数学教案 北师大版选修2-2 同步备课-第1章 推理与证明学案第1节归纳与类比

§1归纳与类比

1.1 归纳推理

学习目标核心素养

1．了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理．(重点)

2．了解归纳推理在数学发展中的作用．(难点) 1．通过归纳推理概念的学习，体现了数学抽象的核心素养．

2．通过归纳推理的应用的学习，体现了逻辑推理的核心素养.

1．归纳推理的定义

根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理．

2．归纳推理的特征

归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．

思考：由归纳推理得到的结论一定是正确的吗？

[提示]不一定正确．因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，其结论还需要证明其正确性．

1．下列关于归纳推理的说法错误的是( )

①归纳推理是由一般到一般的推理过程；

②归纳推理是一种由特殊到特殊的推理；

③归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确；

④归纳推理具有由具体到抽象的认识功能．

A．①②B．②③

C．①③ D．③④

A[归纳推理是由特殊到一般的推理，故①②不正确，易知③④均正确，故选A.]

2．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )

A．至多等于3 B．至多等于4

C．等于5 D．大于5

B [n ＝2时，可以；n ＝3时，为正三角形，可以；n ＝4时，为正四面体，可以；n ＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能．]

3．由集合{a 1}，{a 1，a 2}，{a 1，a 2，a 3}，……的子集个数归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为________．

2n

[集合{a 1}有两个子集

和{a 1}，集合{a 1，a 2}的子集有，{a 1}，{a 2}，{a 1，a 2}共4个子集，集

合{a 1，a 2，a 3}有8个子集，由此可归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为2n

个．]

数式中的归纳推理

＋b 10

＝( )

A ．28

B ．76

C ．123

D ．199

(2)已知f(x)＝x

1－x ，设f 1(x)＝f(x)，f n (x)＝f n －1(f n －1(x))(n>1，且n∈N ＋)，则f 3(x)的表达式为

________，猜想f n (x)(n∈N ＋)的表达式为________．

思路探究：(1)记a n

＋b n

＝f(n)，观察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之间的关系，再归纳得出结论． (2)写出前几项发现规律，归纳猜想结果．

(1)C (2)f 3(x)＝x 1－4x f n (x)＝x 1－2n －1x [(1)记a n ＋b n ＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；

f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11．通过观察不难发现f(n)＝f(n －1)＋f(n －2)(n∈N

＋

，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)

＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.

所以a 10

＋b 10

＝123. (2)f 1(x)＝f(x)＝x

1－x

，

f 2(x)＝f 1(f 1(x))＝x 1－x 1－x 1－x ＝x

1－2x ，

f 3(x)＝f 2(f 2(x))＝x 1－2x 1－2·

x 1－2x

＝x

1－4x

，

由f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)的表达式，归纳f n (x)＝x

1－2n －1x

.]

已知等式或不等式进行归纳推理的方法

1．要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； 2．要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； 3．提炼出等式(或不等式)的综合特点； 4．运用归纳推理得出一般结论．

1．经计算发现下列不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，……根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：________.

当a ＋b ＝20时，有a ＋b<210，a ，b∈R ＋ [从上面几个不等式可知，左边被开方数的和均为20，故可以归纳为a ＋b ＝20时，a ＋b<210.]

数列中的归纳推理

【例2】 (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝－1a n ＋1，则a 2 019等于( )

A ．2

B ．－12

C ．－2

D ．1

(2)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图：

由于图中1,3,6,10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形数的特点，归纳第n 个三角形数的石子个数．

思路探究：(1)写出数列的前几项，再利用数列的周期性解答．

(2)可根据图中点的分布规律归纳出三角形数的形成规律，如1＝1,3＝1＋2,6＝1＋2＋3；也可以直接分析三角形数与n 的对应关系，进而归纳出第n 个三角形数．

C [(1)a 1＝1，a 2＝－1

2，a 3＝－2，a 4＝1，…，数列{a n }是周期为3的数列，2 019＝673×3，∴a 2 019

＝a 3＝－2．]

(2)[解] 法一：由

1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4，