用几何方法解决向量中的最值问题

合集下载

与平面向量有关的最值、范围问题的求解策略

与平面向量有关的最值、范围问题的求解策略ʏ罗良平与平面向量有关的最值㊁范围问题是高中数学的一个难点,也是高考的一个热点㊂下面就常见的求解策略,进行举例分析,供大家学习与参考㊂策略一:利用一次函数的性质例1 如图1,在矩形A B C D 中,A B =2B C =2,A C 与B D 的交点为M ,N 为边A B上任意点(包含端点),则M B ң㊃D N ң的最大值为㊂图1解:以A 为坐标原点,向量A B ң,A D ң的方向为x 轴,y 轴的正方向,建立平面直角坐标系x A y (如图1),则点M 1,12,B (2,0),D (0,1)㊂设点N (m ,0),0ɤm ɤ2,则M B ң=1,-12,D N ң=(m ,-1),所以M B ң㊃D Nң=m +12㊂因为0ɤm ɤ2,所以12ɤM B ң㊃D N ңɤ52,所以M B ң㊃D N ң的最大值为52㊂一次函数y =k x +b (k ʂ),当k >0时,为单调递增函数;当k <0时,为单调递减函数㊂策略二:利用二次函数的性质例2 如图2,在平行四边形A B C D 中,A B =4,A D =2,A B ң㊃A D ң=42,点P 在边C D 上,则P A ң㊃P B ң的取值范围是( )㊂图2A.-1,8 B .-1,4+2C .-2,4+42D .-2,0 解:作D O ʅA B ,垂足为O ㊂以点O 为坐标原点,O B ,O D 所在直线为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系x O y (如图2)㊂因为c o s øB A D =A B ң㊃A DңA B ң㊃A Dң=424ˑ2=22,所以øB A D =π4㊂在R tәA O D 中,因为øB A D =π4,A D =2,所以O D =O A =2,O B =4-2,所以点A (-2,0),B (4-2,0)㊂设点P (x ,2),0ɤx ɤ4,则P A ң=(-2-x ,-2),P B ң=(4-2-x ,-2),所以P A ң㊃P B ң=(-2-x )(4-2-x )+(-2)ˑ(-2)=x 2+(22-4)x +4-42㊂因为二次函数y =x 2+(22-4)x +4-42的图像的开口向上,对称轴为x =2-2,且0ɤx ɤ4,所以当x =2-2时,P A ң㊃P B ң取得最小值-2,当x =4时,P A ң㊃P B ң取得最大值4+42㊂故P A ң㊃P B ң的取值范围是[-2,4+42]㊂应选C ㊂坐标法是求解这类问题的常用方法,建立坐标系的关键在于巧㊂求二次函数的最值问题,应注意二次项系数的符号㊂策略三:利用三角函数的性质例3 如图3,已知边长为1的正方形A B C D 位于第一象限,且顶点A ,D 分别在x 轴,y 轴的正半轴上(含原点O )滑动,则O B ң+O C ң的最大值是()㊂图3A.5 B .2 C .3 D .1031知识结构与拓展高一数学 2023年7 8月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解:当A 与O 重合时,B (1,0),C (1,1),此时O B ң+O C ң=(2,1),所以|O B ң+O C ң|=5㊂当A 与O 不重合时,设øO A D =θ,0ɤθɤπ2㊂因为A D =1,所以O A =c o s θ,O D =s i n θ,所以点Bc o s θ+c o s π2-θ,s i nπ2-θ,C (s i n θ,s i n θ+c o s θ)㊂所以O B ң=(c o s θ+s i n θ,c o s θ),O C ң=(s i n θ,s i n θ+c o s θ)㊂所以O B ң+O C ң=(2s i n θ+c o s θ,s i n θ+2c o s θ),所以O B ң+O Cң=(2s i n θ+c o s θ)2+(s i n θ+2c o s θ)2=5+4s i n 2θ,所以当2θ=π2,即θ=π4时,O B ң+O C ң取得最大值3㊂综上可知,O B ң+O C ң的最大值为3㊂应选C ㊂若x 为三角形的内角,则y =si n x 在0,π2上单调递增,在π2,π上单调递减㊂策略四:利用向量共线例4 如图4,单位圆O :x 2+y 2=1上有两定点A (1,0),B (0,1)及两动点C ,D ,且O C ң㊃O D ң=12,则C A ң㊃C B ң+D A ң㊃D B ң的最大值是( )㊂图4A.2+6B .2+23C .6-2D .23-2解:设A B 的中点为E ,C D 的中点为F ,则O A ң+O B ң=2O E ң,O C ң+O D ң=2O F ң㊂由O C ң㊃O D ң=12,可得O C ң㊃O D ңc o søC O D =c o s øC O D =12,所以øC O D =π3,所以әO C D 为等边三角形,所以O F =32㊂由题设可得,O E =22㊂C A ң㊃C B ң+D A ң㊃D B ң=O A ң-O Cң㊃O B ң-O C ң+O A ң-O D ң㊃O B ң-O D ң=2O A ң㊃O B ң+O C ң2+O D ң2-O A ң+O Bң㊃O C ң+O D ң =-4O E ң㊃O F ң+2㊂所以当O E ң,O F ң的方向相反时,-4O E ң㊃O F ң+2有最大值为-4O E ң㊃O Fңco s π+2=4ˑ22ˑ32+2=2+6,即C A ң㊃C B ң+D A ң㊃D B ң的最大值是2+6㊂应选A ㊂向量共线,有方向相同和方向相反两种情况,方向相同时,其夹角为0ʎ;方向相反时,其夹角为180ʎ㊂平面向量a ,b 满足a =3b ,且a -b =4,则a 与a -b 夹角的正弦的最大值为㊂提示:如图5所示,设a =O A ң,b =O B ң,则a -b =B A ң㊂图5设b =m ,则a =3m ,m >0㊂由余弦定理得c o s øO A B =9m 2+16-m 224m =m3+23mȡ2m 3ˑ23m =223,当且仅当m =2时等号成立㊂因为<a ,a -b >=øO A B ɪ0,π2 ,所以当c o søO A B 最小时,s i nøO A B 最大㊂故a 与a -b 夹角的正弦的最大值为1-c o s 2øD A B =13㊂作者单位:重庆市巫山中学(责任编辑郭正华)41 知识结构与拓展高一数学 2023年7 8月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

最全归纳平面向量中的范围与最值问题 (十大题型)(学生版)

最全归纳平面向量中的范围与最值问题目录题型一：三角不等式题型二：定义法题型三：基底法题型四：几何意义法题型五：坐标法题型六：极化恒等式题型七：矩形大法题型八：等和线题型九：平行四边形大法题型十：向量对角线定理方法技巧总结技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：(1)定义法第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步：得出结论(2)坐标法第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步：将平面向量的运算坐标化第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解(3)基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论(4)几何意义法第一步：先确定向量所表达的点的轨迹第二步：根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果技巧二．极化恒等式(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a|2+|b |2)证明：不妨设AB =a ,AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -bAC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2①DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2②①②两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2=2AB 2+AD 2 (2)极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b 2-a -b 2----极化恒等式①平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．②三角形模式：a ⋅b =AM 2-14DB 2(M 为BD 的中点)技巧三．矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：OA 2+OC 2=OB 2+OD 2．【证明】(坐标法)设AB =a ,AD =b ，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ，则B (a ,0),D (0,b ),C (a ,b )，设O (x ,y )，则OA 2+OC 2=(x 2+y 2)+[(x -a )2+(y -b )2]OB 2+OD 2=[(x -a )2+y 2]+[x 2+(y -b )2]∴OA 2+OC 2=OB 2+OD 2技巧四．等和线(1)平面向量共线定理已知OA =λOB +μOC ，若λ+μ=1，则A ,B ,C 三点共线；反之亦然．(2)等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ，OP =λOA +μOB(λ,μ∈R )，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．①当等和线恰为直线AB 时，k =1；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；③当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；④当等和线过O 点时，k =0；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；技巧五．平行四边形大法1.中线长定理2AO 2=AB 2+AD 2-12DB 22.P 为空间中任意一点，由中线长定理得：2PO 2=PA 2+PC 2-12AC 22PO 2=PD 2+PB 2-12DB 2两式相减：PA 2+PC 2-PD 2+PB 2=AC2-BD 22=2AB ⋅AD技巧六．向量对角线定理AC ⋅BD =(AD 2+BC 2)-(AB 2+CD2)2必考题型归纳题型一:三角不等式1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ,b ,c 满足|a |=2,|b |=1,|c -a -b |=1，若对任意c ，(c -a )2+(c-b )2≤11恒成立，则a ⋅b 的取值范围是.2(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：|a|=1,b ⋅a =-1，若对满足条件的任意向量b ，|c -b |≥|c -a |恒成立，则cos c +a ,a 的最小值是．3已知向量a ,b ,c 满足a =b =c =2，a ⋅b =0，若关于t 的方程ta +b2-c=12有解，记向量a ,c 的夹角为θ，则sin θ的取值范围是.1.已知e 1 ,e 2 ,e 3 是平面向量，且e 1 ,e 2 是互相垂直的单位向量，若对任意λ∈R 均有e 3 +λe 1的最小值为e 3 -e 2 ，则e 1 +3e 2 -e 3 +e 3-e 2 的最小值为．2.已知平面向量e 1 ,e 2 满足2e 2 -e 1 =2，设a =e 1 +4e 2 ,b =e 1 +e 2 ，若1≤a ⋅b ≤2，则|a|的取值范围为．3.(2023·浙江金华·统考一模)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =74，|a -b|=3，(a -c )(b -c )=-2，则c的取值范围是．1已知向量a ，b 的夹角为π3，且a ⋅b =3，向量c 满足c =λa +1-λ b 0<λ<1 ，且a ⋅c =b ⋅c ，记x =c ⋅aa ，y =c ⋅b b，则x 2+y 2-xy 的最大值为.2(2023·四川成都·高二校联考期中)已知向量a ，b ，c 满足a =1，b=2，a ⋅b=-1，向量c -a 与向量c -b 的夹角为π4，则c 的最大值为．3(2023·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知向量a ，b 满足a =1，b=3，且a ⊥b ，若向量c 满足c -a -b =2a -b ，则c的最大值是．1.已知向量a ，b 满足a =1，b =3，且a ⋅b =-32，若向量a -c 与b -c 的夹角为30°，则|c |的最大值是. 2.已知向量a ，b ，满足a =2b =3c =6，若以向量a ，b 为基底，将向量c 表示成c =λa+μb (λ，μ为实数)，都有λ+μ ≤1，则a ⋅b的最小值为 3.已知向量a 、b 满足：a -b=4，a =2b .设a -b 与a +b 的夹角为θ，则sin θ的最大值为.1.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E ，F 分在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF=μDC ．若λ+μ=23，则AE ⋅AF 的最小值为．2.(2023·天津·高三校联考阶段练习)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E 、F 分别在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF =μDC ，若2λ+μ=52，则AE ⋅AF 的最小值．3.如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为．4.菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AB ⋅AN的最大值为．5.如图，菱形ABCD 的边长为4,∠BAD =60°,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为.6.平面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且∠A =120°，点N 是DC 边上的点，且DN =3NC，点M 是四边形ABCD 内或边界上的一个动点，则AM ⋅AN的最大值为.7.(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足a +b =3，a ⋅b =0．若c =λa+1-λ b ，且c ⋅a =c ⋅b，则c 的最大值为．8.已知平面向量a ，b ，c 满足a =2，b =1，a ⋅b =-1，且a -c 与b -c 的夹角为π4，则c 的最大值为．9.已知平面向量a 、b 、c 满足a=4，b =3，c =2，b ⋅c =3，则a -b 2a -c 2-a -b⋅a -c 2最大值为.10.在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，且满足AN =λAB +μAC，则λ2+μ2的最小值为.题型四:几何意义法1(2023·全国·模拟预测)已知a ，b ，c 是平面向量，满足a -b =a +b ，a =2b =2，c +a -b=5，则向量c 在向量a上的投影的数量的最小值是.2(2023·上海浦东新·上海市建平中学校考三模)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π4，c -a与c -b 的夹角为3π4，a -b=2，c -b =1，则b ⋅c 的取值范围是.3(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b 夹角为π3，且平面向量c 满足c -a =c -b =1,c -a ⋅c -b =-12,记m 为f t =ta +1-t b (t ∈R )的最小值，则m 的最大值是． 1.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =-3，a -b=4，c -a 与c -b 的夹角为π3，则c -a -b 的最大值为． 2.(2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π3，c -a 与c -b的夹角为2π3，a -b =23，c -b =2，则b ⋅c 的取值范围是．3.已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =2，且(c -a )⋅(c -b )=0，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π6,π3，则|c |的最大值是.4.(2023·全国·高三专题练习)平面向量a ,b ,c 满足：a ,b 的夹角为π3，|a -b|=|b -c |=|a -c |=23，则b ⋅c的最大值为. 5.(2023·广东阳江·高二统考期中)已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =4，且a -c⋅b -c =-1，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π3,π2，则c 的模取值范围是. 6.(2023·浙江·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c ，若a =b =a -b =1，且2a -c+2b +c =23，则a -c的取值范围是.7.(2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末)已知向量a ，b 满足a =b =1，且a ⋅b=0，若向量c 满足c +a +b=1，则c 的最大值为.8.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b ，c 满足a -b +c=2b =2，b -a 与a 的夹角为3π4，则c 的最大值为．9.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：a -b =5，向量a与向量b 的夹角为π3，a -c=23，向量a -c 与向量b -c 的夹角为2π3，则a 2+c 2的最大值为.题型五:坐标法1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足2a +b=3，b =1，则a +2a +b 的最大值为.2(2023·江苏常州·高三统考期中)已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=2，|b |=4，a ，b 的夹角为π3，且(a -c )⋅(b -c )=2，则|c |的最大值是.3设平面向量a ，b ，c 满足a =b =2，a 与b 的夹角为2π3，a -c ⋅b -c =0则c 的最大值为．1.(2023·安徽滁州·校考三模)已知平面向量a ，b ，c 满足|a|=1，|b |=3，a ⋅b =0，c -a 与c -b 的夹角是π6，则c ⋅b -a 的最大值为.2.(2023·河北·统考模拟预测)如图，在边长为2的正方形ABCD 中．以C 为圆心，1为半径的圆分别交CD ，BC 于点E ，F ．当点P 在劣弧EF 上运动时，BP ⋅DP的最小值为．3.(2023·山东·山东省实验中学校考一模)若平面向量a ，b ，c 满足a =1，b ⋅c =0，a ⋅b =1，a⋅c=-1，则b +c 的最小值为．4.(2023·四川眉山·仁寿一中校考一模)如图，在平面四边形ABCD 中，∠CDA =∠CBA =90°，∠BAD =120°，AB =AD =1，若点E 为CD 边上的动点，则AE ⋅BE的最小值为．5.(2023·安徽滁州·校考模拟预测)已知a=1，b +a +b -a =4，则b -14a 的最小值是.6.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b 满足a=3，且b -λa 的最小值为1(λ为实数)，记a,b =α，a ,a -b=β，则b ⋅b -a cos α+β最大值为.7.在矩形ABCD 中，AB =4，AD =3，M ，N 分别是AB ，AD 上的动点，且满足2AM +AN =1，设AC =xAM +yAN ，则2x +3y 的最小值为()A.48B.49C.50D.51题型六:极化恒等式1(2023·山东师范大学附中模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是．2(2023·湖北省仙桃中学模拟预测)如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，AD =4，AB =83，BC =12，则BE ⋅BF的取值范围为． 3(2023·陕西榆林·三模)四边形ABCD 为菱形，∠BAC =30°，AB =6，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA ⋅PC的最小值为． 1.(2023·福建莆田·模拟预测)已知P 是边长为4的正三角形ABC 所在平面内一点，且AP=λAB +(2-2λ)AC (λ∈R )，则PA ⋅PC 的最小值为()A.16B.12C.5D.42.(2023·重庆八中模拟预测)△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =5，PQ 为△ABC 内切圆的一条直径，M 为△ABC 边上的动点，则MP ⋅MQ的取值范围为()A.0,4B.1,4C.0,9D.1,9题型七:矩形大法1已知圆C 1:x 2+y 2=9与C 2:x 2+y 2=36，定点P (2,0)，A 、B 分别在圆C 1和圆C 2上，满足PA ⊥PB ，则线段AB 的取值范围是．2在平面内，已知AB 1 ⊥AB 2 ，OB 1 =OB 2 =1，AP =AB 1 +AB 2 ，若|OP |<12，则|OA |的取值范围是()A.0,52B.52,72C.52,2D.72,23(2023·全国·高三专题练习)已知圆Q :x 2+y 2=16，点P 1,2 ，M 、N 为圆O 上两个不同的点，且PM⋅PN =0若PQ =PM +PN ，则PQ的最小值为．1.设向量a ，b ，c满足|a |=|b |=1，a ⋅b =12，(a -c )⋅(b -c )=0，则|c |的最小值是()A.3+12B.3-12C.3D.1题型八:等和线1如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP =xAB +yAC，则2x +2y 的最大值为()A.83B.2C.43D.12在△ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN =λAB +μAC(λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是()A.0,13B.13,12C.[0,1]D.[1,2]3(2023·全国·高三专题练习)如图,OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且OP =xOA +yOB .当x =-12时，y 的取值范围是()A.0，+∞ B.12，32C.12，+∞ D.-12，321.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一动点，若OC=xOA +yOB，则3x +y 的取值范围是．2.(2023·江西上饶·统考三模)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一个动点.若OC=xOA +yOB ，则2x +y 的取值范围是.3.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，OA =1，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB ，则x +3y 的取值范围是.4.(2023·福建三明·高二三明一中校考开学考试)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB，则x +4y 的取值范围是.5.(2023·全国·高三专题练习)如图，OM ⎳AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且OP =xOA +yOB，则实数对x ,y 可以是()A.-14,34B.-15,75C.14,-12D.-23,236.如图，B 是AC 的中点，BE =2OB ，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且OP=xOA +yOBx ,y ∈R ，则下列结论正确的个数为()①当x =0时，y ∈2,3②当P 是线段CE 的中点时，x =-12，y =52③若x +y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段④x -y 的最大值为-1A.1B.2C.3D.47.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =AC=AB ⋅AC=2，点Q 在线段BC (含端点)上运动，点P 是以Q 为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若AP =λAB +μAC，则λ+μ的最大值为()A.1B.33C.3+33D.328.在△ABC 中，AD 为BC 上的中线，G 为AD 的中点，M ，N 分别为线段AB ，AC 上的动点(不包括端点A ，B ，C )，且M ，N ，G 三点共线，若AM =λAB ，AN =μAC，则λ+4μ的最小值为()A.32 B.52C.2D.949.(2023·全国·高三专题练习)在ΔABC 中，AC =2,AB =2,∠BAC =120°,AE =λAB ,AF=μAC ，M 为线段EF 的中点，若AM=1，则λ+μ的最大值为()A.73B.273C.2D.21310.在扇形OAB 中，∠AOB =60o ，OA =1，C 为弧AB 上的一个动点，且OC =xOA +yOB．则x +4y 的取值范围为()A.[1,4)B.[1,4]C.[2,3)D.[2,3]11.(2023·全国·高三专题练习)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =600，C 为弧AB 上且与A ,B 不重合的一个动点，且OC =xOA +yOB，若u =x +λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为()A.(1,3)B.13,3C.12,1D.12,2题型九:平行四边形大法1如图，圆O 是半径为1的圆，OA =12，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC ⋅BC 的取值范围是.2如图，C ，D 在半径为1的⊙O 上，线段AB 是⊙O 的直径，则AC ⋅BD的取值范围是.3(2023·浙江·模拟预测)已知e 为单位向量，平面向量a ，b 满足|a +e |=|b -e |=1，a ⋅b的取值范围是.1.(2023·江西宜春·校联考模拟预测)半径为1的两圆M 和圆O 外切于点P ，点C 是圆M 上一点，点B 是圆O 上一点，则PC ⋅PB的取值范围为.2.(2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习)设圆M ，圆N 的半径分别为1，2，且两圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M ，圆N 上的两动点，则PA ⋅PB的取值范围是()A.-8,12B.-16,34C.-8,1D.-16,1题型十:向量对角线定理1已知平行四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交于点O ，若记a =OA⋅OB ，b =OB ⋅OC ，c =OC ⋅OD ，则()A.a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <a <c2如图，在圆O 中，若弦AB =3，弦AC =5，则AO ⋅BC的值是()A.-8B ．-1C ．1D ．83如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BC 若，AB =a ，AD =b ，则AC ⋅BD 等于()A.b 2-a 2B.a 2-b 2C.a 2+b 2D.a 2⋅b 2。

挖掘“隐圆”巧解向量最值问题

挖掘隐圆巧解向量最值问题陈存勤(江苏省启东中学ꎬ江苏启东２２６２００)摘㊀要:向量最值问题往往隐藏着圆的背景ꎬ设法让隐圆显现ꎬ便可轻松破解这一类向量最值问题.关键词:向量ꎻ最值问题ꎻ圆中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３０－０００２－０３收稿日期:２０２３－０７－２５作者简介:陈存勤(１９８２.１－)ꎬ男ꎬ江苏省泰州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀高考试题或者模拟试题中ꎬ经常出现考查向量最值的问题ꎬ这类题目难度较大ꎬ常常找不到解题的切入点ꎬ或者运算量过大.那么ꎬ如何解决这一类问题呢?这类试题往往隐藏着圆的背景ꎬ如果我们能够通过分析已知条件ꎬ或者将其进行转化ꎬ把题目中隐藏的圆揭示出来ꎬ然后ꎬ在此基础上ꎬ利用圆中的特殊线或者特殊位置ꎬ就可以帮助我们解决这类试题[１].１建立坐标系找出隐圆例１㊀(２０２２年天津卷)在әＡＢＣ中ꎬＣＡң＝ａꎬＣＢң＝ｂꎬＤ是ＡＣ中点ꎬＣＢң＝２ＢＥңꎬ试用ａꎬｂ表示ＤＥң为ꎬ若ＡＢңʅＤＥңꎬ则øＡＣＢ的最大值为.解析㊀根据题意ꎬ如图１所示建立坐标系.设Ｅ(０ꎬ０)ꎬＢ(１ꎬ０)ꎬＣ(３ꎬ０)ꎬＡ(ｘꎬｙ)ꎬ则ＤＥң＝(－ｘ＋３２ꎬ－ｙ２)ꎬＡＢң＝(１－ｘꎬ－ｙ)ꎬ图１㊀Ａ的轨迹为圆由ＤＥңʅＡＢң⇒(ｘ＋３２)(ｘ－１)＋ｙ２２＝０⇒(ｘ＋１)２＋ｙ２＝４.所以点Ａ的轨迹是以Ｍ(－１ꎬ０)为圆心ꎬ以ｒ＝２为半径的圆ꎬ当且仅当ＣＡ与☉Ｍ相切时øＡＣＢ最大ꎬ此时ｓｉｎøＡＣＢ＝ｒＣＭ＝２４＝１２ꎬøＡＣＢ＝π６.点评㊀本题通过建立坐标系ꎬ发现点Ａ的轨迹是圆ꎬ而且圆心是在直线ＢＣ上ꎬ然后根据圆的几何性质即可得解ꎬ直观㊁形象.例２㊀已知平面向量ａꎬｂꎬｃ满足ａʅｂꎬ且｜ａ｜＝｜ｂ｜＝２ꎬ｜ｃ－ａ－ｂ｜＝１ꎬ则｜ｃ－ａ｜＋２｜ｃ－ｂ｜的最小值为(㊀㊀).Ａ.１５２㊀㊀Ｂ.１５㊀㊀Ｃ.１７２㊀㊀Ｄ.１７解析㊀选Ｄ.如图２所示建立直角坐标系ꎬ设ＯＡң＝ａ＝２ꎬ０()ꎬＯＢң＝ｂ＝０ꎬ２()ꎬＯＣң＝ｃ＝ｘꎬｙ()ꎬ则ｃ－ａ＝ｘ－２ꎬｙ()＝ＡＣңꎬｃ－ａ－ｂ＝ｘ－２ꎬｙ－２()ꎬｃ－ｂ＝ｘꎬｙ－２()＝ＢＣң.由｜ｃ－ａ－ｂ｜＝１得ｘ－２()２＋ｙ－２()２＝１ꎬ故Ｃ在以Ｄ２ꎬ２()为圆心ꎬ半径为１的圆上ꎬ取２Ｅ２ꎬ３２æèçöø÷ꎬ则Ｅ在ＡＤ上ꎬ则ＤＥＤＣ＝ＤＣＤＡ＝１２ꎬ又øＣＤＥ＝øＡＤＣꎬʑәＥＣＤʐәＣＤＡꎬʑＥＣＡＣ＝１２ꎬ即ＡＣ＝２ＥＣ.因为｜ｃ－ａ｜＋２｜ｃ－ｂ｜＝ＡＣ＋２ＢＣ＝２ＥＣ＋ＢＣ()ȡ２ＥＢ＝２２－０()２＋３２－２æèçöø÷２＝１７.图２㊀动点Ｃ在圆上点评㊀建立坐标系后ꎬ发现点Ｃ的轨迹方程是圆ꎬ利用三角形的相似及两点之间直线段最短ꎬ即可获解.２根据向量模长找出隐圆例３㊀(２０１６年陕西省数学竞赛)已知ａꎬｂꎬｃ是同一平面内的三个单位向量ꎬ且ａʅｂꎬ则(ｃ－ａ) (ｃ－ｂ)的最大值是(㊀㊀).Ａ.１＋２㊀Ｂ.１－２㊀Ｃ.２－１㊀Ｄ.１解析㊀选Ａ.如图３所示ꎬ设ＡꎬＢꎬＣ为单位圆上的三点ꎬＯＡң＝ａꎬＯＢң＝ｂꎬＯＣң＝ｃꎬＭ为线段ＡＢ中点ꎬ则有ＯＡңʅＯＢң.所以(ｃ－ａ) (ｃ－ｂ)＝ＡＣң ＢＣң＝ＣＡң ＣＢң＝ＣＭң２－ＭＢң２＝ＣＭң２－(２２)２ɤ(１＋２２)２－１２＝１＋２.图３㊀单位圆点评㊀遇到共起点向量的数量积的最值问题ꎬ可考虑使用极化恒等式来处理ꎬ如图３所示ꎬ有ＣＡң ＣＢң＝１４[(ＣＡң＋ＣＢң)２－(ＣＡң－ＣＢң)２]＝１４(４ＣＭң２－ＢＡң２)＝ＣＭң２－ＭＢң２.例４㊀已知平面向量ａꎬｂꎬｃ满足ａ－ｂ＝４ꎬａ－ｃ() ｂ－ｃ()＝－３ꎬ则ｃａ＋ｂ()的最小值为(㊀㊀).Ａ.１４㊀㊀Ｂ.１２㊀㊀Ｃ.－１４㊀㊀Ｄ.－１２解析㊀选Ｄ.令ａ＝ＯＡңꎬｂ＝ＯＢңꎬｃ＝ＯＣңꎬ则ＢＡң＝４ꎬＣＡң ＣＢң＝－３.如图４所示ꎬ取ＡＢ中点Ｍꎬ则ＣＡң ＣＢң＝ＣＭң２－ＡＭң２＝ＣＭң２－４＝－３ꎬ则ＣＭң＝１ꎬ所以点Ｃ的轨迹是以Ｍ为圆心ꎬ１为半径的圆ꎬ取ＣＭ中点Ｎꎬ则ｃａ＋ｂ()＝ＯＣң ２ＯＭң＝２(ＯＮң２－ＣＮң２)＝２ＯＮң２－１４æèçöø÷ȡ－１２.当且仅当ＯＮң＝０ꎬ即点Ｏ与点Ｎ重合时ꎬ取到最小值－１２.图４㊀Ｃ的轨迹为圆点评㊀由题意可知ＢＡң＝４ꎬ为定值ꎻ而ＣＡң ＣＢң＝－３属于共起点向量的数量积问题ꎬ考虑使用极化恒等式处理.取ＡＢ中点Ｍꎬ则ＣＡң ＣＢң＝ＣＭң２－ＡＭң２＝ＣＭң２－４＝－３ꎬ则ＣＭң＝１ꎬ即点Ｃ的轨迹是圆.３根据几何特征找出隐圆例５㊀(２０２２年南京大学强基计划)已知向量ａꎬｂꎬｃ满足ａ＝３ꎬｂ＝２㊀２ꎬａｂ＝６ꎬ且(ａ＋ｃ)(ｂ＋２ｃ)＝０ꎬ则ｂ＋ｃ的最小值为.解析㊀设ＯＡң＝－ａꎬＯＢң＝－ｂꎬＯＣң＝ｃꎬＤ为ＯＢ３图５㊀以ＡＤ为直径的圆的中点ꎬ由题意得(ｃ－(－ａ)) (ｃ－(－ｂ２))＝０ꎬ即ＡＣң ＤＣң＝０.因此点Ｃ是在以ＡＤ为直径的圆上ꎬ如图５所示ꎬ所以ｂ＋ｃ＝ｂ－(－ｃ)的最小值即为ＣＢң的最小值.设Ｅ为ＡＤ的中点ꎬ由于点Ｂ是定点ꎬＣ是圆上的动点ꎬ所以当ＢꎬＣꎬＥ三点共线时ꎬＣＢң取得最小值.利用余弦定理ꎬ可求得ＡＤ＝５ꎬＤＥ＝５２ꎬＢＥ＝３２ꎬ所以ＣＢң取得最小值为３－５２ꎬ即ｂ＋ｃ的最小值为３－５２.点评㊀通过简单转化后ꎬ得到ＡＣң ＤＣң＝０ꎬ可知点Ｃ是在以ＡＤ为直径的圆上.遇到垂直关系ꎬ可考虑找出其隐圆 (也称直径圆)ꎬ然后利用圆的几何性质即可.例６㊀(２０１８年浙江卷)已知ａꎬｂꎬｅ是平面向量ꎬｅ是单位向量.若非零向量ａ与ｅ的夹角为π３ꎬ向量ｂ满足ｂ２－４ｅｂ＋３＝０ꎬ则ａ－ｂ的最小值是(㊀㊀).Ａ.３－１㊀Ｂ.３＋１㊀㊀Ｃ.２㊀Ｄ.２－３解析㊀由ｂ２－４ｅｂ＋３＝０得ｂ２－４ｅｂ＋３ｅ２＝０⇒ｂ－ｅ() ｂ－３ｅ()＝０即ｂ－ｅ()ʅｂ－３ｅ().由此可找出隐圆 ꎬ如图６所示.图６㊀Ｂ的轨迹为圆几何动态意义:ｂ的终点在半径为１的圆上运动ꎬａ的终点在射线ＯＰ上运动ꎬ直接找出临界(垂线段最短)ꎬ所以ａ－ｂ的最小值为点Ｆ到射线ＯＰ的距离减去１ꎬ即ａ－ｂｍｉｎ＝２ｓｉｎπ３－１＝３－１.点评㊀本题关键是根据ｅ是单位向量ꎬ把ｂ２－４ｅｂ＋３＝０得转化为ｂ２－４ｅｂ＋３ｅ２＝０ꎬ从而得到ｂ－ｅ()ʅｂ－３ｅ()ꎬ即可找出隐圆 .例７㊀已知平面向量ａꎬｂꎬｃꎬ满足ａ＝ｂ＝２ꎬａꎬｂ的夹角为π３ꎬ且ｃ２－２ａｃ＋３＝０ꎬ则对一切实数ｘꎬｘａ＋ｂ－ｃ的最小值是[２].解析㊀设ＯＡң＝ａꎬＯＢң＝ｂꎬＯＣң＝ｃꎬｃ２－２ａｃ＋３＝０⇒ｃ２－２ａｃ＋４＝１＝ｃ－ａ()２⇒ｃ－ａ＝１ꎬ如图８所示ꎬ点Ｃ位于以Ａ为圆心ꎬ半径为１的圆上ꎬｘａ＋ｂ表示起点在点Ｏꎬ终点Ｍ在过点Ｂ且与直线ＯＡ平行的直线ｌ上.当ＭꎬＨ重合时ꎬｘａ＋ｂ－ｃ取最小值ＣＨ.由图７可知ＣＨȡＡＨ－ＣＡ＝２ｓｉｎπ３－ＣＡ＝３－１ꎬ故ｘａ＋ｂ－ｃ的最小值为３－１.图７㊀Ｃ轨迹为圆点评㊀根据ａ＝２ꎬ把ｃ２－２ａｃ＋３＝０转为为ｃ２－２ａｃ＋ａ２＝１ꎬ即(ｃ－ａ)２＝１ꎬｃ－ａ＝１ꎬ故点Ｃ位于以Ａ为圆心ꎬ半径为１的圆上ꎬ从而找出隐圆 .解决这类向量最值问题的策略就是利用坐标法或者几何法得到动点的轨迹方程(即圆)ꎬ再根据圆的几何性质求出向量数量积的最值.参考文献:[１]孔繁晶.挖掘几何意义巧解平面向量数量积问题[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２１(２５):６－７.[２]傅树兵.例析高中数学与圆有关的最值问题[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２３(０１):４４－４６.[责任编辑:李㊀璟]４。

数形结合思想——构建几何模型解决最值问题(第一课时)

数形结合思想——构建几何模型解决最值问题（第一课时）教学内容分析数形结合思想是高中数学中的一个重要的思想，它作为一种思维策略，或者说作为一种模型化方法，一直是考试的热点，重点。

为了强化重点，突出热点，提高学生的解题速度和分析问题解决问题的能力，在高三第二轮复习最后的专题复习中安排了数形结合专题，我把它分成两大块，第一块讲解“构建几何模型解决有关数学问题”，它分两个课时，第一课时利用斜率公式模型和距离公式模型求最值问题，第二课时利用单位圆模型、复数向量模型、函数模型解数学问题。

第二块讲解“数形结合思想的分类解题技巧”它又分多个课时，分别解决数形结合思想在集合问题、函数问题、方程问题、不等式问题、三角问题、几何问题、解析几何问题、极值问题、复数和向量问题、导数的几何意义问题中的应用。

本教学设计是第一块的第一课时：利用斜率公式模型和距离公式模型求最值问题。

这是系统讲解数形结合思想的第一节课，它为第二节课讲解提供了一种类比，为第二块内容讲解作铺垫。

学生学习情况分析学生基础并不太好，但经过第一轮的系统复习，对基础知识有了一定的掌握，并且在知识教学的同时渗透了数学思想的教学，又通过第二轮的知识点的专题复习，我想对数学知识进行更高层次的抽象和概括应当是顺理成章，水到渠成的事情。

但学生对数形结合的理解还比较浅显，渗透数形结合的知识点不是很明确，数形转换特别是数转形的能力较差，更重要的是运用数形结合思想方法的意识还有待强化。

设计思想整堂课采取启发式教学，通过典型例题引路，逐步展开变式教学，并利用多媒体软件——几何画板进行动态演示，使抽象变得直观，思想变得可视，难点轻松化解。

教学流程如下：教学目标掌握两种几何模型用数形结合思想求最值。

培养思维品质，强化数形结合意识。

教学重点、难点重点是用数形结合求最值，学生见“数”想形，以“形”助“数”，用“数”解“形”难点是代数式与几何意义的转换教学支持条件几何画板课件教学过程一、引入——整体把握数形结合思想师：“数”与“形”是数学研究的两个侧面，同学们请看大屏幕（显示：下面这些数、代数式、方程、文字对应的“形”是什么？（1）2012 （2）|x-2| （3）y=3x+2 （4）y 2 =2x （5）ρ=1 （6）x+y+1>0 （7）()212121y y x xx x -≠-（8 （9 （10） AB（11）三角形ABC （12）正四面体生：它们依次为：数轴上的点，数轴上两点的距离，直线，抛物线，圆，直线的一侧，两点连线的斜率，平面上两点间的距离，点到直线的距离，有向线段，平面几何图形，立体几何图形。

【向量专题】2.向量中最值(取值范围)问题解题策略

【向量专题】2.向量中最值（取值范围）问题解题策略
向量题目在高考题中除了最常见的简单运算外，还有另外一种有些难度的题目，即向量题目中的最值问题（取值范围问题），类似于其他专题，最值问题中千年不变的常见方法有利用三角函数有界性和不等式法，这次课除了这两种方法外再给出两种方法，常见的解决向量最值问题的方法有如下四种：、
向量专题中两类向量不等式。

（常被忽略）利用三角函数有界性来解，但是需要注意一下，三角函数有界性是在运算中出现正余弦的形式，所以当题目中出现了三角坐标时，又或者题目中出现了圆，椭圆，半圆的时候，如果需要设其上点的坐标，最好设成三角函数坐标的形式。

利用基本不等式解决最值问题。

利用几何图形法解决最值问题，特别需要注意在给定形状三角形内的情况。

向量中的最值来自曹老师的高中数学课00:00 29:46 注意接下来的转化：
用到了任意性注意这个结论：
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------。

向量数量积最值问题相关解题策略

数理化解题研究2021年第07期总第500期向量数量积最值问题相关解题策略贾磊(山东省新泰市新汶中学271219)摘要：向量数量积同时具有几何和代数的意义，因此平面向量是高中数学中重要的知识交汇部分，也是高考中较为热门的考点之一.本文以向量数量积求最值问题为例，从分解向量、向量几何化以及向量坐标化三方面，根据不同的问题情况进行分析，旨在提高学生的解题效率和能力.关键词：向量数量积；解题思路；方法探究中图分类号:G632 文献标识码：A 文章编号：1008 -0333(2021)07 -0024 -02—、向量数量积分解法向量数量积分解法具体是指利用向量的矢量性把单一的向量拆分为不同向量之和，进而求解得到问题答案的方法•分解法运用在求数量积最值问题中，可采取把动态变量分解为静态向量的思路，使问题转化为具体的不等向量运算关系式，使学生更快捷地解答有关问题.例1如图1所示,已知圆M : (%-3)2 + (y -3)2 —4,四边形 4B- CD 为圆M 的内接正方形,点E 是边4B 的中点，当正方形在圆内运动时，边长4D 上的一点F 也在运动，求m E ・0F 的最大值 .思考用数量积分解化求解图.图1该问题,首先要确定ME 和0F 向量分解的基础方向，找到模确定的基础向量0M 和MD ,再对问题所求ME ・乔进行分解，展开得到以而和MD 为基础的解析式后，找出满足最大值关系的情况即可求得最大值.解析由题意可得，圆内接正方形边长为22,0M —3 2 ,DM — 2.所以M -・ 0- — M -・(0- + MD + DF ) — ME ・ 0- + M -・ M - + M -・ D -.因为ME ・MD 长度为定值，且D - < —,所以 ME ・ 0- + M -・ DF - 2 W M -・ 0- +M -・ D - -2 — M -・ 0- + 2.因为M -与0-的夹角范围在［0,n ］中,所以ME ・0-+ 2W ME ・0- +2—8.故M -・0-的最大值为8.二、向量数量积几何法向量数量积几何法实际上是运用向量的几何意义进行求解，是把数量积转化为具体几何图形，根据特殊的几何状态求解得到相关最值的方法.向量数量积几何法可以运用在大多数向量求最值问题上，因此要熟练掌握该方法的具体运用.例2已知点Q 是圆%2 + y 2 —1上的动点，如图2,点 P 是直线Z ：y 二％ +3厲上的一点，点0为坐标原点，则 PQ ・而的最小值为____.思考由于问题属于双变量问题,可以考虑在几何图形上求解PQ ・p 0的最值•问题中点Q 、P 均在运动且独立，首先固定点P 进行分析，即P -确定，易知PQ ・P0最小值情况属于P 、0、Q 三点共线,随后移动点P ,可知-最小值位于0P 垂直直线/状态，由此可以得到问题所求最小值.解析假设点P 为定点，则P 、0、Q 三点共线时使得 PQ ・P -有最小值，即点Q 与点E 重合时，PQ ・P0 W0P ・P - — 0P ・(0- -1).当点P 运动，0P 与直线/垂直时,0P 绝对值最小，即PQ ・P - W 0- 2 -0P —32 -3 —6.所以p Q ・p 0的最小值为6.三、向量数量积坐标法向量数量积坐标法相较于其他两种方法而言,更加直观简洁•求解平面向量数量积最值问题时,主要通过坐标系的建立以及坐标的表示和运算对最值问题进行解答•坐标法因为快捷往往受到学生的“偏爱”,但值得注意的是，坐标系的选取和坐标的表示对解题有着关键作用,应该慎重考虑.例3单位圆上有4、B 两点满足Z 40B — 120°,点C 是圆上的动点,-—% - + y -,求% -2y 的最大值和最小值收稿日期：2020 -12 -05作者简介：贾磊(1981. 2 -)，男，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.—24—2021年第07期总第500期数理化解题研究思考运用几何或者分解方法求解问题都显得过于繁琐，可以尝试用坐标方法对问题进行简化•首先根据单位圆和其他各点之间的位置关系,对A 、B 、0三点进行坐标表示，其次用坐标表示和运算页、丽，由于点C 在单位圆上，根据单位圆的参'数方程为sin 2 0 + cos 2 0 - 1可得0C 的具体坐标，即把问题转化为有关三角函数最值的求解问题•解析如图3所示,建立直角坐标系%0y.由题意可得A (1,0)、B [ -),则况-% 01 + yO B -图 3%(1，0)+{-十書卜[-*y +% 厚y)因为点C 是单位圆上一动点，所以点C 用圆的参数方程可以表示为(cos 0,sin 0),则0C - (cos 0,sin 0).所以(cos 0,sin 0)-1-2 y + %fy [，即 v % - cos 0 + 晋sin 0y - 233 sin 0.-2cos [ 0 + n因为0+:E「n 4n "I所以% -2y e [ -2,2 ],即% -2y 的最大值是2,最小值是- 2.总之,坐标法、分解法和几何法都是求解向量数量积最值问题的常见解法，其中每种解法对应的解题思路都各不相同,具有各自的特点和解题时需要注意的地方•针对这些解题方法的应用,学生应该多思考、多练习、多总结.参考文献：[1 ]郑文龙.解决平面向量数量积最值问题的三种策略[J ].高中数学教与学,2017 (24) ：45 -47.[2 ]刘刚.破解圆中数量积最值问题的策略[J ].数理天地,2018(11) ：7 -9.[责任编辑:李璟]求圆锥曲线最值问题的三种思路张彩玲(安徽省砀山中学235300)摘要：关于圆锥曲线的最值问题，它所涉及的内容十分广泛，结合了三角、几何以及代数等知识，所需要掌握的解题技巧也非常多，在每年的高考中都会有所体现.考查学生对知识的掌握程度以及运用知识的思维能力、分析解决问题的能力.本文利用三角函数的有界性、圆锥曲线的定义和二次函数三种方法对圆锥曲线最值问题进行分析•关键词：圆锥曲线；最值;有界性；导数法;基本不等式中图分类号:G632 文献标识码：A 文章编号：1008 -0333(2021)07 -0025 -02一、利用三角函数的有界性三角函数的有界性是当% e R ,那么Isin % ^1,1 cos %W1,这就是三角函数的有界性,也是三角函数的重要性质之一，在求解圆锥曲线问题时,利用三角函数的有界性，通常能帮助我们将复杂问题简单化.例1已知圆的方程为%2 + y 2 -4% -10y +25 -0,该圆与直线I 相切，又与直线% -2,y -5构成面积最小的三角形,求直线I 的方程.分析将圆的方程转化为标准方程的形式：(%-2)2+ (y -5)2-4,先分别设出%'、y '的直线方程’得到新坐标系下圆的方程，再通过题目已知得到新坐标的原点为(0, 0).将切点设为(2cos 0,2sin 0),这样就可以得到切线方程，根据题目最小三角形面积得到S -令,最后通过三角函数的有界性可知0 -：时，三角形面积最小,最后就收稿日期：2020 -12 -05作者简介：张彩玲(1979. 1 -)，女，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.—25—。

运用向量处理解析几何最值问题

向量具有良好的运算性质和明晰的几何意义，利用向量知识来处理解析几何中的最
值问题．将会非常简捷。下面我们略举数例，以说明向量知识在探求解析几何最值中的独
特作用。
例１已知定点（１０和（，）尸圆（一）（一）４一动点，求ＭＩｌＩＩ一，）１０，是３ｙ４上＋＝试＝＋的最大值和最小值。
也相同）。于是，结合ｓ＋４，＝８即可求得当Ａ，两点的坐标分别为（／，／）再￡ｍｎ１，＝Ｂ、一、和
（、，、）或（、＿＿、）－、，３／），４３／３／，一／，／和（３／一、时ｄｒ。一Ｉ＝
，
＋１ｆＹ＝。与，ｏＹ
ｂ ‘
（ｆ
ｂ ‘
Ｏ
轴别交点。（）向ｍ丢）（，数积等分相于Ｐ，。芸构量（芸，詈ｙ利量不（）。。＝，咒，用ａ、，２＝ｏ）
式 ≥ ：（＋）（＋）＋≥ ‘等）ｌｌ得Ｑ丢（＝）芸］（詈。＝ｍｍｔ））＋詈ＩＰ［（（篑
ｌ葫 ≤Ｉ＋，３ ≤ ，ｆ． ≤Ｉ葫・．７从而有２ ≤“ ０。故Ｍ０ ≤１０的最大值为１０最小值为２。０，０
点评通过距离联想到向量模长，而构造向量，用向量运算及模长不等式一 ≤ 利
ｌｂ≤ｌｌｌ求出最值。ａｌａ＋ｌ＋ｂ

巧解平面向量最值问题

巧解平面向量最值问题
平面向量是高中数学的重要内容，是高考必考的内容之一，平面向量集数与形于一体，既有明显的几何特征又有典型的代数特点，是一种解决数学问题的重要工具。

近年来，平面向量最值问题经常出现高中各类考试中，此类问题题型多样，灵活性、综合性强，是学生学习的一个难点，深入研究此类问题的解法，有一定的实际意义。

下面，就平面向量最值问题的解法谈谈本人的看法：
1巧用图形，注重几何意义
本类型题主要是考查平面向量的加减法、向量的合成与分解、向量的模等问题，若能深入挖掘题中隐含条件，合理地进行转化，注重向量几何特征的应用，能方便快捷有效地解决问题。

合理构造向量对应的图形是解决本类问题的关键，应该说，数形结合的思想方法是解决向量问题最基本也是最常见的策略之一。

2合理建系，突出坐标运算
本类型主要是对条件中所涉及的图形建立适当的坐标系，从而题中的点或向量将有相对应的坐标，结合向量的坐标运算，能解决所求问题。

适当建系，准确求出点的坐标是解决本类问题的关键。

这是几何问题代数化的又一典型，是向量的特点之一。

3整体处理，妙用不等式
本类型问题属于较综合的问题，通常给出某一平面向量的基底及相应区域中的点，求某一向量变化的范围等问题。

结合平面几何的知识，准确判断向量的变化范围，合理运用不等式性质是解决本类问题的关键。

4活用函数性质
本类型问题是向量的常见问题，通过向量的坐标运算，进而转化为基本初等函数性质的运算，最终求出题中最值问题。

要特别注意自变量的取值范围。

本类问题体现向量的代数特征，同时也说明向量与三角函数有密切的联系。

向量最值题型解题方法

向量最值题型解题方法向量问题一般分为向量的运算和向量的性质两个方面。

其中向量的运算包括向量的加法、减法、数量乘法、向量积和点积等；而向量的性质包括向量的模、单位向量、平行向量和垂直向量等。

下面我将分别介绍这些向量问题的解题方法。

一、向量的运算1.向量的加法向量的加法是指将两个向量按照一定的规则相加，其结果仍然是一个向量。

向量的加法满足交换律和结合律。

具体求向量的和时，只需将两个向量的对应分量相加即可。

2.向量的减法向量的减法是指将两个向量按照一定的规则相减，其结果仍然是一个向量。

向量的减法通过加上被减向量的负向量来实现。

具体求向量的差时，只需将两个向量进行相加，其中被减向量的各个分量取其相反数。

3.数量乘法向量的数量乘法是指一个向量与一个实数的乘积，其结果仍然是一个向量。

具体求向量的数量乘法时，只需将向量的各个分量与实数相乘即可。

4.向量积5.点积点积又称为数量积或内积，表示为\(A \cdot B\)，是两个向量的数量积。

点积的结果是一个实数，等于两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余弦值之积。

二、向量的性质1.向量的模向量的模是指向量的长度，表示为\(，A，\)或\(\，A\，\)，即向量的终点到原点的距离。

根据勾股定理可以求出向量的模。

2.单位向量单位向量是指向量模为1的向量。

具体求单位向量时，只需将向量的各个分量除以向量的模即可。

3.平行向量平行向量是指夹角为0度或180度的两个向量。

两个向量平行的判断条件是它们的方向相同或相反。

4.垂直向量垂直向量是指夹角为90度的两个向量。

两个向量垂直的判断条件是它们的点积等于0。

在解决向量最值问题时，我们需要根据题目要求选择合适的方法。

根据向量的运算和性质，可以采用如下解题思路：第一步，读清题意，明确向量的数量、方向和运算等要求。

第二步，根据题意选择合适的向量算法。

如果题目要求计算向量的和、差或数量乘法，可以直接利用向量的运算法则进行计算。

如果题目要求计算向量的模、单位向量、平行向量或垂直向量，可以利用向量的性质进行计算。

求解平面向量最值问题的几个途径

思路探寻平面向量最值问题通常要求根据给出的条件，求向量的模的最小值、数量积的最大值、夹角的最值等.解答此类问题，需要根据已知条件和向量知识，求得目标式，然后把问题转化为函数问题、几何最值问题.与此同时，由于平面向量具有“数”与“形”的双重身份，所以在解题时要灵活运用数形结合思想.那么求解这类问题有哪些途径呢？下面举例说明.一、根据三角函数的有界性对于一些与向量的数量积、夹角、模有关的最值问题，通常可根据向量的数量积公式，通过向量运算求得目标式.此时目标式为关于某个夹角的三角函数式，那么就可以将问题看作三角函数最值问题.通过三角恒等变换化简目标式，便可利用三角函数的有界性求得最值.在利用三角函数的有界性求最值时，要明确夹角的取值范围，熟悉并灵活运用正弦、余弦、正切函数的单调性和有界性.例1.如图1，若△ABC 中，AB =2，∠ACB =π4，O 是△ABC 外接圆的圆心，则 OC ∙ AB + CA ∙CB 的最大值为______.解：因为∠ACB =π4，O 是△ABC 外接圆的圆心，则∠AOB =2∠ACB =π2，又因为AB =2，所以OA =OB =2，即外接圆的半径r =2.则 OC ∙ AB + CA ∙ CB = OC ∙() OB - OA +()OA - OC ∙()OB - OC= OC ∙ OB - OC ∙ OA + OA ∙ OB - OA ∙ OC - OC ∙ OB + OC 2= OA ∙ OB + OC 2-2 OA ∙ OC ,因为∠AOB =π2，OA ⊥OB ，即 OA ∙ OB =0.故 OC ∙ AB + CA ∙ CB = OC 2-2 OA ∙ OC =|| OC 2-2|| OA ∙||OC cos ∠AOC =2-4cos ∠AOC ，因为A 与C 不重合，所以 OA 与OC 的夹角的范围为(]0,π，故-1≤cos ∠AOC <1，所以当cos ∠AOC =-1，即当O 为AC 的中点时， OC ∙ AB + CA ∙CB 取得最大值2-4×()-1=6.首先根据三角形和圆的性质、向量的数量积公式求得目标式，将所求目标转化为有关∠AOC 的三角函数式；然后确定∠AOC 的取值范围，即可根据余弦函数的有界性确定目标式的最值.图1图2二、利用平面几何图形的性质对于与图形有关的平面向量问题，通常可先根据向量的几何意义画出几何图形，并确定向量所表示的点的轨迹；然后分析图形中点、线、图形之间的位置关系，利用平面几何图形的性质求最值.例2.在矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，2 BE =EC ，P 是平面ABCD 内的动点，且 AP ∙ AB =AP 2.若0<t <1，则|| BE +t DE +|| PE +(t -1)DE 的最小值为______.解：由 AP ∙ AB = AP 2知： AP ∙( AB - AP )= AP ∙ PB =0,即 AP ⊥ PB ，所以P 在以AB 为直径的圆上，F 为圆心，于是以B 为原点，以BC 、BA 分别为x 、y 轴建立如图2所示的平面直角坐标系，所以A (0,2),D (3,2),E (1,0),F (0,1)，若P (x ,y )，则x 2+(y -1)2=1，则 BE =(1,0), DE =(-2,-2),PE =(1-x ,-y )，所以 BE +tDE =(1-2t ,-2t )， PE +(t -1)DE =(3-x -2t ,2-y -2t )，则|| BE +t DE +|| PE +(t -1)DE 可看作点H (3-2t ,2-2t )到G (2,2)、P (x ,y )的距离之和，又(3-2t ,2-2t )在直线x -y -1=0上，1<x <3，由图2可知G (2,2)关于DE 对称点为G ′(3,1)，故(|PH |+|GH |)min =|FG ′|-1=2，此时x =2,y =1,t =12.我们先根据矩形的特征建立平面直角坐标系；然后设P 点的坐标，求得各个向量的坐标以及 BE +tDE 、 PE +(t -1)DE 的表达式，即可根据其几何意义，将求||BE +t DE +|| PE +(t -1) DE 的最小值转化为求点H (3-2t ,2-2t )到G (2,2)、P (x ,y )的距离之和的最小值；最后根据矩形和圆的对称性，确定H 的位置，即可求得最小值.47思路探寻例3.已知非零平面向量a ，b ，c 满足||||a -b =2，且(c -a )∙(c -b )=0，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈éëùûπ6,π3，则||c 的最大值是______.解：根据题意，作出如图3所示的图形.令a =OA,b = OB,c = OC，可得：||AB=2，且∠ACB=90°，取AB中点为M，则||CM=12||AB=1，则点C在以AB为直径的圆M上运动.由图可知，当O,M,C三点共线时，|| OC取得最大值，即|| OCmax=|| OM+1；不妨设三角形OAB的外接圆圆心为G，则GM⊥AB，在三角形OAB中，由正弦定理可得：2||OG=ABsinθ，即||OG=1sinθ,θ∈éëùûπ6,π3，故当θ=π6时，||OG max=2，||GM max=||OG2max-1=3；当O,M,G三点共线时，|| OM取得最大值，此时|| OMmax=||OG max+||GM max=2+3.故当θ=π6，且O,M,G,C四点共线时,|| OC max=3+3.根据题意和向量的几何意义作出几何图形，便可根据平面向量的基本定理以及正弦定理，确定||c 取得最大值的情形：O,M,G,C四点共线，即可利用数形结合思想求得最值.图3图4三、利用二次函数的性质在求解向量的最值问题时，可根据题意选取合适的基底，将目标式用基底表示出来，建立关于参数的关系式；也可根据题意建立适当的直角坐标系，通过平面向量的坐标运算，求得各点的坐标、向量的坐标以及目标式.最后将问题转化为函数最值问题，利用二次函数的性质来求最值.例4.已知在菱形ABCD中，AB=6,∠BAD=60°，CE=2EB，CF=2FD，点M在线段EF上，且AM=xAB+12 AD.若点N为线段BD上一个动点，则 AN∙ MN的最小值为______.解：因为CE=2EB，CF=2FD，所以BE=13 BC， DF=13 DC，所以AE=AB+BE=AB+13 AD，AF=AD+DF=13 AB+ AD，因为点M在线段EF上，可设AM=λAE+(1-λ)AF=λ(AB+13 AD)+(1-λ)·(13 AB+ AD)=(13+23λ) AB+(1-23λ) AD，而AM=xAB+12 AD，所以ìíîïïx=13+23λ,1-23λ=12,解得λ=34，x=56，所以 AM=56 AB+12 AD，则|| AM2=æèöø56 AB+12 AD2=2536 AB2+56 AB∙ AD+14 AD2=49，所以|| AM=7，因为点N为线段BD上一个动点，可设AN=μAB+(1-μ)AD，μ∈[]0,1，所以MN=AN-AM=μAB+(1-μ)AD-(56 AB+12 AD)=(μ-56) AB+(12-μ) AD，所以AN∙MN=[μAB+(1-μ)AD]∙[(μ-56) AB+(12-μ)AD]=μ(μ-56) AB2+(-2μ2+73μ-56) AB∙ AD+(1-μ)(12-μ) AD2=36μ2-42μ+3=36æèöøμ-7122-374≥-374，则当μ=712时， AN∙ MN的最小值为-374．由于∠BAD=60∘，AB=6，所以以向量AB,AD为基底，根据平面向量的线性运算法则和数量积公式，求AN∙MN的表达式，最终将问题转化为二次函数的最值问题.通过配方，根据二次函数的单调性即可求得目标式的最值.由此可见，求解平面向量最值问题，关键是运用转化思想和数形结合思想，通过平面直角坐标系、平面向量的坐标运算法则、平面向量基本定理、向量的几何意义，根据目标式的结构特征，将原问题转化为三角函数、平面几何、二次函数最值问题.（作者单位：甘肃省康乐县第一中学）48。

专题平面向量数量积的最值的求法

好题集锦之平面向量系列题五——与向量数量积有关的最值问题如何解读平面向量的数量积？我觉得应该从四个方面入手：1. 定义，侧重于模长和夹角；2. 几何意义，侧重于从图形入手体现几何意义；3. 坐标，依附于坐标系建立等量关系；4.极化恒等式，通过极化恒等式将数量积等价转化。

方法一几何处理【例1】（2020新高考Ⅰ卷）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AB AP ⋅的取值范围是( ) A.(2,6)- B.(6,2)- C.(2,4)- D.(4,6)-【答案】A【解析】因为PAB AB AP AB AP ∠=⋅cos ||||其中PAB AP ∠cos ||表示AP 在AP 方向上的投影结合图形可知，当P 与C 重合时投影最大，当P 与F 重合时投影最小. 又有2,8-=⋅=⋅AB AF AB AC ，，故当点P 在正六边形ABCDEF 内部运动时，)6,2(-∈⋅AB AP ，故选A.【题后反思】该题中涉及的图形是正六边形，属于规则图形，可以通过建立直角坐标系求数量积的范围。

方法二基底处理/坐标处理【例2】如图，在直角梯形ABCD 中，//BC AD ，90BAD ∠=︒，4AD =，2AB BC E ==，是AD 的中点，AC 与BE 交于点F G ,是DF (包含D F ,两端点)上任意一点，则CG DG ⋅的最小值是( )A.165-B.125-C.85- D.45- 【答案】C【解析】（基底法）以AD AB ,为基底，设)10(≤≤=λλDF DG ，连接CE .因为4AD =，2AB BC E ==，是AD 的中点，//BC AD ，90BAD ∠=︒，所以四边形ABCE 是边长为2的正方形所以12AF AC =. 因为AD AB BC AB AD AF DA DF 4321)(21-=++-=+= 所以AD AB DG 432λλ-=， AD AB AD AB DG DG CD CG )4321()12(21λλ-+-=+-=+= 所以58)52(1016)4321(434)12(212--=⨯--⨯-=⋅λλλλλCG DG 因为01λ≤≤，所以当且仅当25λ=时，CG DG ⋅取得最小值，为85- （坐标法）以A 为坐标原点，AD ，AB 为x ，y 轴建立坐标系则])1,0[)(1,13(),2,2(),0,4(∈+-+λλλG C D 所以]1,0[,212102∈+-=⋅λλλCG DG 当且仅当53=λ时，58)(min -=⋅CG DG 【题后反思】在解题时，坐标系比较容易建立，基底也好选择，但是大家可以尝试利用数量积的几何意义解题，即向量CG 在向量DG 上的投影与DG 的模的乘积来分析最值。

浅谈平面向量的模的最值问题的求解策略

ʏ廖庆伟平面向量的模的最值问题是向量问题的一个难点,也是高考的一个常考点㊂这类问题的求解策略主要有:二次函数性质法,三角函数性质法,判别式法,向量不等式法,几何图形性质法等㊂下面举例分析㊂一㊁二次函数性质法例1设向量a,b满足a=2,b= 1,<a,b>=60ʎ,则a+t b(tɪR)的取值范围是㊂解:因为a+t b=(a+t b)2= a2+2a㊃b t+t2b2=4+2t+t2= (t+1)2+3ȡ3(当t=-1时,不等式等号成立),所以a+t b(tɪR)的取值范围是[3,+ɕ)㊂评注:把所求的模表示成某个变量的二次函数,再利用二次函数的性质求最值㊂二㊁三角函数性质法例2已知向量a,b满足|a|=1,|b|= 2,则|a+b|+|a-b|的最大值是,最小值是㊂解:设向量a,b的夹角为θ,则|a+b|= (a+b)2=5+4c o sθ,|a-b|= (a-b)2=5-4c o sθ,所以a+b|+ a-b=5+4c o sθ+5-4c o sθ㊂令y=5+4c o sθ+5-4c o sθ,则y2=10+225-16c o s2θɪ16,20[]㊂据此可得,(|a+b|+|a-b|)m a x=20=25, (|a+b|+|a-b|)m i n=16=4㊂故a+b|+a-b的最大值是25,最小值是4㊂评注:把所求的模表示成某个变量的三角函数,再利用三角函数的性质求最值㊂三㊁判别式法例3已知平面向量a,b满足|a|=1, |b|=2,|a-b|=7,若对于任意实数k,不等式|k a+t b|>1恒成立,则实数t的取值范围是㊂解:由|a|=1,|b|=2,|a-b|=7,可得(a-b)2=7,所以a㊃b=-1㊂对于任意实数k,不等式|k a+t b|>1恒成立,即对于任意实数k,不等式k2a2+2k t a㊃b+t2b2>1恒成立,也即对于任意实数k,不等式k2-2t k+4t2-1>0恒成立,所以Δ=4t2-4(4t2-1)<0,解得t<-33或t>33,即实数tɪ-ɕ,-33æèçöø÷ɣ33,+ɕæèçöø÷㊂评注:将二次不等式恒成立问题转化为Δ<0是解答本题的关键㊂四㊁绝对值不等式法例4已知向量b=(c o sβ,s i nβ),c= (-1,0),则向量b+c的模的最大值为㊂解:易得|b|=1,|c|=1,所以|b+c|ɤ|b|+|c|=2(当c o sβ=-1时,不等式取等号)㊂所以向量b+c的模的最大值为2㊂评注:利用向量不等式||a|-|b||ɤ|aʃb|ɤ|a|+|b|可求向量的模的最值㊂五㊁几何图形性质法例5已知|a|=|b|=2,aʅb,若向量c 满足|c-a-b|=2,则|c|的取值范围为㊂解:由aʅb,不妨令a=(0,2),b=(2, 0),c=(x,y)㊂由|c-a-b|=2,可得(x-2)2+(y-2)2=4㊂|c|=x2+y2可看作动点(x,y)到原点的距离,且动点(x,y)在以(2,2)为圆心,2为半径的圆上(图略)㊂因为圆心(2,2)到原点的距离为22,所以点(x,y)到原点的最小值为22-2,最大值为22+2,即22-2ɤ|c|ɤ22+2㊂评注:弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解㊂作者单位:湖北省巴东县第三高级中学(责任编辑郭正华)5数学部分㊃知识结构与拓展高一使用2022年3月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。

向量中的最值类型和解题策略

解法二： ’ ｌｌｃｓｊｌ＝ｎ６＝０西ｆ４ｆｂｌ
＝。
例５如图２在梯，
形ＡＣ中，Ｄ∥ ＢＢＤＡＣ，
Ａ上ＡＡ＝１Ｂ＝ＤＢ，Ｄ，Ｃ
＝
又一１ｅｓｏ・ｂｌ。故ＩＩ＜￣ｏ０＜Ｉ ≥４西的
一
思路分析：利用判别式建立有关ｃｓｏ０的不等式再求解。
解：Ａ＝Ｊ１口 —４西，Ｉ＝２，ｏ０＝ａ・ ≥０又ａＩＩｃｓｂＩ
旨．ｓ吉又．［］．最，０≤ 。 ’Ｅ００小．．ｃ ‘ ，的０
值争为
例３已知点Ａ（，）Ｂｏ一１、（，）０为０１、（，）ｃ１０，原点，动点Ｐ满足・：２１，１求与夹角２０的最大值。思路分析：Ｐ点的坐标，用条件中的向量设利等式确定尸点的坐标关系，出与夹角０构的函数关系再求解。解：设点Ｐ，）则＝（Ｙ一１，＝（（ｖ，，），
∈Ｒ，求＋Ｙ的最大值。思路分析：ＩＩ由Ｄ一１出，导Ｙ的关系式，令＋Ｙ＝ｔ可构出关于的元二次方程，再利用判别式法求最值。
一
解：０＝ＩＯ１ＣＩＡ＋Ｙ
一：ｌ
ＯＢＩ＿１２＋ｊ
噻警棒ｊ０ｉ童ｉｌ＿ｌｌ０ ¨：０ｌｌｌｌ１
求ＩＩｂ的最小值。思路分析：利用Ｉ・ ≤ ＩＩ口ｂＩＩａＩｂ建立有关ＩＩｂ的不等式，解这个不等式可得ｌ的最小值。西ｌ

几何必备知识：广义托勒密定理,最值问题很实用的方法

几何必备知识：广义托勒密定理，最值问题很实用的方法几何必备知识:广义托勒密定理,最值问题很实用的方法广义托勒密定理是几何中一个非常重要的定理,它在解决最值问题中有广泛的应用。

该定理可以用于求解曲线的最值、极值和最小值,并且可以应用于许多其他领域。

让我们了解一下广义托勒密定理的基本知识。

该定理可以表述为:在一个n维空间中,对于任何两条不共线的n条向量,它们的内积等于该空间中任意一个n-1维向量的模长。

换句话说,如果我们有n条向量a1, a2, ..., an,并且它们不共线,那么它们的内积a1·a2·...·an=|a1|·|a2|·...·|an|。

这个定理可以用于解决许多最值问题,例如求解函数的最值、曲线的极值和最小值等。

在解决最值问题中,我们可以使用广义托勒密定理来求解曲线的最值。

例如,如果我们正在求解一个函数f(x)的最小值,我们可以使用以下方法: 首先,我们找到两条不共线的函数曲线y=f(x)和y=g(x),并计算它们内积。

然后,我们将这个内积除以它们分别乘以x的幂次,得到一个新的函数h(x)=f(x)·g(x)。

最后,我们使用广义托勒密定理,将h(x)的模长与x的幂次相乘,得到一个新的函数值g(x)=h(x)。

这种使用广义托勒密定理的方法可以用于解决许多最值问题,例如求解函数的最值、曲线的极值和最小值等。

除了最值问题,广义托勒密定理还可以用于求解其他问题。

例如,我们可以使用它来求解曲线的切线,即找到两条曲线的交线,该交线就是这两条曲线的切线。

此外,广义托勒密定理还可以应用于优化问题,例如求解最优投资组合或最优路径等。

总之,广义托勒密定理是几何中一个非常重要的定理,它在解决最值问题中有广泛的应用,并且可以应用于许多其他领域。

掌握这个定理的基本知识,可以帮助我们更好地理解和解决各种几何问题。

向量中最值问题方法

向量中最值问题方法宝子们，今天咱们来唠唠向量中的最值问题咋解决哈。

一、利用向量的模长公式。

向量的模长公式是解决最值问题的一个好帮手呢。

比如说给你一个向量→a=(x,y)，那它的模长→a=√(x^2)+y^{2}。

要是遇到求向量模长的最值，就可以根据这个公式来转化问题。

像那种已知向量的坐标是关于某个变量的表达式，就把模长公式套进去，然后就变成了求一个函数的最值问题啦。

就好像是把向量的问题，披上了函数的外衣，然后咱就可以用函数求最值的方法，像求二次函数最值的配方法之类的来搞定。

二、利用向量的数量积。

向量的数量积也超级有用哦。

如果有两个向量→a和→b，它们的数量积→a·→b=→a→bcosθ（这里的θ是两个向量的夹角）。

有时候会遇到那种已知向量之间的夹角范围，让求数量积的最值的情况。

这时候呢，咱们就可以根据这个公式来分析。

如果夹角θ是固定的，那数量积就和两个向量的模长有关啦。

要是模长又可以用前面说的模长公式表示成关于某个变量的式子，那又能转化成函数问题喽。

而且哦，如果是求→a+→b这种向量和的模长的最值，咱们可以先把→a+→b^2=(→a+→b)^2=→a^2+2→a·→b+→b^2，通过这个式子先求→a+→b^2的最值，再开方得到→a+→b的最值，是不是很巧妙呀。

三、建立坐标系。

当题目中的向量关系比较复杂的时候，咱们可以建立坐标系呀。

把向量用坐标表示出来，这样就可以把向量问题转化为坐标运算的问题。

比如说有个三角形，已知各边向量之间的关系，咱们就可以把三角形放在坐标系里，让一个顶点在原点，一条边在坐标轴上，这样向量的坐标就比较好表示了。

然后再根据前面说的模长公式和数量积公式来求最值，就会清晰很多呢。

向量中的最值问题虽然有点小麻烦，但只要掌握了这些方法，就像找到了打开宝藏的钥匙一样，宝子们加油呀！。

空间向量最值问题

空间向量最值问题
空间向量最值问题是一个在多维空间中寻找向量取得最大或最小值的问题。

具体来说，给定一个多维空间中的一组向量，我们希望找到一个向量，使得该向量与给定向量中的所有向量的距离之和最大或最小。

对于最大化问题，我们需要找到一个向量，使得其与给定向量中的所有向量的距离之和最大。

这可以用数学优化方法来解决，例如使用梯度下降或线性规划等技术。

对于最小化问题，我们需要找到一个向量，使得其与给定向量中的所有向量的距离之和最小。

这可以转化为一个几何优化问题，例如最小二乘法。

需要注意的是，空间向量最值问题的具体形式和解决方法可以根据问题的具体要求进行调整和选择。

因此，在解决空间向量最值问题时，需要考虑问题的特点和约束条件，并选择合适的优化技术来求解。

向量中求最值的方法

向量中求最值的方法嘿，咱今儿个就来聊聊向量中求最值的那些事儿！你说向量这玩意儿，就像个调皮的小精灵，有时候还真不好捉摸它的最值到底藏在哪儿呢。

咱先说说几何法吧。

这就好比你要在一个迷宫里找出口，你得看清每条路的走向，找到那个最合适的方向。

在向量里，通过画图，把向量之间的关系清晰地呈现出来，然后就能直观地找到最值啦。

就像你找宝藏，看着地图，一下子就能发现那个最有可能藏着宝贝的地方。

还有代数法呢，这就像是给向量穿上了一件数学的外衣。

把向量的关系用各种式子表达出来，然后通过计算求解最值。

这可得有点耐心和细心哦，不然稍不注意就可能算错啦。

比如说，有两个向量，它们就像两个小伙伴，有时候它们会很和谐地一起行动，有时候又会有点小别扭。

咱就得想办法找到它们最和谐或者最别扭的时候，那对应的不就是最值嘛。

再比如，想象一下在一个大广场上，有很多人在走来走去，每个人的方向和速度都不一样。

咱要找到其中某个特定的最值，是不是得好好观察、好好分析呀。

向量也是这样，在复杂的关系中找到那个最关键的点。

还有坐标法呢，这就像是给向量安了个家，每个向量都有自己的坐标位置。

通过坐标的计算，就能轻松找到最值啦。

这就好比你知道了每个人家的地址，那要找到谁就容易多了。

有时候，解决向量求最值的问题就像解开一道谜题。

你得一点点去分析，去尝试，不能着急。

就像你解一个很难的谜语，得反复思考，从不同的角度去想。

咱可不能小瞧了向量中求最值的方法哦，它们可是解决很多问题的关键呢！学会了这些方法，就像是有了一把打开知识大门的钥匙。

不管遇到多么复杂的向量问题，咱都能有办法应对，找到那个最值，解开难题。

所以啊，大家可得好好掌握这些方法，多练习，多思考。

让我们在向量的世界里游刃有余，轻松找到最值，解决各种难题！怎么样，是不是觉得向量求最值也没那么难啦？加油吧！。

解决几何图形最值问题的方法(二)---代数方法(教师版)附答案

解决几何图形最值问题的方法（二）附答案---代数方法一、知识要点：几何图形最值问题是近年来各类考试的常考题型，解决这类问题的方法大致有两类，（1）几何方法：利用几何图形的性质求最值.（2）代数方法：借助题目中几何图形的性质建立两个相关变量间的函数关系式，并能通过函数的最值来探求图形中某些元素的最值。

二、题型：（一）利用配方法求几何图形最值1．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是．【分析】设AC=x，BC=4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出CD=22x，CD′=2(4)2x-，根据勾股定理然后用配方法即可求解．解：设AC=x，BC=4﹣x，∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，∴CD=22x，CD′=22（4﹣x），∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，∴∠DCE=90°，∴DE2=CD2+CE2=12x2+12（4﹣x）2=x2﹣4x+8=（x﹣2）2+4，∵根据二次函数的最值，∴当x取2时，DE取最小值，最小值为：4．故答案为：2．2．如图，正方形ABCD边长为4，M，N分别是边BC，CD上的两个动点且AM MN⊥，则AN的最小值是（）A ．4B ．5C ．25D ．42解：∵AM MN ⊥，∴90AMB CMN ∠+∠=而90AMB MAB ∠+∠= ，∴MAB NMC∠=∠又∵90B C ∠=∠= ，∴ABM ∆∽MCN∆∴AB BM MC CN=若设BM x =，则4CM x=-于是有44x x CN =-，∴1(4)4CN x x =-∴221144(2)344DN CN x x x =-=-+=-+即：当2BM =时，DN 取最小值为3，而22AN AD DN =+又4AD =为定值，所以当DN 取最小值时，AN 取最小值此时22435AN =+=即当DN 取最小值3时，AN 取最小值5．故选：B ．3．在平面直角坐标系中，已知(2,4)A ，(1,0)P ，B 为y 轴上的动点，以AB 为边构造ABC ∆，使点C 在x 轴上，90BAC ∠= ，M 为BC 的中点，则PM 的最小值为（）A ．172B 17C ．55D 5解：如图，过点A 作AH y ⊥轴于H ，过点C 作CE AH ⊥于E ，则四边形CEHO 是矩形，∴4OH CE ==，∵90BAC AHB AEC ∠=∠=∠= ，∴90ABH HAB ∠+∠= ，90HAB EAC ∠+∠= ，∴ABH EAC ∠=∠，∴AHB ∆∽CEA ∆，∴AH BH EC AE =，即24BH AE=，∴2AE BH =，设BH x =，则2AE x =，∴22OC HE x ==+，4OB x =-，∴(0,4)B x -，(22,0)C x +，∵BM CM =，∴4(1,)2x M x -+，∵(1,0)P ，∴22245416()()2455x PM x x -=+=-+，∴PM 164555=，故选：C ．4．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠= ，P 是BC 边上不同于,B C 的一动点，过点P 作PQ AB ⊥，垂足为Q ，连接AP ．若3AC =，4BC =，则AQP ∆的面积的最大值是（）A ．254B ．258C ．7532D ．7516解：设(04)BP x x =<<，由勾股定理得5AB =，∵90PQB C ∠=∠= ，B B ∠=∠，∴PBQ ∆∽ABC ∆，∴PQ QB PB AC BC AB ==，即345PQ QB x ==∴35x PQ =，45x QB =，2211346362575(5()225525225832APQ x x S PQ AQ x x ∆=⨯=⨯⨯-=-+=--+∴当258x =时，AQP ∆的面积最大，最大值是7532．故选：C ．5．如图，已知边长为10的正方形ABCD ，E 是BC 边上一动点（与B 、C 不重合），连接AE ，G 是BC 延长线上的点，过点E 作AE 的垂线交DCG ∠的角平分线于点F ，若FG BG ⊥．（1）求证：ABE ∆∽EGF ∆；（2）若2EC =，求CEF ∆的面积；（3）请直接写出EC 为何值时，CEF ∆的面积最大．【分析】（1）利用同角的余角相等，判断出BAE FEG ∠=∠，进而得出ABE ∆∽EGF ∆，即可得出结论；（2）先求出8BE =，进而表示出2EG FG =+，由ABE ∆∽EGF ∆，得出AB BE EG FG=，求出FG ，最后用三角形面积公式即可得出结论；（3）同（2）的方法，即可得出2125(5)22CEF S x ∆=--+，即可得出结论．解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，EF AE ⊥，∴90B G AEF ∠=∠=∠= ，∴90BAE AEB ∠+∠= ，90FEG AEB ∠+∠= ，∴BAE FEG ∠=∠，∵90B G ∠=∠= ，∴ABE ∆∽EGF ∆；（2）∵10AB BC ==，2EC =，∴8BE =，∵FG CG =，∴2EG CE CG FG =+=+，由（1）知，ABE ∆∽EGF ∆，∴AB BE EG FG =，∴1082FG FG =+，∴8FG =，∴1128822CEF S CE FG ∆=⋅=⨯⨯=；（3）设CE x =，则10BE x =-，∴EG CE CG x FG =+=+，由（1）知，ABE ∆∽EGF ∆，∴AB BE EG FG =，∴1010x x FG FG -=+，∴10FG x =-，∴22111125(10)(10)5)22222CEF S CE FG x x x x x ∆=⋅=⋅-=--=--+，当5x =时，CEF S ∆的最大值为252．6.如图1，矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，把矩形沿直线AC 折叠，使点B 落在点E 处，AE 交CD 于点F ，连接DE ．(1)求证:DEC EDA ≌；(2)求DF 的值；(3)如图2，若P 为线段EC 上一动点，过点P 作AEC 的内接矩形，使其定点Q 落在线段AE 上，定点M 、N 落在线段AC 上，当线段PE 的长为何值时，矩形PQMN 的面积最大？并求出其最大值．解析:(1)证明:由矩形的性质可知ADC CEA ≌，∴AD CE =，DC EA =，ACD CAE ∠=∠，在ADE 与CED 中AD CE DE ED DC EA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴DEC EDA SSS ≌（）；(2)解:如图1，∵ACD CAE ∠=∠，∴AF CF =，设DF x =，则4AF CF x ==﹣，在Rt ADF 中，222AD DF AF +=，即2223(4)x x +=-，解得；78x =，即78DF =．(3)解:如图2，由矩形PQMN 的性质得PQ CA∥∴PE PQ CE CA=又∵3CE =，225AC AB BC =+=设03()PE x x =＜＜，则35x PQ =，即53PQ x =过E 作EG AC ⊥于G ，则PN EG，]∴CP PN CE EG=又∵在Rt AEC 中，EG AC AE CE ⋅=⋅，解得125EG =∴31235x PN -=，即4(3)5PN x =-设矩形PQMN 的面积为S 则224434()3(03)332S PQ PN x x x x =⋅=-+=--+＜＜所以当32x =，即32PE =时，矩形PQMN 的面积最大，最大面积为3．（二）利用判别式求几何图形最值1.如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠= ，60A ∠= ，3AC =P 为AB 边上的一个动点，连接PC ，过点P 作PQ PC ⊥交BC 边于点Q ，则BQ 的最大值为________．解：过Q 作QE AB ⊥于E ，过C 作CF AB ⊥于F ，∵在Rt ABC ∆中，90ACB ∠= ，60A ∠= ，3AC =，∴30B ∠= ，∴23AB AC ==36BC ==，∵90AFC ∠= ，60A ∠= ，∴30ACF ∠= ，∴3AF =，3CF =，设PF x =，BQ y =，∴1122QE BQ y ==，32BE y =，∴3332PE y x =-，∵PQ PC ⊥，∴90PEQ CFP CPQ ∠=∠=∠= ，∴90EQP EPQ EPQ CPF ∠+∠=∠+∠= ，∴PQE CPF ∠=∠，∴PEQ ∆∽CFP ∆，∴EQ PE PF CF =，∴333223y y x x --=∴2333)022x y x y +-+=，∵方程有实数解，∴0∆≥，∴233)602y y --≥，整理得，220360y y -+≥，解得2y ≤或18y ≥（舍去），∴2BQ ≤，∴BQ 的最大值为2．故答案为2．【分析】过Q 作QE AB ⊥于E ，过C 作CF AB ⊥于F ，利用相似三角形的性质根据一元二次方程，利用根的判别式解决问题即可．2.如图．直线33=y x 与坐标轴相交于A 、B 两点，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段OA 上、连结OP ，且满足BOP OQP ∠=∠，则当POQ ∠=______度时，线段OQ 的最小值为______．解：如图，过点O 作OE AB ⊥于点E ，过点Q 作QF AB ⊥于点F ，设OQ m =，PE n=∵直线333=+y x A 、B 两点，()(3,0,3A B ∴，3,3OA OB ∴==∴3tan 3OAB ∠=30OAB ∴∠= ，90BOP POQ ∠∠+= ，BOP PQO ∠∠=，90POQ PQO ∠∠∴+= ，90OPQ ∴∠= ，90OEP PFQ ∠∠== ，90OPE FPQ ∠∴+= ，90FPQ PQF ∠∠+= ，OPE PFQ ∠∠∴=，OEP PFQ ∴ ∽，OE PE PF QF∴=，在Rt OAE △中,1322OE OA ==,3332AE OE ==在Rt AQF ∆中，()11322QF AQ m ==-，)3332AF QF m ==-，()()32133333222n m n m ----,整理得,2423930n mn m -+-=,Δ0 ，()2(23)16930m m ∴--,24120m m ∴+-,解得,6(m -舍去)或2m ,m ∴的最小值为2,OQ ∴的最小值为2,此时32n =32PE ∴=22OP OE PE ∴=+3=∴3cos 2OP POQ OQ ∠==∴POQ ∠=30°故答案为：30,2点评：本题考查相似三角形的判定和性质，一元二次方程的根的判别式等知识，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题是解题的关键．11。