新人教A版高中数学选修1-2第二章：推理与证明

第二章推理与证明

2.1 合情推理与演绎推理

2.1.1 合情推理

A级基础巩固

一、选择题

1．下列推理是归纳推理的是()

A．F1，F2为定点，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|，得P 的轨迹为椭圆

B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n 项和S n的表达式

C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆x2

a2＋

y2

b2＝1的面积S

＝πab

D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

解析：由归纳推理的定义知，B项为归纳推理．

答案：B

2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于()

1×9＋2＝11

12×9＋3＝111

123×9＋4＝1 111

1 234×9＋5＝11 111

12 345×9＋6＝111 111

A．111 1110B．1 111 111

C．1 111 112 D．1 111 113

解析：由1×9＋2＝11；

12×9＋3＝111；

123×9＋4＝1 111；

1 234×9＋5＝111 111；

…

归纳可得，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的第二个加数相同，

所以123 456×9＋7＝1 111 111.

答案：B

3．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()

解析：观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两个阴影一个空白，应为黑色矩形．答案：A

4．设n是自然数，则1

8(n

2－1)[1－(－1)n]的值()

A．一定是零B．不一定是偶数

C．一定是偶数D．是整数但不一定是偶数

解析：当n为偶数时，1

8(n

2－1)[1－(－1)n]＝0为偶数；

当n为奇数时(n＝2k＋1，k∈N)，1

8(n

2－1)[1－(－1)n]＝

1

8(4k

2＋

4k)·2＝k(k＋1)为偶数．

所以18

(n 2－1)[1－(－1)n ]的值一定为偶数． 答案：C

5．在平面直角坐标系内，方程x a ＋y b

＝1表示在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和b 的直线，拓展到空间，在x 轴，y 轴，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( )

A.x a ＋y b ＋z c

＝1 B.x ab ＋y bc ＋z ca ＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zx ca ＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1

解析：从方程x a ＋y b

＝1的结构形式来看，空间直角坐标系中，平面方程的形式应该是x a ＋y b ＋z c

＝1. 答案：A

二、填空题

6．已知a 1＝1，a n ＋1>a n ，且(a n ＋1－a n )2－2(a n ＋1＋a n )＋1＝0，计算a 2，a 3，猜想a n ＝________．

解析：计算得a 2＝4，a 3＝9，所以猜想a n ＝n 2.

答案：n 2

7．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2.则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．

解析：V 1V 2＝13S 1h 113

S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18. 答案：1∶8

8．观察下列各式：

①(x3)′＝3x2；②(sin x)′＝cos x；③(e x－e－x)′＝e x＋e－x；④(x cos x)′＝cos x－x sin x.

根据其中函数f(x)及其导数f′(x)的奇偶性，运用归纳推理可得到的一个命题是__________________________________________．解析：对于①，f(x)＝x3为奇函数，f′(x)＝3x2为偶函数；对于

②，g(x)＝sin x为奇函数，f′(x)＝cos x为偶函数；对于③，p(x)＝

e x－e－x为奇函数，p′(x)＝e x＋e－x为偶函数；对于④，q(x)＝x cos x 为奇函数，q′(x)＝cos x－x sin x为偶函数．

归纳推理得结论：奇函数的导函数是偶函数．

答案：奇函数的导函数是偶函数

三、解答题

9．有以下三个不等式：

(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2；

(62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2；

(132＋52)(102＋72)≥(13×10＋5×7)2.

请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性结论，并证明你的结论．

解：一般性结论为(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.

证明：因为(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋b2c2＋a2d2＋b2d2－(a2c2＋2abcd＋b2d2)＝b2c2＋a2d2－2abcd＝(bc－ad)2≥0，所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.

10．如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．

解：如右图所示，在四面体PABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小．

猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.

B级能力提升

1．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴的根数为() A．6n－2 B．8n－2

C．6n＋2 D．8n＋2

解析：从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.

答案：C

2．等差数列{a n}中，a n>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，q>1，写出b5，b7，b4，b8的一个不等关系________．

解析：将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b4＋b8>b5＋b7.

答案：b4＋b8>b5＋b7