3.3.2 简单的线性规划问题ppt
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课件8：3.3.2 简单的线性规划问题
解：设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，
x＋y≤10， 由题意知x0≥.30x，＋0.1y≤1.8，
y≥0.
目标函数 z＝x＋0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即
可行域．
作直线 l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线 l0 的一组直线 x＋0.5y ＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的 M 点且与直线 x＋0.5y＝0 的距离最大，这里 M 点是直线 x＋y＝ 10 和 0.3x＋0.1y＝1.8 的交点． 解方程组x0＋.3xy＋＝01.01，y＝1.8， 得xy＝＝46，，
解：设此工厂应生产甲、乙两种产品 x kg、y kg，利润 z 万元，
9x＋4y≤360， 4x＋5y≤200， 则依题意可得约束条件：3x＋10y≤300， x≥0， y≥0.
利润目标函数为 z＝7x＋12y.
作出不等式组所表示的平面区域，即可行域(如下图)．
作直线l：7x＋12y＝0，把直线l向右上方平移至l1位置时，直 线l经过可行域上的点M时，此时z＝7x＋12y取最大值．
【答案】6
9 5
题型三 线性规划的实际应用 例3：某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙 项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损 率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要 求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两 个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
解方程组x7＋x＋2y1＝0y3＝，17， 得 M(1,1)． 故当 x＝1，y＝1 时，zmin＝8.
2x＋y≥4， 变式训练 1：设 x，y 满足x－y≥－1， 则 z＝x＋y( )
人教版高中数学必修5第三章不等式《3.3.2 简单的线性规划问题》教学PPT
在线性约束条件下，求目标函数最小值.
思考5：作可行域，使目标函数取最小
值的最优解是什么？目标函数的最小值
为多少？ 28x＋21y=0
7x＋14y＝6
y
A最最优小解值1(671.,
4 7
)，
7x 7 x
7y 5 14 y 6
14x 7 y 6
x 0, y 0
x＝4
思考3：图中阴影区域内任意一点的坐
标都代表一种生产安排吗？
y
x 2y 8
0 x 4 0 y 3 x N , y N O
y＝3 x
x＋2y＝8 x＝4
阴影区域内的整点（坐标为整数的点） 代表所有可能的日生产安排.
思考4：若生产一件甲产品获利2万元， 生产一件乙产品获利3万元，设生产甲、 乙两种产品的总利润为z元，那么z与x、 y的关系是什么？
3.3.2 简单的线性规划问题
第一课时
问题提出
1.“直线定界，特殊点定域”是画二元 一次不等式表示的平面区域的操作要点， 怎样画二元一次不等式组表示的平面区 域？
2.在现实生产、生活中，经常会遇到资 源利用、人力调配、生产安排等问题， 如何利用数学知识、方法解决这些问题， 是我们需要研究的课题.
探究（一）：线性规划的实例分析 t
5730
【背景材料】某工厂用A、B两种配件 生产甲、乙两种产品，每生产一件甲 产品使用4个A配件耗时1h；每生产一 件乙产品使用4个B配件耗时2h.该厂每 天最多可从配件厂获得16个A配件和12 个B配件，每天工作时间按8h计算.
思考1：设每天分别生产甲、乙两种产 品x、y件，则该厂所有可能的日生产 安排应满足的基本条件是什么？
2x y 15
思考5：作可行域，使目标函数取最小
值的最优解是什么？目标函数的最小值
为多少？ 28x＋21y=0
7x＋14y＝6
y
A最最优小解值1(671.,
4 7
)，
7x 7 x
7y 5 14 y 6
14x 7 y 6
x 0, y 0
x＝4
思考3：图中阴影区域内任意一点的坐
标都代表一种生产安排吗？
y
x 2y 8
0 x 4 0 y 3 x N , y N O
y＝3 x
x＋2y＝8 x＝4
阴影区域内的整点（坐标为整数的点） 代表所有可能的日生产安排.
思考4：若生产一件甲产品获利2万元， 生产一件乙产品获利3万元，设生产甲、 乙两种产品的总利润为z元，那么z与x、 y的关系是什么？
3.3.2 简单的线性规划问题
第一课时
问题提出
1.“直线定界，特殊点定域”是画二元 一次不等式表示的平面区域的操作要点， 怎样画二元一次不等式组表示的平面区 域？
2.在现实生产、生活中，经常会遇到资 源利用、人力调配、生产安排等问题， 如何利用数学知识、方法解决这些问题， 是我们需要研究的课题.
探究（一）：线性规划的实例分析 t
5730
【背景材料】某工厂用A、B两种配件 生产甲、乙两种产品，每生产一件甲 产品使用4个A配件耗时1h；每生产一 件乙产品使用4个B配件耗时2h.该厂每 天最多可从配件厂获得16个A配件和12 个B配件，每天工作时间按8h计算.
思考1：设每天分别生产甲、乙两种产 品x、y件，则该厂所有可能的日生产 安排应满足的基本条件是什么？
2x y 15
3.3.2简单的线性规划问题ppt
2
作出约束条件所表示的平面区域，如图所示
2
4
6
8
将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部 分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日 生产安排，即当点P（x,y)在上述平面区域中时，所 安排的生产任务x,y才有意义。
4
【进一步】： 若生产一件甲产 品获利2万元，生 产一件乙产品获 利3万元，采用哪 种生产安排获得 利润最大？
经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)时，t=x+y=12是最优解.答:(略)
例7、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车 皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐 15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产 这两种混合肥料。若生产1车皮甲种肥料利润为10000 元；生产1车皮乙种肥料利润为5000元。分别生产甲、 乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？ 解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合 肥料的车皮数，于是满足以下条件： y
三、例题 例5、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提 供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1千克食物B含有 0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪， 花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求， 同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少 kg？
工厂的厂长，你将会面对 1 4 0 生产安排、资源利用、人 力调配的问题 …… 4 2 0
x, y 0
作出约束条件所表示的平面区域，如图所示
设甲、乙两种产品的日生产分别为 x , y 件，
作出约束条件所表示的平面区域，如图所示
2
4
6
8
将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部 分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日 生产安排，即当点P（x,y)在上述平面区域中时，所 安排的生产任务x,y才有意义。
4
【进一步】： 若生产一件甲产 品获利2万元，生 产一件乙产品获 利3万元，采用哪 种生产安排获得 利润最大？
经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)时，t=x+y=12是最优解.答:(略)
例7、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车 皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐 15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产 这两种混合肥料。若生产1车皮甲种肥料利润为10000 元；生产1车皮乙种肥料利润为5000元。分别生产甲、 乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？ 解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合 肥料的车皮数，于是满足以下条件： y
三、例题 例5、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提 供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1千克食物B含有 0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪， 花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求， 同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少 kg？
工厂的厂长，你将会面对 1 4 0 生产安排、资源利用、人 力调配的问题 …… 4 2 0
x, y 0
作出约束条件所表示的平面区域，如图所示
设甲、乙两种产品的日生产分别为 x , y 件，
3.3.2 简单的线性规划问题 课件
3.3.2
简单的线性规划问题
线性规划问题的有关概念： 1．线性约束条件：不等式组是一组对变量x、y的约束条件， 这组约束条件都是关于x、y的 一次不等式 ．
2．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解
析式，
线性目标函数是x、y的
一次
解析式．
条 件
3．线性规划问题：求线性目标函数在
线性约束
由约束条件画出可行域(如图6所示 )，为矩形 ABCD(包
括边界)．点C的坐标为(3,1)，z最大时，即平移y＝－ax时使直线在
y轴上的截距最大， ∴－a<kCD，即－a<－1，∴a>1.
[答案]
a>1
[评析 ]
这是一道线性规划的逆向思维问题．解答此类问题
必须要明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得， 运用数形结合的思想方法求解．
[解] 设隔出大房间 x 间，小房间 y 间，获得收 益为 z 元，则
18x＋15y≤180， 1000x＋600y≤8000， x≥0，y≥0，且x，y∈N， 6x＋5y≤60，① 即5x＋3y≤40，② x≥0，y≥0，且x，y∈N.
目标函数为 z＝200x＋150y， 画出可行域如右图 8 所示．
解析：如图3所示．
作出可行域，作直
线 l0： x＋ y＝ 0，平移 l0， 当 l0 过点 A(2,0) 时， z 有最 小值2，无最大值． 答案：B
x－y＋5≥0， [例 2] 设 x，y 满足条件x＋y≥0， x≤3.
(1)求 u＝x2＋y2 的最大值与最小值； y (2)求 v＝ 的最大值与最小值． x－5
(1)求目标函数 z＝2x＋3y 的最小值与最大值； (2)求目标函数 z＝3x－y 的最小值与最大值；
简单的线性规划问题
线性规划问题的有关概念： 1．线性约束条件：不等式组是一组对变量x、y的约束条件， 这组约束条件都是关于x、y的 一次不等式 ．
2．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解
析式，
线性目标函数是x、y的
一次
解析式．
条 件
3．线性规划问题：求线性目标函数在
线性约束
由约束条件画出可行域(如图6所示 )，为矩形 ABCD(包
括边界)．点C的坐标为(3,1)，z最大时，即平移y＝－ax时使直线在
y轴上的截距最大， ∴－a<kCD，即－a<－1，∴a>1.
[答案]
a>1
[评析 ]
这是一道线性规划的逆向思维问题．解答此类问题
必须要明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得， 运用数形结合的思想方法求解．
[解] 设隔出大房间 x 间，小房间 y 间，获得收 益为 z 元，则
18x＋15y≤180， 1000x＋600y≤8000， x≥0，y≥0，且x，y∈N， 6x＋5y≤60，① 即5x＋3y≤40，② x≥0，y≥0，且x，y∈N.
目标函数为 z＝200x＋150y， 画出可行域如右图 8 所示．
解析：如图3所示．
作出可行域，作直
线 l0： x＋ y＝ 0，平移 l0， 当 l0 过点 A(2,0) 时， z 有最 小值2，无最大值． 答案：B
x－y＋5≥0， [例 2] 设 x，y 满足条件x＋y≥0， x≤3.
(1)求 u＝x2＋y2 的最大值与最小值； y (2)求 v＝ 的最大值与最小值． x－5
(1)求目标函数 z＝2x＋3y 的最小值与最大值； (2)求目标函数 z＝3x－y 的最小值与最大值；
3.3.2简单的线性规划问题课件
x≥0，y≥0， ≥ ， ≥ ， 12x＋8y≥64， ＋ ≥ ， ＋ ≥ ， 6x＋6y≥42， ＋ ≥ ， 6x＋10y≥54，
x≥0，y≥0， ≥ ， ≥ ， 3x＋2y≥16， ＋ ≥ ， 即 ＋ ≥ ， x＋y≥7， ＋ ≥ 3x＋5y≥27.
作出
可行域如图， 可行域如图，
x－y＋2≥0， － ＋ ≥ ， － ＋ ≤ ， 束条件x－5y＋10≤0， ＋ － ≤ ， x＋y－8≤0，
的最大值和最小值分别为( 的最大值和最小值分别为( A．3，－ ，－11 ． ，－ C．11，－ ，－3 ． ，－
【思路点拨】 思路点拨】
解答本题可先画出可行域， 解答本题可先画出可行域，再平
1.(2010 ⋅ 吉林联考)若点(1,3) 和(−4， 2) 在直线 − 2x + y + m = 0的两侧，则m的取值范围是( C B. m = −5或m = 10 D. − 5 ≤ m ≤ 10 10 A. m < −5或m > 10 C. − 5 < m < 10
)
解析：由已知两点在直线的两侧， 即( m + 5)( m − 10) < 0，所以 − 5 < m < 10，选C. 则( 2 + 3 + m )( −8 − 2 + m ) < 0，
让目标函数表示直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移， ＋ ＝ 在可行域上平移 在可行域上平移， 让目标函数表示直线 由此可知z＝ 处取得最小值． 由此可知 ＝2.5x＋4y在B(4,3)处取得最小值． ＋ 在 处取得最小值 因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和 个单 个单位的午餐和3个单 因此，应当为该儿童预订 个单位的午餐和 位的晚餐，就可满足要求． 位的晚餐，就可满足要求．
课件3：3.3.2 简单的线性规划问题
最优解
M
y=3
x
x +2y-8=0
线性规划问题
有关概念
约束条件：由x、y的不等式（方程）构成的不等式组. 线性约束条件：约束条件中均为关于x、y的一次不等 式或方程. 目标函数：欲求最值的关于x、y的解析式. 线性目标函数：欲求最值的解析式是关于x、y的一次 解析式.
有关概念
可行解：满足线性约束条件的解（x，y）. 线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值 或最小值. 可行域：所有可行解组成的集合. 最优解：使目标函数达到最大值或 最小值 的可 行 解.
截距
z 3
最大,即z最大.
解方程组
x x
2y 4
8
0得
所以 zmax 2 x 3 y 14
M 4,2
答:每天生产甲产品4件,乙产品2件时,工厂可获最大 利润14万元.
认识名词
x 2y 8
44
x y
16 12
x
0
线性目标 y 0
函数
z 2x 3y
可行解
y
N O
可行域
x=4
解：设需截第一种钢板x张，第一种钢板y张，则
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0 ,x∈N y≥0 ,y∈N 目标函数为 z=x+y 作出可行域（如图）
y
调整优值法
15
目标函数z= x+y x+y =0
10 B(3,9)
8
C(4,8)
A(18/5,39/5)
6
4
2
0
2
4
可行域中的整点（5，2）使z =320x+504y取得最小值，
M
y=3
x
x +2y-8=0
线性规划问题
有关概念
约束条件：由x、y的不等式（方程）构成的不等式组. 线性约束条件：约束条件中均为关于x、y的一次不等 式或方程. 目标函数：欲求最值的关于x、y的解析式. 线性目标函数：欲求最值的解析式是关于x、y的一次 解析式.
有关概念
可行解：满足线性约束条件的解（x，y）. 线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值 或最小值. 可行域：所有可行解组成的集合. 最优解：使目标函数达到最大值或 最小值 的可 行 解.
截距
z 3
最大,即z最大.
解方程组
x x
2y 4
8
0得
所以 zmax 2 x 3 y 14
M 4,2
答:每天生产甲产品4件,乙产品2件时,工厂可获最大 利润14万元.
认识名词
x 2y 8
44
x y
16 12
x
0
线性目标 y 0
函数
z 2x 3y
可行解
y
N O
可行域
x=4
解：设需截第一种钢板x张，第一种钢板y张，则
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0 ,x∈N y≥0 ,y∈N 目标函数为 z=x+y 作出可行域（如图）
y
调整优值法
15
目标函数z= x+y x+y =0
10 B(3,9)
8
C(4,8)
A(18/5,39/5)
6
4
2
0
2
4
可行域中的整点（5，2）使z =320x+504y取得最小值，
3.3.2简单的线性规划问题(1).ppt1
3.3.2简单的线性规划问题（1）
y
o
x
1.课题导入
在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、 生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每 生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙 产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂 获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该 厂所有可能的日生产安排是什么？ 按甲、乙两种产品分别生产x、y件，由 已知条件可得二元一次不等式组
5 x＋3 y 1 5 1 y x＋ x－5 y 3
1.解：作出平面区域
y
A
o x C
y x x＋y 1 y － 1
z＝2x＋y
B
作出直线y=－2x＋z的 图像，可知z要求最大值， 即直线经过C点时。 求得C点坐标为（2，－1）， 则Zmax=2x＋y＝3
把z＝2x＋3y变形为
由上图可以看出，当实现直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M z 14 （4，2）时，截距的值最大 ，最大值为 ， 3 3
这时 2x+3y=14. 所以，每天生产甲产品 4 件，乙产品 2 件时， 工厂可获得最大利润14万元。
二、基本概念
Hale Waihona Puke 一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束 条件。 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因 为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值 y 问题，统称为线性规划问题。 4 可行域 最优解 满足线性约束的解
3
（x，y）叫做可行解。 由所有可行解组成 可行解 的集合叫做可行域。
y
o
x
1.课题导入
在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、 生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每 生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙 产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂 获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该 厂所有可能的日生产安排是什么？ 按甲、乙两种产品分别生产x、y件，由 已知条件可得二元一次不等式组
5 x＋3 y 1 5 1 y x＋ x－5 y 3
1.解：作出平面区域
y
A
o x C
y x x＋y 1 y － 1
z＝2x＋y
B
作出直线y=－2x＋z的 图像，可知z要求最大值， 即直线经过C点时。 求得C点坐标为（2，－1）， 则Zmax=2x＋y＝3
把z＝2x＋3y变形为
由上图可以看出，当实现直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M z 14 （4，2）时，截距的值最大 ，最大值为 ， 3 3
这时 2x+3y=14. 所以，每天生产甲产品 4 件，乙产品 2 件时， 工厂可获得最大利润14万元。
二、基本概念
Hale Waihona Puke 一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束 条件。 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因 为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值 y 问题，统称为线性规划问题。 4 可行域 最优解 满足线性约束的解
3
（x，y）叫做可行解。 由所有可行解组成 可行解 的集合叫做可行域。
3.3.2-简单的线性规划问题ppt(人教A版必修五)
2y－1≥0
上，点 Q 在
曲线 x2＋(y＋2)2＝1 上，求|PQ|的最小值．
课前探究学习
课堂讲练互动
课前探究学习
课堂讲练互动
题型三 线性规划的实际应用
【例3】 (2010·广东高考)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚 餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个 单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含 8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维 生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位 的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那 么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童 分别预订多少个单位的午餐和晚餐？ 审题指导
课前探究学习
课堂讲练互动
：在线性约束条件下，最优解唯一吗？ 提示：最优解可能有无数多个，直线l0：ax＋by＝0与可行 域中的某条边界平行时，求目标函数z＝ax＋by的最值， 最优解就可能有无数多个．
课前探究学习
课堂讲练互动
1．解决线性规划问题的一般方法 解决线性规划问题的一般方法是图解法，其步骤如下： (1)确定线性约束条件，注意把题中的条件准确翻译为不 等式组； (2)确定线性目标函数； (3)画出可行域，注意作图准确； (4)利用线性目标函数(直线)求出最优解； (5)实际问题需要整数解时，应调整检验确定的最优解(调 整时，注意抓住“整数解”这一关键点)．
课前探究学习
课堂讲练互动
x＋y≤300，
500x＋200y≤90 000， x≥0， y≥0.
x＋y≤300，
5x＋2y≤900， 即
x≥0， y≥0.
目标函数为z＝3 000x＋2 000y.作出可行域如图所示：
上，点 Q 在
曲线 x2＋(y＋2)2＝1 上，求|PQ|的最小值．
课前探究学习
课堂讲练互动
课前探究学习
课堂讲练互动
题型三 线性规划的实际应用
【例3】 (2010·广东高考)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚 餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个 单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含 8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维 生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位 的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那 么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童 分别预订多少个单位的午餐和晚餐？ 审题指导
课前探究学习
课堂讲练互动
：在线性约束条件下，最优解唯一吗？ 提示：最优解可能有无数多个，直线l0：ax＋by＝0与可行 域中的某条边界平行时，求目标函数z＝ax＋by的最值， 最优解就可能有无数多个．
课前探究学习
课堂讲练互动
1．解决线性规划问题的一般方法 解决线性规划问题的一般方法是图解法，其步骤如下： (1)确定线性约束条件，注意把题中的条件准确翻译为不 等式组； (2)确定线性目标函数； (3)画出可行域，注意作图准确； (4)利用线性目标函数(直线)求出最优解； (5)实际问题需要整数解时，应调整检验确定的最优解(调 整时，注意抓住“整数解”这一关键点)．
课前探究学习
课堂讲练互动
x＋y≤300，
500x＋200y≤90 000， x≥0， y≥0.
x＋y≤300，
5x＋2y≤900， 即
x≥0， y≥0.
目标函数为z＝3 000x＋2 000y.作出可行域如图所示：
数学必修五3.3.2简单的线性规划问题课件
找百宝箱
创设游戏 引入新课
探究问题 提炼方法
运用成果 规范步骤
变式演练 深入探究
课堂总结 布置作业
找百宝箱
游戏规则：在下面的两幅图中，每个整点处都有一个百宝箱.每个箱子内的 金币数（z）与它所在的横坐标（x）和纵坐标（y）有关，并且每幅图的 关系式各不相同.请在20秒的时间内找出金币数最多的箱子！例如：
播放时间 (min) 甲 乙 要求
广告时间 (min)
观众人数 （万）
创设游戏 引入新课
探究问题 探究问题 提炼方法 提炼方法
运用成果 课堂总结 变式演练 课堂总结 概括步骤变式演练 规范步骤 布置作业 形成概念深入探究 巩固提高 布置作业
电视台应某企业之约播放两 套连续剧，其中，连续剧甲每 次播放时间为80min，其中广 告时间为1min，收视观众为60 万；连续剧乙每次播放时间为 40min，广告时间为1min，收 视观众为20万.已知此企业与电 视台达成协议，要求电视台每 周至少播放6min广告，而电视 台每周只能为该企业提供不多 于320min的节目时间.如果你 是电视台的制片人，电视台每 周应播映两套连续剧各多少次， 才能获得最高的收视率？
请同学们在小组内合作交流，完成下列探究活动.
【探究一】设甲播放x次，乙播放y次，收视观众z万人.
则x,y应满足哪些关系式?
80 x 40 y 320, x y 6, 即 x 0, y 0.
2 x y 8, x y 6, x 0, y 0.
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游戏规则：在下面的两幅图中，每个整点处都有一个百宝箱.每个箱子内的 金币数（z）与它所在的横坐标（x）和纵坐标（y）有关，并且每幅图的 关系式各不相同.请在20秒的时间内找出金币数最多的箱子！例如：
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电视台应某企业之约播放两 套连续剧，其中，连续剧甲每 次播放时间为80min，其中广 告时间为1min，收视观众为60 万；连续剧乙每次播放时间为 40min，广告时间为1min，收 视观众为20万.已知此企业与电 视台达成协议，要求电视台每 周至少播放6min广告，而电视 台每周只能为该企业提供不多 于320min的节目时间.如果你 是电视台的制片人，电视台每 周应播映两套连续剧各多少次， 才能获得最高的收视率？
请同学们在小组内合作交流，完成下列探究活动.
【探究一】设甲播放x次，乙播放y次，收视观众z万人.
则x,y应满足哪些关系式?
80 x 40 y 320, x y 6, 即 x 0, y 0.
2 x y 8, x y 6, x 0, y 0.
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3.3.2-简单的线性规划问题-课件
[例4] 某人有楼房一幢，室内面积共180 m2，拟分隔成两类 房间作为旅游客房．大房间每间面积为18 m2，可住游客5名，每 名游客每天住宿费为40元；小房间每间15 m2，可住游客3名，每 名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房 间每间需600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满 客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？
x≥0
迁移变式 3 已知点 P(x，y)满足条件y≤x
(k
2x＋y＋k≤0
为常数)，若 x＋3y 的最大值为 8，则 k＝________.
解：作出可行域如图 7 所示， 作直线 l0：x＋3y＝0， 平移 l0 知当 l0 过点 A 时，x＋3y 最大， 由于 A 点坐标为(－3k，－3k)． ∴－3k－k＝8，从而 k＝－6.
[例3] 已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2.若 目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值 范围为________．
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①可行域已知； ②目标函数在(3,1)处取得最大值． 解答本题可利用逆向思维，数形结合求解．
解方程组－4x＋4x＋3y＝3y＝361. 2， 得 D 点坐标为(3,8) ∴zmax＝2x＋3y＝30 当直线经过可行域上的点 B 时，截距3z最小，即 z 最 小．由已知得 B(－3，－4) ∴zmin＝2x＋3y＝2×(－3)＋3×(－4)＝－18. (2)同理可求 zmax＝40，zmin＝－9.
3.3.2 简单的线性规划问题
线性规划问题的有关概念：
1．线性约束条件：不等式组是一组对变量x、y的约束条件， 这组约束条件都是关于x、y的 一次不等式 ．
人教A版数学必修五3.3.2《简单的线性规划问题(二)》实用课件(共34张PPT)
x y x y
人教A版数学必修五3.3.2《简单的线 性规划 问题（ 二）》 实用课 件(共34 张PPT)
人教A版数学必修五3.3.2《简单的线 性规划 问题（ 二）》 实用课 件(共34 张PPT)
线性规划的有关概念：
③可行解、可行域和最优解： 满足线性约束条件的解（x,y）
叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫
做可行域． 使目标函数取得最大或最小
值的可行解叫线性规划问题 的最优解． ④线性规划问题： 一般地，求线性目标函数在 线性约束条件下的最大值或 最小值的问题，统称为线性 规划问题．
人教A版数学必修五3.3.2《简单的线 性规划 问题（ 二）》 实用课 件(共34 张PPT)
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BD
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解题反思
人教A版数学必修五3.3.2《简单的线 性规划 问题（ 二）》 实用课 件(共34 张PPT)
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课堂小结
我学习了…… 我感受到了……
我将继续学习的……
画
hua 化
华
画 画图
化
实际问题 不等式组
函数Z=2x+y 方程Z=2x+y 变：直线Z=2x+y点
特殊 抽象
数学问题 平面区域
方程Z=2x+y 直线Z=2x+y 不变：相应2x+y值 一般 具体
华 升华
谢 谢！
人教A版数学必修五3.3.2《简单的线 性规划 问题（ 二）》 实用课 件(共34 张PPT)
第三章 3.3 3.3.2 简单的线性规划问题(优秀经典公开课比赛课件)
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延伸探究 1.若本例(1)条件不变，求 z＝2x＋y 的最大值．
解析：由2y＝x＋－33y－3＝0 得 B 点(6，－3) 平移直线 y＝－2x＋z 过 B 点时，z 最大． zmax＝2×6－3＝9.
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2．若本例(1)条件不变，求 z＝13x＋y－1 的最大值． 解析：由22xx＋ －33yy－ ＋33＝ ＝00 得 C 点(0,1)． 由 z＝13x＋y－1 得 y＝－13x＋z＋1 知斜率 k＝－13＞－23 ∴z＝13x＋y－1 过 C 点时，z 有最大值． zmax＝0＋1－1＝0.
的截距bz的最值问题； 并平行移动，在平移过程中，一般最先或最后经过的点为
最优解；
(4)求出最优解并代入目标函数，从而求出目标函数的最值．
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[自我检测]
x≥0， 1．若y≥0，
则 z＝x－y 的最大值为( )
x＋y≤1，
A．－1 C．2
B．1 D．－2
答案：B
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3.3.2 简单的线性规划问题
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内容标准
学科素养
1.了解线性规划中的基本概念． 2.会用图解法解决线性规划问题． 3.能利用线性规划解决实际应用问题.
应用直观想象 提升数学运算 强化数学建模
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01 课前 自主预习 02 课堂 合作探究 03 课后 讨论探究 04 课时 跟踪训练
人教A版数学·必一 线性规划的基本概念 阅读教材P87－91，思考并完成以下问题
课件6：3.3.2 简单的线性规划问题
)
x≤4，
A．2
B．5
C．8Biblioteka D．10(3)变量 x，y 满足约束条件xx＋－y2≥y＋0，2≥0， mx－y≤0，
若 z＝2x－y 的最大值为 2，则
实数 m 等于( ) A．－2
B．－1
C．1
D．2
【解析】 (1)画出可行域如图中阴影部分所示． 由 z＝2x－y 得 y＝2x－z，平移直线 2x－y＝0，当直线过 A 点时，z 取得最小 值． 由xy＋ －yx＝ ＝11， ， 得xy＝＝01，， ∴A(0,1)． ∴当 x＝0，y＝1 时，zmin＝2×0－1＝－1，故选 A.
探究 1 设投资甲、乙两个项目的资金分别为 x、y 万元，那么 x、y 应满足 什么条件？
【提示】
x＋y≤60， x≥23y， x≥5， y≥5.
探究 2 若公司对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 万元的利润，对项目乙每 投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润，设该公司所获利润为 z 万元，那么 z 与 x，y 有何关系？
选项 A，B，D，故选 C. 【答案】 C
【提示】 根据公司所获利润＝投资项目甲获得的利润＋投资项目乙获得的 利润，可得 z 与 x，y 的关系为 z＝0.4x＋0.6y.
探究 3 x，y 应在什么条件下取值，x，y 取值对利润 z 有无影响？
【提示】
x＋y≤60， x，y 必须在线性约束条件x≥23y，
x≥5， y≥5
值，直接影响 z 的取值．
(2)v＝x－y 5表示可行域内的点 P(x，y)到定点 D(5,0)的斜率，由图可知，kBD 最大，kCD 最小，又 C(3,8)，B(3，－3)，
所以 vmax＝3－－35＝32，vmin＝3－8 5＝－4.
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解析
作出不等式组
－1≤x＋y≤4 表示的可行域，如 2≤x－y≤3 图中阴影部分所示．
在可行域内平移直线2x－3y＝0， 当直线经过x－y＝2与x＋y＝4的交点A(3,1)时，目标函数 有最小值，zmin＝2×3－3×1＝3； 当直线经过x＋y＝－1与x－y＝3的交点B(1，－2)时，目 标函数有最大值，zmax＝2×1＋3×2＝8. 所以z∈[3,8]． 答案 [3,8]
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课堂讲练பைடு நூலகம்动
x＋y≤300， 500x＋200y≤90 000， x≥0， y≥0.
x＋y≤300， 5x＋2y≤900， 即 x≥0， y≥0.
目标函数为z＝3 000x＋2 000y.作出可行域如图所示：
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2y＋1 (2)z＝ 的取值范围． x＋1
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2x－y＋2≥0， 【变式2】 如果点 P 在平面区域x＋y－2≤0， 2y－1≥0 曲线 x2＋(y＋2)2＝1 上，求|PQ|的最小值．
上， 点Q在
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：在线性约束条件下，最优解唯一吗？ 提示：最优解可能有无数多个，直线l0：ax＋by＝0与可行 域中的某条边界平行时，求目标函数z＝ax＋by的最值， 最优解就可能有无数多个．
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1． 解决线性规划问题的一般方法
解决线性规划问题的一般方法是图解法，其步骤如下： (1)确定线性约束条件，注意把题中的条件准确翻译为不 等式组； (2)确定线性目标函数； (3)画出可行域，注意作图准确； (4)利用线性目标函数(直线)求出最优解； (5)实际问题需要整数解时，应调整检验确定的最优解(调 整时，注意抓住“整数解”这一关键点)．
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x＋2y≤4， 【例1】 已知关于 x，y 的二元一次不等式组x－y≤1， x＋2≥0. (1)求函数u＝3x－y的最大值和最小值； (2)求函数z＝x＋2y的最大值和最小值．
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．
3.3.2
简单的线性规划问题
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线性规划中的基本概念 名 称 意 义 不等式(组) 关于变量x，y的__________ 约束条件 线性约束条件 关于x，y的一次不等式(组) 欲求最大值或最小值的关于变量 x ， y 的函 目标函数 数解析式 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 线性约束条件 的解(x，y) 满足_____________ 可行解 可行解 组成的集合 由所有_______ 可行域 最大值或最小值 的可行解 使目标函数取得_______________ 最优解 线性约束 条件下求线性目标函数的最大 在_________ 线性规划问题 值或最小值问题
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【变式3】 某公司计划2012年在甲、乙两个电视台做总时间不 超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电 视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假 定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司 带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配 在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最 大．最大收益是多少万元？ 解 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得
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题型三
线性规划的实际应用
广东高考)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚 【例3】 (2010· 餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个 单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含 8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维 生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位 的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那 么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童 分别预订多少个单位的午餐和晚餐？ 审题指导
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[规范解答] 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个 单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z＝2.5x ＋4y，且x，y满足
x≥0，y≥0， 12x＋8y≥64， 6x＋6y≥42， 6x＋10y≥54. x≥0，y≥0， 3x＋2y≥16， 即 x＋y≥7， 3x＋5y≥27.
(8 分)
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让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移． 由此可知z＝2.5x＋4y在B(4,3)处取得最小值． (10分) 因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚 餐，就可满足要求． (12分)
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【题后反思】 用图解法解线性规划应用题的具体步骤为： (1)设元，并列出相应的约束条件和目标函数； (2)作图：准确作图，平移找点； (3)求解：代入求解，准确计算； (4)检验：根据结果，检验反馈．
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方法技巧
数形结合思想在线性规划中的应用
数形结合的主要解题策略是：数⇒形⇒问题的解决； 或：形⇒数⇒问题的解决．数与形结合的基本思路是：根 据数的结构特征构造出与之相适应的几何图形，并利用直 观特征去解决数的问题；或者将要解决的形的问题转化为 数量关系去解决． 【示例】 已知－1≤x＋y≤4且2≤x－y≤3，且z＝2x－3y的取 值范围是________(答案用区间表示)． [思路分析] 如果把－1≤x＋y≤4,2≤x－y≤3看作变量x，y 满足的线性约束条件，把z＝2x－3y看作目标函数，问题 就转化为一个线性规划问题．
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方法点评 如果两个变量(或其代数式)具有约束范围，且 所求的目标式中含有这两个变量，可以考虑使用线性规 划的方法求解，即把数的问题转化为形的问题来解 决．实质上，整个线性规划问题的解决都是数形结合思 想方法的体现．
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5x＋3y≤15， 【变式1】 已知 x，y 满足约束条件y≤x＋1， x－5y≤3. 的最大值和最小值．
求 z＝3x＋5y
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x－y＋2≥0， 求： 【例2】已知x＋y－4≥0， 2x－y－5≤0， (1)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值；
作直线l：3 000x＋2 000y＝0，即3x＋2y＝0. 平移直线l，由图可知当l过点M时，目标函数z取得最大值． x＋y＝300， 由 得 M(100,200)． 5x＋2y＝900. ∴zmax＝3 000×100＋2 000×200＝700 000(元)． 答 该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200 分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．