三角不等式的证明方法

矩阵范数三角不等式证明

矩阵范数三角不等式证明在线性代数中，矩阵范数的三角不等式是一个重要的基本定理。

本文将生动、全面和有指导意义地证明该不等式。

首先，我们来了解一下什么是矩阵范数。

矩阵范数是对矩阵的度量，类似于向量的范数。

它表示矩阵的“大小”或“长度”，并衡量了矩阵变化的幅度。

对于任意一个矩阵A，其范数定义为||A|| = max{||Ax||: ||x|| = 1}，其中Ax是矩阵A与向量x的乘积。

这个定义告诉我们，矩阵的范数等于在单位球上的最大值。

接下来，我们来证明矩阵范数的三角不等式。

设A和B是两个矩阵，我们要证明||A+B|| ≤ ||A|| + ||B||。

首先，我们定义矩阵C = A + B。

根据范数的定义，我们需要证明的是对于任意的向量x，有||Cx|| ≤ ||A|| + ||B||。

设y = Ax，z = Bx，那么Cx = y + z。

由于范数是非负的，所以有||y|| ≤ ||A||和||z|| ≤ ||B||。

我们来考虑||y + z||²。

根据内积的定义，有||y + z||² = (y + z)ᵀ(y + z) = ||y||² + 2yᵀz + ||z||²。

现在，我们需要证明2yᵀz ≤ 2||A|| ||B||。

根据柯西-施瓦茨不等式，有2yᵀz ≤ ||y||² + ||z||² = ||A||² + ||B||²。

所以，我们只需要证明||A||² + ||B||² ≤ (||A|| + ||B||)²。

展开式得到||A||² + ||B||² ≤ ||A||² + 2||A|| ||B|| + ||B||²。

简化后可得0 ≤ 2||A|| ||B||。

这是显然成立的，因为范数是非负的。

由此我们得到||y + z||² ≤ (||A|| + ||B||)²，即||Cx||²≤ (||A|| + ||B||)²。

三角不等式绝对值公式

三角不等式绝对值公式
三角不等式是指对于任意两个数a和b，有：
|a + b| ≤ |a| + |b|
等号成立时，说明a和b的符号相同或者其中一个数为0。

绝对值公式指的是：对于任意实数x，有：
|x| = {x，x≥0; -x，x<0}
也就是说，绝对值函数|x|的值等于其参数的绝对值。

如果x是非
负数，则其绝对值等于该数本身；如果x是负数，则其绝对值等于该
数的相反数。

综合起来，三角不等式绝对值公式的意思是，对于任意两个数a
和b，它们的和的绝对值不大于它们各自的绝对值之和。

这个公式可以用来证明不等式和解决一些实际问题，比如测量误差、不等式证明等。

探究三角函数与三角变换的不等式与恒等式

探究三角函数与三角变换的不等式与恒等式三角函数与三角变换的不等式与恒等式三角函数与三角变换在数学中具有广泛的应用。

通过研究三角函数与三角变换的不等式与恒等式，我们可以深入理解它们的性质和特点。

本文将探究三角函数与三角变换的不等式与恒等式，并分析其应用。

一、不等式1. 正弦函数的不等式正弦函数的值域在[-1,1]之间，因此对于任意实数x，有-1≤sin(x)≤1。

根据这一性质，我们可以推导出正弦函数的不等式。

1.1 正弦函数的单调性正弦函数在区间[-π/2,π/2]上是严格递增的，在区间[π/2,3π/2]上是严格递减的。

基于这一性质，我们可以得到以下不等式：（1）当0≤a≤b≤π/2时，有sin(a)≤sin(b)；（2）当π/2≤a≤b≤3π/2时，有sin(a)≥sin(b)。

1.2 正弦函数的周期性正弦函数的周期为2π。

对于任意实数x，在正弦函数的周期上添加任意整数倍的2π，函数值保持不变。

因此，我们可以得到以下不等式：（1）sin(x)≤sin(x+2kπ)≤1，其中k为整数；（2）-1≤sin(x+2kπ)≤s in(x)，其中k为整数。

2. 余弦函数的不等式余弦函数的值域也在[-1,1]之间，因此对于任意实数x，有-1≤cos(x)≤1。

根据这一性质，我们可以推导出余弦函数的不等式。

2.1 余弦函数的单调性余弦函数在区间[0,π]上是严格递减的，在区间[-π,0]上是严格递增的。

基于这一性质，我们可以得到以下不等式：（1）当0≤a≤b≤π时，有cos(b)≤cos(a)；（2）当-π≤a≤b≤0时，有cos(b)≥cos(a)。

2.2 余弦函数的周期性余弦函数的周期也为2π。

对于任意实数x，在余弦函数的周期上添加任意整数倍的2π，函数值保持不变。

因此，我们可以得到以下不等式：（1）-1≤cos(x)≤cos(x+2kπ)≤1，其中k为整数；（2）cos(x)≥cos(x+2kπ)≥-1，其中k为整数。

三角不等式的证明

三角不等式的证明
合肥教育学院蔡道法
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三角不等式的证明由于课木中没有专门章节叙因此学生往往不知从何下手本文将三角不等式
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第24讲_三角不等式

第四讲三角不等式含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式．三角不等式首先是不等式，因此，处理不等式的常用方法如配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、反证法、数学归纳法等也是解决三角不等式的常用方法．其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图像特征、三角公式及三角恒等变形的方法等都是处理三角不等式的常用工具．A 类例题例1 已知α、β为锐角，且()02x παβ+->，求证对一切0x ≠，有(cos )(sin )x x αβ<分析要证的不等式两边均为指数式，且指数相同，可考虑利用函数()f x x α=的单调性，因此首先应比较cos α与sin β的大小，而函数()f x x α=的单调性与α的符号有关，可分情况讨论．证明（1）若x >0，则2παβ+>，则022ππβα>>->，由正弦函数的单调性，得0sin()sin 12παβ<-<<，即0cos sin 1αβ<<<，又x >0，故有(cos )(sin )x x αβ<．（2）若x <0，则2παβ+<，则022ππβα<<-<，由正弦函数的单调性，得0s i n s i n ()12πβα<<-<，即0s i n c o s 1βα<<<，又x <0，故有(cos )(sin )x x αβ<．说明比较不同角的正弦与余弦的大小，可先化同名，再利用正余弦函数的单调性比较，而一组2πα±的诱导公式是实现正、余弦转化的有力工具．例2 已知0απ<<，试比较2sin2α和cot 2α的大小．分析两个式子分别含有2α与2α的三角函数，故可考虑都化为α的三角函数，注意到两式均为正，可考虑作商来比较．解法一2sin 21cos 4sin cos tan4sin cos 2sin cot2ααααααααα-== =2214cos 4cos 4(cos )12ααα-=--+，∵0απ<<，所以当1cos 2α=，即3πα=时，上式有最大值1，当0απ<<且3πα≠时，上式总小于1．因此，当3πα=时，2sin2α=cot2α；当0απ<<且3πα≠时，2sin2α<cot2α．解法二设tan2t α=，由0απ<<得022απ<<，故tan 02t α=>，则1cot 2tα=，2224(1)22sin 24sin cos (1)t t t ααα-⋅==+，于是有 cot 2α-2sin2α=2422222222214(1)2961(31)0(1)(1)(1)t t t t t t t t t t t -⋅-+--==≥+++ 因此，当3πα=时，2sin2α=cot 2α；当0απ<<且3πα≠时，2sin2α<cot2α．例3 已知[0,]x π∈，求证：cos(sin x )>sin(cos x )分析一从比较两数大小的角度来看，可考虑找一个中间量，比cos(sin x )小，同时比sin(cos x )大，即可证明原不等式．证法一（1）当0,,2x ππ=时，显然cos(sin x )>sin(cos x )成立．（2）当2x ππ<<时，0s i n 12x π<<<，cos 02x π-<<，则cos(sin x )>0>sin(cos x )．（3）当02x π<<时，有0<sin x <x <2π，而函数y =cos x 在(0,)2π上为减函数，从而有cos(sin x )>cos x ；而0c o s 2x π<<，则sin(cos x )<cos x ，因此cos(sin x ) >cos x >sin(cos x )，从而cos(sin x )>sin(cos x )．分析二 cos(sin x )可看作一个角sin x 的余弦，而sin(cos x )可看作一个角cos x 的正弦，因此可考虑先用诱导公式化为同名三角函数，再利用三角函数的单调性来证明．证法二当02x π<<时，有0<sin x <1，0<cos x <1，且sin x +cos x )4x π+2π≤，即0<sin x <2π-cos x <2π，而函数y =cos x在(0,)2π上为减函数，所以cos(sin x )>cos(2π-cos x )=sin(cos x )，即cos(sin x )>sin(cos x )．x 在其他区域时，证明同证法1．说明（1）本题的证明运用到结论：(0,)2x π∈时，sin tan x x x <<，这是实现角与三角函数值不等关系转化的重要工具，该结论可利用三角函数线知识来证明．（2）证法一通过中间量cos x 来比较，证法二利用有界性得sin x +cos x 2π<，再利用单调性证明，这是比较大小常用的两种方法；（3）本题结论可推广至x R ∈.情景再现1．在锐角△ABC 中，求证： sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++.2．已知,(0,)2x y π∈，tan 3tan x y =，求证：6x y π-≤.3．当[0,]2x π∈时，求证：coscos sinsin x x >.B 类例题例4 在ABC ∆中，证明： sin sin sin A B C ++≤分析一本题中有三个变量A 、B 、C ，且满足A +B +C =180°，先固定其中一个如角C ，由于A +B =180°- C ,故对不等式的左边进行和差化积，将其转化为与A －B 有关的三角函数进行研究．证法一我们先假定C 是常量，于是A +B =π-C 也是常量.sin sin sin 2sincos sin 22A B A B A B C C +-++=+2cos cos sin 22c A BC -=+，显然，对于同一个C 值，当A =B 时，上式达到最大值．同样，对同一个A 或B ，有类似结论；因此,只要A 、B 、C 中任意两个不等，表达式sin sin sin A B C ++就没有达到最大值，因而，当A =B =C =3π时，sin sin sin A B C ++，∴原不等式得证．说明不等式中含有多个变量时，我们往往固定其中部分变量，求其他变量变化时，相应表达式的最值，这种方法称为逐步调整法．分析二即证sin sin sin 3A B C ++观察左边的形式，从而考虑用琴生不等式进行证明．证法二函数sin y x =是区间（0，π）上的上凸函数，从而对任意的三个自变量123,,(0,)x x x π∈，总有123123sin sin sin sin()33x x x x x x ++++≥，等号当123x x x ==时成立．因此有sin sin sin sin()33A B C A B C++++≥，从而有sin sin sin 180sin 33A B C ++︒≤=，因此原不等式成立．说明本方法是利用凸函数性质解题，三角函数在一定区间内均为凸x )为上凸函数，不等号反向．例5 已知,,x y z R ∈,02x y z π<<<<．求证：2sin cos 2sin cos sin 2sin 2sin 22x y y z x y zπ++>++（90年国家集训队测试题）分析将二倍角均化为单角的正余弦，联想单位圆中的三角函数线，两两正余弦的乘积联想到图形的面积．证明即证sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 4x y y z x x y y z z π++>++即证明sin (cos cos )sin (cos cos )sin cos 4x x y y y z z z π>-+-+注意到上式右边是如图所示单位圆中三个阴影矩形的面积之和，而4π为此单位圆在第一象限的面积，所以上式成立，综上所述，原不等式成立．例6 63)cos()2sin 24sin cos a πθθθθ+-+-+36a <+对于[0,]2πθ∈恒成立．求a 的取值范围．（2004年首届东南地区数学奥赛试题）分析所给不等式中有两个变量，给出其中一个的范围，求另一个的范围，常采用分离变量的方法．注意到与角θ有关的几个三角函数式，cos()cos )4πθθθ-=+，sin22sin cos θθθ=，因此考虑令sin cos x θθ+=进行变量代换，以化简所给不等式，再寻求解题思路．解设sin cos x θθ+=，则2cos(),sin 2142x x πθθ-==-，当[0,]2πθ∈时，x ⎡∈⎣．从而原不等式可化为：26(23)2(1)36a x x a x ++--<+，即26223340x ax x a x ---++>，222()3()0x x a x a x x +--+->，()2(23)0(1)x x a x x ⎛⎫⎡-+->∈ ⎪⎣⎝⎭∴原不等式等价于不等式（1），1,,230x x ⎡∈∴-<⎣（1）不等式恒成立等价于()20x a x x⎡+-<∈⎣恒成立．从而只要m a x 2()()a x x x ⎡>+∈⎣．又2()f x x x =+在⎡⎣上递减，m a x 2()3()x x x⎡∴+=∈⎣，所以3a >．例7 三个数a ,b ,c ∈(0,)2π，且满足cos a a =，sincos b b =，cossin c c =，按从小到大的顺序排列这三个数．（第16届全苏竞赛题）分析比较a ,b ,c 三数的大小，cos a a =，sincos cos b b b =<，cossin cos c c c =>，等式的两边变量均不相同，直接比较不易进行，故考虑分类讨论，先比较a 与b ，由cos sin cos a ab b==，对等号两边分别比较，即先假定一边的不等号方向，再验证另一侧的不等号方向是否一致．解（1）若a b =，则cos si n cos a a =，但由c o s a (0,)2π∈，故有cos si n cos a a >矛盾，即a ≠b ．（2）若a b <，则由单调性可知cos cos a b >，又由a b <及题意可得cos sincos a b <，而sincos cos b b <，因此又可得cos cos a b <，从而产生矛盾．综上，a b >．类似地，若c a =，则由题意可得cos cossin a a =，从而可得sin a a =与sin a a >矛盾；若c a <，则s i n s i n c a a <<，即s i n c a <，cossin cos c a ∴>，即c a >矛盾．综上可得：b a c <<．说明本题的实质是用排除法从两个实数的三种可能的大小关系排除掉两种，从而得第三种，体现了“正难则反”的解题策略．情景再现4．在三角形ABC 中，求证：（1）3sinsin sin 2222A B C ++≤；（2）sin sin sin A B C ． 5．设12x y z π≥≥≥，且2x y z π++=，求乘积cos sin cos x y z 的最值．（1997年全国高中数学联赛）6．求证：|sin cos tan cot sec csc |1x x x x x x +++++≥（2004年福建省数学竞赛题）C 类例题例8 已知当[0,1]x ∈时，不等式22cos (1)(1)sin 0x x x x θθ--+->恒成立，试求θ的取值范围．（1999年全国高中数学联赛题）分析一不等式左边按一、三两项配方，求出左边式子的最小值，根据最小值应当为正求出θ的取值范围．解法一设22()cos (1)(1)sin f x x x x x θθ=--+-，则由[0,1]x ∈时()0f x >恒成立，有(0)sin 0f θ=>，(1)cos 0f θ=>，22()([(12(12(1f x x x x x x ∴=+----(1)x x --21[(12(1)(02x x x =--->，当x =(10x -=，令0x =，则001x <<，0001()2(1)02f x x x =->12>，即1sin 22θ>，且sin 0,cos 0θθ>>，所求范围是：522,1212k k k Z ππθππ+<<+∈，反之，当522,1212k k k Z ππθππ+<<+∈时，有1sin 22θ>，且s i n 0,c o s 0θθ>>，于是只要[0,1]x ∈必有()0f x >恒成立．分析二不等式左边视为关于x 的二次函数，求出此二次函数的最小值，令其大于0，从而求出θ的取值范围．解法二由条件知，cos 0,sin 0θθ>>，若对一切[0,1]x ∈时，恒有()f x =22cos (1)(1)sin 0x x x x θθ--+->，即2()(cos 1sin )(12sin )sin 0f x x x θθθθ=++-++>对[0,1]x ∈时恒成立，则必有cos (1)0,sin (0)0f f θθ=>=>，另一方面对称轴为12sin 2(cos sin 1)x θθθ+=++[0,1]∈，故必有24(cos sin 1)sin (12sin )04(cos sin 1)θθθθθθ++-+>++，即4cos sin 10θθ->，1sin 22θ>，又由于cos 0,sin 0θθ>>故522,1212k k k Z πππθπ+<<+∈．分析三原不等式看作关于x 与1-x 的二次齐次式，两边同除x (1-x )．解法三原不等式化为：x 2cos θ+(1-x )2sin θ>x (1-x )，①x =0得sin θ>0，x =1得cos θ>0；②当x ≠0且x ≠1时，上式可化为：1x x -cos θ+1x x-sin θ>1对x ∈(0,1)恒成立，由基本不等式得1x x -cos θ+1xx-sin θ≥，∴1x x -cos θ+1xx-sin θ的最小值为，等号当1x x -cos θ=1x x -sin θ即x =时取到，因此．∴1sin 22θ>，又由于cos 0,sin 0θθ>>故522,1212k k k Z πππθπ+<<+∈．例9已知,,,a b A B 都是实数，若对于一切实数x ，都有()1cos sin cos2sin 20f x a x b x A x B x =----≥，求证：222a b +≤，221A B +≤．（1977第十九届IMO ）分析根据函数式的特征及所要证明的式子易知，应首先将不等式化成()1))0f x x x θϕ=++≥，其中x 为任意实数，注意到所要证的结论中不含未知数x ，故考虑用特殊值方法．证明若220a b +=，220A B +=，则结论显然成立；故下设220a b +≠，220A B +≠：令sin θθϕϕ===()1))f x x x θϕ=++，即对于一切实数x ，都有()1))0f x x x θϕ=++≥（1）()1))02f x x x πθϕ+=++≥ （2）（1）+（2）得：2)cos()]0x x θθ+++≥，即sin()cos()x x θθ+++≤对于一切实数x ≥因此222a b +≤．()1))0f x x x πθϕ+=++≥ （3）（1）+（3）得：2)0x ϕ-+≥，即sin(2)x ϕ+1≥，∴ 221A B +≤．例10 设αβγπ++=，求证：对任意满足0x y z ++=的实数,,x y z 有222sin sin sin 0yz zx xy αβγ++≤分析由0x y z ++=消去一个未知数z ，再整理成关于y 的二次不等式，对x 恒成立，即可得证．证明由题意，则将()z x y =-+代入不等式左边得，不等式左边=2222222[sin sin (sin sin sin )]y x xy αβαβγ-+++- （1）当sin 0α=，易证不等式左边0≤成立．；（2）当sin 0α≠，整理成y 的二次方程，证△≤0．左边2222(sin sin sin )[sin ]2sin x y αβγαα+-=-+22222222[(sin sin sin )4sin sin ]4sin x αβγαβα+--+，由222222(sin sin sin )4sin sin αβγαβ+--222222(sin sin sin 2sin sin )(sin sin sin 2sin sin )αβγαβαβγαβ=+-++--2sin sin [1cos()]2sin sin [1cos()]αβαβαβαβ=-+⋅--+2224sin sin [1cos ()]0αβαβ=--+≤，∴22222222[(sin sin sin )4sin sin ]4sin x αβγαβα+--0≤，∴不等式左边0≤成立．情景再现7．证明：对于任意△ABC ，不等式a cos A +b cos B +c cos C ≤p 成立，其中a 、b 、c 为三角形的三边，A 、B 、C 分别为它们的对角，p 为半周长．（第十六届全俄数学竞赛题）8．设,,αβγ是一个锐角三角形的三个内角，求证：sin sin sin tan tan tan 2αβγαβγπ+++++>习题1．求证：对所有实数,x y ，均有22cos cos cos 3x y xy +-<． 2．在锐角三角形ABC 中，求证： tan tan tan 1A B C > 3．在锐角三角形ABC 中．求证： sin sin sin 2A B C ++>4．求证：222sin (cos(sin )sin(cos )2sin (44x x ππ≤-≤5．已知,(0,)2παβ∈，能否以sin ,sin ,sin()αβαβ+的值为边长，构成一个三角形？6．已知,αβ为锐角，求证：2222119cos sin sin cos ααββ+≥ 7．已知A +B +C =π，求证：222tan tan tan 1222A B C ++≥ 8．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，求证：3π≥++++c b a cC bB aA ．9．设A 、B 、C 为锐角三角形之内角，n 为自然数，求证：12tan tan tan 3nnnnA B C +++≥．（93年第三届澳门数学奥林匹克赛题）10．已知02πθ<<，,0a b >，求证：223332()sin cos a b a b θθ+≥+11．设P 是三角形ABC 内任一点，求证：∠P AB ，∠PBC ，∠PCA 中至少有一个小于或等于30°．12．解方程coscoscoscos sinsinsinsin x x =（1995年全俄竞赛题）本节“情景再现”解答：1．证明：锐角三角形可知A+B 2π<，从而A 2π<-B ，从而sin cos A B >，同理sin cos ,sin cos B C C A >>，三式相加得证．2．证明：由已知得tan 3tan tan x y y =>及,(0,)2x y π∈知，x y >，从而(0,)2x y π-∈，要证6x y π-≤，只须证明tan()tan 6x y π-≤=，由于2tan tan 2tan tan()1tan tan 13tan x y yx y x y y--==++，于是问题归结为证22tan 13tan y y ≤+，即21)0y -≥，而上式显然成立，因此原不等式成立．3．证法一：当x ∈(0,2π)时，∵0<sin x <x <2π,∴sinsin x <sin x ,再比较sin x 与coscos x 的大小，由sin x =cos (2π-x )，即比较(2π-x )与cos x ，而cos x =sin (2π-x ),因此(2π-x )＞cos x ，从而cos (2π-x )<coscos x ，即sin x <coscos x ，从而得证．证法二： sin x +cos x 2π≤，即0<cos x <2π-sin x <2π，所以cos(cos x )>cos(2π-sin x )=sin(sin x )． 4．证明：（1）由琴生不等式即得．（2sin sin sin sin 33A B C A B C ++++≤，从而得证． 5．解：由条件知，312x y z ππ≥≥≥≥，()222123x y z ππππ=-+≤-⨯=，sin()0y z -≥，于是cos sin cos x y z =1cos [sin()sin()]2x y z y z ++-1cos sin()2x y z ≥+22111cos cos 2238x π=≥=，当,312x y z ππ===时取等号，故最小值为18（y 与z 相等，且x 达到最大时，乘积有最小值）．又cos sin cos x y z =1cos [sin()sin()]2z x y x y +--211cos sin()cos 22z x y z ≤+=21cos 212π≤，且当5,1224z x y ππ===时等号成立，故cos sin cos x y z6．证明：设()|s i n c o s t a n c o t f x x x x x x x=+++++，sin cos t x x=+，则有21sin cos 2t x x -=，2222()||11t f x t t t =++--22|||11|11t t t t =+=-++-- 当1t >时，2()1111f x t t =-++≥-；当1t <时，2()(1)111f x t t =--+-≥-因此|sin cos tan cot sec csc |1x x x x x x +++++≥．7．证明：因为cos x （x ∈（0，π））递减，所以a -b 与cos A -cos B 异号，从而（a -b ）（cos A -cos B ）≤0．即a cos A +b cos B ≤a cos B +b cos A =C （l ）当且仅当a =b 时等号成立．同理a cos A +c cos C ≤b （2） b cos B +c cos C ≤a （3），1[(1)(2)(3)]2⨯++即得所要证的不等式． 8．证明：2242tan2tan4tan222sin tan 4tan 21tan 1tan 1tan 222ααααααααα+=+=>+--， 0,tan,sin tan 4tan22222πααααααα<<∴>∴+>>，同理得另两个，命题得证．“习题”解答：1．证明：22cos cos cos 3x y xy +-≤显然成立，下面证明等号不能成立．用反证法．若等号成立，则22cos 1,cos 1,cos 1x y xy ===-，则222,2,,*x k y n k n N ππ==∈，则2224,,*x y nk k n N π=∈，则,,*xy k n N =∈，cos 1xy ≠-，因此等号不成立．2．证明：锐角三角形可知A+B 2π<，从而A 2π<-B ，从而sin cos A B >，同理sin cos ,sin cos B C C A >>，三式相乘得sin sin sin cos cos cos A B C A B C >．从而可得tan tan tan 1A B C >．3．解：22sin sin ,sin sin A A B B >>，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+22cos cos cos cos cos cos B B A A B A >+=+，三式相加得证．4．证明：cos(sin )sin(cos )cos(sin )cos(cos )2x x x x π-=--cos sin cos sin 2sin()sin()4242x x x xππ+-=--又cos sin 2x x ±≤ cos sin 4424x x πππ±≤-≤，又04π>，4π2π<，由正弦函数在[0,]2π上的单调性可知，原不等式成立．5．证法一：sin sin 2sincos2sincossin()2222αβαβαβαβαβαβ+-+++=>=+ |sin sin |2cos|sin|2cossinsin()2222αβαβαβαβαβαβ+-++-=<=+，因此可以构成三角形．证法二：在直径为1的圆内作内接三角形ABC ，使,A B αβ∠=∠=，()C παβ∴∠=-+则sin ,sin ,sin()BC AC AB αβαβ===+，因此可构成三角形．6．解：左222222214145tan 4cot 9cos sin sin 2cos sin ααααβαα=+≥+=++≥． 7．证：左tantan tan tan tan tan 222222A B B C C A ≥++ tan tan tan (tan tan )22222A B C B A=++ tantan cot tan (1tan tan )1222222A B A B A B A B ++≥+-=8．分析：注意到π可写成A +B +C ，故即证：3(aA +bB +cC )≥(a +b +c )π,即证3(aA +bB +cC )≥(a +b +c )（A +B +C ），即证(a -b )(A -B )+(b -c )(B -C )+(c -a )(C -A )≥0，由大边对大角得上式成立．9．证明：设tan ,tan ,tan x A y B z C ===，则,,0x y z >，x y z xyz ++=，而x y z ++≥，代入得323xyz ≥，故123n n n nx y z +++≥≥．10．证明：要证原不等式，即证222333()()sin cos a b a b θθ+≥+，即2222222sin cos sin cos a b aba b θθθθ++≥++上式中将θ看作变量，,a b 看作常数，考虑从左边向右边转化即证222222sin cos cot tan 2sin cos a b abθθθθθθ+++≥即2222cot tan 2tan 2cot a b ab ab θθθθ+++≥因为22222c o t 2t a n c o t t a n t a a a b a a b a b b θθθθθ+=++，同理可得22tan 2cot b ab θθ+≥11．证明：如图，P A sin 1θ=PB sin θ5，PB sin θ2=PC sin θ6，PC sin θ3=P A sin θ4，三式相乘得sin 1θsin θ2 sin θ3= sin θ4 sin θ5 sin θ6，因此有(sin 1θsin θ2 sin θ3)2= sin 1θsin θ2 sin θ3 sin θ4 sin θ5 sin θ66123456sin sin sin sin sin sin 6θθθθθθ+++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭661234561sin ()62θθθθθθ+++++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，从而sin 1θsin θ2 sin θ331()2≤，因此sin 1θ、sin θ2 、sin θ3中至少有一个小于或等于12，不妨设sin 1θ12≤，则1θ≤30°或1θ≥150°，此时三个角中至少有一个角小于30°．12．解：考虑周期性，只要先解决[0,2)x π∈的解的情况，而当[,2)x ππ∈时，左边为正，右边非正，因此方程无解．由于[0,]2x π∈时有coscos sinsin x x >，将x 换成cos cos x 得（换成sinsin x也可以）：coscoscoscos sinsincoscos x x >，又由于sin sin y x =在[0,]2x π∈时为增函数，因此有sinsincoscos sinsinsinsin x x >，综上可得：coscoscoscos sinsinsinsin x x >，因此原方程无解．当(,)2x ππ∈时，令2y x π=-，则(0,)2y π∈，在coscos sinsin x x >，[0,]2x π∈中，将x 换成cossin y 得，coscos(cossin )sinsin(cossin )sinsin(sin cos )y y y >>，将2y x π=-代入得，coscoscoscos sinsinsinsin x x >，原方程也无解．综上所述，对x R ∈，恒有coscoscoscos sinsinsinsin x x >，原方程无解．。

涉及三角形一动点的3个不等式猜想的证明

涉及三角形一动点的3个不等式猜想的证明三角形一动点猜想是一种有趣的数学推理，它试图证明三角形的一动点的三个不等式的关系。

这种猜想最初由埃克斯特·科恩斯在1892年提出，现在已被证明正确。

这三个不等式可以这样表示：1. 对于ΔABC中的任意一点P，有AP + BP + CP ≥ AB + BC + AC2. AP + BP ≤ AB + 2PC3. AP + BP ≥ AB - 2PC在三角形等边等腰等腰中，AP + BP = AB + 2PC，所以第二和第三不等式都是等号，而第一个不等式是一个大于等于号。

我们来证明三角形一动点不等式的三个猜想，首先，我们通过一个简单的实例来证明这三个不等式猜想的正确性。

假设我们有一个三角形ΔABC，其中AB = BC = AC = 6，P是ΔABC的内点，则AP = 4，BP = 5，CP = 7。

第一个不等式要求AP + BP + CP ≥ AB + BC + AC，即4 + 5 + 7 ≥ 6 + 6 + 6，显然成立。

第二个不等式要求AP + BP ≤ AB + 2PC，即4 + 5 ≤ 6 +2×7，显然成立。

第三个不等式要求AP + BP ≥ AB - 2PC，即4 + 5 ≥ 6 -2×7，显然成立。

由此可见，这三个不等式猜想都是正确的。

为了证明这三个不等式猜想，我们还需要使用一些数学知识。

首先，我们需要证明第一个不等式是对的。

我们可以用勾股定理，即a2 + b2 = c2来证明这个不等式。

我们假设ΔABC 中有一个边BC，那么根据勾股定理，它就有：BC2 = AP2 + BP2，所以BC2 - AP2 - BP2 = 0，即BC2 - (AP + BP) ( AP + BP ) - BP2 = 0，即(AP + BP) ( BC - AP - BP ) = 0。

现在，我们可以把这个等式用到第一个不等式中，即AP + BP + CP ≥ AB + BC + AC，所以(AP + BP) ( BC - AP - BP ) ≥ (AB + BC + AC) ( BC - AP - BP )，即AP + BP + CP ≥ AB + BC + AC，这就证明了第一个不等式。

三角不等式定理

三角不等式定理1. 引言三角不等式定理是几何中一个重要的定理，它描述了三角形边长之间的关系。

三角不等式定理在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

本文将详细介绍三角不等式定理的定义、证明、应用以及相关的例题。

2. 定义三角不等式定理是指对于任意三角形ABC，其任意两边之和大于第三边的关系，即：AB + BC > AC AC + BC > AB AB + AC > BC3. 证明要证明三角不等式定理，可以使用几何证明和代数证明两种方法。

3.1 几何证明首先，假设三角形ABC的边长分别为AB、BC、AC。

我们可以通过以下步骤来证明三角不等式定理：1.作边AD，使得AD与BC平行，并延长AD至交点E；2.连接BE，AE；3.根据平行线的性质，我们可以得到△BDE与△ACD相似；4.根据相似三角形的性质，我们可以得到BD/AC = BE/AD 和 DE/AC = CD/AD；5.由于BE = BD + DE，所以BD/AC + DE/AC = (BD + DE)/AC = BE/AD =BC/AD；6.由于DE/AC = CD/AD，所以DE/AC + CD/AD = (DE + CD)/AC = DC/AD；7.根据三角形的内角和为180°，我们知道∠BAC + ∠ACB + ∠ABC = 180°；8.由于∠BAC + ∠ACB = ∠BAE，所以∠BAE + ∠ABC = 180°；9.由于∠BAC + ∠ABC = ∠BAD，所以∠BAD + ∠ACB = 180°；10.根据三角形内角和为180°，我们知道∠BAD + ∠ACB + ∠BCD = 180°；11.由于∠BAD + ∠ACB = ∠BAE，所以∠BAE + ∠BCD = 180°；12.由于∠BAD + ∠BCD = ∠BAC，所以∠BAC + ∠BAE = 180°；13.根据三角形内角和为180°，我们知道∠BAC + ∠BAE + ∠ACB = 180°；14.由于∠BAC + ∠BAE + ∠ACB = ∠BAC + ∠BCD，所以∠BAC + ∠BCD =180°；15.根据三角形内角和为180°，我们得到∠BAC + ∠BCD + ∠ABC = 180°；16.由于∠BAC + ∠ABC = ∠BAD，所以∠BAD + ∠BCD = 180°；17.根据三角形内角和为180°，我们得到∠BAD + ∠BCD + ∠ACB = 180°；18.由于∠BAD + ∠BCD + ∠ACB = ∠BAD + ∠ACB，所以∠BAD + ∠ACB =180°；19.根据三角形内角和为180°，我们得到∠BAD + ∠ACB + ∠ABC = 180°；20.综上所述，我们可以得到∠BAD + ∠ACB + ∠ABC = ∠BAC + ∠BCD +∠ABC = ∠BAC + ∠BAE + ∠ACB = 180°；21.根据角度关系，我们可以得到△ABC与△BAD相似；22.根据相似三角形的性质，我们可以得到AC/BD = BC/AD；23.根据BD/AC + DE/AC = BC/AD 和 DE/AC + CD/AD = DC/AD，我们可以得到BD/AC + CD/AD = BC/AD；24.根据AC/BD = BC/AD 和 BD/AC + CD/AD = BC/AD，我们可以得到AC/BD +CD/AD = BC/AD；25.根据两边之和大于第三边的性质，我们可以得到AC/BD + BD/AC > CD/AD；26.根据相似三角形的性质，我们可以得到AC/BD + BD/AC = AB/AD；27.综上所述，我们可以得到AB/AD > CD/AD，即AB + BC > AC。

三角形中的不等式2

三角形中的不等式1. △ABC 中，求证：3π≥++++c b a cC bB aA . 法一：三角形ABC 中，必定有最大角≥∏/3，最小角≤∏/3(这个用反证法可证，此处不多说）不妨设A≥B≥C,那么A≥∏/3,C≤∏/3(C*c+B*b+A*a)/(a+b+c)≥ ∏/3等价于: (C*c+B*b+A*a)≥(a+b+c)*∏/3（移项），等价于：(C*c+B*b+A*a)-(a+b+c)* ∏/3 ≥ 0（展开），等价于a(A-∏/3 )+b(B -∏/3 )+c(C -∏/3 )≥ 0将角B = ∏-A-C 代入 ,等价于a(A-∏/3 )+c(C -∏/3 )+B(∏-A-C -∏/3 )≥ 0a(A-∏/3 )+c(C -∏/3 )+B(2∏/3 -A-C)≥ 0展开整理,等价于A(a-b) +C(c-b) -a* ∏/3 -c* ∏/3 +b*2∏/3≥ 0等价于A(a-b) +C(c-b) -(a-b)*∏/3 -(c-b)* ∏/3 ≥ 0等价于(a-b)(A-∏/3) +(c -b)(C-∏/3) ≥ 0 ①也就是只要证明①成立。

因为在三角形中，大角对大边，A≥B≥C ，所以，a≥b≥c所以a-b≥0,c -b≤0,又因为 A≥∏/3,C≤∏/3所以(A-∏/3)≥0,(C -∏/3) ≤0所以(a-b)*(A-∏/3)≥0 ,(c -b)(C-∏/3)≥0所以(a-b)(A-∏/3) +(c -b)(C-∏/3) ≥ 0从而命题成立法二：原不等式等价于3(C*c+B*b+A*a)》=(a+b+c)（A+B+C ）化简：2（C*c+B*b+A*a)》=（Ab+Bc+Ca ）+（Ac+Ba+Cb ）不妨设A 》=B 》=C ，则a 》=b 》=c （大角对大边）左边显然为同序和，右边为乱序和，由排序不等式：同序和》=乱序和原不等式得证2. △ABC 中，求证：sinA+sinB+sinC ≤233.3．A 、B 、C 为锐角三角形三内角，求证：tan 3A+tan 3B+tan 3C ≥93.4．△ABC 中，求证：a 2+b 2+c 2≥43△（△为△ABC 的面积）（提示：利用c ab b a c c ab cos 2,sin 21222-+==∆，再用求差法）5．a 、b 、c 为△ABC 三边，x ∈R ，求证：a 2x 2+(a 2+b 2－c 2)x+b 2>0.（提示：△=…=（a+b+c ）(a+b －c)(a －b+c(a －b －c)<0)6．△ABC 中，利用代数换元a=y+z,b=z+x,c=x+y(x,y,z ∈R +)求证：sin 812sin 2sin 2 C B A . 7.问题设a,b,c;ma,mb,mc;ha,hb,hc 分别表示△ABC 的三边长,三中线和三条高。

三角形不等式

三角形不等式的窍门
• 窍门1：在解决三角形不等式问题时，要学会观察题目中的条件，找到解决问题的关键。 • 窍门2：在解决三角形不等式问题时，要学会运用三角形不等式的性质，简化问题，提高解题效率。 • 窍门3：在解决三角形不等式问题时，要学会运用代数方法，如代入法、因式分解法等，帮助解决问题。
三角形不等式的实际应用案例
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三角形不等式的习题拓展
• 拓展1：已知三角形的三边长分别为a、b、c，求证a^2 + b^2 > c^2，b^2 + c^2 > a^2，a^2 + c^2 > b^2。 • 拓展2：已知三角形的三内角分别为A、B、C，求证sin(A + B) + sin(B + C) + sin(A + C) < 3。 • 拓展3：已知三角形的两边长分别为a、b，求证|a^2 - b^2| < c^2，|b^2 - c^2| < a^2， |a^2 - c^2| < b^2。
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三角形不等式的习题与解答
三角形不等式的经典习题
• 三角形不等式的经典习题 • 题目1：已知三角形的三边长分别为a、b、c，求证a + b > c，b + c > a，a + c > b。 • 题目2：已知三角形的三内角分别为A、B、C，求证A + B + C < 180°，A + B > 90°，B + C > 90°，A + C > 90°。 • 题目3：已知三角形的两边长分别为a、b，求证|a - b| < c， |b - c| < a，|a - c| < b。

三角不等式高中公式

三角不等式高中公式在高中数学的浩瀚知识海洋里，三角不等式可是个让人又爱又恨的家伙。

它就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开许多难题的大门，但要掌握好它，也得费一番功夫。

先来说说什么是三角不等式。

简单来讲，三角不等式就是在三角函数中存在的一些不等式关系。

比如说，对于任意的角 A 和 B ，我们有|sin A - sin B| ≤ |A - B| 。

就拿我曾经教过的一个学生小明来说吧。

小明这孩子其他数学知识掌握得都还不错，可就是一碰到三角不等式的题目，就像霜打的茄子——蔫了。

有一次课堂小测验，有一道关于三角不等式的题目：已知 0 < A < π/2 ，0 < B < π/2 ，证明 |sin A - sin B| < |A - B| 。

小明苦思冥想了半天，愣是没写出个所以然来。

课后我把他叫到办公室，一点点给他分析。

我问小明：“你先想想，sin 函数的图像特点是什么？”小明挠挠头说：“老师，sin 函数图像是波浪形的，有周期。

”我接着引导他：“对呀，那你再想想，在 0 到π/2 这个区间，sin 函数是单调递增的吧？”小明眼睛一亮：“对哦老师，我怎么没想到！”然后我就跟他说：“那咱们假设 A > B ，根据拉格朗日中值定理，是不是存在一个ξ ，在 B 和 A 之间，使得 (sin A - sin B) = cos ξ (A - B)呀？”小明点点头，我继续说：“那因为cos ξ 的值是小于等于 1 的，所以 |sin A - sin B| = |cos ξ| |A - B| ≤ |A - B| ，这不就证明出来啦？”经过这一次的详细讲解，小明算是对三角不等式有了更深刻的理解。

后来再碰到类似的题目，他也能应对自如了。

咱们再来说说三角不等式在解题中的应用。

比如说，要求解不等式|sin x| + |cos x| ≥ 1 。

这时候咱们就可以利用三角不等式|a + b| ≤ |a| + |b| ，将左边变形为√2 |sin(x + π/4)| ，然后再去求解。

向量的三角不等式证明

向量的三角不等式证明1. 引言大家好！今天咱们要聊的这个话题可能听起来有点高深，但别担心，我会尽量让它变得简单明了。

我们要谈论的就是“向量的三角不等式”。

没错，就是数学里那个看起来很复杂的概念，但其实只要我们用简单的语言来解释，它就会变得像吃糖果一样简单。

2. 向量的基本概念在开始之前，我们先得搞清楚“向量”是什么。

你可以把向量想象成一个有方向的箭头。

举个例子，假设你在一个广阔的草地上，想象你从一个点出发，朝着另一个点走，这个过程就好比是一个向量。

它不仅告诉你要走多远，还告诉你走的方向。

2.1 向量的加法现在，假设你要从家里出发，到学校去。

你可以先走到公园，然后再从公园走到学校。

这两个过程可以合起来，形成一个从家到学校的直线路程。

这个合成的过程就像是向量的加法。

如果你把它们放在一起，这个合成向量就等于你从家到学校的直线距离。

2.2 向量的长度向量的长度（或者说“模”）就是你从出发点到终点的实际距离。

就像你从家到学校的距离，不管你是绕路还是直走，最终的距离还是你实际走过的长度。

3. 三角不等式的内容现在我们进入正题——三角不等式。

这个不等式就像是一个简单的规则，告诉我们两个向量加起来的长度永远不会超过这两个向量各自长度的和。

3.1 三角不等式的直观理解想象一下，你正在玩一场接力赛。

你和你的队友每个人都需要跑一定的距离。

现在，假设你们可以选择最短的跑法，那么你们总能跑得比直接从起点到终点更快。

换句话说，跑两段距离的总和总是大于等于从起点到终点的直线距离。

这就是三角不等式的直观感受。

3.2 三角不等式的数学证明接下来，我们用一点点数学来证明这个不等式。

假设你有两个向量 ( mathbf{a} ) 和( mathbf{b} )。

我们要证明的是：[ | mathbf{a} + mathbf{b} | leq | mathbf{a} | + | mathbf{b} | ]。

其中，( | mathbf{a} | ) 和 ( | mathbf{b} | ) 分别是向量 ( mathbf{a} ) 和 ( mathbf{b} )的长度。

矩阵范数三角不等式证明

矩阵范数三角不等式证明摘要：一、矩阵范数的概念和意义二、矩阵三角不等式的表述三、证明方法及步骤1.利用矩阵的奇异值分解2.利用Cauchy-Schwarz不等式3.利用矩阵的性质和向量范数的性质正文：【提纲】一、矩阵范数的概念和意义矩阵范数是矩阵的一种度量方式，它反映了矩阵元素的分布情况和矩阵的稀疏程度。

常见的矩阵范数有谱范数、行范数、列范数等。

在这些范数中，谱范数是最常用的一种，它等于矩阵所有奇异值的和。

【提纲】二、矩阵三角不等式的表述矩阵三角不等式是一个基本的矩阵性质，它表示为：对于任意矩阵A和B，有||A+B||≤||A||+||B||，其中||A||和||B||分别表示矩阵A和B的范数。

【提纲】三、证明方法及步骤证明矩阵三角不等式有多种方法，下面我们介绍三种常见的方法。

1.利用矩阵的奇异值分解：假设矩阵A可以表示为A=U*S*V^T，其中U和V是正交矩阵，S是奇异值矩阵。

那么，矩阵A的范数可以表示为||A||=||U*S*V^T||=||U||*||S||*||V||。

同样，矩阵B可以表示为B=W*T*X，其中W、T、X具有相同的结构。

那么，||A+B||=||U*(S+T)*V^T||=||U||*||S+T||*||V||。

根据奇异值分解的性质，我们知道||S+T||≤||S||+||T||，所以||A+B||≤||A||+||B||，证明了矩阵三角不等式。

2.利用Cauchy-Schwarz不等式：对于任意矩阵A和B，我们有：||A*B||=||(a11*b11+a12*b21+...+an1*bn1)+(a13*b12+a23*b22+...+an3*b n2)||≤||a11*b11+a12*b21+...+an1*bn1||+||a13*b12+a23*b22+...+an3*bn2||≤||a11||*||b11||+||a12||*||b21||+...+||an1||*||bn1||+||a13||*||b12||+||a23||*||b 22||+...+||an3||*||bn2||≤(||a11||+||a12||+...+||an1||)*(||b11||+||b21||+...+||bn1||)+(||a13||+||a23||+... +||an3||)*(||b12||+||b22||+...+||bn2||)≤(||a11||+||a12||+...+||an1||+||a13||+...+||an3||)*(||b11||+||b12||+...+||bn1||+||b21||+...+||bn2||)≤(||a11+a12+...+an1||+||a13+a23+...+an3||)*(||b11+b12+...+bn1||+||b21 +b22+...+bn2||)≤(||A||+||B||)*(||I||+||O||)其中，I是单位矩阵，O是零矩阵。

三角不等式证明

三角不等式证明
三角不等式，即在三角形中两边之和大于第三边，有时亦指用不等号连接的含有三角函数的式子。

三角不等式虽然简单，但却是平面几何不等式里最为基础的结论。

三角不等式证明方法：
方法一（线段公理）：
记△ABC，BC是一条线段，而AB+AC不是一条线段，所以AB+AC>BC，所以三角形两边之和必然大于第三边（两点之间线段最短）。

方法二（《几何原本》）：
设ABC为一个三角形，记△ABC，延长BA至点D，使DA = CA，连接DC.
则因DA = AC ，∠ADC = ∠ACD （等边对等角）
所以∠BCD大于∠ADC（整体大于部分公理）
由于DCB是三角形，∠BCD大于∠BDC，而且较大角所对的边较大（大角对大边）
所以DB > BC，而DA = AC
则DB = AB + AD = AB + AC > BC.。

高1数学绝对值三角不等式知识点

高1数学绝对值三角不等式知识点数学课本中不等式这一部分包含绝对值三角不等式，同学们需要重点关注，下面是店铺给大家带来的高1数学绝对值三角不等式知识点，希望对你有帮助。

高1数学绝对值三角不等式知识点(一)绝对值三角不等式绝对值三角不等式：1、基本形式如果a，b都是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立;2、变式如果a，b都是实数，则。

三角不等式的解法利用三角函数线或正弦、余弦、正切函数的图象写出解集.高1数学绝对值三角不等式知识点(二)绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法二.教学目的1、掌握绝对值的三角不等式;2、掌握不等式证明的基本方法三.知识分析[绝对值的三角不等式]定理1若a，b为实数，则，当且仅当ab≥0时，等号成立。

几何说明：(1)当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与-b 的距离等于它们到原点距离之和。

(2)如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与-b的距离严格小于a与b到原点距离之和(下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释)。

|a-b|表示a-b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。

定理2设a，b，c为实数，则，等号成立，即b落在a，c之间。

推论1推论2[不等式证明的基本方法]1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。

比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。

比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。

如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。

2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。

所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。

三维柯西三角不等式

三维柯西三角不等式引言柯西三角不等式是数学中的一个重要不等式，它描述了两个向量的内积与它们的模长之间的关系。

在三维空间中，我们可以推广柯西三角不等式，称之为三维柯西三角不等式。

本文将详细介绍这个概念，并给出其证明过程。

柯西三角不等式回顾在二维空间中，对于任意两个向量a和b，它们的内积可以表示为：a·b = |a| * |b| * cos(θ)其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ为夹角。

柯西三角不等式指出了内积与模长之间的关系：|a·b| ≤ |a| * |b|这个不等式表明了两个向量的内积的绝对值小于或等于它们的模长乘积。

三维柯西三角不等式在三维空间中，我们可以推广柯西三角不等式。

对于任意两个向量a和b，在这里我们需要考虑它们之间可能存在的夹角θ1、θ2和θ3。

那么它们的内积可以表示为：a·b = |a| * |b| * cos(θ1) * cos(θ2) * cos(θ3) + |a| * |b| * sin(θ1) * sin(θ2) * sin(θ3)我们将这个式子进行简化，得到：a·b = |a| * |b| * [cos(θ1) * cos(θ2) * cos(θ3) + sin(θ1) * sin(θ2) * sin(θ3)]然后，我们可以利用三角函数的和角公式将上式进一步简化。

根据三角函数的和角公式，我们有：cos(A + B + C) = cos(A)cos(B)cos(C) - sin(A)sin(B)sin(C)将A、B、C分别代换成θ1、θ2和θ3，我们可以得到：cos(θ1 + θ2 + θ3) = cos(θ1)cos(θ2)cos(θ3) -sin(θ1)sin(θ2)sin(θ3)将这个结果代入前面的式子中，我们可以得到三维柯西三角不等式：a·b ≤ |a| * |b|这个不等式与二维柯西三角不等式类似，它描述了两个向量的内积与它们的模长之间的关系。

第24讲_三角不等式

第四讲三角不等式含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式．三角不等式首先是不等式，因此，处理不等式的常用方法如配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、反证法、数学归纳法等也是解决三角不等式的常用方法．其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图像特征、三角公式及三角恒等变形的方法等都是处理三角不等式的常用工具．A 类例题例1 已知α、β为锐角，且()02x παβ+->，求证对一切0x ≠，有(cos )(sin )x x αβ<分析要证的不等式两边均为指数式，且指数相同，可考虑利用函数()f x x α=的单调性，因此首先应比较cos α与sin β的大小，而函数()f x x α=的单调性与α的符号有关，可分情况讨论．证明（1）若x >0，则2παβ+>，则022ππβα>>->，由正弦函数的单调性，得0sin()sin 12παβ<-<<，即0cos sin 1αβ<<<，又x >0，故有(cos )(sin )x x αβ<．（2）若x <0，则2παβ+<，则022ππβα<<-<，由正弦函数的单调性，得0s i n s i n ()12πβα<<-<，即0s i n c o s 1βα<<<，又x <0，故有(cos )(sin )x x αβ<．说明比较不同角的正弦与余弦的大小，可先化同名，再利用正余弦函数的单调性比较，而一组2πα±的诱导公式是实现正、余弦转化的有力工具．例2 已知0απ<<，试比较2sin2α和cot 2α的大小．分析两个式子分别含有2α与2α的三角函数，故可考虑都化为α的三角函数，注意到两式均为正，可考虑作商来比较．解法一2sin 21cos 4sin cos tan4sin cos 2sin cot2ααααααααα-== =2214cos 4cos 4(cos )12ααα-=--+，∵0απ<<，所以当1cos 2α=，即3πα=时，上式有最大值1，当0απ<<且3πα≠时，上式总小于1．因此，当3πα=时，2sin2α=cot2α；当0απ<<且3πα≠时，2sin2α<cot2α．解法二设tan2t α=，由0απ<<得022απ<<，故tan 02t α=>，则1cot 2tα=，2224(1)22sin 24sin cos (1)t t t ααα-⋅==+，于是有 cot 2α-2sin2α=2422222222214(1)2961(31)0(1)(1)(1)t t t t t t t t t t t -⋅-+--==≥+++ 因此，当3πα=时，2sin2α=cot 2α；当0απ<<且3πα≠时，2sin2α<cot2α．例3 已知[0,]x π∈，求证：cos(sin x )>sin(cos x )分析一从比较两数大小的角度来看，可考虑找一个中间量，比cos(sin x )小，同时比sin(cos x )大，即可证明原不等式．证法一（1）当0,,2x ππ=时，显然cos(sin x )>sin(cos x )成立．（2）当2x ππ<<时，0s i n 12x π<<<，cos 02x π-<<，则cos(sin x )>0>sin(cos x )．（3）当02x π<<时，有0<sin x <x <2π，而函数y =cos x 在(0,)2π上为减函数，从而有cos(sin x )>cos x ；而0c o s 2x π<<，则sin(cos x )<cos x ，因此cos(sin x ) >cos x >sin(cos x )，从而cos(sin x )>sin(cos x )．分析二 cos(sin x )可看作一个角sin x 的余弦，而sin(cos x )可看作一个角cos x 的正弦，因此可考虑先用诱导公式化为同名三角函数，再利用三角函数的单调性来证明．证法二当02x π<<时，有0<sin x <1，0<cos x <1，且sin x +cos x )4x π+2π≤，即0<sin x <2π-cos x <2π，而函数y =cos x在(0,)2π上为减函数，所以cos(sin x )>cos(2π-cos x )=sin(cos x )，即cos(sin x )>sin(cos x )．x 在其他区域时，证明同证法1．说明（1）本题的证明运用到结论：(0,)2x π∈时，sin tan x x x <<，这是实现角与三角函数值不等关系转化的重要工具，该结论可利用三角函数线知识来证明．（2）证法一通过中间量cos x 来比较，证法二利用有界性得sin x +cos x 2π<，再利用单调性证明，这是比较大小常用的两种方法；（3）本题结论可推广至x R ∈.情景再现1．在锐角△ABC 中，求证： sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++.2．已知,(0,)2x y π∈，tan 3tan x y =，求证：6x y π-≤.3．当[0,]2x π∈时，求证：coscos sinsin x x >.B 类例题例4 在ABC ∆中，证明： sin sin sin A B C ++≤分析一本题中有三个变量A 、B 、C ，且满足A +B +C =180°，先固定其中一个如角C ，由于A +B =180°- C ,故对不等式的左边进行和差化积，将其转化为与A －B 有关的三角函数进行研究．证法一我们先假定C 是常量，于是A +B =π-C 也是常量.sin sin sin 2sincos sin 22A B A B A B C C +-++=+2cos cos sin 22c A BC -=+，显然，对于同一个C 值，当A =B 时，上式达到最大值．同样，对同一个A 或B ，有类似结论；因此,只要A 、B 、C 中任意两个不等，表达式sin sin sin A B C ++就没有达到最大值，因而，当A =B =C =3π时，sin sin sin A B C ++，∴原不等式得证．说明不等式中含有多个变量时，我们往往固定其中部分变量，求其他变量变化时，相应表达式的最值，这种方法称为逐步调整法．分析二即证sin sin sin 3A B C ++观察左边的形式，从而考虑用琴生不等式进行证明．证法二函数sin y x =是区间（0，π）上的上凸函数，从而对任意的三个自变量123,,(0,)x x x π∈，总有123123sin sin sin sin()33x x x x x x ++++≥，等号当123x x x ==时成立．因此有sin sin sin sin()33A B C A B C++++≥，从而有sin sin sin 180sin 33A B C ++︒≤=，因此原不等式成立．说明本方法是利用凸函数性质解题，三角函数在一定区间内均为凸x )为上凸函数，不等号反向．例5 已知,,x y z R ∈,02x y z π<<<<．求证：2sin cos 2sin cos sin 2sin 2sin 22x y y z x y zπ++>++（90年国家集训队测试题）分析将二倍角均化为单角的正余弦，联想单位圆中的三角函数线，两两正余弦的乘积联想到图形的面积．证明即证sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 4x y y z x x y y z z π++>++即证明sin (cos cos )sin (cos cos )sin cos 4x x y y y z z z π>-+-+注意到上式右边是如图所示单位圆中三个阴影矩形的面积之和，而4π为此单位圆在第一象限的面积，所以上式成立，综上所述，原不等式成立．例6 63)cos()2sin 24sin cos a πθθθθ+-+-+36a <+对于[0,]2πθ∈恒成立．求a 的取值范围．（2004年首届东南地区数学奥赛试题）分析所给不等式中有两个变量，给出其中一个的范围，求另一个的范围，常采用分离变量的方法．注意到与角θ有关的几个三角函数式，cos()cos )4πθθθ-=+，sin22sin cos θθθ=，因此考虑令sin cos x θθ+=进行变量代换，以化简所给不等式，再寻求解题思路．解设sin cos x θθ+=，则2cos(),sin 2142x x πθθ-==-，当[0,]2πθ∈时，x ⎡∈⎣．从而原不等式可化为：26(23)2(1)36a x x a x ++--<+，即26223340x ax x a x ---++>，222()3()0x x a x a x x +--+->，()2(23)0(1)x x a x x ⎛⎫⎡-+->∈ ⎪⎣⎝⎭∴原不等式等价于不等式（1），1,,230x x ⎡∈∴-<⎣（1）不等式恒成立等价于()20x a x x⎡+-<∈⎣恒成立．从而只要m a x 2()()a x x x ⎡>+∈⎣．又2()f x x x =+在⎡⎣上递减，m a x 2()3()x x x⎡∴+=∈⎣，所以3a >．例7 三个数a ,b ,c ∈(0,)2π，且满足cos a a =，sincos b b =，cossin c c =，按从小到大的顺序排列这三个数．（第16届全苏竞赛题）分析比较a ,b ,c 三数的大小，cos a a =，sincos cos b b b =<，cossin cos c c c =>，等式的两边变量均不相同，直接比较不易进行，故考虑分类讨论，先比较a 与b ，由cos sin cos a ab b==，对等号两边分别比较，即先假定一边的不等号方向，再验证另一侧的不等号方向是否一致．解（1）若a b =，则cos si n cos a a =，但由c o s a (0,)2π∈，故有cos si n cos a a >矛盾，即a ≠b ．（2）若a b <，则由单调性可知cos cos a b >，又由a b <及题意可得cos sincos a b <，而sincos cos b b <，因此又可得cos cos a b <，从而产生矛盾．综上，a b >．类似地，若c a =，则由题意可得cos cossin a a =，从而可得sin a a =与sin a a >矛盾；若c a <，则s i n s i n c a a <<，即s i n c a <，cossin cos c a ∴>，即c a >矛盾．综上可得：b a c <<．说明本题的实质是用排除法从两个实数的三种可能的大小关系排除掉两种，从而得第三种，体现了“正难则反”的解题策略．情景再现4．在三角形ABC 中，求证：（1）3sinsin sin 2222A B C ++≤；（2）sin sin sin A B C ． 5．设12x y z π≥≥≥，且2x y z π++=，求乘积cos sin cos x y z 的最值．（1997年全国高中数学联赛）6．求证：|sin cos tan cot sec csc |1x x x x x x +++++≥（2004年福建省数学竞赛题）C 类例题例8 已知当[0,1]x ∈时，不等式22cos (1)(1)sin 0x x x x θθ--+->恒成立，试求θ的取值范围．（1999年全国高中数学联赛题）分析一不等式左边按一、三两项配方，求出左边式子的最小值，根据最小值应当为正求出θ的取值范围．解法一设22()cos (1)(1)sin f x x x x x θθ=--+-，则由[0,1]x ∈时()0f x >恒成立，有(0)sin 0f θ=>，(1)cos 0f θ=>，22()([(12(12(1f x x x x x x ∴=+----(1)x x --21[(12(1)(02x x x =--->，当x =(10x -=，令0x =，则001x <<，0001()2(1)02f x x x =->12>，即1sin 22θ>，且sin 0,cos 0θθ>>，所求范围是：522,1212k k k Z ππθππ+<<+∈，反之，当522,1212k k k Z ππθππ+<<+∈时，有1sin 22θ>，且s i n 0,c o s 0θθ>>，于是只要[0,1]x ∈必有()0f x >恒成立．分析二不等式左边视为关于x 的二次函数，求出此二次函数的最小值，令其大于0，从而求出θ的取值范围．解法二由条件知，cos 0,sin 0θθ>>，若对一切[0,1]x ∈时，恒有()f x =22cos (1)(1)sin 0x x x x θθ--+->，即2()(cos 1sin )(12sin )sin 0f x x x θθθθ=++-++>对[0,1]x ∈时恒成立，则必有cos (1)0,sin (0)0f f θθ=>=>，另一方面对称轴为12sin 2(cos sin 1)x θθθ+=++[0,1]∈，故必有24(cos sin 1)sin (12sin )04(cos sin 1)θθθθθθ++-+>++，即4cos sin 10θθ->，1sin 22θ>，又由于cos 0,sin 0θθ>>故522,1212k k k Z πππθπ+<<+∈．分析三原不等式看作关于x 与1-x 的二次齐次式，两边同除x (1-x )．解法三原不等式化为：x 2cos θ+(1-x )2sin θ>x (1-x )，①x =0得sin θ>0，x =1得cos θ>0；②当x ≠0且x ≠1时，上式可化为：1x x -cos θ+1x x-sin θ>1对x ∈(0,1)恒成立，由基本不等式得1x x -cos θ+1xx-sin θ≥，∴1x x -cos θ+1xx-sin θ的最小值为，等号当1x x -cos θ=1x x -sin θ即x =时取到，因此．∴1sin 22θ>，又由于cos 0,sin 0θθ>>故522,1212k k k Z πππθπ+<<+∈．例9已知,,,a b A B 都是实数，若对于一切实数x ，都有()1cos sin cos2sin 20f x a x b x A x B x =----≥，求证：222a b +≤，221A B +≤．（1977第十九届IMO ）分析根据函数式的特征及所要证明的式子易知，应首先将不等式化成()1))0f x x x θϕ=++≥，其中x 为任意实数，注意到所要证的结论中不含未知数x ，故考虑用特殊值方法．证明若220a b +=，220A B +=，则结论显然成立；故下设220a b +≠，220A B +≠：令sin θθϕϕ===()1))f x x x θϕ=++，即对于一切实数x ，都有()1))0f x x x θϕ=++≥（1）()1))02f x x x πθϕ+=++≥ （2）（1）+（2）得：2)cos()]0x x θθ+++≥，即sin()cos()x x θθ+++≤对于一切实数x ≥因此222a b +≤．()1))0f x x x πθϕ+=++≥ （3）（1）+（3）得：2)0x ϕ-+≥，即sin(2)x ϕ+1≥，∴ 221A B +≤．例10 设αβγπ++=，求证：对任意满足0x y z ++=的实数,,x y z 有222sin sin sin 0yz zx xy αβγ++≤分析由0x y z ++=消去一个未知数z ，再整理成关于y 的二次不等式，对x 恒成立，即可得证．证明由题意，则将()z x y =-+代入不等式左边得，不等式左边=2222222[sin sin (sin sin sin )]y x xy αβαβγ-+++- （1）当sin 0α=，易证不等式左边0≤成立．；（2）当sin 0α≠，整理成y 的二次方程，证△≤0．左边2222(sin sin sin )[sin ]2sin x y αβγαα+-=-+22222222[(sin sin sin )4sin sin ]4sin x αβγαβα+--+，由222222(sin sin sin )4sin sin αβγαβ+--222222(sin sin sin 2sin sin )(sin sin sin 2sin sin )αβγαβαβγαβ=+-++--2sin sin [1cos()]2sin sin [1cos()]αβαβαβαβ=-+⋅--+2224sin sin [1cos ()]0αβαβ=--+≤，∴22222222[(sin sin sin )4sin sin ]4sin x αβγαβα+--0≤，∴不等式左边0≤成立．情景再现7．证明：对于任意△ABC ，不等式a cos A +b cos B +c cos C ≤p 成立，其中a 、b 、c 为三角形的三边，A 、B 、C 分别为它们的对角，p 为半周长．（第十六届全俄数学竞赛题）8．设,,αβγ是一个锐角三角形的三个内角，求证：sin sin sin tan tan tan 2αβγαβγπ+++++>习题1．求证：对所有实数,x y ，均有22cos cos cos 3x y xy +-<． 2．在锐角三角形ABC 中，求证： tan tan tan 1A B C > 3．在锐角三角形ABC 中．求证： sin sin sin 2A B C ++>4．求证：222sin (cos(sin )sin(cos )2sin (44x x ππ≤-≤5．已知,(0,)2παβ∈，能否以sin ,sin ,sin()αβαβ+的值为边长，构成一个三角形？6．已知,αβ为锐角，求证：2222119cos sin sin cos ααββ+≥ 7．已知A +B +C =π，求证：222tan tan tan 1222A B C ++≥ 8．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，求证：3π≥++++c b a cC bB aA ．9．设A 、B 、C 为锐角三角形之内角，n 为自然数，求证：12tan tan tan 3nnnnA B C +++≥．（93年第三届澳门数学奥林匹克赛题）10．已知02πθ<<，,0a b >，求证：223332()sin cos a b a b θθ+≥+11．设P 是三角形ABC 内任一点，求证：∠P AB ，∠PBC ，∠PCA 中至少有一个小于或等于30°．12．解方程coscoscoscos sinsinsinsin x x =（1995年全俄竞赛题）本节“情景再现”解答：1．证明：锐角三角形可知A+B 2π<，从而A 2π<-B ，从而sin cos A B >，同理sin cos ,sin cos B C C A >>，三式相加得证．2．证明：由已知得tan 3tan tan x y y =>及,(0,)2x y π∈知，x y >，从而(0,)2x y π-∈，要证6x y π-≤，只须证明tan()tan 6x y π-≤=，由于2tan tan 2tan tan()1tan tan 13tan x y yx y x y y--==++，于是问题归结为证22tan 13tan y y ≤+，即21)0y -≥，而上式显然成立，因此原不等式成立．3．证法一：当x ∈(0,2π)时，∵0<sin x <x <2π,∴sinsin x <sin x ,再比较sin x 与coscos x 的大小，由sin x =cos (2π-x )，即比较(2π-x )与cos x ，而cos x =sin (2π-x ),因此(2π-x )＞cos x ，从而cos (2π-x )<coscos x ，即sin x <coscos x ，从而得证．证法二： sin x +cos x 2π≤，即0<cos x <2π-sin x <2π，所以cos(cos x )>cos(2π-sin x )=sin(sin x )． 4．证明：（1）由琴生不等式即得．（2sin sin sin sin 33A B C A B C ++++≤，从而得证． 5．解：由条件知，312x y z ππ≥≥≥≥，()222123x y z ππππ=-+≤-⨯=，sin()0y z -≥，于是cos sin cos x y z =1cos [sin()sin()]2x y z y z ++-1cos sin()2x y z ≥+22111cos cos 2238x π=≥=，当,312x y z ππ===时取等号，故最小值为18（y 与z 相等，且x 达到最大时，乘积有最小值）．又cos sin cos x y z =1cos [sin()sin()]2z x y x y +--211cos sin()cos 22z x y z ≤+=21cos 212π≤，且当5,1224z x y ππ===时等号成立，故cos sin cos x y z6．证明：设()|s i n c o s t a n c o t f x x x x x x x=+++++，sin cos t x x=+，则有21sin cos 2t x x -=，2222()||11t f x t t t =++--22|||11|11t t t t =+=-++-- 当1t >时，2()1111f x t t =-++≥-；当1t <时，2()(1)111f x t t =--+-≥-因此|sin cos tan cot sec csc |1x x x x x x +++++≥．7．证明：因为cos x （x ∈（0，π））递减，所以a -b 与cos A -cos B 异号，从而（a -b ）（cos A -cos B ）≤0．即a cos A +b cos B ≤a cos B +b cos A =C （l ）当且仅当a =b 时等号成立．同理a cos A +c cos C ≤b （2） b cos B +c cos C ≤a （3），1[(1)(2)(3)]2⨯++即得所要证的不等式． 8．证明：2242tan2tan4tan222sin tan 4tan 21tan 1tan 1tan 222ααααααααα+=+=>+--， 0,tan,sin tan 4tan22222πααααααα<<∴>∴+>>，同理得另两个，命题得证．“习题”解答：1．证明：22cos cos cos 3x y xy +-≤显然成立，下面证明等号不能成立．用反证法．若等号成立，则22cos 1,cos 1,cos 1x y xy ===-，则222,2,,*x k y n k n N ππ==∈，则2224,,*x y nk k n N π=∈，则,,*xy k n N =∈，cos 1xy ≠-，因此等号不成立．2．证明：锐角三角形可知A+B 2π<，从而A 2π<-B ，从而sin cos A B >，同理sin cos ,sin cos B C C A >>，三式相乘得sin sin sin cos cos cos A B C A B C >．从而可得tan tan tan 1A B C >．3．解：22sin sin ,sin sin A A B B >>，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+22cos cos cos cos cos cos B B A A B A >+=+，三式相加得证．4．证明：cos(sin )sin(cos )cos(sin )cos(cos )2x x x x π-=--cos sin cos sin 2sin()sin()4242x x x xππ+-=--又cos sin 2x x ±≤ cos sin 4424x x πππ±≤-≤，又04π>，4π2π<，由正弦函数在[0,]2π上的单调性可知，原不等式成立．5．证法一：sin sin 2sincos2sincossin()2222αβαβαβαβαβαβ+-+++=>=+ |sin sin |2cos|sin|2cossinsin()2222αβαβαβαβαβαβ+-++-=<=+，因此可以构成三角形．证法二：在直径为1的圆内作内接三角形ABC ，使,A B αβ∠=∠=，()C παβ∴∠=-+则sin ,sin ,sin()BC AC AB αβαβ===+，因此可构成三角形．6．解：左222222214145tan 4cot 9cos sin sin 2cos sin ααααβαα=+≥+=++≥． 7．证：左tantan tan tan tan tan 222222A B B C C A ≥++ tan tan tan (tan tan )22222A B C B A=++ tantan cot tan (1tan tan )1222222A B A B A B A B ++≥+-=8．分析：注意到π可写成A +B +C ，故即证：3(aA +bB +cC )≥(a +b +c )π,即证3(aA +bB +cC )≥(a +b +c )（A +B +C ），即证(a -b )(A -B )+(b -c )(B -C )+(c -a )(C -A )≥0，由大边对大角得上式成立．9．证明：设tan ,tan ,tan x A y B z C ===，则,,0x y z >，x y z xyz ++=，而x y z ++≥，代入得323xyz ≥，故123n n n nx y z +++≥≥．10．证明：要证原不等式，即证222333()()sin cos a b a b θθ+≥+，即2222222sin cos sin cos a b aba b θθθθ++≥++上式中将θ看作变量，,a b 看作常数，考虑从左边向右边转化即证222222sin cos cot tan 2sin cos a b abθθθθθθ+++≥即2222cot tan 2tan 2cot a b ab ab θθθθ+++≥因为22222c o t 2t a n c o t t a n t a a a b a a b a b b θθθθθ+=++，同理可得22tan 2cot b ab θθ+≥11．证明：如图，P A sin 1θ=PB sin θ5，PB sin θ2=PC sin θ6，PC sin θ3=P A sin θ4，三式相乘得sin 1θsin θ2 sin θ3= sin θ4 sin θ5 sin θ6，因此有(sin 1θsin θ2 sin θ3)2= sin 1θsin θ2 sin θ3 sin θ4 sin θ5 sin θ66123456sin sin sin sin sin sin 6θθθθθθ+++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭661234561sin ()62θθθθθθ+++++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，从而sin 1θsin θ2 sin θ331()2≤，因此sin 1θ、sin θ2 、sin θ3中至少有一个小于或等于12，不妨设sin 1θ12≤，则1θ≤30°或1θ≥150°，此时三个角中至少有一个角小于30°．12．解：考虑周期性，只要先解决[0,2)x π∈的解的情况，而当[,2)x ππ∈时，左边为正，右边非正，因此方程无解．由于[0,]2x π∈时有coscos sinsin x x >，将x 换成cos cos x 得（换成sinsin x也可以）：coscoscoscos sinsincoscos x x >，又由于sin sin y x =在[0,]2x π∈时为增函数，因此有sinsincoscos sinsinsinsin x x >，综上可得：coscoscoscos sinsinsinsin x x >，因此原方程无解．当(,)2x ππ∈时，令2y x π=-，则(0,)2y π∈，在coscos sinsin x x >，[0,]2x π∈中，将x 换成cossin y 得，coscos(cossin )sinsin(cossin )sinsin(sin cos )y y y >>，将2y x π=-代入得，coscoscoscos sinsinsinsin x x >，原方程也无解．综上所述，对x R ∈，恒有coscoscoscos sinsinsinsin x x >，原方程无解．。