导数与函数之放缩技巧

1,x x e x e ex ≥+≥变形有法之放缩有度

一：引例

1

()ln 1()02018x f x ae x f x e

=--≥≥已知函数。证明：当a 时（年全国卷文）

，1

1ln 1x e x x x ≥+≤-考虑：，放缩

-11

()ln 1ln 1x x e

f x ae x e x ≥

=--≥--≥证明如下：因为a 所以x-(x-1)-1=0 以上两题主要利用两个常见的放缩：

1

x e x ≥+（1）：

ln 1

x x ≤-（2）： 本讲座主要讲述四个方面：

1.对放缩法的认识

2.为什么要放缩？

3.怎么放缩？了解几种常见的放缩，从而解决不等式证明与恒成立问题。

4.对放缩法的进一步认识（泰勒展开式）。

一．指数、对数的放缩

常见指数放缩：

1

1-ln -1

x x x ≤≤常见对数放缩：

220181

3()x ax x f x e +-=

已知函例1：（年全数国卷） 1()0

a f x e ≥+≥（2）证明：当时，

212+122

1+1+1+(x+2)x+1()=0

x x x x x x ax x e x x e x x f x e e e e e ++-+-+-+=≥≥≥（）

证毕。

2

21

()(ln 22,01)6x f x a x x a R x

-=-+

∈例：（年山东理）已知

1()0a f x ≥≥证明：（1）先证：时，恒成立1()0a f x <≥再证：时，不恒成立1()ln 1(1)10

a f x x x x x ≥≥--≥---=时，1(1)=10,()0a f a f x <-<≥时，故不恒成立1

a ≥综上得

3

()'()[1,2]2

f x f x x >+∈求证：当a=1时，对任意恒成立

233125

[1,2]ln 02

x x x x x x ∈-++-->即证：当时，g(x)=恒成立

4324

326

'(1)x x x x g x x

---+=常规方法：，思路简单，过程复杂繁琐。 2常规方法：对g(x)分解成两个函数的和，分别求最小值，相加即可。 ln 1x x ≤-放缩考虑：法：

232331253125ln (1)22x x x x x x x x x x -++--≥--++--

g(x)=

2331232x x x =

+--，233123

02x x x +--≥先证32430x x +--≥2即证：6x （易证）

考虑不能同时取等，即可得原式得证。

21

()ln .()x f x ex x x f x xe e =-<+例3：已知求证：

1

()ln 0x g x e x ex ex =+-+

>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅即证：①

-0x x e ex e ex ≥≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅考虑：，即②

1ln 1,x x ≥-11

ln 1,ln +0ex x ex ex ⇒≥-≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅即③

由②③相加，且不能同时取等，即可得①式成立，即证。

()ln 1(1)()02ln 10

x

f x ax x f x a e x x x

-=--≥++-≥例4：已知若恒成立，求的取值范围（）证明：

ln 1

x x ≤-考虑解：放缩法，2

()ln ,0,5)0f x x ax x x f x a =-->≥若对任意都有（恒成立，求例：已知函数的范围。

≤（2）：利用lnx x-1可得：

ln 1x x e e x x --≤-ln 1++ln 10x x

e e x x x x x x --⇒--≤-⇒-≥ 222()ln -1=+1+1

f x x ax x x ax x x a x =--≥---（）（）

2221()ln -1=-10

a f x x ax x x x x x ≤=--≥--≥当时，（）（）

1(1)10a f a >=-<当时，，不恒成立

1

a ≤综上得

参考练习：

()ln 220f x x x a =-+>≥∈21：，，

若f(x)-ax +ax 在x [1,e]恒成立，求a 的取值范围 22. x 1(1)ln 10a x x x a ≥-+-+≤时，恒成立，求取值范围

1

3. 0()ln(1)2101x f x a x x a x ≥=++

+-≥+若时，恒成立，求取值范围

二．三角函数的放缩

常见三角函数的放缩：

sin 1,cos 1

x x ≤≤（1）

)sin tan 2x x x

π

∈<<（2）x (0,时，

()sin ln(1)

0()0f x x x x f x ax =++≥-≤例6：已知 当时，恒成立，求a 的取值范围。

2a ≥解：显然，证明如下：

2()=sin ln(1)a f x ax x x ax ≥-++-≤当时，(2)0

x x ax a x +-=-≤

2a <当时，令h(x)=sinx+ln(x+1)-ax,则h(0)=0，h'(0)=2-a>0

()0h x ≤则不恒成立

2

a ≥综上可得

4.[0,]sin cos 02

x x x ax x a π

∈+-≥4参考练若时，f(x)=恒成立求的取习：

值范围。