2022届四川省绵阳市(三模)高三第三次诊断性考试理科数学试题及答案
四川省2024届绵阳三诊数学理数答案
绵阳市高中2021级第三次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．CBACBDDCBCDA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．101415．45π16．2三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）由列联表可计算()2210024124816 4.762 3.84140607228K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，········4分∴有95%的把握认为参数调试能够改变产品合格率．···························5分（2）根据题意，设备更新后的合格概率为0.8，淘汰品概率为0.2．········6分可以认为从生产线中抽出的6件产品是否合格是相互独立的，···············8分设X 表示这6件产品中淘汰品的件数，则(60.2)X B ，~，·······················9分可得：60166015(1)C 0.80.2C 0.80.2p P X =≤=⨯⨯+⨯⨯·································10分50.8(0.8 1.2)0.65536=⨯+=．······················································12分18．解：（1）设{}n a 的公差为d ，则1，1+d ，2+2d 成等比数列，·················1分∴2(1)1(22)d d +=⨯+，解得：d =1或d =−1，·····································3分而d =−1，不满足1a ，2a ，31a +成等比数列，∴d =1，·······················································································4分∴数列{}n a 的通项公式n a n =．······················································5分（2）令121112 31n n n n n n a b a b a b a b D --=++++=- ，·······························6分∴1112112131 31n n n n n n n a b a b a b a b a D b ++-++++++==+- ，·······················7分两式相减有：11111(2) 3n n n n n n a b b b b D D +-+-=++++=⋅ ，····················8分∴数列{}n b 的前n +1项和为23n ⋅，即123n n T +=⋅，·································9分又1112D a b ==，所以12b =，··························································10分∴112123n n n b b b b --++++=⋅ ，·····················································11分∴123n n T -=⋅．·············································································12分19．解：（1）过C 作CH ⊥1BB 交1BB 于H ，·············································1分∵C 在平面11ABB A 内的射影落在棱1BB 上，∴CH ⊥平面11ABB A ，又AB ⊂平面11ABB A ，···································2分∴CH AB ⊥，··············································································3分又1AB B C ⊥，且1B C CH C = ，····················································4分∴AB ⊥平面11BCC B ；···································································5分（2）∵1111112ABC A B C ABB A V S CH -=⋅，则32213CH ⨯==，·························6分过C 作1CQ AA ⊥交1AA 于Q ，连结HQ ，∵AA 1与CC 1则CQ =，又∵CH ⊥平面11ABB A ，则CH HQ ⊥，···········································7分在Rt △CHQ 中：222211HQ CQ CH =-=-=，则1HQ =，又1AA CH ⊥且1AA CQ ⊥，∴1AA ⊥平面CHQ ∴1AA HQ⊥又由（1）知：AB ⊥平面11BCC B ，∴AB ⊥1BB ，∴1AB AA ⊥，则四边形ABHQ 为矩形，∴1AB HQ ==，又四边形ABB 1A 1的面积为3，则BB 1=3，···········································8分分别以HB HQ HC ，，为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设(0)BH x x =>，∴(00)，，B x ，(10)A x ，，，1(301)C -，，，∵1AC =∴22221(3)1127AC x =+++=，解得2x =，············································9分∴B (2，0，0)，1(110)A -，，，(001)C ，，，∴1(310)A B =- ，，，(201)BC =- ，，，设平面1A BC 的法向量为n 1()x y z =，，，∴1113020A B n x y BC n x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，则n 1(132)=，，，·········易知平面11ABB A 的法向量n 2(001)=，，，·······································11分∴12cos 7n n <>=，，∴平面1A BC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值为147． (12)分20．解：（1）离心率3e 2=，则12b a =，①································1分当x =1，y =±||=2AB ，②····························3分联立①②得:21，a b ==，···························································4分故椭圆C 方程为：2214x y +=；·······················································5分（2）设过F ，A ，B 三点的圆的圆心为Q (0，n )，1122()()A x y B x y ，，，，又(0)F ，则22||=||QA QF，即222211(0)()(0(0)x y n n -+-=++-，·················6分又11(,)A x y 在椭圆2214x y +=上，故221114x y +=，带入上式化简得到：2113210y ny +-=，③··········································7分同理，根据22=QB QF 可以得到：2223210y ny +-=，④···················8分由③④可得：12,y y 是方程23210y ny +-=的两个根，则1213y y =-，·····9分设直线AB ：1x ty =+，联立方程：22141x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得：22(4)230t y ty ++-=，⑤················································10分故1223143y y t -==-+，解得：25t =，∴t =，···············································································11分∴直线AB的方程为：10x ±-=．············································12分21．解：（1）当1=a 时，x x x x x x f --+=2241ln )21()(，∴x x x f ln )1()(+='，则切线斜率1e +=k ，······································2分∴曲线)(x f 在(e ，(e)f )处的切线方程：)e )(1e (e 412-+=-x y ，···········4分即：0e e 43)1e (2=---+y x ，························································5分（2）证明方法一：因为)ln )(ln ()(a x a x x f -+='，·····························6分由()0f x '>得到a x >；由()0f x '<得到a x <<0．∴()f x 在)0(a ，单调递减，在)(∞+，a 单调递增．∴2min 45)()(a a f x f -==，·····························································7分要证105()(2ln )e 8a f x a -<-+，即证：2155(2ln )e 48a a a --<-+，只需证：212ln 20ea a a --->(12)a <<（*）·········································8分设)21(2ln e2)(12<<--=-x x x x g x ，则22311142142e ()e e x x x x x x x g x x x ------'=-=，···········································9分设23142()1(12)e x x x h x x --=-<<，则321121082(1)(4)()e e x x x x x x x x h x ---+--'==，易知：()h x 在(1，2)上单调递减，而(1)10h =>，(2)10h =-<，故必存在唯一)21(0，∈x ，使得0()0h x =，·······································10分∴当)1(0x x ，∈时，()0h x >，即()0g x '>；当)2(0，x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，∴()g x 在0(1)x ，上单调递增，在)2(0，x 上单调递减．························11分而0)1(=g ，022ln e8)2(>--=g ，∴()0g x >在(1，2)上恒成立，即（*）式成立，原命题得证．··············12分由()0f x '>得到a x >；由()0f x '<得到a x <<0．∴()f x 在)0(a ，单调递减，在)(∞+，a 单调递增．∴2min 45)()(a a f x f -==，·····························································7分要证105()(2ln )e 8a f x a -<-+，即证：2155(2ln )e 48a a a --<-+，只需证：122ln 0(12)e a a a a a -+-><<，················································8分设122ln ()(12)e x x xg x x x -+=-<<，即证()0g x >在x ∈(1，2)恒成立.则12221ln ()(12)e x x xg x x x --+'=+<<，令()()h x g x '=，则132(2)12ln ()(12)e x x xh x x x --+'=-<<，························9分又∵12x <<，∴132(2)12ln 00e x x xx --+<-<，，∴132(2)12ln ()0e x x xh x x --+'=-<在(1，2)上恒成立.······························10分∴()g x '在(1，2)单调递减，又8e(1+ln 2)(1)10(2)04eg g -+''=>=<，，∴存在0(12)x ∈，，使得()g x 在0(1)x ，单调递增，在0(2)x ，单调递减.又8e(2ln 2)(1)0(2)02eg g -+==>，，·············································11分∴()0g x >在x ∈(1，2)恒成立，得证．··········································12分由()0f x '>得到a x >；由()0f x '<得到a x <<0．∴()f x 在)0(a ，单调递减，在)(∞+，a 单调递增．∴2min 45)()(a a f x f -==，·····························································7分要证105()(2ln )e 8a f x a -<-+，即证：2155(2ln )e 48a a a --<-+，只需证：12(2ln )e 1(12)2a a a a -+<<<，，··············································8分令12(2ln )()e (12)2a a g a a a-+=<<，则13(2ln )32ln ()(12)2a a a a g a a a -+--'=<<，设()(2ln )32ln (12)h a a a a a =+--<<，··········································9分∴'2()3ln (12)h a a a a=+-<<，易知()h a '在(1，2)单调递增．∴''()(1)10h a h >=>，·································································10分∴()h a 在(1，2)单调递增，又(1)10(2)10h h =-<=>，，∴存在唯一0(12)a ∈，，使得当0(1)()0a a h a ∈<，，，()0()g a g a '<，单调递减，当0(2)()0a a h a ∈>，，，()0()g a g a '>，单调递增，···························11分又(22ln 2)e(1)1(2)18g g +==<，，∴()1g a <在(12)a ∈，恒成立，原不等式得证．·································12分22．（1）方法一：令0=x ，即0sin 3cos =+αα，解得33tan -=α，···························1分∴ππαk 265+=或Z k k ∈+=，ππα2611，···········································2分当ππαk 265+=时，4)23(3212=-⨯-+=y ；···································3分当ππαk 2611+=时，0233212=⨯--=y ，······································4分∴曲线C 1与y 轴的交点坐标为（0，4），（0，0）．·······························5分方法二：消参：由C 1的参数方程得：431)cos 3(sin )sin 3(cos )2(2222=+=-++=-+ααααy x ，··············1分即曲线C 1的普通方程为：4)2(22=-+y x ，······································2分令0=x ，得0=y 或4，·································································4分∴曲线C 1与y 轴的交点坐标为（0，4），（0，0）．·······························5分（2）方法一：将曲线C 1：4)2(22=-+y x 化为极坐标方程，得：θρsin 4=，···········································································6分联立C 1，C 2的极坐标方程⎪⎩⎪⎨⎧==+θρπθρsin 42)3sin(，得θsin 42)3sin(=+⋅πθ，从而12sin 2322cos 11)cos 3(sin sin =+-⇒=+θθθθθ，····················7分整理得：21)62sin(=-πθ，所以65662πππθ或=-，····························8分即26ππθ或=，············································································9分∴∠AOB 362πππ=-=．······························································10分方法二：将C 2的极坐标方程2)3sin(=+πθρ，化为直角坐标方程：043=-+y x ，················································6分∴C 2是过点（0,4）且倾斜角为32π的直线，······································7分不妨设B （0,4），则∠OBA 6π=，因为BO 为直径，所以∠BAO 2π=，····9分∴∠AOB 362πππ=-=．································································10分23.（1）由b a b a 33+=+得3)(3=⇒+=+ab abb a b a ，①·····························1分又由2)())(=-=---≥-+-=a b b x a x b x a x x f （，························3分且0>>b a ，所以2=-b a ，②······················································4分由①②得：1,3==b a ；··································································5分（2）t t t t bt at +-=+-=+-13333，································6分令20sin πθθ≤≤=，t ，则θcos 1=-t ，········································7分∴3sin(2sin cos 313πθθθ+=+=+-t t ，··································9分∴当6πθ=时，即41=t 时，bt at +-3的最大值为2．·····················10分。
四川省绵阳市高三第三次诊断性考试数学(理)试题(解析版)
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1==x x M ，{}x x x N ==2，则=⋃N M () A.{}1B.{}1,1- C.{}1,0 D.{}1,0,1- 【答案】D2.复数25-i 的共轭复数是() A.i +-2 B.i +2 C.i --2 D.i -2 【答案】A3.执行如右图所示的程序框图，如输入2=x ，则输出的值为()A.9B.9log 8C.5D.5log 8 【答案】B4.已知向量)1,3(-=a ，)2,1(-=b ，)1,2(=c .若),(R y x yc xb a ∈+=，则=+y x () A.2B.1C.0D.21 【答案】C 【解析】5.已知命题a x R x p ＞sin ,:∈∃，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围为() A.1＜a B.1≤a C.1=a D.1≥a6.已知]2,2[-∈a ，则函数12)(2++=ax x x f 有零点的概率为() A.21B.31C.41D.51【答案】A 【解析】7.若抛物线x y C 4:21=的焦点F 恰好是双曲线)0,0(1:2222＞＞b a b y a x C =-的右焦点，且1C 与2C 交点的连线过点F ，则双曲线2C 的离心率为() A.12+ B.122- C.223+ D.226+【答案】A 【解析】考点：抛物线、双曲线的几何性质.8.已知函数)0(sin )(＞w wx x f =的一段图像如图所示，△ABC 的顶点A 与坐标原点O 重合，B 是)(x f 的图像上一个最低点，C 在x 轴上，若内角C B A ,,所对边长为c b a ,,，且△ABC 的面积S 满足22212a c b S -+=，将)(x f 右移一个单位得到)(x g ，则)(x g 的表达式为()A.)2cos()(x x g π=B.)2cos()(x x g π-=C.)212sin()(+=x x g D.)212sin()(-=x x g【答案】B 【解析】试题分析：自点B 向x 轴作垂线，D 为垂足.9.为了了解小学生的作业负担，三名调研员对某校三年级1至5名进行学情调查，已知这5个班在同一层楼并按班号排列。
四川省绵阳市高三第三次诊断性考试数学理试题
四川省绵阳市高三第三次诊断性考试数学理试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数满足（是虚数单位），则 z =（）A. 1B. -1C.2D.2. 已知集合，，集合，则集合的子集个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 下表是某厂节能降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据，用最小二乘法得到关于的线性回归方程，则（）A. 0.25B. 0.35C. 0.45D. 0.554. 已知实数满足，则的最小值是（）A. 4B. 5C. 6D. 75. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的取值范围是（）A. B. C. D.6. 甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车，汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利.甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车，丁说：“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞，丙买的不是吉利.”若丁的猜测只对了一个，则甲、乙所买汽车的品牌分别是（）A. 吉利，奇瑞B. 吉利，传祺C. 奇瑞，吉利D. 奇瑞，传祺7. 如图1，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，是侧棱上靠近点的四等分点，.该四棱锥的俯视图如图2所示，则的大小是（）A. B. C. D.8. 在区间上随机取一个实数，则事件“”发生的概率是（）A. B. C. D.9. 双曲线的离心率是，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若的面积是1，则双曲线的实轴长是（）A. B. C. 1 D. 210. 已知圆，圆交于不同的，两点，给出下列结论：①；②；③，.其中正确结论的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 311. 中，，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是（）A. B. C. D.12. 对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中，的系数是__________．14. 奇函数的图象关于点对称，，则__________．15. 已知圆锥的高为3，侧面积为，若此圆锥内有一个体积为的球，则的最大值为__________．16. 如图，在中，，，的垂直平分线与分别交于两点，且，则__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的前项和满足：.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，数列的前项和为，试问当为何值时，最小？并求出最小值.18. 十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国.根据环保部门对某河流的每年污水排放量（单位：吨）的历史统计数据，得到如下频率分布表：将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立.（Ⅰ）求在未来3年里，至多1年污水排放量的概率；（Ⅱ）该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当时，没有影响；当时，经济损失为10万元；当时，经济损失为60万元.为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元；方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；方案三：不采取措施.试比较上述三种文案，哪种方案好，并请说明理由.19. 如图，在五面体中，棱底面，.底面是菱形，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值.20. 如图，椭圆的左、右焦点分别为，轴，直线交轴于点，，为椭圆上的动点，的面积的最大值为1.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作两条直线与椭圆分别交于，且使轴，如图，问四边形的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.21. 已知函数的两个极值点满足，且，其中为自然对数的底数.（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）求的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且在两种坐标系中取相同的长度单位.曲线的极坐标方程是.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线与轴正半轴及轴正半轴交于点，在第一象限内曲线上任取一点，求四边形面积的最大值.23. 选修4-5：设函数.（Ⅰ）若的最小值是4，求的值；（Ⅱ）若对于任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围.四川省绵阳市高三第三次诊断性考试数学理试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数满足（是虚数单位），则 z =（）A. 1B. -1C.2D.【答案】A、详解：由题设有，选A.点睛：本题考查复数的加、减、乘、除等四则运算，属于基础题.2. 已知集合，，集合，则集合的子集个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：为一元二次不等式的解集，可先计算出，求得为单元素集合，其子集的个数为2.详解：由题设有，故，所以的子集的个数为，选B.点睛：本题为集合与集合的交集运算，它们往往和一元二次不等式结合在一起考查，注意如果一个有限集中元素的个数为，那么其子集的个数为.3. 下表是某厂节能降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据，用最小二乘法得到关于的线性回归方程，则（）A. 0.25B. 0.35C. 0.45D. 0.55【答案】B【解析】分析：题设中给出了关于的线性回归方程中的一个参数，可利用计算.详解：由题设有，故，解得，选B.点睛：本题考查线性回归方程中系数的计算，注意线性回归方程表示的直线必过点.4. 已知实数满足，则的最小值是（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】分析：题设中给出的是二元一次不等式组，要求的是线性目标函数的最小值，可以先画出不等式组对应的可行域，再把目标函数看成一条动直线即可判断出目标函数的最小值.详解：不等式组对应的可行域如图所示：由当动直线过时，取最小值为6，选C.点睛：当题设条件给出的是关于的二元一次不等式组时，我们可考虑利用线性规划来求目标函数的最值.5. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：题设中的算法是结合的范围计算分段函数的函数值.详解：由题设有，当时，；当时，，从而当时，，选C.点睛：本题考察算法中的选择结构，属于基本题. 解题时注意判断的条件及其每个分支对应的函数形式.6. 甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车，汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利.甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车，丁说：“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞，丙买的不是吉利.”若丁的猜测只对了一个，则甲、乙所买汽车的品牌分别是（）A. 吉利，奇瑞B. 吉利，传祺C. 奇瑞，吉利D. 奇瑞，传祺【答案】A【解析】分析：因为丁的猜测只对了一个，所以我们从“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞”这两个判断着手就可以方便地解决问题.详解：因为丁的猜测只对了一个，所以“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞”这两个都是错误的.否则“甲买的不是奇瑞，乙买的不是奇瑞”或“甲买的是奇瑞，乙买的是奇瑞”是正确的，这与三人各买了一辆不同的品牌矛盾，“丙买的不是吉利”是正确的，所以乙买的是奇瑞，甲买的是吉利，选A.点睛：本题为逻辑问题，此类问题在解决时注意结合题设条件寻找关键判断.7. 如图1，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，是侧棱上靠近点的四等分点，.该四棱锥的俯视图如图2所示，则的大小是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据俯视图，计算的长度，然后在直角三角形中，计算的大小即可.详解：在俯视图中，因为，所以，而四边形为直角梯形，故为直角三角形斜边上的高且大小为，又，所以在直角三角形中，，从而，，选C.点睛：本题中所要求解的角是直角三角形内角的补角，该直角三角形的一个直角边已知，所以只要求出的长度即可，但该长度隐含在俯视图中，利用勾股定理和等积法可以求出其大小.8. 在区间上随机取一个实数，则事件“”发生的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据给出的三角不等式求出所在的区间，计算出该区间的长度再利用几何概率的计算方法计算概率.详解：，从而.而，所以，也就是，故所求概率为，选B.点睛：几何概型的概率计算关键是基本事件的测度的选取，通常是线段的长度、平面区域的面积或几何体的体积等.9. 双曲线的离心率是，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若的面积是1，则双曲线的实轴长是（）A. B. C. 1 D. 2【答案】D【解析】分析：利用点到直线的距离计算出，从而得到，再根据面积为1得到，最后结合离心率求得.详解：因为，，所以，故即，由，所以即，故，双曲线的实轴长为.点睛：在双曲线中有一个基本事实：“焦点到渐近线的距离为虚半轴长”，利用这个结论可以解决焦点到渐进线的距离问题.10. 已知圆，圆交于不同的，两点，给出下列结论：①；②；③，.其中正确结论的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】分析：根据两个圆的标准方程得到公共弦的方程为，两点均在该直线上，故其坐标满足①②.而的中点为直线与直线的交点，利用直线方程构成的方程组可以得到交点的坐标，从而得到③也是正确的.详解：公共弦的方程为，所以有，②正确；又，所以，①正确；的中点为直线与直线的交点，又，.由得，故有，③正确，综上，选D.点睛：当两圆相交时，公共弦的方程可由两个圆的方程相减得到，而且在解决圆的有关问题时，注意合理利用圆的几何性质简化计算.11. 中，，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据点在三角形内部（含边界）可以得到，再通过的解析式来求的最大值.详解：因为为三角形内（含边界）的动点，所以，从而.又，因为，所以的最大值为，故，选B.点睛：本题中向量的模长、数量积都是已知的，故以其为基底计算，其中的取值范围可以由的位置来确定.12. 对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：题设中给出的二元方程可以化简为，因为对每一个，总有三个不同的使得等式成立，因此我们需要研究的值域和的图像，两者均需以导数为工具来研究它们的单调性.详解：由题设有.令，.，当时，，在为单调增函数，所以的值域为.，当时，，当时，，当时，，所以当时，是减函数，当时，是增函数，当时，是减函数，所以的图像如图所示.因为关于的方程，对任意的总有三个不同的实数根，所以，也就是，选A.点睛：较为复杂函数的零点个数问题，均需以导数为工具研究函数的极值，从而刻画出函数的图像，最后数形结合考虑参数的取值范围.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中，的系数是__________．【答案】16【解析】分析：展开式中的系数取决于展开式中的和的系数，后者可以利用二项展开式的通项求得.详解：的展开式中，，故的系数分别为，从而的展开式中的系数为.点睛：本题考虑二项展开式中特定项的系数的计算，这类问题可利用多项式的乘法和二项展开式的通项来处理.14. 奇函数的图象关于点对称，，则__________．【答案】2【解析】分析：因为函数的图像具有两个对称中心，可通过解析式满足的条件推出函数为周期函数且周期为2，从而求出.详解：由题设有，从而有，为周期函数且周期为，所以 .点睛：一般地，定义在上的函数如果满足，（），那么的一个周期为.15. 已知圆锥的高为3，侧面积为，若此圆锥内有一个体积为的球，则的最大值为__________．【答案】详解：设圆锥的母线长，底面的半径为，则即，又，解得.当球的体积最大时，该球为圆锥的内切球，设内切球的半径为，则，故，所以.点睛：对于圆锥中的基本量的计算，可以利用轴截面来考虑，因为它集中了圆锥的高、底面的半径和圆锥的母线长.16. 如图，在中，，，的垂直平分线与分别交于两点，且，则__________．【答案】【解析】分析：连接，因为是中垂线，所以.在中，由正弦定理得到与角的关系.在直角三角形中，，两者结合可得的大小，从而在中利用正弦定理求得，最后在中利用余弦定理求得..详解：由题设，有，所以，故.又，所以，而，故，因此为等腰直角三角形，所以.在中，，所以，故，在中，.点睛：解三角形时，如果题设给出的几何量分散在不同的三角形中，我们就需要找出沟通这些不同三角形的几何量，如本题中的和，通过它们得到分散的几何量之间的关系.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的前项和满足：.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，数列的前项和为，试问当为何值时，最小？并求出最小值.【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）-10.【解析】分析：（Ⅰ）题设给出了与的关系，从该关系可以得到或以及，故可得的两种不同的通项；（Ⅱ）数列为等差数列，其前项和的最值与项的正负相关，故考虑项何时变号即可.详解：（Ⅰ）由已知，可得当时，，可解得，或，当时，由已知可得，两式相减得.若，则，此时数列的通项公式为.若，则，化简得，即此时数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故.∴综上所述，数列的通项公式为或.（Ⅱ）因为，故.设，则，显然是等差数列，由解得，∴当或，最小，最小值为.点睛：（1）一般地，如果知道，那么我们可以利用将前者转化为关于或的递推关系；（2）数列前项和的最值往往和项的正负有关，解题时注意合理使用.18. 十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国.根据环保部门对某河流的每年污水排放量（单位：吨）的历史统计数据，得到如下频率分布表：将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立.（Ⅰ）求在未来3年里，至多1年污水排放量的概率；（Ⅱ）该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当时，没有影响；当时，经济损失为10万元；当时，经济损失为60万元.为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元；方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；方案三：不采取措施.试比较上述三种文案，哪种方案好，并请说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）方案二.【解析】分析：（Ⅰ）根据给出的频率分布表可以得到每年排放量在吨到吨的概率为，而三年中之多有一年排放量满足题设要求的概率可由二项分布来计算.（Ⅱ）考虑不同方案导致的经济损失.方案一的经济损失为万元；方案二中，排列量在吨到吨的概率为，相应的经济损失为万，排放量不在此范围内的概率为，相应的经济损失为防治费万，故经济损失的数学期望为，同理可以计算出方案三的经济损失的数学期望为万，故方案二较好.详解：（Ⅰ）由题得，设在未来3年里，河流的污水排放量的年数为，则.设事件“在未来3年里，至多有一年污水排放量”为事件，则.∴在未来3年里，至多1年污水排放量的概率为.（Ⅱ）方案二好，理由如下：由题得，.用分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失.则万元.的分布列为：.的分布列为：.∴三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二最好.点睛：本题为统计与离散型随机变量的综合题，往往需要从频率分布表中得到随机事件发生的概率，注意常见的离散型随机变量的概率分布（如二项分布、超几何分布等）.另外，这类问题还涉及到不同方案的选择，我们往往通过数学期望或方差来决定方案的优劣.19. 如图，在五面体中，棱底面，.底面是菱形，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）要证明，可证明，它可由证得.（Ⅱ）取的中点为，可证，，从而建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，计算两个法向量夹角的余弦值则可得二面角的相应的余弦值.详解：（Ⅰ）在菱形中，，∵，，∴.又，面，∴.（Ⅱ）作的中点，则由题意知，∵，∴.如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，则，，，，∴，，.设平面的一个法向量为，则由，，得，令，则，，即，同理，设平面的一个法向量为，由，，得，令，则，，即，∴，即二面角的余弦值为.点睛：立体几何中二面角的余弦值的计算可以用空间向量来计算，注意对建立空间直角坐标系的合理性的证明（即要有两两垂直且交于一点的三条直线）.20. 如图，椭圆的左、右焦点分别为，轴，直线交轴于点，，为椭圆上的动点，的面积的最大值为1.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作两条直线与椭圆分别交于，且使轴，如图，问四边形的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）意味着通径的一半，最大面积为，所以，故椭圆的方程为.(Ⅱ)根据对称性，猜测定点必定在轴上，故可设，，则，，再设，根据三点共线可以得到，联立直线和椭圆的标准方程后消去，利用韦达定理可以得到，从而过定点，同理直线也过即两条直线交于定点.详解：（Ⅰ）设，由题意可得，即.∵是的中位线，且，∴，即，整理得.①又由题知，当在椭圆的上顶点时，的面积最大，∴，整理得，即，②联立①②可得，变形得，解得，进而.∴椭圆的方程式为.(Ⅱ)设，，则由对称性可知，.设直线与轴交于点，直线的方程为，联立，消去，得，∴，，由三点共线，即，将，代入整理得，即，从而，化简得，解得，于是直线的方程为， 故直线过定点.同理可得过定点，∴直线与的交点是定点，定点坐标为.点睛：（1）若椭圆的标准方程为，则通径长为；（2）圆锥曲线中的直线过定点问题，往往需要设出动直线方程，再把定点问题转为动点的横坐标或纵坐标应该满足的关系，然后联立方程用韦达定理把前述关系化简即可得到某些参数的关系或确定的值，也就是动直线过某定点. 21. 已知函数的两个极值点满足，且，其中为自然对数的底数.（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）求的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）由题设有，因为有两个极值点且，所以有两个不同解为，故，结合题设有，从而得到.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以，又，从而，其中，利用导数可以求出该函数的值域.详解：（Ⅰ），由题意知即为方程的两个根.由韦达定理：，所以且.令，则由可得，解得.（Ⅱ），∵，∴，由（Ⅰ）知，代入得，令，于是可得，故∴在上单调递减，∴.点睛：（1）因为函数在上导数是存在的，所以函数的极值点即为导数的零点，也是对应的一元二次方程的根，利用根分布就可以求出参数的取值范围.（2）复杂的多元函数的最值问题可以先消元处理，再利用导数分析函数的单调性从而求出函数的值域.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且在两种坐标系中取相同的长度单位.曲线的极坐标方程是.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线与轴正半轴及轴正半轴交于点，在第一象限内曲线上任取一点，求四边形面积的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）把整合成，再利用就可以得到曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）因为在椭圆上且在第一象限，故可设，从而所求面积可用的三角函数来表示，求出该函数的最大值即可.详解：（Ⅰ）由题可变形为，∵，，∴，∴.（Ⅱ）由已知有，，设，.于是由，由得，于是，∴四边形最大值.点睛：直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生以便转化.另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可用一个参数来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.23. 选修4-5：设函数.（Ⅰ）若的最小值是4，求的值；（Ⅱ）若对于任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）由绝对值不等式知，当且仅当异号时等号成立，所以，故；（Ⅱ）原不等式等价于关于的不等式在有解，所以，由此解出的范围即可.详解：（Ⅰ），由已知，知，解得.（Ⅱ）由题知，又是存在的，∴.即，变形得，∴，∴.点睛：（1）利用和可对含绝对值的不等式进行放缩，从而求得最值（注意验证取等号的条件）；（2）含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离.。
四川省绵阳市2023届高三三诊模拟考试理科数学模拟试题(含答案)
四川省绵阳市2023届高三三诊模拟考试理科数学
模拟试题
A ．9
B ．18
C 6．设，是双曲线的左，右焦点，点1F 2F 2
2
:13y C x -=
A ．
B 910
10．材料一：已知三角形三边长分别为其中
．这个公式被称为海伦2a b c p ++=
材料二：阿波罗尼奥斯（
①动点的轨迹是一段圆弧；
F ②存在符合条件的点，使得F ③三棱锥的体积的最大值为11B D EF -④设直线与平面1B F 1CDD C
λDF (1)当为何值时，
--
(2)当二面角F DC
C y 20．已知抛物线:
k=
则()(1,0,0,2cos120,2sin120C A ︒1(2,0,2),
D 则1113
(1,0,2),(,22CD AB ==- 111cos ,CD AB CD AB CD AB ⋅=⋅
，
离心率，则 sin sin e βα=2c m a a n ==
由于
，得2a c MF a c
-<<+(a +显然成立，
222()()2a c a c a c a +-=-<
5.4
17．(1)天；
(2)表格见解析，没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关；
(3)8.
）
则
，
，()
3,3,0A ()
0,0,2D C ∵，∴
AF AE λ=AF AE λ==
∴(33,33,62DF λλλ=-+-
设平面的一个法向量为FDC ()(3333n DF x λ⎧⋅=-++⎪。
2020-2021学年四川省绵阳市高考数学三诊试卷(理科)及答案解析
四川省绵阳市高考数学三诊试卷（理科））一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=i，则复数z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知U={x|y=}，M={y|y=2x，x≥1}，则∁U M=（）A．[1，2）B．（0，+∞）C．[2，+∞） D．（0，1]3．执行如图所示程序框图，则输出的n为（）A．4 B．6 C．7 D．84．“∃x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知x∈[﹣1，1]，y∈[0，2]，则点P（x，y）落在区域内的概率为（）A．B．C．D．6．甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第1名至第5名（没有重复名次）．已知甲、乙均未得到第1名，且乙不是最后一名，则5人的名次排列情况可能有（）A．27种 B．48种 C．54种 D．72种7．若函数f（x）同时满足以下三个性质；①f（x）的最小正周期为π；②对任意的x∈R，都有f（x﹣）=f（﹣x）；③f（x）在（，）上是减函数．则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）=cos（x+）B．f（x）=sin2x﹣cos2xC．f（x）=sinxcosx D．f（x）=sin2x+cos2x8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=AA1，P、Q分别是棱CD、CC1上的动点，如图．当BQ+QD1的长度取得最小值时，二面角B1﹣PQ﹣D1的余弦值的取值范围为（）A．[0，] B．[0，] C．[，] D．[，1]9．设M，N是抛物线y2=4x上分别位于x轴两侧的两个动点，且•=0，过点A（4，0）作MN的垂线与抛物线交于点P、Q两点，则四边形MPNQ面积的最小值为（）A．80 B．100 C．120 D．16010．该试题已被管理员删除二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．已知向量=（t，1）与=（4，t）共线且方向相同，则实数t=_______．12．若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为_______．13．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示．销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12日均销售量/桶480 440 400 360 320 280 240请根据以上数据分析，这个经营部定价在_______元/桶才能获得最大利润．14．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，1），B（0，4）．若直线2x﹣y+m=0上存在点P，使得PA=PB，则实数m的取值范围是_______．15．已知函数f（x）=，其中常数a＞0，给出下列结论：①f（x）是R上的奇函数；②当a≥4时，f（x﹣a2）≥f（x）对任意的x∈R恒成立；③f（x）的图象关于x=a和x=﹣a对称；∈（﹣∞，﹣2），∃x2∈（﹣∞，﹣1），使得f（x1）f（x2）=1，则a∈（，1）．④若对∀x1其中正确的结论有_______．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6个小题，共75分.16．体育课上，李老师对初三（1）班50名学生进行跳绳测试．现测得他们的成绩（单位：个）全部介于20到70之间，将这些成绩数据进行分组（第一组：（20，30]，第二组：（30，40]，…，第五组：（60，70]），并绘制成如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求成绩在第四组的人数和这50名同学跳绳成绩的中位数；（Ⅱ）从成绩在第一组和第五组的同学中随机抽出3名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．17．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且满足b=acosC+csinA．（1）求A的大小；（2）若cosB=，BC=5，=，求CD的长．18．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n满足S n=（）2（n∈N*）．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设T n为数列{}的前n项和，若T n≤λa n+1对∀n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．19．如图，图②为图①空间图形的主视图和侧视图，其中侧视图为正方形．在图①中，设平面BEF与平面ABCD相交于直线l．（I）求证：l⊥平面CDE；（II）在图①中，线段DE上是否存在点M，使得直线MC与平面BEF所成的角的正弦值等于？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由．20．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）直线y=kx+1与椭圆E交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴正半轴交于点C．是否存在实数k，使得△ABC的内切圆的圆心在y轴上？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．21．设函数g（x）=lnx，f（x）=g[λx+（1﹣λ）a]﹣λg（x），其中a，λ是正常数，且0＜λ＜1．（Ⅰ）求函数f（x）的最值；（Ⅱ）对于任意的正数m，是否存在正数x0，使不等式|﹣1|＜m成立？并说明理由；（Ⅲ）设λ1＞0，λ2＞0，且λ1+λ2=1，证明：对于任意正数a1，a2都有a1λ1a2λ2≤λ1a1+λ2a2．四川省绵阳市高考数学三诊试卷（理科））参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=i，则复数z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：∵z（1+i）=i，∴z（1+i）（1﹣i）=i（1﹣i），∴z=，则复数z所对应的点在第一象限．故选：A．2．已知U={x|y=}，M={y|y=2x，x≥1}，则∁U M=（）A．[1，2）B．（0，+∞）C．[2，+∞） D．（0，1]【考点】补集及其运算．【分析】分别求出关于U，M的范围，从而求出M的补集即可．【解答】解：U={x|y=}={x|x≥1}，M={y|y=2x，x≥1}={y|y≥2}，则∁U M=[1，2），故选：A．3．执行如图所示程序框图，则输出的n为（）A．4 B．6 C．7 D．8【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，依次写出每次循环得到的S，n的值，当S=3时，满足条件S≥3，退出循环，输出n的值为8．【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，n=1执行循环体后，S=1，n=2不满足条件S≥3，执行循环体后，S=log，n=3不满足条件S≥3，执行循环体后，S=2，n=4不满足条件S≥3，执行循环体后，S=log，n=5不满足条件S≥3，执行循环体后，S=log，n=6不满足条件S≥3，执行循环体后，S=log，n=7不满足条件S≥3，执行循环体后，S=log=3，n=8此时，满足条件S≥3，退出循环，输出n的值为8．故选：D．4．“∃x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由于“∃x＞0，使a+x＜b”与“a＜b”成立等价，即可判断出关系．【解答】解：“∃x＞0，使a+x＜b”⇔“a＜b”，∴“∃x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的充要条件．故选：C．5．已知x∈[﹣1，1]，y∈[0，2]，则点P（x，y）落在区域内的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点P（x，y）对应图形的面积，及满足条件“内”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为，则所求概率为．故选B．6．甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第1名至第5名（没有重复名次）．已知甲、乙均未得到第1名，且乙不是最后一名，则5人的名次排列情况可能有（）A．27种 B．48种 C．54种 D．72种【考点】计数原理的应用．【分析】由题意可知，第一名从丙、丁和戊中产生，最后一名从甲和（丙、丁和戊其中2名）产生，其它名次任意排，根据分步计数原理可得．【解答】解：由题意可知，第一名从丙、丁和戊中产生，最后一名从甲和（丙、丁和戊其中2名）产生，其它名次任意排，故有A31A31A33=54种，故选：C．7．若函数f（x）同时满足以下三个性质；①f（x）的最小正周期为π；②对任意的x∈R，都有f（x﹣）=f（﹣x）；③f（x）在（，）上是减函数．则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）=cos（x+）B．f（x）=sin2x﹣cos2xC．f（x）=sinxcosx D．f（x）=sin2x+cos2x【考点】正弦函数的图象．【分析】由三角函数的图象和性质，结合题意的三个性质，逐个排查即可．【解答】解：根据题意，函数应满足：①f（x）的最小正周期为π；②对任意的x∈R，都有f（x﹣）+f（﹣x）=0，用x+替换式中的x可得f（x﹣）+f（﹣x﹣）=0，即函数的图象关于点（﹣，0）对称；③f（x）在（，）上是减函数；对于A，f（x）=cos（x+）的周期为T=2π，不符合①，故不满足题意；对于B，f（x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），不符合②，故不满足题意；对于C，f（x）=sinxcosx=sin2x，不符合②，故不满足题意；对于D，f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），符合①②③，满足题意．故选：D．8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=AA1，P、Q分别是棱CD、CC1上的动点，如图．当BQ+QD1的长度取得最小值时，二面角B1﹣PQ﹣D1的余弦值的取值范围为（）A．[0，] B．[0，] C．[，] D．[，1]【考点】二面角的平面角及求法．【分析】根据BQ+QD1的长度取得最小值时，利用函数数学求出Q是CC1的中点，建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法结合函数的单调性进行求解即可．【解答】解：设AA1=1，则AB=BC=，设CQ=x，则C1Q=1﹣x，则BQ==，QD1==，则BQ+QD1=+=+，设M（x，0），N（0，﹣），K（1，），则BQ+QD1=+=+的几何意义是|MN|+|MK|的距离，则当三点M，N，K共线时，BQ+QD1的长度取得最小值，此时．得x=，即Q是CC1的中点，建立以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则Q（0，，），B1（，，0），设P（0，t，1），0≤t≤则=（﹣，0，），=（﹣，t﹣，1），则平面PQD1的法向量为=（1，0，0），设平面B1PQ的法向量为=（x，y，z），当t=时，二面角B1﹣PQ﹣D1的为直二面角，此时二面角B1﹣PQ﹣D1的余弦值为0，当0≤t＜时，由，则，即，令x=，则y=，z=4，即=（，，4），设面角B1﹣PQ﹣D1的余弦值cosθ，则cosθ===，∵0≤t＜，∴cosθ=为减函数，则当t=0时，函数取得最大值cosθ==，故二面角B1﹣PQ﹣D1的余弦值的取值范围为[0，]，故选：B．9．设M，N是抛物线y2=4x上分别位于x轴两侧的两个动点，且•=0，过点A（4，0）作MN的垂线与抛物线交于点P、Q两点，则四边形MPNQ面积的最小值为（）A．80 B．100 C．120 D．160【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线MN的方程为x=my+t，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合•=0，可求t的值，即可求出|MN|关于m的表达式，同理求出|PQ|关于m的表达式，于是S=|MN||PQ|，利用换元法求出S的最小值．【解答】解：设直线MN方程为x=my+t，联立方程组，消元得：y2﹣4my﹣4t=0，设M（，y1），N（，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4t．∵•=0，∴+y1y2=0，即y1y2=0（舍）或y1y2=﹣16．∴|MN|==．∵PQ⊥MN，且PQ经过点A（4，0），∴直线PQ的方程为x=﹣．联立方程组，消元得：y2+﹣16=0．设P（x3，y3），Q（x4，y4），则y3+y4=﹣，y3y4=﹣16．∴|PQ|==．∴四边形MPNQ面积S=|MN||PQ|==8=8，令m2+=t，则t≥2，∴S=8=8．∴S（t）在[2，+∞）上是增函数，∴当t=2时，S取得最小值8=80．故选：A．10．该试题已被管理员删除二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．已知向量=（t，1）与=（4，t）共线且方向相同，则实数t= 2 ．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线的坐标表示列式求得t值，结合向量同向进行取舍得答案．【解答】解：=（t，1）=（4，t），∵与共线，∴t2﹣4=0，解得t=±2．又与同向，∴t=2．故答案为：2．12．若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为﹣540 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】依据二项式系数和为2n，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出常数项．【解答】解：若的展开式中各项系数之和为2n=64，解得n=6，则展开式的常数项为=﹣540，故答案为：﹣540．13．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示．销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12日均销售量/桶480 440 400 360 320 280 240请根据以上数据分析，这个经营部定价在11.5 元/桶才能获得最大利润．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】通过表格可知销售单价每增加1元、日均销售量减少40桶，进而列出表达式，利用二次函数的简单性质即得结论．【解答】解：设每桶水的价格为（6+x）元，公司日利润y元，则：y=（6+x﹣5）﹣200，=﹣40x2+440x+280（0＜x＜13），∵﹣40＜0，∴当x=﹣=5.5时函数y有最大值，因此，每桶水的价格为11.5元，公司日利润最大，故答案为：11.5．14．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，1），B（0，4）．若直线2x﹣y+m=0上存在点P，使得PA=PB，则实数m的取值范围是﹣2≤m≤2．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】根据题意，设出点P（x，2x+m），代入PA=PB化简得5x2+4mx+m2﹣4=0，由△=16m2﹣4×5（m2﹣4）≥0，求出实数m的取值范围．【解答】解：设P（x，2x+m），∵PA=PB，∴4|PA|2=|PB|2，∴4x2+4（2x+m﹣1）2=x2+（2x+m﹣4）2，化简得5x2+4mx+m2﹣4=0，则△=16m2﹣4×5（m2﹣4）≥0，解得﹣2≤m≤2，即实数m的取值范围是﹣2≤m≤2．故答案为：．15．已知函数f（x）=，其中常数a＞0，给出下列结论：①f（x）是R上的奇函数；②当a≥4时，f（x﹣a2）≥f（x）对任意的x∈R恒成立；③f（x）的图象关于x=a和x=﹣a对称；∈（﹣∞，﹣2），∃x2∈（﹣∞，﹣1），使得f（x1）f（x2）=1，则a∈（，1）．④若对∀x1其中正确的结论有①．（写出所有正确结论的序号）【考点】分段函数的应用．【分析】①利用奇函数的定义进行判断；②函数在（﹣∞，﹣a），（a，+∞）上单调递减，在（﹣a，a）上单调递增，即可判断；③f（x）是R上的奇函数，f（x）的图象关于x=0对称，故不正确；）f（x2）=1不恒成立．④取a=1，得出f（x1【解答】解：①设x＜0，则﹣x＞0，f（x）=|x+a|﹣a，f（﹣x）=a﹣|﹣a﹣x|=a﹣|x+a|=﹣f（x），同理，设x＞0，则﹣x＜0，f（x）=a﹣|x+a|，f（﹣x）=|﹣x+a|﹣a=|x﹣a|﹣a=﹣f（x），∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）是R上的奇函数，正确；②函数在（﹣∞，﹣a），（a，+∞）上单调递减，在（﹣a，a）上单调递增，∴当a≥4时，f（x﹣a2）≥f（x）对任意的x∈R恒成立，不正确；③f（x）是R上的奇函数，f（x）的图象关于x=0对称，故不正确；∈（﹣∞，﹣2），f（x1）∈（0，+∞），x2∈（﹣∞，﹣1），f（x2）∈（﹣1，+∞），f（x1）f ④取a=1，∀x1（x2）=1不恒成立，故不正确．故答案为：①．三、解答题：本大题共6个小题，共75分.16．体育课上，李老师对初三（1）班50名学生进行跳绳测试．现测得他们的成绩（单位：个）全部介于20到70之间，将这些成绩数据进行分组（第一组：（20，30]，第二组：（30，40]，…，第五组：（60，70]），并绘制成如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求成绩在第四组的人数和这50名同学跳绳成绩的中位数；（Ⅱ）从成绩在第一组和第五组的同学中随机抽出3名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）由频率分布直方图先求出第四组的频率，由此能求出第四组的人数；利用频率分布直方图的性质能求出中位数．（II）先求出第一组有2人，第五组有4人，成绩在第一组和第五组的同学中随机抽出3名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为ξ，则ξ=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及E（ξ）．【解答】解：（I）由频率分布直方图得第四组的频率为：1﹣（0.004+0.016+0.04+0.008）×10=0.32，∴第四组的人数为0.32×50=16人，∵前2组的频率为（0.004+0.016）×10=0.2，第三组的频率为0.04×10=0.4，设中位数为x，则x=40+=47.5，∴中位数为47.5．（II）据题意，第一组有0.004×10×50=2人，第五组有0.008×10×50=4人，成绩在第一组和第五组的同学中随机抽出3名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为ξ，则ξ=0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2P∴E（ξ）==1．17．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且满足b=acosC+csinA．（1）求A的大小；（2）若cosB=，BC=5，=，求CD的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式得出tanA；（2）在△ABC中，使用正弦定理求出AB，得出DB，再在△BCD中使用余弦定理求出CD．【解答】解：（1）在△ABC中，∵b=acosC+csinA中，∴sinB=sinAcosC+sinCsinA，又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA，∴sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinCsinA，∴cosAsinC=sinCsinA，∵sinC≠0，∴cosA=sinA，∴tanA=1．∴．（2）∵cosB=，∴sinB==，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．在△ABC中，由正弦定理得，即，解得AB=7．∵=，∴BD=．在△BCD中，由余弦定理得CD2=BD2+BC2﹣2BC•BDcosB=1+25﹣2×=20．∴CD=2．18．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n满足S n=（）2（n∈N*）．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设T n为数列{}的前n项和，若T n≤λa n+1对∀n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）当n=1时，求得a1，S n=（）2（n∈N*）．化简求得a n﹣a n﹣1=2，数列{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列，求得通项公式；（Ⅱ），求出前n项和，比较λa n+1，判断其单调性，求出λ的最小值．【解答】（I）当n=1时，，解得a1=1，当n≥2时，，整理得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0∵a n＞0，∴a n+a n﹣1＞0∴a n﹣a n﹣1=2，数列{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a n=2n﹣1（II），∴；由题意得对∀n∈N*恒成立，令，则，即b n+1＜b n对∀n∈N*恒成立，即数列{b n}为单调递减数列，最大值为，∴，即λ的最小值为．19．如图，图②为图①空间图形的主视图和侧视图，其中侧视图为正方形．在图①中，设平面BEF与平面ABCD相交于直线l．（I）求证：l⊥平面CDE；（II）在图①中，线段DE上是否存在点M，使得直线MC与平面BEF所成的角的正弦值等于？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（I）根据主视图和侧视图可得AD⊥DE，AD⊥DC，故而AD⊥平面CDE，根据AD∥平面BCEF可得AD∥l，故l⊥平面CDE．（II）以以D为原点，以DA，DC，DE为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系，设M（0，0，m），求出平面BEF的法向量和的坐标．令|cos＜，＞|=解出m，即可判断M的位置．【解答】证明：（I）由侧视图可知四边形ADEF是正方形，∴AD∥EF，又∵EF⊂面BEF，AD⊄面BEF，∴AD∥面BEF又∵AD⊂平面ABCD，面ABCD∩面BEF=l，∴AD∥l，由主视图可知，AD⊥CD，由侧视图可知DE⊥AD，∵AD⊂平面CDE，CD⊂平面CDE，AD∩CD=D，∴AD⊥面CDE，∴l⊥面CDE．（II）以D为原点，以DA，DC，DE为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系，则A（1，0，0）、B（1，1，0）、C（0，2，0）、E（0，0，1）、F（1，0，1）．设M（0，0，m）（0≤m≤1），则，设平面BEF的一个法向量为=（x，y，z），则，=0，∴，令z=1，得．∴=2﹣m，||=，||=．∴cos＜＞===，解得或m=6（舍）∴当M为DE的靠近E的三等分点时直线MC与平面BEF所成的角的正弦值等于．20．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）直线y=kx+1与椭圆E交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴正半轴交于点C．是否存在实数k，使得△ABC的内切圆的圆心在y轴上？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为2，求出a，b，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）依题意知BC⊥AC，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（0，y0），则k BC==1，=﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（0，y0），则k BC==1，=﹣1，由此能求出存在满足条件的k值．【解答】解：（Ⅰ）设焦点F（c，0），∵椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，∴，∴a2=2c2，∵过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为2，∴=1，∵a2=b2+c2，∴a2=4，b2=2，∴椭圆E的方程为=1．（Ⅱ）依题意知BC⊥AC，且∠BCO=∠ACO=45°，于是直线BC的斜率k BC=1，直线AC的斜率k AC=﹣1．设A（x1，y1），B（x2，y2），C（0，y0），则k BC==1，=﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（0，y0），则k BC==1，=﹣1，联立，得x1+x2=k（x2﹣x1），①联立，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，∴，，②将①式平方，并②式代入，得4k2+1=2，或k2=0，∴存在满足条件的k值，分别为k=或k=0．21．设函数g（x）=lnx，f（x）=g[λx+（1﹣λ）a]﹣λg（x），其中a，λ是正常数，且0＜λ＜1．（Ⅰ）求函数f（x）的最值；（Ⅱ）对于任意的正数m，是否存在正数x0，使不等式|﹣1|＜m成立？并说明理由；（Ⅲ）设λ1＞0，λ2＞0，且λ1+λ2=1，证明：对于任意正数a1，a2都有a1λ1a2λ2≤λ1a1+λ2a2．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可；（Ⅱ），设φ（x）=ln（x+1）+（m﹣1）x，m＞0，x＞0，根据函数的单调性判断即可；（Ⅲ）先得到lnxλ+lna1﹣λ≤ln[λx+（1﹣λ）a]令λ1=λ，λ2=1﹣λ，a1=x，a2=a，代入整理即可证出结论．【解答】解：（I），∵a＞0，1﹣λ＞0，λ＞0，x＞0，∴当x＞a时，f′（x）＞0；0＜x＜a时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，∴f（x）有最小值f（a）=（1﹣λ）lna，没有最大值；（II）对∀m＞0，∃x0＞0使得成立，其理由如下：令h（x）=ln（x+1）﹣x，则h′（x）≤0，所以h（x）在[0，+∞）单调递减，于是可得当x＞0时，ln（x+1）﹣x＜0，，故，设φ（x）=ln（x+1）+（m﹣1）x，m＞0，x＞0，则，当m≥1时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，+∞）上单调递增，∴对于∀x0＞0均有φ（x0）＞φ（0）=0恒成立，当0＜m＜1时，由φ′（x）＞0可得，由φ′（x）＜0可得，于是φ（x）在是增函数，在是减函数，∴对于均有φ（x0）＞φ（0）=0恒成立，综上，对于任意的正数m，都存在正数x0满足条件；证明：（III）由（I）知，对∀x＞0，a＞0，0＜λ＜1时，都有ln[λx+（1﹣λ）a]﹣λlnx≥（1﹣λ）lna即lnxλ+lna1﹣λ≤ln[λx+（1﹣λ）a]令λ1=λ，λ2=1﹣λ，a1=x，a2=a，则，∵y=lnx在（0，+∞）上是增函数，∴．。
四川省绵阳市高中高三第三次诊断(数学理)
四川省绵阳市高中高三第三次诊断（数学理）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题） 两部分．第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．满分150分．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上．3．本试卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P （A + B ）= P （A ）+ P （B ）； S=4πR2 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）； 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么 V=34πR3n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n k kn n P P C k P --⋅⋅=)1()(．一、选择题：（1）1352lim22--∞→n n n n =（A ）-35（B ）-5（C ）32（D ）0（2）设a 、b 是非零实数，那么“a>b ”是“lg(a -b)>0”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）已知m 、n 是两条直线，α、β、γ是三个平面，下列命题正确的是（A ）若 m ∥α，n ∥α，则m ∥n （B ）若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n （C ）若 m ∥α，m ∥β，则α∥β（D ）若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β（4）已知集合A={i ，i2，i3，i4}（i 为虚数单位），给出下面四个命题：①若x ∈A ，y ∈A ，则x+y ∈A ；②若x ∈A ，y ∈A ，则x -y ∈A ；③若x ∈A ，y ∈A ，则xy ∈A ； ④若x ∈A ，y ∈A ，则y x∈A ．其中正确命题的个数是（A ）1个 （B ）2个（C ）3个（D ）4个（5）已知数列{an}的通项an=n2(7-n)（n ∈N *），则an 的最大值是（A ）36（B ）40（C ）48（D ）50（6）函数f (x)=2sin(x -2π)+|cosx| 的最小正周期为（A ）2π（B ）π （C ）2π（D ）4π（7）已知向量a 、b 不共线，若向量a +λb 与b +λa 的方向相反，则λ= （A ）1（B ）0（C ）-1（D ）±1（8）已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，A1C1到底面ABCD 的距离为2，若该四棱柱的八个顶点同在一个球面上，则B 、B1两点的球面距离为（A ）6π（B ）4π（C ）3π（D ）2π（9）某地为上海“世博会”招募了愿者，他们的编号分别是1号、2号、…、19号、若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的在另一组．那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是（A ）16（B ）21（C ）24（D ）90（10）把圆C ：2122=+y x 按向量a =(h ，-1)平移后得圆C1，若圆C1在不等式x+y+1≥0所确定的平面区域内，则h 的最小值为（A ）1 （B ）-1（C ）33（D ）33-（11）某同学在电脑上进行数学测试，共做十道选择题，答完第n （n=1，2，…，10）题电脑会自动显示前n 题的正确率f (n)，则下列关系中不可能成立的是 （A ）f (5) = 2f (10)（B ）f (1)=f (2)=…=f (8)>f (9)> f (10)（C ）f (1)<f (2)<f (3)<…<f (9)<f (10)（D ）f (8) < f (9)且f (9)= f (10)（12）已知函数)(x f (x ∈R ) 导函数)(x f '满足)()(x f x f <'，则当a>0时，)(a f 与)0(f e a之间的大小关系为（A ）)(a f <)0(f e a （B ）)(a f >)0(f e a（C ）)(a f =)0(f e a（D ）不能确定，与)(x f 或a 有关（13）设(3x5+2)(2x+1)10=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a15(x+2)15，则a0+a1+a2+…+a15=______．（14）若函数f (x) =ax （a>0且a ≠1）的反函数为y=)(1x f -，且)21(1-f =2，则f (-2)= ． （15）已知抛物线221xy =的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN|=2|NF|，则|MF|=________．（16）若对任意x ∈R ，y ∈R 有唯一确定的f (x ，y)与之对应，则称f (x ，y)为关于x ，y 的二元函数． 定义：同时满足下列性质的二元函数f (x ，y)为关于实数x ，y 的广义“距离”：（Ⅰ）非负性：f (x ，y)≥0； （Ⅱ）对称性：f (x ，y)= f (y ，x)；（Ⅲ）三角形不等式：f (x ，y)≤f (x ，z)+ f (z ，y)对任意的实数z 均成立． 给出下列二元函数：①f (x ，y)=(x -y)2；②f (x ，y)=|x -y|；③f (x ，y)=yx -；④f (x ，y)=|sin(x -y)|．则其中能够成为关于x ，y 的广义“距离”的函数编号是________．（写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A 、B 、C 成等差数列，b=1，记角A=x ，a+c=f (x)．（Ⅰ）当x ∈[6π，3π]时，求f (x)的取值范围；二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．（Ⅱ）若56)6(=-πx f ，求sin2x 的值．（18）（本小题满分12分）某商场准备在“五·一”期间举行促销活动．根据市场行情，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动．（Ⅰ）试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率；（Ⅱ）商场对选出的家电商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品成本价的基础上提高180元作为售价销售给顾客，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若中奖一次，就可以获得一次奖金．假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是21，且每次获奖时的奖金数额相同，请问：该商场应将每次中奖奖金数额至多定为多少元，此促销方案才能使自己不亏本？（19）（本小题满分12分）已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BB1C1C 与底面ABC 垂直，BB1=BC ，∠B1BC=60º，AB=AC ，M 是B1C1的中点．（Ⅰ）求证：AB1//平面A1CM ；（Ⅱ）若AB1与平面BB1C1C 所成的角为45º，求二面角B-AC-B1的大小．（本小题满分12分）AA 1B 11BCM已知非零向量列{a n}满足：a 1=（1，1）， 且a n =（xn ，yn ）=21（11---n n y x ，11--+n n y x ） （n>1，n ∈N ），令| a n |=bn ．（Ⅰ）证明：数列{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式；（Ⅱ）对n ∈N *，设cn=bnlog2bn ，试问是否存在正整数m ，使得cm<cm+1？若存在，请求出m 的最小值，若不存在，请说明理由．（21）（本小题满分12分）已知双曲线12222=-b x a y （a>0，b>0）的上、下顶点分别为A 、B ，一个焦点为F （0，c ）（c>0），两准线间的距离为1，|AF|、|AB|、|BF|成等差数列，过F 的直线交双曲线上支于M 、N 两点． （Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设λ=，问在y 轴上是否存在定点P ，使⊥)(PM λ-？若存在，求出所有这样的定点P 的坐标，若不存在，请说明理由．（22）（本小题满分14分）已知函数f (x)=ln(1+x)-ax 的图象在x=1处的切线与直线x +2y -1=0平行． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若方程f (x)=)3(41x m -在[2，4]上有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围；（参考数据：e=2.71 828…）（Ⅲ）设常数p ≥1，数列{an}满足)ln(1n n n a p a a -+=+（n ∈N *），a1=lnp ，求证：1+n a ≥n a ．参考解答一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．CBBBD CCDBA DA二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．-114．215．2 16．②④三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（I ）由已知 A 、B 、C 成等差数列，得2B=A+C ，∵ 在△ABC 中， A+B+C=π，于是解得3π=B ，32π=+C A ．∵ 在△ABC 中，C cB b A a sin sin sin ==，b=1，∴CA c a sin 3sin1sin 3sin1ππ+⋅=+)]32sin([sin 332A A -+=π]sin 32cos cos 32sin [sin 332A A A ππ-+=A A cos sin 3+=)6sin(2π+=A ，即)6sin(2)(π+=x x f ． …………………………………………………………6分由6π≤x ≤3π得3π≤x+6π≤2π，于是3≤)(x f ≤2，即f (x)的取值范围为[3，2] ． ………………………………………………8分（Ⅱ）∵56)66sin(2)6(=+-=-πππx x f ，即53sin =x ． ∴54sin 1cos 2±=-±=x x ． ……………………………………………………9分 若54cos -=x ，此时由2254-<-知x>43π，这与32π=+C A 矛盾．∴ x 为锐角，故54cos =x ． ……………………………………………………11分∴ 2524cos sin 22sin ==x x x ．……………………………………………………12分18．解：（I ）设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A ，则（法一）4237)(393415242514=++=C C C C C C A P ．（法二）42371)(3935=-=C C A P ．即选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为4237．…………………4分 （II ）设顾客抽奖的中奖次数为ξ，则ξ=0，1，2，3，于是81)211()211()211()0(=-⨯-⨯-==ξP ， 8321)211()1(213=⨯-==C P ξ， 83)21()211()2(223=⨯-==C P ξ，81212121)3(=⨯⨯==ξP ， ∴ 顾客中奖的数学期望5.1813832831810=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ．………………10分设商场将每次中奖的奖金数额定为x 元，则1.5x ≤180，解得x ≤1即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为1才能使自己不亏本．………………………………………………………………………………12分 19．解：（I ）证明：如图，连结AC1，交A1C∵ M 是中点，N 是AC1的中点， ∴ MN//AB1． ∵ MN ⊂平面A1CM ，∴ AB1//平面A1CM ．………………4分 （II ）作BC 的中点O ，连接AO 、B1O ． 由 AB=AC ，得AO ⊥BC ．∵ 侧面BB1C1C 与底面ABC 垂直，∴ AO ⊥面BB1C1C ， …………………………………………………………6分 ∴ ∠AB1O 是AB1与平面BB1C1C 所成的角，即∠AB1O=45º，从而AO=B1O ． 又∵ BB1=BC ，∠B1BC=60º，∴ △B1BC 是正三角形，故B1O ⊥BC ．以O 为原点，分别以OB 、OB1、OA 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系．设OA=a ，则A(0，0，a)，B1(0，a ，0)，C(a33-，0，0)，O(0，0，0)，1∴)033(a a --=，，，)00(a -=，，，)0(1a a AB -=，，．∵ OB1⊥平面ABC ，故1OB 是平面ABC 的一个法向量，设为n 1，则n 1=)00(1，，a OB =， 设平面AB1C 的法向量为n 2=(x2，y2，z2)，由⋅ n 2=0且⋅1AB n 2=0 得⎪⎩⎪⎨⎧=-=--，，00332222z y z x令y2=a ，得n 2=(3-a ，a ，a)．∴ cos<n 1，n 2>=55511||||2121=⨯=⋅⋅n n n n ，∴ <n 1，n 2>=55arccos．即二面角B-AC-B1的大小是55arccos． ……………………………………12分I ）证明：bn=|a n|=22nn y x +，bn+1=|a n+1|=)(21)2()2(22222121n n n n n n n n y x y x y x y x +=++-=+++，∴ 221=+n n b b （常数），∴ {bn}是等比数列，其中b1=|a 1|=2，公比22=q ，∴2212)22(2n n n b --=⋅=． ……………………………………………………5分（II ）∵22222222222log 2m m m m m c ---⋅-==，∴212)1(2122122)1(2m m m m m c -+-+⋅-=⋅+-=，于是22211222221m m m m m mc c --+⋅--⋅-=-)22221(22121⋅---=-m m m，…………………………………………8分∵)(02*21N ∈>-m m，∴ 要使cm+1>cm ，只须使2122221⋅->-m m ，即 )2(21m m ->-，解得414.42312122>+=-->m ．……………………………………………11分∵ m 是正整数， ∴ m ≥5，m ∈N *，∴ m 的最小值为5． …………………………………………………………12分 21．解：（I ）由已知|AF|=c -a ，AB=2a ，|BF|=c+a ，∴ 4a=(c -a)+(c+a)，即c=2a ．又∵ 122=c a ，于是可解得a=1，c=2，b2=c2-a2=3．∴ 双曲线方程为1322=-x y ．…………………………………………………3分（II ）设直线MN 的方程为y=kx+2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(0，m)． ①当k=0时，MN 的方程为y=2，于是由⎪⎩⎪⎨⎧=-=，，13222x y y 可解得M(-3，2)，N(3，2)，于是1=λ．∵ A(0，1)，B(，∴)20(-=，AB ．∵)23(m PM --=，，)23(m PN -=，， ∴)06(，-=-PM λ由-6×0+(-2)×0=0，知0)(=-⋅λ， 即对m ∈R ，)(λ-⊥恒成立，∴ 此时y 轴上所有的点都满足条件． …………………………………………6分②当k ≠0时，MN 的方程可整理为k y x 2-=． 于是由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=，，13222x y k y x 消去x ，并整理得(1-3k2)y2-4y+3k2+4=0．∵ Δ=(-4)2-4(1-3k2)(3k2+4)=9k4+9k2>0，0314221>-=+k y y ，031432221>-+=k k y y ，∴ 312<k ．………………………………………………………………………9分∵ MF =(-x1，2-y1)，=(-x2， y2-m)，=PM (x1，y1-m)，=(x2， y2-m)，∴ 21x x λ=-，)2(221-=-y y λ，∴2221--=y y λ． 又∵)20(-=，AB ，))((2121m y m y x x PN PM ----=-λλλ，，∴ 0)]()[2()(02121=----+-⋅m y m y x x λλ， 把2221--=y y λ代入得 0)(222211=-----m y y y m y ，整理得 04))(2(22121=+++-m y y m y y ，代入得 0431)2(431)43(2222=+-+--+m k m k k ，化简得6k2-12mk2=0，∵ k ≠0，∴21=m ．即P(0，21)． ∴ 当MN 与x 轴平行时，y 轴上所有的点都满足条件；当MN 不与x 轴平行时，满足条件的定点P 的坐标为 (0，21)．…………………………………12分22．解：（I ）∵ a x x f -+='11)(，∴ a f -='21)1(．由题知2121=-a ， 解得a=1．………………………………………………………………………3分 （II ）由（I ）有f(x)=ln(1+x)-x ，∴ 原方程可整理为4ln(1+x)-x=m ．令g(x)=4ln(1+x)-x ，得x x x x g +-=-+='13114)(，∴ 当3<x ≤4时0)(<'x g ，当2≤x<3时0)(>'x g ，0)3(='g ，即g(x)在[2，3]上是增函数，在[3，4]上是减函数，∴ 在x=3时g(x)有最大值4ln4-3．…………………………………………6分 ∵ g(2)=4ln3-2，g(4)=4ln5-4，∴ g(2)-g(4)=253ln 4+=2259ln 2)153ln 2(e =+． 由9e ≈24.46<25，于是0259ln 2<e ． ∴ g(2)<g(4)．∴ a 的取值范围为[)34ln 445ln 4--，．………………………………………9分 （III ）由f (x)=ln(1+x)-x （x>-1）有x x x x f +-=-+='1111)(，显然=')0(f 0，当x ∈(0，+∞)时，0)(<'x f ，当x ∈(-1，0)时，0)(>'x f ， ∴ f (x)在(-1，0)上是增函数，在[)∞+，0上是减函数．∴ f (x)在(-1，+∞)上有最大值f (0)，而f (0)=0，∴ 当x ∈(-1，+∞)时，f (x)≤0，因此ln(1+x)≤x ．(*)…………………11分 由已知有p>an ，即p -an>0，所以p -an -∵ an+1-an=ln(p -an)=ln(1+p -1-an)，∴ 由（*）中结论可得an+1-an ≤p -1-an ，即an+1≤p -1(n ∈N *)．∴ 当n ≥2时，1+n a -an=ln(p -an)≥ln[p -(p -1)]=0，即1+n a ≥an ．当n=1，a2=a1+ln(p -lnp)，∵ lnp=ln(1+p -1)≤p -1，∴ a2≥a1+ln[p -(p -1)]=a1，结论成立．∴对n∈N*，an+1≥an．………………………………………………………14分。
四川省绵阳市高三第三次诊断性考试数学(理)试题(解析版)
∴BC⊥AF．……………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）解：连结DG交AC于H，连结FH．
∵平面ACEF 平面ABCD，
由（Ⅰ）知BC 面ACEF，DH//BC，
∴DH 面ACEF．
即BC、DH分别是四棱锥B-ACEF、D-ACEF的高．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据已知条件，取AB的中点G，连结CG．得到DC//AG．
又推知四边形ADCG是平行四边形，得AD=CG=a，
得到AC⊥BC．进一步BC⊥平面ACEF．
∴四边形ADCG是平行四边形，得AD=CG=a，
∴CG= AB
∴AC⊥BC．
又∵二面角E-AC-B是直二面角，即平面ACEF 平面ABCD，
ξ
0
1
………………………………………………………11分
．………………………………………………………………12分
考点：茎叶图，离散型随机变量的分布列与数学期望.
18.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点 在单位平面上，∠xOA=α，∠AOB= ，且α∈( ， ).
（Ⅰ）若cos(α+ ) ，求 的值；
，就称A为“复活集”，给出下列结论：
①集合 是“复活集”；
②若 ，且 是“复活集”，则 ；
③若 ，则 不可能是“复活集”；
④若 ，则“复合集”A有且只有一个，且n= .
其中正确的结论是_____________.（填上你认为所有正确的结论序号）
【答案】①③④
【解析】
试题分析：易判断①是正确的；
三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（Ⅱ）过点A,B分别做x轴的垂线，垂足为C、D，记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2.设f(α)=S1+S2,求函数f(α)的最大值.
2022-2023学年四川省绵阳中学高三三诊模拟数学试题(二)
2022-2023学年四川省绵阳中学高三三诊模拟数学试题（二）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{}24x A x =≤∣，{}2log 2B xx =≤∣，则A B ⋂=（ ） A ．{}2x x ≤∣ B ．{02}x x <≤∣ C ．{}4xx ≤∣D ．{04}x x <≤∣2．若复数z 满足()1317i z i -=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知命貪()0:0,p x π∃∈，0sin 0x <命题:1q x ∀>，2log 0x >，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ∨⌝C ．()p q ⌝∨D ．p q ⌝∧4．世界人口变化情况的三帞统计图如图所示．下列结论中错误的是（ ）A ．从折线图能看出世界人口的总量还羞年份的增加而增加B ．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多C ．1957年到2050年各洲中北桊洲人口睇长速度最僈D ．2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平 5．函数()21sin 2f x x x x =-的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知1sin cos 5αα+=，其中,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan2α=（ ） A ．247-B ．43-C ．724D ．2477．已知直角三角形ABC ，90C ∠=︒，4AC =，3BC =，现将该三角形沿斜边AB 旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为（ ） A ．12π B ．16π C ．485πD ．243π8．某校迎新晩会上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校迎新晩会节目演出顺序的编排方案共有（ ）A ．36种B ．48种C ．72种D ．120种9．已知函数()()cos 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则（ ）A ．()cos 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 在8,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．若()f x θ+为偶函数，则()6k k πθπ=+∈Z10．第24届冬季奥林匹克运动会，于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底葅与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，且相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为1O ，2O ，3O ，4O ，5O ，若双曲线C 以1O ，3O 为焦点、以直线24O O 为一条渐近线，则C 的离心率为（ ）A ．29011 B ．29013 C ．1311 D ．12511．已知正方体1111ABCD A B C D 的棱长为a ，点E ，F ．G 分别为棱AB ，1AA ，11C D 的中点，下列结论中正确的个数是（ ）①过E ，F ，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形：②11B D ∥平面EFG ：③异面直线EF 与1BD 所成角的正切值为2；④四面体11ACB D 的体积等于等33a ．A ．1B ．2C ．3D ．412．已知实数0a >， 2.718e =，对任意()1,x ∞∈-+，不等式()e e 2ln x a ax a ⎡⎤≥++⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2,1e ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置） 13．已知平面向量()2,1a =-，(),2b k =-，若a b ∥，则32a b +=______．14．在ABC △中，已知120B =︒，AC =，2AB =则BC =______．15．已知抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线l 与C 交于A ，B 两点，则以线段AB 为直径的圆被y 轴所截得的弦长为______．16．已知四棱锥P ABCD -的各个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD是等腰梯形，AD BC ∥，3AB AD CD ===，3ABC π∠=，PA =M 是线段AB上一点，且AM AB λ=．过点M 作球O 的截面，所得截面圆面积的最小值为2π，则λ=______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17．已知数列{}n a 是首项114a =，公比14q =的等比数列，设()*1423log N n n b a n +=∈，数列{}n c 满足n n n c a b =．（1）证明：数列{}n b 成等差数列．（2）若2114n c m m ≤+-对一切正整数n 恒成立，求实数m 的収值范围． 18．为调查A ，B 两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B 的患者的康复时间，经整理得到如下数据：假设用频率估计概率，且只服用药物A 和只服用药物B 的患者是否康复相互独立．（1）若一名患者只服用药物A 治疗，估计此人能在14天内康复的概率；（2）从样本中只服用药物A 和只服用药物B 的患者中各随机抽取1人，以X 表示这2人中能在7天内康复的人数，求X 的分布列和数学期望：19．如图在棱锥P ABC -中，侧面PAC 是等边三角形，AB BC ⊥，PB PC =．（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若24AC AB ==，则在棱PA 上是否存在动点M ，使得平面MBC 与平面ABC 的夹角为60︒？若存在，试确定点M 的位置；若不存在，说明理由．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>离心率为1e ，短轴长为2，双曲线22:13y E x -=的离心率为2e ，且122e e =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交直线:2l x =-于点M ，交直线AB 于点N ，当MAN ∠最小时，求直线AB 的方程．21．已知函数()21ln 12f x x x x x =---．（1）求()f x 的单调区间； （2）若函数21()(2)(1)ln 12g x x a x a x =+-+--恰有两个零点，求正数a 的取值范圈． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答。
四川省绵阳市2022届高三数学第三次诊断性测试试题 理
四川省绵阳市2022届高三数学第三次诊断性测试试题 理一、选择题:本大题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1.设集合22{(,)|1},{(,)|,A x y x y B x y =+==x+y=1},那么A∩B 中元素的个数是 A.0B.1C.2D.32.复数z 满足(1)|,i z i -⋅=那么z= A.1-iB.1+iC.2-2iD.2+2i3.3log 21,x ⋅=那么4x= A.4B.63log 2.4CD.94.有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示: A 、B 、O 、AB 血型与COVID-19易感性存在关联，具体调查数据统计如下:根据以上调查数据，那么以下说法错误的选项是A.与非O 型血相比，O 型血人群对COVID-19相对不易感，风险较低B.与非A 型血相比，A 型血人群对COVID-19相对易感，风险较高C.与A 型血相比，非A 型血人群对COVID-19都不易感，没有风险D.与O 型血相比，B 型、AB 型血人群对COVID-19的易感性要高5.在二项式2()nx x-的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，那么展开式中常数项为 A. -360B. -160C.160D.3606.在△ABC 中，sinB=2sinAcosC, 那么△ABC 一定是 A.锐角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形7.两个单位向量a , b 的夹角为120°, 假设向量c = =2a -b , 那么a ·c =5.2A3.2B C.2 D.38.数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2022 年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图.假设将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y 轴上的双曲线22221(0,y x a b a b-=>>0)上支的一局部,且上焦点到上顶点的距离为2,到渐近线距离为那么此双曲线的离心率为A.2.B C.3.D 9.设函数21,0,()21,0,x x x f x x -⎧+>=⎨--<⎩那么以下结论错误的选项是A.函数f(x)的值域为RB.函数f(|x|)为偶函数C.函数f(x)为奇函数D.函数f(x)是定义域上的单调函数10.己知函数f(x)= sin(ωx + φ)( ω>0,02πϕ<<)的最小正周期为π,且关于(,0)8π-中心对称，那么以下结论正确的选项是A. f(1)< f(0)<f(2)B. f(0)< f(2)< f(1)C. f(2)< f(0)<f(1)D. f(2)<f(1)< f(0)11.x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，假设函数f(x)=x-[x], 那么函数()()x xg x f x e=+的零点个数为A.1B.2C.3D.412.在△ABC 中，∠C=90°, AB=2,AC =D 为AC 上的一点(不含端点),将△BCD 沿直线BD 折起，使点C 在平面ABD 上的射影O 在线段AB 上，那么线段OB 的取值范围是二、填空题:本大题共4小题，每题5分，共20分.13. cossin22αα-=那么sinα=____ 14.假设曲线f(x)=e xcosx-mx,在点(0, f(0))处的切线的倾斜角为3,4π那么实数m=_____. 15.12,F F 是椭圆C:22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，P 是椭圆C.上的一点,12120,F PF ︒∠=且12F PF 的面积为那么b=____.16.在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，那么该容器的高应为____.三、解答题:共70分。
四川省绵阳市2021-2022学年高三上学期第三次诊断性考试理科数学试题附答案解析
四川省绵阳市2022届高三第三次诊断性考试理科数学试题一、单选题1．若复数()()24z i i =--，则z =（ ）A ．76i--B ．76-+iC ．76i-D ．76i+2．已知集合{}21A x x =<，{}e 2xB x =<，则A B = （ ）A ．()1,1-B ．()1,ln 2-C ．()0,ln 2D ．()ln 2,13．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ）A ．0.005a =B ．估计这批产品该项质量指标的众数为45C ．估计这批产品该项质量指标的中位数为60D ．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在[)50,70的概率约为0.54．已知α，β是两个不同的平面，m 是一条直线，若//αβ，则“m α⊥”是“m β⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．已知函数()11xf x x-=+，则（ ）A ．()f x 在()1,-+∞上单调递增B ．()f x 的图象关于点()1,1-对称C ．()f x 为奇函数D ．()f x 的图象关于直线y x =对称6．若抛物线()220x py p =>的焦点为F ，直线:2pl y =+与抛物线交于A ，B 两点，且3AF BF =+，则AB =（ ）A．B C ．2D ．47．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位得到函数()y g x =的图象，则3g π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．12B ．1C D 8．在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则冬至所对的晷长为（ ）A ．11.5尺B ．13.5尺C ．12.5尺D ．14.5尺9．已知曲线322y x x x =-++在1x =处的切线为l ，若l 与222:250C x y ax a +-+-=e 相交，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()3,2-B ．()2,3-C ．()6,4-D ．()0,210．将5名支援某地区抗疫的医生分配到A 、B 、C 三所医院，要求每所医院至少安排1人，则其中甲、乙两医生恰分配到相同医院的概率为（ ）A ．12B ．625C ．716D ．4911．某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为正方形．将该几何体完全放置在一个球内，则满足条件的球的最小体积为（ ）A ．43πB ．8πC ．323πD12．在给出的ln 21<；②329e ln 32>；③0.2e ln 3>．三个不等式中，正确的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题13．已知双曲线2222:1x y C a b -=（其中0a >，0b >）的焦距为的斜率为2，则=a ______．14．在等边△ABC 中，4AB =，4BC BD = ，则AD CA ⋅=______．15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，15n n a S +=+，则5S =______．16．在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，已知点P 为棱1AA 上靠近于点1A 的三等分点，点Q 为棱CD 上一动点．若M 为平面1D PQ 与平面11ABB A 的公共点，N 为平面1D PQ 与平面ABCD 的公共点，且点M ，N 都在正方体的表面上，则由所有满足条件的点M ，N 构成的区域的面积之和为______．三、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知cos 2cos b A a B ⋅=⋅，且tan 3C =-．(1)求角B 的大小；(2)若3c =，求△ABC 的面积S ．18．随着科技进步，近来年，我国新能源汽车产业迅速发展．以下是中国汽车工业协会2022年2月公布的近六年我国新能源乘用车的年销售量数据：年份201620172018201920202021年份代码x123456新能源乘用车年销售y （万辆）5078126121137352(1)根据表中数据，求出y 关于x 的线性回归方程；（结果保留整数）(2)若用e nx y m =模型拟合y 与x 的关系，可得回归方程为 0.3337.71e x y =，经计算该模型和第（1）问中模型的2R （2R 为相关指数）分别为0.87和0.71，请分别利用这两个模型，求2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值；(3)你认为（2）中用哪个模型得到的预测值更可靠？请说明理由．参考数据：设ln u y =，其中ln i i u y =．yu()()61iii x x y y =--∑()()61i ii x x u u =--∑ 3.63e 5.94e 6.27e 144 4.78841 5.7037.71380528参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据()()123i i x y i n =⋅⋅⋅，，，，，，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆnii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．19．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，已知AD BC ∥，120BAD ∠=︒，22ABBC PA AD ====，PBC V 是以BC 为斜边的等腰直角三角形．(1)证明：PB ⊥平面PCD ；(2)求二面角B PA D --的平面角的余弦值．20．已知椭圆2222:1x y E a b +=（其中0a b >>，直线y x m =+与椭圆E 交于()11,A x y 、()22,B x y 两点，且12x x >，当0m =时，222a AB b =．(1)求椭圆E 的方程；(2)在直线143x =上是否存在点P ，使得AP AB =，AP AB ⊥，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．21．函数()()ln 11f x x x a x =-++．(1)若函数()f x 有2个零点，求实数a 的取值范围；(2)若函数()f x 在区间[]1,e 上最大值为m ，最小值为n ，求m n -的最小值．22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2,32,3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的方程为22x y x y +=+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线E的极坐标方程为θα=，0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的极坐标方程；(2)若E 与l 交于点A ，E 与C 交于点B ，求OA OB的取值范围．23．已知函数()f x x =．(1)求关于x 的不等式()()121f x f x x -+-≥+的解集；(2)求证：()()()()()()11f a b f a f b f a b f a f b ++≤++++．参考答案：1．D 【解析】由复数乘法运算求得z ，根据共轭复数定义可求得结果.【详解】()()2248676z i i i i i =--=-+=- ，76z i ∴=+.故选：D .2．B 【解析】【分析】由已知，分别求解出集合A 、集合B 的范围，然后直接求解交集即可.【详解】由已知，集合{}21A x x =<，即集合{}11A x x =-<<，集合{}2xB x e =<，即集合{}ln 2B x x =<，因为11ln ln 21ln e e -=<<=，所以A B = {}1ln 2x x -<<.故选：B.3．C 【解析】【分析】利用各组的频率之和为1，求得a 的值，判定A ；根据众数和中位数的概念判定BC ；根据频率估计概率值，从而判定D.【详解】()0.0350.0300.0200.010101a ++++⨯=，解得0.005a =，故A 正确；频率最大的一组为第二组，中间值为4050452+=，所以众数为45，故B 正确；质量指标大于等于60的有两组，频率之和为()0.0200.010100.30.5+⨯=<，所以60不是中位数，故C 错误；由于质量指标在[50,70)之间的频率之和为()0.030.02100.5+⨯=，可以近似认为从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在[)50,70的概率约为0.5，故D 正确.故选:C 4．C 【解析】【分析】由线面、面面的位置关系判断条件间的推出关系，再结合充分、必要性的定义即可得答案.【详解】由//αβ，若m α⊥则m β⊥，同理m β⊥也有m α⊥.所以“m α⊥”是“m β⊥”的充要条件.故选：C 5．B 【解析】【分析】把()f x 化简成2()11f x x=-+，进而得到()f x 是由2()g x x =先向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到的，然后根据()g x 的图象画出()f x 的图象，即可判断选项【详解】化简得1(1)22()1111x x f x x x x--++===-+++，()f x 的可以看作是函数2()g x x=先向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到，先画出2()g x x =的图象，再进行平移画出2()11f x x=-+的图象，明显可见，对于原函数2()g x x=，为奇函数，关于点(0,0)对称，且在(,0)-∞和(0,)+∞上为单调减函数，所以，()g x 经过平移后变成的()f x 在(1,)-+∞上单调递减，关于(1,1)-对称，非奇函数也非偶函数，所以，B 正确；A 、C 、D 错误.故选：B 6．A 【解析】【分析】设点A 和点B 的坐标，根据抛物线的定义，用点A 和点B 的坐标表示出AF 和BF ，再根据题中的等式求解两点横纵坐标差，最后运用两点间距离公式求解AB .【详解】设()()1122,,B x y A x y ， ，不妨设21y y >画简图如下：根据抛物线的定义，21,22p p AF y BF y =+=+又3AF BF =+ , 213y y ∴-=根据题意，点()()1122,,B x y A x y ，是直线:2pl y =+与抛物线的交点所以1122,,22p py y =+=+即 21x x -==所以AB =A 正确.故选：A.7．B 【解析】【分析】先根据函数的图象求出函数()y f x =的解析式，然后再根据函数3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的解析式求()g x ，最后求出3g π⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】由图象可知2A =，52433T πππ=-=，得24T ππω==，所以12ω=，所以，()2sin 2x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为223π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数()2sin 2x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，所以，22sin 3πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为π2ϕ<，所以6π=ϕ，所以()2sin 26x x f π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位得到函数()y g x =的图象，得()(2sin(2sin 32662x x g x f x πππ=-=-+=，所以，2sin 136g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故选：B 8．B 【解析】【分析】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为()0d d >,则立冬到冬至增加3d ,冬至到雨水减少4d ,冬至的晷长为x ,根据题意，结合等差数列的性质，列出方程组求解即得.【详解】解：设相邻两个节气晷长减少或增加的量为()0d d >,则立冬到冬至增加3d ,冬至到雨水减少4d ,冬至的晷长为x ,则49.510.53x d d x -=⎧⎨+=⎩,解得113.5d x =⎧⎨=⎩,故选：B.9．A 【解析】【分析】根据导数的几何意义求出切线l ，再根据圆心到直线的距离小于圆的半径列式可解得结果.【详解】因为2321y x x '=-+，所以切线l 的斜率为3212-+=，又1x =时，11123y =-++=，所以切点为(1,3)，所以切线l 的方程为32(1)y x -=-，即210x y -+=，由圆C ：222250x y ax a +-+-=得22()5x a y -+=，所以圆心为(,0)C a因为直线l 与圆C <|21|5a +<，解得32a -<<，所以实数a 的取值范围是：(3,2)-.故选：A 10．B【分析】由已知，5名医生分配到三所医院，每所医院至少安排1人，有“311++”和“221++”两种人数分配方法，分别计算两种分配方法的数目以及满足甲、乙两医生恰分配到相同医院的分配数目，然后加在一起，利用古典概型的公式即可完成求解.【详解】由已知，5名医生分配到三所医院，每所医院至少安排1人，则人数的分配方法有“311++”和“221++”两种，分别是：①，若采用“311++”时，共有31152122C C C 10A =g g 种分堆方法，再分配到三所医院，共有3113521322C C C A 60A =g g g 种分配方法，其中甲、乙两医生恰分配到相同医院，需要将甲、乙两医生放到3人组，并从其他3位医生中再选一位凑够3人，剩下的全排，共有1333C A 18=g 种分配方法；②，若采用“221++”时，共有22153122C C C 15A =g g 种分堆方法，再分配到三所医院，共有2213531322C C C A 90A =g g 种分配方法，其中甲、乙两医生恰分配到相同医院，需要将甲、乙两医生放到2人组，分配剩下的3人，为2131C C 3=g 种，然后再全排，共有213313C C A 18=g g 种分配方法；所以，5名医生分配到三所医院，每所医院至少安排1人，则人数的分配方法共有 6090150+=种分配方法，甲、乙两医生恰分配到相同医院的分配方法有181836+=种，所以甲、乙两医生恰分配到相同医院的概率为36615025P ==.故选：B.11．D 【解析】【分析】根据三视图可知，还原直观图，根据题意分析只需求出该几何体的外接球的体积即可得解.根据三视图可知，该几何体是由两个正四棱锥组成的组合体，这两个正四棱锥的底面都是边长为2的正方形，侧棱长都为2，如图：设正四棱锥的底面中心为O ，如图：因为2OB ===2PB =，所以PO =，同理OQ =，所以点O 到几何体的6个顶点的距离相等，所以点O 是该几何体的外接球的球心，若将该几何体完全放置在一个球内，则当该几何体内接于球时，球的体积最小，则只需求出该几何体的外接球的体积即可，343π⋅=..故选：D 12．C 【解析】【分析】令()ln xf x x=利用导数说明函数的单调性，即可得到()2f f <，从而判断①，再由()32e 3f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即可判断②，令()e 1x g x x =--，利用导数说明函数的单调性，即可得到0.2e 0.210-->，再由()()e 3f f >，即可判断③；【详解】解：令()ln x f x x=，则()21ln xf x x -'=，所以当0e x <<时()0f x '>，即()f x 在()0,e 上单调递增，当e x >时()0f x '<，即()f x 在()e,+∞上单调递减；因为02e <<<，所以()2f f <ln 22<12ln 22ln e 1>==，故①错误；因为32e 3=>，所以()32e 3f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即3232ln e ln 33e <，所以33223ln e e ln 3<，即329e ln 32>，故②正确；再令()e 1x g x x =--，则()e 1xg x '=-，所以当0x >是()0g x '>，即()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()00g x g >=，则()0.2g 0.2e 0.210=-->，即0.2e 1.2>，又10.4e >，e 3<，所以()()e 3f f >，即ln e ln 3e 3>，即1ln 3e 3>，所以ln 30.43>，即1.2ln 3>，所以0.2e 1.2ln 3>>，即0.2e ln 3>，故③正确；故选：C 13．2【解析】【分析】根据渐近线斜率求得2b a =，根据焦距求得c 的值，利用a ,b ,c 的平方关系得到关于a 的方程，求得a 的值.【详解】双曲线2222:1x y C a b-=的的渐进线方程为b y x a =±，∵一条渐近线的斜率为2，∴2ba=，即2b a =,又∵2c =∴c =，∴2222520c a b a =+==,∴2a =,故答案为：214．10-【解析】【分析】根据已知条件，利用向量的线性运算求得34AB ACAD += ，然后利用向量数量积的运算求得结论.【详解】由4BC BD = 得()4AC AB AD AB -=-，所以34AB AC AD += ，∴AD CA ⋅= 2311·344410442AB AC AC +⎛⎫-=-⨯⨯⨯+=- ⎪⎝⎭,故答案为：10-15．123【解析】【分析】由已知，根据给的15n n a S +=+，通过1n =，计算出2a ，2n ≥得到1,n n a a +之间的关系，然后构造等比数列，得到数列{}n a 的通项公式，然后求和即可.【详解】由已知，13a =，15n n a S +=+①，当1n =时，211558a S a =+=+=，当2n ≥时，15n n a S -=+②，①-②得：1n n n a a a +-=，整理得：12n n a a +=，即12(2)n na n a +=≥，所以数列{}n a 是以28a =为首项，公比为2的等比数列，所以221*22822(2,N )n n n n a a n n --+===≥∈g g ，所以13,12,2n n n a n +=⎧=⎨≥⎩*N n ∈，所以()3456532222123S =++++=.故答案为：123.16．192【解析】【分析】利用面面平行性质定理找到点M 、点N 的运动轨迹，然后各自计算其区域面积，然后加在一起即可.【详解】由已知得：平面1D PQ 与平面11ABB A 的交线与1D Q 平行，M 轨迹为平面1D PQ 与平面11ABB A 的交线在矩形11ABB A 内线段所构成的图形，当点Q 与点D 重合时，M 轨迹为线段1AA ，当点Q 从点D 沿DC 往点C 运动时，M 轨迹为以P 为一端点,另一端点落在线段AG 上的线段，其中G 为棱AB 上靠近于点B 的三等分点，综上，M 轨迹为线段1A P 以及三角形APG 及其内部，所以点M 构成区域的面积为12222APG S =⨯⨯=V ，同理可得N 轨迹为平面1D PQ 与平面ABCD 的交线在矩形ABCD 内线段所构成的图形，N 构成区域为梯形AGCD ,面积为(23)31522AGCD S +⨯==，所以M ，N 构成的区域的面积之和为1519222+=.故答案为：192.17．(1)4π(2)32【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角(的正弦)，进而利用同角三角函数的关系得到1tan tan 2A B =，再根据tan 3C =-，结合两角和的正切公式得到关于tan B 的方程，求得tan B 的值，同时注意根据已知条件判定角B 为锐角，得到角B 的值；（2）利用同角三角函数的关系，求得三个内角的正弦值，进而利用正弦定理求得三角形另外两边的长，利用三角形面积公式计算即得S ．(1)∵cos 2cos b A a B ⋅=⋅，∴sin cos 2sin cos B A A B =,∴sin sin cos 2cos A B A B =，即1tan tan 2A B =,又∵tan C ()()()23tan tan tan 2tan tan 31tan tan 1tan 12B A BA B A B A B B π+=-+=-+===---∴2tan tan 20B B +-=,解得tan 1B =或2-，又∵tan 30C =-<，∴角C 为钝角，∴角B 为锐角，∴tan 1B =，∴4B π=；(2)由（1）知，1tan 2A =，tan 1B =，及已知条件tan 3C =-,∴sin A =sin B =sin C =，又∵3c =，∴sin sin c A a C==sin sin c Bb C ==，∴13sin 22S ab C ==.18．(1)4824ˆyx =-(2)当回归方程为4824ˆyx =-时，2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值是312万辆；当回归方程为 0.3337.71e x y =时，2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值是380万辆．(3)由于相关指数越接近于1，两个变量之间的关系就强，相应的拟合程度也越好，所以 0.3337.71e x y =模型得到的预测值更可靠．【解析】【分析】（1）根据表中数据和参考数据，得出x ，y ，()()61i ii x xy y =--∑，()21nii x x =-∑的值，运用最小二乘法求回归直线方程即可；（2）根据回归方程，代入x 的值即可求出预测值；（3）相关指数越接近1，两变量的相关性越强，预测值越可靠．(1)由表中数据得，123456 3.56x +++++==，144y =，()()61841i ii x xy y =--=∑，()()()()()()()22222221234561nii x x x x xxxxxxxxxx=-=-+-+-+-+-+-∑()()()()()()2222221 3.52 3.53 3.54 3.55 3.56 3.5=-+-+-+-+-+-17.5=()()()121841ˆ4817.5niii ni i x x y y x xb==--∴=≈-=∑∑，ˆˆ14448 3.524a by x =-=-⨯=-∴ y 关于x 的线性回归方程为：4824ˆyx =-．(2)由（1）知，y 关于x 的线性回归方程为：4824ˆyx =-，当7x =时，2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值：487ˆ24312y =⨯-=（万辆）；对于回归方程 0.3337.71e x y =，当7x =时，2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值：0.337 3.63 2.31 5.9437.71e e e e 380y ⨯==⨯==（万辆）．(3)依题意： 0.3337.71e x y =模型和第（1）问中模型的2R （2R 为相关指数）分别为0.87和0.71，由于相关指数越接近于1，两个变量之间的关系就强，相应的拟合程度也越好，所以 0.3337.71e x y =模型得到的预测值更可靠．19．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）取M 为BC 的中点，连接PM 、AM ，先证AM BC ⊥、PM MA ⊥，然后再证明AM CD ∥，从而证明CD ⊥平面PBC ，找到CD PB ⊥，再根据PC PB ⊥，即可证明PB ⊥平面PCD.（2）以M 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别表示出对应点的坐标，然后计算平面P B A 、平面PAD 的法向量，通过计算两个法向量夹角的余弦值来确定二面角B PA D --的平面角的余弦值.(1)证明：设点M 为BC 的中点，连接PM 、AM ，因为PBC V 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，所以PM BC ⊥，因为2BC =，所以1PM =，因为120BAD ∠=︒，AD BC ∥，所以60ABC ∠=︒,在ABM V 中，22AB BM ==，可知AM =AM BC ⊥,又因为AD MC ∥，且1AD MC ==，所以四边形ADCM 为平行四边形，所以AM CD ∥，在PAM △中，222PA AM PM =+，所以PM MA ⊥，即PM CD ⊥，又因为CD BC ⊥，PM BC M = ，PM BC ⊂，平面PBC ，所以CD ⊥平面PBC ，因为PB ⊂平面PBC ，所以CD PB ⊥，又因为PC PB ⊥，PC CD C = ，PC CD ⊂，平面PCD ，所以PB ⊥平面PCD.(2)以M 为坐标原点，分别以MA ，MC ，MP 为x 轴，y 轴，z 轴为正方向建立空间直角坐标系，如图所示，空间直角坐标系M xyz -，由题意得：()0,0,0M，A ，(0,0,1)P ，(0,1,0)B -，D ，所以1)PA =- ，(0,1,1)PB =--，设平面P B A 的一个法向量为1(,,)n x y z =，得z y z -=--=⎪⎩，不妨设x =13,3)n =- ，同理可得平面PAD的一个法向量为2n =，所以121212·cos ,n n n n n n ===.由图可知，所求的二面角平面角为钝角，所以二面角B PA D --的平面角的余弦值为20．(1)22163x y +=(2)存在，且1m =-或1711-【解析】【分析】（1）设点A 在第一象限，由已知可得222a b =，可求得点A 的坐标，将点A 的坐标代入椭圆E 的方程，求出2a 、2b 的值，即可得出椭圆E 的方程；（2）将直线AB 的方程与椭圆E 的方程联立，由0∆>可得出实数m 的取值范围，列出韦达定理，分析可知214,3P y ⎛⎫⎪⎝⎭，再由1AP k =-，结合韦达定理可得出关于m 的方程，可求得m 的值，即可得出结论.(1)解：c e a =222a b c =+，所以，222a b =，当0m =时，2224a AB b==，此时A 、B 关于原点对称，直线AB 的方程为y x =，因为12x x >，则点A 在第一象限，则12OA ==，解得1x =A ，将点A 的坐标代入椭圆方程可得222212b b+=，所以，23b =，26a =，因此，椭圆E 的方程为22163x y +=.(2)解：联立2226x y y x m⎧+=⎨=+⎩可得2234260x mx m ++-=，由()2221612267280m m m ∆=--=->，可得33m -<<，由韦达定理可得1243m x x +=-，①，212263m x x -=，②在直线143x =上是否存在点P ，使得AP AB =，AP AB ⊥，则APB △是以BAP ∠为直角的等腰直角三角形，则214,3P y ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AP 的斜率为1212111141433AP y y x x k x x --===---，解得211423x x =-，③联立①②③可得21128170m m ++=，解得1m =-或1711-.所以，存在点P 满足题意，此时1m =-或1711-.21．(1)0a >(2)1e 1e ee 1---【解析】【分析】（1）利用导数求出函数()f x 的单调性和最小值，结合函数图象，由最小值小于0即可解得结果；（2）分类讨论a ，求出,m n ，得到m n -，再构造函数求出最小值即可得解.(1)()f x 的定义域为(0,)+∞，1()ln (1)ln f x x x a x a x'=+⋅-+=-，当0e a x <<时，()0f x '<，当e a x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,e )a 上为减函数，在(e ,)a +∞上为增函数，所以当e a x =时，()f x 取得最小值，为(e )e ln e (1)e 1a a a a f a =-++=1e a -，因为当x 趋近于0时，()f x 趋近于1，当x 趋近于正无穷时，()f x 也趋近于正无穷，所以要使函数()f x 有2个零点，则1e 0a -<，解得0a >.(2)()ln f x x a '=-，[1,e]x ∈，ln [0,1]x ∈，（i ）当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 在区间[1,e]上为增函数，所以(e)1e m f a ==-，(1)n f a ==-，所以(1e)1m n a -=-+，令()(1e)1p a a =-+，则函数()p a 在区间(,0]-∞上单调递减，所以()p a 的最小值为(0)1p =，即m n -的最小值为1.（ii ）当1a ≥时，()0f x '≤恒成立，函数()f x 在区间[1,e]上单调递减，所以(1)m f a ==-，(e)1e n f a ==-，所以(e 1)1m n a -=--，令()(e 1)1h a a =--，则函数()h a 在区间[1,)+∞上单调递增，所以()h a 的最小值为(1)e 2h =-，即m n -的最小值为e 2-.（iii ）当01a <<时，由()0f x '>，得e e a x <≤，由()0f x '<，得1e a x ≤<，所以函数()f x 在区间[1,e )a 上单调递减，在区间(e ,e]a 上单调递增，所以(e )1e a a n f ==-，①当11e 1a ≤<-时，(1)(e)(e 1)10f f a -=--≥，此时(1)m f a ==-，所以(1)(e )e 1a a m n f f a -=-=--，令()e 1a a a ϕ=--，则()e 10a a ϕ'=->，所以函数()a ϕ在区间1[,1)e 1-上单调递增，所以函数()a ϕ的最小值为1((1)e 2e 1ϕϕ<=--，所以m n -的最小值为11e 1e 111e ()e 1e e 1e 1e 1ϕ--=--=----.②当10e 1a <<-时，(1)(e)(e 1)10f f a -=--<，所以(1)1e m f a ==-，所以(e)(e )e e a a m n f f a -=-=-，令()e e a q a a =-，则()e e 0a q a '=-<，所以函数()q a 在区间1(0,)e 1-上单调递减，所以1e 11e ()()e e 1e 1q a q ->=---，综上所述：m n -的最小值为1e 1e ee 1---.【点睛】关键点点睛：（1）中，利用导数求出函数的最小值，利用最小值小于0求解是解题关键；（2）中，对a 分类讨论，利用导数求出,m n ，然后作差构造函数求最小值是解题关键.22．(1)403x y +-=；cos sin ρθθ=+.(2)24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）消去参数得到直线l 的普通方程，利用互化公式得到C 的极坐标方程；（2）先求得直线l 的极坐标方程，利用极坐标方程求得|OA |,|OB |关于角α的函数表达式，得到()()24431sin 23cos sin OA OB ααα==++，进而利用三角函数的性质求得取值范围.(1)直线l的参数方程为2,32,3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），∴43x y +=，、即直线l 的普通方程为403x y +-=；将极直互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线C 的方程为22x y x y +=+，得到2cos sin ρρθρθ=+，等价于cos sin ρθθ=+，这就是曲线C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程为：4cos sin 3ρθρθ+=，即()43cos sin ρθθ=+， E ：θα=，0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦与l 交于点A ，E 与C 交于点B ，()43cos sin OA αα=+，cos sin cos sin OB αααα=+=+，∴()()24431sin 23cos sin OAOB ααα==++，∵0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，∴[]20,απ∈，∴sin 2α的取值范围是[]0,1，∴1sin 2α+的取值范围是[]1,2，∴()431sin 2α+的取值范围是24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦,∴OA OB 的取值范围是24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.23．(1)2(,][4,)3-∞+∞ (2)证明见解析【解析】【分析】（1）由题意得121x x x -+-≥+，然后分1x <，12x ≤<和2x ≥三种情况求解即可，（2）令()(0)1x g x x x=≥+，利用导数可得()g x 在[0,)+∞上为增函数，又由于0a b a b +≥+≥，从而可()g x 的单调性可证得结论(1)由题意得121x x x -+-≥+，当1x <时，121x x x -+-≥+，解得23x ≤，当12x ≤<时，121x x x -+-≥+，解得x ∈∅，当2x ≥时，121x x x -+-≥+，解得4x ≥，综上，不等式的解集为2(,[4,)3-∞+∞(2)证明：令()(0)1x g x x x=≥+，则()()22(1)1()011x x g x x x +-'==>++，所以()g x 在[0,)+∞上为增函数，因为0a b a b +≥+≥，所以11a ba ba b a b ++≥++++，所以()()()()()()11f a b f a f b f a b f a f b ++≤++++。
四川省绵阳市2022届高三第三次诊断性考试理科数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知全集U=R ， 集合A=， 则{ x|x≤0 }等于A ．A∩B B ．A ∪BC ．∁U （A∩B ）D ．∁U （A ∪B ）2. 鲁班锁起源于中国古代建筑的榨卯结构．这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装，如图（1），这是一种常见的鲁班锁玩具，图（2）是该鲁班锁玩具的直观图．已知该鲁班锁玩具每条棱的长均为1，则该鲁班锁玩具的表面积为（）A．B．C．D．3. 已知函数的部分图像如图所示，则下列值最符合的是A．B．C．D．4. 关于函数的单调性的说法正确的是（ ）A ．在上是增函数B．在上是减函数C ．在区间上是增函数D ．在区间上是减函数5. 柯西不等式（Cauchy —SchwarzLnequality ）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时即时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（ ）A．B．C．D．6. 若正三棱锥的高为2，，其各顶点都在同一球面上，则该球的半径为（ ）A．B．C．D ．37. 已知函数满足，若，且，则的值为（ ）A．B．C．D．8. 若复数z 满足，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9.已知正实数满足，当取最小值时，下列说法正确的是（ ）A．B．C ．的最大值为1D ．的最小值为10. 已知是定义在R上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（ ）四川省绵阳市2022届高三第三次诊断性考试理科数学试题四川省绵阳市2022届高三第三次诊断性考试理科数学试题三、填空题四、解答题A ．是以2为周期的周期函数B ．点是函数的一个对称中心C．D ．函数有3个零点11.已知，且，则下列说法正确的是（ ）A．B．C．D．12.设函数的定义域为R ，是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ．，B ．是的极大值点C ．是的极小值点D ．是的极小值点13. 已知实数集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则__________．14. 在二项式的展开式中， 系数为有理数的项的个数是_____.15. 与空间四边形ABCD 四个顶点距离相等的平面共有________个．16. 已知函数在处的切线与y 轴垂直.（其中是自然对数的底数）(1)求实数的值；(2)设，，当时，求证：函数在的图象恒在函数的图象的上方.17.某校举行围棋友谊赛，甲、乙两名同学进行冠亚军决赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，规定：每一局比赛中胜方记1分，负方记0分，先得3分者获胜，比赛结束．(1)求进行3局比赛决出冠亚军的概率；(2)若甲以领先乙时，记表示比赛结束时还需要进行的局数，求的分布列及数学期望．18. 如图,设点为椭圆的右焦点，圆过且斜率为的直线交圆于两点，交椭圆于点两点，已知当时，（1）求椭圆的方程.（2）当时，求的面积.19. 已知中，角，，所对的边分别是，，，，.(1)若，证明：；(2)若为钝角，，求边上的高.20.已知数列满足，.(1)若，求数列的通项公式；(2)求使取得最小值时的值.21. 设函数，其中.（I）当时，求的单调区间与极值；（II）若是非负实数，且函数在上有唯一零点求的值.。
四川省绵阳市2022届高三第三次诊断性考试理科数学试题
一、单选题二、多选题1. 下列4个图从左到右位次是四位同学甲、乙、丙、丁的五能评价雷达图：在从他们四人中选一位发展较全面的学生，则应该选择A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁2. 已知圆C：与直线l ：，那么圆心C 到直线l 的距离为（ ）A．B．C．D ．13.曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．4. 已知是虚数单位，则复数A．B ．2C．D．5. 某校得到北京大学给的10个推荐名额现准备将这10个推荐名额分配给高三年级的6个班级(每班至少一个名额)，则高三（1）班恰好分到3个名额的概率为（ ）A．B．C．D．6. 设是函数的反函数，则使成立的x 的取值范围是（ ）A ．(，)B ．(，)C ．(0,)D ．(，0)7. 设 ， 则 “ ” 是 “ ” 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8. 已知复数满足，且有，求（ ）A．B．C．D ．都不对9. 关于函数，下列说法正确的是（ ）A．有两个极值点B ．的图像关于原点对称C．有两个零点D ．是的一个零点10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）四川省绵阳市2022届高三第三次诊断性考试理科数学试题四川省绵阳市2022届高三第三次诊断性考试理科数学试题三、填空题四、解答题A ．当m ＞0时，函数的图象在点处的切线的斜率为B ．当m ＝l 时，函数在上单调递减C ．当m ＝l时，函数的最小值为1D ．若对恒成立，则11.在下列区间中，函数一定存在零点的区间为（ ）A．B．C．D．12. 已知，其中（）且（），则下列结论一定正确的是（ ）A．B．C．D．13. 《中国制造2025》提出，坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针，通过“三步走”实现制造强国的战略目标：第一步，到2025年迈入制造强国行列；第二步，到2035年中国制造业整体达到世界制造强国阵营中等水平；第三步，到新中国成立一百年时，综合实力进入世界制造强国前列.今年，尽管受新冠疫情影响，但我国制造业在高科技领域仍显示出强劲的发展势头.某市质检部门对某新产品的某项质量指标随机抽取100件检测，由检测结果得到如图所示的频率分布直方图.由频率分布直方图可以认为，该产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.设表示从该种产品中随机抽取10件，其质量指标值位于的件数，则的数学期望____.（精确到0.01）注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得样本标准差；②若，则，.14.已知数列满足，若数列的前项和为，，则中所有元素的和为______.15. 函数的最大值为______.16. 抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6）.（1）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；（2）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；（3）连续抛掷5次，求恰好出现3次向上的数为奇数的概率.17. 已知函数，，其中．（1）若是函数的极值点，求实数的值．（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值范围．18. 在中国有一个习俗就是长辈给晚辈红包，就是希望晚辈能长命百岁，年年有今朝，岁岁有今日，也是非常好的一种祝福，一种祝愿，更是象征了一种喜庆，更能增加气氛的一个环节.有时小朋友的红包会被父母保存，防止红包钱乱花.(1)小明的老师随机调查了本校同学的红包保存情况，经统计其红包保存情况与年龄大小情况如下表：未交给父母保存红包交给父母保存红包总计年龄小于12岁105060年龄不小于12岁152540总计2575100根据表中数据，是否有的把握可以认为同学的红包保存情况与年龄大小有关？(2)2023年春节，小明的爷爷准备了4个大小完全相同的红包让小明抽取，其中只有两个红包里面有现金，且分别为100和200元，其余两个里面都是纸币大小的蓝色纸片.（i）若小明逐个抽取红包，求恰好2次就能全部判断红包情况的概率.（ii）若小明选择一个红包的概率为，选择两个红包的概率为，选择三个红包的概率为，全部拿走的概率为0.已知小明完全不知道四个红包里面的东西，只好根据自己的经验随机选择.记表示小明选完红包后所得的钱数.求的分布列及数学期望.附：.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.82819. 设为数列的前项和，已知．(1)求；(2)求证：．20. 已知等差数列的前项和为，且，数列的首项为，且满足.(1)求，；(2)求数列的通项公式.21. 已知双曲线C：经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A、B两点．(1)求双曲线C的方程．(2)若l过原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线PA、PB的斜率、均存在．求证：为定值．(3)若l过双曲线的右焦点，是否存在x轴上的点M（m，0），使得直线l绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由．。
四川省绵阳市2022届高三第三次诊断性考试理科数学试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题1. 若复数满足.则（ ）A．B．C．D．2. 函数的图象大致为（ ）A．B．C．D．3. 已知圆柱及其侧面展开图如图所示，则该圆柱的侧面积为（）．A．B ．7πC．D ．9π4. 如图所示，某桥是抛物线形拱桥，此时水面宽为4m ，经过一次暴雨后，水位上升了1m ，水面宽为3m ，则暴雨后的水面离桥拱顶的距离为（）A．B．C．D．5. 已知直线，平面，则下列能推出的条件是A ．，B ．，C．，D ．，6. 设集合，，则A．B．C．D．7. P 是双曲线的右支上一点，M 、N 分别是圆和上的点，则的最大值为 A ．6B ．7C ．8D ．98. 已知，，则（ ）A．B．C．D．9. 已知双曲线的左，右顶点分别为，，点P ，Q 是双曲线C上关于原点对称的两点（异于顶点），直线，，的斜率分别为，，，若，则下列说法正确的是（ ）四川省绵阳市2022届高三第三次诊断性考试理科数学试题(高频考点版)四川省绵阳市2022届高三第三次诊断性考试理科数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题A ．双曲线C的渐近线方程为B ．双曲线C的离心率为C ．为定值D ．的取值范围为10.已知，分别为双曲线：的左､右焦点，为双曲线的渐近线在第一象限部分上的一点，线段与双曲线交点为，且，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）A．B ．双曲线的离心率C．D．若的内心的横坐标为3，则双曲线的方程为11.已知数列满足（其中，q为非零常数，），则下列说法正确的是（ ）A ．若，则不是等比数列B ．若，则既是等差数列，也是等比数列C ．若，则是递减数列D ．若是递增数列，则12.抛物线的焦点为，为抛物线上的动点，若点不在抛物线上，且满足的最小值为，则的值可以为（ ）A．B ．3C．D．13. 已知，则________.14. 已知向量，满足，则实数的值为__．15. 已知函数，若，则的值为______.16.已知在中，．(1)求；(2)设，求边上的高．17. 已知椭圆经过点．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)设椭圆E 的左顶点为A ，直线与E 相交于M ，N 两点，直线AM与直线相交于点Q ．问：直线NQ 是否经过x 轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由．18. 某游乐场设置了迷宫游戏，有三个造型相同的门可供选择，参与者进入三个门后结果分别是：3分钟走出去，6分钟走出去，3分钟返回出发点．游戏规定：不重复进同一个门，若返回出发点立即重新选择，走出迷宫游戏结束．(1)求一名游戏参与者走出迷宫所用时间的期望；(2)甲、乙2人相约玩这个游戏．2人商量了两种方案，方案一：2人共同行动；方案二：2人分头行动．分别计算两种方案2人都走出迷宫所用时间和的期望．19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面为中点，与交于点的重心为.(1)求证：平面(2)若，求二面角的正弦值.20. 已知动圆过定点，且截轴所得的弦长为4.(1)求动圆圆心的轨迹方程；(2)若点，过点的直线交的轨迹于两点，求的最小值.21. 在中，=60°，c=a.(1)求sin C的值；(2)若a=7，求的面积.。
四川省绵阳市高三第三次诊断性考试数学理卷word版含答案
绵阳市高中2021级|第三次诊断性考试数学 (理 )本试卷分第I 卷 (选择题 )和第II 卷 (非选择题 )两局部 .第I 卷1至|2页 ,第II 卷 3至|4页 .总分值150分 .考试时间120分钟 .考前须知：1. 答题前 ,考生务必将自己的姓名、考号用毫米的黑色签字笔填写在答题卡上 , 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置 .2. 选择题使用25铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上 ,非选择题用毫米的 黑色签字笔书写在答题卡的对应框内 ,超出答题区域书写的答案无效j 在草稿纸、试题卷 上答题无效 .3. 考试结束后 ,将答题卡收回 .第I 卷 (选择题 ,共50分 )一、选择题：本大题共10小题 ,每题5分 ,共50分.在每题给出的四个选项中 ,只 有一项为哪一项符合题目要求的.1. 全集U =R,集合A ＝{x||x|≤1} ,B ={x|x≤1},那么B A C U )(等于 A. {x|x≤ -1} B. {x|x< -1} C. { -1} D. {x| -1<x|≤1}2. 设命题p:存在两个相交平面垂直于同一条直线;命题q ：012,2≥+-∈∀x x R x .那么下 列命题为真命题的是A q p ∧B )(q p ⌝∧C )()(q p ⌝∧⌝D q p ∧⌝)( 3. 曲线)0(12222>>=+b a b y a x 的渐近线方程为x y 22±= ,那么该曲线的离心率为 A26 B 2 C 36D 3 4. 函数f(x) =log 2x +x 的零点所在的一个区间是 A (0, 41) B (41, 21) C (21, 1) D (1,2) 5. 函数f(x) =x -sinx 的大致图象可能是6.一个多面体的直观图和三视图如下图 ,M 是AB 的 中点 ,一只蜜蜂在该几何体内自由飞舞 ,那么它飞入几 何体F -AMCD 内的概率为A31 B 21 C 32 D 43 7.如下图 ,在ΔABC 中,D 为BC 的中点 ,BP 丄DA,垂足为P,且BP =2,那么BP BC . =A. 2B. 4C. 8 D . 168. E 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥+1422y y x y x ,表示区域内的一点 ,过点E 的直线l 与圆M:(x -1)2 +y 2 =9相交于A,C 两点 ,过点E 与l 垂直的直线交圆M 于B 、D 两点 ,当AC 取最|小值时 ,四边形ABCD 的面积为A. 54B. 76C. 212D. 129. 如果正整数M 的各位数字均不为4,且各位数字之和为6,那么称M 为 "幸运数〞 ,那么四 位正整数中的 "幸运数〞共有A. 45个B. 41个C. 40个D. 38个10. 函数f 1(x) =x 2 -2|x| ,f 2(x) =x +2,设；2|)()(|2)()()(2121x f x f x f x f x f --+=,假设 a ,b ∈[ -2, 4],且当x 1,x 2)](,[21x x b a ≠∈时 ,2121)()(x x x g x g --恒成立 ,那么b -a 的最|大值为A. 6B. 4C. 3D. 2第II 卷 (非选择题 ,共100分 )二、填空题：本大题共5小题 ,每题5分 ,共25分.11. 假设复数z 满足z.i =1 +2i(i 为虚数单位) ,那么复数z =________ 12. 执行如下图的程序框图 ,那么输出的S =______.13. 3)4tan(=+πx ,那么sinxcosx 的值是______14. 直线y =k(x +1)(k>0)与抛物线C:y 2 =4x 相交于A,B 两点 ,O 、F 分别为C 的顶点和焦点 ,假设)(R FB OA ∈=λλ ,那么k =______15. 假设数列{a n }满足：对任意的n ∈N * ,只有有限个正整数m 使得a m <n 成立 ,记这样的m的个数为*)(n a ,假设将这些数从小到大排列 ,那么得到一个新数列{*)(n a } ,我们把它叫做数列{a n }的 "星数列〞.对于任意的n ∈N *, a n =n 2给出以下结论:①数列{na n }*的 "星数列〞的前100之和为5050; ②(a 5)* =2;③数列*)(n a 的前n 2项和为2n 2 -3n +1;④{a n }的 "星数列〞的 "星数列〞的通项公式为**))((n a ＝n 2以上结论正确的选项是_______.(请写出你认为正确的所有结论的序号 )三、解答題：本大題共6小题 ,共75分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小題总分值12分 )绵阳某汽车销售店以8万元A 辆的价格购进了某品牌的汽车.根据以往的销售分析得 出 ,当售价定为10万元/辆时 ,每年可销售100辆该品牌的汽车 ,当每辆的售价每提 高1千元时 ,年销售量就减少2辆.(I)假设要获得最|大年利润 ,售价应定为多少万元/辆 ?(II)该销售店为了提高销售业绩 ,推出了分期付款的促销活动.销售一辆该品 牌的汽车 ,假设一次性付款 ,其利润为2万元;假设分2期或3期付款 ,其利润为万 元；假设分4期或5期付款 ,其利润为3万元.该销售店对最|近分期付叙的10位购车 情况进行了统计 ,统计结果如下表.假设X 表示其中任意两辆的利润之差的绝|对值 ,求X 的分布列和数学期望.17. (本小题总分值12分 )如图 ,平面PAB 丄平面ABCD ,且四边形ABCD 是 矩形 ,AD : AB =3 : 2, ΔPAB 为等边三角形 ,F 是线段BC 上的点且满足CF =2BF.(I)证明：平面PAD 丄平面PAB(II)求直线DF 与平面PAD 的所成角的余弦值.18. (本小题总分值12分 )函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的局部图象如图示 ,将y =f(x)的图象向右平移4π个单位后得到函数y =f(x)的 图象.(I )求函数y =g(x)的解析式；(II )在ΔABC 中,它的三个内角满足1)3(2sin22++=+πC g B A ,且其外接圆半径R =2,求ΔABC 的面积的最|大值.19. (本小题总分值12分 ){a n }是公差为d 的等差数列 ,它的前n 项和为S n ,S 4 =2S 2 +8. (I)求公差d 的值;(II )假设a 1 =1 ,设T n 是数列}1{1+n n a a 的前n 项和,求使不等式)5(1812m m T n -≥对所有的n ∈N *恒成立的最|大正整数m 的值；(III)设b n =nna a +2/假设对任意的n ∈N * ,都有b n ≤b 4成立 ,求a 1的取值范围.20. (本小题总分值13分 )椭圆C: )0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23,以原点为圆心 ,椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线02=++y x 相切.A 、B 是椭圆的左右顶点 ,直线l 过B 点且与x 轴垂直 ,如图.(I)求椭圆C 的方程；(II)假设过点M(1,0)的直线与椭圆C 相交于P , Q 两点 ,如果92.53-≤≤-OQ OP (O 为坐标原点) ,且满足MQ PM t MQ PM .||||=+ ,求实数t 的取值范围.21. (本小题总分值14分)绵阳市高2021级|第三次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题 ,每题5分 ,共50分．BDACA BCDBC二、填空题：本大题共5小题 ,每题5分 ,共25分．11．2 -i 12．11 131415．②④三、解答题：本大题共6小题 ,共75分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解： (Ⅰ )设销售价格提高了x 万元/辆 ,年利润为y 万元．那么由题意得年销售量为100 -2x ,∴ y =x -8)(100 -2xx 2 +6x +200 = -0.2(x -15)2 +245． 故当x =15时 ,y 取最|大值． 此时售价为万元/辆．∴ 当售价为万元/辆时 ,年利润最|大．…………………………………4分(Ⅱ )1辆 ,2．5万元的有4辆 ,3万元的有5辆．∴P(X =0∴ X 的分布列为：X 的数学期望E(X) 00．∴ X ………………………………………………………12分17．解： (Ⅰ )取AB 的中点为O ,连接OP ,∵ △PAB 为等边三角形 , ∴ PO ⊥AB ．①又平面PAB ⊥平面ABCD , ∴ PO ⊥平面ABCD , ∴ PO ⊥AD ．∵ 四边形ABCD 是矩形 , ∴ AD ⊥AB ．②∵ AB 与PO 交于点O , 由①②得：AD ⊥平面PAB ,∴ 平面PAD ⊥平面PAB ． ……………………………………………………6分(Ⅱ )以AB 的中点O 为原点 ,OB 所在直线为x 轴 ,过O 平行于BC 所在直线为y 轴 ,OP 所在直线为z AB =2 ,AD =3 ,∴．∴DF =(2 , -2 ,0) ,AP ) ,AD=(0 ,3 ,0) ,可求得平面ADP的法向量假设直线DF与平面PAD的所成角为那么sinθ =|cos<n ,DF>| =|||||DF nDF n⋅=⋅,,θ为锐角,∴∴直线DF与平面的所成角的余弦值为…………………………12分18=4+126ππ（,解得ω =2．∵)1=,Z)∈,即ϕ3π．．)]43ππ+=,即函数的解析式为g(x) =sin(2………………………………6分(Ⅱ )∵ 2sin)3(++πC∴ 1 -cos(A +B) =1 +sin(2C +2π) ,∵ cos(A +B) = -cosC ,sin(2C +2π) =cos2C ,cosC =cos2C ,即cosC =2cos2C -1 ,整理得2cos2C -cosC -1 =0 ,解得1 (舍) ,∴=2R =4 ,解得于是由余弦定理得：cosC =12-=,∴ a2 +b2 =12 -ab≥2ab ,∴ ab≤4(当且仅当时等号成立)．∴ S△ABC3ab≤3．∴△ABC的面积的最|………………………………………12分19．解：(Ⅰ )设数列{a n}的公差为d ,∵ S4 =2S2 +8 ,即4a1 +6d =2(2a1 +d) +8 ,化简得：4d =8 ,解得d =2．……………………………………………………………………3分(∴∴ T n,∴化简得：m2 -5m -6≤0 ,解得：-1≤m≤6．∴ m的最|大正整数值为6．……………………………………………………8分(Ⅲ )由d =2 ,得a n =a1又∵,y<1y>1．∵n∈N* ,都有b n≤b4成立,∴解得-6<a1< -4 ,即a1( -6 , -4)．……………………………12分20．解：(Ⅰ )由题可得：,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线=0相切,解得b =1．再由a2 =b2 +c2 ,∴分(Ⅱ )当直线的斜率为0时,OP OQ⋅= -4∉[不成立；∵直线的斜率不为0 ,设P(x1 ,y1)(y1>0) ,Q(x2 ,y2)(y2<0) ,直线的方程可设为：x =my +1 ,2 +2my -3 =0∴而,OP OQ ⋅ =x 1x 35-≤22144m m -+≤111(1)1PM x y m y =-+=+⋅；(MQ x =又∵ ||||||||PM MQ tPM MQ t PM MQ +=⋅=⋅ ∴11||||tMQ PM m =+=m =43=43=∴ 当12≤m 2≤1时 ,解得4分21．解： (Ⅰ )∵ ()f x ' =2e ∴ 当2x -1>0 ,即x>12时∴ 当2x -1<0 ,即x<12时 ,()f x '<0 ,于是 (x)∵ m>0 ,∴ m +2>2．①m ≤12≤m +2 ,即0<m≤12 ,f (x)在(m ,12)上单减 ,在(12,m +2)上单增 ,∴f (x)min ②当m>12时 ,f (x)在[m ,m +2]上单调递增 ,∴∴ 综上所述：当0<m≤12 ,f (x)min =2e ；当 ,f (x)min…………………………………………………………………4分 (Ⅱ )构造F(x) =f (x) -g(x)(x>1) ,()F x '①当t ≤e 2-t ≥0 ,即F(x)在(1)+∞，上单增∴ F(1) =e 2 -2t≥0 ,即t ,②当t>e 2时,()F x '=0．∴ F(x)在上单减 lnt , +∞)上单增 ,∴ F(x)min ．∴不成立．∴ 综上所述：t 分(∴ ∴ ∴。
2022年4月四川省绵阳市普通高中2022届高三下学期4月三诊考试理科数学试题答案
秘密★启用前2022年4月四川省绵阳市普通高中2022届高三下学期4月三诊考试理科数学试题参考答案一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．DBCADABBABDC二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．13．2 4．10- 15．9116．192三、解答题：本大题共6小题,共70分．17．解：（1）∵cos 2cos b A a B ⋅=⋅,由正弦定理得B A A B cos sin 2cos sin ⋅=⋅,即A B tan 2tan =．…………………………………………………2分∵tan C =-3,A +B +C =π,∴2tan tan 3tan tan tan[()]tan()31tan tan tan 2A B B C A B A B A B B π+=-+=-+=-==--⋅-, 解得tan B =1或-2．∵tan C =-3,∴C 为钝角,B 为锐角,∴tan B =1,即4B π=．…………………………………………………6分（2）∵tan C =-3,∴sin C =cos C =．……………………………………8分 ∵A +B +C =π,∴A =π-(B +C ),∴sin sin[()]sin()sin cos cos sin A B C B C B C B C π=-+=+=⋅+⋅(=+．………10分 由正弦定理C c A a sin sin =,得sin sin c A a C ⋅=．∵c =3,∴3a ==∴△ABC的面积113sin 3222S ac B ===．………………………12分 18．解：（1）∵123456 3.506x +++++==,∴621()17.5i i x x =-=∑, ∴61621()()8414817.5()i i i i i x x y y b xx ==--==≈-∑∑．………………………………3分 又144y =,∴14448 3.524a y bx =-=-⨯=-．∴y 关于x 的线性回归方程为4824y x =-．……………………………5分（2）若利用线性回归模型,可得2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值为 48724312y =⨯-=（万辆）．……………………………………7分若利用模型0.3337.71e x y =,则ln 3.630.33y x =+,即 3.630.33e ˆx y+=． ∴2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值为 3.630.337 5.94e e 380y +⨯===（万辆）．………………………………9分（3）∵0.71<0.87,且2R 越大,反映残差平方和越小,模型的拟合效果越好, ∴用模型0.3337.71e x y =得到的预测值更可靠．………………………12分19．解：（1）证明：设点M 为BC 的中点,连接PM ,MA ．∴PM BC ⊥,且PM =1．在△ABM 中,可得MA ,且MA BC ⊥,又MC //AD ,且1MC AD ==,∴四边形AMCD 为矩形,∴AM //CD ．……………………………………………2分在△PAM 中,可得222PA AM PM =+,∴PM MA ⊥,即PM CD ⊥．又BC CD ⊥,PM BC M =,直线PM ,BC 均在平面PBC 内, ∴平面CD PBC ⊥．………………………………………………4分又⊆PB 平面PBC ,∴PB CD ⊥,又PB PC ⊥,PC CD C =,。
2024届四川省绵阳南山中学高三下学期4月三诊热身考试理数答案
2021级高三下期绵阳三诊热身考试试题理科数学参考答案一、单选题题号123456789101112答案AAABCCCBADAD二、填空题13．3014.315.2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭16.32π3三、解答题17．（Ⅰ）由题意，得()0.020.0320.018101a +++⨯=，解得0.03a =；又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20（克）而50个样本小球重量的平均值为：0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克；（Ⅱ）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2则1(3,)5X B ~.X 的可能取值为0、1、2、3，()03031464055125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2131448155125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2231412255125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3033141355125P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.X ∴的分布列为：X123P64125481251212511256448121301231251251251255EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=.（或者13355EX =⨯=）18．（1）设等差数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为d ，则41341S S d =+，即135S d +=，①因为21214S a a S =+=+，所以由2121S Sd =+，得124S d +=．②由①、②解得12,1S d ==，所以1nS n n=+，即()1n S n n =+，当2n ≥时，()()1112n n n a S S n n n n n -=-=+--=，当1n =时，112a S ==，上式也成立，所以()*2n a n n =∈N ，所以数列{}n a 是等差数列；（2）由（1）可知122242n n n n b a n nb a n n ++===++，当2n ≥时，()121121121126131n n n n n b b b n n b b b b b n n n n -----=⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=++，因为16b =满足上式，所以()()*12111211n b n n n n n ⎛⎫==-∈ ⎪++⎝⎭N ．1111111212112112223111n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．19．（1）证明：因为22AC BC ==，所以1BC =.因为23ACB π∠=，所以6ACB π∠=.在ABC 中，sin sin BC AC A B=，即12sin sin 6B π=，所以sin 1B =，即AB BC ⊥.又因为平面ABC ⊥平面11B C CB ，平面ABC ⋂平面11B C CB BC =，AB ⊂平面ABC ，所以AB ⊥平面11B C CB .又1B C ⊂平面11B C CB ，所以1AB B C ⊥，在1B BC 中，12B B =，1BC =，13CBB π∠=，所以2221112cos33B C B B BC B B BC π=+-⋅⋅=，即1B C =，所以1B C BC ⊥.而1AB B C ⊥，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，AB BC B ⋂=，所以1B C ⊥平面ABC .又1B C ⊂平面1ACB ，所以平面ABC ⊥平面1ACB .（2）以B 为坐标原点，以BC 为x 轴，BA 为y 轴，过B 作平面ABC 的垂线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：则)(0,0,0B ，)(1,0,0C，)(A ，1B C ⊥平面ABC，(1B ∴，(1BB ∴=，在三棱柱中，111////AA BB CC，可得(1C，(1A ，P 为BC 中点，1,0,02P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，11,2A P ⎛∴=- ⎝，(11,AB =，(1CB = ，设平面1ACB 的一个法向量为(),,n x y z =，则1100AB n CB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x ⎧+=⎪=，令x =1,0y z ==，则)n =，设直线1A P 与平面1ACB 所成角为θ，则111sin cos ,10A P n A P n A P n θ⋅=<>==⋅ ,故直线1A P 与平面1ACB所成角的正弦值为10.20．（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()()2221121x x x xf x ae a e ae e =+---'=+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(),-∞+∞单调递减.（ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(),ln x a ∈-∞-时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞-单调递减，在()ln ,a -+∞单调递增.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为()1ln 1ln f a a a-=-+.①当1a =时，由于()ln 0f a -=，故()f x 只有一个零点；②当()1,a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即()ln 0f a ->，故()f x 没有零点；③当()0,1a ∈时，11ln 0a a-+<，即()ln 0f a -<.又()()4222e 2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln 1n a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，则()()00000000e e 2e 20n n n nf n a a n n n =+-->->->.由于3ln 1ln a a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点.综上，a 的取值范围为()0,1.21．（1）将点(1,E -代入抛物线方程，可得(221p -=⨯，解得4p =，所以抛物线方程为28y x =，设直线AB 的方程为：()()()11220,,,,y kx m k A x y B x y =+≠，联立方程28y kx m y x=+⎧⎨=⎩，消去y 得()222280k x km x m +-+=，0k ≠，由韦达定理得212122282,km m x x x x k k-+==，根据抛物线定义：12282448kmAF BF x x k -+=++=+=，可得42m k k=-，此时()()()2222Δ2843226410km k m km k =--=-=->，解得1k <-或1k >，设AB 的中点坐标为()00,x y ，则12000222x x x y kx m k m+⎧==⎪⎨⎪=+=+⎩，可得AB 的垂直平分线方程为：()122y k m x k--=--，将42m k k=-代入整理得：()16y x k =--，故AB 的垂直平分线过定点()6,0．（2）由（1）可得AB =且点()6,0M 到直线AB的距离d =，则ABM的面积为12S AB d =⋅可得()222242461256121112561k k k S k k k k ⎛⎫-++ ⎪⎛⎫⎝⎭==+-- ⎪⎝⎭，设21=t k，设()()23101f t t t t t =+--<<，则()2123f t t t =-'-令()0f t '>，解得103t <<；令()0f t '<，解得113t <<；则()f t 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．所以当13t =时，ABM 的面积取最大值，此时23k =，即k =．此时2:3AB y x ⎫=-⎪⎭.22．（1）曲线1C 的极坐标方程为1sin 032πρθ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即sin cos 10ρθθ-=，则曲线1C10y -+=，把参数方程平方相加得曲线2C 的普通方程为224x y +=.（2）易知点P10y -+=π3，则曲线1C的参数方程为121x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），联立曲线1C 的参数方程与曲线2C的普通方程得230t -=，设点A ，B10y -+=上对应的参数分别为1t ，2t ，由韦达定理可得12t t +=，123t t =-，211212*********t t t t PA PB t t t t t t -+-=-=±=±.23．（1）因为22243x y z ++=，所以222(2)3x y z ++=，又x 、y 、z 均为正实数，由柯西不等式有()()()222222211122x y z x y z ++++≥⎦+⎤+⎡⎣，所以23x y z ++≤，当且仅当2x y z ==且22243x y z ++=，即21x y z ===时，等号成立，所以2x y z ++的最大值为3.（2）因为2y x =，0x >，0y >，0z >，由（1）得243x y z x z ++=+≤，即043x z <+≤，所以1143x z ≥+，当且仅当21x z ==时，等号成立，因为()1144559z x x z x z x z⎛⎫⎛⎫++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4x zz x=，即21z x ==时，等号成立，因为1143x z ≥+，所以11934x z x z+≥≥+，即113x z +≥．。
2022-2023学年四川省绵阳中学高三三诊模拟数学试题(二)(PDF版)
2022-2023学年四川省绵阳中学高三三诊模拟数学试题（二）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{}24x A x =≤∣，{}2log 2B xx =≤∣，则A B ⋂=（ ） A ．{}2x x ≤∣ B ．{02}x x <≤∣ C ．{}4xx ≤∣D ．{04}x x <≤∣2．若复数z 满足()1317i z i -=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知命貪()0:0,p x π∃∈，0sin 0x <命题:1q x ∀>，2log 0x >，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ∨⌝C ．()p q ⌝∨D ．p q ⌝∧4．世界人口变化情况的三帞统计图如图所示．下列结论中错误的是（ ）A ．从折线图能看出世界人口的总量还羞年份的增加而增加B ．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多C ．1957年到2050年各洲中北桊洲人口睇长速度最僈D ．2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平 5．函数()21sin 2f x x x x =-的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知1sin cos 5αα+=，其中,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan2α=（ ） A ．247-B ．43-C ．724D ．2477．已知直角三角形ABC ，90C ∠=︒，4AC =，3BC =，现将该三角形沿斜边AB 旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为（ ） A ．12π B ．16π C ．485πD ．243π8．某校迎新晩会上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校迎新晩会节目演出顺序的编排方案共有（ ）A ．36种B ．48种C ．72种D ．120种9．已知函数()()cos 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则（ ）A ．()cos 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 在8,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．若()f x θ+为偶函数，则()6k k πθπ=+∈Z10．第24届冬季奥林匹克运动会，于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底葅与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，且相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为1O ，2O ，3O ，4O ，5O ，若双曲线C 以1O ，3O 为焦点、以直线24O O 为一条渐近线，则C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．1311D ．12511．已知正方体1111ABCD A B C D 的棱长为a ，点E ，F ．G 分别为棱AB ，1AA ，11C D 的中点，下列结论中正确的个数是（ ）①过E ，F ，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形：②11B D ∥平面EFG ：③异面直线EF 与1BD ；④四面体11ACB D 的体积等于等33a ．A ．1B ．2C ．3D ．412．已知实数0a >， 2.718e =，对任意()1,x ∞∈-+，不等式()e e 2ln x a ax a ⎡⎤≥++⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2,1e ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置） 13．已知平面向量()2,1a =-，(),2b k =-，若a b ∥，则32a b +=______．14．在ABC △中，已知120B =︒，AC =，2AB =则BC =______．15．已知抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线l 与C 交于A ，B 两点，则以线段AB 为直径的圆被y 轴所截得的弦长为______．16．已知四棱锥P ABCD -的各个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD是等腰梯形，AD BC ∥，3AB AD CD ===，3ABC π∠=，PA =，M 是线段AB上一点，且AM AB λ=．过点M 作球O 的截面，所得截面圆面积的最小值为2π，则λ=______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17．已知数列{}n a 是首项114a =，公比14q =的等比数列，设()*1423log N n n b a n +=∈，数列{}n c 满足n n n c a b =．（1）证明：数列{}n b 成等差数列．（2）若2114n c m m ≤+-对一切正整数n 恒成立，求实数m 的収值范围． 18．为调查A ，B 两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B 的患者的康复时间，经整理得到如下数据：假设用频率估计概率，且只服用药物A 和只服用药物B 的患者是否康复相互独立．（1）若一名患者只服用药物A 治疗，估计此人能在14天内康复的概率；（2）从样本中只服用药物A 和只服用药物B 的患者中各随机抽取1人，以X 表示这2人中能在7天内康复的人数，求X 的分布列和数学期望：19．如图在棱锥P ABC -中，侧面PAC 是等边三角形，AB BC ⊥，PB PC =．（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若24AC AB ==，则在棱PA 上是否存在动点M ，使得平面MBC 与平面ABC 的夹角为60︒？若存在，试确定点M 的位置；若不存在，说明理由．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>离心率为1e ，短轴长为2，双曲线22:13y E x -=的离心率为2e ，且12e e =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交直线:2l x =-于点M ，交直线AB 于点N ，当MAN ∠最小时，求直线AB 的方程．21．已知函数()21ln 12f x x x x x =---．（1）求()f x 的单调区间； （2）若函数21()(2)(1)ln 12g x x a x a x =+-+--恰有两个零点，求正数a 的取值范圈． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答。
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绵阳市高中2019级第三次诊断性考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数()()2i 4i z =--，则z 的共轭复数为（ ） A ．76i --B ．76i -+C ．76i -D ．76i +2．已知集合{}21A x x <，{}2x B x e =<，则A B ⋂=（ ） A ．()1,1-B ．()1,ln 2-C ．()0,ln 2D ．()ln 2,13．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ）A ．0.005a =B ．估计这批产品该项质量指标的众数为45C ．估计这批产品该项质量指标的中位数为60D ．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在[)50,70的概率约为0.54．已知α，β是两个不同的平面，m 是一条直线，若αβ∥，则“m α⊥”是“m β⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．已知函数()11xf x x -=+，则（ ）A ．()f x 在()1,-+∞上单调递增B ．()f x 的图象关于点()1,1-对称C ．()f x 为奇函数D ．()f x 的图象关于直线y x =对称6．若抛物线()220x py p =>的焦点为F ，直线:320l y x y p =-+=与抛物线交于A ，B 两点，且3AF BF =+，则AB =（ ） A ．23B ．3C ．2D ．47．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位得到函数()y g x =的图象，则3g π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．12B ．1C 2D 38．在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则冬至所对的晷长为（ ）A ．11.5尺B ．13.5尺C ．12.5尺D ．14.5尺9．已知曲线322y x x x =-++在1x =处的切线为l ，若l 与222:250C x y ax a +-+-=相切，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()3,2-B ．()2,3-C ．()6,4-D ．()0,210．将5名支援某地区抗疫的医生分配到A 、B 、C 三所医院，要求每所医院至少安排1人，则其中甲、乙两医生恰分配到相同医院的概率为（ ）A ．12B ．625C ．716D ．4911．某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为正方形．将该几何体完全放置在一个球内，则满足条件的球的最小体积为（ ）A ．43πB ．8πC ．323π D ．82312．在给出的①ln 21e <；②329ln 32e >；③0.2ln 3e >．三个不等式中，正确的个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线2222:1x y C a b-=（其中0a >，0b >）的焦距为5渐近线的斜率为2，则a =______．14．在等边△ABC 中，4AB =，4BC BD =，则AD CA ⋅=______．15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，15n n a S +=+，则5S =______． 16．在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，已知点P 为棱1AA 上靠近于点1A 的三等分点，点Q 为棱CD 上一动点．若M 为平面1D PQ 与平面11ABB A 的公共点，N 为平面1D PQ 与平面ABCD 的公共点，且点M ，N 都在正方体的表面上，则由所有满足条件的点M ，N 构成的区域的面积之和为______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知cos 2cos b A a B ⋅=⋅，且tan 3C =-．（1）求角B 的大小；（2）若3c =，求△ABC 的面积S ． 18．（12分）随着科技进步，近来年，我国新能源汽车产业迅速发展．以下是中国汽车工业协会2022年2月公布的近六年我国新能源乘用车的年销售量数据：年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码x 1 2 3 4 5 新能源乘用车年销售y（万辆）5078126121137（1）根据表中数据，求出y 关于x 的线性回归方程；（结果保留整数） （2）若用nx y me =模型拟合y 与x 的关系，可得回归方程为0.3337.7x y le =，经计算该模型和第（1）问中模型的2R （2R 为相关指数）分别为0.87和0.71，请分别利用这两个模型，求2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值 ； （3）你认为（2）中用哪个模型得到的预测值更可靠？请说明理由． 参考数据：设ln u y =，其中ln i i u y =．yu ()()61iii x x yy =--∑()()61iii x x u u =--∑3.63e5.94e144 4.78841 5.70 37.71 380参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据()(),1,2,3,,i i x y i n =⋅⋅⋅，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-．19．（12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，已知AD BC ∥，120BAD ∠=︒，22AB BC PA AD ====，△PBC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形．（1）证明：PB ⊥平面PCD ；（2）求二面角B PA D --的平面角的余弦值． 20．（12分）已知椭圆2222:1x y E a b +=（其中0a b >>）的离心率为22，直线y x m =+与E交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，且12x x >，当0m =时，222a AB b=．（1）求椭圆E 的方程；（2）在直线143x =上是否存在点P ，使得AP AB =，AP AB ⊥，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 21．（12分）函数()()ln 11f x x x a x =-++．（1）若函数()f x 有2个零点，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 在区间[]1,e 上最大值为m ，最小值为n ，求m n -的最小值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为22,3222,32x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线C 的方程为22x y x y +=+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线E 的极坐标方程为θα=，0,2πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的极坐标方程； （2）若E 与l 交于点A ，E 与C 交于点B ，求OA OB的取值范围．23．【选修4—5：不等式选讲】（10分） 已知函数()f x x =．（1）求关于x 的不等式()()121f x f x x -+-≥+的解集； （2）求证：()()()()()()11f a b f a f b f a b f a f b ++≤++++．绵阳市高中2019级第三次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． DBCAD ABBAB DC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．24．10-15．9116．192三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．解：（1）∵cos 2cos b A a B ⋅=⋅，由正弦定理得B A A B cos sin 2cos sin ⋅=⋅，即A B tan 2tan =． ……………………………………………………………………2分 ∵tan C =-3，A +B +C =π，∴2tan tan 3tan tan tan[()]tan()31tan tan tan 2A B BC A B A B A B B π+=-+=-+=-==--⋅-，解得tan B =1或-2． ∵tan C =-3，∴C 为钝角，B 为锐角， ∴tan B =1，即4B π=．……………………………………………………………………6分（2）∵tan C =-3，∴310sin C =10cos C =． ……………………………………………………8分 ∵A +B +C =π，∴A =π-(B +C )，∴sin sin[()]sin()sin cos cos sin A B C B C B C B C π=-+=+=⋅+⋅ 21023105()=+． ………10分 由正弦定理Cc Aa sin sin =，得sin sin c A a C ⋅=． ∵c =3，∴532310a ==∴△ABC 的面积1123sin 23222S ac B ===． ……………………………12分18．解：（1）∵123456 3.506x +++++==，∴621()17.5i i x x =-=∑， ∴61621()()8414817.5()ii i ii xx y y b xx ==--==≈-∑∑． …………………………………………………3分 又144y =，∴14448 3.524a y bx =-=-⨯=-．∴y 关于x 的线性回归方程为4824y x =-． …………………………………………5分 （2）若利用线性回归模型，可得2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值为 48724312y =⨯-=（万辆）．…………………………………………………………7分若利用模型0.3337.71e x y =，则ln 3.630.33y x =+，即 3.630.33e ˆxy+=．∴2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值为 3.630.337 5.94e e 380y +⨯===（万辆）．…………………………………………9分 （3）∵0.71<0.87，且2R 越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好， ∴用模型0.3337.71e x y =得到的预测值更可靠．……………………………………12分 19．解：（1）证明：设点M 为BC 的中点，连接PM ，MA ． ∴PM BC ⊥，且PM =1．在△ABM 中，可得3MA =，且MA BC ⊥， 又MC //AD ，且1MC AD ==， ∴四边形AMCD 为矩形，∴AM //CD ．…………………………………………………………………………2分 在△P AM 中，可得222PA AM PM =+， ∴PM MA ⊥，即PM CD ⊥． 又BC CD ⊥，PMBC M =，直线PM ，BC 均在平面PBC 内，∴平面CD PBC ⊥．……………………………………………………………………4分 又⊆PB 平面PBC ， ∴PB CD ⊥，z yx MA CD P又PB PC ⊥，PC CD C =，∴PB PCD ⊥平面．……………………………………………………………………6分 （2）以M 为坐标原点，分别以MA ，MC ，MP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系M -xyz ．由题意得M (0，0，0)，A 30，0)， P (0，0，1)，B (0，1-，0)，D (31，0)， ∴PA =30，1-)，PB =(0，1-，1-)， 设平面PAB 的一个法向量为n 1=(x ，y ，z )．300x z y z ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，， 不妨设3=x n 1=33-，3)．………………………………9分同理可得平面PAD 的一个法向量为n 2=30，3)．∴cos<n 1，n 2>=1212272112⋅==⋅⋅n n n n …………………………………………11分 由图可知，所求二面角的平面角为钝角，∴二面角B -PA -D 的平面角的余弦值为27．……………………………………12分20．解：（1）∵2c e a ==，222a b c =+，∴222a b =．…………………………………2分 ∴222||4a AB b==，由题意得点A 的坐标为(22)，．代入椭圆方程得22221a b+=．联立解得23b =，26a =．∴椭圆E 的方程为22163x y +=．………………………………………………………5分（2）联立22163，，y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 整理得2234260x mx m ++-=．由221612(26)0m m ∆=-->，解得33m -<<．由韦达定理得1243mx x +=-，① 212263m x x -⋅=．② …………………………7分若存在点P ，使得||||AP AB =，AP AB ⊥，则214()3，P y ．且直线AP 的斜率为2121111141433y y x x k x x --===---，即211423x x =-．③ ………………9分联立①②③得21128170m m ++=，解得1m =-或1711-． ∴存在点P 满足题意，此时1m =-或1711-．………………………………………12分 21．解：（1）()ln f x x a '=-．令()0f x '>，解得e a x >，()0f x '<，解得0e a x <<．∴函数f (x )在区间(0e )，a 上单调递减，在区间(e )，a +∞上单调递增． …………3分当0x →时，f (x )1→；当x →+∞时，f (x )=x [ln x -(a +1)]+1→+∞．∴要使得f (x )有2个零点，则(e )1e 0a a f =-<，解得a >0．………………………………………………………………………………5分（2）()ln [1e]，，f x x a x '=-∈，ln [01]，x ∈．i)当a ≤0时，()0≥f x '恒成立，函数f (x )在区间[1，e]上单调递增， ∴m = f (e)=1-a e ，n = f (1)=-a ．∴m -n =(1-e)a +1．令p (a )= (1-e)a +1，则函数p (a )在区间(0]，-∞上单调递减， ∴函数p (a )最小值为h (0)=1．…………………………………………………………7分 ii) 当a ≥1时，()0≤f x '恒成立，函数f (x )在区间[1，e]上单调递减．∴m = f (1)=-a ，n = f (e)=1-a e ，∴m -n =(e -1)a -1．令h (a )=(e -1)a -1，则函数h (a )在区间[1)，+∞上单调递增， ∴函数h (a )最小值为h (1)=e -2．………………………………………………………9分 iii) 当0<a <1时，由()0f x '>，解得e e ≤a x <，由()0f x '<，解得1e ≤a x <． ∴函数f (x )在区间[1e )，a 上单调递减，在区间(e e]，a 上单调递增．∴n = f (e a )=1- e a ． ①当11e 1≤a <-时，f (1)- f (e)= (e -1)a -1≥0，此时m = f (1)=-a ．∴m -n= f (1)- f (e a )=e a -a -1．令q (a )= e a -a -1，则()e 1a q a '=->0．∴函数q (a )在区间(0)，+∞上单调递增，∴函数q (a )的最小值为1()(1)e 2e 1q q <=--， ∴11e 1e 111e ()=e 1=e e 1e 1e 1q --------．………………………………………………11分 ②当10e 1a <<-时，由f (1)- f (e)= (e -1)a -1<0，∴m = f (e)=1-a e ．∴m -n= f (e)- f (e a )=e a -a e ．令ϕ(a )= e a -a e ，则()e e a a ϕ'=-<0．∴函数()a ϕ在区间(0，1)上单调递减，∴1e 11e ()()e e 1e 1a ϕϕ->=---． 综上，m -n 的最小值为1e 1e e e 1---． ………………………………………………12分 22．解：（1）将直线l 的参数方程消参，得直线l 的普通方程为43x y +=． ∵222cos sin ，，，x y x y ρρθρθ=+== 又22x y x y +=+，∴2|cos ||sin |ρρθρθ=+， ∴曲线C 的极坐标方程为|cos ||sin |ρθθ=+． ……………………………………5分（2）联立[0]2|cos ||sin |πθααρθθ⎧=∈⎪⎨⎪=+⎩，，，解得cos sin .θαραα=⎧⎨=+⎩， ∴点B 的坐标为(cos sin )ααα+，．…………………………………………………7分由题意得直线l 的极坐标方程为4cos sin 3ρθρθ+=． 联立4cos sin 3θαρθρθ=⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 解得4.3(cos sin )θαρθθ=⎧⎪⎨=⎪+⎩， ∴点A 的坐标为()4()3cos sin ααα+，．………………………………………………8分 ∴()()()443cos sin cos sin 31sin2OAOB ααααα==+++． ∵02πα≤≤，∴02απ≤≤， ∴0sin21α≤≤， ∴11121sin 2α+≤≤，∴24433(1sin 2)3α+≤≤． ∴2433OA OB ≤≤，即OA OB 的取值范围是24[]33，．……………………………………10分 23．解：①当x ≤1时，不等式等价于321≥x x -+，解得23≤x ，综合，23≤x ； 当1<x <2时，不等式等价于1≥x +1，解得x ≤0，综合，无解；当x ≥2时，不等式等价于2x -3≥x +1，解得x ≥4，综合，x ≥4；综上，不等式的解集为2{|4}3≤或≥x x x ．…………………………………………5分 （2）证明：不等式等价于11||||||≤||||||a b a b a b a b ++++++，要证11||||||≤||||||a b a b a b a b ++++++，只要证1||1||||||||||≥a b a b a b a b ++++++， 只要证11||||||≥a b a b ++，只要证||||||≤a b a b ++， 上式显然成立，所以原不等式成立．…………………………………………………10分。