山东省诸城市桃林镇2017届中考数学压轴题专项汇编专题9费马点201804173160
山东省诸城市桃林镇2017届中考数学压轴题专项汇编专题15角含半角模型
专题 15角含半角模型破题策略1．等腰直角三角形角含半角如图，在△ ABC中， AB＝ AC，∠ BAC＝90°，点 D， E在 BC上且∠ DAE＝45°（1）△BAE∽△ADE∽△CDA22 2（2）BD＋CE＝DE．A45°CBD E证明（ 1）易得∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠EAB，因此△ BAE∽△ ADE∽△ CD A．（2）方法一（旋转法）：如图1，将△ABD绕点A逆时针旋转90°获得△ACF，连接EF．A45° FCBD E则∠ EAF＝∠ EAD＝45°， AF＝AD，因此△ ADE∽△ FAE （SAS ）．因此 DE＝EF．而 CF＝ BD，∠ FCE＝∠ FCA＋∠ ACE＝90°，因此 BD＋CE＝ CF＋ CE＝EF＝ DE．方法二（翻折法）：如图2，作点B对于AD 的对称点F，连接AF， DF，EF．A45°CBD EF由于∠ BAD＋∠ EAC＝∠ DAF＋∠ EAF，又由于∠ BAD＝∠ DAF，则∠ FAE＝∠ CAE， AF＝ AB＝ AC，因此△ FAE∽△ CAE（SAS）．因此 EF＝E C．而 DF ＝ BD ，∠ DFE ＝∠ AFD ＋∠ AFE ＝90°，22222因此 BD ＋ EC ＝ FD ＋ EF ＝ DE ．【拓展】 ①如图， 在△ ABC 中，AB ＝ AC ，∠ BAC ＝90°， 点 222延伸线上，且∠ DAE ＝45°，则 BD ＋ CE ＝ DE ．D 在 BC 上，点 E在 BC的 ABD CE能够经过旋转、翻折的方法来证明，如图：FAAFBDCEBDCE②将等腰直角三角形变为随意的等腰三角形：如图，在△ABC 中， AB ＝ AC ，点D ，E 在BC 上，且∠ DAE＝1∠ BAC ，则以BD ，DE ，EC 为三边长的三角形有一个内角度数为180°2－∠ BA C ．ABD EC能够经过旋转、翻折的方法将BD ， DE ， EC 转移到一个三角形中，如图：AAFBDECBDECF2．正方形角含半角如图 1，在正方形ABCD中，点E，F 分别在边BC， CD上，∠ EAF＝45°，连接 EF，则：B A B ABH A45°45°E EEGC FD C F D CFD图1 图 2 图 3（1）EF＝BE＋DF;（2）如图 2，过点A作AG⊥EF于点G，则AG＝AD;（3）如图 3，连接BD交AE于点H，连接FH．则FH⊥AE．（1）如图 4，将△ABE绕点A逆时针旋转 90°获得△ADI证明．B AEC FD I图 4则∠ IAF＝∠ EAF＝45°， AI ＝ AE，因此△ AEF∽△ AIF（ SAS），因此 EF＝ IF ＝ DI＋ DF＝ BE＋ DF．（2）由于△AEF∽△AIF，AG⊥EF，AD⊥IF，因此 AG＝ A D．（3）由∠HAF＝∠HDF＝45°可得A，D，F，H四点共圆，进而∠ AHF＝180°－∠ ADF＝90°，即 FH⊥ AE．【拓展】①如图，在正方形 ABCD中，点 E，F 分别在边 CB， DC 的延伸线上，∠ EAF＝45°，连接EF，则 EF＝ DF－ BE．EABF C D能够经过旋转的方法来证明. 如图:EABFC G D②如图，在一组邻边相等、对角互补的四边形ABCD 中， AB =AD ，∠ BAD +∠ C =180 °，点 E ，F 分别在 BC 、 CD 上，∠ EAF = 1∠ BAD ，连接 EF ，则 EF=BE+DF.2BAECFD能够经过旋转的方法来证明. 如图:BAECFDG例题解说例1 如图 1，点 E 、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC 、 CD 上，∠ EAF ＝ 45° .（ 1） 试判断 、 FD 之间的数目关系 .BE 、EF（ 2） 如图 2，在四边形 ABCD 中，∠ BAD ≠ 90°， AB ＝ AD ．∠ B ＋∠ D ＝ 180°，点 E 、F 分别在、 上，则当∠EAF 与∠BAD 知足关系时，仍BC CD有 EF ＝ BE ＋ FD .（ 3）如图 3．在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD .已知 AB ＝ AD＝ 80m ，∠ B ＝ 60°，∠ ADC ＝ 120°，∠ BAD ＝ 150°，道路 BC ，CD 上分别有景点E ， F ，且 AE ⊥ AD ． DF ＝ 40（ 3 －1） m ．现要在 E 、F 之间修一条笔挺的道路，求这条道路 EF 的长．（ 结果取整数，参照数据： 2 ＝ 1.41 ， 3 ＝ 1.73 ）A DFADDAFFB EC B ECBEC图 1图 2图3解： （ 1）由“正方形内含半角 模型”可得 EF ＝ BE ＋ FD ． （2）∠ BAD ＝ 2∠ EAF ，原因以下：如图 4，延伸 CD 至点 G ，使得 DG ＝ BE ．连接 AG. 易证△ ABE ≌△ ADG （SAS ） . 因此 AE ＝ AG ，即 EF ＝ BE ＋ DF ＝ DG ＋ DF ＝GF .进而证得△ AEF ≌△ AGF （ SSS ）．因此∠ EAF ＝ ∠ GAF ＝ 1 ∠ EAG ＝ 1∠ BAD .22AGHGDFDFABEC图 4BCE图 5（ 3）如图 5，将△ ABE 绕点 A 逆时针旋转 1 50 °至△ ADG ．连接AF ．由题意可得∠ BAE ＝ 60°因此△ ABE 和△ ADG 均为等腰直角三角形 .过点 A 作 AH ⊥ DG 于点 H ．则DH ＝ 1AD ＝ 40m ， AH ＝3AD ＝ 403 m.2 2而 DF ＝ 40（ 3 － 1） m.因此∠ EAF ＝∠ GAF ＝45° . 可得△ EAF ≌△ GAF （SAS ）．因此 EF ＝ GF ＝80m+40（ 3 － l ） m ≈109. 2m.例 2 如图，正方形ABCD 的边长为 a ，BM 、 DN 分别均分正方形的两个外角，且知足∠ MAN＝ 45°．连接 MC 、 NC 、 MN ．（ 1）与△ ABM 相像的三角形是， BM DN ＝（用含有 a 的代数式表示） ；（ 2）求∠ MCN 的度数；（ 3）请你猜想线段BM、DN和 MN之间的等量关系，并证明你的结论. ADB NCM解：（ 1）△NDA，a2 .（ 2）由（ 1）可得BM AB，AD ND因此BM DC．BC DN易证∠ CBM＝∠ NDC＝45°，因此△ BCM∽△ DNC．则∠ BCM＝∠ DNC，因此∠MCN =360°一∠BCD一∠BCM一∠DCN＝270°－（∠DNC+∠DCN）＝270°－（ 180°－∠DNC）＝135°．（3）BM2DN 2MN 2，证明以下：如图，将△ ADN绕点 A顺时针旋转90°，获得△ABE，连接EM.易得 AE＝AN.∠ MAE＝∠ MAN＝45°，∠ EBM＝90°，因此△ A ME≌△ AMN.（SAS）.则 ME＝ MN．在 Rt △BME中，BM2 BE2 EM 2因此BM2 DN 2 EM 2 .ADBCNEM倒 3 如图，在四边形ABCD中， AD∥ BC，∠ BCD＝90°， AB＝BC＋ AD，∠ DAC＝45°， E 为上一点，且∠＝ 45°. 若＝4，求△的面积 .CD BAE CD ABEB CEA D图1解：如图1．过点A作CB的垂线，交CB的延伸线于点F.由∠ DAC=45°，∠ ADC＝90°，可得 AD＝ CD.因此四边形ADCF为正方形.进而 AF＝ FC＝4．令 BC＝ m，则 AB＝4＋ m， BF＝4－ m．2 2在 Rt △AFB中，有 16＋（ 4 －m）一（ 4＋m）如图 2．将△ADE绕点A逆时针旋转90°至△AFG.易证△ AGH≌△ AEB．令 DE＝ n，则 CE＝4－ n， BE＝ BG＝3＋n在 Rt △BCE中，有1+（ 4－n）2＝（ 3＋n）2，解得n＝4 .因此 BG＝25.7 7 1AF BG 50进而SABE SABG .2 7G F B CEA D图 2进阶训练1.如图，等边△ ABC的边长为1，D是△ ABC外一点且∠ BDC＝120°，BD＝ CD，∠ MDN＝60°，求△AMN的周长．ANM BCD△ AMN 的周长是 2【提示】如图，延伸AC 至点 ，使得CE ＝ ，连接DE. 先证△≌△ ，再证△MDNEBMBMDCED≌△ EDN 即可 .ANMBCDE2．如图， 在正方形 ABCD 中，连接 BD ，E 、F 是边 BC ，CD 上的点， △CEF 的周长是正方形 ABCD 周长的一半， AE 、 AF 分别与 BD 交于 M 、 N ，试判断线段 BM 、 DN 和 MN 之间的数目关系，并 证明．ADNFMBEC解： 2＋2＝2．BM DN MN【提示 】由△ CEF 周长是正方形 ABCD 周长的一半，想到“正方形角含半角”，进而旋转构造协助线解决问题（如图1），证△ AEF ≌△ AGF ，得∠ MAN ＝ 1∠ BAD ＝ 4，而后，再由“等腰2直角三角形含半角”（如图2）即可证得．GH GADADNNFFMMBE CBEC图1图23．如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，点 D 在边 AB 上， DE ⊥ BC 于点 E ，且 DE ＝ BC ，点 F 在边 AC 上，连接 BF 交 DE 于点 G ，若∠ DBF ＝45°， DG ＝27，BE ＝ 3，求 CF 的长．5ADGBE解： CF ＝12．5【提示 】如图，将 DE 向左平移至 BH ，连接 HD 并延伸交 AC 于点 I ，则四边形 HBCI 为正方形． 将△ BHD 绕点 B 顺时针旋转 90°至△ BCJ ，则点 J 在 AC 的延伸线上． 连结 DF ，由“正方形角含半角模型”可得 DF ＝ DH ＋ CF ，∠ DFB ＝∠ JFB ＝∠ DGF ，所以 DF ＝ DG ，进而求得CF 的长．F CAHDIGFCBEJ。
山东省诸城市桃林镇桃林初中2017年秋初中竞赛模拟19数学试题(无答案)
初中数学竞赛模拟试题(十九)一、选择题1.实数a ，b 满足ab=1，记111111a b M N a b a b =+=+++++，，则M ，N 的关系是() A.M >NB .M =NC .M ＜ND .不确定 2.方程组6323xy yz xz yz +=⎧⎨+=⎩的正整数解的组数是() A .1 B .2 C .3 D .43.已知2y ax bx c =++是抛物线，y=ax ＋b 是直线，如图的四个图像中正确的是()A .B .C .D .4.若一个三角形的面积和周长都是一直线所平分，则这直线必通过这个三角形的()A.内心 B .外心 C .重心 D .垂心5.如图，设AB 是⊙O 的一条弦，CD 是⊙O 的直径，且与弦AB 相交，记||2CAB DAB OAB M S S N S ∆∆∆=-=，，则()A.M >NB .M =NC .M ＜ND .M 、N 的大小关系不能确定二、填空题6.已知二次方程ax (x ＋1)＋b (x ＋1)(x ＋2)＋cx (x ＋2)=0有根1和2，则a ：b ：c =_________.7.设△ABC 面积为1，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，使得14AD AB =，14AE AC =，BE 与CD 相交于点O ，则△BOC 的面积是____________.8.已知三角形的三边a ，b ，c 均为整数，且a ＋b ＋c =11，则当乘积abc 取最小值时，三角形的面积为_____________.9.图(1)是一个正方体形状的纸盒，把它沿某些棱剪开并摊平在桌面上，可得到图(2)的图形，如果把图(2)的纸片重新恢复成图(1)的纸盒，那么与点G重合的点是_____________.10.如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向，距O点80米处有一所小学A，当拖拉机沿ON方向行驶时路两旁50米内会受到噪音的影响，已知拖拉机的速度为每小时18千米，那么，拖拉机沿ON方向行驶将给小学带来噪音影响的时间为___________秒.三、解答题11.设a，b，c，d都时正数，且a b c dSa b d a b c b c d a c d =+++++++++++.求证：S的值在两个连续的自然数之间.12.如图，是由三个边长为1的正方形组成的对称图形.问：能包含这个对称图形的圆的最小半径是多少？13.若二位素数p 的十位数字是b ，个位数字是c .证明：二次方程20bx bx c ++=没有整数解.14.图是一张“3×5”(表示边长分别为3和5)的长方形，现要把它分成若干张边长为整数的长方形(包括正方形)纸片，并要求分得的任何两张纸片都不完全相同.（1）能否分成5张满足上述条件的纸片？（2）能否分成6张满足上述条件的纸片？(若能分，用“a ×b ”的形式分别表示出各张纸片的边长，并画出分割的示意图，请说明理由)。
山东省诸城市桃林镇桃林初中2017届中考数学压轴题专项汇编：专题6轴对称之最短路径(附答案)
专题6 轴对称之最短路径破解策略用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系解决问 题．常见的题型有：1．已知：在直线l 同恻有A ．l 上找一点P ，使得AP ＋PB 最小．作法：如图．作点A 关于直线l 的对称点A ’，连结A 'B ，与直线，的交点就是点P2．已知：在直线l 同侧有A ，B 两点，在l 上找一点P ，使得|AP －PB |最小作法：如图，连结AB ，作线段AB 的垂甫平分线．与直线l 的交点就是点P3．已知：在直线l 同侧有A ，B 两点，在l 上找一点P ．使得|AP －PB |最大A ll作法：如图，连结BA 并延长，与直线，的交点就是点P4．已知：在直线l 同侧有A ，B 两点．在l 上找两点C ，D （其中CD 的长度固定，等于 所给线段d ），使得AC ＋CD ＋DB 最小，作法：如图，先将点A 向右平移口个单位长度到点A '，作A '关于直线l 的对称点A "， 连结A "B ，与直线l 的交点就是点D ．连结A 'D ，过点A 作AC ∥A 'D ，交直线l 于点C ．则 此时AC '＋CD ＋DB 最小．5．已知：在 MON 内有一点P ，在边ON ，OM 上分别找点Q ，R ，使得PQ ＋QR ＋RP 最AlAlalN作法：如图，分别作点P关于射线OM的对称点P'，P"，连结P'P"，与射线ON，OM的交点就是点Q，R．6．已知：在∠MON内有一点P，在边OM，ON上分别找点R，Q．使得PR＋QR最小N作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P'，作P'Q⊥ON，垂足为Q，P'Q与射线ON 的交点就是R．7．已知：在 MON 内有两点P ，Q ，在边OM ，ON 上分别找点R ，S ．使得PR ＋RS ＋SQ 最小．作法：如图，作点P 关于射线OM 的对称点P '，作点Q 关于射线ON 的对称点Q '，连 纳P 'Q '．与射线OM ，ON 的交点就是R ，S ． 例题讲解例1 （1）如图1，等边△ABC 中，AB ＝2，E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上作出点P ，使BP ＋EP 的值最小，并求BP ＋PE 的最小值．QNN（2）如图2，已知⊙O的直径CD为2，»AC的度数为60°，点B是»AC的中点，在直径CD上作出点P，使BP＋AP的值最小，并求BP＋AP的最小值．（3）如图3，点P是四边形ABCD内一点，BP＝m，∠ABC＝α，分别在边AB，BC上作出点M，N，使△PMN的周长最小，并求出这个最小值（用含m，α的代数式表示）．CDCCB图1 图2 图3解HNMFEPACDBP CDAB CDE（1B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，这点就是所求的点P）；（2B关于CD的对称点E，连接AE交CD于一点，这点就是所求的点P）；（3）分别作点P关于边AB，BC的对称点E，F，连结EF，分别与边AB，BC交于点M，N，线段EF的长度即为△PMN的周长的最小值．如图，连结BE，BF，∠EBF＝2∠ABC＝2α，BE＝BF＝BP＝m．过点B作BH⊥EF于点H，所以∠EBH＝12∠EBF＝α，EH＝FH．在Rt△BEH中，sinα＝EHBE，所以EH ＝BE ·sin α＝m ·sin α， 所以EF ＝2m ·sin α，即PM ＋PN ＋MN ＝EF ＝2m ·sin α．例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，分别以点A （2，3），B （3，4）为圆心，以1，3为半径作⊙A ，⊙B ，M ，N 分别是⊙A ，⊙B 上的动点，点P 为x 轴上的动点，求PM ＋PN 的最小值．解 如图，作⊙A 关于x 轴的对称图形⊙A ´，连结A ´B ，与x 轴交于点P ，与⊙A ´交点为M ´，与⊙B 交点为N ，连结P A ，P A 与⊙A 交点为M ，则此时P A ＋PB 值最小，从而PM ＋PN 值也最小，最小值为线段M ´N 的长．如图，易得A ´（2，－3），由两电间距离公式得A ´B ＝．故M ´N ＝4，即PM ＋PN ＝－4．例3 如图1，等边△ABC 的边长为6，AD ，BE 是两条边上的高，点O 为其交点． P ，N 分别是BE ，BC 上的动点．Q O N EPBDCAACDBPENO图1 图2（1）当PN ＋PD 的长度取得最小值时，求BP 的长度；（2）如图2，若点Q 在线段BO 上，BQ ＝1，求QN ＋NP ＋PD 的最小值．Q 'D 'ACDBPENO Q D 'O NEPBDCA图3 图4解 （1）由等边三角形轴对称的性质可得，点D 关于BE 的对称点D ´在AB 上，且为AB 的中点．如图3，过点D ´作BC 的垂线，垂足为N ´，D ´N 交BE 于点P ，连结PD ´，则PD ´＝ P D ． 此时D ´N 的长度即为PN ＋PD 长度的最小值． 显然D ´N ∥AD ，即点N 为BD 的中点． 所以BN ＝14BC ＝32， 从而BP ＝cos BNPBN∠（2）如图4，作点Q 关于BC 的对称点Q ´，则BQ ´＝1，∠CBQ ´＝30°． 点D ´是点D 关于BE 的对称点，连接D ´Q ´，交BE 于点P ，交BC 于点N ． 此时D ´Q ´即为QN ＋NP ＋PD 的最小值． 显然∠D ´BQ ´＝90°，所以D ´Q＝ 即QN ＋NP ＋PD进阶训练1．两平面镜OM ， ON 相交于点O ，且OM ⊥ON ，一束光线从点A 出发，经过平面镜反射后，恰好经过点B ，光线可以只经过平面镜OM 反射后过点B ，也可以只经过平面镜ON 反射后过点B ．除了这两种作法外，还有其他方法吗？如果有，请在图中画出光线的行进路线，保留作图痕迹，并简要说明理由．'B''答案：作点A关于OM的对称点A´，作点B关于ON的对称点B´，连接A´B´，与OM，ON分别交于点D，C．光线行进路线如图．2．（1）在A和B两地之间有一条河，现要在这条河上建一座桥CD，桥建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）（2）如图2，在A和B两地之间有两条河，现要在这两条河上各建一座桥，分别是MN和PQ，桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）解：（1）如图，过点B作BB’垂直于河岸，且使BB’长度等于这条河宽，连接AB’交河的一岸于点C，过点C作CD垂直于河岸，与另一岸交点为D，则CD即为架桥最合适的位置．（2）如图，过点A作AA’垂直于距点A较近的河岸，且使AA’长等于该河宽，同样，过点B作BB’垂直于距点B较近的河岸，且使BB’长等于河宽，连接A’B’分别交两条河相邻的河岸于点N，P，过点N作NM垂直于该河河岸，与另一岸交点为M，过P作PQ垂直于该河河岸，与另一岸交点为Q，则MN，PQ即为架桥最合适的位置．ABB A图1 图23．如图，直线334y x=+分别与x轴，y轴交于点A，B，抛物线y＝－x2＋2x＋1与y轴交于点C．若点E在抛物线y＝－x2＋2x＋1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE＋EF的最小值．提示：作点C关于对称轴x＝1的对称点C’，则C’（2，1）．过点C’作C’F⊥AB于点F，且于对称轴交于点E，此时FC’的长为CE＋EF的最小值．连接C’B，C’A，作C’K⊥x轴于点K，则S△ABC＝S△ABD＋S△梯形C’KOB－S△C’KA＝AB⋅FC’，解得FC’＝145，则CE＋EF的最小值是145．。
山东省诸城市桃林镇2017届中考数学压轴题专项汇编专题2函数与方程
专题2 函数与方程、不等式的关系破解策略1．函数与方程的关系（1）关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的解⇔抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标的值；（2）关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝mx ＋n （am ≠0）的解⇔抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c（a ≠0）与直线y ＝mx ＋n （m ≠0）交点的横坐标的值．2．函数与不等式的关系（1）关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0（a ≠0）的解集⇔抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）位于x 轴上方的所有点的横坐标的值；（2）关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＜0（a ≠0）的解集⇔抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）位于x 轴下方的所有点的横坐标的值；（3）关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞mx ＋n （ma ≠0）的解集⇔抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）位于直线y ＝mx ＋n （m ≠0）上方的所有点的横坐标的值；（4）关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＜mx ＋n （ma ≠0）的解集⇔抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）位于直线y ＝mx ＋n （m ≠0）下方的所有点的横坐标的值．例题讲解例1 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝mx 2－2mx －2（m ≠0）与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ．若该抛物线在－2＜x ＜－1这一段位于直线l ：y ＝－2x ＋2的上方，并且在2＜x ＜3这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的表达式．解：如图，因为抛物线的对称轴是x ＝1，且直线l 与直线AB 关于对称轴对称． 所以抛物线在－1＜x ＜0这一段位于直线l 的下方．又因为抛物线在－2＜x ＜－1这一段位于直线l 的上方，所以抛物线与直线l 的一个交点的横坐标为－1．当x ＝－1时，y ＝－2×（－1）＋2＝4，则抛物线过点（－1，4），将（－1，4）代入y ＝mx 2－2mx －2，得m ＋2m －2＝4，则m ＝2．所以抛物线的表达式为y ＝2x 2－4x －2．例2 已知y ＝ax ²＋bx ＋c （a ≠0）的自变量x 与函数值y 满足：当－1≤x ≤1时，－1≤y ≤1，且抛物线经过点A （1，－1）和点B （－1，1）．求a 的取值范围．解：因为抛物线y ＝ax ²＋bx ＋c 经过A （1，－1）和点B （－1，1），代入得a ＋b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝1，所以a ＋c ＝0，b ＝－1，则抛物线y ＝ax ²－x －a ，对称轴为x ＝12a．①当a ＜0时，抛物线开口向下，且x ＝12a＜0，如图可知，当12a≤－1时符合题意，所以－12≤a＜0．当－1＜12a＜0时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．②当a＞0时，抛物线开口向上，且x＝12a＞0．如图可知，当12a≥1时符合题意，所以0＜a≤12．当0＜12a＜1时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．综上所述，a的取值范围是－12≤a＜0或0＜a≤12．例3在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，'b）给出如下定义：1 '1b abb a ≥⎧=⎨-<⎩，则称点Q为点P的限变点．例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（﹣2，5）的限变点的坐标是（﹣2，﹣5）．（1）若点P在函数y＝﹣x＋3（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣5≤b′≤2，求k的取值范围；（2）若点P在关于x的二次函数y＝x2﹣2tx＋t2＋t的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，其中m＞n．令s＝m﹣n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围．解：（1）依题意，y＝﹣x＋3（x≥﹣2）图象上的点P的限变点必在函数y＝313-21x xx x-+≥⎧⎨-≤<⎩的图象上．∴b′≤2，即当x＝1时，b′取最大值2．当b′＝﹣2时，﹣2＝﹣x＋3．∴x＝5．当b′＝﹣5时，﹣5＝x﹣3或﹣5＝﹣x＋3．∴x＝﹣2或x＝8．∵﹣5≤b′≤2，由图象可知，k的取值范围是5≤k≤8．（2）∵y＝x2﹣2tx＋t2＋t＝（x﹣t）2＋t，∴顶点坐标为（t，t）．若t＜1，b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，与题意不符．若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m＝t；当x＜1时，y的值小于﹣[（1﹣t）2＋t]，即n＝﹣[（1﹣t）2＋t]．∴s＝m﹣n＝t＋（1﹣t）2＋t＝t2＋1．∴s关于t的函数解析式为s＝t2＋1（t≥1），当t＝1时，s取最小值2，∴s的取值范围是s≥2．1）；点B；5≤k≤8；s≥2．进阶训练1．若关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0有两个不同的实数根m，n（m＜n），方程x2＋ax ＋b＝1有两个不同的实数根p，q（p＜q），则m，n，p，q的大小关系为（）A．m＜p＜q＜n B．p＜m＜n＜q C．m＜p＜n＜q D．p＜m＜q＜nB【提示】函数y＝x2＋ax＋b和函数y＝x2＋ax＋b－1的图像如图所示，从而得到p＜m＜n ＜q解：函数y＝x2＋ax＋b如图所示：2．在平面直角坐标系xOy中，p（n，0）是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线，交一次函数y＝kx＋b的图像于点M，交二次函数y＝x²－2x－3的图像于点N，若只有当－2＜n＜2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的表达式．y＝－2x＋1【提示】依据题意并结合图像可知，一次函数的图像与二次函数的图像的交点的横坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标为（－2，5）和（2，－3）将交点坐标分别代入一次函数表达式即可3．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2－（2m＋1）x＋m－5的图像与x轴有两个公共点，若m取满足条件的最小整数，当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是－6≤y≤4－n，求n的值n的值为－2【提示】根据已知可得m＝1．图像的对称轴为直线x＝32．当n≤x≤1＜32时，函数值y随自变量x的增大而减小，所以当x＝1时，函数的值为－6，当x＝n时，函数值为4－n．所以n2－3n－4＝4－n，解得n＝－2或n＝4（不符合题意，舍去），则n的值为－2。
山东省诸城市桃林镇2017届中考数学压轴题专项汇编 专题1 一元二次方程的特殊根
专题1 一元二次方程的特殊根破解策略1．一元二次方程的有理根关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 为有理数）存在有理根的条件为：b 2－4ac 是一个有理数的平方．解决一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 为有理数）的有理根问题时，一般的解题策略有：（1）利用“判别式的取值范围”解题①讨论二次项系数的情况，当a ≠0时，求出判别式；②根据已知条件得待定系数的取值范围，再求出判别式的取值范围，筛选出其中为有理数的平方的数； ③求出待定系数的可能取值，并检验．（2）利用“判别式是一个有理数的平方”解题①讨论二次项系数的情况，当a ≠0时，将方程的系数整数化，求出判别式；②将判别式写成△＝M 2－t 的形式（M 为关于待定系数的整式，t 为整数），设M 2－t ＝m 2（m 为非负有理数）③可得（Ｍ＋m ）（Ｍ－ｍ）＝t ，解此不定方程；④求出待定系数的可能取值，并检验．２．一元二次方程的整数根对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 为有理数）而言，方程的根为整数且必为有理数，所以有理根存在的条件是整数根存在的必要条件．解决方程ax 2＋bx ＋c ＝0的整数根问题，除了利用“判别式的取值范围”和“判别式是一个有理数的平方”来解题外，还可以利用“根与系数的关系”和“因式分解”来解决问题．（1）利用“根与系数的关系”解题①讨论二次项系数的情况，当a ≠0时，利用根与系数的关系求出两根的和与积；②将两根的和与积的代数式写成一个整式与一个分式的和的形式（类似于分离常量）； ③由分式的结果一定为整数，根据整除的性质得到分式的分母一定是分子的约数，从而求出待定系数的可能取值；（2）利用“因式分解”解题①讨论二次项系数的情况，当a ≠0时，将方程化为（m 1x ＋n 1）（m 2x ＋n 2）＝0的形式；②求出方程的两根，x 1＝11m n -和x 2＝22m n -； ③利用分离常量的方法，将11m n -，22m n -变成一个常数与一个分式的和； ④根据整除的性质，得到分式的分母一定是分子的约数，从而求出待定系数的可能取值； ⑤将待定系数的可能取值代入原方程检验并确定结果．需要注意的是，要看清楚题中说的是方程有整数根还是方程的根为整数．3．分离常量在利用“根与系数的关系”解题和利用“因式分解”解题的过程中都提到了分离常量，所谓分离常量就是从分式中化出一个常数，例如： ①131131113112+-=+-++=+-+=+-m m m m m m m m ； ②111111)1(11112+--=+-++-=+---=+--m m m m m m m m ； ③112111)1(21122132++=++++=+++=++m m m m m m m m ；④123121)1(31233113++-=++++-=++--=+--m m m m m m m m ． 例题讲解：例1 已知整数m 满足6＜m ＜20，如果关于x 的一元二次方程mx 2—（2m －1）x ＋m －2＝0有有理根，求m 的值及方程的根．解： 若原方程的根为有理数，则△＝（2m －1）２—4m （m －2）＝4m ＋1应为某个有理数的平方．已知6＜m ＜20，所以25＜4m ＋1＜81，而4m ＋1是奇数，从而4m ＋1＝49，得m ＝12，所以原方程变为12x 2—23x ＋10＝0， 解得x 1＝32，x 2＝45． 故m ＝12时，方程有有理根，此时方程的根为x 1＝32，x 2＝45． 例2 设m 是不为零的整数，关于x 的一元二次方程mx 2－（m －1）x ＋1＝0有有理根，求m 的值．解 若原方程的根为有理数，则△＝（m －1）２—4m ＝（m －3）２—8应为某个有理数的平方．令（m －3）２—8＝n 2 （n ＞0），显然n 也为整数，所以（m －3＋n ）（m －3－n ）＝8．由于m －3＋n ＞m －3－n ，并且（m －3＋n ）＋（m －3－n ）＝2（m －3）是偶数，所以m －3＋n 和m －3－n 同奇偶， 所以⎩⎨⎧=-=+2n 3-m 4n 3-m 或⎩⎨⎧-=---=+-4323n m n m ；解得⎩⎨⎧==1611n m ，⎩⎨⎧==1022n m （舍）． 所以当m ＝6时，方程有两个有理根，分别为x 1＝21，x 2＝31．例3 关于x 的一元二次方程rx 2＋（r ＋2）x ＋r －1＝0有且只整数根，求整数r 的值．解： 当r ＝0时，原方程无整数根；当r ≠ 0时，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝r r 2+-＝－1－r 2，x 1•x 2＝r r 1-＝1－r1． 因为x 1，x 2都是整数， 所以x 1＋x 2和x 1•x 2均为整数，从而r 2，r1均为整数． 而r 为整数，所以r ＝±1．当r ＝－1时，原方程的解不为整数，不符合条件；当r ＝1时，原方程的解为x 1＝0，x 2＝－3．综上可得，整数r ＝1．例4 在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数的点称之为“中国结”，若二次函数y ＝（k 2－3k ＋2）x 2＋（2k 2－4k ＋1）x ＋k 2－k （k 为常数）的图象与x 轴相交得到两个不同的“中国结”，试问：该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？解：令y ＝0，即（k 2－3k ＋2）x 2＋（2k 2－4k ＋1）x ＋k 2－k ＝0，因式分解，得[（k －1）x ＋k ][（k －2）x ＋k －1]＝0解得x 1＝1111---=--k k k ，x 2＝21121---=---k k k ， 由题意可得x 1，x 2均为整数，所以11-k ，21-k 也均为整数， 设11-k ＝m （m ≠0，m 为整数），则k ＝m1＋1， 所以mm m m m m k -+-=-+--=-=-+=-11111)1(1211121， 所以1－m ＝±1，即m 1＝0（舍），m 2＝2，从而得到k ＝23． 所以二次函数表达式为y ＝41-x 2－21x ＋43＝41-（x ＋1）2＋1 二次函数图象如下图所示，则该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含6个“中国结”，分别为：（－3，0），（－2，0），（－1，0），（－1，1），（0，0），（1，0）．进阶训练1．已知m 为有理数，问：k 为何值时，关于x 的方程x 2－4mx ＋4x ＋3m ２－2m ＋4k ＝0的根为有理数？解：k ＝－45 【提示】若原方程的根为有理数，则△＝4[m ２—6m ＋4（1－k ）]应为某个有理数的平方． 所以4（1－k ）＝9，即k ＝－45． 2．已知关于x 的方程x 2－2（2m －3）x ＋4m ２－14m ＋8＝0（m ＞0）有两个不相等的实数根，若12＜m＜40，且方程的两个根均为整数，求整数m 的值．解：m ＝24．【提示】若原方程的根为有理数，则△＝4（2m ＋1）应为某个有理数的平方，由12＜m ＜40，所以25＜2m ＋1＜81，而2m ＋1为奇数，则2m ＋1＝49，即m ＝24．3．已知方程（k ２－1）x 2－3（3k －1）x ＋18＝0有正整数根，求整数k 的值．解：k ＝0，1，2，4，5．【提示】先讨论二次项系数是否为0，当k ＝1时，方程有正整数根，当k 2－1＝0时，原方程可整理为[（k ＋1）x －6][（k －1）x －3]＝0，解得x 1＝16+k ，x 2＝13-k ，而方程有正整数根，所以k ＝0，1，2，4，5，综上，k ＝0，1，2，4，5．4．求使关于x 的方程（a ＋1）x 2－（a 2＋1）x ＋2a 2－6＝0的根均为整数的所有整数a ．解：a ＝－3，－2，0，1．【提示】①当a ＝－1时，方程变为－2x －4＝0，解得x ＝－2，符合要求；②当a ≠－1时，设方程的两个整数根为x 1，x 2，则由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝112++a a ＝a －1＋12+a ，x 1•x 2＝1622+-a a ＝2（a－1）－14+a ． 因为x 1，x 2都是整数，所以x 1＋x 2和x 1•x 2均为整数，即12+a 为整数，所以a ＝－3，－2，0，1． 经检验，得到当a ＝－3，－2，0，1时，方程的根均为整数．本文档仅供文库使用。
2022年山东省诸城市桃林镇桃林初中2017届中考数学压轴题专项汇编：专题
原创不容易，【关注】店铺，不迷路！专题18弦图模型破解策略1．内弦图如图，在正方形ABCD中，BF⊥CG，CG⊥D，N，P，Q在正方形ABCD边上，且四边形MUPQ为正方形，则△QBM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ．证明因为∠B＝∠QMN ＝∠C＝90°，所以∠BQM＋∠QMB＝∠QMB＋∠NMC＝90°，所以∠BQM＝∠NMC．又因为QM＝MN，所以△QBM≌△MCN．同理可得△Q≌△MCN≌△NDP≌△PAQ．AQNBMCPD3．括展（1）如图，在Rt△AB和Rt△BLK中，QB＝BL，QM⊥BK，所以△QBM≌△BLK．AEB⊥BK，所以∠KBL＋∠QMB＝∠KBI十∠K＝90°所以∠QMB＝∠K，又因为QB＝BL．所以△QBM≌△BLK．QKEBML例题讲解例1四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上，连结CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D，F在直线CE的同侧），连结BF．当点E 在线段AD上时，AE＝1，求BF的长．FEDGABC解如图，过点F作F⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若＝11BN，则＝．15AMDN的值．AMDCGD（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC ＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD－5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求DFG解（1））如图4．过点A作AP∥EF．交CD于点P，过点B作BQ∥G⊥BN．所以由（1）中的结论可得所以BNEF11＝＝．AMGABAB（3）如图5．过点D作平行于AB的直线，交过点A 且平行于BC的直线于点P，交BC的延长线于点S．则四边形ABSR是平行四边形．因为∠ABC＝90°，所以四边形ABSR是矩形．所以∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝10，AR＝BS．因为AM⊥DN．所以由（1）中的结论可得DNAR＝．AMAB设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝5＋x．RD＝10－y，所以在Rt △CSD中，x2＋y2＝25．在Rt△ARD中．（5＋x）2＋（10－y）2＝100．x2y225联立方程组?，222?(5?x)?(10?y)?10?x??5?x?3得?（舍），或?．y?0y?4??所以AR＝5＋x＝8，所以DNAR84＝＝＝．AMAB105DCMRANB进阶训练1．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线，y＝k（k＞0）同时经过点B．且x点A在点B的左侧，点A的横坐标为2．∠AOB ＝∠OBA＝45°，则k＝____．yABOx2．如图，巳知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC．E是直线BC上的一点，且CE＝BD．直线AE，DC相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．【素材积累】司马迁写《史记》汉朝司马迁继承父业，立志著述史书。
山东省诸城市桃林镇2017届中考数学压轴题专项汇编 专题4 图形的分割与拼接
专题4 图形的分割与拼接破解策略把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割；反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼接成一个完美的图形，就叫做图形的拼接．通常，我们会将一个或多个图形先分割，再拼接成一种指定的图形． 常见的图形的分割与拼接有： 1．三角形分割成两个等腰三角形 （1）已知：Rt△ABC ，∠BAC ＝90°． 作法：取斜边BC 的中点D ，连结A D ． 结论：△DAB 和△DAC 是等腰三角形．D AB C（2）已知：△ABC ，∠BAC ≥∠B ，∠C ＝2∠B ．作法：在边BC 上作一点D ，使得点D 在AB 的垂直平分线上，连结A D ． 结论：△DAB 和△DAC 是等腰三角形．DCB A（3）已知：△ABC ，∠ACB ＝3∠B．作法：在边AB 上作一点D ，使得点D 在BC 的垂直平分线上，连结C D ． 结论：△DBC 和△CAD 是等腰三角形．ABDC2．三角形分割成多个等腰三角形（1）已知：任意等腰△ABC ，AB ＝A C ． ①作法：一条垂线＋两条斜边中线．结论：△EAD ，△FAD ，△EBD ，△FCD 均为等腰三角形．ABFCED②作法：一条角平分线＋两条平行线．结论：△AFD ，△FBD ，△EBD ，△DEC 均为等腰三角形．DECF BA③作法：两条角平分线＋一条平行线．结论：△AEF ，△EBD ，△FCD ，△DBC 均为等腰三角形．ABF CE D（2）已知：等腰△ABC ，∠B ＝∠C ＝36°．作法：在BC 上取两点D ，E ，使得其分别在AB ，AC 的垂直平分线上，连结AD ，AE ．结论：△DAB ，△ADE ，△EAC 均为含36°内角的等腰三角形，所以可以无限分等腰三角形．36°36°ABCDE（3）已知：等腰△ABC ，AB ＝AC ，∠A ＝36°． 作法：作∠ABC 的平分线BD ，交AC 于点D ．结论：△DAB ，△BCD 均为含36°内角的等腰三角形，所以可以无限分等腰三角形．AB 36°DC（4）已知：任意△AB C ．作法：一条垂线＋两条斜边中线．结论：△EAD ，△FAD ，△EBD ，△FCD 均为等腰三角形．AB CDEF3．三角形的剪拼（1）剪拼成直角三角形．作法：取AB ，AC 的中点D ，E ；过D 作BC 的垂线，垂足为点F ；过点A 作BC 的平行线，分别交直线DF ，EF 于点G ，H ． 结论：△FGH 为直角三角形．D HG EFCB A（2）剪拼成等腰三角形． 作法：取AB 、AC 的中点D 、E ，连结DE 的垂直平分线FG 交BC 于点G ;过点A 作BC 的平分线，分别交直线GD 、GE 于点H 、I 结论：△GHI 为等腰三角形F GIHD EC BA（3）剪拼成平行四边形．作法：取BC 、AC 的中点D 、E ，分别过点A 作BC 的平行线，交直线DE 于点F ． 结论：四边形ABDF 为平行四边形．EFDCBA（4） 剪拼成矩形．①作法：取AB 、AC 的中点D 、E ，分别过点D 、E 作BC 的垂线，垂足为F 、G ．过点A 作BC 的平行线，分别交直线FD 、GE 于点H 、I ． 结论：四边形HFGI 为矩形．I H ED GAB C②作法：取AB 、AC 的中点D 、E ，分别过点B 、C 作直线DE 的垂线，垂足为F 、G ． 结论：四边形FBCG 为矩形．F G ED CBA③作法：取BC 、AC 的中点D 、E ，过点A 作BC 的平行线，交直线DE 于点F ;分别过点A 、F 作BC 的垂线，垂足为G 、H结论：四边形AGHF 为矩形（先将△ABC 剪拼成平行四边形ABDF ，再将平行四边形剪拼成矩形AGHF ）EFH D G CB A（5）剪拼成正方形（三角形一边上的高是该边长的一半）．①作法：取BC 、AC 的中点D 、E ，过点A 作BC 的平行线，交直线DE 于点F ，分别过A 、F 作BC 的垂线，垂足为G 、H ． 结论：四边形AGHF 为正方形．ABC GDHFE②作法：取AB 、AC 的中点D 、E ，分别过点D 、E 作BC 的垂线，垂足为F 、G ;过点A 作BC 的平行线，分别交直线FD 、GE 于点H 、I 结论：四边形HFGI 为正方形CB AFGD EH I（6）剪拼成等腰梯形．作法：作AD ＝AB 交BC 于点D ，取AC 的中点E ，过点E 作AD 的平行线，交BC 于点F ，过点A 作BC 的平行线，交直线FE 于点G ． 结论：四边形AGFB 为等腰梯形．GFDECBA4．矩形的剪拼（1）剪拼成直角三角形作法：取AD 中点E ，连结CE 并延长，交直线AB 于点F ． 结论：△FBC 是直角三角形．FEDCB A（2）剪拼成等腰三角形①作法：延长CD 至点E ，使得DE ＝CD ，连结AC 、AE ． 结论：△ACE 为等腰三角形，其中AC ＝AEA CDE②作法：取AB 、CD 、AD 的中点E 、F 、G ，连结GE 、GF 并延长，分别交直线BC 于点H 、I 结论：△GHI 为等腰三角形，其中GH ＝GIIHGA BCD E F③作法：取AD 的中点E ，向矩形外作AD 的垂线EF ，使得EF ＝AB ，连结FB 、FC 结论：△FBC 为等腰三角形，其中FB ＝FCAB CDEF④作法：取BC 、CD 、AD 的中点E 、F 、G ，连结FE 、FG 并延长，分别交直线AB 于H 、L 结论：△FHI 为等腰三角形，其中FH ＝FI（3）剪拼成菱形．作法：取BC 的中点E ，向矩形外作BC 的垂线EG ，使得EG ＝AB ，取AD 的中点F ，连结BG 、GC 、CF 、F B ．结论：四边形BGCF 为菱形GABCDEF（4）剪拼成正方形作法：延长CB 至点E ，使得BE ＝AB ，以EC 为直径作圆，交BA 的延长线于点F;在BC 上取一点G ，使得BG ＝BF ，过点F 作BF 的垂线，过点G 作BG 的垂线，两线交于点H 结论：四边形BGHF 为正方形5．正方形的剪拼（1）两个正方形剪拼成一个正方形作法：连结AE ，过点A 作AI 丄AE 交CB 的延长线于点I ;分别以E ，I;为圆心AE 长为半径画弧，交于点H ，连结HI 、HE ． 结论：四边形AEHI 为正方形NHLGFEDC BA（2）一个正方形剪拼成两个正方形作法：以B 为端点在正方形ABCD 内部作射线，分别过A 、C 、D 作射线的垂线，垂足分别为E 、F 、G ，再分别过点A 、C 作DG 的垂线，垂足分别为H 、I 结论：四边形AEGH 和四边形CFGI 为正方形．进阶训练1. 在△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝63°，如图1，取三边中点，可以把△ABC 分割成四个等腰三角形，请你在图2中，用另外四种不同的方法把△ABC 分割成四个等腰三角形，并标明分割后的四个等腰三角形的底角的度数（如果经过变换后两个图形重合，则视为同一种方法）图2图1C BACB AABCABC C BA答案：2. 小明在研究四边形的相关性质时发现，在不改变面积的条件下，一般梯形很难转化为菱形，但有些特殊的梯形通过分割可以转化为菱形，如图1，已知在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD ＝2AD ，∠C ＝60°．图2图1CBADDABC（1）果将该梯形分割成几块，然后可以重新拼成菱形，试在图1中画出变化后的图形； （2）在完成上述任务后，他又试着在直角梯形（如图2，AD ∥BC ，CD ＝2AD ，∠C ＝60°）中，将梯形分成几块，拼成新的图形；①它能拼成一个菱形吗？如果能，请画出相应的图形； ②它能拼成一个正方形吗？如果能，请画出相应的图形． 答案：（1）能拼成菱形：CB AD（2）能拼成菱形：DA B C能拼成正五边形DAB C3．下列网格中的六边形ABCDEF是由一个边长为6的正方形剪去左上角一个边长为2的正方形所得，该六边形按一定的方法可剪拼成一个正方形．（1）根据剪拼前后图形的面积关系求出拼成的正方形的边长；（2）如图甲，把六边形ABCDEF沿EH，BG剪成①，②，③三个部分，请在图甲中画出将②，③与①拼成的正方形，然后标出②，③变动后的位置；（3）在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条剪裁线，并画出将此六边形剪拼成的正方形．图甲图乙答：（1）（2）如图；（3）如图：。
中考数学压轴题专项汇编专题9费马点2
专题9 费马点破解策略费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离．若三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点．1.若三角形有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点如图在△ABC中，∠BAC≥120°，求证：点A为△ABC的费马点证明：如图，在△ABC内有一点P延长BA至C，使得AC＝AC，作∠CAP＝∠CAP，并且使得AP ＝AP，连结PP则△APC≌△APC，PC＝PC因为∠BAC≥120°所以∠PAP＝∠CAC≤60所以在等腰△PAP中，AP≥PP所以PA＋PB＋PC≥PP＋PB＋PC＞BC＝AB＋AC所以点A为△ABC的费马点2.若三角形的内角均小于120°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点．如图，在△ABC中三个内角均小于120°，分别以AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O，求证：点O为△ABC的费马点证明：在△ABC内部任意取一点O，；连接OA、OB、OC将△AOC绕着点A逆时针旋转60°，得到△AO′D连接OO′则O′D＝OC所以△AOO′为等边三角形，OO′＝AO所以OA＋OC＋OB＝OO′＋OB＋O′D则当点B、O、O′、D四点共线时，OA＋OB＋OC最小此时ABAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O如图，在△ABC中，若∠BAC、∠ABC、∠ACB均小于120°，O为费马点，则有∠AOB＝∠BOC ＝∠COA＝120°，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心例1 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（－6，0），点B 的坐标为（6，0），点C 的坐标为（6，34），延长AC 至点D 使得CD ＝AC ，过点DE 作DE //AB ，交BC 的延长线于点E ，设G 为y 轴上的一点，点P 从直线y ＝3-x ＋36与y 轴的交点M 出发，先沿y 轴到达点G ，再沿GA 到达点A ，若点P 在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定点G 的位置，使点P 按照上述要求到达A 所用的时间最短解：∵t ＝vGMv v GM 22GA GA 2+=+ ∴当2GA ＋GM 最小时，时间最短如图，假设在OM 上存在一点G ，则BG ＝AG ∴MG ＋2AG ＝MG ＋AG ＋BG把△MGB 绕点B 顺时针旋转60°，得到△M ′G ′B ，连结GG ′，MM ′ ∴△GG ′B 、△MM ′B 都为等边三角形 则GG ′＝G ′B ＝GB 又∵M ′G ′＝MG∴MG ＋AG ＋BG ＝M ′G ′＋GG ′＋AG ∵点A 、M ′为定点∴AM ′与OM 的交点为G ，此时MG ＋AG ＋BG 最小 ∴点G 的坐标为（0，32）例2A、B、C、D四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市之间都有公路相通，并是整个公路系统的总长度为最小，则应当如何修建？解：如图，将△ABP绕点N逆时针旋转60°，得到△EBM；同样，将△DCQ绕点C顺时针旋转60°，得到△FCN，连结AE、DF，则△ABE、△DCF均为等边三角形，连结PM、QN，则△BPM，△CQN均为等边三角形所以当点E，M，P，Q，N，F共线时，整个公路系统的总长取到最小值，为线段EF的长，如图，此时点P，Q在EF 上，1＝2＝3＝4＝30．E进阶训练1．如图，在ABC中，ABC＝60，AB＝5，BC＝3，P是ABC内一点，求PA＋PB＋PC的最小值，并确定当PA＋PB＋PC取得最小值时，APC的度数．答案：PA＋PB ＋PC的最小值为7，此时APC＝120．E【提示】如图，将APB绕点B逆时针旋转60，得到A'BP'，连结PP'，A'C．过点A'作A'E BC，交CB的延长线于点E．解Rt A'E C求A'C的长，所得即为PA ＋PB＋PC的最小值．2．如图，四边形ABCD 是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连结AM，CM，EN．（1）当M在何处时，AM＋CM的值最小?（2）当M在何处时，AM＋BM＋CM的值最小？请说明理由；（3）当AM＋BM＋CM1时，求正方形的边长．E答案：（1）当点M落在BD的中点时，AM＋CM的值最小，最小值为AC的长；（2）连结CE，当点M位于BD与CE的交点处时．AM＋BM＋CM的值最小，最小值为CE的长．（3【提示】（3）过点E作EF BC，交CB的延长线于点F，解Rt EFC即可．E。
山东省诸城市桃林镇中考数学压轴题专项汇编 专题17 一线三等角模型-人教版初中九年级全册数学试题
专题17 一线三等角模型破解策略在直线AB 上有一点P ，以A ，B ，P 为顶点的∠1，∠2，∠3相等，∠1，∠2的一条边在直线AB 上，另一条边在AB 同侧，∠3两边所在的直线分别交∠1，∠2非公共边所在的直线于点C ，D ．1．当点P 在线段AB 上，且∠3两边在AB 同侧时． （1）如图，若∠1为直角，则有△ACP ∽△BP D ．321DBPAC（2）如图，若∠1为锐角，则有△ACP ∽△BP D ．3CDBPA证明：∵∠DPB ＝180°－∠3－∠CPA ，∠C ＝180°－∠1－∠CPA ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠DPB ，∵∠1＝∠2，∴△ACP ∽△BPD（3）如图，若∠1为钝角，则有△ACP ∽△BP D ．231DBPAC2．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB 同侧时． 如图，则有△ACP ∽△BP D ．321CPDBA证明：∵∠DPB ＝180°－∠3－∠CPA ，∠C ＝180°－∠1－∠CPA ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠DPB ，∵∠1＝∠2＝∠PBD ，∴△ACP ∽△BPD3．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB 异侧时． 如图，则有△ACP ∽△BP D ．321CDBAP证明：∵∠C ＝∠1－∠CPB ，∠BPD ＝∠3－∠CPB ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠BP D ．∵∠1＝∠2，∴∠PAC ＝∠DBP ．∴△ACP ∽△BP D ． 例题讲解例1：已知：∠EDF 的顶点D 在△ABC 的边AB 所在直线上（不与点A ，B 重合）．DE 交AC 所在直线于点M ，DF 交BC 所在直线于点N ．记△ADM 的面积为S 1，△BND 的面积为S 2． （1）如图1，当△ABC 是等边三角形，∠EDF ＝∠A 时，若AB ＝6，AD ＝4，求S 1S 2的值；（2）当△ABC 是等腰三角形时，设∠B ＝∠A ＝∠EDF ＝α． ①如图2，当点D 在线段AB 上运动时，设AD ＝a ，BD ＝b ，求S 1S 2的表达式（结果用a ，b和a 的三角函数表示）．②如图3，当点D 在BA 的延长线上运动时，设AD ＝a ，BD ＝b ，直接写出S 1S 2的表达式．NFC ME BDAF NME BD ACFN DABEM C图1 图2 图3解：（1）如图4，分别过点M ，N 作AB 的垂线，垂足分别为G ，H ．则S 1S 2＝12MG AD 12NH BD ＝14AD AM sin A BD BN sinB ．由题意可知∠A ＝∠B ＝60º，所以sin A ＝sin B ＝32． 由“一线三等角模型”可知△AMD ∽△BDN ． ∴AM ADBD BN=，从而AM BN ＝AD BD ＝8，∴S 1S 2＝12．（2）①如图5，分别过点M ，N 作AB 的垂线，垂足分别为G ，H ．则S 1S 2＝12MG AD12NH BD ＝14AD AM sin A BD BN sinB ．由“一线三等角模型”可得△AMD ∽△BDN ， 所以AM ADBD BN=，从而AM BN ＝AD BD ＝ab ， 所以S 1S 2＝14a ²b ²sin²a ； ②如图6，分别过点M ，N 作AB 的垂线，垂足分别为G ，H ．HGCM EBA DN F则S 1S 2＝12MG AD12NH BD ＝14AD AM sin A BD BN sinB ．由“一线三等角模型”可得△AMD ∽△BDN ，所以AM ADBD BN=，从而AM BN ＝AD BD ＝ab ， 所以S 1S 2＝14a ²b ²sin²a ； 例2：如图，在等腰三角形ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝2，点D 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），在AC 上取一点E ，使∠ADE ＝30°．（1）设BD ＝x ，AE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式并写出自变量x 的取值X 围； （2）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．ECD B A解（1）∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC ＝120°， ∴∠ABD ＝∠ACB ＝30°， ∴∠ABD ＝∠ADE ＝30°，∵∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ＝∠ABD ＋∠DAB ， ∴∠EDC ＝∠DAB ， ∴△ABD ∽△DCE ；∵AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°， 过A 作AF ⊥BC 于F ， ∴∠AFB ＝90°， ∵AB ＝2，∠ABF ＝30°， ∴AF ＝12AB ＝1， ∴BF 3 ∴BC ＝2BF ＝23 则DC ＝23x ，EC ＝2－y ∵△ABD ∽△DCE ， ∴AB DCBD CE=，∴2232xx y-=-， 化简得：21322y x x =-+()023x <<． ECDBA（2）①当AD ＝DE 时，如图2， △ABD ≌△DCE ，则AB ＝CD ，即2＝23x -，x ＝232-，代入21322y x x =-+解得：y ＝423-，即AE ＝423-， ②当AE ＝ED 时，如图，∠EAD ＝∠EDA ＝30°，∠AED ＝120°， 所以∠DEC ＝60°，∠EDC ＝90°则ED ＝12EC ，即y ＝12 （2－y ） 解得y ＝23，即AE ＝23；③当AD ＝AE 时，有∠AED －∠EDA ＝30°，∠EAD ＝120° 此时点D 和点B 重合，与题目不符，此情况不存在． 所以当△是ADE 等腰三角形时，AE ＝4－3AE ＝23ABCE进阶训练1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在BC 边上移动（不与点B ，C 重台）．满足∠DEF ＝∠B ，且点D ，F ．分别在边AB ，AC 上．当点E 移动到BC 的中点时，求证：FE 平 分∠DF C ．DFECBA1．略【提示】由题意可得∠B ＝∠DEF ＝∠C．由“一线三等 角模型”可得△BDE ∽△CEF ，可得BE CF ＝DEEF．而BE ＝CE · 所以CE CF ＝DEEF，从而△DEF ∽ECF ．所以∠DEF ＝∠EFC ，即FE 平分∠DF C ．2． 如图，在等边△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，BC 边上，AD ＝2BE ＝6．将DE 绕点E 顺时针旋转60°，得到EF ．取EF 的中点G ，连结AG ．延长CF 交AG 于点H ．若2AH＝5HG ，求BD 的长．GH FEDCBA2．BD ＝9．【提示】如图，过点F 作FI ∥AC 交BC 于点I ．则∠FIE ＝∠ACB ＝∠AB C ．易证△DBE ≌△EIF ，则IF ＝BE ，IE ＝BD ，所以BC ＋BE ＝AD ，即IC ＝BE ＝IF ，则∠ACH ＝ ∠BCH ＝30°．延长CH 变AB 于点J ，则CJ ⊥AB ，．A ＝ BJ 分别过点G ，E 作AB 的垂线段，垂足为K ，L ，·则KL ＝KJ ·AJJK＝AH HG ＝52，所以AJ ：JK ：KL ：BL ＝5：2：2：l ．因为BE ＝3，∠LEB ＝ 30°，所以BL ＝1．5．AB ＝15．所以BD＝9．BI。
2017-2018年山东省潍坊市诸城市初三上学期期末数学试卷含答案解析
2017-2018学年山东省潍坊市诸城市初三上学期期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，AD：DB=2：1，下列结论中错误的是（）A．B．C．D．AD•AB=AE•AC2．（3分）某种商品经过两次大的降价后，售价仅为原售价的49%，则平均每次的降价率为（）A．30%B．40%C．50%D．51%3．（3分）计算cos60°+sin45°+tan60°•cos30°的结果等于（）A．2B．C．D．4．（3分）用配方法解一元二次方程2x2﹣4x+1=0，变形正确的是（）A．（x﹣）2=0B．（x﹣）2=C．（x﹣1）2=D．（x﹣1）2=0 5．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么这个函数的顶点坐标是（）A．（1，﹣）B．（1，）C．（1，﹣）D．（1，﹣）6．（3分）下列方程中，满足两个实数根的和等于3的方程是（）A．2x2+6x﹣5=0B．2x2﹣3x﹣5=0C．2x2﹣6x+5=0D．2x2﹣6x﹣5=0 7．（3分）下列关于圆的叙述正确的有（）①对角互补的四边形是圆内接四边形；②圆的切线垂直于圆的半径；③正多边形中心角的度数等于这个正多边形一个外角的度数；④过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．A．1个B．2个C．3个D．4个8．（3分）在反比例函数y=的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，点O为正五边形ABCDE外接圆的圆心，五边形ABCDE的对角线分别相交于点P，Q，R，M，N．若顶角等于36°的等腰三角形叫做黄金三角形，那么图中共有（）个黄金三角形．A．5B．10C．15D．2010．（3分）如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（）A．π﹣1B．2π﹣1C．2π﹣2D．π﹣211．（3分）已知△ABC中，∠B=60°，AB=6，BC=8，则△ABC的面积为（）A．12B．12C．24D．1212．（3分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④二、填空题（本题共6小题，共18分，只填写最后结果，每小题填对得3分.）13．（3分）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，△CBD∽△ACD，AD=6，BD=9，那么AC的长等于．14．（3分）关于x的方程（x+1）2+2x=6的解是．15．（3分）小明同学沿坡度为i=1：的山路向上行走了100米，则小明上升的高度是米．16．（3分）经过（1，2.6），（4，5），（2，3）三点的二次函数的表达式是17．（3分）设x为非负实数，将x“四舍五入”到整数的值记为＜x＞（可读作尖括号x），即当非负实数x满足n﹣≤x＜n+时，其中n为整数，则＜x＞=n．如＜0.48＞=0，＜5.5＞=6，＜3.49＞=3．如果＜x﹣2.2＞=5，那么x的取值范围是18．（3分）二次函数y=（a﹣1）x2+3x﹣6的图象与x轴的交点为A和B，若点B 一定在坐标原点和（1，0）之间，且B点不与原点和（1，0）重合，那么a 的取值范围是三、解答题（共6小题，满分66分）19．（8分）如图，点D、E分别在AC、BC上，如果测得CD=20m，CE=40m，AD=100m，BE=20m，DE=45m，求A、B两地间的距离．20．（10分）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克/立方米）与药物点燃后的时间x（分钟）成正比例，药物燃尽后，y与x成反比例（如图所示）．已知药物点燃后4分钟燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为8毫克．（1）求药物燃烧时，y与x之间函数的表达式；（2）求药物燃尽后，y与x之间函数的表达式；（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于2毫克时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒有效时间有多长？21．（11分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0（1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实根？（2）若方程的两根都是正数，求m的取值范围；（3）设x1，x2是这个方程的两个实根，且1+x1x2=x12+x22，求m的值．22．（12分）某工艺厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据销售单价x（元、件）…30405060…每天销售量y（件）…500400300200…（1）求y与x的函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润为8000元？（3）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润不低于8000元？23．（12分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB交AB于点D，点P是⊙O上AB上方的一个动点（P不与A、B重合），已知∠APB=60°，∠OCB=2∠BCM．（1）设∠A=α，当圆心O在∠APB内部时，写出α的取值范围；（2）求证：CM是⊙O的切线；（3）若OC=4，PB=4，求PC的长．24．（13分）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒．（1）P点的坐标为（，）（用含x的代数式表示）；（2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值；（3）设四边形OMPC的面积为S1，四边形ABNP的面积为S2，请你就x的取值范围讨论S1与S2的大小关系并说明理由；（4）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？2017-2018学年山东省潍坊市诸城市初三上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，AD：DB=2：1，下列结论中错误的是（）A．B．C．D．AD•AB=AE•AC【解答】解：∵DE∥BC，AD：DB=2：1，∴△ADE∽△ABC，∴==，=，∴=（）2=，∴A、B、C正确，故选：D．2．（3分）某种商品经过两次大的降价后，售价仅为原售价的49%，则平均每次的降价率为（）A．30%B．40%C．50%D．51%【解答】解：设原价为100，平均每次降价率是x，根据题意得：100（1﹣x）2=49，解得：x==30%或x=（舍去）．故选：A．3．（3分）计算cos60°+sin45°+tan60°•cos30°的结果等于（）A．2B．C．D．【解答】解：原式=+×+×=++=．故选：C．4．（3分）用配方法解一元二次方程2x2﹣4x+1=0，变形正确的是（）A．（x﹣）2=0B．（x﹣）2=C．（x﹣1）2=D．（x﹣1）2=0【解答】解：∵2x2﹣4x=﹣1，∴x2﹣2x=﹣，则x2﹣2x+1=1﹣，即（x﹣1）2=，故选：C．5．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么这个函数的顶点坐标是（）A．（1，﹣）B．（1，）C．（1，﹣）D．（1，﹣）【解答】解：根据图象可知函数经过点（﹣1，0），（3，0），（0，﹣1），设二次函数的解析式是：y=ax2+bx+c．根据题意得：．解得：a=，b=﹣，c=﹣1．则函数的解析式是：y=x2﹣x﹣1，顶点坐标为（1，﹣）故选：A．6．（3分）下列方程中，满足两个实数根的和等于3的方程是（）A．2x2+6x﹣5=0B．2x2﹣3x﹣5=0C．2x2﹣6x+5=0D．2x2﹣6x﹣5=0【解答】解：满足两个实数根的和等于3的方程是2x2﹣6x﹣5=0，故选：D．7．（3分）下列关于圆的叙述正确的有（）①对角互补的四边形是圆内接四边形；②圆的切线垂直于圆的半径；③正多边形中心角的度数等于这个正多边形一个外角的度数；④过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：对角互补的四边形是圆内接四边形，所以①正确；圆的切线垂直于过切点的半径，所以②错误；正多边形中心角的度数等于这个正多边形一个外角的度数，所以③正确；过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，所以④正确．故选：C．8．（3分）在反比例函数y=的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、图形面积为|k|=4；B、阴影是梯形，面积为6；C、D面积均为两个三角形面积之和，为2×（|k|）=4．故选：B．9．（3分）如图，点O为正五边形ABCDE外接圆的圆心，五边形ABCDE的对角线分别相交于点P，Q，R，M，N．若顶角等于36°的等腰三角形叫做黄金三角形，那么图中共有（）个黄金三角形．A．5B．10C．15D．20【解答】解：根据题意，得图中的黄金三角形有△EMR、△ARQ、△BQP、△CNP、△DMN、△DER、△EAQ、△ABP、△BCN、△CDM、△DAB、△EBC、△ECA、△ACD、△BDE，△ABR，△BQC，△CDP，△DEN，△EAQ，共20个．故选：D．10．（3分）如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（）A．π﹣1B．2π﹣1C．2π﹣2D．π﹣2【解答】解：在Rt△ACB中，AB==2，∵BC是半圆的直径，∴∠CDB=90°，在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD=BD=，∴D为半圆的中点，∴S阴影部分=S扇形ACB﹣S△ADC=π×22﹣×（）2=π﹣1．故选：A．11．（3分）已知△ABC中，∠B=60°，AB=6，BC=8，则△ABC的面积为（）A．12B．12C．24D．12【解答】解：过A作AD⊥BC于点D．∵已知△ABC中，∠B=60°，AB=6，∴sin∠B===，∴AD=3．∴S=BC×AD=×8×3=12．△ABC故选：A．12．（3分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④【解答】解：①错误，假设∠BAD=∠ABC，则=，∵=，∴==，显然不可能，故①错误．②正确．连接OD．∵GD是切线，∴DG⊥OD，∴∠GDP+∠ADO=90°，∵OA=OD，∴∠ADO=∠OAD，∵∠APF+∠OAD=90°，∠GPD=∠APF，∴∠GPD=∠GDP，∴GD=GP，故②正确．③正确．∵AB⊥CE，∴=，∵=，∴=，∴∠CAD=∠ACE，∴PC=PA，∵AB是直径，∴∠ACQ=90°，∴∠ACP+∠QCP=90°，∠CAP+∠CQP=90°，∴∠PCQ=∠PQC，∴PC=PQ=PA，∵∠ACQ=90°，∴点P是△ACQ的外心．故③正确．④正确．连接BD．∵∠AFP=∠ADB=90°，∠PAF=∠BAD，∴△APF∽△ABD，∴=，∴AP•AD=AF•AB，∵∠CAF=∠BAC，∠AFC=∠ACB=90°，∴△ACF∽△ABC，可得AC2=AF•AB，∵∠ACQ=∠ACB，∠CAQ=∠ABC，∴△CAQ∽△CBA，可得AC2=CQ•CB，∴AP•AD=CQ•CB．故④正确，故选：B．二、填空题（本题共6小题，共18分，只填写最后结果，每小题填对得3分.）13．（3分）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，△CBD∽△ACD，AD=6，BD=9，那么AC的长等于3．【解答】解：∵△CBD∽△ACD，∴∠ACD=∠B，又∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，即AC2=AD×AB，∴AC===3，故答案为：3．14．（3分）关于x的方程（x+1）2+2x=6的解是﹣5或1．【解答】解：方程可化为x2+4x﹣5=0，因式分解得（x+5）（x﹣1）=0，解得x1=﹣5，x2=1．故答案为：﹣5或115．（3分）小明同学沿坡度为i=1：的山路向上行走了100米，则小明上升的高度是50米．【解答】解：∵斜坡的坡度i=1：=，∴坡角α=60°，∴斜坡的正弦值sinα=，∴小明上升的高度是100×sinα=50（米）．故答案为50．16．（3分）经过（1，2.6），（4，5），（2，3）三点的二次函数的表达式是y=0.2x2﹣0.2x+2.6【解答】解：设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把（1，2.6），（4，5），（2，3）代入得，解得，所以抛物线解析式为y=0.2x2﹣0.2x+2.6．故答案为y=0.2x2﹣0.2x+2.6．17．（3分）设x为非负实数，将x“四舍五入”到整数的值记为＜x＞（可读作尖括号x），即当非负实数x满足n﹣≤x＜n+时，其中n为整数，则＜x＞=n．如＜0.48＞=0，＜5.5＞=6，＜3.49＞=3．如果＜x﹣2.2＞=5，那么x的取值范围是 6.7≤x＜7.7【解答】解：∵＜x﹣2.2＞=5，∴4.5≤x﹣2.2＜5.5∴6.7≤x＜7.7．故答案为：6.7≤x＜7.7．18．（3分）二次函数y=（a﹣1）x2+3x﹣6的图象与x轴的交点为A和B，若点B 一定在坐标原点和（1，0）之间，且B点不与原点和（1，0）重合，那么a 的取值范围是a＞4【解答】解：∵二次函数y=（a﹣1）x2+3x﹣6的图象与x轴的交点为A和B，∴△=9+24（a﹣1）＞0∴a＞当a﹣1＞0时，即a＞1，∵点B一定在坐标原点和（1，0）之间∴当x=1时，y＞0．即（a﹣1）×1+3﹣6＞0解得：a＞4∴a＞4当a﹣1＜0时，即a＜1∵点B一定在坐标原点和（1，0）之间∴或（a﹣1）×1+3﹣6＞0解得：a＜﹣或a＞4且＜a＜1∴不存在a的值，故答案为a＞4三、解答题（共6小题，满分66分）19．（8分）如图，点D、E分别在AC、BC上，如果测得CD=20m，CE=40m，AD=100m，BE=20m，DE=45m，求A、B两地间的距离．【解答】解：∵CD=20m，CE=40m，AD=100m，BE=20m，∴AC=CD+AD=120m，BC=CE+BE=60m．∴CE：AC=40：120=1：3，CD：BC=20：60=1：3．∴CE：AC=CD：BC．∵∠C=∠C，∴△CED∽△CAB．∴DE：AB=CD：BC=1：3．∴AB=3DE=135m．∴A、B两地间的距离为135m．20．（10分）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克/立方米）与药物点燃后的时间x（分钟）成正比例，药物燃尽后，y与x成反比例（如图所示）．已知药物点燃后4分钟燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为8毫克．（1）求药物燃烧时，y与x之间函数的表达式；（2）求药物燃尽后，y与x之间函数的表达式；（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于2毫克时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒有效时间有多长？【解答】解：（1）药物燃烧时，设y=kx，将（4，8）代入，得：8=4k，解得k=2，则y=2x；（2）药物燃尽后，设y=，将（4，8）代入，得：8=，解得：m=32，则y=；（3）在y=2x中，当y=2时，2x=2，解得x=1；在y=中，当y=2时，=2，解得x=16；则此次消毒有效时间为16﹣1=15分钟．21．（11分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0（1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实根？（2）若方程的两根都是正数，求m的取值范围；（3）设x1，x2是这个方程的两个实根，且1+x1x2=x12+x22，求m的值．【解答】解：（1）∵△=（﹣2）2﹣4（m﹣1）=﹣4m+8＞0，∴m＜2时，方程有两个不相等的实数根；（2）设x1，x2是这个方程的两个实根，则x1＞0，x2＞0，∴x1x2=m﹣1＞0，∴m＞1，∴方程的两根都是正数，m的取值范围是：1＜m≤2；（3）∵x 1+x2=2，x1x2=m﹣1，1+x1x2=x12+x22，1+m﹣1=22﹣2（m﹣1），m=2．22．（12分）某工艺厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据销售单价x（元、件）…30405060…每天销售量y（件）…500400300200…（1）求y与x的函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润为8000元？（3）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润不低于8000元？【解答】解：（1）由表格数据可推想函数表达式为一次函数，设：函数y与x的表达式为：y=kx+b将（30，500），（40，400）代入表达式得：k=﹣10，b=800．函数关系式为：y=﹣10x+800；（2）由题意得：（x﹣20）（﹣10x+800）=8000解得：x1=40，x2=60．即：当销售单价定为40或60元时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润为8000元．（3）工艺品每天获得的利润为W元，由题意得：W=（x﹣20）（﹣10x+800）=﹣10（x﹣50）2+9000，∴当x=50时，每天获得的利润最大，为9000元．当W=（x﹣20）（﹣10x+800）≥8000时，得40≤x≤60，当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为40到45元时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润不低于8000元．23．（12分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB交AB于点D，点P是⊙O上AB上方的一个动点（P不与A、B重合），已知∠APB=60°，∠OCB=2∠BCM．（1）设∠A=α，当圆心O在∠APB内部时，写出α的取值范围；（2）求证：CM是⊙O的切线；（3）若OC=4，PB=4，求PC的长．【解答】（1）解：当O点在PA上，即AP为直径，则∠PBA=90°，而∠APB=60°，所以此时∠A=30°；当O点在PB上，即BP为直径，则∠A=90°；所以当圆心O在∠APB内时，α的取值范围为30°＜α＜90°；（2）证明：连结OB，如图，∵OC⊥AB，∴=，∴∠APB=∠BCP，∵∠APB=60°，∴∠BPC=30°，∴∠BOC=2∠BPC=60°，∴△OBC为等边三角形，∴∠OCB=60°，∵∠OCB=2∠BCM，∴∠MCB=30°，∴∠OCM=∠OCB+∠MCB=90°，∴OC⊥MC，∴CM与⊙O相切；（3）作BE⊥PC于E，如图，在Rt△PBE中，∠BPE=30°，PB=4，∴BE=PB=2，PE=BE=2，∵△OBC为等边三角形，∴BC=OC=4，在Rt△BEC中，CE==2，∴PC=PE+CE=2+2．24．（13分）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒．（1）P点的坐标为（x，）（用含x的代数式表示）；（2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值；（3）设四边形OMPC的面积为S1，四边形ABNP的面积为S2，请你就x的取值范围讨论S1与S2的大小关系并说明理由；（4）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？【解答】解：（1）由题意可知，C（0，3），M（x，0），N（4﹣x，3），∴点P坐标为（2分）（2）设△NPC的面积为S，在△NPC中，NC=4﹣x，NC边上的高为，其中，0≤x≤4，∴S=（4﹣x）×=﹣（x﹣2）2+，∴S的最大值为，此时x=2（3分）（3）由图形知，S1=S2=S△ABC﹣S△PCN=；当0＜x＜2时，S1＜S2；当x=2时，S1=S2；当2＜x＜4时，S1＞S2；（3分）（4）延长MP交CB于Q，则有PQ⊥BC．①若NP=CP，∵PQ⊥BC，∴NQ=CQ=x．∴3x=4，∴x=．②若CP=CN ，则，CN=4﹣x ，PQ=x ，CP=x ，4﹣x=x ∴x=．③若CN=NP ，则CN=4﹣x ．∵PQ=x ，NQ=4﹣2x ，在Rt △PNQ 中，PN 2=NQ 2+PQ 2 ∴（4﹣x ）2=（4﹣2x ）2+（x ）2，∴x=． 综上所述，x=，或x=，或x=．（3分）附加：初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征： 60°60°60° 45°45°45°运用举例： 1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标； x yB C AO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．l s 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
山东省诸城市桃林镇2017届中考数学压轴题专项汇编专题25全等三角形的存在性
专题25 全等三角形的存在性破解策略全等三角形的存在性问题的解题策略有：(1 )当有一个三角形固定时(三角形中所有边角为定值) ，另一个三角形会与这个固定的三角形有一个元素相等；再根据全等三角形的判定，禾U用三角函数的知识(画图) 或列方程来求解.(2)当两个三角形都不固定时(三角形中有角或边为变量)，若条件中有一条边对应相等时，就要使夹这条边的两个角对应相等，或其余两条边对应相等；若条件中有一个角对应相等时，就要使夹这个角的两边对应相等，或再找一个角和一条边对应相等.例题讲解例1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= ax2+ bx+ 4与x轴的一个交点为A(- 2, 0),与y 轴的交点为C,对称轴是x= 3,对称轴与x轴交于点B.(1)求抛物线的表达式；(2)若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P,使得△PBC若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.(3)若点M在y轴的正半轴上，连结MA过点M作MA的垂线，交抛物线的对称轴于点N.问：是否存在点M使以点M A N为顶点的三角形与△ BAN全等？若存在，求出点M424a -2b 4=0解：(1)由题意可列方程组解得2a427②当AM= NB MN= BA 时,可列方程组:4 m 2 = n 29 (m -n)2 =25(2)显然 OA= 2, OB= 3, OC= 4.所以 BC OB 2 OC 2 =5 = BA . 若^ P BD^ PBC 贝U BD= BC= 5, PD= PC所以D 为抛物线与x 轴的左交点或右交点，点 B P 在CD 的垂直平分线上,①若点D 为抛物线与x 轴的左交点，即与点 A 重合.如图1，取AC 的中点E ,作直线BE 交抛物线于P i （x i , y i ）, F 2 （X 2. y 2）两点. 此时△ RBC^AP i BD △ RBC ^A R BD.由A 、C 两点的坐标可得点 E 的坐标为（一1, 2）. 所以直线BE 的表达式为y = _〔x -.2 22②若D 为抛物线与x 轴的右交点，则点 D 的坐标为（8, 0）.如图2,取CD 的中点F .作直线BF 交抛物线于P 3 (X 3, y s ), P 4 (X 4, , y 4)两点. 此时△ P s BC^AP s BD △ RBC^A P 4 BD.由C D 两点的坐标可得点 F 的坐标为（4, 2）, 所以直线BF 的表达式为y = 2x — 6.联立方程组厂罕6 3 ,解得卜一仆化，广“一色 y--[X -x 4ys--8 2.4i y4--8-2.4i 所以点.P J , R 的坐标分别为(一i + - 4i , — 8 + 2』4i ), ( — i — ■ 4i , — 8— 2 ■- 4i ),综上可得，满足题意的点 P 的坐标为（4 一 26, 「26）, （4+ 26 , 土丄6 ）,2 2(—i + ■■■'4i , — 8 + 2」4i )或(一i — ■- 4i , — 8 — 2>..；4i ).(3) 由题意可设点 M(0 , m ), N(3 , n ),且m >0 ,则 AM= 4+ m i , MN= 9 +( m — n ) 2 , B N = n 2. 而/ AM =Z ABN= 90° , 所以△ AMNf A ABN 全等有两种可能：①当 AM= AB, M = BN 时，所以此时点M 的坐标为（0 ,.2i ）.所以抛物线的表达式为^-1x 22x 4 • 4 21丄-i y 「x +- 联立方程组 2i 2 -y =—— x +—x +4 / 42，解得 y i - 26 ^ 26 ,X2 =4 26-^26 .y 2 二所以点P i , P 2的坐标分别为（ 4 一炉，土亚6 ）. （4 +V26 ,-1 - 26 )2可列方程组4 m 2 =25 9 (m —n)2 二n 2m 2 n 2 =-2i_ _5 N (舍)，3m^2解得 2 ,5所以此时点M 的坐标为（0, 2）.2点E 在OA 上.如图1. 此时DF 丄OA 所以OF=晅。
山东省诸城市桃林镇2017届中考数学压轴题专项汇编 专题13“Y”形模型
专题13“Y ”形模型破解策略当图形具有邻边相等的这一特征时，可以把图形的某部分绕其邻边的公共端点旋转到另一位置，将分散的条件相对集中起来，从而解决问题．因为正方形、正三角形的边长相等，所以在这两种图形中常常应用旋转变换．（1）如图，等边△ABC 内有一点P ，连结AP ，BP ，CP ，将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得到△BP 'A ，则△BPP '是等边三角形；△APP '的形状由AP ，BP ，CP 的长度决定．AC（2）如图，正方形ABCD 内有一点P ，连结AP ，BP ，CP ，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°得到△BP 'A ，则△BPP '是等腰直角三角形；△APP '的形状由AP ，BP ，CP 的长度决定．P'B这类题目中不提旋转，而是通过旋转添加辅助线，从而解决问题． 例题讲解例1已知：在△ABC 中，∠BAC ＝60°．（1）如图1，若AB ＝AC ，点P 在△ABC 内，且PA ＝3，PC ＝4，∠APC ＝150°，求PB 的长；图1ACB【答案】解：（1）如图4，将△APC 绕点A 顺时针旋转60°，得到△AQB ，连结PQ ． 易证△PAQ 是等边三角形．从而在△PQB 中，有∠PQB ＝90°，PQ ＝3，BQ ＝4， 所以PB ＝5图4ABC【答案】解：（1）如图4，将△APC 绕点A 顺时针旋转60°，得到△AQB ，连结PQ ． 易证△PAQ 是等边三角形．从而在△PQB 中，有∠PQB ＝90°，PQ ＝3，BQ ＝4， 所以PB ＝5图4ABC（2）如图2，若AB ＝AC ，点P 在△ABC 外，且PA ＝3，PB ＝5，PC ＝4，求∠APC 的度数；图2PB【答案】（2）如图5，将△APC 绕点A 顺时针旋转60°，得到△AQB ，连结PQ ． 易证△PAQ 是等边三角形．从而在△PQB 中，有PQ ＝3，BQ ＝4，PB ＝5， 所以∠PQB ＝90°，从而∠APC ＝∠AQB ＝30°．图5PBQ（3）如图3，若AB ＝2AC ，点P 在△ABC 内，且PAPB ＝5，∠APC ＝120°，求PC 的长；图3BA C【答案】（3）如图6，作△AQC ，使得AQ ＝12AP ，CQ ＝12BP ，连结PQ ． 易证△ACB ∽△AQP ．从而在△QPC 中，有∠QPC ＝90°，PQ ＝32，QC ＝52， ∴PC ＝2图6QBA例2如图，正方形ABCD 外有一点E ，满足ED ＝EC ，且∠DEA ＝15°，求证：△DEC 为等边三角形．EAB C证明如图，过点D 作DF ⊥DE ，且DF ＝DE ，连结CF 交AE 于点G ，连结EF ． 易证△ADE ≌△CDF ，所以∠DFC ＝∠DEA ＝15°，从而∠FGE ＝∠FDE ＝90°，∠GFE ＝30°． 所以GE ＝12EFDFCE ，所以∠GEC ＝45°，∠DEC ＝60°， 即△DEC 为等边三角形．FEA BC进阶训练1．（1）如图1，在正方形ABCD 内有一点P ，PA，PB，PC ＝1，则∠BPC 的度数为________；图1DABC【答案】1．（1）135°；【提示】如图，将△BPC 旋转至△BP 'A ，连结PP '，证△AP 'P 是直角三角形即可．P'DC（2）如图2，在正六边形ABCDEF 内有一点P ，PA ＝，PB ＝4，PC ＝2，则∠BPC 的度数为________，正六边形ABCDEF 的边长为________．图2D AB【答案】（2）120°；GD 2．（1）如图1，在等边△ABC 中，AC ＝7，点P 在△ABC 内，且∠APC ＝90°，∠BPC ＝120°，求△APC 的面积；（2）如图2，在四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为点E ，∠BAE ＝∠ADC ，BE ＝CE ＝2，CD ＝5，AD ＝k ·AB （k 为常数），求BD 的长（用含k 的式子表示）图2EDC BA图1PCBA（1）△APC 的面积为（2）BD【提示】（1）如图，将△ABP 绕点B 顺时针旋转60°至△CBQ ，连结PQ ．易证△PQC 为含30°的直角三角形．令BP ＝m ，则PQ ＝m ，从而AP ＝CQ，PC ＝2m ，然后解Rt △APC 即可． （2）如图，连结AC ，显然AC ＝AB ，将△ABD 绕点A 逆时针旋转∠BAC 的度数至△ACQ ，连接DQ ，则△ABC ∽△ADQ ，从而DQ ＝k ·BC ＝4k ．作AF ⊥DQ 于点F ，则∠DAF ＝∠BAE ＝∠ADC ，所以AF ∥CD ，即∠CDQ ＝90°．在Rt △CDQ 中，由勾股定理可得BD ＝CQQPCBAQFECB A。
山东省诸城市桃林镇2017届中考数学压轴题专项汇编 专题30 函数与面积
专题30 函数与面积破解策略解决函数与面积问题的常用方法有 1．割补法当所求图形的面积没有办法直接求出时，我们采取分割或补全图形再分割的方法来表示所求图形的面积，如图：EDC BADCBADCBAS △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD S 四边形ABCD ＝S 四边形ADCE ＋S △BCEN FMDBAECBAS △ABC ＝S 梯形AEFC －S △AEB －S △CBF S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S 梯形BDNM －S △BCM －S △DCN一般步骤为：（1）设出要求的点的坐标；（2）通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积相加减； （3）列出关于所设参数的方程求解； （4）检验是否每个坐标都符合题意． 2．等积变换法利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示：nmDCEBA直线m ∥直线n S △ABC ＝S △ABD ＝S △ABE例如，在平面直角坐标系中经常作已知三角形一边的平行线去进行等积变换，xS△ABC＝S△ABD＝S△ABE一般步骤：（1）设出直线表达式，两条平行的直线k值相等；（2）通过已知点的坐标，求出直线表达式；（3）求出题中要求的点；（4）检验是否每个坐标都符合题意．3、铅锤法三角形的铅垂高指无论三角形怎么放，上方顶点到下方顶点的纵向距离（不是两点之间的距离，而是指两点之间上下距离，左右横向不用考虑）．在平面直角坐标系中经常向x轴y轴作垂线，然后利用铅锤法，如图一般步骤：（1）设出点的坐标；（2）向x轴y轴作垂线对图形进行分割，利用铅锤法表示图形面积；（3）根据题意列方程求解；（4）检验是否符合题意．4．等比转换法若已知条件中的图形是相似的，可以将面积比转化为图形的线段比；若已知条件中的图形是同底或等底的，可以将面积比转化为图形的对应高的比；若已知条件中的图形是同高或等高的，可以将面积比转化为图形的对应底的比一般步骤：（1）设出点的坐标；（2）将图形的面积比转化为图形的线段比；（3）列方程，求出参数；（4）检验是否符合题意．例1如图，直线x y 21=与双曲线)0(>=k x ky 交A 、B 两点，且点A 的横坐标为4， （1） 求k 的值（2） 若双曲线)0(>=k ky解（2）解法一：如图，∵点C 在双曲线上， 当y ＝8时，x ＝1， ∴点C 的坐标为（1，8）．过点A．C分别做x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON．∵S矩形ONDM＝32，S△ONC＝4，S△CDA＝9，S△OAM＝4．∴S△AOC＝S矩形ONDM−S△ONC−S△CDA−S△OAM＝32−4−9−4＝15；解法二：如图，过点C．A分别做x轴的垂线，垂足为E．F，∵点C在双曲线y＝8x上，当y＝8时，x＝1，∴点C的坐标为（1，8）．∵点C．A都在双曲线y＝8x上，∴S△COE＝S△AOF＝4，∴S△COE＋S梯形CEFA＝S△COA＋S△AOF．∴S△COA＝S梯形CEF A．∵S梯形CEFA＝12×（2＋8）×3＝15，∴S△COA＝15；（3）∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，∴OP＝OQ，OA＝OB，∴四边形APBQ是平行四边形，∴S△POA＝S平行四边形APBQ×14＝14×24＝6，设点P的横坐标为m（m＞0且m≠4），若例2如图，抛物线c bx ax y ++=2的对称轴为直线x ＝2，且与x 轴交于A 、B 两点，且与x 轴交于A 、B 两点．与y 轴交于点C ．其中AI （1，0），C （0，－3）． （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上运动（点P 异于点A ）．当△PBC 面积与△ABC 面积相等时．求点P 的坐标；解：（1）由题意，得，解得∴抛物线的解析式为．（2）①令，解得∴B（3，0）当点P在x轴上方时，如图1，过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P，易求直线BC的解析式为，∴设直线AP的解析式为，∵直线AP过点A（1，0），代入求得．∴直线AP的解析式为解方程组，得∴点当点P 在x 轴下方时，如图1 设直线交y 轴于点，把直线BC 向下平移2个单位，交抛物线于点，得直线的解析式为，解方程组，得∴综上所述，点P 的坐标为：，例3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =+-（a ≠0）与x 轴交于A （－2，0），B （4．0）两点，与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的表达式；（2）点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒1个电位长度的速度向点C 运动，其中一个点到达终点时．另一个点也停止运动，当△PBQ 存在时，问：运动多少秒时，△PBQ 的面积最大，晟大面积是多少？（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上是否存在点K ．使S △CBK ∶S △PBQ ＝5∶2？若存在，求点K 的坐标；若不存在，请说明理由．x解 （1）因为抛物线与x 轴交于A （－2，0），B （4，0）两点，所以y ＝a （x ＋2）（x －4）＝ax 2－2ax －8a ．所以－8a ＝－3，解得38a =．b ＝－2a ＝－34．所以抛物线的表达式为233384y x x =--．（2）如图1．过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ．x图1在Rt△BCO中，OB＝4，OC＝3，所以BC＝5．sin B＝35．在Rt△BQH中，BQ＝t．所以QH＝BQ·sin B＝35t．所以S△PBQ＝12BP·QH＝12（6－3t）×35t＝()29911010t--+．因为0≤t≤2，所以当t＝1时，△PBQ的面积最大，最大面积是910．（3）方法一：等比转化法当△PBQ的面积最大时，t＝1，此时P是AB的中点，点P的坐标为（1，0），BQ＝1．如图2，因为△PBC与△PBQ是等高三角形，所以S△PBC∶S△PBQ＝BC∶BQ＝5∶1．x图2当S△CBK∶S△PBQ＝5∶2时，S△PBC∶S△CBK＝2∶1．因为△PBC与△CBK是同底三角形，所以对应高的比是2∶1．如图3，在x轴上点B的右侧取一点D．使得BD＝12BP，则点D的坐标为11,02⎛⎫⎪⎝⎭，x图3过点D 作BC 的平行线交抛物线于点K ，过点K 作KF ⊥x 轴于点E ．设点K 的坐标为()()3,248x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭．由KE CD DE BO =，得()()324381142x x x -+-=-． 整理得2430x x -+=．解得11x =，23x =． 所以点K 的坐标为（1，278-）或（3，158-）． 方法二：铅垂法由S △CBK ∶S △PBQ ＝5∶2，S △PBQ ＝910，得S △CBK ＝94．如图4．过点K 作x 轴的垂线交BC 于点F ，设点K 的坐标为233,384x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．x图4由于点F 在直线BC 上，所以点F 的坐标为3,34x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以KF ＝22333333348482x x x x x ⎛⎫⎛⎫----=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．△CBK 被KF 分割为△CKF 和△BKF ．它们以FK 为底的高的和为OB ＝4．所以S △CBK ＝2133942824x x ⎛⎫⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，解得11x =，23x =．所以点K的坐标为（1，278-）或（3，158-）．进阶训练1．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线变于点P．与直线BC相交干点M，连结P B．（1）位于第一象限内的抛物线上是否存在点D．使得△BCD的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△BCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由．（2）抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？著存在．求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．x【答案】（1）存在，点D的坐标为315,24⎛⎫⎪⎝⎭，S△BCD取最大值278；（2）存在，点Q的坐标为（2，3），⎝⎭或⎝⎭．【提示】（1）由题意可得y＝－x2＋2x＋3．设D（t，－t2＋2t＋3）．作DH⊥x轴于点H，则S△BCD＝S梯形DCOH＋S△BDH－S△BOC＝－32t2＋92t＝－23327228t⎛⎫-+⎪⎝⎭．从而当t＝32时，S△BCD取得最大值等，此时点D315,24⎛⎫⎪⎝⎭．（2）易得直线BC的表达式为y＝－x＋3．点P，M的坐标分别为（1，4），（1，2）．直线PM与x轴交于点E（1，0）．所以PM＝EM过点产且与直线BC平行的直线为y－x＋5．过点E且与BC平行的直线为y＝－x＋1．两直线与抛物线的交点即为满足条件的点Q，所以点Q为Q1（2，3），Q2⎝⎭，Q3⎝⎭x2．如图，抛物线y ＝213222x x --与T 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，P 是x 轴下方抛物线上的一个动点（不与点C 重合）．连结P B ．P C ．设△PBC 的面积为S ， （1）求S 的取值范围；（2）若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有个．x【答案】（1）0＜S ＜5；（2）11个，【提示】（1）设点P 的坐标为213,222m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，如图，过点P 作一轴的平行线，交BC 于点F ，则可得点F 的坐标为1,22m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭．①当点P 在BC 下方的抛物线上时．可得FP ＝－2122m m +，从而S ＝12PF ·OB ＝－（m －2）2＋4，此时0＜S ≤4；②当点P 在BC 上方、x 轴下方的抛物线上时．S 最大＝S △ABC ＝5．此时0＜S ＜5，即得解．（2）点P 在x 轴下方、BC 上方时，面积为1，2，3，4的三角形各一个；点P 在BC 下方时，面积为1，2，3的三角形各2个，面积为4的三角形为1个，共11个满足条件的△PB C ．x3．如围，抛物线E ：y ＝x 2经过点A （1，m ），以原点为顶点的抛物线E 2经过点B （2，2），点A ，B 关于y 轴的对称点分别为点A ′，B ′．P 为第一象限内的抛物线E 1上与点A 不重台的一点，连结OP 并延长与抛物线E 2相交于点P ′，求△PAA ′与△P ′BB ′的面积之比．x2【答案】14PAA P BB S S '''=△△． 【挺示】易得点A （1，1）．抛物线E 2表达式为y ＝212x ．如图，过点P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，PC 交直线AA '于点E ；过点P ′作P ′D ⊥x 轴，垂足为D ．P 'D 交直线BB ′于点F ．依题意可设P （c ，c 2），P ′（d ，212d ）．其中c ＞0，c ≠1．因为tan ∠POC ＝tan ∠P 'O D ．则2212d c c d =．可得d ＝2c ． 222211211122111422242222PAA P BB AA PE c c S S c BB P F d ''''⋅⨯⨯--====⨯-''⋅⨯⨯-△△．x2。
山东省诸城市桃林镇2017届中考数学压轴题专项汇编专题14共顶点模型
专题 14共极点模型破解策略1．等边三角形共极点等边△ ABC与等边△ DCE， B、C、 E 三点共线．AFDG HB C E连结 BD、 AE交于点 F， BD交 AC于点 G， AE交 DC于点 H，连结 CF、GH，则：（1）△BCD≌△ACE；（2）AE＝BD；（3）∠AFB＝∠DFE＝ 60°；（4）FC均分∠BFE；（5）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC；（6）△CGH为等边三角形．CA CB证明（1）由已知条件可得∠ ACE∠ BCD，则△BCD≌△ACE．EC DC（2）由（ 1）得AE＝BD；（3）由（ 1）得∠GAF＝∠GBC，而∠AGF＝∠BGC，因此∠DFE＝∠AFB＝∠ACB＝ 60°．（4）方法一如图 1，过点C分别作BD、AE的垂线，垂足分别为M、N．由（ 1）知S△ACE＝S△BCD，即1BD·CM＝1AE·CN，因此CM＝CN，故FC均分∠BFE．2 2AFDMNB C E图1方法二由∠ CAF＝∠ CBF，可得 A、 B、 C、 F 四点共圆，因此∠BFC＝∠ BAC＝60°．同理可得∠ CFE＝∠ CDE＝60°．因此 FC均分∠ BFE．（5）如图 2，作∠FCI＝ 60°，交BD于点I，则△CFI为等边三角形．易证△ BCI≌△ ACF，因此 BI＝ AF， IF ＝ CI ＝ F C．进而 BF＝ BI＋ IF ＝ AF＋ CF．同理可得 EF＝ DF＋F C．AMFDNBCE图1（ 6）易证△ ACH ≌△ BCG （ ASA ） 可得 CG ＝ CH ，而∠ GCH ＝ 60°，因此△ CGH 为等边三角形．2．等腰直角三角形共极点等腰 Rt △ ABC 与等腰 Rt △ DCE 中，∠ ACB ＝∠ DCE ＝ 90°．AAIF DDHCCBE BG JE图1图 2如图 1，连结 BD 、 AE 交于点 F ，连结 FC 、 AD 、 BE ，则：（ 1）△ BCD ≌△ ACE ； （ 2） AE ＝ BD ； （ 3） AE ⊥ BD ；（ 4） FC 均分∠ BFE ；2222（ 5） AB ＋ DE ＝AD ＋ BE（ 6） BF ＝ AF ＋ 2 FC ， EF ＝ DF ＋ 2 FC ；（ 7）如图 2，若 G 、I 分别为 BE 、 AD 的中点，则 GC ⊥ AD 、 IC ⊥ BE （反之亦然）；（ 8） S △ ACD ＝S △ BCE证明（ 1）（2）（ 3）（4）证明见“等边三角形共极点” ；（ 5）由于 AE ⊥ BD ，由勾股定理可得 222222AB ＋ DE ＝（ AF ＋BF ）＋（ DF ＋ EF ），2＋ 2＝（ 2＋ 2）＋（ 2＋ 2 ）ADBEAF DFBF EF2 222因此 AB ＋ DE ＝AD ＋ BE（ 6）如图 3，过点 C 作 ⊥ ，交于点，则△为等腰直角三角形．CK FCBD K CFK易证△ BCK ≌△ ACF ，因此 BK ＝ AF ．进而 BF ＝ BK ＋ KF ＝ AF ＋ 2 FC ，同理可得 EF ＝ DF ＋ 2 F C ．ADFKCBE 图 3（7）①如图 4，延伸GC，交AD延伸线于点H，延伸CG至点K，使得GK＝GC，连结BK．易证∠ KBG＝∠ CEG，BK＝ EC＝ C D．由题意可得∠ ACD＋∠ BCE＝∠ CBE＋∠ CEB＋∠ BCE＝180°，因此∠ ACD＝∠ CBE＋∠ CEB＝∠ CBG＋∠ GBK＝∠ CBK．可得△ ACD≌△ CBK（SAS）则∠ CAD＝∠ BCK，因此∠ ACH＋∠ CAH＝∠ ACH＋∠ BCK＝90°，故 GC⊥ A D．ADHCB G EK图 4②如图 5，CJ⊥BE，延伸JC交AD于点T，分别过点A，D作IJ的垂线，垂足分别为M、 N．由已知可得△AMC≌△ CJB；△ DNC≌△ CJE，因此 AM＝ DN＝ CJ，故有△ AMI≌△ DNI，因此 AI＝ DI，即可证．A MINDCB JE图 5（8）在（ 7）中的证明过程中可获得S△ACD＝S△BCE；也能够用下边的方法来证明如图6，过点D作DP⊥AC于点P，过点E作EQ⊥BC，交BC延伸线于点Q．易证△ DPC≌△ EQC（ AAS）．因此 DP＝ EQ，故1DP· AC＝1EQ· BC，即 S△ACD＝ S△BCE 2 2ADPQCB E图 63．等腰三角形共极点等腰△ ACB与等腰△ DCE中， AC＝ BC， DC＝ CE，且∠ ACB＝∠ DCE．A DFEB C连结 BD， AE交于点 F，则：（1）△BCD≌△ACE；（2）AE＝BD；（3）∠AFB＝∠ACB；（4）FC均分∠BFE．4．相像三角形共极点△ ACB与△ ECD中，AC BC，∠ACB＝∠EC D．EC DCDA FG EB C连结 BD， AE交于点 F，则：（1）△BCD∽△ACE；（2）∠AFB＝∠AC B．证明（ 1）由已知可得BC ACDC EC∠ BCD∠ ACE因此△ ACE∽△ BC D．（ 2）由（ 1）可得∠CAF＝∠CBF．设 AC与 BD的交点为 G，则∠ AGF＝∠BGC，因此∠ AFB＝∠ AC B．例题解说例 1 如图 1，在△ABC中，BC＝4，以线段AB为边作△ABD，使得AD＝BD，连结DC，再以DC为边作△CDE，使得 DC＝ DE，∠ CDE＝∠ ADB＝．（ 1）如图 2，当∠CDE＝45°且＝90°时，用等式表示线段AD， DE之间的数目关系；（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，获得线段EF，连结BF，AF．①若＝ 90°，依题意补全图 3，求线段AF的长；②请直接写出线段 AF的长（用含的式子表示）解（ 1）AD＋DE＝ 4．（2）①如图 4，连结AE交BC于点G，设DE与BC的交点为H．由“等腰直角三角形共极点”可得△ADE≌△ BDC（ SAS）因此 AE＝ BC，∠ EGC＝∠ EDC＝90°由于线段CB沿着射线CE的方向平移，获得线段 EF．因此AE＝ BC＝FE＝4，AE⊥ EF．因此AF＝2EF＝4 2．② AF＝8sin ．2如图 5，连结AE交BC于点G．由“等腰直角三角形共极点”可得∠ AEF＝∠ EGC＝∠ EDC＝FE＝ BC＝ AE 过点 E 作 EH⊥AF于点 H则∠ AEH＝1∠ AEF＝12 2因此 AF＝2AH＝2AE sin＝8sin．2 2例 2 如图 1，在△中， 、 E 分别是、 上的点，且∥ ，将△绕A 点顺ABCDAB ACDE BCADE时旋转必定角度，连结 BD ，CE ，获得图 2，而后将 BD ， CE 分别延伸至 M 、N ，使 DM ＝ 1BD ，EN ＝ 1CE ，连结 AM ， AN ， MN ，获得图 3． 22（ 1）若＝ ，请研究以下数目关系;ABAC①在图 2 中， BD 与 CE 的数目关系是； ②在图 3 中，猜想 AM 与 AN 的数目关系，∠ MAN 与∠ BAC 的数目关系，丙证明你的猜 想：（ 2）若 AB ＝ k · AC （ K ＞ 1），按上述操作方法，获得图 4，请持续研究： AM 与 AN 的数量关系；∠ 与∠ 的数目 关系．MANBAC解 （ 1）① BD ＝ CE ．②AM ＝ AN ，∠ MAN ＝∠ BA C ． 证明以下：由“等腰三角形共极点”可得△ CAE ≌△ BAD （ SAS ）因此 CE ＝ BD ，∠ ACN ＝∠ ABM因此 BM ＝ CN进而△ ABM ≌△ ACN （SAS ） 因此 AM ＝ AN ，∠ BAM ＝∠ CAN 即∠ MAN ＝∠ BA C ．（ 2） AM ＝ kAN ，∠ MAN ＝∠ BA C ． 证明以下：由“相像三角形共极点”可得△ CAE ∽△ BAD ，因此因此BD ABk ，∠ ACN ＝∠ ABM CE AC BM AB kCNAC进而△ ABM ∽△ ACN因此 AM ＝ kAN ，∠ BAM ＝∠ CAN即∠ MAN ＝∠ BA C ．进阶训练1．在平行四边形ABCD中，∠A＝∠ DBC，过点 D作 DE＝ DF，且∠ EDF＝∠ ABD，连结 EF，EC，N、 P 分别为 EC， BC的中点，连结诶NP．（1）如图 1，若点E在DP上，EF与DC交于点M，尝试究线段NP与MN的数目关系及∠ABD与∠ MNP知足的等量关系；（2）如图 2，若点M在线段EF上，当点M在何地点时，你在（ 1）中获得的结论仍旧建立？写出你确立的点M的地点，并证明（1）中的结论．解（ 1）NP＝NM，∠ABD＋∠MNP＝ 180°（2）M是线段EF的中点．【提示】（ 1）证DP⊥BC，DC⊥EF，依据直角三角形斜边中线定理可得NP＝ NM＝1CE，∠ ABD 2＋∠ MNP＝2∠ PDC＋2∠ DCP＝180°；或许连结 BE，CF（如图），由“等腰三角形共极点”可证得结论．（2）如图，连结BE，CF，取EF中点G．连结NG，由“等腰三角形共极点”和中位线定理，即可获得点 M与点 G重合时（1）中结论仍建立．2．如图 1，在△ABC中，∠ACB＝ 90°，AC＝BC，∠EAC＝ 90°，点M为射线AE上随意一点（不与点 A 重合），连结 CM，将线段 CM绕点 C按顺时针方向旋转90°获得线段 CN，直线 NB分别交直线 CM、射线 AE于点 F、D．2．如图 1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠EAC＝90°，点M为射线 AE上随意一点（不与 A 重合），连结 CM，将线段CM绕点 C 按顺时针方向旋转90°获得线段CN，直线 NB 分别交直线CM、射线 AE于点 F、D．（1）直接写出∠NDE的度数；（2）如图 2、图 3，当∠EAC为锐角或钝角时，其余条件不变，（ 1）中的结论能否发生变化？假如不变，选用此中一种状况加以证明；假如变化，请说明原因；（3）如图 4，若∠EAC＝15°，∠ACM＝60°，直线CM与 AB交于 G， BD＝62，其余2条件不变，求线段AM的长．解：（ 1）∠NDE＝90°；（2）（ 1）中结论不变，证明略；（3） 6．【提示】（ 2 ）由“共极点模型”可得△ACM≌△ BCN，因此∠ BNC＝∠ AMC，进而获得∠ MDN ＝∠ MCN＝90°．（3）由题意可得，∠B AE＝30°，∠ AMG＝∠AGM＝75°，而又（1）可得∠ NDE＝90°，所以 AB＝2BD＝6 2 ．如图，过点G作 GH⊥ BC于点 H，则 CH＝ 3 GH＝ 3 BH，进而AG＝ 3 BG，因此AG＋3AG＝6 2 ，解得AM＝AG＝6 ．3BGHDENMACF3． 如图， △与△DEF 都是等腰三角形，， 的中点均为，且顶角∠＝∠ABCAB EFOACBEDF＝ α ，直线 BF ， CD 交于点 G ，连结 AG ．现将图中△ DEF 绕点 O 旋转，请你确立 AG 取最小值和最大值时点G 的地点．BEOFD GCA答案：以BC 为直径作⊙，直线交于点1， 2， 则1为AG 取最小值时点G 的地点，2HG GGG为 AG 取最大值时点G 的地点 ．BG 2E OHFG1DCGA【提示】 如图， 连结 CO ，DO ，建立两个相像的“直角三角形共极点”，＝∠ BOC ＝90°，进而点 G 在以 BC 为直 径的圆上．进而获得∠BGCBEOFDCGA。
山东省诸城市桃林镇桃林初中2017年秋初中竞赛模拟17数学试题(无答案)
初中数学竞赛模拟试题(十七)一、选择题(每小题6分，共30分)1、一个两位数5x 与一个三位数3yz ，满足5x ·3yz =7850，则数字x ，y ，z 分别为( )A ．x =2，y =1，z =2B ．x =3，y =1，z =2C ．x =2，y =1，z =4D ．x =4，y =1，z =22、若0x y y z z x abc a b c---===<，则a ，b ，c 中为负数的有( )个 A ．1B ．2C ．3D ．不能确定3、设a ，b 都是正整数，且a －b ，3b ，a ＋b (a >2b )构成一直角三角形三边的长，则这个三角形的任一边的长不可能是( )A ．12B ．13C ．14D ．154、若a 是二次方程3x 2－2x －663=0的一个实根，则331(3-664-443)3a a =( )A ．1B ．－1C ．8D ．－85、如图17－1，P 是△ABC 内一点，等长的三条线段DE ，FG ，HI 分别平行于边AB ，BC 和CA ，并且都经过点P .已知AB =12，BC =8，CA =6，则AI :IF :FB 的值是( )A ．1:2:3B ．1:4:3C ．1:5:3D ．1:3:4 二、填空题(每小题6分，共30分)6、已知11a a -=，那么代数式1a a+的值为_____. 7、已知A ，B ，C ，D 为平面上两两距离不超过1的四个点，能够盖住这四个点的圆的最小半径是____8、已知方程a 2x 2－(3a 2－8a )x ＋2a 2－13a ＋15=0(其中a 是非负整数)至少有一个整数根，那么a=_____.9、如图17－2，正方形ABCD的边长为a，E是DC上一点，DE的长为b，AE的中垂线与AD，AE，BC分别交于P，MQ，则PM:MQ=_____10、小燕同学对某地区1998年至2001年快递公司的发展情况作了调查，制成了快递公司个数情况的条形图(如图17－3)和快递公司快件传递的年平均数情况条形图(如图17－4).那么，利用图17－3.图17－4共同提供的信息可知，2001年该地区邮递快件共____万件;这四年中该地区年均邮递快件首____万件.三、解答题(每小题15分，共60分)11、a，b是正数，并且抛物线y=x2＋ax＋2b和y=x2＋2bx＋a都与x轴有公共点，求a2＋b2的最小值.12、求出所有的整数a，使得关于x的不等式11(1)11x xa x axa a a a+++≤++++恰好有一个正整数解x.13、一块地能被n块相同的正方形地砖覆盖，如果使用较小的相同正方形地砖，那么需n＋76块这样的地砖才能覆盖该地块，已知n及地砖的边长都是整数，求n.14、如图17－5，⊙O1与⊙O2外切于M，它们的两条外公切线的夹角为600，连心线与⊙O1，⊙O2分别交于A，B点(异于M点)，过B作直线交⊙O1于C，D两点.试求cot∠BAC·cot ∠BAD的值。
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专题9 费马点
破解策略
费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离．若三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点．
1.若三角形有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点
如图在△ABC中，∠BAC≥120°，求证：点A为△ABC的费马点证明：
如图，在△ABC内有一点P延长BA至C，使得AC＝AC，作∠CAP＝∠CAP，并且使得AP ＝AP，连结PP
则△APC≌△APC，PC＝PC
因为∠BAC≥120°
所以∠PAP＝∠CAC≤60
所以在等腰△PAP中，AP≥PP
所以PA＋PB＋PC≥PP＋PB＋PC＞BC＝AB＋AC
所以点A为△ABC的费马点
2.若三角形的内角均小于120°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点．
如图，在△ABC中三个内角均小于120°，分别以AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O，求证：点O为△ABC的费马点
证明：在△ABC内部任意取一点O，；连接OA、OB、OC
将△AOC绕着点A逆时针旋转60°，得到△AO′D连接OO′则O′D＝OC
所以△AOO′为等边三角形，OO′＝AO
所以OA＋OC＋OB＝OO′＋OB＋O′D
则当点B、O、O′、D四点共线时，OA＋OB＋OC最小
此时ABAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O
如图，在△ABC中，若∠BAC、∠ABC、∠ACB均小于120°，O为费马点，则有∠AOB＝∠BOC ＝∠COA＝120°，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心
例1 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（－6，0），点B 的坐标为（6，0），点C 的坐标为（6，34），延长AC 至点D 使得CD ＝AC ，过点DE 作DE //AB ，交BC 的延长线于点E ，设G 为y 轴上的一点，点P 从直线y ＝3-x ＋36与y 轴的交点M 出发，先沿y 轴到达点G ，再沿GA 到达点A ，若点P 在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定点G 的位置，使点P 按照上述要求到达A 所用的时间最短
解：∵t ＝v
GM v v GM 22GA GA 2+=+ ∴当2GA ＋GM 最小时，时间最短
如图，假设在OM 上存在一点G ，则BG ＝AG
∴MG ＋2AG ＝MG ＋AG ＋BG
把△MGB 绕点B 顺时针旋转60°，得到△M ′G ′B ，连结GG ′，MM ′
∴△GG ′B 、△MM ′B 都为等边三角形
则GG ′＝G ′B ＝GB
又∵M ′G ′＝MG
∴MG ＋AG ＋BG ＝M ′G ′＋GG ′＋AG
∵点A 、M ′为定点
∴AM ′与OM 的交点为G ，此时MG ＋AG ＋BG 最小
∴点G 的坐标为（0，32）
例2A、B、C、D四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市之间都有公路相通，并是整个公路系统的总长度为最小，则应当如何修建？
解：如图，将△ABP绕点N逆时针旋转60°，得到△EBM；同样，将△DCQ绕点C顺时针旋转60°，得到△FCN，连结AE、DF，则△ABE、△DCF均为等边三角形，连结PM、QN，则△BPM，△CQN均为等边三角形
所以当点E，M，P，Q，N，F共线时，整个公路系统的总长取到最小值，为线段EF的长，
如图，此时点P，Q在EF上， 1＝ 2＝ 3＝ 4＝30 ．
E
进阶训练
1．如图，在 ABC中， ABC＝60 ，AB＝5，BC＝3，P是 ABC内一点，求PA＋PB＋PC
的最小值，并确定当PA＋PB＋PC取得最小值时， APC的度数．
答案：PA＋PB＋PC的最小值为7，此时 APC＝120 ．
E
【提示】如图，将 APB绕点B逆时针旋转60 ，得到 A'BP'，连结PP'，A'C．过点A'作A'E BC，交CB的延长线于点E．解Rt A'E C求A'C的长，所得即为PA＋PB＋PC的最小值．
2．如图，四边形ABCD是正方形， ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60 得到BN，连结AM，CM，EN．
（1）当M在何处时，AM＋CM的值最小?
（2）当M在何处时，AM＋BM＋CM的值最小？请说明理由；
（
3）当AM＋BM＋CM1时，求正方形的边长．
E
答案：（1）当点M落在BD的中点时，AM＋CM的值最小，最小值为AC的长；
（2）连结CE，当点M位于BD与CE的交点处时．AM＋BM＋CM的值最小，最小值为CE的
长．
（3
【提示】（3）过点E作EF BC，交CB的延长线于点F，解Rt EFC即可．
E。