普通高等学校招生全国统一考试数学试题文全国卷含答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题文（全国卷3）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,在涂选其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求的.）1．已知集合{}|10A x x=-≥，{}012B=，，，则A B=I（）A．{}0B．{}1C．{}12，D．{}012，，2．()()12i i+-=（）A．3i--B．3i-+C．3i-D．3i+3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）4．若1sin3α=，则cos2α=（）A．89B．79C．79-D．89-5．若某群体中的成员只用现金支付的概率为，既用现金支付也用非现金支付的概率为，则不用现金支付的概率为（）A ．B ．C ．D ．6．函数()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为（） A ．4πB ．2πC ．πD ．2π7．下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是（）A ．()ln 1y x =-B ．()ln 2y x =-C ．()ln 1y x =+D ．()ln 2y x =+8．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是（）A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣ 9．函数422y x x =-++的图像大致为（）10．已知双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，），则点()40，到C 的渐近线的距离为（）A B ．2 CD ．11．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =（） A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π 12．设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为（）A． B． C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．14．某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．15．若变量x y ，满足约束条件23024020.x y x y x ++⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥，≥，≤则13z x y =+的最大值是________．16．已知函数())ln 1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________． 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~31题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：共60分。

17．（12分）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． ⑴求{}n a 的通项公式；⑵记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ． 18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：⑴根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； ⑵求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式⑶根据⑵中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()20.0500.0100.0013.8416.63510.828P K k k ≥．19．（12分）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧所在平面垂直，M 是上异于C ，D 的点．⑴证明：平面AMD ⊥平面BMC ；⑵在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由． 20．（12分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为()()10M m m >，．⑴证明：12k <-；⑵设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=u u u r u u u r u u u r．证明:2FP FA FB =+u u u ru u u ru u u r． 21．（12分）已知函数()21xax x f x e +-=．⑴求由线()y f x =在点()01-，处的切线方程； ⑵证明：当1a ≥时，()0f x e +≥．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），过点()02-，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点．⑴求α的取值范围；⑵求AB 中点P 的轨迹的参数方程．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()211f x x x =++-． ⑴画出()y f x =的图像；⑵当[)0x +∞∈，，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．参考答案一、选择题 1．答案：C解答：∵{|10}{|1}A x x x x =-≥=≥，{0,1,2}B =，∴{1,2}A B =I .故选C.2．答案：D解答：2(1)(2)23i i i i i +-=+-=+，选D.3．答案：A解答：根据题意，A 选项符号题意； 4．答案：B解答：227cos 212sin 199αα=-=-=.故选B.5．答案：B解答：由题意10.450.150.4P =--=.故选B. 6．答案：C 解答：22222sin tan sin cos 1cos ()sin cos sin 2sin 1tan sin cos 21cos xx x x x f x x x x x x x x x=====+++，∴()f x 的周期22T ππ==.故选C. 7．答案：B解答：()f x 关于1x =对称，则()(2)ln(2)f x f x x =-=-.故选B. 8．答案：A 解答：由直线20x y ++=得(2,0),(0,2)A B --，∴||AB ==圆22(2)2x y -+=的圆心为(2,0)，∴圆心到直线20x y ++=的距离为=P 到直线20x y ++=的距离的取值范围为d -≤≤d ≤≤1||[2,6]2ABP S AB d ∆=⋅∈. 9．答案：D 解答：当0x =时，2y =，可以排除A 、B 选项；又因为3424(22y x x x x x '=-+=-+-，则()0f x '>的解集为(,(0,22-∞-U ，()f x单调递增区间为(,2-∞-，(0,2；()0f x '<的解集为(,0))22-+∞U ，()f x 单调递减区间为(2-，)2+∞.结合图象，可知D 选项正确. 10．答案：D解答：由题意c e a ==1ba =，故渐近线方程为0x y ±=，则点(4,0)到渐近线的距离为d ==.故选D. 11．答案：C解答：2222cos 1cos 442ABCa b c ab C S ab C ∆+-===，又1sin 2ABC S ab C ∆=，故tan 1C =，∴4C π=.故选C.12．答案：B解答：如图，ABC ∆为等边三角形，点O 为A ，B ，C ，D 外接球的球心，G 为ABC ∆的重心，由ABC S ∆=6AB =，取BC 的中点H ，∴sin 60AH AB =⋅︒=23AG AH ==，∴球心O 到面ABC 的距离为2d ==，∴三棱锥D ABC -体积最大值1(24)3D ABC V -=⨯+=二、填空题13．答案：12解答： 2(4,2)a b +=r r ，∵//(2)c a b +r r r ，∴1240λ⨯-⨯=，解得12λ=.14．答案：分层抽样解答：由题意，不同龄段客户对其服务的评价有较大差异，故采取分层抽样法.15．答案：3 解答：由图可知在直线240x y -+=和2x =的交点(2,3)处取得最大值，故12333z =+⨯=.16．答案：2-解答：())ln 1()f x x x R -=+∈，()())1)1f x f x x x +-=+++22ln(1)22x x =+-+=，∴()()2f a f a +-=，∴()2f a -=-. 三、解答题17．答案：（1）12n n a -=或1(2)n n a -=-；（2）6. 解答：（1）设数列{}n a 的公比为q ，∴2534a q a ==，∴2q =±. ∴12n n a -=或1(2)n n a -=-.（2）由（1）知，122112n nn S -==--或1(2)1[1(2)]123n n n S +-==--+， ∴2163m m S =-=或1[1(2)]633m m S =--=（舍），∴6m =. 18． 解答：（1）第一种生产方式的平均数为184x =，第二种生产方式平均数为274.7x =，∴12x x >，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，∴第二种生产方式的效率更高.（2）由茎叶图数据得到80m =，∴列联表为 （3）222()40(151555)10 6.635()()()()20202020n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异. 19．解答：（1）∵正方形ABCD ⊥半圆面CMD ， ∴AD ⊥半圆面CMD ，∴AD ⊥平面MCD .∵CM 在平面MCD 内，∴AD CM ⊥，又∵M 是半圆弧CD 上异于,C D 的点，∴CM MD ⊥.又∵AD DM D =I ，∴CM ⊥平面ADM ，∵CM 在平面BCM 内，∴平面BCM ⊥平面ADM .（2）线段AM 上存在点P 且P 为AM 中点，证明如下：连接,BD AC 交于点O ，连接,,PD PB PO ；在矩形ABCD 中，O 是AC 中点，P 是AM 的中点；∴//OP MC ，∵OP 在平面PDB 内，MC 不在平面PDB 内，∴//MC 平面PDB .20． 解答：（1）设直线l 方程为y kx t =+，设11(,)A x y ,22(,)B x y ,22143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩联立消y 得222(43)84120k x ktx t +++-=， 则2222644(412)(34)0k t t k ∆=--+>， 得2243k t +>…①，且1228234kt x x k -+==+，121226()2234ty y k x x t m k+=++==+， ∵0m >，∴0t >且0k <. 且2344k t k+=-…②.由①②得2222(34)4316k k k ++>，∴12k >或12k <-. ∵0k <，∴12k <-.（2）0FP FA FB ++=uu r uu r uu r r ，20FP FM +=uu r uuu r r , ∵(1,)M m ，(1,0)F ，∴P 的坐标为(1,2)m -.由于P 在椭圆上，∴214143m +=，∴34m =，3(1,)2M -， 又2211143x y +=，2222143x y +=， 两式相减可得1212121234y y x xx x y y -+=-⋅-+， 又122x x +=，1232y y +=，∴1k =-， 直线l 方程为3(1)4y x -=--， 即74y x =-+，∴2274143y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 消去y 得2285610x x -+=，1,21414x ±=，||||3FA FB +==uu r uu r，3||2FP ==uu r ,∴||||2||FA FB FP +=u u u r u u u r u u u r.21．解答：（1）由题意：()21xax x f x e +-=得222(21)(1)22()()x x x xax e ax x e ax ax x f x e e +-+--+-+'==，∴2(0)21f '==，即曲线()y f x =在点()0,1-处的切线斜率为2，∴(1)2(0)y x --=-，即210x y --=；（2）证明：由题意：原不等式等价于：1210x e ax x +++-≥恒成立；令12()1x g x e ax x +=++-，∴1()21x g x e ax +'=++，1()2x g x e a +''=+，∵1a ≥，∴()0g x ''>恒成立，∴()g x '在(,)-∞+∞上单调递增，∴()g x '在(,)-∞+∞上存在唯一0x 使0()0g x '=，∴010210x e ax +++=，即01021x e ax +=--，且()g x 在0(,)x -∞上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，∴0()()g x g x ≥.又01220000000()1(12)2(1)(2)x g x e ax x ax a x ax x +=++-=+--=+-，111()1a g e a -'-=-，∵1a ≥，∴11011a e e -≤-<-，∴01x a ≤-，∴0()0g x ≥，得证.综上所述：当1a ≥时，()0f x e +≥.22．解答：（1）O e 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，∴O e 的普通方程为221x y +=，当90α=︒时，直线：:0l x =与O e 有两个交点，当90α≠︒时，设直线l的方程为tan y x α=-l 与O e有两个交点有1<，得2tan 1α>，∴tan 1α>或tan 1α<-，∴4590α︒<<︒或90135α︒<<︒，综上(45,135)α∈︒︒.（2）点P 坐标为(,)x y ，当90α=︒时，点P 坐标为(0,0)，当90α≠︒时，设直线l的方程为y kx =-1122(,),(,)A x y B x y，∴221x y y kx ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩①②有22(1x kx +-=，整理得22(1)10k x +-+=，∴1221x x k +=+，1221y y k -+=+，∴2211x k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩③④得x k y =-代入④得220x y ++=.当点(0,0)P时满足方程220x y ++=，∴AB 中点的P的轨迹方程是220x y ++=，即221(2x y ++=，由图可知，22A -，(,)22B --，则02y -<<，故点P的参数方程为cos 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（β为参数，0βπ<<）. 23．解答：（1）13,21()2,123,1x x f x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪≥⎪⎪⎩，如下图： （2）由（1）中可得：3a ≥，2b ≥， 当3a =，2b =时，a b +取最小值， ∴a b +的最小值为5.。