完整word版,浙江大学高等数学期末考试2009-2010第一学期

诚信考试 沉着应考 杜绝违纪

浙江大学2009–2010学年 秋冬 学期

《 高等数学 》课程期末考试试卷

开课学院： 理学院 ，考试形式： 闭 卷，允许带___________入场 考试时间： 2010 年 1 月 23 日,所需时间： 120 分钟

考生姓名： _____学号： 专业： ______

一、填空题（每个空格3 分，共33 分）

1.设函数⎩

⎨⎧<+≥-=0 ,0

,1)(2x k x x x x f 在0=x 处连续，则=k -1 。

2.计算极限：11

lim 21--→x x x = 2 ；)sin 11(lim 0x

x x -

→= 0 。 3.设函数x x y sin =，则

=dx

dy

sin cos x x x +；=22dx y d 2cos sin x x x -。 4.设1=-y

xe y ，则==0|x dx

dy

e 。 5.5

001.1的近似值为 1.0002 。

6.函数)1ln(+-=x x y 的单调增加区间为 (0,+∞) 。

7.设矩阵⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=1 2 4 16 5 2 2 4 2 2 1 A ，则A 的秩为 3 。

8.假设有100件产品，其中有70件为一等品，30件为二等品。从中一次随机

地抽取3件，则恰好有2件一等品的概率为217030

3100 C C C 。

9.甲、乙二人各投篮一次，设甲投中的概率为0.6，乙投中的概率为0.7，则甲、乙二人至少有一人投中的概率为 0.88 。

二、（本题 6分）欲造一个容积为250m 3的圆柱形无盖蓄水池，已知池底的单位面积造价是周围的单位面积造价的两倍。要使水池造价最低，问其底半径与高应是多少？

解： 设所做的圆柱形底半径为r ，高为h ，侧面造价为1单位，则总造价

2()22P r r rh ππ=+．

由2V r h π=得到2V

h r

π=，代入上式消去h ，得

22()2V

P r r r π=+，(0,)r ∈+∞． 令22()4=0V

P r r r

π'=-

，得到唯一驻点r =

点，即底面半径r ===

三、计算不定积分与定积分（每小题 5分，共 15分）

1.

解：()3

222

111(1)23x x C =+=++⎰

2.解：

()()()()11sin 2sin 22cos 2221111

cos(2)cos 2cos(2)sin 22224

x xdx x x d x xd x x x x dx x x x C =

=-=-+=-++⎰⎰⎰⎰

3.解：

()()()(

)2420

4

42

4

2404

sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin 2x x dx x x dx x x dx

x x dx x x dx x x x x π

π

π

πππ

ππ

π

π

=

=-=

-+-=

-+-=++--=⎰

⎰

⎰⎰⎰

四、（本题5分）求由直线x y =与曲线2

x y =所围成平面图形的面积。

解： ()1201

6

S x x dx =-=⎰

五、矩阵与行列式计算（每小题6分，共 12分）

1.求与矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=1 10 1

A 可交换的矩阵

B 。 解：设 , a b B c d ⎛⎫

= ⎪⎝⎭则

,

1 0 1 0 , 1 1 1 1 AB BA a b a b c d c d =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ , -a b b a b c d d a c b d -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭

可得 0,,

b d a ==

即 0, a B c a ⎛⎫

= ⎪⎝⎭其中,a c 为任意值。

2.计算行列式：3 1 2 14 0 215

4 0 32 3 1 2-

2

1 3 2

2 1

3 22 1

3 23 0

4 53 0 4 53 0 4 512 0 412 0 450 6 81

2

1 3

2 0 1 72 0 1 7345

5

68921

7

==--=-=

六、（本题 8分）求解线性方程组⎪⎩

⎪

⎨⎧-=-++--=++--=++-8

42 32 32 65 32 432143214321x x x x x x x x x x x x

°231

5

60777231248077721231212312000001231207772077721231200000410112

12312722

01110111770000000000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

→---→--- ⎪ ⎪

⎪ ⎪------⎝

⎭⎝⎭

---⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

→---→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝

⎭⎝⎭

⎛

⎫- ⎪

--⎛⎫

⎪ ⎪→---→--- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎝⎭⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

解为134234427

,27x x x x x x ⎧

=-+⎪⎪⎨

⎪=+-⎪⎩

其中34,x x 可取任意实数。 七、随机事件概率计算（每小题7分，共 14分）

1. 甲、乙、丙三厂向某商场供应某种商品，分别占该商场总进货量的40%，35%和25%。又已知甲、乙、丙三厂该种产品的次品率分别为0.02，0.03，0.04。现某人购一件该种产品发现是次品，则三厂家应承担多大责任？

解：设： 1A 为事件“甲厂生产商品”； 2A 为事件“乙厂生产商品”；

3A 为事件“丙厂生产商品”； B 为事件“商品是次品”； 则

111112233()(/)

(/)()(/)()(/)()(/)

0.40.02

0.281

0.40.020.350.030.250.04

P A P B A P A B P A P B A P A P B A P A P B A =++⨯=

=⨯+⨯+⨯

222112233()(/)

(/)()(/)()(/)()(/)0.350.03

0.368

0.40.020.350.030.250.04

P A P B A P A B P A P B A P A P B A P A P B A =

++⨯=

=⨯+⨯+⨯

333112233()(/)

(/)()(/)()(/)()(/)

0.250.04

0.351

0.40.020.350.030.250.04

P A P B A P A B P A P B A P A P B A P A P B A =

++⨯=

=⨯+⨯+⨯