2全等图形
图形的全等-【题型·技巧培优系列】七年级数学下册精讲精练(北师大版)2
【解答】解： 、两个图形不全等，故此选项不合题意；
、两个图形全等，故此选项符合题意；
、两个图形不全等，故此选项不合题意；
、两个图形不全等，故此选项不合题意．
故选： ．
题型二全等图形的性质
【例题2】（2022秋?琼山区校级期中）下列选项中表示两个全等的图形的是
【分析】根据图形即可得到结论．
【解答】解：由图知， ，
故选： ．
【变式3-2】（2021秋?台江区期末）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则 的度数为
A． B． C． D．
【分析】根据对称性可得 ， ．
【解答】解：观察图形可知， 所在的三角形与 所在的三角形全等，
，
又 ，
，
故选： ．
【变式3-3】（2022秋?鄞州区期中）如图是单位长度为1的正方形网格，则 ．
故选： ．
【变式2-2】（2022秋?浦口区校级月考）如图，在四边形 与 中， ， ， ．下列条件中：① ， ；② ， ；③ ， ；④ ， ．添加上述条件中的其中一个，可使四边形 四边形 ，上述条件中符合要求的有
A．①②③B．①③④C．①④D．①②③④
【分析】连接 、 ，通过证明 △ ， △ ，即可得到结论．
、能够完全重合的两个图形是全等图形，故此选项正确，符合题意；
故选： ．
解题技巧提炼
此题主要考查了全等图形，正确把握全等图形的定义是解题关键．
【变式2-1】（2022秋?金湖县期中）下列说法正确的是
A．两个形状相同的图形称为全等图形
B．两个圆是全等图形
C．全等图形的形状、大小都相同
D．面积相等的两个三角形是全等图形
图形分类知识点总结
图形分类知识点总结一、基本图形的分类1.点、线、面的分类在几何学中，点、线、面是最基本的图形，它们是构成复杂图形的基本元素。
根据不同的特征，可以将点、线、面进一步分类。
（1）点点是没有长度、宽度和高度的，只有位置的图形。
根据点的位置，可以将点分为确定点和不确定点。
- 确定点：指在一个平面上确定的点，其位置是确定的，常用字母表示如点A、点B等。
- 不确定点：指在一个范围内或平面外的点，其位置不确定，通常用大写字母P、Q等表示。
（2）线线是由点组成的，没有宽度，但有长度的图形。
根据线的位置和特征，可以将线分为不同类别。
- 直线：在平面上有无限长度的线段称为直线，用两个点A、B表示，也可以用一对平行线上的两个点A、B表示。
直线可以延伸到无穷远，但无始无终。
- 射线：源自一个端点，沿着一定方向无限延伸的直线段称为射线，用这个端点和射线上的另一点唯一确定一个射线。
- 线段：两个端点A、B之间的线段称为线段，用AB表示，线段只有确定的长度。
（3）面面是有长度和宽度，但没有厚度的图形。
根据面的形状和性质，可以将面分为不同类型。
- 几何图形：平面上有形状和大小的图形称为几何图形，例如：三角形、矩形、圆等。
- 多边形：由三条以上的线段组成的封闭曲线称为多边形，例如：三角形、四边形、五边形等。
- 几何体：由面组成的实体称为几何体，例如：立方体、球体、圆柱体等。
二、二维图形的分类1.点、线、面的特征在二维图形中，点、线、面具有不同的特征和性质。
（1）点的特征- 位置唯一：一个点在平面上的位置是唯一确定的。
- 唯一性：一个点在平面上不可能有重复或多个。
（2）线的特征- 直线的特征：直线是由无数个点组成的，没有起点和终点，长度无限。
- 射线的特征：射线有一个起点，无限延伸，有向的。
- 线段的特征：线段有两个端点，有一定长度。
（3）面的特征- 形状：面的形状有多种，可以是凸多边形、凹多边形、正多边形等。
- 面积：面积是衡量面大小的指标，不同形状的面积计算方法也不同。
图形的全等
如果两个三角形的三条对应边相等，那么这两个三角形全等。例如，已知三 角形ABC和三角形DEF中，AB=DE，BC=EF，CA=FD，那么这两个三角形 全等。
边角边（SAS）
如果两个三角形的两条对应边相等，并且它们的夹角也相等，那么这两个三 角形全等。例如，已知三角形ABC和三角形DEF中，AB=DE，BC=EF， <B=<E，那么这两个三角形全等。
06
全等的应用举例
在几何中的应用举例
1
证明两个三角形全等可以解决许多几何问四边形的对应 角相等。
3
两个圆全等可以确定圆心之间的距离相等。
在设计中的应用举例
建筑设计中需要使用全等图形来保持建筑的比例和对称性。
在服装设计中，全等图形可以用于制作图案和拼接不同材料 。
02
判别方法
几何证明法
根据定义
通过全等三角形的定义，即两个三角形的三组对应边分别相等，且三组对应边的 夹角也分别相等，来判断两个三角形全等。
按照边角关系
利用三角形中边与角的关系来判断三角形是否全等。如果两个三角形的两边及其 夹角对应相等，或三个对应角相等，则可以判断这两个三角形全等。
量证明法
利用勾股定理的逆定理
04
练习题
选择题
01
02
03
总结词1
在下列四个图形中，哪些 是全等的？
总结词2
下面哪两个图形经过平移 、旋转或翻折后可以完全 重合？
总结词3
下列哪两个图形可以通过 旋转而相互得到？
解答题
1 2
总结词1
请说明如何在平面上，通过平移、旋转或翻折 一个图形，使其与另一个图形完全重合。
总结词2
对于给定的两个全等图形，如何通过平移、旋 转或翻折得到它们之间的相互关系？
相似和全等的概念及判定方法
相似和全等的概念及判定方法相似和全等是几何学中常用的概念，用于描述两个图形之间的关系。
相似和全等既有共同点，也有不同之处。
在几何学中，相似和全等的判定方法有其独特的规则和标准。
一、相似的概念及判定方法1. 相似的概念相似是指两个图形在形状上相同，但大小可能不同的关系。
就像我们平时所说的“相似”的概念一样，相似的图形可以相互比较，可以通过比例关系来描述。
2. 相似的判定方法（1）AAA判定法则：若两个三角形的三个内角分别相等，则这两个三角形相似。
（2）SAS判定法则：若两个三角形的一对内角相等，与这对角的两边分别成比例，则这两个三角形相似。
（3）SSS判定法则：若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似。
二、全等的概念及判定方法1. 全等的概念全等是指两个图形在形状和大小上完全相同的关系。
如果两个图形是全等的，它们的对应的边长和角度完全相等。
2. 全等的判定方法（1）SSS全等法则：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等。
（2）SAS全等法则：若两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。
（3）ASA全等法则：若两个三角形的一对角和两边分别相等，则这两个三角形全等。
（4）RHS全等法则：若两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等，则这两个直角三角形全等。
三、相似和全等的联系与区别相似和全等都是在描述两个图形之间的关系，但其判定方法和条件是不同的。
联系：相似和全等都需要比较两个图形的边长和角度。
区别：相似只需要满足角度相等或边长成比例即可，而全等需要同时满足角度和边长完全相等。
结语相似和全等是几何学中常用的概念，用于描述和比较不同图形之间的关系。
了解相似和全等的概念及判定方法，对于解决几何学问题具有重要的意义。
通过学习相似和全等的概念和判定方法，我们可以在实际问题中应用几何学知识，提高解决问题的能力。
初中数学鲁教版(五四制)七年级上册第一章 三角形2 图形的全等-章节测试习题(13)
章节测试题1.【答题】如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为（）A. 20°B. 30°C. 35°D. 40°【答案】B【分析】本题根据全等三角形的性质并找清全等三角形的对应角即可．【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB＝∠A′CB′，即∠ACA′+∠A′CB＝∠B′CB+∠A′CB，∴∠ACA′＝∠B′CB，又∠B′CB＝30°∴∠ACA′＝30°．选B．2.【答题】如图，△ABC≌△ADE，则下列结论错误的是（）A. ∠B＝∠DB. DE＝CBC. ∠BAC＝∠DAED. AB＝AE【答案】D【分析】依据全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等进行判断即可．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D，DE＝CB，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD．选D．3.【答题】已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（）A. 72°B. 60°C. 58°D. 50°【答案】D【分析】要根据已知的对应边去找对应角，并运用"全等三角形对应角相等"即可得答案．【解答】解：∵图中的两个三角形全等a与a，c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角∴∠α＝50°选D．4.【答题】已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（）A. 72°B. 60°C. 58°D. 50°【答案】D【分析】要根据已知的对应边去找对应角，并运用"全等三角形对应角相等"即可得答案．【解答】解：因为图中的两个三角形全等所以a与a，c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角所以∠α=50°选D．5.【答题】已知△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，若△DEF的周长为偶数，则EF 的取值为（）A. 3B. 4C. 5D. 3或4或5【答案】B【分析】∵两个全等的三角形对应边相等，∴求EF的长就是求BC的长．【解答】解：4﹣2＜BC＜4+22＜BC＜6．若周长为偶数，BC也要取偶数∴为4．∴EF的长也是4．选B．6.【答题】下列几种说法：①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；③周长相等的两个三角形全等；④全等的两个三角形一定重合．其中正确的是（）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④【答案】D【分析】依据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形．即可求解．【解答】解：①全等三角形的对应边相等，正确；②、全等三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定是全等三角形．故该选项错误；③、全等三角形的周长相等，但周长的两个三角形不一定能重合，不一定是全等三角形．故该选项错误；④、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，故正确；故正确的是①④.选D．7.【答题】如图，△ABC≌△DCB，若AC=7，BE=5，则DE的长为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【分析】根据全等三角形的对应边相等推知BD=AC=7，然后根据线段的和差即可得到结论．【解答】解：∵△ABC≌△DCB，∴BD=AC=7，∵BE=5，∴DE=BD﹣BE=2，选A．8.【答题】已知△ABC≌△DEF，且AB=4，BC=5，AC=6，则DE的长为（）A. 4B. 5C. 6D. 不能确定【答案】A【分析】根据全等三角形的对应边相等求解即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴DE=AB=4．选A．9.【答题】如图，△ABC≌△DEC，点B的对应点E在线段AB上，若AB∥CD，∠D=32°，则∠B的度数是（）A. 56°B. 68°C. 74°D. 75°【答案】C【分析】直接利用角平分线的性质结合平行线的性质得出∠B=∠CEB=∠CED，进而得出∠DEA+∠DEC+∠CEB=2∠B+∠DEA求出答案．【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∴∠D=∠A=32°，EC=BC，∴∠B=∠CEB=∠CED，∵AB∥CD，∴∠DCA=∠A=∠DEA=32°，∴∠DEA+∠DEC+∠CEB=2∠B+∠DEA=2∠B+32°=180°，解得：∠B=74°．选C．10.【答题】如图，已知：△ABC≌△ADE，BC与DE是对应边，那么∠EAB=（）A. ∠EACB. ∠CADC. ∠BACD. ∠DAE【答案】B【分析】根据全等三角形的性质可得∠BAC=∠DAE，再根据等式的性质可得∠EAB=∠CAD．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠EAC=∠EAD﹣∠EAC，即∠EAB=∠CAD，选B．11.【答题】已知：如图，△ABC与△DEF是全等三角形，则图中相等的线段的组数是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【分析】△ABC≌△DEF，有三组对应边相等，在线段BF上，利用线段的和差关系可得BE=CF．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，AC=DF，BC=EF，∴BC-EC=EF-EC，即BE=CF，有四组相等线段，选B．12.【答题】如图，已知△ABD≌△DCA，A和D，C和B分别是对应点，如果AB=7cm，AD=6cm，BD=4cm，则DC的长为（）A. 6cmB. 7cmC. 4cmD. 不确定【答案】B【分析】要求CD的大小，关键是找准CD的对应边，本题中根据已知条件可知其对应边是AB，然后利用全等的意义得出答案．【解答】解：∵△ABD≌△DCA，A和D，C和B分别是对应点，∴DC=AB=7cm．选B．13.【答题】如图，△ABC≌△CDA，∠BAC=∠DCA，则BC的对应边是（）A. CDB. CAC. DAD. AB【答案】C【分析】根据全等三角形中对应角所对的边是对应边，可知BC=DA．【解答】解：∵ABC≌△CDA，∠BAC=∠DCA，∴∠BAC与∠DCA是对应角，∴BC与DA是对应边（对应角对的边是对应边）．选C．14.【答题】如图，△ABC≌△BAD，A、C的对应点分别是B、D，若AB=9，BC=12，AC=7，则BD=（）A. 7B. 9C. 12D. 无法确定【答案】A【分析】由三角形全等的性质可得到对应线段相等，要根据已知找准对应关系．【解答】解：∵△ABC≌△BAD，A、C的对应点分别是B、D，∴BD=AC，∵AC=7，∴BD=7．选A．15.【答题】如图，△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点，若AB=6cm，AC=4cm，BC=5cm，则AD的长为（）A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 以上都不对【答案】B【分析】由△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点，知AD和BC是对应边，全等三角形的对应边相等即可得．【解答】解：∵△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点∴AD=BC=5cm．选B．16.【答题】如图所示，△ABC≌△EFD，那么（）A. AB=DE，AC=EF，BC=DFB. AB=DF，AC=DE，BC=EFC. AB=EF，AC=DE，BC=DFD. AB=EF，AC=DF，BC=DE【答案】C【分析】根据全等三角形的对应边相等，就可以得到三组相等的线段，即可求解．【解答】解：∵△ABC≌△EFD∴AB=EF，DE=AC，DF=CB∴CF=BD∴C中的三个式子全部正确．选C．△ABC≌△EFD表示的各点顺序的对应位置表示来找寻．17.【答题】如图△ABC≌△BAD，若AB=9，BD=8，AD=7，则BC的长为（）A. 9B. 8C. 7D. 6【答案】C【分析】观察图形根据已知找出对应边，运用两三角形全等的性质得对应边相等可求解．【解答】解：∵△ABC≌△BAD，∴BC=AD=7．选C．18.【答题】若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为20，AB=5，BC=8，则DF长为（）A. 5B. 8C. 5或8D. 7【答案】D【分析】根据三角形全等的性质可得DF=AC，再利用已知条件可求得AC的长，可得出答案．【解答】解：∵△ABC的周长为20，AB=5，BC=8，∴AC=7，∵△ABC≌△DEF，∴DF=AC=7，选D．19.【答题】如图，△ABC≌△DBF，∠ABD=30°，则∠CBF的度数为（）A. 20°B. 40°C. 10°D. 30°【答案】D【分析】根据全等三角形的性质得出∠ABC=∠DBF，求出∠ABD=∠CBF，代入求出即可．【解答】解：∵△ABC≌△DBF，∴∠ABC=∠DBF，∴∠ABC-∠DBC=∠DBF-∠DBC，∴∠ABD=∠CBF，∵∠ABD=30°，∴∠CBF=30°，选D．20.【答题】如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（）A. POB. PQC. MOD. MQ【答案】B【分析】利用全等三角形对应边相等可知要想求得MN的长，只需求得其对应边PQ的长，据此可以得到答案．【解答】要想利用△PQO≌△NMO求得MN的长，只需求得线段PQ的长，选B．。
如何判断图形的相似和全等
如何判断图形的相似和全等？
判断图形的相似和全等是几何学中常见的问题，它们有着特定的判定条件和方法。
下面将介绍如何判断图形的相似和全等的步骤。
一、相似图形的判断：
1. 相似图形具有相同的形状，但可能不同的大小。
2. 判断两个图形是否相似，需要满足以下条件：
-对应角相等：两个图形的对应角度相等。
-对应边成比例：两个图形的对应边长成比例，即相似比例。
-对应边的比例恒定：对于任意两个对应边，它们的比例都相等。
3. 如果满足以上条件，即可判定两个图形相似。
二、全等图形的判断：
1. 全等图形具有相同的形状和大小。
2. 判断两个图形是否全等，需要满足以下条件：
-对应边相等：两个图形的对应边长相等。
-对应角度相等：两个图形的对应角度相等。
3. 如果满足以上条件，即可判定两个图形全等。
需要注意的是，判断相似和全等图形时，只需考虑对应的角和边，不需要考虑其他部分的相等性或相似性。
在实际问题中，可以利用相似和全等的性质来解决几何问题，如计算未知边长、角度等。
熟练掌握判断相似和全等图形的方法，可以更好地解决与几何相关的问题。
判断相似和全等图形是几何学中重要的基本技巧，也是学习更高级几何学和应用数学的基础。
通过实际操作和练习，可以提高判断准确性和效率。
冀教版八年级上册河北同步课堂课件第十三章 13-2 全 等 图 形
A．2 B．3 C．5 D．7
7．(2020·淄博中考)如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是( B )
A．AC＝DE C．AB＝AE
B．∠BAD＝∠CAE D．∠ABC＝∠AED
8．(2021·承德期末)如图，△ABC≌△DCB，∠A＝75°，∠DBC＝40°，则∠DCA 的度数 为____2_5_____°.
【解析】(1)线段 AE 和 CE 的关系是 AE＝EC，且 AE⊥CE.理由如下： ∵△ABE≌△EDC，∴AE＝EC，∠A＝∠CED， ∵AB⊥BD，∴∠A＋∠AEB＝90°，∴∠CED＋∠AEB＝90°，∴∠AEC＝180°－90°＝90°， ∴AE⊥CE； (2)如图所示，相等的边有 AB＝ED，AE＝EC，BE＝DC，相等的角有∠BAE＝∠DEC， ∠ABE＝∠EDC，∠AEB＝∠ECD.
9．(2021·朔州质检)如图，△ACF≌△DBE，其中点 A，B，C，D 在同一条直线上． (1)若 BE⊥AD，∠F＝63°，求∠A 的大小． (2)若 AD＝11 cm，BC＝5 cm，求 AB 的长．
【解析】(1)∵BE⊥AD，∴∠EBD＝90°， ∵△ACF≌△DBE，∴∠FCA＝∠EBD＝90°， ∴∠A＝90°－∠F＝27°； (2)∵△ACF≌△DBE，∴CA＝BD， ∴CA－CB＝BD－BC，即 AB＝CD， ∵AD＝11 cm，BC＝5 cm， ∴AB＋CD＝11－5＝6 cm，∴AB＝3 cm.
8．(素养提升题)如图，△ABE≌△EDC，点 E 在 BD 上，AB⊥BD，点 B 为垂足．
(1)指出线段 AE 和 CE 的关系，并说明为什么？ (2)分别将图中的△ABE 绕点 E 按顺时针方向旋转，分别画出满足下列条件的图形并 说出此时△ABE 与△EDC 中相等的边和角． ①使 AE 与 CE 重合；②使 AE 与 CE 垂直；③使 AE 与 EC 在同一直线上．
初中数学鲁教版(五四制)七年级上册第一章 三角形2 图形的全等-章节测试习题
章节测试题1.【答题】如图△ACB≌A’CB’，∠A’CB=30°，∠ACB’=110°，则∠ACA’的度数是______度．【答案】40【分析】本题主要考查全等三角形对应角相等的性质，对应角都减去∠A′CB得到两角相等是解决本题的关键．【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB=∠A′CB′，∴∠ACB﹣∠A′CB=∠A′CB′﹣∠A′CB，即∠ACA′=∠BCB′，∵∠A′CB=30°，∠ACB′=110°，∴∠ACA′=（110°﹣30°）÷2=40°．故答案为：402.【答题】△ABC中，∠BAC∶∠ACB∶∠ABC＝4∶3∶2，且△ABC≌△DEF，则∠DEF＝______.【答案】40°【分析】利用全等三角形的性质，要求∠DEF即要求∠ABC，分别设出△ABC对应的角度，再利用三角形内角和为180°列方程解出未知数即可.【解答】设∠BAC=4x°，∠ACB=3x°，∠ABC=2x°，所以4x+3x+2x=180，x=20，∴∠ABC=40°，∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC=∠DEF=40°.故答案为40°.3.【答题】如图，△ABC≌△DEF，线段AD=5，DE=3，则BD= ______.【答案】2【分析】根据全等三角形的性质解答即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，DE=3，∴AB=DE=3，∵线段AD=5，∴BD=AD-AB=5-3=2.4.【答题】如图，△ABC≌△ADE，若∠BAE=120°，∠BAD=42°，则∠DAC=______．【答案】36°【分析】根据全等三角形的性质解答即可．【解答】∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAE=42°，∴∠DAC=∠BAE﹣∠BAD﹣∠CAE=120°﹣42°﹣42°=36°．故答案为：36°．5.【答题】如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于F，交DE于G，∠D=25°，∠E=105°，∠DAC=16°，则∠DGB=______．【答案】66°【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠ACB=∠E，再求出∠ACF，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠ACB=∠E=105°，∴∠ACF=180°﹣105°=75°，在△ACF和△DGF中，∠D+∠DGB=∠DAC+∠ACF，即25°+∠DGB=16°+75°，解得∠DGB=66°．故答案为：66°．6.【题文】如图，ΔABC≌ΔD EF，∠A=25°，∠B=65°，B F=3㎝，求∠D FE的度数和E C的长.【答案】∠D FE=65°；E C=3㎝.【分析】根据已知条件，△ABC≌△DEF，可知∠E=∠B=65°，BF=BC，可证EC=BF=3cm，做题时要正确找出对应边，对应角．【解答】解：△ABC中∠A=25°，∠B=65°，∴∠BCA=180°-∠A-∠B=180°-25°-65°=90°，∵△ABC≌△DEF，∴∠BCA=∠DFE，BC=EF，∴EC=BF=3cm，∴∠DFE=90°，EC=3cm．7.【题文】如图,△ACB与△BDA全等,AC与BD对应,BC与AD对应,写出其余的对应边和对应角.【答案】见解析【分析】利用全等三角形的性质分别得出对应点进而得出对应边与对应角关系．【解答】解：∵△ACB≌△BDA,∴AB=BA;∠CBA=∠DAB,∠CAB=∠DBA,∠C=∠D.8.【题文】如图,已知△ABD≌△CDB,∠ABD=∠CDB,写出其余的对应边和对应角.【答案】见解析【分析】利用全等三角形的性质分别得出对应点进而得出对应边与对应角关系．【解答】解：∵△ABD≌△CDB，∴∴AB的对应边是CD，AD的对应边是CB，BD的对应边是DB，∠A的对应角是∠C，∠ADB的对应角是∠CBD，∠ACB的对应角是∠ECD.9.【题文】如图,已知△ABC≌△EDC,指出其对应边和对应角.【答案】见解析【分析】利用全等三角形的性质分别得出对应点进而得出对应边与对应角关系．【解答】解：△ABC≌△EDC，∴AB的对应边是ED，AC的对应边是EC，BC的对应边是DC，∠A的对应角是∠E，∠B的对应角是∠D，∠ACB的对应角是∠ECD.10.【题文】如图,已知△ABE≌△ACD,∠1=∠2,∠B=∠C,指出其他的对应边和对应角.【答案】见解析【分析】先根据△ABE≌△ACD，可以确定点A的对应点是A，点B的对应点是C，点D的对应点是E，然后根据对应顶点，结合图形即可找出对应边和对应角. 【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，∴点A的对应点是A，点B的对应点是C，点E的对应点是D，∴∠BAE与∠CAD是对应角，AB与AC，BE与CD，AD与AE是对应边.11.【题文】如图，已知△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角．（1）写出相等的线段与角．（2）若EF=2.1cm，FH=1.1cm，HM=3.3cm，求MN和HG的长度．【答案】（1）EF=NM，EG=NH，FG=MH，∠F=∠M, ∠E=∠N, ∠EGF=∠NHM （2）MN=2.1cm，HG=2.2cm.【分析】（1）因为△EFG≌△NMH，故有全等三角形的对应边和对应角相等.（2）因为△EFG≌△NMH，故EF=NM，，即可求出各自的长度.【解答】解：（1）△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角在△EFG和△NMH中，有EF=NM,EG=NH,FG=MH∠F=∠M, ∠E=∠N, ∠EGF=∠NHM ；（2）∵由（1）可知，EF=NM,EF=2.1cm ∴MN="2.1"又MH=FG=3.3 FH=1.1∴=3.3-1.1=2.2cm.12.【答题】如图，已知B，C，E在一条直线上，且△ABC≌△EFC，∠EFC＝60°，则∠A＝______；【答案】30°【分析】根据全等三角形的性质解答即可.【解答】解：根据三角形全等可得：∠ACB=∠ECF=90°，∠B=∠EFC=60°，则根据△ABC的内角和定理可得：∠A=180°－90°－60°=30°．13.【答题】如图，△ABD≌△AC E，A E=3cm，AC=6 cm，则CD=______cm.【答案】3【分析】根据全等三角形的性质解答即可.【解答】∵△ABD≌△ACE，∴AD=AE=3cm，∴CD=AC-AD=6 -3=3cm，故答案为：3.14.【答题】如图，△ABD≌△EBC，AB=3cm，BC=5cm，则DE长是______cm。
八年级数学上册第1章全等三角形1.1全等图形2
设
计
2.设计(shèjì)飞鸟图.
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(fēi niǎo)
飞 鸟 图
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谢 谢!
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第十五页，共十六请你仔细观察(guānchá)，找 出 全 等 图 形.。1.观察(guānchá)图中前两组全等图形，在各组图 形中，第2个图形是怎样由第1个图形改变位置得到的。2.请你按照同样的方法在图中分别画出第3、4个图
No 形.。3.请你按照同样的方法在图中分别画出第3、4个图形.。请把图中的等边三角形分成2个、3个、。4个全
等 图 形.。2.请你用不同的方法沿网格线把正方形分割成两个全等的图形.。2.设计飞鸟图.。谢 谢
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显身手
1. 请把图中的等边三角形分成(fēn chénɡ)2个、3个、
4个全 等 图 形.
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课堂 小 (kètáng) 结
本节课你有哪些(nǎxiē)收获？
翻折
旋转
平移
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全 等 图 形
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课后作业
模
仿
1.习题(xítí)1.1的第1、2题.
请欣赏
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请欣赏
请12/1仔3/20细21 观察这些图形，你有什么(shén me)发现？
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1.1全等图形(túxíng)
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辨一辨
生活中全等图形的例子
生活中全等图形的例子
现代生活中，全等图形无处不在，存在于我们手中的各种电子产品、家里的家具以及外面的建筑等等，它们扮演着极其重要的角色，他们在空间变换中为我们提供了许多方便。
全等图形的最常见的例子就是三角形。
三角形的一个基本性质就是它的三边长度相等，在实际应用中有广泛的用途，比如家具的拼接，两个三角形的相接点处刚好可以形成一个应用的连接，并且更加牢固。
另外，三角形也常见于建筑设计中，它们可以用来组成一些会牢固耐用的框架，比如以三角形为主要结构的建筑屋顶，尽管用三角形建一个完整的房屋可能比较困难，但是在建筑物的架子构造上三角形仍然是一种常用的结构。
除了三角形，正方形也是一种全等图形，它的每条边都具有相同的长度和宽度，在我们的日常生活中，正方形也经常被用来建构一些实用性很强的物件，比如桌子和椅子，他们能提供足够的空间使我们能够使用，而且正方形由于每条边相等，可以更容易的拼接。
此外，圆形也是一种全等图形，它最常用于建筑设计，比如用圆形建造的大厅等等，它可以提供舒适的使用空间，而且由于圆形的特殊性，可以更容易的进行结构的设计，工程师也可以更加精准的进行计算。
而在电子产品中也广泛存在着各种圆形外形的零件，比如智能手机里的按键，他们圆润柔和的曲线能够更舒适的被人摸抚，使得产品体验更高级。
总之，全等图形在我们的日常生活中有着非常广泛的应用，它们
既可以为建筑结构带来更多的新的可能，又可以使用在电子产品的设计中，这些图形的共同特点就是他们的每条边都具有相同的长度，它们能为我们的生活提供无限的可能性。
专题1.1全等图形-2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典(原卷版)【苏科版】
2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题1.1全等图形【名师点睛】（1）全等形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．（2）全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符号“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．（4）对应顶点、对应边、对应角把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．【典例剖析】【知识点1】全等图形的识别【例1】（2021·江苏·淮安市洪泽实验中学八年级期中）下列各组的两个图形属于全等图形的是（）A．B．C．D．【变式1.1】（2021·江苏连云港·八年级阶段练习）下列各组两个图形属于全等图形的是（）A．B．C．D．【变式1.2】（2021·江苏盐城·八年级期中）下列说法正确的是（）A．两个等边三角形一定是全等图形B．两个全等图形面积一定相等C．形状相同的两个图形一定全等D．两个正方形一定是全等图形【知识点2】利用全等图形求角度【例2】（2021·江苏·南京市第十二初级中学八年级期中）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是______．【变式2.1】（2020·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．【变式2.2】（2021·江苏·沭阳县怀文中学八年级阶段练习）如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=________．【知识点3】分割成几个全等图形【例3】（2020·江苏苏州·七年级期末）如图，用三种不同的方法沿网格线把正方形分割成4个全等的图形（三种方法得到的图形相互间不全等）．【变式3.1】（2018·江苏·洪泽新区中学八年级阶段练习）如图，某校有一块正方形花坛，现要把它分成4块全等的部分，分别种植四种不同品种的花卉，图中给出了一种设计方案，请你再给出四种不同的设计方案．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2021秋•靖西市期末）下列各组图形中，属于全等图形的是（ ）A．B．C．D．2．（2021秋•宿豫区期中）下列两个图形是全等图形的是（ ）A．两张同底版的照片B．周长相等的两个长方形C．面积相等的两个正方形D．面积相等的两个三角形3．（2021春•淮阳区期末）全等形是指两个图形（ ）A．大小相等B．可以完全重合C．形状相同D．以上都不对4．（2021春•姑苏区期末）下列说法正确的是（ ）A．两个等边三角形一定是全等图形B．两个全等图形面积一定相等C．形状相同的两个图形一定全等D．两个正方形一定是全等图形5．（2021春•商水县期末）下列说法不正确的是（ ）A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同B．面积相等的两个图形是全等图形C．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关D．全等三角形的对应边相等，对应角相等6．（2020春•天桥区期末）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．100°7．（2019秋•临西县期末）下列图形中，和所给图全等的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（2020秋•涿鹿县期中）下列图形中与如图图形全等的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（2019秋•迁安市期末）小明学习了全等三角形后总结了以下结论：①全等三角形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等、对应角相等；③面积相等的两个三角形是全等图形；④全等三角形的周长相等．其中正确的结论个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．（2018春•太原期末）下列说法：（1）全等图形的形状相同，大小相等；（2）全等三角形的对应边相等；（3）全等图形的周长相等，面积相等；（4）面积相等的两个三角形全等．其中正确的是（ ）A ．（ 1 ）（ 3）（ 4 ）B ．（ 2）（ 3 ）（ 4 ）C ．（ 1 ）（ 2 ）（ 3 ）D ．（ 1 ）（ 2）（ 3 ）（ 4 ）11．（2021秋•雨花区期末）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是 ．12．（2020春•石狮市期末）如图，四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'，则∠A的大小是 ．13．（2021秋•常州期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝ ．14．（2019秋•越城区期末）下列图形中全等图形是 （填标号）．15．（2019秋•东台市月考）如图①，已知△ABC的六个元素，则图②中甲、乙、丙三个三角形中与图①中△ABC全等的图形是 ．16．（2019秋•常州期中）下列4个图形中，属于全等的2个图形是 ．（填序号）17．观察图中图形，它们是不是全等形？为什么？18．找出图中的全等图形．19．（2019秋•孝义市校级月考）如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形（要求至少要画出两种方法）．20．沿着图中的虚线，请把如图的图形划分为4个全等图形，把你的方案画在图中．21．图中所示的是两个全等的五边形，AB＝8，AE＝5，DE＝11，HI＝12，IJ＝10，∠C＝90°，∠G＝115°，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，指出它们之间其他的对应顶点、对应边与对应角，并说出图中标的a、b、c、d、e、α、β各字母所表示的值．22．（2018秋•洪泽区校级月考）如图，某校有一块正方形花坛，现要把它分成4块全等的部分，分别种植四种不同品种的花卉，图中给出了一种设计方案，请你再给出四种不同的设计方案．。
全等三角形及基本判定定理
全等三角形全等三角形【知识要点】1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质：（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如DEF ABC ∆∆与全等，记作ABC ∆≌DEF ∆ （2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．全等三角形的判定1：SSS三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS ”．如图，在ABC ∆和DEF ∆中⎪⎩⎪⎨⎧===DF AC EF BC DEABABC ∆∴≌DEF ∆【典型例题】例1．如图，ABC ∆≌ADC ∆，点B 与点D 是对应点，︒=∠26BAC ，且︒=∠20B ，1=∆ABC S ，求A C D D C A D ∠∠∠,,的度数及ACD ∆的面积．A BC DEFABDC例2．如图，ABC ∆≌DEF ∆，cm CE cm BC A 5,9,50==︒=∠，求ED F ∠的度数及CF 的长．例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证：（1）ABC ∆≌DEF ∆ （2）AB//DE ，BC//EFA B E C FD A BE CD ABCDFE例5．如图，在,90︒=∠∆C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BE=BC ，DE=DC ，求证：（1）AB DE ⊥；（2）BD 平分ABC ∠ （角平分线的相关证明及性质）全等三角形判定定理2：SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”。
全等三角形模型：二次全等、截长补短、倍长中线、一线三等角、半角模型
全等三角形模型+例题【考纲要求】1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3．会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明.【考点梳理】【全等三角形】知识点一、全等三角形的概念及表示1.两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关.2.全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.3.全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”.在记两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上，如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF.4.确定全等三角形对应关系的方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角）一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）.知识点二、全等三角形的性质1.最主要的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.2.其它性质：（1）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等，但是，周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形.知识点三、全等变换在不改变图形的形状和大小的前提下，只改变图形的位置叫做全等变换.常见的全等变换有平移变换、翻折变换、旋转变换，如下图所示：【探索三角形全等的条件】边角边两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS ”.在△ABC与△A’B’C’中，已知角边角两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写“角边角”或“ASA ”.在△ABC与△A’B’C’中，已知角角边两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简称为“角角边”或“AAS ”. 在△ABC 与△A’B’C’中，已知边边边三边分别相等的两个三角形全等，简称为“边边边”或“SSS ”.在△ABC 与△A’B’C’中，已知.斜边、直角边斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简称为“斜边、直角边”或“HL ”在Rt △ABC 与Rt △A’B’C’中，，已知.1. 只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，“边边角”不能判定三角形全等；2. 在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上.探究SSA全等篇异侧半角模型1.如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45º，则BE ＋DF＝EF .简证：如图，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90º得到△ABG ，使得AD 与AB 重合， 通过证明△AEF ≌△AEG 即可得到BE ＋DF ＝EF .2.如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45º，则AE 平分∠BEF ，AF 平分∠DFE .简证：如图，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90º得到△ABG ，使得AD 与AB 重合；将△ABE 绕点A 逆时针旋转90º得到△ADH ，使得AB 与AD 重合.3. 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45º，则.简证：通过上述的全等直接可以得到，不再证明.4.如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45º，过点A 作AH ⊥EF 交EF 于点H ，则AH ＝AB .简证：由上述结论可知AE 平分∠BEF ，又∵AB ⊥BC ，∴AH ＝AB . 5.如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45º，则.简证：由结论1可得EF ＝BE ＋DF ，则＝CE ＋CF ＋EF ＝CE ＋CF ＋BE ＋DF ＝2AB .6. 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45º，AE 、AF 分别与BD 相交于点M 、N ，则.简证：如图，将△AND 绕点A 顺时针旋90º得到△AGB ，连接GM .通过证明△AMG ≌△AMN 得MN ＝MG ，DN ＝BG ，∠GBE ＝90º，即可证.补充：等腰直角三角形与“半角模型”DCPBACDPB ADPCAB如图所示，在等腰直角三角形ABC中，若∠DCE＝45º，则.证明：如图，将△ACD绕着点C顺时针旋转90º得到△，连接.1.1二次全等证明1.已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E．2.求证：△BDF≌△CDE．3.4.5.已知：如图，点A，E，F，C在同一直线上，AE=CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，连接AB，CD，BD，BD交AC于点G，AB=CD．6.求证：△DEG≌△BFG．7.3.已知：如图，在Rt△ACD中，∠ADC=90°，BE⊥AC于E，交CD于点F，AE=AD．求证：△CEF≌△BDF．4.已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，BD平分∠ABC，E为BD上任意一点，连接AE，CE．求证：△ADE≌△CDE．5.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=60°，∠EDF=60°，BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°，∠BDC=120°，延长AC到点G，使CG=BE．6.求证：△EFD≌△GFD．7.6、已知：如图，点A，C在直线EF上，BC=AD，AB=CD，AE=CF．求证：∠E=∠F．7、已知，如图，AE=BF，AD=BC，CE=DF．求证：AO=BO．8、已知：如图，∠D=∠E，AM=ME=CN=DN．试猜想AB和BC的数量关系，并证明你的猜想．9、10、9.如图，在正方形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=CD=AD．E为BC边上一点，且AE=DE，AE与对角线BD交于点F，∠ABF=∠CBF，连接CF交DE于点G．求证：DE⊥CF．10.已知：如图，在等边△ABC中，△C=△ABD=60°，AB=BC=AC，点D，E分别为BC，AC边上一点且AE=CD，连接AD，BE 相交于点F．11.求证：△1=△2．12.1.2截长补短 倍长中线例题1、如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．例题2、在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？例题3、八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．【探究与发现】（1）如图1，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E ，使ED=AD ，连接BE ，写出图中全等的两个三角形______【理解与应用】（2）填空：如图2，EP 是△DEF 的中线，若EF=5，DE=3，设EP=x ，则x 的取值范围是______．（3）已知：如图3，AD 是△ABC 的中线，∠BAC=∠ACB ，点Q 在BC 的延长线上，QC=BC ，求证：AQ=2AD ．F E D CB AF EDC B A例题4、如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，CD与BM相交于点E，且点E是CD的中点，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．（1）求证：△DBN≌△DCM；（2）请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论．例题5、阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．例题8、（1）如图，四边形ABPC中，AB AC∠=︒，求证：PB PC PABPC+=．=，60BAC∠=︒，120（2）如图，四边形ABCD中，AB BCAPC∠=︒，求证：ABC∠=︒，P为四边形ABCD内一点，且120=，60++≥．PA PC PD BDC 1A B C ED D E(C )B A C 1C 1A B C E D 1A B C E D1.3一线三等角例1：已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB =CD ，BC =DE ，⑴求证：AC ⊥CE ；⑵若将△CDE 沿CB 方向平移得到①②③④等不同情形，1AB C D ，其余条件不变，试判断AC ⊥C 1E 这一结论是否成立？若成立，给予证明；若不成立，请说明理由.① ② ③ ④例2：等腰直角△ABC ，其中AB=AC ，∠BAC=90°，过B 、C 作经过A 点直线L 的垂线，垂足分别为M 、N ．（1）你能找到一对三角形的全等吗？并说明．（2）BM ，CN ，MN 之间有何关系？若将直线l 旋转到如图2的位置，其他条件不变，那么上题的结论是否依旧成立？例3.（1）如图，已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明：DE ＝BD ＋CE ．（2）如图，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC ＝a，其中a为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD＋CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．(3) 拓展与应用：如图，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状．1.4半角模型1.在等腰Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90º，O为AB的中点，∠EOF＝45º，交CA于F，交BC的延长线于E.（1）求证：EF＝CE＋AF；（2）如图2，当E在BC上，F在CA的反向延长线上时，探究线段AF、CE、EF之间的数量关系，并证明.2.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180º，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE＋FD.3. 如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，∠BDC＝120º，以D为顶点作一个60º的角，使其两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，则△AMN的周长是多少？4.如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，点E、F分别在线段AB、BC上，连接EO、FO，满足∠EOF＝60º，连接EF.（1）①求证：OB＝OC；②求∠BOC的度数；（2）求证：CF＝BE＋EF.5. 在四边形ABDC中，AC＝AB，DC＝DB，∠CAB＝60º，∠CDB＝120º，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE＝BF.（1）试说明：DE＝DF；（2）在图1中，若G在AB上且∠EDG＝60º，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明；（3）若题中条件“∠CAB＝60º，∠CDB＝120º”改为“∠CAB＝，∠CDB＝，G在AB上，那么∠EDG 满足什么条件时，（2）中的结论仍然成立？”（直接写结果，不需证明）.。
2 图形的全等
2.找对应角的方法. (1)有对顶角或公共角的,对顶角或公共角一定是对 应角. (2)全等三角形对应边所对的角是对应角 (3)两条对应边所夹的角是对应角. (4)两个全等的三角形中,一对最大的角是对应角,一 对最小的角也是对应角.
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全等三角形性质的两点应用
(1)求线段：全等三角形的对应边相等，可以直接 确定对应边的数量关系，也可以间接求解相关线 段的长度等. (2)求角：全等三角形的对应角相等，可以直接确 定对应角的数量关系，也可以间接求解相关角的 大小等.
又因为∠EAB=120° ，∠CAD=10° ，
所以∠BAC= (∠EAB-∠CAD)= (120° -10° )=55° ，
所以∠DAB=∠CAD+∠BAC=10° +55° =65° . ……………… 5分 又因为在△ABF中，∠B=25° ， 所以∠AFB=180° -∠B-∠BAF=180° -25° -65° =90° ， 所以∠DFB=180° -∠AFB=90° . …………………………… 8分
(A)1个
(B)2个
(C)3个
(D)4个
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【解析】选B.因为△ABC≌△AEF，AB=AE， ∠B=∠E,所以EF=BC，∠EAF=∠BAC,所以 ∠EAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF,即 ∠EAB=∠FAC,AC与AE不是对应边，不能求出二 者相等，也不能求出∠FAB=∠EAB，所以①②错 误，③④正确.
【解析】选B.因为△ACB≌△A′CB′,所以 ∠ACB=∠A′CB′,即 ∠ACA′+∠A′CB=∠B′CB+∠A′CB，所以
∠ACA′=∠B′CB.又∠B′CB=30° ,所以∠ACA′=30° .
2 全等图形(拓展提高)(解析版)
专题1.2 全等图形（拓展提高）一、单选题1．下列说法正确的是（）A．两个长方形是全等图形B．形状相同的两个三角形全等C．两个全等图形面积一定相等D．所有的等边三角形都是全等三角形【答案】C【分析】性质、大小完全相同的两个图形是全等形，根据定义解答．【详解】A、两个长方形的长或宽不一定相等，故不是全等图形；B、由于大小不一定相同，故形状相同的两个三角形不一定全等；C、两个全等图形面积一定相等，故正确；D、所有的等边三角形大小不一定相同，故不一定是全等三角形；故选：C．【点睛】此题考查全等图形的概念及性质，熟记概念是解题的关键．2．百变魔尺，魅力无穷，如图是用24段魔尺（24个等腰直角三角形，把等腰直角三角形最长边看做1）围成的长为4宽为3的长方形．用该魔尺能围出不全等的长方形个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根据14＝（1+6）×2＝（2+5）×2＝（3+4）×2，可知能围出不全等的长方形有3个．【详解】解：∵长为4、宽为3的长方形，∴周长为2×（3+4）＝1414＝（1+6）×2＝（2+5）×2＝（3+4）×2，∴能围出不全等的长方形有3个，故选：A．【点睛】此题考查了平面图形的规律变化，通过观察图形,分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．3．下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（）A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④【答案】B【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．【详解】解：①和③可以完全重合，因此全等的图形是①和③．故选：B．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．4．下列图形中与已知图形全等的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】认真观察图形，根据全等形的定义，能够重合的图形是全等形，可得答案是B．【详解】A、圆里面的正方形与已知图形不能重合，错；B、与已知图形能完全重合，正确；C、中间是长方形，与已知图形不重合，错；D、中间是长方形，与已知图形不重合，错．故选：B．【点睛】此题考查全等形的性质，解题关键在于认真观察图形，同时还要想到是否能够重合．5．下列说法正确的个数（）①三角形的三条高所在直线交于一点；②一个角的补角比这个角的余角大90°；③垂直于同一条直线的两条直线互相垂直；④两直线相交，同位角相等；⑤面积相等的两个正方形是全等图形；⑥已知两边及一角不能唯一作出三角形．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】根据全等图形、三角形的高、互补、垂直以及平行线的性质进行判断即可．【详解】解：①三角形的三条高交于同一点，所以此选项说法正确；②设这个角为α，则这个角的补角表示为180°﹣α，这个角的余角表示为90°﹣α，（180°﹣α）﹣（90°﹣α）＝90°，∴一个角的补角比这个角的余角大90°，此选项正确；③垂直于同一条直线的两条直线互相平行，所以此选项不正确；④两直线平行，同位角相等，所以此选项说法不正确；⑤面积相等的两个正方形是全等图形，此选项正确；⑥已知两边及一角不能唯一作出三角形，此选项正确．故选D．【点睛】考核知识点：全等图形、三角形的高、互补、垂直以及平行线的性质.理解相关定义是关键. 6．下列四个图形中，通过旋转和平移能够全等图形的是()A．③和④B．②和③C．②和④D．①②④【答案】D【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案【详解】①、②和④都可通过平移或旋转完全重合．故选D．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．二、填空题7．如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．【答案】135∠+∠的值，即可得出答案；【分析】首先利用全等三角形的判定和性质求出13【详解】如图所示，在△ACB 和△DCE 中，AB DE A D AC DC ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()△△ACB DCE SAS ≅， ∴3ABE ∠=∠，∴()12313459045135∠+∠+∠=∠+∠+︒=︒+︒=︒； 故答案是：135︒．【点睛】本题主要考查了全等图形的应用，准确分析计算是解题的关键．8．如图,长方形纸片的长为8，宽为6，从长方形纸片中剪去两个全等的小长方形卡片，那么余下的两块阴影部分的周长之和是_____．【答案】24【分析】设两个全等的小长方形卡片的长为a ，宽为b ，先用含a 、b 的代数式分别表示出两个阴影长方形的周长，再相加即得结果．【详解】解：设两个全等的小长方形卡片的长为a ，宽为b ， 则左边的阴影长方形的周长=2(a +6－b )=12+2a －2b ， 右边的阴影长方形的周长=2(b +6－a )=12+2b －2a ，∴两块阴影部分的周长之和=(12+2a －2b )+( 12+2b －2a )=24． 故答案为：24．【点睛】本题考查了全等图形的概念和整式的加减运算，正确表示出两个阴影长方形的周长是解题的关键． 9．如图，四边形ABCD ≌四边形A B C D ''''，则A ∠的大小是________．【答案】95︒【分析】由全等形四边形的性质，得到130D D '∠=∠=︒，由四边形的内角和即可求出A ∠的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD ≌四边形A B C D ''''， ∴130D D '∠=∠=︒，∴360130756095A ∠=︒-︒-︒-︒=︒； 故答案为：95°．【点睛】本题考查了全等四边形的性质，解题的关键是掌握全等图形中对应角相等．10．在网格线中，每个方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，如图中的网格线中，每个小正方形的边长均为1，以线段AB 为一边的格点三角形的面积随着第三个顶点的位置的不同而发生变化，如下列表格中当格点三角形的面积为1时，频数为8； 如果将图中格点三角形面积记为S ，频数记为x ，根据上述信息计算:当S =3时，x =_______．【答案】4【分析】由题意直接依据三角形的面积公式进行填表即可得出答案. 【详解】解：由题意可知格点三角形面积（S ） 1 2 3 4 频数（x ） 8 6 4 2故答案为：4.【点睛】本题考查网格问题中的三角形，熟练掌握三角形的概念以及三角形的面积公式是解题的关键. 11．如图（1）～（12）中全等的图形是________ 和________ ；________ 和________ ；________ 和________；________ 和________ ；________和________ ；________ 和________ ；（填图形的序号）【答案】见解析【分析】根据能够互相重合的两个图形叫做全等图形解答．【详解】全等图形是（1）和（11）；（2）和（10）；（3）和（6）；（4）和（7）；（5）和（8）；（9）和（12）．【点睛】本题考查了全等图形，掌握概念并准确识别各图形的形状是解题的关键．12．如图，△EFG≌△NMH，△EFG的周长为15cm，HN=6cm，EF=4cm，FH=1cm，则HG= ______ ．【答案】4cm【分析】首先根据全等三角形对应边相等可得MN=EF=4cm，FG=MH，△HMN的周长=△EFG的周长=15cm，再根据等式的性质可得FG-HG=MH-HG，即GM=FH，进而可得答案．【详解】解：∵△EFG≌△NMH，∴MN=EF=4cm，FG=MH，△HMN的周长=△EFG的周长=15cm，∴FG-HG=MH-HG，即FH=GM=1cm，∵△EFG的周长为15cm，∴HM=15-6-4=5cm，∴HG=5-1=4cm .故答案为4cm．【点睛】本题考查全等三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形对应边相等．13．如图，已知正方形中阴影部分的面积为3，则正方形的面积为________．【答案】6【分析】利用割补法，把阴影部分移动到一边.【详解】把阴影部分移动到正方形的一边，恰好是正方形的一半，故正方形面积是6.【点睛】割补法，等面积转换,可以简便运算，化复杂为简单.14．如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70°，将平行四边形ABCD绕点B顺时针旋转到平行四边形A1BC1D1的位置，此时C1D1恰好经过点C，则∠ABA1=______°．【答案】40°【解析】由四边形ABCD是平行四边形结合旋转的性质易得∠C1=∠BCD=∠A=70°，BC1=BC，由此可得∠BCC1=∠C1=70°，从而可得∠CBC1=40°，由旋转的性质可得∠ABA1=∠CBC1=40°.详解：∵平行四边形A1BC1D1是由平行四边形ABCD绕点B顺时针旋转得到的，∠A=70°，∴∠C1=∠BCD=∠A=70°，BC1=BC，∠ABA1=∠CBC1，∵点C在线段C1D1上，∴∠BCC1=∠C1=70°，∴∠CBC1=180°-70°-70°=40°，∴∠ABA1=∠CBC1=40°.故答案为40.点睛：这是一道涉及平行四边形、等腰三角形及旋转等图形知识的综合题，熟记“平行四边形的对角相等、等腰三角形的性质和旋转的性质”是正确解答本题的关键.三、解答题15．我们把两个能够互相重合的图形成为全等形．（1）请你用四种方法把长和宽分别为5和3的矩形分成四个均不全等的小矩形或正方形，且矩形或正方形的各边长均为整数；（2）是否能将上述3×5的矩形分成五个均不全等的整数边矩形？若能，请画出． 【答案】（1）见解析；（2）能．【分析】（1）根据题意画出图形即可，注意所得的图形不应全等． （2）作长为1，宽分别为1，2，3，4，5的图形即可． 【详解】解：（1）所画图形如上． （2）能，所画图形如上所示．【点睛】本题考查分割图形的知识，有一定难度，关键是根据题意作答，注意作图的规范性. 16．在ABC △中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，请将其分成三个三角形，使之符合： (1)三个三角形是全等的直角三角形． (2)三个三角形均为等腰三角形．分别在图1、图2中画出分割线，并标出三角形的角度．【答案】(1)见解析；(2)见解析.【分析】先将点C对折到点E，将对折后的纸片再沿DE对折.此题要理解折叠的实质是重合，根据重合可以得到BC＝BE，AD＝BD，∠DBE＝∠DAE＝30°，∠BDE＝∠ADE＝60°，∠AED＝∠BED＝90°.【详解】(1) 如下图1(2) 如下图2 .【点睛】本题考查折叠问题，此题要理解折叠的实质是重合，要求学生理解折叠的实质是解题的关键. 17．如图所示，两个图形是全等图形，试根据所给的条件，求出两个图形中标出的a，b，c，∠α，∠β的值．【答案】a＝3，b＝5.4，c＝7, ∠α＝105°, ∠β＝45°【分析】全等图形的对应边及对应角均相等，据此进行解答.【详解】解：根据全等多边形的对应角相等有∠α＝105°.又由四边形的内角和，得第四个角为360°－(120°＋90°＋105°)＝45°，所以∠β＝45°.根据全等多边形的对应边相等有a＝3，b＝5.4，c＝7.【点睛】本题考查了全等图形的性质.18．将下图分成四个全等的图形,而且每一份图形中恰好有“巧分图形”四个字.【答案】见解析.【解析】要分成四个全等的图形，且每个图形中恰好有“巧分图形”四个字，所以相同的字必须分开，由此分图即可.试题解析：图(a)中共有36个小方格,平分成4份后,每份应是9个小方格;因为第一份中要有“巧分图形”四个字,所以相同的两个字必须分支;又因为分成的每一份一定要通过大正方形的中心点,所以正方形中间的四个小方格一定是分开的,其中有一块已有“巧”字,它的下面一格一定是与“图”字相连如图(b)19．将一个正方形剖成4个全等的部分.【答案】见解析【解析】根据正方形的性质，由正方形是轴对称图形分解即可；也可以根据面积法分正方形.试题解析：剖成如图或均可,答案不惟一点睛：此题主要考查了全等图形的概念，掌握全等的定义是解题关键，主要抓住能够完全重合这一特点分析.20．把44⨯的正方形方格图形分割成两个全等图形，如图，沿着虚线画出种不同的分法，把44⨯的正方形方格图形分割成两个全等图形．【答案】见解析【分析】利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形．【详解】解：三种不同的分法：【点睛】本题主要考查的是作图-应用与设计作图，利用对称性和互补性解题．。
九年级数学图形的全等2
请指出下列全等三角形的对应边和对应角
1、 △ ABE ≌ △ ACF 对应角是： ∠A和∠A、 ∠ABE和∠ACF、 ∠AEB和 ∠AFC；对应边是AB和AC、 AE和AF、BE和CF。 3、 △ BOF ≌ △ COE 对应角是: ∠BOF和COE、 ∠BFO 和∠CEO、 ∠ FOB 和∠EOC。对应边是：OF和 OE、OB和OC、BF和CE。 2、 △ BCE ≌ △ CBF
C E A D B D B
A
C
有公共角的，公共角是对应角.
有对顶角的，对顶角是对应角.
四、在找全等三角形的对应元素 时一般有什么规律？
A B P C D B F D A C E
一对最长的边是对应边，一对最短的边是对应边. 一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角.
三、在找全等三角形的对应元素时一般 有什么规律？
； 2019.1
；
以至于德军的空袭忽然性总大大折扣. 而在东线,苏德双方并未使用雷达,对于空袭行为,只能以来哨兵仰望天空. 布良斯克拉响防空警报,空袭却从未发生. 此刻正是凌晨两三点,城市附近的机场骚动起来,睡梦中的德军飞行员被紧急唤醒. 深夜,天空中只有硕大的月亮一个,机场的周围满是积雪, 大地被月光照的很亮.飞行员紧急集合,他们还以为长官命令他们要在夜晚冒险升空作战,结果等待的确实待命的命令. 布良斯克城内的探照灯照着天空,似乎找到敌机的位置,就连一些高射炮也紧急被拉到城中已被不测. "苏力人应该不会空袭那座本来是他们的城市吧！他们应该不会轰炸那里,因 此城里还有苏力市民！"布良斯克占领军司令叹言.他稳定住了部下的情绪,但丝毫不敢怠慢,立刻命令守备军做好放空准备. 就那样,伊万诺夫的进军之路只留下了一片噪音,地面的德军却如惊弓之鸟.他们找不到苏力飞机踪迹,只得命令空军做好战斗准备
图形的全等2
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P131
练一练
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请欣赏图片
2
观察图中的两组图：
像这样能够完全重合的图形叫做 全等图形。
上图经过平移发现，这些图形都能完全重合， 那么你会不会检验图形是否全等呢？
3
观察下面两组图形，它们是不是全等 图形？为什么？与同伴进行交流。
（1）
（2）
两个图形全等,它们的形状和大小都相同。
图中共有多少对全等图形？分别是哪些？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
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练一练 做一做 沿图形中的虚线，分别把下面图形划分为两个全 等图形 。你有几种方法？并与同伴交流。
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请你利用全等图形设 计一份属于你的作品！动你有哪些收获？ 你还有什么想法吗？
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第2讲全等图形
一、教学目标
理解全等图形的概念，识别全等图形的对应点、对应边和对应角。
二、知识点梳理
1、全等图形
我们把能够完全重合的两个图形叫做全等图形。
两个全等图形重合时，互相重合的点叫做对应点，互相重合的线段叫做对应线段，互相重合的角叫做对应角。
（1）全等图形的形状相同，大小相等。
（2）两个图形是否全等于它们的位置无关。
2、全等三角形及其性质
（1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
如所示，△ABC和△A´B´C´完全重合，因此它们是全等的，我们用符号“≌”来表示全等，记作“△ABC≌△A´B´C´”，读作“三角形ABC全等于三角形A´B´C´”
（2）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
如图所示，△ABC≌△A´B´C´，
则有对应角相等：∠A=∠A´，∠B=∠B´，∠C=∠C´；
对应边相等：AB=A´B´，AC=A´C´，BC=B´C´。
在写两个三角形全等时，应该把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。
如△ABC与△A´B´C´，点A与点A´，点B与点B´，点C与点C´是对应颠倒，记作△ABC≌△A´B´C´，而不要写成△ABC≌△B´C´A´。
三、典型例题讲解
例1 观察图13-2-1中的各个图形，指出其中的全等图形。
例2如图13-2-2，△ABC与△ADE全等，写出其对应顶点、对应边和对应角。
例3如果△ABC≌△DEF，△DEF的周长是32 cm，DE=9 cm，EF=12 cm。
求AB，BC，AC 的长及△ABC的周长。
例4如图13-2-3，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，如果AD=9 cm，ED=2.4 cm，∠BAF=60°，则AF=______cm，EF=______cm，∠FEC=_______。
例5 如图13-2-4，长方形ABCD沿DE折叠，使点C恰好落在BA边上，得点C´，若∠C´EB=40°，求∠EDC´的度数。
例6 如图13-2-5，已知AB∥DE，AC∥EF，且△ABC与△EDF全等，试说出BF与DC的大小关系，并给出证明。
例7 如图13-2-6，已知△ABC≌△DBE，若∠AGF=20°，∠ABF=3∠EBC。
求∠DBE的度数。
四、课堂练习
1、如图，有四张小画片，画的都是用七巧板拼成的人物图形，与另外三张不同的是（）
2、下列说法正确的有（）
①用一张底片冲洗出来的10张1寸相片是全等形；
②我国国旗上的4颗小五角星是全等形；
③所有的正方形是全等形；
④全等形的面积一定相等。
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
3、下列说法中，正确的有（）
①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；
③全等三角形的周长相等，面积相等；④若△ABC≌△DEF，则∠A=∠D，AB=EF。
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
4、如图所示，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，有以下结论：①AC=AE；②∠FAB=∠EAB；
③EF=BC；④∠EAB=∠FAC。
其中正确的个数是（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
5、如图，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（）
A、△ABD和△CDB的面积相等
B、△ABD和△CDB的周长相等
C、∠A+∠ABD=∠C+∠CBD
D、AD∥BC，且AD=BC
6、如图，△ABC≌△ADE，则AB=________，∠E=________。
若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC=_______。
7、已知△ABC≌△DEF，且∠A=70°，∠B=30°，DE=20 cm，则∠F=______，AB=_____。
8、如图，△OAD≌△OBC，且∠O=67°，∠C=20°，则∠OAD=________。
9、如图，沿直线AC对折，△ABC与△ADC重合，
△ABC≌_______，AB的对应边是_______，BC的
对应边是_______，∠BCA的对应角是_________。
五、课后作业
1、下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等△的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等。
其中正确的是（）
A、①②③④
B、①③④
C、①②④
D、②③④
2、如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M，N的距离，如果△PQO≌△NMO，那么只需测出其长度的线段是（）
A、PO
B、PQ
C、MO
D、MQ
3、已知△ABC≌△A´B´C´，△A´B´C´的周长为32 cm，A´B´=9 cm，B´C´=12 cm，则AC=___cm。
4、如图，三角形EFG≌△NMH，在△EFG中，FG是最长的边，在△NMH中，MH是最长的边，∠F和∠M是对应角，EF=1.7cm，FH=2cm，MH=3.2cm。
则线段NM=_____，线段HG=_________。
5、如图，两个全等的等边三角形的边长为 1 m，一个微型机器人由点A开始按A→B→C→D→B→E→A的顺序沿等边三角形的边循环运动，行走2013 m停下，则这个微型机器人停在顶点_____处。
6、如图所示，△BAE≌△BCE，△BAE≌△DCE，则∠D=_______。
7、如图所示，将△EFC绕点C逆时针方向旋转90°得到△ABC，△EFC与△ABC的关系如何？如果两个三角形全等，请写出对应边和对应角。
8、如图，△ABC≌△DBE，AB⊥BC，DE的延长线交AC于点F。
求证：DF⊥AC。