矩阵可逆的充分必要条件
线性代数疑难问题解答
线性代数疑难问题解答第一章 行列式1. 排列21)1( -n n 的逆序数是2)1(-n n ，那么如何来确定它的奇偶性?解答：我们可以看一下这个排列的奇偶性随着n 的变化情况，然后找出规律。
,1=n 2)1(-n n ＝0，偶排列； ,2=n 12)1(=-n n ，奇排列； ,3=n 32)1(=-n n ，奇排列； ,4=n 62)1(=-n n ，偶排列； ,5=n 102)1(=-n n ，偶排列； ,6=n 152)1(=-n n ，奇排列 可以看出，奇偶性的变化以4为周期，因此我们可以总结如下：当k n 4=或14+=k n 时, 2)1(-n n 是偶数，所以排列是偶排列,当24+=k n 或34+=k n 时, 2)1(-n n 是奇数，所以排列是奇排列.2．行列式定义最基本的有哪些？答：行列式定义最基本的有以下两种： 第一种方式：用递推的方式给出，即 当11)(⨯=a A 时，规定a =A ；当n n ij a ⨯=)(A 时，规定∑∑==+=-=nj ij ij ij ij nj ji A a M a 11)1(A其中ij M 为A 中去掉元素ij a 所在的行和列后得到的1-n 阶行列式，称为A 中元素ij a 的余子式，ij j i ij M A +-=)1(称为ij a 的代数余子式。
第二种方法：对n 阶行列式A 用所有!n 项的代数和给出，即∑-==n np p p t nnn n nna a a a a a a a a a a a A2121212222111211)1(其中n p p p ,,,21 为自然数n ,,2,1 的一个排列，t 为这个排列的逆序数 第一种方式的思想是递推，其实质也是“降阶” ，在实际计算行列式中有着重要的应用。
第二种方式的思想是对二阶、三阶行列式形式的推广，更利于理解行列式的性质。
3．行列式的主要问题是什么？答：行列式的主要问题就是计算行列式的值，其基本方法是运用行列式性质，化简所给行列式而计算之。
分块矩阵可逆的充要条件
分块矩阵可逆的充要条件当你拿到一块分块矩阵的时候，是否曾经好奇过，它是否可逆呢？别着急，我们来一起探讨这个话题，弄清楚它的充要条件。
相信我，这个过程就像解谜游戏一样有趣！1. 什么是分块矩阵？首先，让我们搞清楚什么是分块矩阵。
简单来说，分块矩阵就是将一个大矩阵拆分成几个小块的矩阵。
就像把一张大饼切成几块小饼一样。
比如，一个 4x4 的矩阵可以被分成四个 2x2 的子矩阵，每一块子矩阵都叫做“块”。
2. 分块矩阵可逆的必要条件要让一个分块矩阵可逆，我们首先得了解什么条件下它才有可能逆。
想象一下，一个大饼要想切得很好，原料和做工都得靠谱。
同样的，分块矩阵要可逆，里面的小块也得有相应的条件。
2.1 子矩阵的可逆性首先，最基本的条件是，所有的子矩阵都要是可逆的。
就是说，你的每一块小矩阵都得能够求出逆矩阵。
如果某一块子矩阵的行列式为零，那可就麻烦了，因为那块小矩阵就不可逆。
2.2 分块矩阵的整体结构接着，整体结构也得有点门道。
对于一个分块矩阵来说，有些特殊的结构使得矩阵可逆的条件变得简单。
比如，如果你的分块矩阵是对角线形式的（即非对角线上的块全是零），那么只要每个对角线上的块都可逆，你的大矩阵自然也可逆。
3. 充要条件的深入探讨说到这儿，你可能会觉得，了解了基本条件还不够透彻，对吧？咱们要深入探讨下，什么样的条件下，矩阵可逆才是“充要”的。
3.1 对角块形式一个常见的充要条件是，对角块形式的分块矩阵。
如果你的分块矩阵是对角块形式（即非对角块都为零），那么只要每一个对角块都可逆，整个矩阵自然也可逆。
这个条件就是“充要”的，意思是既要有这些条件，也要避免其他情况。
3.2 一般情况的处理如果你的分块矩阵不是那么简单，比如有非零的非对角块，那就要稍微复杂一点。
你需要确保所有的块矩阵能在一起进行某些特定操作，以保证整体的可逆性。
这时候，方法和技巧就比较重要了，比如利用矩阵的分解方法来判断可逆性。
4. 实际应用了解了这些理论，咱们接下来聊聊实际应用。
可 逆 矩 阵
可逆矩阵
二、 矩阵可逆的充要条件
在数的运算中，并不是所有的数都有倒数， 只有非零的数才有倒数．类似地，不是所有的n阶 方阵A都存在逆矩阵，如零矩阵就不可逆（因为 任何矩阵与零矩阵的乘积都是零矩阵）．我们接 下来要解决的问题就是：n阶方阵A在什么条件下 可逆？如果可逆，又如何求它的逆矩阵？为此先 介绍一个转置伴随矩阵的概念．
可逆矩阵
因为如果A有两个逆阵B1和B2，根据定义211，有
AB1=B1A=E，AB2=B2A=E 于是 B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2 这说明A的逆矩阵是唯一的，我们规定A的逆 矩阵记作A-1，则有 AA-1=A-1A=E
可逆矩阵
【例2-13】
若方阵A满足等式A2-A+E=O，问A是否可逆，若可逆,求出 其逆阵．
可逆矩阵
性质2-5
可逆矩阵
可逆矩阵
【例2-17】
可逆矩阵
故Λ-1=B．
谢谢聆听
可逆矩阵
【例2-16】
证明：若A，B是同阶方阵，且满足AB=E或BA=E，则 A，B都可逆，且
A-1=B，B-1=A 证明 由A，B是同阶方阵且AB=E可得|AB|=|||B|=|E|=1． 所以|A|≠0，|B|≠0．由定理2-1知A，B都可逆．
可逆矩阵
在等式AB=E的两边同时左乘A-1，可得A1(AB)=A-1E，即A-1=B．
(A1A2…Ak)－1=A－1k…A－12A－11
性质2-3
可逆矩阵
若A可逆，则AT也可逆，且有(AT)-1=(A-1)T． 因为A可逆，所以存在A-1，使AA-1=E，于是根据 矩阵的转置运算规律，有 AT(A－1)T=(A－1A) T=ET=E 则AT可逆，且(AT)-1 =(A-1)T．
矩阵求逆的方法
前言矩阵理论在《线性代数》课程中有着重要的地位,矩阵和数相仿可以运算,特别是乘法和数一样有逆运算,其定义为:对于 n 阶方阵 A,如果存在 n 个阶段 B 使得 AB=BA=E,则 n 个阶方阵 A 为可逆的,B 为 A 的逆矩阵。
掌握好求逆矩阵的方法对线性方程组、二次型、线性变换等问题的解决有很大帮助。
关于矩阵求逆问题,不同的《线性代数》教材介绍了不同的方法。
下面对求逆矩阵方法进行全面论述,并做一步探讨。
1矩阵求逆常见的几种方法 1.1 用伴随矩阵法求逆矩定理1.1.1：n 阶矩阵)(ij a A =可逆的充要条件0≠A ，而且当)2(≥n 阶矩阵A 有逆矩阵，*-=A AA 11，其中*A 伴随矩阵。
例1 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=412112013A 是否可逆？若可逆，求1-A 解：A A ∴≠=05可逆又511=A ，421=A ，3131=A ，1012=A ，1222=A ，332-=A ，013=A ，123=A ，133=A∴*-=A AA 11 例 2 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=543022001A ，*A 是A 的伴随矩阵，求()1-*A 解：1-*=A A A ，又()kB kB 11--=， 所以()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡====---*5430220011011011111A A A AA A且有规律可循。
对于三阶以上方阵用该方法逆矩阵,不仅计算量大且易出错,一般不用此种方法。
对求出逆矩阵正确与否,一般用E AA A A ==--11来检验是否正确。
1.2 用初等变换法求逆矩阵定理 1.2.1 如果n 阶方阵A 可逆，则存在有限个初等矩阵，l P P P 21,使得l P P P A 21=。
如果A 可逆，则1-A 也可逆，由上述定理， 存在初等矩阵l Q Q Q ,,,21 使得l Q Q Q A 211=-那么A A AA E 11--== 即A Q Q Q E l 21= E Q Q Q A l 211=-于是我们得到一个求逆矩阵的方法如下：如果n 阶方阵A 可逆，作一个n n 2⨯的矩阵E A ，然后对此矩阵施以初等行换，使A 化为单位矩阵E 同时化为1-A ，即：E A 1-−−−→−A E 初等行变换例1 用初等行变换求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=521310132A 的逆矩阵解：=E A →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100132310521100010001521310132 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--201010100910310521211010100600310521⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→316161100123210103461361001316161100010310100521 故⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=-3161611232134613611A 同理，如果n 阶矩阵A 可逆，作一个n n ⨯2的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡E A ，然后此矩阵施以初等变换，使矩阵A 化为单位阵E ，则同时E 化为1-A ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1A E E A 初等列变换。
矩阵可逆的充分必要条件
逆矩阵与转置
若A是可逆矩阵，则A的转置A^T也 是可逆的，且(A^T)^-1 = (A^1)^T。
逆矩阵与行列式
一个方阵A可逆的充分必要条件是其 行列式|A| ≠ 0。
判别方法
高斯消元法
通过高斯消元法将给定矩阵化为行阶梯形 式，若存在全零行或主元位置为0，则该
此，不是所有对称矩阵都是可逆的。
稀疏矩阵与可逆性
稀疏矩阵的定义
若一个矩阵中大部分元素为0，则该矩阵称为稀疏矩阵。
稀疏矩阵与可逆性的关系
稀疏矩阵并不一定是可逆的，其可逆性与矩阵中非零元素的分布和数量有关。只有当稀 疏矩阵的行列式不等于0时，它才是可逆的。因此，需要根据具体情况来判断稀疏矩阵
的可逆性。
特征值均非零
矩阵可逆的第三个充分必要条件是其所有特征值均非零。
特征值是矩阵的一个重要性质，反映了矩阵变换对特征向量的缩放程度。
当且仅当矩阵的所有特征值均不为零时，矩阵才具有逆矩阵。这是因为如果存在零特征值，则对应的特 征向量在变换后会被压缩到零向量，导致逆变换无法恢复原始向量。
PART 03
必要条件探讨
矩阵可逆定义及性质
可逆矩阵定义
方阵
可逆矩阵必须是方阵，即行数和列数相等的矩阵。
存在逆矩阵
存在一个与给定矩阵相乘后得到单位矩阵的矩阵， 称为该矩阵的逆矩阵。
非奇异矩阵
可逆矩阵也称为非奇异矩阵，与之相对的是奇异 矩阵（不可逆矩阵）。
性质与定理
逆矩阵的唯一性
一个可逆矩阵的逆矩阵是唯一的。
逆矩阵的运算性质
优点是数值稳定性好，适用于中小规模矩阵 ；缺点是对于大规模矩阵，计算量较大。
可逆线性变换与可逆矩阵的定义与性质
可逆线性变换与可逆矩阵的定义与性质可逆线性变换与可逆矩阵是线性代数中非常重要的概念。
在研究线性变换和矩阵的性质时，我们经常会遇到可逆变换和可逆矩阵，它们具有很多重要的性质和应用。
本文将深入探讨可逆线性变换与可逆矩阵的定义与性质，帮助读者更好地理解和应用它们。
一、可逆线性变换的定义与性质1. 定义：一个线性变换T称为可逆的，如果存在另一个线性变换S，使得TS = ST = I，其中I为恒等变换。
简单来说，可逆线性变换存在一个逆变换，使得它们的乘积等于恒等变换。
2. 性质1：如果线性变换T可逆，那么它的逆变换是唯一的。
换句话说，如果TS = ST = I，那么逆变换S就是唯一的，记作T^{-1}。
3. 性质2：可逆线性变换的逆变换也是可逆的。
如果T可逆，则T^{-1}也可逆，且(T^{-1})^{-1} = T。
4. 性质3：可逆线性变换的转置也是可逆的。
如果T可逆，则其转置T^T也可逆，且(T^T)^{-1} = (T^{-1})^T。
5. 性质4：可逆线性变换的乘积也是可逆的。
如果T和U都是可逆的线性变换，则TU也是可逆的，且(TU)^{-1} = U^{-1}T^{-1}。
二、可逆矩阵的定义与性质1. 定义：一个n阶方阵A称为可逆的，如果存在另一个n阶方阵B，使得AB = BA = I。
类似于可逆线性变换，可逆矩阵存在一个逆矩阵，使得它们的乘积等于单位矩阵。
2. 性质1：如果矩阵A可逆，那么它的逆矩阵是唯一的。
换句话说，如果AB = BA = I，那么逆矩阵B就是唯一的，记作A^{-1}。
3. 性质2：可逆矩阵的逆矩阵也是可逆的。
如果A可逆，则A^{-1}也可逆，且(A^{-1})^{-1} = A。
4. 性质3：可逆矩阵的转置也是可逆的。
如果A可逆，则其转置A^T也可逆，且(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T。
5. 性质4：可逆矩阵的乘积也是可逆的。
如果A和B都是可逆的矩阵，则AB也是可逆的，且(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}。
逆矩阵的几种求法及解析
. .. . .. ..逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1求证: 如果方阵A 满足A K= 0, 那么E-A是可逆矩阵, 且（E-A）1-= E + A + A2+…+A1-K证明因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A2+…+ A1-K)= E-A K,因A K= 0 ,于是得(E-A)（E+A+A2+…+A1-K）=E，同理可得（E + A + A2+…+A1-K）(E-A)=E，因此E-A是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A2+…+A1-K.同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A2+…+（-1）1-K A1-K.由此可知, 只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E±A的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p 21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001 故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111 其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A *，于是有A 1-=A 1 A *.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1 A *. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡WZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00, 其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
线性代数第四章习题答案
习题四答案(A)1． 求下列矩阵的特征值与特征向量:(1) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3113 (2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---122212221 (3) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----020212022 (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--201034011 (5) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011102124 (6)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----533242111 解 （1）矩阵A 的特征多项式为=-A E λ)4)(2(3113--=--λλλλ，所以A 的特征值为4,221==λλ．对于21=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )2(O ，可得它的一个基础解系为)1,1(1=αT ，所以A 的属于特征值2的全部特征向量为)1,1(111k k =αT (01≠k 为任意常数)．对于42=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )4(O ，可得它的一个基础解系为)1,1(2-=αT ，所以A 的属于特征值4的全部特征向量为)1,1(222-=k k αT(02≠k 为任意常数)．（2）矩阵A 的特征多项式为=-A E λ)3)(1)(1(122212221--+=------λλλλλλ， 所以A 的特征值为11-=λ，12=λ，33=λ．对于11-=λ，解对应齐次线性方程组=--X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)0,1,1(1-=αT ，所以A 的属于特征值-1的全部特征向量为)0,1,1(111-=k k αT (01≠k 为任意常数)．对于12=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)1,1,1(2-=αT ，所以A 的属于特征值1的全部特征向量为)1,1,1(222-=k k αT (02≠k 为任意常数)．对于33=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )3(O ，可得它的一个基础解系为)1,1,0(3-=αT ，所以A 的属于特征值3的全部特征向量为)1,1,0(333-=k k αT (03≠k 为任意常数)．(3) 矩阵A 的特征多项式为=-A E λ)4)(1)(2(2021222--+=--λλλλλλ， 所以A 的特征值为11=λ，42=λ，23-=λ．对于11=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)2,1,2(1-=αT ，所以A 的属于特征值1的全部特征向量为)2,1,2(111-=k k αT (01≠k 为任意常数)．对于42=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )4(O ，可得它的一个基础解系为)1,2,2(2-=αT ，所以A 的属于特征值4的全部特征向量为)1,2,2(222-=k k αT (02≠k 为任意常数)．对于23-=λ，解对应齐次线性方程组=--X A E )2(O ，可得它的一个基础解系为)2,2,1(3=αT ，所以A 的属于特征值-2的全部特征向量为)2,2,1(333k k =αT (03≠k 为任意常数)．(4)矩阵A 的特征多项式为=-A E λ)3()1(212123242--=------λλλλλ， 所以A 的特征值为12,1=λ（二重），23=λ．对于12,1=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)1,2,1(1-=αT ，所以A 的属于特征值1的全部特征向量为)1,2,1(111-=k k αT (01≠k 为任意常数)．对于23=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )2(O ，可得它的一个基础解系为)1,0,0(2=αT ，所以A 的属于特征值2的全部特征向量为)1,0,0(222k k =αT (02≠k 为任意常数)．(5)矩阵A 的特征多项式为=-A E λ2)2(11132124-=------λλλλλ， 所以A 的特征值为01=λ，23,2=λ（二重）．对于01=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )0(O ，可得它的一个基础解系为)2,1,1(1--=αT ，所以A 的属于特征值0的全部特征向量为)2,1,1(111--=k k αT (01≠k 为任意常数)．对于23,2=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )2(O ，可得它的一个基础解系为)0,1,1(2-=αT ，所以A 的属于特征值2的全部特征向量为22αk )0,1,1(2-=k T (02≠k 为任意常数)．(6)矩阵A 的特征多项式为=-A E λ)3()1(212123242--=------λλλλλ， 所以A 的特征值为61=λ，23,2=λ（二重）．对于61=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )6(O ，可得它的一个基础解系为)3,2,1(1-=αT ，所以A 的属于特征值6的全部特征向量为)3,2,1(111-=k k αT (01≠k 为任意常数)．对于23,2=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )2(O ，可得它的一个基础解系为)0,1,1(2-=αT ，)1,0,1(3=αT ，所以A 的属于特征值2的全部特征向量为3322ααk k +)0,1,1(2-=k T )1,0,1(3k +T (32,k k 为不全为零的任意常数)．2． 设A 为n 阶矩阵， (1) 若O A ≠，且存在正整数k ，使得O A k=(A 称为幂零矩阵)，证明:A 的特征值全为零；(2) 若A 满足A A =2(A 称为幂等矩阵)，证明:A 的特征值只能是0或1；(3) 若A 满足E A =2(A 称为周期矩阵)，证明:A 的特征值只能是1或1-． 证明：设矩阵A 的特征值为λ，对应的特征向量为α，即λαα=A .（1）因αλαk k A =，而,O A k=故O k =αλ.又因O ≠α，故0=k λ，得.0=λ（2）因αλα22=A ，而,2A A =故αλααλα22===A A ，即.)(2O =-αλλ又因O ≠α，故02=-λλ，得0=λ或1.（3）同（2）可得αλααα22===A A ，即.)1(2O =-αλ又因O ≠α，故012=-λ，得1=λ或1-.3． 设21,αα分别为n 阶矩阵A 的属于不同特征值1λ和2λ的特征向量，证明:21αα+不是A 的特征向量．证明：反证法.若21αα+是A 的特征向量，相应的特征值为λ，则有)()(2121ααλαα+=+A ，即2121λαλααα+=+A A .又因21,αα分别为矩阵A 的属于特征值1λ和2λ的特征向量，即111αλα=A ，222αλα=A ，则2121λαλαλαλα+=+，即O =-+-2211)()(αλλαλλ.因21,αα是矩阵A 的属于不同特征值的特征向量,故21,αα线性无关，于是可得0,021=-=-λλλλ，即21λλλ==，矛盾.4． 证明定理4.4.若λ是n 阶矩阵A 的特征值，则(1)设m m x a x a a x f +++= 10)(，则)(λf 是)(A f 的特征值，其中m m A a A a E a A f +++= 10)()(N m ∈；(2)若A 可逆，则0≠λ，且λ1是1-A 的特征值，λ||A 是A 的伴随矩阵*A 的特征值． 证明：设矩阵A 属于特征值λ的特征向量为α，即λαα=A .（1）因αλαλλαλλαααααα)()()(101010f a a a a a a A a A a a A f m m m m m m =+++=+++=+++=故)(λf 是)(A f 的特征值. （2）因A 可逆，故0||≠A .而||A 为A 的特征值之积，故A 的特征值0≠λ.用1-A 左乘λαα=A 两端得αλλααα111---===A A A A .因0≠λ，故αλα11=-A ，即λ1是1-A 的特征值. 因1*||-=A A A ，故λ||A 是A 的伴随矩阵*A 的特征值．5． 证明:矩阵A 可逆的充分必要条件是A 的特征值全不等于零．证明：因矩阵A 可逆，故0||≠A .由n n A λλλλ,,(||11 =是A 的全部特征值）得01≠n λλ ，故),,1(0n i i =≠λ.6． 已知三阶矩阵A 的特征值为1，2，3，求*12,,3A A E A A -++的特征值． 解：由矩阵的特征值的性质得 A A 32+的特征值为41312=⨯+，102322=⨯+，183332=⨯+；1-+A E 的特征值为34311,23211,2111=+=+=+； 因6321||=⨯⨯=A *A 的特征值为236,326,616===. 7． A 是三阶矩阵，已知0|3|,0|2|,0||=-=-=+A E A E A E ，求|4|A E +．解：因,0||)1(||3=+-=--A E A E 0|3|,0|2|=-=-A E A E ，故三阶矩阵A 的全部特征值为－1，2， 3.因此A E +4的特征值为,734,624,3)1(4=+=+=-+于是126763|4|=⨯⨯=+A E .8． 已知向量)1,,1(k =αT 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211121112A 的逆矩阵1-A 的特征向量，求常数k 的值．解：因α是1-A 的特征向量，故也是A 的特征向量.设对应的特征值为λ，于是由λαα=A 可得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++λλλ2112112k k k k ，解得2-=k 或1=k .9． 证明:如果矩阵A 可逆，则BA AB ~．证明：因BA BA A A A AB A ==--))(()(11，且A 可逆，则BA AB ~．10． 如果B A ~，证明：存在可逆矩阵P ，使得BP AP ~．证明：因B A ~，故存在可逆矩阵P ，使得AP P B 1-=.将上式两端右乘，P 得P AP P AP P BP )(11--==，即BP AP ~. 11． 如果B A ~，D C ~，证明:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D O O B C O O A ~． 证明：因B A ~，D C ~，故存在可逆矩阵Q P ,，使得CQ Q D AP P B 11,--==.于是有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---D O O B Q O O P C O O A Q O O P Q O O P C O O A Q O O P 111.而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Q O O P 可逆，故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D O O B C O O A ~. 12． 已知A 为二阶矩阵，且0||<A ，证明:存在可逆矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵．证明：A 为二阶矩阵，且0||<A ，故A 必有两个不等特征值，因此必存在可逆矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵．13． 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x A 14020112与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21y B 相似，求(1) 常数x 和y 的值；(2) 可逆矩阵P ，使得B AP P =-1．解：（1）因B A ~，故B A 与有相同的特征值.而B 的特征值为2,,1y -，故－1，2也是A 的特征值.而=-A E λ]42)2()[2(140201122+--+-=-----+x x xλλλλλλ. 将1-=λ代入上式中得3=x .于是可得)1()2(2+-=-λλλA E ，故有A 的特征值为2,2,1-，因此2=y .（2）由（1）知A 的特征值为11-=λ，23,2=λ（二重）．对应11-=λ的无关特征向量为)1,0,1(1=αT ，对应23,2=λ的无关特征向量为)0,4,1(2=αT ，)4,0,1(3=αT ，令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=401040111P ，则P 可逆，且B AP P =-1.14． 设三阶矩阵A 的特征值为1， 2， 3， 对应的特征向量分别为)1,1,1(T ，)1,0,1(T ，)1,1,0(T ，求(1)A ；(2)n A ．解：（1）令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111101011P ，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3211AP P .而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-1011101111P 则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-4122121113211P P A . （2）因⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-3211ΛAP P ，所以1-=P P A Λ，故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-1011101113211111010111n nn n P P A Λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+------=13221311313112211n n n n n n n n. 15． 判断第1题中各矩阵是否可以对角化?若可以对角化，求出可逆矩阵P ，使得AP P 1-为对角阵．解：由第1题结果知 (1) 可以对角化， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111P ；(2) 可以对角化， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=110111011P ；(3) 可以对角化， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=212221122P ； (4) (5) 不可以对角化；(6) 可以对角化， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=103012111P ．16．证明正交矩阵的实特征值只能是1或1-．证明：设A 为正交矩阵，则AA T E A A T ==.设矩阵A 的特征值为λ，对应的特征向量为α，即λαα=A .将上式两端取转置得TT T A λαα=.将上面两式左右相乘得ααλααT T T A A 2=，即ααλααT T 2=.而ααT 为非零常数，故1,12±==λλ.17． 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111111111A ，求正交矩阵P ，使得AP P 1-为对角阵．解：矩阵A 的特征多项式为=-A E λ)3(1111111112-=---------λλλλλ， 所以A 的特征值为02,1=λ（二重），33=λ．对于02,1=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )0(O ，可得它的一个基础解系为)0,1,1(1-=αT ，)1,0,1(2-=αT ．将其正交化，取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111β，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=1212101121101),(),(1111222ββββααβ， 再单位化，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==366666,02222222111ββγββγ； 对于33=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )3(O ，可得它的一个基础解系为)1,1,1(3=αT．将其单位化，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==333333333ααγ． 令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=33360336622336622P ，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-3001ΛAP P ．18． 设三阶实对称矩阵A 的特征值为1,23,21=-=λλ， 属于1λ的特征向量为)1,1,0(1=αT，求属于3,2λ的特征向量及矩阵A ．解：设属于13,2=λ的无关特征向量为32,αα.因A 是实对称矩阵，故123,21=-=λλ的特征向量与的特征向量必正交，于是⎪⎩⎪⎨⎧==03121ααααTT ， 即32,αα是齐次线性方程组O X T=1α的两个线性无关解向量.求得上述方程组的基础解系为)0,0,1(T ，)1,1,0(-T，故取)0,0,1(1=αT，)1,1,0(2-=αT，因此属于13,2=λ的全部特征向量为)0,0,1(1k T)1,1,0(2-+k T(21,k k 不全为零)；令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=101101010P ，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-1121ΛAP P . 而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-21210011212101P ，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----==-21230232100011P P A Λ． (B)1． 设n 阶矩阵A 的各行元素之和为常数a ，证明:a =λ是矩阵A 的一个特征值，)1,,1,1( T是对应的特征向量．证明：设n n ij a A ⨯=)(，其中T nj ija a)1,,1,1(,1==∑=α.由ααa a a a a a a A T nj nj nj j nj j ===∑∑∑===),,,(),,,(11211知a =λ是矩阵A 的一个特征值，)1,,1,1( =αT 是对应的特征向量．2． 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n b b b a a a 2121,βα都是非零向量，且0=βαT，记αβ=A T ，求(1)2A ；(2)A 的特征值与特征向量．解：（1）由0=βαT得0)(==TTTβααβ，于是O A T T T T ===βαβααβαβ)())((2.（2）由A 组第2题（1）知A 的特征值为0.求A 的特征向量.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==n n n n n n T b a b a b a b a b a b a b a b a b a A 212221212111αβ，因βα,都是非零向量，故必存在某个i a 和j b 不为零，因此A 中元素0≠j i b a ，不妨设011≠b a .将A 做初等行变换得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000021n b b b ，即1)(=A r ，故齐次线性方程组O AX =-的基础解系含有1-n 个解向量.令T n x x x ),,,(21 为T b )0,,0,(1 ，T b )0,,,0(1 ，T b ),,0,0(,1 ，得T b b )0,,0,,(121 -=α，T b b )0,,,0,(132 -=α，T n n b b ),,0,0,(,11 -=-α，于是所求特征向量为T n n b b k k k k )0,,0,,(121112211 -=+++--αααT b b k )0,,,0,(132 -+T n n b b k ),,0,0,(111 ---++，121,,,(-n k k k 不全为零）.3． 已知三阶矩阵A 的特征值为2， 3， 4， 对应的特征向量分别为)1,2,1(1-=αT ，)2,1,2(2-=αT ，)2,3,3(3-=αT ．令向量=β)6,5,4(T ，（1）将β用321ααα，，线性表示；（2）求βnA (n 为正整数)．解：（1）由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=210030104001622153124321),,,(321βααα得321234αααβ++=.（2）321321234)234(ααααααβnn n n n A A A A A ++=++=332211234αλαλαλnn n ++=,2332,23322(12131212++++++⨯-+⨯+⨯-=n n n n n n)23222212++++⨯+-n n n T ．4． 设A 为三阶实对称矩阵，2)(=A r ，且满足条件O A A =+232，求矩阵A 的全部特征值．解：设矩阵A 的特征值为λ，则由O A A =+232得0223=+λλ，故0=λ或2-=λ.因A 为三阶实对称矩阵，故A 必与某三阶对角矩阵Λ相似.因2)(=A r ，故2)(=Λr ，所以Λ的对角线元素有两个－２和一个0.因此A 的全部特征值为22,1-=λ（二重），03=λ．5． 设四阶矩阵A 满足AAA E ,0|2|=+T0||,2<=A E ，求*A 的一个特征值．解：因0||<A ，故矩阵A 可逆.由E AA T 2=知422||=A 得4||-=A .因,0|2|)1(|2|4=+-=--A E A E 得2-=λ是矩阵A 的一个特征值，因此*A 的一个特征值为22．6． 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011100y x A 有3个线性无关的特征向量，求x 与y 满足的条件．解：矩阵A 的特征多项式为=-A E λ2)1)(1(01110-+=-----λλλλλy x ，所以A 的特征值为11-=λ，13,2=λ（二重）．因A 有3个线性无关的特征向量，故齐次线性方程组=-X A E )(O 的系数矩阵的秩为1，即1)(=-A E r .而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-000001011010101y x y x A E ，于是0=+y x ．7． 问n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111 与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00100100 n 是否相似，为什么?解：令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111111111 A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00100100 n B ，则B A ~. 矩阵B 的特征值为1(01,,1-=-n n λ重），n n =λ.01,,1=-n λ对应的齐次线性方程组的系数矩阵为,1)(,000000001=-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→-B r B故属于01,,1=-n λ的无关特征向量有1-n 个；n n =λ对应的齐次线性方程组的系数矩阵为,1)(,00000001=-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→-B nE r n B nE故属于n n =λ的无关特征向量有1个.因此矩阵B 有n 个线性无关的特征向量，故B 可对角化，且;00~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n B Λ 因为0||,11===++A trA n n λλλλ ，故A 的特征值必有0和非零数值.因1)()(==-A r A r ，故特征值0有1-n 个线性无关的特征向量，所以0的重数至少为1-n ，则A 的非零特征值为n ，因此矩阵A 的特征值为1(01,,1-=-n n λ重），n n =λ.因A 为实对称矩阵，故必可对角化，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n A 00~ Λ，于是B A ~.8． 设A 为n 阶矩阵， O A ≠，且存在正整数m ，使得O A m=，证明A 不能对角化．解：反证法.假设A 可对角化，由A 组第2题（1）知，A 的特征值都为0，故O A ~，即存在可逆矩阵P ，使得O AP P =-1，则O A =，矛盾.9． 设矩阵,220021000030000⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=B 矩阵B A ~，求)3()(E A r E A r -+-． 解：矩阵B 的特征方程为=-B E λ0)3)(2(2=-+=λλλ，所以B 的特征值为01=λ，22-=λ，14,3=λ（二重）．因矩阵B 是实对称矩阵，故属于14,3=λ的线性无关的特征向量必有2个，即224)3(=-=-B E r .因B A ~，则A 的特征值只有0，－２，3（二重），且属于3的线性无关的特征向量也有2个，即2)3(=-A E r .因1不是矩阵A 的特征值，故0||≠-A E ，即4)(=-A E r .因此6)3()(=-+-E A r E A r .。
第二章§3 逆矩阵
注意排列
伴随矩阵，简称伴随阵， 伴随矩阵，简称伴随阵，记作 A 有结论: 对于 A∗ 有结论 A∗ A = AA∗ = A E
A = A
∗ n −1
(教材 教材P48 例4) 教材
3.2 矩阵可逆的条件
定理 2.2
为可逆阵， 且如果 A 为可逆阵，则有
−1
给出求A 给出求 -1的方法
矩阵 A 可逆的充分必要条件是 A ≠ 0 ,
∗
a22 L a2 n 0 A21 L MAn1 = M M An 2 L ann n 2 0 L A a 22
a12 L a1n A 0 L 0 A 的各元素的代数余子式 Aij
A L M
0 M 0 L A 称为方阵A的 称为方阵 的
−1
= A
−1
Proof Go on
当 A ≠0
可定义 A0 = E，A- k=(A-1)k k ∈ N ，
3.3 可逆矩阵的性质
Note： 1、若 A 可逆 ，则 AB = AC 、
−1 −1
⇒
B=C
−1
2、 A、B 可逆，A+B 未必可逆；即使 A+B 、 可逆， 未必可逆； 可逆， 可逆，一般
Q A = 2 ≠ 0, ∴ A 可逆
解:
A11 = 1，A12 = 0，A13 = −1， A21 = −2，A22 = 2，A23 = 2
A31 = 1，A32 = −2，A33 = 1
1 −2 1 ∗ 1 −1 A = 0 2 ∴ A = A 2 −1 2
3 2 1 1 ( A∗ )−1 = 1 A = 1 1 1 1 2 A 1 0 1 −2
简谈矩阵可逆的判别法与其运用
简谈矩阵可逆的判别法与其运用内容摘要：逆矩阵的计算与证明是线性代数中关于矩阵这一条主线的重要知识点，逆矩阵的性质、矩阵可逆的充分必要条件以及逆矩阵的各类计算方法已成为学习高等代数的一大重点，许多同学在复习的过程中对逆矩阵的计算投入了许多时间去反复训练，而对证明却相对有所忽略，以致某些情况下对可逆性的证明无从下手，我就我学习高等代数以来对逆矩阵的思考和心得和大家分享分享。
首先，矩阵乘法有别于同学们之前接触过的乘法运算的一个最重要的不同点就是矩阵的乘法不满足交换律，与矩阵相交换有联系的主要是逆矩阵的定义式，这也是关于矩阵可逆性证明的一个重要突破点。
下面主要介绍几个可以证明矩阵可逆的判别方法。
关键词：可逆，矩阵，判别法，扩充，1.导言：矩阵与生活有着密不可分的联系，矩阵的逆矩阵也是矩阵的重中之重，很多同学只知道逆矩阵的求法，算法，却并不知道矩阵在什么情况下存在逆矩阵，书上只定义了两种判断矩阵是否可逆的方法，但在面对种类繁多的各种逆矩阵存在性证明的题时，尚显不足，本文从各个方面，各个角度讲了矩阵可逆的判别法。
2.预备知识：逆矩阵定义：n 级方阵A 称为可逆的，如果有n 级方阵B ，使得AB=BA=E ；这里E是单位矩阵。
记作B=1-A 。
判别法1：矩阵A 是可逆的充分必要条件是A 非退化。
判别法2：n 级矩阵A 为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积。
引理3：如果齐次线性方程组AX=0的系数矩阵的行列式|A|≠0，那么它只有零解。
引理4:对矩阵A 进行初等行（列）变换得到矩阵B ，矩阵旳秩rank(A)=rank(B)。
引理5：设∂是数域P 上线性空间V 的一个线性变换，如果对于数域P 中一数0λ，存在一个非零向量ξ，使得ξλξ0=∂.那么0λ称为∂的一个特征值，而ξ称为∂的属于0λ的一个特征向量。
引理6：设的特征多项式为的特征矩阵，称为称A A E A A E P A n --∈⨯λλ,n且A E -λ=()()A S S nk n k kn n 1111-++-++--- λλλ，其中k S 为A 中一切k 阶主子式之和，由此可知A E -λ=0在P 中最多有n 个不同的解，但在P 中也可能没有一个解，但在复数域C 中，A 一定有n 个解（包括重根个数）。
excel矩阵求逆公式
excel矩阵求逆公式一、矩阵求逆的概念。
1. 定义。
- 在Excel中，对于一个方阵（行数和列数相等的矩阵）A，如果存在一个矩阵B，使得AB = BA=I（I为单位矩阵，主对角线元素为1，其余元素为0），那么矩阵B就是矩阵A的逆矩阵，记为A^-1。
2. 求逆的条件。
- 一个矩阵可逆的充分必要条件是其行列式不为0。
在Excel中处理矩阵求逆时，输入的矩阵必须是可逆的方阵。
二、Excel中矩阵求逆的公式及操作。
1. 函数。
- 在Excel中，使用MINVERSE函数来求矩阵的逆。
2. 语法。
- MINVERSE(array)，其中array是要求逆的方阵区域。
例如，如果矩阵A的数据存放在A1:C3区域，那么在另一个相同大小（3×3）的区域（比如E1:G3）中输入公式“=MINVERSE(A1:C3)”。
3. 操作步骤。
- 准备好要进行求逆的方阵数据，确保矩阵是可逆的（可通过计算其行列式来初步判断，虽然Excel中没有直接的方阵行列式函数，但可以通过数学软件或手动计算简单矩阵的行列式）。
- 选中一个与原矩阵大小相同的空白区域，用于存放逆矩阵的结果。
- 在选中区域的第一个单元格中输入公式“=MINVERSE(原矩阵区域)”，例如原矩阵在A1:B2，则输入“=MINVERSE(A1:B2)”。
- 按下“Ctrl+Shift+Enter”组合键（这是因为MINVERSE函数返回的是一个数组结果，需要以数组公式的形式输入）。
此时，选中区域就会显示出原矩阵的逆矩阵结果。
4. 注意事项。
- 原矩阵必须是方阵，即行数等于列数。
如果输入的不是方阵，Excel会返回错误值。
- 原矩阵必须可逆，如果原矩阵的行列式为0，Excel会返回错误值（#NUM!）。
- 在进行矩阵求逆操作时，如果原矩阵中的数据发生了变化，需要重新选中存放逆矩阵结果的区域，按下“F2”键（进入编辑状态），然后再按下“Ctrl +Shift+Enter”组合键来更新逆矩阵的结果。
对称矩阵可逆的条件
对称矩阵可逆的条件对称矩阵可逆的条件对称矩阵是一个非常重要的矩阵类型，它在许多数学和工程问题中都有广泛的应用。
一个对称矩阵的特点是它的转置矩阵和自身是相等的，即$A^{T}=A$。
那么，什么情况下一个对称矩阵才能是可逆的呢？本文将从两个方面对此进行详细说明。
一、充分必要条件对称矩阵可逆的充分必要条件是，它的所有特征值均不为零。
这个结论可以通过以下步骤来证明：1. 假设矩阵$A$可逆，即存在一个矩阵$B$，使得$AB=BA=I$，其中$I$为单位矩阵。
2. 由于矩阵$A$和$A^{T}$是相等的，因此$A^{T}B=B^{T}A^{T}=I$。
3. 定义矩阵$X=B^{T}$，则有$AX=XA=I$，即$A$与$X$相互逆。
4. 由于一个矩阵与它的转置矩阵有相同的特征值，因此$A$的所有特征值均不为零，则$X$的所有特征值也均不为零。
5. 因此，对称矩阵$A$可逆的充分必要条件是它的所有特征值均不为零。
二、几何意义对称矩阵可逆的几何意义是，它的所有特征向量都是线性无关的。
这个结论可以通过以下步骤来证明：1. 定义矩阵$A$的特征向量为$u$，特征值为$\lambda$，即$Au=\lambda u$。
2. 假设对称矩阵$A$可逆，则存在一个矩阵$B$，使得$AB=BA=I$，其中$I$为单位矩阵。
3. 将矩阵$A$的特征向量$u$代入$ABu=B\lambda u=\lambda Bu$，则得到$Bu$也是矩阵$A$的特征向量。
4. 如果对称矩阵$A$的两个特征向量$u$和$v$相对应的特征值相同，则有$Au=\lambda u$和$Av=\lambda v$。
5. 则有$ABu=B\lambda u=Av$，因此$u$和$v$满足线性相关关系，则对称矩阵$A$的所有特征向量都是线性无关的。
综上所述，对称矩阵可逆的条件是：它的所有特征值均不为零，并且所有特征向量都是线性无关的。
这个结论在许多求解问题中都有重要应用，例如求解特征值和特征向量、正交对角化等。
逆矩阵存在的充分必要条件方阵A可逆且推论
再转置。如
3 1 3 3 3 3 3 T 4 2 1 3 3 1 4 3 T 0 5 6 5 6
T
先把子块当作元素运算，然后子块再运算。
1 1 3 A23 1 3 2 1
1 1 A33 2 3 1
1 3 7 A31 1 A32 3 2 1 2
0 1 1 * A 5 3 7 1 1 2
所以
1 0 1 A 1 5 3 7 1 1 2
——只适用于矩阵的加、减、数乘、相乘、转置等运算。
★ 分块矩阵的乘法运算
设A、B矩阵分块得
A11 A21 A A r1
A12 A22 Ar 2
A1s A2 s Ars C1t C2 t Crt
B11 B21 B B s1
0 n 0 n
列分块
P 1
P 2
1 ... P n 0
P P2 ... Pn 1
分块矩阵的转置运算——子块当作元素转置后子块本身
T 3 2 T 3 2 1 0 1T 3 1 4 5 3 3 3 6 T 0
A为分块对角矩阵。
A11 A
A22
Ass
其中A i i 为方阵子块，其余子块 均为零子块
★分块对角矩阵的性质 （1） A A 11 A 22
1 A11 （2）若A可逆，则 A1 1 A22
Ass
1 Ass
逆矩阵存在的充分必要条件方阵A可逆且推论
B12 B22 Bs 2
B1t B2t Bst
s
C11 C12 C21 C22 则 AB C r 1 Cr 2
其中
Cij Aik Bkj
k 1
注意： A的列块数=B的行块数；A i k的列数=B k j的行数
例题：设
1 0 A 1 1
1 2 4 3 1 1 1 0 1 1 X A CB 6 1 1 0 1 2 1 2 1 / 4 0
1 1
★逆矩阵的性质
1、逆矩阵是唯一存在的。 2、AB=E BA=E （此性质可将定义简化）
T A21 T A22
T A2 s
ArT1 T Ar 2 T Ars
p11 p21 ... p n1
记作
p12 p22 ... pn 2
p1n 1 ... p2 n ... ... 0 ... pnn ...
★ 分块对角矩阵 （方阵）
A11 0 A ... 0 0 A22 ... 0 0 0 0 ... ... 0 Ass ...
其中对角线上的子块全是方阵，其余子块是零矩阵。如
2 0 0 0 0 0
3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 9 0 0 2 0 8 0 0 3 0 7 是AFra bibliotek A且
n 1
推论：如果A是n阶方阵，则
2、逆矩阵存在的充分必要条件 方阵A可逆 推论：如果A可逆，则
det A 0
A
1
1 A
2.2 可逆矩阵
A1
注：1. 求逆时,若用初等行变换必须坚持始终，不能 夹杂任何列变换. 2. 若作初等行变换时, A化不成E说明矩阵不可逆! 3. 利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于
A 1 B . 求矩阵
A 1 ( A B ) ( E A 1 B )
即
( A B)
初等行变换
E A1 B
例5
2012
定理2.3 n阶方阵A可逆的充要条件是A可以经过有限
次初等行变换化成n阶单位矩阵。
推论2.1
(1)方阵可逆的充分必要条件是可以分解为有限个初等 矩阵的乘积； (2)方阵A可逆的充分必要条件齐次线性方程组 AX O 只有零解； (3)方阵A可逆的充分必要条件非齐次线性方程组 AX B
例如：
1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
r1 r3
E ( 0 0
1 0 0 kr3 0 1 0 0 0 k E ( 3( k ))
1 0 0 r3 kr1 0 1 0 k 0 1 E ( 3,1( k ))
性质 初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是
同一种初等矩阵。
Eij Eij
1
1 E i (k ) 1 E i ( k )
E ij ( k ) 1 E ij ( k )
Pl P2 P1 A E Pl P2 P1 A Pl P2 P1 E
E
A 1
例4
1 设 A 2 3
2 2 4
3 1 , 求 A 1 . 3
1 2 3 1 0 0 解： A E 2 2 1 0 1 0 3 4 3 0 0 1
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矩阵可逆的充分必要条件
一个矩阵是可逆的，当且仅当它的行列式不等于0。
这是矩阵可逆的充分必要条件。
也就是说，如果一个矩阵的行列式不等于0，那么它就是可逆的；反之，如果一个矩阵是可逆的，那么它的行列式一定不等于0。
为什么这个定理是正确的呢？我们来分析一下。
首先，我们知道，一个矩阵是可逆的，当且仅当它的逆矩阵存在。
而逆矩阵的定义是，如果矩阵A的逆矩阵是B，那么AB=BA=I，其中I是单位矩阵。
那么，如果一个矩阵A的行列式不等于0，我们可以通过高斯消元法将A化为一个上三角矩阵U。
因为行列式不等于0，所以U的主对角线上的元素都不为0。
这意味着，我们可以通过初等变换将U进一步化为一个对角矩阵D，这样，我们就得到了一个形如A=LU的分解，其中L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵，而D是一个对角矩阵。
因为U和L都是可逆的，所以A也是可逆的，其逆矩阵就是D的逆矩阵。
反之，如果一个矩阵A是可逆的，那么我们可以通过高斯消元法将A化为一个上三角矩阵U。
因为A可逆，所以U的主对角线上的元素都不为0。
这意味着，U的行列式就是A的行列式，也就是不等于0。
因此，A的行列式也不等于0。
综上所述，一个矩阵是可逆的，当且仅当它的行列式不等于0。
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