导数与函数之放缩技巧
导数与函数放缩问题之切线法放缩
导数与函数放缩问题之切线法放缩一、典型的不等式：sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为，其几何意义为上的的点与原点连线斜率小于1.（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， 以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x=-，ln y x x =. 二、典型例题1:()ln 1,()0x f x ae x a f x e =--≥≥例1已知证明时，21()ln ,().x f x ex x x f x xe e =-<+例2：已知求证：例3：已知函数()()()(0)x f x x b e a b =+->在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=.（1）求,a b ；（2）若方程()f x m =有两个实数根12,x x ，且12x x <，证明：21(12)11m e x x e--≤+-.例4：已知函数()ln f x x x =，()()22a x x g x -=.（1）若()()f x g x <在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）求证：()()()22212111111n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦sin ,(0,)y x x π=∈三、巩固练习练习1：已知函数f (x )＝e x －a .(1)若函数f (x )的图象与直线l ：y ＝x －1相切，求a 的值； (2)若f (x )－ln x >0恒成立，求整数a 的最大值．练习:2：已知函数()2x f x e x =-.（1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）求证：当0x >时，()21ln 1x e e x x x+--≥+.练习3：函数的图像与直线相切．（1）求的值；（2）证明：对于任意正整数，()1122!!n n nnn n n en en ++⋅<<⋅.()()ln 1f x x ax =++2y x =a n导数与函数放缩问题之切线法放缩一、典型的不等式：sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为，其几何意义为上的的点与原点连线斜率小于1.（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， 以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x=-，ln y x x =. 二、典型例题1:()ln 1,()0x f x ae x a f x e =--≥≥例1已知证明时，1ln 1x e x x x ≥+≤-考虑：，放缩-11()ln 1ln 1x x ef x ae x e x ≥=--≥--≥证明如下：因为a 所以x-(x-1)-1=0 21()ln ,().x f x ex x x f x xe e =-<+例3：已知求证：1()ln 0x g x e x ex ex =+-+>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅即证：①-0x x e ex e ex ≥≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅考虑：，即②1ln 1,x x ≥-11ln 1,ln +0ex x ex ex ⇒≥-≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅即③由②③相加，且不能同时取等，即可得①式成立，即证。
导数大题中最常用的放缩大法
导数大题中最常用的放缩大法相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1.⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>.将这些不等式简单变形如下： exx ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。
例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(⋅≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。
放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。
第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭， )ln 1x x<>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， （放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤≤-，()10x e x x<-<， （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++， 第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x=-，ln y x x =. 拓展阅读：为何高考中总是考这些超越函数呢？和x e x ln 因为高考命题专家是大学老师，他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。
(完整版)高考导数解答题中常见的放缩大法
(高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论⑴，变形即为sin1xx<，其几何意义为sin,(0,)y x xπ=∈上的的点sin,(0,)x x xπ<∈与原点连线斜率小于1.⑵1xe x>+⑶ln(1)x x>+⑷ln,0xx x e x<<>.将这些不等式简单变形如下：那么很多问题将迎刃而解。
exxexexexxxxx1ln,,1,1ln11-≥≥+≥-≤≤-例析：（2018年广州一模）恒成立，xexxfxxaxxf2)(,0,1ln)(⋅≤>++=若对任意的设求a的取值范围。
放缩法：由可得：1+≥xe x2)1(ln1ln2)1(ln)1(ln1ln ln22=+-++≥+-=+-=+-+xxxxxxexxxexxexxxx高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。
第一组：对数放缩（放缩成一次函数），，ln1x x≤-ln x x<()ln1x x+≤（放缩成双撇函数），，()11ln12x x xx⎛⎫<->⎪⎝⎭()11ln012x x xx⎛⎫>-<<⎪⎝⎭，，)ln1x x<>)ln01x x><<（放缩成二次函数），，2ln x x x≤-()()21ln1102x x x x+≤--<<()()21ln102x x x x+≥->（放缩成类反比例函数），，1ln1xx≥-()()21ln11xx xx->>+，()()21ln011xx xx-<<<+，，()ln 11x x x +≥+()()2ln 101x x x x +>>+()()2ln 101x x x x +<<+第二组：指数放缩（放缩成一次函数），，，1x e x ≥+x e x >x e ex ≥（放缩成类反比例函数），，()101x e x x ≤≤-()10x e x x <-<（放缩成二次函数），，()21102x e x x x ≥++>2311126x e x x x ≥+++第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩，，. ()sin tan 0x x x x <<>21sin 2x x x ≥-22111cos 1sin 22x x x -≤≤-第五组：以直线为切线的函数1y x =-，，，，.ln y x =11x y e -=-2y x x =-11y x =-ln y x x =拓展阅读：为何高考中总是考因为高考命题专家是大学老师，这些超越函数呢？和x e xln 他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。
导数中放缩法(切线放缩、对数均值不等式)
导数中放缩法(切线放缩、对数均值不等式)导数证明中的常用放缩在导数证明中，常用的放缩方法有切线放缩、对数放缩、指数放缩、指对放缩和三角函数放缩等。
其中，常用的放缩公式包括对数放缩和指数放缩。
一、常用放缩公式1.对数放缩对数放缩常常可以将一个函数放缩成一次函数或双撇函数，常用的对数放缩公式包括：lnx≤x-1，lnx<x，ln(1+x)≤xlnxx-1/x，x>1lnxx/2，0<x<1lnx≤x^2-x，ln(1+x)≤x-x^2/2，-1<x<∞ln(1+x)≥x/(1+x)，ln(1+x)>x/2，x>02.指数放缩指数放缩常常可以将一个函数放缩成一次函数或二次函数，常用的指数放缩公式包括：ex≥x+1，ex>x，ex≥ex，x≤0ex<1-x，ex<1-x+x^2/2，x<0ex≥1+x+x^2，ex≥1+x+x^2+x^3，x>03.指对放缩指对放缩常常可以将一个函数的导数放缩成一个常数，常用的指对放缩公式包括：ex-lnx≥(x+1)-(x-1)/2，x>04.三角函数放缩三角函数放缩常常可以将一个函数放缩成一个三角函数或二次函数，常用的三角函数放缩公式包括：XXX<x<tanx，sinx≥x-x^2，-1≤x≤1cosx≤1-sin^2x，-1≤x≤1二、经典例题以函数f(x)=lnx+ax^2+(2a+1)x为例，讨论其单调性和当a<0时的最大值。
1) 解f(x)的定义域为(0,∞)，求导得f'(x)=1/x+2ax+2a+1.当a≥-1/2时，f'(x)>0，因此f(x)在(0,∞)上单调递增；当a<-1/2时，f'(x)<0，因此f(x)在(0,∞)上单调递减。
2) 当a0，因此g(x)在(0,∞)上单调递增，且有g(x)≤g(1)=ln1-2/3=-2/3.又因为f(x)可以表示为f(x)=g(x)+(2a+1)x+ax^2+2/3x，因此有f(x)≤g(1)+(2a+1)x+ax^2+2/3x=-2/3+(2a+1)x+ax^2+2/3x=2/3x+ax^2+(2a+1)x-2/3.当2/3x+ax^2+(2a+1)x-2/3取到最大值时，有x=-(2a+1)/(2a),此时f(x)的最大值为-2/3+(2a+1)^2/(4a)-a(2a+1)^2/(4a)=-3/4a。
(完整word版)高考导数解答题中常见的放缩大法
(高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1.⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>.将这些不等式简单变形如下： exx ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。
例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(⋅≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。
放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。
第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭， )ln 1x x<>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， （放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤≤-，()10x e x x<-<， （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++， 第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x=-，ln y x x =. 拓展阅读：为何高考中总是考这些超越函数呢？和x e x ln 因为高考命题专家是大学老师，他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。
2022高考数学函数与导数—导数中的放缩问题
函数与导数—导数中的放缩问题专题综述放缩法是解决函数不等式问题的利器，导数压轴题中的函数往往是指数、对数与其他函数综合，或者指对数并存的超越函数，有时直接构造出的函数难以直接求出最值，需要借助放缩解决.利用导数判断函数单调性、解决函数零点问题、不等式证明等问题中都会用到放缩法，使问题难度降低.常用的放缩方式有：①常用不等式放缩：指数放缩、对数放缩、三角放缩；②利用已知题目信息放缩；③根据已知参数范围或常识，减少变量，适当放缩；③利用单调性放缩；④利用基本不等式放缩： 若0a b >>，则211ln ln 2a b a bb ab a b a b-+<<<<-+；⑤由数值大小关系直接放缩，做题时灵活运用.本专题就前3种，重点探究.专题探究探究1：利用不等式放缩函数中有指数、对数、三角函数时，直接求导，导数不等式无法解出，根据函数结构，选择不等式进行放缩，使函数简单化. 常用不等式有：（1）三角函数放缩：①0,,sin tan 2x x x x π⎛⎫∀∈<< ⎪⎝⎭；②21sin 2x x x ≥-；③22111cos 1sin 22x x x -≤≤-（2）指数放缩：①1x e x ≥+；②x e ex ≥（1,y x y ex =+=为函数x y e =图象的两条切线）；③()101xe x x ≤≤-；④()10x e x x≤-< （3）对数放缩：①11ln 1x x x -≤≤-；②ln x x e ≤；③1ln x ex ≥-；（1,xy x y e =-=为函数ln y x =图象的两条切线）（4）指对放缩：()()ln 112xe x x x ->+--=(2021安徽省合肥市联考) 已知函数()(ln ),.xe f x a x x a R x=--∈（1）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =-时，函数1()()()x g x f x x e mx x =+++满足：对任意(0,)x ∈+∞，都有()1g x 恒成立，求实数m 的取值范围．【审题视点】第（2）问显化函数()g x ，恒成立问题回顾常用的方法（专题1.3.7）：分离参数、含参讨论单调性等方法，由解析式的具体结构确定方法与细节.【思维引导】分离参数以后，函数中有指、对结构，若直接通过求导判断单调性求最值，方法较困难，利用不等关系1x e x ≥+，得ln ln 1x x e x x +≥++，使难度大大降低.【规范解析】解：（1）()f x 的定义域是(0,)+∞，22()(1)()x x x a xe e ax e x f x a x x x -+-'=--=，当0a >，0x >时，令()0f x '>，则1x <∴()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；（2）当1a =-时，1()()()ln (1)x x g x f x x e mx xe x m x x=+++=-++，()()0,,1x g x ∀∈+∞≥即ln 1ln 1ln 11x x x x xe x e m x x++-+--=-，1.恒成立问题求参：分离参数构造函数求最值；2.构造的函数中有ln x 、ln x x e +，通过求导判断单调性求最值较困难，通过常用不等关系1xe x ≥+，进行放缩,是函数简单化.设()1x F x e x =--，则()1x F x e '=-，令()0F x '>，则0x >∴()f x 在()0,+∞上单调递增，在(),0-∞上单调递减∴()(0)0F x F =，即1(x e x +当且仅当0x =时“=”成立)，故ln ln 1(x x e x x +++当且仅当ln 0x x +=时“=”成立)， ()ln G x x x =+在(0,)+∞上是增函数，且11()10G e e=-<，(1)10G =>，故存在01(,1)x e∈使得ln 0x x +=成立，故ln 1ln 1ln (ln 1)112x x x e x x x x x++-+-++--=-（当且仅当0x x =时“=”成立），∴2m -，即m 的取值范围是[2,).-+∞【探究总结】常见的不等关系要灵活运用，解题时函数结构复杂，可考虑运用上述不等式进行放缩，使问题简答化.但不等式1,,ln 1,ln xxx e x e ex x x x e≥+≥≤-≤，从图象的角度看，是以直代曲，放缩的程度大，容易出现误差，在使用时要注意.另外若是求参数取值范围问题，要考虑不等式中的等号能否取到.(2021山东省泰安市一模) 已知函数()()ln 2xf x e x k -=-，（k 为常数， 2.718e =⋅⋅⋅是自然对数的底数），曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直.（1）求()f x 的单调区间；（2）设()()1ln 1xx x g x e-+=,对任意0x >，证明：()()21x x x g x e e -+<+. 探究2：利用已证结论放缩1.对使用过得不等关系，构造函数证明成立；2.利用不等关系进行替换.恒成立求取值范围的问题，放缩以后，要确保不等式中等号能否取到解答题的上一问中证明的不等式，或者推导过程中证明出的结论，为后续的证明提供放缩的依据.需证明的不等式为关于n 的多项式的和或不等式结构复杂，利用已证结论，进行放缩，使不等式化繁为简，便于构造函数求最值.(2021湖南省郴州市模拟) 已知函数()e (1)ln(1) 1.x f x x x =-++-（1）当0x >时，证明：()0f x >；（2）已知数列{}n a 的通项公式为1e 1nn n na n -=+，证明：12ln (1).n a a a n ++⋅⋅⋅+>+ 【审题视点】第（2）问，出现数列的前n 项和，且不能用常规的求和方法求和，借助第一问的结论对n a 的通项公式进行放缩，便于求和.【思维引导】对第一问的不等式进行变形，观察n a 的结构，进行放缩，能够用已知方法求和.【规范解析】解：（1）由题意得 ()()ln(1)10x f x e x x '=-+->， 设()ln(1)1x g x e x =-+-，则1(1)1()11x xe x g x e x x +-'=-=++， 当0x >时， 1x e >，11x +>，则(1)1x e x +>则(1)1()01x e x g x x +-'=>+， ()g x ∴在()0,+∞上单调递增，故()()00g x g >=，即()0f x '> ()f x ∴在()0,+∞上单调递增，∴当0x >时，()(0)0f x f >=，即()0f x >（2）由（1）知：当0x >时，()(1)ln(1)10x f x e x x =-++->，即1ln(1)1x e x x ->++ 令1x n=，则11ln()1nne n n n n -+>+，12231ln ln ln12n n a a a n++++>+++ 231ln()ln(1)12n n n+=⨯⨯⨯=+ ∴12ln (1)n a a a n ++⋅⋅⋅+>+【探究总结】函数中证明与n 有关的求和问题，或不等式证明问题，要仔细观察不等式结构特点，往往会利用前一问的结论，或者解题过程中的结论.利用已证结论，进行放缩，化繁为简，证明不等式的成立.(2021广东省东莞市联考) 已知函数()ln (1),(0)f x x a x a =-->（ 2.718e ≈即自然对数的底数）.（1）若函数()f x 在()1,+∞上是单调减函数，求实数a 的取值范围； （2）在（1）的条件下，当n N +∈时，证明：2311111111.2222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭探究3：利用已知参数范围或常识放缩函数解析中含有参数，且已知参数范围，证明不等式成立，可以从参数的范围入手，使参数取确定的值或利用单调性、其它不等关系，对不等式进行放缩，减少变量，使函数结构简单，易于判断单调性.(2021河北省石家庄联考) 已知函数()(2).x f x e k x =-+（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：当0k e <<时，()(1ln )0.f x k x x ++->【审题视点】已知参数范围，证明不等式成立，且函数指对结构都有，若含参讨论难度大，可能要借助放缩，化繁为简.【思维引导】1.对已证不等式进行变形，变形为与n a 通项公式相似的结构；2.对自变量进行替换，得出新的不等式.利用不等式性质进行求和，实现放缩，证明结论.第（2）问不等式的证明，函数中有x e ，ln x ，构造函数求导，含参讨论解导数不等式较困难，可巧妙利用参数的范围，参数取确定的值，进行放缩，求不含参函数的最值较为简单.【规范解析】解：（1）由题意得 ()e .x f x k '=- ①当0k 时，()e 0x f x k '=->，∴函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；②当0k >时，令()e 0x f x k '=-> 得ln x k >，则()g x '在(0,)+∞上单调递增，且(1)0g '= 当(0,1)x ∈时，()0g x '< 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>)0，10⎫->⎪⎭∴当0k e <<时，()(1ln )0.f x k x x ++->【探究总结】不等式的证明问题中含有参数，若直接构造函数含参讨论，难以解决的情况下，为避开讨论，可以在参数给定的范围内，结合不等式的结构进行第一步的放缩，达到消参的目的，转化为证明不含参的不等式.若不等式的结构依然复杂，在利用常用不等关系、已证结论等方法进一步放缩.(2021湖北省荆州市高三模拟) 已知函数()ln(2).x m f x e x -=-（1）设1x =是函数()f x 的极值点，求m 的值并讨论()f x 的单调性； （2）当2m 时，证明：()ln 2.f x >-专题升华导数解答题中函数多以xe 、ln x 型的函数与其他函数结合的形式出现，考查零点问题、不等式证明问题、恒成立问题等方向时，如果利用常规方法处理时，因函数结构复杂求导判断单调性难度较大，通过放缩将难以处理的函数转化为较为简单的函数进行处理.放缩法较为灵活，要根据不等式的结构、形式等特征，使条件与结论建立联系，选择适当的方法是关键. 1.积累常见的不等结论：如探究1中提及的不等式，解题时需构造函数，证明其正确性，再进行放缩.利用不等式进行放缩，体现了数学中的化归与转化思想，也体现了处理数学问题时以直代曲、以曲代曲的方法.2.巧用已证不等式，顺水推舟：利用已证不等式(或结论) “服务”于后续问题的求解，这类题目最明显的“暗示”，即为证明一个类似于数列求和的不等式，需利用已证不等式进行逐项替换放缩.若题目的第一问证明不等式，在后续解题时，留意是否会利用已证结论.3.已知参数范围：含参不等式的证明时，若因为参数的存在使函数讨论非常复杂，可考虑结合参数范围及其它结论进行放缩.4.其他放缩方法：除了上述三种难度较大的放缩方法以外，单调性、已知结论、基本不等式等.如利用基本不等式进行放缩，化曲为直，()202x x +=≥；和积互化等.不仅仅应用于简化不等式，在解题过程中，也可能用放缩证明代数式的值.长干行·其一[唐]李白妾发初覆额，折花门前剧。
高中数学导数放缩法
高中数学导数放缩法导数作为数学中重要的概念，是微积分中的一个基础知识。
在高中数学中，导数是一个重要的内容，学生需要掌握导数的定义、性质和计算方法。
其中，导数的放缩法是导数的一种重要应用，能够帮助我们简化复杂的导数计算，提高计算的效率。
一、导数的定义及性质回顾在学习导数的放缩法之前，我们先来回顾一下导数的定义及性质。
在数学中，函数y = f(x)在点x处的导数定义为：f'(x) = lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h这个极限表示当自变量在点x处偏离x时，函数值的变化情况。
导数有一些重要的性质，比如：1.常数函数的导数为0：即对于常数k，f(x) = k的导数为f'(x) = 02.和函数的导数：(u + v)' = u' + v'3.差函数的导数：(u - v)' = u' - v'4.常数倍函数的导数：(ku)' = ku'5.积函数的导数：(uv)' = u'v + uv'6.商函数的导数：(u/v)' = (u'v - uv')/v^2这些性质在导数的计算中起着非常重要的作用，能够帮助我们简化计算过程。
接下来，我们将介绍导数的放缩法，以及如何运用这一方法简化导数的计算。
二、导数的放缩法原理导数的放缩法是指根据导数的定义及性质，通过放缩函数的表达式，将复杂的导数计算化简为简单的计算。
具体来说，导数的放缩法主要有以下几种形式：1.基本放缩法：指利用导数的性质，将一个复杂函数拆分成几个简单函数的和、差、积或商，然后利用导数的性质求导，最后将得到的导数组合起来得到原函数的导数。
2.递推放缩法：指通过递推的方式，将一个复杂函数的导数化简为一个或多个简单函数的导数，然后根据导数的性质组合起来得到原函数的导数。
3.反函数放缩法：指利用反函数的性质，将一个函数的导数与其反函数的导数之间建立联系，通过求导得到原函数的导数。
导数中放缩法(切线放缩、对数均值不等式)
导数证明中的常用放缩一、常用结论1、切线放缩2、其它对数放缩（对数均值不等式）3、常用放缩公式：（考试时需给出证明过程）第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭， )ln 1x x<>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+，()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x+<<+ 第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， （放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤≤-，()10x e x x<-<， （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++， 第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x=-，ln y x x =.二、基础练习：练习题组一练习题组二：二、经典例题：母题 (2017·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a <0时，证明f (x )≤－34a－2.(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝(x ＋1)(2ax ＋1)x. 若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－12a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减． (2)证明 由(1)知，当a <0时，f (x )在x ＝－12a 处取得最大值，最大值为f ⎝⎛⎭⎫－12a ＝ln ⎝⎛⎭⎫－12a －1－14a， 所以f (x )≤－34a －2等价于ln ⎝⎛⎭⎫－12a －1－14a ≤－34a－2， 即ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＋12a＋1≤0. 设g (x )＝ln x －x ＋1，则g ′(x )＝1x－1. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x ＝1时，g (x )取得最大值，最大值为g (1)＝0.所以当x >0时，g (x )≤0.从而当a <0时，ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＋12a ＋1≤0，即f (x )≤－34a－2. [子题1] 设函数f (x )＝ln x －x ＋1.证明：当x ∈(1，＋∞)时，1<x －1ln x<x . 证明 f ′(x )＝1x －1＝1－x x，x >0， 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴f (x )＝ln x －x ＋1≤f (1)＝0，∴ln x ≤x －1，∴当x >1时，ln x <x －1，①且ln 1x <1x－1，② 由①得，1<x －1ln x ，由②得，－ln x <1－x x， ∴ln x >x －1x ，∴x >x －1ln x， 综上所述，当x >1时，1<x －1ln x<x . [子题2] 已知函数f (x )＝e x －x 2.求证：当x >0时，e x ＋(2－e )x －1x≥ln x ＋1. 证明 设g (x )＝f (x )－(e －2)x －1＝e x －x 2－(e －2)x －1(x >0)，则g ′(x )＝e x －2x －(e －2)，设m (x )＝e x －2x －(e －2)(x >0)，则m ′(x )＝e x －2，易得g ′(x )在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，又g ′(0)＝3－e>0，g ′(1)＝0，由0<ln 2<1，则g ′(ln 2)<0，所以存在x 0∈(0，ln 2)，使得g ′(x 0)＝0，所以当x ∈(0，x 0)∪(1，＋∞)时，g ′(x )>0；当x ∈(x 0,1)时，g ′(x )<0.故g (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又g (0)＝g (1)＝0，所以g (x )＝e x －x 2－(e －2)x －1≥0，故当x >0时，e x ＋(2－e )x －1x≥x . 又由母题可得ln x ≤x －1，即x ≥ln x ＋1，故e x ＋(2－e )x －1x≥ln x ＋1. 规律方法 利用导数证明不等式f (x )>g (x )的基本方法(1)若f (x )与g (x )的最值易求出，可直接转化为证明f (x )min >g (x )max .(2)若f (x )与g (x )的最值不易求出，可构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数h (x )的单调性或最值，证明h (x )>0.(3)通过题目中已有的或常用的不等式进行证明．(4)利用赋值法证明与正整数有关的不等式.跟踪演练1．(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝a e x －ln x －1.(1)设x ＝2是f (x )的极值点，求a ，并求f (x )的单调区间；(2)证明：当a ≥1e时，f (x )≥0. (1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x －1x. 由题设知，f ′(2)＝0，所以a ＝12e 2. 从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1，f ′(x )＝12e 2e x －1x. 当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)．(2)证明 当a ≥1e 时，f (x )≥e x e－ln x －1. 设g (x )＝e x e－ln x －1(x ∈(0，＋∞))， 则g ′(x )＝e x e －1x. 当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0.所以x ＝1是g (x )的最小值点．故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0.因此，当a ≥1e时，f (x )≥0. 2．(2020·北京市陈经纶中学模拟)已知函数f (x )＝ln x －1x－ax .若1<a <2，求证：f (x )<－1. 证明 f (x )的定义域为(0，＋∞)，为了证明f (x )<－1，即ln x －1x－ax <－1， 只需证明ln x －1－ax 2<－x ，即ln x <ax 2－x ＋1，令m (x )＝ln x －x ＋1(x >0)，则m ′(x )＝1x－1， 令m ′(x )>0，得0<x <1；令m ′(x )<0，得x >1，所以m (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以m (x )max ＝m (1)＝0，即ln x －x ＋1≤0，则ln x ≤x －1.令n (x )＝ax 2－2x ＋2，因为1<a <2，所以Δ＝4－8a <0，所以n (x )>0恒成立，即ax 2－2x ＋2>0，所以ax 2－x ＋1>x －1.综上所述，ln x <ax 2－x ＋1，即当1<a <2时，f (x )<－1.（2017年全国新课标1·理·21）已知()()22x x f x ae a e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.解析：（1）()()()()2'221211x x x x f x ae a e e ae =+--=+-若0a ≤，则()'0f x <恒成立，所以()f x 在R 上递减；若0a >，令()'0f x =，得11,ln x e x a a ==. 当1ln x a <时，()'0f x <，所以()f x 在1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递减； 当1lnx a >时，()'0f x >，所以()f x 在1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增. 综上，当0a ≤时，()f x 在R 上递减；当0a >时，()f x 在1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递减，在1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增. （2）()f x 有两个零点，必须满足()min 0f x <，即0a >，且()min 111ln1ln 0f x f a a a ⎛⎫==--< ⎪⎝⎭. 构造函数()1ln g x x x =--，0x >. 易得()1'10g x x =--<，所以()1ln g x x x =--单调递减. 又因为()10g =，所以()11111ln 01101g g a a a a a ⎛⎫--<⇔<⇔>⇔<< ⎪⎝⎭. 下面只要证明当01a <<时，()f x 有两个零点即可，为此我们先证明当0x >时，ln x x >. 事实上，构造函数()ln h x x x =-，易得()1'1h x x=-，∴()()min 11h x h ==，所以()0h x >，即ln x x >. 当01a <<时，()()22222110a ea e a a f e e e++---=++=>， ()2333333ln 121ln 11ln 10a f a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+----=---> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 其中11ln a -<，31ln ln a a a ->，所以()f x 在11,ln a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和13ln ,ln a a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上各有一个零点. 故a 的取值范围是()0,1.注意：取点过程用到了常用放缩技巧。
高考导数解答题中常见的放缩大法
For personal use only in study and research; not forcommercial use(高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1.⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>.将这些不等式简单变形如下： exx ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。
例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(⋅≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。
放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。
第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭， )ln 1x x<>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥->（放缩成类反比例函数）1ln 1x x ≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， （放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤≤-，()10x e x x<-<， （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++， 第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x =-，ln y x x =. 拓展阅读：为何高考中总是考这些超越函数呢？和x e x ln 因为高考命题专家是大学老师，他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。
放缩法技巧全总结
放缩法技巧全总结放缩法是一种在求解数学问题时经常使用的技巧之一、它主要是通过对问题进行放大或缩小，从而转换为更简单或更熟悉的形式来解决。
放缩法可以用于各种数学领域，如代数、几何和计算等。
在本文中，我将总结一些常用的放缩法技巧。
一、代数放缩法1.替换变量：通过替换变量，将原始问题转化为更容易求解的问题。
例如，可以通过令一些变量等于另一个变量的一些表达式来简化问题。
2.提取公因式：将多项式中的公因式提取出来，可以简化计算过程。
3.移项：将方程中的项移动到一边，可以使问题更加清晰。
4.分式放缩：对于有分式形式的问题，可以通过放缩分母或分子来简化问题。
二、几何放缩法1.类比三角形：如果一个问题中涉及到一个复杂的三角形，可以通过找到类似形状但更简单的三角形来放缩问题。
2.重心放缩：对于一个几何体，可以通过移动几何体的重心来简化问题。
例如，在求解三角形面积时，可以通过将三角形平移到一个更简单的位置来计算。
3.缩放比例：通过按比例缩放一个几何体，可以简化问题。
例如，求解复杂图形的面积时，可以将图形按比例缩小到一个更易计算的大小。
三、计算放缩法1.近似计算：当遇到一个复杂的数学计算时，可以通过近似计算来简化问题。
例如，可以使用泰勒级数近似一个函数的值。
2.递归放缩：将一个复杂的计算问题分解为多个简单的计算问题，并将得到的结果组合起来。
例如，在求解一个复杂的积分时，可以将其拆分为多个简单的积分来计算。
3.迭代放缩：通过迭代计算的方式，逐步接近问题的解。
例如，在求解方程的根时，可以逐步逼近根的值。
四、实例分析以以下问题为例，展示放缩法在实际问题的应用。
假设有一个需要排队购买电影票的场景，共有n个人等待购票，每个人需要等待的时间为ti，求解n个人等待时间的平均值。
使用放缩法求解该问题的步骤如下:1. 将n个人的等待时间求和得到总的等待时间sum。
2. 将总的等待时间sum除以n，得到平均等待时间average。
通过放缩法求解，可以将原始问题转化为简单的求和和除法操作，从而简化了计算过程。
常用导数放缩法
一：消参放缩(适合含参)1.已知函数f(x)＝e x－ln(x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m≤2时，证明f(x)＞0.解：(1)f′(x)＝1e xx m -+.由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.于是f(x)＝e x－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝1e1 xx-+.函数f′(x)＝1e1xx-+在(－1，＋∞)单调递增，且f′(0)＝0.因此当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)＞0.当m＝2时，函数f′(x)＝1e2xx-+在(－2，＋∞)单调递增．又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)．当x∈(－2，x0)时，f′(x)＜0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．由f′(x0)＝0得0e x＝01 2x+，ln(x0＋2)＝－x0，故f(x)≥f(x0)＝01 2x+＋x0＝212xx(+)+＞0.综上，当m≤2时，f(x)＞0.2.已知函数f(x)=m e x-ln x-1.（Ⅰ）当m =1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；（Ⅱ）当m ≥1时，证明：f(x)>1.【答案】（Ⅰ）y =(e -1)x（Ⅱ）当m ≥1时，f (x)= m e x-ln x -1≥e x-ln x -1.（放缩）要证明f (x)>1，只需证明e x-ln x -2>0.3.知函数1()ln(1)(1)nf x a xx=+--，其中*x∈N，a为常数．（Ⅱ）当1a =时，证明：对任意的正整数n ，当2n ≥时，有()1f x x -≤． 当1a =时，1()ln(1)(1)nf x x x =+--．当2x ≥时，对任意的正整数n ，恒有11(1)nx -≤，故只需证明1ln(1)1x x +--≤．令()1(1ln(1))2ln(1)h x x x x x =--+-=---，[)2x ∈+∞，，则12()111x h x x x -'=-=--，当2x ≥时，()0h x '≥，故()h x 在[)2+∞，上单调递增，因此当2x ≥时，()(2)0h x h =≥，即1ln(1)1x x +--≤成立． 故当2x ≥时，有1ln(1)1(1)nx x x +---≤．即()1f x x -≤．二：构造放缩（适合f(x)或其变式的N 项和有关）4.设函数()()2ln 1f x x b x =++.（1）若x =1时，函数()f x 取最小值，求实数b 的值；（2）若函数()f x 在定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围；（3）若1b =-，证明对任意正整数n ，不等式33311......31211)1(n ＜k f nk ++++∑=都成立解:（1）由x + 1＞0得x ＞ – 1∴f(x)的定义域为( - 1，+ ∞),对x ∈ ( - 1，+ ∞),都有f(x)≥f(1)，∴f(1)是函数f(x)的最小值，故有f /(1) = 0,,022,12)(/=+∴++=bx b x x f 解得b= - 4. 经检验合题意；（2）∵,12212)(2/+++=++=x b x x x b x x f 又函数f(x)在定义域上是单调函数，∴f /(x) ≥0或f /(x)≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立.若f /(x) ≥0，∵x + 1＞0，∴2x 2+2x+b ≥0在( - 1，+ ∞)上恒成立,即b ≥-2x 2-2x =21)21(22++x 恒成立,由此得b ≥21; 若f /(x) ≤0, ∵x + 1＞0, ∴2x 2+2x+b ≤0,即b ≤- (2x 2+2x)恒成立，因-(2x 2+2x) 在( - 1，+ ∞)上没有最小值，∴不存在实数b 使f(x) ≤0恒成立.综上所述，实数b 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21. （3）当b= - 1时，函数f(x) = x 2- ln(x+1)，令函数h(x)=f(x) – x 3= x 2– ln(x+1) – x 3，则h /(x) = - 3x 2 +2x - 1)1(31123+-+-=+x x x x ，∴当[)+∞∈,0x 时，h /(x)＜0所以函数h(x)在[)+∞∈,0x 上是单调递减.又h(0)=0，∴当()+∞∈,0x 时，恒有h(x) ＜h(0)=0,[ 即x 2– ln(x+1) ＜x 3恒成立.故当()+∞∈,0x 时,有f(x) ＜x 3..∵()1,0,,k N k +∈∴∈+∞取,1k x =则有311(),f k k < ∴33311 (312)11)1(n ＜k f nk ++++∑=,故结论成立。
高中数学导数放缩法技巧
高中数学导数放缩法技巧
高中数学放缩法技巧是指在高中数学中学生运用技巧来解决相关问题。
放缩法技巧是一种重要的严数基础学习策略，可以更好地指导高中学生的学习。
首先，学习放缩法技巧要有明确的思路。
首先要熟练掌握高中数学中对导数的基本概念，对导数有较深入的了解，并迅速记住导数计算公式，这样在进行高中数学学习时可以提高学习效率。
其次，要学会在不同数学计算中使用放缩法技巧。
放缩法的基本思想是选取合适的学习范围，在范围内熟练掌握相关公式，在学习期间必须做好复习，通过放缩法来减少重复的思考，减少学习的时间和精力的消耗。
此外，学习放缩法也应注重掌握学习方法。
应尽可能分析题目和其中的数学性质，并联系相关公式，以减轻学习负担和提高学习效果。
并在定性和定量分析之间进行折衷，不要追求快速只是牺牲正确性和直觉性。
最后，应杜绝学习技巧依赖。
有时学习者们会过分依赖技巧，忘了背后保障技巧正确性的基础和理论，从而致使技巧的一时成功转变成长久的学习失败的情况，所以最好的学习技巧是熟练掌握基本理论，坚持原则，并结合实际应用，把握技巧之间的适应关系。
总的来说，学习数学的放缩法技巧是能够使学习过程变得更高效，更加便捷的一项重要策略，只需要掌握正确的思路，就可以帮助学生轻松地学习数学。
高中导数放缩常用公式及证明
高中导数放缩常用公式及证明在高中数学学习中，导数是一个重要的概念。
导数的定义和性质都是高中数学的基础知识。
导数的放缩是导数的一个重要应用，它可以让我们更加方便地进行计算和推导。
本文将介绍一些高中导数放缩常用公式及其证明。
一、导数放缩公式1.和差法则设函数f(x)和g(x)在点x0处可导，则有：f(x) ± g(x)在x0处可导，且(f(x) ± g(x))'|x0 = f'(x0) ± g'(x0)证明：对于f(x) + g(x)，设h(x) = f(x) + g(x)，则有：h'(x0) = lim(x → x0) [h(x) - h(x0)] / (x - x0)= lim(x → x0) [f(x) + g(x) - f(x0) - g(x0)] / (x - x0) = lim(x → x0) [f(x) - f(x0)] / (x - x0) + lim(x → x0) [g(x) - g(x0)] / (x - x0)= f'(x0) + g'(x0)同理可证f(x) - g(x)在x0处可导，且(f(x) - g(x))'|x0 = f'(x0) - g'(x0)。
2.积法则设函数f(x)和g(x)在点x0处可导，则有：f(x)g(x)在x0处可导，且(f(x)g(x))'|x0 = f'(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0)证明：对于f(x)g(x)，设h(x) = f(x)g(x)，则有：h'(x0) = lim(x → x0) [h(x) - h(x0)] / (x - x0)= lim(x → x0) [f(x)g(x) - f(x0)g(x0)] / (x - x0)= lim(x → x0) [(f(x) - f(x0))g(x0) + f(x0)(g(x) - g(x0))] / (x - x0)= lim(x → x0) [f(x) - f(x0)] / (x - x0) · g(x0) +f(x0) · lim(x → x0) [g(x) - g(x0)] / (x - x0)= f'(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0)3.商法则设函数f(x)和g(x)在点x0处可导，且g(x0) ≠ 0，则有：f(x) / g(x)在x0处可导，且(f(x) / g(x))'|x0 = [f'(x0)g(x0) - f(x0)g'(x0)] / (g(x0))^2 证明：对于f(x) / g(x)，设h(x) = f(x) / g(x)，则有：h'(x0) = lim(x → x0) [h(x) - h(x0)] / (x - x0)= lim(x → x0) [f(x) / g(x) - f(x0) / g(x0)] / (x - x0) = lim(x → x0) [(f(x)g(x0) - f(x0)g(x)) / (g(x)g(x0))] / (x - x0)= lim(x → x0) [(f(x) - f(x0)) / (x - x0) · g(x0) - f(x0) / (x - x0) · (g(x) - g(x0))] / (g(x0))^2= [f'(x0)g(x0) - f(x0)g'(x0)] / (g(x0))^2二、导数放缩应用1.最值问题对于一元函数f(x)，如果在区间[a, b]上可导，且在[a, b]的端点处导数存在，则在[a, b]上f(x)取得最大值或最小值时，导数为0。
常用导数放缩法
常用导数放缩法一：消参放缩（适合含参）已知函数$f(x)=e^{-\ln(x+m)}$。
1) 设$x_0$是$f(x)$的极值点，求$m$，并讨论$f(x)$的单调性；2) 当$m\leq2$时，证明$f(x)>0$。
解：(1) $f'(x)=e^{-x/(x+m)}$。
由$x_0$是$f(x)$的极值点得$f'(x_0)=0$，所以$m=1$。
于是$f(x)=e^{-\ln(x+1)}$，定义域为$(-1,+\infty)$，$f'(x)=e^{-x/(x+1)}/(x+1)$。
函数$f'(x)=e^{-x/(x+1)}/(x+1)$在$(-1,+\infty)$单调递增，且$f'(0)=0$。
因此当$x\in(-1,0)$时，$f'(x)0$。
所以$f(x)$在$(-1,0)$单调递减，在$(0,+\infty)$单调递增。
2) 当$m\leq2$，$x\in(-m,+\infty)$时，$\ln(x+m)\leq\ln(x+2)$，故只需证明当$m=2$时，$f(x)>0$。
当$m=2$时，函数$f'(x)=e^{-x/(x+2)}/(x+2)$。
又$f'(-1)0$，故$f'(x)=0$在$(-2,+\infty)$有唯一实根$x$，且$x\in(-1,0)$。
当$x\in(-2,x)$时，$f'(x)0$，从而当$x=x$时，$f(x)$取得最小值。
由$f'(x)=e^{-x/(x+2)}/(x+2)$得$e^x/(x+2)$在$(-2,+\infty)$单调递增。
故$f(x)\geq f(x)=(x+1)^2/(x+2)$。
综上，当$m\leq2$时，$f(x)>0$。
2.已知函数$f(x)=me^x-\ln x-1$。
Ⅰ）当$m=1$时，求曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程；Ⅱ）当$m\geq1$时，证明：$f(x)>1$。
高中导数放缩常用公式及证明
高中导数放缩常用公式及证明
导数放缩常用公式是：ln(1+x)0，sinx0。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数也叫导函数值。
又名微商，是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。
放缩法在导数压轴题中的应用
放缩法在导数压轴题中的应用放缩法是高中数学中一种重要的数学方法，尤其在证明不等式中经常用到。
近几年数列在高考中的难度要求降低，放缩法的应用重点也逐渐从证明数列不等式转移到导数压轴题中，尤其是在导数不等式证明中更是大放异彩。
下面举几个例子，以供参考。
一、利用基本不等式放缩，化曲为直例1（2012年高考辽宁卷理科第21题（Ⅱ））：设$f(x)=\ln(x+1)+x+1-1$，证明：当$0<x<2$时，$f(x)<\frac{9x}{x+6}$。
证明：由基本不等式，当$x>0$时，$2(x+1)\cdot1<x+2$，故$x+1<\frac{x+2}{2}$。
因此，$f(x)<\ln(x+1)+\frac{x+2}{2}-1$。
记$h(x)=\ln(x+1)+\frac{x}{2}-\frac{9x}{2(x+6)}$，则$h'(x)=\frac{1154x(x^2+15x-36)}{(x+12)^2(x+6)^2}$。
当$0<x<2$时，$h'(x)<0$，所以$h(x)$在$(0,2)$内是减函数。
故$h(x)<h(0)=\frac{9}{2}$，即$f(x)<\frac{9x}{x+6}$。
评注：本题第(Ⅱ)问若直接构造函数$h(x)=f(x)-\frac{9x}{x+6}$，对$h(x)$进行求导，由于$h'(x)$中既有根式又有分式，因此$h'(x)$的零点及相应区间上的符号很难确定，而通过对$x+1$进行放缩处理，使问题得到解决。
上面的解法中，难点在用基本不等式证明$x+1<\frac{x^2+1}{2}$，亦即是将抛物线弧$y=x+1$放大化简为直线段$y=\frac{x^2+1}{2}$，而该线段正是在左端点$(0,1)$处的切线，这种“化曲为直”的方法是我们用放缩法处理函数问题的常用方法。
导数放缩的常见形式
导数放缩的常见形式导数放缩是微积分中的一种常见技巧，通过对函数进行适当的变形，可以简化计算或者提供更多有关函数性质的信息。
下面是导数放缩的一些常见形式。
1.常数乘法和加法法则：对于函数f(x)和常数a、b，有以下关系：(a·f(x))'=a·f'(x)(f(x)+b)'=f'(x)这意味着导数函数遵循常数乘法和加法法则。
可以根据这个法则查找任何函数的导数。
2.乘法法则：对于两个函数f(x)和g(x)，有以下关系：(f(x)·g(x))'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)乘法法则使我们能够通过计算原函数和导函数之间的乘积来计算复合函数的导数。
3.倒数法则：对于函数f(x)，有以下关系：(1/f(x))'=-f'(x)/[f(x)]^2倒数法则允许我们通过计算原函数的导数来计算倒数函数的导数。
4.加法法则：对于函数f(x)和g(x)，有以下关系：(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)加法法则使我们能够通过计算原函数的导数来计算两个函数之和的导数。
5.减法法则：对于函数f(x)和g(x)，有以下关系：(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)减法法则允许我们通过计算原函数的导数来计算两个函数之差的导数。
6.链式法则：链式法则是导数放缩中最重要的法则之一，它适用于复合函数。
对于函数y=f(g(x))，有以下关系：dy/dx = f'(g(x))·g'(x)链式法则允许我们通过计算原函数和内部函数的导数来计算复合函数的导数。
7.平方函数的导数：对于函数f(x)=x^2，有以下关系：f'(x)=2x平方函数的导数是一个常见形式，计算平方函数的导数非常简单。
8.指数函数的导数：对于函数f(x)=a^x，有以下关系：f'(x) = ln(a)·a^x指数函数的导数是一个常见形式，计算指数函数的导数需要用到自然对数。
高考导数解答题中常见的放缩大法
(高手必备）高考导数大题中最经常使用的放缩大法之邯郸勺丸创作相信很多读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟,将庞杂的函数求导,再对导函数求导,再求导,然后就没有然后了......如果懂得了最罕见的放缩,如：人教版课本中经常使用的结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈,变形即为sin 1x x<,其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1.⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>.将这些不等式简单变形如下：ex x ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解. 例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(⋅≤>++=若对任意的设恒成立,求a 的取值规模.放缩法：由可得：1+≥x e x高考中最罕见的放缩法可总结如下,供大家参考.第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-,ln x x <,()ln 1x x +≤（放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭,()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭, )ln 1x x<>,)ln 01x x ><<, （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-,()()21ln 1102x x x x +≤--<<,()()21ln 102x x x x +≥-> （放缩成类正比例函数）1ln 1x x ≥-,()()21ln 11x x x x ->>+,()()21ln 011x x x x -<<<+, ()ln 11x x x +≥+,()()2ln 101x x x x +>>+,()()2ln 101x x x x +<<+ 第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+,x e x >,x e ex ≥, （放缩成类正比例函数）()101x e x x ≤≤-,()10x e x x<-<, （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>,2311126x e x x x ≥+++, 第三组：指对放缩第四组：三角函数放缩()sin tan 0x x x x <<>,21sin 2x x x ≥-,22111cos 1sin 22x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数ln y x =,11x y e -=-,2y x x =-,11y x=-,ln y x x =.拓展阅读：为何高考中总是考这些超越函数呢？e x ln因为高考命题和x专家是大学老师,他们站在高不雅点下看高中数学,一览无遗.作为学生没有多大需要去去了解大学的知识,但是作为老师却是有很大的需要去理解感悟高考题命题的布景.超出函数实质上就是初等数学中的泰勒公式.即从某个点x处,我们可以构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值,如果这个点是0,就是形式比较简单的麦克劳林级数.简而言之,它的功效就是把超出式近似暗示为幂函数.罕见的幂级数展示式有：时间：二O二一年七月二十九日。
导数 三角放缩
导数三角放缩
我们要证明一个关于三角函数的放缩不等式，具体来说，我们要证明：
当0 < x < π/2时，有sin x < x < tan x。
首先，我们需要理解导数在数学分析中的作用。
导数描述了一个函数在某一点的切线的斜率，也描述了函数值随自变量变化的速率。
对于函数f(x)，其导数f'(x)描述了f(x)在x点的切线斜率。
如果f'(x) > 0，那么函数在该区间内是增函数；如果f'(x) < 0，那么函数在该区间内是减函数。
现在，我们来分析题目中的三个函数：sin x, x 和tan x。
1. 对于sin x，其导数为cos x。
在0 < x < π/2的区间内，cos x < 1，所以sin x是增函数。
2. 对于x，其导数始终为1，所以在任何区间内都是增函数。
3. 对于tan x，其导数为sec^2 x = 1 + tan^2 x。
在0 < x < π/2的区间内，tan x > 0，所以sec^2 x > 1，tan x是增函数。
由于这三个函数在0 < x < π/2的区间内都是增函数，且tan x
和x在该区间内始终大于sin x，所以有sin x < x < tan x。
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1,x x e x e ex ≥+≥变形有法之放缩有度一：引例1()ln 1()02018x f x ae x f x e=--≥≥已知函数。
证明：当a 时（年全国卷文），11ln 1x e x x x ≥+≤-考虑：，放缩-11()ln 1ln 1x x ef x ae x e x ≥=--≥--≥证明如下：因为a 所以x-(x-1)-1=0 以上两题主要利用两个常见的放缩：1x e x ≥+（1）：ln 1x x ≤-（2）： 本讲座主要讲述四个方面：1.对放缩法的认识2.为什么要放缩？3.怎么放缩？了解几种常见的放缩，从而解决不等式证明与恒成立问题。
4.对放缩法的进一步认识（泰勒展开式）。
一．指数、对数的放缩常见指数放缩：11-ln -1x x x ≤≤常见对数放缩：2201813()x ax x f x e +-=已知函例1：（年全数国卷） 1()0a f x e ≥+≥（2）证明：当时，212+1221+1+1+(x+2)x+1()=0x x x x x x ax x e x x e x x f x e e e e e ++-+-+-+=≥≥≥（）证毕。
221()(ln 22,01)6x f x a x x a R x-=-+∈例：（年山东理）已知1()0a f x ≥≥证明：（1）先证：时，恒成立1()0a f x <≥再证：时，不恒成立1()ln 1(1)10a f x x x x x ≥≥--≥---=时，1(1)=10,()0a f a f x <-<≥时，故不恒成立1a ≥综上得3()'()[1,2]2f x f x x >+∈求证：当a=1时，对任意恒成立233125[1,2]ln 02x x x x x x ∈-++-->即证：当时，g(x)=恒成立4324326'(1)x x x x g x x---+=常规方法：，思路简单，过程复杂繁琐。
2常规方法：对g(x)分解成两个函数的和，分别求最小值，相加即可。
ln 1x x ≤-放缩考虑：法：232331253125ln (1)22x x x x x x x x x x -++--≥--++--g(x)=2331232x x x =+--，23312302x x x +--≥先证32430x x +--≥2即证：6x （易证）考虑不能同时取等，即可得原式得证。
21()ln .()x f x ex x x f x xe e =-<+例3：已知求证：1()ln 0x g x e x ex ex =+-+>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅即证：①-0x x e ex e ex ≥≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅考虑：，即②1ln 1,x x ≥-11ln 1,ln +0ex x ex ex ⇒≥-≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅即③由②③相加，且不能同时取等，即可得①式成立，即证。
()ln 1(1)()02ln 10xf x ax x f x a e x x x-=--≥++-≥例4：已知若恒成立，求的取值范围（）证明：ln 1x x ≤-考虑解：放缩法，2()ln ,0,5)0f x x ax x x f x a =-->≥若对任意都有（恒成立，求例：已知函数的范围。
≤（2）：利用lnx x-1可得：ln 1x x e e x x --≤-ln 1++ln 10x xe e x x x x x x --⇒--≤-⇒-≥ 222()ln -1=+1+1f x x ax x x ax x x a x =--≥---（）（）2221()ln -1=-10a f x x ax x x x x x ≤=--≥--≥当时，（）（）1(1)10a f a >=-<当时，，不恒成立1a ≤综上得参考练习：()ln 220f x x x a =-+>≥∈21：，，若f(x)-ax +ax 在x [1,e]恒成立，求a 的取值范围 22. x 1(1)ln 10a x x x a ≥-+-+≤时，恒成立，求取值范围13. 0()ln(1)2101x f x a x x a x ≥=+++-≥+若时，恒成立，求取值范围二．三角函数的放缩常见三角函数的放缩：sin 1,cos 1x x ≤≤（1）)sin tan 2x x xπ∈<<（2）x (0,时，()sin ln(1)0()0f x x x x f x ax =++≥-≤例6：已知 当时，恒成立，求a 的取值范围。
2a ≥解：显然，证明如下：2()=sin ln(1)a f x ax x x ax ≥-++-≤当时，(2)0x x ax a x +-=-≤2a <当时，令h(x)=sinx+ln(x+1)-ax,则h(0)=0，h'(0)=2-a>0()0h x ≤则不恒成立2a ≥综上可得4.[0,]sin cos 02x x x ax x a π∈+-≥4参考练若时，f(x)=恒成立求的取习：值范围。
三．其它类型放缩:ln 70,00x xx e λλλλ>>-≥例：设若对任意都有恒成立。
求取值范围。
ln ()x xf x e λλ=-解令：，,ln x xe ex x e ≥≤考虑：。
得：22ln 11()xxx e f x e ex xe e λλλλλλ-=-≥-⋅=⋅22110()0e f x e e λλλ-≥≥≥当，即时，恒成立。
11ln11ln ln 0()=0,e e e e f e e λλλλλλλλ⋅++<<=+<=当时， 1e λ≥综上可得1(201621()1()1x f x f x e x x-->2例8：年四川理）设=ax -a-lnx.试确定a 可能的值，使>在时恒成立。
11()-0(1,)x g x e x -⇔=+>+∞2解：原式ax -a -lnx 在恒成立，求a 的范围。
(1)0,()0g g x =>恒成立1'(1)0,2g a ∴≥≥得1()02a g x ≥>即为恒成立的必要条件。
接下来证充分性:111()-02x a g x e x -≥=+>2即证：时，ax -a -lnx 恒成立11111111()---22x x x g x e e e x x x ---=+≥+≥+22a （x -1）-lnx （x -1）-lnx （2x-2）-lnx11=-1x e x x -+--lnx11()-10x h x e x x -=+->-lnx 再证 22122221111121(1)'()-11=0()1+(1)0()0xx x x h x e x x x x x x x h x h h x --+-=-++≥--++=>∞=>证明如下：即在（，）为增函数，又易得12a ≥综上可得四．泰勒展开式231..............2!3!!nxx x x e x n =++++++211ln(1).......(1).....2nn x x x x n -+=-++-+00001()()'()()()n f x f x f x x x f x x x ==+-=时，为在处的切线方程。
20000002()()'()()+''()()()n f x f x f x x x f x x x f x x x ==+--=时，为在处的二次切线方程。
我们高中范围的放缩，大都是根据曲线与n 次切线的关系进行的一个放缩。
五．练习参考答案()ln 220f x x x a =-+>≥∈21：，，若f(x)-ax +ax 在x [1,e]恒成立，求a 的取值范围21()ln 220g x ax ax x x ⇔=-+-+≥（1）参考练习答案：原式1()0a g x ≥≥先证：当时，恒成立。
如下：2221()()ln 22ln 22-22g x a x x x x x x x x x x x x =-+-+≥-+-+≥-+-+（1）321(1)3-3=0x x x x x --+≥1()0a g x <≥再证：当0<时，不恒成立。
如下：22()ln 22(1)22(1)(1)g x ax ax x x ax ax x x x ax =-+-+≤-+--+=--111a a <>因为0<，则1,]e （则在区间00110x ax a <-<，即必存在，000()(1)(1)0g x x ax ≤--<则1()0a g x <≥故0<时，不恒成立1a ≥综上可得22. x 1(1)ln 10a x x x a ≥-+-+≤时，恒成立，求取值范围（2）参考练习2答案：22()(1)ln 10()(1)ln 1ln 111=0g x a x x x a g x a x x x x x x x =-+-+≤=-+-+≤-+≤--+令当时，222110()(1)ln 1(1)(1)1(1)ax a g x a x x x a x x x x x ->=-+-+≥-+--+=-⋅当时，000110,(1,)10x x ax a a >+∞>->则因在必存在，使，即为2000010()(1)0()0ax a g x x g x x ->≥-⋅>≤当时，。
即不恒成立0a ≤综上可得13. 0()ln(1)2101x f x a x x a x ≥=+++-≥+若时，恒成立，求取值范围参考练习3答案：1ln 1x x x ≤≤-利用放缩：1-21111()ln(1)21ln(1)212101111x a f x a x x x x x x x x x x ≥-=+++-≥-+++-≥-++-=≥++++当时，1111()ln(1)21(1)21(21)1111xa f x a x x a x x a x x x x <-=+++-<⋅-++-=++++++当时，0000001(0,)210()(21)021x a x x a f x x a x +∈-++<<++<+若时，，则1()01()0a f x a f x ≥-≥<-≥以上可知：时，恒成立。
时，不恒成立1a ≥-综上可得4.[0,]sin cos 02x x x ax x a π∈+-≥4若时，f(x)=恒成立 求的取参考练习：值范围。
2sin cos sin 2cos 2sin 2cos =2cos (tan )0a x x ax x x x x x x x x x x x ≤+-≥+≥≥---≥（4）参考练此时f(x)习4解：当时，0恒成立。