1.1.1构成空间几何体的基本元素
构成空间几何体的基本元素优质课课件[1].ppt9.13
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平行 面面 相交
例1.
• • • • • • • • 判断 （1）平行四边形是平面； （2）任何一个平面图形都可以用来表示平面； （3）空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线； （4）同时垂直于同一条直线两条直线一定平行； （5）到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆； （6）过平面外一点只能作一条直线与已知直线垂直； （7）用六根火柴棒，以每根火柴棒为一边，最多可以搭出 四个正三角形； • （8）过空间任意点可以引出三条射线使它们两两垂直； • （9）人们无法搭出一个对角线不相交的四边形。
（D）平面多边形和圆、椭圆都可以表示
一个平面
例3．在空间中，下列说法正确的是（ B ）
（A）一个点运动形成直线 （B）直线平行移动形成平面或曲面 （C）直线绕定点运动形成锥面 （D）矩形上各点沿同一方向移动形成长方 体
例4．下列关于长方体的说法中，正确的 是 (2)、(3) 。 （1）长方体是由六个平面围成的几何体； （2）长方体可以看作一个水平放置的矩 形ABCD上各点沿铅垂方向向上移动相同 的距离到矩形A1B1C1D1所形成的几何体； （3）长方体一个面上任一点到对面的距 离相等。
1 1 1
D1
三、从运动观点认识点、线、面
（1）点动成线：把线看成是点运动的轨迹! 如 果点运动的方向始终不变，那么它的轨迹是一 条直线或线段，如果点运动的方向时刻在变化， 则运动的轨迹是一条曲线或曲线的一段。
（2）线动成面：直线平行移动，可以形成平面或 曲面；直线绕定点转动，可以形成锥面。 可以形成一个几何体。
（3）面动成体：面运动的轨迹（经过的空间部分）
举出点动成线、线动成面、面动成体的 实例.
四、点、线、面的位置
问题1：直线与直线的位置关系为
2020高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.1 构成空间几何体的基本元素练习(含解析)2
1．1．1 构成空间几何体的基本元素知识点一平面的概念1．下列有关平面的说法正确的是( ）A．平行四边形是一个平面B．任何一个平面图形都是一个平面C．平静的太平洋面就是一个平面D．圆和平行四边形都可以表示平面答案D解析我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面,故A错误；平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，而平面无法度量，故B错误；太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故C错误；在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面，故D正确．2．下列说法正确的是（)A．水平放置的平面是大小确定的平行四边形B．平面ABCD即平行四边形ABCD的四条边围起来的部分C．一条直线和一个平面一定会有公共点D．平面是光滑的，可向四周无限延展答案D解析平面可以用平行四边形来表示，但平行四边形只是平面的一部分，不能理解为平面,A错误；平面是一个抽象的概念,是无限延展的,没有大小、厚薄之分,B错误；直线和平面可以没有公共点，此时直线和平面平行,C错误．故选D．知识点二构成几何体的基本元素3．试指出下图中各几何体的基本元素．解（1）中几何体有6个顶点，12条棱和8个面;（2)中几何体有12个顶点，18条棱和8个面；（3)中几何体有6个顶点，10条棱和6个面；(4）中几何体没有顶点和棱，有3个面．知识点三空间中点、线、面的位置关系4．如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是线段C1D1，A1D1,BD1，BC的中点，给出下面四个说法：①MN∥平面APC;②B1Q∥平面ADD1A1；③A，P，M三点共线；④平面MNQ∥平面ABCD．其中正确的序号为（)A．①② B．①④ C．②③ D．③④答案A解析平面APC即为平面ACC1A1，很容易看出MN与平面ACC1A1无公共点，即MN∥平面ACC1A1；同理B1Q与平面ADD1A1也没有公共点,故B1Q∥平面ADD1A1；A1，P,M三点不共线;平面MNQ 与平面ABCD是相交的，故选A．5．把棱长为1 cm的正方体表面展开要剪开________条棱，展开成的平面图形周长为________ cm．答案7 14解析正方体共有12条棱，展开图中6个面相连，有5条棱相连,所以要剪开7条棱．由于正方体6个面对应的正方形的周长之和为4×6＝24（cm)，展开图中相连的棱有5条，所以展开成的平面图形周长为24－2×5＝14（cm）．对应学生用书P1一、选择题1．下列说法：①任何一个几何体都必须有点、棱和面；②一个几何体可以没有顶点；③一个几何体可以没有棱；④一个几何体可以没有面．其中正确的个数是( ）A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析球只有一个曲面围成,故①错误,②③正确,由于几何体是空间图形,故一定有面，④错误．2．下列空间图形的画法中错误的是( )答案D解析被遮住的地方应该画成虚线（或不画）．3．一个正方体去掉一个“角”后减少了一个顶点，这个空间几何图形是（）答案C解析正方体共有8个顶点，去掉一个“角”后减少了一个顶点即有7个顶点．故选C．4．下图是一个正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是（）答案B解析∵在这个正方体的展开图中与有圆的面相邻的三个面中都有一条直线，当变成正方体后,这三条直线应该互相平行,∴选B．5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，与棱A1A既不平行也不相交的棱有( )A．1条B．2条C．3条D．4条答案D解析与棱A1A平行的棱有3条，相交的有4条,故既不平行也不相交的有4条．二、填空题6．如图所示，长方体ABCD—A1B1C1D1中，下列说法正确的有________（填序号）．①长方体的顶点一共有8个;②线段AA1所在的直线是长方体的一条棱;③矩形ABCD所在的平面是长方体的一个面；④长方体由六个平面围成．答案①解析长方体一共有8个顶点,故①正确；长方体的一条棱为线段AA1，故②错误；矩形ABCD为长方体的一个面,故③错误；长方体由六个矩形（包括它的内部）围成，故④错误．7．一个平面将空间分成______部分，两个平面将空间分成________部分，三个平面将空间分成________部分．答案 2 3或4 4或6或7或8解析一个平面将空间分成2部分．两个平面平行时将空间分成3部分；相交时分成4部分．三个平面平行时，如图所示,将平面分成4部分；三个平面相交于同一条交线时,将空间分成6部分；当两个平面平行,第三个平面与它们相交时将空间分成6部分；当三个平面两两相交且有三条交线时,将空间分成7部分;当有两个平面相交，第三个平面截两个相交平面时，将空间分成8部分．8．下列说法正确的是________．(1）长方体是由六个平面围成的几何体；(2)长方体两底面之间的棱互相平行且等长；（3)长方体一个面上任一点到对面的距离相等；(4）点运动的轨迹是线，一条线运动的轨迹可以是面．答案(2）(3)（4）解析(1）错误．因为长方体是由六个矩形(包括它的内部）围成，注意“平面”与“矩形”的本质区别．(2）正确．（3）正确．（4)正确．三、解答题9．在下列图中添加辅助线，使它们产生立体感．解10．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4 cm,BC＝3 cm，BB1＝5 cm,有一只蚂蚁从A点出发沿表面爬行至C1点，它的最短行程是多少？解欲求最短行程,必须找出蚂蚁的各种爬行路线，每条路线均需经过长方体的两个面，共有六条路线．路线1:沿面AB1和面A1C1，如图(1);路线2：沿面AC和面DC1，如图(2);路线3:沿面AD1和面DC1，如图（3）；路线4:沿面AB1和面BC1，如图(4）;路线5：沿面AD1和面A1C1,如图(5）；路线6：沿面AC和面BC1，如图(6）．由长方体的性质知，路线1、路线2长度相等，为d1＝错误!＝错误!（cm）；路线3、路线4长度相等，为d2＝错误!＝错误!(cm）；路线5、路线6长度相等,为d3＝错误!＝错误!（cm)．经比较，沿路线3和路线4可得最短行程为错误!cm．。
必修二答案
1.1.1 构成空间几何体的基本元素【预习达标】（一）1、形状和大小；空间部分;略2、点，线，面；3、平行四边形；α,βγ,；表示它的平行四边形的对角顶点的子母（二）1、线，面，体2、略（三）1、相交，平行，异面2、线在面内，垂直相交，平行3、垂直，平行，平行【课前达标】1．12、8、62． 2 .，3或4，4、6或7或83．①错②错③错④对⑤错⑥错4．略.【典例解析】例1．略.评析：通过学生动手操作，从而深刻地认识由平面到空间的过程，更好地建立空间观念。
例2．①6个面，12条棱，8个顶点；②4个面，8条棱，5个顶点③6个面，12条棱，8个顶点评析：本题主要考察点、线、面、体的关系，培养识图能力。
【双基达标】1．B 2. D 3. D 4. 4个 5. 6条 6. 略【能力达标】1．C 2. A 3. 3+52+2【数学快餐】答案：ADDA5、点、线、面6、4个1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征第一课时棱柱【预习达标】（一）1、若干个平面多边形；2、各个多边形，公共边，公共点，两个顶点的线段3、同一侧4、平面图形（包括它的内部）（二）1、多边形，同一方向，相同距离；2、两个面互相平行，相互平行3、两个相互平行的面，各面，公共边，距离。
4、表示两底面的对应顶点的字母，一条对角线的端点的两个字母5、三棱柱，四棱柱，五棱柱；斜棱柱，直棱柱，斜棱柱，直棱柱；正多边形；【课前达标】1．6 12 2. A 3. C 4. 12 cm 5. D【典例解析】例1． 略例2． 解：固定其中一个小正方形作为底面，将其他正方形沿相邻边向上折叠，对于A 、B 、D 在折叠过程中总有两个面重合在一起，不能围成一个正方形，只有C ，无论怎么折叠，总能围成一个正方形。
评析：本题通过观察、分析及动手操作，考察了学生的空间想象能力、和动手操作能力。
【双基达标】1．D 2. B 3. B 4. C 5. 平行四边形 矩形 6. 24 7. 10 9 8．解：设长方体长、宽、高分别为a 、b 、c ，则70222=++cb a ……①14=++c b a ……② ②2—① 得：126)(2=++bc ac ab 故S=1269．解：可分三类展开：11C1A 1B A B C A 1A1BA B 745)43(221=++=AC1033)45(221=++=AC544)53(221=++=AC评析：此题旨在培养学生由空间到平面的解题能力，从而建立起空间问题平面化的意识。
高中数学 必修二-第一章 立体几何初步 知识点整理
底面为三角形、四边形、五边形„„的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥„„，
其中三棱锥又叫四面体。
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必修二
正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心， 这样的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质： ①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形； ②棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形，棱锥的高、侧棱和侧 棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。 （4）棱台的结构特征 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱 锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的 下底面和上底面；其它各面叫做棱台的侧 面；相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱； 底面与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点； 当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底 面交点间的线段叫做棱台的高。 由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。正棱台的性质： ①各侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形；②两底面以及平行于底面的截面是相似多边 形；③两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；④两底面中心连线、侧 棱和两底面外接圆相应半径组成一个直角梯形；⑤正棱台的上下底面中心的连线是棱台的 一条高；⑥正四棱台的对角面是等腰梯形。
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必修二
②在已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′ 轴的线段。
③在已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段， 长度变为原来的一半。
用斜二测法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，而画水平放 置的平面图形的关键是确定多边形的顶点。因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这 些顶点就可画出多边形。
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。平行投影的投影线是平行的。在 平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影。
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第一章 立体几何初步
1.1空间几何体
1.1.1构成空间几何体的基本元素
1锥、圆台和球
1.1.4投影与直观图
1.1.5三视图
1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
1.1.7柱、锥、台和球的体积
实习作业
1.2点、线、面之间的位置关系
1.2.1平面的基本性质与推论
1.2.2空间中的平行关系
1.2.3空间中的垂直关系
本章小结
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第二章 平面解析几何初步
2.1平面直角坐标系中的基本公式
2.1.1数轴上的基本公式
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式
2.2直线的方程
2.2.1直线方程的概念与直线的斜率
2.2.2直线方程的几种形式
2.2.3两条直线的位置关系
2.2.4点到直线的距离
2.3圆的方程
2.3.1圆的标准方程
2.3.2圆的一般方程
2.3.3直线与圆的位置关系
2.3.4圆与圆的位置关系
2.4空间直角坐标系
2.4.1空间直角坐标系
2.4.2空间两点的距离公式
本章小结
阅读与欣赏
笛卡儿
附录
部分中英文词汇对照表
后记
1.1.1构成空间几何体的基本元素
解 ： 1平面AD ' 2平面AB
'
平面AC
平面CD
'
D
C
A
D
B
C
B
'
3平面AD
'
' '
4平面AB ，平面AC ，平面CD，平面AC
A
直线和平面平行 垂足 D B' C ' || 平面 AC
C
A
B
D
直线和平面垂直
AA' 平面 AC
C
B
A
线段AA的长称作点A到平面 AC的距离 平面和平面平行 平面A' C ' || 平面 AC 平面和平面垂直
：长方体 ABCD A B C D 中： ' ' （1）与直线 B C 平行的平面有哪几个？ ' ' （2）与直线 B C 垂直的平面有哪几个？ ' （3）与平面 BC 平行的平面有哪几个？ ' （4）与平面 BC 垂直的平面有哪几个？
如果我们只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小， 而不考虑其它因素，则这个空间部分叫做一个几何体。
如果我们只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小， 而不考虑其它因素，则这个空间部分叫做一个几何体。
问题1：构成空间几何体的 元素有哪些？
点、线、面是构 成空间几何体的 基本元素。
1、平面的表示方法
平面 平面
平面
A
C
D
B 平面 ABCD
平面 AC
练习1：判断下列说法是否正确。 （1）平行四边形是一个平面。 （2）任何一个平面图形都是一个平面。 （3）书桌面是平面。 （4）有一个平面长是50米，宽是20米。 练习2：判断下列说法是否正确。
北师版高中数学必修第二册精品课件 第6章 构成空间几何体的基本元素 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
可以分成七类.分别是棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆
台和球.
2.观察问题1中图②⑤⑦⑨⑬⑭⑮⑯中组成几何体的每个面
的特点,以及面与面之间的关系,你能归纳出它们有何共同特
点吗?
提示:组成几何体的每个面都是平面图形,并且都是平面多边
形.
3.观察问题1中图①③④⑥⑧⑩⑪⑫中组成几何体的每个面
(4)平面是空间最基本的图形.在立体几何中,平面是无限延展
的,一般地,用平行四边形表示平面.
当平面水平放置时,通常把平行四边形的锐角画成45°,横边长
画成邻边长的两倍.
平面通常用希腊字母α,β,γ等来表示,如平面α、平面β、平面γ
等;也可以用表示平行四边形顶点的字母表示,如平面ABCD,
还可以用表示平行四边形顶点的两个相对顶点的字母表示,
几何体里面寻找一些点、线、面,并将它们列举出来.
图6-1-1
提示:面可以列举如下:
平面A1A2B2B1,平面A1A2D2D1,平面C1C2D2D1,平面B1B2C2C1,
平面A1B1C1D1,平面A2B2C2D2;
线可以列举如下:
直线AA1,直线BB1,直线CC1,直线DD1,直线A2B2,直线C2D2等;
之间的部分
称为棱台.由
正棱锥截得
的棱台称为
正棱台
图形及表示
相关概念
上底面:截面,
如图,可记作: 下底面:原棱锥的底面,
棱台ABC侧面:其余各面,
A1 B1 C1
侧棱:相邻两个侧面的公共边,
高:上底面、下底面之间的距
离
斜高:正棱台各侧面都是全等
的等腰梯形,这些等腰梯形的
高
数学：1[1].1.1《构成空间几何体的基本元素》教案(人教版必修2).doc1
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1.1.1构成空间几何体的基本元素1．感悟课标新理念背景知识激趣生活中的几何———欧式几何“几何”这个词在汉语里是“多少”的意思，但在数学里“几何”的含义就完全不同了。
“几何”这个词的词义来源于希腊文，原意是土地测量，或叫测地术几何学和算术一样产生于实践，也可以说几何产生的历史和算术是相似的。
在远古时代，人们在实践中积累了十分丰富的各种平面、直线、方、圆、长、短、宽、窄、厚、薄等概念，并且逐步认识了这些概念之间，以及它们之间位置关系跟数量之间的关系，这些后来就成了几何学的基本概念。
柏拉图把逻辑学的思想方法引入了几何，使原始的几何知识受逻辑学的指导，逐步趋向于系统和严密的方向发展.柏拉图在雅典给他的学生讲授几何学，已经运用逻辑推理的方法对几何中的一些命题作了论证. 亚里士多德被公认是逻辑学的创始人，他所提出的“三段论”的演绎推理的方法，对于几何学的发展，影响更是巨大的.到今天，在初等几何学中，仍是运用“三段论”的形式来进行推理。
但是，尽管那时候已经有了十分丰富的几何知识，这些知识仍然是零散的、孤立的、不系统的。
真正把几何总结成一门具有比较严密理论的学科的，是希腊杰出的数学家欧几里德。
课程学习目标［课程目标］目标重点：从运动的观点来初步认识点—线—面—体之间的组成关系和位置关系目标难点：通过几何体的直观图观察其基本元素间的关系。
［学法关键］"对空间中线、面平行及垂直的概念的了解，是认识几何体结构特征所必需的，在后面的学习中将深入研究。
在学习过程中利用自己制作的模型或画出的图形在直观感知的基础上，体会空间中点、线、面、体之间的关系，体会它们怎样构成了空间图形。
结合课本中的介绍，用运动的观点观察问题可以帮助我们认识空间中点、线、面的位置关系，培养空间想象能力"研习教材重难点研习点1：长方体的有关概念1．长方体由六个矩形（包括它的内部）围成；2．围成长方体的各个矩形，叫做长方体的面；3．相邻的两个面的公共边，叫做长方体的棱；4．棱和棱的公共点，叫做长方体的顶点；5．长方体共有( 8个顶点，12条棱，6个面；研习点2：构成几何体的基本元素1．几何体：一个物体占有空间部分的形状和大小，不考虑其他因素，这个空间部分叫做一个几何体，它是一个描述性的概念；2.构成空间几何体的基本元素是：点、线、面" 线有直线（段）和曲线（段）之分，面有平面（部分）和曲面（部分）之分；【联想·发散】1．从集合的角度来看线、面如果把点看成是元素，那么直线、曲线都可以当作是点的集合，平面和曲面也可以看成是点的集合。
1.1.1 构成空间几何体的基本元素
1.1.1 构成空间几何体的基本元素教材知识检索考点知识清单1．长方体由六个 （包括它的内部）围成，围成长方体的各个____，叫做长方体的——；相邻两个面的公共边，叫做长方体的 ；棱和棱的公共点，叫做长方体的____．长方体有____ 个 面， 条棱，——个顶点．2．在立体几何中，平面是 ，通常画一个 表示一个平面，平面一般用 来命名，还可以用表示它的 来命名．3．既不平行又不相交的两条直线叫做 ．4．观察长方体容易看到，除了直线在平面内，还有两种关系：直线与平面____或直线与平面____．5．观察平面与平面的位置关系，有两个平面相交于一条直线，除此之外，还有两个平面____或两个平面____ 的关系．要点核心解读1．空间中点、线、面之间的关系空间中的线与面都是由点组成的集合，点A 在线l 上，记作l A ∈，点A 在平面α内，记作l A ∈，线l 在平面α内，记作α⊂l 如图1 -1 -1 -1.2．对平面的深层理解(1)平面是绝对平的．(2)平面没有厚度，也可理解成其厚度为零．(3)平面是无限延展的．(4)平面和点、直线一样，是我们以后研究空间图形的基本对象之一，也是空间图形的一个重要组成部分．(5)有限的图形．如：三角形、平行四边形等．用平行四边形表示平面，只是一种形式上的表示方法，绝对不能认为平行四边形就是平面．(6)无限的平面，平面将无限的空间分成两部分，如果想从平面的一侧到另一侧，必须穿过这个平面．(7)平面可以看作空间中点的集合，它当然是一个无限集．(8)用希腊字母α、β、γ等表示平面时，在不会引起混淆的情况下，“平面”二字可以省略不写；但用英文字母表示平面，如平面AC ，“平面”二字不可省略，甚至在一些复杂的图形中为了区别起见，还要表示为平面ABCD.表示三角形所在的平面，一般将三个顶点的字母都写出来，如平面ABC 、平面ABD 等．(9)在平面几何中，凡是后引的辅助线都画成虚线，立体几何则不然，凡是被平面遮住的线（简称暗线）都画成虚线或不画；凡是不被遮住的线（简称明线，无论是题中原有的还是后引的辅助线）都画成实线．3．以特殊的几何体为例观察空间中线、面的关系以长方体为例，观察得到：(1)空间中直线的位置关系：平行、相交、异面．(2)空间中直线与平面的位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行．(3)空间中平面的关系：两个平面相交（包括两个平面垂直），两个平面平行．典例分类剖析考点1平面的概念命题规律(1)正确理解平面的原始概念，把握其与一般的桌面、黑板面之间的区别，． (2)平面的表示法及画法．[例1] 判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)四条边相等的四边形是菱形；(2)若四边形的两个对角都是直角，则这个四边形是圆内接四边形；(3)平行四边形是一个平面；(4)任何一个平面图形都是一个平面；(5)空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线．[答案] (1)不正确，因为四条边相等的四边形不一定是平面图形：(2)不正确，两个对角是直角的四边形有可能是空间四边形，故不一定是圆内接四边形；(3)不正确，平行四边形是平面上四条线段所构成的图形，是不能无限延展的；(4)不正确．平面和平面图形是完全不同的两个概念．平面图形是有大小的，是不可能无限延展的；(5)不正确，在空间图形中，为了增强图形的立体感，都是把能够看得见的线画成实线，把被平面遮住的线画成虚线（无论是图形中原有的，还是后来引入的辅助线）．[点拨] (1)在立体几何中，我们通常用平行四边形表示平面，但绝不是说平行四边形就是平面．(2)在平面几何中，引入的辅助线都要画成虚线，但在立体几何中却不然．在学习立体几何时，若认识不到这一点，必将影响空间立体感的形成，阻碍空间想象能力的培养，考点2 空间中线与面之间的关系命题规律(1)空间中线与平面的关系有线在平面内和线在平面外两种．(2)空间中平面与平面有相交、平行两种位置关系．[例2] 一个平面将空间分成____个部分，两个平面将空间分成个部分，三个平面将空间分成____个部分．[解析]本题对平面在空间的位置进行分类讨论．一个平面将空间分成2个部分．两个平面有公共点时将空间分成4个部分，没有公共点时将空间分成3个部分，所以，两个平面将空间分成3个部分或4个部分，三个平面没有公共点时将空间分成4个部分；有公共点时分别将空间分成6、7、8个部分．如图1—1 -1 -2.[答案] 23或44或6或7或8[点拨] 先对两个平面在空间的位置进行分类讨论，再让第三个平面以不同的形式介入，这种设计分类讨论的程序，在研究空间图形位置关系时会经常用到，母体迁移1．-个正方体的六个面所在平面将空间分成几个部分？考点3 长方体的有关概念命题规律(1)长方体的特征．(2)长方体中的线面关系．[例3] 如图1-1 -1 -3所示，在长方体1111D C B A ABCD -中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，回答下列问题：(1)与直线11C B 平行的平面有哪几个？(2)与直线11C B 垂直的平面有哪几个？(3)与平面l BC 平行的平面有哪几个？(4)与平面1BC 垂直的平面有哪几个？[解析] 根据线面平行和垂直的概念判断即可．[答案](1)与直线11C B 平行的平面有：平面1AD 平面AC.(2)与直线11C B 垂直的平面有：平面,1B A 平面⋅1CD(3)与平面1BC 平行的平面有：平面⋅1AD(4)与平面1BC 垂直的平面有：平面1AB 平面⋅11C A 平面⋅1CD 平面AC.母题迁移2．下列关于长方体的叙述不正确的是( )．A ．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体B ．长方体中相对的面都相互平行C ．长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离D ．两底面之间的棱互相平行且等长考点4 用集合的语言表示平面中点、线、面之问的关系命题规律(1)用集合的语言理解点、线、面之间的关系，将点看作元素，线与面看作集合，,)2(l A ∈表示点A 在直线L 上α⊂l ;表示L 是平面α内的一条直线．[例4] 若点Q 在直线b 上，b 在平面β 内，则β、、b Q 之间的关系可记作( )．C.Qcbcpβ∈∈⋅b Q A β⊂∈⋅b Q B β⊂⊂⋅b Q C β∈⊂⋅b Q D[试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能）[解析]本题考查用集合的语言表示点、线、面之间的关系，关键是弄清点与直线是元素与集合之间的关系，直线与平面是集合与集合之间的关系.解法一（直接法）： ∵点Q 在直线b 上，.b Q ∈∴又 ∵ 直线b 在平面β内，⋅⊂∈∴⊂∴ββb Q b ,答案为B ．解法二（排除法）： ∵ 点Q 与直线b 的关系是元素与集合之间的关系，∵ 只能用符号“”∈或“∉”表示∴ 排除C 和D(容易出现β∈⊂b b Q 或类错误）又∵ b 与β是集合与集合之间的关系，∴ 应该用符号“””或“⊂/⊂来表示． ∴ A 应该排除，答案为B ．[答案] B[点拨]认清点与线、面的实质是元素与集合之间的关系，线与面是集合与集合之间的关系． 母题迁移 3．已知,,,,A b a b a m =⊂⊂= βαβα则直线m 与A 的位置关系用集合语言表示为____．优化分层测讯学业水平测试α、间的关系．1．识别图1 -1 -1 -4中的点A、线Z与面β2．如图1 -1 -1 -5所示，下列说法正确的是( )．A．表示直线a在a内B．将平面a延展就可以表示直线a在a内C．因为直线是无限延伸的，所以直线a不在a内D．不可以表示直线a在d内，因为画法不对3．已知下列四个命题：①很平的桌面是一个平面；②一个平面的面积可以是4 m 2；③平面是矩形或平行四边形；④两个平面叠在一起比一个平面厚，其中正确的命题个数是( )．A.O个B.l个C.2个D.3个4．长方体有个面，条棱，个顶点；长方体的六个面都是．5．给出下列四个命题：①平行四边形是一个平面；②任何一个平面图形都是一个平面；③空间图形中，先画的是实线，后画的是虚线；④直线平行移动，不但可以形成平面，而且也可以形成曲面．其中正确命题的序号为．高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分x8 =40分）1．下列说法中表示平面的是( )．A．平静的水面 B．黑板面C．桌面 D．铅垂面2．下列说法中错误的是( )．A．平面用一个希腊字母就可以表示B．平面可用表示平面的平行四边形对角顶点的两个英文字母表示C．三角形ABC所在的平面不可写成平面ABCD．-条直线和一个平面可能没有公共点3．图l -1 -1 -7四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的公共边折叠围成一个正方体且正方形互不重叠的图形是( )．4．如图1 -1 -1 -8所示的两个相交平面，其中画法正确的个数有( )．5. 若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）A.5部分B.6部分C.7部分D.8部分6.下列推理错误的是（ ） ααα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A A ,;,.AB B B A A B =⇒∈∈∈∈βαβαβα ,;,.αα∉⇒∈⊂/A l A l C ,.,,.βα∈∈C B A C B A D h 、、且A 、B 、C 不共线βα与⇒重合7．下列命题中，正确命题的个数为( )．①桌面是平面；②一个平面长2米，宽3米；③用平行四边形表示平面，只能画出平面的一部分；④空间图形是由空间中的点、线、面构成的．A ．1个 B.2个 C.3个 D.4个8．（2009年全国高考卷Ⅱ）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是( )．A ．南B ．北C ．西D ．下二、填空题（5分x4 =20分）9一个立方体的六个面上分别标有字母A 、B 、C 、D 、E 、F ，如图1 -1 -1 -10所示是此立方体的两种不同放置方式，则与D 面相对的面的字母不可能是10.当三个平面只有一条交线时，可以将空间分成____个部分；没有交线时，可以将空间分成____个部分；有三条交线，且两两互相平行时，可以将空间分成 个部分．11.如图1-1 -1 -11所示，在长方体1111D C B A ABCD 中，棱与棱11D A 异面的棱有____；与11D A 平行的平面有____；与棱11D A 垂直的平面有12.下列说法：①长方体是由六个平面围成的几何体；②长方体可以看作一个矩形ABCD （水平放置）上各点沿铅垂线方向向上移动相同距离到矩形////D C B A 所形成的几何体；③长方体一个面上任一点到对面的距离相等．其中正确命题的序号是三、解答题（10分x4 =40分）13.按照给出的要求（如图l-1-1 -12），画出下面两个相交的平面，其中线段AB 是两个平面的交线．14.要将一个正方体模型展开成平面图形，需要剪断多少条棱？你的结论可以作为一条规律来用吗？15.将图1-1 -1 -13中的平面图形沿虚线折叠，制作几何体并将直观图画出来．16.如图1-1 -1 -14是边长为Im 的正方体，有一蜘蛛潜伏在A 处，B 处有一小虫被蜘蛛网粘住，请制作出实物模型，将正方体剪开，描述蜘蛛爬行的最短路线．。
构成空间几何的基本元素教案
1.1构成空间几何体的基本元素【学习目标】1. 借助具体几何体直观感知构成空间几何体的基本元素2. 从运动的观点初步认识点、线、面之间的生成关系和位置关系3．借助长方体，直观感知空间中点线面的位置关系4、通过作图和制作模型培养学生空间立体感不容易想象的各个元素及其位置关系通过看得见摸得着的常见集合体直观演示，培养学生空间想象力和立体感。
【重点】从运动的观点认识点线面体之间的生成关系和位置关系【难点】通过几何体的直观图观察其基本元素之间的关系，认识异面直线【.学习指导】:阅读课本3—5页，回答以下问题：1. 什么是几何体？构成几何体的基本元素是什么？2. 如何检验一个面是平面的一部分？3. 平面是如何用图形及符号表示的？4. 感受“点动成线”, “线动成面”, “面动成体”的过程.5. 如何画出长方体?长方体如何表示?6. 长方体中的线线、线面、面面分别有哪些位置关系？带着问题去阅读课本自己寻找答案，提高自学能力，独立解决问题能力，养成善于思考的好习惯。
【典型例题】例1 (1)画出两个平行平面;(2)画出两个垂直平面.分析：引导学生画出直观图，目的培养其空间立体感，并且使学生直观感知面面位置关系。
注意平面的画法和平面的特性。
通常用一个平行四边形表示一个平面。
并且引导学生分析平面分空间成几部分的问题。
练习：两个平面可将空间分成（ ） A.5部分 B.4部分 C.3部分 D.3部分或4部分例2 如图,在长方体1111ABCD A B C D 中,指出:(1) 与平面11BB C C 平行的直线；(2) 与平面ABCD 垂直的直线和平面；(3) 直线11B D ABCD 与平面的位置关系，并作简要说明。
分析：长方体是一个重要的几何模型，让学生通过长方体中的点线面直观感知空间中的点线面的位置关系。
目的是让学生养成使用几何体模型认识空间点线面位置关系的习惯。
B 1D 1A C1C A D 1B巩固练习1.下列说法正确的是（ ）A.黑板面就是一个平面B.不同形状的图形表示不同的平面C.几何中的平面是无限延展的D.有的平面厚，有的平面薄2. 下列说法中正确的个数是（ ）(1)点运动形成的轨迹是直线 (2)直线平行运动形成的轨迹是平面(3)曲线运动形成的轨迹是曲面 (4)矩形平行运动形成的轨迹是长方体A.0B.1C.2D.33.正方体的面所在的平面将空间分成_____________部分。
038--1.1.1构成空间几何体的基本元素
高一数学（2019级）导学案课型：新授课编制人：年级主任：班级：姓名：编号：0381．1.1构成空间几何体的基本元素【学习目标】1、通过对长方体的认识，了解构成几何体的基本元素和它们之间的关系．2、理解平面的概念、平面的画法及表示方法，了解平面的位置关系．【学习内容】1、长方体的有关概念如图，长方体由六个_______ (包括它的内部)围成，围成长方体的各个矩形，叫做长方体的____ (如图中矩形ABCD－A1B1BA等均为长方体的面)；相邻两个面的公共边，叫做长方体的____ (如A1A、AB、BC等均为长方体的棱)；棱和棱的公共点，叫做长方体的________ (如点A、B、C、D、A1等均为长方体的顶点)．由图可知长方体有6个面，_______条棱，_____个顶点．2、平面(1)平面的概念平面和点、直线一样是构成几何体的基本要素之一，是一个只描述而不加定义的原始概念．立体几何中的平面与平面几何中的平面图形是有区别的：平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们有大小之分；而平面是无大小、无厚薄之分的，类似我们以前学的直线，它可以___________，是不可度量的．(2)平面的画法立体几何中，我们通常画_____________来表示平面．画表示平面的平行四边形时，通常把它的锐角画成_____，横边画成是邻边的两倍．两个相交平面的画法．当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住部分的线段画成_________或者不画，以增强立体感．(3)平面的表示平面通常用一个小写的____________表示，如平面α、平面β、平面γ等，根据问题实际需要有时也用表示平行四边形ABCD的相对顶点的两个大写字母来表示，如平面AC、平面BD；或者用表示多边形顶点的字母来表示，如三角形ABC所在的平面，表示为平面ABC.3、空间基本图形之间的关系在几何中，把_______运动的轨迹看成线，线运动的轨迹看成______．如果点运动的方向不改变，那么它的轨迹为一条直线或线段；如果点运动的方向时刻在变化，则运动的轨迹是一条曲线或曲线的一段．同样，一条线运动的轨迹可以是一个_______，面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个___________．【例题讲解】考点一、长方体的有关概念例1、下列关于长方体的说法中，正确的是________．①长方体中有3组对面互相平行；②长方体ABCD－A1B1C1D1中，与AB垂直的只有棱AD，BC和AA1；③长方体可看成是由一个矩形平移形成的；④长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1平行且相等．学以致用1 判断以下说法的对错：(1)长方体是由六个平面围成的几何体；（）(2)长方体ABCD－A′B′C′D′可以看作矩形ABCD上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形A′B′C′D′所形成的几何体；（）(3)长方体一个面内的所有点到其对面的距离都相等．（）考点二、平面的概念及应用例2、判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)平面的形状是平行四边形；A．8 B．9 C．18 D．27【课堂练习】1、关于平面，下列说法正确的是( )A平行四边形是一个平面 B平面是有大小的 C平面是无限延展的 D长方体的一个面是平面2、如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上三点，则在正方体盒子中，∠ABC等于( ) A．45° B．60° C．90° D．120°3、如图所示的两个相交平面，其中画法正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4、飞机飞行表演在空中留下漂亮的“彩带”，用数学知识解释为________．5、一个平面将空间分成________部分；两个平面将空间分成________部分．【当堂检测】1、下列不属于构成几何体的基本元素的是( )A．点 B．线段 C．曲面 D．多边形(不含内部的点)2、如图是一个正方体的展开图，每一个面内都标注了字母，则展开前与B相对的是( )A．字母E B．字母C C．字母A D．字母D3、如图，下列四个平面图形，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个立方体的图形是( )4、下列命题正确的是( )A．直线的平移只能形成平面 B．直线绕定直线旋转肯定形成柱面C．直线绕定点旋转可以形成锥面 D．曲线的平移一定形成曲面5、下列几何图形中，可能不是平面图形的是( )A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．四边形6、下面空间图形的画法中错误的是( )。
1.1.1基本元素
课题1.1.1构成空间几何体的基本元素教案课型主备人李冬旭上课教师李冬旭上课时间学习目标1、知识与技能目标：掌握空间点、线、面之间的相互关系以及相互之间的位置关系。
2、过程与方法目标：通过让学生探究点、线、面之间的相互关系，掌握文字语言、符号语言、图示语言之间的相互转化。
3、感、态度与价值目标：通过用集合论的观点和运动的观点讨论点、线、面、体之间的相互关系培养学生会从多角度，多方面观察和分析问题，体会将理论知识和现实生活建立联系的快乐，从而提高学生学习数学的兴趣。
教学重点点、线、面之间的相互关系，以及文字语言、符号语言、图示语言之间的相互转化。
教学难点从集合的角度理解点、线、面之间的相互关系。
教师准备教学过程时间分配集备修正让同学们观察几个几何体，从感性上对几何体有个初步的认识，并总结出空间立体几何研究的几个基本元素。
学生观察、讨论、总结，教师引导。
提高学生的学习兴趣一、构成几何体的基本元素。
点、线、面二、从集合的角度解释点、线、面、体之间的相互关系。
1’5x5’点是元素，直线是点的集合，平面是点的集合，直线是平面的子集。
三、从运动学的角度解释点、线、面、体之间的相互关系。
1、点运动成直线和曲线。
2、直线有两种运动方式：平行移动和绕点转动。
3、平行移动形成平面和曲面。
4、绕点转动形成平面和曲面。
5、注意直线的两种运动方式形成的曲面的区别。
6、面运动成体。
四、点、线、面、之间的相互位置关系。
1、点和线的位置关系。
2、点和面的位置关系。
3、直线和直线的位置关系。
4、直线和平面的位置关系。
5、平面和平面的位置关系。
通过对几何体的观察、讨论由学生自己总结。
引领学生回忆元素、集合的相互关系，讨论、归纳点、线、面之间的相互关系。
通过课件演示及学生的讨论，得出从运动学的角度发现点、线、面之间的相互关系。
引导学生由生活中的实际例子总结出点、线、面之间的相互位置关系，让学生有个感性认识。
小结：1、学习了构成几何体的基本元素。
第一章1.1.1构成空间几何体的基本元素学生版
1 / 1§1.1 空间几何体1．1.1 构成空间几何体的基本元素一、基础过关1． 关于平面，下列说法正确的是 ( )A ．平面是有边界线的B ．平面是有厚薄的C ．平面ABCD 是指平行四边形ABCD 的四条边围成的部分D ．圆和平面多边形都可以表示平面2． 下列说法正确的是 ( )A ．生活中的几何体都是由平面组成的B ．曲面都是有一定大小的C ．直线是由无限个点组成的，而线段是由有限个点组成的D ．直线平移时不改变方向一定不可能形成曲面3． 如图所示，平行四边形ABCD 所在的平面，下列表示方法中不正确的是 ( )①平面ABCD ；②平面BD ；③平面AD ；④平面ABC ；⑤AC ；⑥平面α.A ．④⑤B ．③④⑤C ．②③④⑤D ．③⑤4． 下列说法中正确的是 ( )A ．直线的移动只能形成平面B ．矩形上各点沿同一方向移动形成长方体C ．直线绕其相交但不垂直的直线旋转形成锥面D ．曲线的移动一定形成曲面5． 在如图所示的长方体ABCD －A′B′C′D′中，互相平行的平面共有____对，与A′A 垂直的平面是______．6． 三个平面将空间最少分成m 部分，最多分成n 部分，则m ＋n ＝_______.7． 想想看，如何检验一个物体的表面不是平面？8． 如图，画出图(1)(2)中L 围绕直线l 旋转一周形成的空间几何体．二、能力提升9．如图，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则下列选择方案中，能够完成任务的为( )A ．模块①，②，⑤B ．模块①，③，⑤C ．模块②，④，⑤D ．模块③，④，⑤10．小明设计了某个产品的包装盒，他少设计了其中一部分，请你把它补上，使其成为两边均有盖的正方体盒子(如图所示)． (1)你有________种补充的办法． (2)任意画出一种正确的设计图．11．如图，画出(1)(2)(3)中线段L 绕着直线l 旋转一周形成的空间几何体．三、探究与拓展12．空间三个平面能把空间分成的部分如何？。
第一章1.1.1构成空间几何体的基本元素教案教师版
§1.1空间几何体1．1.1构成空间几何体的基本元素【学习要求】1．了解空间中点、线、面、体之间的关系．2．了解轨迹和图形的关系．3．初步了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系．【学法指导】通过探究点、线、面之间的相互关系，掌握文字语言、符号语言、图示语言之间的相互转化；通过用集合论的观点和运动的观点讨论点、线、面、体之间的相互关系，培养从多角度、多方面观察和分析问题的能力.填一填：知识要点、记下疑难点1．如果只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，则这个空间部分就是一个几何体．2．长方体由六个矩形围成，围成长方体的各个矩形叫做长方体的面；相邻两个面的公共边叫做长方体的棱；棱和棱的公共点叫做长方体的顶点；长方体有 12 条棱， 8 个顶点．3．构成几何体的基本元素：点、线、面．研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分．如果我们只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．那么构成几何体的基本元素有哪些？这些元素之间有怎样的关系？探究点一构成几何体的基本元素问题1平面几何研究的主要对象是什么？构成平面图形的基本元素是什么？答：平面图形；点与直线．问题2构成几何体的基本元素是什么？答：点、线、面．探究点二平面及其表示法问题1我们说平面图形是指由同一平面的点、线组成的图形，我们通常把平面这个词挂在嘴边，可什么叫平面呢？数学中怎样理解平面呢？如何表示平面？答：平面是从诸如桌面、墙壁、黑板面等现实的物理世界中抽象出来的．平面是处处平直的面，在立体几何中，平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个平面，并把它想象成是无限延展的．问题2立体几何中，通常．．画平行四边形表示平面，那么对画出的平行四边形有怎样的要求？答：(1)画的平行四边形表示的是整个平面；(2)加“通常．．”二字的意思是因为有时根据需要也可以用其他平面图形来表示平面：如用三角形、矩形、圆等；(3)画图表示平面的平行四边形时，通常将其画成长边是短边的2倍．问题3平面怎样命名？答：平面一般用一个希腊字母α，β，γ，…来命名，还可用表示它的平行四边形的对角顶点的字母来命名，例如平面α，β，平面ABCD或平面AC等．问题4从集合的角度来看，点、线、面、体之间有怎样的相互关系？答：点是元素，直线是点的集合，平面是点的集合，直线是平面的子集．问题5从运动学的角度解释点、线、面、体之间的相互关系是怎样的？答：(1)点运动成直线和曲线；(2)直线有两种运动方式：平行移动和绕点转动．平行移动形成平面和曲面；绕点转动形成平面和曲面；(3)面运动成体．探究点三点、线、面之间的位置关系问题1如何用运动观点来理解空间基本图形之间的关系呢？答：(1)在几何中，可以将线看成点运动的轨迹，如果点运动的方向始终不变，那么它的轨迹就是一条直线或线段；如果点运动的方向时刻在变化，则运动的轨迹是一条曲线或曲线的一段．同样，一条线运动的轨迹可以是一个面，面运动的轨迹(经过空间的部分)可以形成一个几何体．(2)直线平行移动，可以形成平面或曲面，也就是说曲面可以包含直线；直线绕定点转动，可以形成锥面．问题2点和线有怎样的位置关系？直线与直线有怎样的位置关系？答：点在线上或点在线外．平行，相交，既不平行也不相交．问题3直线和平面有怎样的位置关系？平面和平面有怎样的位置关系？答：在平面内，平行，相交．平行，相交．问题4怎样说明直线和平面平行？怎样说明直线与平面垂直？答：直线和平面没有公共点，我们说直线和平面平行．如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线与平面垂直．问题5怎样说明两个平面平行？如何说明两个平面互相垂直？答：如果两个平面没有公共点，则说这两个平面平行．如果两个平面相交，并且其中一个平面通过另一个平面的一条垂线，我们说这两个平面互相垂直．例1如图所示，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中：(1)与直线B′C′平行的平面有哪几个？(2)与直线B′C′垂直的平面有哪几个？(3)与平面BC′平行的平面有哪几个？(4)与平面BC′垂直的平面有哪几个？(5)平面AC与平面A′C′间的距离可以用哪些线段来表示？解：(1)有平面ADD′A′与平面ABCD；(2)有平面ABB′A′、平面CDD′C′；(3)有平面ADD′A′；(4)有平面ABB′A′、平面CDD′C′、平面A′B′C′D′与平面ABCD；(5)可用线段AA′，BB′，CC′，DD′来表示．小结：如果直线AA′垂直于平面ABCD的两条相交直线，我们说直线AA′就垂直于平面ABCD，A为垂足，记作直线AA′⊥平面AC，直线AA′称为平面AC的垂线，平面AC称作直线AA′的垂面．线段AA′为点A′到平面AC 内的点所连线段中最短的一条，线段AA′的长称作点A′到平面AC的距离．跟踪训练1判断以下说法的正误：(1)长方体是由六个平面围成的几何体；(2)长方体ABCD—A′B′C′D′可以看作矩形ABCD上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形A′B′C′D′所形成的几何体；(3)长方体一个面内的所有点到其对面的距离都相等．解：(1)错误．因为长方体由六个矩形(包括它的内部)围成，注意“平面”与“矩形”的本质区别．(2)正确．(3)正确．例2判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)平面的形状是平行四边形；(2)任何一个平面图形都是一个平面；(3)圆和平面多边形都可以表示平面；(4)若S▱ABCD>S▱A′B′C′D′，则平面ABCD大于平面A′B′C′D′；(5)用平行四边形表示平面时，平行四边形的四边是这一平面的边界．解：(1)不正确．平行四边形只是平面的一种表示方式，它不能延展，而平面能无限延展，平面没有确定的形状；(2)不正确．任何一个平面图形，如点、线都不是平面；角、圆、多边形等都是平面的一部分，而不是平面；(3)正确．这样的图形可以表示平面，点、线这样的平面图形是平面的基本元素；(4)不正确．平面是不可度量的，不涉及大小；(5)不正确．平面是无限延展的，无边界．小结：本题主要考查平面的特征等基础知识以及空间想象能力．跟踪训练2下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m，宽是20 m；④平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：平面无大小、无厚度、无边际，所以只有④是正确的．练一练：当堂检测、目标达成落实处1．下列关于平面的说法正确的是()A．平行四边形是一个平面B．平面是有厚薄的C．平面是有边界线的D．平面是无限延展的解析：平面可以用平行四边形来表示，但平行四边形并不是一个平面．由于平面是无限延展的，故选D.2．下列说法正确的是()A．在空间中，一个点运动成直线B．在空间中，直线平行移动形成平面C．在空间中，直线绕该直线上的定点转动形成平面或锥面D．在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长方体解析：一个点运动也可以成曲线，故A错；在空间中，直线平行移动可以形成平面或曲面，故B错；在空间中，矩形上各点沿铅垂线向上(或向下)移动相同距离所形成的几何体是长方体，故D错．3．以下结论中不正确的是()A．平面上一定有直线B．平面上一定有曲线C．曲面上一定无直线D．曲面上一定有曲线解析：由于直线平行移动可以形成平面或曲面，所以曲面上不一定无直线，故C不正确．课堂小结：1．点、线、面是构成几何体的基本元素．2．平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个平面．3．平面的记法(1)平面一般用希腊字母α、β、γ…来命名；(2)平面图形顶点法．4．认识空间中的点、直线和平面之间的位置关系，我们可以动手制作一些模型或画出图形，来帮助我们理解和提高空间想象能力．。
【优化方案】2012高中数学_第1章1.1.1构成空间几何体的基本元素课件_新人教B版必修2
下列关于长方体的说法中， 下列关于长方体的说法中，正确的是 ________． ________． 长方体中有3组对面互相平行； ①长方体中有3组对面互相平行； ② 长方体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， 与 AB 垂直的只有棱 AD，BC和AA1； 长方体可看成是由一个矩形平移形成的； ③长方体可看成是由一个矩形平移形成的； ④ 长方体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， 棱 AA1 ， BB1 ， CC1 ， DD1平行且相等． 平行且相等． 分析】 可利用长方体的特点进行判断． 【分析】 可利用长方体的特点进行判断．
例1
解析】 如图， 【解析】 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平 面 ABCD ∥ 平面 A1B1C1D1 ， 平面 ADD1A1 ∥ 平面 BCC1B1 ， 正确； 平面ABB1A1∥平面CDD1C1，故①正确；与AB垂直的 棱除了AD，BC，AA1外，还有B1C1，A1D1，BB1，CC1 错误； 和DD1，故②错误；这个长方体可看成由它的一个 面ABCD上各点沿竖直方向向上移动相同距离AA1所 形成的几何体， 正确； 形成的几何体，故③正确；棱AA1，BB1，CC1，DD1 的距离， 的长度是长方体中面ABCD和面A1B1C1D1的距离，因 此它们平行且相等，故答案是①③④ ①③④. 此它们平行且相等，故答案是①③④.
课前自主学案
1．1.1 1．
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
初中学习过的几何体有： 长方体、 正方体、 初中学习过的几何体有 ： 长方体 、 正方体 、 圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等 圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等.
知新益能 1．长方体的有关概念 ．
矩形 如图，长方体由六个_______ 包括它的内部) 如图，长方体由六个_______ (包括它的内部)围 围成长方体的各个矩形，叫做长方体的____ 成，围成长方体的各个矩形，叫做长方体的____ 面 等均为长方体的面) (如图中矩形 ABCD－ A1B1BA等均为长方体的面)； 棱 相邻两个面的公共边， 叫做长方体的____ 相邻两个面的公共边 ， 叫做长方体的 ____ ( 如 A1A、AB、BC等均为长方体的棱)；棱和棱的公共 等均为长方体的棱) 顶点 叫做长方体的________ 点，叫做长方体的________ (如点A、B、C、D、 A1等均为长方体的顶点)．由图可知长方体有6个 等均为长方体的顶点) 由图可知长方体有6 _______条棱 _____个顶点 条棱， 8 个顶点． 面，_______条棱，_____个顶点． 12
1.1.1构成空间几何体的基本元素
平静的水面
平面式处处平直的面，而曲面就不是处处平直的.
曲面
曲面的形成
生活中的平面与曲面
从运动的观点，理解空间基本图形之间 的关系.
流星“点动成线”
动态观察几何体
直线平行移动，可以形成平面或曲面.
面动成体
结论
在集合中，可以把线看成点运动的轨迹， 如果点运动的方向始终不变，那么他的轨迹 就是一条直线或线段；如果点运动的方向时 刻在变化，则运动的轨迹是一条曲线或曲线 的一段. 同样，一条线运动的轨迹可以是一个面， 面运动的轨迹（经过的空间部分）可以形成 一个几何体.
过程与方法
通过让学生探究点、线、面 之间的相互关系，掌握文字语言、 符号语言、图示语言之间的相互 转化.
情感态度与价值观
通过用集合论的观点和运动的观 点讨论点、线、面、体之间的相互关 系培养学生会从多角度，多方面观察 和分析问题，体会将理论知识和现实 生活建立联系的快乐，从而提高学生 学习数学的兴趣.
各种形状的玩具
实际存在的几何图形
后来又通过学习几何知识，认识 了许多几何图形，如：长方形、长 方体、圆、球等.同学们有没有想过， 为什么画在纸上的各种各样的物体， 你一看就能认出它是某种物体呢？
三角形和半圆
1.1.1构成空间几何体的基本元素
教学目标
知识与能力
掌握空间点、线、面之间的 相互关系以及相互之间的位置 关系.
D`
A` B`
C`
D
A B连线 段中最短的一条，线段AA`的长称作点A` 到平面AC的距离.
D`
A` B`
C`
D
A B
C
平面AC∥平面A`C`
如果两个平面没有公共点，则说这两个平面平行.
高中数学必修2红对勾的习题答案 1-1-1
第一章 立体几何初步
红对勾系列丛书
解析：把握平面的三个特点： 无限延展； 解析 ： 把握平面的三个特点： ①平 ；② 无限延展 ； ③ 没有厚薄，就可知仅有 正确 正确． 没有厚薄，就可知仅有D正确． 答案： 答案：D
第一章 立体几何初步
红对勾系列丛书
2．在空间中，下列说法正确的是( ．在空间中，下列说法正确的是 A．一个点运动形成直线 ． B．直线平行移动形成平面 ． C．直线绕定点转动可以形成锥面 ．
红对勾系列丛书
A．0个 ． 个 C．2个 ． 个
B．1个 ． 个 D．3个 ． 个
解析： 不正确 我们用平行四边形来表示平面， 不正确． 解析：(1)不正确．我们用平行四边形来表示平面，但 不能说平行四边形是一个平面．平行四边形仅是平面上四 不能说平行四边形是一个平面． 条线段构成的图形，它是不能无限延展的． 条线段构成的图形，它是不能无限延展的．
第一章 立体几何初步
红对勾系列丛书
3． 逐步掌握立体几何中的三种语言 文字语言 、 符 ． 逐步掌握立体几何中的三种语言——文字语言 文字语言、 号语言、图形语言，及这三种语言之间的相互转化． 号语言、图形语言，及这三种语言之间的相互转化． 4．培养学习立体几何的兴趣，树立能学好立体几何的 ．培养学习立体几何的兴趣， 信心． 信心．
第一章 立体几何初步
红对勾系列丛书
点、线、面、体之间的生成关系和位置关系，是认识几何 体之间的生成关系和位置关系， 体的结构特征所必需的． 体的结构特征所必需的． 答案： 答案：C
第一章 立体几何初步
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3．下列说法中正确的个数是( ．下列说法中正确的个数是 (1)平行四边形是一个平面； 平行四边形是一个平面； 平行四边形是一个平面
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.1 构成空间几何体的基本元素学案 新人教B版必修2-新人教B
1．1．1 构成空间几何体的基本元素1．了解几何体的基本元素．2．理解平面的概念．3．掌握平面的画法及表示方法．1．几何体如果我们只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．2．构成空间几何体的基本元素(1)长方体由六个矩形(包括它的内部)围成，围成长方体的各个矩形，叫做长方体的面；相邻两个面的公共边，叫做长方体的棱；棱和棱的公共点，叫做长方体的顶点．(2)长方体有6个面，12条棱，8个顶点．(3)点、线、面是构成几何体的基本元素．3．空间点、线、面的特征(1)线有直线(段)和曲线(段)之分，面有平面(部分)和曲面(部分)之分．平面是处处平直的面，而曲面就不是处处平直的．(2)在立体几何中，平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个平面，并把它想象成无限延展的．平面一般用希腊字母α，β，γ，…来命名，还可以用表示它的平行四边形的对角顶点的字母来命名，如图中的平面α、平面β、平面ABCD或平面AC等．(3)在几何中，可以把线看成点运动的轨迹，如果点运动的方向始终不变，那么它的轨迹就是一条直线或线段；如果点运动的方向时刻在变化，则运动的轨迹是一条曲线或曲线的一段．(4)一条线运动的轨迹可以是一个面，面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体．(5)直线平行移动，可以形成平面或曲面．固定射线的端点，让其绕着一个圆弧转动，可以形成锥面．4．几个定义的比较位置关系定义图形符号表示平行线面如果直线和平面没有公共点，则说直线和平面平行AB∥平面α面面如果两个平面没有公共点，则说这两个平面平行平面α∥平面β垂直线面如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则说直线与平面垂直l⊥平面α面面如果两个平面相交，并且其中一个平面通过另一个平面的一条垂线，则说这两个平面互相垂直平面α⊥平面β距离点面点到平面的垂线段的长度，称作点到平面的距离两平面夹在两平行平面间垂线段的长度称作两平面间的距离1．关于平面下列说法正确的是( )A．平行四边形是一个平面B．平面是有大小的C．平面是无限延展的D．长方体的一个面是平面答案：C2．下列说法中错误的是( )A．平面用一个希腊字母就可以表示B．平面可用表示平面的平行四边形对角顶点的两个英文字母表示C．三角形ABC所在的平面不可以写成平面ABCD．一条直线和一个平面可能没有公共点答案：C3．直线平行移动一定形成平面吗？解：不一定，还可能形成曲面．平面概念的理解判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)平面的形状是平行四边形；(2)任何一个平面图形都是一个平面；(3)圆和平面多边形都可以表示平面；(4)若S▱ABCD>S▱A′B′C′D′，则平面ABCD大于平面A′B′C′D′；(5)用平行四边形表示平面时，平行四边形的四边是这一平面的边界．【解】(1)不正确．平行四边形只是平面的一种表示方式，它不能延展，而平面能无限延展，平面没有确定的形状；(2)不正确．任何一个平面图形，如点、线都不是平面；角、圆、多边形等都是平面的一部分，而不是平面；(3)正确．这样的图形可以表示平面，点、线这样的平面图形是平面的基本元素；(4)不正确．平面是不可度量的，不涉及大小；(5)不正确．平面是无限延展的，无边界．本题主要考查平面的特征等基础知识以及空间想象能力．给出下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m，宽是20 m；④平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选A．平面无大小、无厚度、无边际，所以只有④是正确的．应选择A．构成空间几何体的基本元素下列元素属于构成几何体的基本元素的有( )①点；②线；③曲面；④平行四边形(不含内部的点)；⑤长方体；⑥线段．A．3个B．4个C．5个D．6个【解析】①②③⑥均为构成几何体的基本元素，只有④⑤不属于构成几何体的基本元素，故选B．【答案】 B点、线、面是构成几何体的基本元素，任何一个几何体都是由这些基本元素组成的，而其他图形有时也能构成另外复杂的几何体，但是不能称之为基本元素．以下结论中正确的是( )A．“点动成线”中的线一定是直线B．直线运动的轨迹一定是平面或曲面C．曲面上一定没有直线D．平面上一定有曲线答案：D长方体中基本元素间的位置关系如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，回答下列问题：(1)与直线B1C1平行的平面有哪几个？(2)与直线B1C1垂直的平面有哪几个？(3)与平面BC1平行的平面有哪几个？(4)与平面BC1垂直的平面有哪几个？【解】(1)与直线B1C1平行的平面有：平面AD1，平面AC．(2)与直线B1C1垂直的平面有平面AB1，平面CD1．(3)与平面BC1平行的平面有：平面AD1．(4)与平面BC1垂直的平面有：平面AC，平面A1C1，平面AB1，平面DC1．若本例中的题干不变，将问题(1)(2)中的“直线B1C1”改为“直线BC1”，再去解答前两个小题．解：(1)与直线BC1平行的平面有：平面AD1．(2)所给6个平面中，与直线BC1垂直的平面不存在．以长方体为载体研究几何体中的点、线、面的关系，有助于形成空间观念，也可以利用运动的观点来分析图形中的线面位置关系．1．点、线、面是构成几何体的基本元素．2．平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个平面．3．平面的记法(1)平面一般用希腊字母α、β、γ…来命名；(2)平面图形顶点法．4．认识空间中的点、直线和平面之间的位置关系，我们可以动手制作一些模型或画出图形，来帮助我们理解和提高空间想象能力．通常所说“点动成线，线动成面，面动成体”中的线可能是曲线或直线，面也可能是平面或曲面，到底是哪一种，取决于其运动的方向与方式．1．下列命题：①正方形是一个平面；②平面是有边界的；③20个平面重合在一起比一个平面厚20倍．其中正确的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3答案：A2．飞机飞行表演在空中留下漂亮的“彩带”，用数学知识解释为________．答案：点动成线3．一个平面将空间分成________部分；两个平面将空间分成________部分．答案：2 3或4,[学生用书P77(单独成册)])[A 基础达标]1．下列不属于构成几何体的基本元素的是( )A．点B．线段C．曲面D．多边形(不含内部的点)解析：选D．点、线、面是构成几何体的基本元素．2．已知下列三个结论：①铺得很平的一张白纸是一个平面；②平面是矩形的形状；③一个平面的面积可以等于1 m2．其中正确结论的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选A．在立体几何中，平面是无限延展的，所以①③错误；通常我们画一个矩形来表示一个平面，但并不是说平面就是矩形，故②错．3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，与对角线BD1既不相交又不平行的棱有( )A．3条B．4条C．6条D．8条解析：选C．在平面A1B1C1D1上的四条棱中有A1B1，B1C1，在平面ABCD上的四条棱中有AD，CD，上、下两底面之间的四条棱中，有AA1，CC1，故与BD1既不相交又不平行的棱共有6条．4．下面给出的四个平面图形能制作成正方体的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选D．可制作成上述四个平面图形，然后折叠而得．5．下列命题正确的是( )A．直线的平移只能形成平面B．直线绕定直线旋转肯定形成柱面C．直线绕定点旋转可以形成锥面D．曲线的平移一定形成曲面解析：选C．直线的平移，可以形成平面或曲面，命题A不正确；只有当两直线平行时旋转形成柱面，命题B不正确；曲线平移的方向与曲线本身所在的平面平行时，不能形成曲面，D不正确，只有C正确．故选C．6．在以下几种几何体的图形中，正方体ABCDA1B1C1D1不可以由四边形________(填序号)平移而得到．①ABCD；②A1B1C1D1；③A1B1BA；④A1BCD1．解析：①ABCD，②A1B1C1D1，③A1B1BA，按某一方向平移可以得到正方体ABCDA1B1C1D1，④A1BCD1平移不能得到正方体ABCDA1B1C1D1．答案：④7．把如图的平面沿虚线折叠可以折叠成的几何体是________．解析：图中由六个长方形组成，可以动手折叠试验，得到长方体．答案：长方体8．下列关于长方体的说法中，正确的是________．①长方体中有3组对面互相平行；②长方体ABCDA1B1C1D1中，与AB垂直的只有棱AD，BC和AA1；③长方体可看成是由一个矩形平移形成的；④长方体ABCDA1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1平行且相等．解析：如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，故①正确；与AB垂直的棱除了AD，BC，AA1外，还有B1C1，A1D1，BB1，CC1和DD1，故②错误；这个长方体可看成由它的一个面ABCD上各点沿竖直方向向上移动相同距离AA1所形成的几何体，故③正确；棱AA1，BB1，CC1，DD1的长度是长方体中面ABCD 和面A1B1C1D1的距离，因此它们平行且相等，故答案是①③④．答案：①③④9．下列各题说法对吗？(1)点运动的轨迹是线；(2)线运动的轨迹一定是面；(3)面运动的轨迹一定是体．答案：(1)正确；(2)错误；(3)错误10．已知长方体ABCDA1B1C1D1的长、宽、高分别为5、4、3，试分别求面ABCD与面A1B1C1D1，面ADD1A1与面BCC1B1，面ABB1A1与面DCC1D1间的距离．解：因为面ABCD∥面A1B1C1D1，AA1与该两平面垂直．且长方体的高为3．所以面ABCD与面A1B1C1D1之间的距离为3．同理：面ADD1A1与面BCC1B1之间的距离为5．面ABB1A1与面DCC1D1之间的距离为4．[B 能力提升]11．下列几何图形中，可能不是平面图形的是( )A．梯形B．菱形C．平行四边形D．四边形解析：选D．四边形可能是空间四边形，如将菱形沿一条对角线折叠成4个顶点不共面的四边形．12．下列说法：①长方体是由六个平面围成的几何体；②长方体可以看作一个矩形ABCD(水平放置)上各点沿铅垂线方向向上移动相同的距离到矩形A′B′C′D′所形成的几何体；③长方体一个面上的任一点到对面的距离相等．其中正确命题的序号是________．解析：①是错误的，面与矩形是不同的．答案：②③13．在正方体ABCDA1B1C1D1中，判断平面AB1D1和平面BC1D的位置关系．解：因为平面AB1D1和平面BC1D不论怎样延展都是没有交点的，所以它们互相平行．14．(选做题)要将一个正方体模型展开成平面图形，需要剪断多少条棱？你能从中得出什么规律来吗？解：需要剪断7条棱．因为正方体有6个面，12条棱，两个面有一条棱相连，展开后六个面就有5条棱相连，所以剪断7条棱．规律是正方体的平面展开图只能有5条棱相连，但是，有5条棱相连的6个正方形图形不一定是正方体的平面展开图．。
01构成01
第 1 页共 4 页第 2页共4页第 3 页 共 4 页 第 4页 共4页【小结】 总结出错点探究点二：长方体中基本元素的理解【例2】如图所示，长方体1111ABCD A BC D -中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延伸为平面，那么在这12条直线与6个平面中，回答下列问题 （1）与直线11B C 平行的平面有哪几个？ （2）与直线11B C 垂直的平面有哪几个？ （3）与平面1BC 平行的平面有？ （4）与平面1BC 垂直的平面有？【拓展】如果AB=3，BC=2，1CC =1， （1） 直线11B C 与平面ABCD 距离是多少？ （2） 平面1111A B C D 与平面ABCD 距离是多少？【小结】总结出错点【数学趣味阅读】()()log ,log ()log log log log log log log m n m n m n mnm m n a m n a n a a a a a a ab a x N a N a M N M a a M a a a N n M n a a N M N +=====⋅===⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩-为根指数，为被开方数分数指数幂指数的运算指数函数性质定义：指数函数性质：对数：为底数，为真数基本初等函数对数的运算性质对数函数.log log log a c a c M b b a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩换底公式：定义：对数函数性质：幂函数定义：性质：【我的收获】1.知识方面2.数学思想方法3.我的感悟：A BC A 1DB 1C 1D 1。
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【新课教学过程设计（一）】
第一章空间几何体
第1.1.2节简单组合体的结构特征
【本节教材分析】
（一）三维目标
1.掌握简单组合体的概念，学会观察、分析图形，提高空间想象能力和几何直观能力.
2.能够描述现实生活中简单物体的结构，学会通过建立几何模型来研究空间图形，培养学生的数学建模思想.
（二）教学重点
描述简单组合体的结构特征。
（三）教学难点
概括出简单组合体的结构特征。
（四）教学建议
立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的学科，只有把我们周围的物体形状正确迅速分解开，才能清醒地认识几何学，为后续学习打下坚实的基础.简单几何体（柱体、锥体、台体和球）是构成简单组合体的基本元素.本节教材主要是为了让学生在学习了柱、锥、台、球的基础上，运用它们的结构特征来描述简单组合体的结构特征.
【新课导入设计】
导入一：在我们的生活中，酒瓶的形状是圆柱吗？我们的教学楼的形状是柱体吗？钢笔、圆珠笔呢？这些物体都不是简单几何体，那么如何描述它们的结构特征呢？教师指出课题：简单几何体的结构特征.
导入二：现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球体等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体，这节课学习的课题是：简单几何体的结构特征.
提出问题
①请指出下列几何体是由哪些简单几何体组合而成的.
图1
②观察图1，结合生活实际经验，简单组合体有几种组合形式？
③请你总结长方体与球体能组合成几种不同的组合体.它们之间具有怎样的关系？
活动：让学生仔细观察图1，教师适当时候再提示.
①略.
②图1中的三个组合体分别代表了不同形式.
③学生可以分组讨论，教师可以制作有关模型展示.
讨论结果：①由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成.图1（1）是一个四棱锥和一个长方体拼接成的，这是多面体与多面体的组合体；图1（2）是一个圆台挖去一个圆锥构成的，这是旋转体与旋转体的组合体；图1（3）是一个球和一个长方体拼接成的，这是旋转体与多面体的组合体.
②常见的组合体有三种：多面体与多面体的组合；多面体与旋转体的组合；旋转体与旋转体的组合.其基本形式实质上有两种：一种是由简单几何体拼接而成的简单组合体，如图1（1）和（3）所示的组合体；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组合体，如图1（2）所示的组合体.
③常见的球与长方体构成的简单组合体及其结构特征：1°长方体的八个顶点在同一个球面上，此时长方体称为球的内接长方体，球是长方体的外接球，并且长方体的对角线是球的直径；2°一球与正方体的所有棱相切，则正方体每个面上的对角线长等于球的直径；3°一球与正方体的所有面相切，则正方体的棱长等于球的直径.
应用示例
例1 请描述如图2所示的组合体的结构特征.
图2
活动：回顾简单几何体的结构特征，再将各个组合体分解为简单几何体.依据柱、锥、台、球的结构特征依次作出判断.
解：图2（1）是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；
图2（2）是由一个长方体截去一个三棱锥后剩下的部分得到的组合体；
图2（3）是由一个圆柱挖去一个三棱锥剩下的部分得到的组合体.
点评：本题主要考查简单组合体的结构特征和空间想象能力.
变式训练1：(1) 如图3说出下列物体可以近似地看作由哪几种几何体组成？
图3
(2)如图4（1）、（2）所示的两个组合体有什么区别？
图4
答案：(1) 图3（1）中的几何体可以看作是由一个圆柱和一个圆锥拼接而成；图（2）中的螺帽可以近似看作是一个正六棱柱中挖掉一个圆柱构成的组合体.
（2）图4（1）所示的组合体是一个长方体上面又放置了一个圆柱，也就是一个长方体和一个圆柱拼接成的组合体；而图（2）所示的组合体是一个长方体中挖去了一个圆柱剩余部分构成的组合体.
例2 连接正方体的相邻各面的中心（所谓中心是指各面所在正方形的两条对角线的交点），所得的一个几何体是几面体？并画图表示该几何体.
活动：先画出正方体，然后取各个面的中心，并依次连成线观察即可.连接相应点后,得出图形如图4(1)，再作出判断.
(1) (2)
图4
解：如图4(1)，正方体ABCD—A1B1C1D1，O1、O2、O3、O4、O5、O6分别是各表面的中心.由点O1、O2、O3、O4、O5、O6组成了一个八面体，而且该八面体共有6个顶点，12条棱.该多面体的图形如图4（2）所示.
点评：本题中的八面体，事实上是正八面体——八个面都是全等的正三角形，并且以每个顶点为其一端，都有相同数目的棱.由图还可见，该八面体可看成是由两个全等的四棱锥经重合底面后而得到的，而且中间一个四边形O2O3O4O5还是正方形，当然其他的如O1O2O6O4等也是正方形.为了增强立体效果，正方体应画得“正”些，而八面体的放置应稍许“倾斜”些，并且“后面的”线，即被前面平面所遮住的线，如图中的O1O5、O6O5、O5O2、O5O4应画成虚线.
变式训练2
连接上述所得的几何体的相邻各面的中心，试问所得的几何体又是几面体？
答案：六面体（正方体）.
例3 已知如图5所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，当梯形ABCD绕BC 所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成的一个几何体，试描述该几何体的结构特征.
图5
解析：让学生思考AB、AD、DC与旋转轴BC是否垂直，以此确定所得几何体的结构特征
解：如图所示，旋转所得的几何体是两个圆锥和一个圆柱拼接成的组合体.
点评：本题主要考查空间想象能力以及旋转体、简单组合体.
变式训练3
（1）如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，当梯形ABCD绕AD 所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成的一个几何体，试描述该几何体的结构特征.
图6
（2）如图所示，一个圆环绕着同一个平面内过圆心的直线l旋转180°，说出它形成的几何体的结构特征
图7
答案：（1）如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体.
（2）一个大球内部挖去一个同球心且半径较小的球.
拓展提升
1.请想一想正方体的截面可能是什么形状的图形？
活动：静止是相对的，运动是绝对的，点动成线，线动成面.用运动的观点看几何问题的形成，容易建立空间想象力，这样对于分割和组合图形是有好处的.
明确棱柱、棱锥、棱台等多面体的定义及圆柱、圆锥、圆台的生成过程，以及柱、锥、台的相互关系，对于我们正确的割补图形也是有好处的.
对于正方体的分割，可通过实物模型，实际切割实验，还可借助于多媒体手段进行切割实验.对于切割所得的平面图形可根据它的定义进行证明，从而判断出各个截面的形状.
探究：本题考查立体几何的空间想象能力，通过尝试、归纳，可以有如下各种肯定或否定性的答案：
（1）截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形.
（2）截面三角形是锐角三角形，截面三角形不能是直角三角形、钝角三角形.
（3）截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形至少有一组对边平行.
（4）截面不能是直角梯形.
（5）截面可以是五边形：截面五边形必须有两组分别平行的边，同时有两个角相等；截面五边形不可能是正五边形.
（6）截面可以是六边形：截面六边形必须有分别平行的边，同时有两个角相等.
（7）截面六边形可以是等角（均为120°）的六边形，即正六边形.
截面图形如图12中各图所示：
图12
课堂小结
本节课学习了简单组合体的概念和结构特征.
作业
习题1.1 A组第3题；B组第2题.
【当堂检测】
一、选择题
1．如图所示的组合体的结构特征是( )
A．两个四棱锥组合成的
B．一个三棱锥和一个四棱锥组合成的
C．一个四棱锥和一个四棱柱组合成的
D．一个四棱锥和一个四棱台组合成的
2．下列说法正确的是( )
A．圆锥的母线长等于底面圆直径
B．圆柱的母线与轴垂直
C．圆台的母线与轴平行
D．球的直径必过球心
3．底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，则截得的截面圆的面积为( )
A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．4π
4．充满气的车轮内胎可由下面哪一个图形绕对称轴l 旋转得到( )
二、填空题
5．从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E 、F 、G ，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是________．
6．圆台的两底面半径分别为2,5，母线长是310，则其轴截面面积是________．
7．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径之比是1∶4，母线长为10，则圆锥的母线长是________．
1.解析：该组合体是由上、下两个四棱锥组合而成的．
答案：A
2.解析：对于A ，圆锥的母线长不一定等于底面圆直径；对于B ，圆柱的母线与轴平行；对于C ，圆台的母线与轴延长后相交于一点；D 正确．
答案：D
3.解析：作出截面图，如图，由△A 1B 1C 1∽△ABC ，得B 1C 1＝1，∴截面圆面积为π. 答案：A
4.解析：A 中圆环旋转形成一空心球；B 中圆环旋转形成一车轮轮胎(包括外胎)；C 中圆旋转形成球；D 中圆形成车轮内胎．
答案：D
5.解析：截去的几何体是由这个顶点和E 、F 、G 四个点为顶点构成的三棱锥． 答案：三棱锥
6.解析：圆台的高为h ，则h ＝102－－2＝9，
∴轴截面面积S ＝12
(4＋10)×9＝63. 答案：63
7.解析：把圆台还原为圆锥，利用三角形相似得，
x －10x ＝14
(其中x 为圆锥母线长)，∴x ＝403.
40答案：
3。