2009年考研数学三真题及解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数的可去间断点的个数为(A)1.(B)2. (C)3.(D)无穷多个.（2）当时，与是等价无穷小，则(A)，. （B ），. (C)，. （D ），.（3）使不等式成立的的范围是(A).(B). (C).(D).（4）设函数在区间上的图形为则函数的图形为(A)(B)(C)(D)3()sin x x f x xπ-=0x →()sin f x x ax =-2()ln(1)g x x bx =-1a =16b =-1a =16b =1a =-16b =-1a =-16b =1sin ln x tdt x t>⎰x(0,1)(1,)2π(,)2ππ(,)π+∞()y f x =[]1,3-()()0xF x f t dt =⎰xxxx（5）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为 (A). (B). (C).(D). （6）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，若，则为(A).(B).(C).(D).（7）设事件与事件B 互不相容，则(A).(B).(C).(D).（8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为 (A) 0.(B)1.(C)2 .(D)3.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） .（10）设，则. （11）幂级数的收敛半径为 . （12）设某产品的需求函数为,其对应价格的弹性，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元.（13）设,，若矩阵相似于，则 .(14)设，,…,为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差，记统计量，则 .三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）,A B *,A B *,A B ||2,||3A B ==O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭**32OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭**23O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭**32O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭**23O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭,A P T P P 100010002TP AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+T Q AQ 210110002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭200010002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100020002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ()0P AB =()()()P AB P A P B =()1()P A P B =-()1P A B ⋃=X Y X (0,1)N Y 1{0}{1}2P Y P Y ====()z F Z Z XY =()z F Z cos 0x x →=()y x z x e =+(1,0)zx ∂=∂21(1)n n nn e x n ∞=--∑()Q Q P =P 0.2p ξ=(1,1,1)T α=(1,0,)T k β=T αβ300000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭k =1X 2X n X (,)B n p X 2S 2T X S =-ET =求二元函数的极值.（16）（本题满分10 分） 计算不定积分 . （17）（本题满分10 分） 计算二重积分，其中. （18）（本题满分11 分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数在上连续，在上可导，则，得证.（Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且. （19）（本题满分10 分）设曲线，其中是可导函数，且.已知曲线与直线及所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的倍，求该曲线的方程. （20）（本题满分11 分）设,. （Ⅰ）求满足，的所有向量，. （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量,，证明,,线性无关. （21）（本题满分11 分）设二次型. （Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值.（Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值. （22）（本题满分11 分）设二维随机变量的概率密度为（Ⅰ）求条件概率密度； （Ⅱ）求条件概率.（23）（本题满分11分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以、、分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数. （Ⅰ）求；（Ⅱ）求二维随机变量的概率分布.()22(,)2ln f x y xy y y =++ln(1dx +⎰(0)x >()Dx y dxdy -⎰⎰22{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥()f x [],a b (),a b (),a b ξ∈()'()()()f b f a f b a ξ-=-()f x 0x =()0,,(0)σσ>'lim ()x f x A +→='(0)f +'(0)f A +=()y f x =()f x ()0f x >()y f x =0,1y x ==(1)x t t =>x t π111A=111042--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭1112ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭21A ξξ=231A ξξ=2ξ3ξ2ξ3ξ1ξ2ξ3ξ2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-f f 2211y y +a (,)X Y 0(,)0xe y xf x y -⎧<<=⎨⎩其他()Y X f y x 11P X Y =⎡≤≤⎤⎣⎦X Y Z 10P X Z ⎡==⎤⎣⎦(,)X Y2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数的可去间断点的个数为(A)1. (B)2. (C)3. (D)无穷多个.【答案】C. 【解析】则当取任何整数时，均无意义故的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是的解故可去间断点为3个，即（2）当时，与是等价无穷小，则(A)，. （B ），. (C)，. （D ），.【答案】A.【解析】为等价无穷小，则故排除(B)、(C).另外存在，蕴含了故排除(D).所以本题选(A). （3）使不等式成立的的范围是 (A).(B). (C).(D).3()sin x x f x xπ-=()3sin x x f x xπ-=x ()f x ()f x 30x x -=1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--==0,1±0x →()sin f x x ax =-2()ln(1)g x x bx =-1a =16b =-1a =16b =1a =-16b =-1a =-16b =2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a axg x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅36a b ∴=-201cos lim 3x a axbx →--1cos 0a ax -→()0x → 1.a =1sin ln xtdt x t>⎰x (0,1)(1,)2π(,)2ππ(,)π+∞【答案】A.【解析】原问题可转化为求成立时的取值范围，由，时，知当时，.故应选(A).（4）设函数在区间上的图形为则函数的图形为(A)(B)(C)(D)【答案】D.【解析】此题为定积分的应用知识考核，由的图形可见，其图像与轴及轴、所围的图形的代数面积为所求函数，从而可得出几个方面的特征： ①时，，且单调递减. ②时，单调递增. ③时，为常函数.111sin sin 1()ln xx x tt f x dt x dt dt t t t =-=-⎰⎰⎰11sin 11sin 0x x t t dt dt t t--==>⎰⎰x 1sin 0t t ->()0,1t ∈()0,1x ∈()0f x >()y f x =[]1,3-()()0xF x f t dt =⎰()y f x =xy 0x x =()F x []0,1x ∈()0F x ≤[]1,2x∈()F x []2,3x ∈()F x④时，为线性函数，单调递增. ⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为(D).（5）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为 (A). (B).(C).(D). 【答案】B.【解析】根据，若 分块矩阵的行列式，即分块矩阵可逆 故答案为(B).（6）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，若，则为(A).(B).(C).(D).【答案】A.[]1,0x ∈-()0F x ≤,A B *,A B *,A B ||2,||3A B ==O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭**32OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭**23O B AO ⎛⎫⎪⎝⎭**32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭CC C E *=111,C C C C C C*--*==O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭221236O A A B B O ⨯=-=⨯=（）1111661O B BO A O A O A O B B O B O B O AO A O A **---*⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭1236132O B O B A O A O ****⎛⎫ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭,A P T P P 100010002TP AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+T Q AQ 210110002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100020002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】，即：（7）设事件与事件B 互不相容，则(A).(B).(C).(D).【答案】D.【解析】因为互不相容，所以 (A)，因为不一定等于1，所以(A)不正确.(B)当不为0时，(B)不成立，故排除. (C)只有当互为对立事件的时候才成立，故排除. (D)，故(D)正确.（8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为（ ） (A) 0. (B)1.(C)2 .(D)3.【答案】 B.【解析】独立（1）若，则（2）当，则为间断点，故选(B).二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.122312312312100(,,)(,,)110(,,)(1)001Q E αααααααααα⎡⎤⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦12121212122112(1)[(1)][(1)](1)[](1)100(1)010(1)002110100100210010010110110001002001002T T TT Q PE Q AQ PE A PE E P AP E E E ===⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ()0P AB =()()()P AB P A P B =()1()P A P B =-()1P A B ⋃=,A B ()0P AB =()()1()P AB P AB P AB ==-()P AB (),()P A P B ,A B ()()1()1P AB P AB P AB ==-=X Y X (0,1)N Y 1{0}{1}2P Y P Y ====()z F Z Z XY =()z F Z ()()(0)(0)(1)(1)Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y =≤=≤==+≤==1[(0)(1)]21[(00)(1)]2P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=+≤==⋅≤=+≤=,X Y 1()[(0)()]2Z F z P x z P x z ∴=⋅≤+≤0z <1()()2Z F z z =Φ0z ≥1()(1())2Z F z z =+Φ0z ∴=（9） .【答案】.【解析】. （10）设，则 . 【答案】.【解析】由，故代入得，.（11）幂级数的收敛半径为 . 【答案】. 【解析】由题意知，所以，该幂级数的收敛半径为（12）设某产品的需求函数为,其对应价格的弹性，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元. 【答案】8000.【解析】所求即为 因为，所以 所以cos 0x x →=32e cos cos 10xx x x -→→=02(1cos )lim 13x e x x→-=20212lim 13x e x x →⋅=32e =()y x z x e =+(1,0)zx ∂=∂2ln 21+()xyz x e =+()(),01xz x x =+()''ln(1)ln(1)1ln(1)1x x x x x dz x x e e x dx x ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+==++⎣⎦⎢⎥⎣⎦+⎣⎦1x =()ln 21,01ln 22ln 212ze x∂⎛⎫=+=+ ⎪∂⎝⎭21(1)n n nn e x n ∞=--∑1e()210nn n e a n --=>()()()()111122122111()11111n n n n n nn n nn e e ea n n e n a n e n e e +++++⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭--⎢⎥⎣⎦=⋅=⋅→→∞⎡⎤+--+⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1e()Q Q P =P 0.2p ξ=()QP Q P Q ''=+0.2p Q PQξ'==-0.2Q P Q '=-()0.20.8QP Q Q Q '=-+=将代入有.（13）设,，若矩阵相似于，则 .【答案】2.【解析】相似于，根据相似矩阵有相同的特征值，得到的特征值为 3，0，0.而为矩阵的对角元素之和，，.(14)设，,…,为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差，记统计量，则 .【答案】【解析】由.三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分） 求二元函数的极值.【解析】，，故. . 则，，.而 二元函数存在极小值.（16）（本题满分10 分） 计算不定积分 .得 10000Q =()8000QP '=(1,1,1)T α=(1,0,)T k β=T αβ300000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭k =T αβ300000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦T αβT αβT αβ1300k ∴+=++2k ∴=1X 2X n X (,)B n p X 2S 2T X S =-ET =2np 222()(1)ET E X S EX ES np np p np =-=-=--=()22(,)2ln f x y xy y y =++2(,)2(2)0x f x y x y '=+=2(,)2ln 10y f x y x y y '=++=10,x y e= =2212(2),2,4xxyy xyf y f x f xy y''''''=+ =+ =12(0,)12(2)xx ef e ''=+1(0,)0xyef ''=1(0,)yyef e ''=0xxf ''>2()0xy xx yy f f f ''''''-<∴11(0,)f e e=-ln(1dx +⎰(0)x >t =22212,1(1)tdtx dx t t -= =--而所以（17）（本题满分10 分） 计算二重积分，其中. 【解析】由得，.（18）（本题满分11 分）2221ln(1ln(1)1ln(1)11111dx t d t t dt t t t =+-+=---+⎰⎰⎰22111112()11411(1)111ln(1)ln(1)2441dt dtt t t t t t t C t =---+-++--++++⎰⎰2ln(1)111ln(1ln 1412(1)1ln(1.2t t dx C t t t x C +++=+-+--+=++⎰()Dx y dxdy -⎰⎰22{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥22(1)(1)2x y -+-≤2(sin cos )r θθ≤+32(sin cos )4()(cos sin )04Dx y dxdy d r r rdr πθθθθθπ+∴-=-⎰⎰⎰⎰332(sin cos )14(cos sin )034r d πθθθθθπ⎡+⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦⎰2384(cos sin )(sin cos )(sin cos )34d πθθθθθθθπ=-⋅+⋅+⎰3384(cos sin )(sin cos )34d πθθθθθπ=-⋅+⎰3344438814(sin cos )(sin cos )(sin cos )3344d πππθθθθθθπ=++=⨯+⎰83=-（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数在上连续，在上可导，则，得证.（Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且. 【解析】（Ⅰ）作辅助函数，易验证满足：；在闭区间上连续，在开区间内可导，且. 根据罗尔定理，可得在内至少有一点，使，即（Ⅱ）任取，则函数满足：在闭区间上连续，开区间内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在，使得……又由于，对上式（*式）两边取时的极限可得： 故存在，且.（19）（本题满分10 分）设曲线，其中是可导函数，且.已知曲线与直线及所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的倍，求该曲线的方程. 【解析】旋转体的体积为曲边梯形的面积为：，则由题可知两边对t 求导可得继续求导可得，化简可得，解之得()f x [],a b (),a b (),a b ξ∈()'()()()f b f a f b a ξ-=-()f x 0x =()0,,(0)σσ>'0lim ()x f x A +→='(0)f +'(0)f A +=()()()()()()f b f a x f x f a x a b aϕ-=----()x ϕ()()a b ϕϕ=()x ϕ[],a b (),a b ''()()()()f b f a x f x b aϕ-=--(),a b ξ'()0ϕξ='()f ξ'()()0,()()()()f b f a f b f a f b a b aξ--=∴-=--0(0,)x δ∈()f x []00,x ()00,x ()()000,0,x x ξδ∈⊂()0'00()(0)x f x f f x ξ-=-()*()'0lim x f x A +→=00x +→()()000000'''0000()00lim lim ()lim ()0x x x x x f x f f f f A x ξξξ++++→→→-====-'(0)f +'(0)f A +=()y f x =()f x ()0f x >()y f x =0,1y x ==(1)x t t =>x t π22()()11x x t tV f dx f dx ππ==⎰⎰()1x t s f dx =⎰22()()()()1111x x x x t t t tV ts f dx t f dx f dx t f dx πππ=⇒=⇒=⎰⎰⎰⎰22()()()()()()11t x t t t x t t f f dx tf f tf f dx =+⇒-=⎰⎰''2()()()()()f t f t f t tf t f t --='1(2())()2()12dt f t t f t f t t dy y-=⇒+=1223t c y y -=⋅+在式中令，则，代入得. 所以该曲线方程为：.（20）（本题满分11 分）设,. （Ⅰ）求满足，的所有向量，. （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量,，证明,,线性无关. 【解析】（Ⅰ）解方程故有一个自由变量，令，由解得， 求特解，令，得故 ，其中为任意常数解方程故有两个自由变量，令，由得 令，由得1t =2(1)(1)0,()0,(1)1f f f t f -=>∴=1223t cyy -=+11,2)33c t y =∴=+230y x -=111A=111042--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭21A ξξ=231A ξξ=2ξ3ξ2ξ3ξ1ξ2ξ3ξ21A ξξ=()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2r A =32x =0Ax =211,1x x =-=120x x ==31x =21101021k ξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1k 231A ξξ=2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭()21111022012,2201000044020000A ξ-⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭231,0x x =-=20A x =11x =230,1x x ==-20A x =10x =求得特解故 ，其中为任意常数（Ⅱ）证明：由于故 线性无关.（21）（本题满分11 分）设二次型. （Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值.（Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值.【解析】（Ⅰ）.（Ⅱ） 若规范形为，说明有两个特征值为正，一个为0.则1) 若，则 ， ，不符题意21200η⎛⎫- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3231102100010k k ξ⎛⎫-⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭23,k k 12121212122111121112(21)()2()(21)22221k k k k k k k k k k k k k -+--=+++-+-+-+102=≠123,,ξξξ2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-f f 2211y y +a 0101111a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭0110||01()1111111aaaE A aa a a λλλλλλλλ-----=-=---+---+222()[()(1)1][0()]()[()(1)2]()[22]19(){[(12)]}24()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+--123,2,1a a a λλλ∴==-=+2212y y +10a λ==220λ=-<31λ=2) 若 ，即，则，，符合3) 若 ，即，则 ，，不符题意 综上所述，故（22）（本题满分11 分）设二维随机变量的概率密度为（Ⅰ）求条件概率密度 （Ⅱ）求条件概率 【解析】（Ⅰ）由得其边缘密度函数故 即 （Ⅱ）而.（23）（本题满分11分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以、、分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数. ①求.②求二维随机变量的概率分布.【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，20λ=2a =120λ=>330λ=>30λ=1a =-110λ=-<230λ=-<2a =(,)X Y 0(,)0x e y x f x y -⎧<<=⎨⎩其他()Y X f y x 11P X Y =⎡≤≤⎤⎣⎦0(,)0x y x e f x y -<<⎧= ⎨⎩其它0()0xx x x f x e dy xe x --== >⎰|(,)1(|)0()y x x f x y f y x y x f x x== <<|1(|)0y x y xf y x x⎧ 0<<⎪=⎨⎪ ⎩其它[1,1][1|1][1]P X Y P X Y P Y ≤≤≤≤=≤111011[1,1](,)12xx x x y P X Y f x y dxdy dx e dy xe dx e ---≤≤≤≤====-⎰⎰⎰⎰⎰()|,0x x y Y yf y e dx e e y y+∞---+∞==-= >⎰11101[1]|110yyP Y e dy e e e ----∴ ≤==-=-+=-⎰11122[1|1]11e e P X Y e e ----∴ ≤≤==--X Y Z 10P X Z ⎡==⎤⎣⎦(,)X Y其中摸了一个红球.（Ⅱ）X ，Y 取值范围为0，1，2，故12113324(10)9C P X Z C C ⨯∴====⋅()()()()()()()()()1111332311116666111223111166661122116611221166110,0,1,0461112,0,0,136311,1,2,10910,291,20,2,20C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ⋅⋅========⋅⋅⋅⋅========⋅⋅⋅=======⋅⋅====⋅======。