二阶微分方程通解公式
二阶微分方程解法
第六节二阶常系数齐次线性微分方程之袁州冬雪创作讲授目标：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，懂得二阶常系数非齐次线性微分方程的解法讲授重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法讲授过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:方程y+py+qy=0称为二阶常系数齐次线性微分方程,其中p、q均为常数.如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解,那末y=C1y1+C2y2就是它的通解.我们看看, 可否适当选取r,使y=e rx知足二阶常系数齐次线性微分方程,为此将y=e rx代入方程y+py+qy=0得(r2+pr+q)e rx=0.由此可见,只要r知足代数方程r2+pr+q=0,函数y=e rx就是微分方程的解.特征方程:方程r2+pr+q=0叫做微分方程y+py+qy=0的特征方程.特征方程的两个根r1、r2可用公式求出.特征方程的根与通解的关系:(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时,函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解.这是因为,函数xr e y 11=、xr e y 22=是方程的解,又xr r xr x r ee e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为x r x r e C e C y 2121+=.(2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时,函数xr e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.这是因为,x r e y 11=是方程的解,又0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r ,所以x r xe y 12=也是方程的解,且x exe y y xr xr ==1112不是常数.因此方程的通解为x r x r xe C e C y 1121+=.(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=a ib 时,函数y =e (a +ib )x 、y =e (aib )x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解.函数y =e ax cos bx 、y =e ax sin bx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y 1e (a +ib )x 和y 2e (aib )x都是方程的解 而由欧拉公式得y 1e (a +ib )x e x (cos x i sin x ) y 2e (aib )xe x (cos x i sin x )y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 22ie x sin x)(21sin 21y y ix e x -=βα故e axcos bx 、y 2=e axsin bx 也是方程解.可以验证,y 1=e axcos bx 、y 2=e axsin bx 是方程的线性无关解. 因此方程的通解为y =e ax (C 1cos bx +C 2sin bx ).求二阶常系数齐次线性微分方程y +py+qy =0的通解的步调为:第一步 写出微分方程的特征方程r 2+pr +q =0第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2.第三步 根据特征方程的两个根的分歧情况,写出微分方程的通解.例1 求微分方程y-2y-3y =0的通解.解所给微分方程的特征方程为r 2-2r -3=0,即(r 1)(r 3)0其根r 1=-1,r 2=3是两个不相等的实根,因此所求通解为y =C 1e -x +C 2e 3x .例 2 求方程y+2y+y=0知足初始条件y|x=0=4、y|x=0=-2的特解.解所给方程的特征方程为r2+2r+1=0,即(r1)20其根r1=r2=1是两个相等的实根,因此所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e-x.将条件y|x=0=4代入通解,得C1=4,从而y=(4+C2x)e-x.将上式对x求导,得y=(C2-4-C2x)e-x.再把条件y|x=0=-2代入上式,得C2=2.于是所求特解为x=(4+2x)e-x.例 3 求微分方程y-2y+5y= 0的通解.解所给方程的特征方程为r2-2r+5=0特征方程的根为r1=12i r2=12i是一对共轭复根因此所求通解为y=e x(C1cos2x+C2sin2x).n阶常系数齐次线性微分方程:方程y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) ++p n-1y+p n y=0,称为n阶常系数齐次线性微分方程,其中p1,p2 ,,p n-1,p n都是常数.二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式,可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.引入微分算子D及微分算子的n次多项式L(D)=D n+p1D n-1+p2 D n-2 ++p n-1D+p n则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n+p1D n-1+p2 D n-2 ++p n-1D+p n)y=0或L(D)y0注D叫做微分算子D0y y D y y D2y y D3y y D n yy(n)分析令y e rx则L(D)y L(D)e rx(r n+p1r n-1+p2 r n-2 ++p n-1r+p n)e rx=L(r)e rx 因此如果r是多项式L(r)的根则y e rx是微分方程L(D)y0的解n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程L(r)r n+p1r n-1+p2 r n-2 ++p n-1r+p n0称为微分方程L(D)y0的特征方程特征方程的根与通解中项的对应:单实根r对应于一项:Ce rx;一对单复根r1,2=a ib对应于两项:e ax(C1cos bx+C2sin bx);k重实根r对应于k项:e rx(C1+C2x++C k x k-1);一对k 重复根r 1,2=a ib 对应于2k 项: e ax [(C 1+C 2x ++C k x k -1)cos bx +(D 1+D 2x ++D k x k -1)sin bx ].例4 求方程y (4)-2y +5y =0 的通解.解 这里的特征方程为r 4-2r 3+5r 2=0,即r 2(r 2-2r +5)=0,它的根是r 1=r 2=0和r 3,4=12i .因此所给微分方程的通解为y =C 1+C 2x +e x (C 3cos2x +C 4sin2x ).例5 求方程y (4)+b 4y =0的通解,其中b 0.解 这里的特征方程为r 4+b 4=0.它的根为)1(22,1i r ±=β,)1(24,3i r ±-=β.因此所给微分方程的通解为)2sin2cos(212x C x C ey xβββ+=)2sin2cos(432x C x C exβββ++-.二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程:方程y +py +qy =f (x )称为二阶常系数非齐次线性微分方程,其中p 、q 是常数. 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程 的通解y =Y (x )与非齐次方程自己的一个特解y =y *(x )之和:y =Y (x )+ y *(x ).当f(x)为两种特殊形式时,方程的特解的求法:一、f(x)=P m(x)e lx型当f(x)=P m(x)e lx时,可以猜测,方程的特解也应具有这种形式.因此,设特解形式为y*=Q(x)e lx,将其代入方程,得等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=P m(x).(1)如果l不是特征方程r2+pr+q=0 的根,则l2+pl+q0.要使上式成立,Q(x)应设为m次多项式:Q m(x)=b0x m+b1x m-1++b m-1x+b m,通过比较等式双方同次项系数,可确定b0,b1,,b m,并得所求特解y*=Q m(x)e lx.(2)如果l是特征方程r2+pr+q=0 的单根,则l2+pl+q=0,但2l+p0,要使等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=P m(x).成立,Q(x)应设为m+1 次多项式:Q(x)=xQ m(x),Q m(x)=b0x m+b1x m-1++b m-1x+b m,通过比较等式双方同次项系数,可确定b0,b1,,b m,并得所求特解y*=xQ m(x)e lx.(3)如果l是特征方程r2+pr+q=0的二重根,则l2+pl+q=0,2l+p=0,要使等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=P m(x).成立,Q(x)应设为m+2次多项式:Q(x)=x2Q m(x),Q m(x)=b0x m+b1x m-1++b m-1x+b m,通过比较等式双方同次项系数,可确定b0,b1,,b m,并得所求特解y*=x2Q m(x)e lx.综上所述,我们有如下结论:如果f(x)=P m(x)e lx,则二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qy=f(x)有形如y*=x k Q m(x)e lx的特解,其中Q m(x)是与P m(x)同次的多项式,而k按l不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.例1求微分方程y-2y-3y=3x+1的一个特解.解这是二阶常系数非齐次线性微分方程,且函数f(x)是P m(x)e lx型(其中P m(x)=3x+1,l=0).与所给方程对应的齐次方程为y-2y-3y=0,它的特征方程为r2-2r-3=0.由于这里l =0不是特征方程的根,所以应设特解为y *=b 0x +b 1.把它代入所给方程,得 -3b 0x -2b 0-3b 1=3x +1,比较两头x 同次幂的系数,得⎩⎨⎧=--=-13233100b b b -3b 0=3,-2b 0-3b 1=1.由此求得b 0=-1,311=b .于是求得所给方程的一个特解为31*+-=x y .例2求微分方程y -5y +6y =xe 2x的通解.解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,且f (x )是P m (x )e lx 型(其中P m (x )=x ,l =2).与所给方程对应的齐次方程为y -5y +6y =0,它的特征方程为r 2-5r +6=0.特征方程有两个实根r 1=2,r 2=3.于是所给方程对应的齐次方程的通解为Y =C 1e 2x +C 2e 3x .由于l =2是特征方程的单根,所以应设方程的特解为y *=x (b 0x +b 1)e 2x .把它代入所给方程,得-2b 0x +2b 0-b 1=x .比较两头x 同次幂的系数,得⎩⎨⎧=-=-0212100b b b -2b 0=1,2b 0-b 1=0.由此求得210-=b ,b 1=-1.于是求得所给方程的一个特解为x e x x y 2)121(*--=.从而所给方程的通解为x x x e x x e C e C y 223221)2(21+-+=.提示y *=x (b 0x +b 1)e 2x (b 0x 2+b 1x )e 2x[(b 0x 2+b 1x )e 2x][(2b 0x +b 1)(b 0x 2+b 1x )×2]e2x[(b 0x 2+b 1x )e 2x][2b 02(2b 0x b 1)×2(b 0x 2+b 1x )×22]e 2xy *5y *6y *[(b 0x 2+b 1x )e 2x]5[(b 0x 2+b 1x )e 2x]6[(b 0x 2+b 1x )e 2x] [2b 02(2b 0x b 1)×2(b 0x 2+b 1x )×22]e2x5[(2b 0x +b 1)(b 0x 2+b 1x )×2]e 2x 6(b 0x 2+b 1x )e 2x[2b 04(2b 0x b 1)5(2b 0x +b 1)]e2x[2b 0x +2b 0b 1]e2x方程y+py+qy =e lx[P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]的特解形式应用欧拉公式可得e lx [P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]x i x i e x P e x P )()()()(ωλωλ-++=,其中)(21)(i P P x P n l -=,)(21)(i P P x P n l +=. 而m =max{l ,n }. 设方程y +py +qy =P (x )e (l +iw )x 的特解为y 1*=x k Q m (x )e (l +iw )x , 则)(1)(*ωλi m k e x Q x y -=必是方程)()(ωλi e x P qy y p y -=+'+''的特解,其中k 按liw 不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1.于是方程y+py +qy =e lx[P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]的特解为 =x k e lx [R (1)m (x )cos wx +R (2)m (x )sin wx ].综上所述,我们有如下结论:如果f (x )=e lx[P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ],则二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py +qy =f (x )的特解可设为 y *=x k e lx [R (1)m (x )cos wx +R (2)m (x )sin wx ],其中R (1)m (x )、R (2)m (x )是m 次多项式,m =max{l ,n },而k 按l +i w(或l -iw )不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1. 例3求微分方程y +y =x cos2x 的一个特解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )属于e lx [P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]型(其中l =0,w =2,P l (x )=x ,P n (x )=0）.与所给方程对应的齐次方程为y +y =0,它的特征方程为r 2+1=0.由于这里l +iw =2i 不是特征方程的根,所以应设特解为 y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .把它代入所给方程,得(-3ax -3b +4c )cos2x -(3cx +3d +4a )sin2x =x cos2x . 比较两头同类项的系数,得31-=a ,b =0,c =0,94=d .于是求得一个特解为x x x y 2sin 942cos 31*+-=.提示 y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .y *=a cos2x 2(ax +b )sin2x +c sin2x +2(cx +d )cos2x (2cx +a 2d )cos2x +(2ax 2b c )sin2xy *=2c cos2x 2(2cx +a 2d )sin2x 2a sin2x +2(2ax 2b c )cos2x (4ax 4b 4c )cos2x (4cx 4a 4d )sin2x y *y *(3ax 3b 4c )cos2x (3cx 4a 3d )sin2x 由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=+-=-0340304313d a c c b a 得31-=a ,b =0,c =0,94=d .。
二阶微分方程求解的技巧
二阶微分方程求解的技巧一阶微分方程只含有一阶导数，而二阶微分方程含有二阶导数。
求解二阶微分方程的技巧较为复杂，需要利用一些特定的方法和技巧。
下面我们将介绍几种常用的技巧，帮助你求解二阶微分方程。
1.齐次线性方程法：如果二阶微分方程可以写为形式：$ay''+by'+cy=0$，其中a、b、c是常数,则称之为齐次线性方程。
我们可以从中解得一个求解公式：$y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}$，其中$C_1$和$C_2$是任意常数，$\lambda_1$和$\lambda_2$是方程的特征根。
为了寻找特征根，我们需要解决特征方程：$a\lambda^2+b\lambda+c=0$。
如果特征方程有两个相异的实根$\lambda_1$和$\lambda_2$，则方程的解是通解。
如果它们是重根，则方程的解是通解的一部分。
如果特征方程有两个虚根，则方程的解由实部和虚部组成。
2.变量可分离法：如果方程可以写为形式：$y''=f(x)g(y')$，其中f和g是一元函数，我们可以利用变量可分离法进行求解。
首先，设$y'=p$，则$y''=p\frac{dp}{dx}$。
将这些代入原方程，我们得到：$p\frac{dp}{dx}=f(x)g(p)$。
将上式变换为分离变量：$\frac{dp}{g(p)}=f(x)dx$。
然后，我们对两边进行积分，并解出p关于x的函数，最后再通过积分得到y关于x的函数。
3.常数变易法：如果方程可以写为形式：$ay''+by'+cy=f(x)$，其中f(x)是已知的函数，我们可以使用常数变易法进行求解。
首先，我们猜测一个特解$y^*$，并将其带入方程中。
然后我们将$y^*$代入方程，并解出常数。
我们将这些解代入齐次线性方程的通解中，并得到方程的通解。
4.欧拉方程法：如果方程是二阶常系数线性方程，并可以写为形式：$ax^2y''+bxy'+cy=0$，我们可以使用欧拉方程法进行求解。
二阶微分方程解法推导
二阶微分方程解法推导二阶微分方程是数学中的一个重要的分支，它在物理、工程学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍二阶微分方程的解法推导，从而让读者更深入地理解二阶微分方程的求解方法。
首先，我们需要了解什么是二阶微分方程。
二阶微分方程是一个关于未知函数 y(x) 及其导数 y'(x) 和 y''(x) 的方程。
一般形式如下：y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = f(x)其中 p(x)、q(x)、f(x) 都是已知函数。
对于这个方程，我们可以通过以下步骤来求解：第一步，找到其特征方程。
特征方程是 y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0 的解。
我们可以假设其解为 y(x) = e^(mx)，将其代入特征方程中得到：m^2 + p(x)m + q(x) = 0解这个二次方程，可以得到两个根 m1、m2，它们可以是实数或复数。
第二步，根据根的情况分类讨论。
如果 m1 和 m2 都是实数且不相等，那么 y(x) 的通解为：y(x) = c1e^(m1x) + c2e^(m2x)其中 c1、c2 是任意常数。
如果 m1 和 m2 都是实数且相等，那么 y(x) 的通解为：y(x) = (c1 + c2x)e^(mx)其中 c1、c2 是任意常数。
如果 m1 和 m2 是复数共轭，即 m1 = a + bi，m2 = a - bi，那么 y(x) 的通解为：y(x) = e^(ax)[c1cos(bx) + c2sin(bx)]其中 c1、c2 是任意常数。
第三步，根据边界条件确定具体解。
通解中的常数需要根据边界条件来确定，从而得到具体的解。
通过以上三个步骤，我们可以求解二阶微分方程的解。
需要注意的是，当特征方程产生相同的根时，其求解方法会有所不同。
此外，对于特殊类型的二阶微分方程，也可以采用其他方法来求解。
二阶常微分方程解法
二阶常微分方程解法二阶常微分方程是数学中常见的方程形式，可以通过不同的方法来求解。
本文将介绍二阶常微分方程的解法，并通过例题来说明具体步骤。
一、齐次二阶常微分方程的解法齐次二阶常微分方程的一般形式为：y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0齐次二阶常微分方程的解法步骤如下：1. 首先，设y=e^(λx)为方程的解，其中λ为待定常数。
2. 求解特征方程λ^2 + P(x)λ + Q(x) = 0的根。
设该方程的根为λ1和λ2。
3. 根据特征根λ1和λ2的值，分别列出对应的解y1=e^(λ1x)和y2=e^(λ2x)。
4. 则原方程的通解为y=C1y1 + C2y2，其中C1和C2为任意常数。
例题1：求解二阶常微分方程y'' - 4y' + 4y = 0。
解题步骤：1. 特征方程为λ^2 - 4λ + 4 = 0，解得λ=2。
2. 因此，对应的特解为y1=e^(2x)。
3. 原方程的通解为y=C1e^(2x) + C2xe^(2x)，其中C1和C2为任意常数。
二、非齐次二阶常微分方程的解法非齐次二阶常微分方程的一般形式为：y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x)非齐次二阶常微分方程的解法步骤如下：1. 首先，求解对应的齐次方程y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0的通解，假设为y=C1y1 + C2y2。
2. 再根据待定系数法，设非齐次方程的特解为y*，代入原方程得到特解的形式。
3. 求解特解形式中的待定系数，并将特解形式代入原方程进行验证。
4. 特解形式正确且验证通过后，非齐次方程的通解为y=C1y1 +C2y2 + y*。
例题2：求解二阶常微分方程y'' - 4y' + 4y = x^2 + 3x + 2。
解题步骤：1. 对应的齐次方程的通解为y=C1e^(2x) + C2xe^(2x)，其中C1和C2为任意常数。
二阶常系数线性微分方程的解法
二阶常系数齐次线性方程解的性质 回顾
一阶齐次线性方程 y P( x) y 0 (1)
1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； 2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；
2
二阶常系数齐次线性方程解的性质 y ay by 0 (2)
1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解； 2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；
Q( x) Qm ( x) , 即 y Qm ( x) erx 情形2 若 r 是特征方程的单根, 即 r2 ar b 0 ,
而 2r a 0 , 则令 Q( x) xQm ( x) , 即
y xQm ( x)erx
14
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) (*) 情形3 若 r 是特征方程的二重根, 即 r2 ar b 0 ,
2
2
此时原方程的通解为
y
(C1
C 2 x)e2x
1 2
x 2e2x
；
Q( x) Ax2 , Q Pm ( x) , 2 A 1
21
y 4 yAe x ,
代入原方程,得
A
(
1 2)2
,
即特解为
y
(
1 2)2
e
x
,
此时原方程的通解为
于是 y x( 1 x 1)e2x ，
2
2
原方程通解为
y
C1e x
C 2e2 x
x(1 2
x
1) e2 x
.
18
例6 求微分方程 y 6 y 9 y x e3x 的通解.
解 特征方程 2 6 9 0 , 特征根 1,2 3 ，
对应齐次方程通解 Y (C1 C2 x)e3x . 因为 r 3 是二重特征根,
二阶常系数线性微分方程的解法
3
即原方程的通解为
y
C1e x
C2e3x
x
1 3
.
17
例5 求方程 y 3 y 2 y xe2x 的通解 .
解 特征方程 2 3 2 0 ,
特征根 1 1，2 2 ，
对应齐次方程通解 Y C1ex C2e2x .
2是单根，
定理2 设 y ( x) 是方程(1)的一个特解, Y ( x) 是(2)的通解, 那么方程(1)的通解为
y Y y .
11
三、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法
y ay by f ( x) (1)
对应齐次方程 y ay by 0 (2)
定理2 设 y ( x) 是方程(1)的一个特解, Y ( x) 是(2)的通解, 那么方程(1)的通解为
因为 r 0, 2 , r i 2i 不是特征根,故设特解为
x2Qm ( x)， 是二重特征根
然后将y 代入原方程，或根据恒等式(*)来确定 Q( x) ,从而得到特解 y .
若
f
(x)
Pm ( x)，可看成是 r
0
的特殊情形。
16
例4 求微分方程 y 2 y 3 y 3x 1 的通解.
解 特征方程 2 2 3 0
8
例1 求微分方程 y 2 y 3 y 0 的通解. 解 特征方程为 2 2 3 0
特征根为 1 1, 2 3
故所求通解为 y C1e x C2e3x 例2 求方程 y 2 y 5 y 0的通解.
解 特征方程为 2 2 5 0 解得 1，2 1 2i ,
第二节 两个自变量的二阶线性偏微分方程
u( x, y) f ( ( x, y)) g (( x, y)) f (1x 1 y) g(2 x 2 y)
： B 4 AC 0时，
Step2: 化方程为标准型，求其通解。 Step3: 将第二步所求通解中的变量 , 换成 x, y
的函数即可。 评点该方法： 化标准型的过程很麻烦，很容易出错。但
是对于一些特殊方程，它们的标准型有一定的规律，给
求解带来很大的方便。 三、 Auxx Buxy Cuyy 0的通解求法
四、 Auxx Buxy Cuyy D( x, y)的通解求法
Auxx Buxy Cuyy D( x, y)
的齐次方程(2)的通解与(6)的特解之和。 例4：u xx 4u xy 4u yy e
y
(5)
(5)是非齐次线性方程，易得到(5)的通解等于它所对应
y
u ( y), 代入方程得到： 解：设原方程的特解为
e 4u yy e , 可以找到一个特解为 u 4 设原方程的通解为 : ey u ( x, y ) xf (2 x y) g (2 x y ) 4
y
u( x, y) xf (2 x y) g (2 x y)
例3： uxx u yy 0
2
dy 解： 特征方程： 1 0 dx ix y C1 特征线： ix y C2
u( x, y) f (ix y)) g (ix y)
： B 2 4 AC 0时，
1x 1 y c1 1x 1 y 求出特征线： ,引入变量 2 x 2 y c2 2 x 2 y 其中1 ，2，1 ，2为复数
二阶常系数齐次线性微分方程的通解
二阶常系数齐次线性微分方程的通解这类方程很特殊，前缀多，范围小，但在物理中经常见到，所以单独讨论。
我们先从二阶线性微分方程入手，y''+P(x)y'+Q(x)y+R(x)=0，若R(x)=0，则为二阶线性齐次微分方程。
进一步地，若系数和x无关，都为常数，即为常系数二阶线性齐次微分方程y''+py'+qy=0.求解这个方程，可以先求出它的两个线性独立的特解，然后通过解的叠加原理得到通解。
设解的形式为y=e^{rx}代入方程即得到(r^2+pr+q)e^{rx}=0 \Rightarrow r^2+pr+q=0.这个等式称为微分方程的特征方程，可见特征方程是一个一元二次代数方程，其解可由求根公式得到。
需要分三种情况讨论：1）特征方程有两个不等实根r_1 \ne r_2则两个特解为y_1=e^{r_1x},y_2=e^{r_2x}，而\frac{y_1}{y_2} \ne C，故通解为y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}.2）特征方程有一对共轭复根r_1=a+bi,r_2=a-bi,b\ne0则两个特解为y_1=e^{ax+bxi},y_2=e^{ax-bxi}，由欧拉公式有y_1=e^{ax}[cos(bx)+isin(bx)],y_2=e^{ax}[cos(bx)-isin(bx)].特解含有复数部分，我们希望解是实的，运用解的叠加原理，可以凑出新的两个特解y_{11}=\frac{1}{2}(y_1+y_2)=e^{ax}cos(bx),y_{12}=\frac{1}{2}(y_1-y_2)=e^{ax}sin(bx).它们也线性无关，因此通解为y=e^{ax}[C_1cos(bx)+C_2sin(bx)].3）特征方程具有两个相等实根r_1=r_2只能得到一个特解y_1=e^{r_1x}.设\frac{y_2}{y_1}=u(x) \Rightarrow y_2=y_1u(x),代入原微分方程可得到u''=0.不放取u=x作为第二个特解。
二阶偏微分方程求解
二阶偏微分方程求解【序言】在数学领域中，偏微分方程是一类重要的数学方程，它们在物理学、工程学、经济学等学科中具有广泛的应用。
其中，二阶偏微分方程是一类形式特殊的方程，它们具有一定的数学难度和挑战性。
在本文中，我们将探讨二阶偏微分方程的求解方法，帮助读者理解和掌握这一重要的数学工具。
【概述】二阶偏微分方程是指具有二阶导数的偏微分方程。
通常表示为：(1) A(x, y)∂²u/∂x² + 2B(x, y)∂²u/∂x∂y + C(x, y)∂²u/∂y² + D(x,y)∂u/∂x + E(x, y)∂u/∂y + F(x, y)u = G(x, y)其中，u是未知函数，A(x, y), B(x, y), C(x, y), D(x, y), E(x, y), F(x, y)是已知的函数，G(x, y)是给定的函数。
解出u(x, y)是我们求解二阶偏微分方程的目标。
【求解方法】在求解二阶偏微分方程之前，我们先来了解一下常见的求解方法。
1. 特征值法特征值法是求解一类特殊形式的二阶偏微分方程的有效方法。
对于形如：(2) A∂²u/∂x² + 2B∂²u/∂x∂y + C∂²u/∂y² = 0的方程，我们可以通过求解其特征方程来求得解。
特征方程一般形式为：(3) Aλ² + 2Bλ + C = 0其中λ是未知参数。
通过求解特征方程所得到的特征根λ可以帮助我们确定对应的解形式。
具体的讨论和求解方法可以见附录一。
2. 分离变量法分离变量法是一种常用的求解二阶偏微分方程的方法，它的基本思想是将未知函数表示为两个独立变量的乘积形式，然后分别对每个变量求解常微分方程。
具体步骤如下：(4) 假设u可以表示为u(x, y) = X(x)Y(y)，即u的形式可以分离变量。
(5) 将假设的形式代入原方程，得到两个关于X和Y的常微分方程。
二阶常微分方程求解公式
二阶常微分方程求解公式二阶常微分方程在数学领域中可是个相当重要的家伙呢！咱们先来说说啥是二阶常微分方程。
简单来讲，就是方程里含有未知函数的二阶导数。
比如说，像 y'' + 2y' + y = 0 这样的式子就是二阶常微分方程。
那求解它的公式是咋来的呢？这可得从数学的“大宝藏”里一点点挖掘。
咱们先来说说线性常系数二阶齐次方程的求解。
它的形式一般是 y'' + py' + qy = 0 ，这里的 p 和 q 是常数。
为了找到解，咱们得先假设一个形式，就像侦探找线索一样。
假设y = e^(rx) ，把它代入方程里，就能得到一个关于 r 的方程 r^2 + pr + q = 0 。
这就是所谓的特征方程。
要是这个特征方程有两个不同的实根 r1 和r2 ，那方程的通解就是 y = C1e^(r1x) + C2e^(r2x) 。
就好比有一天我在给学生们讲这个知识点的时候，有个学生瞪着大眼睛问我：“老师，这咋感觉像变魔术似的，咋就这么假设出来啦？”我笑着告诉他：“这可不是变魔术，这是数学的智慧！你就把它想象成一把神奇的钥匙，能打开方程的秘密之门。
”要是特征方程有两个相等的实根 r ，那通解就变成了 y = (C1 +C2x)e^(rx) 。
再来说说线性常系数二阶非齐次方程，它的形式是 y'' + py' + qy = f(x) 。
求解它的办法呢，就是先求出对应的齐次方程的通解，然后再找一个特解。
找特解的方法有很多种，比如待定系数法。
就像上次我在课堂上出了一道题：y'' - 3y' + 2y = e^x ，让同学们自己试着求解。
有的同学一开始抓耳挠腮，不知道从哪儿下手。
我就一点点引导他们，先求出齐次方程的通解，再根据右边的函数形式设特解。
最后，大家都算出了答案，那种成就感满满的样子，让我特别欣慰。
总之，二阶常微分方程的求解公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们掌握了方法，多做练习，就一定能把它拿下！就像爬山一样，虽然过程中可能会遇到陡峭的山坡，但只要坚持往上爬，就能看到美丽的风景。
7.5二阶线性微分方程解的结构
(2)
若能求得（2）的一个特解 y1 ,
则可按以下步骤求得（1）的通解：
（1）由刘维尔公式求出（2）的另一个特解 y2 ，
从而得到齐次方程（2）的通解： Y C1 y1 C2 y2
（2）由常数变易法求出（1）的一个特解：
y* u1 y1 u2 y2
（3）写出方程（1）的通解
y Y y * C1 y1 C2 y2 y *
7.5 二阶线性微分方 程解的结构
• 掌握并灵活运用线性微分方程的解的结构
一、概念
二阶线性微分方程
d 2 y P( x) dy Q( x) y f ( x)
dx 2
dx
当 f ( x) 0时， 二阶线性齐次微分方程
当 f ( x) 0时，二阶线性非齐次微分方程
n阶线性微分方程 y(n) P1( x) y(n1) Pn1( x) y Pn ( x) y f ( x).
(1)
如果对应的齐次线性方程
y P(x) y Q(x) y 0
(2)
有通解: Y C1 y1 C2 y2,
则由常数变易法可设（1）有如下形式的特解：
y* u1 y1 u2 y2 y* u1 y1 u2 y2 y1u1 y2u2 补充条件: y1u1 y2u2 0
y P(x) y Q(x) y f (x)
记为
y2 f ( x) w( x)
u2
y1 f ( x) y1 y2 y2 y1
记为
y1 f ( x) w( x)
y P(x可设（1）有如下形式的特解：
y* u1 y1 u2 y2
u1
y2 f ( x) y1 y2 y2 y1
记为
解的叠加原理 • 定理 4 通常称为非齐次线性微分方程的解的叠加原理 • 定理 4 同样可以推广到 n 阶非齐次方程的情形
第三节_二阶常系数线性微分方程的解法
通解的表达式
y = C1e r1 x + C 2e r2 x
y = (C1 + C 2 x ) e
r1 x
y = eαx (C 1 cos β x + C 2 sin β x )
8
例1 解
的通解. 求微分方程 y′′ − 2 y′ − 3 y = 0 的通解.
特征方程为 λ 2 − 2λ − 3 = 0 特征根为 λ1 = −1, λ2 = 3 故所求通解为
y = C 1e − x + C 2 e 3 x
例2 解
求方程 y′′ + 2 y′ + 5 y = 0的通解 .
特征方程为 λ2 + 2λ + 5 = 0
解得
λ1， = −1± 2i , 2
y = e (C1 cos 2 x + C 2 sin 2 x )
9
故所求通解为
−x
ds ds 例3 求微分方程 2 + 2 + s = 0 满足初始条件 dt dt
∗
′′ = Q′′( x )e r x + 2λ Q′( x )e r x + λ2Q( x )e r x (y )
∗
代入方程 y′′ + ay′ + by = f ( x ) ,
整理并约去 e
rx
,得
Q′′ + (2r + a)Q′ + (r 2 + ar + b)Q = Pm ( x)
(*)
13
(1)
1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； 方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； (1)的任意两个解 (1)的解 2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解； 方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解； (1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解
微积分：二阶微分方程
二、二阶常系数线性微分方程
一般形式 y+by+cy=f(x)
当f（x）=0时，称为齐次的， 当f（x） 0时，称为非齐次的。
1、解的结构 引进微分算子：L[y] y+b y+cy 则方程分别记为
L[y]=f(x)， L[y]=0 性质1
L[cy]=cL[y]，c为常数。
性质2
L[y1+y2]= L[y1]+ L[y2]。
得齐次方程的通解为 y (C1 C2 x)er1x ;
例4 解方程y 6 y 9 y 0. 解 特征方程 r 2 6r 9 0 (r 3)2 0
r1 r2 3 故通解 y (C1 C2 x)e3x .
若有一对共轭复根 ( 0)
特征根为 r1 i , r2 i ,
比较系数
2b0 3,2b0 b1 1.
b0
3, 2
b1
4.
y* x( 3 x 4)e x
2
通解
y
C1e x
C2e2x
x(
3 2
x
4)e x .
例3 求y 3x 1的一个特解。
解 r 2 0 0是重根，
设 y* x 2 (b0 x b1 )e0x 将y *、y *、y * 代入微分方程,
C2 x)e x
]
则，方程组的解为
z (C1 C2 x)e x
y
1 2
(2C1
C2
2C2 x)e x .
例2 解方程组
3
dx
dt dx
dy
dt dy
x y
0 et
(1) (2)
dt dt
微分方程组的应用：
例3 捕食 — 被捕食模型
二阶微分方程解法(参考模板)
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程: 方程 y+py +qy =0称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数.如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解.我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx代入方程 y +py +qy =0得(r 2+pr +q )e rx=0.由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx就是微分方程的解. 特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y+py +qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式2422,1q p p r -±+-= 求出.特征方程的根与通解的关系:(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解. 这是因为,函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又xr r xr x r e e e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为x r x r e C e C y 2121+=.(2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.这是因为, x r e y 11=是方程的解, 又x r x r xr x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r ,所以xr xe y 12=也是方程的解, 且x e xe y y xr xr ==1112不是常数. 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+=.(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=a ib 时, 函数y =e(a +ib )x、y =e(a ib )x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e axcos bx 、y =e axsin bx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y 1e(a +ib )x和y 2e(a ib )x都是方程的解 而由欧拉公式 得y 1e (a +ib )x e x (cos x i sin x )y 2e(aib )xe x (cos x i sin x )y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 22ie x sin x )(21sin 21y y ix e x -=βα故e ax cos bx 、y 2=e axsin bx 也是方程解.可以验证, y 1=e ax cos bx 、y 2=e axsin bx 是方程的线性无关解. 因此方程的通解为y =e ax(C 1cos bx +C 2sin bx ). 求二阶常系数齐次线性微分方程y +py +qy =0的通解的步骤为:第一步 写出微分方程的特征方程 r 2+pr +q =0第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2.第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解. 例1 求微分方程y-2y -3y =0的通解.解 所给微分方程的特征方程为 r 2-2r -3=0, 即(r 1)(r 3)0其根r 1=-1, r 2=3是两个不相等的实根, 因此所求通解为 y =C 1e -x+C 2e 3x.例2 求方程y+2y+y=0满足初始条件y|x=0=4、y|x=0=-2的特解.解所给方程的特征方程为r2+2r+1=0, 即(r1)20其根r1=r2=1是两个相等的实根, 因此所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e-x.将条件y|x=0=4代入通解, 得C1=4, 从而y=(4+C2x)e-x.将上式对x求导, 得y=(C2-4-C2x)e-x.再把条件y|x=0=-2代入上式, 得C2=2. 于是所求特解为x=(4+2x)e-x.例 3 求微分方程y-2y+5y= 0的通解.解所给方程的特征方程为r2-2r+5=0特征方程的根为r1=12i r2=12i是一对共轭复根因此所求通解为y=e x(C1cos2x+C2sin2x).n阶常系数齐次线性微分方程: 方程y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) + + p n-1y+p n y=0,称为n阶常系数齐次线性微分方程, 其中p1, p2 , , p n-1, p n都是常数.二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式, 可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.引入微分算子D及微分算子的n次多项式L(D)=D n+p1D n-1+p2 D n-2 + + p n-1D+p n则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n+p1D n-1+p2 D n-2 + + p n-1D+p n)y=0或L(D)y0注 D叫做微分算子D0y y D y y D2y y D3y y D n y y(n)分析令y e rx则L(D)y L(D)e rx(r n+p1r n-1+p2 r n-2 + + p n-1r+p n)e rx=L(r)e rx因此如果r是多项式L(r)的根则y e rx是微分方程L(D)y0的解n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程L(r)r n+p1r n-1+p2 r n-2 + + p n-1r+p n0称为微分方程L(D)y0的特征方程特征方程的根与通解中项的对应: 单实根r 对应于一项: Ce rx;一对单复根r 1, 2=a ib 对应于两项: e ax(C 1cos bx +C 2sin bx );k 重实根r 对应于k 项: e rx (C 1+C 2x + +C k x k -1); 一对k 重复根r 1, 2=a ib 对应于2k 项:e ax[(C 1+C 2x + +C k x k -1)cos bx +( D 1+D 2x + +D k x k -1)sin bx ]. 例4 求方程y (4)-2y +5y=0 的通解.解 这里的特征方程为r 4-2r 3+5r 2=0, 即r 2(r 2-2r +5)=0, 它的根是r 1=r 2=0和r 3, 4=12i .因此所给微分方程的通解为y =C 1+C 2x +e x(C 3cos2x +C 4sin2x ). 例5 求方程y (4)+b 4y =0的通解, 其中b 0.解 这里的特征方程为 r 4+b 4=0. 它的根为)1(22,1i r ±=β, )1(24,3i r ±-=β.因此所给微分方程的通解为 )2sin2cos(212x C x C ey xβββ+=)2sin2cos(432x C x C exβββ++-.二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程: 方程y +py +qy =f (x )称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中p 、q 是常数. 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程 的通解y =Y (x )与非齐次方程本身的一个特解y =y *(x )之和:y =Y (x )+ y *(x ).当f (x )为两种特殊形式时, 方程的特解的求法: 一、 f (x )=P m (x )e lx型当f (x )=P m (x )e lx时, 可以猜想, 方程的特解也应具有这种形式. 因此, 设特解形式为y *=Q (x )e lx , 将其代入方程, 得等式 Q(x )+(2l +p )Q(x )+(l 2+pl +q )Q (x )=P m (x ).(1)如果l 不是特征方程r 2+pr +q =0 的根, 则l 2+pl +q 0. 要使上式成立, Q (x )应设为m 次多项式:Q m(x)=b0x m+b1x m-1+ +b m-1x+b m,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, , b m, 并得所求特解y*=Q m(x)e lx.(2)如果l是特征方程r2+pr+q=0 的单根, 则l2+pl+q=0, 但2l+p0, 要使等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=P m(x).成立, Q(x)应设为m+1 次多项式:Q(x)=xQ m(x),Q m(x)=b0x m+b1x m-1+ +b m-1x+b m,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, , b m, 并得所求特解y*=xQ m(x)e lx.(3)如果l是特征方程r2+pr+q=0的二重根, 则l2+pl+q=0, 2l+p=0, 要使等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=P m(x).成立, Q(x)应设为m+2次多项式:Q(x)=x2Q m(x),Q m(x)=b0x m+b1x m-1+ +b m-1x+b m,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, , b m, 并得所求特解y*=x2Q m(x)e lx.综上所述, 我们有如下结论: 如果f(x)=P m(x)e lx, 则二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qy =f(x)有形如y*=x k Q m(x)e lx的特解, 其中Q m(x)是与P m(x)同次的多项式, 而k按l不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.例1 求微分方程y-2y-3y=3x+1的一个特解.解这是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且函数f(x)是P m(x)e lx型(其中P m(x)=3x+1, l=0).与所给方程对应的齐次方程为y-2y-3y=0,它的特征方程为r2-2r-3=0.由于这里l=0不是特征方程的根, 所以应设特解为y*=b0x+b1.把它代入所给方程, 得-3b0x-2b0-3b1=3x+1,比较两端x同次幂的系数, 得⎩⎨⎧=--=-13233100b b b -3b 0=3, -2b 0-3b 1=1.由此求得b 0=-1, 311=b . 于是求得所给方程的一个特解为 31*+-=x y . 例2 求微分方程y-5y +6y =xe 2x的通解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )是P m (x )e lx型(其中P m (x )=x , l =2). 与所给方程对应的齐次方程为y -5y +6y =0,它的特征方程为r 2-5r +6=0.特征方程有两个实根r 1=2, r 2=3. 于是所给方程对应的齐次方程的通解为Y =C 1e 2x +C 2e 3x .由于l =2是特征方程的单根, 所以应设方程的特解为y *=x (b 0x +b 1)e 2x .把它代入所给方程, 得 -2b 0x +2b 0-b 1=x . 比较两端x 同次幂的系数, 得 ⎩⎨⎧=-=-0212100b b b -2b 0=1, 2b 0-b 1=0.由此求得210-=b , b 1=-1. 于是求得所给方程的一个特解为 x e x x y 2)121(*--=. 从而所给方程的通解为x x x e x x e C e C y 223221)2(21+-+=. 提示y *=x (b 0x +b 1)e 2x (b 0x 2+b 1x )e 2x[(b 0x 2+b 1x )e 2x][(2b 0x +b 1)(b 0x 2+b 1x )×2]e2x[(b 0x 2+b 1x )e 2x][2b 02(2b 0x b 1)×2(b 0x 2+b 1x )×22]e 2xy *5y *6y *[(b 0x 2+b 1x )e 2x]5[(b 0x 2+b 1x )e 2x]6[(b 0x 2+b 1x )e 2x][2b 02(2b 0x b 1)×2(b 0x 2+b 1x )×22]e 2x5[(2b 0x +b 1)(b 0x 2+b 1x )×2]e2x6(b 0x 2+b 1x )e 2x[2b 04(2b 0x b 1)5(2b 0x +b 1)]e 2x[2b 0x +2b 0b 1]e 2x方程y+py +qy =e lx[P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]的特解形式应用欧拉公式可得e lx [P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]]2)(2)([ ie e x P e e x P e x i x i nx i xi l x ωωωωλ---++=x i nl x i n l e x iP x P e x iP x P )()()]()([21)]()([21ωλωλ-+++-=x i x i e x P e x P )()()()(ωλωλ-++=,其中)(21)(i P P x P n l -=, )(21)(i P P x P n l +=. 而m =max{l , n }. 设方程y+py+qy =P (x )e(l +iw )x的特解为y 1*=x k Q m (x )e(l +iw )x,则)(1)(*ωλi m k e x Q x y -=必是方程)()(ωλi e x P qy y p y -=+'+''的特解, 其中k 按l iw 不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1. 于是方程y+py +qy =e lx[P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]的特解为x i m k x i m k e x Q x e x Q x y )()()()(*ωλωλ-++=)sin )(cos ()sin )(cos ([x i x x Q x i x x Q e x m m x k ωωωωλ-++= =x k e lx[R(1)m(x )cos wx +R(2)m(x )sin wx ].综上所述, 我们有如下结论:如果f (x )=e lx[P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ], 则二阶常系数非齐次线性微分方程y+py +qy =f (x )的特解可设为y *=x k e lx [R (1)m (x )cos wx +R (2)m (x )sin wx ],其中R(1)m(x )、R(2)m(x )是m 次多项式, m =max{l , n }, 而k 按l +i w (或l -iw )不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1. 例3 求微分方程y+y =x cos2x 的一个特解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,且f (x )属于e lx[P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]型(其中l =0, w =2, P l (x )=x , P n (x )=0）. 与所给方程对应的齐次方程为y +y =0,它的特征方程为r 2+1=0.由于这里l +iw =2i 不是特征方程的根, 所以应设特解为y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .把它代入所给方程, 得(-3ax -3b +4c )cos2x -(3cx +3d +4a )sin2x =x cos2x . 比较两端同类项的系数, 得 31-=a , b =0, c =0, 94=d . 于是求得一个特解为 x x x y 2sin 942cos 31*+-=. 提示y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .y *=a cos2x 2(ax +b )sin2x +c sin2x +2(cx +d )cos2x(2cx +a2d )cos2x +(2ax 2b c )sin2xy *=2c cos2x 2(2cx +a 2d )sin2x 2a sin2x +2(2ax 2b c )cos2x(4ax4b4c )cos2x(4cx 4a 4d )sin2xy *y *(3ax 3b 4c )cos2x (3cx 4a 3d )sin2x由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=+-=-0340304313d a c c b a 得31-=a , b =0, c =0, 94=d .（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
新三类二阶二次微分方程的解法及其通解公式
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株洲师范高等专科学校学报
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解二阶二次微分方程
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二阶常系数齐次线性微分方程通解
二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y''+py'+qy=f(x)，特解
1、当p^2-4q大于等于0时，r和k都是实数，y*=y1是方程的特解。
2、当p^2-4q小于0时，r=a+ib,k=a-ib(b≠0)是一对共轭复根，y*=1/2（y1+y2）是方程的实函数解。
扩展资料：
一阶非齐次线性微分方程的表达式为y'+p(x)y=Q(x)；二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y''+py'+qy=f(x)。
研究非齐次线性微分方程其实就是研究其解的问题，通解是由其对应的齐次方程的通解加上其一个特解组成。
一阶线性微分方程可分两类，一类是齐次形式的，它可以表示为
y'+p(x)y=0，另一类就是非齐次形式的，它可以表示为
y'+p(x)y=Q(x)。
齐次线性方程与非齐次方程比较一下对理解齐次与非齐次微分方程是有利的。
对于非齐次微分方程的解来讲，类似于线性方程解的结构结论还是成立的。
就是：非齐次微分方程的通解可以表示为齐次微分方程的通解加上一个非齐次方程的特解。
微分方程y'-y=0的通解
微分方程y'-y=0的通解
主要内容：
本文通过一阶微分方程分离变量法、一阶齐次微分方程和二阶常系数微分方程通解计算，介绍二阶常微分方程y''-y'=0通解的计算步骤。
※.分离变量法
由y''=y'有：
d(y')=y'dx
d(y')/y'=dx,两边同时积分有：
∫d(y')/y'=∫dx，即：
∫d(lny')= ∫dx。
lny'=x+C00,对方程变形有：
dy/dx=e^(x+C00)=C01e^x,
再次积分可有：
∫dy= C01∫e^xdx，即：
y=C01*∫e^xdx
=C1e^x+C2。
※.一阶齐次微分方程求解
因为(y')'-y'=0，按照一阶齐次微分方程公式有：
y'=e^(∫dx)*(∫0*e^(-∫dxdx+C0)，进一步化简有：
y'=C0e^x，继续对积分可有：
∫dy=∫C0 e^xdx，即：
y=C0*∫C0e^xdx
=C1e^x+C2。
※.二阶常系数微分方程求解
该微分方程的特征方程为r^2-r=0，即：r(r-1)=0，所以r1=1，r2=0。
此时二阶常系数微分方程的通解为：
y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)=C1e^x+C2。
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二阶微分方程通解公式
一、什么是二阶微分方程？
二阶微分方程是指包含未知函数、未知函数的一阶导数和二阶导数的方程。
一般形式可以表示为：
$$F(x,y,y',y'')=0$$
其中，$y$是未知函数，$y'$和$y''$分别表示$y$的一阶和二阶导数，$F$是关于$x,y,y',y''$的函数。
二、求解二阶微分方程的通解
对于二阶微分方程，我们有一个通解公式。
通解公式的形式一般为：$$y(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$$
其中，$C_1$和$C_2$是任意常数，$y_1(x)$和$y_2(x)$是方程的两个线性无关的特解。
三、特解的求解方法
1. 齐次线性微分方程的特解求解
齐次线性微分方程是指当方程右端为零时的情况，即$F(x,y,y',y'')=0$。
对于这种情况，我们可以使用特征方程求解特解。
特征方程的一般形式为：
$$ay''+by'+cy=0$$
其中，$a,b,c$为常数。
特征方程的解可以表示为：
$$y(x)=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$$
其中，$C_1$和$C_2$为任意常数，$r_1$和$r_2$为特征方程的两个根。
2. 非齐次线性微分方程的特解求解
非齐次线性微分方程是指当方程右端不为零时的情况，即$F(x,y,y',y'') \neq 0$。
对于这种情况，我们可以使用待定系数法求解特解。
待定系数法的步骤如下：
(1) 假设特解的形式，根据方程右端的具体形式选择相应的形式。
(2) 将特解代入原方程，确定待定系数的值。
(3) 将特解与齐次方程的通解相加，得到非齐次方程的通解。
四、二阶微分方程的应用
二阶微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：
1. 振动系统：对于简谐振动、阻尼振动和受迫振动等问题，可以通过求解二阶微分方程得到振动的运动规律。
2. 电路分析：二阶微分方程可以用于描述电路中的电流和电压的变化关系，如RLC电路的阻尼和振荡特性。
3. 物理运动：运动物体的加速度与作用力之间的关系可以用二阶微
分方程描述，如自由落体运动的加速度与重力之间的关系。
4. 经济增长模型：经济学中的一些增长模型可以转化为二阶微分方程，用于研究经济发展的规律。
总结：
二阶微分方程通解公式为$y(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$，其中$C_1$和$C_2$为任意常数，$y_1(x)$和$y_2(x)$为方程的两个线性无关的特解。
求解二阶微分方程的通解可以通过齐次线性微分方程的特解和非齐次线性微分方程的特解求解方法。
二阶微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用。
通过求解二阶微分方程，我们可以了解和研究各种现象和问题的变化规律。