高等代数北大版教案-第6章线性空间

第六章线性空间

§1 集合映射

一授课内容：§1 集合映射

二教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算，求和号与乘积号的定义.

三教学重点:集合映射的有关定义。

四教学难点:集合映射的有关定义.

五教学过程：

1。集合的运算，集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念定义：(集合的交、并、差）设是集合,与的公共元素所组成的集合成为与的交集，记作；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集,记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集,记做。

定义:（集合的映射) 设、为集合。如果存在法则,使得中任意元素在法则下对应中唯一确定的元素(记做),则称是到的一个映射，记为如果，则称为在下的像，称为在下的原像。的所有元素在下的像构成的的子集称为在下的像，记做,即.

若都有则称为单射.若都存在,使得，则称为满射.如果既是单射又是满射，则称为双射，或称一一对应.

2.求和号与求积号

(1）求和号与乘积号的定义

为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号.

设给定某个数域上个数,我们使用如下记号:

，。

当然也可以写成

，。

（2）求和号的性质

容易证明,

,，.

事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：

分别先按行和列求和,再求总和即可。

§2 线性空间的定义与简单性质

一授课内容：§2 线性空间的定义与简单性质

二教学目的:通过本节的学习，掌握线性空间的定义与简单性质.

三教学重点：线性空间的定义与简单性质。

四教学难点：线性空间的定义与简单性质.

五教学过程:

1。线性空间的定义

(1)定义4.1(线性空间) 设V是一个非空集合，且V上有一个二元运算“+”，又设K为数域，V中的元素与K中的元素有运算数量乘法“”,且“+”与“”满足如下性质：

1、加法交换律，有；

2、加法结合律 ,有；

3、存在“零元”，即存在，使得;

4、存在负元，即，存在，使得;

5、“1律”；

6、数乘结合律 ,都有；

7、分配律 ,都有；

8、分配律，都有，

则称V为K上的一个线性空间,我们把线性空间中的元素称为向量.注意:线性空间依赖于“+”和“”的定义，不光与集合V有关。

（2)零向量和负向量的唯一性,向量减法的定义，线性空间的加法和数乘运算与通常数的加、乘法类似的性质

命题4。1零元素唯一,任意元素的负元素唯一.

证明:设与均是零元素，则由零元素的性质,有；

，设都是的负向量，则

,

于是命题得证。由于负向量唯一，我们用代表的负向量.

定义4。2(减法）我们定义二元运算减法“-”如下:

定义为。

命题4。2线性空间中的加法和数乘满足如下性质:

1、加法满足消去律 ;

2、可移项；

3、可以消因子且，则；

4、。

(3）线性空间的例子

例4。1令V表示在上可微的函数所构成的集合,令,V中加法的定义就是函数的加法,关于K的数乘就是实数遇函数的乘法，V构成K上的线性空间.

4。1.2线性空间中线性组合和线性表出的定义，向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述,向量组的秩，向量组的线性等价;极大线性无关组。

定义4.3（线性组合）给定V内一个向量组，又给定数域K内s个数，称为向量组的一个线性组合.

定义4.4(线性表出) 给定V内一个向量组,设是V内的一个向量，如果存在K内s个数，使得，则称向量可以被向量组线性表出.

定义4.5（向量组的线性相关与线性无关) 给定V内一个向量组，如果对V内某一个向量，存在数域K内不全为零的数，使得，则称向量组线性相关；若由方程必定推出,则称向量组线性无关。

命题4。3设，则下述两条等价:

1)线性相关；

2）某个可被其余向量线性表示.

证明同向量空间。

定义4。6（线性等价）给定V内两个向量组

（Ⅰ）,

（Ⅱ）,

如果（Ⅰ）中任一向量都能被（Ⅱ）线性表示,反过来，(Ⅱ)中任一向量都能被(Ⅰ)线性表示,则称两向量组线性等价.

定义4。7（极大线性无关部分组) 给定V内一个向量组，如果它有一个部分组满足如下条件：

（i）、线性无关；

（ii）、原向量组中任一向量都能被线性表示，

则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组。

由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没有用到的一些特有的性质，于是那些命题在线性空间中依然成立。

定义4.8（向量组的秩）一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同数目的向量,其向量数目成为该向量组的秩.

例4.2求证：向量组的秩等于2(其中).

证明：方法一：设∈R，满足,则,假若不全为零，不妨设，则有,而由于，等号左边为严格单调函数,矛盾于等号右边为常数.于是.

所以线性无关,向量组的秩等于2.证毕。

方法二：若在上，

两端求导数，得，

以代入，有

而,

于是.证毕.

§3 维数、基与坐标

一授课内容：§3 维数、基与坐标

二教学目的：通过本节的学习，掌握线性空间的基与维数，向量的坐标的有关定义及性质。

三教学重点：基与维数、向量坐标的有关定义。

四教学难点:基与维数、向量坐标的有关定义.

五教学过程：

1.线性空间的基与维数，向量的坐标

设V是数域K上的线性空间，则有:

定义4。9(基和维数) 如果在V中存在n个向量,满足：

1)线性无关；

2）V中任一向量在K上可表成的线性组合，

则称为V的一组基。

基即是V的一个极大线性无关部分组.基的个数定义为线性空间的维数.

命题4。4设V是数域K上的n维线性空间,而.若V中任一向量皆可被线性表出,则是V的一组基。

证明：由与V的一组基线性等价可以推出它们的秩相等.

命题4。5设V为K上的n维线性空间,，则下述两条等价：

1）线性无关；

2)V中任一向量可被线性表出。

定义4。10（向量的坐标）设V为K上的n维线性空间,是它的一组基.任给,由命题4。4,可唯一表示为的线性组合，即，使得,于是我们称为在基下的坐标。

易见,在某组基下的坐标与V/K中的向量是一一对应的关系。

§4 基变换与坐标变换

一授课内容:§4 基变换与坐标变换

二教学目的：通过本节的学习,掌握基变换与过渡矩阵的定义、运算, 坐标变换公式。