完整word版,浙江大学高等数学期末考试2009-2010第一学期

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浙江大学《微积分(1)》历年期末考试试题

浙江大学《微积分(1)》历年期末考试试题
x→0 1
13、 求 lim(sin 2 x + cos x) x .
2
x→0
2 + cos x x2 14、 求 lim( ) . x→0 3
1
第 2 页 共 10 页
1 − 1 − x2 1 15、 若 lim = , 求: a 的值. x→0 xa 2 1 2 n n 16、 设 un = ( 1 + ( ) 1 + ) L ( 1 + ) ,求: lim un . n →∞ n n n

1 ( f (a ) + f (b)) . 2
三、
1、 求 2、 求
不定积分
∫x
2
2x + 1 dx . + 2x + 2 1
2
∫ ( x + 1)( x
1
2
+ 1)
dx
3、 求
∫ x ( x + 1) dx . ∫
3
4、 求
1 dx . x+5x
5、 求
arcsin e x ∫ e x dx . arctan e x ∫ e2 x dx .
x 24、 设 x > 0, 证明 f ( x) = ( x − 4) e 2 − ( x − 2)e + 2 < 0 . 2 2 25、 证明:若 e < a < b < e 2, 则 ln b − ln a > x
4 (b − a ). e2
第 4 页 共 10 页
e x sin x 26、 已知 F ( x ) = x a
5、 设 y = x ln(1 + x ) ,求: y 对 x 的 10 阶导数 y (10) ( x) .

微积分1试卷(10年)浙江大学

微积分1试卷(10年)浙江大学

y (10 ) (u v) (10 ) u (10 ) x 10 u ( 9) 1 x
2 3 2 [ x x o( x 2 )] [ x x o( x 3 )] x o( x 2 ) 3 2 6 解 2:原式 lim 3 lim 2 2 2 x 0 x 0 1 x 2 x 3
n 1

13、设 f ( x) 在 (,) 上存在二阶导数, f (0) 0, f ( x) 0, 证明:(1) f ( x) 至多有两 个零点,至少有一个零点;(2) 若 f ( x) 的确有两个零点,则此两零点必反号(注: f ( x) 的零 点就是方程 f ( x) 0 的根).
S (n ) S ( x) S ((n 1) ) 2n S ( x) 2(n 1) , , 即 (n 1) x n x x x 2n 2 2(n 1) 2 S ( x) 2 , lim , 令 x , 则由夹逼准则, lim 而 lim . n ( n 1) x n n x
1 0 1 1
7、
x sin t 10
8、 | u n |

2 0
3 5 1 sin 2 t cos 2 t dt 10 2 ( sin 2 t sin 4 t ) dt 10 (1 ) . 0 4 8 2 2

1 1 ~ ( ), 故级数 | un | 发散. n (1 a n ) n n n 1
《微积分 I》期末试卷(2010-2011 学年秋冬学期)
浙江大学 2010–2011 学年秋冬学期 《 微积分(I)》课程期末考试试卷
1 至 9 题及 14 题每题 6 分,10 至 13 题每题 10 分. 1、求曲线 ln( y x) cos( x y ) x 上点 x 0 处的切线方程.

2009-2010(1)BD

2009-2010(1)BD
解:建立坐标系如图.所论半圆的方程为
利用对称性,侧压力元素
端面所受侧压力为
即 因为

得分
评卷人
五、应用题(10分×2=20)
1、(5分)设有质量为5 kg的物体置于水平面上,受力 作用开始移动,设摩擦系数 ,问力 与水平面夹角为多少时才可使力 的大小最小?
解:克服摩擦的水平分力 ;正压力

,则问题转化为求 的最大值问题.
令 解得 因而F取最小值.
2、一水平横放的半径为R的圆桶,内盛半桶密度为的液体,求桶的一个端面所受的侧压力。(注:水深为h处的压强: ,为水的密度)
2、设2、 处(C)
A、极限不存在;B、极限存在,但不连续;C、连续,但不可导;D、可导;
3、在区间 内, 的一阶导数 ,二阶导数 <0,则 在区间 内是(B)
A、单增且凸;B、Βιβλιοθήκη 减且凸;C、单增且凹;D、单减且凹;
4、下列命题中正确的是( D )
A、若 存在,则 的连续点
B、 在 上连续,是 存在的充要条件
C、 在 处连续,则 一定存在
D、 可导是 可微的充要条件
5、 是 在 内的一个极大点,则 ( C )
A、 B、 是 的一个连续不可导点
C、存在 ,在 内, D、 必有
得分
评卷人
三、解答题(10分×4=40分)
1、求下列极限
(1) (2) (3) (4)
解: ; ;(3) ;(4)
2、求导数或微分
(1)设函数 ,求 ;(2)求椭圆 ,在点 处的切线方程。
第一题
第二题
第三题
第四题
第五题
第六题
第七题
第八题
第九题
第十题

09级上高等数学

09级上高等数学

学号
2008~2009 第一学年 第 2 学期
B卷
机电一体化 专业 高等数学 课程期末试卷标准答案(即评分
标准)
一. 单项选择题 1—5 C C C B C
二.填空题
6---10 B B B D C 11---15 C B C C D
所以面积为
1
S 0 (
x
x)dx
(2
x
3 2
1
1
x2)
1
32
6
0

D y2 xy 0

C
1 A
A11
A21
A12 A22
A13
A23
A31 A32 A33
D
1 A
A11
A12
A21 A22
A31
A32
A13 A23 A33
7、反常积分
1
1 x2
dx
A
B1
1
C
3
D 1


13、 d ( 1 etdt) dx cos x


A ecos x
本试卷共 2 页,此页为第 2 页
学号
f (b) f (a)
A
2
b
B f (x)dx a
1b
C
f (x)dx
ba a
f (b) f (a)
D
ba
15、设级数 () : un 和级数 () :1 2 1000 un ,则下列正确的是 (
n1
n1
A 若 () 收敛,则 () 发散
B 若 () 发散,则 () 收敛
C 若 () 收敛,则 () 发散
2 1 1

浙江大学历年微积分(1)试卷解答-极限与连续

浙江大学历年微积分(1)试卷解答-极限与连续

常见的等价无穷小量:
• 当x → 0 时,常见的等价无穷小量: (1)sin x ∼ x ; (2) tan x ∼ x ; (3)ln(1 + x) ∼ x ; (4) e x − 1 ∼ x ; x2 ; (8) (1 + x)α − 1 ∼ α x. 2
(5) 1 − cos x ∼
= lim
4−
u →+∞
1
9、 求: lim(cos x) sin x .
x →0
2
I = lim (1 + (cos x − 1) ) cos x −1
x →0
1

cos x −1 sin 2 x
= e 2.

1
1 − x2 cos x − 1 1 其中: lim = lim 22 = − . 2 x →0 x →0 sin x 2
3
浙江大学微积分(1)历年试题分类解答——极限与连续
6、 求: lim
x →0
ln(1 + x) − sin x
3
1 − x2 − 1
.
1 − cos x ln(1 + x) − sin x + 1 x = −3lim 【方法一】:I = lim x→0 x→0 1 2x − x2 3 1 − + sin x 3 (1 + x) 2 = −3lim = . x →0 2 2 1 x3 [ x − x 2 + o( x 2 )] − [ x − + o( x 3 )] 3 2 6 【方法二】:I = lim = . x→0 1 2 − x2 3
【方法二】:记 y = (e − x) ,则: lim ln y = lim

完整word版,浙江大学2010-2011数学分析(2)-试卷及答案,推荐文档

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浙江大学20 10 -20 11 学年 春夏 学期《 数学分析(Ⅱ)》课程期末考试试卷(A )课程号: 061Z0010 ,开课学院:___理学部___ 考试形式:闭卷,允许带___笔____入场考试日期: 2011 年 6 月 24 日,考试时间: 120 分钟诚信考试,沉着应考,杜绝违纪。

请注意:所有题目必须做在答题本上!做在试卷纸上的一律无效!请勿将答题本拆开或撕页!如发生此情况责任自负!考生姓名: 学号: 所属院系: _一、 计算下列各题: ( 前4题每题5分,最后一题6分,共26分 )1. 2()(03)sin lim.x y xy x→,,求: 2222()(03)()(03)sin sin lim lim 9.x y x y xy xy y x xy →→=⋅=,,,,2. (122)().f x y z gradf=,,设,,23(122)(122)(122)(122)11..2722.27271{122}.27f x x fr x r r r x ffyz gradf∂∂==-⋅=-=-∂∂∂∂=-=-∂∂=-,,,,,,,,令,则:则:同样,,因此,,,3. 2222320(321)S x y z ++=求曲面:在点,,处的法线方程.222()2320246.321(321){686}.343x y z F x y z x y z F x F y F z x y z n =++-===---===r 令:,,,则:,,因此,在点,,的法向量,,,故法线为:4. 2221.(2).4Cx C y L x y ds +=+⎰Ñ设曲线:的长度为计算: 222(2)(44)44.=0.CCCCx y ds x y xy ds ds L xyds +=++==⎰⎰⎰⎰蜒蜒其中:5.02z z z ∑===设为曲面和之间部分的下侧,计算: (1)(2).dS dxdy ∑∑⎰⎰⎰⎰;22224.4.x y x y x y z z z dS dxdy dxdy π∑+≤∑+≤======-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于因此,二、 计算题:(每题8分,共56分)1. 22()2()()()2x f x f x x f x ππππ=--≤≤设是周期为的函数,且,求:的211.n Fourier n+∞=∑级数,并计算的和22222020022112222211(1)()20.2522(1)()()cos (12).2325(1)()2cos .()(*)65(1)(1)(2)(*)0(0)2.61n n n nn n n n n f x b x x a dx a nxdx n nf x nx x R nx f n n ππππππππππππ∞=-+∞∞===-=-=-=-==-=-+∈--==-=-+⇒=⎰⎰∑∑∑L 由于是周期为的偶函数,则:,,,因此,式中,令,则:12222221111122122222211.21111(1)2.2.2(2)2(2)121.6511(*)2..266n n n n n n n n n n n n n n nx n n σσπσππππππ-+∞+∞+∞+∞∞=====+∞=+∞+∞==-==⇒=-====-=-+⇒=∑∑∑∑∑∑∑∑令:,则:因此,【或】:在式中令,则:2. 211(2)1.44n n nn n x n n +∞+∞==-⋅⋅∑∑计算级数的收敛域及和函数,并计算的值 222112221111211()(2)4(2)(1)lim lim 10 4.()(1)4(2)4(2)12104.44(04).(2)(2)()()4n n n n n n n nn n n nn n n n n n n u x x n x x u x n x x x n n n n x t t S t S t t n +++→∞→∞+∞+∞+∞+∞====∞-=-⋅-=⋅=<<<+⋅--====⋅⋅-'===∑∑∑∑∑,则:当时,发散;当时,发散因此,级数的收敛域为:,令,,则:1222111.(11).1(2)(2)()ln(1).ln 1ln 4ln(4).440 4.14(3)3ln .43n n nn nn t t x x S t t x x n x x n ∞=+∞=+∞==-≤<-⎛⎫--=--=--=-- ⎪⋅⎝⎭<<==⋅∑∑∑其中:故,所以,其中:上式中令,可得,2111112211(2)lim lim 141(1)11.11.(2)(2)[11).110444.(04)n nn n n n n n n n n n nn n n a x t n t t n a n n t t n nt x x x n n ∞∞+→∞→∞==∞∞==∞+∞==-===+-=-=----≤<<<⋅∑∑∑∑∑∑【或】:令,对于级数而言,,因此,的收敛半径为而当时,级数收敛;当时,级数发散故级数的收敛域为,因此,当,即时收敛因此,原级数的收敛域为,..下面与上同3. 222()2.y z zz f x y f x x x y∂∂=+∂∂∂设,,且具有阶连续偏导,计算:,12221112221222221112222232(1)2.111(2)222214(2).z y xf f x x z y x yf f f yf f x y x x x x y y xyf f f f x x x ∂=-∂∂⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=+---4. 2222(){()|}.Dx y dxdy D x y x y x y +=+≤+⎰⎰计算,其中,222222002212221cos 111()2()()..1222()sin 213cos sin ).281()1121.()()1()222u v x r x y D x y r r y r I d r r r rdr x u x y I u v dudv u v y v u v πθθθθθθπ+≤⎧=+⎪∂⎪-+-≤=⎨∂⎪=+⎪⎩=+++=⎧=+⎪∂⎪⎛⎫==+++⎨ ⎪∂⎝⎭⎪=+⎪⎩=++⎰⎰⎰,方法一、区域:令:,则:,,方法二、令:,则:,2222001233cos sin 344444344444204113).2281(cos sin )41313)]sin 2sin 2.444228u v uu v dudv d r rdr I d r dr d d udu udu πππθθπππθππππθπθθθθππθθπ+≤+--+=-⎛⎫++=+⋅= ⎪⎝⎭==+⋅=+===⋅⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三、5. 222{()|1}.ze dxdydz x y z x y z ΩΩ=++≤⎰⎰⎰计算三重积分:,其中,,()2222221(0)2110cos 0cos 2011012.241(sin )4sin cos 2422.22zzx y z z z u xxu z z x y z xoy e z I e dV I d rdr dz r dr r x x xedx ue du I e dzdxdy e ππθπππππππ++≤≥=+≤-===-==⋅---===⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎰⎰⎰⎰⎰由于积分区域关于平面对称,被积函数关于为奇函数,因此,方法一、令:方法二、()120211cos 2cos 222011cos 20(1)2.2sin 4sin 44(1)2.z dz I d d ed de d ed e d πππρϕρϕπρϕρπθϕρϕρπρρϕϕπρρπρρπ-====-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三、6. 2222()M x y z a ξηζ++=设点,,是球面第一卦限中的一点,S 是球面在该点处的切平面被3个坐标平面所截三角形的上侧,求:点()M ξηζ,,使曲面积分:⎰⎰++=Szdxdy ydzdx xdydz I 为最小,并求此最小值.22222226322262222222(1)()(cos cos cos )11.2cos 2(2).327SSS Sx y z a M x y z a xdydz ydzdx zdxdy x y z dSx y z a a a dS a dS a a a a a a ξηζξηζαβγξηζξηγξηζξηζξηζξηζξηζ++=++=++=++⎛⎫=++==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭⎛⎫++++=≤=⇒ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰球面在点,,处的切平面方程为:由于,则:333..2.Sxdydz ydzdx zdxdy x y z M ≤++≥===⎰⎰因此,等号在故,点为62222(1).30..2(2)xy yz zxxy yz zxxy yz zx S S S S S S S S S S S Guass I xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdya a a a dV x y z a L ξηζξηζξηζ+++ΩΩ=++-++⎛⎫=+=++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò++【或】:添加切平面与坐标平面所围立体的另三个三角形、、,使其与所围闭曲面方向为外侧则:根据公式可得:切平面:,截距分别为:、、构造222222223min ()().20(1)20(2)20(3)0(4)02.(4)x y z agrange f x y z xyz x y z a f yz x f zx y f xy z f x y z a yz zx xy x y z x y z x y z x y z xyz I λλλλλλλ=+++-=+=⎧⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪=++-=⎩>===-======函数:,,,令:由于、、,则:将其代入可得,由于驻点唯一,根据实际问题当因此,3.=7. 22(0)cos (0)42Cxdy ydx xC A y B x y ππ-=-+⎰计算,其中曲线是从点,沿到点,,再从(2).B D ππ-点沿直线到点,2222222222222222222222224.44(4)4(0).444410arc 42CC DA L DA LLy x P y x QP Q x y x y y x y x DA L x y xdy ydx xdy ydx xdy ydx xdy ydx x y x y x y x y dy xdy ydx y πδδδπππδπ++--∂-∂•====++∂+∂•+=>----=--++++=---=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ñ方法一、,,则:连接,作:,足够小,方向为顺时针则:222224221122332222222221tan2217.88(0)(2)(2)(2).444(4)x y ydxdyA A A A A A A D L y x P y x QP Q C Lx y x y y x y x P Q πδπδππδπδπππππππ-+≤+=-+⋅=----∂-∂====++∂+∂⎰⎰方法二、从点,沿直线到点,、再从点沿直线到点,、从点沿直线到点,、再从点沿直线到点;记此路径为由于,,则:;且在由曲线、所围区域内、都1122332222222222222222202442244444422arctan arctan arctan arctan 2242248C L AA A A A A AD xdy ydx xdy ydx x y x y dy dx dy dx y x y x y x y x πππππππππππππππππππππππππππππππππππ--------==+++++--=+++++++--=+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰有一阶连续连导数,因此,7.4448ππππ+++=三、 证明题:(每题9分,共18分)1. 210cos ()()1n n n nxu x D f x n +∞∞===+∑∑叙述级数在数集上一致收敛的定义,并证明: (02).π在,内连续,且有连续导数22220022022200cos 11cos (1)(02)1111cos (02)(02)1cos ()(02)1cos sin (2)(){}111n n n n n nx nxx n n n n nxn N n nxf x n nx n nx ng x n nn ππππ∞∞==+∞=∞∞==∀∈≤++++∀∈+=+'⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭∑∑∑∑∑由于对,,有,而收敛,故级数在,内一致收敛.另外,对,函数在,内连续,因此,在,内也连续.记,由于12200221cos()cos 1220()[2]sin .sin 2sin22sin sin [2](02)11.cos sin (02)()(0211nk n n xn x kx x n nx n nxDirichlet n n nx n nx f x n n δδπδπδδδπδπππ=∞∞==+-∀><∀∈-=≤-++'⎛⎫=- ⎪++⎝⎭∑∑∑单调趋向于零,且对,及,,根据判别法,在,上一致收敛,即在,上内闭一致收敛又在,内连续,故,在,)内具有连续的导数.2. 0()()y f x δδδ>-=证明:存在,及定义在,内的具有连续导数的函数, ()220(0)0sin ()2()cos 1..x dyf x f x f x x dx==+++=满足,且并计算的值22222222222()sin()2cos 1()(1)()(2)(00)0(3)2cos()2(4)(00)20(5)2cos()sin 0()()(0)0sin (y y x F x y x y y x F x y R F F y x y R F F x x y x R y f x f x f δδδ•=+++-==++=>=+->-==+令:,,*则:,在上连续;,;在上连续;,;在上连续.根据隐函数存在性定理,存在,及定义在,内的具有连续导数的函数,满足,且()222222220)2()cos 1.sin()2cos 100.cos()(22)2sin 0.sin 2cos().0.22cos()x x f x x x y y x x x y x y x yy y x x x x y dy y y x y dx=++=•+++===''+++-=-+'==++在两边同时对求导,且当时,则:因此,故,。

2009-2010(2)期末考试试卷(A)(高等数学)

2009-2010(2)期末考试试卷(A)(高等数学)

9. 计算 zdS ,其中∑是上半球面 z 4 x 2 y 2 介于 z 1, z 2 之间的部分
10. 计算 xzdydz yzdzdx 2zdxdy ,其中∑是 x y z 1与三个坐标面围成区域的整个边界面 的外侧。
11. 已知连续函数 fΒιβλιοθήκη (x) 满足 f (x) e x
ds
=____________.
4.设 D: x2+y2≤1, 则 (4 1 x 2 y 2 )dxdy __________.
D
5. 若 y 1, y x, y x 2 为某个二阶线性非齐次微分方程的三个解,则该方程的通解为 。
二、解答下列各题(1-6 小题每个 6 分,7-13 每题 7 分,总计 85 分)
武汉工业学院 2009 –2010 学年第 2 学期 期末考试试卷(A 卷)
课程名称 高等数学 2
学号:
注:1、考生必须在答题纸的指定位置答题,主观题要有必要的步骤。
2、考生必须在答题纸的密封线内填写姓名、班级、学号。
姓名:
班级:
3、考试结束后只交答题纸。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空题(每小题 2 分, 共 10 分)
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------

09级上微积分B期末试卷(答案)

09级上微积分B期末试卷(答案)

浙工大之江学院2009-2010学年第一学期《微积分B 》期末试卷(A )班级 姓名 学号一.选择题:(每格3分,共15分)1、下列四种趋向中,函数11)(2+++=x x x x x f 不是无穷小量的是( B ) A.0→x B.1→x C.1-→x D.+∞→x2、关于函数)(x f y =在点x 处连续、可导及可微三者的关系是( D )A. 连续是可微的充分条件B. 连续是可导的充要条件C. 可微不是连续的充分条件D. 可微是可导的充要条件3、设⎪⎩⎪⎨⎧≥<--=1,21,11)(2x x x x x x f , 则1=x 是)(x f 的 ( A ) A. 连续点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 第二类间断点4、311-+=x y 的拐点为 ( C )A. )0,0(B.)2,2(C. )1,1(D. 无5、若)(x f 是)(x g 的一个原函数,则 ( B )A.⎰+=c x g dx x f )()( B.⎰+=c x f dx x g )()( C.c x g dx x f +='⎰)()( D.⎰+='c x f dx x g )()(二.填空题:(每格3分,共15分)1、 设x x x f cos )(=, 则='')(x f __-2sinx-xcosx______________2、某商品的需求量Q 与价格P 的函数关系式为P Q 3100-=,则需求量对价格的弹性是______31003p p-____________3、函数32)(3+-=x x x f 在区间]0,2[-上满足拉格朗日定理的条件,求定理中的=ξ_____4、设x e x f -=)(, 则='⎰dx x x f )(ln ____1c x +______________5、x e x f 2)(=的n 阶麦克劳林公式为 __________22(2)(2)12()2!!nx n x x e x x n ο=+++++ __________________________三. 计算题:1、求极限(每题5分,共10分) (1) x x x )1ln(lim 0+→011lim 11x x→+==(2) 10)xx x →1)0012032lim )lim 1(1)132=x x x x x ex xx e →→-→=++==先求原式2、求不定积分(每题5分,共15分) (1) dx x x ⎰+231()()()()22222312222111122111123x xx x c=+-+=+-++=(2) ⎰+++dxxxx82622221225228(1)71ln282xdx dxx x xx x c+=+++++=++++⎰⎰(3) 3lnx xdx⎰4444344ln4ln ln441ln441ln416xxdx xx d xxx x dxxx x c==⋅-=⋅-=-+⎰⎰⎰3、利用对数求导法求函数35)33()23(4+-⋅+=xxxy的导数y'(7分)解:1ln ln(4)5ln(32)3ln(33)2y x x x=++--+1115(2)33243233yy x x x-'=⋅+-⋅+-+532)1103()(33)2(4)321xyx x x x-'=--++-+4、设曲线方程为33(1)cos()90x y x y π++++=,试求此曲线在横坐标1-=x 的点处的切线方程。

浙江大学高等数学(上)试题册及参考答案

浙江大学高等数学(上)试题册及参考答案

高数(上)试题库一、判断题1、集合{}0为空集。

( )2、集合{}1,2A =,集合{}1,3,4B =,则{}1,2,3,4A B =。

( )3、函数y x =与函数y =是相同的函数。

( )4、函数()cos f x x x =是奇函数。

( )5、函数arcsin y x =的定义域是(),-∞+∞。

( )6、函数arcsin y u =和22u x =+可以复合成函数2arcsin(2)y x =+。

( )7、函数()sin f x x =是有界函数。

( )8、函数()cos f x x =,()g x = ( ) 9、如果数列n x 发散,则n x 必是无界数列。

( ) 10、如果数列n x 无界,则n x 必是发散数列。

( ) 11、如果)(0x f =6,但00(0)(0)5,f x f x -=+=则)(lim 0x f x x →不存在。

( )12、)(x f 在0x x =处有定义是)(lim 0x f x x →存在的充分条件但非必要条件 。

( )13、0lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→=是)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件。

( )14、100000x是无穷大。

( )15、零是无穷小。

( ) 16、在自变量的同一变化过程中,两个无穷小的和仍为无穷小。

( )17、1sin lim=∞→xxx 。

( )18、当0x →时,sin ~~tan x x x ,则330tan sin lim lim 0sin x x x x x xx x→∞→--==。

( ) 19、)(x f 在0x 有定义,且0lim x x →)(x f 存在,则)(x f 在0x 连续。

( )20、)(x f 在0x x =无定义,则)(x f 在0x 处不连续。

( ) 21、)(x f 在[a,b]上连续,则在[a,b]上有界。

浙江大学《微积分》课程期末考试试卷

浙江大学《微积分》课程期末考试试卷

浙江大学2004-2005学年秋冬季学期《微积分》课程期末考试试卷一、填空题1.1lim()xx x e x →-= .2.设()f x 可导,2(cos )f x y x =则d d yx= . 3.ln (0)xy x x=>的值域范围为 . 4.3121x x -=⎰5.设,arcsin x y t⎧⎪=⎨=⎪⎩则22d d y x = . 6.当0x →时,20cos d 2x tx e t t x --⎰与B Ax 等价无穷小,则常数A = ,B = .二、计算题1.求221d .22x x x x +++⎰ 2.已知(0),(),f a f b π==且()f x ''连续,求[]0()()sin d f x f x x xπ''+⎰.3.求2+∞⎰.4.求曲线sin (0)y x x π=≤≤与x 轴围成的平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周所得的旋转体体积x V 和y V .5.在曲线段 2(08)y x x =≤≤上, 求一点2(,)P a a 使得过P 点的切线与直线0,8y x ==所围成的三角形的面积最大.三、求幂级数2021!n n n x n ∞=+∑的收敛区间以及在收敛区间上的和函数,并求级数0212!nn n n ∞=+∑的和.四、证明若2,e a b e <<<则2224ln ln ()b a b a e ->-⋅ 五、已知sin 0()0x e x x F x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩为连续函数.(1)求常数a ; (2)证明()F x 的导函数连续.浙江大学2004-2005学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案一、填空题1.2110ln()lim()lim x x x x x x e x e x e →→--=1002ln()1lim lim 22()x x x x e x e x x e x x e e e →→---===.2. 22(cos )d (cos )[2(cos )(cos )sin ln ]d f x y f x x f x f x x x x x'=-⋅. 3. (1,]e-∞ .4.3121x x -+⎰.111x x x --=+⎰⎰12x x =⎰, 令sin x t =222222001312sin cos td 2sin (1-sin t)d 2()224228t x t x πππππ===⋅-⋅⋅=⎰⎰.5.由x =d d x t = a r c s i n y t =,d d y t =d 1d y x t =-,2221d d yt x==.6. 由洛必达法则20100cos d cos 12lim lim x tx B B x x x e t t x e x xAx ABx-→→----=⎰, 2323310[1()][1()]12!3!2!lim B x x x x x o x o x xABx-→++++-+--=, 其中:232331(),cos 1()2!3!2!xx x x e x o x x o x =++++=-+33101()3lim 1B x x o x ABx -→-+==, 得13,13B AB -=⎧⎪⎨=-⎪⎩,即1,412A B =-=. 二、计算题 1.22221221d d d 22221(1)x x x x x x x x x x ++=-++++++⎰⎰⎰=2ln(22)arctan(1)x x x C ++-++.2.[]00()()sin d ()sin d ()sin d f x f x x x f x x x f x x x πππ''''+=+⎰⎰⎰()sin d sin d ()f x x x x f x ππ'=+⎰⎰00()sin d sin ()()cos d f x x x xf x f x x x πππ''=+-⎰⎰00()sin d cos ()()sin d f x x x xf x f x x x πππ=--⎰⎰=a b +.3.221x +∞+∞=-⎰⎰21arcsinx +∞=-=6π . 4. 22sin d 2x V x x πππ==⎰,2002sin d 2cos 2cos d 2y V x x x x x x x πππππππ==-+=⎰⎰.5. 解:(1)过点2(,)P a a 的切线方程为 22()y a a x a -=-, 令0y =,得22()a a x a -=-,得2a x =, 令8x =,得222(8)16y a a a a a =+-=-,令221()(8)(16)(8)222a aS a a a a =--=-,213()(8)2(8)()(8)(8)22222a a a aS a a '=-+--=-- ,令()0S a '=,得163a =,16a =(舍).1333()(8)(8)1622222a a S a a ''=----=- ,16316()1680323S ''=⋅-=-<,所以,当163a =时,三角形面积最大.三、因为 2220102121()!(1)!!n n n n n n n x x x n n n ∞∞∞===+=+-∑∑∑2220()2!n x n x x e n ∞==+∑222222(21)x x x x e e e x =+=+,所以2220021212(221)5!!n n n n n n e e n n ∞∞==++==⋅+=∑∑.四、 设 2()ln ,()f x x g x x ==,在[,]a b 上由柯西定理,有 222ln ln ln 2,b a e a b e b a ξξξ-=<<<<- .再令2ln 1ln (),()0()x xx x e x x x ϕϕ-'==<<,故()x ϕ单调下降,得222(),()x e x e e ϕ><<,有2ln 2e ξξ>,得2224ln ln ()b a b a e ->-. 五、 (1)因为 0sin lim1x x e xx→=, 所以1a =. (2)0sin 1(0)lim x x e xx F x→-'=20sin lim x x e x x x→-= 00sin cos 12cos lim lim 122x x x x x e x e x e x x →→+-===, 所以,2(s i n c o s )s i n,0;()1,0.x x x x e x e x e x x F x x x ⎧+-≠⎪'=⎨⎪=⎩而 20sin cos sin limx x x x xe x xe x e xx →+-02cos lim 12x x xe x x →==,所以 ()F x '在(,)-∞+∞上是连续的.浙江大学2005-2006学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷一、 计算题1.已知抛物线2y ax bx c =++过点(1,2),且在该点的曲率圆方程为22151()(),222x y -+-=则a = ,b = ,c =2.设12()sin d x f x t t =⎰,则(1) 10()d f x x =⎰ ;(2) 1()lim1x f x x →=- 3.若011lim ,2a x x →=则a = 4.当x = 时,函数2x y x =⋅取得极小值.5.曲线arctan y x =在横坐标为1的点处的切线方程为 *6.已知01(cos sin ),(0,2),2n n n xa a nxb nx x ππ∞=-=++∈∑则5b = (此题不作要求)二、求极限1.0sin tan lim tan (1)ln(1)x x x x x e x →--- 2. 21sin 0lim(cos )xx x → 三、求导数1.设函数()x x y =由sin 0y x x -+=所确定,求22d d ,d d x xy y2.设sin arctan ,ln(x t t y t =-⎧⎪⎨=+⎪⎩ 求22d d ,d d y y x x 3.设()arccot xy x e =-()y x '. 四、求积分 1.21d (1)(1)x x x ++⎰.2.x .3.1321(x x x -+⎰. 4.20sin 2d 1cos xxx xπ+⎰.五、设曲线21:1(01),C y x x =-≤≤x 轴和y 轴所围区域被曲线22:(0)C y ax a =>分为面积相等的两部分,试求常数a .六、将函数12()arctan 12x f x x -=+展开成x 的幂级数,并求级数0(1)21nn n ∞=-+∑的和.七、设()f x 在(,)a +∞内可导,且lim (),x f x a →∞'=证明:()limx f x a x→∞=.浙江大学2005-2006学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案 一、计算题1. 由2y ax bx c =++,有2,2y ax b y a '''=+=,得112,2,2x x a b c y a b y a =='''++==+=由曲率圆方程22151()(),222x y -+-=两边求导,152()2()022x y y '-+-=,得1,21x y y =='=,5222()02x y y y y ''''++-=,得1,24x y y ==''=根据2y ax bx c =++与曲率圆22151()(),222x y -+-=在点(1,2)有相同的,,y y y ''';得到 24,21,2a a b a b c =⎧⎪+=⎨⎪++=⎩, 所以有2,3,3a b c ==-=.2. (1)11120()d (sin d )d xf x x t t x =⎰⎰⎰=111220sin d sin d xx t t x x x +⎰⎰12201=sin d 2x x ⎰ =12011cos (1cos1)22x -=- . (2)1211sin d ()limlim 11xx x t tf x x x →→=--⎰21sin lim sin11x x →-==-. 3. 因为,当0x →时2112x, 所以200112lim ,2a x x x x →→==得 2a = . 4. ()2x y x x =⋅,()22ln 2x x y x x '=+,令()0,22ln 20x x y x x '=+=,解得 1ln 2x -=, 由于2()2ln 22ln 22ln 22ln 2(2ln 2)x x x x y x x x ''=++=+, 当1ln 2x =-时,1()0ln 2y -''>,所以当1ln 2x -=时,()2x y x x =⋅取到极小值.5. 因为, 21111arctan ,,,arctan1124x x y x y y y x π==''=====+, 所以,切线方程为 1(1)24y x π=-+. 6. 515b =.二、求极限1. 0sin tan lim tan (1)ln(1)x x x x x e x →---=30sin (cos 1)cos lim x xx x x→--,注:当0x →时1,ln(1)x e x x x --- , 20cos 11lim2x x x →-==-. 2. 因为 ,21sin 0lim(cos )xx x →=2cos 11cos 1sin 0lim[1(cos 1)]x x xx x -⋅-→+- ,而 20cos 11limsin 2x x x →-=-,1cos 1lim[1(cos 1)]x x x e -→+-=, 所以 11sin2lim(cos )xx x e-→=.三、求导数1. 对方程sin 0y x x -+=两边关于y 求导数,注意到()x x y =,有 d d 1cos 0d d x x x y y -+=,得 d d xy =11cos x-, 222d 1d()d()(cos )d d 1-cos d d d (1-cos )y xx x yx yy y x '--===3sin (1cos )x x -=-. 2. 2d 1sin arctan ,cos d 1x x t t t t t=-=-+, ln(y t =,d d y t =d d d d d yy t x t==, 222d d (1)cos 1yxt t =⎡⎤+-⎣⎦.3.111()arccot arccot [ln ln(1)]arccot ln(1)222xx x x x x y x e e e e e x e =---+=-++,2211()122(1)12(1)x x x x x x xe e e y x e e e e '=--+=--++++. 四、 1.21d (1)(1)x x x ++⎰=22111()d 2111x x x x x -++++⎰ 2111ln 1ln(1)arctan 242x x x C =+-+++. 2. (令15x t =)x =145315d t t t t +⎰=11215d 1t t t +⎰ =9753215()d 1tt t t t t t t -+-+-+⎰ =108642211111115[ln(1)]1086422t t t t t t C -+-+-++=28242231551515153155151515ln(1)282422x x x x x x C -+-+-++.3.1321(x x x -+⎰11x x -=⎰22202sin cos d t t t π=⎰ 注:令sin x t =22202sin (1sin )d t t t π=-⎰1312()224228πππ=⋅-⋅⋅=.4. 20sin 2d 1cos x x x x π+⎰=220dcos 1cos x x xπ-+⎰=20dln(1cos )x x π-+⎰ 2200ln(1cos )ln(1cos )d x x x x ππ=-+++⎰=22(cos )ln 2(1)2d 1n nn x x n ππ+∞=-+-⋅⋅+∑⎰1201(1)ln 2cos d n nn x x n ππ-∞=-=-+∑⎰ 12201(1)ln 22cos d n n n x x n ππ-∞=-=-+⋅∑⎰=11(1)(21)!!ln 22(2)!!2n n n n n ππ-∞=---+⋅⋅⋅∑.五、由 221,y x y ax⎧=-⎪⎨=⎪⎩得交点0x =, 311212002(1)d ()33x S S x x x +=-=-=⎰,022310012[(1)]d ()33x x a S x ax x x x +=--=-=⎰,由12S S =,得212323=⋅, 所以 3a =.六、由12()arctan 12x f x x -=+, 2221()2(1)4,142n n nn f x x x x ∞=-'==--<+∑, 210(1)4()()d (0)2421n n x n n f x f x x f xn π∞+=-'=+=-+∑⎰, 当12x =时,210(1)41024212n n n n n π∞+=-=-+∑, 得 0(1)214nn n π∞=-=+∑.七、解法一:由洛必达法则, ()()lim lim 1x x f x f x a x →+∞→+∞'==.解法二:① 若0a =,由lim ()0x f x →+∞'=,按定义知0ε∀>,10x ∃>,当1x x >时,恒有()2f x ε'<.1(,)b x ∀∈+∞,当x b >时,有()()()2f x f b f x b x b εξ'-=-<-,由于()()()()2f x f b f x f b x b ε-≤-<-,有()()2f x f b x b ε≤+-,再取2x b >,使得2()2f b x ε<,当2x x >时, 有2()()()()()()2222x bf b x b f b f x f x f b f b x x x x x x εεεεε---+=<+<+<+=, 所以,()lim0x f x x→+∞=. ② 若0a ≠,由lim ()x f x a →+∞'=,则有 lim [()]0x f x ax →+∞'-=, 设()()F x f x ax =-,有lim ()0x F x →+∞'=,由①知,()()limlim 0x x F x f x axx x→+∞→+∞-==,得证.浙江大学2006-2007学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷一、求导数或微积分(1)设sin43(arctan 2)ln 2x y x x =++,求d d yx .(2)设22d ,sin()d t ts x e s y t s s -==-⎰⎰,求t =d d y x 及22d d y x .(3)设()y y x =是由方程210x y e x xy +---=确定的x 的可导函数,求0d x y =. 二、求积分(4)求60x ⎰.(5)求2arctan d xxe x e ⎰. (6)求1+∞⎰.三、求极限 (7)求3012cos lim[()1]3x x x x →+-. (8)设()f a ''存在,()0f a '≠,求11lim[]()()()()x af a x a f x f a →-'--.(9)设1121)1))nn n u n n n ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦(((1,求lim n n u →∞. 四、选择题(10)设2620arcsin d ,(1)d xt t t e t αβ==-⎰⎰,则0x →时 [ ](A )αβ与是同阶但不等价无穷小. (B )αβ与是等价无穷小. (C )αβ是的高价无穷小. (D )βα是的高价无穷小. (11)设级数1n n a ∞=∑收敛,则下述结论不正确的是[ ](A )11()n n n a a ∞+=+∑必收敛. (B )2211()n n n a a ∞+=-∑必收敛.(C )2211()n n n a a ∞+=+∑必收敛. (D )2211()n n n a a ∞+=-∑必收敛.(12)设1,0,()()()d ,0,x x e x f x F x f t t x x -⎧≤==⎨>⎩⎰,则()0F x x =在处[ ](A )极限不存在 (B )极限存在,但不连续(C )连续但不可导 (D )可导(13)设()y f x =为连续函数,除点x a =外,()f x 二阶可导,()y f x ''=的图形如图, 则() [ ]y f x =(A )有一个拐点,一个极小值点,一个极大值点. (B )有二个拐点,一个极小值点,一个极大值点. (C )有一个拐点,一个极小值点,二个极大值点. (D )有一个拐点,二个极小值点,一个极大值点.五、(14)设曲线2y ax =(0,x ≥常数0)a >与曲线21y x =-交于点A ,过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2y ax =围成一平面形D .(I) 求D 绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积()V a ;(II )求a 的值使()V a 为最大.六、(15)将函数21()arctan ln(1)2f x x x x =-+在0x =处展开成泰勒级数(即麦克劳林级数)并指明成立范围.七、(16)设0,x >证明2()(4)(2)20x x f x x e x e =---+<.浙江大学2006-2007学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案一、求导数或微分(1) sin 4sin 4122d 14cos 4ln sin 46(arctan 2)d 14x x y x x x x x x x x -=⋅+⋅++. (2) 由 20d ts x e s -=⎰,得2d d t xe t -=,由20sin()d ty t s s =-⎰,令t s u -=,得0220sin d sin d tty u u u u =-=⎰⎰,得2d sin d y t t =,所以222d d sin ,d d t t y ye t e x x π==,2222222222(sin )d 2sin 2cos d t t t tt t e t y te t te t x e e--'+== 22222(sin cos )t te t t =+, 22d d t y x π=.(3) 由 210x y e x xy +---=及0x =,得0y =,对方程 210x y e x xy +---= 两边取微分有(d d )2d (d d )0x y e x y x x y y x ++--+=, 将0x =,0y =代入,得 0d d x y x ==.二、求积分 (4)解66x x =⎰⎰6x =⎰ (令33sin x t -=)2227(1sin )cos cos d t t t t ππ-=+⎰22012754cos d 54222t t πππ==⋅⋅=⎰.(5)解 令x e t =,2arctan d xxe x e ⎰=3arctan d t t t ⎰211arctan d 2t t =-⎰ 2221arctan 1[d ]2(1)t t t t t =--+⎰ 2221arctan 11[d d ]21t t t t t t =--++⎰⎰ 21arctan 1[arctan ]2t t C t t=-+++ 21arctan [arctan ]2x x xxe e e C e-=-+++. (6)解t =,1+∞⎰202d 1t t +∞+⎰02arcta n t π+∞==. 三、求极限 (7) 解 3012cos lim[()1]3xx x x →+- 2cos ln()3301lim [1]x x x e x +→=- 注2cos ln()32cos [1ln(),(0)]3xx x e x x ++-→ 2012cos limln()3x xx →+= 201cos 1lim ln(1)3x x x →-=+ 注[cos 1cos 1ln(1),(0)33x x x --+→] 201cos 11lim ()36x x x →-==. (8) 解 11lim[]()()()()x af a x a f x f a →-'--()()()()lim ()()(()())x a f x f a f a x a f a x a f x f a →'---='-- =()()lim()(()())()()()x af x f a f a f x f a f a f x x a →''-'''-+-2()()()lim ()(()())2(())()()x a f x f a f a x a f a f x f a f a f a f x x a→''-''-=='-'''+-. (9)解 由 112[1)1))]nn n u n n n =+++(((1, 取11ln ln(1)n n i i u n n==+∑,则 11100011limln lim ln(1)ln(1)d ln(1)d 2ln 211n n n n i i x u x x x x x n n x →∞→∞==+=+=+-=-+∑⎰⎰,所以 2ln 214lim n n u e e-→∞==. 四、(10)解:因为262000arcsin d limlim (1)d xx x t t te tαβ→→=-⎰⎰注:由洛必达法则2222331arcsin 3lim 1x x x x xe -→⋅=- 注:221,(0)x e x x -→ 22320231arcsin 1lim33x x x x x →==⋅, 所以,αβ与是同阶但不等价无穷小,则选 A . (11)解:(A ) 因为11111()nn n n n n n aa a a ∞∞∞++===+=+∑∑∑11212n n n n n n a a a a ∞∞∞====+=+∑∑∑,而1nn a∞=∑收敛,所以11()n n n a a ∞+=+∑必收敛,(B )因为222222222221122311211()n n n n n n n a a a a a a a a a a a ∞++++=-=-+-++-+-=∑,所以2211()n n n a a ∞+=-∑必收敛.(C )因为2212345221111()n n n n n n n a a a a a a a a a a ∞∞++==+=+++++++=-∑∑所以2211()n n n a a ∞+=+∑必收敛,(D )221234522112()(1)n n n n n n n n a a a a a a a a a ∞∞++==-=-+-++-+=-∑∑未必收敛,例如 1(1)n n n ∞=-∑收敛, 但221(1)nn n n a n ∞∞==-=∑∑发散,则结论不正确的是D ,本题选D(12)解:由1,0,()()()d ,0,x x e x f x F x f t t x x -⎧≤==⎨>⎩⎰,则 11121,0,()11,02x t x x t e dt e e x F x e dt e x x ----⎧=-≤⎪=⎨⎪=-+>⎩⎰⎰,即 112,0,()11,02x e e x F x e x x --⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩, 因为 12101lim ()lim(1)12x x F x e x e ++--→→=-+=-, 11lim ()lim()1x x x F x e e e ----→→=-=- 所以 ()F x 在0x =处连续.因为 2012(0)lim 0x x F x++∆→∆'==∆, 01(0)lim 1xx e F x-∆-∆→-'==∆,(0)(0)F F +-''≠所以,()F x 在0x =不可导,所以选C. (13)如图,在点(,0)b 处,左边0y ''>,右边0y ''<,而点(,0)b 处0y ''=,所以点(,0)b 为曲线的拐点; 同理,在点(0,)d 处,左边0y ''<,右边0y ''>,而点(0,)d 处0y ''=,所以点(0,)d 为曲线的拐点; 在点(,0)c 处,左边0y '<,右边0y '>,而点(,0)c 处0y '=,所以点x c =为函数的极小值点; 在点(,0)a 处,左边0y '>,右边0y '<,而点(,0)a 处0y '=,所以点x a =为函数的极大值点, 所以,曲线有二个拐点,一个极小值点,一个极大值点. 选(B )五、解:由22,1y ax y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩求得交点)1a A a +(如图), 直线OA 的方程y x =. (I) 旋转体体积 ()Va 2224()d 1a x a x x aπ=-+⎰=25/2215(1)a a π⋅+, (II )53222552(1)(1)d ()22d 15(1)a a a a V a a a π+-+=⋅+ 27/2(4)15(1)a a a π-=+.在0a >处有唯一驻点4a =,当04a <<时d ()0d V a a >, 当4a >时,d ()0d V a a<, 故4a =为唯一极大值点,为最大值点.六、(15)解:由21()arctan ln(1)2f x x x x =-+21()arctan ,(),1f x x f x x'''==+展开之,20()(1),(1,1)n n n f x x x ∞=''=-∈-∑,两边积分,得212100(1)(1)()(0),(1,1)2121n n n n n n f x f x x x n n ∞∞++==--''=+=∈-++∑∑,再次两边积分,得220(1)()(0)(21)(22)nn n f x f x n n ∞+=-=+++∑220(1),(1,1)(21)(22)nn n x x n n ∞+=-=∈-++∑. 右边级数在1x =±处收敛,左边函数在1x =±处连续,所以成立范围可扩大到闭区间[1,1]-. 七、(16)证法1:由2()(4)(2)2x x f x x e x e =---+2(0)0,()(1)(1),2xx x f f x e x e '==---(0)0f '=2221()()44x x x xx f x e xe xe e ''=-=-.而当0x >时2114x e >>,所以当0x >时()0f x ''<, 于是知,当0x >时,()0f x '<,从而知,当0x >时,()0f x <. 证法2:由证法一,有 2211()(0)(0)()()022f x f f x f x f x ξξ''''''=++=< 证法3:由2()(1)(1)2xx x f x e x e '=---()1()2x x xx e x ξ='⎡⎤=--⎣⎦()02xe ξξ=-<,所以()0f x <.注:设()(1)x g x x e =-,在[,]2xx 上的拉格郎日中值定理,有()2(1)(1)1(),222xx x x x x x e x e x e x x ξξ='⎡⎤---=--<<⎣⎦ .浙江大学2007-2008学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷一、(每小题6分)(1)设4cos 1tan 5ln 2x x y x e x π=++,求d d y x .(2)设由参数式22ln(1)x t ty t t ⎧=+⎨=-+⎩,确定了y 为x 的函数()y y x =,求曲线()y y x =的凹、凸区间及拐点坐标(区间用x 表示,点用(,)x y 表示).(3)求210sin lim()x x x x→(4)求(2)]x x →+∞+二、(每小题6分) (5)求21d (1)x x x +⎰.(6)求arcsin d xxe x e⎰. (7)求230d x xe x +∞-⎰.三、(第(8)-(11)小题每小题8分,第(12)小题6分) (8)(8分) 设()y y x =是由32210y xy x x ++-+=及(1)0y =所确定,求131()d lim (1)x x y t tx →-⎰.(9)(8分)设2()231x f x x x =-+,试将()f x 展开成x的幂级数,并求()(0)(1)n f n ≥.(10)(8分) 设常数0a >,讨论曲线y ax =与2ln y x =在第一象限中公共点的个数. (11)(8分) 设0a <,曲线2y ax bx =+当01x ≤≤时0y ≥.又已知该抛物线与x 轴及直线1x =所围成的图形的面积13D =,试确定常数a 与b 使该图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积V 最小.(12)(6分) 设()f x 在区间(0,1)内可导,且()f x M '≤(M 为常数)证明:① 级数1111(()())22n n n f f ∞+=-∑绝对收敛; ② 1lim ()2n n f →∞存在.四、选择题(四选一,每小题4分)(13)设()()(),()()()f x u x v x g x u x v x =+=-,并设0lim ()x u x →与0lim ()x v x →均不存在,则下列结论正确的是 [ ](A )若0lim ()x f x →不存在,则0lim ()x g x →必存在.(B )若0lim ()x f x →不存在,则0lim ()x g x →必不存在.(C )若0lim ()x f x →存在,则0lim ()x g x →必不存在.(D )若0lim ()x f x →存在,则0lim ()x g x →必存在.(14)曲线1ln(1)(1)x y e x x =++-的渐近线的条数 [ ](A )4条 (B )3条. (C )2条. (D )1条.(15)设2122()lim 1n n n x x xf x x -→∞++=+,则()f x 的不连续点的个数为 [ ] (A )0个 (B )1个. (C )2个. (D )多于2个. (16)设()f x [,]a b 上可导,且()0,()0,f a f b ''><下述结论不正确的是[ ] (A )至少存在一点0(,)x a b ∈使0()()f x f a >; (B )至少存在一点0(,)x a b ∈使0()()f x f b >; (C )至少存在一点0(,)x a b ∈使0()0f x '=;(D )至少存在一点0(,)x a b ∈使01()(()())2f x f a f b =+.(17)设0(1,2,)n a n >=,下列结论正确的是[ ](A )若存在0N >,当n N >时均有11n n a a +<,则1n n a ∞=∑必收敛. (B )若存在0N >,当n N >时均有11n n a a +>,则1n n a ∞=∑必发散. (C )若1n n a ∞=∑收敛.则必存在0N >,当n N >时必有11n na a +<, (D )若1n n a ∞=∑发散.则必存在0N >,当n N >时必有11n na a +>.浙江大学2007-2008学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案一、(每小题6分)(1)24cos 4cos d 5cos sec 54(sin ln )d 2x x x x y xx e x e x x x x x =++-. (2)由22x t t =+,d 2(1)d x t t =+,ln(1)y t t =-+,d d 1y t t t =+,2d d 2(1)y tx t =+, 224d 1d 2(1)y tx t -=+,令 22d 0d y x =, 得 1t = 当11t -<<时,22d 0d yx> 曲线凹;当1t >时,22d 0d yx< 曲线凸,当1t =时,对应拐点.换成,x y ,当13x -<<时, 曲线()y y x =凹; 当3x >时, 曲线当()y y x =凸,点(3,1ln 2)-为拐点.(3)解 因为2211sin ln()00sin lim()lim xxx x x x x ex→→= ,而22001sin 1sin limln lim ln(11)x x x x x x x x→→=+-,201sin lim (1)x x x x →=- 注sin sin ln(11)1,(0)x xx x x+--→ 3200sin cos 11lim lim 36x x x x x x x →→--===-, 所以 21160s i n l i m ()x x xe x-→=.(4)lim (2))xx →+∞+2lim (1)]x x x→+∞=+222sin 2(1(1))limx x x ++-+=22sin 24()limx x x --=sin 42lim 1x x --==- .二、 (5)22111d ()d (1)(1)x x x x x x x -=-+++⎰⎰ =1ln ln 1x x C x--+++.(6) 方法1:令 arcsin x e t =,则cos sin ,ln sin ,d d sin x te t x t x t t===2arcsin cos d d sin x x e t tx t e t=⎰⎰1d()sin t t =-⎰ 1d sin sin t t t t =-+⎰ ln csc cot sin t t t C t =-+-+arcsin ln x x x e e e e C ---=-+-+,或写成arcsin ln 1x x e e x C -=--++.方法2:令 x e t =,则1ln ,d d ,(0)x t x t t t==>2arcsin arcsin 1d d arcsin d x xe t x t t e t t==-⎰⎰⎰arcsin t t =-+arcsin tt=-+arcsin 1ln t C t t =--++arcsin ln 1x x e e x C -=+-.(7)2232200011d d d 22x x tx ex x e x te t +∞+∞+∞---==⎰⎰⎰001[d ]2t t te e t +∞+∞--=-+⎰011[]22t e +∞-=-=.三、(8)解 由32210y xy x x ++-+=,1lim ()0x y x →=两边关于x 求导数,有23220y y xy y x ''+++-=,得222()3x yy x y x--'=+,1lim ()0x y x →'=, 222(3)(2)(22)(61)()(3)y x y x y yy y x y x ''+-----+''=+,1lim ()2x y x →''=-. 由洛必达法则,1321111()d ()()()1limlimlim lim (1)3(1)6(1)63x x x x x y t ty x y x y x x x x →→→→'''====----⎰. (9)解:()(21)(1)xf x x x =--1111121112x x x x-=-=+---- 0(2)nn n n x x ∞∞===-+∑∑1(21),2n n n x x ∞==-<∑ ()(0)(21)!,1n n f n n =-≥(10)解:令()2ln f x ax x =-,有2()f x a x'=-,令()0f x '=,得2x a=,22()f x x''=,由于()0f x ''>,所以22()22ln f a a=-为()f x 的唯一极小值,为最小值.以下讨论最小值的符号.①若222ln 0a->,即2a e >时,()0f x >,()f x 无零点,两曲线无公共点;②若2a e=,则当且仅当a e =时,()0f x =,()f x 有唯一零点,两曲线在第一象限中相切;③若20a e <<,有2()0f a<时,有因0lim ()x f x +→=+∞,lim ()x f x →+∞=+∞, 所以在区间2(0,)a 与2(,)a+∞内,()f x 各有至少一个零点,又因为在这两个区间中()f x 分别是严格单调的,所以()f x 正好有两个零点,即两曲线在第一象限中有且仅有两个交点. (11)解:因0a <,且当01x ≤≤时,0y ≥,所以如下图1211()d 323b ax bx x a +=+=⎰,所以312a b =-, 221220()d ()523a ab b V ax bx x ππ=+=++⎰21()51030b b π=-+,d 1()d 1015V b b π=-+,22d d 15V bb π=,令d 0d V b =,32b =,2232d 0d b V b=>,为唯一极小值,故32b V=为最小值,此时53,42a b =-=.(12)① 由拉格朗日中值定理 1111111111()()()()()()222222n n n n n n f f f f M ξξ++++''-=-=≤, 而1112n n ∞+=∑收敛,所以,1111[()()]22n n n f f ∞+=-∑绝对收敛;② 111()()22n n S f f +=-,因为lim n n S →∞存在,所以1lim ()2n n f →∞存在.四、 (13)解 (A )若0lim ()x f x →不存在,则0lim ()x g x →必存在.不正确,例如 211(),()u x v x x x ==, 221111(),()f x g x x x x x=+=-, 此时0lim ()x f x →不存在,0lim ()x g x →也不存在.(B )若0lim ()x f x →不存在,则0lim ()x g x →必不存在.不正确,例如 11(),()u x v x x x ==,2(),()0f x g x x==,此时0lim ()x f x →不存在,0lim ()0x g x →=存在.(C )若0lim ()x f x →存在,则0lim ()x g x →必不存在.假设0lim ()x g x →存在,由()()2()f x g x u x +=,得0lim ()x u x →存在,与已知矛盾,所以结论正确.(D )若0lim ()x f x →存在,则0lim ()x g x →必存在.由上述(C),说明0lim ()x g x →必存在不正确.所以结论正确的是C,本题选C. (14)解,因为11lim[ln(1)](1)x x e x x →++=∞-,1lim[ln(1)](1)x x e x x →++=∞-,有铅垂渐近线(0,1x x ==)2条,因为1lim[ln(1)]0(1)x x e x x →-∞++=-,有水平渐近线(0y =)1条,又因为 2()1l n (1)l i m l i m []1,1(1)xx x f x e a x x x x→+∞→-∞+=+==-,1lim[()]lim[ln(1)](1)x x x f x ax e x x x →+∞→+∞-=++--lim[ln (1)]lim[ln ln(1)]x x x x x x e e x e e x --→+∞→+∞=+-=++-lim ln(1)0x x e -→+∞=+=,有斜渐近线(y x =)1条,所以本题共有4条渐近线,选A.(15)解22122,1,3,1,2()lim 11,121,1,n n n x x x x x x x f x x x x x-→∞⎧+<⎪⎪=⎪++⎪==⎨+-=-⎪⎪⎪>⎪⎩, 则()f x 的不连续点(1,1x x =-=)的个数为2个所以选C. (16)解 取2()4,[1,1],1,1,()3,()3f x x x a b f a f b =-∈-=-===,当(1,1)x ∈-时()3f x >,()2,()2,()2f x x f a f b '''=-==-,满足题目条件:(A )至少存在一点0(,)x a b ∈使0()()f x f a >,成立, (B )至少存在一点0(,)x a b ∈使0()()f x f b >;成立, (C )至少存在一点0(,)x a b ∈使0()0f x '=;成立,(D )至少存在一点0(,)x a b ∈使01()(()())2f x f a f b =+.不成立. 所以本题选D(17)解 (A )不成立,例如11n n ∞=∑,满足当1n >时 111n n a n a n +=<+, 但11n n∞=∑发散, (B )成立,若存在0N >,当n N >时均有111,n n n na a a a ++>>, 则必有lim 0n n a →∞≠ 则1n n a ∞=∑必发散.(C )不成立, 例如 21(1)2n n n ∞=-+∑收敛,但不存在0N >,当n N >时必有11n n a a +<, (D )不成立,例如 11n n ∞=∑发散,但则存在0N >,当n N >时有111n na n a n +=<+.浙江大学2008-2009学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷一、求导数或微分(每小题6分)(1)设sin 3(cos )(arcsin 2)x y x x e π=++,求d y .(2)设由参数式3arctan 16x t t y t t=++⎧⎨=+⎩,所确定的函数()y y x =在1t =-处的一阶导数d d yx , 及二阶导数22d d yx.二、求极限(每小题6分)(3)011lim()1x x x e →--, (4)lim x(5)21lim(sin cos )x x x x x →+.三、求积分(每小题6分)(6) 221ln d (1)x x x x x x -+-⎰, (7)11(2)x x x -+⎰, (8)已知2d 2x ex +∞-=⎰,求0xx -+∞⎰.四、(每小题6分)(9)试将函数12()arctan 12xf x x-=+展开成x 的幂级数,并写出此展开式成立的开区间. (10)求幂级数1!nnn n x n∞=∑的收敛半径及收敛区间,并讨论收敛区间端点处级数的敛散性. 五、(每小题8分)(11) 求由方程3222220y y xy y x -++-=确定的函数()y y x =的极值,并问此极值是极大值还是极小值,说明理由.(12)求由曲线2y x =与2y x =+围成的图形绕水平线4y =旋转一周所生成的旋转体体积V .(13)设()f x 在[0,1]上连续,(0)0f =,并设()f x 在0x =处存在右导数(0)1f +'=,又设0x +→时,220()()d ()d x x F x x f u u u u =-⎰⎰与n Ax 为等价无穷小,求常数n 及A 的值.六、(每小题8分)(14)设()f x 在闭区间[,]a b 上连续,(,)a b 内可导, (I)叙述并证明拉格朗日中值定理;(II )如果再设()()f a f b =,且()f x 不是常数,试证明至少存在一点(,)a b ξ∈,使()0f ξ'>.(15)设n 为正整数,24021()d d 1nx x e t F x e t t t -=++⎰⎰(I )试证明:函数()F x 有且仅有一个(实)零点(即()0F x =有且仅有一个实根),并且是正的,记此零点n x ;(II )试证明级数21n n x ∞=∑收敛.浙江大学2008-2009学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案一、求导数或微分(每小题6分)(1)sin 2d [(cos )(cos ln cos tan sin )6(arcsin 2)x y x x x x x x x =-+.(2)222d 2d ,3(2)d 1d x t y t t t t +==++,21d d 3(1),6d d t y y t x x =-=+=222222d d()d 66(1)d 2d d 21yy t t t x t x x t t +===+++, 221d 4d t y x =-=-.二、求极限(每小题6分)(3)00111lim()lim 1(1)x x x x x e xx e x e →→---=-- 注1,0x e x x -→ 201lim x x e xx →--= 011lim 22x x e x →-==. (4)limlim x x =lim2x ==-.(5)21201ln(sin cos )lim(sin cos )lim xx x x x x x x x x e →→++=,而22001ln(1sin cos 1)limln(sin cos )lim x x x x x x x x x x→→++-+= 20sin cos 11lim 2x x x x x →+-==, 注:ln(1sin cos 1)sin cos 1,0x x x x x x x ++-+-→所以,21lim(sin cos )x x x x x →+=三、求积分(6) 222111ln d ()ln d (1)(1)x x x x x x x x x x -+=+--⎰⎰ 1ln d ln ln d()1x x x x =--⎰⎰ 21ln 1ln d 21(1)x x x x x x =-+--⎰ 21ln 11ln ()d 211x x x x x x =-+---⎰ 21ln ln ln 1ln 21x x x x C x =-+--+-. (7)112211(2)(24x x x x x x x x --+=++⎰⎰110x x =⎰ 令sin x t =22210sin cos d t t t π=⎰222010sin (1sin )d x x x π=-⎰131510()224228πππ=⋅-⋅⋅=.(8)2(1xxx e -+∞+∞-=--⎰⎰0]xx -+∞=--⎰2024d xu u e u -+∞+∞-==⎰⎰四、(9)12()arctan12xf x x -=+, 221(12)(2)(12)2()12(12)1()12x x f x x x x +---'=-+++ 22422814x x -==-++ 21212012(4)(1)2,2n n n n n x x x ∞∞++===--=--<∑∑, 12120()(0)(1)2d x n n n n f x f x x ∞++==+-∑⎰12121011(1)2,4212n n n n x x n π∞+++==+-<+∑.(10)记!n nn a n =,由11(1)!11(1)limlim lim lim !1(1)(1)n n n n n n n n n nnn a n n n a n en n++→∞→∞→∞→∞++====++. 所以,收敛半径R e =,收敛区间为(,)e e -,在x e =±处,级数成为1!()nnn n e n∞=±∑, 考察!n n n n u e n =,有111(1)n n n u eu n+=>+, 所以lim 0n n u →∞≠,并且也有lim(1)0n n n u →∞-≠,所以在x e =±处,该级数都发散.(11)由3222220y y xy y x -++-=, 求导有2(6421)220y y x y y x '-+++-=,令0y '=,得y x =与3222220y y xy y x -++-=联立,有3222(21)0x x x x x x -+=-+=,解之得唯一解0x =.相应地有0y =, 此时的确可由2(6421)220y y x y y x '-+++-=解出y ',故0x =为驻点. 再有 222()6421x yy y y x -'''=-++ 2222(6421)(22)2()(6421)(6421)y y x y x y y y x y y x ''-++----++=-++. 以0x y ==,及0y '=代入,得20y ''=>,故当0x =时, y 为极小值,极小值0y =.(12)由2,2y x y x ⎧=⎨=+⎩得交点(1,1),(2,4)-,则由上图22221[(4)(4(2)]d V x x x π-=---+⎰2241(1249)d x x x x π-=+-+⎰235211108[1223]55x x x x ππ-=+-+=.(13)220000()d ()d ()lim lim x x n nx x x f u u u uF x Ax Ax++→→-=⎰⎰22201()2()d ()2lim x n x xf x x f u u x x Anx+-→+=⎰2201200()()2limlim (1)x n n x x f u duf x xAnx An n x++--→→==-⎰ 2302()lim (1)n x f x An n x +-→=-25202()(0)lim (1)n x f x f An n x x+-→-=- 按题意, 0()lim 1n x F x Ax +→=,又220()(0)lim (0)1x f x f f x++→-'==, 若5n >则25202()(0)lim (1)n x f x f An n x x+-→--为∞, 若5n <则25202()(0)lim 0(1)n x f x f An n x x +-→-=-为,均与题意不符,故 5n =,于是25202()(0)1lim (1)10n x f x f An n x x A +-→-=-⨯,所以110A =. (14)(I)略,(II)设存在0(,)x x a b =∈,使0()0,f x >在区间0[,]a x 上用拉格郎日中值定理,存在0(,)(,)a x a b ξ∈⊂使得00()()()0f x f a f x aξ-'=>-, 如果存在0(,)x a b ∈,使0()0,f x <在区间0[,]x b 上用拉格郎日中值定理类似可证. (15) (I) 24021()d d 1nx xe t F x e t t t -=++⎰⎰,2014021(0)d d 01t F e t t t -=+<+⎰⎰, 2140211()d d 01e tn F e t t nt -=+>+⎰⎰,24()01nxx nx ne F x ee -'=+>+,故知存在唯一的n x 使 1()0,0n n F x x n =<<.(II) 因为 221nx n <,211n n∞=∑收敛, 故21nn x∞=∑收敛.。

(完整word版)大专生高等数学考试期末考试

(完整word版)大专生高等数学考试期末考试
《高等数学》考试试卷
(A卷)
命题人叶茂莹






总分
阅卷
教师


………………………………………………………………………………………………………………


一、填空题(每题3分,共15分)
1、函数 的定义域为_______
2、函数 =_______
3、函数 在点 处可导,且 , ______
4、隐函数 ,导数 _______
5、经过曲线y=x3-sinx+1上的一点(0,1)处的切线方程________


二、选择题(每题4分,共20分)
1、下列函数为偶函数的是( )
A、 B、 C、 D、
2、 ( )
A、1B、-1C、1/2D、-1/2
3、设 使 存在的最高阶数 为( )
A、 B、 C、 D、
4、函数 的渐近线是( )
2、讨论函数f(x)= 的凹凸性和拐点.
3、 ,

4、求函数 在区间 的最大值和最小值
5、证明:当 时,有 成立。
A、 B、 C、 D、
5、设曲线 与 在点(1,0)处相切,其中 为常数,则( )
A、题(每题5分,共30分)
1、求下列函数的极限
(1)
(2)
(3)
2、求下列函数的导数或微分
(1) ,求
(2) ,求
(3) ,求


四、解答题(每题7分,共35分)
1、设函数 ,当 为何值时, 是 的间断点?

浙江大学2009–2010学年 秋冬 学期 高物 期末卷

浙江大学2009–2010学年 秋冬 学期  高物  期末卷

浙江大学2009–2010学年秋冬学期《高分子物理》课程期末考试试卷课程号:09120131 ,开课学院:___________考试试卷:√A卷、B卷(请在选定项上打√)考试形式:√闭、开卷(请在选定项上打√),允许带___计算器__入场考试日期: 2010 年 1 月 25 日,考试时间: 120 分钟诚信考试,沉着应考,杜绝违纪。

考生姓名:学号:所属院系: _一、选择题(多选题,每题2分,共20分)1. Among following four polymers, which is the most rigid? ( B )。

(A) poly (dimethyle siloxane) (B) polyacrylonitrile(C) polystyrene (D) polyethylene2. Among following methods, which can be used to measure crystallinity of polymers? ( A, B, C, D )。

(A) Density method (B) WAXD (C) DSC (D) IR3.下列相同分子量的聚合物,在相同条件下用稀溶液粘度法测得的特性粘数最大的为( D )(A)高支化度聚合物(B)中支化度聚合物(C)低支化度聚合物(D)线性聚合物4. For a solution under condition, which parameters are correct? ( B, C, D )(A) χ1=0 (B) ∆μE=0 (C) A2=0 (D) u(exclusive volume)=05. 下面有关玻璃化转变的描述,正确的是( A, B, D, E)(A)聚合物玻璃态与高弹态之间的转变(B)链段由运动到冻结的转变(C)分子链由冻结到运动的转变(D)自由体积由随温度下降而减少到不随温度发生变化的转变(E)链段由冻结到运动的转变6.韧性聚合物单轴拉伸至屈服点时,可看到剪切带现象,下列说法正确的是(B, C, D)。

09-10高等数学期末试题参考答案(A)

09-10高等数学期末试题参考答案(A)

东海科技学院 2009 - 2010学年第 二 学期 《高等数学》课程期末考试卷A 参考答案一、选择题(每小题3分,共计15分)1.二阶齐次线性微分方程06=-'-''y y y 的通解为( B ) A .x x e C e C y 3221--+= B .x x e C e C y 3221+=- C .x x e C e C y 3221-+= D .x x e C e C y 3221+=2.过点()10,3-,且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程是( A ) A .04573=-+-z y x B .01573=-+-z y x C .0423=-+-z y x D .0123=-+-z y x 3.关于二元函数),(y x f 的下面4条性质:①),(y x f 在),(00y x 处连续;②),(y x f 在),(00y x 处两偏导数连续; ③),(y x f 在),(00y x 处可微;④),(y x f 在),(00y x 处两偏导数存在. 则下面关系正确的是( A )A .②⇒③⇒①B .③⇒②⇒①C .③⇒④⇒①D .③⇒①⇒④ 4. 平面环形区域D 的边界曲线L 中,为正向边界的是( C )A B C D5.下列级数中,收敛的是( D ) A .∑∞=11i nB .∑∞=1321i n C .∑∞=11i n D .∑∞=-11)1(i n n二、填空题:(每小题3分,共计15分)1. 一阶微分方程02=-'xy y 的通解为=y .(答案:2x Ce y =)学院专业班级姓名学2.=+→xy yx y x 2lim)2,1(),( .(答案:2)3. 222y x z +=表示空间曲面 .(答案:抛物面)4.⎰⎰=1010xydy dx .(答案:41)5. 若L 表示抛物线2x y =上点)0,0(与点)1,1(的一段弧,则第一类曲线积分⎰Lds y = .(答案:)155(121-)三、计算题:(每小题6分,共计48分) 1.设2221y x z +=,求全微分dz . 解:x xz=∂∂ ……………………………………………………………….2分 y yz2=∂∂……………………………………………………………….2分 y d y x d x dz 2+=………………………………………………………2分 2.设}2,0,1{-=a ,}1,1,3{-=b ,求b a ⋅和b a ⨯.解:51)2(10)3(1-=⨯-+⨯+-⨯=⋅b a …………………………….3分}1,5,2{52113201=++=--=⨯k j i k j ib a ………………………..3分3.求过点()132,,-且平行于直线⎩⎨⎧=-+=+-025032z y x z y x 的直线方程.解:直线⎩⎨⎧=-+=+-025032z y x z y x 的方向向量为k j i kj i 135251132++=-- …………………………………….4分 所求直线方程为1315312-=-=+z y x ……………………………….2分 4.设z xy x z y x f +-=23),,(,求),,(z y x f 在)0,1,1(0P 的梯度f ∇及f ∇.解:k j i k f j f i f f z y x +-=++=∇22 ………………………………….4分31)2(222=+-+=∇f …………………………………………….2分5.计算二重积分σd xy ⎰⎰D,其中D 是由直线1=y 、2=x 和x y =所围闭区域.解:把D 看成X 型区域{}x y x y x ≤≤≤≤1,21),(………..……………2分89)(21213211D=-==⎰⎰⎰⎰⎰dx x x xydy dx d xy xσ………………………….4分 6.计算三重积分dV x e y )2sin (2⎰⎰⎰Ω+,其中Ω:10,10,11≤≤≤≤≤≤-z y x .解:注意到积分区域Ω关于YOZ 面对称,x e y sin 2为x 的奇函数…….2分4112212sin )2sin (22=⨯⨯⨯=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩdV dV x e dV x ey y …...4分7.L 为封闭正向圆周曲线122=+y x ,求⎰-Lydx x dy xy 22.解:y x P 2-=,2xy Q =………………………………………………….2分由格林公式⎰-Lydx x dy xy 22σσd y x d y Px Q DD⎰⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂=)()(22 ⎰⎰=⋅=ππρρρθ20122d d …..………………4分8.判断级数πn n n ncos 2)12(12∑∞=+的敛散性. 解:注意到πn n n n cos 2)12(12∑∞=+≤∑∞=+122)12(n nn …………………………….2分 而级数∑∞=+122)12(n nn 利用比值审敛法,得 121lim1<=+∞→nn n u u ………………………....2分则由比较审敛法,级数πn n n ncos 2)12(12∑∞=+收敛.…………………....2分四、解答题(每小题8分,共计16分)1. 求二阶非齐次线性微分方程x e y y y 244-=+'+''的通解.解:注意到右端项为x m e x P x f λ)()(=型(其中2,1)(-==λx P m )…….2分 且原方程对应的齐次方程的特征方程为0442=++r r ,特征根2-=λ为二重根.......................................................................................2分 设原方程的一个特解为x e ax y 22*-=代入原方程解出21=a ………………....2分 则原方程通解为()xx e x e x C C y 2222121--++=....................................................2分 2.设)(x f 的周期为π2,且在],[ππ-上2)(x x f =,试将)(x f 展开成傅里叶级数. 解:依题)(x f 在],[∞-∞上连续,且满足狄利克雷收敛定理条件,则0=n b ),2,1( =n ,…………………………………………....2分3222020πππ==⎰dx x a ,…………………………………….……2分⎰⎰⎰===ππππππ02020sin 2cos 2cos )(2nx d x n dx nx x dx nx x f a n⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πππππ02002c o s 4s i n 2s i n 2nx xd n dx nx x nx x n 2002)1(4cos cos 4n nxdx nx x n n -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰πππ ),2,1( =n ……2分由收敛性定理可知,∑∞=-+=1222c o s )1(43n n n nx x π …………….……………….……2分 五、应用题(本题6分)某养殖场饲养两种鱼。

2009-2010(1)AD

2009-2010(1)AD
2、设 ,其中 是有界函数,则 在 处( C)
A、极限不存在;B、极限存在,但不连续;C、连续,但不可导;D、可导;
3、在区间 内, 的一阶导数 >0,二阶导数 <0,则 在区间 内是(B)(B)
A、单增且凸;B、单减且凸;C、单增且凹;D、单减且凹;
4、下列命题中正确的是(C)
A、 ,则 一定是由曲线 的拐点;
4/3(拐点)
2/3(极小)
5、
解: 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为
设非齐次方程特解为 代入方程得
比较系数,得 , 因此特解为
所求通解为
得分
评卷人
四、证明题(10分)
1、证明不等式
证明: 中值定理条件,因此应有
即 因为

得分
评卷人
五、应用题(共10分)
1、一水平横放的半径为R的圆桶,内盛半桶密度为的液体,求桶的一个端面所受的侧压力。(注:水深为h处的压强: ,为水的密度)
解:建立坐标系如图.所论半圆的方程为
利用对称性,侧压力元素
端面所求 ;(2)求由方程
解:(1)
(2)方程两边对 求导
,因x= 0时y= 0 ,故
3、求积分(1) (2) (3) (4)
解:(1)
(2)
(3)
(4)
4、 ,求单调区间、凹凸区间,极值点与拐点的横坐标。
解:定义域为 ,无对称性及周期性。

0
1

2
+
0
-
-
0
+
-
-
0
+
+
2(极大)
第一题
第二题
第三题
第四题

(完整版)高等数学试题及答案(可编辑修改word版)

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⎰一.选择题《高等数学》试题 30考试日期:2004 年 7 月 14 日 星期三考试时间:120 分钟1. 当 x → 0 时, y = ln(1 + x ) 与下列那个函数不是等价的 ()A) 、 y = x B) 、 y = sin x C) 、 y = 1 - cos xD) 、 y = e x - 12. 函数 f(x)在点 x 0 极限存在是函数在该点连续的()A) 、必要条件B )、充分条件C )、充要条件D )、无关条件3. 下列各组函数中, f (x ) 和 g (x ) 不是同一函数的原函数的有().A)、 f (x ) =1(e x - e -x )2, g (x ) = 1 (e x - e -x )22B) 、 f (x ) = ln(x + 2, g (x ) = -ln- x )C) 、 f (x ) = arcsin(2x - 1), g (x ) = 3 - 2 arcsinD) 、 f (x ) = csc x + sec x , g(x ) = tan x24. 下列各式正确的是()A ) 、⎰ x x dx = 2xln 2 + CB ) 、⎰sin tdt = -cos t + C C ) 、dxdx = arctan x D ) 、 (-1 )dx = - 1+ C⎰1+ x 25. 下列等式不正确的是().⎰x 2xA )、 d⎡⎰bf (x )dx ⎤ = f (x )B )、 d⎡⎰b (x )f (x )dt ⎤ = f [b (x )]b '(x )dx ⎢⎣a ⎥⎦ dx ⎢⎣a ⎥⎦ C )、 d ⎡⎰x f (x )dx ⎤ =f (x ) D )、 d ⎡⎰x F '(t )dt ⎤ = F '(x )dx ⎢⎣a ⎥⎦ xdx ⎢⎣ a ⎥⎦ln(1+ t )dt 6.lim = ( )x →0xA )、0B )、1C )、2D )、47. 设 f (x ) = sin bx ,则⎰ xf '(x )dx = ()A )、 xcos b x - sin bx + Cb C )、bx cos bx - sin bx + CB )、 xcos b x - cos b x + Cb D )、bx sin bx - b cos bx + C1 - x⎰ ⎰8.⎰1e xf (e x )dx = ⎰bf (t )dt ,则( )aA )、 a = 0, b = 1B )、 a = 0, b = eC )、 a = 1, b = 10D )、 a = 1, b = e9.(x 2 sin 3x )dx = () -A )、0B )、 2C )、1D )、2210.1 x 2ln(x + -1x 2 + 1)dx = ( )A )、0B )、 2C )、1D )、2211. 若 f ( 1 ) = x,则⎰1 f (x )dx 为( )x x + 10 A )、0 B )、1 C )、1 - ln 2 D )、ln 212. 设 ( ). f (x ) 在区间 [a , b ]上连续, F (x ) = xf (t )dt (a ≤ x ≤ b ) , 则 F (x ) 是 a f (x ) 的 A )、不定积分B )、一个原函数C )、全体原函数D )、在[a , b ]上的定积分 13. 设 y = x - 1 sin x ,则 dx= ()2dyA )、1- 1cos y 2B )、1- 1cos x 2 2C ) 、D )、2 - cos y22- cos x14. 1 + x - e xlim 2 =( )x →0 ln(1 + x )A - 12B 2C 1D -115. 函数 y = x + 在区间[0,4] 上的最小值为( )A 4;B 0 ;C 1;D 3二.填空题x ⎰3x2x2⎰6. 设 f (x ) = ⎪ x ⎰1. lim ( x →+∞ x + 2 xx + 1 )=.2. ⎰-2 4 - x 2 dx =113. 若⎰ f (x )e x dx = e x + C ,则 ⎰ f (x )dx =4. d ⎰x 2 1 + t 2 dt =dx 65. 曲线 y = x 3 在处有拐点三.判断题1 - x 1. y = ln 是奇函数. ()1 + x2. 设f (x ) 在开区间(a , b ) 上连续,则 f (x ) 在(a , b ) 上存在最大值、最小值.( )3. 若函数 f (x ) 在x 0 处极限存在,则 f (x ) 在 x 0 处连续.()4. ⎰0 sin xdx = 2 .( )5. 罗尔中值定理中的条件是充分的,但非必要条件.( )四.解答题1. 求lim tan 22x .x →01 - cos x2. 求lim sin mx ,其中 m , n 为自然数. x → sin nx3. 证明方程 x 3 - 4x 2 + 1 = 0 在(0,1)内至少有一个实根.4. 求⎰cos(2 - 3x )dx .5. 求 1 dx .+ ⎧ 1 sin x 2 , x < 0⎨ ,求 f '(x )⎩⎪ x +1, x ≥ 07. 求定积分 4dxdx1+ x 28.设f(x)在[0,1]上具有二阶连续导数,若f ()=2,⎰[ f (x) +f ''(x)]sin xdx = 5 ,求f (0) ..9.求由直线x=0,x=1,y=0和曲线y =e x所围成的平面图形绕x轴一周旋转而成的旋转体体积一.选择题1. C2. A3. D4. B5. A6. A7. C8. D9. A10. A11. D《高等数学》答案 30考试日期:2004 年 7 月 14 日星期三考试时间:120 分钟12. B13. D14. A15. B二.填空题11.e22.23. 1 +Cx4.2x1 +x 45.(0,0)三.判断题1.T2. F3. F4.T5.T四.解答题1.82.令t =x -, lim sin mx = lim sin(mt +m) = (-1)m-n mx→sin nx t →0 sin(nt +n) n 3.根据零点存在定理.6x 3 ⎪ ⎨1, x⎪⎰ cos(2 - 3x )dx = - 1⎰ cos(2 - 3x )d (2 - 3x ) 4.= - 1sin(2 - 3x ) + C35. 令= t ,则 x = t 6 , dx = 6t 5dt6t 5 t 2 1原式= ⎰t 3 + t 4dt = 6⎰1 + t dt = 6⎰(t - 1 + 1 + t)dt⎛ t 2 6 ⎝ 2- t + ln1 + t ⎫+ C⎭= 3 ⋅ - 6 ⋅ + 6 l n1 + + C⎧- sin x 2 + 2<⎪ f '(x ) = ⎪6. 2 cos x , x 0 x 2 > 0 ⎪不存在,x = 0 ⎪⎩7. 4 - 2 ln 38. 解: ⎰ f (x ) sin xdx = ⎰ f (x )d (-cos x ) = 0所以 f (0) = 3f () - f (0) - ⎰ f ''(x ) sin xdx9. V=⎰ 1(e x)2dx = ⎰ 1e2xd x =1⎰1e 2xd (2x ) = 1e 2x 1=1(e 2 - 1)2 02 02一.选择题《高等数学》试题 31考试日期:2004 年 7 月 14 日 星期三考试时间:120 分钟1. 当 x → 0 时,下列函数不是无穷小量的是 ()A) 、 y = xB) 、 y = 0 C) 、 y = ln(x + 1)D) 、 y = e x2. 设 f (x ) = 2 x - 1 ,则当 x → 0 时, f (x ) 是 x 的()。

2009-2010第一学期《高等数学》试卷(B)卷答案.

2009-2010第一学期《高等数学》试卷(B)卷答案.

第 1 页共4页福建工程学院2009~2010学年第一学期期末考试试卷审批表课程名称高等代数考试班级09信息与计算科学参加考试学生人数81任课教师唐晓文命题教师唐晓文试卷类型(A、BB考试形式开卷()闭卷(√)答卷纸(张草稿纸(张1审核人意见审核人签名:教研室意见(签字系(部意见(签字试题参考答案及评分标准一、填空题(每小题5分,共15分)1、-32;2、;3、8;4、;5、.二、选择题(每小题5分,共15分)1、B2、A3、B4、D5、C三、(12分)解: = -----4分一个极大线性无关组, -----4分, ------4分第 2 页四、(10分解:------5分------5分五、(10分)解:由即-------3分可得, -------2分由 -------4分-------1分第3页六、(14分)解:对方程组的增广矩阵施行初等行变换------5分得方程的特解, ------2分对应齐次方程的基础解系,------5分通解 ------2分七、证明题:(第1、2小题各7分,第3小题10分,共24分)1.(1)证明:因为线性无关,所以线性无关,而线性相关,故可由线性表示. -------3分(2)不可以,如果可以由线性表示,而又可由线性表示,则可由线性表示.可得线性相关,与线性无关矛盾,所以不可由线性表示. -------4分2.证明:由题设,从而,+, -------3分又从而,-------3分所以,+. -------1分第 4 页3. 证明:(1)因为是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,故线性无关, -------2分若线性相关,则可由线性表示,设为,因此是齐次线性方程组的一个解, -------2分与是非齐次线性方程组的一个解矛盾,故线性无关. -------1分(2)设,即.------2分因为线性无关, -------1分所以得 -------1分故线性无关. -------1分。

《高等数学A1》2018-2019学年第一学期期末试卷A卷

《高等数学A1》2018-2019学年第一学期期末试卷A卷

浙江大学2018—2019学年第一学期期末试卷课程:《高等数学A1》浙江大学2018—2019学年第一学期期末教学质量检测《高等数学A1》课程期末试卷A注:1.本次测试满分100分,考试时间为90分钟。

2.考试期间允许使用计算器,不得东张西望,抓到一次警告或交卷,第二次直接处分退学。

3.考试期间必须履行《浙江海洋学院考试条例》,监考教师必须履行《浙江海洋学院监考条例》。

4.考试结束前30分钟允许交卷,考试结束前10分钟不允许交卷。

5.考试结束后监考老师会收试卷和答题卷,试卷和答题卷一律不得带出考场,否则按作弊处理。

题号 一(25%)二(16%)三(21%)四(16%)五(22%)总分(100%)审核(100%)得分 评卷人一、选择题(本题共5小题,每小题5分,共25分)1.设f x ()有连续的导数,f =(0)0,f ≠'(0)0,()()()220F x x t f t dt x=-⎰,且当x →0时,F x '()与x k 是同阶无穷小,则k 等于A.1B.2C.3D.4 2.若+=f x af x (1)()总成立,且'(0)=f b ,a ,b 为非零实数,则f x ()在x =1处 A.不可导 B.可导且'(1)=f a C.可导且'(1)=f b D.可导且'(1)=f ab 3.设对任意的x ,总有ϕ≤≤x f x g x ()()(),且ϕx g x x →∞-=lim ()()0][,则→∞x f x lim ()A.存在且一定等于0B.存在但不一定为0C.一定不存在D.不一定存在4.曲线x y ex x x x =++-+212arctan1(1)(2)的渐近线有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条…………………………………………装………………………………………………订………………………………………………线…………………………………………院系:班级:姓名: 学号: 考场:5.设a x b x c x d e x x →-+--+-=02limtan (1cos )In(12)(1)2,其中a c +≠220,则必有A.=4b dB.=-4b dC.=4a cD.=-4a c二、填空题(本题共4小题,每小题4分,共16分)1.x x x x x x 02lim3sin cos1(1cos )In(1)→+++= . 2.设函数=y y x ()由方程+=+23In()sin x y x y x 确定,则dy dxx 0== .3.xe exx12⎰-=)( .4.曲线L :y x x =≤≤202)(,则xds 02=⎰.(s 表示弧长)三、计算题(本题共3小题,每小题7分,共21分) 1.求不定积分dxx x13+⎰)(2.求极限μμ→⎰⎰+⎡⎣⎢⎤⎦⎥-x xt dt d x x 200lim arctan(1)(1cos )3.求定积分t t x dt 01-⎰四、解答题(本题共2小题,每小题8分,共16分) 1.试确定积分dxx a 1+∞⎰在a 取什么值时收敛,取什么值时发散。

(完整word版)高等数学试题及答案(word文档良心出品)

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《高等数学》一.选择题1. 当0→x 时,)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 ( )A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的( )A )、必要条件B )、充分条件C )、充要条件D )、无关条件3. 下列各组函数中,)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有( ).A)、()()()2221,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-=B)、(())()ln ,ln f x x g x x ==-C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2tan,sec csc )(xx g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是( )A )、2l n 2x xx dx C =+⎰ B )、s i n c o s t d t t C =-+⎰C )、2a r c t a n 1dxdx x x =+⎰ D )、211()dx C x x-=-+⎰ 5. 下列等式不正确的是( ).A )、()()x f dx x f dx d b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ B )、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ C )、()()x f dx x f dx d x a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ D )、()()x F dt t F dx d x a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎰ 6. 0ln(1)limxx t dt x→+=⎰( )A )、0B )、1C )、2D )、47. 设bx x f sin )(=,则=''⎰dx x f x )(( )A )、C bx bx b x +-sin cos B )、C bx bx b x+-cos cos C )、C bx bx bx +-sin cos D )、C bx b bx bx +-cos sin8. 10()()bx xa e f e dx f t dt =⎰⎰,则( )A )、1,0==b aB )、e b a ==,0C )、10,1==b aD )、e b a ==,19. 23(sin )x x dx ππ-=⎰( )A )、0B )、π2C )、1D )、22π10. =++⎰-dx x x x )1(ln 2112( )A )、0B )、π2C )、1D )、22π11. 若1)1(+=x xxf ,则dx x f ⎰10)(为( )A )、0B )、1C )、2ln 1-D )、2ln12. 设)(x f 在区间[]b a ,上连续,⎰≤≤=xa b x a dt t f x F )()()(,则)(x F 是)(x f 的( ).A )、不定积分B )、一个原函数C )、全体原函数D )、在[]b a ,上的定积分13. 设1sin 2y x x =-,则dxdy=( ) A )、11c o s2y - B )、11c o s2x - C )、22c o sy- D )、22c o sx-14. )1ln(1lim 20x e x xx +-+→=( )A 21-B 2C 1D -115. 函数x x y +=在区间]4,0[上的最小值为( )A 4;B 0 ;C 1;D 3二.填空题1. =+++∞→2)12(lim xx x x ______.2. 2-=⎰3. 若⎰+=C e dx e x f xx 11)(,则⎰=dx x f )(4. =+⎰dt t dx d x 26215. 曲线3y x =在 处有拐点 三.判断题 1. xxy +-=11ln是奇函数. ( ) 2. 设()f x 在开区间(),a b 上连续,则()f x 在(),a b 上存在最大值、最小值.( ) 3. 若函数()f x 在0x 处极限存在,则()f x 在0x 处连续. ( ) 4. 0sin 2xdx π=⎰. ( )5. 罗尔中值定理中的条件是充分的,但非必要条件.( )四.解答题1. 求.cos 12tan lim20xxx -→ 2. 求nxmxx sin sin limπ→,其中n m ,为自然数.3. 证明方程01423=+-x x 在(0,1)内至少有一个实根.4. 求cos(23)x dx -⎰.5. 求⎰+dx xx 321.6. 设21sin ,0()1,0x x f x x x x ⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩,求()f x '7.求定积分4⎰8. 设)(x f 在[]1,0上具有二阶连续导数,若2)(=πf ,⎰=''+π5sin )]()([xdx x f x f ,求)0(f ..9. 求由直线0,1,0===y x x 和曲线x e y =所围成的平面图形绕x 轴一周旋转而成的旋转体体积《高等数学》答案一.选择题1. C2. A3. D4. B5. A6. A7. C8. D9. A 10. A 11. D 12. B 13. D14. A15. B 二.填空题 1. 21e 2. 2π 3. C x+1 4. 412x x + 5. (0,0) 三.判断题 1. T 2. F 3. F 4. T 5. T 四.解答题 1. 82. 令,π-=x t nmn nt m mt nx mx n m t x -→→-=++=)1()sin()sin(lim sin sin lim 0πππ3. 根据零点存在定理.4.1cos(23)cos(23)(23)31sin(23)3x dx x d x x C-=---=--+⎰⎰5. 令t x =6,则dt t dx t x 566,==原式⎰⎰⎰++-=+=+=dt )t111t (6dt t 1t 6dt t t t 62435 C t 1ln t 2t 62+⎪⎭⎫⎝⎛++-= C x x x +++⋅-⋅=6631ln 6636. 222sin 2cos ,0()1,00x x x x f x x x ⎧-+<⎪⎪⎪'=>⎨⎪=⎪⎪⎩不存在,7. 42ln3-8. 解:⎰⎰⎰''--=-=ππππ0sin )()0()()cos ()(sin )(xdx x f f f x d x f xdx x f所以3)0(=f9. V=())1(2121)2(212102102102210-====⎰⎰⎰e e x d e dx e dx exx xxπππππ 《高等数学》试题2一.选择题1. 当0→x 时,下列函数不是无穷小量的是 ( )A )、x y =B )、0=yC )、)1ln(+=x yD )、x e y =2. 设12)(-=x x f ,则当0→x 时,)(x f 是x 的( )。

数学(理)卷·2010届浙江省金华十校高三上学期期末考试(2010-02)word版

数学(理)卷·2010届浙江省金华十校高三上学期期末考试(2010-02)word版
A.15B.30
C.45D.60
5.阅读程序框图,其功能是计算数列 前n项和
的最大值S,则()
A.
B.
C.
D.
6.已知 则 的解集为()
A. B.
C. D.
7.方程为 的椭圆左顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,D是它短轴上的一个顶点,若 ,则该椭圆的离心率为()
A. B. C. D.
8.M,N是曲线 与曲线 的两个不同的交点,则|MN|的最小值为()
(1)求 的最大值及取得最大值时相应的x的值;
(2)若函数 上恰有两上零点 的值。
19.从装有2只红球,2只白球和1只黑球的袋中逐一取球,已知每只球被抽取的可能性相同。
(1)若抽取后又放回,抽3次,分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率;
(2)若抽取后不放回,抽完红球所需次数为 的分布列及期望。
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分。
11.35
12.330
13.2500m2
14.
13.3
16.
17.
三、解答题:本大题共5小题,18—20题每题14分,21—22题每题15分,共72分。
18解(1)
…………5分
的最大值为2,此时 ……7分
(2)

设 是函数 的两个相应零点(即 )
由 图象性质知 …………10分
浙江省金华十校
2009—2010学年高三第一学期期末考试
数学试题(理)
注意事项:
1.考试时间为2小时,试卷总分为150分。
2.全卷分“试卷”和“答卷”各一张,本卷答案必须做在答题卷的指定位置上。
3.答题前请在“答卷”的密封线内填写学校、班级、学号、姓名。
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诚信考试 沉着应考 杜绝违纪
浙江大学2009–2010学年 秋冬 学期
《 高等数学 》课程期末考试试卷
开课学院: 理学院 ,考试形式: 闭 卷,允许带___________入场 考试时间: 2010 年 1 月 23 日,所需时间: 120 分钟
考生姓名: _____学号: 专业: ______
一、填空题(每个空格3 分,共33 分)
1.设函数⎩
⎨⎧<+≥-=0 ,0
,1)(2x k x x x x f 在0=x 处连续,则=k -1 。

2.计算极限:11
lim 21--→x x x = 2 ;)sin 11(lim 0x
x x -
→= 0 。

3.设函数x x y sin =,则
=dx
dy
sin cos x x x +;=22dx y d 2cos sin x x x -。

4.设1=-y
xe y ,则==0|x dx
dy
e 。

5.5
001.1的近似值为 1.0002 。

6.函数)1ln(+-=x x y 的单调增加区间为 (0,+∞) 。

7.设矩阵⎪⎪⎪

⎫ ⎝⎛-=1 2 4 16 5 2 2 4 2 2 1 A ,则A 的秩为 3 。

8.假设有100件产品,其中有70件为一等品,30件为二等品。

从中一次随机
地抽取3件,则恰好有2件一等品的概率为217030
3100 C C C 。

9.甲、乙二人各投篮一次,设甲投中的概率为0.6,乙投中的概率为0.7,则甲、乙二人至少有一人投中的概率为 0.88 。

二、(本题 6分)欲造一个容积为250m 3的圆柱形无盖蓄水池,已知池底的单位面积造价是周围的单位面积造价的两倍。

要使水池造价最低,问其底半径与高应是多少?
解: 设所做的圆柱形底半径为r ,高为h ,侧面造价为1单位,则总造价
2()22P r r rh ππ=+.
由2V r h π=得到2V
h r
π=,代入上式消去h ,得
22()2V
P r r r π=+,(0,)r ∈+∞. 令22()4=0V
P r r r
π'=-
,得到唯一驻点r =
点,即底面半径r ===
三、计算不定积分与定积分(每小题 5分,共 15分)
1.
解:()3
222
111(1)23x x C =+=++⎰
2.解:
()()()()11sin 2sin 22cos 2221111
cos(2)cos 2cos(2)sin 22224
x xdx x x d x xd x x x x dx x x x C =
=-=-+=-++⎰⎰⎰⎰
3.解:
()()()(
)2420
4
42
4
2404
sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin 2x x dx x x dx x x dx
x x dx x x dx x x x x π
π
π
πππ
ππ
π
π
=
=-=
-+-=
-+-=++--=⎰

⎰⎰⎰
四、(本题5分)求由直线x y =与曲线2
x y =所围成平面图形的面积。

解: ()1201
6
S x x dx =-=⎰
五、矩阵与行列式计算(每小题6分,共 12分)
1.求与矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=1 10 1
A 可交换的矩阵
B 。

解:设 , a b B c d ⎛⎫
= ⎪⎝⎭则
,
1 0 1 0 , 1 1 1 1 AB BA a b a b c d c d =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ , -a b b a b c d d a c b d -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭
可得 0,,
b d a ==
即 0, a B c a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭其中,a c 为任意值。

2.计算行列式:3 1 2 14 0 215
4 0 32 3 1 2-
2
1 3 2
2 1
3 22 1
3 23 0
4 53 0 4 53 0 4 512 0 412 0 450 6 81
2
1 3
2 0 1 72 0 1 7345
5
68921
7
==--=-=
六、(本题 8分)求解线性方程组⎪⎩

⎨⎧-=-++--=++--=++-8
42 32 32 65 32 432143214321x x x x x x x x x x x x
°231
5
60777231248077721231212312000001231207772077721231200000410112
12312722
01110111770000000000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
→---→--- ⎪ ⎪
⎪ ⎪------⎝
⎭⎝⎭
---⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
→---→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝
⎭⎝⎭

⎫- ⎪
--⎛⎫
⎪ ⎪→---→--- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎝⎭⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
解为134234427
,27x x x x x x ⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=+-⎪⎩
其中34,x x 可取任意实数。

七、随机事件概率计算(每小题7分,共 14分)
1. 甲、乙、丙三厂向某商场供应某种商品,分别占该商场总进货量的40%,35%和25%。

又已知甲、乙、丙三厂该种产品的次品率分别为0.02,0.03,0.04。

现某人购一件该种产品发现是次品,则三厂家应承担多大责任?
解:设: 1A 为事件“甲厂生产商品”; 2A 为事件“乙厂生产商品”;
3A 为事件“丙厂生产商品”; B 为事件“商品是次品”; 则
111112233()(/)
(/)()(/)()(/)()(/)
0.40.02
0.281
0.40.020.350.030.250.04
P A P B A P A B P A P B A P A P B A P A P B A =++⨯=
=⨯+⨯+⨯
222112233()(/)
(/)()(/)()(/)()(/)0.350.03
0.368
0.40.020.350.030.250.04
P A P B A P A B P A P B A P A P B A P A P B A =
++⨯=
=⨯+⨯+⨯
333112233()(/)
(/)()(/)()(/)()(/)
0.250.04
0.351
0.40.020.350.030.250.04
P A P B A P A B P A P B A P A P B A P A P B A =
++⨯=
=⨯+⨯+⨯
2. 某彩票每周开奖一次,每注获大奖的机会为十万分之一,若某人每周买一注彩票,坚持十年(每年按52周计算),问该人十年中一次都未中大奖的概率。

解:
52051
(1)10.00520.9948
10((1)1)P x x x αα=-≈-=+≈+当很小时,
八、(本题 7分)如果电源电压在不超过200V 、200~240V 之间和超过240V 三种情况下,某种电子元件损坏的概率分别是0.1、0.001和0.2,设电源电压)25,220(~2N X ,求该电子元件损坏的概率(其中7881.0)8.0(≈Φ)。

解:
()()()()()()200220(200)0.810.80.2119;
25240220200220(200240)2525 0.80.820.810.5762;
240220(240)1(240)110.80.211925P X P X P X P X -⎛⎫
≤=Φ=Φ-=-Φ= ⎪⎝⎭
--⎛⎫⎛⎫
≤≤=Φ-Φ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
=Φ-Φ-=Φ-=-⎛⎫
≥=-≤=-Φ=-Φ= ⎪⎝⎭
;
电子元件损坏的概率:
0.21190.10.57620.0010.21190.20.0641;P =⨯+⨯+⨯≈。

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