《信号与系统》考研试题解答第二章连续系统的时域分析
《信号与系统》考研试题解答第二章连续系统的时域分析
X2.1 (东南大学2002年考研题)一线性时不变连续时间系统，其在某激励信号作用下的自由响应为(e-3t+e-t) (t)，强迫响应为(1-e-2t) (t)，则下面的说法正确的是______________(A)该系统一定是二阶系统(B)该系统一定是稳定系统(C)零输入响应中一定包含(e-3t+e-t) (t)(D )零状态响应中一定包含(1-e-2t) (t)X2.2(西安电子科技大学2005年考研题)信号f1(t)和f2(t)如图X2.2所示,f=f1(t)* f2(t)，则f(-1)等于__________图X2.2X2.3 (西女电子科技大学2005年考研题)下列等式不成立的是(A) f1(t t。
)* f2(t t°) 锂) * f2(t)(B)-J—f1(t)* f2(t) dtd f1(t)dt-J* — f2(t) dt 2(C) f(t)* (t) f (t)(D) f(t)* (t) f (t)答案：X2.1[D] , X2.2[C], X2.3[B]、判断与填空题T2.1 (北京航空航天大学2001年考研题)判断下列说法是否正确，正确的打错误的打“X” 。
(1 )若y(t) f(t)*h(t)，则y(2t) 2f(2t)*h(2t)。
[](2)如果x(t)和y(t)均为奇函数，贝U x(t)*y(t)为偶函数。
[](3)卷积的方法只适用于线性时不变系统的分析。
[](4 )若y(t) f(t)*h(t)，则y( t) f( t)*h( t)。
[](5)两个LTI系统级联，其总的输入输出关系与它们在级联中的次序没有关系。
[]第二章、单项选择题连续系统的时域分析(C) 1.5 ( D)-0.5(A)T2.2 (华中科技大学2004年考研题)判断下列叙述或公式的正误，正确的在方括号中打“/，错误的在方括号中打“X”。
(1)线性常系数微分方程表示的系统，其输出响应是由微分方程的特解和齐次解组成，或由零输入响应和零状态响应所组成。
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第2章 连续时间系统的时域分析【圣才
Ri(t) v1(t) e(t)
Ri(t)
1 C
t
i(
)d
v1 (t )
e(t)
vo (t) v1(t)
消元可得微分方程：
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1
台
C
d
dt
vo (t)
1 R
vo (t)
R
e(t)
2-2 图 2-2-2 所示为理想火箭推动器模型。火箭质量为 m1，荷载舱质量为 m2，两 者中间用刚度系数为 k 的弹簧相连接。火箭和荷载舱各自受到摩擦力的作用，摩擦系数分 别为 f1 和 f2。求火箭推进力 e（t）与荷载舱运动速度 v2（t）之间的微分方程表示。
M
di1 (t ) dt
Ri2 (t)
0
化简方程组可得微分方程：
(L2
M
2
)
d4 dt 4
vo
(t)
2RL
d3 dt 3
vo
(t)
2L C
R2
d2 dt 2
vo
(t)
2R C
d dt
vo
(t)
1 C2
vo
(t)
MR
d2 dt 2
e(t)
（3）由图 2-2-1（c）所示列写电路方程，得：
C
dv1 (t ) dt
b．自由响应由两部分组成，其中，一部分由起始状态决定，另一部分由激励信号决 定，二者都与系统的自身参数有关；当系统 0－状态为零，则零输入响应为零，但自由响应 可以不为零。
c．零输入响应在 0－时刻到 0＋时刻不跳变，此时刻若发生跳变，可能为零状态响应分 量。
信号与系统分析第二章 连续时间系统的时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析
2.1.1
对系统进行分析时, 首先要建立系统的数学模型。 对于电的系统, 只要利用理想的电路元件, 根据基尔霍 夫定律, 就可以列出一个或一组描述电路特征的线性 微分方程。 现举例来说明微分方程的建立方法。
第二章 连续时间系统的时域分析
例2.1 图2.1所示为RLC串联电路, 求电路中电流i(t) 与激励e(t)之间的关系。
第二章 连续时间系统的时域分析
(3)
y(t) C 1 e t C 2 e 6 t5 2c 0 1o 2 t)s 5 3 (s0i2 n t) (
D(p)y(t)=N(p)f(t)
y(t) N(p) f (t) D(P)
式(2.15)中的 N ( p ) 定义为转移算子, 用H(p)表示,
D (P)
(2.14) (2.15)
H (p ) N D ( (P p ) ) b a m n p p m n a b n m 1 1 p p n m 1 1 a b 1 1 p p a b 0 0 (2.16)
t0
解 (1) 齐次解。 由例2.4 yh (t)=C1e-t+C2e-6t
第二章 连续时间系统的时域分析
(2) 特解。 查表2.2, yp(t)=B1cos (2t)+B2sin(2t)
－14B1+2B2－6=0 2B1+14B2=0
于是,
B15201,
B2530
yp(t)5 20 c 1o2ts) (530 si2 nt)(
第二章 连续时间系统的时域分析
3. 用算子符号表示微分方程, 不仅书写简便, 而且在建 立系统的数学模型时也很方便。 把电路中的基本元件R、 L、 C的伏安关系用微分算子形式来表示, 可以得到相应 的算子模型, 如表2.1所示。
信号与系统第2章连续信号与系统的时域分析
信号f1(t)与f2(t)的卷积运算可通过以下几个步骤来完成： 第一步，画出f1(t)与f2(t)波形，将波形图中的t轴改换成τ轴， 分别得到f1(τ)和f2(τ)的波形。 第二步，将f2(τ)波形以纵轴为中心轴翻转180°，得到f2(-τ) 波形。
第三步，给定一个t值，将f2(-τ)波形沿τ轴平移|t|。在t<0时， 波形往左移；在t>0时，波形往右移。这样就得到了f2(t-τ)的波形。
d
n (t
d tn
)
,
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
, (n)(t),, (2)(t), (1) (t), (t), (1)(t), (2) (t), (n) (t),
它是由δ(t)及其各次积分和各阶导数组成的。自左至右，每 一项都是前一项的导数，或者每一项都是后一项的积分。 这样 得到的函数族统称为奇异函数。
解 方法一 图解法。由于门函数是偶函数，故其波形绕纵 轴翻转180°后与原波形重叠，图中用虚线表示。注意，t=0时， 门函数左边沿位于x=-τ/2位置，右边沿位于x=τ/2位置，如图2.2 - 5(b)所示。在任一t时刻，移动门函数左边沿位于x=t-τ/2位置， 右边沿则位于x=t+τ/2位置，如图2.2 - 5(c)所示。按照图2.2- 5中 卷积过程的图解表示，可计算求得：
1
0 1234 (a)
f2(－ ) 1
o (b)
f2(t－ )
1
f1( )
t0 (c) t＜ 0
3
1
f1( )
f2(t－ )
0 t3 (d) 0 ＜t ＜ 3
y(t)
1
f1( ) f2(t－ )
y(3)
信号与系统第2章 连续时间信号与系统的时域分析[精]
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由 于 激 励 信号 的 作用 ， 响 应 r(t) 及 其 各阶 导 数 可能 在 t 0 处 发 生 跳 变， 即 r(0 ) r(0 ) ，其跳变量以 [r(0 ) r(0)] 表示。这样对于已知系统，一旦系统微分 方程确定，判断其在 t 0 处是否发生跳变完全取决于微分方程右端自由项中是否 包含冲激函数 (t) 及其导数。如果包含 (t) 及其导数，则在 t 0 处发生跳变，否则 没有发生跳变。而关于这些跳变量的数值，可以根据微分方程两边 (t) 函数平衡的 原理来计算。
r
''(0
)
r
''(0
)
r '' zs
(0
)
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
2.4.2 零输入响应的求解
设系统的数学模型以 n 阶微分方程表示，即
d nr(t)
d n1r(t)
dr(t)
an dtn an1 dtn1 a1 dt a0r(t)
d me(t)
d m1e(t)
an n
a n1 n1
a1 a0 0
对应式(2.3-5)特征方程的根 1 、 2 、…、 n 称为微分方程的特征根。
当特征根无重根（各不相同）、都是单根时，微分方程的齐次解为
rh (t) A1e1t A2e2t
n
Anent Aieit i 1
f (t) 2
1
/ 2 0 / 2
f1 (t )
1 t
0 图 2.1-1 信号的相加
f2 (t)
1
t
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图 2-1
解：利用图解法求解二者卷积：
（1）当 t＜－3 时，f1（t）*f2（t）＝0；
（2）当－3≤t＜－2 时
t
f1(t) f2 (t)
2dt 2(t 3)
3
（3）当－2≤t＜－1 时
t
f1(t) f2 (t)
2dt 2
1t
（4）当－1≤t＜0 时
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【解析】根据单位冲激函数的时间尺度变换性质，有 δ（at）＝δ（t）/|a|。
二、填空题 1．卷积积分 tu（t）*u（t－2）的值为______。[武汉大学 2015 研] 【答案】（1/2）（t－2）2u（t－2） 【解析】本题用时域解答需先知道卷积公式 tu（t）*u（t）＝（1/2）t2u（t），则原式 可化为： tu（t）*u（t－2）＝tu（t）*u（t）*δ（t－2）＝[（1/2）t2u（t）]*δ（t－2）＝（1/2） （t－2）2u（t－2） 此外也可以先求两式的拉氏变换，相乘后取反变换即可得卷积结果。
图 2-4
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2．某连续时间 LTI 系统，若系统的输入 x（t）＝u（t）－u（t－1），冲激响应 h（t）
＝2[u（t）－u（t－2）]，则该系统的零状态响应 yzs（t）在 t＝2 时刻的值 yz（s 2）＝ ______。
[北京交通大学 2015 研]
【答案】2
【解析】解法一：依题意有
yzs (2)
x( ) h( t)d
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考研专业课郑君里版《信号与系统》第二章补充习题——附带答案详解
第二章 连续时间系统的时域分析1．已知连续时间信号1()e ()t f t u t -=和2()e ()t f t u t =-，求卷积积分12()()()f t f t f t =*，并画出()f t 的波形图。
解：1212()()()()()f t f t f t f t f d τττ∞-∞=*=-⎰反褶1()f τ得1()f τ-，右移t 得11[()]()f t f t ττ--=-，作出2()f τ图形及不同t 取值的1()f t τ-图形，由此可得：当0t ≤时，21()e e ee e 2ttt tt f t d d τττττ---∞-∞===⎰⎰当0t ≥时，0021()e e e e e 2t t t f t d d τττττ----∞-∞===⎰⎰综上，||111()e ()e ()e 222t t t f t u t u t --=-+=()f t 是个双边指数函数。
讨论：当1()f t 、2()f t 为普通函数（不含有()t δ、()t δ'等）时，卷积结果()f t 是一个连续函数，且()f t 非零取值区间的左边界为1()f t 、2()f t 左边界之和，右边界为1()f t 、2()f t 右边界之和，也就是说，()f t 的时宽为1()f t 、2()f t 时宽之和。
τttt2．计算题图2（a ）所示函数)(1t f 和)(2t f 的卷积积分)()()(21t f t f t f *=，并画出)(t f 的图形。
解法一：图解法1212()()()()()f t f t f t f t f d τττ∞-∞=*=-⎰其中1()f t τ-的波形见题图2(b)，由此可得： 当10t +≤，即1t ≤-时，()0f t = 当011t ≤+≤，即10t -≤≤时，120()2(1)t f t d t ττ+==+⎰当11t +≥但10t -≤，即01t ≤≤时，1()21f t d ττ==⎰当011t ≤-≤，即12t ≤≤时，121()21(1)t f t d t ττ-==--⎰当11t -≥，即2t ≥时，()0f t =综上，220,1,2(1),10()1,011(1),12t t t t f t t t t ≤-≥⎧⎪+-≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪--≤≤⎩ ()f t 波形见题图2(c)。
信号与系统第二章连续系统的时域分析
解：齐次解同上。由于f(t)=e–2t，其指数与特征根之 一相重。故其特解可设为yp(t) = (P1t + P0)e–2t 代入微分方程可得P1e-2t = e–2t 所以P1= 1 但P0不能求得。全解为
) (t)
2.若描述系统的微分方程为：
y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1f (m-1)(t)+… +b1f(1)(t)+b0f(t)
可根据LTI系统的线性性质和微积分特性
求出阶跃响应。
三、冲激响应和阶跃响应的关系
(t) d (t)
其经典解： y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)(特解） 齐次解是齐次微分方程： y(n) (t) +an-1y(n-1) (t) +…+ a1y(1)(t)+a0y(t)=0的解。 齐次解yh(t)的函数形式由上述微分方程的特 征根确定。特解的函数形式与激励有关。
例（p40）描述某系统的微分方程为： y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t)，求：
dt
t
(t) (x)dx
h(t) dg(t) dt
t
g(t) h(x)dx
例2.2-3 如图所示的LTI系统，求其阶跃响应
x’(t)
f(t)
x’’(t)
+
-
-
3
2
1
x(t)
－
y(t)
2+
《信号与系统》第二章习题解答
yt xt ht
(b) If d y t dctontains only three
value of a?
discontinuities,what is the
Solution ：
yt
a
0 a 1 1+a t
5
Chapter 2
Problems Solution
2.11 Let xt ut 3 ut 5 ht e3tut
a
u0 tcostdt
cost
1
t0
b
5
0
sin2t t 3dt 0
c
5
5
u1 1
cos2
d
1 t
6 4
u1tcos2 1tdt
1cos2t 0 t 0
8
Chapter 2
Problems Solution
2.22a
xt ht
e e
tut
_第二章连续系统的时域分析习题解答
— P2-1 —第二章 连续系统的时域分析习题解答2-1 图题2-1所示各电路中，激励为f (t )，响应为i 0(t )和u 0(t )。
试列写各响应关于激励微分算子方程。
解：.1)p ( ; )1(1)p ( , 111 , 1111)( )b (;105.7)625(3 102 ;)(375)()6253(4)()()61002.041( )a (0202200204006000f i p f p u p f p p p u i f p p p ppft u pf i p pu i t f t u p t f t u p =+++=++⇒++=+=+++=++=⨯=+⇒⨯==+⇒=++-- 2-2 求图题2-1各电路中响应i 0(t )和u 0(t )对激励f (t )的传输算子H (p )。
解：.1)()()( ; 11)()()( )b (;6253105.7)()()( ; 6253375)()()( )a (220 20 40 0 +++==+++==+⨯==+==-p p p p t f t i p H p p p t f t u p H p p t f t i p H p t f t u p H f i f u f i fu2-3 给定如下传输算子H (p )，试写出它们对应的微分方程。
.)2)(1()3()( )4( ; 323)( )3(; 33)( )2( ; 3)( )1( +++=++=++=+=p p p p p H p p p H p p p H p p p H解：; 3d d 3d d )2( ; d d 3d d)1( f tf y t y t f y t y +=+=+ . d d 3d d 2d d 3d d )4( ; 3d d 3d d 2 )3( 2222t f tf y t y t y f t f y t y +=+++=+ 2-4 已知连续系统的输入输出算子方程及0– 初始条件为：.4)(0y ,0)(0y )y(0 ),()2(13)( )3(; 0)(0y ,1)(0y ,0)y(0 ),()84()12()( )2(;1)(0y ,2)y(0 ),()3)(1(42)( )1(---2---2--=''='=++==''='=+++-=='=+++=t f p p p t y t f p p p p t y t f p p p t yf (u 0(t ) (b) u 0(t ) (a)图题2-1— 2 —试求系统的零输入响应y x (t )(t /0)。
信号与系统第2章选择题
A. ℎ′(������) = ������(������)
B. ������′(������) = ℎ(������)
C. g(������) = ∫−∞∞ ℎ(������)������������
D. h(������) = ∫−������∞ ������(������)������������
C. y″(t) + 10y′(t) + 15y(t) = 0.5f′(t)
D. y″(t) + 5y′(t) + 1.5y(t) = −2f′(t)
解析：A 利用广义网孔法列出两个算子方程，再利用克莱姆法则，整理得出微分方程。
6. 已知������″(������) + 2������(������) = ������′(������) − ������(������),其冲激响应为（ ）。
A. (1 + 3t������−������)u(t)
B. 3������������−������������(������)
C. (1 − ������−������)u(t)
D. ������−������u(t)
解析：A
由 特 征 根 及 初 始 条 件 y(0−) = 1，y′(0−) = 2 , 求 得 零 输 入 响 应 为 ： ������������������(t) = (1 + 3t)������−������ u(t)，零状态响应：������������������(t) = f(t) ∗ h(t) = u(t) ∗ ������−������u(t)，全响应：y(t) = ������������������(t) + ������������������(t) = (1 + 3t������−������)u(t)
信号与系统王明泉第二章习题解答
其 值
方程特征根 ， ，故零输入响应
将初始值代入上式及其导数，得
由上式解得 ， ，所以
（2）零状态响应 是初始状态为零，且 时，原微分方程的解，即 满足方程
即
及初始状态 。先求 和 ，由于上式等号右端含有 ，令
积分(从 到 )得
将 、 和 代入微分方程可求得 。对以上三式等号两端从 到 积分，并考虑到 ， ，可求得
解：（1）求齐次解
特征方程为：
特征根为：
所以，
（2）求特解
（3）全响应
将 代入系统方程得
（1）
将初始条件代入
得：
所以全响应为：
2.5 已知描述某线性时不变连续系统的微分方程为
，
当激励为 时，系统的完全响应为 ， 。试求其零输入响应、零状态响应、自由响应和强迫响应。
解：由全响应得初始条件 ，
（1）求零输入响应
在时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。
因果系统的冲激响应为
（2）阶跃响应
一线性时不变系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用 表示。阶跃响应是激励为单位阶跃函数 时，系统的零状态响应
阶跃响应 与冲激响应 之间的关系为
或
2.2.6卷积积分
（1）卷积积分的概念
一般情况下，如有两个信号 和 做运算
此运算定义为 和 的卷积(Convolution)，简记为
或
（2）卷积积分的图解法
用图解法能直观地说明卷积积分的计算过程，而且便于理解卷积的概念。两个信号 和 的卷积运算可通过以下几个步骤来完成：
第一步，画出 和 波形，将波形图中的 轴改换成 轴，分别得到 和 的波形。
信号与系统第2章 连续信号与系统的时域分析
卷积的图解归纳起来有下列五个步骤： 1. 换元：将和中的变量t更换为变量τ； 2. 折叠：作出相对于纵轴的镜象；
3. 位移：把平移一个t值； 4. 相乘：将位移后的函数乘以； 5. 积分：和乘积曲线下的面积即为t时刻的 卷积值。
由于卷积积分的计算步骤包括换元、 折叠、位移、相乘与积分，故卷积也称为 褶积或卷乘等。
2.2 系统的冲激响应
线性时不变时间系统的单位冲激响应， 是指系统初始状态为零，激励为单位冲激 信号作用下的响应，简称冲激响应，用 h(t) 表示。
它反映了系统的特性，同时也是利用 卷积积分进行系统时域分析的重要基础。
1. 对于简单电路，直接计算该电路在单位 冲激信号作用下的零状态响应，即可求得 冲激响应h(t) 。
2. 先计算系统的阶跃响应s(t)，然后利用冲 激响应和阶跃响应的关系计算冲激响应 h(t) 。 3. 从系统的微分方程求解冲激响应。
2.3 信号的时域分解和卷积积分
上一节讨论了系统对于单位冲激信号 这一特殊激励下的零状态响应，本节将研 究任意波形信号可以分解为连续的冲激信 号之和，以及任意信号作用下的零状态响 应问题，进而说明卷积积分的物理意义。
2.1.2 冲激函数的性质
作为广义函数，冲激函数除了式（2.14）和式（2.1-16）所描述的取样性质（或 称筛选性质）外，还具有如下常用性质：
1.加权特性 2.单位冲激函数为偶函数 3.单位阶跃函数的导数是单位冲激函数 4.尺度变换 5.冲激函数的导数及其性质
单位冲激函数及其各阶导数和积分是 一族最常用的奇异函数。
（1）卷积运算满足交换律 （2）卷积积分满足分配律 （3）卷积积分满足结合律
2.5.2 卷积的微分与积分
[信号与系统作业解答]第二章
![[信号与系统作业解答]第二章](https://img.taocdn.com/s3/m/90bd92d5240c844769eaeeda.png)
特征方程为 2 3 2 0 ，特征根为 1
1和 2
2。
所以rzi(t) C1e t C2e 2t, t 0
将 rzi(0 ) r (0 ) 2 和rzi(0 ) r(0 ) 1代入可求得
g(t) 1 e 12t cos 3 t 2
1 e 12t sin 3 t u(t)
3
2
由于系统的冲激响应h(t) h(t) e 12t cos 3 t
2
d g(t) ，所以系统的冲激响应为 dt
1 e 12t sin 3 t u(t)
3
2
3）系统的冲激响应满足方程
d dt
h(t)
2h(t)
(t) 3 (t)
电容两端电压不会发生跳变，vc(0 ) vc(0 ) 10V ，所以i(0 ) 0 ；
因此，电阻两端无电压，电感两端电压变成 10V，所以i (0 ) 10 。
（2）换路后系统的微分方程为
i (t) i (t) i(t) e (t) e(t) 20u(t)
t 0 时间内描述系统的微分方程为
i (t) i (t) i(t) 20 (t)
e(t) (1) 0 (2)
整理得：
2vo(t) 5vo(t) 5vo(t) 3vo(t) 2e (t)
2-4 已知系统相应的齐次方程及其对应的 0+状态条件，求系统的零输入响应。
1）
d2 dt 2
r(t)
2
d dt
r(t
)
2r(t)
0 ，给定r(0 )
1 ，r (0 )
2
信号与系统第2章 连续信号与系统的时域分析
2.2 信号的运算与变换
• • • • • • 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 信号的代数运算 信号的微分与积分 信号的反褶 信号的时移 信号的尺度变换 信号的分解
本节要求： 熟悉信号基本运算的规则、物理含义及工程应 用。
25
2.2.1 信号的代数运算
仅时序变化 幅值没变 2 1 2 1
反褶 2 -2 0
-1 0
1
通过对音像的倒放可以实现反褶。
30
2 1
反褶 2
三角脉冲
2 1
-1 0
-2
0
1
原信号的表示式为：
f (t ) 1 2 u ( t 1) 1 2
矩形脉冲
t [ u ( t ) u ( t 2 )] u ( t 1) u ( t 2 ) tu ( t ) (1 1 2 t )u (t 2 )
三要素：振幅 K ，角频率 ，初相位 。 其中周期T(s)与频率f (Hz)或角频率 (rad/s) 之间的关系为
T 1 f 2
2 T
2 f
4
• 正弦信号的波形：
f (t ) K K f (t )
0
t T
0
t
2
初始 时间
注意变量 为时间
初始 相位
注意变量 为相位
2
2.1 基本连续时间信号
• • • • 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 正弦信号 指数信号 抽样信号 奇异信号
本节要求： 1.熟悉典型信号描述及含义；特别是单位阶跃 信号、单位冲激信号。 2.熟悉单位阶跃信号、单位冲激信号与其它信 号之间的关系；
《信号与系统》第二版第二章：LTI连续时间系统的时域分析
零状态（zero state）响应 yzs (t ) ：不考虑起始时刻系统储能的作用，即Y(0-) ≡0，由系统的外加激励信号 v (t ) = v (t )u (t ) ≠ 0 所产生的响应。
零输入响应 yzi (t ) ：
5
《信号与系统》
第二章：LTI 连续时间系统的时域分析
∏(p −αi )
i =1
（αi 为互异特征根）
= N (p) ⎡⎣eαnt ∗ ∗ eα1t ∗ v (t )⎤⎦
（2-19）
n
∑ yzs (t ) = 齐次解 Aieαit ＋特解 B (t ) i =1
（2-20）
特解 B (t ) 反映系统输入对输出的强迫。
非零状态线性系统： 定义（非零状态线性系统）：系统 T 的初始状态为X(0-)≠0
令： D (p) pn + an−1pn−1 + ... + a1p + a0
N (p) bmpm + ... + b1p + b0
4
《信号与系统》
有：
第二章：LTI 连续时间系统的时域分析
y
(t)
=
N (p) D(p)
v(t
)
H (p)v(t)
（2-13）
其中，
H
(p)
=
N (p) D(p)
称为系统算子。
≤ ∫ ∫ f (τ ) g (t −τ ) dτ dt ΩΩ
= ∫ f (τ ) ∫ g (t −τ ) dtdτ
Ω
Ω
=∫
f (τ )
g (t ) dτ = 1
f (t) 1
g (t ) 1
信号与系统(2连续时间信号与系统的时域分析)
本章在经典法求解微分方程的基础上，重点讨论 系统的零输入响应和零状态响应。通过引入冲激响应 和卷积积分等概念，利用冲激响应和卷积求系统输出 响应，使得系统分析更加简捷、明晰。
2 连续时间信号与系统的时域分析
§2.1 经典时域解法
2 连续时间信号与系统的时域分析
y(0 )、...、ddtnn11
y(0 )]
由于没有外界激励作用，因而系统的状态不会发
生跳变，
.
2 连续时间信号与系统的时域分析 【例】 系统微分方程为
已知起始状态
和
,求系统的零输入响应。
零输入响应是激励为零，所以系统的微分方 程可变为
特征方程为
2 连续时间信号与系统的时域分析 又因为 有
即 y0 y0 9
2 连续时间信号与系统的时域分析
由方程 d yt 3rt 3 t可知
dt
方程右端含 t项，它一定属于
d
yt
dt
设
d yt a t b t cut
dt
则
yt a t but
2 连续时间信号与系统的时域分析
冲激函数匹配法实现过程中应注意的问题： (1) 对于冲激函数只匹配 及其各阶导数项，
微分方程两端这些函数项都对应相等。 (2) 匹配从方程左端 的最高阶项开始，首
先使方程右端冲激函数最高阶次项得到匹配,在已 匹配好的高阶次冲激函数项系数的条件下，再匹配 低阶项。
(3) 每次匹配方程低阶冲激函数项时，如果方 程左端所有同阶次冲激函数各项系数之和不能和右 端匹配，则由左端 高阶项中补偿。
d yt中必含3 t
dt
yt中包含3 t
信号与系统第二章习题答案
(− 3C1 + 3C2 )δ (t ) + (C1 + C2 )δ ' (t ) − (− 2C1 + C 2 )δ (t ) = δ (t )
h (t ) = C1e −2t + C2 e t ε (t )
对上式求一阶、二阶导数，得
(
)
h ' (t ) = − 2C1e −2t + C 2e t ε (t ) + C1e −2t + C2 e t δ (t )
(
)
(
t
)
h '' (t ) = 4C1e −2 t + C2 e t ε (t ) + − 2C1e −2t + C 2e t δ (t ) + − 2C1e − 2t
d 2e (t ) d 2i1 (t ) di1 (t ) di 2 (t ) = 4 + 6 + 2 dt 2 dt 2 dt dt
将⑴式、⑸式代入⑽式中，得到：
⑾
对⑾式求导，得到：
⑿
再将⑴式代入⑿式中，得到 i1 (t ) 的微分方程为：
64
d 2e (t ) d 2i1 (t ) di1 (t ) = 4 + 6 + 4i1 (t ) dt 2 dt 2 dt
⑼
再将⑴式代入⑼式中，得到 i 2 (t ) 的微分方程为：
2
d 2i 2 (t ) di 2 (t ) de(t ) + 3 + 2i 2 (t ) = 2 dt dt dt
⑽
对⑹式求一阶导，得到：
di (t ) di (t ) du (t ) de(t ) = 4 1 +2 2 + c dt dt dt dt di (t ) de(t ) = 4 1 + 6i1 (t ) + 2i2 (t ) dt dt
《信号与系统》CH2_连续时间信号与系统的时域分析
o
4t
对于离散信号，由于 f (a n) 仅在为a n 为整数时才有意义， 进行尺度变换时 可能会使部分信号丢失。
8
2.1 常用信号及信号的基本运算
信号的时间变换运算的一般形式是： f at b
获得它的方法除了将变量t换为at+b以外，一般按照以下步骤进行：
平移 f(t)
b>0,左移 b<0, 右移
右移t → t – 1
o1 t
左移t → t + 1
f (t-1) 1
o1 2 t f (t+1) 1
-1 o t
6
平移与翻转相结合
画出 f (2 – t)。
注意：是对t 的变换！
法一：①先平移f (t) → f (t +2)
②再翻转 f (t +2) → f (– t +2)
2.1 常用信号及信号的基本运算
f (t) (t) d t f (0)
δ(t-t0)
16
例2.2.1
(1)
sin(t ) (t) sin( ) (t) 2 (t)
4
4
2
(2)
sin(t ) (t) d t 2
0
4
2
(3)
sin(t ) (t) d t 0
（2）特征根中含有重根，不妨设λ1 为r重根，此时，yx(t)为：
n
yx t c0 c1t ... cr1t r1 e1t
ck ekt
t≥0
k r 1
3.确定系数ck
由n个初始条件 y 0 , y 0 ,..., yn1 0 来确定系数ck
《信号与系统》考研试题解答第二章连续系统的时域分析.doc
第二章 连续系统的时域分析一、单项选择题X2.1（东南大学2002年考研题）一线性时不变连续时间系统，其在某激励信号作用下的自由响应为(e -3t +e -t )ε(t )，强迫响应为(1-e -2t )ε(t )，则下面的说法正确的是 。
（A ）该系统一定是二阶系统 （B ）该系统一定是稳定系统（C ）零输入响应中一定包含(e -3t +e -t )ε(t ) （D ）零状态响应中一定包含(1-e -2t )ε(t )X2.2（西安电子科技大学2005年考研题）信号f 1(t )和 f 2(t ) 如图X2.2所示，f =f 1(t )* f 2(t )，则 f (-1)等于 。
（A ）1 （B ）-1 （C ）1.5 （D ）-0.5图X2.2X2.3（西安电子科技大学2005年考研题）下列等式不成立的是 。
[])()(*)()()()(*)()()(*)()(*)()()(*)()(*)()(2121210201t f t t f D t f t t f C t f dt d t f dt d t f t f dt d B t f t f t t f t t f A ='='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡==+-δδ答案：X2.1[D]，X2.2[C]，X2.3[B]二、判断与填空题T2.1（北京航空航天大学2001年考研题）判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”。
（1）若)(*)()(t h t f t y =，则)2(*)2(2)2(t h t f t y =。
[ ] （2）如果x (t )和y (t )均为奇函数，则x (t )*y (t )为偶函数。
[ ] （3）卷积的方法只适用于线性时不变系统的分析。
[ ] （4）若)(*)()(t h t f t y =，则)(*)()(t h t f t y --=-。
[ ]（5）两个LTI 系统级联，其总的输入输出关系与它们在级联中的次序没有关系。
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第二章 连续系统的时域分析、单项选择题X2.1 (东南大学2002年考研题)一线性时不变连续时间系统，其在某激励信号作用下的自由响应为(e-3t+e -t ) (t)，强迫响应为 ・2t(1-e ) ；(t)，则下面的说法正确的是(A )该系统一定是二阶系统(B) 该系统一定是稳定系统 (C) 零输入响应中一定包含 (e-3t+e -t ) ；(t) (D )零状态响应中一定包含 (1-e-2t) (t)X2.2 (西安电子科技大学2005年考研题)则f(-1)等于 _________ 。
图 X2.2X2.3(西女电子科技大学 2005年考研题) 下列等式不成立的是(A) 皿-鮎)* f 2(t t 。
)= f't)* f 2(t)(B) 沪f1⑴* M 汪f1⑴*炸 f 2(t)(C) f(t)*、(t)= f ⑴(D) f(t)*、(t)= f(t)答案： X2.1[D] , X2.2[C] , X2.3[B]、判断与填空题T2.1 (北京航空航天大学 2001年考研题)判断下列说法是否正确，正确的打，错 误的打“x”。
(1 )若 y(t) = f (t)* h(t)，则 y(2t) =2f (2t)* h(2t)。
[](2) 如果x(t)和y(t)均为奇函数，贝U x(t)*y(t)为偶函数。
[](3)卷积的方法只适用于线性时不变系统的分析。
[](4)若 y(t) = f(t)*h(t)，则 y(-t)二 f(-t)*h(-t)。
[](5)两个LTI 系统级联，其总的输入输出关系与它们在级联中的次序没有关系。
[](a)(C ) 1.5 ( D ) -0.5信号 f i (t)和 f 2(t)如图 X2.2 所示，f =f i (t)*，T2.2 (华中科技大学2004年考研题)判断下列叙述或公式的正误，正确的在方括号中打“/，错误的在方括号中打“X”。
(1)线性常系数微分方程表示的系统，其输出响应是由微分方程的特解和齐次解组成，或由零输入响应和零状态响应所组成。
齐次解称之为自由响应[],特解称之为强迫响应[];零输入响应称之为自由响应[]，零状态响应称之为强迫响应[]。
(2)(上海交通大学2000年考研题)f(t)「(tr f(t)[]f(t) (\)= f(0)[]t—()d "[]tf( .)d. = f (t)* ;(t)[]T2.3在下列各题的横线上填上适当的内容：(1) (北京邮电大学2000年考研题)—e * =(t)Ldt ---------t(2) (国防科技大学2001年考研题) …f(.)d.二f(t)*_ **^0 " =T2.4 (华南理工大学2004年考研题)一连续LTI系统的单位阶跃响应g(t)二e" ；(t), 则该系统的单位冲激响应为h(t)= ________________________ 。
T2.5 (华南理工大学2004年考研题)已知信号h(t)= ；(t-1)- ；(t-2), f(t)= (t-2)-往4)，则卷积f (t)* h(t) = ___________________ 。
T2.6 (南京理工大学2000年考研题)某系统如图T2 . 6所示，若输入□0f(t) ：(t -nT)，则系统的零状态响应为_________________n =0图T2 . 6T2.7 (北京交通大学2004年考研题)对连续信号延迟t0的延时器的单位阶冲激应为__________ ，积分器的单位阶冲激应为____________ ，微分器的单位阶冲激应为___________ 答案:T2.1 (1 )V ( 2)V ( 3)V (4)V (5)VT2.2 (1 )V,V,X,X ( 2)V,X,X,V-2tT2.3 (1) e (2) (t)-3tT2.4 h(t)=、⑴-3e (t)T2.5 h(t)*f(t)= (t-3) <t-3) - (t-4) (t-4) - (t-5) (t-5) (t-6) (t-6)T2.6 ⑴T2.7 、(t-t o), ⑴(t)三、画图、证明与分析计算题J2.1 (东南大学2001年考研题)已知某线性系统可以用以下微分方程描述y (t) 6y (t) 5y(t) = 9f (t) 5f (t)系统的激励为f(t)= (t)，在t=0和t=1时刻测量得到系统的输出为y(0)=0, y(1)=1-e-5。
(1)求系统在激励下的全响应，并指出响应中的自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应分量；(2)画出系统模拟框图。
解：(1)先求系统的冲激响应h(t)。
h(t)应满足以下微分方程：h (t) 6h (t) 5h(t^9 (t) 5 (t) (J2.1-1)设h1(t)满足微分方程：hi(t) 6h1(t) 5h(t) (t) (J2.1 -2) 贝V h(t) =9h(t) 5g(t) (J2.1—3)由式(J2.1 -2)求h«t):特征方程：九2+6二+5 =0特征根：- -1, '2 - -5贝V h(t)二Ae 叭A2e2t；(t)二Ae」；(t)下面求系数A、A2。
由式(J2.1-2)微分方程可知：h；(t)中应包含(t)项，则h；(t) 在t =0处不连续,即hdO J 讪0 0 =0; h(t)中不含(t)项,则0(t)在t =0处连续，即h1(0 .) =^(0_) =0°对式(J2.1 _2)微分方程在t =0 _〜0内积分,可得h；(0 .) =1。
利用0初始值h1(0 .) =0, h1(0 ) =1确定系数A、A2：h i (O 』=A 1 + A ? = 0 A 1 = 0.25h /(t) = —A —5A ? =1A? = —0.25故 h ,(t) =0.25e ±-e-t；(t)代入式(J2.1 - 3)可得h(t) =(10e^ _e 丄孰t)则零状态响应为y zs (t) = f(t)*h(t)二1(t 「)10e)-e- ；(.)d. at5=0(10e —^—e Y d i 常⑴=(1 +e±—2e't >(t)由此可得：y zs (0)=(l+e 上—2e't 》(t)y =0y zs (1)=(!+e 丄-2e 仓》(t)仁=1+e 丄—2e'F 面求系统的零输入响 应y zi (t),y zi (t)应满足以下微分方程y z ；(t) 6y z ；(t) 5丫』)=0 则 y/t) = 电⑸；(t)下面求系数B 、B 2 :Yzi (0) = B i + B 2*y/ire ^B ie'B 2y(0) = y zi (0) +y zs (0) = B +B 2 =0 y(1) =y zi (1) y zs (1) =e 」B i e'B 2 1 e 」-2e*=1-B +B 2 =0二丿e^B t +e 』B 2=-e 丄+e 』故 y zi (t) =：€耳—e 丄；(t)则系统的全响应为y(t)二 y zi (t) y zs (t) =(1 —e 「；(t)由上式可知，自由响应y h (t)、强迫响应y p (t)分别为:y h (t)二 v*(t),y p (t)=1(2 )系统框图如下：B = -1 (B 2 = 1图 J2.1-1J2.2 (上海大学2000年考研题)某线性时不变系统的单位阶跃响应为g(t)二3e2t-1 ；(t)用时域解法求：(1 )系统的冲激响应h(t);(2)系统对激励f/t)二t；(t)的零状态响应y zsi(t);(3)系统对激励f2(t) =t〔；(t) - ；(t -1) 1的零状态响应y zs2(t).=dg(t)=2、.(t) -6e't ；(t)解：(i) h(t)dt(2)y zsi(t) = f i(t)* h(t)二f i⑴* h(」)(t) = ；(t)* (3e^t-1)；(t)】=f (3e/^—1)名(巧dt =(1.5_t _1.5e』)&(t)J-=O(3)f2(t) =t l；(t) - ；(t -1) =t ；(t) _(t _1) ；(t -1)- ；(t -1)t；(t) > y zsi(t) = 1.5-t-1.5e2 ；(t)(t-1)；(t-1) > y zs1(t-1) = 1.5 — (t-1) “.也❾‘门建一1)=2.5_t —i^e^ts L(t -1)；(t 一1) > g(t -1) = 3^^(tJ)-^；(t -1)y zs2(t)订{% f2(t)l=T {0}, t ；(t)丨T {0}, -(t -1) ；(t -1)丨T {0}, - ；(t -1)1(t - 1) - g(t - 1)=yzs1 (t) - y zs1二1.5—t —1.5e』；(t) 一1.5—t 1.5e'(2)L(t -1)J2.3 (重庆大学2001年考研题)已知一线性时不变系统的单位冲激响应JI 他、h(t)=—sin —t F(t)，输入信号f(t)的波形如图J2.3-1所示。
用时域法求系统的零状态响2 12丿应y zs(t).图J2.3-1解：利用卷积的微积分性质，可得y zs (t) =f(t)*h(t)二 f ⑴(t)*h (」)(t)h (」)(t)二 tt 」()d = 71■:t一sin —丁 i&O d i = 1 - cos — it(t)对输入信号f(t)求一阶导数，如图J2.3-2。
桦)1-110 T Z1618图 J2.3-2oOf ⑴(t) :、(t _6n) _、(t _6n_4) 1oO二 h (」)(t)* ' l (t —6n) -、(t —6n —4)1QO八 h(4(t —6n)—h (4(t —6n-4)cos?(t_6n) ；(t_6 n)_ 1 - co^ (^6 n_4) ；(t ■t 二、1 -^1)n cos- n=0 _2- 6n) - ； (t - 6n - 4)- J2.4 (北京交通大学 2001年考研题)已知一线性时不变系统的单位冲激响应 f(t)的波形如图J2.4-1 (a)、(b)所示。
用时域法求系统的零状态响应y zs (t),画出 -6n - 4)h(t)和激励y zs (t)的波形.2i f(t)21 h(t)tdt1 F212(a)(b)解：为运算方便，分别对 h(t)、f(t)分别求微分和积分，如图J2.4-2。
1__2t1* -2J-图 J2.4-1(a)h '(t) (b)f(J)(t)= / f(E)dm =22(t)—2(t —2"(t —2)h(t) =、(t) 、(t —1) —2、(t —2)y zs(t) = f(t)*h(t)二f(J)(t)*h(t)二f(J)(t) f (J)(t 一1) —2f (J)(t -2)=2t ；(t) 2(t -1) ；(t _1) _6(t -2) ；(t _2) _2(t _3) ；(t_3) 4(t _4) ；(t _4)y zs(t)的波形如图J2.4-3所示。