2020-2021学年北京市石景山区高二(上)期末数学试卷
北京市石景山区2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷(含答案)
北京市石景山区初二下期末数学试卷及答案－学年度第二学期期末考试初 二 数 学考生 须知 1. 本试卷为闭卷考试，满分为100分，考试时间为100分钟． 2. 本试卷共6页，各题答案均写在试卷相应位置上．题号一二三四五六七八总分得分一、选择题（本题共24分，每小题3分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的,请将所选答案前的字母填写在各小题后的括号内．1．在平面直角坐标系中，点P (2，-3)关于x 轴对称的点的坐标是（ ） A.(-2，-3) B.(2，3)C.(-2，3)D.(2，-3)2．已知一次函数y x b =+的图像经过一、二、三象限，则b 的值可以是（ ）A.-2B.-1C.0D.2 3. 顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是（ ）A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形4.下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x 和y ， 其中y 不是．．x 的函数的选项是（ ）A ．y ：正方形的面积， x ：这个正方形的周长B ．y ：某班学生的身高， x ：这个班学生的学号C ．y ：圆的面积， x ：这个圆的直径D ．y ：一个正数的平方根， x ：这个正数5．已知1x =是方程220x bx +-=的一个根，则方程的另一个根是（ ）A.1B.2C.-2D.-1 6.关于x 的方程2210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是（ ）A . k 为任何实数，方程都没有实数根B . k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C . k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D. 根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种7．如图，在周长为20cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm8．四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于 （ ） A ．34 B ．33 C ．24D ．８二、填空题（本题共15分，每小题3分） 9．请写出一个两根异号的一元二次方程 ．10．截止至年6月4日，今年110米栏世界前10个最好成绩（单位：秒）如下：11．如果一个多边形的每个内角都相等，它的一个外角等于一个内角的三分之二，这个正多边形的边数是__________．12．将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开可以拼成不同形状的四边形，请写出其中一种四边形的名称．ab +第7题图 第8题图ABCOEABCD EF第12题图 第13题图13．一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，有下列结论：①0k <；②0a >；③当3x <时，12y y <，其中所有正确结论的序号是________________． 三、解答题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分） 14．解方程： 2450x x +-= 解：15．解方程：273(7)0x x x ---=（） 解：16．要在一个8cm ⨯12cm 相片外侧的四周镶上宽度相同的银边，并且要使银边的面积和相片的面积相等，那么银边的宽度应该是多少？ 解：17．一个一次函数的图像经过点3,7-（），且和坐标轴相交，当与坐标轴围成的直角三角形的两腰相等时，求这个一次函数的解析式． 解：18．看图说故事．如图，设计一个问题情境，使情境中出现的一对变量满足图示的函数关系．结合图象，说出这对变量的变化过程的实际意义． 解：四、解答题（本大题共6个小题，每小题6分，共36分）19．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =2，BC =4，高DF =2，求腰DC 的长． 解：20．在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的角平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． （1）求证：EO =FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？ 并证明你的结论． 证明：BCEF M NO AD A B CDF21．甲和乙上山游玩，甲乘坐缆车，乙步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知乙行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，甲在乙出发后50 min 才乘上缆车，缆车的平均速度为180 m/min ．设乙出发x min 后行走的路程为y m ．图中的折线表示乙在整个行走过程中y 与x 的函数关系． （1）乙行走的总路程是___________ m ， 他途中休息了________min ．（2）①当50≤x ≤80时，求y 与x 的函数关系式；②当甲到达缆车终点时，乙离缆车终点的路程 是多少？22．阅读材料：如果1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两根，那么有1212,bc x x x x aa+=-=. 这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例12,x x 是方程2630x x +-=的两根，求2212x x +的值.解法可以这样：126x x +=-，123x x =-，则222212112()2x x x x x x +=+-=2(6)2(3)42--⨯-=.请你根据以上解法解答下题：已知12,x x 是方程2420x x -+=的两根，求： （1）1211x x +的值；（2）212()x x -的值. 解：23．为了进一步了解八年级学生的身体素质情况，体育老师对八年级（1）班50位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图．如下所示：9 跳绳次数第4组 140160x ≤< 18第5组160180x ≤< 6（1）表中的a = ；（2）请把频数分布直方图补充完整； （3）这个样本数据的中位数落在第 组；（4）若八年级学生一分钟跳绳次数（x ）达标要求是：120x <不合格；120140x ≤<为合格；140160x ≤<为良；160x ≥为优．若该年级共有400名学生，请根据以上信息，估算该年级跳绳达到优的人数 ．24．将一张直角三角形纸片ABC 折叠，使点A 与点C 重合，这时DE 为折痕， △CBE 为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE 的对称轴EF 折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、 无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”．请完成下列问题：（1）如图②，正方形网格中的△ABC 能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中画出折痕；（2）如图③，在正方形网格中，以给定的BC 为一边，画出一个斜△ABC ，使其顶点A 格点上，且△ABC 折成的“叠加矩形”为正方形；（3）如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是 ．参考答案一、选择题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分）9．21x =（答案不唯一） 10． 0.26 11．512．平行四边形、矩形、等腰梯形（三种中任选一种均给满分）13．①（多选不得分）三、解答题（本题共25分，每小题5分） 14. 解：（其它解法酌情给分）2(2)9x += … ………… …………………2分23x +=± … ………………………………3分∴11x =；25x =- … ………………………5分15. 解：(7)(73)0x x x --+= … …………… …………………………2分(7)(47)0x x --= … ………… ……………………………4分∴17x =，274x =… ………… ………………………5分 16．解：设银边的宽度为x cm ，由题意列方程 (122)(82)2812x x ++=⨯⨯ ……………………2分210240x x +-=解之122,12x x ==- …………………………………4分 其中212x =-不符合题意，舍去，所以2x =答：银边的宽度为2cm ……………… …………5分17．解：设一次函数解析式为y kx b =+，由题意0b ≠…………………1分图象与两轴交点分别为(,0),(0)b b k -，bb k-= ，解得1k =±………………………………3分 把点3,7-（）代入解析式，当1k =时10b =；当1k =-时4b =……4分所以，函数解析式为10y x =+或4y x =-+ …………………5分18． 学生可以设计多种情境．比如，把这个图看成“小王骑车的s-t 图”：小王以400米/分钟的速度匀速骑了5分钟，在原地休息了6分钟，然后以500米/分钟的速度匀速骑回出发地． ………………5分四、计算与证明题（本题共36分，每小题6分）19．解：过D 作DE ∥AB 交BC 于点E ，则四边形ABED 是平行四边形．…………1分DE=AB=DC ，BE=AD.在等腰三角形DEC 中， ………………………………………2分 EC=BC-BE=BC-AD=4-2=2， CF=12EC=1， ……………………4分 2222+2+15DC DF CF ∴=== ………………………………6分20. 证明：CE 是BAC ∠的平分线, OCE ECB ∴∠=∠//,,MN BC OEC BCE ∴∠=∠,OEC OCE OE OC ∴∠=∠∴=同理可证OF OC =,OF OE ∴= ………………………………3分 当O 为中点时，四边形AECF 是矩形． ………………………………4分 由OF OE OA OC ==，可知四边形AECF 是平行四边形． 由CE 、CF 分别为∠BCA 的内外角平分线可知∠ECF 为直角，所以四边形AECF 是矩形． ……………………………………6分 21．解：⑴3600，20． ……………………………………2分 ⑵①当5080x ≤≤时，设y 与x 的函数关系式为y kx b =+． 根据题意，当50x =时，1950y =；当80x =，3600y =．所以，y 与x 的函数关系式为55800y x =- ……………………………4分 ②缆车到山顶的路线长为3600÷2=1800（m ）， 缆车到达终点所需时间为1800÷180＝10（min ）．甲到达缆车终点时，乙行走的时间为10＋50＝60（min ）． 把60x =代入55800y x =-，得y=55×60—800=2500． 所以，当甲到达缆车终点时，乙离缆车终点的路程是3600-2500=1100（m ）． ……………………………6分22．解：由已知，121242x x x x +==， ………………………………2分 （1）121212114 2.2x x x x x x ++=== ………………………………………4分 （2）222121212()()44428.x x x x x x -=+-=-⨯=………………………………………6分23．解：（1）a =12； ……………1分 （2）画图答案如图所示：……………2分 （3）中位数落在第3组；……………4分 （4）48． ……………6分 24．解：（1）………………………………………………2分（2） (4)分（说明：只需画出满足条件的一个三角形；答案不惟一，所画三角形的一边长与该边上的高相等即可．）（3）三角形的一边长与该边上的高相等 ………………………………………6分9 跳绳次数B。
2021北京石景山初三上期末数学试卷及答案
初三数学试卷第1页（共6页）石景山区2020—2021学年第一学期初三期末试卷数学学校________________姓名_________________准考证号________________________考生须知1．本试卷共6页，共三道大题，25道小题．满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题请用2B 铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效．4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个．1．已知34(0)a b ab =≠，则下列各式正确的是A ．43a b =B ．34a b =C ．34a b =D ．43a b =2．在ABC △中，90C ∠=︒，tan 2A =，则sin A 的值是A ．23B ．13C ．5D ．53．如图所示，将一根长2m 的铁丝首尾相接围成矩形，则矩形的面积与其一边满足的函数关系是A ．正比例函数关系 C ．二次函数关系B ．一次函数关系 D ．反比例函数关系4．如图，PA ，PB 为⊙O 的两条切线，点A ，B 是切点，OP 交⊙O 于点C ，交弦AB 于点D ．下列结论中错误．．的是A ．PA PB =B ．AD BD =C ．OP AB ⊥D ．PAB APB ∠=∠5．下列函数中，当0x >时，y 随x 的增大而减小的是A ．2y x =B ．2y x=C ．3y x=-D ．4y x=第3题图第4题图A BA (初三数学试卷第2页（共6页）6．不透明的袋子中有三个小球，上面分别写着数字“”，“”，“3”，除数字外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为4的概率是A ．14B ．13C ．12D ．237．大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小 孔成像实验中，若物距为10cm ，像距为15cm ，蜡烛火焰 倒立的像的高度是6cm ，则蜡烛火焰的高度是A ．3cmB ．4cmC ．6cmD ．9cmB ．8．已知某函数的图象过21A（，），12B --（，）两点，下面有四个推断： ①若此函数的图象为直线，则此函数的图象和直线4y x =平行②若此函数的图象为双曲线，则此函数的图象分布在第一、三象限③若此函数的图象为抛物线，且开口向下，则此函数图象一定与y 轴的负半轴相交④若此函数的图象为抛物线，且开口向上，则此函数图象对称轴在直线12x =左侧 所有合理推断的序号是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．若抛物线22y x x m =--与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是____________． 10．如图，菱形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，4BD =，2sin 5DAC ∠=，则菱形的边长是_________．11．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在AD 上，则BEC ∠=________︒． 12．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD 的面积是 _____．若四边形EFGH 与四边形ABCD 相似，则四边形EFGH 的面积是_____．12第10题 第11题第12题O DCBA图1图2初三数学试卷第3页（共6页）13．如图，A ，B 两点在函数2y x=-（0x ＜）图象上，AC 垂直y 轴于点C ，BD 垂直x 轴于点D ，AOC △，BOD △面积分别记为1S ，2S ，则1S ___2S ．（填“＜”，“=”，或“＞”14．如图在以点O 100AOB ∠=︒．则阴影部分的面积是_____________．15．在平面直角坐标系xOy 中，函数244y x x =-+的图象G 与直线y x =交于点()A ，()B （其中点A 横坐标小于点B 横坐标）．记图象G 在点A ，B 之间的部分与线段AB 围成的区域（不含边界）为W ．若横、纵坐标都是整数的点叫做整点，则区域W 内的整点有________个．16．某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植成活情况进行调查统计，并绘制了统计表．树苗数2000 4000 6000 8000 1000012000 14000 成活树苗数1862 3487 5343 7234 9108 10931 12752 成活频率0.9310.87180.89050.90430.91080.91090.9109根据统计表提供的信息解决下列问题：（1）请估计树苗成活的概率是________(精确到小数点后第3位)； （2）该地区已经移植这种树苗5万棵，估计这种树苗能成活________万棵．三、解答题（本题共52分，第17-21题，每小题5分，第22题6分,第23-25题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：cos 60sin 60tan 30+tan 45︒︒⋅︒︒．18．已知关于x 的二次函数2(2)3y x m x =---．（1）该函数图象经过点(2,3)-．①求这个二次函数的表达式及顶点坐标；②分别求出这个二次函数图象与x 轴，y 轴的交点坐标；（2）将这个二次函数的图象沿x 轴平移，使其顶点恰好落在y 轴上，请直接写出平移后的函数表达式．初三数学试卷第4页（共6页）19．下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程．已知：如图1，⊙O 及⊙O 上一点P ． 求作：直线PN ，使得PN 与⊙O 相切． 作法：如图2，①作射线OP ；②在⊙O 外取一点Q （点Q 不在射线OP 上），以Q 为圆心，QP 为半径作圆，⊙Q 与射线交于另一点M ；③连接MQ 并延长交⊙Q 于点N ；④作直线PN ．所以直线PN 即为所求作直线． 根据小石设计的尺规作图的过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明． 证明：∵MN 是⊙Q 的直径，∴MPN ∠= °（ ）（填推理的依据）． ∴OP PN ⊥．又∵OP 是⊙O 的半径，∴PN 是⊙O 的切线（）（填推理的依据）．20．如图，ABC △中，D 是AB 边上任意一点，F 是AC 中点，过点C 作CE //AB交DF 的延长线于点E ，连接AE ，CD ． （1）求证：四边形ADCE 是平行四边形；（2）若30B ∠=︒，45CAB ∠=︒，AC =，CD BD =，求AD 的长．图2初三数学试卷第5页（共6页）21．在平面直角坐标系xOy 中，直线:l 3y x =-与函数(0ky k x=≠，0)x >的图象交于点(4,)A t ． （1）求t ，k 的值； （2）点B 是函数(0ky k x=≠，0)x >的图象上任意一点（不与点A 重合），点P ，Q 在直线l 上，点P 横坐标为2．若1S S 2ABQ ABP △△≥，求点Q 横坐标的取值范围．22．如图，DO 是⊙O 的半径，点F 是直径AC 上一点，点B 在AD 的延长线上，连接BC ，使得12ABC AOD ∠=∠． （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）连接BF ，若165AD =，4tan 3ABC ∠=，BF =， 求CF 的长．23．已知关于x 的二次函数222y x tx =-+．（1）求该抛物线的对称轴（用含t 的式子表示）；（2）若点(3,)M t m -，(5,)N t n +在抛物线上，则m n ；（用“＜”，“=”，或“＞”填空）（3）11(,)P x y ，22(,)Q x y 是抛物线上的任意两个点，若对于113x -≤＜且23x =，都有12y y ≤，求t 的取值范围．C初三数学试卷第6页（共6页）24．已知矩形MBCD 的顶点M 是线段AB 上一动点，AB BC =，矩形MBCD 的对角线交于点O ，连接MO ，BO ．点P 为射线OB 上一动点（与点B 不重合），连接PM ，作PN PM ⊥交射线CB 于点N ．（1）如图1，当点M 与点A 重合时，且点P 在线段OB 上．①依题意补全图1；②写出线段PM 与PN 的数量关系并证明．（2）如图2，若OMB α∠=，当点P 在OB 的延长线上时，请补全图形并直接写出PM 与PN 的数量关系．25．对于平面直角坐标系xOy 中第一象限内的点,P x y （）和图形W ，给出如下定义：过点P 作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，若图形W 中的任意一点,Q a b （）满足a x ≤且b y ≤，则称四边形PMON 是图形W 的一个覆盖，点P 为这个覆盖的一个特征点．例：已知1,2A（），3,1B （），则点5,4P （）为线段AB 的一个覆盖的特征点．（1）已知点2,3C（）， ①在11,3P （），23,3P （），34,4P （）中，是ABC △的覆盖特征点的为___________； ②若在一次函数5(0)y mx m =+≠的图象上存在ABC △的覆盖的特征点，求m 的取值范围．（2）以点2,4D（）为圆心，半径为1作圆，在抛物线254(0)y ax ax a =-+≠ 上存在⊙D 的覆盖的特征点，直接写出a 的取值范围__________________．初三数学试卷答案及评分参考 第1页 （共6页）石景山区2020—2021学年第一学期初三期末数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可．2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分. 3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数． 一、选择题（本题共24分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACCDDBBD二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9．1m >- 10．511．45︒12．92，81813．=14．56π15．(1,1),(4,4)； 216．（1）0.911； （2）4.555三、解答题（本题共52分，第17-21题，每小题5分，第22题6分,第23-25题，每小 题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．解：原式=1+1232⨯÷……………4分 =1……………5分18．解：（1）①∵该二次函数图象经过点(2,3)-，∴232(2)23m -=--⨯-，解得4m =． ……………1分∴二次函数的表达式为223y x x =--． ∴二次函数顶点坐标为(1,4)-． ……………2分 ②令0x =，则3y =-．∴该二次函数图象与y 轴的交点坐标为(0,3)-， ……………3分令0y =，则11x =-，23x =．∴该二次函数图象与x 轴的交点坐标为(1,0)-，(3,0)．……………4分（2）22144y x m m =-+-．……………5分（注：学生写成2y x n =+（3n <-）的形式亦可，如：24y x =-，…）初三数学试卷答案及评分参考第2页 （共6页）19．解：（1）补全图形如下图；…………… 2分（2）90，直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．…………… 5分20．（1）证明：∵AB //CE ，∴CAD ACE ∠=∠， =ADE CED ∠∠． ∵F 是AC 中点， ∴AF CF =．∴AFD △≌CFE △．∴=AD CE ．∴四边形ADCE 是平行四边形．…………… 2分（2）解： 过点C 作CG AB ⊥于点G ．∵CD BD =，30B ∠=︒，∴30DCB B ∠=∠=︒。
北京市石景山区2021-2022学年高三上学期期末考试数学答案
石景山区2021-2022学年第一学期高三期末数学试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．11．85； 12．()40±，，y =； 13．(4]-∞，；14．6π-（答案不唯一）； 15．①③．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题13分）解：选条件①：()()()x x f g h x =⋅；（Ⅰ）()sin()cos 6f x x x π=-1cos )cos 2x x x =-21cos cos 2x x x =-111cos2sin 2222x x +-⨯112cos244x x -- 11sin(2)264x π=--， 所以()f x 的最小正周期是π． ………………7分（Ⅱ）因为02x π≤≤，所以6π-≤26x π-≤65π，所以12-≤sin(2)6x π-≤1，所以12-≤11sin(2)264x π--≤14，当266x ππ-=-，即0x =时，()f x 有最小值12-． ………………13分 选条件②：()()()x x f g h x =+．（Ⅰ）()sin()cos 6f x x x +π=-1cos )cos 2x x x =-+1cos 2x x =+ sin()6x π=+，所以()f x 最小正周期是2π． ………………7分（Ⅱ）因为02x π≤≤，所以6π≤6x π+≤32π，所以12≤sin()6x π+≤1， 当66x ππ+=，即0x =时，()f x 有最小值12． ………………13分 17．（本小题14分）解：（Ⅰ）因为四棱锥P ABCD -中，2DAB ADC π∠=∠=， 所以AB CD ∥，因为AB PAB ⊂平面，CD PAB ⊄平面，所以CD PAB ∥平面． ………………4分 （Ⅱ）因为CD PAD ⊥平面，PA PAD ⊂平面，所以CD PA ⊥， 又因为2PAD π∠=，所以AD PA ⊥， 因为CD AD ABCD ⊂，平面，CD AD D =，所以PA ABCD ⊥平面． ………………9分 （Ⅲ）存在，当M 为线段PD 中点时，理由如下：由（Ⅱ）可知，因为PA ABCD ⊥平面，AB ABCD ⊂平面， 所以AB PA ⊥，又AD PA ⊥，AB AD ⊥，如图以点A 为坐标原点，分别以AB AD AP ，，为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，则(000)A ，，，(300)B ，，，(220)C ，，，(020)D ，，，(00P ，． 设平面PBC 的法向量为()n x y z =，，， 由00n BC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，得2030.x y x -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令z =(21n =，，． 设DM DP λ=（0≤λ≤1），则(022)M λ-，，所以(022)AM λ=-，， 直线AM 与平面PBC 所成角为θ，所以sin cos 2AM n AM n AM nθ⋅=<>===⋅，， 解得12λ=，符合题意， 所以当M 为线段PD 中点时，直线AM 与平面PBC 所成角的大小为4π． ………………14分18.（本小题13分）解：（Ⅰ）由题可知，X 的所有可能取值为0，10，40．(0)10.80.2P X ==-=；(10)0.8(10.5)0.4P X ==⨯-=；(40)0.80.50.4P X ==⨯=． 所以X 的分布列为分P（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()00.2100.4400.420E X =⨯+⨯+⨯=．若小明先回答B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，30，40． (0)10.50.5P Y ==-=；(30)0.5(10.8)0.1P Y ==⨯-=；(40)0.50.80.4P X ==⨯=，所以()00.5300.1400.419E Y =⨯+⨯+⨯=．因为1920<，所以小明应选择先回答A 类问题． ………………13分 19.（本小题15分）解：（Ⅰ）因为右焦点为0)F，所以c =因为离心率c e a ==所以a 222321b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为2213x y +=． ………………5分（Ⅱ）当直线PF 垂直于x轴时，||MN =≠． 当直线PF 不垂直于x 轴时，设直线PF的方程为(y k x =-，由22(13y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，，整理得2222(13)630k x x k +-+-=， 设1122()()M x y N x y ，，，，由题意0∆>恒成立，所以212213x x k +=+，21226313k x x k -=+，12|||MN x x -== 解得1k =±，所以直线PF的方程为(y x =±．因为A B ，为椭圆C 在y 轴上的两个顶点，不妨设(01)(01)A B -，，，，因为0AP BP ⋅=，设()P m n ，，所以(1)(1)0m n m n -⋅+=，，，即221m n +=，即点P 在以原点为圆心，半径为1的圆上．法一： 因为原点到直线PF的距离1d ===，所以直线PF 与圆221m n +=相切， 所以90OPF ∠=．法二：联立221n m m n ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，解得2m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即P ，或221n m m n ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，解得2m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即P ， 因为0OP PF ⋅=，所以90OPF ∠=． ………………15分 20.（本小题15分）解：（Ⅰ）2222(1)e (1)(e )(21)2()e )e x x x x ax x ax x ax a x f x ''-+-⋅--+-⋅-++'==（(1)(2)e xax x --=因为(0)2f '=，(0)1f =-所以曲线()y f x =在点01-（，）处的切线方程为21y x =-. ………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：(1)(2)()xax x f x e--'=，（x ∈R ）因为0a >，令()0f x '=，所以1x a=或2x =， 当102a <<时，12a >，则()()x f x f x '，，的变化情况如下表：当12a =时，12a =，则 ()0f x '≥恒成立，()f x 在R 内恒增； 当12a >时，102a <<，则 ()()x f x f x '，，的变化情况如下表：综上，当102a <<时，单调递增区间是(2)-∞，和1()a+∞，，单调递减区间是1(2)a ，；当12a =时，单调递增区间是∞∞（-，+)，无单调递减区间； 当12a >时，单调递增区间是1()a-∞，和 (2)+∞，，单调递减是1(2)a ，. ………………10分（Ⅲ）当1a -≤时，令()0f x '=，得1x a =或2x =，易知1[10)a∈-， 则()()x f x f x '，，的变化情况如下表：所以当1x a =时，()f x 取得极小值1()f a111e e a a-=-=-由于1a -≤，则1[10)a ∈-，，1(01]a-∈，，1e (1e]a -∈，，1e [e 1)a --∈-， 所以由极小值定义及()f x 的单调性可知：当2x <时，()e f x -≥. 接下来，研究()f x 在2x ≥的变化情况.因为e 0x >恒成立，设2()1(21)g x ax x x a =-+--，≥，≤ 对称轴102x a=<，140a ∆=->，(2)140g a =-> 所以由二次函数的性质可知：当2x ≥时，()(2)0g x g >>恒成立 所以()0f x >在2x ≥时恒成立.综上所述：当1a -≤时，()e f x -≥. ………………15分21.（本小题15分）解：（Ⅰ）数列{}n a 是“趋势递减数列”.因为{}n a 是单调递减数列，21221max{}k k k k a a a ϕ--==，，且1k k ϕϕ+<.所以数列{}n a 是“趋势递减数列”.数列{}n b 是“趋势递减数列”.因为2122max{}k k k k b b b ϕ-==，，且1k k ϕϕ+<.所以数列{}n b 是“趋势递减数列”.………………4分（Ⅱ）当1q >时，数列{}n c 为单调递增数列，此时2122max{}k k k c c c -=，，且222k k c c +>不满足题意；当1q =时，数列{}n c 为常数列，不满足题意；当01q <<时，数列{}n c 为单调递减数列，此时21221max{}k k k c c c --=，，且2121k k c c +-<，满足题意；当10q -<<时，此时2122max{}k k k c c c -=，，且222k k c c +<，满足题意； 当1q <-时，此时2122max{}k k k c c c -=，，且222k k c c +>，不满足题意； 综上，q 的取值范围为(10)(01)-，，. ………………9分（Ⅲ）先证必要性：假设存在正整数(m m ≥3)使得0m d =，120m m m d d d --=-=，令12m m d d a --==. 因为1d ，2d 为正实数，且21n n n d d d ++=-所以n d ≥0，故a ≥0， 则数列{}n d 从2n d -开始以后的各项为00a a a a ，，，，，，当21k -≥2m -时212max{}k k d d a -=，，2122max{}k k d d a ++=，与{}n d 为“趋势递减数列”矛盾，故假设不成立，{}n d 的项中没有0. 再证明充分性：21n n n d d d ++=-得1max{}n 2n n d d d ++<，，因为{}n d 的项中没有0，所以对于任意正整数n ，0n d ≠，于是230k d +≠， 所以2122k k d d ++≠.当2122k k d d ++>时，212221212max{}max{}k k k k k d d d d d +++-=<，，，当2122k k d d ++<时，212222212max{}max{}k k k k k d d d d d +++-=<，，，所以{}n d 为“趋势递减数列”.综上：{}n d 为“趋势递减数列”的充要条件为{}n d 的项中没有0. ……………15分【若有不同解法，请酌情给分】。
北京市石景山区2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题含答案
2023年北京市石景山区高二下学期期末数学试卷（答案在最后）本试卷共8页，共100分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A.{}2 B.{}2,3 C.{}3,4 D.{}2,3,4【答案】B 【解析】【分析】利用交集的定义可求A B ⋂.【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .2.设函数331()f x x x=-,则()f x （）A.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A 【解析】【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增，而331y x x-==在()0,+¥上单调递减，在(),0-¥上单调递减，所以函数()331f x x x=-在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增．故选：A ．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．3.某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是A.16625B.96625C.192625D.256625【答案】B 【解析】【详解】解：根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复事件恰好发生2次，由n 次独立重复事件恰好发生k 次的概率的公式可得，()2224441962(()55625P C ==故选B ．4.若()554325432102x a x a x a x a x a x a -=+++++，则12345a a a a a ++++=（）A.32-B.31- C.31 D.32【答案】C 【解析】【分析】利用赋值法可求出结果.【详解】在()554325432102x a x a x a x a x a x a -=+++++中，令1x =，得1-=012345a a a a a a +++++，令0x =，得032a -=，所以12345a a a a a ++++=13231-+=.故选：C5.设x R ∈，则“21x -<”是“220x x +->”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.【详解】由21x -<，可得13x <<，即x ∈(1,3)；由22(1)(2)0x x x x +-=-+>，可得<2x -或1x >，即x ∈(,2)(1,)-∞-+∞ ；∴(1,3)是(,2)(1,)-∞-+∞ 的真子集，故“21x -<”是“220x x +->”的充分而不必要条件.故选：A6.某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为A.14 B.24C.28D.48【答案】A 【解析】【详解】法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为．故选A.法二：从4男2女中选4人共有种选法，4名都是男生的选法有种，故至少有1名女生的选派方案种数为-=15-1=14．故选A7.函数2()2ln g x x x =-+的图象大致是（）A. B. C.D.【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题：2()2ln g x x x =-+，求导得：2()2(0)g x x x x+'=->，即：222()(0)x g x x x'-+=>令：()22220,10,0,1x x -+>-<为增区间，()1,+∞为减区间．max (1)1g =-，得图为C考点：运用导数研究函数的性质.8.设{}n a 是等差数列.下列结论中正确的是A.若120a a +>，则230a a +> B.若130a a +<，则120a a +<C.若120a a <<，则2a >D.若10a <，则()()21230a a a a -->【答案】C 【解析】【详解】先分析四个答案，A 举一反例1232,1,4a a a ==-=-，120a a +>而230a a +<，A 错误，B 举同样反例1232,1,4a a a ==-=-，130a a +<，而120a a +>，B 错误，D 选项，2132,,a a d a a d -=-=-22132()()0,a a a a d ∴--=-≤故D 错，下面针对C 进行研究，{}n a 是等差数列，若120a a <<，则10,a >设公差为d ，则0d >，数列各项均为正，由于22213111()(2)a a a a d a a d -=+-+22221111220a a d d a a d d =++--=>，则2113a a a >1a ⇒>，故选C.考点：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重点是对知识本质的考查.9.设0a ≠，若a 为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（）A.a b <B.a b> C.2ab a < D.2ab a >【答案】D 【解析】【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到,a b 所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若a b =，则()()3f x a x a =-为单调函数，无极值点，不符合题意，故a b ¹.()f x ∴有a 和b 两个不同零点，且在x a =左右附近是不变号，在x b =左右附近是变号的.依题意，a 为函数的极大值点，∴在x a =左右附近都是小于零的.当a<0时，由x b >，()0f x ≤，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a <，a<0，故2ab a >.当0a >时，由x b >时，()0f x >，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a >，0a >，故2ab a >.综上所述，2ab a >成立.故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.10.若集合{}{,,,}1,2,3,4,a b c d =且下列四个关系：①=1a ；②1b ≠；③=2c ；④4d ≠有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(,,,)a b c d 的个数是（）A.7B.6C.5D.4【答案】B 【解析】【分析】因为①=1a ；②1b ≠；③=2c ；④4d ≠中有且只有一个是正确的,故分四种情况进行讨论,分别分析可能存在的情况即可.【详解】若仅有①成立,则=1a 必有1b ≠成立,故①不可能成立；若仅有②成立,则1a ≠,1b ≠,2c ≠,=4d 成立,此时有(2,3,1,4),(3,2,1,4)两种情况；若仅有③成立,则1a ≠,1b =,=2c ,=4d 成立,此时仅有(3,1,2,4)成立；若仅有④成立,则1a ≠,1b =,2c ≠,4d ≠成立,此时有(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2)三种情况，综上符合条件的所有有序数组(,,,)a b c d 的个数是6个，故选：B第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.已知()12P AB =，()35P A =，则()|P B A 等于______．【答案】56【解析】【分析】直接根据条件概率公式求解可得结果.【详解】因为()12P AB =，()35P A =，所以()|P B A 1()523()65P AB P A ===.故答案为：56.12.设函数()1122,1,1x x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩，则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.【答案】(],4∞-【解析】【分析】分1x <和1x ≥两种情况讨论从而解不等式()2f x ≤即可.【详解】当1x <时，由()2f x ≤，得122x -≤，所以11x -≤，又因为1x <，所以1x <；当1x ≥时，由()2f x ≤，得122x ≤，所以4x ≤，又因为1x ≥，所以14x ≤≤.所以满足()2f x ≤成立的x 的取值范围为(],4∞-.故答案为：(],4∞-.13.若随机变量X 的分布列为X012P1313a则=a ______，()D X 为随机变量X 的方差，则()D X =______．（用数字作答）【答案】①.13②.23【解析】【分析】根据分布列的性质求出a ，根据方差公式求出()D X .【详解】由题意得11133a ++=，得13a =.111()0121333E X =⨯+⨯+⨯=，()()()222111()011121333D X =-⨯+-⨯+-⨯23=.故答案为：13；23.14.二项式()*nx n⎛∈ ⎝N 的展开式中存在常数项，则n 可以为______．（只需写出一个符合条件的值即可）【答案】3（答案不唯一，n 为3的倍数的正整数均可）【解析】【分析】在通项公式中，令x 的指数为0，可求出结果【详解】321C (1)C kn k k n k k k k n n T x x--+⎛=⋅=-⋅ ⎝，0,1,2,,k n =L ，令302n k -=，得23n k =，因为k 为整数，n 为正整数，所以k 为偶数，n 为3的倍数的正整数.故答案为：3（答案不唯一，n 为3的倍数的正整数均可）.15.已知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅== ．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于3；②{}n a 为等比数列；③{}n a 为递减数列；④{}n a 中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①③④【解析】【分析】推导出199n n n a a a -=-，求出1a 、2a 的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.【详解】由题意可知，N n *∀∈，0n a >，当1n =时，219a =，可得13a =；当2n ≥时，由9n n S a =可得119n n S a --=，两式作差可得199n n n a a a -=-，所以，199n n n a a a -=-，则2293a a -=，整理可得222390a a +-=，因为20a >，解得2332a -=<，①对；假设数列{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则2213a a a =，即2213981S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，2213S S S =，可得()()22221111a q a q q+=++，解得0q =，不合乎题意，故数列{}n a 不是等比数列，②错；当2n ≥时，()1119990n n n n n n n a a a a a a a ----=-=>，可得1n n a a -<，所以，数列{}n a 为递减数列，③对；假设对任意的N n *∈，1100n a ≥，则10000011000001000100S ≥⨯=，所以，1000001000009911000100a S =≤<，与假设矛盾，假设不成立，④对.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.已知函数()()1exf x x =-（1）判断函数()f x 的单调性，并求出()f x 的极值；（2）在给定的直角坐标系中画出函数()y f x =的大致图像；（3）讨论关于x 的方程()()0f x a a -=∈R 的实根个数．【答案】（1）函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞；极小值为1-，无极大值（2）图象见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）由导数得出其单调性以及极值；（2）由单调性画出函数()y f x =的大致图像；（3）画出函数()f x 与函数y a =的简图，由图像得出方程根的个数.【小问1详解】()e (1)e e x x xf x x x '=+-=0()0x f x '>⇒>，0()0x f x '<⇒<即函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞极小值为(0)1f =-，无极大值.【小问2详解】当0x <时，()0f x <；当x →+∞时，()f x →+∞，且(1)0f =结合单调性，可画出函数()y f x =的大致图像，如下图所示【小问3详解】画出函数()f x 与函数y a =的简图，如下图所示由图可知，当1a <-时，方程()()0f x a a -=∈R 没有实数根；当1a =-或0a ≥时，方程()()0f x a a -=∈R 只有一个实数根；当10a -<<时，方程()()0f x a a -=∈R 有两个不相等的实数根；17.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，318S =，且1a ，2a ，4a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】（1）3n a n =（2）n T ()231nn =+【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，结合等差数列的性质与等比中项的性质求解即可；（2）根据等差数列的前n 项和公式可得1nS ，再裂项求和求解即可【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由318S =，得13318a d +=，即16a d +=，由1a ，2a ，4a 成等比数列，得()()21113a d a a d +=+，即222111123a a d d a a d ++=+，又0d ≠得1a d =，所以13a =，3d =，故数列{}n a 的通项公式为3n a n =．【小问2详解】由3n a n =，得()()333122n n n n n S ++==，所以()122113131n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，12111211111132231n n T S S S n n ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪+⎝⎭()21213131n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭．18.某同学参加甲、乙、丙3门课程的考试，设该同学在这3门课程的考试中取得优秀成绩的概率分别为231,,342，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．（1）求该同学这3门课程均未取得优秀成绩的概率．（2）求该同学取得优秀成绩的课程数X 的分布列和期望．【答案】（1）124（2）分布列见解析；期望为2312【解析】【分析】（1）由独立事件的乘法公式代入即可得出答案.（2）X 的可能取值为0,1,2,3，分别求出其对应的概率，即可求出分布列和期望.【小问1详解】该同学这3门课程均未取得优秀成绩的概率231111134224⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】X 的可能取值为0,1,2,3，所以()2311011134224P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()231231231111111113423423424P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()23123121111211134234234224P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+-⨯⨯+⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()231133424P X ==⨯⨯=，该同学取得优秀成绩的课程数X 的分布列：X 0123P 12414112414期望()1111123012324424412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.19.设0x >，()ln f x x =，()11g x x =-．（1）分别求函数()f x ，()g x 在点()1,0处的切线方程；（2）判断()f x 与()g x 的大小关系，并加以证明．【答案】（1）()f x 点()1,0处的切线方程为10x y --=，()g x 在点()1,0处的切线方程为10x y --=；（2）()()f x g x ≥，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；（2）作差构造函数，利用导数可证结论成立.【小问1详解】因为0x >，()ln f x x =，1()f x x'=，(1)1f '=，(1)0f =，所以()f x 点()1,0处的切线方程为01y x -=-，即10x y --=.因为0x >，1()1g x x=-，21()g x x '=，(1)1g '=，(1)0g =，所以()g x 在点()1,0处的切线方程为01y x -=-，即10x y --=.【小问2详解】()()f x g x ≥，证明如下：设1()()()ln 1h x f x g x x x=-=-+(0)x >，22111()x h x x x x-'=-=，当01x <<时，()0h x '<；当1x >时，()0h x '>，所以()h x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数，所以()(1)0h x h ≥=，所以()()f x g x ≥.20.某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（I ）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II ）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（III ）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．【答案】（I ）合唱团学生参加活动的人均次数为2.3；（II ）04199P =；（III ）23E ξ=．【解析】【详解】解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．（I ）该合唱团学生参加活动的人均次数为110250340230 2.3100100⨯+⨯+⨯==．（II ）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为222105040021004199C C C P C ++==．（III ）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A ，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B ，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C ．易知(1)()()P P A P B ξ==+111110505040241001005099C C C C C C =+=；(2)()P P C ξ==1110402100899C C C ==；41(0)99P ξ==.ξ的分布列：ξ012P 41995099899ξ的数学期望：4150820129999993E ξ=⨯+⨯+⨯=．。
北京市石景山区2020-2021学年八年级上期期末试卷数学(含解析)
石景山区2020—2021学年第一学期初二期末试卷数学一、选择题1. 3的算术平方根是（）A. 3B.C.D. 92. 下列医院logo设计的图案中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3. 下列事件中，为必然事件的是（）A. 明天早晨，大家能看到太阳从东方冉冉升起B. 成绩一直优秀的小华后天的测试成绩也一定优秀C. 从能被2整除的数中，随机抽取一个数能被8整除D. 从10本图书中随机抽取一本是小说4. ）A.12x>- B. 12x≠- C.12x<- D.21x≥-5. 如图所示在ABC∆中，AB边上的高线画法正确的是( ) A. B.C. D.6. 下列式子的变形正确的是（）A.22b ba a= B.22+++a ba ba b=C. 2422x y x yx x--= D.22m nnm-=-7. 下列说法正确的是（）A. 无理数是开方开不尽的数B. 一个实数的绝对值总是正数C. 不存在绝对值最小的实数D. 实数与数轴上的点一一对应8. 剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（）A. B. C. D.二、填空题9. 一个均匀的正方体，6个面中有1个面是黄色的、2个面是红色的、3个面是绿色的．任意掷一次该正方体，则绿色面朝上的可能性是____．10. 如果三角形的三边长分别为5，8，a，那么a的取值范围为__．11. 如图，将一副直角三角尺按图③放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的某直角边在同一条直线上，则图③中的∠1=______°．12. 将分式42326xyx y约分可得____，依据为_____．13. 若[x]表示实数x的整数部分，例如：[3.5]=3，则___．14. 如图，D，E分别是AB，AC上的点，AD=AE，请添加一个条件，使得ABE≌ACD．这个条件可以为_____（只填一个条件即可）．15. 我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图所示，设绳索AC的长为x尺，木柱AB的长用含x的代数式表示为__尺，根据题意，可列方程为___．16. 有效的垃圾分类，可以减少污染、保护地球上的资源．为了更好地开展垃圾分类工作，某社区居委会对本社区居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．从中随机抽取部分居民进行垃圾分类知识测试，并把测试成绩分为A，B，C，D四个等次，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．下面有四个推断：①本次的调查方式是抽样调查，样本容量是40；②扇形统计图中，表示C等次的扇形的圆心角的度数为72°；③测试成绩为D等次的居民人数占参测总人数的10%；④测试成绩为A或B等次的居民人数共30人．所有合理推断的序号是______．三、解答题17. 下面是小石设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l上一点P．求作：直线PQ，使得PQ⊥l．作法：如图2：⊥以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；⊥分别以点A，B为圆心，以大于12AB的同样长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点Q；⊥作直线PQ ．所以直线PQ 就是所求作的直线．根据小石设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接QA ，QB ．⊥QA ＝ ，P A ＝ ，⊥PQ ⊥l （ ）（填推理的依据）．18. ()01-π．19. 计算：20. 解方程：26139x x x =++-．21. 如图，ABC 是等边三角形，D ，E 分别是BA ，CB 延长线上的点，且AD=BE ．求证：AE = CD ．22. 在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，请在图中画出2个形状不同的等腰三角形，使，且顶点都在格点上，则满足条件的形状不同的等腰三角形共 个．23. 已知21a a +=，求代数式221312442a a a a a a a +---÷++++的值．24. 关于x 的分式方程321x m x -=+的解是负数，求满足条件的整数m 的最大值．25.创建文明城市，携手共建幸福美好．某地为美化环境，计划种植树木4800棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多20%，结果提前4天完成任务．求原计划每天植树的棵数．26. 某区为了了解本区内八年级男生的体能情况，从中随机抽取了40名八年级男生进行“引体向上”个数测试，将测试结果绘制成表格如下：请根据以上表格信息，解答如下问题：（1）分析数据，补全表格信息（2）在平均数、中位数和众数中，选择一个你认为比较合适的统计量作为该区八年级男生“引体向上”项目测试的“合格标准”，并说明选择的理由．（3）如果该区现有8000名八年级男生，根据（2）中选定的“合格标准”，估计该区八年级男生“引体向上”项目测试的合格人数．27. 如图，ABC中，AC=2AB=6，BC=AC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．（1）求BE的长；（2）延长DE交AB的延长线于点F，连接CF．若M是DF上一动点，N是CF上一动点，请直接写出CM+MN的最小值为．28. 如图，射线AP∥BQ，分别作∠PAB，∠ABQ的角平分线，这两条射线交于点O，过点O作一条直线分别与射线AP，直线BQ交于点C，D（不与点A，B重合）．（1）当CD⊥AP时，①补全图形；②若AC=a，BD=b，则AB的长为(用含a，b的式子表示)．（2）当CD与AP不垂直时，在备用图中补全图形，探索线段AB，AC，BD之间的数量关系，并证明．参考答案与解析一、1~5：BBADB 6~8：CDB二、 9.12 10.3<a<13 11.105 12.(1). 3y x(2). 分式的分子和分母同时除以一个不为0的整式，分式的值不变 13.4 14.∠B=∠C （或∠ADC=∠AEB 或AB=AC ）15.(1). ()3x - (2). ()22238x x -+= 16.①②④ 三、17.【详解】解：（1）补全的图形如图2所示：（2）证明：连接QA ，QB ．⊥QA ＝QB ，P A ＝PB ，⊥PQ ⊥l （等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合）．故答案为：QB ；PB ；等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合．18.()01-π =3-4+1=0．19.【详解】解：====20.【详解】解：26139x x x =++- 方程两边同时乘以29x -可得：()2396x x x -=-+，整理得：33x -=-，解得1x =，经检验，1x =是分式方程的解．21.【详解】解：⊥ABC 是等边三角形，D ，E 分别是BA ，CB 延长线上的点，∴AB CA =，120ABE CAD ∠=∠=︒，在ABE △和CAD 中，AB CA ABE CAD BE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE △≌CAD ，∴AE CD =．22.【详解】解：如图，OAB 和OBC的等腰三角形，作图如下：，可画出满足条件的形状不同的等腰三角形有OAB 、OAE △、OAD △、OBC 、OBD 共5种．23.【详解】解：原式()22132212a a a a a a +-+=-⋅+-+ ()()213221a a a a a +-=-++- ()()()()22132121a a a a a a --=-+-+-222a a =+-， ∵21a a +=，⊥原式2212==--． 24.【详解】解：321x m x -=+ 3x-m=2（x+1）3x-m=2x+2x=2+m ，∵方程的解是负数，且10x +≠，∴2+m<0且210m ++≠，解得m<-2且m ≠-3．∴满足条件的整数m 的最大值-4．25.【详解】解：设原计划每天植树x 棵，则实际每天植树()120x +%棵， 根据题意可得：()480048004120x x -=+%， 解得200x =，经检验得200x =是分式方程的解，答：原计划每天植树200棵．26.【详解】解：（1）由统计表可知做5个的人数最多，故众数为5；第20和第21个人做的个数都为5，所以中位数为5；（2）选择中位数5个比较合适，因为大部分学生都能达到；（3）11413238000480040++⨯+⨯⨯=（人）， ∴估计该区八年级男生“引体向上”项目测试的合格人数为4800人．27.【详解】解：（1）连接AE ，，⊥26AC AB ==，BC =⊥222AC AB BC =+， ⊥ABC 是直角三角形，90B ∠=︒，⊥DE 垂直平分AC ，⊥AE CE =，在Rt ABE △中，222AE AB BE =+，即222CE AB BE =+，⊥()2223BE BE =+，解得BE =（2）∵DE 垂直平分AC ，M 是DF 上一动点，∴AM CM =，∴CM MN AM MN +=+，若使CM MN +的值最小，则A ，M ，N 共线，且AN CF ⊥，如图，，在ABC 和CNA 中，B ANCACB CAN AC AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ⊥ABC ≌CNA ，⊥AN BC ==．28.【详解】解：（1）①补全图形如下：；②过点O 作OE AB ⊥，，⊥AO 平分PAB ∠，CD AP ⊥，OE AB ⊥，⊥OAC OAE ∠=∠，OC OE =，又⊥AO 为公共边，⊥OAE △≌OAC ，⊥AE AC a ==，同理可得BE BD b ==，⊥AB AE BE a b =+=+；（2）如图，过点O 作EF AP ⊥，，由（1）可知OE OF =，AB AE BF =+，又⊥90CEO DFO ∠=∠=︒，COE DOF ∠=∠， ⊥COE ≌DOF △，⊥CE DF =，⊥AB AE BF AE BD DF AE CE BD AC BD =+=++=++=+．。
北京市石景山区2019-2020学年九年级上期末数学试卷(Word版,含答案解析)
2019-2020学年北京市石景山区九年级（上）期末试卷数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．如果3x=4y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，，AC=2，则tanA的值为（）A．B．2C．D．3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD=25°，则∠BOD的度数为（）A．100°B．120°C．130°D．150°4．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC．若⊙O的半径为4，则弦AB的长为（）A．B．C．D．5．如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（）A．B．C．D．6．若二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是（）A．m＞1B．m＜1C．m＞1且m≠0D．m＜1且m≠07．如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到新函数图象，其中原函数图象上的两点A（1，m）、B（4，n）平移后对应新函数图象上的点分别为点A′、B′．若阴影部分的面积为6，则新函数的表达式为（）A．B．C．D．8．如图，点M为▱ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与▱ABCD 的另一边交于点N．当点M从A→B匀速运动时，设点M的运动时间为t，△AMN的面积为S，能大致反映S与t函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为 ．10．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上．若∠ADE=∠C ，AB=6，AC=4，AD=2，则EC= ．11．如图，扇形的圆心角∠AOB=60°，半径为3cm ．若点C 、D 是的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是 cm 2．12．“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅的平屋顶改建成坡屋顶，并对外立面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为．如图是某小区对楼顶进行“平改坡”改造的示意图．根据图中的数据，如果要使坡面BC 的坡度达到1：1.2，那么立柱AC 的长为 米．13．如图，一次函数y 1=kx+b 的图象与反比例函数y 2=的图象相交于点A 和点B ．当y 1＞y 2＞0时，x 的取值范围是 ．14．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，若以点C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于 ．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到△DEF，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：．16．石景山区八角北路有一块三角形空地（如图1）准备绿化，拟从点A出发，将△ABC 分成面积相等的三个三角形，栽种三种不同的花草．下面是小美的设计（如图2）．作法：（1）作射线BM；（2）在射线BM上顺次截取BB1=B1B2=B2B3；（3）连接B3C，分别过B1、B2作B1C1∥B2C2∥B3C，交BC于点C1、C2；（4）连接AC1、AC2．则．请回答，成立的理由是：①；②．三、解答题（本题共68分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：3tan30°﹣cos245°+﹣2sin60°．18．（5分）用配方法求二次函数y=x2﹣10x+3的顶点坐标．19．（5分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．若a=2，sin，求b和c．20．（5分）小红和小丁玩纸牌游戏：如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张．比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．（1）请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果；（2）这个游戏公平吗？请说明理由．21．（5分）如图，小明想测量山的高度．他在点B处仰望山顶A，测得仰角∠ABN=30°，再向山的方向（水平方向）行进100m至索道口点C处，在点C处仰望山顶A，测得仰角∠ACN=45°．求这座山的高度．（结果精确到0.1m，小明的身高忽略不计）（参考数据：≈1.41，≈1.73）22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A（2，0），与反比例函数y=的图象交于点B（3，n）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若点P为x轴上的点，且△PAB的面积是2，则点P的坐标是．23．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，CE⊥AD于点E，DF⊥BA交BA的延长线于点F．（1）求证：△ADF∽△DCE；（2）当AF=2，AD=6，且点E恰为AD中点时，求AB的长．24．（5分）二次函数y=x2﹣2mx+5m的图象经过点（1，﹣2）．（1）求二次函数图象的对称轴；（2）当﹣4≤x≤1时，求y的取值范围．25．（6分）如图，AC是⊙O的直径，点D是⊙O 上一点，⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，点F是直径AC上一点，连接DF并延长交⊙O于点E，连接AE．（1）求证：∠ABC=∠AED；（2）连接BF，若AD=，AF=6，tan∠AED=，求BF的长．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A（﹣1，0）和B（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与x轴的正半轴交于点C，连接BC．设抛物线的顶点P关于直线y=t的对称点为点Q，若点Q落在△OBC的内部，求t的取值范围．27．（7分）在正方形ABCD中，点P在射线AC上，作点P关于直线CD的对称点Q，作射线BQ交射线DC于点E，连接BP．（1）当点P在线段AC上时，如图1．①依题意补全图1；②若EQ=BP，则∠PBE的度数为，并证明；（2）当点P在线段AC的延长线上时，如图2．若EQ=BP，正方形ABCD的边长为1，请写出求BE长的思路．（可以不写出计算结果）28．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若PQ为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x轴平行，则称该等腰三角形为点P，Q的“相关等腰三角形”．下图为点P，Q的“相关等腰三角形”的示意图．（1）已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为，则点A，B的“相关等腰三角形”的顶角为°；（2）若点C的坐标为，点D在直线y=4上，且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD的表达式；（3）⊙O的半径为，点N在双曲线y=﹣上．若在⊙O上存在一点M，使得点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N的横坐标xN的取值范围．北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．如果3x=4y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据比例的性质，可得答案．【解答】解：A、由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故A不符合题意；B、由比例的性质，得xy=12与3x=4y不一致，故B不符合题意；C、由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故C不符合题意；D、由比例的性质，得3x=4y与3x=4y一致，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，，AC=2，则tanA的值为（）A．B．2C．D．【分析】本题需先根据已知条件，得出BC的长，再根据正切公式即可求出答案．【解答】解：∵∠C=90°，AB=，AC=2，∴BC=1，∴tanA==．故选：A．【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，在解题时要根据在直角三角形中，正切等于对边比邻边这个公式计算是本题的关键．3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD=25°，则∠BOD的度数为（）A．100°B．120°C．130°D．150°【分析】根据圆周角定理求出∠AOD即可解决问题．【解答】解：∵∠AOD=2∠ACD，∠ACD=25°，∴∠AOD=50°，∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣50°=130°，故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC．若⊙O的半径为4，则弦AB的长为（）A．B．C．D．【分析】连接OA，由AB垂直平分OC，求出OD的长，再利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，利用垂径定理求出AD的长，即可确定出AB的长．【解答】解：连接OA，由AB垂直平分OC，得到OD=OC=2，∵OC⊥AB，∴D为AB的中点，则AB=2AD=2=2=4．故选：B．【点评】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解本题的关键．5．如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】由a＞0，b＜0，c＜0，推出﹣＞0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，由此即可判断．【解答】解：∵a＞0，b＜0，c＜0，∴﹣＞0，∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，故选：C．【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．若二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是（）A．m＞1B．m＜1C．m＞1且m≠0D．m＜1且m≠0【分析】由抛物线与坐标轴有三个交点可得出：方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，且m≠0，利用根的判别式△＞0可求出m的取值范围，此题得解．【解答】解：∵二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，∴方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，且m≠0，∴△=22﹣4m＞0，∴m＜1．∴m＜1且m≠0．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及根的判别式，利用根的判别式△＞0找出关于m的一元一次不等式是解题的关键．7．如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到新函数图象，其中原函数图象上的两点A（1，m）、B（4，n）平移后对应新函数图象上的点分别为点A′、B′．若阴影部分的面积为6，则新函数的表达式为（）A．B．C．D．【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标，再过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），AC=4﹣1=3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为6（图中的阴影部分），得出AA′=2，然后根据平移规律即可求解．【解答】解：∵函数y=（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m=（1﹣2）2+1=1，n=（4﹣2）2+1=2，∴A（1，1），B（4，2），过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），∴AC=4﹣1=3，∵曲线段AB扫过的面积为6（图中的阴影部分），∴AC•AA′=3AA′=6，∴AA′=2，即将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移2个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y=（x﹣2）2+3．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出AA′是解题关键．8．如图，点M为▱ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与▱ABCD 的另一边交于点N．当点M从A→B匀速运动时，设点M的运动时间为t，△AMN的面积为S，能大致反映S与t函数关系的图象是（）A．B．C．D．【分析】当点N在AD上时，可得前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当点N 在DC上时，MN长度不变，可得后半段函数图象为一条线段．【解答】解：设∠A=α，点M运动的速度为a，则AM=at，当点N在AD上时，MN=tanα×AM=tanα•at，此时S=×at×tanα•at=tanα×a2t2，∴前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分，当点N在DC上时，MN长度不变，此时S=×at×MN=a×MN×t，∴后半段函数图象为一条线段，故选：C．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为4：9 ．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．【解答】解：因为两个相似三角形的周长比为2：3，所以这两个相似三角形的相似比为2：3，所以这两个相似三角形的面积比为4：9；故答案为：4：9．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．10．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上．若∠ADE=∠C，AB=6，AC=4，AD=2，则EC= 1 ．【分析】只要证明△ADE∽△ACB，推出=，求出AE即可解决问题；【解答】解；∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACB，∴=，∴=，∴AE=3，∴EC=AC﹣AE=4﹣3=1，故答案为1．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．11．如图，扇形的圆心角∠AOB=60°，半径为3cm．若点C、D是的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是cm2．【分析】由题意可知C 、D 是弧AB 的三等分点，通过平移可把阴影部分都集中到一个小扇形中，可发现阴影部分正好是扇形AOB 的，先求出扇形AOB 的面积再求阴影部分的面积或者直接求圆心角是20度，半径是3的扇形的面积皆可．【解答】解：S 扇形OAB =，S 阴影=S 扇形OAB =×π=π．故答案为：【点评】此题考查扇形的面积问题，通过平移的知识把小块的阴影部分集中成一个规则的图形﹣﹣扇形，再求算扇形的面积即可．利用平移或割补把不规则图形变成规则图形求面积是常用的方法．12．“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅的平屋顶改建成坡屋顶，并对外立面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为．如图是某小区对楼顶进行“平改坡”改造的示意图．根据图中的数据，如果要使坡面BC 的坡度达到1：1.2，那么立柱AC 的长为 2.5 米．【分析】由坡度的概念得出=，根据AB=3可得AC 的长度．【解答】解：根据题意知=，∵AB=3，∴=，解得：AC=2.5， 故答案为：2.5．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是熟练掌握坡度的定义．13．如图，一次函数y 1=kx+b 的图象与反比例函数y 2=的图象相交于点A 和点B ．当y 1＞y 2＞0时，x 的取值范围是 ﹣2＜x ＜﹣0.5 ．【分析】根据一次函数与反比例函数交点纵坐标，结合图象确定出所求x 的范围即可． 【解答】解：根据图象得：当y 1＞y 2＞0时，x 的取值范围是﹣2＜x ＜﹣0.5， 故答案为：﹣2＜x ＜﹣0.5【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，弄清数形结合思想是解本题的关键．14．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，若以点C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于 5．【分析】连接CD ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CD ，求出圆的半径的长，再利用勾股定理列式进行计算即可得解． 【解答】解：如图，∵∠C=90°，点D 为AB 的中点， ∴AB=2CD=10， ∴CD=5， ∴BC=CD=5，在Rt △ABC 中，AC===5．故答案为：5．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，求出圆的半径的长是解题的关键．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到△DEF，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°．【分析】根据对应点C与点F的位置，结合两三角形在网格结构中的位置解答．【解答】解：△ABC向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°即可得到△DEF，所以，过程为：向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°．故答案为：向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°．【点评】本题考查了几何变换的类型，平移、旋转，准确识图是解题的关键．16．石景山区八角北路有一块三角形空地（如图1）准备绿化，拟从点A出发，将△ABC 分成面积相等的三个三角形，栽种三种不同的花草．下面是小美的设计（如图2）．作法：（1）作射线BM；（2）在射线BM上顺次截取BB1=B1B2=B2B3；（3）连接B3C，分别过B1、B2作B1C1∥B2C2∥B3C，交BC于点C1、C2；（4）连接AC1、AC2．则．请回答，成立的理由是：①平行线分线段成比例定理；② 等底共高 ．【分析】根据平行线分线段成比例定理和等底共高求解可得．【解答】解：由BB 1=B 1B 2=B 2B 3且B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C ，依据平行线分线段成比例定理知BC 1=C 1C 2=C 2C ，再由△ABC 1，△AC 1C 2与△AC 2C 等底共高知，故答案为：①平行线分线段成比例定理； ②等底共高．【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理和等底共高的两三角形面积关系．三、解答题（本题共68分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：3tan30°﹣cos 245°+﹣2sin60°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=3×﹣（）2+﹣2×=﹣+2﹣=．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 18．（5分）用配方法求二次函数y=x 2﹣10x+3的顶点坐标． 【分析】把解析式化为顶点式即可． 【解答】解：∵y=x 2﹣10x+3=（x ﹣5）2﹣22，∴二次函数的顶点坐标为（5，﹣22）．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．19．（5分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．若a=2，sin，求b和c．【分析】先根据sinA=知c==6，再根据勾股定理求解可得．【解答】解：如图，∵a=2，sin，∴c===6，则b===4．【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦函数的定义及勾股定理．20．（5分）小红和小丁玩纸牌游戏：如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张．比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．（1）请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果；（2）这个游戏公平吗？请说明理由．【分析】（1）根据题意画出树状图，即可解决问题；（2）根据树状图，利用概率公式即可求得小红获胜的概率，由概率相等，即可判定这个游戏公平；【解答】解：（1）树状图如右：则小红获胜的概率： =，小丁获胜的概率： =，所以这个游戏比较公平．【点评】本题考查的是用列表法与树状图法求事件的概率，解题的关键是学会正确画出树状图，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．．21．（5分）如图，小明想测量山的高度．他在点B处仰望山顶A，测得仰角∠ABN=30°，再向山的方向（水平方向）行进100m至索道口点C处，在点C处仰望山顶A，测得仰角∠ACN=45°．求这座山的高度．（结果精确到0.1m，小明的身高忽略不计）（参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】作AH⊥BN于H，设AH=xm，根据正切的概念表示出CH、BH，根据题意列出方程，解方程即可．【解答】解：如图，作AH⊥BN于H，设AH=xm，∵∠ACN=45°，∴CH=AH=xm，∵tanB=，∴BH=x，则BH﹣CH=BC，即x﹣x=100，解得x=50（+1）．答：这座山的高度为50（+1）m；【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A（2，0），与反比例函数y=的图象交于点B（3，n）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若点P为x轴上的点，且△PAB的面积是2，则点P的坐标是（﹣2，0）或（6，0）．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用三角形的面积公式求出PA的长即可解决问题；【解答】解：（1）∵一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A（2，0），∴2+b=0，∴b=﹣2，∴y=x﹣2，当x=3时，y=1，∴B（3，1），代入y=中，得到k=3，∴反比例函数的解析式为y=．（2）∵△PAB的面积是2，∴•PA•1=2，∴PA=4，∴P（﹣2，0）或（6，0）．【点评】本题考查一次函数的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，CE⊥AD于点E，DF⊥BA交BA的延长线于点F．（1）求证：△ADF∽△DCE；（2）当AF=2，AD=6，且点E恰为AD中点时，求AB的长．【分析】（1）由平行四边形的性质知CD∥AB，即∠DAF=∠CDE，再由CE⊥AD、DF⊥BA 知∠AFD=∠DEC=90°，据此可得；（2）根据△ADF∽△DCE知=，据此求得DC=9，再根据平行四边形的性质可得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠DAF=∠CDE，又∵CE⊥AD、DF⊥BA，∴∠AFD=∠DEC=90°，∴△ADF∽△DCE；（2）∵AD=6、且E为AD的中点，∴DE=3，∵△ADF∽△DCE，∴=，即=，解得：DC=9，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=9．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质及平行四边形的性质．24．（5分）二次函数y=x2﹣2mx+5m的图象经过点（1，﹣2）．（1）求二次函数图象的对称轴；（2）当﹣4≤x≤1时，求y的取值范围．【分析】（1）根据抛物线的对称性和待定系数法求解即可；（2）根据二次函数的性质可得．【解答】解：（1）把点（1，﹣2）代入y=x2﹣2mx+5m中，可得：1﹣2m+5m=﹣2，解得：m=﹣1，所以二次函数y=x2﹣2mx+5m的对称轴是x=﹣，（2）∵y=x2+2x﹣5=（x+1）2﹣6，∴当x=﹣1时，y取得最小值﹣6，由表可知当x=﹣4时y=3，当x=﹣1时y=﹣6，∴当﹣4≤x≤1时，﹣6≤y≤3．【点评】本题考查了二次函数图象与性质及待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．25．（6分）如图，AC是⊙O的直径，点D是⊙O 上一点，⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，点F是直径AC上一点，连接DF并延长交⊙O于点E，连接AE．（1）求证：∠ABC=∠AED；（2）连接BF，若AD=，AF=6，tan∠AED=，求BF的长．【分析】（1）直接利用圆周角定理以及切线的性质定理得出∠ACD=∠ABC，进而得出答案；（2）首先得出DC的长，即可得出FC的长，再利用已知得出BC的长，结合勾股定理求出答案．【解答】（1）证明：连接DC，∵AC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠BCD=90°，∵⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，∴∠BCA=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠ABC，∴∠ABC=∠AED；（2）解：连接BF，∵在Rt△ADC中，AD=，tan∠AED=，∴tan∠ACD==，∴DC=AD=，∴AC==8，∵AF=6，∴CF=AC﹣AF=8﹣6=2，∵∠ABC=∠AED，∴tan∠ABC==，∴=，解得：BD=，故BC=6，则BF==2．【点评】此题主要考查了切线的性质与判定以及勾股定理等知识，正确得出∠ACD=∠ABC 是解题关键．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A（﹣1，0）和B（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与x轴的正半轴交于点C，连接BC．设抛物线的顶点P关于直线y=t的对称点为点Q，若点Q落在△OBC的内部，求t的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）分别求出点Q落在直线BC和x轴上时的t的值即可判断；【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A（﹣1，0）和B（0，3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）如图，易知抛物线的顶点坐标为（1，4）．观察图象可知当点P关于直线y=t的对称点为点Q中直线BC上时，t=3，当点P关于直线y=t的对称点为点Q在x轴上时，t=2，∴满足条件的t的值为2＜t＜3．【点评】本题考查二次函数的性质、待定系数法、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会寻找特殊点解决问题，属于中考常考题型．27．（7分）在正方形ABCD中，点P在射线AC上，作点P关于直线CD的对称点Q，作射线BQ交射线DC于点E，连接BP．（1）当点P在线段AC上时，如图1．①依题意补全图1；②若EQ=BP，则∠PBE的度数为45°，并证明；（2）当点P在线段AC的延长线上时，如图2．若EQ=BP，正方形ABCD的边长为1，请写出求BE长的思路．（可以不写出计算结果）【分析】（1）①作点P关于直线CD的对称点Q，作射线BQ交射线DC于点E，连接BP；②依据题意得到DP=EP，再根据四边形内角和求得∠BPE=90°，根据BP=EP，即可得到∠PBE=45°；（2）连接PD，PE，依据△CPD≌△CPB，可得DP=BP，∠1=∠2，根据DP=EP，可得∠3=∠1，进而得到∠PEB=45°，∠3=∠4=22.5°，△BCE中，已知∠4=22.5°，BC=1，可求BE长．【解答】解：（1）①作图如下：②如图，连接PD，PE，易证△CPD≌△CPB，∴DP=BP，∠CDP=∠CBP，∵P、Q关于直线CD对称，∴EQ=EP，∵EQ=BP，∴DP=EP，∴∠CDP=∠DEP，∵∠CEP+∠DEP=180°，∴∠CEP+∠CBP=180°，∵∠BCD=90°，∴∠BPE=90°，∵BP=EP，∴∠PBE=45°，故答案为：45°；（2）思路：如图，连接PD，PE，易证△CPD≌△CPB，∴DP=BP，∠1=∠2，∵P、Q关于直线CD对称，∴EQ=EP，∠3=∠4，∵EQ=BP，∴DP=EP，∴∠3=∠1，∴∠3=∠2，∴∠5=∠BCE=90°，∵BP=EP，∴∠PEB=45°，∴∠3=∠4=22.5°，在△BCE中，已知∠4=22.5°，BC=1，可求BE长．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质等知识的综合运用，解决本题的关键是熟记全等三角形的性质定理和判定定理．28．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若PQ为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x轴平行，则称该等腰三角形为点P，Q的“相关等腰三角形”．下图为点P，Q的“相关等腰三角形”的示意图．（1）已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为，则点A，B的“相关等腰三角形”的顶角为120 °；（2）若点C的坐标为，点D在直线y=4上，且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD的表达式；（3）⊙O的半径为，点N在双曲线y=﹣上．若在⊙O上存在一点M，使得点M、N的取值范围．的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N的横坐标xN【分析】（1）画出图形求出∠BAO的度数即可解决问题；（2）利用等边三角形的性质求出点D坐标即可解决问题；（3）因为点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，推出直线MN与x轴的夹角为45°，可以假设直线MN的解析式为y=﹣x+b，当直线与⊙O相切于点M时，求出直线MN的解析式，利用方程组求出点N的坐标，观察图象即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵A的坐标为（0，1），点B的坐标为，∴点A，B的“相关等腰三角形”△ABC的当C（，0）或（﹣2，1），∵tan∠BAO==，∴∠BAO=∠CAO=60°，∴∠BAC=∠ABC′=120°，故答案为120．（2）如图2中，设直线y=4交y轴于F（0，4），∵C（0，），∴CF=3，∵且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，∴∠CDF=∠CD′F=60°，∴DF=FD′=3•tan30°=3，∴D（3，4），D′（﹣3，4），∴直线CD的解析式为y=x+，或y=﹣x+．（3）如图3中，∵点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，∴直线MN与x轴的夹角为45°，可以假设直线MN的解析式为y=﹣x+b，当直线与⊙O相切于点M时，易知b=±2，∴直线MN的解析式为y=﹣x+2或y=﹣x﹣2，由，解得或，∴N（﹣1，3），N′（3，1），由解得或，∴N1（﹣3，1），N2（1，﹣3），观察图象可知满足条件的点N的横坐标的取值范围为：﹣3≤xN ≤﹣1或1≤xN≤3．【点评】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、“相关等腰三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．。
2023-2024学年北京市石景山区高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合A ＝{﹣2，0，2，4}，B ＝{x |x 2≤4}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，0，2}B ．{0，2}C ．{﹣2，2}D ．{0，2，4}2．若复数z 1＝1+2i 与复数z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，则z 1z 2＝（ ） A ．5B ．﹣5C ．3D ．﹣33．(x 2−2x)4展开式中含x 5的项的系数为（ ）A ．8B ．﹣8C ．4D ．﹣44．已知向量a →=（5，m ），b →=（2，﹣2），若（a →−b →）⊥b →，则m ＝（ ） A ．﹣1B ．1C ．2D ．﹣25．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＝15，S 5＝65，则a 1+a 4＝（ ） A ．24B ．26C ．28D ．306．直线2x ﹣y +m ＝0与圆x 2+y 2﹣2x ﹣4＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ） A ．﹣5＜m ＜3B ．0＜m ＜5C ．﹣9＜m ＜3D ．﹣7＜m ＜37．设函数f(x)={log 2(2−x)，x ＜12x−1，x ≥1，则f （﹣2）+f （log 210）＝（ ）A ．2B ．5C ．7D ．108．在△ABC 中，2a cos A ＝b cos C +c cos B ，则∠A ＝（ ） A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π39．已知函数f （x ）＝ln |x +1|﹣ln |x ﹣1|，则f （x ）（ ） A ．是偶函数，且在（﹣1，1）上单调递增 B ．是奇函数，且在（1，+∞）上单调递减C ．是偶函数，且在（﹣∞，﹣1）上单调递增D ．是奇函数，且在（﹣1，1）上单调递减10．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在正方形ADD 1A 1内（不含边界），则在正方形DCC 1D 1内（不含边界）一定存在一点Q ，使得（ ）A．PQ∥AC B．PQ⊥ACC．AC⊥平面PQC1D．平面PQC1∥平面ABC 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。
北京市2020-2021学年高三上学期期末数学试题汇编：平面解析几何
2021北京高三数学上学期期末汇编：平面解析几何一．选择题（共18小题）1．（2020秋•倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A ．22144x y -=B ．22144y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=2．（2020秋•朝阳区期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C 的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为( )A ．B ．2C D3．（2020秋•丰台区期末）若关于x ，y 的方程组4210()210x y a R x ay ++=⎧∈⎨++=⎩无解，则(a = )A ．2BC ．1D ．24．（2020秋•昌平区期末）已知抛物线24y x =上一点P 到焦点F 的距离为5，那么点P 到y 轴的距离是( ) A ．2B ．3C ．4D ．55．（2020秋•东城区期末）与圆22(1)5x y +-=相切于点(2,2)的直线的斜率为( ) A ．2-B ．12-C ．12D ．26．（2020秋•石景山区期末）若抛物线24y x =上的点A 到焦点的距离为10，则点A 到y 轴的距离是( ) A ．6B ．7C ．8D ．97．（2020秋•海淀区期末）抛物线2y x =的准线方程是( ) A ．12x =-B ．14x =-C ．12y =-D ．14y =-8．（2020秋•通州区期末）抛物线24y x =的准线方程是( ) A ．2x =-B ．1x =-C ．1x =D ．2x =9．（2020秋•通州区期末）如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面5m ，水面宽30AB m =．若水面下降5m ，则水面宽是( )（结果精确到0.1)m 1.41≈ 2.24 2.65)A ．43.8mB ．44.8mC ．52.3mD ．53.0m10．（2020秋•西城区期末）已知半径为2的圆经过点(1,0)，其圆心到直线34120x y -+=的距离的最小值为( )A ．0B ．1C ．2D ．311．（2020秋•西城区期末）已知双曲线22221x y a b -=的焦距等于实轴长的2倍，则其渐近线的方程为( )A ．y =B ．2y x =±C ．y =D ．12y x =±12．（2020秋•朝阳区期末）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为M ，P 是C 上一点．若||4PF =，则||(PM = )A B ．5C ．D ．13．（2020秋•石景山区期末）直线:1l y kx =+与圆22:(1)4C x y +-=的位置关系是( ) A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定14．（2020秋•东城区期末）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且||3||AF FB =，则点A 到y 轴的距离为( )A ．5B ．4C ．3D ．215．（2020秋•海淀区期末）已知直线:20l x ay ++=，点(1,1)A --和点(2,2)B ，若//l AB ，则实数a 的值为( ) A ．1B ．1-C ．2D ．2-16．（2020秋•昌平区期末）已知直线1y kx =+与圆2240x x y -+=相交于M ，N 两点，且||23MN ，那么实数k 的取值范围是( ) A ．143k --B ．403kC ．0k 或43k -D ．403k -17．（2020秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线(0)y mx m =>与曲线3y x =从左至右依次交于A ，B ，C 三点．若直线:30()l kx y k R -+=∈上存在点P 满足||2PA PC +=，则实数k 的取值范围是( )A ．(2,2)-B ．[-C ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞D ．(,[22,)-∞-+∞18．（2020秋•海淀区期末）如图所示，在圆锥内放入两个球1O ，2O ，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为1C ，2.C 这两个球都与平面α相切，切点分别为1F ，2F ，丹德林()G Dandelin ⋅利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭圆，1F ，2F 为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin 双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为30︒，1C ，2C 的半径分别为1，4，点M 为2C 上的一个定点，点P 为椭圆上的一个动点，则从点P 沿圆锥表面到达点M 的路线长与线段1PF 的长之和的最小值是( )A ．6B ．8C ．D ．二．填空题（共10小题）19．（2020秋•东城区期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>，ABC ∆为等边三角形．若点A 在y 轴上，点B ，C 在双曲线M 上，且双曲线M 的实轴为ABC ∆的中位线，则双曲线M 的离心率为 ．20．（2020秋•海淀区校级期末）已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是双曲线C 上的点，A ．①若点P 在双曲线右支上，则||||AP PF +的最小值为 ； ②若点P 在双曲线左支上，则||||AP PF +的最小值为 ．21．（2020秋•通州区期末）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(4,0)，若以线段OA 为直径的圆与直线2y x =在第一象限交于点B ，则直线AB 的方程是 ．22．（2020秋•顺义区期末）设抛物线2y mx =的焦点为(1,0)F ，则m = ；若点A 在抛物线上，且||3AF =，则点A 的坐标为 ．23．（2020秋•房山区期末）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点．若直线l 的倾斜角为45︒，则OAB ∆的面积为 ．24．（2020秋•石景山区期末）已知双曲线的两个焦点为(3,0)-，(3,0)，一个顶点是，则C 的标准方程为 ；C 的焦点到其渐近线的距离是 ．25．（2020秋•海淀区期末）已知双曲线2212y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点(3,4)M -，则双曲线的渐近线方程为 ；12||||MF MF -= ．26．（2020秋•昌平区期末）已知双曲线2221(0)9x y a a -=>的离心率是54，则双曲线的右焦点坐标为 ．27．（2020秋•顺义区期末）已知椭圆22:1168x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线(44)x m m =-<<与椭圆C 相交于点A ，B ．给出下列三个命题：①存在唯一一个m ，使得△12AF F 为等腰直角三角形； ②存在唯一一个m ，使得1ABF ∆为等腰直角三角形； ③存在m ，使1ABF ∆的周长最大． 其中，所有真命题的序号为 ．28．（2020秋•丰台区期末）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为12y x =，那么该双曲线的离心率为 ．三．解答题（共9小题）29．（2020秋•海淀区校级期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且经过点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）已知O 为坐标原点，A ，B 为椭圆C 上两点，若0OA AB ⋅=，且||3||2AB OA =，求OAB ∆的面积． 30．（2020秋•通州区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为点A ，B ，且||4AB =，椭圆C 离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上．31．（2020秋•顺义区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(0,1)M 和1)2N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，且坐标原点O 到直线l ．求证：以AB 为直径的圆经过点O ．32．（2020秋•丰台区期末）已知椭圆2222:1(0)x y W a b a b +=>>过(0,2)A ，(3,1)B --两点．（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅰ）直线AB 与x 轴交于点(,0)M m ，过点M 作不垂直于坐标轴且与AB 不重合的直线l ，l 与椭圆W 交于C ，D 两点，直线AC ，BD 分别交直线x m =于P ，Q 两点，求证：||||PM MQ 为定值．33．（2020秋•石景山区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e ，且经过点(0,1)D ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）已知点(1,0)A -和点(4,0)B -，过点B 的动直线l 交椭圆C 于M ，N 两点(M 在N 左侧），试讨论BAM ∠与OAN ∠的大小关系，并说明理由．34．（2020秋•东城区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(2,0)A -，(2,0)B ，且离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）设直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点E ，且与x 轴交于点(G E ，G 不重合），ET x ⊥轴，垂足为T ．求证：||||||||TA GA TB GB =．35．（2020秋•海淀区期末）已知椭圆2222:1(0)x y W a b a b +=>>，且经过点C ．（Ⅰ）求椭圆W 的方程及其长轴长；（Ⅰ）A ，B 分别为椭圆W 的左、右顶点，点D 在椭圆W 上，且位于x 轴下方，直线CD 交x 轴于点Q ．若ACQ ∆的面积比BDQ ∆的面积大D 的坐标．36．（2020秋•房山区期末）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>，且过(0,1)点．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅰ）设不过原点O 且斜率为13的直线l 与椭圆G 交于不同的两点C ，D ，线段CD 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 交于E ，F ，证明：||||||||MC MD ME MF ⋅=⋅．37．（2020秋•昌平区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长为4，且离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）设过点(1,0)F 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点D ，判断||||AB DF 是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由．2021北京高三数学上学期期末汇编：平面解析几何参考答案一．选择题（共18小题）1．【分析】由顶点坐标可知双曲线的焦点在y 轴上，再根据双曲线的几何性质，列得关于a 、b 、c 的方程组，解之即可．【解答】解：由题意知，双曲线的焦点在y轴上，且222222a b a a b c ⎧+=⎪=⎨⎪+=⎩，解得2a =，2b =，c =所以双曲线的标准方程为22144y x -=．故选：B ．【点评】本题考查双曲线标准方程的求法，熟练掌握a 、b 、c 的含义与关系是解题的关键，考查学生的运算求解能力，属于基础题．2．【分析】过点D 作DC AF ⊥于点C ，易知C 为AF 的中点，从而有||2a cCF +=，由点到直线的距离公式可知||DF b =，再由||||cos ||||DF CF AFD OF DF ∠==，代入相关数据，进行运算即可． 【解答】解：过点D 作DC AF ⊥于点C ，||||DF DA =，∴点C 为AF 的中点，1||||22a cCF AF +∴==， 而点(,0)F c -到渐近线b y x a =-的距离为||||bc DF b ==， ||||cos ||||DF CF AFD OF DF ∴∠==，即2a cbc b +=，222()22()c a c b c a ∴+==-，即2220c ac a --=，2c a ∴=或c a =-（舍)，∴离心率2ce a==． 故选：B ．【点评】本题考查双曲线的几何性质，主要包含渐近线、离心率，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．3．【分析】由方程组无解得到直线4210x y ++=与直线210x ay ++=平行，再由直线与直线平行的性质能求出a ． 【解答】解：关于x ，y 的方程组4210()210x y a R x ay ++=⎧∈⎨++=⎩无解， ∴直线4210x y ++=与直线210x ay ++=平行， ∴21421a =≠， 解得1a =． 故选：C ．【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4．【分析】由抛物线的方程即可求出p 的值，再由抛物线的定义即可求解． 【解答】解：由抛物线的方程可得：2p =，又由抛物线的定义可知点P 到F 的距离等于点P 到抛物线的准线的距离， 则点P 到y 轴的距离为||5142pPF -=-=， 故选：C ．【点评】本题考查了抛物线的方程以及定义，属于基础题．5．【分析】根据题意，求出圆的圆心坐标，设圆心为C ，切点(2,2)为P ，求出PC 的斜率，由切线的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，圆22(1)5x y +-=，其圆心为(0,1)，设圆心为C ，切点(2,2)为P ， 则211202PC K -==-， 则切线的斜率2k =-， 故选：A ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及切线的性质，属于基础题． 6．【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义转化求解即可．【解答】解：抛物线24y x =的准线方程为：1x =-，抛物线24y x =上的点A 到焦点的距离为10，可得9A x =，则A 到y 轴的距离是：9． 故选：D ．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．7．【分析】抛物线2y x =的焦点在x 轴上，且开口向右，21p =，由此可得抛物线2y x =的准线方程． 【解答】解：抛物线2y x =的焦点在x 轴上，且开口向右，21p =，∴124p =， ∴抛物线2y x =的准线方程为14x =-． 故选：B ．【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，定型与定位是关键． 8．【分析】直接利用抛物线方程，求解准线方程即可． 【解答】解：抛物线24y x =的准线方程是1x =-， 故选：B ．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，准线方程的求法，是基础题．9．【分析】建立平面直角坐标系，设等轴双曲线的方程为22(0)y x t t -=>，写出点A 的坐标，并将其代入方程，求得t 的值，再令30y =-，解出x 的值即可． 【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设等轴双曲线的方程为22(0)y x t t -=>， 拱顶离水面5m ，水面宽30AB m =，∴点A 为(15,5)-，将其代入22y x t -=得，22(5)(15)t --=， 解得400t =， 22400y x ∴-=，设水面下降5m 后，水面宽为CD ，此时点C 和D 的纵坐标均为30-，把30y =-代入22400y x -=，有2900400x -=，解得x =±44.8CD m ∴=≈．故选：B ．【点评】本题考查等轴双曲线的概念，双曲线方程的应用，考查学生将所学知识运用于实际的能力，属于基础题．10．【分析】求出(1,0)到直线的距离，结合圆的半径，判断求解即可． 【解答】解：点(1,0)到直线34120x y -+=3=，因为半径为2的圆经过点(1,0)，所以圆心到直线34120x y -+=的距离的最小值为：321-=． 故选：B ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离的应用，是基础题． 11．【分析】利用双曲线方程列出方程，推出a ，b 的关系，即可得到渐近线方程．【解答】解：双曲线22221x y a b -=的焦距等于实轴长的2倍，b =，其渐近线的方程为：y =． 故选：A ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题． 12．【分析】根据条件求出P 的纵坐标，进而求解结论．【解答】解：P 是C 上一点．且||4PF =，413P PD x x ∴==+⇒=代入24y x =得212Py =，PM ∴===故选：C ．【点评】本题考查抛物线的性质以及计算能力，属于基础题．13．【分析】由直线l 过定点圆C 的圆心，可知直线与圆相交． 【解答】解：直线:1l y kx =+过点(0,1)P ， 而(0,1)P 是圆22:(1)4C x y +-=的圆心，∴直线:1l y kx =+与圆22:(1)4C x y +-=的位置关系是相交．故选：B ．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．14．【分析】根据题意得到p 的值，过点A 作AD 垂直于准线l 于点D ，过点B 作BE 垂直于l 于点E ，延长AB 交l 于点C ，再利用三角形相似得到BC 和AC 的关系，从而得到BF ，AF ，CF 的关系，求出4AD =，即可得到答案．【解答】解：焦点F 到准线的距离为2p =，过点A 作AD 垂直于准线l 于点D ，过点B 作BE 垂直于l 于点E ，延长AB 交l 于点C ， 则BCE ACD ∆∆∽， 所以13BC BE BF AC AD AF ===， 记BC x =，则3AC x =， 因为||3||AF FB =， 所以1142BF AB x ==，332AF BF x ==， 因为32CF BC BF x =+=，F 为AC 的中点， 所以24AD FG ==， 即点A 到y 轴的距离为432p-=． 故选：C ．【点评】本题考查了抛物线性质的应用，涉及了抛物线定义的理解和应用，在涉及抛物线上的点到焦点距离的问题时，一般会转化为到准线的距离开解决．15．【分析】由题意利用斜率公式，两直线平行的性质，求得a 的值． 【解答】解：直线:20l x ay ++=，点(1,1)A --和点(2,2)B ，∴直线AB 的斜率为21121+=+， 若//l AB ，则11a-=，求得1a =-， 故选：B ．【点评】本题主要考查斜率公式，两直线平行的性质，属于基础题．16．【分析】当弦长||MN =利用弦长公式求得弦心距1d =，故当||23MN ，则1d ，由此求得k 的范围．【解答】解：当弦长||MN =1d = 若||23MN ，则1d ，即圆心(2,0)到直线20kx y -+=的距离1d =，求得4[3k ∈-，0]，故选：D ．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题．17．【分析】根据奇函数对称性得出A ，C 关于原点对称，于是||1PB =，从而直线l 与单位圆有交点，根据点到直线的距离公式列出不等式求出k 的范围． 【解答】解：3()f x x =和y mx =都是奇函数，B ∴为原点，且A ，C 两点关于原点对称．∴原点O 为线段AC 的中点， ∴2PA PC PB +=，直线:30()l kx y k R -+=∈上存在点P 满足||2PA PC +=， |||2|2||2PA PC PB PB ∴+===，||1PB ∴=．即P 为单位圆221x y +=上的点．∴直线:3l y kx =+与单位圆有交点， ∴1，解得22k 或22k -．故选：D ．【点评】本题考查了函数图象与方程的关系，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．18．【分析】在椭圆上任取一点P ，连接VP 交1C 于Q ，交2C 于点R ，连接1O Q ，11O F ，1PO ，1PF ，2O R ，利用△1O PF ≅△1O PQ 全等，得到1PF PQ =，当点P 沿圆锥表面到达点M 的路线长与线段1PF 的长之和最小时，即当P 为直线VM 与椭圆的交点时，求解即可得到答案．【解答】解：如图所示，在椭圆上任取一点P ，连接VP 交1C 于Q ，交2C 于点R ， 连接1O Q ，11O F ，1PO ，1PF ，2O R ，在△1O PF 与△1O PQ 中，111O Q O F r ==，其中1r 为球1O 半径， 1190O QP O FP ∠=∠=︒，1O P 为公共边，所以△11O PF ≅△1O PQ ，所以1PF PQ =， 设P 沿圆锥表面到达M 的路径长为d ， 则1PF d PQ d PQ PR QR +=++=，当且仅当P 为直线VM 与椭圆的交点时取等号，21416tan 30tan 30O R O Q QR VR VQ -=-=-===︒︒，故从点P 沿圆锥表面到达点M 的路线长与线段1PF 的长之和的最小值是6． 故选：A ．【点评】本题以Dandelin 双球作为几何背景考查了椭圆知识的综合应用，涉及了两条线段距离之和最小的求解，解题的关键是确定当P 为直线VM 与椭圆的交点时取得最值． 二．填空题（共10小题）19．【分析】易知，等边ABC ∆的边长为4a ，不妨取点B 为(2)a ，将其代入双曲线的方程可得a b =，再由e =【解答】解：双曲线M 的实轴为ABC ∆的中位线，∴等边ABC ∆的边长为4a ，假设点B 在第一象限，则点B 的坐标为(2)a ，将其代入双曲线M 的方程有，2222431a a a b-=，∴1ab =，离心率e ==．【点评】本题考查双曲线的几何性质，包含a 、b 、c 的含义与关系，离心率，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．20．【分析】由题意知，(3,0)F ，①当A ，P ，F 按此顺序三点共线时，||||AP PF +取得最小值；②设双曲线的左焦点为F '，由双曲线的定义可知，||||2PF PF '=+，当A ，P ，F '按此顺序三点共线时，||||AP PF +取得最小值．【解答】解：由题意知，(3,0)F ，①||||||9AP PF AF +=，当且仅当A ，P ，F 按此顺序三点共线时，等号成立，所以||||AP PF +的最小值为9；②设双曲线的左焦点为(3,0)F '-，由双曲线的定义知，||||22PF PF a'-==，所以||||||||2||2211AP PF AP PF AF ''+=+++==，当且仅当A ，P ，F '按此顺序三点共线时，等号成立，所以||||AP PF +的最小值为11． 故答案为：9；11．【点评】本题考查双曲线的定义与几何性质，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 21．【分析】求出OA 的中点即为圆心，求出||OA 即为圆的半径，得到圆的方程与直线2y x =联立，求出点B 的坐标，即可得到直线AB 的方程．【解答】解：因为O 为坐标原点，点A 的坐标为(4,0)， 所以OA 的中点坐标为(2,0)，且||4OA =，所以以线段OA 为直径的圆的圆心为(2,0)，半径2r =， 所以圆的方程为22(2)4x y -+=，联立方程22(2)42x y y x ⎧-+=⎨=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或4585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为点B 在第一象限，所以48(,)55B ，又(4,0)A ，所以直线AB 的方程为8050(4)445y x --=--，即240x y +-=． 故答案为：240x y +-=．【点评】本题考查了直线方程的求解，涉及了圆的标准方程的求解、直线与圆交点的求解，属于中档题． 22．【分析】利用抛物线的焦点坐标，求解m 即可；利用抛物线的定义，转化求解A 的坐标． 【解答】解：抛物线2y mx =的焦点为(1,0)F ， 可得14m=，解得4m =； 点A 在抛物线24y x =上，且||3AF =，设点A 的横坐标为x ，则13x +=，2x =， 把2x =代入抛物线方程，可得A的纵坐标为：±所以(2,A ±． 故答案为：4；(2,±．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的定义的应用，是基础题．23．【分析】由抛物线的方程可得焦点的坐标及准线方程，由题意设直线l 的方程与抛物线联立求出两根之和，由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离可得弦长||AB 的值，求出原点到直线的距离，代入面积公式可得面积的值．【解答】解：抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =- 由题意设直线l 的斜率1y x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立214y x y x=-⎧⎨=⎩，整理可得：2610x x -+=，可得126x x +=，所以弦长12||628AB x x p =++=+=， 原点O 到直线l的距离d =，所以11||822AOB S AB d ∆=⋅==故答案为：【点评】本题考查求抛物线的性质及点到直线的距离公式和三角形的面积公式，属于中档题．24．【分析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则2a =，3c =，由此能求出C 的方程，再求焦点到其渐近线的距离即可．【解答】解：双曲线C 的两个焦点为(3,0)-，(3,0)，一个顶点是0)，∴设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，且a ，3c =，2963b ∴=-=，C ∴的方程为：22163x y -=．故其渐近线为y =，即0x ±=，C ∴的焦点到其渐近线的距离为：d ==故答案为：22163x y -=【点评】本题考查双曲线的方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．25．【分析】利用双曲线方程直接求解渐近线方程；求出焦点坐标，然后利用双曲线的定义求解即可得到12||||MF MF -．【解答】解：双曲线2212y x -=的渐近线方程为：y =，双曲线的焦点坐标(，0)，M 在双曲线上，所以12||||22MF MF a -=-=-，故答案为：y =；2-．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线方程的求法，定义的应用，是基础题． 26．【分析】利用离心率求出a ，然后求解双曲线的焦点坐标．【解答】解：双曲线2221(0)9x y a a -=>的离心率是54，54=，解得4a =，则5c =， 所以双曲线的右焦点坐标为(5,0)． 故答案为：(5,0)．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，焦点坐标的求法，是基础题．27．【分析】当0m =时，12F AF ∠最大，求出△12AF F 为等腰直角三角形即可判断①；求出1ABF ∆为等腰直角三角形时，m 的值，即可判断②；利用椭圆定义可得1ABF 的周长最大值，结合m 的取值范围即可判断③．【解答】解：由方程知4a =，b =c ，当0m =时，12F AF ∠最大，此时122145AF F AF F ∠=∠=︒，所以12F AF ∠的最大值为90︒， 又12AF AF =，所以△12AF F 为等腰直角三角形，即存在唯一一个0m =，使得△12AF F 为等腰直角三角形，故①正确；当0m =时，1245AF F ∠=︒，由椭圆的对称性可得121245BF F AF F ∠=∠=︒，11AF BF =， 所以190AF B ∠=︒，此时1ABF ∆为等腰直角三角形，当0m ≠时，若1ABF ∆为等腰直角三角形，则4m -<<-，此时点A 的坐标为(,m m --，代椭圆方程，解得(4,m =--，故当0m =或1ABF ∆为等腰直角三角形，故②错误； 由椭圆的定义得，1ABF ∆的周长11||||||AB AF BF =++ 2222||(2||)(2|)4||||||AB a AF a BEF a AB AF BF =+-+-=+--，因为22||||||AF BF AB +，所以22||||||0AB AF BF --，当AB 过点2F 时取等号，所以1122||||||4||||||4AB AF BF a AB AF BF a ++=+--，即直线x m =过椭圆的右焦点2F 时，1ABF ∆的周长最大，此时直线AB 的方程为x m c ===44m -<<， 所以存在m ，使1ABF ∆的周长最大，故③正确． 故答案为：①③．【点评】本题主要考查椭圆的性质，考查数形结合的解题思想，考查分析问题与求解问题的能力，是中档题．28．【分析】由题意可得12b a =，即224a b =，结合222a b c +=，可得2254c a =，开方可得c e a=的值．【解答】解：由题意可得双曲线的渐近线方程为by x a =±，故可得12b a =，即224a b =，又222a bc +=，故2224a a c +=，2254c a =，解得c e a ==【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及离心率的求解，属中档题． 三．解答题（共9小题） 29．【分析】（Ⅰ，且经过点，列方程组，解得a ，b ，c ，进而可得答案． （Ⅰ）设直线AB 的方程为y kx m =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线AB 与椭圆的方程，得224()4x kx m ++=，由△0>，得2241k m +>，结合韦达定理可得12x x +，12x x ，由0OA AB ⋅=，推出OA AB ⊥，进而设直线OA 的方程为1y x k=-，联立直线AB 的方程得1y ，1x ，代入椭圆的方程可得22224(1)4k m k +=+，再计算222222144(1)||(41)(4)k k AB k k +=++，2224(1)||4k OA k +=+，进而可得22222||369||(41)4AB k OA k ==+，解得214k =，进而可得OAB ∆的面积213||||||24S OA AB OA ==，即可得出答案． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a =，1b =，c =，∴椭圆方程为2214x y +=．（Ⅰ）设直线AB 的方程为y kx m =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立y kx m =+与2244x y +=，得224()4x kx m ++=， 222(41)8440k x kmx m ∴+++-=，∴△22222(8)4(41)(44)16(41)0km k m k m =-+-=+->，即2241k m +>，则122841kmx x k -+=+，21224441m x x k -=+，因为0OA AB ⋅=，所以OA AB ⊥，设直线OA 的方程为1y x k =-，联立直线AB 的方程得121m y k =+，1121kmx ky k -=-=+， 代入221144x y +=，所以222()4()411km m k k -+=++，化简得22224(1)4k m k +=+，所以2222222222224(1)(41)(4)4(1)94141444k k k k k k m k k k k +++-++-=+-==+++，所以||AB =， 所以2222222222216(1)(41)144(1)||(41)(41)(4)k k m k k AB k k k ++-+==+++， 所以2222222112224(1)||()(1)()114m m k OA ky y k k k k +=-+=+==+++， 所以22222||369||(41)4AB k OA k ==+， 得22216(41)k k =+，解得214k =， 此时222224(1)2541417k m k k +==<++，满足△0>， 由22214(1)4(1)204||141744k OA k ++===++， 所以OAB ∆的面积2113315||||||||||222417S OA AB OA OA OA ==⨯==． 【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． 30．【分析】（Ⅰ）根据题意列方程组，得a ，b ，进而可得椭圆的方程．（Ⅰ）分两种情况①若直线l 的斜率不存在时，②若直线l 的斜率存在时，直线AM ，BN 的交于点Q ，是否早定直线4x =上．【解答】解：（Ⅰ）因为||4AB =，椭圆C 离心率为12， 所以22224,1,2.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得24a =，23b =．所以椭圆C 的方程是22143x y +=．（Ⅰ）①若直线l 的斜率不存在时，如图，因为椭圆C 的右焦点为(1,0)，所以直线l 的方程是1x =．所以点M 的坐标是3(1,)2，点N 的坐标是3(1,)2-．所以直线AM 的方程是1(2)2y x =+，直线BN 的方程是3(2)2y x =-．所以直线AM ，BN 的交点Q 的坐标是(4,3)．所以点(4,3)在直线4x =上．②若直线l 的斜率存在时，如图．设斜率为k ． 所以直线l 的方程为(1)y k x =-．联立方程组22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2222(34)84120k x k x k +-+-=， 显然△0>．不妨设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，所以2122834k x x k +=+，212241234k x x k-⋅=+． 所以直线AM 的方程是11(2)2y y x x =++．令4x =，得1162y y x =+．直线BN 的方程是22(2)2y y x x =--．令4x =，得2222y y x =-． 所以12121212121212626(1)2(1)6(1)(2)2(2)(1)2222(2)(2)y y k x k x k x x k x x x x x x x x -----+--=-=+-+-+- 1212122112126(1)(2)2(2)(1)2[3(22)(22)]k x x k x x k x x x x x x x x ---+-=--+--+- 12122[25()8]k x x x x =-++22222(412)582[8]3434k k k k k -⨯=-+++22228244024322()034k k k k k --++==+．所以点Q 在直线4x =上．【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． 31．【分析】（Ⅰ）根据题意可得所以1b =，22311a b +=，解得2a =，进而可得椭圆的方程． （Ⅰ）联立直线l 与椭圆的方程可得关于x 的一元二次方程，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由韦达定理得12x x +，12x x ，由点到直线的距离公式可得原点O 到直线l的距离d ==，解得2254(1)m k =+，计算1212OA OB x x y y ⋅=+为0，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆经过点(0,1)，所以1b =，又因为椭圆经过点1)2，所以23114a +=，解得2a =，所以椭圆的方程为2214x y +=，（Ⅰ）证明：由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得222(14)8440k x kmx m +++-=， 由题意，△22222(8)4(14)(44)1616640km k m k m =-+-=-++>，即22140k m +->， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，所以122841kmx x k +=-+，21224441m x x k -=+，因为原点O 到直线l，所以d ==即2254(1)m k =+，因为12121212()()OA OB x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++22222121222448(1)()(1)4141m kmk x x km x x m k km m k k -=++++=+-+++222544041m k k --==+，所以OA OB ⊥．因此以AB 为直径的圆过原点O ．【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，定点问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． 32．【分析】（Ⅰ）把点A ，B 的坐标代入椭圆方程，求出a ，b 的值，即可得到椭圆W 的方程；（Ⅰ）先求出m 的值，设直线l 的方程为(2)(0y k x k =+≠，1)k ≠，与椭圆方程联立，设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，利用韦达定理得到22121222121212,1313k k x x x x k k -+=-=++，再求出点P ，Q 的纵坐标，得到||||PM MQ 的表达式，把上式代入化简，即可得到||||PM MQ 为定值1． 【解答】解：（Ⅰ）由椭圆2222:1(0)x y W a b a b +=>>过(0,2)A ，(3,1)B --两点，得2b =，29114a +=，所以212a =．所以椭圆W 的方程为221124x y +=．（Ⅰ）(0,2)A ，(3,1)B --，∴直线AB 的方程为：2y x =+，令0y =得：2m =-，设直线l 的方程为(2)(0y k x k =+≠，1)k ≠，由22(2),1124y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(13)1212120k x k x k +++-=，且△0>，设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，则22121222121212,1313k k x x x x k k -+=-=++， 记直线AC 的方程为1122y y x x --=，令2x =-，得P 点的纵坐标11(22)(2)P k x y x -+=，记直线BD 的方程为2211(3)3y y x x ++=++， 令2x =-，得Q 点的纵坐标22(1)(2)3Q k x y x -+=+，112122122212212121212112221221(22)(2)2(3)(2)||||||||(1)(2)||(2)31212122412224()1221313||||1212221312122(13)|| 1.12122(13)PQ k x y x x x PM k x MQ y x x x k k x x x x x x k k k x x x x k k k x k k x -+++===-+++--⨯+⨯++++++++==-+++-++==-++ 所以||||PM MQ 为定值1． 【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的定义，考查了学生的计算能力，是中档题． 33．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出b ，结合离心率求解a ，即可得到椭圆方程．（Ⅰ）依题意设直线l 的方程为(4)y k x =+，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ．联立221,4(4),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得2222(41)326440k x k x k +++-=，求出M ，N 的坐标，然后求解AM AN k k +．的表达式，推出结果即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知1b =，c e a = 又222a b c =+，解得2a =，1b =．所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（Ⅰ）依题意设直线l 的方程为(4)y k x =+，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ．联立221,4(4),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得2222(41)326440k x k x k +++-=，则△216(112)0k =->，解得k <．(*) 则21223241k x x k -+=+，212264441k x x k -=+．若11x =-，则1y =，k =(*)式矛盾，所以11x ≠-． 同理21x ≠-．所以直线AM 和AN 的斜率存在，分别设为AM k 和AN k ． 因为121211AM AN y yk k x x +=+++ 121212(4)(4)3321111k x k x k kk x x x x ++=+=++++++ 12121212123(2)3(2)22(1)(1)1k x x k x x k k x x x x x x ++++=+=++++++ 222222323(2)1426443211414k k k k k k k k -++=+--++++ 223(242)20363k k k k -+=+=-， 所以AM AN k k =-． 所以BAM OAN ∠=∠．【点评】本题考查椭圆的简单性质，以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．34．【分析】（Ⅰ）由题意及a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（Ⅰ）由题意开始直线l 的方程，与椭圆联立，由判别式为0求出参数之间的关系，设G ，E 的坐标，由题意可得G ，E 用直线的参数表示的坐标，进而求出||||TA TB 与||||GA GB 的表示，可证得||||||||TA GA TB GB =．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得222212a c e a a b c=⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得：24a =，23b =，所以椭圆的方程为：22143x y +=；（Ⅰ）由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为：(0)y kx m m =+≠，22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得：222(34)84120k x kmx m +++-=， 由题意可得△0=，即22226416(34)(3)0k m k m -+-=，解得：2234m k =+ 设1(G x ，0)，0(E x ，0)y 则1m x k =-，024434km kx k m-==-+， 因为ET x ⊥轴，所以4(kT m-，0)， 4|2||||42||2|4|||24||2||2()|k TA k m m k m k TB m k m k m -+-+-===++--， 又因为|2||||2||||2||2|m GA m k k m GB m k k-+-==++， 所以可证：||||||||TA GA TB GB =． 【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆相切的性质，及证明的方法，属于中档题． 35．【分析】（Ⅰ）由已知点，椭圆的离心率以及a ，b ，c 的关系式即可求解；（Ⅰ）根据已知条件推出OD 与BC 平行，设出点D 的坐标，利用平行关系以及点D 在椭圆上联立方程即可求解． 【解答】解：（Ⅰ）由已知可得：22222431c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得4a =，2b =，c =故椭圆的方程为：221164x y +=，且长轴长为28a =；（Ⅰ）因为点D 在x 轴下方，所以点Q 在线段AB （不包括端点）上， 由（Ⅰ）可知(4,0)A -，(4,0)B ，所以AOC ∆的面积为142⨯=因为ACQ ∆的面积比BDQ ∆的面积大所以点Q 在线段OB （不包括端点）上，且OCQ ∆的面积等于BDQ ∆的面积， 所以OCB ∆的面积等于BCD ∆的面积， 所以//OD BC ， 设(,)D m n ，0n <，则n m ==， 因为点D 在椭圆W 上，所以221164m n +=，解得2m =，n = 所以点D的坐标为(2,．【点评】本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到三角形面积问题，考查了学生的运算能力，属于中档题． 36．【分析】()I利用离心率为3，且过(0,1)点，列出方程组求解a ，b ，得到椭圆方程． ()II 设直线l 的方程为：1(0)3y x m m =+≠，由221913x y y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 得：2219()903x x m ++-=，通过△0>，推出m 的范围，设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，利用韦达定理，求直线OM 的方程，与椭圆联立，求解E 、F ，利用弦长公式，计算证明即可．【解答】()I解：根据题意：2222311c a a b a c b b c ⎧=⎪⎧=⎪⎪⎪=-⇒=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎨⎨⎪⎪==⎩⎪⎪⎩（4分）所以椭圆G 的方程为2219x y +=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）()II 证明：设直线l 的方程为：1(0)3y x m m =+≠⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）由221913x y y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 得：2219()903x x m ++-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分）即2226990x mx m ++-=，需△22368(99)0m m =-->即202m <<⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分） 设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，CD 中点0(M x ，0)y ，则123x x m +=-，2129(1)2x x m =-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）12000311,2232x x x m y x m m +==-=+=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分） 那么直线OM 的方程为：00y y x x =即13y x =-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分）由22191232x x y y x y ⎧⎧=+=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩， 不妨令(E F ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分） 那么221212111||||||(1)[()4]449MC MD CD x x x x ⋅==++-2259[(3)4(1)]182m m =--⋅-25(2)2m =-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（13分）||||ME MF ⋅=25(2)2m -⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（14分）所以||||||||MC MD ME MF ⋅=⋅．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题． 37．【分析】（Ⅰ）依题意长轴长为4，且离心率为12．求出a ，c ，然后求解b ，得到椭圆方程． ()II 直线:(1)l y k x =-，代入椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式求出||AB ，求出AB 中点坐标，通过（1）当0k =时，所以||4||AB DF =．（2）当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线方程求出D ，得到||DF ，然后转化求解即可、【解答】解：（Ⅰ）依题意24a =，2a =，离心率为12，1c =，则23b =，（4分） 故椭圆C 的方程为22143x y +=．（5分） ||()||AB II DF 是定值．（6分） 理由如下：由已知得直线:(1)l y k x =-，（7分）代入椭圆方程22143x y +=，消去y 得2222(43)84120k x k x k +-+-=，（8分） 所以△22222(8)4(43)(412)1441440k k k k =--+-=+>，（9分）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，（10分）所以2222221211212||()()(1)[()4]AB x x y y k x x x x =-+-=++-。
2020-2021学年北京市高二第一次普通高中学业水平合格性考试数学试题(解析版)
2020-2021学年北京市高二第一次普通高中学业水平合格性考试数学试题一、单选题1．已知集合{1,0,2},{0,1,2}A B =-=，则A B ＝（ ） A ．{－1，0，2} B ．{0，1，2} C ．{－1，0，1} D ．{－1，0，1，2} 【答案】D【分析】由集合并集概念求得结果即可. 【详解】由题知，{}1,0,1,2A B ⋃=-. 故选：D.2．已知复数134i z =-，223i z =-+，则12z z +=（ ） A ．1i - B ．5i - C ．17i - D ．5i +【答案】A【分析】根据复数加法运算求得结果.【详解】由题知，()()123243i 1i z z +=-+-+=- 故选：A3．函数2()log f x x =的定义域是（ ） A ．(1,)-+∞ B ．(0,)+∞ C ．(1,)+∞ D ．(2,)+∞【答案】B【分析】利用真数大于直接求解【详解】由题意0x >，故函数2()log f x x =的定义域是(0,)+∞ 故选：B4．下列函数中，在区间()0,∞+上单调递减的是（ ）A ．2y x B ．y =C ．2xy =D ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据基本初等函数的单调性判断可得出结论.【详解】函数2y x 、y x =、2xy =在()0,∞+上均为增函数，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+上为减函数. 故选：D.5．下列各点中，在函数()21x f x =-的图象上的点是（ ） A ．（0，0） B ．（0，1） C ．（1，0） D ．（1，2）【答案】A【分析】直接代入计算可得.【详解】解：因为()21xf x =-，所以()00210f =-=，故函数过点()0,0.故选：A.6．某校为了解学生关于校本课程的选课意向，计划从高一、高二这两个年级共500名学生中，采用分层抽样的方法抽取50人进行调査．已知高一年级共有300名学生，那么应抽取高一年级学生的人数为（ ） A ．10 B ．20C ．30D ．40【答案】C【分析】根据分层抽样的定义求出相应比例，进而得出结果.【详解】解：因为高一年级共有300名学生，占高一、高二这两个年级共500名的30035005=， 则采用分层抽样的方法抽取50人中，应抽取高一年级学生的人数为350305⨯=人.故选：C.7．如图，四边形ABCD 是平行四边形，则AB BC +=（ ）A ．ACB ．CAC ．BD D ．DB【答案】A【分析】根据向量加法的三角形法则计算可得； 【详解】解： AB BC AC故选：A8．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，它的终边经过点()4,3，则cos α=（ ）A ．45-B ．45 C ．34-D ．34【答案】B【分析】由任意角的三角函数的定义即可求得结果. 【详解】解：角α以Ox 为始边，终边经过点()4,3，∴4cos 5α==. 故选：B.9．函数()||1f x x =-的零点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【分析】令()||10f x x =-=求解. 【详解】令()||10f x x =-=， 解得 1x =±，所以函数()||1f x x =-的零点个数是2， 故选：C10．已知a R ∈，则“1a >”是“0a >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据两者的推出关系，结合充要条件的概念分析即可． 【详解】若1a >，则0a >成立， 若0a >，无法推出1a >， 故1a >是0a >的充分不必要条件， 故选：A ．【点睛】本题考查了充分条件必要条件的判断，考查逻辑思维能力，属于基础题． 11．sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝（ ）A ．12 B C D ．1【答案】A【分析】逆用两角和的正弦公式求值. 【详解】原式()1sin 2010sin 302=︒+︒=︒=故选：A12．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB ＝AD ＝2，13AA =，则四棱锥1D ABCD -的体积为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．9【答案】B【分析】根据长方体的特殊线面关系，结合棱锥体积公式求得结果. 【详解】在长方体中，1DD ⊥底面ABCD ， 则四棱锥1D ABCD -的体积为122343⨯⨯⨯=.故选：B13．已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为0.9，0.8，且两人罚球是否命中相互独立．若甲、乙各罚球一次，则两人都命中的概率为（ ） A ．0.08 B ．0.18 C ．0.25 D ．0.72【答案】D【分析】根据独立事件乘法公式求解【详解】由题意，根据独立事件乘法两人都命中的概率为0.90.80.72⨯= 故选：D14．在△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则b ＝（ ） A ．22B ．23C ．6D ．42【答案】C【分析】利用正弦定理直接求解【详解】由正弦定理34sin 226sin sin sin 2a b a Bb A B A=∴===故选：C15．不等式x （x －1）＜0的解集为（ ） A ．{01}xx <<∣ B ．{10}xx -<<∣C ．{0x x <∣或1}x >D ．{1xx <-∣或0}x > 【答案】A【分析】根据一元二次方程的两个根，解得一元二次不等式的解集. 【详解】方程()10x x -=有两个根0,1， 则不等式()10x x -<的解集为{}01x x << 故选：A16．在△ABC 中，a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则c ＝（ ）A ．2B ．C ．4D ．6【答案】B【分析】直接利用余弦定理求解即可. 【详解】2222cos 416812c a b ab C =+-=+-=∵，c ∴=故选：B17．函数()3sin cos f x x x =的最大值为（ ） A ．1 B ．12C ．2D ．32【答案】D【分析】由二倍角公式可得()3sin 22f x x =，结合正弦函数的值域即可得结果【详解】∵()33sin cos sin 22f x x x x ==，∴函数()3sin cos f x x x =的最大值是32.故选：D.18．已知224a b >>，则（ ） A ．a ＞b ＞2 B ．b ＞a ＞2C ．a ＜b ＜2D ．b ＜a ＜2【答案】A【分析】利用指数函数单调性解不等式即可 【详解】222422a b a b >>=∴>> 故选：A19．已知向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则·a b ＝（ ）A ．3B ．32C ．6D ．12【答案】C【分析】从图中读出向量模长和夹角，按照数量积运算公式求得结果. 【详解】由图知，322a b ==，，两向量的夹角为45°，则2··cos ,3226a b a b a b ==⨯⨯= 故选：C20．在信息论中，设某随机事件发生的概率为p ，称21log p为该随机事件的自信息．若随机抛一枚均匀的硬币1次，则“正面朝上”这一事件的自信息为（ ） A ．0 B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】首先求出“正面朝上”的概率，再代入计算可得；【详解】解：随机抛一枚均匀的硬币1次，则“正面朝上”的概率12p =， 所以22211log log log 2112p===，故“正面朝上”这一事件的自信息为1； 故选：C二、填空题21．已知a ，b 是实数，且a ＞b ，则－a ________－b （填“＞”或“＜”）． 【答案】＜【分析】根据不等式的性质计算可得； 【详解】解：因为a b >，所以a b -<- 故答案为：<22．已知向量a ＝（1，m ），b ＝（2，4）．若//a b ，则实数m ＝________． 【答案】2【分析】根据向量平行关系求得参数.【详解】由//a b 知，124m=，解得m =2. 故答案为：223．设m ，n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面．给出下列三个命题： ①如果m ∥n ，m ⊥α，那么n ⊥α； ②如果m ⊥α，m ⊥β，那么α//β； ③如果α⊥β，m ∥β，那么m ⊥α． 其中所有真命题的序号是________． 【答案】①②【分析】由线面垂直的判定定理可判断①；由线面垂直的性质可判断②；由面面垂直的性质可判断③【详解】解：对于①，由m ∥n ，m ⊥α，可得n ⊥α，所以①正确； 对于②，由m ⊥α，m ⊥β，可得α//β，所以②正确；对于③，由α⊥β，m ∥β，可得直线m 与平面α可平行，可能相交但不垂直，可能垂直，还有可能直线m 在平面α内，所以③错误， 故答案为：①②三、双空题24．已知函数1()f x x x=+，则f (x )是________函数（填“奇”或“偶”）；f (x )在区间（0，＋∞）上的最小值是________． 【答案】奇 2【分析】根据奇函数定义判断函数奇偶性；利用基本不等关系求得最小值.【详解】由题知，1()()f x x f x x-=--=-，故()f x 是奇函数；(0,)x ∈+∞时，1()2f x x x =+≥=，当且仅当1x =时，等号成立， 则()f x 的最小值为2. 故答案为：奇；2.四、解答题25．已知函数()sin 4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）写出f (x )的最小正周期；（2）求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值．【答案】（1）2π ；（2）最小值为．【分析】（1）根据函数解析式写出最小正周期；（2）根据正弦函数单调性判断函数在区间上的单调性，从而求得最值.【详解】解：（1）f (x )的最小正周期为2π． （2）因为02x π， 所以444x πππ--．所以函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当44x ππ-=-，即x ＝0时，f (x )取得最小值2-；当44x ππ-=，即2x π=时，f (x )所以f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为26．阅读下面题目及其解答过程．已知函数23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩，（1）求f （－2）与f （2）的值； （2）求f (x )的最大值．解：（1）因为－2＜0，所以f （－2）＝ ① ． 因为2＞0，所以f （2）＝ ② ． （2）因为x ≤0时，有f (x )＝x ＋3≤3，而且f （0）＝3，所以f (x )在(,0]-∞上的最大值为 ③ ． 又因为x ＞0时，有22()2(1)11f x x x x =-+=--+， 而且 ④ ，所以f (x )在（0，＋∞）上的最大值为1． 综上，f (x )的最大值为 ⑤ ．以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A ”或“B ”）．④ A ．f （1）＝1 B ．f （1）＝0 ⑤ A ．1 B ．3【答案】（1）①A ； ②B ；（2）③A ； ④A ； ⑤B ． 【分析】依题意按照步骤写出完整的解答步骤，即可得解；【详解】解：因为23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩，（1）因为20-<，所以()2231f -=-+=，因为20>，所以()222220f =-+⨯=（2）因为0x ≤时，有()33f x x =+≤，而且()03f =，所以()f x 在(,0]-∞上的最大值为3． 又因为0x >时，有22()2(1)11f x x x x =-+=--+， 而且()11f =，所以()f x 在()0,∞+上的最大值为1． 综上，()f x 的最大值为3．27．如图，在三棱锥O －ABC 中，OA ，OB ，OC 两两互相垂直，OA ＝OB ，且D ，E ，F 分别为AC ，BC ，AB 的中点．（1）求证：DE ∕∕平面AOB ； （2）求证：AB ⊥平面OCF ． 【答案】（1）见解析 ；（2）见解析．【分析】（1）D ，E 分别为AC ，BC 的中点，得DE AB ∕∕，从而证明DE ∕∕平面AOB ； （2）OA ，OB ，OC 两两互相垂直，得：OC ⊥平面AOB ，从而得出OC AB ⊥，由题易知AB OF ⊥从而证明AB ⊥平面OCF ．【详解】解：（1）在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，BC 的中点， 所以DE ∥AB ．又因为DE⊄平面AOB，所以DE∥平面AOB．（2）因为OA＝OB，F为AB的中点，所以AB⊥OF．因为OC⊥OA，OC⊥OB，所以OC⊥平面AOB．所以AB⊥OC．所以AB⊥平面OCF．28．为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”．假设待检测的总人数是2m（m为正整数）．将这2m个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测1次），如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确定其中有感染者，则将这些人平均分成两组，每组12m-个人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次．依此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将每个结果为阳性的组再平均分成两组，做下一轮检测，直至确定所有的感染者．例如，当待检测的总人数为8，且标记为“x”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”可用下图表示．从图中可以看出，需要经过4轮共n次检测后，才能确定标记为“x”的人是唯一感染者．（1）写出n的值；（2）若待检测的总人数为8，采用“二分检测方案”，经过4轮共9次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值；（3）若待检测的总人数为102，且其中不超过2人感染，写出采用“二分检测方案”所需总检测次数的最大值．【答案】（1）7n =；（2）感染者人数可能的取值为2，3，4；（3）39．【分析】（1）由图可计算得到n 的取值；（2）当经过4轮共9次检测后确定所有感染者，只需第3轮对两组都进行检查，由此所有可能的结果；（3）当所需检测次数最大时，需有2名感染者，并在第2轮检测时分居两组当中，从而将问题转化为待检测人数为92的组，每组1个感染者，共需的检测次数，由此可计算求得结果.【详解】（1）由题意知：第1轮需检测1次；第2轮需检测2次；第3轮需检测2次；第4轮需检测2次；12227n ∴=+++=；（2）由（1）可知：若只有1个感染者，则只需7次检测即可；经过4轮共9次检测查出所有感染者，比只有1个感染者多2次检测，则只需第3轮时，对两组都都进行检查，即对最后4个人进行检查，可能结果如下图所示：∴感染者人数可能的取值为2，3，4.（3）若没有感染者，则只需1次检测即可；若只有1个感染者，则只需121021+⨯=次检测即可；若有2个感染者，若要检测次数最多，则第2轮检测时，2个感染者不位于同一组中； 此时相当于两个待检测人数均为92的组，每组1个感染者，此时每组需要12919+⨯=次检测；∴此时两组共需21938⨯=次检测；∴若有2个感染者，且检测次数最多，共需38139+=次检测. 综上所述：所需总检测次数的最大值为39.。
2023-2024学年北京市石景山区高二上学期期末考试数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市石景山区高二上学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线的倾斜角为，则直线的斜率为()A. B. C. D.2.直线关于x轴对称的直线方程为()A. B. C. D.3.已知，是两个不同的平面，直线m满足，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知双曲线的离心率是2，则()A.12B.C.D.5.用可以组成无重复数字的两位数的个数为()A.25B.20C.16D.156.在空间直角坐标系中，点，则()A.直线坐标平面xOyB.直线坐标平面xOyC.直线坐标平面xOzD.直线坐标平面xOz7.已知直线，直线若，则实数()A. B. C. D.38.棱长为2的正方体中，P是中点，则异面直线PD与所成角的余弦值是()A. B. C. D.9.P为直线上一点，过P总能作圆的切线，则k的最小值()A. B. C. D.10.庑殿图是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面ABCD是矩形，且四个侧面与底面的夹角均相等，则A. B.C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在的展开式中，的系数为__________.12.直线与直线之间的距离为__________.13.已知圆的半径为3，则a的值为__________.14.方程表示的曲线是__________，其标准方程是__________.15.如图，在正四棱柱中，为棱上的一个动点，给出下列四个结论：①；②三棱锥的体积为定值；③存在点E，使得平面；④存在点E，使得平面其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共5小题，共60分。
2023-2024学年北京市石景山区高一(下)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市石景山区高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.与角终边相同的角是()A. B. C. D.2.若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为()A.1B.2C.4D.63.复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知向量，满足，，则()A. B. C.0 D.15.在中，已知，那么一定是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形6.古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数如图角始边为x轴的非负半轴，其终边与单位圆交点P，A、B分别是单位圆与x轴和y轴正半轴的交点，过点P作PM垂直x轴，作PN垂直y轴，垂足分别为M、N，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线分别交的终边于T、S，其中AM、PS、BS、NB为有向线段，下列表示正确的是()A. B. C. D.7.若，则()A. B. C. D.8.函数的部分图像如图所示，则其解析式为()A.B.C.D.9.已知，为复数，下列结论错误的是()A. B.C.若，则D.若，则或10.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中，则下列命题：①；②；③在上的投影向量为；④若点P为正八边形边上的一个动点，则的最大值为其中正确的命题个数是()A.1B.2C.3D.4二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.化简：______.12.若，则______.13.在中，，，，则的外接圆半径为______14.已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则______.15.已知三角形ABC是边长为2的等边三角形.如图，将三角形ABC的顶点A与原点重合在x轴上，然后将三角形沿着x轴顺时针滚动，每当顶点A再次回落到x轴上时，将相邻两个A之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论：①一个周期是6；②完成一个周期，顶点A的轨迹是一个半圆；③完成一个周期，顶点A的轨迹长度是；④完成一个周期，顶点A的轨迹与x轴围成的面积是其中所有正确结论的序号是______.三、解答题：本题共5小题，共40分。
2020-2021学年北京市石景山区高二(下)期末数学试卷
2020-2021学年北京市石景山区高二（下）期末数学试卷试题数：20，总分：1001.（单选题，4分）已知集合A={x|x2-x-2≤0}，B={x|-2＜x≤1}，则A∪B=（）A.{x|-1≤x≤2}B.{x|-2＜x≤2}C.{x|-2＜x≤1}D.{x|-2≤x≤2}2.（单选题，4分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A.y= √x+1B.y=（x-1）2C.y=2-xD.y=log 12x3.（单选题，4分）对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是（）A.a1，a3，a9成等比数列B.a2，a3，a6成等比数列C.a3，a6，a9成等比数列D.a2，a4，a8成等比数列4.（单选题，4分）袋中有10个除颜色以外完全相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个红球．从中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率是（）A. 15B. 310C. 12D. 355.（单选题，4分）已知a=log2e，b=ln2，c=log 1213，则a，b，c的大小关系为（）A.a＞b＞cB.b＞a＞cC.c＞a＞bD.c＞b＞a6.（单选题，4分）若a，b，c，d∈R，则“a+d=b+c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.（单选题，4分）设函数f（x）= 2+lnx，则（）x时f（x）取到极大值A.x= 12时f（x）取到极小值B.x= 12C.x=2时f（x）取到极大值D.x=2时f（x）取到极小值8.（单选题，4分）某人射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（）A. 81125B. 54125C. 36125D. 271259.（单选题，4分）已知函数f（x）=e x-a|x|有三个零点，则实数a的取值范围为（）A.（-∞，0）B.（0，1）C.（0，e）D.（e，+∞）10.（单选题，4分）在一次知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙11.（填空题，4分）函数f（x）=x•e x的导函数f′（x）=___ ．12.（填空题，4分）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，如表是过去200例类似项目开发的实施结果：13.（填空题，4分）已知f（x）=-x3+ax+3在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是___ ．14.（填空题，4分）若数列{a n}满足a1=- 14，a n•a n-1=a n-1-1（n＞1，n∈N*），则a2021=___ ．15.（填空题，4分）已知集合A0={x|0＜x＜1}．给定一个函数y=f（x），定义集合A n={y|y=f（x），x∈A n-1}，若A n∩A n-1=∅对任意的n∈N*成立，则称该函数y=f（x）具有性质“φ”（例如y=x+1具有性质“φ”）下列函数：① y= 1x ；② y=x2+1；③ y=cos（π2x）+2，其中具有性质“φ”的函数的序号是___ ．16.（问答题，7分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1=2，a3=2a2+16．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和．17.（问答题，7分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．（Ⅰ）设事件A为“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自不同协会”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设随机变量X为选出的4人中种子选手的人数，求X的分布列．18.（问答题，9分）已知函数f（x）=2x3-ax2+2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当0＜a＜3时，求f（x）在区间[0，1]上的最大值及最小值．19.（问答题，8分）为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》《生活中的数学》《数学与哲学》《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每一课程都是等可能的．（1）求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；（2）设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X的分布列和数学期望E（X）．20.（问答题，9分）已知函数f（x）=xlnx+kx，k∈R．（Ⅰ）求y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若不等式f（x）≤x2+x恒成立，求k的取值范围．2020-2021学年北京市石景山区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：20，总分：1001.（单选题，4分）已知集合A={x|x2-x-2≤0}，B={x|-2＜x≤1}，则A∪B=（）A.{x|-1≤x≤2}B.{x|-2＜x≤2}C.{x|-2＜x≤1}D.{x|-2≤x≤2}【正确答案】：B【解析】：求出集合A，由此能求出A∪B．【解答】：解：∵A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2}，B={x|-2＜x≤1}，∴A∪B={x|-2＜x≤2}．故选：B．【点评】：本题考查并集及其运算和一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，是基础题．2.（单选题，4分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A.y= √x+1B.y=（x-1）2C.y=2-xxD.y=log 12【正确答案】：A【解析】：根据题意，依次判断各选项中函数的单调性，即可得到答案．【解答】：解：对于A，y= √x+1在区间（0，+∞）上为增函数，符合题意；对于B，y=（x-1）2是二次函数，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意；）x是指数函数，在R上为减函数，不符合题意；对于C，y=2-x=（12x是对数函数，在区间（0，+∞）上为减函数，不符合题意；对于D，y=log 12【点评】：本题考查函数单调性的性质与判断，需注意常见函数的单调性，属于基础题．3.（单选题，4分）对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是（）A.a1，a3，a9成等比数列B.a2，a3，a6成等比数列C.a3，a6，a9成等比数列D.a2，a4，a8成等比数列【正确答案】：C【解析】：根据：若a，A，b构成等比数列，则A2=ab，即可对选项逐一判断．【解答】：解：由于1+9≠2×3，所以a 32≠a1a9，即a1、a3、a9不能构成等比数列，选项A错误．由于2+6≠2×3，所以a 32≠a2a6，即a2、a3、a6不能构成等比数列，选项B错误．由于3+9=2×6，所以a 62 =a3a9，即a3、a6、a9能构成等比数列，选项C正确．由2+8≠2×4，所以a 42≠a2a8，即a2、a4、a8不能构成等比数列，选项D错误．故选：C．【点评】：本题主要考查等比数列的性质，考查推理论证和运算求解的能力，属于基础题．4.（单选题，4分）袋中有10个除颜色以外完全相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个红球．从中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率是（）A. 15B. 310C. 12D. 35【正确答案】：D【解析】：易知10个小球中除5个白球外还有5个小球，其中黑球有3个，所以利用古典概型概率计算公式即可得出所求事件的概率．【解答】：解：根据题意，袋中除白球外共有5个小球，其中黑球有3个，．所以从袋中任取一个已知不是白球的小球是黑球的概率为35【点评】：本题考查古典概型概率计算公式，考查运算求解能力，属于基础题．5.（单选题，4分）已知a=log2e，b=ln2，c=log 1213，则a，b，c的大小关系为（）A.a＞b＞cB.b＞a＞cC.c＞a＞bD.c＞b＞a【正确答案】：C【解析】：可以得出log1213＞log2e＞1，ln2＜1，然后即可得出a，b，c的大小关系．【解答】：解：∵ log1213=log23＞log2e＞log22=1，ln2＜lne=1，∴c＞a＞b．故选：C．【点评】：本题考查了对数的换底公式，对数函数的单调性，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．6.（单选题，4分）若a，b，c，d∈R，则“a+d=b+c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：必要性根据等差数列的性质容易证明，充分性不成立只需要举一个反例即可说明．【解答】：解：若a，b，c，d依次成等差数列，则a+d=b+c，即必要性成立，若a=2，d=2，b=1，c=3，满足a+d=b+c，但a，b，c，d 依次成等差数列错误，即充分性不成立，即“a+d=b+c“是“a，b，c，d依次成等差数列”的必要不充分条件．【点评】：本题考查充分必要条件，考查等差数列的概念，属于基础题．7.（单选题，4分）设函数f（x）= 2x+lnx，则（）A.x= 12时f（x）取到极大值B.x= 12时f（x）取到极小值C.x=2时f（x）取到极大值D.x=2时f（x）取到极小值【正确答案】：D【解析】：可求得f′（x）= x−2x2，然后判断f（x）的单调性，再得到f（x）的极值点和极值即可．【解答】：解：∵f（x）= 2x +lnx（x＞0），∴f′（x）= x−2x2，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，2）上单调递减，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上单调递增，∴当x=2时，f（x）取到极小值．故选：D．【点评】：本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算求解能力，属于基础题．8.（单选题，4分）某人射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（）A. 81125B. 54125C. 36125D. 27125【正确答案】：A【解析】：本题是一个n次独立重复试验恰好发生k次的概率，至少有两次击中目标包括两次击中目标或三次击中目标，这两种情况是互斥的，根据独立重复试验概率公式和互斥事件的概率公式得到结果．【解答】：解：由题意知，本题是一个n 次独立重复试验恰好发生k 次的概率，射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，∴至少有两次击中目标包括两次击中目标或三次击中目标，这两种情况是互斥的，∴至少有两次击中目标的概率为C 320.62×0.4+C 330.63=54+27125 = 81125故选：A ．【点评】：本题考查n 次独立重复试验恰好发生k 次的概率，考查互斥事件的概率，是一个基础题，这种题目可以作为选择和填空出现．9.（单选题，4分）已知函数f （x ）=e x -a|x|有三个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A.（-∞，0）B.（0，1）C.（0，e ）D.（e ，+∞）【正确答案】：D【解析】：根据题意，分析可得x ＜0时，函数f （x ）=e x -a|x|有一个零点，则当x ＞0时，函数f （x ）=e x -a|x|有2个零点；当x ＞0时，函数f （x ）=e x -a|x|=e x -ax ，对其求导分析可得在（0，lna ）上，f′（x ）＜0，函数f （x ）为减函数，在（lna ，+∞）上，f′（x ）＞0，函数f （x ）为增函数，即可得其最小值，分析可得必有f （x ）min =a-alna ＜0，解可得a 的取值范围，综合可得答案．【解答】：解：函数f （x ）=e x -a|x|有三个零点，则函数y=e x 与y=a|x|有3个不同的交点， 则必有a ＞0，图象如图：当x ＜0时，函数y=e x 与y=a|x|有1个交点，即x ＜0时，函数f （x ）=e x -a|x|有一个零点，若函数函数f （x ）=e x -a|x|有三个零点，则当x ＞0时，函数f （x ）=e x -a|x|=e x -ax 有2个零点； 当x ＞0时，f （x ）=e x -a|x|=e x -ax ，其导数f′（x ）=e x -a ，令f′（x ）=e x -a=0可得，x=lna ，分析可得：在（0，lna ）上，f′（x ）＜0，函数f （x ）为减函数，在（lna ，+∞）上，f′（x ）＞0，函数f （x ）为增函数，当x=lna 时，f （x ）=e x -ax 有最小值，即f （x ）min =f （lna ）=a-alna ，若（0，+∞）上，函数f （x ）=e x -a|x|=e x -ax 有2个零点，必有f （x ）min =a-alna ＜0，解可得a ＞e ，综合可得：a 的取值范围为（e ，+∞）；故选：D．【点评】：本题考查函数的零点判定定理，涉及函数的图象，关键是分析函数y=e x与y=a|x|的交点情况．10.（单选题，4分）在一次知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙【正确答案】：A【解析】：分别讨论甲、乙、丙预测正确，然后进行推导，判断是否符合题意即可．【解答】：解：若甲预测正确，则乙、丙预测错误，即甲的成绩比乙高，丙的成绩比乙低，故三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确，则丙也预测正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲预测错误，即丙的成绩比乙高，乙的成绩比甲高，故丙的成绩比甲、乙都高，即乙的预测也正确，不符合题意．故选：A．【点评】：本题考查了简单的合情推理的应用，考查了推理论证能力、应用意识以及创新意识，考查逻辑推理的核心素养，属于基础题．11.（填空题，4分）函数f （x ）=x•e x 的导函数f′（x ）=___ ． 【正确答案】：[1]（1+x ）e x【解析】：根据函数的导数运算公式即可得到结论．【解答】：解：函数的导数f′（x ）=e x +xe x =（1+x ）e x ， 故答案为：（1+x ）e x【点评】：本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式．12.（填空题，4分）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，如表是过去200例类似项目开发的实施结果：【正确答案】：[1]4760【解析】：由表可知，投资成功、失败的概率分别为 192200 、 8200 ，而投资成功的收益为5×12%万元，投资失败的损失为5×50%万元，再结合数学期望的计算公式即可得解．【解答】：解：由题表可知，投资成功的概率为 192200 ，投资失败的概率为 8200 ，而投资成功的收益为5×12%万元，投资失败的损失为5×50%万元，所以该公司一年后估计可获收益的数学期望为5×12%× 192200 -5×50%× 8200 =0.476万元=4760元．故答案为：4760．【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，以及期望的实际应用，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．13.（填空题，4分）已知f （x ）=-x 3+ax+3在定义域上单调递减，则实数a 的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1]（-∞，0]【解析】：由f（x）=-x3+ax+3在定义域上单调递减⇒f′（x）=-3x2+a≤0恒成立，从而可得答案．【解答】：解：∵f（x）=-x3+ax+3在定义域上单调递减，∴f′（x）=-3x2+a≤0在定义域R上恒成立，∴a≤（3x2）min，又3x2≥0，∴a≤0，∴数a的取值范围为（-∞，0]．故答案为：（-∞，0]．【点评】：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．14.（填空题，4分）若数列{a n}满足a1=- 14，a n•a n-1=a n-1-1（n＞1，n∈N*），则a2021=___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：由已知可得数列的前几项，得到数列是以3为周期的周期数列，则答案可求．【解答】：解：由a1=- 14，a n•a n-1=a n-1-1（n＞1，n∈N*），得a2=1−1a1=1−1−14=5，a3=1−1a2=1−15=45，a4=1−1a3=1−145=−14，..．∴数列{a n}是以3为周期的周期数列，又2021=3×673+2，∴a2021=a2=5．故答案为：5．【点评】：本题考查数列递推式，考查数列的函数特性，求出数列的周期是关键，是基础题．15.（填空题，4分）已知集合A0={x|0＜x＜1}．给定一个函数y=f（x），定义集合A n={y|y=f（x），x∈A n-1}，若A n∩A n-1=∅对任意的n∈N*成立，则称该函数y=f（x）具有性质“φ”（例如y=x+1具有性质“φ”）下列函数：① y= 1x ；② y=x2+1；③ y=cos（π2x）+2，其中具有性质“φ”的函数的序号是___ ．【正确答案】：[1] ① ②【解析】：分别运用反比例函数、二次函数和余弦函数的单调性和值域，结合新定义，即可判断．：由A0={x|0＜x＜1}，A n={y|y=f（x），x∈A n-1}，【解答】：解：① y=1x可得A1={y|y＞1}，A2={y|0＜y＜1}，A3={y|y＞1}，A4={y|0＜y＜1}，…，满足A n∩A n-1=∅对任意的n∈N*成立，故① 具有性质“g”；② y=x2+1：由A0={x|0＜x＜1}，A n={y|y=f（x），x∈A n-1}，可得A1={y|1＜y＜2}，A2={y|2＜y＜5}，A3={y|5＜y＜26}，…，满足A n∩A n-1=∅对任意的n∈N*成立，故② 具有性质“g”；x)+2：由A0={x|0＜x＜1}，A n={y|y=f（x），x∈A n-1}，③ y=cos(π2可得A1={y|2＜y＜3}，A2={y|1＜y＜2}，A3={y|1＜y＜2}，…，不满足A n∩A n-1=∅对任意的n∈N*成立，故③ 不具有性质“g”．故答案为：① ② ．【点评】：本题考查函数的新定义的理解和运用，考查函数的单调性和运用，以及集合的运算，考查运算能力和推理能力，属于中档题．16.（问答题，7分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1=2，a3=2a2+16．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和．【正确答案】：【解析】：（1）设等比数列的公比，由已知列式求得公比，则通项公式可求；（2）把（1）中求得的{a n}的通项公式代入b n=log2a n，得到b n，说明数列{b n}是等差数列，再由等差数列的前n项和公式求解．【解答】：解：（1）设等比数列的公比为q，由a1=2，a3=2a2+16，得2q2=4q+16，即q2-2q-8=0，解得q=-2（舍）或q=4．∴ a n=a1q n−1=2×4n−1=22n−1；（2）b n =log 2a n = log 222n−1=2n −1 ， ∵b 1=1，b n+1-b n =2（n+1）-1-2n+1=2，∴数列{b n }是以1为首项，以2为公差的等差数列， 则数列{b n }的前n 项和 T n =n ×1+n (n−1)×22=n 2 ．【点评】：本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和，考查对数的运算性质，是基础题．17.（问答题，7分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．（Ⅰ）设事件A 为“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自不同协会”，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）设随机变量X 为选出的4人中种子选手的人数，求X 的分布列．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用古典概型的概率公式求解即可；（Ⅱ）先求出随机变量X 的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列即可．【解答】：解：（Ⅰ）由题意可得，P （A ）= C 21•C 31•C 32C 84=935 ；（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为1，2，3，4， 则P （X=1）= C 51C 33C 84 = 114 ，P （X=2）= C 52C 32C 84 = 37 ，P （X=3）= C 53C 31C 84 = 37 ，P （X=4）= C 54C 30C 84 = 114 ，所以X 的分布列为：【点评】：本题考查了古典概型概率公式的应用，离散型随机变量及其分布列的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．18.（问答题，9分）已知函数f（x）=2x3-ax2+2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当0＜a＜3时，求f（x）在区间[0，1]上的最大值及最小值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求出f'（x），分a＞0，a=0，a＜0，分别利用导数的正负研究函数的单调性即可；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的单调性，即可求出[0，1]上的单调性，即可得到函数f（x）的最值．【解答】：解：（Ⅰ）函数f（x）=2x3-ax2+2，则f'（x）=6x2-2ax=2x（3x-a），令f'（x）=0，解得x=0或x= a3，① 当a＞0时，则当x＜0或x＞a3时，f'（x）＞0，当0＜x＜a3时，f'（x）＜0，所以f（x）的单调增区间为（-∞，0），(a3，+∞)，单调减区间为（0，a3）；② 当a=0时，f（x）在R上单调递增；③ 当a＜0时，当x＜a3或x＞0时，f'（x）＞0，当a3＜x＜0时，f'（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为（-∞，a3），（0，+∞），单调递减区间为（a3，0）．（Ⅱ）当0＜a＜3时，由（Ⅰ）可知，f（x）在（0，a3）上单调递减，（a3，1）递增，所以f（x）在[0，1]的最小值为f(a3)=−a327+2，最大值为f（0）=2或f（1）=4-a，不妨设最小值为m，最大值为M，则m= −a 327+2 ，则M= {4−a ，0＜a ＜22，2≤a ＜3．【点评】：本题考查了导数的应用，主要考查了利用导数研究函数的单调性以及函数的最值问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．19.（问答题，8分）为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》《生活中的数学》《数学与哲学》《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每一课程都是等可能的．（1）求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；（2）设X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X 的分布列和数学期望E （X ）．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据分步计数原理总事件数是43，满足条件的事件数是A 43，利用古典概率计算公式即可得出．（Ⅱ）设X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，则X=0，1，2，3．P （ξ=0）= 3343 ；P （ξ=1）= ∁31×3243 ；P （ξ=2）= ∁32×343 ；P （ξ=3）= 143，即可得出．【解答】：解：（Ⅰ）根据分步计数原理总事件数是43，满足条件的事件数是A 43， ∴3个学生选择了3门不同的选修课的概率：P 1= A 4343 = 38（Ⅱ）设X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，则X=0，1，2，3．P （X=0）= 3343 = 2764；P （X=1）=∁31×3243 = 2764； P （X=2）= ∁32×343 = 964； P （X=3）= 143 = 164 ． ∴X 的分布列为：∴期望Eξ=0× 64 +1× 64 + 2×64 +3× 64 = 4 ．【点评】：本题考查了分步计数原理、古典概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.（问答题，9分）已知函数f （x ）=xlnx+kx ，k∈R ． （Ⅰ）求y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）若不等式f （x ）≤x 2+x 恒成立，求k 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）先求出f'（x ），利用导数的几何意义求出切线的斜率，求出切点坐标，由点斜式即可得到切线方程；（Ⅱ）将问题转化为lnx-x+k-1≤0恒成立，构造函数g （x ）=lnx-x+k-1，利用导数求解g （x ）的最值，即可得到答案．【解答】：解：（Ⅰ）函数f （x ）=xlnx+kx ，k∈R ，定义域为（0，+∞）， f'（x ）=1+lnx+k ，则f'（1）=1+k ，由f （1）=k ， 故切点为（1，k ），切线的斜率为1+k ，所以y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y-k=（1+k ）（x-1），即y=（k+1）x-1； （Ⅱ）不等式f （x ）≤x 2+x 恒成立，即lnx+k≤x+1恒成立，即lnx-x+k-1≤0恒成立， 令g （x ）=lnx-x+k-1，则g'（x ）= 1x −1 ，令g'（x ）=0，解得x=1， 当0＜x ＜1时，g'（x ）＞0，则g （x ）单调递增， 当x ＞1时，g'（x ）＜0，则g （x ）单调递减， 则g （x ）的最大值为g （1）=k-2， 所以k-2≤0，即k≤2， 故k 的取值范围为（-∞，2]．【点评】：本题考查了导数的几何意义以及不等式恒成立问题，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于中档题．。
石景山区2020—2021学年第一学期初三期末数学参考答案
石景山区2020—2021学年第一学期初三期末数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可．2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分. 3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数． 一、选择题（本题共24分，每小题3分）二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9．1m >- 10．511．45︒12．92，81813．=14．56π15．(1,1),(4,4)； 216．（1）0.911； （2）4.555三、解答题（本题共52分，第17-21题，每小题5分，第22题6分,第23-25题，每小 题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解：原式=1+1232⨯÷ ……………4分 =1 ……………5分 18．解：（1）①∵该二次函数图象经过点(2,3)-，∴232(2)23m -=--⨯-，解得4m =． ……………1分 ∴二次函数的表达式为223y x x =--．∴二次函数顶点坐标为(1,4)-． ……………2分 ②令0x =，则3y =-．∴该二次函数图象与y 轴的交点坐标为(0,3)-， ……………3分令0y =，则11x =-，23x =．∴该二次函数图象与x 轴的交点坐标为(1,0)-，(3,0)．……………4分（2）22144y x m m =-+-． ……………5分 （注：学生写成2y x n =+（3n <-）的形式亦可，如：24y x =-，…）G F ECAB D19．解：（1）补全图形如下图； …………… 2分（2）90，直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．…………… 5分 20．（1）证明：∵AB //CE ，∴CAD ACE ∠=∠，=ADE CED ∠∠．∵F 是AC 中点， ∴AF CF =．∴AFD △≌CFE △． ∴=AD CE ．∴四边形ADCE 是平行四边形． …………… 2分（2）解： 过点C 作CG AB ⊥于点G ．∵CD BD =，30B ∠=︒，∴30DCB B ∠=∠=︒。
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2020-2021学年北京市石景山区高二（上）期末数学试卷
1.（单选题，4分）直线l过点P（-1，2），且倾斜角为45°，则直线l的方程为（）
A.x-y+1=0
B.x-y-1=0
C.x-y-3=0
D.x-y+3=0
2.（单选题，4分）设P是椭圆x2
5+y2
3
=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为
（）
A.2 √2
B.2 √3
C.2 √5
D.4 √2
3.（单选题，4分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）
A.若m || α，n || α，则m || n
B.若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C.若m⊥α，m⊥n，则n || α
D.若m || α，m⊥n，则n⊥α
4.（单选题，4分）两条平行线l1：3x-4y-1=0与l2：6x-8y-7=0间的距离为（）
A. 1
2
B. 3
5
C. 6
5
D.1
5.（单选题，4分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）
A.A1E⊥DC1
B.A1E⊥BD
C.A1E⊥BC1
D.A1E⊥AC
6.（单选题，4分）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）
A.24
B.48
C.60
D.72
7.（单选题，4分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（）
A.45°
B.60°
C.90°
D.120°
8.（单选题，4分）直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切，则b的值是（）
A.-2或12
B.2或-12
C.-2或-12
D.2或12
9.（单选题，4分）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2-6x-8y+m=0外切，则m=（）
A.21
B.19
C.9
D.-11
10.（单选题，4分）如图，P是正方体ABCD-A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若△PBD的面积为f（x），则f（x）的图象大致是（）
A.
B.
C.
D.
）6的二项展开式中，常数项等于 ___ ．（用数字作答）
11.（填空题，4分）在（x- 2
x
-y2=1，则其焦点到渐近线的距离为___ ．12.（填空题，4分）已知双曲线标准方程为x2
3
13.（填空题，4分）已知平面α，β，γ．给出下列三个论断：① α⊥β；② α⊥γ；③ β || γ．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___ ．
，底面是边长为√3 14.（填空题，4分）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为9
4
的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成的角的大小为___ ．
15.（填空题，4分）已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M为FN的中点，则|FN|=___ ．
16.（问答题，7分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=-x2+1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程．
17.（问答题，7分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD 的中点．求证：
（1）直线EF || 面ACD；
（2）平面EFC⊥面BCD．
18.（问答题，7分）已知△ABC的三个顶点是A（1，1），B（-1，3），C（3，4）．（1）求BC边的高所在直线l1的方程；
（2）若直线l2过C点，且A、B到直线l2的距离相等，求直线l2的方程．
19.（问答题，9分）已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，CD⊥平面PAD，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小．
20.（问答题，10分）已知椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦点为F（1，0），离心率为
√2
2
．直线l过点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（Ⅲ）延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜率．。