欧式空间中线性变换和正交变换的关系

欧氏空间中线性变换和正交变换的关系

摘要 对欧式空间中的线性变换与正交变换之间的关系进行讨论

关键词：欧式空间 线性变换 正交变换

线性变换和正交变换是欧氏空间的两种重要变换。本文首先引入线性变换和正交变换在欧氏空间中的定义，然后讨论两者之间的关系。为了阅读方便，本文从最基本的概念谈起，即先定义线性空间、内积、欧氏空间、线性变换和正交变换。

定义1 设V 不是空集，P 为一个数域，在V 中定义加法和数量乘法（简称数乘），若对P l k V ∈∀∈∀,,,,γβα，满足：

（1）V ∈+βα，（关于加法封闭）

（2）αββα+=+，（交换律）

（3））

（）（γβαγβα++=++，（结合律） （4）V V ∈∀=+∈∃ααα，使0,0，（零元）

（5）0=-+∈-∃∈∀）（，使）（，ααααV V ，（负元）

（6）V k ∈⋅α（关于数乘封闭）

（7）αα=⋅1

（8）αα）（）（kl l k =

（9）αααl k l k +=+）（

（10）βαβαk k k +=+）（

则称V 为数域P 上的线性空间。

定义2 设V 是R 上的一个线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记为),(βα，它具有以下性质（R k V ∈∈,,,γβα）：

（1）),(),(αββα=

（2）),(),(βαβαk k =

（3）),(),(),(γβγαγβα+=+

（4）0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα。

定义3 定义2中的线性空间V 就称为欧几里得空间，简称欧氏空间。

定义4 设V 是一个线性空间，P 为一个数域，对于P k V ∈∀∈∀,,βα，有

（1）()()()A A A αβαβ+=+

（2）()()A k kA αα⋅=

则称A 为V 上的线性变换。

定义5 设A 是欧氏空间V 的一个变换，如果对于任意的,,V ∈βα即保持内积不变，

都有：

((),())(,)A A αβαβ=。

则称A 是正交变换。

由上述定义可以得到如下命题：

命题1 正交变换A 保持向量的长度不变。

因为欧氏空间V 的向量α的长度是α=

所以就有

()A αα===。

但是，欧氏空间中保持向量长度不变的变换不一定是一个正交变换。

例如，在欧氏空间R 2中，令向量α在直角坐标系下的表示为12(,)x x α=，有

1212()(,)(||,||)A A x x x x α==。

显然A 是R 2的一个变换。且因为

1212|(,)||(||,||)|A x x x x ==，

12|(,)|x x =

可知A 保持向量的长度不变。但A 不是正交变换，因为对于任意的

1212(,),

(,)x x y y αβ==

则有： 12121122((),())((,),(,))A A x x y y x y x y αβ==+，

12121122(,)((,),(,))x x y y x y x y αβ==+。

二者未必相等。

命题2 正交变换A 保持任意两个向量的夹角不变。

因为欧氏空间V 的向量α、β的夹角[]0,θπ∈的余弦可以表示为：

(,)cos αβθαβ

=⋅， 那么()A α、()A β的夹角'θ的余弦是：

((),())(,)cos 'cos ()()A A A A αβαβθθαβαβ

===⋅⋅， 故'θθ=。

但是，欧氏空间中保持任意两个向量夹角不变的变换不一定是一个正交变换。 例如，设A 是欧氏空间的一个变换，对于任意的V α∈,有()A k αα=，其中k R ∈。

因为对于任意的,,V ∈βα()A α、()A β的夹角的余弦为：

22(,)(,)(,)k k k k k k αβαβαβαβαβαβ

==⋅⋅⋅， 所以变换A 保持了向量夹角。但是A 不是正交变换，因为对于任意的,,V ∈βα有：

2(,)(,)(,)A k k k αβαβαβ==，

这未必与(,)αβ相等。

这样就容易得到一个可以判定正交变换的命题：

命题3 欧氏空间V 的保持向量长度不变和任意两个向量的夹角不变的变换A 是一个正交变换。

下面我们首先讨论欧氏空间的正交变换和线性变换的关系。

命题4 欧氏空间V 的正交变换A 一定是一个线性变换。

证明 任取α，V ∈β，由于

(()()(),()()())A A A A A A αβαβαβαβ+--+--

=((),())2((),())A A A A αβαβαβα++-+

2((),())((),())A A A A βαβαα-++

2((),())((),())A A A A αβββ++

(,)2(,)2(,)αβαβαβαβαβ=++-+-+

(,)2(,)(,)0αααβββ+++=

故 ()()()0A A A αβαβ+--=

即 ()()()A A A αβαβ+=+

同理可证 ()()0,A a aA a R αα-=∈

即 ()()A a aA αα=

故A 是线性变换。

命题5 欧氏空间V 的保持向量长度不变的线性变换A 一定是一个正交变换。 证明 任取α，V ∈β，由于A 是保持向量长度不变的变换，即有

((),())(,)A A αααα=,

((),())(,)A A ββββ=,

((),())(,)A A αβαβαβαβ++=++。

又因为A 是一个线性变换，故有：

((),())((),())2((),())((),())A A A A A A A A αβαβαααβββ++=++,

((),())(,)2(,)(,)αβαβαααβββ++=++,

故 ((),())(,)A A αβαβ=。

所以A 一定是一个正交变换。

例如，在欧氏空间R 2中，关于横轴的对称变换是一个正交变换。设任意向量在坐标系下的表示为12(,)x x α=，A 为关于横轴的对称变换，这样就有：

1212()((,))((,))A A x x x x α==-

下面证明这是一个线性变换。因为：

121211221122()((,)(,))((,))(,)A A x x y y A x y x y x y x y αβ+=+=++=+--，

121212121122()()((,))((,))(,)(,)(,)A A A x x A y y x x y y x y x y αβ+=+=-+-=+--， 所以 ()()()A A A αβαβ+=+。

又因为：

121212()((,))(,)(,)A k A k x x A kx kx kx kx α===-，

121212()((,))(,)(,)kA kA x x k x x kx kx α==-=-，

其中k R ∈。

所以 ()()A k kA αα=。

故A 为线性变换。

显然对称变换A 又是保持长度的，因此根据命题5，它是一个正交变换。

同样，我们常见的欧氏空间R 2的旋转变换也是一个正交变换。设任意向量在坐标系下的表示为12(,)x x α=，A 为逆时针方向旋转θ的变换，这样就有：

121221()((,))(cos sin ,cos sin )A A x x x x x x αθθθθ==-+。

显然这是一个线性变换。因为：

12121122()((,)(,))((,))A A x x y y A x y x y αβ+=+=++

11222211(()cos ()sin ,()cos ()sin )x y x y x y x y θθθθ=+-++++

1212()()((,))((,))

A A A x x A y y αβ+=+

1221(cos sin ,cos sin )

x x x x θθθθ=-+1221(cos sin ,cos sin )y y y y θθθθ+-+ 11222211(()cos ()sin ,()cos ()sin )x y x y x y x y θθθθ=+-++++

所以 ()()()A A A αβαβ+=+

又因为：

12121221()((,))(,)(cos sin ,cos sin )A k A k x x A kx kx kx kx kx kx αθθθθ===-+

1221(cos sin ,cos sin )()k x x x x kA θθθθα=-+=

下面我们证明这个旋转变换是一个保持长度的变换。因为：

121221()((,))(cos sin ,cos sin )A A x x x x x x αθθθθ==-+

12(,)x x α===

所以，欧氏空间R 2的旋转变换是一个正交变换。

命题6 欧氏空间V 的保持任意两个向量夹角不变的线性变换A 不一定是一个正交变换。

前面我们举的例子：A 是欧氏空间的一个变换，对于任意的V α∈,有()A k αα=，其中k R ∈。说明了尽管A 保持了任意两个向量夹角不变，但并不是一个正交变换。事实上，这个变换A 还是一个线性变换。因为：

()()A k k k αβαβαβ+=+=+，

()()()()()A l k l kl l k lA ααααα====，l R ∈

参 考 文 献

[1] 张禾瑞，郝鈵新. 高等代数（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，1983. 321-328.

[2] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数（第二版）[M] . 北京：高等教育出版社，1988. 372-393.