n ＝2．∴数列{a n }在n≥2时是等差数列，公差为2．则10S ＝1+9×29822⨯+⨯=91． 故答案为91【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．【解析】∵∴将以上各式相加得：故应填；【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住中系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法迭代法等； 解析：()112n n ++【解析】∵112,1n n a a a n +==++∴()111n n a a n -=+-+，()1221n n a a n --=+-+，()2331n n a a n --=+-+，⋯，3221a a =++，2111a a =++，1211a ==+将以上各式相加得：()()()123211n a n n n n ⎡⎤=-+-+-+++++⎣⎦()()()()11111111222n n n n n n n n ⎡⎤--+-+⎣⎦=++=++=+故应填()112n n ++； 【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住11n n a a n +=++中1,n n a a +系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；18．【解析】【分析】由求得由可得结合为正整数讨论四种情况可得的最小值【详解】设等比数列的公比为由可得到由于所以解得或因为各项全为正所以由于存在两项使得所以可得当时;当时；当时;当时;综上可得的最小值为故 解析：116【解析】【分析】由7652a a a =+求得2q 1=可得5m n +=，结合,m n 为正整数，讨论四种情况可得14m n +的最小值. 【详解】设等比数列的公比为q ,由7652a a a =+, 可得到6662a a q a q=+, 由于0n a >,所以21q q =+,解得2q 或1q =-.因为各项全为正,所以2q .由于存在两项,m n a a 1=，所以,218m n a a a ⋅=,112211188m n m n a q a q a q --+-⋅=∴=，28m n q +-∴=,可得5m n +=.当1,4m n ==时,142m n+=; 当2,3m n ==时，14116m n +=； 当3,2m n ==时,1473m n +=; 当4,1m n ==时,14174m n +=; 综上可得14m n +的最小值为116, 故答案为116. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和性质,考查了分类讨论思想的应用,属于中档题. 分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.19．－2+）【解析】【分析】根据题意分x=0与x≠0两种情况讨论①x=0时易得原不等式恒成立②x≠0时原式可变形为a≥-（|x|+）由基本不等式的性质易得a 的范围综合两种情况可得答案【详解】根据题意分两解析：[－2，+∞）【解析】【分析】根据题意，分x=0与x≠0两种情况讨论，①x=0时，易得原不等式恒成立，②x≠0时，原式可变形为a≥-（|x|+ 1x），由基本不等式的性质，易得a 的范围，综合两种情况可得答案.【详解】根据题意，分两种情况讨论；①x=0时，原式为1≥0，恒成立，则a∈R；②x≠0时，原式可化为a|x|≥-（x 2+1），即a≥-（|x|+ 1x）, 又由|x|+1x ≥2，则-（|x|+1x）≤-2； 要使不等式x 2+a|x|+1≥0恒成立，需有a≥-2即可；综上可得，a 的取值范围是[-2，+∞）；故答案为[-2，+∞）．【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解法，运用分类讨论和参数分离、基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题．20．【解析】【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式代值计算可得【详解】∵{an}{bn}为等差数列∴∵＝∴故答案为【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式属基础题 解析：1941【解析】【分析】 由等差数列的性质和求和公式可得原式1111S T =，代值计算可得． 【详解】∵{a n }，{b n }为等差数列， ∴939393657846666222a a a a a a a b b b b b b b b ++=+==++ ∵61111111111622a S a a T b b b +==+＝211319411341⨯-=⨯-，∴661941a b =， 故答案为1941. 【点睛】 本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．21．3【解析】分析：详解：设在直角中得所以在中由余弦定理由于所以即整理得解得点睛：在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信息一般地如果式子中含有角 解析：3【解析】分析：详解：设,3AC x AD x ==，在直角ACD ∆中，得CD =，所以sin CD CAD AD ∠==， 在ABC ∆中，由余弦定理2222cos 2AB AC BC BAC AB AC +-∠==⋅ 由于2BAC CAD π∠+∠=，所以cos sin BAC CAD ∠=∠，23=23830x x--=，解得3x=.点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．22．【解析】设等差数列的公差为d∵且成等差数列∴解得∴解析：21n-【解析】设等差数列{}n a的公差为d，∵35a=，且1S，5S，7S成等差数列，∴111125,7211020a da a d a d+=⎧⎨++=+⎩解得11,2ad=⎧⎨=⎩∴21na n=-23．93【解析】【分析】运用等比数列通项公式基本量的计算先求出首项和公比然后再运用等比数列前项和公式求出前项和【详解】正项等比数列满足即则有代入有又因为则故答案为【点睛】本题考查了求等比数列前项和等比数解析：93【解析】【分析】运用等比数列通项公式基本量的计算，先求出首项和公比，然后再运用等比数列前n项和公式求出前5项和.【详解】正项等比数列{}n a满足2418-=a a，6290-=a a，即24222218,90a q a a q a-=-=则有()()()22222118,1190a q a q q-=-+=代入有221=5,4q q+=又因为0q>，则212,6,3q a a=∴==()553129312S⨯-∴==-故答案为93【点睛】本题考查了求等比数列前n项和等比数列通项公式的运用，需要熟记公式，并能灵活运用公式及等比数列的性质等进行解题，本题较为基础.24．-4【解析】【分析】根据已知可得即可求解【详解】且故答案为:-4【点睛】本题考查数列的递推关系以及周期数列考查计算求解能力属于中档题解析：-4【解析】【分析】根据已知可得6n n b b +=，即可求解.【详解】121,5b b ==且*21()n n n b b b n N ++=-∈，321211n n n n n n n n b b b b b b b b ++++++=-==-=--，63,20166336n n n b b b ++=-==⨯，201663214b b b b b ∴==-=-+=-.故答案为:-4【点睛】本题考查数列的递推关系以及周期数列，考查计算求解能力，属于中档题.25．【解析】【分析】画出可行域由图象可知的最小值在直线与直线的交点处取得由解方程即可得结果【详解】由已知作可行域如图所示化为平移直线由图象可知的最小值在直线与直线的交点处取得由解得故答案为【点睛】本题主 解析：94【解析】【分析】画出可行域，由图象可知，z 的最小值在直线2y x =与直线y x b =-+的交点()00,A x y 处取得，由000000232y x y x y x b =-+⎧⎪=⎨⎪=-+⎩，解方程即可得结果.【详解】由已知作可行域如图所示，2z x y =+化为2y x z =-+，平移直线2y x z =-+由图象可知，z 的最小值在直线2y x =与直线y x b =-+的交点()00,A x y 处取得， 由000000232y x y x y x b =-+⎧⎪=⎨⎪=-+⎩，解得00339,,424x y b ===, 故答案为94. 【点睛】 本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于中档题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.三、解答题26．(1) 120.C =（2 3.【解析】试题分析：（1）由()2cos cos cos 0C a C c A b ++=根据正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可得2cos sin sin 0C B B +=，可得1cos 2C =-，即可得解C 的值；（2）由已知及余弦定理得解得a 的值，进而利用三角形面积公式即可得结果.试题解析：(1)()2cos cos cos 0C a C c A b ++=，由正弦定理可得()()2020,20cosC sinAcosC sinBcosA sinB cosCsin A C cosCsinB sinB ∴++=∴+=∴+=即 又10180,sin 0,cos ,120.2B B C C <<∴≠∴=-=即（2）由余弦定理可得(2222222cos12024a a a a =+-⨯=++又10,2,sin 2ABC a a S ab C ∆>=∴== ABC ∴∆ 27．(1)12n n b -=, (2)36s =-【解析】【分析】（1）首先设出等差数列的公差与等比数列的公比，根据题中所给的式子，得到关于d 与q 的等量关系式，解方程组求得结果，之后根据等比数列的通项公式写出结果即可； （2）根据题中所给的条件，求得其公比，根据条件，作出取舍，之后应用公式求得结果.【详解】(1)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由22 2.a b +=得d+q=3，由335a b +=得2d+q 2=6, 解得d=1,q=2.所以{}n b 的通项公式为12n n b -=；（2）由131,21b T ==得q 2+q-20=0, 解得q=-5（舍去）或q=4，当q=4时，d=-1，则S 3=-6。
2020年上海市宜川中学高三数学理联考试题含解析
2020年上海市宜川中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知复数z满足,其中i为虚数单位,则z在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限参考答案：B由题意,,,∴,在复平面对应的点为,故在复平面内对应的点位于第二象限,故选B.2. 函数的导函数为，对R，都有成立，若，则不等式的解是（▲ ）。
A.B．C．D．参考答案：A略3. 在区间[0，2] 上随机取两个数x、y，则的概率是A. B. C. D.参考答案：C这是个几何概型，全概率事件对应的区域是在坐标系中满足且的正方形，而事件“”对应的区域是在上面的正方形内且在曲线的下方，因此事件“”的概率是所对应的区域面积之比：。
4. 设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）A． B. C．D．且参考答案：C5. 已知函数的图象与x轴的一个交点为A，函数图象在点A处的切线与两条坐标轴围成的面积为 ( )A.1B.2C.3D.4参考答案：B略6. 设，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．参考答案：D函数在上单调递增，所以的值域为，当时，为增函数，在上的值域为，由题意可得，∴，当时，为减函数，在上的值域为，由题意可得，∴，当时，为常数函数，值域为，不符合题意；综上，实数的取值范围为．故选D．7. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是( ▲ )A．27 B．30 C．33 D．36参考答案：B8. 若定义在R上的偶函数满足，且当[0，1]时，，则函数的零点个数是（）A．2个 B． 3个 C．4个 D．多于4个参考答案：C本题考察函数性质的综合运用，利用数形结合法求解。
由已知函数是周期为2的周期函数且是偶函数，由[0，1]时，，结合以上性质画出函数的图象，再在同一坐标系中画出的图象，观察交点个数即可，如下图所示。
2020学年度第一学期高三数学文科期中考试卷 人教版
2020学年度第一学期高三数学文科期中考试卷本试卷共150分 考试时间120分钟一、选择题: 本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡对应的位置上。
1. 若A ＝｛(x ，y)|x ＋y ＝3｝，B ＝｛(x ，y)|x －y ＝1｝，则A ∩B ＝（ C ）A .｛(1，2)｝B .｛2，1｝C .｛(2，1)｝D .Φ解：由31x y x y +=⎧⎨-=⎩，得21x y =⎧⎨=⎩，选C 。
2. 如果原命题的结论是“p 且q ”形式，那么否命题的结论形式为（ B ）A . （非p ）且（非q ）B . （非p ）或（非q ）C . （非p ）或qD . （非q ）且p 解：“且”命题的否定是“或”命题，选B 。
3. 直线0=++c by ax 同时要经过第一、第二、第四象限，则c b a 、、应满足（ A ）A ．0,0<>bc abB ．0,0ab bc <>C ．0,0>>bc abD ．0,0<<bc ab解：∵直线0=++c by ax 同时要经过第一、第二、第四象限， ∴a c y x b b =--，即0a k b =-p ，截距0cb-f ， ∴0,0<>bc ab ，选A 。
4. 不等式组⎩⎨⎧≤≤≥++-300))(5(x y x y x 表示的平面区域是（ D ）A ．矩形B ．三角形C ．直角梯形D 解：原不等式等价于50003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩或50003x y x y x -+≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩，画出目标区域得点A （3，8）、B （3，－3）、C （0，5），∴AC BO ==， ∴等腰梯形，选D 。
5. 若函数()cos 2xf x =，则下列等式恒成立的是 （ D ）A ．)()2(x f x f =-πB ．)()2(x f x f =+πC ．)()4(x f x f -=-πD ．)()4(x f x f =-π解：函数()cos2xf x =的周期为4π，并且是偶函数，选D 。
上海市宜川中学2020-2021学年高三上学期12月月考数学试题
上海市宜川中学2020-2021学年高三上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{1,0,4}A =-，{}2a B =，若B A ⊆，则实数a 的值为________． 2．函数3lg 2x y x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为________． 3．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S =____．4．已知直线l 经过点()且方向向量为()2,1-，则原点O 到直线l 的距离为______.5．已知{}n a 是等比数列，14a =，22a =，()*12n n S a a a n =+++∈N ，则lim n n S →∞=________． 6．若22n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中的常数项为________．7．已知2παπ<<，3sin22cos αα=，则cos()απ-=________．8．在ABC ∆中，6a b +=，6C π∠=，则ABC ∆的面积的最大值是________．9．在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则的AE BF ⋅最小值为____．10．如图，一个球形广告气球被一束入射角为的平行光线照射，其投影是一个最长的弦长为米的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是___________2m .11．已知函数()222()41010x x f x x x a --=-++有唯一零点，则a 的值为________．12．已知2sin (,,1)cos a S a a a θθθ-=∈>-R ，则S 的取值范围是________．二、单选题 13．设α是平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）A ．m ，n 在平面α上，若l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥B ．若l m ⊥，l n ⊥，则//m nC ．m 在平面α上，若n α⊥，l n ⊥，则//l mD ．若l α⊥，n α⊥，则//l n 14．“0a ≤”是“函数2()f x ax x =+在区间(0,)+∞内单调递增”的（ ）A ．必要非充分条件B ．充分非必要条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 15．某次电影展，有14部参赛影片，组委会分两天在某一影院播映这14部电影，每天7部，其中有2部4D 电影要求不在同一天放映，下列不能作为排片方案数的计算式的是（ ）A ．111214712P P PB ．67712772C P P C ．1112147122P P PD ．14212147122P P P - 16．已知共有()*k k ∈N 项的数列{}n a ，12a =，定义向量()1,n n n c a a +=，(,1)(1,2,,1)n d n n n k =+=-，若n n c d =，则满足条件的数列{}n a 的个数有（ ）个．A ．2B ．kC ．12k -D ．(1)22k k -三、解答题17．设函数()22sin cos (0)3f x x x x πωωωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭的最小正周期为π． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求方程1()2f x =的解集． 18．设a ∈R ，函数10()101x x a f x +=+． （1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若4()4a f x +<对任意x ∈R 成立，求a 的取值范围． 19．用一个半径为12厘米圆心角为23π的扇形纸片P AD 卷成一个侧面积最大的无底圆锥（接口不用考虑损失），放于水平面上．（1）无底圆锥被一阵风吹倒后（如图1），求它的最高点到水平面的距离；（2）扇形纸片P AD 上（如图2），C 是弧AD 的中点，B 是弧AC 的中点，卷成无底圆锥后，求异面直线P A 与BC 所成角的大小．20．已知椭圆2214x y +=，A 是它的上顶点，点()*,n n P Q n N ∈各不相同且均在椭圆上.（1）若11,P Q 恰为椭圆长轴的两个端点，求11APQ∆的面积； （2）若0n n AP AQ ⋅=，求证：直线n n P Q 过一定点； （3）若11n n P Q y y n==-，n n AP Q ∆的外接圆半径为n R ，求lim n n R →∞的值. 21．已知数列{}n a ，11a =，{}n a 的前n 项和为n S ． （1）若12n n a a +-=，()*n ∈N ，求证：22111111n n n n a a a a -+-++>+，其中3n ≥，*n ∈N ； （2）若对任意*n ∈N 均有131n n a a +=-，求{}n S 的通项公式；（3）若对任意*n ∈N 均有11n n n a a a +=+，求证：234n n S S -<．参考答案1．2【解析】【分析】由题意可得24a =，从而可求实数a 的值．【详解】解：∵{1,0,4}A =-，{}2a B =，若B A ⊆， ∴24a =，∴2a =．故答案为：2．【点睛】本题考查集合关系中的参数取值问题，关键在于理解集合间的关系，属于基础题 2．(0,3)【分析】利用对数的真数大于0，列不等式求解即可.【详解】 解：由已知302x x->，即()230x x ->，解得：03x <<， 故答案为：(0,3).【点睛】本题考查具体函数的定义域问题，是基础题.3．14【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a 1=﹣4，d=2，由此能求出S 7．【详解】∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=0，a 6+a 7=14，∴111205614a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩， 解得a 1=﹣4，d=2，∴S 7=7a 1+762d ⨯=﹣28+42=14． 故答案为14．【点睛】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．1【解析】直线的方向向量为()2,1-，所以直线的斜率为12-，直线方程为20x y +=，1=，故答案为1.5．8【分析】先求出等比数列{}n a 的公比，再利用无穷等比数列各项和公式求解即可.【详解】 解：由已知，等比数列的公比2112a a q ==， 14lim 81112n n a S q →∞===--∴， 故答案为：8.【点睛】本题考查无穷等比数列的各项和公式，是基础题.6．240【分析】根据题意有3729n =，求出n 的值，即可求出二项展开式的通项，进而可求常数项.【详解】解：令1x =得232279nn x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，解得6n =，26222n x x x x =⎛⎫⎛⎫∴++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 其二项展开式的通项为：()6212316622rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令1230r -=，得4r =，444162240T C +=⋅=，所以展开式中的常数项为240，故答案为：240.【点睛】本题考查二项式系数的性质，要注意正确利用二项展开式的通项.7．3【解析】【分析】根据三角函数的倍角公式，利用诱导公式进行化简即可．【详解】解：由3sin22cos αα=，得6sin cos 2cos a a a =，解得1sin 3a =，,cos()cos 23a a a πππ<<∴-=-==，故答案为：3． 【点睛】本题主要考查三角函数值的计算，灵活应用倍角公式和诱导公式是解决本题的关键． 8．94【分析】 由条件可得ABC ∆的面积1S sin 2ab C =⋅，再利用正弦函数的值域、基本不等式求得S 的最大值．【详解】解：在ABC ∆中，∵6a b +=，6C π∠=，∴ABC ∆的面积2111119sin sin 922644244a b S ab C ab ab π+⎛⎫=⋅=⋅=≤⨯=⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当3a b ==时取等号， 故答案为：94． 【点睛】本题主要考查三角形的面积，基本不等式的应用，属于基础题．9．-3【分析】据题意可设E （0，a ），F （0，b ），从而得出|a ﹣b|=2，即a=b +2，或b=a +2，并可求得2AE BF ab ⋅=-+，将a=b +2带入上式即可求出AE BF ⋅的最小值，同理将b=a +2带入，也可求出AE BF ⋅的最小值．【详解】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴2EF a b =-=；∴a=b+2，或b=a +2；且()()12AE a BF b ==-，，，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a=b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-； ∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b=a +2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．10．754π【解析】试题分析：由椭圆的最长的弦长为米，知椭圆的25a =，设气球的半径为R ，入射角为的平行光线与底面所成角就为60︒，则有2sin602a R ︒=，即4R =，从而气球的表面积为27544R ππ=2m . 考点：球及球的表面积计算.11．2【分析】通过计算可得函数()f x 关于2x =对称，则必有(2)0f =，进而可得a 的值.【详解】解：()222()41010x x f x x x a --=-++()()222222(4)(4)4(4)101041010x x x x f x x x a x x a ----∴-=---++=-++ ()(4)f x f x ∴=-，∴函数()f x 关于2x =对称，若函数()222()41010x x f x x x a --=-++有唯一零点，则该零点必为2，即(2)0f =，()2222224210100a --∴-⨯++=解得2a =，故答案为：2．【点睛】本题考查函数的对称性和函数零点个数的关系，轴对称函数如果与x 轴只有一个交点，则该交点必在对称轴上，本题难度不大.12．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】 将2sin cos a S a θθ-=-转化为点(,2)a a 与点(cos ,sin )θθ的连线斜率，而点(,2)a a 在2(1)y x x =>上，点(cos ,sin )θθ在221x y +=上，利用图像可观察出S 的取值范围.【详解】 解：2sin cos a S a θθ-=-等价于点(,2)a a 与点(cos ,sin )θθ的连线斜率， 点(,2)a a 在2(1)y x x =>上，点(cos ,sin )θθ在221x y +=上，如图：观察图像，当过点(1,2)的直线和圆相切，且斜率存在时，斜率最小，无最大值， 设该直线为(1)2y k x =-+，即20kx y k --+=，1=，解得：34k =故S 的取值范围3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭， 故答案为：3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭【点睛】 本题考查分式型式子的最值问题，利用数形结合转化为斜率问题，是中档题. 13．D【分析】在正方体中找反例，对四个选项一一验证即可．【详解】如图：在正方体中，,AB DC 在平面ABCD 上，,,AD AB AD DC ⊥⊥但AD 与面ABCD 不垂直，故A 错误；在正方体中，11,,AA AB AA AD ⊥⊥但AB 与AD 不平行，故B 错误；在正方体中，AB 在平面ABCD 上，1AA ⊥面ABCD ，1AD AA ⊥，但AD 与AB 不平行，故C 错误；垂直于同一个平面的两条直线平行，故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查线面，面面平行，垂直的相关性质与判定，可以将问题放在正方体中研究，既方便又直观，对排除错误选项有很大帮助. 14．D 【分析】针对函数2()f x ax x =+，对0a =，0a >，0a <分别讨论其单调性，然后再判断充分性和必要性. 【详解】解：对于函数2()f x ax x =+，令当0a =时，()f x x =，其在区间(0,)+∞内单调递增，当0a >时，因为(0)0f =，1()0f a -=，又2211()24ax x a x a a+=+-， 故2()f x ax x =+在区间(0,)+∞上单调递增；当0a <时，因为(0)0f =，1()0f a -=，又2211()24ax x a x a a+=+-，故2()f x ax x =+在区间1(0,)2a -和1(,)a-+∞上单调递增， 综上：“0a ≤”是“函数2()f x ax x =+在区间(0,)+∞内单调递增”的既非充分也非必要条件， 故选：D . 【点睛】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查含绝对值的二次函数的单调性的判断，关键是要判断对称轴，和二次函数的零点的位置，考查了学生计算能力，是中档题． 15．C 【分析】利用排列组合的知识，逐一分析选项的意义，并判断对错. 【详解】解： 设其中2部4D 电影，一部是电影m ，一部是电影n ， 对A ：第一步确定电影m 的放映有114P 种，第二步由于电影m 放映的确定，导致放映电影m 那天不能再放映电影n ，故电影n 的放映有17P 种，第三步剩下的12部电影随便安排放映，有1212P 种，根据分步乘法原理共有111214712P P P 种，故A 正确，则C 不正确； 对B ：第一步确定电影m 和电影n 在哪天播映有2种，第二步从除去电影m 和电影n 之外的12部电影中选6部放在第一天播映有612C 种，剩下的6部自然就在第二天播映，第三步确认第一天电影的播映顺序有77P 种， 第四步确认第二天电影的播映顺序有77P 种，根据分步乘法原理共有67712772C P P 种，故B 正确；对D ：如果电影m 和电影n 在同一天播映， 第一步确定电影m 和电影n 在哪天播映有2种，第二部从电影m 和电影n 播映那天的7个位置中选两个位置播映电影m 和电影n 有27P 种，第三步除去电影m 和电影n 之外的12部电影随便播映有1212P 种，根据分步乘法原理如果电影m 和电影n 在同一天播映共有2127122P P 种，如果14部电影的播映没有任何时间要求共有1414P 种，则电影m 和电影n 不在同一天播映有14212147122P P P -，故D 正确，故选：C. 【点睛】本题考查带有限制条件的排列组合知识，关键是要理解每一个选项的意义，是中档题. 16．C 【分析】通过向量的模相等，推出n a 与1n a +的关系，通过递推关系式，推出 222211n a a n =-+，n 为奇数，222222n a a n =-+，n 为偶数，然后判断满足条件的数列{}n a 的个数．【详解】解：由||||n n c d =，可知，22221(1)n n a a n n ++=++，即()22221(1)n n a a n n+-+=--，则222211(1)(1)n n a n a n +--+=--， 推得222211,n a a n n =-+为奇数 222222,n a a n n =-+为偶数另外由11c d =可以得出21a =或1- 由上可看出，2n a 有唯一解，所以n a 有互为相反数的两解（除了已知的1a ） 故n a 个数为12k -． 故选：C ． 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，向量的模的求法，考查计算能力． 17．（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2）,124ππ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.【分析】（1）将函数()f x 化简整理为()cos 26f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，利用周期求出ω，然后令222,6k x k k Z ππππ-+≤-≤∈，求出x 的范围即为单调增区间；（2）通过,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求出26x π-的范围，进而可求出方程1()2f x =的解.【详解】解：()22sin cos 3f x x x x πωωω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()2cossin 2sin )sin 233f x x x x ππωωω∴=+-32sin 2sin 222x x x ωωω=+-1cos 2sin 222x x ωω=+ cos 26x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭由已知22ππω=，得1ω= 故()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）令222,6k x k k Z ππππ-+≤-≤∈，解得：5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， ()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈； （2）,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，752666x πππ∴-≤-≤，1()2f x =，263x ππ∴-=-或263x ππ-=，即12x π=-或4x π=，所以方程1()2f x =的解集为,124ππ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查cos()y A x ωϕ=+的性质及三角方程，考核学生计算能力，是基础题.18．（1）当1a =时，偶函数；当1a =-时，奇函数；当1a ≠±时，非奇非偶函数；（2）40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）求出()f x -，通过讨论()()f x f x -=，()()f x f x -=-恒成立时a 的值来确定函数()f x 的奇偶性；（2）将4()4a f x +<恒成立转化为(310)4xa -<恒成立，讨论3100x ->，3100x -<，3100x -=分别恒成立时a 的取值范围.【详解】 解：（1）10()101x xaf x +=+， 10110()101101x xx x a a f x --++⋅∴-==++， 当10110101101x x x xa a ++⋅=++恒成立时，有10110x xa a +=+⋅，即10(1011)x x a -=-恒成立， 1a 时，()f x 为偶函数；当10110101101x x x xa a ++⋅=-++恒成立时，有10110x xa a +=--⋅，即11()1010x x a -+=+恒成立，1a ∴=-时，()f x 为奇函数；当1a ≠±时，非奇非偶函数；（2）4()4a f x +<，整理得：(310)4x a -<， 因为4()4a f x +<对任意x R ∈成立，min 31004310x x a ⎧->⎪∴⎨⎛⎫< ⎪⎪-⎝⎭⎩①且max 31004310x x a ⎧-<⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪-⎝⎭⎩②且310004x a ⎧-=⎨⋅<⎩③ 对于①，因为0103x <<，所以444310303x >=--，故43a ≤；对于②，因为103x >，所以40310x<-，故0a ≥； 对于③，a R ∈， 综上所述：40,3a ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，以及不等式的恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是关键，本题难度较大. 19．（1）3；（2）rccos6a . 【分析】（1）如图，设PNM 为轴截面，过点N 作NE PM ⊥于点E ，在PNM ∆中求出NE 的长度即为所求；（2）先求出PA BC ⋅，利用夹角公式求出cos ,PA BC <>，进而可得异面直线P A 与BC 所成角的大小. 【详解】 （1）如图所示，设PNM 为轴截面，过点N 作NE PM ⊥于点E ， 则221223NM ππ⋅=⋅，解得8NM =，所以在PNM ∆中，PO ===NE PM PO NM ∴⋅=⋅PO NM NE PM ⋅∴===，即无底圆锥被一阵风吹倒后（如图1）， （2）如图：因为B 是弧AC 的中点，所以三角形ABC 为等腰直角三角形，则由（1）得8,AC BC BA ===，且PO ⊥面ABC ，()cos135416PA BC PO OA BC PO BC OA BC OA BC ⎛⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅⋅=⨯=- ⎝⎭cos ,612PA BC PA BC PA BC⋅∴<>===-⨯⋅,∴异面直线P A 与BC 所成角的大小为rccos 6a . 【点睛】本题考查棱锥内部的长度和角度的相关计算，要对棱锥的结构特点相当熟悉，其中对于异面直线所成的角，可以不用建系，利用数量积的定义进行求解，考查了学生空间想象能力和计算能力，是中档题.20．（1）2（2）证明见解析（3）4 【分析】（1）求得11(0,1),(2,0),(2,0)A P Q -，由三角形的面积公式，即可求解11APQ ∆面积；（2）设():1n n P Q y l kx m m =+≠，联立方程组，求得1212,x x x x +，又由0n n AP AQ ⋅=，求得35m =-，得到3:5n n P Q y kx l =-，即可得到答案. （3）由题意得：1n P n ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，求得线段n AP 的中垂线方程，求得外接圆圆心的纵坐标为332y n=-+，即可求解. 【详解】（1）由题意，椭圆2214x y +=，可得11(0,1),(2,0),(2,0)A P Q -，故的11APQ ∆面积为11422⨯⨯=. （2）根椐对称性，定点必在y 轴上，利用特殊值可计算得定点为30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设():1n n P Q y l kx m m =+≠，()11,n P x y ，()22,n Q x y ，联立方程组2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()()222148410k x kmx m +++-=， 可得()122212208144114km x x k m x x k ⎧⎪∆>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-⎪=+⎩，因为90n n P AQ ∠=︒，所0n n AP AQ ⋅=，即12121210x x y y y y +--+=， 可得()()()()12121210x x kx m kx m kx m kx m +++-+-++=， 即()()()()2212121110kx xk m x x m ++-++-=，可得()()5310m m +-=，又因为1m ≠，所以35m =-， 所以3:5n n P Q y kx l =-，可得必过定点30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭.（3）易知n n AP Q ∆是等腰三角形，外接圆圆心在y 轴上，由题意得：1n P n ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 线段n AP的中垂线为：112y x n ⎛⎫--= ⎪⎝⎭ 故外接圆圆心的纵坐标为：332y n =-+，所以3313422n R n n ⎛⎫=--+=- ⎪⎝⎭， 所以3lim lim 442n n n R n →∞→∞⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及几何性质，以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，同时考查了直线过定点问题，以及三角形的外接圆和等腰三角形的性质的应用，着重考查了推理与运算能力，以及分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于中档试题.21．（1）证明见解析 ；（2）()*3142n n n S n -=+∈N ；（3）证明见解析. 【分析】（1）求出数列的通项公式，代入所证明的不等式转化求解即可； （2）利用递推关系，说明12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为12，公比为3的等比数列，然后求解即可； （3）化简数列的递推关系式，得出1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为1的等差数列，求出{}n a 的通项公式，用倒序相加法求数列的前n 项和，利用（1）结论进行放缩，然后证明即可. 【详解】解：（1）由已知{}n a 为等差数列，且21n a n =-，22111111n n n n a a a a -+-+⎛⎫∴+-+ ⎪⎝⎭111125232321n n n n ⎛⎫=+-+ ⎪-+-+⎝⎭4242(25)(23)(23)(21)n n n n n n --=--+-+()22(25)(23)(23)(21)4415443120n n n n n n n n -+--+=-----=-<，即(25)(23)(23)(21)n n n n -+<-+42420(25)(23)(23)(21)n n n n n n --->-+-+22111111n n n n a a a a -+-+∴+>+； （2）111131322n n n n a a a a ++⎛⎫=-⇒-=- ⎪⎝⎭ 11122a -= 所以12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为12，公比为3的等比数列， 故1312n n a -+=，()0121111313131233332213224nn n n n n S n n n -⎛⎫⎛⎫---+=++++=+=+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，3124n n nS -+∴=； （3）111111n n n n na a a a a ++=⇒=++ 即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为1的等差数列， 故11n n n a a n=⇒=， 记2111122n n n T S S n n n=-=++⋯+++， 由（1）知11112112n k n k n n+≤++-++，1k n ≤≤ 证明：()()()31311111112+122+12n k n n n n k n n k n n k n ⎛⎫+-+=- ⎪--⎝⎭++++++ 又()()()1(1)()2+102n n k k n n k n k -+-+=--≥()()()02+112313n k n n n n k n ∴-++≤-+， 即11112112n k n k n n+≤++-++， 故111122n T n n n=++⋯+++ 1111221221n T n n n n =++++--+ 两式相加得11111121222121n T n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋯++ ⎪ ⎪ ⎪++-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111313112121211122n n n n n n n n n ⎛⎫≤+=+=-+=-< ⎪++++⎝⎭+- 34n T ∴<， 即234n n S S -<. 【点睛】 本题考查等差等比数列的证明及判断，利用放缩法证明不等式，利用倒序相加法求和，考查了学生的计算能力及分析能力，是一道难度较大的题目.。
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宜川中学2020学年度第一学期高三数学期中考试卷2020.11一． 填空题（本大题满分48分）1.判断“若C B A ⋃⊆,则C A B A ⊆⊆或.”为______命题.(填“真”，“假”)2.已知f(x 5)=lgx,则f(2)=_________.3.方程9x -31+x -4=0的解是______________.4.在等差数列{}n a 中,a 4+a 5+a 6+a 7+a 8=180,且a 2=12,则a 10=__________.5.若数列{}n a 3log 为等差数列，且数列前10项的和为10，则=65a a ______.6.计算:lim +∞→n nn n2333312++⋅⋅⋅+++=_____________. 7.某单位安排7位工作人员在周一到周七值班，每人值班一天，其中甲和乙二人不安排在周一和周二，则不同的安排方法共有________种.(用数值表示)8.为迎接2020年世博会召开,营造良好的生活环境,上海市政府致力于城市绿化,现有甲,乙,丙,丁4个工程队承包了5个不同的绿化工程,每个工程队至少承包1项工程,那么工程甲承包两项工程的概率是__________. 9.(理)在5)22(y x -的展开式中，系数大于－1的项共有_________项. (文)设y x z -=,变量y x ,满足⎩⎨⎧≥-≥-+0203y x y x ,则z 的最小值为_________.10.已知f(x)是定义在R 上的奇函数,当x <0时,f(x)=(21)x .设f(x)的反函数f 1-(x),则f1-(0)+f1-(8)=________.11.已知集合A n ={}N n m m x x x n n ∈+=<<+,,17,221且,则A 6中各元素之和是_______。
12．对于实数x ,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则函数f(x)=[]x 称为高斯函数或取整函数.若N n n f a∈=),3(,n S 为数列{}n a 的前n 项的和,n S 3=___________. 二．选择题（本大题满分16分）13.设集合S=,,121⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈-⎪⎭⎫⎝⎛=R x y y xT={})2(log 2+=x y y ,则S ⋃T=( ).(A)S (B)T (C)R (D)[)+∞-,114．已知数列{}n a 中,a n =(－１)1+n (4n －3)，其前ｎ项的和为S n，则S22－S11=()(A)-85 (B)85 (C)-65 (D)6515．“0≥a ”是“函数f(x)=xax x +-22,对任意x ∈[)+∞,3,f(x)>0恒成立”的（ ）(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件 16. 已知函数f （x ）=b ax x +-22，x R ∈.给出下列命题:① f(x)必是偶函数；②f(0)=f(2)时,f （x ）的图像必关于直线x=1对称；③若02≤-b a ,则f （x ）在区间[)+∞,a 上是增函数；④f （x ）有最大值b a -2.其中正确的命题个数是______________.(A)0 (B)1 (C)2 (D)3.解答题(本大题满分86分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤.17.(本题满分12分)已知函数a ax x x f 32)(2+-=的定义域为),1(+∞，且存在最小值2. （1）求a 的值。
（2）令xx f x g )()(=，求函数)(x g y =的最小值. 解:18.(本题满分12分)设数列{}n a 是等差数列，11=a ，前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，42=b ，其前n 项和为n T ，已知+∞→n lim n T =16，1225+=T S .(1)分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若n n b b b M ⋅⋅⋅⋅=21,求n M 的最大值及此时n 的值. 解:19.(本题满分14分)已知集合A={}0,0)2(22>>--+b b x ab ax x ,B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-135x x ,若B ⊆A, 求b a ,的取值范围. 解:20.(本题满分14分)已知函数f （x ）=53131--xx , g （x ）=53131-+x x ,(1)判断函数f （x ）的奇偶性,求出f （x ）的单调区间,并分别说明理由.(2)分别计算)2()2(5)4(g f f ⋅-和)3()3(5)9(g f f ⋅-的值, 由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式,并加以证明. 解:21.(本题满分16分)已知某企业的原有产品每年投入x 万元,可获得的年利润表示为函数20)30(101)(2+--=x x P (万元).现准备开发一个回报率高,科技含量高的新产品从“十一五”计划（此计划历时5年）的第一年开始,用两年的时间完成.这两年,每年从100万元的生产准备金中拿出80万元投入新产品的开发,从第三年开始这100万元就可全部用于新旧两种产品的生产投入.经预测,新产品每年投入x 万元,可获得的年利润表示为函数)100(48)100(109)(2x x x Q -+--=(万元). (1)为了解决资金缺口,第一年初向银行贷款1000万元,年利率为5.5%(不计复利),第五年底一次性向银行偿还本息共计多少万元?(2)从新产品投入生产的第三年开始,从100万元的生产准备金中,新旧两种产品各应投入多少万元,才能使后三年的年利润最大?(3)从新旧产品的五年最高总利润中拿出70%来,能否还清对银行的欠款? 解:22．(本题满分18分)设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和n S >0（n=1，2，3，…）. 设1223++-=n n n a a b ，记{}n b 的前n 项和为n T . (1)求q 的取值范围. (2)用q 和n S 表示n T . (3)试比较n S 和n T 的大小. 解:[参考答案]1．假 2.2lg 51 3.4log 3 4.60 5.9 6.237.2400 8.419.)(1)(4文理 10.3- 11.891 12.)(232N n n n ∈- 13．C 14.C 15.A 16.B17.解:⑴223)()(a a a x x f -+-=, 由题意得 1232>=-a a a 且,,2)(1或舍=∴a 得2=a . ⑵f(x)=x 2-4x+6 ∴46246)(-≥-+=xx x g 当且仅当),1(6+∞∈=x 取到最小值462-18.解：⑴设{b n }公比为q ，由题意得|q|<1且q≠0，∴qq b q b T n n )1(1lim 21-=-=∞→ ∴0142=+-q q 即8,211==b q ，∴n n b -=42 设{a n }公差为d ，由1225+=T S 得d=2，∴12-=n a n⑵27)]4(123[41232222222n n n n n M +--+⋅⋅⋅+++-==⋅⋅⋅⋅⋅=∴n=3或4时，n n 72+-有最大值12即M n 最大值为6426=.19.解:由135->-x 得032>-+x x 即(x-3)(x+2)>0 ∴),3()2,(+∞--∞=Y B }0,0)1)(2(|{>>+-=b ax b x x A 当a=0时，⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞=,2bA 不满足AB ⊆当a<0时，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a b A 1,2或⎪⎭⎫⎝⎛-2,1b a 不满足A B ⊆ 当a>0时，⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-=,21,b a A Y 不满足A B ⊆则⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-3221b a 即21≥a 且60≤<b综上，a 、b 的取值范围为21≥a 且60≤<b20.解：⑴函数f(x)的定义域为),0()0,(+∞-∞Y ，任取),0()0,(+∞-∞∈Y x)(55)()()(31313131x f x x x x x f -=--=---=---∴)(x f 为奇函数任取0<x 1<x 2，)(51)()(31231231131121--+--=-x x x x x f x f⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=312311312311312311312311312311115151x x x x x x x x x x ∵3123110x x << ∴)()(21x f x f < ∴)(x f 在（0，+∞）上为单调递增 ∵f(x)为奇函数 ∴f(x)在)0,(-∞上为单调递增。
⑵f(4)-5(f(2)·g(2)=0, f(9)-5f(3)·g(3)=0 ∴f(x 2)-5f(x)·g(x)=0 证明：5)(32322--=xx x f ，)(5125))((5)()(5323231313131----=-+⨯=x x x x x x x g x f∴0)()(5)(2=-x g x f x f21.解：⑴1000+1000×5.5%×5=1275（万元）⑵设从第三年起每年旧产品投入x 万元，新产品投入100-x 万元，则每年的年利润)]100100(48)100100(109[]20)30(101[)100()(22x x x x Q x P y +-++--++--=-+=659)27(2+--=x . 所以投入旧产品27万元，投入新产品73万元时，每年可获最大利润659万元。
⑶因为P(x)在（0，30）上为增函数，所以前两年利润为20)20(21==P y （万元） 后三年利润19776593)]73()27([32=⨯=+=Q P y （万元） 由(20+1977)×70%=1397.9>1275, 故能还清对银行的欠款.22.解：⑴由题意得0,011≠>=q S a . 当1=q 时, 01>=na S n当1≠q 时, 01)1(1>--=q q a S n n 即011>--qq n得⎩⎨⎧>->-0101nq q ① 或 ⎩⎨⎧<-<-0101nq q ② 解①, n 可为奇数亦可为偶数, 得11<<-q . 解②q>1 综上, q 的取值范围为),0()0,1(+∞-Y⑵n n n n a q q q a q a b )23(2322-=-= 故n n S q q T )23(2-=. ⑶n n n n n n S q q S q q S S q q S T )21)(2()123()23(22+-=--=--=-.∵0>n S , 且01<<-q 或0>q . ∴当211-<<-q 或2>q 时, 0>-n n S T 即n n S T >. 当221<<-q 且0≠q 时, 0<-n n S T 即n n S T <. 当21-=q 或2=q 时, 0=-n n S T 即n n S T =.。