微专题16 立体几何中的折叠、探究问题

微专题16立体几何中的折叠、探究问题

高考定位 1.立体几何中的折叠问题是历年高考命题的一大热点与难点，主要包括两个方面：一是平面图形的折叠问题，多涉及到空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等问题；二是几何体的表面展开问题，主要涉及到几何体的表面积以及几何体表面上的最短距离等；2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线面关系或空间角存在的条件，计算量较大，一般以解答题的形式考查，难度中等偏上.

1.(2019·全国Ⅲ卷)图①是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图②.

(1)证明：图②中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

(2)求图②中的平面BCG与平面CGA夹角的大小.

(1)证明由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，

所以AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面.

由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B，BE，BC⊂平面BCGE，

所以AB⊥平面BCGE.

又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.

(2)解作EH⊥BC，垂足为H.

因为EH⊂平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，平面BCGE∩平面ABC＝BC，

所以EH ⊥平面ABC .

由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC ＝60°，可求得BH ＝1，EH ＝ 3. 以H 为坐标原点，HC →的方向为x 轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系H －xyz ，则

A (－1，1，0)，C (1，0，0)，G (2，0，3)，CG →＝(1，0，3)，AC →＝(2，－1，0). 设平面ACGD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧CG →·n ＝0，AC →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3z ＝0，2x －y ＝0.

所以可取n ＝(3，6，－3).

又平面BCGE 的法向量可取m ＝(0，1，0)， 设平面BCG 与平面CGA 夹角的大小为θ， 所以cos θ＝|cos 〈n ，m 〉|＝|n ·m ||n ||m |＝32. 因此平面BCG 与平面CGA 夹角的大小为30°.

2.(2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B 为正方形，AB ＝BC ＝2，E ，F 分别为AC 和CC 1的中点，D 为棱A 1B 1上的点，BF ⊥A 1B 1.

(1)证明：BF ⊥DE ；

(2)当B 1D 为何值时，平面BB 1C 1C 与平面DFE 所成的二面角的正弦值最小？

(1)证明 因为E ，F 分别是AC 和CC 1的中点，且AB ＝BC ＝2，侧面AA 1B 1B 为正方形，

所以CF ＝1，BF ＝ 5.

如图，连接AF ，由BF ⊥A 1B 1，AB ∥A 1B 1，得BF ⊥AB ，于是AF ＝BF 2＋AB 2＝

3，所以AC ＝

AF 2－CF 2＝2 2.由AB 2＋BC 2＝AC 2，得BA ⊥BC .

∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴BB 1⊥AB 且BB 1⊥BC ， 则BA ，BC ，BB 1两两互相垂直，

故以B 为坐标原点，以BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系B －xyz ，

则B (0，0，0)，E (1，1，0)，F (0，2，1)，BF →＝(0，2，1).

设B 1D ＝m (0≤m ≤2)，则D (m ，0，2)， 于是DE

→＝(1－m ，1，－2). 所以BF

→·DE →＝0，所以BF ⊥DE . (2)解 易知平面BB 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(1，0，0). 设平面DFE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧DE

→·n 2＝0，

EF

→·n 2＝0，

又由(1)得DE →＝(1－m ，1，－2)，EF →

＝(－1，1，1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧（1－m ）x ＋y －2z ＝0，－x ＋y ＋z ＝0，

令x ＝3，得y ＝m ＋1，z ＝2－m ， 于是，平面DFE 的一个法向量为 n 2＝(3，m ＋1，2－m )， 所以cos 〈n 1，n 2〉＝

32⎝ ⎛

⎭

⎪⎫m －122

＋272.

设平面BB 1C 1C 与平面DFE 所成的二面角为θ， 则sin θ＝1－cos 2〈n 1，n 2〉 ＝

1－

9

2⎝ ⎛⎭

⎪⎫m －122

＋272， 故当m ＝12时，平面BB 1C 1C 与平面DFE 所成的二面角的正弦值最小为3

3， 即当B 1D ＝1

2时，平面BB 1C 1C 与平面DFE 所成的二面角的正弦值最小.

热点一 折叠问题

解答折叠问题的关键是分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变，一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决. 考向1 折叠后的位置关系及空间角

例1 (2022·重庆诊断)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2CD ＝4，E ，

F分别为AD，BC的中点，沿EF将四边形EFCD折起，使得DE⊥BF(如图2).

(1)求证：平面ABFE⊥平面EFCD；

(2)若直线AC与平面ABFE所成角的正切值为

6

3，求平面CEB与平面EBF夹角

的余弦值.

(1)证明由题设条件，得EF∥AB∥CD，AB⊥AD，

则DE⊥EF，

又DE⊥BF且BF∩EF＝F，BF，EF⊂平面ABFE，

则DE⊥平面ABFE，

又DE⊂平面EFCD，

故平面ABFE⊥平面EFCD.

(2)解如图过点C作CG⊥EF，交EF于点G，连接AG，

因为平面ABFE⊥平面EFCD，且平面ABFE∩平面EFCD＝EF，所以CG⊥平面ABFE，

故直线AC与平面ABFE所成的角为∠CAG，

设DE＝h，则在Rt△CAG中，CG＝DE＝h，

AG＝EG2＋EA2＝h2＋4，