五年级奥数第2讲

第二讲数的整除
知识要点：
1．数的整除特征：
(1)能被4或25整除的数的特征：这个数的末两位上的数字所组成的数能被4或25整除。

(2)能被8或125整除的数的特征：这个数的末三位上的数字所组成的数能被8或125整除。

(3)能被3或9整除的数的特征：这个数的各个数位上的数字之和能被3或9整除。

(4)能被11整除的数的特征：这个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除。

(5)能被7、11、13整除的数的特征：这个数的末三位上的数字组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被7、11、13整除。

2．数的整除性质：
(1)如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。

例如：72能被36整除，36能被9整除，那么72一定能被9整除。

(2)如果两个数都能被同一个自然数整除，那么这两个数的和与差一定能被这个自然数整除。

例如：84与63都能被7整除，那么84+63及84—63都能被7整除。

(3)如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数能被这两个互质的自然数的乘积整除。

例如：144能被4整除，又能被9整除，而且4与9互质，那么144能被4×9=36整除。

精选例题：
例1：在下面的数中，哪些能被4整除?哪些能被8整除?哪些能被25整除?哪些能被125整除?
100，234，728，7756，6648，2781，1750，8125。

思路点拨：
例2：学校为竖笛小组购买了75根竖笛，发票上的总价有两个数字模糊不清，只看到3□7．□元，你知道每根竖笛至少是多少元吗?
思路点拨：
例3：一个六位数165□□□能同时被4和9整除，这个六位数最大是多少?最小
是多少?
思路点拨：
例4：abcabc这个六位数能否被7整除?能否被11整除?能否被13整除?如果能，
请说明理由。

思路点拨：
例5: 173□是四位数，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？
思路点拨：
例6: 将自然数1，2，3，…依次写下去组成一个数：12345678910111213…．如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，那么这个自然数是多少?
思路点拨：
例7: 自然数中1～100内共有多少个不能被3或11整除的数？
思路点拨：
例8：用1，2，3，4，5，6，7，8，9（每个数字用一次）组成三个能被9整除的、和尽可能大的三位数，这三个三位数分别是多少？
思路点拨：
例9：小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1，2，3，…，13。

如果从这两个口袋各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积，可以得到许多不相等的乘积。

那么，其中能够被6整除的乘积共有多少个？
思路点拨：
应用与拓展
1.在下面的□里填上适当的数字。

能被4整除：93□，□可以填( ) 能被8整除：48□2，□可以填( )
能被9整除：20□308，□可以填( ) 能被25整除：71□□，□□可以填( )
能被125整除：8□50，□可以填( )
2.在下面的数中，哪些能被4整除，哪些能被25整除?哪些能被8整除？哪些能被除125整除?
①234②500③789④8865⑤3728⑥8064⑦5125⑧12000
能被4整除的数是：能被8整除的数是
能被25整除的数是能被125整除的数是：
3.用2，3，7，8四个数字组成没有重复数字的四位数，且它是11的倍数，并将这些数按从大到小排列出来。

4. 在42□0□的方框中填上合适的数字，使这个五位数能同时被2、3、5整除，请写出所有可能的情况。

5. 自然数N由两种数字0和8组成，且是15的倍数，当N尽可能小时，它是15的多少倍？
6．在97538□□的□里填上什么数字就能被45整除？填上什么数字就能被21整除？
7.实验小学五年级三班期末数学综合测试，平均分是90分，总分是A95B，求这个班有多少学生。

8．过新年，小明到大润发超市买了一箱饮料共24瓶，可收据上的钱数已模糊不清，只看到总价是□27．□元，这箱饮料至少多少钱?
9．一个七位数4352□□□，□中的各位数字互不相同，且这个七位数能同时被7和6整除，这个七位数最大是多少?
10. 一个六位数256□□□能同时被8和9整除，求这样的六位数中最小的数是多少?
11.有10个连续自然数，其中的奇数之和是85。

在这10个连续自然数中，是3的倍数的数之和最大是多少？
12.用1-9九个数字组成三个三位数，使其中最大的三位数被3除余2，且尽可能地小；次大的三位数被3除余1；最小的三位数能被3整除。

那么，最大的三位数是多少？（每个数字只用一次）。