2019-2020年高三数学理科模拟试卷及答案

2019-2020年高三数学理科模拟试卷及答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数2(23)(1)z x x x i =+-+-为纯虚数，则实数x 的值为 A ．3 B ．1 C ．-3 D ．1或-3 2．已知{}n a 为等差数列,若1598a a a π++=,则28cos()a a +的值为 A ．2
1
-
B ．23-
C ．2
1
D ．23
3．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，则双曲线122
22=-b
x a y 的渐近
线方程为
A ．1
2
y x =±
B ．2y x =±
C ．4y x =±
D ．1
4
y x =±
4．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2
A π
ϕ><
）的图象如图所示，为了得到
x x g 2sin )(=的图像，则只需将()f x 的图像
A ．向右平移6
π
个长度单位
B ．向右平移
12π
个长度单位 C ．向左平移6π
个长度单位
D ．向左平移12
π
个长度单位
5．设p ∶
2
10||2
x x -<-，q ∶260x x +->，则p 是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6．新学期开始，某校接受6名师大毕业生到校学习 。

学校要把他们分配到三个年级，每个年级2人，其中甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为
A ．18
B ．15
C ．12
D ．9
7．已知直线x y a +=与圆224x y +=交于,A B 两点，且||||OA OB OA OB +=- （其中O 为坐标原点），则实数a 的值为 A ．2 B ．6 C ．2或2- D ．6或6-
8.已知22a <<，则函数22()2f x a x x =-+-的零点个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
9.P 为双曲线1692
2y x -=1的右支上一点,,M N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+= 上的点，则PM PN -的最大值为
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
10．已知函数()f x 对任意x R ∈都有(4)()2(2)f x f x f +-=，若(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，且(1)2f =，则(2011)f =
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
第Ⅱ卷 非选择题（共100分）
二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.将答案填写在题中的横线上.
11. 右图中的三个直角三角形是一个体积 为320cm 的几何体的三视图，则h= cm
12．已知223＋＝2·23
，338＋＝3·3
8,
4415＋
＝4·415,…。

若8a t ＋＝8·a
t
（,a t 均为正实数），类比以上等式，可推测,a t 的值，则a t +＝ 13.在过去的184天里，我们走过了一段成功、精彩、难忘的世博之旅，190个国家、56个国际组织以及中外企业踊跃参展，200多万志愿者无私奉献，7308万参观者流连忘返，网上世博永不落幕，这一切共同铸就了上海世博会的辉煌.这段美好的时光将永远在我们心中珍藏！以下是国庆七天长假里入园人数部分统计表(入园人数单位：万人) 日期 10.1 10.2 10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
入园人数
25.40
X
44.75 43.13 43.21 29.84 21.92
若这七天入园人数的平均值比总体平均值少4.37万，则这七天入园人数的中位数为 （精确到0.01万人）
参考数据：25.40+44.75+43.13+43.21+29.84+21.92=208.25 14．在二项式3
3
()n x x
+的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大
992，则n 的值为 .
15. (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分.)
A.（不等式选做题）不等式3642x x x --->的解集为 ．
B.(几何证明选做题)如图，直线PC 与圆O 相切于点C ，割线PAB 经过圆心O ， 弦CD ⊥AB 于点E ， 4PC =，8PB =， 则CE = .
C.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆4cos ρθ=的圆心到直线
sin()224
π
ρθ+=的距离为 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (本题满分12分)
已知函数2()2sin()cos()23cos ()3222
f x x x x ααα
=++++-为偶函数，
且[]πα,0∈
（1）求α的值；
（2）若x 为三角形ABC 的一个内角，求满足()1f x =的x 的值. 17．（本小题满分12分）
甲、乙两个盒子里各放有标号为1，2，3，4的四个大小形状完全相同的小球，从甲盒中任取一小球，记下号码x 后放入乙盒，再从乙盒中任取一小球，记下号码y ，设随机变量y x X -= （1）求2y =的概率；
（2）求随机变量X 的分布列及数学期望. 18．（本题满分12分）
如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，AD PA 2==，CD 22=，E 、F 分别是AB 、PD 的中点.
O
E
D
C
B
A
P
（1）求证：AF//平面PCE ；
（2）求证：平面PCE ⊥平面PCD ； （3）求四面体PEFC 的体积 19．（本小题满分12分）
数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意*N n ∈，总有
2,,n n n a S a 成等差数列.
(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)设21n n b a =,数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证:1n n
T n >+.
20．（本小题共13分）
已知ABC ∆的边AB 所在直线的方程 为360x y --=,(20)M ，满足MC BM =,
点(11)T -，在AC 所在直线上且0=⋅AB AT ．
（1）求ABC ∆外接圆的方程； （2）一动圆过点(20)N -，，且与ABC ∆的 外接圆外切，求此动圆圆心的轨迹方程Γ；
（3）过点A 斜率为k 的直线与曲线Γ交于相异的,P Q 两点，满足6OP OQ ⋅>，求k 的取值范围． 21．（本小题满分14分）
设函数2
()2
x k f x e x x =-
-. （1） 若0k =，求()f x 的最小值；
（2） 若当0x ≥时()1f x ≥，求实数k 的取值范围.
参考答案
11．4 12. 71 13. 39.18 14. 5
15.A. 1|2x x ⎧
⎫<⎨⎬⎩
⎭ B. 512 C.2
三、解答题：
16．解：（1）2()2sin()cos()()222
f x x x x ααα
=++++
sin(2))2sin(2)3x x x π
ααα=+++=++
由()f x 为偶函数得,3
2
k k Z π
π
απ+
=+
∈
,6
k k Z π
απ∴=+
∈ 又 [0,]6
π
απα∈∴=
（2）由()1f x = 得 1
cos 22
x =
又 x 为三角形内角，(0,)x π∈
56
6
x x π
π∴=
=
或 17．解：（1）(2)(2,2)(2,2)P y P x y P x y ====+≠=
12311
45454
=
⨯+⨯= （2）随机变量X 可取的值为0，1，2，3
当X =0时，(,)(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)x y =
121212122(0)454545455
P X ∴==
⨯+⨯+⨯+⨯= 当X =1时，(,)(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)x y =
1111111111113
(1)45454545454510
P X ∴==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
同理可得11
(2);(3)510
P X P X ====
2311
01231510510
EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=
18. 解（1）设G 为PC 的中点，连结,FG EG ， F 为PD 的中点，E 为AB 的中点，
FG ∴==// 1,2CD AE ==//1
2
CD
FG ∴==//
,//AE AF GE ∴
GE PEC ∴⊆平面，
//AF PCE ∴平面；
（2）2,PA AD AF PD ==∴⊥
PA ABCD CD ABCD ∴⊥⊆平面，平面
,PA CD
AD CD PA
AD A CD PAD AF PAD AF CD PD CD D AF PCD GE PCD GE PEC PCE PCD ∴⊥⊥=∴⊥⊆∴⊥=∴⊥∴⊥⊆∴⊥，平面，
平面，，平面，
平面，
平面，平面平面；
（3）由（2）知GE PCD EG PEFC ⊥平面，所以为四面体的高，
//1
22
2
1
2
2
122
33PCF PCF GF CD GF PD
EG AF GF CD S PD GF PEFC V S EG ∆∆⊥=====⋅==⋅=
又，所以，得四面体的体积 19.解：（1）由已知：对于*N n ∈，总有22n n n S a a =+ ①成立
∴21112n n n S a a ---=+ （n ≥ 2）② ①-②得2
112
2----+=n n n n n a a a a a ∴()()111----+=+n n n n n n a a a a a a
∵1,-n n a a 均为正数，∴11=--n n a a （n ≥ 2） ∴数列{}n a 是公差为1的等差数列
又n=1时，21112S a a =+， 解得1a =1, ∴n a n =.(*N n ∈) (2) 解法一：由（1）可知 21n b n
=
2
2111121
n n
T n n ∴=+
++
≥>
+ 解法二：由（1）可知 21
n b n
=
21111(1)1
n n n n n >=-++ 11111(1)()()22311
n n
T n n n ∴>-+-++-=
++ 20．解：（1） 0=⋅AB AT AT AB ∴⊥,从而直线AC 的斜率为3-． 所以AC 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．即320x y ++=． 由36032=0x y x y --=⎧⎨++⎩，
得点A 的坐标为(0
2)-，， (2,0)BM MC M Rt ABC =∴∆为外接圆的圆心 又r AM ===．
所以ABC ∆外接圆的方程为: 22
(2)8x y -+=． （2）设动圆圆心为P ，因为动圆过点N
，且与ABC ∆外接圆M 外切，
所以PM PN
=+PM PN -= 故点P 的轨迹是以M N ，为焦点，实轴长为，半焦距2c =的双曲线的左支．
从而动圆圆心的轨迹方程Γ为22
1(0)22
x y x -
=<． (3)PQ 直线方程为：2y kx =-,设1122(,),(,)P x y Q x y
由222(0)2
x y x y kx ⎧-=<⎨=-⎩得22(1)460(0)k x kx x -+-=<
222122122212122101624(1)04016012261k k k k x x k x x k k OP OQ x x y y k ⎧⎪
⎪-≠⎪
∆=+->⎪⎪
⎪
∴+=<⎨-⎪
⎪
=>⎪-⎪
+⎪
⋅=+=>⎪-⎩
解得：1k <<-
故k
的取值范围为(1)-
21．解：（1）0k =时，()x f x e x =-，'()1x f x e =-.
当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >. 所以()f x 在(,0)-∞上单调减小，在(0,)+∞上单调增加 故()f x 的最小值为(0)1f =
（2）'()1x f x e kx =--，()x f x e k ''=-
当1k ≤时，()0 (0)f x x ''≥≥，所以()f x '在[)0,+∞上递增， 而(0)0f '=，所以'()0 (0)f x x ≥≥，所以()f x 在[)0,+∞上递增， 而(0)1f =，于是当0x ≥时，()1f x ≥ . 当1k >时，由()0f x ''=得ln x k =
当(0,ln )x k ∈时，()0f x ''<，所以()f x '在(0,ln )k 上递减，
而(0)0f '=，于是当(0,ln )x k ∈时，'()0f x <，所以()f x 在(0,ln )k 上递减， 而(0)1f =，所以当(0,ln )x k ∈时，()1f x <. 综上得k 的取值范围为(,1]-∞.。