数学建模作业1(长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗)
椅子放平稳问题-数学建模
椅子放平稳问题所谓数学模型是指对于一个实际问题，为了特定目的，作出必要的简化假设，根据问题的内在规律，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构 . 建立及求解数学模型的过程就是数学建模. 下面例子是一个简单的数学建模问题.问题：四条腿一样长的椅子一定能在不平的地面上放平稳吗？1.模型假设 (文字转化为数学语言)(1) 椅子四条腿一样长，椅子脚与地面的接触处视为一个点，四脚连线呈正方形；(2) 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有台阶那样的情况），即视地面为数学上的连续曲面；(3) 地面起伏不是很大，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.2.模型建立 （运用数学语言把条件和结论表现出来）设椅脚的连线为正方形 ABCD ，对角线 AC 与 x 轴重合，坐标原点 O 在椅子中心，当椅子绕 O 点旋转后，对角线 AC 变为 A'C'，A'C'与 x 轴的夹角为θ.由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记 A 、C 两脚与地面距离之和为 )(θf ，B 、D 两脚与地面距离之和为 )(θg .显然0)(≥θf 、0)(≥θg 。
因此椅子和地面的距离之和可令)()()(θθθg f h +=。
由假设（2），)(x f 、)(x g 为连续函数，因此)(θh 也是连续函数；由假设（3），得：0)()(=θθg f 。
则该问题归结为：已知连续函数0)(≥θf 、0)(≥θg 且0)()(=θθg f ，至少存在一个0θ，使得：0)()(00==θθg f3.模型求解 （找出0θ）证明：不妨设,0)0(>f 则0)0(=g 令2πθ=（即旋转o 90，对角线AC 和BD 互换）。
则有0)2(,0)2(>=ππg f定义：)()()(θθθg f H -=，所以0)]2()0([)2()0(<-=ππg f H H 根据连续函数解的存在性定理，得：存在)2,0(0πθ∈使得：0)()()(000=-=θθθg f H ； 又 0)()(00=θθg f 所以0)()(00==θθg f 即 当0θθ=时，四点均在同一平面上。
椅子能在不平的地面放稳吗
椅子能在不平的地面放稳吗？问题提出把一张椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，然而只需稍为转动一定角度，就可以使四只脚同时着地，即放稳了。
怎样用数学模型来描述和证明这个实际问题呢？模型假设为了能用数学语言描述，对椅子和地面需作一些必要的假设。
1. 椅子四只脚一样长，椅脚与地面接触处视为一个点。
四只脚的连线呈正方形。
（对椅子的假设）2. 地面的高度是连续变化的，即可视为数学上的连续曲面。
（对地面的假设）3. 地面是较平坦的，使椅子在任何时候都同时有三只脚同时着地。
（对两者关系的假设）模型建立主要问题是如何用数学语言把椅子四只脚同时着地的条件表达出来。
1.引入函数以正方形的中心为原点建立坐标系，用θ表示椅子转动的角度，从而确定椅子的位置。
椅脚着地，即椅脚与地面距离为0，这就是椅子与地面的数量关系。
因此，我们可用θ的函数表示椅脚与地面距离，因为图形具有对称性，故不必用4个函数，而只用2个函数即可。
设f(θ) 表示椅脚A 与C 两脚到地面距离之和；g(θ) 表示椅脚B 与D 两脚到地面距离之和.2.函数的性质（1） 由假设2，函数f(θ)与g(θ)是θ的非负连续函数，0≤θ≤2π; （2） 由假设3，对任意θ∈[0，2π]，f(θ)g(θ)=0，不妨设f(0)>0,g(0)=0； （3） 当把椅子转动π/2时，则AC 与BD 互换了位置，由假设1，’f(π/2)=g(0) ，g(π/2)= f(0).3.把问题化作数学命题椅子四只脚同时着地等价于存在一点θ0，使f(θ0)=g(θ0)=0.因此，原问题等价于以下命题：命题已知函数f(θ)与g(θ)是θ的非负连续函数，0≤θ≤2π，且满足：（1）f(0)>0,g(0)=0；（2）对任意θ∈[0，2π]，f(θ)g(θ)=0；（3）f(π/2)=g(0) ，g(π/2)= f(0).则必存在一点θ0∈[0，2π]，使f(θ0)=g(θ0)=0.模型求证命题已知函数f(θ)与g(θ)是θ的非负连续函数，0≤θ≤2π，且满足：（1）f(0)>0,g(0)=0；（2）对任意θ∈[0，2π]，f(θ)g(θ)=0；（3）f(π/2)=g(0) ，g(π/2)= f(0).则必存在一点θ0∈[0，2π]，使f(θ0)=g(θ0)=0.求证：∵ f(0)>0,g(0)=0 ∴ f(π/2)=g(0)=0, g(π/2)= f(0)>0令h(θ)=f(θ)-g(θ), 则在[0，π/2]上连续且h(θ)=f(0)-g(0) >0, h(π/2)=f(π/2)-g(π/2)<0由连续函数介值定理可知，必存在一点0<θ0<π/2使h(θ0)=0即f(θ0)=g(θ0)，∵f(θ0)与g(θ0)至少有一个为0，∴f(θ0)=g(θ0)=0模型的解的意义是在满足三点假设的前提下，我们证明了通过转动椅子，必定可把它放稳，而且转动的角度不需超过90度（顺时针或逆时针）。
数学建模椅子平衡问题 蜗牛爬行问题 船渡河问题
1 椅子能在不平的地面上放稳得问题的拓展.模型假设对椅子和地面应该作一些必要的假设:1.椅子的四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点。
四脚的连线呈长方形。
2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断，即地面可视为数学上连续曲面。
3.对于脚的间距和椅腿的长度而言，地面时相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三个脚同时着地。
模型构成中心问题是用数学语言把椅子的四只脚同时着地的条件和结论表示出来。
首先要用变量把椅子的位置，注意到椅脚连线呈长方形。
以中心为对称点，长方形绕中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是因此可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置。
在图中角线B’D’与X轴重合，椅子绕中心点O轴旋转角度θ后。
长方形A’B’C’D’转至ABCD位置。
用θ(对角线与x 轴的夹角)表示椅子位置，椅脚与地面距离为θ的函数.A,C 两脚与地面距离之和 ~ f (θ,),B,D 两脚与地面距离之和 ~ g (θ)地面为连续曲面 F (θ) , g(θ)是连续数.椅子在任意位置至少三只脚着地.对任意θ, f(θ ), g (θ )至少一个为0.已知： f (θ ) , g (θ )是连续函数 ;对任意θ， f (θ• g (θ )=0 ;且 g (0)=0， f (0) > 0.证明：存在θ0，使 f (θ0) = g (θ0) = 0.模型求解证明；设长方形的长为a ,宽为b。
将椅子旋转θ=2arctanb/a，对角线AC取代BD的位置。
由g(0)=0，f(0) > 0 ，知f(2arctanb/a)=0 ,g（2arctanb/a )>0.或,g（2arctanb/a )=0（1）f(2arctanb/a)=0 ,g（2arctanb/a )=0,桌子能放平衡。
（2）f(2arctanb/a)=0 ,g（2arctanb/a )>0令h(θ)= f(θ)–g(θ), 则h(0)>0和h(2arctanb/a)<0.由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在θ0 , 使h(θ0)=0, 即f(θ0) = g(θ0) .因为f(θ) • g(θ)=0, 所以f(θ0) = g(θ0) = 0.第一题一根1米长的水平弹性绳子，存在A端和B端。
椅子放置问题
椅子放置问题问题的提出：长方形的椅子能不能在不平的地面上放平？问题分析：不平的地面椅子通常只有三只脚着地如果椅子要在不平的地面放平那么必须四脚着地也就是四脚与地面的距离为零。
模型假设：四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈长方形; 地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。
模型构成：首先建立一个平面直角坐标系，将长方形四脚连线的长方形在坐标系里画出来。
分别将四角标为A，B，C，D。
连接AC将AC与与x轴的夹角记为 。
椅脚与地面A,C 两脚与地面距离之和)(θf 。
B,D 两脚与地面距离之和)(θg 。
把)(θf ，)(θg 视为连续函数对任意的)(θf ，)(θg ，θ至少有一个为零。
根据假设可得以下数学问题,已知：)(θf ,)(θg 是连续函数 ;对任意θ,)(θf *)(θg =0 ;且 )(θg =0，)(θf > 0.证明：存在θ0，使)(θf =)(θg =0。
模型求解：由 得：设则 而 由 f, g 的连续性知 h 为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在θ0 , 使)(0θh =0, 即)(0θf= )(0θg 。
πθθθ≤≤=00)()(g f 0)0(,0)0(,0>==f g θ0)(,0)(,=>=πππθf g ),()()(θθθg f h -=,0)()()( <-=πππg f h,0)0()0()0(>-=g f h因为)(θf • )(θg =0, )(θf =)(θg =0。
误差分析：本模型的误差主要来自假设中对于模型的理想化，在假设中我们将椅子四只脚假设为一样长但是实际生活中不能做到。
还有就是地面的不平程度的理想化，我们假设地面的高度是连续变化的，但是生活中的地面高度也不是完全连续变化的。
本模型的优点在于通过假设使问题简单化，将椅子的四脚连线所呈的四边形放到坐标系中去就简化里思考的难度，用对角线与坐标轴的夹角来刻画椅子的位置通俗易懂。
椅子能在不平的地面上放稳吗 2
12110224135 12物本 张威明
椅子能在不平的地面上放稳吗？
问题分析：三只脚着地，放稳 四只脚着地
模型假设：四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。
模型改造：四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈长方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。
模型求解：
设A ，B 与地面的距离之和为)(x f ，C,D 与地面的距离之和为)(x g 。
设0)0(=f ，则)(x g =b>0.
设)()()(x g x f x F -=。
当x=0时，)()()0(x g x f F -=<0;
当A,B,C,D 旋转π时，0)0()(>==b g f π，0)(=πg 。
当x=π时，0)()()(>-=πππg f F 。
所以，)(x F 在（0，π）内，必存在δ，使得)(x F =0.，即)()(δδg f =
又因为任意时刻，必有3只脚着地，所以)(x f 或)(x g 在任意时刻，总有一个为0。
所以存在)()(δδg f ==0，使得椅子的四只脚同时着地，使得椅子平衡。
椅子(四条腿的椅脚连线呈长方形)能在不平的地面上放稳吗？
羆一、问题提出
蝿（显示模型函数的构造过程）袇用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
羈已知f(r), g(r)是二的连续函数，对任意的二，fG)*gG)=O,而且f(二)=g(0)=0 ,
蚆f(0) 0,g(二)0。
证明存在二0,使f(v0) =g G0) =0。
袇五、模型求解
薃(显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果)
：: 0和h(二).0。
由f和g的连续性知h也是连续函数。
蚂令h(力=f(R—g(R，则h(0) :
根据连续函数的基本性质，比存在二0(0 :：::：)使得h「0) =0，即f(r0) =g(r0)。
最后因为f(^0)* g(^0) =0，所以f(r0) =g(r0) =0。
仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途
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Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.
Pour l ' e tude et la recherche uniquement a des fins personnelles; pas a des fins commerciales. TO员BKO g^A.nrogeHKO TOpMeno^b3ymrnflCH6yHeH u ac^ egoB u HHuefigo^^HM
UCnO 员B30BaTbCE B KOMMepqeckux ue 贝EX.
以下无正文。
椅子能在不平的地面上放稳吗
椅子能在不平的地面上放稳吗？把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了。
下面用数学语言证明。
一、模型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设：1、椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形。
2、地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面。
3、对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。
二、模型建立示四只脚同时着地的条件、结论。
首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度θ这一变量来表示椅子的位置。
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了。
椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数。
由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A 、C 两脚与地面距离之和为()θf ，B 、D 两脚与地面距离之和为()θg ，显然()θf 、()0≥θg ，由假设2知f 、g 都是连续函数，再由假设3知()θf 、()θg 至少有一个为0。
当0=θ时，不妨设()()0,0>=θθf g ，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题： 命题 已知()θf 、()θg 是θ的连续函数，对任意θ，()θf *()θg =0，且()()00,00>=f g ，则存在0θ，使()()000==θθf g 。
三、模型求解将椅子旋转090，对角线AC 和BD 互换，由()()00,00>=f g 可知()()02,02=>ππf g 。
令()()()θθθg f h -=，则()()02,00<>πh h ，由f 、g 的连续性知h 也是连续函数，由零点定理，必存在()2000πθθ<<使()00=θh ，()()00θθf g =，由()()0*00=θθf g ，所以()()000==θθf g 。
建模作业
建模作业航天学院复合材料与工程周晓军 1101840117作业一：椅子能在不平的地面上放稳问题拓展——四角连线成长方形情况问题提出日常生活中有这样的现象：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍微挪动几次，一般都可以使四只脚同时着地。
试从数学的角度加以解释。
模型假设（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形。
（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面。
这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件。
（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。
为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。
建立模型首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。
生活经验告诉我们，可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。
注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180o 度后，椅子仍在原地。
把长方形绕它的对称中心O 旋转，这可以表示椅子位置的改变。
于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。
为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。
如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD ，以对角线AC 所在的直线为x 轴，对称中心O 为原点，建立平面直角坐标系。
椅子绕O 点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD 转至1111A B C D 的位置，这样就可以用旋转角θ表示出椅子绕点O 旋转θ后的位置。
其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。
我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。
由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数。
由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数．而由假设（3）可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0。
四脚连线呈长方形的椅子能在不平的地面上放稳吗
问题：四脚连线呈长方形的椅子能在不平的地面上放稳吗（第1章习题4）模型假设对椅子和地面作如下假设：1．椅子四脚一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点。
2．地面高度是连续变化的，即地面视为连续曲面。
3．对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚与地面同时着地。
模型构成首先用变量表示椅子的位置，以长方形一对角线AC为X轴，BD为Y。
设X 轴Y轴间夹角为θ。
当椅子绕中心O旋转角度θ’后。
长方形ABCD转至A‘B‘C’D‘的位置，所以对角线AC与X轴的夹角θ’表示了椅子的位置。
记A，C，两脚与地面的距离之和为f(θ’),B,D两脚与地面的距离之和为g (θ’)。
(f(θ’)，g (θ’)>=0)。
由假设2，f,g是连续函数。
由假设3，椅子在任何时候至少有三只脚着地，所以对任何θ’，f(θ’)和g(θ’)中至少有一个为0。
当θ’=0时不妨设f(θ’)=0，g(θ’)>0.这样，改变椅子位置使四只脚同时着地，就归结为证明如下命题:已知f(θ’) 和g (θ’)是θ’的连续函数，对任意θ’，f(θ’) g(θ’)=0,且f(0)=0，g(0)>0.证明存在θ1，使f(θ1) =g(θ1)=0.模型求解将椅子旋转θ，对角线AC与BD互换。
由f(0)=0，g(0)>0知f(θ).>0,g(θ)=0。
令h(θ’)=f(θ’)-g(θ’),则h(0)<0,h(θ)>0。
由f,g的连续性知h也是连续函数。
根据连续函数的基本性质，必有θ1（0<θ1<θ）使h(θ1)=0,即f(θ1)=g(θ1)。
最后，因为f(θ1) g(θ1)=0,所以f(θ1)=g(θ1)=0.。
椅子能在不平的地面上放稳吗(1)
椅子能在不平的地面上放稳吗？把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了。
下面用数学语言证明。
一、 模型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设：1、 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形。
2、 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面。
3、 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。
二、模型建立中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论。
首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度θ这一变量来表示椅子的位置。
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了。
椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数。
由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A 、C 两脚与地面距离之和为()θf ，B 、D 两脚与地面距离之和为()θg ，显然()θf 、()0≥θg ，由假设2知f 、g 都是连续函数，再由假设3知()θf 、()θg 至少有一个为0。
当0=θ时，不妨设()()0,0>=θθf g ，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：命题 已知()θf 、()θg 是θ的连续函数，对任意θ，()θf *()θg =0，且()()00,00>=f g ，则存在0θ，使()()000==θθf g 。
三、模型求解将椅子旋转090，对角线AC 和BD 互换，由()()00,00>=f g 可知()()02,02=>ππf g 。
令()()()h f g θθθ=-，则()()02,00<>πh h ，由f 、g的连续性知h 也是连续函数，由零点定理，必存在()2000πθθ<<使()00=θh ，()()00θθf g =，由()()0*00=θθf g ，所以()()000==θθf g 。
椅子能在不平的地面上放稳
技术大致有章可循 艺术无法归纳成普遍适用的准则
想象力 洞察力
判断力
创新意识
• 学习、分析、评价、改进别人作过的模型
• 亲自动手，认真作几个实际题目
看谁答得快
1、某甲早8时从山下旅店出发沿一路径上山，下午5时到达山顶 并留宿。次日早8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店。某 乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，为 什么？
习题
• 模仿这一案例，作下面一题： 人带着猫、鸡、米过河，船除需要
人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之 一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃 米。试设计一安全过河方案，并使渡河 次数尽量地少。
建模示例 如何预报人口的增长
背景
世界人口增长概况
年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60
求解
知g(
2
)>0,f(
2
)=0
令 续 即h函f((tt0数))== 。fg((tt)0根-)。g据(t),连则续h(函0)>数0和的h基(2本) 性<0质，,由必f存和在g的t0 （连0续<t性0<知2 ),h使也h是(t0连)=0，
最后，因为f(t) •g(t)=0，所以f(t0)= g(t0)=0。
D={(u , v) u+v=1, 2}
模型求解 穷举法 ~ 编程上机
y
图 解
状态s=(x,y) ~ 16个格点
3
法 允许状态S ~ 10个 点
允许决策D ~ 移动1或2格; 2
k奇,左下移; k偶,右上移.
d1, d11给出安全渡河方案
1 d11
数学建模作业1(长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗)
数学建模作业1(长方形椅子能否在不平的地
面上放稳吗)
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
四、模型建立
（显示模型函数的构造过程）
在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来．
首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的．于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形．
注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。
于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置．为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题．
如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1 的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置．
其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来．
我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地．由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数．
由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ。
椅子能在不平的地面上放稳吗
C´ O
D´
A
x
D
B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
正方形ABCD 绕O点旋转
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来. f() , g()是连续函数 地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 对任意, f(), g()至少一 个为0 存在0，f(0)和 g(0) 同时 椅子放稳 为0. 已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() • g()=0 ; 且 g(0)和 f(), g()的确定
假设条件哪些是本质的,哪些是非本质的?
考察四脚连线呈长方形的椅子 (习题4)
数学 问题
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
模型求解 给出一种简单、粗造的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换.
由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0.
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0. 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的 基本性质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
放置的状况通常 ~ 三只脚着地 放稳 ~ 四只脚着地
模型假设
此假设是为了满足 我们后面要利用连 续函数的性质建模 • 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 的数学上要求。 连线呈正方形; 椅子的要求
• 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面; 地面的要求
• 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地. 放置的要求
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地表示出来.
数学建模案例分析 1.子能在不平的地面上放稳吗
椅子能在不平的地面上放稳吗？把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了.下面用数学语言证明.一、模型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设：1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形.2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面.3.对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.二、模型建立示四只脚同时着地的条件、结论.首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度θ这一变量来表示椅子的位置.其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了.椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数.由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A 、C 两脚与地面距离之和为()θf ，B 、D 两脚与地面距离之和为()θg ，显然()θf 、()0≥θg ，由假设2知f 、g 都是连续函数，再由假设3知()θf 、()θg 至少有一个为0.当0=θ时，不妨设()()0,0>=θθf g ，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：命题 已知()θf 、()θg 是θ的连续函数，对任意θ，()θf *()θg =0，且()()00,00>=f g ，则存在0θ，使()()000==θθf g .三、模型求解将椅子旋转90︒，对角线AC 和BD 互换，由()()00,00>=f g 可知()()02,02=>ππf g .令()()()θθθf g h -=，则()()02,00<>πh h ，由f 、g 的连续性知h 也是连续函数，由零点定理，必存在()2000πθθ<<使()00=θh ，()()00θθf g =，由()()000g f θθ⨯=，所以()()000==θθf g .四、评 注模型巧妙在于用一元变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四脚与地面的距离.利用正方形的中心对称性及旋转90︒并不是本质的，同学们可以考虑四脚呈长方形的情形.。
椅子能否放稳
1 椅子在不平的地面上能放稳吗（一）问题的分析与假设由三点构成一个平面可知，通常情况下，在不平的地面椅子是三只脚着地，如果要达到放稳的要求，必须是四只椅脚同时着地。
问题中，椅子四脚呈长方形，在以下建模过程中，为方便讨论，我们作出以下假设：（1）椅子的四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四角连线呈矩形；（2）地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面；（3）地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。
（二）模型的建立与求解问题的解决，是通过建立直角坐标系，利用矩形的对角线平分且相等，以AC所在直线作为X轴，以垂至于AC的直线作为为Y轴，以矩形的中心点为原点建立直角坐标系。
如图所示：错误!用对角线AC与X轴的夹角α表示椅子当前的位置，此时，可设椅脚与地面的距离是α的函数。
椅子的四脚与地面应有四个距离的函数，但由于矩形的对称性，对角上的两点距离之和可用一个函数表示。
设A,C两脚与地面的距离之和为，B,D两脚与地面的距离之和为。
已知地面是连续曲面，椅子可在任意位置至少三只脚着地，把已知条件转化为数学问题为已知，是连续函数，即α为任意值，·=0总成立；且。
现只需证明存在α0,使。
现给出证明方法：开始α=0，将椅子旋转角度大小为∠AOB=a，此时对角线AC和BD互换。
由，知,。
令, 则有。
因为，为连续函数，所以也为连续函数，根据连续函数的基本性质，必存在α0使=0，即，又因为·=0，所以可得，证毕。
由证明的结果看，在不平的平面上，椅子呈矩形四脚距离地面的距离能同时为零，即椅子能在不平的地面放平稳。
若椅子的四脚呈等腰梯形，同理可证这样的椅子也能在不平的地面上放稳。
长方形椅子在不平的地面旋转180°能否放稳
长方形椅子旋转180°能否在不平的地面放稳问题提出日常生活中有这样的现象：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需要稍微挪动几次，一般都可以使四只脚同时着地。
试从数学的角度加以解释。
模型假设为了明确问题，对上述现象中的有关因素在符合日常生活的前提下，作出如下假设：(1)椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四腿的连线呈长方形。
(2)地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有想台阶那样的情况），即从数学的角度，地面是连续的曲面。
这个假设相当于给出了椅子能放问的必要条件。
(3)椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。
为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，因为在地面上与椅腿长度的尺寸大小相当的范围内。
如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚无法同时着地的。
建立模型在上述建设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。
首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。
生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖地或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。
然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。
于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。
注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180°后，椅子仍在原地。
把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。
于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。
为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。
如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系。
椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角θ表示出椅子绕点O旋转θ后的位置。
其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。
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（显示模型函数的构造过程）
在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地暗示出来．
首先，引入合适的变量来暗示椅子位置的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种法子，也就是数学上所说的平移与旋转变换．然而，平移椅子后问题的条件没有发生实质变更，所以用平移的法子是不克不及解决问题的．于是可测验考试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形．注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以暗示椅子位置的改变。
于是，旋转角度θ这一变量就暗示了椅子的位置．为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题．
如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1 的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）暗示出椅子绕点O旋转θ后的位置．
其次，把椅脚是否着地用数学形式暗示出来．
我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地．由于椅子在分歧的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数．
由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数．而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0．因此，只需引入两个距离函数即可．考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心 O沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A,C和B,D对换了．因此，记。