柯布道格拉斯生产函数

技术柯布道格拉斯生产函数经济学解析

。
Y=产出
y = f(x)=生产函数
①单投入，单产出
生产集
X=投入
技术的例子（生产函数的各种形式）
里昂惕夫生产函数：
令a>0,b>0,那么，f(x1,x2)=min(ax1,bx2) 为里昂惕夫技术。如下图
柯布-道格拉斯生产函数：
f(x1,x2)=
AX
a 1
X
b 2
,
被称为柯布—道格拉斯生产函数.其
dx1 dx1
x2
a b
1 x12
dx2 dx1
x1
x2
0
a, b,
x1,
x2
0,
dx2 dx1
0
上式表明：C-D生产函数等产量线斜率的变化率为正，故等产量线凸向原点。
三、边际产品
假设生产函数为：y f (x1, , xn )
边际产品是一种比率，它是在其他的
投入量固定不变的情况下，增加1单位要素1的投入量而获得的额外产量。即：MPi
2
2
x
'' 2
x1'
B(x1'' , x2'' ) y f (x1, x2 )
x1''
x1
柯布道格拉斯的生产函数的凸性
对 f ( x1,x2 ) Ax1a x2b 进行微分
df
f x1
dx1
f x2
dx2
( Aax1a1x2b )dx1
(
Abx a 1
x2b
1
)dx2
由于 df 0 ，故
Aax1a1x2bdx1 Abxa1x2b1dx2
y '''

柯布道格拉斯的应用原理

柯布道格拉斯的应用原理1. 什么是柯布道格拉斯法柯布道格拉斯法（Cobb-Douglas function）是一种经济学中常用的生产函数形式，用于描述生产过程中产出与投入之间的关系。

该函数最早由美国经济学家柯布（Charles W. Cobb）和道格拉斯（Paul H. Douglas）在1928年提出。

2. 柯布道格拉斯函数的数学表达式柯布道格拉斯函数可以用以下的数学表达式表示：Q = A * (L^a) * (K^b)其中，Q表示产出，A表示全要素生产率（Total Factor Productivity），L表示劳动力投入，K表示资本投入，a和b为可调参数，表示生产函数中各种投入要素的弹性。

3. 柯布道格拉斯函数的应用领域柯布道格拉斯函数广泛应用于经济学研究中，特别在生产函数的分析和经济增长模型中有重要应用。

下面列举几个柯布道格拉斯函数的应用领域：•生产力分析：柯布道格拉斯函数可以用来分析不同投入要素对产出的影响。

通过调整参数a和b的大小，可以评估不同要素对产出增长的贡献程度。

•资源配置优化：柯布道格拉斯函数可以帮助决策者优化资源的分配方式。

通过对不同要素的弹性进行比较，可以确定投入要素的最佳组合，以实现最大的产出。

•经济增长模型：柯布道格拉斯函数是许多经济增长模型的基础。

通过引入技术进步和全要素生产率的概念，可以建立经济增长模型，用来解释不同要素对经济增长的影响。

4. 柯布道格拉斯函数的优缺点柯布道格拉斯函数作为一种常用的生产函数形式，具有以下的优点和缺点：4.1 优点•简单易用：柯布道格拉斯函数的数学表达式简单明了，易于计算和分析。

•灵活性：通过调整参数a和b的值，可以适应不同的实际情况和要求。

•可解释性：柯布道格拉斯函数的参数a和b可以用来解释不同投入要素对产出的影响。

4.2 缺点•缺乏微观基础：柯布道格拉斯函数并没有明确的微观基础，只是一种经验性的数学模型。

•不考虑替代性：柯布道格拉斯函数假设劳动力和资本是不可替代的，但实际上在一些行业中，劳动力和资本是可以相互替代的。

柯布道格拉斯函数历史

1、柯布——道格拉斯生产函数原是创始人—数学家柯布和经济学家道格拉斯想借助它们用经济计量学方法得到的生产函数来分析国民收入在工人和资本家之间的分配,并通过它来证实边际生产率原理的正确性。

因此他们是为了洞察收入分配而考察生产关系的。

后来他们的生产函数的收入分配方面失去了重要意义,现在它已被广泛地用于研究生产的投入产出关系。

随着增长理论的发展,应用的范围得到了进一步的扩大。

柯布一道格拉斯生产函数是使用最为广泛的生产函数。

它是由柯布和道格拉斯根据1899——1922年间美国制造业部门的有关数据构造出来的。

其形式如下:1Q AK Lαα-=该函数形式是由维克塞尔(wicksell)首先使用的。

维克塞尔在《国民经济学讲义》的附注中指出这一函数形式(维克塞尔,1983):αβ=a b rP c一般化：=Q AK Lαβ其中Q是增加值,K是资本存量,L是雇用的劳动。

A为效率参数，表示那些影响产量,但既不能单独归属于资本也不能单独属于劳动的因素。

αβ和为分配参数或投入强度参数(同时也满足生产弹性,αβ（+）是规模弹性参数,反映该函数的齐次的次数。

2、CES函数1961年,由Arrow、chenery,Mihas,Solow四位学者提出了两要素CES生产函数,该函数在数学上相当简化,在统计上容易处理,而且还有固定的替代弹性的特性。

其基本形式为:1[(1)]Q A K L ρρρδδ---=+- 其中A 为效率参数[efficiency Parameter],表示资本和劳动的联合效率,δ为分配参数, ρ为替代参数,A>0,0<δ<1,1ρ-<<-∞,根据不同的ρ参数值,CES 生产函数包含着好几个著名的生产函数作为它的特例。

(l)当ρ=-1，CES 生产函数即为线性生产函数,形式如[(1)]Q A K L δδ=+-(2)当ρ=0，CES 生产函数即柯布道格拉斯函数生产函数,形式如下1Q AK L δδ--= (3)当ρ=+∞,CES 生产函数即为列昂惕夫人技术的生产函数[Leotief production Function](也被称之为投入一产出生产函数),形式如卜:Q=min 【欲,(l 一占)L 」(21)。

柯布--道格拉斯生产函数

柯布--道格拉斯生产函数柯布-道格拉斯生产函数是一种用来描述产出与产出要素输入之间关系的经济学模型。

该模型是由美国经济学家柯布和道格拉斯在20世纪20年代提出的，被广泛应用于宏观经济学中的生产函数分析。

Y = A L^α K^β其中，Y表示产出, L表示劳动力输入量, K表示资本输入量, A表示全要素生产率, α和β是生产函数中劳动力因素和资本因素的弹性系数，而α+β的总和表示生产函数的规模收益。

所谓规模收益是指生产要素的总量增加一倍，能使产出增加的比例。

即α+β大于1时，存在递增规模收益；等于1时，存在恒等规模收益；小于1时，存在递减规模收益。

该生产函数的基本思想是，产出量可以用输入的各种生产要素数量来解释，而生产效率的提升可以通过升级技术和管理方法等手段来实现。

这一经济学模型通过科学地评估生产要素的投入和产出之间的关系，从而有效地指导产品生产的决策，同时也为企业实现成本最小化和效益最大化提供了理论基础。

优点：1.全要素生产率是该模型的核心概念，所包含的生产要素非常广泛，可以更全面地反映产出与产出要素之间的关系。

2.该模型能够帮助企业优化生产要素的投入，提高生产效率和效益。

3.对于某些复杂的生产运营系统，利用柯布-道格拉斯生产函数可以更加精细地建立生产模型，以便于深入分析和研究。

1.柯布-道格拉斯生产函数基于某一市场的生产数据，不适用于所有市场，无法复刻到所有不同形式的生产环境中。

2.该模型忽略了信息、技能和组织等非生产要素对企业产出的影响，对于这些影响因素的分析不够完备。

3.由于该模型只考虑单一生产函数，可能无法很好地解释某些特殊的产出情况。

计量经济学柯布道格拉斯

经济含义：
柯布-道格拉斯生产函数通常被人们称为性状良好的生产函数，因为利用它可以较好地研究生产过程中的投入和产出问题。当α+β=1时，α和β分别表示劳动和资本在生产过程中的相对重要性，或者说是表示劳动所得和资本所得在总产量中所占的份额；A通常用来表示技术进步因素（包括经营管理水平、劳动力素质、引进先进技术等）。根据α和β的组合情况，往往可以用柯布-道格拉斯生产函数来判断企业的规模报酬状况： ①α+β>1，称为递增报酬型，表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是有利的。规模报酬递增是指产量增加的比例大于各种生产要素增加的比例。造成规模报酬递增的原因在于由于规模扩大带来生产效率的提高。
根据柯布和道格拉斯对美国1899年到1922年期间有关经济资料的分析和估算，A值为1.01，α值为0.75，β值为0.25 Q=1.01 L0.75·K0.25 这说明，在技术水平不变的情况下，每增加1%的劳动所引起的产量增加将3倍于每增加1%的资本所引起的产量增加。这一结论与美国工资收入与资本收益之比（3：1）大体相符。
②α+β<1，称为递减报酬型，表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是得不偿失的。如果产量增加的比例小于各种生产要素增加的比例，则为规模报酬递减。造成规模报酬递减的原因在于，由于规模过大使得生产的各个方面难以协调，从而降低生产效率。 ③α+β=1，称为不变报酬型，表明生产效率并不会随着生产规模的扩大而提高，只有提高技术水平，才会提高经济效益。规模报酬不变是指产量增加的比例等于各种生产要素增加的比例。造成规模报酬不变的原因是，在规模报酬递增阶段的后期，大规模生产的优越性已得到充分发挥，厂商逐渐用完了种种规模优势，从而导致厂商规模增加的幅度与报酬增加幅度相等。

柯布-道格拉斯生产函数

柯布-道格拉斯生产函数柯布—道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家保罗·道格拉斯(PaulH.Douglas)共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是以美国数学家C．W．柯布和经济学家保罗．H．道格拉斯的名字命名的，是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。

用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，简称生产函数。

是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，它在数理经济学与经济计量学的研究与应用中都具有重要的地位。

柯布-道格拉斯生产函数-简介保罗·道格拉斯柯布和道格拉斯研究的是1899年至1922年美国制造业的生产函数。

他们指出，制造业的投资分为，以机器和建筑物为主要形式的固定资本投资和以原料、半成品和仓库里的成品为主要形式的流动资本投资，同时还包括对土地的投资。

在他们看来，在商品生产中起作用的资本，是不包括流动资本的。

这是因为，他们认为，流动资本属于制造过程的结果，而非原因。

同时，他们还排除了对土地的投资。

这是因为，他们认为，这部分投资受土地价值的异常增值的影响较大。

因此，在他们的生产函数中，资本这一要素只包括对机器、工具、设备和工厂建筑的投资。

而对劳动这一要素的度量，他们选用的是制造业的雇佣工人数。

但是，不幸地是，由于当时对这些生产要素的统计工作既不是每年连续的，也不是恰好按他们的分析需要来分类统计的。

因而，他们不得不尽可能地利用有的一些其它数据，来估计出他们打算使用的数据的数值。

比如，用生铁、钢、钢材、木材、焦炭、水泥、砖和铜等用于生产机器和建筑物的原料的数量变化来估计机器和建筑物的数量的变化；用美国一两个州的雇佣工人数的变化来代表整个美国的雇佣工人数的变化等等。

经过一番处理，他们得到关于1899年至1922年间，产出量P、资本C和劳动L的相对变化的数据（以1899年为基准）。

令人佩服的是，在没有计算机的年代里，他们从这些数据中，得到了如下的生产函数公式：P=1.01L3/4C1/4柯布（C.W.Cobb）这一结果虽然与现代计算机统计软件的计算结果不同，但两者无本质上的差别。

柯布--道格拉斯生产函数

dQ d[cL(t) y (t)] cL(t)y 1 dy c dL(t) y 0
dt
d (t)
dt d (t)
整理得：
dQ dt

0

1

K0 K0
e(1 )t

1
1
因为 0 ，1所以上式右端恒大于1，因而当左端中（0即
)e (1
) t
1 ]

知：
dy dt
0 1
K0 K0
e(1 ) t
0
显然，此式成立的条件为

K0 K0
1

K0 K0
此式含义为：劳动力相对增长率小于初始投资增长率
······数理学派在这时运用数学方法，只对资本主义关系做数量上的说明，而抛开对资本主义经济制度本质的研究，这样就更有利于掩盖资本主义的剥削和矛盾。同时，她运用数学方法，也企图用数学的精确性和科学性，使资产阶级政治经济学具有一种高度科学性的假象和外观。
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0
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五、模型的改进与推广
1，探讨资金和劳动力的最佳分配（静态）
➢何为最佳分配？ ➢成本包括哪些？
资金来自贷款，利率 r
劳动力付工资 w
资金和劳动力创造的效益 S Q rK wL
问题转化为K/L满足什么条件使得S最大
S K
0 QK
r
0
S L 0 QL W 0
QK QL

CK L 1 1 C(1)K L
r w
K w
L 1 r
由该式可知：当，w变大、r变小时，分配

柯布-道格拉斯生产函数.docx

柯布 - 道格拉斯生产函数柯布—道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布 (C.W.Cobb) 和经济学家保罗·道格拉斯(PaulH.Douglas) 共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是以美国数学家C．W．柯布和经济学家保罗．H．道格拉斯的名字命名的，是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。

用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，简称生产函数。

是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，它在数理经济学与经济计量学的研究与应用中都具有重要的地位。

柯布 - 道格拉斯生产函数- 简介保罗·道格拉斯柯布和道格拉斯研究的是 1899 年至 1922 年美国制造业的生产函数。

他们指出，制造业的投资分为，以机器和建筑物为主要形式的固定资本投资和以原料、半成品和仓库里的成品为主要形式的流动资本投资，同时还包括对土地的投资。

在他们看来，在商品生产中起作用的资本，是不包括流动资本的。

这是因为，他们认为，流动资本属于制造过程的结果，而非原因。

同时，他们还排除了对土地的投资。

这是因为，他们认为，这部分投资受土地价值的异常增值的影响较大。

因此，在他们的生产函数中，资本这一要素只包括对机器、工具、设备和工厂建筑的投资。

而对劳动这一要素的度量，他们选用的是制造业的雇佣工人数。

但是，不幸地是，由于当时对这些生产要素的统计工作既不是每年连续的，也不是恰好按他们的分析需要来分类统计的。

因而，他们不得不尽可能地利用有的一些其它数据，来估计出他们打算使用的数据的数值。

比如，用生铁、钢、钢材、木材、焦炭、水泥、砖和铜等用于生产机器和建筑物的原料的数量变化来估计机器和建筑物的数量的变化；用美国一两个州的雇佣工人数的变化来代表整个美国的雇佣工人数的变化等等。

经过一番处理，他们得到关于1899 年至 1922 年间，产出量 P、资本 C 和劳动 L 的相对变化的数据（以 1899 年为基准）。

柯布-道格拉斯生产函数

柯布-道格拉斯生产函数柯布—道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家保罗·道格拉斯(PaulH.Douglas)共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是以美国数学家C．W．柯布和经济学家保罗．H．道格拉斯的名字命名的，是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。

用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，简称生产函数。

是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，它在数理经济学与经济计量学的研究与应用中都具有重要的地位。

柯布-道格拉斯生产函数-简介保罗·道格拉斯柯布和道格拉斯研究的是1899年至1922年美国制造业的生产函数。

他们指出，制造业的投资分为，以机器和建筑物为主要形式的固定资本投资和以原料、半成品和仓库里的成品为主要形式的流动资本投资，同时还包括对土地的投资。

在他们看来，在商品生产中起作用的资本，是不包括流动资本的。

这是因为，他们认为，流动资本属于制造过程的结果，而非原因。

同时，他们还排除了对土地的投资。

这是因为，他们认为，这部分投资受土地价值的异常增值的影响较大。

因此，在他们的生产函数中，资本这一要素只包括对机器、工具、设备和工厂建筑的投资。

而对劳动这一要素的度量，他们选用的是制造业的雇佣工人数。

但是，不幸地是，由于当时对这些生产要素的统计工作既不是每年连续的，也不是恰好按他们的分析需要来分类统计的。

因而，他们不得不尽可能地利用有的一些其它数据，来估计出他们打算使用的数据的数值。

比如，用生铁、钢、钢材、木材、焦炭、水泥、砖和铜等用于生产机器和建筑物的原料的数量变化来估计机器和建筑物的数量的变化；用美国一两个州的雇佣工人数的变化来代表整个美国的雇佣工人数的变化等等。

经过一番处理，他们得到关于1899年至1922年间，产出量P、资本C和劳动L的相对变化的数据（以1899年为基准）。

令人佩服的是，在没有计算机的年代里，他们从这些数据中，得到了如下的生产函数公式：P=1.01L3/4C1/4柯布（C.W.Cobb）这一结果虽然与现代计算机统计软件的计算结果不同，但两者无本质上的差别。

柯布—道格拉斯生产函数的一般形式

到1/3。
1
K=2/3
L=1
K=1/3
Q2=90
L=1 L=1
Q1=75
0
1
2
3
4
5
每月投入劳动
MRTS递减规律
在产量或其它条件不变的情况下，如果不断增加一种要素以替代另一生产要素，则一单位该生产要素所能替代的另一种生产要素的数量将不断减少。
MRTS递减性质的经济含义是：
当大量使用劳动来替代资本时，劳动的生产率会下降；
边际产出－ 10 20 30 20 15 13 4 0 -4 -8
TP、MP和AP
L1
L2 L3
边际产量递减规律
边际产量（边际投入的报酬）
当包括技术在内的其它投入固定不变时，一种投入数量增加最终会达到一个临界点，在它以后产出水平会因为这一投入的增加而减少。
边际产量先递增、后递减一般来讲，如果前提条件改变，将推迟边际产量递减
等产量线的斜率（绝对值）：在固定产出不变的前提下，一种投入品替代另一种投入品的替代比率。即MRTS。
边际技术替代率
MRTS LK
K L

MPL MPK
L对Kห้องสมุดไป่ตู้MRTS是其边际产量的比率
Q f (L, K)
dQ Q dL Q dK L K
Q dQ 0;
Q dL dK 0 L K
大量使用资本来替代劳动时，资本的生产率会下降；
A代表技术水平，K，L分别代表资本和劳动， α 和 β 分别表示劳动和资本在生产过程中的作用。
短期和长期
长期：所有投入都是可变的
Q=f（K，L）
短期：至少有一种投入是不可变的，假设资本不变，则：

柯布道格拉斯生产函数

柯布道格拉斯生产函数柯布道格拉斯生产函数前言在社会经济的发展中，生产力的提高是推动经济持续增长的重要因素之一。

生产函数是研究生产力的核心工具，柯布道格拉斯生产函数是其中的经典代表之一。

下面将对柯布道格拉斯生产函数进行详细介绍。

一、生产函数的概念生产函数是研究生产关系的基本方法，它描述了技术、资本和劳动等生产要素之间的数量关系，即输入到输出的转化关系。

生产函数通常以数学公式的形式表达，可以表示为：Y = F(K, L)其中，Y表示产出，K表示资本，L表示劳动，F代表生产函数。

生产函数需要满足以下性质：1.生产函数是单调递增的，即当资本和劳动数量增加时，产出也会增加。

2.生产函数的边际收益递减，即当某一要素的投入增加时，对应的产出增加量会逐渐减少。

3.生产函数的二阶导数是负数，即边际产出弹性递减。

二、柯布道格拉斯生产函数的基本形式柯布道格拉斯生产函数是一种以“常比例”为特征的生产函数，它的基本形式为：Y = AK^α L^β其中，Y、K、L、A分别表示产出、资本、劳动、全要素生产率；α、β为弹性系数，常数A反映了技术水平和生产组织的效率。

三、柯布道格拉斯生产函数的特点1. 规模报酬递增当资本和劳动的增加引起产出增加的比率超过资本和劳动增加的比率时，称之为规模报酬递增。

对于柯布道格拉斯生产函数来说，如果α+β>1，则在所有的生产要素数量翻倍的情况下，产品输出将以更快的比率增长。

2. 规模报酬递减当资本和劳动的增加引起产出增加的比率低于资本和劳动增加的比率时，称之为规模报酬递减。

对于柯布道格拉斯生产函数来说，如果α+β<1，则在所有的生产要素数量翻倍的情况下，产品输出将以更慢的比率增长。

3. 规模报酬不变当资本和劳动的增加引起产出增加的比率等于资本和劳动增加的比率时，称之为规模报酬不变。

对于柯布道格拉斯生产函数来说，如果α+β=1，则在所有的生产要素数量翻倍的情况下，产品输出将按照同样的比率增长。

专题拓展5.1：柯布——道格拉斯生产函数

专题拓展5.1:柯布——道格拉斯生产函数社会财富的生产过程是多种多样的。

几千年来，随着生产力水平的不断提高，人类生产活动的形式，已从刀耕火种的落后状态发展到电子计算机控制的大规模自动化生产。

然而，从经济学的角度来看，无论何种生产过程，都可以看成是在一定社会、经济、技术和自然条件下，一组技术要素转化为产出的过程。

生产函数就是在某些前提假设下，描述这一过程的经济数学模型。

它表示的是在一定的技术水平下各种生产要素投入量的某一组合同它所能产出的最大可能产出量之间的关系。

西方经济学家对生产函数的定义，以诺贝尔经济学奖获得者萨缪尔森教授为生产函数所下的定义为代表。

他认为生产函数是一种技术关系，被用来表明每一种具体数量的投入物（即生产要素）的配合所可能生产的最大产量。

一定历史时期的生产函数是反映当时的社会生产力水平的。

只有明确一定历史阶段的社会生产力特征才能构造出最能反映当时生产力发展水平的生产函数。

柯布——道格拉斯生产函数正是在工业经济时代所构造出的反映工业经济时代生产力特征的函数模型。

柯布——道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家道格拉斯(P.H.Douglas)共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是在生产函数的一般形式上作了改进，引入了技术资源这一因素。

他们根据有关历史资料，研究了从1899－1922年美国的资本和劳动对生产的影响，认为在技术经济条件不变的情况下，产出与投入的劳动力及资本的关系可以表示为：其中：Y——产量；A ——技术水平；K ——投入的资本量；L ——投入的劳动量；——K和L的产出弹性。

指数表示资本弹性，说明当生产资本增加1%时，产出平均增长%；是劳动力的弹性，说明当投入生产的劳动力增加1%时，产出平均增长%；A是常数，也称效率系数。

函数中把 A技术水平作为固定常数，难以反映出因技术进步而给产出带来的影响，为了克服这一不足之处，应该对柯布——道格拉斯生产函数作以改进。

柯布道格拉斯生产函数

递减的边际技术替代率
所以对于这一生产函数而言在k 和 l能保证边际生产率递减的区域内边际技术替代率均为递减若k 和 l 较大则递减的边际生产率就足以抵消fkl 为负的影响以保证等产量线的凸性
规模报酬
产出会对所有投入的增加做何反应假设所有投入都翻番产出是否会翻番规模报酬从亚当斯密时代就进入了经济学家们的视野
替代弹性
如果较高 RTS 的变动没有k/l大等产量线会相对平坦如果较低 RTS 的变动会比 k/l 的变动大等产量线会相对陡峭沿着一条等产量线变动或随着生产规模变化而变动都是可能的
替代弹性
将替代弹性扩展至多投入情形会导致一些复杂的状况如果我们将两种投入间的替代弹性定义为两种投入之比的百分比变化除以RTS 的百分比变化我们必须保持产出和其他投入不变
规模报酬不变
规模报酬不变的生产函数对于投入是一阶齐次的 ftktl = t1fkl = tq 这就意味着边际生产率函数为零阶齐次的如果一个函数是k 阶齐次的那么其导数就是k-1阶齐次的
规模报酬不变
任何投入的边际生产率取决于资本和劳动之比而不是这些投入的具体水平 k 和 l 之间的边际技术替代率仅仅取决于k 和 l之比而不是运行规模
递减的边际技术替代率
假设生产函数为 q = fkl = 600k 2l 2 - k 3l 3 对于这种生产函数而言 MPl = fl = 1200k 2l - 3k 3l 2 MPk = fk = 1200kl 2 - 3k 2l 3 当kl < 400时 k 和 l 的边际生产率将为正
递减的边际技术替代率
规模报酬不变
生产函数是位似的从几何上看所有的等产量线均是彼此的射线扩展
规模报酬不变
l 每期

柯布一道格拉斯函数

柯布一道格拉斯函数格拉斯函数（Glass Function）是一种经济学模型，由柯布-道格拉斯生产函数（Cobb-Douglas Production Function）演化而来。

柯布-道格拉斯生产函数描述了产出与生产要素（劳动与资本）之间的关系，而格拉斯函数进一步展示了生产要素的变化和经济增长的动力学。

格拉斯函数的数学表示为：Y=A(K^α)(L^β)，其中Y代表产出，A代表总要素生产率，K代表资本输入，L代表劳动输入，α和β分别表示资本和劳动的弹性。

通过这个函数，我们可以看到生产要素对产出的贡献。

格拉斯函数的引入是为了解释生产要素的变更如何影响产出的增长率。

它提供了一个数量化生产要素相对变动的方式，这对经济政策制定者来说非常重要。

格拉斯函数展示了经济增长的核心因素，并通过弹性系数的变化来展示产出增长的动态。

首先，格拉斯函数说明了劳动和资本之间的互补性，也就是说，提高劳动投入会提高资本的边际产品，反之亦然。

当劳动或资本的比重在生产过程中发生变化时，格拉斯函数能够量化这种变化对产出的影响。

其次，格拉斯函数中的弹性系数α和β是非常重要的参数。

它们展示了不同生产要素对产出增长的贡献程度。

当α和β的数值大于1时，表明生产要素的增加对产出的贡献较大，反之较小。

这也意味着经济增长可能更容易通过提高劳动力和资本投入来实现。

在柯布-道格拉斯生产函数中，总要素生产率 A 的变化也会影响产出。

这可以通过格拉斯函数来 quant 所更容易度量。

例如，如果 A 增加了10%，同时劳动输入和资本输入都保持不变，那么根据格拉斯函数的模型，产出也应该增加 10%。

格拉斯函数的应用非常广泛。

除了用于经济增长和生产力分析，它还被用于评估不同国家或地区的经济优势和劳动力市场的效率。

政策制定者可以使用格拉斯函数来估计不同要素投入的最佳组合，以获得最大的产出增长。

虽然格拉斯函数提供了一种简单的方式来理解生产要素对经济增长的影响，但也有一些限制。

柯布-道格拉斯生产函数

• 这就意味着边际生产率函数为零阶齐次的。
– 如果一个函数是k 阶齐次的，那么其导数就是k-1阶齐次的
29
规模报酬不变
• 任何投入的边际生产率取决于资本和劳动之比(而不是这些投入的具体水平) • k 和 l 之间的边际技术替代率仅仅取决于 k 和 l之比，而不是运行规模
30
规模报酬不变
• 生产函数是位似的 • 从几何上看,所有的等产量线均是彼此的射线扩展
31
规模报酬不变
• 沿着一条从原点出发的射线 ( k/l不变), 所有等产量线上的RTS都是相同的
k 每期
随着产出扩张，等产量线均匀排列
q=3 q=2 q=1
l 每期
32
规模报酬
• 规模报酬可被扩展为n 种投入的生产函数
q = f(x1,x2,…,xn)
• 如果所有的投入均乘以一个正常数t, 可以得到
– 生产中劳动分工的进一步细化和专业化 – 效率降低，因为企业规模变大会导致管理难度增加
26
规模报酬
• 如果生产函数给定为 q = f(k,l)，所有的投入都乘以某个正常数 (t >1), 则
对产出的影响 f(tk,tl) = tf(k,l) f(tk,tl) < tf(k,l) f(tk,tl) > tf(k,l) 规模报酬不变递减递增
这一生产函数就意味着k 和 l 足够大时，边际生产率递减
– fll 和 fkk < 0 如果 kl > 200
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递减的边际技术替代率
• 对任一生产函数求二阶交叉导数得
fkl = flk = 2400kl - 9k 2l 2
仅当 kl < 266时，为正

柯布道格拉斯生产函数模型

柯布道格拉斯⽣产函数模型⽣产函数模型——经济增长分析柯布—道格拉斯⽣产函数的基本的形式为：式中Y是⼯业总产值A(t)是综合技术⽔平L是投⼊的劳动⼒数（万⼈/⼈）K是投⼊的资本，⼀般指固定资产净值（亿元/万元，但必须与劳动⼒数的单位相对应，劳动⼒：万⼈，固定资产净值：亿元）α是劳动⼒产出的弹性系数β是资本产出的弹性系数µ表⽰随机⼲扰的影响，µ≤1从这个模型看出，决定⼯业系统发展⽔平的主要因素是投⼊的劳动⼒数L、固定资产K 和综合技术⽔平A(t)（包括经营管理⽔平、劳动⼒素质、引进先进技术等）。

根据α和β的组合情况，它有三种类型：①α+β>1，递增报酬型，表明按现有技术⽔平扩⼤⽣产规模的来增加产出是有利的。

②α+β<1，递减报酬型，表明按现有技术⽔平扩⼤⽣产规模来增加产出是得不偿失的。

③α+β=1，不变报酬型，表明⽣产效率并不会随着⽣产规模的扩⼤⽽提⾼，只有提⾼技术⽔平，才会提⾼经济效益。

美国经济学家R.M.斯诺提出的中性技术模式即斯诺模型属于不变报酬型。

当µ=1时，斯诺模型为：根据柯布-道格拉斯⽣产函数可以得到下列经济参数（设µ＝1）：①劳动⼒边际⽣产⼒表⽰在资产不变时增加单位劳动⼒所增加的产值。

②资产边际⽣产⼒表⽰在劳动⼒不变时增加单位资产所增加的产值。

③劳⼒对资产的边际代换率表⽰产值不变时增加单位劳动⼒所能减少的资产值。

④劳动⼒产出弹性系数，表⽰劳动⼒投⼊的变化引起产值的变化的速率。

⑤资产产出弹性系数,表⽰资产投⼊的变化引起产值变化的速率。

国际上⼀般取α＝0.2～0.4,β=0.8～0.6。

中国根据国家计委测算⼀般可取α＝0.2～0.3,β＝0.8～0.7。

（三）斯诺模型美国经济学家R.M.斯诺提出的中性技术模式即斯诺模型属于不变报酬型。

当µ＝1时，斯诺模型为：Y = A(t)L1 ? εKε或，式中(1-ε)是劳动⼒产出的弹性系数。

计量经济学柯布道格拉斯ppt课件

③α+β=1，称为不变报酬型，表明生产效率并不会随着生产规模的扩大而提高，只有提高技术水平，才会提高经济效益。规模报酬不变是指产量增加的比例等于各种生产要素增加的比例。造成规模报酬不变的原因是，在规模报酬递增阶段的后期，大规模生产的优越性已得到充分发挥，厂商逐渐用完了种种规模优势，从而导致厂商规模增加的幅度与报酬增加幅度相等。
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应用
柯布—道格拉斯生产函数是现代经济增长实证分析的基础。在定量分析经济增长各生产要素贡献率的研究中，应用极为广泛。柯布 — 道格拉斯生产函数模型具有以下的特点： 1、柯布—道格拉斯生产函数模型中，A，α，β是固定参数。 2、可线性化。 3、参数估计和其它代数方程相比，计算比较方便。 4、运用柯布—道格拉斯生产函数模型进行技术经济分析，由于数据
OLS估计:借助计量分析软件Eviews6.0，利用所选择的样本数据对模型（2）进行OLS估计，得出结果如下表1：
得如下回归模型： LnY=-1.560+0.257LnK+0.682LnL+0.220Ln
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模型的统计检验: 拟合优度检验。由估计结果可知可决系数 R2=0.998，拟合优度较高，可以认为被解释变量基本上可以用多元线性回归方程中的解释变量来解释。因而，该回归方程通过模型拟合优度检验。F检验。由估计结果F=3975.24，在显著性水平α=0.05下，F0.05 （3，25）=2.99，F>> F0.05（3，25）=2.99，可以认为在α=0.05的显著性水平下，经济增长对物质资本、劳动力和科技进步投入有显著的线性关系，即通过F检验。t检验。选择显著性水平α=0.05，临界值T0.025 （ 2 5 ） = 2 . 0 6 ，由估计结果知， | t α | = 5 . 6 5 4 > t 0 ·0 2 5 （ 2 5 ） = 2 . 0 6 ， |tβ|=5.639>t0·025（25）=2.06，|tθ|=4.779>t0·025（25） =2.06，说明资本存量、劳动力和科技进步投入三个解释变量在统计上都是显著的，即对经济增长的影响是显著的。