人教版八年级数学上册第十五章《分式的通分》学习任务单(公开课导学案)及作业设计

合集下载

八年级数学上册第十五章分式151分式3通分教案新版新人教版

分式的通分教学目标知识与技能目标：(1)能够理解通分的意义，能找到几个分式的最简公分母；(2)能够总结出分式的通分法则，并能熟练掌握通分运算。

过程与方法目标：（1）在分数通分的基础上比较学习分式的通分,并在此过程中渗透类比数学思想方法（2）在如何确定几个异分母分式的最简公分母以及将异分母分式通分的过程中渗透化归的数学思想方法情感与态度目标：鼓励学生积极主动地参与教学的整个过程，激发学生求知欲望，让学生体验成功的喜悦，增加学生的学习兴趣和信心。

程序：一、进入情景1、同学们学习过分数的计算了，老师想知道你们能不能快速的计算出下面的题： 13 +35= 2﹑同学们做的第一步骤名称叫什么？提问：什么是分数的通分？其根据和关键是什么？分数的通分大家会了，那么分式的通分呢？（引入新课）启发：分式的通分与分数的通分类似，那么什么是分式的通分呢？其根据又是什么？尝试概括：你能通过类比分数的通分归纳分式通分的定义吗？a a 2bc ,3ab 3c 提问：（1）的公分母是如何确定的？（2）你能确定分数的公分母吗？（3）若把上面分数中的3，5用来代替，即分式又如何确定公分母呢？（4）提问：你能概括最简公分母的定义吗？3、怎么确定的？（同学们讨论总结最简公分的确定方法。

）指出下列各组分式的最简公分母。

（1）；（2）；（3）。

4、例题：通分（教师板书，让学生知道书写过程）（1）32a2b 与a-bab2c(2)2xx-5与3xx+5四、学会运用，品尝获得知识的乐趣当你能正确确定最简公分母后就能顺利进行通分了，下面我们来解决这样的问题。

通分5、练习：书后第9页7题6、小结本节内容，巩固所学知识提问：1、本节课我们学习了分式的通分，什么是分式的通分？其关键是什么？2、如何寻找分式的最简公分母？3、分式的分母是多项式时如何通分？6、知识拓展：分式的通分学会了之后，分式的加减怎么做呢，试试看下面的题：（1）32a 2b +a-b ab 2c (2) 2x x-5 -3x x+5。

人教版八年级上数学第十五章分式分式方程导学案

人教版八年级上数学第十五章分式分式方程导学案一. 学习目标1、掌握分式方程的定义2、会解可化为一元一次方程的分式方程3、会解已知方程有增根时方程中有待定字母的值4、列分式方程解有关应用题二、重难点重点：掌握解分式方程的方法难点：分式方程的增根及其应用三、知识链接前面讲过的一元一次方程的解法，以及怎样在应用题中找等量关系四、学法指导注意分式方程向整式方程的转化五、学习过程(A级)(一)、基础知识梳理（1）分母中含有______的方程叫做分式方程。

(2)在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的____(3)解分式方程的思想：把分式方程转化为_______.(4)解分式方程的一般步骤①把方程两边都乘以_________，化成整式方程。

②解这个______方程。

③检验：把整式方程的根代入________,若使最简公分母的值为_____,则这个根是原方程的______,必须舍去，若_________不等于零，则它是________. (5)整式方程和__________叫做有理方程。

（二）注意事项2、由增根求参数值的解答思路：（1）将原方程化为整式方程（两边同时乘以最简公分母）（2）确定增根（题目已知或使分母为零的未知数的值）（3）将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值。

（理由：增根是由分式方程化成的整式方程的根）3、列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂些，解题时应抓住“找等量关系，恰当设未知数，确定主要等量关系，用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解。

另外，还要注意从多角度思考，分析，解决问题，注意检验。

（三）典例解答(B 级)1、解方程：22321011x x x x x --+=--（B 级）2、解分式方程x x +27—23x x -=1+1722--x x点拨：找好最简公分母,注意对几个分母进行分解后,来找.（C 级）3、若关于x 的分式方程0111=----x x x m 有增根，则m 的取值是? 点拨：把分式方程进行转化，然后找到有可能的增根，代入。

初中数学八年级上册第十五章分式教案、导学案人教版

第十五章分式 15．1 分式 15．1.1 从分数到分式1．了解分式的概念，理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件． 2．能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件．一、自学指导自学1：自学课本P127－128页，掌握分式的概念，完成填空．(5分钟)总结归纳：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB 叫做分式，分式AB中，A 叫做分子，B 叫做分母．点拨精讲：分式是不同于整式的另一类式子，它的分母中含有字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性．自学2：自学课本P128页“思考与例1”，理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件．(5分钟)总结归纳：分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠0时，分式A B 才有意义；当B ≠0，A ＝0时，分式AB＝0.点拨精讲：分式的分数线相当于除号，也起到括号的作用．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟) 课本P128－129页练习题1，2，3.小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)探究1 当x 取何值时：(1)分式12x 2x －3有意义？(2)分式12x 2x 2＋3有意义？(3)分式3x2x －1无意义？(4)分式12x |x|－3无意义？(5)分式|x|－22x ＋4的值为0？(6)分式x 2－9x －3的值为0?解：(1)要使分式12x 2x －3有意义，则分母2x －3≠0，即x≠32；(2)要使分式12x2x 2＋3有意义，则分母2x 2＋3≠0，即x 取任意实数；(3)要使分式3x 2x －1无意义，则分母2x －1＝0，即x ＝12；(4)要使分式12x |x|－3无意义，则分母|x|－3＝0，即x ＝±3；(5)要使分式|x|－22x ＋4的值为0，则有⎩⎪⎨⎪⎧|x|－2＝02x ＋4≠0，即x ＝2；(6)要使分式x 2－9x －3的值为0，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2－9＝0x －3≠0，即x ＝－3.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．当a ＝－1时，分式a 2＋aa 2－a＝0．2．当x 为任何实数时，下列分式一定有意义的是(C )A .x 2＋1x 2 B .x －1x 2－1 C .x ＋1x 2＋1 D .x －1x ＋13．若分式x －2x 2－1的值为0，则x 的值为(D )A ．1B ．－1C ．±1D ．24．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？1a ，x －1，3m ，b 3，c a －b ，a ＋62b ，34(x ＋y)，x 2＋2x ＋15，m ＋n m －n. 解：整式有x －1，b 3，34(x ＋y)，x 2＋2x ＋15；分式有1a ，3m ，c a －b ，a ＋62b ，m ＋n m －n.(3分钟)1.分式的值为0的前提条件是此分式有意义．2．分式的分数线相当于除号，也具有括号的作用．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟) (10分钟)第十五章分式 15．1 分式 15．1.1 从分数到分式1．以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，并理解分式的概念．2．能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件．重点理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件．难点能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件．一、复习引入1．什么是整式？什么是单项式？什么是多项式？ 2．判断下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？①8m ＋n 3；②1＋x ＋y 2；③a 2b ＋ab 23；④a ＋b 2；⑤2x 2＋2x ＋1；⑥3a 2＋b 2；⑦3x 2－42x .二、探究新知 1．分式的定义(1)学生看教材的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v 千米/时．轮船顺流航行90千米所用的时间为9030＋v 小时，逆流航行60千米所用时间为6030－v 小时，所以9030＋v ＝6030－v.(2)学生完成教材第127页“思考”中的题．观察：以上的式子9030＋v ，6030－v ，S a ，Vs ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？可以发现，这些式子都像分数一样都是AB (即A÷B)的形式．分数的分子A 与分母B 都是整数，而这些式子中的A ，B 都是整式，并且B 中都含有字母．归纳：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB 叫做分式．巩固练习：教材第129页练习第2题．2．自学教材第128页思考：要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式AB才有意义．学生自学例1.例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？ (1)23x ；(2)x x －1；(3)15－3b ；(4)x ＋y x －y. 解：(1)要使分式23x 有意义，则分母3x≠0，即x≠0；(2)要使分式xx －1有意义，则分母x －1≠0，即x≠1；(3)要使分式15－3b 有意义，则分母5－3b≠0，即b≠53；(4)要使分式x ＋yx －y有意义，则分母x －y≠0，即x≠y.思考：如果题目为：当x 为何值时，分式无意义．你知道怎么解题吗？巩固练习：教材第129页练习第3题．3．补充例题：当m 为何值时，分式的值为0? (1)m m －1；(2)m －2m ＋3；(3)m 2－1m ＋1.思考：当分式为0时，分式的分子、分母各满足什么条件？分析：分式的值为0时，必须同时满足两个条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零．答案：(1)m ＝0；(2)m ＝2；(3)m ＝1. 三、归纳总结 1．分式的概念．2．分式的分母不为0时，分式有意义；分式的分母为0时，分式无意义． 3．分式的值为零的条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零．四、布置作业教材第133页习题15.1第2，3题．在引入分式这个概念之前先复习分数的概念，通过类比来自主探究分式的概念，分式有意义的条件，分式值为零的条件，从而更好更快地掌握这些知识点，同时也培养学生利用类比转化的数学思想方法解决问题的能力．15．1.2 分式的基本性质1．掌握分式的基本性质，掌握分式约分方法，熟练进行约分，并了解最简分式的意义； 2．使学生理解分式通分的意义，掌握分式通分的方法及步骤．重点：知道约分、通分的依据和作用，掌握分式约分、通分的方法；难点：掌握分式约分、通分的方法，理解分式的变号法则．一、自学指导自学1：自学课本P129－130页“思考与例2”，掌握分式的基本性质，完成填空．(3分钟)总结归纳：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0)的整式，分式的值不变．用式子表示为：A B ＝A·C B·C ，A B ＝A÷CB÷C(C≠0)．自学2：自学课本P130－131页“思考与例3”，掌握分式约分的方法，能准确找出分子、分母的公因式，理解最简分式的概念．(3分钟)总结归纳：根据分式的基本性质，把一个分式的分子、分母的公因式约去，叫做约分．分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式．分式的约分，一般要约去分子与分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或者整式．自学3：自学课本P131－132页“思考与例4”，掌握分式通分的方法，学会找最简公分母．(3分钟)总结归纳：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母．找最简公分母的方法：①若分母是多项式的先分解因式；②取各分式的分母中系数的最小公倍数；③各分式的分母中所有字母或因式都要取到；④相同字母(或因式)的幂取指数最大的．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(8分钟)1．下列等式的右边是怎样从左边得到的？(1)x2＋xyx2＝x＋yx；(2)y＋1y－1＝y2＋2xy＋1y2－1(y≠－1)．点拨精讲：对于(1)，由已知分式可以知道x≠0，因此可以用x去除分式的分子、分母，因而并不特别需要强调x≠0这个条件，而(2)是在已知分式的分子、分母都乘以y ＋1得到的，是在条件y＋1≠0下才能进行，这个条件必须强调．解：(1)根据分式的基本性质，分子、分母同时除以x；(2)∵y≠－1，∴y＋1≠0，∴根据分式的基本性质，分子、分母同时乘以y＋1.2．课本P132页练习题1，2.小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)探究1 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母各项系数都化为整数．(1)12x＋23y12x－23y；(2)0.3a＋0.5b0.2a－b.解：(1)12x＋23y12x－23y＝（12x＋23y）×6（12x－23y）×6＝3x＋4y3x－4y；(2)0.3a＋0.5b0.2a－b＝（0.3a＋0.5b）×10（0.2a－b）×10＝3a＋5b2a－10b.探究2 不改变分式的值，使下面分式的分子、分母都不含“－”号．(1)－5y－x2；(2)－a2b；(3)4m－3n；(4)－－x2y.解：(1)－5y－x2＝5yx2；(2)－a2b＝－a2b；(3)4m－3n＝－4m3n；(4)－－x2y＝x2y.点拨精讲：分式的分子、分母以及分式本身三个符号，改变其中任何两个符号，分式的值不变．学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟) 1．课本P133页习题4，6，7.2．课本P134页习题12.(3分钟)1.分式的约分：分子、分母都是多项式的先分解因式，便于找公因式，分式化简的结果一定要是最简分式．且一般分子、分母中不含“－”．2．分式的通分关键是找准最简公分母，若分母是多项式的先分解因式，便于找最简公分母．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)15．1.2 分式的基本性质第1课时分式的基本性质1．了解分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行分式的变形． 2．会用分式的基本性质求分式变形中的符号法则．重点理解并掌握分式的基本性质．难点灵活运用分式的基本性质进行分式变形．一、类比引新 1．计算：(1)56×215；(2)45÷815. 思考：在运算过程中运用了什么性质？教师出示问题．学生独立计算后回答：运用了分数的基本性质． 2．你能说出分数的基本性质吗？分数的分子与分母都乘(或除以)同一个不为零的数，分数的值不变． 3．尝试用字母表示分数的基本性质：小组讨论交流如何用字母表示分数的基本性质，然后写出分数的基本性质的字母表达式．a b ＝a·c b·c ，a b ＝a÷c b÷c.(其中a ，b ，c 是实数，且c≠0) 二、探究新知1．分式与分数也有类似的性质，你能说出分式的基本性质吗？分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变．你能用式子表示这个性质吗？A B ＝A·C B·C ，A B ＝A÷C B÷C.(其中A ，B ，C 是整式，且C≠0) 如x 2x ＝12，b a ＝aba2，你还能举几个例子吗？回顾分数的基本性质，让学生类比写出分式的基本性质，这是从具体到抽象的过程．学生尝试着用式子表示分式的性质，加强对学生的抽象表达能力的培养． 2．想一想下列等式成立吗？为什么？－a －b ＝a b ；－a b ＝a －b ＝－a b.教师出示问题．学生小组讨论、交流、总结．例1 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“－”号： (1)－2a －3a ；(2)－3x 2y ；(3)－－x 2y. 例2 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数： (1)x ＋1－2x －1；(2)2－x －x 2＋3；(3)－x －1x ＋1. 引导学生在完成习题的基础上进行归纳，使学生掌握分式的变号法则．例3 填空：(1)x 3xy ＝（）y ，3x 2＋3xy 6x 2＝x ＋y （）； (2)1ab ＝（）a 2b ，2a －b a 2＝（）a 2b.(b≠0) 解：(1)因为x3xy 的分母xy 除以x 才能化为y ，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需除以x ，即x 3xy ＝x 3÷x xy ÷x ＝x 2y. 同样地，因为3x 2＋3xy 6x 2的分子3x 2＋3xy 除以3x 才能化为x ＋y ，所以分母也需除以3x ，即3x 2＋3xy 6x 2＝（3x 2＋3xy ）÷（3x ）6x 2÷（3x ）＝x ＋y2x . 所以，括号中应分别填入x 2和2x.(2)因为1ab 的分母ab 乘a 才能化为a 2b ，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需乘a ，即1ab ＝1·a ab·a ＝a a 2b. 同样地，因为2a －b a 2的分母a 2乘b 才能化为a 2b ，所以分子也需乘b ，即2a －b a 2＝（2a －b ）·b a 2·b ＝2ab －b2a 2b. 所以，括号中应分别填a 和2ab －b 2.在解决例题1，2的第(2)小题时，教师可以引导学生观察等式两边的分母发生的变化，再思考分式的分子如何变化；在解决例2的第(1)小题时，教师引导学生观察等式两边的分子发生的变化，再思考分式的分母随之应该如何变化．三、课堂小结1．分式的基本性质是什么？ 2．分式的变号法则是什么？3．如何利用分式的基本性质进行分式的变形？学生在教师的引导下整理知识、理顺思维．四、布置作业教材第133页习题15.1第4，5题．通过算数中分数的基本性质，用类比的方法给出分式的基本性质，学生接受起来并不感到困难，但要重点强调分子分母同乘(或除)的整式不能为零，让学生养成严谨的态度和习惯．第2课时分式的约分、通分1．类比分数的约分、通分，理解分式约分、通分的意义，理解最简公分母的概念． 2．类比分数的约分、通分，掌握分式约分、通分的方法与步骤．重点运用分式的基本性质正确地进行分式的约分与通分．难点通分时最简分分母的确定；运用通分法则将分式进行变形．一、类比引新1．在计算56×215时，我们采用了“约分”的方法，分数的约分约去的是什么？分式a 2＋ab a 2b ，a ＋bab相等吗？为什么？利用分式的基本性质，分式a 2＋aba 2b 约去分子与分母的公因式a ，并不改变分式的值，可以得到a ＋b ab.教师点拨：分式a 2＋ab a 2b 可以化为a ＋bab ，我们把这样的分式变形叫做__分式的约分__．2．怎样计算45＋67？怎样把45，67通分？类似的，你能把分式a b ，cd变成同分母的分式吗？利用分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，我们把这样的分式变形叫做__分式的通分__．二、探究新知1．约分：(1)－25a 2bc 315ab 2c ；(2)x 2－9x 2＋6x ＋9； (3)6x 2－12xy ＋6y23x －3y.分析：为约分，要先找出分子和分母的公因式．解：(1)－25a 2bc 315ab 2c ＝－5abc ·5ac 25abc ·3b ＝－5ac23b； (2)x 2－9x 2＋6x ＋9＝（x ＋3）（x －3）（x ＋3）2＝x －3x ＋3；(3)6x 2－12xy ＋6y 23x －3y ＝6（x －y ）23（x －y ）＝2(x －y )．若分子和分母都是多项式，则往往需要把分子、分母分解因式(即化成乘积的形式)，然后才能进行约分．约分后，分子与分母没有公因式，我们把这样的分式称为__最简分式__．(不能再化简的分式)2．练习：约分：2ax 2y 3axy 2；－2a （a ＋b ）3b （a ＋b ）；（a －x ）2（x －a ）3；x 2－4xy ＋2y ；m 2－3m 9－m 2；992－198. 学生先独立完成，再小组交流，集体订正．3．讨论：分式12x 3y 2z ，14x 2y 3，16xy4的最简公分母是什么？提出最简公分母概念．一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母．学生讨论、小组交流、总结得出求最简公分母的步骤： (1)系数取各分式的分母中系数最小公倍数； (2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到； (3)相同字母(或因式)的幂取指数最大的；(4)所得的系数的最小公倍数与各字母(或因式)的最高次幂的积(其中系数都取正数)即为最简公分母．4．通分：(1)32a 2b 与a －b ab 2c ；(2)2x x －5与3xx ＋5 .分析：为通分，要先确定各分式的公分母．解：(1)最简公分母是2a 2b 2c . 32a 2b＝3·bc 2a 2b ·bc ＝3bc2a 2b 2c， a －b ab 2c ＝（a －b ）·2a ab 2c ·2a ＝2a 2－2ab2a 2b 2c. (2)最简公分母是(x －5)(x ＋5)． 2x x －5＝2x （x ＋5）（x －5）（x ＋5）＝2x 2＋10xx 2－25， 3x x ＋5＝3x （x －5）（x ＋5）（x －5）＝3x 2－15x x 2－25. 5．练习：通分：(1)13x 2与512xy ；(2)1x 2＋x 与1x 2－x ；(3)1（2－x ）2与xx 2－4. 教师引导：通分的关键是先确定最简公分母；如果分式的分母是多项式则应先将分母分解因式，再按上述的方法确定分式的最简公分母．学生板演并互批及时纠错．6．思考：分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？教师让学生讨论、交流，师生共同作以小结．三、课堂小结1．什么是分式的约分？怎样进行分式的约分？什么是最简分式？2．什么是分式的通分？怎样进行分式的通分？什么是最简公分母？3．本节课你还有哪些疑惑？四、布置作业教材第133页习题15.1第6，7题．本节课是在学习了分式的基本性质后学的，重点是运用分式的基本性质正确的约分和通分，约分时要注意一定要约成最简分式，熟练运用因式分解；通分时要将分式变形后再确定最简公分母．15．2 分式的运算 15．2.1 分式的乘除(1)1．通过实践总结分式的乘除法，并能较熟练地进行分式的乘除法运算． 2．引导学生通过分析、归纳，培养学生用类比的方法探索新知识的能力．重点：分式的乘除法运算．难点：分式的乘除法、混合运算中符号的确定．一、自学指导自学1：自学课本P135－137页“问题1，思考，例1，例2及例3”，掌握分式乘除法法则．(7分钟)类比分数的乘除法法则，计算下面各题：(1)4ac 3b ·9b 22ac 3；(2)4ac 3b ÷9b 22ac 3. 解：(1)原式＝4ac·9b 23b ·2ac 3＝36ab 2c 6abc 3＝6b c 2；(2)原式＝4ac 3b ·2ac 39b 2＝8a 2c427b3.点拨精讲：计算的结果能约分的要约分，结果应为最简分式．总结归纳：分式的乘法法则——分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．即：a b ·c d ＝a·cb·d.分式的除法法则——分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．即：a b ÷c d ＝a b ·d c ＝ad bc. 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(8分钟) 课本P137－138练习题1，2，3.点拨精讲：分子、分母是多项式时，通常先分解因式，再约分．小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟) 探究1 计算：(1)x ＋12x ·4x2x 2－1；(2)8x 2x 2＋2x ＋1÷6x x ＋1. 解：(1)x ＋12x ·4x 2x 2－1＝x ＋12x ·4x 2（x ＋1）（x －1）＝2xx －1；(2)8x 2x 2＋2x ＋1÷6x x ＋1＝8x 2（x ＋1）2·x ＋16x ＝4x3x ＋3. 点拨精讲：如果分子、分母含有多项式，应先分解因式，再按法则进行计算．探究2 当x ＝5时，求x 2－9x 2＋6x ＋9÷1x ＋3的值．解：∵x 2－9x 2＋6x ＋9÷1x ＋3＝（x ＋3）（x －3）（x ＋3）2·x ＋31＝x －3，∴当x ＝5时，原式＝x －3＝5－3＝2.点拨精讲：先对分式的结果化简，可以使计算变得简便．学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．计算：(1)3xy 24z 2·(－8z 2y )；(2)－3xy÷2y 23x ；(3)m －2m －3÷m 2－6m ＋9m 2－4；(4)a 2－6a ＋91＋4a ＋4a 2÷12－4a2a ＋1. 2．有这样一道题“计算：x 2－2x ＋1x 2－1÷x －1x 2＋x －x 的值，其中x ＝998”，甲同学错把x ＝998抄成了x ＝999，但他的计算结果却是正确的，请问这是怎么回事？解：∵x 2－2x ＋1x 2－1÷x －1x 2＋x －x ＝（x －1）2（x ＋1）（x －1）·x （x ＋1）x －1－x ＝x －x ＝0，∴无论x取何值，此式的值恒等于0.(3分钟)1.分式乘除法的法则可类比分数的乘除法则进行．2．当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分．3．分式乘除法运算的最后结果能约分的要约分，一定要是一个最简分式．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟) (10分钟)15．2.1 分式的乘除(2)1．使学生在理解和掌握分式的乘除法法则的基础上，运用法则进行分式的乘除法混合运算．2．使学生理解并掌握分式乘方的运算性质，能运用分式的这一性质进行运算．重点：分式的乘除混合运算和分式的乘方．难点：对乘方运算性质的理解和运用．一、自学指导自学1：自学课本P138－139页“例4、思考与例5”，掌握分式乘方法则及乘除、乘方混和运算的方法，完成填空．(7分钟)1．a n表示的意思是n 个a 相乘的积；a 表示底数，n 表示指数．2．计算：(23)3＝23×23×23＝2×2×23×3×3＝2333＝827．3．由乘方的定义，类比分数乘方的方法可得到： (a b )2＝a b ·a b ＝a·a b·b ＝a2b 2； ……(a b )n ＝a b ·a b ·…·a b ＝a·a·…·a b·b·…·b ,\s\up6(n 个))_,\s\do4(n 个))_＝a nb n ．点拨精讲：其中a 表示分式的分子，b 表示分式的分母，且b≠0.总结归纳：分式的乘方法则——分式乘方是把分子、分母各自乘方．即：(a b )n ＝anb n (n 为正整数)；乘除混合运算可以统一为乘法运算；式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(8分钟) 1．课本P139练习题1，2. 2．判断下列各式正确与否：(1)(3－a 2)2＝9a 4；(2)(－b 2a )3＝b 6a 3；(3)(3b 2a )3＝3b 32a 3；(4)(2x x ＋y )2＝4x 2x 2＋y2.3．计算：(1)(－x 2y )2·(－y 2x )3÷(－y x )4；(2)（x ＋1）2（1－x ）2（x 2－1）2÷（x －1）2x 2－1. 解：(1)原式＝x 4y 2·(－y 6x 3)·x 4y4＝－x 5；(2)原式＝（x ＋1）2（x －1）2（x ＋1）2（x －1）2·（x ＋1）（x －1）（x －1）2＝x ＋1x －1. 点拨精讲：注意符号及约分．小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)探究1 先化简代数式(a ＋1a －1＋1－a a 2－2a ＋1)÷1a －1，然后选取一个使原式有意义的a 值代入求值．解：∵(a ＋1a －1＋1－a a 2－2a ＋1)÷1a －1＝[(a ＋1a －1＋1－a （a －1）2)]·a －11＝a ＋1a －1·a －11＋1－a （a －1）2·a －11＝a ＋1－1＝a ，当a ＝3时，原式＝3. 点拨精讲：这里a 的取值要让分式有意义，保证各分母及除式不能为0.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．x ＝1，y ＝1，求4x 2－4xy ＋y 22x ＋y ÷(4x 2－y 2)的值．2．使代数式x ＋3x －3÷x ＋2x －4有意义的x 的值是(D )A ．x ≠3且x≠－2B ．x ≠3且x≠4C ．x ≠3且x≠－4D ．x ≠3且x≠－2且x≠43．计算：(1)5a －109a 3b ·6aba 2－4； (2)(－12x 4y)2÷(－3x 2y)3；(3)x －y x 2＋xy ·x 2y 2－x 4xy －x2； (4)2x －6x 2－4x ＋4·（x ＋3）（x －2）12－4x ÷x ＋32. (3分钟)1.分式的分子或分母带“－”的n 次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按－1的偶次方为正、奇次方为负来处理．当然，简单的分式的分子分母可直接乘方．2．注意熟练、准确运用乘方运算法则及分式乘除法法则．3．注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟) (10分钟)15．2 分式的运算 15．2.1 分式的乘除第1课时分式的乘除法1．理解并掌握分式的乘除法则．2．运用法则进行运算，能解决一些与分式有关的实际问题．重点掌握分式的乘除运算．难点分子、分母为多项式的分式乘除法运算．一、复习导入1．分数的乘除法的法则是什么？ 2．计算：35×1512；35÷152.由分数的运算法则知35×1512＝3×155×12；35÷152＝35×215＝3×25×15.3．什么是倒数？我们在小学学习了分数的乘除法，对于分式如何进行计算呢？这就是我们这节要学习的内容．二、探究新知问题1：一个水平放置的长方体容器，其容积为V ，底面的长为a ，宽为b 时，当容器的水占容积的mn时，水面的高度是多少？问题2：大拖拉机m 天耕地a hm 2，小拖拉机n 天耕地b hm 2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？问题1求容积的高V ab ·m n ，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的a m ÷bn 倍．根据上面的计算，请同学们总结一下对分式的乘除法的法则是什么？分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．a b ·c d ＝a·c b·d ；a b ÷c d ＝a b ·d c ＝a·d b·c . 三、举例分析例1 计算：(1)4x 3y ·y 2x 3；(2)ab 32c 2÷－5a 2b 24cd. 分析：这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算．应该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，再计算结果．解：(1)4x 3y ·y 2x 3＝4xy 6x 3y ＝23x2；(2)ab 32c 2÷－5a 2b 24cd ＝ab 32c 2·4cd －5a 2b 2＝－4ab 3cd 10a 2b 2c 2＝－2bd 5ac . 例2 计算：(1)a 2－4a ＋4a 2－2a ＋1·a －1a 2－4；(2)149－m 2÷1m 2－7m. 分析：这两题是分子与分母是多项式的情况，首先要因式分解，然后运用法则．解：(1)原式（a －2）2（a －1）2·a －1（a ＋2）（a －2）＝a －2（a －1）（a ＋2）； (2)原式1（7－m ）（7＋m ）÷1m （m －7）＝1（7－m ）（7＋m ）·m （m －7）1＝－mm ＋7.例3 “丰收1号”小麦试验田边长为a 米(a ＞1)的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a －1)米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克．(1)哪种小麦的单位面积产量高？(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？分析：本题的实质是分式的乘除法的运用．解：(1)略．(2)500（a －1）2÷500a 2－1＝500（a －1）2·a 2－1500＝a ＋1a －1. “丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的a ＋1a －1倍．四、随堂练习1．计算：(1)c 2ab ·a 2b 2c ；(2)－n 22m ·4m 25n 3；(3)y 7x ÷(－2x )；(4)－8xy÷2y 5x ；(5)－a 2－4a 2－2a ＋1·a 2－1a 2＋4a ＋4；(6)y 2－6y ＋9y ＋2÷(3－y)．答案：(1)abc ；(2)－2m 5n ；(3)－y 14；(4)－20x 2；(5)－（a ＋1）（a －2）（a －1）（a ＋2）；(6)3－y y ＋2.2．教材第137页练习1，2，3题．五、课堂小结(1)分式的乘除法法则；(2)运用法则时注意符号的变化； (3)因式分解在分式乘除法中的应用；(4)步骤要完整，结果要最简．最后结果中的分子、分母既可保持乘积的形式，也可以写成一个多项式，如（a －1）2a 或a 2－2a ＋1a.六、布置作业教材第146页习题15.2第1，2题．本节课从两个具有实际背景的问题出发，使学生在解决问题的过程中认识到分式的乘除法是由实际需要产生的，进而激发他们学习的兴趣，接着，从分数的乘除法则的角度引导学生通过观察、探究、归纳总结出分式的乘法法则．有利于学生接受新知识，而且能体现由数到式的发展过程．第2课时分式的乘方及乘方与乘除的混合运算1．进一步熟练分式的乘除法法则，会进行分式的乘、除法的混合运算．2．理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用乘方规律进行分式的乘方运算．重点分式的乘方运算，分式的乘除法、乘方混合运算．难点分式的乘除法、乘方混合运算，以及分式乘法、除法、乘方运算中符号的确定．一、复习引入1．分式的乘除法法则．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 2．乘方的意义： a n＝a·a·a·…·a(n 为正整数)．二、探究新知例1(教材例4) 计算2x 5x －3÷325x 2－9·x5x ＋3. 解：2x 5x －3÷325x 2－9·x 5x ＋3＝2x 5x －3·25x 2－93·x 5x ＋3 (先把除法统一成乘法运算) ＝2x23.(约分到最简公式) 分式乘除运算的一般步骤： (1)先把除法统一成乘法运算；(2)分子、分母中能分解因式的多项式分解因式； (3)确定分式的符号，然后约分； (4)结果应是最简分式．1．由整式的乘方引出分式的乘方，并由特殊到一般地引导学生进行归纳． (1)(a b )2＝a b ·a b ＝a 2b2；↑ ↑由乘方的意义由分式的乘法法则 (2)同理：(a b )3＝a b ·a b ·a b ＝a 3b3； (a b )n ＝a b ·a b ·…·a b n 个＝a ·a ·…·an 个b ·b ·…·bn 个＝a nb n . 2．分式乘方法则：分式：(a b )n ＝anbn .(n 为正整数)文字叙述：分式乘方是把分子、分母分别乘方．3．目前为止，正整数指数幂的运算法则都有什么？(1)a n ·a n ＝a m ＋n ；(2)a m ÷a n ＝a m －n；(3)(a m )n ＝a mn ；(4)(ab)n ＝a n b n； (5)(a b )n ＝a nb n .三、举例分析例2 计算： (1)(－2a 2b 3c)2；(2)(a 2b －cd 3)3÷2a d 3·(c 2a )2. (3)(－x 2y )2·(－y 2x )3÷(－y x )4；(4)a 2－b 2a 2＋b 2÷(a －b a ＋b)2. 解：(1)原式＝（－2a 2b ）2（3c ）2＝4a 4b 29c 2； (2)原式＝a 6b 3－c 3d 9·d 32a ·c 24a 2＝－a 3b38cd 6；(3)原式＝x 4y 2·(－y 6x 3)·x 4y4＝－x 5；(4)原式＝（a ＋b ）（a －b ）a 2＋b 2·（a ＋b ）2（a －b ）2＝（a ＋b ）3（a －b ）（a 2＋b 2）. 学生板演、纠错并及时总结做题方法及应注意的地方：①对于乘、除和乘方的混合运算，应注意运算顺序，但在做乘方运算的同时，可将除变乘；②做乘方运算要先确定符号．例3 计算：(1)b 3n －1c 2a 2n ＋1·a2n －1b3n －2；(2)(xy －x 2)÷x 2－2xy ＋y 2xy ·x －y x2；(3)(a 2－b 2ab )2÷(a －b a )2.解：(1)原式＝b 3n －2·b ·c 2a 2n －1·a 2·a 2n －1b 3n －2＝bc 2a2； (2)原式＝－x （x －y ）1·xy （x －y ）2·x －yx 2＝－y ；(3)原式＝（a ＋b ）2（a －b ）2a 2b 2·a 2（a －b ）2＝a 2＋2ab ＋b2b2. 本例题是本节课运算题目的拓展，对于(1)指数为字母，不过方法不变；(2)(3)是较复杂的乘除乘方混合运算，要进一步让学生熟悉运算顺序，注意做题步骤．四、巩固练习教材第139页练习第1，2题．五、课堂小结1．分式的乘方法则． 2．运算中的注意事项．六、布置作业教材第146页习题15.2第3题．分式的乘方运算这一课的教学先让学生回忆以前学过的分数的乘方的运算方法，然后采用类比的方法让学生得出分式的乘方法则．在讲解例题和练习时充分调动学生的积极性，使大家都参与进来，提高学习效率．15．2.2 分式的加减(1)1．使学生掌握同分母、异分母分式的加减，能熟练地进行同分母，异分母分式的加减运算．2．通过同分母、异分母分式的加减运算，复习整式的加减运算、多项式去括号法则以及分式的通分，培养学生分式运算的能力．重点：让学生熟练地掌握同分母、异分母分式的加减法．难点：分式的分子是多项式的做减法时注意符号，去括号法则的应用．一、自学指导自学1：自学课本P139－140页“问题3、问题4、思考、例6”，掌握同分母、异分母分式加减的方法，完成填空．(7分钟)①计算：15＋25，15－25，12＋13，12－13.总结归纳：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减．a c ＋bc ＝a ＋b c ；a b ＋cd ＝ad bd ＋bc bd ＝ad ＋bc bd．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(8分钟) 1．课本P141页练习题1，2. 2．计算：(1)2x －5x 2；(2)x 2＋xy xy －x 2－xy xy ；(3)a －2a ＋1－2a －3a ＋1； (4)a ＋1a －1－a －1a ＋1； (5)x 2x －2－4x x －2＋4x －2；。

新人教版初中数学八年级上册《第十五章分式：分式方程的解法》公开课教案_0

15.3分式方程导学案教学目标知识与技能1．通过对实际问题的分析，感受分式方程刻画现实世界的有效模型的意义。

2．通过观察、思考，归纳分式方程的概念。

3．解分式方程的一般步骤。

4．说出解分式方程验根的必要性。

1．通过具体例子，独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤。

2．进一步体会数学思想中的“转化“思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径。

情感态度与价值观1．养成自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度。

2．运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信心。

教学重点和难点教学重点1．解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解法。

2．明确解分式方程验根的必要性。

教学难点明确解分式方程验根的必要性。

教学过程设计（一）复习及引入新课（5分钟）1．什么叫方程？什么叫方程的解？2．在x=0，x=1，x=－1中，哪个是方程3x xx1-=-的解，为什么？3．回到本章引言中的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等。

江水的流速为多少？设：江水的流速为v千米/时，则：轮船顺流航行速度为千米/时，逆流航行速度为千米/时，顺流航行90千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用的时间为小时。

根据量间的关系列出方程：思考:这个方程和我们以前所见过的方程有什么不同？分式方程的意义：分母中含有未知数的方程叫分式方程.做一做在方程①73x -=8+152x -，②1626x -=x ， ③281x -=81x x +-，④2110525x x =--中，是分式方程的有（）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④（二）讲授新课，探索分式方程的解法活动1（5分钟）如何解方程73x -=8+152x -试一试：怎样解方程vv -=+30603090归纳：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。

2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思全册第15章分式(教案) 分式的基本性质教案

第十五章分式15.1 分式15.1.2 分式的基本性质一、教学目标【知识与技能】掌握分式的基本性质,会运用分式的基本性质进行相关的分式变形，并能熟练地进行分式的通分、约分.【过程与方法】经历对分式基本性质及符号法则的探究过程，在探究中获得一些探索定理性质的初步经验，渗透良好的类比联想思维习惯和思想方法.【情感、态度与价值观】通过鼓励学生进行探索和交流,培养学生的创新意识和合作精神.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】理解并掌握分式的基本性质.【教学难点】灵活应用分式的基本性质将分式变形.五、课前准备教师：课件、直尺、蛋糕结构图等。

学生：三角尺、练习本、铅笔、圆珠笔、钢笔。

六、教学过程（一）导入新课教师问1：什么是分数的约分呢？（出示课件2）学生回答：约去分子与分母的最大公约数，化为最简分数. 教师问2：什么是分数的通分呢？学生回答：先找分子与分母的最简公分母，再使分子与分母同乘最简公分母，计算即可.教师问3：如果把分数换为分式，又会如何呢？（二）探索新知1.创设情境，探究分式的基本性质观察这几个分数：23，46，812，1624，3248. 然后提出问题：教师问4：根据我们对数学的“审美标准”，上面的哪个分数最具“简约之美”？学生回答：23.教师问5：这些分数是否相等？（出示课件4）学生回答6：相等.教师问6：那这些分数为什么相等，相等的依据是什么？其内容是什么？（出示课件5）学生回答：相等的依据是分数的基本性质，其内容是一个分数的分子、分母乘(或除以)同一个不为0的数，分数的值不变．教师问7：你能用字母的形式表示分数的基本性质吗？（出示课件6）学生回答：一般地，对于任意一个分数ab ，有ab=a∙cb∙c,ab=a÷cb÷c(c≠0), 其中a，b，c 是数．教师问8：下面的变形成立吗？1 a ＝22a，22a＝1a.学生回答：根据分数的基本性质可以知道，上面的变形成立。

数学人教版八年级上册第15章第一节分式(教案)

五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对分式的概念和性质掌握得还算不错，但在具体的运算和应用上，部分学生还是显得有些吃力。我意识到，分式的运算规则和实际应用是本节课的难点，需要在今后的教学中进一步强化。
在导入新课环节，通过提问的方式激发学生的兴趣，这个方法效果不错，大家都能积极参与进来。但在新课讲授过程中，我发现理论介绍部分可能过于枯燥，有些学生的注意力开始分散。下次我可以尝试结合更多的实际案例，让理论知识更加生动有趣。
举例：通过实际例题，引导学生掌握求解分式方程的步骤和技巧。
2.教学难点
（1）分式的概念理解：学生可能难以理解分式中字母的含义和作用。
解决方法：通过具体实例和图形说明，帮助学生建立起分式的直观认识。
（2）分式的通分：在具体运算中，学生可能会在寻找最简公分母时遇到困难。
解决方法：提供寻找最简公分母的策略，如分解质因数、使用公共因子等，并进行大量练习。
此外，我还发现部分学生对分式方程的求解感到困惑，特别是对分母为零的情况处理不当。在今后的教学中，我要着重强调这一点，并通过更多的练习题来巩固学生的掌握情况。
最后，我也要肯定学生们的努力和进步。虽然分式的学习对大家来说是一个挑战，但我相信只要我们共同努力，一定能够克服困难，掌握好这一章的知识。教学相长，我也将在反思中不断成长，为学生们提供更好的教学。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调分式的定义和分式运算这两个重点解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与分式相关的实际问题，如如何分配物品、计算速度等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如用分式来计算不同物体的平均速度。
（3）分式的运算：熟练进行分式的加减乘除运算，掌握运算规则。

2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思全册第15章分式(教案) 整数指数幂(第1课时)教案.

第十五章分式15.2分式的运算15.2.3整数指数幂第1课时一、教学目标【知识与技能】1.经历探索负整数指数幂和0指数幂的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展代数推理能力和有条理的表达能力.2.理解负整数指数幂的意义,熟练运用整数指数幂运算性质进行运算.【过程与方法】1.知道负整数指数幂a－n＝1a n(a≠0，n是正整数)，了解幂运算的法则可以推广到整数指数幂，掌握整数指数幂的运算性质，会进行简单的整数范围内的幂运算.2.通过观察、推理、总结得出负整数指数幂的意义,体验利用负整数指数幂进行乘除法的转化.【情感、态度与价值观】1.通过独立思考、同伴交流、自主发现问题解决问题,提高学生的学习兴趣和学习主动性.2.在数学公式中渗透公式的简洁美、和谐美，随着学习的知识范围的扩展，产生对新知识的渴望与追求的积极情感，形成辩证统一的哲学观和世界观.二、课型新授课三、课时第1课时，共2课时。

四、教学重难点【教学重点】掌握整数指数幂的运算性质，尤其是负整数指数幂的概念.【教学难点】认识负整数指数幂的产生过程及幂运算法则的扩展过程.五、课前准备教师：课件、直尺、幂结构图等。

学生：直尺、练习本、铅笔、圆珠笔或钢笔。

六、教学过程（一）导入新课正整数指数幂有以下运算性质：(1)(m，n是正整数)(2)(m，n是正整数)(3)(n是正整数)(4)(a≠0，m，n是正整数，m＞n)(5)(n是正整数)此外，还学过0指数幂，即a0=1(a≠0)如果指数是负整数该如何计算呢？（出示课件2）（二）探索新知1.创设情境，探究整数指数幂教师问1：你会计算它们吗？53÷55＝________；103÷107＝________.师生共同解答如下：思路一：53÷55＝5355＝152，103÷107＝103107＝1104.思路二：53÷55＝53－5＝5－2，103÷107＝103－7＝10－4.教师问2：由以上计算，你能发现什么？学生回答：发现：5－2＝152，10－4＝1104.教师问3：将正整数指数幂的运算性质中指数的取值范围由“正整数”扩大到“整数”，正整数指数幂的那些运算性质还适用吗？（出示课件4）学生讨论后猜想：这些性质还适用.教师问4：a m中指数m可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂a m 表示什么？学生讨论后回答：m个a相乘的积.教师问5：那么我们看下面的问题：根据分式的约分，当a≠0时，如何计算a3÷a5=？（出示课件5）学生回答：a3÷a5=33∙2=12(1)教师问6：如果把正整数指数幂的运算性质(a≠0，m，n是正整数，m>n)中的条件m>n去掉，即假设这个性质对于像a3÷a5的情形也能使用，如何计算？学生回答：a3÷a5=a3-5=a-2(2)教师问7：有上边的问题的计算结果，我们可以得到什么？学生回答：a-2=12教师问8：在a-2=12中，有什么限制条件吗？为什么呢？学生讨论后回答：a≠0，因为分母不能为0.总结点拨：（出示课件6）由(1)(2)想到，若规定a-2=12(a≠0)，就能使a m÷a n=a m-n这条性质也适用于像a3÷a5的情形，因此：数学中规定：当n是正整数时，这就是说，a-n(a≠0)是a n的倒数．教师问9：想一想：在引入负整数指数和0指数后，a m·a n＝a m＋n(m，n是正整数)这条性质能否扩大到m，n是整数的情形？（出示课件8）学生猜想回答：应该可以.教师问10：请完成下面的题目：填一填：(1)a3×a－5＝a3·1（）＝1（）＝a()＝a()＋()，即a3×a－5＝a()＋()；(2)a－3×a－5＝1（）·1（）＝1（）＝()＝a()＋()，即a－3×a－5＝a()＋()；(3)a0×a－5＝()·1（）＝1()=()＝a()＋()，即a0×a－5＝a()＋().学生回答：（1）a5;a2;-2;3+(-5);3+(-5)（2）a3;a5;a8;a-8;(-3)+(-5);(-3)+(-5)（3）1;a5;a5;a-5;0+(-5);0+(-5)完成填空后，思考下列问题：教师问11：从以上填空中你想到了什么？学生回答：a m·a n＝a m＋n这条性质对m，n是任意整数的情形都适用.教师问12：再换其他整数指数验证这个规律.类似地，你可以用负整数指数幂或0指数幂对于其他正整数指数幂的运算性质进行试验，看看这些性质在整数范围内是否还适用？（出示课件9）学生回答：a-3·a-7=a-3+(-7)=a-10，a-2÷a-5=a-2-(-5)=a3，a0÷a-4=a0-(-4)=a4.教师讲解：形成定论：a m·a n＝a m＋n这条性质对m，n是任意整数的情形都适用.总结点拨：（出示课件10）(1)(m，n是整数)；(2)(m，n是整数)；(3)(n是整数)；(4)(m，n是整数)；(5)(n是整数)．教师问11：试说说当m分别是正整数、0、负整数时，a m各表示什么意义？（出示课件11）师生共同解答如下：当m是正整数时，a m表示m个a相乘.当m是0时，a0表示一个数的n次方除以这个数的n次方，所以特别规定，任何除0以外的实数的0次方都是1.当m是负整数时，a m表示|m|个相乘.例：计算：（出示课件12-13）师生共同解答如下：解：2.创设情境，探究整数指数幂的性质教师问19：继续举例探究：(a m)n＝a mn，(ab)n＝a n b n，nab⎛⎫⎪⎝⎭＝a nb n在整数指数幂范围内是否适用？（出示课件15）师生共同解答如下：根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时，，，因此，，即同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法特别地，所以，即商的乘方可以转化为积的乘方总结点拨：（出示课件16）这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：(1)(m，n是整数)；(2)(m，n是整数)；(3)(n是整数)．例：下列等式是否正确？为什么？（出示课件17）(1)a m÷a n=a m·a-n；(2)师生共同解答如下：解：(1)∵a m÷a n=a m-n=a m+(-n)=a m·a-n，∴a m÷a n=a m·a-n.故等式正确.(2)故等式正确.（三）课堂练习（出示课件20-23）1.下列计算正确的是()A.30=0B.-|-3|=-3C.3-1=-3D.9=±32.下列计算不正确的是()A. B.C. D.3.若0<x<1，则x-1，x，x2的大小关系是()A.x-1<x<x2B.x<x2<x-1C.x2<x<x-1D.x2<x-1<x4.计算:5.若，试求的值.参考答案：1.B2.B3.C4.5.解：∵a+a-1=3（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1.幂的两个规定：a0＝1(a≠0);数学中规定：当n是正整数时，这就是说，a-n(a≠0)是a n的倒数．2.幂的三类运算性质：这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：(1)(m，n是整数)；(2)(m，n是整数)；(3)(n是整数)．（五）课前预习预习下节课（15.2.3）145页的相关内容。

八年级数学上册《第15章分式》导学案(新版)新人教版

第15章分式【学习目标】知识与技能：了解分式的概念以及分式与整式概念的区别与联系。

过程与方法：掌握分式有意义的条件，进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感。

情感态度与价值观：以描述实际问题中的数量关系为背景，体会分式是刻画现实生活中数量关系的一类代数式。

【学习重点】分式的概念和分式有意义的条件。

【学习难点】分式的特点和分式有意义的条件.【自学展示】1、什么是整式？，整式中如有分母，分母中（含、不含）字母2、下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？两者有什么区别？a 21；2x+y ；2y x ；a 1 ；xyx 2- ；3a ；5 .3、阅读“引言”， “引言”中出现的式子是整式吗？4、自主探究：完成p127的“思考”，通过探究发现，a s 、s V 、v +20100、v-2060与分数一样，都是的形式，分数的分子A 与分母B 都是，并且B 中都含有。

5、归纳：分式的意义：。

代数式a 1 、x y x 2-、a s 、s V 、v +20100、v-2060都是。

分数有意义的条件是。

那么分式有意义的条件是。

【合作学习】例1、在下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？（1）5x-7 （2）3x 2-1 （3）123+-a b （4）7)(p n m + （5）—5 （6）1222-+-x y xy x （7）72 （8）c b +54例2、p 128的“例1”填空：（1）当x 时，分式x32有意义（2）当x 时，分式1-x x有意义（3）当b 时，分式b351-有意义（4）当x 、y 满足关系时，分式yx yx -+有意义例3、x 为何值时，下列分式有意义？（1）1-x x （2）15622++-x x x （3）242+-a a【质疑导学】例4、x 为何值时，下列分式的值为0？（1）11 x x （2）392+-x x （3）11--x x【学习检测】1、下列各式中，（1）y x y x -+（2）132+x （3）x x 13-（4）π22y xy x ++（5）5b a -（6）0.（7）43（x+y ）整式是，分式是。

人教版八年级数学上册第15章《分式》教学设计(共12课时)

人教版八年级数学上册第15章《分式》教学设计（共12课时）一. 教材分析人教版八年级数学上册第15章《分式》是学生在学习了实数、代数式、方程等知识后，进一步拓展数学知识的一个章节。

分式作为数学中的一个重要概念，不仅在初中数学中占有重要地位，而且在高中乃至大学的数学学习中也会经常用到。

本章主要内容有分式的概念、分式的运算、分式的性质等。

通过本章的学习，使学生能理解分式的概念，掌握分式的运算方法，了解分式的性质，为后续学习函数、不等式等知识打下基础。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的代数基础，对实数、代数式、方程等知识有了初步的认识。

但是，学生对分式的理解还比较模糊，分式的运算和性质对于他们来说是一个新的挑战。

因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中抽象出分式的概念，通过对比、归纳等方法，让学生自己发现并总结分式的性质，从而提高他们的学习兴趣和自主学习能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解分式的概念，掌握分式的基本运算方法，了解分式的性质。

2.过程与方法：通过自主学习、合作交流等方法，培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习分式的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。

四. 教学重难点1.重点：分式的概念、分式的运算、分式的性质。

2.难点：分式的运算规律、分式的性质的推导和应用。

五. 教学方法1.启发式教学：通过提问、引导、讨论等方式，激发学生的思维，培养他们的抽象思维能力。

2.自主学习：鼓励学生自主探究，发现问题、解决问题，提高他们的自主学习能力。

3.合作交流：引导学生进行小组讨论，分享学习心得，互相帮助，共同提高。

六. 教学准备1.教学PPT：制作清晰、简洁的教学PPT，便于学生理解和记忆。

2.教学素材：准备一些与分式相关的实际问题，用于引导学生从实际问题中抽象出分式的概念。

3.练习题：准备一些分式的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生从实际问题中抽象出分式的概念。

【最新】人教版八年级数学上册15.1.2分式的通分导学案

（2）
2x 3x 与 x5 x5
（3）
3y x 与 2 2 x y x xy
2
学
思考：分式通分的关键是什么？怎样确定最简公分母？
二、巩固练习：通分
（1）
3z 5x , 2 2 2x y 6 y z
（2）
2a 1 , 2a 3b 2a 3b
（3）
1 1 , 2 a 3a a 9
2
究思考：分式的通分与约分有什么相同点，不同点？一、达标测评：通分达（1） x , 3 x 3y 2 y 2
(2)
6c c , 2 a b 3ab 2
(3)
x y xy , 2 x 2 y ( x y) 2
（4）
2mn 2m 3 , 4m 2 9 2m 3
标
二、拓展提高：已知
1 1 a 3ab b 4 ，则 a b 2a 2b 7ab
.
（分析过程）拓
展
反思提升
4 x2 x 2 4x 4
主
学
2、类比分数的通分，试着将下列分式通分：（1）
1 2 与 2 2 3 2ab 5a b c
（2）
a b 与 2 2 xy 3x
（3）
2 xy x 与 2 2 ( x y) x y2
习
一、典例分析：通分
（1）
导
3 ab 与 2 2 2 a b ab c
班级：
姓名：
课题
新人教版八年级数学上册 15.1.2 分式的通分导学案
6
班级：
姓名：
学习 1、进一步理解分式的基本性质，理解最简公分母的概念；目标 2、会应用分式的基本性质进行通分. 重点分式的通分。难点准确地确定最简公分母。一、导入识标：

2024秋八年级数学上册第十五章分式15.1分式3通分教案(新版)新人教版

教学方法与手段
1.教学方法：
（1）讲授法：通过生动的语言和形象的比喻，讲解分式的概念和性质，使抽象的数学知识具体化、形象化，便于学生理解和接受。
（2）讨论法：针对通分的步骤和实际问题，组织学生进行小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的逻辑思维和合作意识。
（3）实验法：让学生通过实际操作，探索通分的方法，体验数学知识的形成过程，提高学生的实践能力和探究精神。
-分式在生活中的应用：如烹饪中食材的比例、溶液的浓度等。
-分式在数学问题中的应用：解决比例问式的分子、分母进行因式分解，然后约分，得到最简分式的过程。
-分式化简的步骤：
-对分子和分母进行因式分解。
-约去分子和分母的公因式，得到最简分式。
-分式化简的注意事项：
例4:分式除法题
题目：计算分式(2/3) ÷ (4/5)。
解答：分式除法等于乘以倒数，即(2/3) * (5/4) = 10/12，化简为5/6。
例5:分式加减法题
题目：计算分式1/2 + 3/4。
3.运用实验法，让学生在实际操作中探索通分的方法。教师可设计一些简单的实验题目，让学生通过动手实践，发现通分的规律，从而加深对知识的理解。
4.利用多媒体设备，展示分式的性质和通分的步骤，使抽象的数学知识变得具体、形象。同时，结合教学软件，设计有趣的练习题，让学生在游戏中巩固所学知识。
5.整合网络资源，为学生提供丰富的学习资料，引导学生自主学习。教师可推荐一些优质的数学学习网站、论坛等，让学生在课后进行拓展阅读，提高自学能力。
具体实施如下：
1.采用讲授法，以生动形象的语言解释分式的概念，通过实例分析，引导学生理解分式的性质。在讲解过程中，注重与学生的互动，及时解答学生的疑问，使学生在理解的基础上掌握知识。

新人教版初中数学八年级上册《第十五章分式：15.1分式》公开课导学案_0

第十五章分式15.1.1从分数到分式一、学习目标：(一)(二)能确定分式有意义和分式的值为零的条件。

二、学习过程：(二)指导独立学习,初步达成目标(13')1、自学指导先浏览一遍教材助读中的问题，带着问题看书p127--128，6分钟后尝试独立完成自学检测部分。

教材助读：(1)读P127页的前两个思考:课本是如何通过类比得出分式的概念？(2)读P128页的思考得出分式有意义的条件是什么？2、自学检测同桌互评:_______（1）长方形的面积为10cm ²,长为7cm.宽为___cm;长方形面积为S,长为a,宽为__（2）把体积为200cm ³的水倒入底面积为33cm ²的圆柱形容器中,水面高度为____cm 把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，则水面高度为 _____ cm（3）上面分母中含有字母的式子叫做_____。

（4）当x ______时，分式12-x 有意义；b ______时b 2-51无意义。

(三)引导小组探究,落实学习目标(20') 探究一：分式的概念【小组讨论】：①观察比较式子a S ，S V ，V 3090+，V-3060有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？ ②分式的概念是什么，如何判断一个式子是分式？分数与分式共同点：不同点：整式与分式共同点：不同点：归纳：一般地，如果A 、B 都表示整式，且B 中含有字母，那么称式子 _____ 为分式。

其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。

学以致用：下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？把它们分类填在下面方框内。

①23m 8m n ++ ②x x 22 ③π213-x ④x 1 ⑤1222++x x ⑥222ab b a + ⑦112+-x x ⑧322+x x 整式分式探究二：分式有意义及值为零的条件例：在分式中(1) 当x 为何值时，分式无意义?(2) 当x 为何值时，分式有意义? (3) 当x 为何值时，分式的值为零?【小组讨论】①分式要无意义，必须满足分子或分母无意义?有意义的条件呢？②分式的值为0，是使分子，分母中哪一个为0？还需要满足什么条件？归纳：在分式中（1）式子有意义的条件是_____，无意义的条件是_____。

人教版八年级上册第15章《分式》全章教案(21页,含反思)

第十五章分式15．1分式15． 1.1从分数到分式1．以描绘实质问题中的数目关系为背景抽象出分式的观点，成立数学模型，并理解分式的观点．2．能够经过分式的定义理解和掌握分式存心义的条件．要点理解分式存心义的条件及分式的值为零的条件．难点能娴熟地求出分式存心义的条件及分式的值为零的条件．一、复习引入1．什么是整式？什么是单项式？什么是多项式？2．判断以下各式中，哪些是整式？哪些不是整式？① 8m ＋ n ；② 1＋ x ＋ y 2；③ a 2 b ＋ab 2a ＋b 2；⑥3；⑦3x 2－ 43 ；④ ；⑤ a 2＋ b 2 .32x 2＋ 2x ＋12x二、研究新知1．分式的定义(1) 学生看教材的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30 千米 /时，它沿江以最大航速顺流航行 90 千米所用时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用的时间相等，江水的流速为多少？剖析：设江水的流速为 v 千米 / 时．轮船顺流航行 90 千米所用的时间为90小时，逆流航行 60 千米所用时间为60小时，30＋ v 30－ v所以 90 ＝ 60.30＋ v 30－ v(2) 学生达成教材第 127 页“思虑”中的题．察看：以上的式子 9060S V30＋ v ，30－v ， a ， s ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？能够发现，这些式子都像分数相同都是AB (即 A ÷B) 的形式．分数的分子 A 与分母 B 都是整数，而这些式子中的 A ， B 都是整式，并且 B 中都含有字母．A归纳：一般地，假如 A ，B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 B 叫做分式．稳固练习：教材第 129 页练习第 2 题．2．自学教材第 128 页思虑：要使分式存心义，分式中的分母应知足什么条件？分式的分母表示除数，因为除数不可以为 0，所以分式的分母不可以为 0，即当 B ≠ 0 时，分式 A才存心义．B学生自学例 1.例 1以下分式中的字母知足什么条件时分式存心义？2 ；(2) x； (3) 1 ； (4)x ＋y (1) 3xx － 1 5－ 3bx － y.解： (1)要使分式 3x 2存心义，则分母 3x ≠ 0，即 x ≠ 0；(2) 要使分式x存心义，则分母x － 11(3) 要使分式存心义，则分母 5－ 3bx ＋ y(4) 要使分式 x － y 存心义，则分母x － 1≠ 0，即 x ≠ 1；55－ 3b ≠ 0，即 b ≠ ；x － y ≠ 0，即 x ≠ y.思虑：假如题目为：当x 为何值时，分式无心义．你知道怎么解题吗？稳固练习：教材第 129 页练习第 3 题． 3．增补例题：当 m 为何值时，分式的值为 0?m ；(2) m － 2； (3) m 2－ 1(1) m － 1 m ＋ 3 m ＋ 1 .思虑：当分式为 0 时，分式的分子、分母各知足什么条件？剖析：分式的值为 0 时，一定同时知足两个条件： (1) 分母不可以为零；(2)分子为零．答案： (1)m ＝ 0； (2)m ＝ 2； (3)m ＝ 1. 三、归纳总结 1．分式的观点．2．分式的分母不为 0 时，分式存心义；分式的分母为 0 时，分式无心义．3．分式的值为零的条件： (1)分母不可以为零； (2) 分子为零．四、部署作业教材第 133 页习题 15.1 第 2， 3 题．在引入分式这个观点从前先复习分数的观点，经过类比来自主研究分式的观点，分式有意义的条件，分式值为零的条件，从而更好更快地掌握这些知识点，同时也培育学生利用类比转变的数学思想方法解决问题的能力．15． 1.2 分式的基天性质 (2 课时 )第 1 课时分式的基天性质1．认识分式的基天性质，灵巧运用分式的基天性质进行分式的变形．2．会用分式的基天性质求分式变形中的符号法例．要点理解并掌握分式的基天性质．难点灵巧运用分式的基天性质进行分式变形．一、类比引新 1．计算：(1) 5 2 4 8× 15 ； (2) ÷ .6 5 15 思虑：在运算过程中运用了什么性质？教师出示问题．学生独立计算后回答：运用了分数的基天性质． 2．你能说出分数的基天性质吗？分数的分子与分母都乘 (或除以 )同一个不为零的数，分数的值不变．3．试试用字母表示分数的基天性质：小组议论沟通如何用字母表示分数的基天性质，而后写出分数的基天性质的字母表达式．a ＝ a ·c a ＝ a ÷cb b ·c ， b b ÷c .( 此中 a ， b ，c 是实数，且 c ≠ 0) 二、研究新知1．分式与分数也有近似的性质，你能说出分式的基天性质吗？分式的基天性质：分式的分子与分母乘 (或除以 )同一个不为零的整式，分式的值不变．你能用式子表示这个性质吗？ AA ·C A A ÷CB ＝ B ·C ， B ＝ B ÷C .(此中 A ， B ，C 是整式，且 C ≠ 0)如 x ＝ 1， b ＝ab2，你还可以举几个例子吗？2x 2 a a回首分数的基天性质，让学生类比写出分式的基天性质，这是从详细到抽象的过程．学生试试着用式子表示分式的性质，增强对学生的抽象表达能力的培育．2．想想以下等式成立吗？为何？－ a a ；－ a a a＝＝＝－ . － b b b － b b教师出示问题．学生小组议论、沟通、总结．例 1 不改变分式的值，使以下分式的分子与分母都不含“－”号：－ 2a－ 3x－ x 2(1) － 3a ； (2) 2y ； (3)－ y.例 2不改变分式的值，使以下分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数：x ＋ 1 2－ x － x － 1(1) － 2x － 1； (2)－ x 2＋ 3；(3) x ＋ 1 .指引学生在达成习题的基础长进行归纳，使学生掌握分式的变号法例．例 3填空：x 3（） 3x 2＋ 3xy＝x ＋ y；＝ y，（）(1) xy6x 2（），2a －2 （） .(b ≠ 0)(2)1＝2b ＝ 2aba b a a bx 3解： (1)因为 xy 的分母 xy 除以 x 才能化为 y ，为保证分式的值不变，依据分式的基天性质，分子也需除以 x ，即x 3＝ x 3 ÷x ＝x 2. xy xy ÷ x y相同地，因为 3x 2＋ 3xy的分子 3x 2＋3xy 除以 3x 才能化为 x ＋ y ，所以分母也需除以 3x ，6x 2即3x 2＋ 3xy（3x 2＋ 3xy ） ÷（ 3x ） x ＋ y6x 2＝6x 2 ÷（＝2x.3x ）所以，括号中应分别填入 x 2和 2x.(2) 因为 ab1的分母 ab 乘 a 才能化为 a 2b ，为保证分式的值不变，依据分式的基天性质，分子也需乘 a ，即1 ＝ 1·a ＝ a2 . ab ab ·a a b2a － b相同地，因为a2 的分母 a 2乘 b 才能化为 a 2b ，所以分子也需乘 b ，即2a － b （ 2a －b ） ·b 2ab －b 22 ＝＝ 2.a a 2 ·b a b所以，括号中应分别填 a 和 2ab － b 2.在解决例题 1， 2 的第 (2)小题时，教师能够指引学生察看等式两边的分母发生的变化，再思虑分式的分子如何变化；在解决例2 的第 (1)小题时，教师指引学生察看等式两边的分子发生的变化，再思虑分式的分母随之应当如何变化．三、讲堂小结1．分式的基天性质是什么？ 2．分式的变号法例是什么？3．如何利用分式的基天性质进行分式的变形？学生在教师的指引下整理知识、理顺思想．四、部署作业教材第 133 页习题 15.1 第 4， 5 题．经过算数中分数的基天性质，用类比的方法给出分式的基天性质，学生接受起来其实不感觉困难，但要要点重申分子分母同乘 (或除 )的整式不可以为零，让学生养成谨慎的态度和习惯．第 2 课时分式的约分、通分1．类比分数的约分、通分，理解分式约分、通分的意义，理解最简公分母的观点．2．类比分数的约分、通分，掌握分式约分、通分的方法与步骤．要点运用分式的基天性质正确地进行分式的约分与通分．难点通分时最简分分母确实定；运用通分法例将分式进行变形．一、类比引新1．在计算56×152时，我们采纳了“约分”的方法，分数的约分约去的是什么？分式a＋ b相等吗？为何？aba2＋ab利用分式的基天性质，分式a2b约去分子与分母的公因式a，其实不改变分式的值a＋ b获得. a2＋ ab a2b，，能够教师点拨：分式a2＋ ab能够化为a＋ b__分式的约分 __．a2b ab ，我们把这样的分式变形叫做4 64 62．如何计算 5＋ 7？如何把 5，7通分？近似的，你能把分式 a， c变为同分母的分式吗？b d利用分式的基天性质，把几个异分母的分式分别化成与本来的分式相等的同分母的分式，我们把这样的分式变形叫做__分式的通分 __．二、研究新知－ 25a 2bc 3；(2) x 2－ 9； 1．约分： (1) 15ab 2c x 2＋ 6x ＋9 6x 2－ 12xy ＋ 6y 2 (3) 3x －3y .剖析：为约分，要先找出分子和分母的公因式．2322解： (1) － 25a bc ＝－ 5abc ·5ac ＝－5ac ；15ab 2c5abc · 3b 3bx 2－ 9 （ x ＋ 3）（ x － 3） x － 3(2)x2＋＝（x ＋ 3） 2 ＝；6x ＋9x ＋ 36x 2－ 12xy ＋ 6y 2 6（ x － y ）2(3)3x －3y＝＝2(x － y)．3（x － y ）若分子和分母都是多项式，则常常需要把分子、分母分解因式(即化成乘积的形式 ) ，然后才能进行约分．约分后，分子与分母没有公因式，我们把这样的分式称为 __最简分式 __．( 不能再化简的分式 )2．练习：约分：2ax 2y ；－ 2a （ a ＋b ）（ a － x ） 2 2－ 4 ； m 2－ 3m 2－13b （ a ＋b ）；； x ； 99.3axy 2 （ x －a ） 3 xy ＋ 2y9－ m 298学生先独立达成，再小组沟通，集体校正．3．议论：分式1 ， 114的最简公分母是什么？3 22 3， 6xy2x y z 4x y提出最简公分母观点．一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母．学生议论、小组沟通、总结得出求最简公分母的步骤：(1) 系数取各分式的分母中系数最小公倍数； (2) 各分式的分母中所有字母或因式都要取到； (3) 相同字母 (或因式 )的幂取指数最大的；(4) 所得的系数的最小公倍数与各字母 (或因式 )的最高次幂的积 (此中系数都取正数 ) 即为最简公分母．4．通分： (1) 32 与a －2 b； (2) 2x 与 3x .2a b ab c x － 5 x ＋ 5 剖析：为通分，要先确立各分式的公分母．解： (1)最简公分母是 2a 2b 2c.33·bc 3bc2a 2b ＝ 2a 2b · bc ＝2a 2b 2 c ， a － b （ a －b ） ·2a 2a 2 －2abab 2c ＝ab 2c · 2a ＝ 2a 2b 2c .(2) 最简公分母是 (x － 5)(x ＋ 5) ．2x＝2x（ x＋ 5）＝2x2＋ 10xx－ 5 （ x－ 5）（ x＋ 5）x2－ 25，3x ＝3x（ x－ 5）＝ 3x2－ 15x x＋ 5 （ x＋ 5）（ x－ 5）x2－ 25. 5．练习：通分： (1) 12与 5 ； (2) 21与 2 1 ； (3) 12与2x.3x 12xy x ＋ x x － x （2－ x）x － 4教师指引：通分的要点是先确立最简公分母；假如分式的分母是多项式则应先将分母分解因式，再按上述的方法确立分式的最简公分母．学生板演并互批实时纠错．6．思虑：分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的依据是什么？教师让学生议论、沟通，师生共同作以小结．三、讲堂小结1．什么是分式的约分？如何进行分式的约分？什么是最简分式？2．什么是分式的通分？如何进行分式的通分？什么是最简公分母？3．本节课你还有哪些迷惑？四、部署作业教材第 133 页习题 15.1 第 6， 7 题．本节课是在学习了分式的基天性质后学的，要点是运用分式的基天性质正确的约分和通分，约分时要注意必定要约成最简分式，娴熟运用因式分解；通分时要将分式变形后再确立最简公分母．15． 2分式的运算15． 2.1分式的乘除(2课时)第 1 课时分式的乘除法1．理解并掌握分式的乘除法例．2．运用法例进行运算，能解决一些与分式相关的实质问题．要点掌握分式的乘除运算．难点分子、分母为多项式的分式乘除法运算．一、复习导入1．分数的乘除法的法例是什么？2．计算： 3 × 15 ； 3 155 12 ÷ .5 2由分数的运算法例知3 15 ＝ 3× 15 315 3 × 2 ＝ 3× 2× 12 5× 12 ； ÷ ＝ 15 .5 5 2 5 5× 153．什么是倒数？我们在小学学习了分数的乘除法，关于分式如何进行计算呢？这就是我们这节要学习的内容．二、研究新知问题 1：一个水平搁置的长方体容器，其容积为 V ，底面的长为 a ，宽为 b 时，当容器的水占容积的 m时，水面的高度是多少？n问题 2：大拖沓机 m 天耕地 a hm 2，小拖沓机 n 天耕地 b hm 2，大拖沓机的工作效率是小拖沓机的工作效率的多少倍？问题 1 求容积的高 V m，问题 2 求大拖沓机的工作效率是小拖沓机的工作效率的 a b ·÷ 倍．ab nm n依据上边的计算，请同学们总结一下对分式的乘除法的法例是什么？分式的乘法法例：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．分式的除法法例：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒地点后，与被除式相乘．a ca ·c a c a d a ·d·＝； ÷ ＝ ·＝.b d b ·d b d bc b ·c 三、举例剖析例 1 计算：4x y ab 3 － 5a 2b 2(1) 3y ·2x 3； (2)2c 2÷4cd.剖析：这道例题就是直策应用分式的乘除法法例进行运算．应当注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算相同，先判断运算符号，再计算结果．解： (1)4xy ＝ 4xy ＝ 2 ；3y ·36x 3y 3x 22x(2) ab 3－ 5a 2b 2 ab 34cd 4ab 3cd 2bd2c 2÷ ＝ 2· 2 2＝－ 2 2 2＝－ .4cd 2c － 5a b 10a b c 5ac 例 2 计算：a 2－ 4a ＋4 a － 1(1) a 2－ 2a ＋1·a 2－ 4；1 1(2) 49－m 2÷ m 2－ 7m . 剖析：这两题是分子与分母是多项式的状况，第一要因式分解，而后运用法例．（ a －2） 2 a － 1 a － 2解： (1)原式（ a －1） 2· （ a ＋ 2）（ a － 2）＝（ a －1）（ a ＋ 2）；(2) 原式 1 1÷（ 7－ m ）（ 7＋ m ） m （ m － 7）＝ 1 m （ m － 7）＝－ m7＋m ） · 1 .（ 7－ m ）（ m ＋ 7例 3 “丰产 1 号”小麦试验田边长为 a 米 (a ＞ 1)的正方形去掉一个边长为 1 米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰产 2 号”小麦的试验田是边长为 (a － 1)米的正方形，两块试验田的小麦都收获了 500 千克．(1) 哪一种小麦的单位面积产量高？(2) 高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？剖析：此题的实质是分式的乘除法的运用．解： (1)略．500500 500 a 2－ 1 a ＋ 1 (2) （ a －1） 2÷ a 2－ 1＝（ a － 1） 2· 500 ＝a － 1.“丰产 2 号”小麦的单位面积产量是“丰产1 号”小麦的单位面积产量的a ＋ 1倍．a － 1四、随堂练习1．计算： (1) c 2 · a 2b 2 (2)－ n 2 · 4m 2 y 2； 2m 5n 3；(3) ÷(－ )；ab c 7x x 2ya 2－ 4 a 2－ 1 (4) － 8xy ÷ ； (5)－ 2 ·2 4a ＋ 4 ；5x a －2a ＋ 1 a ＋y 2－ 6y ＋ 9(6)÷(3－ y)．y ＋ 2答案： (1)abc ； (2)－ 2m； (3)－ y； (4)－ 20x 2；(5) （ a ＋ 1）（ a － 2）；(6) 3－ y 5n 14－（ a － 1）（ a ＋ 2） y ＋ 2 . 2．教材第 137 页练习 1， 2，3 题．五、讲堂小结(1) 分式的乘除法法例； (2) 运用法例时注意符号的变化；(3) 因式分解在分式乘除法中的应用；(4) 步骤要完好，结果要最简．最后结果中的分子、分母既可保持乘积的形式，也能够写成一个多项式，如（ a － 1） 2 a 2－ 2a ＋ 1或 a .a六、部署作业教材第 146 页习题 15.2 第 1， 2 题．本节课从两个拥有实质背景的问题出发，使学生在解决问题的过程中认识到分式的乘除法是由实质需要产生的，从而激发他们学习的兴趣，接着，从分数的乘除法例的角度指引学生经过察看、研究、归纳总结出分式的乘法法例．有益于学生接受新知识，并且能表现由数到式的发展过程．第 2课时分式的乘方及乘方与乘除的混淆运算1．进一步娴熟分式的乘除法法例，会进行分式的乘、除法的混淆运算．2．理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用乘方规律进行分式的乘方运算．要点分式的乘方运算，分式的乘除法、乘方混淆运算．难点分式的乘除法、乘方混淆运算，以及分式乘法、除法、乘方运算中符号确实定．一、复习引入1．分式的乘除法法例．分式的乘法法例：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母．分式的除法法例：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒地点后，与被除式相乘．2．乘方的意义：a n＝ a·a·a· ·a(n 为正整数 )．二、研究新知例 1(教材例 4) 计算2x 3 x÷·.5x－ 3 25x 2－ 9 5x ＋ 3解：2x 3·x÷＋ 3 5x－3 25x 2－ 9 5x25x 2－ 9x (先把除法一致成乘法运算 )＝ 2x ·3 · 5x － 3 5x＋3 2x 2 ＝3 .( 约分到最简公式 ) 分式乘除运算的一般步骤：(1) 先把除法一致成乘法运算；(2) 分子、分母中能分解因式的多项式分解因式； (3) 确立分式的符号，而后约分；(4) 结果应是最简分式．1．由整式的乘方引出分式的乘方，并由特别到一般地指引学生进行归纳．2(1)( a )2＝a a＝ a2；bb ·b b↑↑由乘方的意义由分式的乘法法例(2) 同理：a 3 a a aa 3( )＝ ··＝ 3；b b b b ba n a a aa · a · · an 个a n( ) ＝ ·· ·n个＝＝ n .b b b bb · b · · bn 个 b2．分式乘方法例：n分式： (a b )n ＝ ab n .(n 为正整数 )文字表达：分式乘方是把分子、分母分别乘方． 3．当前为止，正整数指数幂的运算法例都有什么？(1)a n · a n ＝ a m ＋n ； (2)a m ÷ a n ＝ a m －n ；(3)(a m ) n ＝a mn ；(4)(ab) n ＝ a n b n ；a a n(5)( b )n＝ b n . 三、举例剖析例2计算：－ 2a 2b(1)( 3c )2；2a b3÷2a· (c2(3)( － x 2 y 2 )3÷ y )4；y )2· (－ x (－x a 2－ b 2 a － b(4) 22÷ () 2.a ＋ ba ＋ b22 4 2（－ 2a b ）＝4a b 2 ；解： (1)原式＝（ 3c ） 29ca 6b 3 d 3c 2a 3b 3 (2) 原式＝－c 3d 9· 2a ·4a 2＝－ 8cd 6；46 4(3) 原式＝x · (－ y x ＝－ x 5； y 2x 3)·4y(4) 原式＝（ a ＋ b ）（ a － b ）（ a ＋ b ） 2 （ a ＋ b ） 32 2· （ a － b ） 2＝22 .a ＋b （ a － b ）（ a ＋ b ）学生板演、纠错并实时总结做题方法及应注意的地方： ①关于乘、除和乘方的混淆运算，应注意运算次序，但在做乘方运算的同时，可将除变乘；②做乘方运算要先确立符号．例3 计算：b3n －1c2a2n －1(1) a 2n＋1·b 3n－2；x 2－2xy ＋ y 2x － y(2)(xy － x 2) ÷ · x 2 ；xy (3)( a 2－ b 2 a －b )2.ab )2÷ (a解： (1)原式＝ b 3n －2· b · c 2 a 2n － 1bc 2 a2n －1· a 2·b 3n －2＝a 2；x （ x － y ） xy2· x － y(2) 原式＝－1 ·x 2 ＝－ y ；（ x － y ）（ a ＋ b ）2（ a － b ） 2 a 2 a 2＋ 2ab ＋b 2 (3) 原式＝ a 2b 2· （a －b ） 2＝b 2. 本例题是本节课运算题目的拓展，关于 (1)指数为字母，可是方法不变； (2)(3) 是较复杂的乘除乘方混淆运算，要进一步让学生熟习运算次序，注意做题步骤．四、稳固练习教材第 139 页练习第 1， 2 题．五、讲堂小结 1．分式的乘方法例． 2．运算中的注意事项．六、部署作业教材第 146 页习题 15.2 第 3 题．分式的乘方运算这一课的教课先让学生回想从前学过的分数的乘方的运算方法用类比的方法让学生得出分式的乘方法例．在解说例题和练习时充分调换学生的踊跃性大家都参加进来，提升学习效率．，而后采，使15． 2.2分式的加减(2 课时)第 1 课时分式的加减理解并掌握分式的加减法例，并会运用它们进行分式的加减运算．要点运用分式的加减运算法例进行运算．难点异分母分式的加减运算．一、复习发问 1．什么叫通分？ 2．通分的要点是什么？ 3．什么叫最简公分母？4．通分的作用是什么？ (引出新课 ) 二、研究新知1．出示教材第 139 页问题 3 和问题 4. 教材第 140 页“思虑”．1 分式的加减法与分数的加减法近似，它们的实质相同．察看以下分数加减运算的式子：5＋2＝31－ 2＝－ 11＋1＝ 3＋2＝5 1－ 1＝ 3－ 2＝1，得出分式的加减法5 5，5 55， 2 3666， 2 3 6 6 6.你能将它们推行法例吗？教师提出问题，让学生列出算式，获得分式的加减法法例．学生议论：组内沟通，教师点拨． 2．同分母的分式加减法．a b a ±b公式： ±＝c .c c文字表达：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．3．异分母的分式加减法．分式： a c ad bc ad ±bc± ＝ ± ＝ bd .b d bd bd文字表达：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，而后再加减．三、典型例题例 1(教材例 6) 计算：5x ＋3y－ 2x2； (2)1 ＋ 1(1) 2－ y 2 2.xx － y2p ＋ 3q 2p － 3q解： (1)5x ＋ 3y － 2xx 2－ y2 x 2－ y 25x ＋ 3y － 2x 3x ＋ 3y 3 ＝ 2 2 ＝ 2 － y 2 ＝；x － y x x －y(2) 1 ＋ 12p ＋3q2p － 3q＝2p － 3q ＋2p ＋ 3q （ 2p ＋ 3q ）（ 2p － 3q ）（ 2p ＋ 3q ）（ 2p － 3q ）＝ 2p － 3q ＋ 2p ＋ 3q＝4p（ 2p ＋ 3q ）（ 2p － 3q ） 4p 2－ 9q 2.小结：(1) 注意分数线有括号的作用，分子相加减时，要注意添括号．(2) 把分子相加减后，假如所得结果不是最简分式，要约分．例2 计算：m ＋ 2n ＋ n － 2m . n － m m － n n － m剖析： (1)分母能否相同？ (2)如何把分母化为相同的？(3)注意符号问题．解：原式＝ m ＋ 2n － n － 2mn － m n －m n － m＝ m ＋ 2n － n － 2mn －m＝n － mn － m＝ 1. 四、讲堂练习1．教材第 141 页练习 1， 2 题．5232．计算： (1)－＋；12 2(2) m 2－ 9＋3－ m ；(3)a ＋ 2－ 4；2－ aa 2－b 2 ab － b 2(4) ab －ab －ab 2.五、讲堂小结1．同分母分式相加减，分母不变，只要将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要合时添上括号．2．关于整式和分式之间的加减运算，则把整式当作一个整体，即当作是分母为 1 的分式，以便通分．3．异分母分式的加减运算，第一察看每个公式能否为最简分式，能约分的先约分，使分式简化，而后再通分，这样可使运算简化．4．作为最后结果，假如是分式则应当是最简分式．六、部署作业教材第 146 页习题 15.2 第 4， 5 题．从直观的分数加减运算开始，先介绍同分母分式的加减运算的详细方法，经过类比的思想方法，由数的运算引出式的运算规律，表现了数学知识间详细与抽象、从特别到一般的内在联系．尔后，利用相同的类比方法，安排学习异分母的分式加减运算，这样由简到繁、由易到难，切合学生认知的发展规律，有助于知识的层层落实与掌握．第 2 课时分式的混淆运算1．明确分式混淆运算的次序，娴熟地进行分式的混淆运算．2．能灵巧运用运算律简易运算．要点娴熟地进行分式的混淆运算．难点娴熟地进行分式的混淆运算．一、复习引入回想：我们已经学习了分式的哪些运算？1．分式的乘除运算主假如经过( )进行的，分式的加减运算主假如经过( ) 进行的．2．分数的混淆运算法例是再算 ()，最后算 ( ( ) ，近似的，分式的混淆运算法例是先算 ) ，有括号的先算 ( )里面的．( )，二、研究新知1．典型例题例1计算：( x＋2 ＋ 4 ) ÷x .x－2 x2－ 4x＋ 4 x－ 2 剖析：应先算括号里的．例 2计算：4y 24x 2yx ＋ 2y ＋ x － 2y － x 2－ 4y2. 剖析： (1)此题应采纳逐渐通分的方法挨次进行； (2)x ＋ 2y 能够看作 x ＋ 2y.1 例 31 －2x 计算：1x ＋ yx ＋ y ·( 2x －x －y)．剖析：此题可用分派律简易计算．例 4 [ 1 2－1 2] ÷( 1 － 1 )．（ a ＋ b ）（ a － b ） a ＋b a － b 剖析：可先把被除式利用平方差公式分解因式后再约分．例 5(教材例 7)2a 21a b计算 ()·－ ÷ .b a － b b 4解： 2a1－ ab( )2· b ÷b a －b 4＝ 4a 2 1 － a 4 b 2 · ·a －b b b4a 24a4a 2 4a （ a －b ）＝ b 2（ a － b ）－ b 2＝ b 2（ a － b ）－ b 2（ a － b ）4a 2－ 4a 2＋ 4ab 4ab＝ b 2（ a － b ）＝b 2（ a － b ）＝ 4a ab － b 2.点拨：式与数有相同的混淆运算次序：先乘方，再乘除，而后加减．例 6(教材例 8)计算： (1)(m ＋ 2＋ 52m － 4) · ；2－ m 3－ mx ＋ 2 － x － 1x －4 (2)( x 2－ 2x x 2－ 4x ＋ 4) ÷ x .解： (1)(m ＋ 2＋ 5 2m － 4) ·2－ m 3－ m ＝（ m ＋ 2）（ 2－ m ）＋ 5 2m － 42－m ·3－ m＝ 9－ m 2 2（ m － 2） 2－ m · 3－ m＝（ 3－ m ）（ 3＋ m ）－ 2（ 2－ m ） 2－ m · 3－ m＝－ 2(m ＋ 3)；(2)( x ＋ 2－ x － 1x －4x 2 x 2) ÷ x － 2x － 4x ＋ 4＝ [ x ＋ 2 －x － 1 x （ x － 2） 2] ·x （ x － 2）x － 4＝（ x ＋ 2）（ x － 2）－（ x －1） x ·x x （ x － 2） 2x － 4 ＝ x 2－ 4－ x 2＋ x（ x － 2） 2（ x － 4）1＝（ x － 2） 2. 分式的加、减、乘、除混淆运算要注意以下几点：(1) 一般按分式的运算次序法例进行计算，但合适地使用运算律会使运算简易．(2) 要随时注意分子、分母可进行因式分解的式子，以备约分或通分时用，可防止运算烦琐．(3) 注意括号的“添”或“去”、“变大”与“变小”．(4) 结果要化为最简分式．增强练习，指引学生实时纠正在例题中出现的错误，进一步提升运算能力．三、稳固练习x 21． (1)x － 1－ x － 1；(2)(1 － 2)2÷x － 1；x ＋1 x ＋ 12ab2bc(3)（ a －b ）（ a － c ）＋（ a － b ）（ c － a ）；(4)( 1 ＋ 1 ) ÷2 xy2 .x － y x ＋ y x － y 2．教材第 142 页第 1， 2 题．四、讲堂小结1．分式的混淆运算法例是先算 ( )，再算 () ，最后算 ()，有括号先算 ()里的．2．一些题应用运算律、公式能简易运算．五、部署作业1．教材第 146 页习题 15.2 第 6 题．1 － 1 x 2－ 2x ＋ 1，此中 x ＝ 2－1.2．先化简再求值 x ＋ 1 x 2－ 1· x ＋ 1分式的混淆运算是分式这一章的要点和难点，波及到因式分解和通分这两个较难的知识点，可依据学生的详细状况，合适增添例题、习题，让学生娴熟掌握分式的运算法例并提升运算能力．15． 2.3整数指数幂1．知道负整数指数幂a－n＝1n.(a≠ 0， n 是正整数 ) a2．掌握整数指数幂的运算性质．3．会用科学记数法表示绝对值小于 1 的数．要点掌握整数指数幂的运算性质，会有科学记数法表示绝对值小于1 的数．难点负整数指数幂的性质的理解和应用．一、复习引入1．回想正整数指数幂的运算性质：(1) 同底数的幂的乘法： a m · a n ＝ a m ＋n (m ， n 是正整数 ) ；(2) 幂的乘方： (a m )n ＝ a mn (m ， n 是正整数 )； (3) 积的乘方： (ab)n ＝ a n b n (n 是正整数 )；(4) 同底数的幂的除法： a m ÷ a n ＝a m －n (a ≠ 0， m ， n 是正整数， m ＞n) ；a n a n(5) 分式的乘方： ( ) ＝n (n 是正整数 )．bb2．回想 0 指数幂的规定，即当 a ≠ 0 时， a 0＝ 1. 二、研究新知3 312，再假定正整数指数幂的运算性质am÷ a n( 一)1.计算当 a ≠ 0 时， a 3÷ a 5＝ a5＝a ＝aa 3· a 2 a－－－2.于是＝ a m n (a ≠ 0， m ， n 是正整数， m ＞ n)中的 m ＞ n 这个条件去掉，那么 a 3÷ a 5＝ a 3 5＝ a － 2 1获得 a ＝2(a ≠ 0)．a总结：负整数指数幂的运算性质：一般的，我们规定：当 n 是正整数时，a －n＝ 1n (a ≠ 0)．a 2．练习稳固：填空：(1) － 22＝ ________， (2)( － 2)2＝ ________， (3)( － 2)0＝ ________，(4)20＝ ________，－3－3 ＝________． (5)2 ＝ ________， (5)( － 2) 3．例 1 (教材例 9) 计算：－2 5 b 3－ 2； (1)a÷ a ； (2)( 2)a(3)(a －1 b 2 )3； (4)a － 2b 2· (a 2b － 2)－3.解： (1)a －2÷ a 5＝ a －2－ 5＝a －7＝ a 17；b 3－6a 4 －b －(2)( 2) 2＝－ 4＝ a 4b 6 ＝ 6； a ab 6(3)(a －1 b2 )3＝ a －3b6＝ba 3；－－－－－－b 8 (4)a 2b 2· (a 2b 2) 3＝ a 2b 2· a 6 b 6＝ a 8b 8＝ 8.a[剖析 ] 本例题是应用推行后的整数指数幂的运算性质进行计算，与用正整数指数幂的运算性质进行计算相同，但计算结果有负指数幂时，要写成分式形式．4．练习：计算： (1)(x 3y － 2)2； (2)x 2y － 2· (x －2y)3；(3)(3x 2y －2 2 － 23) ÷ (x y) . 5．例 2 判断以下等式能否正确？(1)a m÷ a n＝ a m·a －n； (2)(ab)n ＝ a n b －n .[ 剖析 ] 类比负数的引入使减法转变为加法，获得负指数幂的引入能够使除法转变为幂的乘法这个结论，从而使分式的运算与整式的运算一致同来，而后再判断等式能否正确．( 二)1.用科学记数法表示值较小的数因为 0.1＝ 1 ＝ 10 － 110 ； 0.01＝________＝ ________；0． 001＝ ________＝________所以 0.000 025＝ 2.5× 0.000 01＝ 2.5×10－5.我们能够利用 10 的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，马上它们表示成 a ×10－n 的形式，此中 n 是正整数，1≤ |a|＜ 10.2．例 3(教材例 10) 纳米是特别小的长度单位， 1 纳米＝ 10－9米，把 1 纳米的物体放到乒乓球上，就好像把乒乓球放到地球上 .1 立方毫米的空间能够放多少个1 立方纳米的物体？(物体之间的空隙忽视不计 )[ 剖析 ]这是一个介绍纳米的应用题，是应用科学记数法表示小于 1 的数．3．用科学记数法表示以下各数：0． 00 04，－ 0.034，0.000 000 45， 0.003 009.4．计算：－8 3 －3 2 －3 3.(1)(3 × 10 )× (4× 10 )； (2)(2 ×10 ) ÷(10 )三、讲堂小结1．引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围扩大到了全体整数，幂的性质仍旧成立．2．科学记数法不单能够表示一个值大于10 的数，也能够表示一些绝对值较小的数，在应用中，要注意 a 一定知足1≤ |a|＜ 10，此中 n 是正整数．四、部署作业教材第 147 页习题 15.2 第 7， 8， 9 题．本节课教课的主要内容是整数指数幂学设计上，教师要点发掘学生的潜伏能力，将从前所学的相关知识进行了扩大．在本节的教，让学生在讲堂上经过察看、考证、研究等活动，加深对新知识的理解．15．3分式方程(2课时)第 1 课时分式方程的解法1．理解分式方程的意义．2．理解解分式方程的基本思路和解法．3．理解解分式方程时可能无解的原由，并掌握解分式方程的验根方法．要点解分式方程的基本思路和解法．难点理解解分式方程时可能无解的原由．一、复习引入问题：一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h ，它以最大航速沿江顺流航行 90 km 所用时间，与以最大航速逆流航行 60 km 所用的时间相等，江水的流速为多少？90＝60[ 剖析 ] 设江水的流速为 x 千米 /时，依据题意，得 30＋ v 30－ v .①方程①有何特色？[ 归纳 ] 方程①中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程．发问：你还可以举出一个分式方程的例子吗？辨析：判断以下各式哪个是分式方程．x ＋ 2＝ 2y － z ； (3)1； (4)y＝0； (5)1＋ 2x ＝ 5.(1)x ＋ y ＝ 5； (2) 5 3 x x ＋ 5 x依据定义可得： (1)(2) 是整式方程， (3) 是分式， (4)(5) 是分式方程．二、研究新知1．思虑：如何解分式方程呢？为认识决本问题，请同学们先思虑并回答以下问题：(1) 回首一下解一元一次方程时是怎么去分母的，从中可否获得一点启迪？(2) 有没有方法能够去掉分式方程的分母把它转变为整式方程呢？ [ 可先松手让学生自主研究，合作学习并进行总结]方程①能够解答以下：方程两边同乘以 (30＋ v)(30 －v)，约去分母，得 90(30－ v)＝ 60(30 ＋ v)．解这个整式方程，得 v ＝ 6. 所以江水的流度为 6 千米 /时．[ 归纳 ]上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转变为整式方程来解．所乘的整式往常取方程中出现的各分式的最简公分母．2．例 1 解方程：1 ＝ 210.②x － 5 x － 25解：方程两边同乘 (x 2－ 25)，约去分母，得 x ＋ 5＝ 10.解这个整式方程，得 x ＝ 5.事实上，当 x ＝ 5 时，原分式方程左侧和右侧的分母 (x － 5)与 (x 2－ 25)都是 0，方程中出现的两个分式都没存心义，所以，x ＝ 5 不是分式方程的根，应当舍去，所以原分式方程无解．解分式方程的步骤：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不合适原分式方程的解 (或根 ) ，这类根往常称为增根．所以，在解分式方程时一定进行查验．3．那么，可能产生“增根”的原由在哪里呢？解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子(最简公分母 )．方程①两边乘 (30＋ v)(30 － v)，获得整式方程，它的解 v＝6.当 v＝ 6 时， (30＋ v)(30 － v)≠ 0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为 0 的式子，所以所得整式方程的解与①的解相同．方程②两边乘(x－ 5)(x ＋ 5)，获得整式方程，它的解 x＝ 5.当 x＝ 5 时，(x －5)(x ＋ 5)＝ 0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0 的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为 0 的现象，所以这样的解不是②的解．4．验根的方法：解分式方程进行查验的要点是看所求得的整式方程的根能否使原分式方程中的分式的分母为零．有时为了简易起见，也可将它代入所乘的整式 (即最简公分母 )，看它的值能否为零．假如为零，即为增根．如例 1 中的 x＝ 5，代入 x2－ 25＝0，可知 x＝ 5 是原分式方程的增根．三、举例剖析例 2(教材例 1) 解方程 2 ＝3.x－ 3 x解：方程两边乘x(x －3) ，得 2x ＝ 3x－ 9.解得 x＝ 9.查验：当x＝ 9 时， x(x － 3)≠ 0.所以，原分式方程的解为x＝9.例 3(教材例 2) 解方程x － 1＝ 3.x－ 1 （x－ 1）（ x＋ 2）解：方程两边乘 (x－ 1)(x ＋2)，得x(x ＋ 2)－ (x－ 1)(x ＋ 2)＝ 3.解得 x＝ 1.查验：当x＝ 1 时， (x－1)(x ＋ 2)＝ 0，所以 x＝ 1 不是原分式方程的解．所以，原分式方程无解．四、讲堂小结1．分式方程：分母中含有未知数的方程．2．解分式方程的一般步骤以下：。

人教版八年级数学上册第十五章《分式的约分》学习任务单(公开课导学案)及作业设计

人教版八年级数学上册第十五章
《分式的约分》学习任务单及作业设计
【学习目标】
1.了解分式约分，最简分式的概念及约分的依据.
2.会用分式的基本性质进行分式约分.
3.在分式约分的新知探究中，发展数理概括及计算能力，体会数学的类比思想.
【课前学习任务】
1.复习分式的基本性质.
2.复习分数的基本性质.
3.复习因式分解的概念.
4.复习因式分解的方法：提公因式法，平方差公式，完全平方公式，十字相乘法.
【课上学习任务】
学习任务一：
1.下列分式中是最简分式的是（）
学习任务二：
2.将下列式子进行约分:
学习任务三：
3.下列是甲，乙，丙三位同学做的分式约分的数学题，你作为小老师判断他们做得对不对？如果不对，写出正确答案.
甲：乙：丙：
【学习资源】
1.观看网络课程：分式的约分.
2.阅读课本第 130 页至第 131 页,在书上圈划出主要知识点. 【作业设计】
1.化简分式的结果是（）
2.下列式子中是最简分式的有 .（只写序号）
3.将下列分式进行约分:
4.将下列分式进行约分:
【参考答案】
1. A
2.②⑤⑥。

八年级数学上册第15章分式教案 (新版)新人教版

分式课题：15.1.1从分数到分式教学目标：知识与技能：1、理解分式的概念，分式有意义或无意义的条件，分式的值为零的条件。

2、能熟练地求出分式有意义、无意义、分式的值为零时字母的取值范围。

3、能用分式表示数量关系，会判别分式何时有意义，分式的值为零的条件。

过程与方法：经历分式概念的自我建构过程及用分式描述数量关系的过程，学会数学学习的一些常用方法：类比转化、合情推理、抽象概括等。

情感、态度与价值观：在学习过程中，通过丰富的数学活动，获得成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体会分式的模型思想。

教学重点：分式的概念，分式有意义或无意义的条件，分式的值为零的条件.教学难点：熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.教学过程：一、情景导入（2分钟）1、复习提问：什么是整式？什么是单项式？什么是多项式？2．问题导入：学生看P 126引言的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它以最大航速顺流航行90千米所用时间与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？请同学们跟着教师一起设未知数，列方程.设江水的流速为v 千米/时，则轮船顺流航行90千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用时间为小时，所以，列方程为。

设疑：你所填的两个代数式是整式吗？今天我们再认识代数式家族中新的一员——分式。

二、自学指导（8分钟）1、熟读课本第127——128页，让学生填写[思考]，学生自己依次填出：710，a s ，33200，s v .（完成思考内容:式子有什么共同点? a s ，s v 与分数有什么相同点和不同点？小组合作后归纳小结，一人发言）2.填空：形如的形式，A,B 表示两个整式，并且B 中，那么式子叫做分式。

A 叫，B 叫做。

3、默读例题后思考：由分数有意义和无意义的条件类比得出：当分式有意义时，分母B 0，；当分式无意义时，分母B 0，；当分式的值为0时，分子A 0且分母B 0。

15.1.3分式通分(教案)-人教版八年级数学上册

2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示分式通分在解决实际问题中的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“分式通分在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《分式通分》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算两种不同单位的数值相加或相减的情况？”（如1米+2厘米）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索分式通分的奥秘。
二、核心素养目标
1.培养学生逻辑推理能力，通过对分式通分规则的探究，理解并掌握分式加减运算的内在逻辑。
2.提升学生数学抽象思维，通过寻找最简公分母的过程，培养化繁为简、抽象概括的能力。
3.增强学生数学运算技能，通过实际操作和练习，熟练运用通分方法进行分式加减运算，提高解题效率。
4.培养学生合作交流意识，在小组讨论与分享中，学会倾听他人意见，取长补短，共同提高分式通分技能。
五ห้องสมุดไป่ตู้教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对于分式通分的概念和步骤掌握得还不错，但在实际应用中，他们有时会感到困惑，特别是在寻找最简公分母时。我意识到，这可能是因为他们在因式分解和找最小公倍数方面的技能还不够熟练。在未来的教学中，我需要更多地强调这些基础技能的重要性，并通过更多的练习来加强他们的能力。
课堂上，我尝试通过生活中的例子来导入新课，这样做的效果很好，学生们明显对分式通分产生了兴趣。我注意到，当他们能够将所学的数学知识与自己熟悉的事物联系起来时，学习的效果会更好。因此，我决定在接下来的课程中，继续采用这种方法，让学生们在实际情境中感受数学的魅力。

新人教版八年级数学上册《 15.1.2分式的通分》导学案

以组为单位进行交流，达成共识。
倾听其他同学的答案。
注意听教师强调知识点。
1、针对不会的问题用双色笔做好标记，为组内交流时向其他同学请教做准备。
2.对于组内交流无法解决的问题提交老师或组间交流解决疑问。
预见性问题：通分定义叙述不够准确，组间交流补充完整。
2、在通分时，若分母是多项式，则应先进行因式分解，再确定各分式的最简公分母。
研习
通
分
问题一
类似分数的通分，你知道什么是
分式的通分吗？
（1）求分式
的最简公分母。
2、
问题二：
试确定下列分式的最简公分母：（分母中虽然有的因式是多项式，但仍然是积的形式。）
3、求分式
的最简公分母
通过大屏幕引课。
1教师指导学生根据分数的性质用等号完成填空
教师指导学生类比分数的性质归纳出分式的基本性质
单独完成问题。
学生活动
预见性问题及对策
备习
预习教材
复习
1、分式的基本性质
约分：
2、把分数，，通分，回忆什么叫分数的通分？
大屏幕出示复习题。随机提问学生回答。
倾听学生的回答，做必要的纠正。
认真完成后，倾听同学的回答，及时补充并纠正。
预见性问题：
1.回答不全面，组间交流补充完整
2.对复习中溜号的学生及时提醒。
教师引导帮助学生围绕这个问题来梳理知识，同时对学生的总结加以补充、完善。
教师指导学生根据分式的基本性质进行填空，对于学困生给予帮助和鼓励
学生自主回答，互相补充。
对知识运用部分的问题先独立完成，再小组交流合作，完成知识运用。
先独立完成后，小组交流，统一答案，准备组间交流。
预见性问题：

新人教版初中数学八年级上册《第十五章分式：探究分式方程的解法》公开课导学案_0

15.3分式方程（第一课时）一、内容及内容解析1.内容分式方程的概念，会解分式方程，了解分式方程验根的必要性。

2.内容解析分式方程是分母中含有未知数的方程，它是整式方程的延伸和发展，是人们对方程认识的一次提升。

解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程（突出转化思想的渗透），其关键步骤是去分母，去分母时可能引起方程同解性的变化。

因此，检验分式方程的根是解分式方程中必不可少的重要环节。

利用去分母的方法将分式方程化为整式方程，并把整式方程逐步转化为x=a的形式，然后对分式方程的根进行检验，这一过程蕴含着化归思想和程序化思想。

基于以上分析，确定本课的教学重点：利用去分母的方法解分式方程。

3．教材分析分式方程是分母中含有未知数的方程，它是整式方程的延伸和发展，是人们对方程认识的一次提升。

教材通过经历实际问题→列分式方程→探究解分式方程的过程，体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型，进一步发展学生分析问题和解决问题的能力，培养应用意识。

解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根，让学生在学习中讨论从而理解、掌握。

二、目标和目标解析1.目标（1）了解分式方程的概念。

（2）会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单分式方程，体会化归思想和程序化思想。

（3）了解需要对分式方程的解进行检验的原因。

2.目标解析达成目标（1）的标志是：学生知道分式方程的特征，能识别分式方程。

达成目标（2）的标志是：学生知道解分式方程要经历的过程：“去分母”“解整式方程”“检验”“得出分式方程的解”4个步骤，并能按照步骤解分式方程；知道去分母就是在方程两边同乘最简公分母，将分式方程化为整式方程；“解整式方程”目前就是解一元一次方程，逐步化为x=a的形式；“检验”就是指用代入的方法检验所求的整式方程的解是否为原分式方程的解。

在解分式方程的过程中，体会化归思想和程序化思想。

人教版八年级数学上册《十五章分式 15.1 分式分式的基本性质应用：约分、通分》优课导学案_5

教案设计学习内容：教材课题P131-132页教学目标：【知识与技能】1.理解最简公分母的概念，会确定最简公分母。

2理解通分的概念和理论根据，会用分式的基本性质将分式通分。

【过程与方法】1．会通过类比的方法自己归纳猜想分式通分的意义。

2．熟练地进行分式的通分。

【情感态度、价值观】培养学生观察、类比、归纳的能力，感受知识的内在联系。

教学重点：利用分式的基本性质将分式通分。

教学难点：最简公分母的确定。

一、知识回顾1.分式的基本性质分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。

2.什么叫约分？根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去。

练一练：【设计意图】回顾分式基本性质的相关知识，为接下来学习通分做好知识准备二、探索新知计算：6141+ 追问1 什么叫分数通分？把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。

)(.,:是不等于零的整式其中用公式表示为M MB M A B A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=22342)1(y x y x -444)2(22++-x x x追问2 类比分数的通分来叙述分式的通分根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。

【设计意图】通过类比分数的通分，让学生认识到分式通分的概念。

类型1：当分母是单项式时例1.通分(分母为单项式)y x 11)1(与 c ab b a c 221)2(与 3246138)3(xy x x 与与- 【设计意图】通过观察，归纳分式通分的关键在于找出最简公分母以及如何找最简公分母。

练习 1.分式 ab x 与bc y 的最简公分母是_________；分式bd c 2 与243b ac 的最简公分母是_________；分式c b a ，ab c a b 23326,43-的最简公分母是___________；练习2.通分（1）b a 223与c ab b a 2- （2）2243ab 与b a 6- （3）x y 2,23y x ,xy 41 解：最简公分母：解：最简公分母：解：最简公分母：归纳：通分的步骤：一是确定最简公分母，二是通分。