李萨如图形

合集下载

李萨如图形PPT课件全

李萨如图形是一个质点的运动轨迹，该质点在两个垂直方向的分运动都是
简谐运动。李萨如图形是物理学的重要内容之一，在工程技术领域也有很
重要的应用。利用李萨如图形可以测量未知振动的频率和初相位，掌握李
萨如图形的形成过程有很重要的意义。因而动态显示李萨如可以深入理解
其形成过程。
-
1
假定形成李萨如图形的两个简谐运动，一个在X轴上，一个在Y 轴上，它们的运动方程为（假设它们的振幅相等）：它们的合运动轨迹就是李萨如图形。为了能够形象地描述李萨如图形的形成过程，一般是把X轴和Y轴上的简谐运动分别用旋转矢量图来描述，如图1 所示。由上式计算出不同时刻的质点的坐标（x，y），依次连接这些点，得到的图形就是李萨如图形。
-
2
-
3
嫦娥二号在L2点沿李萨如轨道飞行
-
4
示波器
-
5
X Y的比例不一样会出现各种图形哦~
-
6
-
7

实验1用“李萨如图形法”测量简谐振动的频率

实验一简谐振动幅值测量试验一实验目的1、了解并掌握简谐振动信号位移、速度、加速度幅值之间的关系。

2、学会用速度传感器测量简谐振动位移、速度、加速度的幅值。

3、正确理解和分析各种计算值与测试值之间的误差及其产生的原因。

二实验原理振动体的位移、速度、加速度是系统振动的重要参数，正确测试其值对探索振动参量之间关系、全面了解和掌握振动规律有着重要的作用。

它们的值可用位移传感器、速度传感器或加速度传感器来直接测取,也可根据位移、速度、加速度的关系，用一种传感器来进行测量，或者利用测振仪的微分、积分电路来测量。

对于位移、速度、加速度三个振动参量，只要知道其中一个，就可以通过微分和积分变换求出另外两个振动参量。

在工程实践中，对有的参量，由于受条件限制无法测得时，可以通过参量变换求得。

另外，当三个振动参量的时间过程都测得时，可以通过参数变换进行相互检验。

将实测波形与参数变换得到的波形比较，进一步分析测量精度和误差范围，为测试波形的基线修正和测试结果的修正提供条件。

设某一简谐振动其固有园频率为n ω，初相位为0ϕ，该振动的位移、速度、加速度分别计为x 、v 、a 。

若)sin(0ϕω+=n B x （1-1）则)2sin( )cos(00πϕωωϕωω++=+==n n n n B B xv （1-2）)sin( )sin(0202πϕωωϕωω++=+-==n n n n B B x a （1-3）由（1-1）～（1-3）式可知，速度v 、加速度a 是与位移x 具有相同频率的简谐振动，但是其相位角分别超前2/π或π。

如果已知加速度a ，也可以通过积分求得速度v 及位移x变化规律。

位移x 、速度v 和加速度a 的相应的幅值分别记为B 、V 、A ，则其幅值关系为B f B V n 2πω== （1-4）B f B A n 2224πω== （1-5）上式中：f 为简谐振动的频率。

本实验主要由激振信号源通过电动式激振器对振动实验台上的简支梁施加谐激振，用速度传感器测量简支梁上某一位置在不同激振频率条件下的振动响应的位移、速度和加速度的幅值，这相当于测量简支梁在谐激振作用下该位置的稳态振动响应的位移、速度和加速度的幅值。

matlab研究李萨如图形

关于李萨如图形的探讨nx 指的是假想的水平线跟图形的交点数，ny 指的是假想的垂直线跟图形的交点数。

当fy/fx 8，即∞ 所以fy 如果越大的话，横向圆的数量就越多，反之，纵向的圆的数量就越多。

【借助matlab 编程】>> clear>>A1=10;A2=12; %设定两振幅>>delda=pi/2; %设定相位差>>phi1=0; phi2=phi1+delda; %设定两振动的相位>>k=10; %设定两频率的比例>>w1=1;w2=k*w1; %设定两振动的频率>>t=1:.01:50; %设定计算时间>>x=A1*cos(w1*t+phi1); %计算x 方向的位移>>y=A2*cos(w2*t+phi2); %计算y 方向的位移>>plot(x,y) %描绘李萨茹图形>> xlabel('x');>> ylabel('y');>> title('李萨如图形 fy:fx=10:1');fy=10,fx=1 △φ=0fy=10,fx=1 △φ=π/4fy=10,fx=1 △φ=π/2fy=100,fx=1 △φ=0fy=100,fx=1 △φ=π/4fy=100,fx=1 △φ=π/2fy=10000000,fx=1 △φ=0fy=10000000,fx=1 △φ=pi/4fy=10000000,fx=1 △φ=π/2fy=500,fx=50 △φ=0fy=500,fx=50 △φ=π/4fy=500,fx=50 △φ=π/2fx=10,fy=1 △φ=0fx=10,fy=1 △φ=π/4fx=10,fy=1 △φ=π/2fx=50,fy=1 △φ=0fx=50,fy=1 △φ=π/4fx=50,fy=1 △φ=π/2fx=500,fy=50 △φ=0fx=500,fy=50 △φ=π/4fx=500,fy=50 △φ=π/2。

李萨如图形的相关研究

李萨如图形的相关研究姓名：XXX班级：XXX学号：XXX指导教师：XXX班级序号：XXX摘要：探究李萨茹图形形成的原因以及影响其形状的因素，并通过matlab软件模拟出李萨茹图形，给出其原程序，及其相关图形；利用示波器和信号源，演示出一个李萨茹图形，探究李萨如图形的应用并设计出一个简易演示李萨茹图形的教具，并做简单说明。

关键词：李萨如图形；matlab；应用；设计教具1、李萨如图形简介(1)形成原因两个相互垂直的简谐振动，当他们的频率比是整数比时，合振动的轨迹是稳定的闭合曲线，此时就形成了李萨如图形。

(2)影响李萨如图形形状的因素：设两个互相垂直的简谐运动的方程为x=A1cos（2πn1t+Φ1）y=A2cos（2πn2t+Φ2）①设n1/n2=m1/m2(m1、m2是互质的整数)，李萨如图形的形状由分振动振幅、频率比和cos（m1Φ1-m2Φ2）确定。

②萨如图形具有对称性。

设n1/n2=m1/m2(m1、m2是互质的整数)。

当m1为为偶数时，图形关于x轴对称；当m2为偶数时，图形关于y轴对称；当m1、m2均为奇数时，图形关于原点对称。

③李萨如图形具有周期性。

取a= =Φ2-Φ1当Φ1为定值时，图形随Φ2变化的周期是2π/m1；当Φ2取定值时，图形随Φ1变化的周期为2π/m2；a取定值，图形随Φ1或Φ2变化的周期为|2π/(m1-m2)|。

2、MATLAB制图①一个振动初相位为零时的振动合成设wx和wy，为x、y两个方向的振动频率．先讨论简单情况：不妨设y方向初相位Φy为零，则初相位差Φx-Φy=Φx程序设计：wx=input(‘wx=’)；wy=input(‘wy=’)；nx=input(‘nx=’)；t=0：0．02：200；x=cos(wx*t+nx*3.1415926)；y=cos(wy*t)；plot(x，y)图像：②两个振动初相位均不为零时的振动合成程序设计：wx=input(‘wx=’)；wy=input(‘wy=’)；nx=input(‘nx=’)；ny=input(‘ny=’)；t=0：0.02：200；x=cos(wx*t+nx*3.1415926)；y=cox(wy*t+ny*3.1415926)；plot(x，y)图像：首先绘制几组不同y初相位条件下的图形，如图所示．为减少频率比的特殊性，选取频率比为3：2。

实验制作用激光显示李萨如图形

用激光显示李萨如图形一、实验目的：1、设计实验装置用激光显示李萨如图形；2、进一步练习使用光杠杆。

3、根据受迫振动和共振原理，并通过两个信号发生器的频率比的实验值与理论值的比较，分析受迫振动和共振原理对本次实验的影响。

二、实验原理：1、当两个方向相互垂直、频率成整数比的简谐振动叠加时，在屏幕上就会显示李萨如图形。

2、利用光杠杆原理可以使微小的振动放大。

3、利用共振原理，使得电磁打点计时器振动片的固有频率和低频信号发生器的频率相等，从而引发共振。

三、设计思路：激光先后照射到相互垂直的以一定频率振动的两反射镜后，射到屏幕上的波样相当于方向垂直的两个简谐振动的合成。

四、实验器材：电磁打点计时器两个、半导体激光器或氦氖激光器1台（半导体激光器效果更好，优先考虑；注意激光不要直射眼睛）、固2、激光照射到反光镜上的入射角的调整；3、整个实验装置的设计与调试。

4、如何使屏幕上的李萨如图形变得稳定。

六、实验内容：（1）取两个电磁打点计时器，去掉打点针与塑料罩，在振动片的振动端贴上反射镜。

（2）测定两个打点计时器振动片的固有频率（基频）。

将打点计时器与低频信号发生器相连接，逐渐改变信号发生器的频率，当振动片的振幅出现最大值时，此时信号发生器的频率就是振动片的固有频率。

如果两个打点计时器的固有振动频率不等，可改变振动片的长度或加上配重，使其振动频率相等。

（3）将两个打点计时器相互垂直放置，使激光照射在第一个打点计时器振动片的反射镜上后，经反射照射在第二个打点计时器振动片的反射镜上，反射后再投射在远处屏上。

（4）把两台低频信号发生器的输出端分别与两个打点计时器相连接。

开启发生器使振动条振动，发生器的输出频率分别与振动片的固有频率相同。

（5）演示二维同频（频率比为1：1）振动合成：李萨如图形激光演示装置调制好以后，平放在桌上，激光照射在远处屏上。

首先，打开X方向振动开关，演示X方向振动；然后，关闭X方向振动开关，打开Y方向振动开关，演示Y方向振动，最后打开X、Y方向振动开关，演示两个相互垂直方向的简谐振动合成。

对李萨如图形的探讨

:
卜’ ` ’ “
’
、
门
a
l
几
曰
”
`
『
`
`
’
F
谬
~
’
、
~ O
_
八
,
L
k
.z I _ 一。 k ~ 1
, ’ 一
n
_
__
m
,
则 ”
、J
口
_ _ 八一心令、
一 ’
_
a
,
且
_ 一
井
L ,
`
_ _
, ,
份 2
k一 1
k
`
~ O 则
,
“:
~
一
等等要
乙
”
文
,
参
,
. .
考
献
1 98 2
.
漆安填杜掸英力学基础北京高等教育出版社
A
一e
o s
Za t ,
A
Ze
o s
(。
t
一
汀
、
牙
少
一八
25,
“
C l , L
其速度分量可用坐标对时间导数表示
、 V l X
. ` 、 ,
= 一 ~
A
Z
田 ZA 一
s
田 in Z
t
t
忱 2 /
`
0
5
田
,
当 2以 ~
k ;r
k 一 (
0
,
1
,
2
`
,
… ) 时毖一
,

李萨如图

李萨如图形的应用摘要：李萨如图形是波与波叠加的结果，通过对波形的观察，可以比较出两组波的差异，在已知一组波的相关数据的情况下可以得出另一组波的相关数据，根据这些数据又可以得出与那一组波的相关的一些数据等，从而求出所需数据，如求频率，电阻，电阻的变化情况，容抗阻抗，电压大小……关键词：李萨如图形，对比，数据1.李萨如图的形成原理李萨如图形就是利用一个示波器，在X轴和Y轴上输入不同的正弦信号，把他们有机的叠加起来所形成的一种图形，如图所示，把X轴的信号换成正弦信号，就形成了李萨如图形。

由于输入信号是加在X方向偏转电压和Y方向的偏转电压上，从电子枪里头喷出的电子就会在这两个电压的影响下，向不同的方向偏转，然后打在屏上，显示出不同的波形。

所以，通过对波形的研究，我们就可以了解到两个方向所加的信号得特征，如果已经知道一个方向的型号特征，就可以通过对比，得出另一个信号的特征，再根据这些特征来求出一些需要的值。

2.影响李萨如图的因素要想通过一个信号的特征推出另一个信号特征，那么就必须了解影响李萨如图形的一些关键因素，通过比较这些因素，才能得出结果。

通常情况下能够影响图形形状的有输入信号的振幅大小，两个输入信号的初始相位的不同，两个信号的频率的不同等。

2.1频率对李萨如图的影响李萨如图形的周期与频率是分不开的，设一个方向上的频率为fx，另一个的为fy，那么李萨如图形的周期T即为1/fx和1/fy的最小公倍数，因为在T时间内，X方向和Y方向都经过了几个完整的周期，之后又重头开始，和刚开始时一样。

有时示波器调出的波形会移动，就是因为周期没有调好的缘故。

根据对李萨如图形一个周期的测量，在已知一个信号的频率的情况下，就可求出另一个信号的频率；李萨如图形本身还具有一个特点，图形边界与水平方向的交点和竖直方向的交点的比等于fy/fx，如图,因为图形的最低点即为Y方向信号的波谷，图形最左端与竖直的交点即为X方向信号的波谷，在一个李萨如图形周期T内，有几个交点，则对应X方向和Y方向信号就经历了多少个周期，正好与fy/fx相吻合。

对利萨如图形的探究

对利萨如图形的探究徐奕（04011512）（东南大学，南京 211189）摘要：示波器是一种用途广泛的电子测量仪器，它能对电压信号的波形进行直接的观察和定量分析，示波器分两种，其中模拟示波器长期以来被广泛应用来观察常规波形，对周期信号的观察与测量尤为适用，因此也用来观察利萨如图形。

关键词：利萨如图形频率比示波器The study of Lissajou figureXu Yi(Southeast University, Nanjing, 211189)Abstract: The oscilloscope is a widely used electronic measuring instrument.It can directly observe and quantitatively analyze the waveform of the voltage signal.Between the two kind of oscilloscopes,the analog oscilloscope has long been widely used to observe regular waveform,particularly applicable to the observation of the periodic signals.So it is often used to observe the Lissajou figure.Abstract: Lissajou figure ; the rate of frequency ; oscilloscope1利萨如图形概念1.1定义一个质点同时在X轴和Y轴上作简谐运动，形成的图形就是李萨如图形。

具体来说，相互垂直的两个简谐振动，如果振动频率相同，则可形成稳定的椭圆曲线，而对于振动频率不同的垂直振动叠加，一般合振动的轨迹不能形成稳定的图案，但如果两振动频率成整数比，则合振动的轨迹为封闭曲线，称为利萨如图形。

不同角李萨如图的形成原理

不同角李萨如图的形成原理
不同角度照射李萨图案产生视觉效果的形成原理主要有:
1. 李萨图案由简单的直线和弧形组成,本身不含立体感信息。

2. 从不同视角观察时,直线和弧形的投影变化会产生立体感错觉。

3. 光线从侧面射向图案时,产生明暗交错的虚实对比。

4. 光照方向不同,直线和弧形的明暗分布也不同,营造立体感。

5. 人眼和大脑会把不同亮度分布解读成立体的棱和面。

6. 近大远小原则也会增强透视感,产生种立体空间的感受。

7. 颜色和背景的对比也影响空间感知,深色背景可以增加对比度。

8. 李萨图案本身包含对称和节奏感,也助长了立体感知。

9. 每个角度观察都会产生不同的立体感,丰富了图案视效。

10. 这种视觉效果取决于大脑对明暗、对比、透视的综合解读。

李萨如图形法测声速的原理

李萨如图形法测声速的原理李萨如图形法测声速的原理是基于共振现象的。

在李萨如图形法中，我们使用李萨如图形仪来观察物体表面振动的传播情况。

通过改变频率和振动模式，可以得到不同的共振图形。

声速是指声波在给定介质中传播的速度。

在李萨如图形法中，我们可以使用这个方法来测量物体中的声速。

具体的原理如下：首先，我们需要一个李萨如图形仪。

这个仪器由两个相互垂直的振动源组成，它们可以产生不同频率和相位的振动信号。

我们将其中一个振动源称为驱动振动源，它用来激励物体表面的振动。

另一个振动源称为观测振动源，它用来观察物体表面的振动情况。

接下来，我们将物体放置在李萨如图形仪的工作台上。

驱动振动源产生的振动信号会传播到物体表面上，引起物体表面的振动。

观测振动源的位置会根据物体表面的振动情况产生一系列的图形。

根据声学的共振理论，当驱动振动源的频率与物体的固有频率相匹配时，物体的振幅会增大，产生明显的共振现象。

这时，在物体表面形成的李萨如图形中，我们可以观察到明亮和暗淡的区域，这些区域与共振模态有关。

通过调整驱动振动源的频率，并观察到李萨如图形的变化，我们可以找到物体的固有频率。

物体的固有频率与声速密切相关，因此可以借此推算出物体中的声速。

具体的测量步骤如下：第一步，我们需要找到物体的第一个固有频率。

我们可以逐渐调整驱动振动源的频率，使得观察到的图形变得明亮，并且形状规则。

这时，我们就找到了物体的第一个固有频率。

第二步，我们需要测量物体的长度。

长度是确定声速的关键参数。

我们可以使用任何合适的测量工具来测量物体的长度。

第三步，根据物体的长度和第一个固有频率，我们可以得到声波在物体中的传播速度。

声速可以通过下面的公式计算得到：声速= 2 * 第一个固有频率* 物体长度通过测量多个固有频率，并重复上述步骤，我们可以得到更精确的声速值。

总结起来，李萨如图形法测声速的原理是通过观察物体表面振动的共振现象来确定物体中声速的一种方法。

它利用了共振的特性，并结合李萨如图形仪的工作原理，通过测量物体的固有频率和长度来推算声速的数值。

广泛李萨如图形的形成原理和特性

第31卷专刊应用光学V01．31Sup．2010年12月Journal of Applie d O p t ic s Dec．2010文章编号：1002—2082(2010)S0-0207-05广泛李萨如图形的形成原理和特性王公正，闫晓敏，崔晓燕(陕西师范大学物理学与信息技术学院．陕西西安710062)摘要：传统的李萨如图形是两个互相垂直的简谐振动合成后的振动图形。

用三角波周期信号和余弦波周期信号合成李萨如图形，并且对图形及其合成原理和相位参量等作了分析，广泛李萨如图形具有周期性、对称性、封闭性、稳定性。

关键词：三角周期信号；余弦周期信号；李萨如图形；相位参量中图分类号：TMl31文献标志码：APrin cip le an d characteristic of ex ten si ve Lissaj O U S figureW A N G Gong—zheng，YAN Xia o-m i n。

C U I xi ao-yan(College o f Physics&InformationTechnol ogy．Sha anx i Normal University，Xi’an710062，C h in a)Abstract：Tra ditional Lissajous fi gu r e i s g s y n th e s i z e d by two simple ha r mo n ic v i b r a t i on s w h i c ha r e perpendicul ar t o ea ch o th er．Th e si g n al s o n the d i re c t i o n of z and Y a r e si ne p e r i od i c s i gn a l so r co s in e pe r i od i c s i g na l s in t h e g e n e r i c dates o r l i t er a t ur e s．I n th is pa pe r，we use d o n e t ria ng u—lar pe r io d i c si g na l a n d o n e cos i n e p e r i o d si g na l t o compose th e extensive Lissajous figur e，an d analyzed its synthetic principle，phase pa ra m et er a n d etc．F ina lly。

基于LabVIEW的李萨如图形的设计与实现

目录1 技术要求 (1)2 基本原理 (1)3利用LABVIEW创建李萨如图的程序框图 (1)4 李萨如图的实现 (3)5 心得体会 (5)6 参考文献 (6)基于LabVIEW的李萨如图形的设计与实现1 技术要求利用LabVIEW仿真软件完成对李萨如图形的设计与实现。

2 基本原理李萨如图形(Lissajous figures) 是由互相垂直的方向上的两个频率成简单整数比的简谐振动所合成的轨迹图形，因由法国物理学家李萨如发现而得名。

在互相垂直的方向上，两个频率不同的简谐振动的合运动一般比较复杂，其运动轨迹一般是不闭合的。

当两振动的频率成简单的整数比时，其合运动的轨迹才是一条闭合曲线，运动呈周期性。

在已知一个分振动的频率时，根据李萨如图形的花样可以推测另一分振动的频率及它们之间的相位差。

在普通物理和电子技术实验中，经常会利用李萨如图形法，例如使用示波器测量求知信号频率、测量音叉的频率、验证普通物理中“相互垂直的两个简谐运动的合运动”。

随着李萨如图形在频率计算、系统检测等方面的应用，人们越来越重视研究李萨如图形。

李萨如图的模拟实现LabVIEW程序又称虚拟仪器，即VI ，其外观和操作类似于真实的物理仪器(如示波器和万用表) 。

LabVIEW提供众多输入控件和显示控件用于创建用户界面，即前面板。

输入控件指旋纽、按钮、转盘等输入装置。

显示控件指图形、指示灯等输出显示装置。

LabVIEW不仅可与数据采集、视觉、运动控制设备等硬件进行通信，还可与GPIB、PXI、VXI、RS232 以及RS485 等仪器通信。

3利用labview创建李萨如图的程序框图本例中使用的是LabVIEW8.6试用版，可以演示多种波形的合成，如正弦波、方波、锯齿波和三角波及它们之间的相互垂直合成。

使用LabVIEW建立一个显示李萨如图形的VI ，步骤如下：(1) 选择文件新建，打开一个新的前面板窗口。

(2) 选择文件保存，把该VI 保存在自选目录中，命名为李萨如图.vi 。

李萨如图形观测与应用

➢ 因法国科学家李萨如（Jules Antoine Lissajous）在 1857年的细致研究而得名。
李萨如图1
李萨如图2
5
2、两个同频率简谐波垂直方向的合成
给定两个同频率间谐波
x A1 cos(t 1)
y A2 cos(t 2 )
垂直方向合成：
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
2:3
4:5
10
3、李萨如图形应用2--测频率例：示波器测量未知频率李萨如图形：参考频率fx=600Hz, Nx:Ny 未知频率依次为： 2/1 3/2 1200Hz 900Hz
4/3 5/4 800Hz 750Hz
11
小结
✓ 1、李萨如图形两个简谐振动在垂直方向上的合成。
通过示波器的x、y偏转板输入实现两个简谐振动在垂直方向上的合成—李萨如图形观测。
cos( 2
1 )
sin 2 (2
1 )
2 1 0
y A2 x A1
A2 y
ox
A1
6
2、两个同频率简谐波垂直方向的合成
合成图
7
2、李萨如图形应用1--测相位差例：声波速度测量
若改变S1、S2间距离为△L，S1、S2处发射波、接收波相位差变化：
相位差：0
0.5π π
8
3、不同频率简谐波垂直方向的合成
✓2、应用李萨如图形可以测量未知振动的频率：
和相位差：
12
任务--设计制作
用2个喇叭、2个平面镜和一个激光笔做一个随输入音乐动态显示的李萨如图形？
13
主讲人：***
回顾
示波管结构
X轴偏转板
Y轴偏转板

李萨如图形实验报告

李萨如图形实验报告引言:李萨如图形是一种由美国科学家李萨（J. R. Lissajous）发现并研究的图形现象。

它以其奇特、美妙的图案而闻名于世，引起了众多科学家和艺术家的关注。

本实验报告将介绍李萨如图形的形成原理、应用以及对人们的启示。

一、李萨如图形的形成原理李萨如图形形成的原理是基于声学和振动学的交叉效应。

当两个不同频率的振动器相互作用时，会形成一种特有的图形。

具体实验中，我们选取两台声波发生器，分别发出具有不同频率的声波，并将它们同时作用于水平和垂直的振动台上。

当振动台上的振动频率与声波频率一致时，我们就可以看到李萨如图形在沙盘上出现。

二、李萨如图形的应用李萨如图形不仅仅是一种美学上令人赏心悦目的现象，还有着实用的应用价值。

首先，它在声学实验中被广泛应用。

通过李萨如图形，我们可以直观地观察不同频率和幅度的声波在空间中的分布情况，帮助我们更好地理解声波的传播和特性。

其次，李萨如图形在振动学研究以及谐波分析中也有重要作用。

通过观察李萨如图形的数学规律和形态特征，可帮助我们探索振动系统的各种性质以及谐波产生的规律。

三、李萨如图形对人们的启示李萨如图形的出现，让我们深刻认识到音波和振动之间的密切关系。

这一现象充分展示了自然界中相互作用的美妙和奇迹。

同时，从李萨如图形中我们也能看到各种形状的交织、互补，这为我们提供了一种创造和表达美的方式。

不论是在音乐中还是在艺术作品中，李萨如图形带给我们的都是创造性的灵感和无限的想象力。

结论:通过这次实验，我们深入了解了李萨如图形的形成原理和应用价值。

这种奇妙的图形现象不仅仅在科学研究中具有重要意义，还为我们带来了艺术上的启发和创造性的灵感。

希望我们能够继续探索和研究，将李萨如图形的魅力发挥到极致，为人类的科学和艺术事业作出更大的贡献。

两个相互垂直的同频率的谐振动的合成李萨如图形公式推导.pdf

展开的问题，可以借助欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθ 解决，einθ=cos(nθ)+isin(nθ)=(cosθ+isinθ)n,
把右边用二项式定理展开后令左右的实部和虚部分别相等，即可把 sin(nθ)与 cos(nθ)都
只用 cosθ 和 sinθ 表示，例如 cos3θ=cos3θ−3cosθsin2θ , sin3θ=3cos 2θsinθ−sin3θ , cos4θ=
上面只是验证已有结论而已，下面采用反三角函数直接消去参数 t 的方法，

arccos −a=wt=arccos −b 即 arccos −arccos =a−b
A
B
A

B
在两边同时取正弦 sin(arccos −arccos )=sin(a−b)
√A2 −2
把左边展开得
2
+
2

AB
=cos(wt+a)cos(wt+b)+sin(wt+a)sin(wt+b)=cos(a−b)
B
所以……

在 arccos −arccos =a−b 两边同时取余弦也能殊途同归
A

B

cos(arccos −arccos )=cos(a−b)
A

把左边展开得
B
+
√A2 −2 √B2 −2
=cos(a−b)
AB
A
B
2 2 +(A2 −2 )( B2 −2 )+2√A2 −2 √B2 −2
两边平方
−
2
2
A2 B2

两个相互垂直的同频率的谐振动的合成李萨如图形公式推导.pdf

AB
A
B
2 2 +(A2 −2 )( B2 −2 )+2√A2 −2 √B2 −2
两边平方
−
2
2
A2 B2

A
B
AB A B
−
2
+1+2
2
(
+
√A2 −2 √B2 −2
A
B
=cos2(a−b)
)=cos 2(a−b)
如果两个谐振动的频率不同，而是成简单的整数比呢？
x=Acos(k1t+a)
展开的问题，可以借助欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθ 解决，einθ=cos(nθ)+isin(nθ)=(cosθ+isinθ)n,
把右边用二项式定理展开后令左右的实部和虚部分别相等，即可把 sin(nθ)与 cos(nθ)都
只用 cosθ 和 sinθ 表示，例如 cos3θ=cos3θ−3cosθsin2θ , sin3θ=3cos 2θsinθ−sin3θ , cos4θ=
xacosk用反三角函数直接消去参数t可得至此也可采取两边取余弦或两边取正弦的方法但会涉及到sinn与cosn如何展开的问题可以借助欧拉公式ecosisin解决e把右边用二项式定理展开后令左右的实部和虚部分别相等即可把sinn与cosn都只用cos和sin表示例如cos3coscos4cosab旋转多少度才能变成正椭圆
] + 2 [ 2 + 2 + 2 cos(
A
B
AB
A
B
cossin
cossin
cos(−)
2
2
⁡⁡⁡−2[
−
+