有理数的混合运算-学生版

一、有理数的运算

（1）有理数的加法：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.

②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. ③一个数同0相加，仍得这个数.

（2）有理数的减法：减去一个数，等于加这个数的相反数.()a b a b -=+-

（3）有理数的乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.

（4）有理数的除法：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.1

a b a b ÷=⋅ （0b ≠ ）

（5）有理数的乘方：求n 个相同因数的积的运算叫做乘方.

二、科学计数法

把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中110a ≤<，n 是整数），此种记法叫做科学记数法．

一、有理数的加法

有理数加法法则：

①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.

②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. ③一个数同0相加，仍得这个数. 有理数加法的运算步骤：

法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤： ①确定和的符号；

②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差.

有理数的混合运算

知识回顾

知识讲解

有理数加法的运算律：

+=+（加法交换律）

①两个加数相加，交换加数的位置，和不变.a b b a

②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.

++=++（加法结合律）

a b c a b c

()()

有理数加法的运算技巧：

①分数与小数均有时，应先化为统一形式.

②带分数可分为整数与分数两部分参与运算.

③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.

④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.

⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.

⑥符号相同的数可以先结合在一起.

二、有理数的减法

有理数减法法则：

减去一个数，等于加这个数的相反数.()

a b a b

-=+-

有理数减法的运算步骤：

①把减号变为加号（改变运算符号）

②把减数变为它的相反数（改变性质符号）

③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.

有理数加减混合运算的步骤：

①把算式中的减法转化为加法；

②省略加号与括号；

③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.

注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.

三、有理数的乘法

有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.

有理数乘法运算律：

①两个数相乘，交换因数的位置，积相等. ab ba =（乘法交换律）

②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等. ()abc a bc =（乘法结合律） ③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. ()a b c ab ac +=+（乘法分配律）

有理数乘法法则的推广：

① 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；

负因数的个数是奇数时，积为负数.

② 几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0.

③ 在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小

数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算. 在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数.

四、有理数的除法

有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.1a b a b

÷=⋅，（0b ≠）

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何一个不等于0的数，都得0.

有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.

五、有理数的乘方

求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在中，a 叫做底数，n 叫做指数，读作a 的n 次幂。

注意： ()()

221

221

n

n n n a a a a

++-=-=-，，，

六、科学计数法

科学记数法：把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中110a ≤<，n 是整数），此种记法叫做

科学记数法．

例如：5200000210=⨯就是科学记数法表示数的形式． 710200000 1.0210=⨯也是科学记数法表示数的形式．

有效数字： 从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字．

如：0.00027有两个有效数字：2，7 ；1.2027有5个有效数字：1，2，0，2，7．

n a

注意：万4

10=，亿8

10=

常考点及易错点：科学计数法中的单位转换，精确到什么位与保留有效数字的差别．

记忆方法：移动几位小数点问题．比如：1800000要科学记数法，实际就是小数点向左移动到1和8之间，移动了6位，故记为61.810⨯．

七、有理数的混合运算

要正确掌握运算顺序，即乘方运算（和以后学习的开方运算）叫做三级运算；乘法和除法叫做二级运算；加法和减法叫做一级运算．在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序．

一、有理数的加法

【例1】 计算下列各题：

（1）（一11）+（一9）； （2）（一3.5）+（+7）； （3）（一1.08）+0；．

（4）（23+）+（2

3

-) （5）[（-22）+（-27）]+（+27）；

（6）（-22）+[（-27）+（+27）]

【变式练习】计算：

（1）()()()()()

-+++-+-++36475

同步练习