2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一(下)期中数学试卷

2017-
2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期中数学试卷
试题数：22，总分：150
1.（单选题，5分）两个平面重合的条件是（）
A.有两个公共点
B.有能组成三角形的三个公共点
C.有三个公共点
D.有无穷多个公共点
2.（单选题，5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1= 1
，S4=20，则S6=（）
2
A.16
B.24
C.36
D.48
3.（单选题，5分）某工厂去年12月份的产值是去年1月份产值的m倍，则该厂去年产值的月平均增长率为（）
A. m
11
B. m
12
12 -1
C. √m
11 -1
D. √m
4.（单选题，5分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的投影可能是（）
A. ① ②
B. ① ③
C. ② ④
D. ② ③
5.（单选题，5分）数列1，1
2，2
2
，1
3
，2
3
，3
3
，…，1
n
，2
n
，3
n
，…，n
n
，…的前25项和为
（）
A. 207
14
B. 209
14
C. 211
14
D. 106
7
6.（单选题，5分）若三角形ABC的内角A，B，C满足6sinA=4sinB=3sinC，cosB=（）
A. 3
4
B. 11
16
C. √15
4
D. 3√15
16
7.（单选题，5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使
得√a m a n =4a1，则1
m + 4
n
的最小值为（）
A. 3
2
B. 5
3
C. 9
4
D. 25
6
8.（单选题，5分）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是（）
A. d＞8
3
B. 8
3
≤d≤3
C. 8
3
≤d＜3
D. 8
3
＜d≤3
9.（单选题，5分）已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}是等差数列，若a1•a5•a9=-8，
b2+b5+b8=6π，则sin b4+b6
1−a3a7
的值是（）
A. 1
2
B. −1
2
C. √3
2
D. −√3
2
10.（单选题，5分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcosC=a，点M 在线段AB上，且∠ACM=∠BCM．若b=6CM=6，则cos∠BCM=（）
A. √10
4
B. 3
4
C. √7
4
D. √6
4
11.（单选题，5分）给出下列命题：
① 若b＜a＜0，则|a|＞|b|；
② 若b＜a＜0，则a+b＜ab；
③ 若b＜a＜0，则b
a + a
b
＞2；
④ 若b＜a＜0，则a2
b
＜2a-b；
⑤ 若b＜a＜0，则2a+b
a+2b ＞a
b
；
⑥ 若a+b=1，则a2+b2≥ 1
2
．
其中正确的命题有（）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
12.（单选题，5分）已知a，b∈R，且a是2-b与-3b的等差中项，则ab
2|a|+|b|
的最大值为（）
A. 1
9
B. 2
9
C. 2
3
D. 4
3
13.（填空题，5分）若关于x的不等式ax2+3x+a≥0的解集为空集，则实数a的取值范围是___ ．
14.（填空题，5分）有一块多边形的花园，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形ABCD ，其中∠ABC=45°，AB=AD=2米，DC⊥BC ，则这块花园的面积为___ 平方米．
15.（填空题，5分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，下列四个论断正确的是___ （把你认为正确论断的序号都写上） ① 若
sinA a = cosB
b
，则B= π
4
；
② 若B= π
4 ，b=2，a= √3 ，则满足条件的三角形共有两个；
③ 若a ，b ，c 成等差数列，sinA ，sinB ，sinC 成等比数列，则△ABC 为正三角形； ④ 若a=5，c=2，△ABC 的面积S △ABC =4，则cosB= 35
．
16.（填空题，5分）已知数列{a n }的通项公式为 a n ={(12)n−1
2，n 为奇数
(12)
n 2，n 为偶数
，则数列{3a n +n-3}的
前2n 项和的最小值为___ ．
17.（问答题，10分）已知x ，y∈R +，且x 2+y 2=x+y ． （1）求 1
x +1
y 的最小值； （2）求x+y 的最大值．
18.（问答题，12分）如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱AB 、BC 、CC 1、C 1D 1的中点．
（1）判断直线EF 与GH 的位置关系，并说明理由； （2）求异面直线A 1D 与EF 所成的角的大小．
19.（问答题，12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB= √3 b．（1）求角A；
（2）已知a=2，求△ABC的面积的取值范围．
20.（问答题，12分）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4
的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
a n，求数列{
b n}的前n项和S n．
（Ⅱ）设b n=a n log1
2
21.（问答题，12分）如图，某镇有一块空地△OAB，其中OA=2km，OB=2√3km，
∠AOB=90°．当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在△OAN的周围安装防护网．
（1）当AM=1km时，求防护网的总长度；
（2）为节省资金投入，人工湖△OMN的面积要尽可能小，设∠AOM=θ，问：当θ多大时
△OMN的面积最小？最小面积是多少？
22.（问答题，12分）已知常数a≠0，数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n= S n
n
+a（n-1）．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若b n=3n+（-1）n a n，且数列{b n}是单调递增数列，求实数a的取值范围；
（3）若a= 1
2，c n= a n−1
a n+2018
，对于任意给定的正整数k，是否都存在正整数p、q，使得
c k=c p c q？若存在，试求出p、q的一组值（不论有多少组，只要求出一组即可）；若不存在，请说明理由．
2017-
2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
试题数：22，总分：150
1.（单选题，5分）两个平面重合的条件是（）
A.有两个公共点
B.有能组成三角形的三个公共点
C.有三个公共点
D.有无穷多个公共点
【正确答案】：B
【解析】：在A中，这两个平面可能相交于过这两个公共点的一条直线；在B中，如果两个
平行有有能组成三角形的三个公共点，则这两个平面一定重合；在C中，这两个平面可能相
交于过这三个公共点的一条直线；在D中，这两个平面可能相交于过这无穷多个公共点的一
条直线．
【解答】：解：在A中，如果两个平面有两个公共点，
则这两个平面可能相交于过这两个公共点的一条直线，故A不能确定两个平面重合；
在B中，如果两个平面有有能组成三角形的三个公共点，
则这两个平面一定重合，故B能确定两个平面重合；
在C中，如果两个平面有三个公共点，
则这两个平面可能相交于过这三个公共点的一条直线，故C不能确定两个平面重合；
在D中，如果两个平面有无穷多个公共点，
则这两个平面可能相交于过这无穷多个公共点的一条直线，故D不能确定两个平面重合．
故选：B．
【点评】：本题考查两个平面重合的条件的判断，考查空间中两个平面的位置关系的判定定理、性质定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
，S4=20，则S6=（）
2.（单选题，5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1= 1
2
A.16
B.24
C.36
D.48
【正确答案】：D
【解析】：结合已知条件，利用等差数列的前n项和公式列出关于d的方程，解出d，代入公式，即可求得s6．
，S4=20，
【解答】：解：∵ a1=1
2
∴S4=2+6d=20，
∴d=3，
∴S6=3+15d=48．
故选：D．
【点评】：本题考查了等差数列的前n项和公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．
3.（单选题，5分）某工厂去年12月份的产值是去年1月份产值的m倍，则该厂去年产值的月平均增长率为（）
A. m
11
B. m
12
12 -1
C. √m
11 -1
D. √m
【正确答案】：D
【解析】：先假设增长率为p，再根据条件可得（1+p）11=m，从而可解．
11−【解答】：解：由题意，该厂去年产值的月平均增长率为p，则（1+p）11=m，∴ p=√m 1，
故选：D．
【点评】：本题考查函数模型的选择，利用了有关增长率问题的函数模型，属于简单题．
4.（单选题，5分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的投影可能是（）
A. ① ②
B. ① ③
C. ② ④
D. ② ③
【正确答案】：A
【解析】：分析△PAC在该正方体各个面上的投影图形即可．
【解答】：解：由正投影知识知，在四个侧面的正投影为图① ，
在上、下底面的投影为② ．
所以△PAC在该正方体各个面上的投影可能是① ② ．
故选：A．
【点评】：本题考查了平行投影及平行投影作图法问题，同一图形在不同投影面上的投影可能不同．
5.（单选题，5分）数列1，1
2，2
2
，1
3
，2
3
，3
3
，…，1
n
，2
n
，3
n
，…，n
n
，…的前25项和为
（）
A. 207
14
B. 209
14
C. 211
14
D. 106
7
【正确答案】：B
【解析】：直接利用数列的通项公式的应用求出结果．
【解答】：解：数列1，1
2，2
2
，1
3
，2
3
，3
3
，…，1
n
，2
n
，3
n
，…，n
n
，…
的前25项和为：
T25=1+1
2+2
2
+1
3
+2
3
+3
3
+…+ 1
6
+2
6
+3
6
+4
6
+5
6
+6
6
+ 1
7
+2
7
+3
7
+4
7
，
= 209
14
故选：B．
【点评】：本题考查的知识要点：数列的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
6.（单选题，5分）若三角形ABC的内角A，B，C满足6sinA=4sinB=3sinC，cosB=（）
A. 3
4
B. 11
16
C. √15
4
D. 3√15
16
【正确答案】：B
【解析】：由正弦定理可得6a=4b=3c，进而可用a表示b，c，代入余弦定理化简可得答案．【解答】：解：∵6sinA=4sinB=3sinC，
由正弦定理a
sinA =b
sinB
=c
sinC
．
∴由正弦定理可得6a=4b=3c．∴b= 3
2
a，c=2a，
由余弦定理可得cosB= a 2+c2−b2
2ac
= a
2+4a2−9
4
a2
2a•2a
=
11
4
a2
4a2
=11
16
．
故选：B．
【点评】：本题考查正弦定理，余弦定理的应用，是基础题．
7.（单选题，5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使
得√a m a n =4a1，则1
m + 4
n
的最小值为（）
A. 3
2
B. 5
3
C. 9
4
D. 25
6
【正确答案】：A
【解析】：由 a7=a6+2a5求得q=2，代入√a m a n=4a1求得m+n=6，利用基本不等式求出
它的最小值．
【解答】：解：由各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，可得a1q6=a1q5+2a1q4，∴q2-q-2=0，∴q=2．
∵ √a m a n=4a1，∴q m+n-2=16，∴2m+n-2=24，∴m+n=6，
∴ 1 m +4
n
=1
6
(m+n)(1
m
+4
n
)=1
6
(5+n
m
+4m
n
)≥1
6
(5+4)=3
2
，当且仅当n
m
= 4m
n
时，等号成
立．
故1
m +4
n
的最小值等于3
2
，
故选：A．
【点评】：本题主要考查等比数列的通项公式，基本不等式的应用，属于基础题．
8.（单选题，5分）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是（）
A. d＞8
3
B. 8
3
≤d≤3
C. 8
3
≤d＜3
D. 8
3
＜d≤3
【正确答案】：D
【解析】：先设数列为{a n}公差为d，则a1=-24，根据等差数列的通项公式，分别表示出a10和a9，进而根据a10＞0，a9≤0求得d的范围．
【解答】：解：设数列为{a n}公差为d，则a1=-24；
a10=a1+9d＞0；
即9d＞24，所以d＞8
3
而a9=a1+8d≤0；
即d≤3
所以8
3
＜d≤3
故选：D．
【点评】：本题主要考查了等差数列的性质．属基础题．
9.（单选题，5分）已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}是等差数列，若a1•a5•a9=-8，
b2+b5+b8=6π，则sin b4+b6
1−a3a7
的值是（）
A. 1
2
B. −1
2
C. √3
2
D. −√3
2
【正确答案】：C
【解析】：分别运用等差数列和等比数列的性质，结合三角函数的诱导公式，计算可得所求值．【解答】：解：数列{a n}是等比数列，若a1•a5•a9=-8，由a1a9=a52，即有a53=-8，可得a5=-2，则a3a7=a52=4，
数列{b n}是等差数列，若b2+b5+b8=6π，由b2+b8=2b5，即有3b5=6π，即b5=2π，
b4+b6=2b5=4π，
则sin b4+b6
1−a3a7 =sin 4π
1−4
=-sin 4π
3
=sin π
3
= √3
2
，
故选：C．
【点评】：本题主要考查等差数列和等比数列的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10.（单选题，5分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcosC=a，点M 在线段AB上，且∠ACM=∠BCM．若b=6CM=6，则cos∠BCM=（）
A. √10
4
B. 3
4
C. √7
4
D. √6
4
【正确答案】：B
【解析】：运用正弦定理可得B= π
2
，设∠ACM=∠BCM=α，由S△ABC=S△ACM+S△BCM，运用三角
形的面积的公式，化简整理，结合a=cosα，解方程即可得到所求值．
【解答】：解：bcosC=a，由正弦定理可得
sinBcosC=sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
即有cosBsinC=0，由sinC＞0，可得cosB=0，
由0＜B＜π，可得B= π
2
，
设∠ACM=∠BCM=α，
由S△ABC=S△ACM+S△BCM，且b=6CM=6，
可得1
2•6asin2α= 1
2
•6•1•sinα+ 1
2
asinα，
即为12acosα=6+a，
在直角三角形BCM中，a=cosα，则12cos2α-cosα-6=0，
解得cosα= 3
4或- 2
3
（舍去），
故选：B．
【点评】：本题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
11.（单选题，5分）给出下列命题：
① 若b＜a＜0，则|a|＞|b|；
② 若b＜a＜0，则a+b＜ab；
③ 若b＜a＜0，则b
a + a
b
＞2；
④ 若b＜a＜0，则a2
b
＜2a-b；
⑤ 若b＜a＜0，则2a+b
a+2b ＞a
b
；
⑥ 若a+b=1，则a2+b2≥ 1
2
．其中正确的命题有（）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
【正确答案】：D
【解析】：利用不等式的基本性质和基本不等式逐一判断即可．
【解答】：解： ① ∵b ＜a ＜0，∴|b|＞|a|，故 ① 不正确； ② ∵b ＜a ＜0，∴ab ＞0，∴a+b ＜ab ，故 ② 正确； ③ ∵b ＜a ＜0，∴ a b
＞0，b a
＞0 ，∴ b a
+ a b
＞2，故 ③ 正确； ④ ∵b ＜a ＜0，∴a 2+b 2＞2ab ，∴a 2＞b （2a-b ），∴
a 2
b
＜2a −b ，故 ④ 正确；
⑤ ∵b ＜a ＜0，∴b 2+2ab ＞a 2+2ab ，∴b （2a+b ）＞a （a+2b ），∴ 2a+b
a+2b ＞ a
b ，故 ⑤ 正确； ⑥ ∵ a 2+b 2≥(a+b )2
2
，a+b=1，∴a 2+b 2≥ 1
2 ，当且仅当a=b= 12
时取等号，故 ⑥ 正确．
故选：D ．
【点评】：本题考查了不等式的基本性质和基本不等式，属中档题．
12.（单选题，5分）已知a ，b∈R ，且a 是2-b 与-3b 的等差中项，则 ab
2|a|+|b| 的最大值为（ ） A. 1
9 B. 29 C. 23 D. 43
【正确答案】：A
【解析】：若 ab
2|a|+|b| 取得最大值，则a ，b 同号，由条件可得 ab
2|a|+|b| = ab
2a+b = a (1−2a )b
2−3b
（0＜b ＜ 1
2 ）然后令t=2-3b ，换元后用基本不等式求出最大值即可．
【解答】：解：由a 是2-b 与-3b 的等差中项，得2a=2-b-3b ，即a+2b=1． 若 ab 2|a|+|b| 取得最大值，则a ，b 同号， 不妨取a ，b 均大于0，
∴当 ab
2|a|+|b| 取得最大值时， ab
2|a|+|b| = ab
2a+b = a (1−2a )b 2−3b （0＜b ＜ 1
2
）． 令t=2-3b ，则b= 2−t 3 （ 1
2
＜t ＜2）， ∴ ab
2|a|+|b| = 1
9 •
−2t 2+5t−2t = 5
9
−29(t +1t ) ≤ 59−29•2√t •1t =1
9 ．
当且仅当t= 1t ，即t=1，也就是a=b= 1
3 时上式“=”成立． ∴ ab
2|a|+|b| 的最大值为 1
9 ． 故选：A ．
【点评】：本题考查基本不等式的应用，考查数学转化思想方法，训练了利用换元法求最值，属中档题．
13.（填空题，5分）若关于x 的不等式ax 2+3x+a≥0的解集为空集，则实数a 的取值范围是___ ．
【正确答案】：[1]（-∞，- 3
2 ）
【解析】：讨论a=0和a≠0时，利用判别式列不等式组求出a 的取值范围．
【解答】：解：a=0时，不等式ax 2+3x+a≥0化为3x≥0，解得x≥0，解集不是空集，不满足题意；
a≠0时，应满足 {a ＜0△＜0 ，即 {a ＜09−4a 2＜0 ，解得a ＜- 3
2 ；
所以实数a 的取值范围是（-∞，- 3
2 ）． 故答案为：（-∞，- 3
2 ）．
【点评】：本题考查了不等式解集的判断问题、不等式的解法，是基础题．
14.（填空题，5分）有一块多边形的花园，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形ABCD ，其中∠ABC=45°，AB=AD=2米，DC⊥BC ，则这块花园的面积为___ 平方米．
【正确答案】：[1] 8+2√2
【解析】：求出直观图中，DC ，BC ，S 梯形ABCD ，然后利与用平面图形与直观图形面积的比是2 √2 ，求出平面图形的面积．
【解答】：解：DC=ABsin 45°= √2，BC=ABsin 45°+AD= √2 +2，
S梯形ABCD= 1
2（AD+BC）DC= 1
2
（2+ √2+ 2）× √2 =2 √2 +1，
这块花园的面积S=
√2
S梯形ABCD=8+2 √2．
故答案为：8+2 √2．
【点评】：本题考查斜二测画法，直观图与平面图形的面积的比例关系的应用，考查计算能力．15.（填空题，5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，下列四个论断正确的
是___ （把你认为正确论断的序号都写上）
① 若sinA
a = cosB
b
，则B= π
4
；
② 若B= π
4
，b=2，a= √3，则满足条件的三角形共有两个；
③ 若a，b，c成等差数列，sinA，sinB，sinC成等比数列，则△ABC为正三角形；
④ 若a=5，c=2，△ABC的面积S△ABC=4，则cosB= 3
5
．
【正确答案】：[1] ① ③
【解析】：根据正余弦定理和三角形内角和定理依次判断即可得答案．
【解答】：解：对于① ：由正弦定理：a
sinA =b
sinB
，可得cosBsinA=sinBsinA，即
cosB=sinB，0＜B＜π，
∴B= π
4
．① 对．
对于② ：由余弦定理可得：b2=a2+c2-2accosB，即c2- √6 c-1=0，可得c= √6+√10
2
，三角形只有1个；∴ ② 不对．
对于③ ：a，b，c成等差数列，即2b=a+c，sinA，sinB，sinC成等比数列，即
sin2B=sinAsinC．正弦定理，可得b2=ac．∴△ABC为正三角形；∴ ③ 对．
对于④ ：a=5，c=2，△ABC的面积S△ABC= 1
2 acsinB=4，即sinB= 4
5
，∵ √2
2
＜4
5
＜√3
2
，
∴ 2π
3＜B ＜3π
4
或π
4
＜B＜π
3
．
∴cosB= ±3
5
．④ 不对
故答案为：① ③ ．
【点评】：本题考查了正余弦定理的灵活运用和计算能力，角的判断．属于中档题．
16.（填空题，5分）已知数列{a n }的通项公式为 a n ={(12)n−1
2，n 为奇数
(12)
n
2，n 为偶数
，则数列{3a n +n-3}的
前2n 项和的最小值为___ ． 【正确答案】：[1] 32
【解析】：由题意可得：a 2k-1= (12)k−1 ，a 2k = (12
)k
，k∈N *．可得数列{3a n +n-3}的前
2n 项和
=3[1+ 1
2 + (12)2 +……+ (12)n−1
+ 1
2 + (12)2 +……+ (12)n
]-2-1-0+1+……+（2n-3），利用单调性
即可得出．
【解答】：解：由题意可得：a 2k-1= (12)k−1 ，a 2k = (12)k
，k∈N *．
∴数列{3a n +n-3}的前2n 项和=3[1+ 12 + (12)2 +……+ (12)n−1 + 12 + (12)2 +……+ (12)n
]-2-1-
0+1+……+（2n-3） =3×[
1−(12)
n 1−12
+
12(1−12
n )1−12
]+
2n (−2+2n−3)
2
=9（1- 1
2n ）+2 (n
−54)2 - 25
8 =f （2n ）．n∈N *．
可知f （2n ）单调递增，∴最小值为f （2）=9× 1
2 -3= 3
2 ． 故答案为： 3
2
【点评】：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17.（问答题，10分）已知x ，y∈R +，且x 2+y 2=x+y ． （1）求 1
x +1y 的最小值； （2）求x+y 的最大值．
【正确答案】：
【解析】：（1） 1
x
+1y =
x+y xy
=x 2+y 2xy
≥
2xy xy
=2 ；
（2）由重要不等式可得2x 2+2y 2≥x 2+2xy+y 2=（x+y ）2，则2（x+y ）≥（x+y ）2，解出即
可．
【解答】：解：（1）∵x ，y∈R +，x 2+y 2=x+y ∴ 1
x +1
y =
x+y xy
=x 2+y 2xy
≥
2xy xy
=2 ，
当且仅当x 2+y 2=x+y 且x=y 即x=y=1时取等号， ∴求 1
x +1
y 的最小值为2； （2）∵x 2+y 2≥2xy
∴2x 2+2y 2≥x 2+2xy+y 2=（x+y ）2 又∵x 2+y 2=x+y ∴2（x+y ）≥（x+y ）2 即0≤x+y≤2
右边取等条件为 {x ，y ∈R +
x 2+y 2=x +y x =y 即x=y=1
∴x+y 的最大值为2．
【点评】：本题主要考查重要不等式和基本不等式的应用，要注意取等条件，属于基础题． 18.（问答题，12分）如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱AB 、BC 、CC 1、C 1D 1的中点．
（1）判断直线EF 与GH 的位置关系，并说明理由； （2）求异面直线A 1D 与EF 所成的角的大小．
【正确答案】：
【解析】：（1）法一：取CD 的中点I ，推导出CF ∥=
1
2 EI ，在平面ABCD 中，延长EF 与DC
必交于C 右侧一点P ，且PC=CI ，同理，在平面CC 1D 1D 中，延长HG 与DC 必交于C 右侧一
点Q，且QC=CI，由P与Q重合，得到直线EF与GH相交．
法二：推导出EBC1H是平行四边形，从而EH ∥
= BC1，再由FG ∥
=
1
2
BC1，得EH || FG，EH≠FG，
由此能推导出直线EF与GH相交．
（2）推导出ACC1A1是平行四边形，AC || A1C1，EF || AC，从而EF || A1C1，A1D与EF所成的角即为A1D与A1C1所成的角，再由△A1C1D为等边三角形，能求出由直线A1D与EF所成的角的大小．
【解答】：解：（1）解法一：取CD的中点I，
∵E、F、I分别是正方形ABCD中AB、BC、CD的中点，∴CF ∥
=1
2
EI，
∴在平面ABCD中，延长EF与DC必交于C右侧一点P，且PC=CI
同理，在平面CC1D1D中，延长HG与DC必交于C右侧一点Q，且QC=CI，∴P与Q重合
进而，直线EF与GH相交．
解法二：∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、H分别是AB、C1D1的中点，
∴EB ∥
=1
2
CD ∥
=
HC1，∴EBC1H是平行四边形，∴EH ∥
=
BC1，
又∵F、G分别是BC、CC1的中点，
∴FG ∥
=1
2
BC1，∴EH || FG，EH≠FG，
∴EF、GH是梯形EFGH的两腰，
∴直线EF与GH相交．
（2）解：∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥
=
CC1，
∴ACC1A1是平行四边形，∴AC || A1C1，
又∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF || AC，∴EF || A1C1，∴A1D与EF所成的角即为A1D与A1C1所成的角，
∴A1D与EF所成的角即为∠DA1C1及其补角中的较小角，又∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，△A1C1D为等边三角形∴∠DA1C1=60°，∴由直线A1D与EF所成的角为60°．
【点评】：本题考查两直线位置关系的判断，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.（问答题，12分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB= √3 b ． （1）求角A ；
（2）已知a=2，求△ABC 的面积的取值范围．
【正确答案】：
【解析】：（1）由正弦定理进行转化求解即可
（2）结合三角形的面积公式求出面积的表达式，求出角的范围结合三角函数的有界性进行求解即可．
【解答】：解：（1）由2asinB= √3 b 得2sinAsinB= √3 sinB 又∵sinB ＞0，sinA= √3
2 ，
又∵△ABC 是锐角三角形，∴A= π
3 ； （2）由正弦定理得2R= a
sinA = √
3
∴S △ABC = 12 bcsinA= 12 （2RsinB ）（2RsinC ）sinA= √
3 sinBsinC= √
3 cos （2B- 2π3 ）+ √
3
又∵△ABC 是锐角三角形，A= π
3 ， ∴ {0＜B ＜π
20＜2π3−B ＜π2 ，即 π6 ＜B ＜ π2 ， ∴2B - 2π
3 ∈（- π
3 ， π
3 ）， ∴cos （2B- 2π3
）∈（ 12
，1]，
△ABC 的面积的取值范围（
2√33
， √3 ]． 【点评】：本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理以及三角形的面积公式进行化简是解决本题的关键．
20.（问答题，12分）已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2+a 3+a 4=28，且a 3+2是a 2，a 4的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设b n =a n log 12
a n ，求数列{
b n }的前n 项和S n ．
【正确答案】：
【解析】：（I ）根据a 3+2是a 2，a 4的等差中项和a 2+a 3+a 4=28，求出a 3、a 2+a 4的值，进而得出首项和a 1，即可求得通项公式；
（II ）先求出数列{b n }的通项公式，然后求出-S n -（-2S n ），即可求得的前n 项和S n ．
【解答】：解：（I ）设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q
∵a 3+2是a 2，a 4的等差中项
∴2（a 3+2）=a 2+a 4
代入a 2+a 3+a 4=28，得a 3=8
∴a 2+a 4=20
∴ {a 1q +a 1q 3=20a 3=a 1q 2=8
∴ {q =2a 1=2 或 {q =12a 1=32 ∵数列{a n }单调递增
∴a n =2n
（II ）∵a n =2n
∴b n = 2n •log 12
2n =-n•2n
∴-s n =1×2+2×22+…+n×2n ①
∴-2s n =1×22+2×23+…+（n-1）×2n +n2n+1 ②
∴ ① - ② 得，
s n=2+22+23+…+2n-n•2n+1=2n+1-n•2n+1-2
【点评】：本题考查了等比数列的通项公式以及数列的前n项和，对于等差数列与等比数列
乘积形式的数列，求前n项和一般采取错位相减的办法．
21.（问答题，12分）如图，某镇有一块空地△OAB，其中OA=2km，OB=2√3km，
∠AOB=90°．当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在△OAN的周围安装防护网．
（1）当AM=1km时，求防护网的总长度；
（2）为节省资金投入，人工湖△OMN的面积要尽可能小，设∠AOM=θ，问：当θ多大时
△OMN的面积最小？最小面积是多少？
【正确答案】：
【解析】：（1）在△OAB中求出∠OAB=60°，在△OAM中，由余弦定理得OM2=22+12-
2×2×1×cos60°=3即OM=√3，再求出∠AOM=30°则△OAN为正三角形，其周长为6km
（2）在△OAM中求出OM=√3
sin(120°−θ)，在△OAN中，求出ON=√3
cosθ
，写出面积表达式，从
而得出θ=15°时，△OMN的面积取最小值为(6−3√3)km2
【解答】：解：（1）∵在△OAB中，OA=2，OB= 2√3，∠A0B=90°，∴∠OAB=60°．
又∵在△OAM中，OA=2，AM=1，
∴由余弦定理得OM2=22+12-2×2×1×cos60°=3，即OM=√3，
∴OM2+AM2=OA2即OM⊥AN．
∴∠AOM=30°
∴△OAN为正三角形，其周长为6km．
∴防护网的总长度为6km．……………………………………………………………………（5分）（2）由题得0°＜θ＜60°
在△OAM中，OM
sin60°=2
sin(120°−θ)
，即OM=√3
sin(120°−θ)
；
在△OAN中，ON
sin60°=2
sin[180°−(θ+30°+60°)]
即ON=√3
cosθ
；
∴ S△OMN=1
2•OM•ON•sin∠MON = 1
2
•√3
sin(120°−θ)
•√3
cosθ
•sin30° =
2sin(120°−2θ)+√3
．
又∵0°＜θ＜60°，即0°＜120°-2θ＜120°，
∴当且仅当120°-2θ=90°，即θ=15°时，△OMN的面积取最小值为(6−
3√3)km2．………………………………………………（12分）
【点评】：本题主要考查了解三角形的实际应用，以及三角函数求最值．考查了学生的数学建模思想，以及运算能力，属于中档题．
22.（问答题，12分）已知常数a≠0，数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n= S n
n
+a（n-1）．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若b n=3n+（-1）n a n，且数列{b n}是单调递增数列，求实数a的取值范围；
（3）若a= 1
2，c n= a n−1
a n+2018
，对于任意给定的正整数k，是否都存在正整数p、q，使得
c k=c p c q？若存在，试求出p、q的一组值（不论有多少组，只要求出一组即可）；若不存在，请说明理由．
【正确答案】：
【解析】：（1）由已知可得：na n=S n+na（n-1）．利用递推关系、等差数列的通项公式．（2）由即（-1）n[1+a（2n-1）]＜3n，对n分类讨论，利用单调性即可得出．
（3）由（1）．假设对任意k∈N*，总存在正整数p、q，使c k=c p c q，可得．令q=k+1，或
q=2k，即可得出．
【解答】：解：（1）∵a n= S n
n
+a（n-1）．
∴na n=S n+an（n-1），
∴（n-1）a n-1=S n-1+a （n-1）（n-2），
相减得na n -（n-1）a n-1=a n +2a （n-1），
即（n-1）a n -（n-1）a n-1=2a （n-1），
其中n≥2，
∴a n -a n-1=2a 为定值，
∴{a n }是以2为首项2a 为公差的等差数列，
∴a n =2+（n-1）2a=2a （n-1）+2；
方法二：∵a n = S n n +a （n-1）．
∴S n -S n-1= S
n n +a （n-1）， ∴ (n−1)S n n -S n-1=a （n-1），
其中n≥2，
∴ S n n - S n−1n−1 =a 为定值，
∴{ S n n }是以2为首项a 为公差的等差数列，
∴ S n n =2+（n-1）a
∴a n = S
n n +a （n-1）=2a （n-1）+2； （2）由{b n }是单调递增数列，
得b n ＜b n+1
即3n +（-1）n [2a （n-1）+2]＜3n+1+（-1）n+1（2an+2），
即（-1）n a ＜ 3n −(−1)n ×22n−1
， 1°若n 为正奇数
则-a ＜ 3n +22n−1 在n 为正奇数时恒成立，
设f （n ）= 3n +22n−1
， 则f （n ）-f （n+2）= 3n +22n−1 -
3n+2+22n+3 =- 4[(4n−3)•3n −2](2n−1)(2n+3) ＜0， ∴f （1）＜f （3）＜f （5）＜…，
∴-a ＜f （1）=5即a ＞-5，
方法二：则f （n ）-f （n+1）= 3n +22n−1 -
3n+1+22n+1
=- 4[(n−1)3n −1](2n−1)(2n+1) ， 它在n=1时为正，在n≥2为负，
∴f （1）＞f （2）＜f （3）＜f （4）＜f （5）＜…
∴-a ＜min{f （1），f （3）}=min{5， 295 }=5即a ＞-5，
2°若n 为正偶数，
则a ＜ 3n −22n−1 在n 为正偶数时恒成立，
设g （n ）= 3n −22n−1 ，
∴g （n+2）-g （n ）= 3n+2−22n+3 - 3n −22n−1 = 4[(4n−3)3n +2](2n+1)(2n+3) ＞0， ∴g （2）＜g （4）＜g （6）＜…，
∴a ＜g （2）= 73 ，
方法二：则g （n+1）-g （n ）= 3n+1−22n+1 - 3n −22n−1 4[(n−1)3n +1](2n−1)(2n+1) ＞0， ∴g （1）＜g （2）＜g （3）＜g （4）＜…，
∴a ＜g （2）= 73 ，
综合1°2°及a≠0得-5＜a ＜ 73 且a≠0；
（3）由（1）得a n =n+1，
∴c n = n n+2009 ，
∴c k =c p c q 可化为
k k+2019 = p p+2019 • q q+2019 ， 方法一：即p= k (q+2019)q−k = 1×(kq+2019k )q−k = k (q+2019)q−k
， 令 {q −k =1p =kq +2019k 得 {p =k 2+2020k q =k +1
（或令 {q −k =k p =q +2019 得 {p =2k +2019q =2k
，或交换前两组p ，q 的值，能够确定的有四组）， ∴存在满足要求的p ，q ，且有一组值为得 {p =k 2+2020k q =k +1
， 方法二：即pq-kp-kq=2019k 即（p-k ）（q-k ）=k （k+2019）=1×（k 2+2019k ）=k×（k+2019），
令 {p −k =1q −k =k 2+2019k 即 {p =k +1q =k 2+2020k
， （或令 {p −k =k q −k =k +2019 即 {p =2k q =2k +2019
，或交换前两组p ，q 的值，共能确定四组）， ∴存在满足要求的p ，q ，且有一组值为即 {
p =k +1q =k 2+2020k ．
【点评】：本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。