函数的单调性与最值讲义

函数的单调性与最值

【知识要点】

1．函数的单调性

(1)单调函数的概念

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的概念

若是函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．

〔3〕判定函数单调性的方式

①依照概念；①依照图象；①利用函数的增减性；①利用导数；①复合函数单调性判定方式。

2．函数的最值

求函数最值的方式：

①假设函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，经常使用配方式；

①利用函数的单调性求最值：先判定函数在给定区间上的单调性，然后利用单调性求最值； ①全然不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同次时经常使用此法。

【温习回忆】

一次函数(0)y kx b k =+≠具有以下性质： (1)当0k >时，函数y 随x 的增大而增大 (2)当0k <时，函数y 随x 的增大而减小 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有以下性质：

(1)当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b

a

-时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b

a

-

时，y 随着x 的增大而增大； (2)当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b

a

-时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b

a

-时，y 随着x 的增大而减小； 提出问题:

①如以下图为一次函数y=x ，二次函数y=x 2和y=-x 2的图象,它们的图象有什么转变规律?这反映了相应的函数值的哪些转变规律?

①这些函数走势是什么？在什么范围上升，在什么区间下降？

①如何明白得图象是上升的？如何用自变量的大小关系与函数值的大小关系表示函数的增减性？

①概念：一样地，设函数f(x)的概念域为I ，若是关于概念域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1

几何意义：增函数的从左向右看, 图象是 的。

④概念：一样地，设函数f(x)的概念域为I ，若是关于概念域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1f(x 2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是减函数.简称为：步伐不一致减函数.

几何意义：减函数的从左向右看, 图象是 的.

例 如图是概念在区间［－5，5］上的函数y=f(x)，依照图象说出函数的单调区间，和在每一单调区间上，它是增函数仍是减函数？

解：函数y=f(x)的单调区间是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函数y=f(x)在区间［-5,2),［1,3)上是减函数，在区间［-2,1),［3,5］上是增函数.

点评：图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图象；第二步：观看图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.

x

y

y x

o

【典例精讲】

题型一函数单调性的判定与证明

(1)单调性的证明

①函数单调性的证明的最全然方式是依据函数单调性的概念来进展，其步骤如下：

第一步：设元，即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2；

第二步：作差，即作差f(x1)－f(x2)；

第三步：变形，即通过因式分解、配方、有理化等方式，向有利于判定差的符号的方向变形；第四步：判号，即确信f(x1)－f(x2)的符号，当符号不肯按时，能够进展分类讨论；

第五步：定论，即依照单调性的概念作出结论．

其中第三步是关键，在变形中一样尽可能化成几个最简因式的乘积或几个完全平方的形式．①利用单调性概念的等价形式证明：

设x1，x2∈[m，n]，x1≠x2，那么

(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x1)－f(x2)

x1－x2＞0

⇔f(x)在区间[m，n]上是增函数；

(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x1)－f(x2)

x1－x2＜0

⇔f(x)在区间[m，n]上是减函数．

(2)复合函数y＝f(g(x))的单调性：

g(x)与外层函数f(x

)的单调性一样时y ＝f (g (x ))是增函数，单调性相反时y ＝f (g (x ))是减函数． (3)判定复合函数单调性的步骤：以复合函数y ＝f (g (x ))为例．可按以下步骤操作： ①将复合函数分解成全然初等函数：y ＝f (t )，t ＝g (x )；①别离确信各个函数的概念域；①别离确信分解成的两个全然初等函数的单调区间；①假设两个全然初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，那么y ＝f (g (x ))为增函数；假设为一增一减，那么y ＝f (g (x ))为减函数．

例1 用概念法求证函数3

()f x x =在R 为增函数

变式1 用概念法求证函数()f x =(0,)+∞增函数

变式2 证明：函数()f x x =在概念域上是减函数

例2 求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间．

题型二 图像法求函数的单调区间 例3 求出以下函数的单调区间：

〔1〕2()3f x x x =--；

〔2〕1()f x x x

=+.

〔3〕34)(2+-=x x x f ；

〔4〕34)(2+-=x x x f .

变式1 用图像法求以下函数的单调区间 (1)32

()2

x f x x +=

+ (2)2

()|2|f x x x =+ (3)2

()2||1f x x x =--

变式2 求函数532

+-+=x x y 的单调区间和值域。