学位论文-—关于球面的有限覆盖问题的讨论

河北科技师范学院本科毕业论文关于球面的有限覆盖问题的讨论院（系、部）名称：数学与信息科技学院专业名称：数学与应用数学目录摘要 (I)Abstract (II)1引言 (1)2对平面有限区域及球面的有限覆盖问题的计算 (1)2.1平面有限区域的有限圆形覆盖问题 (1)2.1.1正方形的有限圆形覆盖问题的计算 (1)2.1.2长方形的有限圆形覆盖问题的计算 (2)2.2球面的有限球冠覆盖问题的计算 (3)2.2.1正多面体的球冠面积和锥角 (3)3 系统访问控制设计与实现 (4)3.1 访问控制需求分析 (4)3.1.1 系统业务功能 (4)3.1.2 系统用户逻辑 (4)3.2 系统访问控制自适应框架 (5)3.2.1 许可和角色管理 (6)3.2.3 数据表关系 (7)3.2.2 审批流程的功能实现 (7)结论 (8)参考文献 (8)致谢 (10)附录Ⅰ足球吊门仿真程序 .................................................................. 错误！未定义书签。

附录Ⅱ数据表关系图 .......................................................................... 错误！未定义书签。

关于球面的有限覆盖问题的讨论摘要卫星在国民经济和国防建设中有着重要的作用，对它们的运行过程进行测控是非常重要的。

每一个测控站只能观测到一个有限的圆锥形空间区域，可以称该有限区域被覆盖。

而卫星可以被理想地认为在一个固定的圆上或一个固定的球面上运动。

因此要完成对卫星的全程跟踪的任务，必须联合多个测控站对该圆或该球面进行全覆盖，而各个测控站的测控范围是全等的。

所以本文通过中心投射的思想将正多面体的每个面投射到该圆或该球面会得到有限个相同的小球冠，从而实现用有限个相同的小球冠来覆盖大圆或空球面的目的。

基于此，研究了正多面体与球面的关系，计算了各种正多面体与对应球冠的相关数据，分析了正多面体所对应球冠的锥角，从而得出球面有限覆盖的结论。

利用结论求出了中高轨卫星的测控站的个数及每个测控站的相对地理位置，并且利用拟合曲线的方法估计了近地轨道卫星所需测控站的个数。

关键词：卫星；测控站；正多面体；锥角；球面覆盖AbstractDiscussion on the Problem of the Sphere Limited CoverageAbstractA satellite plays an important role in the national economy and national defense construction. Its monitoring and control of the process of operation is very important. A monitoring and control site can observe only a limited cone-shaped space region which is thought to be coveraged. But a satellite is ideally thought it moves in a fixed circle or a fixed sphere. Therefore, in order to complete the task of tracking the whole process of a satellite, multiple monitoring and control sites must be built to full cover the circle or the sphere. The monitoring and control range of each site is congruent. Each side of the regular polyhedron is projected onto the circle or the sphere, through the idea of the center projection in this paper, which will become a finite number of identical small spherical caps. So it achieves the goal that a finite number of identical small spherical caps cover the big circle or the empty sphere. Therefore the relation of regular polyhedron and sphere is studied, the relevant data of all kinds of regular polyhedron and the corresponding spherical cap is calculated, the cone angle of the spherical cap corresponding to regular polyhedron analysised and then the conlusion of the sphere limited coverage is got. The number of monitoring and control sites of middle-orbit and high-orbit satellites and each site’s relative location are caculated. And curve fitting method is used to estimate the number of monitoring and control sites of near-earth orbit satellites.Keywords: satellite; monitoring and control site; regular polyhedron; the cone angle; sphere coverage1 引言卫星(在此泛指各种航天器)在国民经济和国防建设中有着重要的作用，对它们的运行过程进行测控是非常重要的，而其核心问题是测控站的布设问题。

每一个测控站只能观测到一个有限的空间区域，可以称该有限区域被覆盖。

一般地，一个测控站覆盖的是一个圆锥域内部。

在一个卫星的运行过程中，往往有多个测控站联合完成测控任务。

而卫星可以理想地认为在一个固定的圆上或一个固定的球面上运动。

因此要完成对卫星的全程跟踪的任务，必须对该圆或该球面进行全覆盖。

随着发射的卫星越来越多，对这种覆盖的研究也越来越多。

在现有的教材和文献中，主要分为平面研究方法和立体研究方法。

在平面研究方法中，主要是将需要覆盖的球面近似地展成平面，利用平面的覆盖方法进行研究，比如李小莲[1]主要是利用平面矩形覆盖的方法计算了卫星轨道圆环覆盖问题，洪毅等[2]采用立体研究方法，利用菠萝型算法和球冠逐步覆盖法计算了卫星轨道球面覆盖问题。

由于当今国际军事斗争和现代高技术战争中越来越重视卫星在其中所起的作用，所以对它们的运行过程进行跟踪测控将成为航天系统的一个重要组成部分，即如何对卫星在预定轨道上进行全程跟踪测控成为一个非常重要的课题。

本文将借助球内接正多面体来研究球面的有限覆盖问题。

2 对平面有限区域及球面的有限覆盖问题的计算2.1 平面有限区域的有限圆形覆盖问题对有限平面的圆形覆盖是指任取此平面内的一点A ，则A 至少在一个小圆内。

显然对于任意有限的平面区域都可以用有限个相同的小圆进行完全覆盖，那么从节省圆的角度考虑，至多需要多少个这样的小圆就能对此平面有限区域进行全覆盖呢？利用积分理论的分划思想，我们可以将此平面有限区域划分成若干个规则图形，如：正方形，长方形等等。

只需将规则图形的覆盖问题研究清楚，则平面有限区域的有限圆形覆盖问题就迎刃而解。

2.1.1 正方形的有限圆形覆盖问题的计算设ABCD 正方形边长为a ，圆的半径为r (r a )，从节省圆的角度考虑，至多需要多少个圆就能将此正方形完全覆盖？对此正方形的覆盖，应采用下面方式覆盖：先用圆的直径将正方形的边覆盖，并且相邻的圆相切，然后以AD 边为参照，用圆按照上述方法将距离AD 边r 的边(即平行于AD 且位于正方形内的线段)进行覆盖，依次将距离AD 边2r ，3r ，4r …的边覆盖，直到完成对正方形的覆盖，如图1和图2所示。

设对AD 边的覆盖为第一层，每进行一次这样的覆盖，称之为增加一层。

(1) 2a mr =，其中m 为正整数，如图1所示。

层数为+r a r ，第1层2a r 个，第2层12a r +个，第3层2a r 个，第4层12ar+个…。

由于2a mr =，此时层数为奇数。

则圆的总个数为22(m 1)(1)m 222a a a ar r r r⨯+++⨯=+。

(2) 2a mr ≠，其中m 为正整数，如图所示2。

① 当1222a a r r ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦时，层数为1a r +，每层的个数为12a r ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，所以所需圆的总数为(1)(1)2a a r r ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，其中2a r ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示不超过2a r 的最大整数(下同)。

② 当11222a a r r ⎡⎤<-<⎢⎥⎣⎦时，层数为2a r ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦。

各层的个数为：第1层12a r ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦个，第2层22a r ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦个，第3层12a r ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦个，第4层22a r ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦个…。

由于11222a a r r ⎡⎤<-<⎢⎥⎣⎦，此时层数2a r ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦为奇数，则所需圆的总个数为11(1)(3)(2)(1)2222a a a a r r r r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦。

2.1.2 长方形的有限圆形覆盖问题的计算设长方形的长为a ，宽为b ，圆的半径为r (r a <)，从节省圆的角度考虑，至多需要多少个圆就能将此长方形完全覆盖呢？长方形和正方形算法相似，只是层数发生变化，此处不再赘述。

2.1.2.1旅行商问题 旅行商问题又称为旅行推销员问题、货郎担问题，简称TSP （Traveling Salesman Problem ）问题，是指一名推销员要拜访多个地点时，如何找到在拜访每个地点一次后再回到起点的最短路径。