欧式空间中线性变换和正交变换的关系
高等代数 第8章线性变换 8.6 欧式空间的正交变换和对称变换
b = cosψ，d = sinψ
将a, b, c, d代入（4）的第三个等式得 Cosφcosψ + sinφsinψ = 0 或 cos(φ+ψ) = 0
最后等式表明，φ －ψ是π/ 2的一个奇数倍. 由此 得
cos sin , sin cos
所以
cos sin U sin cos
2 ( x1, x2 , x3 ) ( x1 x3 , x2 2 x3 , x1 2 x2 x3 );
3 ( x1, x2 , x3 ) ( x2 , x1, x3 )
对称变换和对称矩阵之间的关系
定理8.4.2 设σ是n维欧氏空间V的一个对称变换， 如果σ关于一个标准正交基的矩阵是对称矩阵，那 么σ是一个对称变换. 证
1 , 2 ,, n
正交变换的定义
定义1 欧氏空间V的一个线性变换σ叫做一个 正交变换，如果对于任意 V 都有 | ( ) || |
例1 在 V2 里,把每一向量旋转一个角的 线性变换是 V2 的一个正交变换. 例2 令H是空间 V3 里过原点的一个平面.对于 每一向量 V3 ，令对于H的镜面反射 与它对应. : 是 V3 的一个正交变换.
1 0 0 0 1 0 0 0 1
以上两个矩阵都是正交矩阵.
V2 .V3 的正交变换的类型
设σ是 V2的一个正交变换，σ关于 V的一个规范正 2 交基 1 , 的矩阵是 2 a b U c d 那么U 是一个正交矩阵. 于是
y, , , 的矩 1 设σ关于V的一个规范正交基 2 n
( ),
xi ( i ),
9.4正交变换
必要性。若 σ 是正交变换，由定理9.4.2知 σα1 , σα 2 , 也是V的一个标准正交基。 故A是正交矩阵。
定理9.4.3 设 σ 是n维欧氏空间V的一个线性变换。 σ 是 正交变换的充要条件是：σ 关于V的任意标准正交基的矩阵是正 交矩阵。 证明： 设 α1 , α 2 , , α n 是V的一个标准正交基，则 (σα1 , σα 2 , , σα n ) = (α1 , α 2 z ) = ( x, y, − z ) = x 2 + y 2 + z 2 = ( x, y, z )
定理9.4.1 设 σ 是n维欧氏空间V的一个线性变换。 σ 是 正交变换的充要条件是： σ 保持向量的内积不变。 证明：必要性。 如果 σ 是正交变换，即对 ∀α ∈ V , σα = α , ∀α , β ∈ V , 则有： (σα , σα ) = (α , α ), (σβ , σβ ) = ( β , β ),
§9.4
正交变换
§9.4
正交变换
一、正交变换的定义及性质 二、正交变换的类型
第九章 欧几里得空间
线性空间的线性变换，实际上是保持向量线性运算的变换。 在欧氏空间中，除了向量的线性运算外，还有向量的度量性质， 因此有必要讨论保持度量关系不变的线性变换。其中保持长度 不变的线性变换无疑是重要的。 例9.4.1 在欧氏空间 R 2 中有一个坐标旋转变换，在把平面 围绕原点逆时针旋转 θ 角之后，平面上向量之间什么关系保持 不变? 向量的长度、向量的夹角、向量的距离等保持不变。 能否在一般欧氏空间也找到具有这种性质的线性变换？ 这种线性变换就是本节要研究的正交变换。
σ −1 仍是V的一个正交变换。 解： 正交变换 σ 在任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵， 正交矩阵是可逆的，所以 σ 是可逆变换。
欧几里得空间中的正交基与正交变换
欧几里得空间中的正交基与正交变换欧几里得空间是一个重要的数学概念，它涉及到向量、点、线和平面等几何图形的性质与关系。
在欧几里得空间中，正交基和正交变换是其中两个重要的概念。
本文将对欧几里得空间中的正交基和正交变换进行探讨，旨在帮助读者更好地理解和应用这两个概念。
一、正交基在欧几里得空间中，正交基是指一组向量中的每两个向量都相互垂直。
更具体地说，如果向量v₁、v₂、...、vₙ满足vᵀᵢ·vₙ=0（其中1≤i≠j≤n，vᵀ表示向量的转置），则称这组向量为正交基。
正交基的一个重要性质是它们是线性无关的，这意味着没有任何一个向量可以表示成其他向量的线性组合。
因此，正交基可以作为欧几里得空间的一个基础，用来描述和计算向量的性质和关系。
在实际应用中，正交基有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，使用正交基可以轻松地描述和转换三维空间中的物体位置和方向；在信号处理中，正交基可以用来表示和处理复杂的信号和波形；在机器学习中，正交基可以用来降低数据的维度和提取有效特征等。
二、正交变换正交变换是指在欧几里得空间中保持向量长度和夹角不变的线性变换。
简单来说，正交变换是一种保持形状不变的变换。
正交变换的一个重要特性是它可以保持向量的正交性。
也就是说，如果两个向量在变换前相互垂直，那么它们在变换后仍然相互垂直。
这一性质使得正交变换在几何学和物理学中得到广泛应用。
常见的正交变换包括旋转、反射和投影等。
通过这些变换，我们可以改变向量的方向、位置和维度等属性，从而得到新的向量和图形。
正交变换还有一些特殊的性质。
例如，正交变换的逆变换是它本身的转置矩阵。
这个性质使得正交变换比较容易求解和应用。
结语正交基和正交变换是欧几里得空间中的两个重要概念，它们在数学、物理和工程等领域中都有着广泛的应用。
正交基可以作为描述和计算向量性质的基础，而正交变换可以保持向量的长度和夹角不变，用于改变和操作向量的属性。
通过理解和应用正交基和正交变换，我们可以更好地理解欧几里得空间中的几何性质，并且能够应用于各个领域的实际问题。
n维欧氏空间上正交变换的分类
论文题目《正交变换的分类》N维欧氏空间上正交变换的分类摘要：本文通过对正交变换的概念以及正交变换的一些定理进行定义，再逐步了解n维欧氏空间上的正交变换。
最后讨论普通几何空间中正交变换的类型。
最终掌握欧氏空间、性质、判别及其初步分类．关键字：欧氏空间正交变换分类1.1 正交变换的概念定义1设V是一个欧氏空间，σ是V的一个变换．若σ保持向量的内积不变，即∀α，β∈V，都有〈σ(α),σ(β)〉=〈α,β〉(1) 则称σ是V上的一个正交变换．从定义1容易看出，V的正交变换保持向量的长度不变，保持两个非零向量的夹角不变，保持正交性不变．命题1.1欧氏空间V上的正交变换σ一定是线性变换．证先证∀α，β∈V, 有σ(α+β)=σ(α)+σ(β)．事实上，〈σ(α+β)－(σ(α)+σ(β)),σ(α+β)－(σ(α)+σ(β))〉=|σ(α+β)|2－2〈σ(α+β),σ(α)+σ(β)〉+|σ(α)+σ(β)|2=|α+β|2－2〈σ(α+β),σ(α)〉－2〈σ(α+β),σ(β)〉+|σ(α)|2 +|σ(β)|2+2〈σ(α)，σ(β)〉=|α+β|2－2〈α+β, α〉－2〈α+β, β〉+|α|2+|β|2+2〈α，β〉=|α+β|2－2〈α+β，α+β〉+|α+β|2=0，所以σ保持加法运算．同理可证σ(kα)=kσ(α)，∀α∈V，k∈R．故σ是V的一个线性变换．从命题1.1和定义1容易得出，正交变换保持两个向量之间的距离不变．命题1.2欧氏空间V上的正交变换σ一定是单射．因此，有限维欧氏空间的正交变换是可逆变换．证因为〈σ(α),σ(α)〉=〈α,α〉，所以∀α∈Kerσ⇔σ(α)=θ⇔〈σ(α),σ(α)〉=0⇔〈α,α〉=0⇔α=θ．从而Kerσ=0．因此σ是单射．此时，当dim V=n，则σ是满射，所以σ是双射，故σ可逆．注意到欧氏空间V的任一自同构σ均保持内积不变，因此由命题1.2立得推论1.1有限维欧氏空间V的变换σ是正变变换的充分且必要条件为σ是欧氏空间V的自同构．我们可从另外一个角度来刻画正交变换，即定理1.1欧氏空间V到自身上的变换σ是正交变换的充分且必要条件为σ是保持向量的长度不变的线性变换．证必要性从定义1和命题1.1立即得到．充分性设σ∈End V，且保持向量的长度不变，则∀α,β∈V，有〈σ(α+β),σ(α+β)〉=〈α+β,α+β〉．(2)(2)式的左边、右边分别为,||)(),(2|||) (|)(),(2|)(|)()(),()(2222ββσασαβσβσασασβσασβσασ++=++=++|α|2+2〈α,β〉+|β|2．所以，〈σ(α),σ(β)〉=〈α,β〉．故σ是正交变换． 显然，欧氏空间V的任两正交变换σ，τ的乘积仍然是正交变换．1.2 n维欧氏空间的正交变换定理1.2设σ是n维欧氏空间V的一个线性变换，则下列陈述彼此等价：1)σ是正交变换；2)若α1,…,αn是V的一个标准正交基，则σ(α1),…,σ(αn)也是V的标准正交基；3)σ在V的任意一个标准正交基下的矩阵是正交矩阵．证1)⇒2) 因为〈σ(αi),σ(αj)〉=〈αi,αj〉=δij，i,j=1，2，…，n；且σ(αi)≠θ，i=1，…，n．所以σ(α1)，…，σ(αn)是V的一个标准正交基．2)⇒3) 任取V的一个标准正交基α1，…,αn．由假设知σ(α1)，…，σ(αn)也是V的标准正交基．从而由基α1，…，αn到基σ(α1),…,σ(αn)的过渡矩阵A是正交矩阵，即σ(α1,…,αn)=( α1,…,αn)A．(3) (3)式说明σ在基α1,…,αn下的矩阵是A，故3)成立．3)⇒1) 取V的一个标准正交基α1，…，αn，设σ在这个基下的矩阵是正交矩阵A．∀α=(α1,…,αn)X，β=(α1,…,αn)Y∈V，则σ(α)=(α1,…,αn)(AX),σ(β)=( α1,…,αn)(AY)．由于α1,…,αn是V的标准正交基，所以〈σ(α),σ(β)〉=(AX)'(AY)= X' (A'A)Y= X'Y=〈α,β〉．因此σ是正交变换．据上，在标准正交基下，n维欧氏空间V的正交变换与实n阶正交矩阵一一对应．因而可利用正交矩阵将正交变换分类．注意到正交矩阵的行列式等于1或－1．因此，行列式等于1的正交变换称为旋转，或者称为第一类的；行列式等于－1的正交变换称为第二类的．n维向量空间的任意一个n－1维子空间称为一个超平面．例1在欧氏空间V中取一个标准正交基α1,…,αn．定义V上的一个线性变换σ，使得σ(α1)=－α1，σ(αi)= αi，i=2，…，n，则σ在基α1,…,αn下的矩阵为A=diag(－1，I n－1)．显然A是正交矩阵，因此σ是正交变换．由于|A| = －1，因此σ是第二类的．这个正交变换是关于超平面W=L(α2，…，αn)的一个镜面反射(参见本节习题第2题)．1.3 普通几何空间中正交变换的类型下面讨论几何空间V 2和V 3的正交变换有哪些类型？设σ是V 2的一个正交变换，σ在V 2的一个标准正交基{γ1，γ2}下的矩阵是U =⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ， 则U 是一个正交矩阵．因此a 2+c 2=1，b 2+d 2=1，ab +cd =0． (4)由第一个等式，存在一个角ω使a =cos ω，c =±sin ω．由于cos ω=cos(±ω)，±sin ω=sin (±ω)，因此可设a =cos ϕ，c =sin ϕ．这里ϕ=ω或－ω．同理，由(4)的第二个等式，存在一个角ψ，使b =cos ψ，d =sin ψ．将a ,b ,c ,d 代入(4)的第三个等式得cos ϕcos ψ+sin ϕsin ψ=0，或cos(ϕ－ψ)=0．最后等式表明，ϕ－ψ是2π的一个奇数倍．于是 cos ψ= sin ϕ，sin ψ =±cos ϕ．所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ϕϕϕϕcos sin sin cos U ，或⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ϕϕϕϕcos sin sin cos U ． 对前一情形，σ是将V 2的每一向量旋转角ϕ的旋转；对后一情形，σ将V 2中以(x ，y )为坐标的向量变成以(x cos ϕ+y sin ϕ，x sin ϕ－y cos ϕ)为坐标的向量．这时σ是关于直线y =⎪⎭⎫ ⎝⎛2tan ϕx 的反射． 这样，V 2的正交变换或者是一个旋转，或者是关于一条过原点的直线的反射．若是后一情形，可以取V 2的一个标准正交基{β2，β3}，使σ在基{β1，β2}下的矩阵为⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001． 现在设σ是V 3的一个正交变换，σ的特征多项式是一个实系数三次多项式，因而至少有一个实根r ．令γ1是σ的属于特征值r 的一个特征向量，并且取γ1是一个单位向量．再添加单位向量γ2，γ3使{γ1,γ2,γ3}是V 3的一个标准正交基．则可设σ在这个基下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a t s r U 00． 由于U 是正交矩阵，则有r 2=1，rs =rt =0，从而r =±1，s =t =0．于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±=d c b a U 00001． 由U 的正交性推出，矩阵⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a 是一个二阶正交矩阵．由上面的讨论，存在一个角ϕ使⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛ϕϕϕϕϕϕϕϕcos sin sin cos cos sin sin cos 或c c b a ． 在前一情形，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±=ϕϕϕϕcos sin 0sin cos 0001U ． 在后一情形，根据对V 2的正交变换的讨论，我们可以取V 3的一个标准正交基{γ1 ,β2 , β3 }使σ在这个基的矩阵是T =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±100010001． 若在T 中左上角的元素是1，则重新排列基向量,σ在基{β3, β2 ,γ1}的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010001． 若左上角的元素是－1，则σ在基{β2 , β3 ,1γ}下的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππππcos sin 0sin cos 0001100010001． 这样，V 3的任意正交变换σ在某一标准正交基{α1，α2，α3}下的矩阵是下列三种类型之一：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010001cos sin 0sin cos 0001，ϕϕϕϕ, 或⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--ϕϕϕϕcos sin 0sin cos 0001=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010001cos sin 0sin cos 0001ϕϕϕϕ． 在第一种情形，σ是绕通过α1的直线L (α1)的一个旋转；在第二种情形，σ是关于平面L (α2，α3)的反射；第三种情形，σ是前两种变换的合成．参考文献1. 张禾瑞.高等代数.第五版.高等教育出版社。
正交变换
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间 §6 对称矩阵的标准形 §7 向量到子空间的 距离─ 距离─最小二乘法 §8酉空间介绍
§9.4 正交变换
一、一般欧氏空间中的正交变换 二、n 维欧氏空间中的正交变换
§9.4 正交变换
一、一般欧氏空间中的正交变换
§9.4 正交变换
(
)
{
i= j i≠ j
（2）若线性变换 σ 使V的标准正交基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 变 ） 的标准正交基
成标准正交基 σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε n ) ，则 σ 为V的正 的正 交变换． 交变换． 证：任取 α , β ∈ V ,设
α = x1ε 1 + x2ε 2 + L xnε n β = y1ε 1 + y2ε 2 + L ynε n ,
∴ σ 是正交变换． 是正交变换．
§9.4 正交变换
再证明（ ） 再证明（2）与（3）等价． ）等价．
( 2) ⇒ ( 3)
Q σ (α ) − σ ( β ) = σ (α − β ),
∴ d ( σ (α ),σ ( β ) ) = σ (α ) − σ ( β ) = σ (α − β ) = α − β = d (α , β )
即，(σε 1 ,σε 2 ,L ,σε n ) = ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) A 由于当A是正交矩阵时， 也是V的 由于当 是正交矩阵时，σε 1 ,σε 2 ,L ,σε n 也是 的 是正交矩阵时 标准正交基， 标准正交基， 为正交变换． 再由 1 即得 σ 为正交变换．
§9.4 正交变换
欧式空间正交变换的分类
欧式空间正交变换的分类欧氏空间正交变换的分类在多维空间里保持长度不变的正交变换无疑是重要的，但这种变换在多维空间下的可操作性我们还并不清楚，下面，我们从课本出发，把二、三维空间下的正交变换推广到五维空间定义：欧式空间v的一个线性变换σ叫做一个正交变换，如果对于任一ξ∈v都存有∣σ（ξ）∣=∣ξ∣正交变换的基本性质：欧式空间v的一个线性变换σ是正交变换的充要条件是：对于v任意向量ξ，η，=。
设v就是一个n佩欧式空间，σ就是v的一个线性变换。
如果σ就是v正交变换，那么σ把v的任一一个规范拓扑基仍变为的一个规范拓扑基为。
反过来，如果σ把v的某一规范拓扑基为仍旧变为的一个规范拓扑基为，那么σ就是v的一个正交变换。
n维欧式空间v的一个正交变换σ关于v的任意规范的矩阵是一个正交矩阵。
反过来，如果v的一个线性变换关于某一个规范正交基的矩阵是单位阵，那么该线性变换σ是一个正交变换。
将v2的一个向量转动一个角ϕ的正交变换关于v2的任一规范拓扑基的矩阵就是⎛cosϕ-sinϕ⎛sinϕcosϕ⎛⎛⎛⎛在平面h内取两个正交的单位向量γ1，γ2，在取一个垂直于h的单位向量γ3，那么{γ1,γ2,γ3}是v3的一个规范正交基。
关于这个基的矩阵是010⎛。
以上两00-1⎛⎛⎛个都是正交矩阵。
设立σ就是v2的一个正交变换。
σ关于v2的一个规范拓扑基u=γ2}的矩阵是⎛cb⎛⎛，那么就是一个正交矩阵。
于是⎛d⎛a2+b2=1,b2+d2=1,ab+cd=0(2)存有第一个等式，存有一个角α并使a=cosα,c=sinα.由于cosα=cos(±α)，±sinα=sin(±α)因此可以而令a=cosϕ,c=sinϕ这里ϕ=α或-α同理，由(2)的第二个等式，存在一个角ψ使b=cosψ,d=sinψ.将a,b,c,d代入(2)的第三个等式得cosϕcosψ+sinϕsinψ=0,或cos(ϕ-ψ)=0.最后等式表明，ϕ-ψ是的一个基数倍。
高等代数教案(北大版)第九章 欧式空间
Euclid 空间
Euclid 空间是定义了内积的实线性空间，在线性空间中，向量间的基本运算只限于线性 运算，而几何空间作为具体模型，还有很多性质没有推广到线性空间中来。把几何空间中的 长度、夹角等度量概念引入线性空间，就成了建立 Euclid 空间的一个基本目的，其中内积 的概念起了关键作用， 它使得 Euclid 空间具有更丰富的几何内容。 Euclid 空间的理论在解析 几何等数学分支和涉及正交变换的应用学科中都具有广泛的应用。 教学目的：为解决用正交变换把二次型化为标准形问题，必须在线性空间的基础上引 入度量，建立 Eulicd 空间。通过本章的学习，让学生了解并领会 Eulicd 空间的定义及基本 性质、内积的定义、标准正交基、同构正交矩阵、正交变换、子空间、正交补的概念，掌握 标准正交基的求法、 无关向量组扩充为标准正交基的 Schmidt 正交化方法、 同构的充要条件、 正交矩阵的性质和判定方法、正交补的存在唯一性和实对称阵正交相似标准对角矩阵的求 法。 教学重点：Eulicd 空间的基本概念、度量矩阵、标准正交基、正交矩阵、实对称矩阵的标 准形。 教学难点： 正交变换、对称变换和正交子空间。 教学方法与手段：1. 理论课教学以讲授为主，部分介绍性内容用多媒体。 2．习题课以多媒体教学为主。 教学内容：
§2
一、概念
标准正交基
定义 1 正交向量组：欧氏空间 V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就 称为正交向量组. 规定：单个非零向量组成的向量组是正交向量组. 性质 证明 正交的向量组必线性无关 设α1, α2,…, αm是一正交向量组，即(αi, αj)=0, i≠j.
令k1α1+k2α2+…+kmαm=0, 在等式两边用 α i 作内积：
欧式空间的线性变换的性质讨论
欧式空间的线性变换的性质讨论毕业设计(论文)开题报告1.本课题的目的及意义，国内外研究现状分析线性变换是欧氏空间中具有线性性的变换,而欧氏空间是实效域上定义了内积向量空间,内积具有线性性及正定性,能否借助内积的线性性和正定性来判断欧氏空间中的变换具有线性性呢?这是一个值得探究的问题。
我们知道有限维或无限维欧氏空间中的线性变换如果保持向量的内积不变那么这个变换就必须是一个线性变换。
线性变换是欧氏空间中具有线性性的变换，而欧氏空间是实数域上定义了内积的向量空间，能否借助内积的线性性和正定性来判断欧氏空间的变换具有线性性，是一个值得研究的问题，同时如果在欧氏空间的变换是线性变换，那么这些线性变换有什么特殊性呢，对此我们给出了判定条件并且对一系列相关的问题进行了研究。
毕业设计(论文)开题报告2.本课题的任务、重点内容、实现途径欧氏空间的正交变换是一类较特殊的线性变换,它具有许多良好的性质,保持两个非零向量夹角不变是其中之一。
同时,保持向量夹角不变的线性变换不一定是正交变换〔1,2,3,4〕。
很自然地我们提出如下问题:欧氏空间中保持向量夹角不变的线性变换具有哪些性质呢?为叙述方便,先作论证：1.正交变换定义1.1如果欧氏空间V的线性变换A保持向量的内积不变，既对于V 中任意两个向量α,β，都有（Aα,Aβ）,=（α,β）则称A为一个正交变换。
定理1.1 n维欧氏空间V的线性变换A是V的正交变换的充要条件是：如果ε1，ε2，.. ..εn是V的一组标准正交基，那么Aε1,Aε2,.. ..Aεn也是V的标准正交基。
定理1.2 n维欧氏空间V的线性变换A是正交变换的充要条件是：A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。
定理1.3 设A为欧氏空间V的可逆变换，则A为V的正交变换的充要条件是：对Λα,βεV,有（Aα,β）=（α,A-1β）。
定理1.4 设A为欧氏空间V的变换，*A为A的共轭变换，则A为正交变换的充要条件是：A*A=E。
第九章 欧氏空间与线性变换.
(1)设线性变换/A在一组标准正交基下的矩阵为A, 则/A的共轭变换在这组基下的矩阵为 A / . (2)共轭变换满足(/A*)*=/A,(/A+/B)*=/A*+/B*,
(/A/B)*=/B*/A*,(k/A)*= k /A*. (3)设酉空间V的子空间W是线性变换/A的不变子 空间,则W的正交补W⊥是/A*的不变子空间.
(4)若/AX= X,则/A*X= (5)若线性变换/A特征根为 1 , 2 ,, n ,则/A* 的特征根为 , ,, .
1 2 n
X.
(6)若线性变换/A满足/A*/A=/A/A*,则称/A为正规变 换.正交变换、对称变换都是正规变换.
(7)设/A是正规变换,则属于/A的不同特征根的特征 向量正交. (8)若/A是正规变换,W是/A的不变子空间,则W⊥也 是/A的不变子空间. (9)若线性变换/A满足/A*=-/A,则称/A为酉空间的反 对称变换.显然反对称变换也是正规变换,且它满足对 任意的 , V 有 (/ A , ) ( , / A ) . 二、基本方法 常用的欧氏空间: (1)线性空间Rn,对如下定义的内积构成欧氏空间
祝福大家好运!
(2)设/A是欧氏空间V的对称变换,若V1是/A的不变 子空间,则V1的正交补V1⊥也是/A的不变子空间. (3)对称变换得所有特征根全为实数,且属于不同特 征根的特征向量互相正交. 4.共轭变换与正规变换 设V是复数域上的线性空间,并定义了内积,则称V 为酉空间.这里的内积是二元复函数,满足 ( , ) ( , ) . 其它性质类似于欧氏空间的内积.对应于欧氏空间的 正交变换和对称变换,在酉空间中有酉变换和对称变 换.设/A是酉空间中的线性变换,若对任意的 , V 有(/ A , ) ( , / B ) ,则称/B是/A的共轭变换,并记为 /B=/A*.
线性代数习题集第七章
线性代数习题集第七章第七章欧⼏⾥得空间I. 单项选择题1. 欧式空间V 内的s 个⾮零向量12,,,s ααα，如果两两正交，则（）⑴线性相关⑵线性⽆关⑶互相可以线性表⽰⑷两两夹⾓为零2. 给定两个向量1123a α?? ? ?= ?- ?-??，23241α-?? ? ?= ? ???，且内积12,1αα=-，则a 为（）⑴23- ⑵34- ⑶14- ⑷123. n 维欧式空间V 的线性变换σ是可逆的对称变换当且仅当σ关于V 的任意⼀组标准正交基的矩阵是（）⑴可逆变换⑵对称变换⑶正交变换⑷可逆的对称变换 4. 正交变换在标准正交基下的矩阵是（）⑴初等矩阵⑵正定矩阵⑶正交矩阵⑷实对称矩阵 5. 设A 为n 阶对称矩阵，若1A -存在，则1A -是（）⑴正交矩阵⑵正定矩阵⑶对称矩阵⑷反对称矩阵 6. 下列有关正交变换的命题中，正确的是（）⑴保持任意向量长度不变的线性变换是正交变换⑵保持任意两个⾮零向量夹⾓不变的线性变换是正交变换⑶正交变换是对称变换⑷正交变换在任意⼀组基下的矩阵是正交矩阵7. 在欧式空间V 中，两组标准正交基间的过渡矩阵是（）⑴正定矩阵⑵对称矩阵⑶正交矩阵⑷转置矩阵 8. 实上三⾓矩阵为正交矩阵时，必为对⾓矩阵，其对⾓线上的元素为（）⑴1 ⑵-1 ⑶0 ⑷±1 9. 欧式空间中线性变换σ是正交变换的充要条件是（）⑴σ为对称变换⑵σ保持向量的长度不变⑶σ保持向量间的夹⾓不变⑷保持向量间的正交关系不变 10. n 阶实矩阵T 是正交矩阵当且仅当T 的⾏向量组是（）⑴正交组⑵标准正交组⑶线性⽆关组⑷单位向量组 11. 正交矩阵的实特征值只能是（）⑴正实数⑵负实数⑶1或-1 ⑷零12. 矩阵1121121121121-?? ?- ? ?-??是（）⑴正交矩阵⑵⾮正交矩阵⑶正定矩阵⑷实反对称矩阵13. 设1111A ??=，P 为⼆阶正交阵，且'0002P AP ??=，则P =（）⑴12121212??-⑵? -?⑶?-⑷12121212-??14. 设()12,a a α=，()12,b b β=为⼆维实空间2R 中任意两个向量，2R 对以下规定的哪个内积作成欧式空间（）⑴1221,a b a b αβ=+ ⑵1122,a b a b αβ=-⑶1122,1a b a b αβ=++ ⑷()()121122,2a a b a a b αβ=+++II. 填空题 1. 设12,,,s ααα是欧式空间V 中的s 个向量，如果12,,,s ααα两两正交，则它们______. 2. 欧式空间V 内任意两个向量,αβ有,αβαβ≤，等号成⽴的充要条件是_________. 3. 欧式空间中，正交向量组必__________.4. 在欧式空间V 中，设(),,.L V R V σλ?∈∈∈如果(),σ?λ?=且?________，则称λ为________，?为________.5.如果向量组()12,,,2s s ααα≥中任⼀向量都不能被其余向量线性表⽰，则此向量组________.6. 如果对称矩阵A 为⾮奇异矩阵，则1A -也是________.7. 正交变换σ保持向量的内积不变，因⽽它保持向量的________和________不变. 8. 设实数域R 上的⼀个n 阶⽅阵T 满⾜' ',T T TT E ==即________，则称T 为________. 9. 设σ为n 维欧式空间V 的⼀个线性变换，若σ对⼀组基12,,,n ααα中的向量有()()1111,,,1,2,,i n ασααα==，则σ________正交变换.10. 设()A ij a =是数域K 上的⼀个n 阶⽅阵，如果________，则称A 是⼀个对称矩阵，如果________，则称A 是⼀个反对称矩阵.11. 正交矩阵A 的⾏列式A =________或________.12. 设σ是欧式空间V 内的⼀个对称变换，则σ的对应于不同特征值的特征向量________.13. 欧式空间中的正交变换之积________正交变换. 14. 对称变换在标准正交基下的矩阵是________矩阵.15. 设A 是⼀个n 阶实对称矩阵，则存在n 阶______，使1'T AT T AT D -==为对⾓形矩阵. 16. 设V 是⼀个n 维欧式空间，令()0n 表⽰V 中全体正交变换所成的集合，则()0n 具有性质⑴_______________；⑵_______________；⑶_______________. 17. 设σ是欧式空间V 内的⼀个线性变换，若对V 中任意向量,αβ都有()(),,ασββ=，则称σ为____________.18. 设σ是n 维欧式空间V 内的⼀个线性变换，如果对任意,V αβ∈，有()(),,αβασβ=，则称σ为⼀个____________.19. 欧式空间V 中的线性变换σ称为反对称的，如果对V 中任意向量,αβ，都有_________.20. 设(1α=，(2α=-，(3α=-，则123,,ααα是3R 的⼀个标准正交基，因为____________，____________.III. 判断题1. 设,αβ是欧式空间V 中的任意两个向量，则,αβαβ≤.2. 设()12,a a α=，()12,b b β=为⼆维实空间2R 中任意两个向量，规定内积：()()1212,a a b b αβ=++，则,0αβ≥，当且仅当0α=时，,0αα=.3. 令2R 为实数域上全体⼆维向量所组成的线性空间，()12,a a α=，()12,b b β=为其中任意两个向量，规定：()12122,a a b a b αβ=++，则,,αββα=.4. 实对称矩阵的特征值必为实数.5. 在某⼀组基下的矩阵是实对称矩阵的线性变换是对称矩阵.6. 对称变换的特征值都是实数.7. 对称变换在任意⼀组基下的矩阵都是实对称矩阵.8. 保持任意两个⾮零向量夹⾓不变的线性变换⼀定是正交变换.9. 设()12,a a α=，()12,b b β=为⼆维实空间2R 中任意两个向量，2R 对以下所规定的内积作成欧式空间，1221,a b a b αβ=+.10. 标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.11，在4R 中，向量()1,2,2,3α=，()3,1,5,1β=的夹⾓为4π.12. 正交变换在标准正交基下的矩阵是正交矩阵.IV. 简答（或计算）题1. 求与()1,2,1,1α=-，()2,3,1,1β=，()1,1,2,2γ=---都是正交的向量.2. 在欧式空间4R 中，求()1,2,2,3α=，()3,1,5,1β=的夹⾓.3. 在欧式空间4R 中，求()2,1,3,2α=，()1,2,2,1β=-的夹⾓.4. 设()()()1231,0,2,0,0,2,0,3,2,6,4,9ααα===，试将()123,,L ααα的基扩充成欧式空间4 R 的⼀组基.5. 求线性⽅程组123452111311101032112x x x x x ?? ?--?? ? ?= --的解空间的标准正交基.6. 设220212020A -?? ?=-- ? ?-??，求正交矩阵T ，使'T AT 成对⾓形.7. 求下列矩阵123213336A ??= ? ???的特征值和特征向量，并将特征向量标准正交化.8. ⽤正交变换化⼆次型222123121323222f x x x x x x x x x =+++++为标准形.9. ⽤正交变换化⼆次型123444f x x x x =+为标准形.10. 设0111101111011110A -??-= - -，求正交矩阵U ，使'U AU 成对⾓形. 11. 设12345,,,,εεεεε是五维欧式空间V 的⼀组标准正交基，()1123,,V L ααα=，其中11521243123,,2αεεαεεεαεεε=+=-+=++，求1V 的⼀组标准正交基.12. 在[]4R x中定义内积为：()()11,f g f x g x dx -=?，求[]4R x 的⼀组标准正交基（对基231,,,x x x 正交单位化）13. 求⼀个正交变换，把⼆次型()222123123121323,,44448f x x x x x x x x x x x x =++-+-化为标准形.14. 已知⼆次型()22212312323,,2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>，通过正交变换化成标准形：22212325f y y y =++，求参数a 及所⽤的正交变换矩阵. *15. 设n 阶⽅阵A 有n 个特征值0,1,2,n 1-，且⽅阵B 与A 相似. 求B E +，这⾥E 为n 阶单位矩阵.*16. 设⼆次型222123122313222f x x x ax x bx x x x =+++++，经正交变换X U Y =化成22232f y y =+，其中()'123,,X x x x =和()'123,,Y y y y =是三维列向量，U 是三阶正交矩阵. 试求,a b .*17. 欧式空间4R 中，若基()()()()12341,1,0,0,1,2,0,0,0,1,2,11,0,1,1αααα=-=-==的度量矩阵为：23013601001391197A -??--= -. ⑴求基()()()()12341,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1εεεε====的度量矩阵；⑵求向量γ，它与以下向量都正交，()()()1231,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,3=-=--=. *18. 在2R 中，已知基()()121,0,0,1αα==的度量矩阵1112A ??=. 求2R 的⼀个标准正交基，并验证该基的度量矩阵是1001E ??=. *19. 设12345,,,,εεεεε是五维欧式空间的⼀个标准正交基，()1123,,V L ααα=，其中11521243123,,2αεεαεεεαεεε=+=-+=++，求1V 的⼀个标准正交基. *20. 设M 是欧式空间3R 的⼆维⼦空间，取其基()()121,1,2,2,2,3αα==. 求M ⊥.*21. 设V 为四维欧式空间，1234,,,εεεε为V 的⼀个标准正交基，⼦空间()12,M L αα=，其中1122123,αεεαεεε=+=+-. 求M ⊥.*22. 设4R 中的⼦空间M 是齐次线性⽅程组123412412342303220390x x x x x x x x x x x ++-=??+-=??++-=?的解空间，试分别求M ，M ⊥的基. 并写出以M ⊥为解空间的齐次线性⽅程组.*23. 已知'100030007Q AQ ?? ?= ? ，其中0Q ??- =- ??，302032225A ?? ?=- ? ?-??.求A 的特征值与特征向量.*24. 已知6,3,3是三阶实对称矩阵A 的三个特征值，()'11,1,1?=是属于特征值6的⼀个特征向量.V. 证明题1. 证明：对欧式空间中任意向量,αβ，下列等式成⽴：222222αβαβαβ++-=+.2. 在欧式空间中，若向量α与β正交. 求证：220αβαβ+--=.3. 设123,,,n αααα是欧式空间V 的⼀组基. 证明：若1,0(1,2,,)i n βα==，则0β=.4. 设α与β为n 维欧式空间V 中两个不同的向量，且1αβ==. 证明：,1βα≠.5. 设设123,,,n αααα是欧式空间V 的⼀组基. 证明：如果V γ∈，使1,0(1,2,,)i n γα==，则0r =.6. 设V 为 n 欧式空间，12,V γγ∈，如果对V 中任意向量α均有12,,γαγα=，则12γγ=.7. 设β与123,,,n αααα都正交. 证明：β与123,,,n αααα的任意线性组合都正交.8. 设123,,,n αααα是欧式空间V 内的n 个⾮零向量且它们两两正交. 证明：123,,,n αααα线性⽆关.9. 设A 为实对称矩阵. 证明：0A =充要条件是20A =. 10.设12,,,m ααα是欧式空间V内的⼀个向量组，令111212122212,,,,,,,,,m m m m m mαααααααααααααα??= ? ? ?. 证明：当且仅当0?≠时，12,,,m ααα线性⽆关.11. 设,στ是n 维欧式空间V 的两个线性变换. 证明：στ也是V 的正交变换. 12. 证明：实对称矩阵A 正定的充要条件是'A B B =，其中'B 为可逆矩阵. 13. 设,A B 都是正交矩阵，且A B =-. 证明：0A B +=. 14. 证明：对称的正交矩阵的特征值必为1+或1-.15. 设σ是欧式空间V 中对称变换. 证明：σ对应于不同特征值1,2λλ的特征向量12,??彼此正交.16. 设,A B 均为n 阶对称矩阵. 证明：AB 为对称矩阵的充要条件是AB BA =.17. 设A 为实对称矩阵，B 为反对称矩阵，且AB BA =，A B -是⾮奇异矩阵. 证明：()()1A B A B -+-是正交矩阵.18. 设A 为n 阶反对称矩阵，若A 为⾮奇异⽅阵. 证明：1A -也是反对称⽅阵.19. 设可逆矩阵A 的伴随矩阵A *为反对称矩阵. 证明：A 的转置矩阵'A 也是反对称矩阵. 20. 设,ατ均为欧式空间V 的两个对称变换. 证明：σττσ+也是V 的对称变换.21. 设α是n 维欧式空间V 中的⼀个⾮零向量. 证明：{},0M V ξξα=∈=是V 的⼦空间.22. 证明：第⼆类正交变换⼀定有特征值-1. 23. 设A 为正交矩阵. 证明：A *也是正交矩阵.24. 证明：在欧式空间中，对任意向量,ξη均有22,1414ηξηξη=+--. 25. 设12,,,n ααα是n 维欧式空间V 的⼀个基. 证明：12,,,n ααα是标准正交基的充要条件是对V 中任意1122n n x x x αααα=+++，1122n n y y y βααα=+++，1122,n n x y x y x y αβ=+++.*26. 设12,,,n εεε是n 维欧式空间的的⼀个基. 证明：12,,,n εεε是标准正交基的充要条件是任意向量α的坐标可由内积表出：1122,,,n n αεεαεεαεε=+++.*27. 设12,,,n εεε是n 维欧式空间V 的⼀个标准正交基，n 阶实矩阵()ij A a =是此基到基12,,n ηηη的过渡矩阵. 证明：12,,n ηηη是标准正交基的充要条件是A 为正交矩阵.*28. 证明：有限维欧式空间存在标准正交基. *29. 设12,,,m ααα是n 维欧式空间V 的⼀个标准正交基. 证明：对任意V ξ∈，以下不等式成⽴：2211,mi αξ=≤∑.*30. 证明：n 阶实对称矩阵A 是正定的，当且仅当存在nR ⼀个基，使A 为其度量矩阵. *31. 设,A B 是两个n 阶正交矩阵. 证明：1AB -的⾏向量构成欧式空间nR 的⼀个标准正交基.*32. 证明：两个有限维欧式空间同构的充要条件是它们的维数相同.*33. 证明：n 维欧式空间V 与'V 同构的充要条件是，存在双射f ：'V V →，并且对V 中任意向量,ξη，有,(),()f f ηξη=.*34. 设f 是欧式空间V 到'V 的⼀个同构映射. 证明：1f -是'V 到V 的同构映射.*35. 设()12,,,,1,2,,i i i in a a a i n α==是n 维欧式空间n R 的向量组. 证明：110,1,2,,;,0nnij ji j j i j a xi n x αα=====∑∑的解空间同构.*36. 证明：实系数线性⽅程组1,1,2,,nij jj j a xb i n ===∑⑴有解的充要条件是向量()12,,,nn b b b R β=∈与齐次⽅程组10,1,2,,nij j j a x i n ===∑⑵的解空间正交.*37. 设A 是n 阶正定矩阵，E 是n 阶单位矩阵. 证明：A E +的⾏列式⼤于1.。
线性代数课件PPT第六章 欧几里德空间 S2 正交变换
13
小结
• 正交变换的定义（重点） • 正交变换的判定（重点） • n维欧氏空间中正交变换的重要结
论
14
2 T ,T 2 ,
T ,T ,
4
推论 设T为欧氏空间的正交变换，又, V ，则
( , ) (T,T ) 【保持夹角不变】
证
, ( , ) arccos
T ,T
arccos
(T ,T )
| || |
| T || T |
总结：正交变换保持向量的模、内积、夹角不变
k1, = k1, =k1, =0. 因此 1+2M, k1M.
所以M是V的一个子空间.
12
(2) 由V是n维欧氏空间，0知，在V中必可找到n−1 个向量1, 2, …,n−1使, 1, 2, …,n−1为线性无
关向量组. 设对该向量组正交化得向量组为
=, 1, 2, …, n−1. 于是 i, =0, i=1,2,…,n-1, 则 1, 2, …, n−1都属于M, 且它们性无关，从而 dim{M}n−1. 若dim{M}=n, 则 M=V, 于是M, 而由0知, 0 ，则M，这与M=V矛盾.
0
0
1 2
1 2
2
正交变换的定义
定义：设T是欧氏空间V中的线性变换，如果对于任
意的 V，都有 |T |=|| ，即T, T= , ,
则T称为正交变换. 【保持向量的模不变】
例 在几何空间中把每一向量旋转一个角θ 的线性 变换是正交变换.
定理1 欧氏空间V中的一个线性变换T是正交变换
对 , V,Βιβλιοθήκη 有 T,T ,从而T是正交变换.
7
定理3 设 [1, 2, , n ] 是n维欧氏空间V的标准正交基底， V中的线性变换T为正交变换 T在标准正交
线性代数下11欧氏空间与正交变换
得到最大高度p，及d j r( j1 ) r( j1 ) 2r( j ) ( j 1, 2, ..., p)
Sxt(pe1)p,2：, x在(pdp .)ke对rσ每p⊝个kxe(pri)σ可p-确1中定选一取条dp长个为线p性的无约关旦的链(，根共)向量
个个Ste(线p根性3)：向无在量关k. 的er(σ根p-)1向⊝量kexr(pdσp1p1-)2,⊝,Lx((pdp1xd(p1p)1,).,对x补(p每dp充) 个)x题(p中i)31:选线可取性确无dp定关-1 性
I
性质: (1) |Q| = +1或. (2) Q 的逆矩阵Q-1 = QT 还是正交矩阵.
(3) 正交矩阵的乘积仍是正交矩阵.
三人行,二立而立
(4) { i}为标准正交基， { i}为标准正交基，
三个条件中任意两个成 立, 则另一个也成立.
{ i}→{ i}的过渡阵为正交阵
矩阵与线性变换是一一对应的，自然的问题是：
(4)⇒(1) 由(3)及上式得{σ( i)}为标准正交基，于是
(
( ),
(
))
n
xi
yi
( ,
)
i 1
15
定理10.2 设V是n维Euclid空间，O(n) 表示V上全体正交变换 的集合，则
(1) 恒等变换 ε ∈ O(n)； (2) σ, τ∈O(n) ⇒ στ∈ O(n)； (3) σ∈O(n)，则σ可逆，且σ−1 ∈O(n).
当( , ) = 0时, 称 与 正交, 记作 . ( 与任何向量正交)
定理
(Cauchy-Schwa(rz,不 )等式)
欧氏空间中的线性变换
《欧氏空间中的线性变换》
线性变换是数学中的一个概念,在欧氏空间(或其它数学空间)中,线性变换指的是将一个向量的线性组合与其相应的逆向量的乘积之和等于原来向量.线性变换的定义为:若将某个线性变换a 应用到b 上去,那么a 乘以b 等于b 乘以a.线性变换是一种运算.若对于任意的n 个向量v 和向量w,有: v×w= wv+ a×b,则称线性变换a 为v 和w 的一个线性变换,记作a·v·w 或简记为a·v·w.由此可见,线性变换a 是v 和w 的线性函数.
线性变换是欧氏空间(EuclideanSpace)中的基本元素,也就是说,线性变换是一种元素.线性变换的表示方式有很多种,比如矩阵形式、向量形式等等.线性变换具有许多重要特征,比如说线性变换是满射的,也就是说,线性变换总是把自身的逆映射回到原来的位置上;线性变换是一个线性映射,即对于线性变换a,存在一个唯一的线性映射b,使得a·b=0;线性变换不改变运算结果的大小.线性变换是可逆的.线性变换在欧氏空间中的表示法为:线性变换的概念最早是由柯西提出来的.。
欧式空间和正交矩阵的相关性质
第一章 欧式空间和正交矩阵欧氏空间和酉空间1.向量空间中向量的内积、长度、夹角的定义及性质,规范正交基,Schmidt 正交化方法；2.正交变换与正交矩阵的定义和性质；3.对称变换与实对称矩阵，实对称矩阵的正交相似对角化；4.酉空间的定义及其基本性质，酉变换和酉矩阵.&1 欧式空间定义：设V 是实数域上一个线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积,记作),(βα，它具有以下性质:1) (,)(,)αββα=; 2) ),(),(βαβαk k =; 3) ),(),(),(γβγαγβα+=+;4) ),(αα是非负实数,且),(αα当且仅当0=α这里,,αβγ是V 中任意的向量, k 是任意实数,这样的线性空间称为欧式空间.&2 正交矩阵的定义和性质由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基2.1 正交矩阵有以下几种等价定义及其判定：定义1 A 为n 阶实矩阵,若A A E '=,则称A 为正交矩阵. 定义2 A 为n 阶实矩阵,若AA E '=,则称A 为正交矩阵.定义3 A 为n 阶实矩阵,若1A A -'=,则称A 为正交矩阵.定义4 A 为n 阶实矩阵，若A 的n 个行（列）向量是两两正交的单位向量，则称A 为正交矩阵.判定1 A 为正交矩阵1'-=⇔A A .判定2 A 为正交矩阵⇔'1,,,1,2,,0,,i j i j i j n i j αα=⎧==⎨≠⎩ .判定3 A 为正交矩阵⇔'1,,1,2,...0,,i j i j i j n i j ββ=⎧===⎨≠⎩2.2 正交矩阵的性质性质1 设为A 正交矩阵，则)11A =±；)2A 可逆，即1A -存在，其逆1A -也是正交矩阵； )3A '，*A 也是正交矩阵.并且当A 为(2)n n >阶正交矩阵时, 当1A =时, *A A '=, 即ij ij a A =; 当1A =-时， *A A '=-, 即ij ij a A =-证：)1由AA E '=，可知21A =，或者1A =±.对正交矩阵A ，当1A =时，我们称A 为第一类正交矩阵； 当1A =时，则称A 为第二类正交矩阵.)2由AA E '=,可知A 可逆,且1A A -'=,又()()()111A A A A E---'''====故1A -是正交矩阵.)3由)2知1A A -'=,A '是正交矩阵.而*11A A A A --==±,有()()()1*1*A A A A --''=±=±=,故*A 是正交矩阵.由*11,A A A A A-'=±==,当1A =时, *A A '=, 即ij ij a A =; 当1A =-时, *A A '=-, 即ij ij a A =-性质2 设,A B 都是n 阶正交矩阵，则：)1AB ，m A (m 为自然数),A B '，AB '，1A B -，1AB -，1A BA -等都是正交矩阵；)200A A A B A A ⎛⎫⎫⎪⎪-⎝⎭⎭也是正交矩阵证: )1由11,A A B B --''==可知()()111AB B A B A AB ---'''===，所以AB 为正交矩阵，从而再由性质1可推知:m A (m 为自然数), A B '，AB '，1A B -，1AB -，1A BA -等均为正交矩阵.)2 因为11100000000A A A A B B B B ---''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭及A A A A A A A A A A A A A A A A '''⎡⎤⎡⎤-⎫⎫⎫=⎥⎥⎪⎪⎪''---⎭⎭⎭⎦⎦2122A AO E O O A A O E '⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭故00A A A B A A ⎛⎫⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎭是正交矩阵. 性质3 )1设,A B 为n 阶正交矩阵，且A B =-，则A B +必不可逆； )2设,A B 为奇数阶正交矩阵，且A B =，则必A B -不可逆.证： )1由A B BB A BA A B B A A ''''+=+=+()2B B A A B A B'''=-+=-+=-+得0A B +=,即A B +不可逆.)2由A B BB A BA A B B A A ''''-=-=-()()21nB B A A B A B'''=-=--=--性质6：n 阶非零矩阵为正交矩阵的充要条件是对任意的n 阶矩阵B 有:()()Tr ABA Tr B '=证明 必要性: 设A 是n 阶正交矩阵. 由AA E '=得: 1A A -'=, 从而根据矩阵理论可知:对任意n 阶矩阵B , 有()()Tr ABA Tr B '=充分性: 设对任意的n 阶矩阵B ,()()Tr ABA Tr B '=特别地, 我们可选取.),,2,1,(n j i E B B ij ij =+=。
9.4 正交变换(1)
等价. 最后来证 3) 与 4) 等价 设 A 在标准正交基 ε1 , ε2 , … , εn 下的矩阵为 A，即 ， (A ε1 , A ε2 , … , A εn ) = (ε1 , ε2 , … , εn )A . 是标准正交基， 如果 A ε1 , A ε2 , … , A εn 是标准正交基，那么 A 可 以看作由标准正交基 ε1 , ε2 , … , εn 到A ε1 , A ε2 , … , A εn 的过渡矩阵，因而是正交矩阵 反过来，如 的过渡矩阵，因而是正交矩阵. 反过来， 是正交矩阵， 果 A 是正交矩阵，那么 A ε1 , A ε2 , … , A εn 就是 标准正交基. 标准正交基 4)的等价性 的等价性. 这样，我们就证明了1) 这样，我们就证明了1) , 2) , 3) , 4)的等价性
性质4 性质4 （正交矩阵的性质） 正交矩阵的性质）
1）设A为正交矩阵， 为正交矩阵， 则AT也为正交矩阵. 也为正交矩阵.
2）设A为正交矩阵，则| A | = ± 1. 为正交矩阵， . 3）设A，B为正交矩阵， 为正交矩阵， 则AB也为正交矩阵. AB也为正交矩阵 也为正交矩阵.
性质5 性质5 正交变换的行列式等于 + 1 或者 - 1 .
小 结
1.正交变换的定义 1.正交变换的定义 2.正交变换的性质 2.正交变换的性质
作业
P393 6； 7； ； ； 15.(1),(2)
第九章 欧几氏空间
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换
§5 子空间 §6 对称矩阵的标准形 §7 向量到子空间的 距离─ 距离─最小二乘法 §8 酉空间的介绍
第四节 正交变换
主要内容
定义 性质
第九章 欧式空间(第三讲)
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﹡§3 正交变换与对称变换
本节讨论欧氏空间中两个特殊的线性变换—正交变换 与对称变换.
定义3.1 设σ是欧氏空间V的线性变换.如果对于V中任 意向量α, β都有
（σ（α），σ（β）=（α, β），
（6）
则称σ为一个正交变换.
满足（6）的线性变换σ称为是保持内积的.于是可以说， 正交变换是欧氏空间中保持内积的线性变换.
该基下的矩阵为 A (aij )nn .
必要性.据设有
(i ) a1i1 ( j ) a1 j1
于是
a ji ( (i ), j ),
a ji j aiji
ani n , anj n ,
aij (i , ( j )).
σ（ε1，ε2，···，ε n）= （ε1，ε2，···，ε n） A， 即
（σ（ε1）, σ（ε2）,···, σ（εn））=（ε1，ε2，···，ε n） A. 由2）已知σ（ε1）, σ（ε2）, ···, σ（εn）也是V的标准正交 基.按定理2.4， A必是正交矩阵.
3） => 4)设ε1，ε2，···，ε n是V的标准正交基, α是V中 向量,它在基ε1，ε2，···，ε n下的坐标为x,再设σ在基ε1， ε2，···，ε n下的矩阵为A.于是σ(α)在基ε1，ε2，···，ε n下 的坐标为Ax.又因A为正交矩阵,便有
由σ为对称变换知
(i ), j i , ( j ), i, j 1, 2, , n,
所以A为对称矩阵.
充分性.若A为对称矩阵，即AT= A，对于V中任意向量α, β，设它们在基ε1，ε2，···，εn下的坐标分别为x,y ，则σ(α)， σ(β)在基ε1，ε2，···，εn下的坐标分别为Ax, Ay .于是
一一般欧氏空间中的正交变换
xn n yn n ,
由 1, 2, , n 为标准正交基，有
n
( , ) xi yi
i 1
§9.4 正交变换
n
又 A( j )
j1
由于 A(1), A( 2 ), , A( n )为标准正交基，得
n
A( ), A( ) xi yi
二、n 维欧氏空间中的正交变换
1. n 维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基
不变的线性变换．
1).若 A 是 n 维欧氏空间V的正交变换，1, 2, , n
是V的标准正交基，则 A(1), A( 2 ), , A( n ) 也是V
的标准正交基.
事实上，由正交变换的定义及标准正交基的性质
即有，
i 1
A( ), A( ) (, )
故 A 是正交变换．
§9.4 正交变换
2. n 维欧氏空间V中的线性变换 A是正交变换
A 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵．
证明：" " 设 1, 2 , , n 为V的标准正交基，且
A 1,2, ,n A1, A2, , A n 1,2, ,n A
4. n 维欧氏空间中正交变换的分类： 设 n 维欧氏空间V中的线性变换 A 在标准正交基
1, 2 , , n 下的矩阵是正交矩阵A，则 A 1.
1）如果 A 1, 则称 A为第一类的（旋转）; 2）如果 A 1, 则称 A 为第二类的．
§9.4 正交变换
即， A( ) 2 2 两边开方得， A( ) , V ,
2) 1) : 若 A 保持向量长度不变，则对 , V
有， A( ), A( ) ( , ),
(1)
A( ), A( ) ( , ),
欧式空间中线性变换和正交变换的关系
欧式空间中线性变换和正交变换的关系欧⽒空间中线性变换和正交变换的关系摘要对欧式空间中的线性变换与正交变换之间的关系进⾏讨论关键词：欧式空间线性变换正交变换线性变换和正交变换是欧⽒空间的两种重要变换。
本⽂⾸先引⼊线性变换和正交变换在欧⽒空间中的定义，然后讨论两者之间的关系。
为了阅读⽅便，本⽂从最基本的概念谈起，即先定义线性空间、内积、欧⽒空间、线性变换和正交变换。
定义1 设V 不是空集，P 为⼀个数域，在V 中定义加法和数量乘法（简称数乘），若对P l k V ∈?∈?,,,,γβα，满⾜：（1）V ∈+βα，（关于加法封闭）（2）αββα+=+，（交换律）（3））（）（γβαγβα++=++，（结合律）（4）V V ∈?=+∈?ααα，使0,0，（零元）（5）0=-+∈-?∈?）（，使）（，ααααV V ，（负元）（6）V k ∈?α（关于数乘封闭）（7）αα=?1（8）αα）（）（kl l k =（9）αααl k l k +=+）（（10）βαβαk k k +=+）（则称V 为数域P 上的线性空间。
定义2 设V 是R 上的⼀个线性空间，在V 上定义了⼀个⼆元实函数，称为内积，记为),(βα，它具有以下性质（R k V∈∈,,,γβα）：（1）),(),(αββα=（2）),(),(βαβαk k =（3）),(),(),(γβγαγβα+=+（4）0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα。
定义3 定义2中的线性空间V 就称为欧⼏⾥得空间，简称欧⽒空间。
定义4 设V 是⼀个线性空间，P 为⼀个数域，对于P k V ∈?∈?,,βα，有（1）()()()A A A αβαβ+=+（2）()()A k kA αα?=则称A 为V 上的线性变换。
定义5 设A 是欧⽒空间V 的⼀个变换，如果对于任意的,,V ∈βα即保持内积不变，都有：((),())(,)A A αβαβ=。
则称A 是正交变换。
矩阵论判断题
（一）一、判断题（40分）（对者打∨，错者打⨯）1、设,n n A B C ⨯∈的奇异值分别为120n σσσ≥≥≥> ，'''120n σσσ≥≥≥> ，如果'(1,2,,)i i i n σσ>= ，则22||||||||A B ++>. ( ⨯ ) 2、设n n A C ⨯∈为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( ∨ ) 3、设n n C A ⨯∈可逆，n n C B ⨯∈，若对算子范数有1||||||||1A B -⋅<，则B A +可逆.( ∨ )4、设32312100a a A a a aa -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭为一非零实矩阵，则2221123()a a a A --++为A 的一个广义逆矩阵 ( ∨ )5、设A 为m n ⨯矩阵，P 为m 阶酉矩阵, 则PA 与A 有相同的奇异值. ( ∨ )6、设n n A C ⨯∈，且A 的所有列和都相等，则()r A A∞=. ( ⨯ )7、如果12(,,,) T nn x x x x C =∈，则1||||m in i i nx x ≤≤=是向量范数. ( ⨯ )8、0010140110620118A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦至少有2个实特征值. ( ∨ ) 9、设,n nA C ⨯∈则矩阵范数m A ∞与向量的1-范数相容. ( ∨ )10、设n n A C ⨯∈是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数 有1I A -≥, 其中I 为单位矩阵. ( ∨ )（二）1、设m nA R⨯∈的奇异值为12n σσσ≥≥≥ ，则2221||||ni i A σ==∑. ( ⨯ )2、设n n A C ⨯∈，且有某种算子范数||||⋅，使得||||1A <，则11||()||1||||E A A -->-,其中E 为n 阶单位矩阵. ( ⨯ )111()()()()E E A E A E A A E A ---=--=---⇒11()()E A E A E A ---=+-⇒11||()||||()||E A E A E A ---=+-1||||||||||()||E A E A -≤+-⇒1||||1||()||1||||1||||E E A A A --≤=--3、设2H A E uu =-(其中，E 为n 阶单位矩阵，2||||1n u C u ∈=且)，则2||||m A =( ∨ )(2)H H H A E u u =- (2)H H E uu =-2HE uu =-A =(2)(2)H H H A A E u u E u u =--224H H H H E u u u u u u u u E=--+=2||||mA n∴4、设12342468111A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的M -P 广义逆A +的秩()1rank A +=. ( ⨯ ) 5、设矩阵n n A C ⨯∈，0A ≠且，2||()||1H HA A A A +=则.( ∨ )()H HB A A A A+=⇒HBB =⇒2||||()B B ρ=则；2B B =⇒01B ⇒的特征值为或者0A ≠⇒1B ⇒是的特征值()1H r B B =6、若A 为列满秩矩阵，则H H A A A 1)(-既是A 的左逆又是A 的M -P 广义逆A +.( ∨ )7、设n εεε,,,21 线性空间n V 的一组基，n n n V x x x x ∈++=εεε 2211，则. )0(||||||||||2222211≥++=i n n k x k x k x k x 是n V 上向量x 的范数. ( ⨯ )8、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01821022330A ，则A 有三个实特征值. ( ∨ ) 9、设G 为矩阵()m n r A C r n ⨯∈<的广义逆A -，A BD =为A 的最大秩分解，则r DGB =2||||. ( ⨯ )10、设)1()(>∈=⨯n C a A n n ij 为严格对角占优矩阵，),,,(22nn ii a a a diag D =，A DE B 1--=(E 为n 阶单位矩阵)，则B 的谱半径1)(≥B r . ( ⨯ )（三）一、判断题（40分）（对者打∨，错者打⨯）1、设n x C ,U ∈为n阶酉矩阵，则22||||||||Ux x =. ( )()2222H H H ||Ux ||UxUx x U Ux x x ||x ||====2、设,n nA C⨯∈则2221||||||nm ii A λ=≥∑. ( )n nA C⨯∈→HA URU =→22222222||||||||||||||||Hm m m m A URUR R ==≥21||nii λ==∑3、如果12(,,,) T n n x x x x C =∈，则21||||||x x =为向量范数. ( )例如(0,1,0,,0)0 x =≠，但||||0x =4、1||||||||||||x x n x ∞∞≤≤. ( )11||||m a x ||||||||m a x ||||||ni ii iii x x xx n x n x ∞∞==≤=≤=∑5、设A 为n 阶酉矩阵，则.AA A A E ++== ( )因为H A A +=，故结论成立6、若m r r A C ⨯∈，则11()H HL A AA A --=. ( )11()H HL A A A A --=，故结论不成立7、若||||⋅为算子范数，则11||||||||A A --≥. ( )111||||||||||||AA A A --=≤，故结论不成立8、111i i i ii⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦和都是复对称矩阵()T A A =，故均为正规矩阵. ( )111i ii i i ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦为正规矩阵而非正规,因为1111ii ii ii i i i iii----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤≠⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦9、设()A ρ为矩阵A 的谱半径，则()||||m A A ρ∞≤. ( )01,||||1,() 1.61811m A A A ρ∞⎡⎤===⎢⎥⎣⎦则而10、设||||||||||||||||H m m m x xa ⋅=⋅为自相容矩阵范数，则是与相容的向量范数 ( )（四）一、判断题（40分）（对者打∨，错者打⨯）1、设矩阵n n A C ⨯∈，0A ≠且，2||()||1H H A A A A+=则.( )()H HB A A A A+=⇒HBB =⇒2||||()B B ρ=则；2B B =⇒01B ⇒的特征值为或者0A ≠⇒()1B ρ=2、设m nA R⨯∈的奇异值为12n σσσ≥≥≥ ，则2221||||ni i A σ==∑. ( )3、设n n A C ⨯∈，且有某种算子范数||||⋅，使得||||1A <，则11||()||1||||E A A -->-,其中E 为n 阶单位矩阵. ( )111()()()()E E A E A E A A E A ---=--=---⇒11()()E A E A E A ---=+-⇒11||()||||()||E A E A E A ---=+-1||||||||||()||E A E A -≤+-⇒1||||1||()||1||||1||||E E A A A --≤=--4、设2H A E uu =-(其中，E 为n 阶单位矩阵，2||||1n u C u ∈=且)，则2||||m A =( )(2)H H H A E u u =- (2)H H E uu =-2HE uu =-A =(2)(2)H H H A A E u u Eu u =--224H H H HE u u u u u u u u E=--+=2||||mA n∴5、设12342468111A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的M -P 广义逆A +的秩()1rank A +=. ( ) 6、若A 为列满秩矩阵，则H H A A A 1)(-既是A 的左逆又是A 的M -P 广义逆A +. ( )7、设n εεε,,,21 线性空间n V 的一组基，n n n V x x x x ∈++=εεε 2211，则.)0(||||||||||2222211≥++=i n n k x k x k x k x 是n V 上向量x 的范数. ( )8、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01821022330A ，则A 有三个实特征值. ( ) 9、设G 为矩阵()m n r A C r n ⨯∈<的广义逆A -，A BD =为A 的最大秩分解，则r DGB =2||||. ( )10、设)1()(>∈=⨯n C a A n n ij 为严格对角占优矩阵，),,,(22nn ii a a a diag D =，A DE B 1--=(E 为n 阶单位矩阵)，则B 的谱半径1)(≥B r . ( ) （五）1、A n 为阶实对称矩阵，nR x 对中的列向量，||x |Ax =定义, ||x ||x 则为向量 的范数. ( )因为非负性不成立，故结论错误。
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欧氏空间中线性变换和正交变换的关系摘要 对欧式空间中的线性变换与正交变换之间的关系进行讨论关键词：欧式空间 线性变换 正交变换线性变换和正交变换是欧氏空间的两种重要变换。
本文首先引入线性变换和正交变换在欧氏空间中的定义，然后讨论两者之间的关系。
为了阅读方便，本文从最基本的概念谈起，即先定义线性空间、内积、欧氏空间、线性变换和正交变换。
定义1 设V 不是空集，P 为一个数域，在V 中定义加法和数量乘法（简称数乘），若对P l k V ∈∀∈∀,,,,γβα，满足：（1）V ∈+βα，（关于加法封闭）（2）αββα+=+，（交换律）（3））（）（γβαγβα++=++，（结合律） （4）V V ∈∀=+∈∃ααα，使0,0，（零元）（5）0=-+∈-∃∈∀）（，使）（，ααααV V ，（负元）（6）V k ∈⋅α（关于数乘封闭）（7）αα=⋅1（8）αα）（）（kl l k =（9）αααl k l k +=+）（（10）βαβαk k k +=+）（则称V 为数域P 上的线性空间。
定义2 设V 是R 上的一个线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记为),(βα，它具有以下性质（R k V ∈∈,,,γβα）：（1）),(),(αββα=（2）),(),(βαβαk k =（3）),(),(),(γβγαγβα+=+（4）0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα。
定义3 定义2中的线性空间V 就称为欧几里得空间，简称欧氏空间。
定义4 设V 是一个线性空间，P 为一个数域，对于P k V ∈∀∈∀,,βα，有（1）()()()A A A αβαβ+=+（2）()()A k kA αα⋅=则称A 为V 上的线性变换。
定义5 设A 是欧氏空间V 的一个变换，如果对于任意的,,V ∈βα即保持内积不变，都有：((),())(,)A A αβαβ=。
则称A 是正交变换。
由上述定义可以得到如下命题：命题1 正交变换A 保持向量的长度不变。
因为欧氏空间V 的向量α的长度是α=所以就有()A αα===。
但是，欧氏空间中保持向量长度不变的变换不一定是一个正交变换。
例如，在欧氏空间R 2中，令向量α在直角坐标系下的表示为12(,)x x α=，有1212()(,)(||,||)A A x x x x α==。
显然A 是R 2的一个变换。
且因为1212|(,)||(||,||)|A x x x x ==，12|(,)|x x =可知A 保持向量的长度不变。
但A 不是正交变换，因为对于任意的1212(,),(,)x x y y αβ==则有： 12121122((),())((,),(,))A A x x y y x y x y αβ==+，12121122(,)((,),(,))x x y y x y x y αβ==+。
二者未必相等。
命题2 正交变换A 保持任意两个向量的夹角不变。
因为欧氏空间V 的向量α、β的夹角[]0,θπ∈的余弦可以表示为：(,)cos αβθαβ=⋅， 那么()A α、()A β的夹角'θ的余弦是：((),())(,)cos 'cos ()()A A A A αβαβθθαβαβ===⋅⋅， 故'θθ=。
但是，欧氏空间中保持任意两个向量夹角不变的变换不一定是一个正交变换。
例如，设A 是欧氏空间的一个变换，对于任意的V α∈,有()A k αα=，其中k R ∈。
因为对于任意的,,V ∈βα()A α、()A β的夹角的余弦为：22(,)(,)(,)k k k k k k αβαβαβαβαβαβ==⋅⋅⋅， 所以变换A 保持了向量夹角。
但是A 不是正交变换，因为对于任意的,,V ∈βα有：2(,)(,)(,)A k k k αβαβαβ==，这未必与(,)αβ相等。
这样就容易得到一个可以判定正交变换的命题：命题3 欧氏空间V 的保持向量长度不变和任意两个向量的夹角不变的变换A 是一个正交变换。
下面我们首先讨论欧氏空间的正交变换和线性变换的关系。
命题4 欧氏空间V 的正交变换A 一定是一个线性变换。
证明 任取α，V ∈β，由于(()()(),()()())A A A A A A αβαβαβαβ+--+--=((),())2((),())A A A A αβαβαβα++-+2((),())((),())A A A A βαβαα-++2((),())((),())A A A A αβββ++(,)2(,)2(,)αβαβαβαβαβ=++-+-+(,)2(,)(,)0αααβββ+++=故 ()()()0A A A αβαβ+--=即 ()()()A A A αβαβ+=+同理可证 ()()0,A a aA a R αα-=∈即 ()()A a aA αα=故A 是线性变换。
命题5 欧氏空间V 的保持向量长度不变的线性变换A 一定是一个正交变换。
证明 任取α，V ∈β，由于A 是保持向量长度不变的变换，即有((),())(,)A A αααα=,((),())(,)A A ββββ=,((),())(,)A A αβαβαβαβ++=++。
又因为A 是一个线性变换，故有：((),())((),())2((),())((),())A A A A A A A A αβαβαααβββ++=++,((),())(,)2(,)(,)αβαβαααβββ++=++,故 ((),())(,)A A αβαβ=。
所以A 一定是一个正交变换。
例如，在欧氏空间R 2中，关于横轴的对称变换是一个正交变换。
设任意向量在坐标系下的表示为12(,)x x α=，A 为关于横轴的对称变换，这样就有：1212()((,))((,))A A x x x x α==-下面证明这是一个线性变换。
因为：121211221122()((,)(,))((,))(,)A A x x y y A x y x y x y x y αβ+=+=++=+--，121212121122()()((,))((,))(,)(,)(,)A A A x x A y y x x y y x y x y αβ+=+=-+-=+--， 所以 ()()()A A A αβαβ+=+。
又因为：121212()((,))(,)(,)A k A k x x A kx kx kx kx α===-，121212()((,))(,)(,)kA kA x x k x x kx kx α==-=-，其中k R ∈。
所以 ()()A k kA αα=。
故A 为线性变换。
显然对称变换A 又是保持长度的，因此根据命题5，它是一个正交变换。
同样，我们常见的欧氏空间R 2的旋转变换也是一个正交变换。
设任意向量在坐标系下的表示为12(,)x x α=，A 为逆时针方向旋转θ的变换，这样就有：121221()((,))(cos sin ,cos sin )A A x x x x x x αθθθθ==-+。
显然这是一个线性变换。
因为：12121122()((,)(,))((,))A A x x y y A x y x y αβ+=+=++11222211(()cos ()sin ,()cos ()sin )x y x y x y x y θθθθ=+-++++1212()()((,))((,))A A A x x A y y αβ+=+1221(cos sin ,cos sin )x x x x θθθθ=-+1221(cos sin ,cos sin )y y y y θθθθ+-+ 11222211(()cos ()sin ,()cos ()sin )x y x y x y x y θθθθ=+-++++所以 ()()()A A A αβαβ+=+又因为：12121221()((,))(,)(cos sin ,cos sin )A k A k x x A kx kx kx kx kx kx αθθθθ===-+1221(cos sin ,cos sin )()k x x x x kA θθθθα=-+=下面我们证明这个旋转变换是一个保持长度的变换。
因为：121221()((,))(cos sin ,cos sin )A A x x x x x x αθθθθ==-+12(,)x x α===所以，欧氏空间R 2的旋转变换是一个正交变换。
命题6 欧氏空间V 的保持任意两个向量夹角不变的线性变换A 不一定是一个正交变换。
前面我们举的例子：A 是欧氏空间的一个变换，对于任意的V α∈,有()A k αα=，其中k R ∈。
说明了尽管A 保持了任意两个向量夹角不变，但并不是一个正交变换。
事实上，这个变换A 还是一个线性变换。
因为：()()A k k k αβαβαβ+=+=+，()()()()()A l k l kl l k lA ααααα====，l R ∈参 考 文 献[1] 张禾瑞，郝鈵新. 高等代数（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，1983. 321-328.[2] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数（第二版）[M] . 北京：高等教育出版社，1988. 372-393.。