线性代数基本定理

合集下载

线性代数行列式基本概念

目录目录 (1)一、行列式 (2)见ppt。

(2)二、矩阵特征值 (2)三、正定矩阵 (2)四、幺模矩阵 (3)五、顺序主子阵 (4)六、正定二次型 (6)七、矩阵的秩 (6)八、初等变换（elementary transformation） (7)一、行列式见ppt。

二、矩阵特征值设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。

非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

求矩阵特征值的方法Ax=mx，等价于求m，使得(mE-A)x=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。

|mE-A|=0，求得的m值即为A的特征值。

|mE-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。

如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn，则|A|=m1*m2*...*mn 如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以从解方程g(m)=0求得。

三、正定矩阵设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量X=(x_1,...x_n)，都有XMX′>0(X'为X的转置矩阵 )，就称M正定(Positive Definite)。

正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。

所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。

另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵.判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。

判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。

判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。

考研线性代数知识点全面总结

《线性代数》复习提纲第一章、行列式（值，不是矩阵）1．行列式的定义：用2n 个元素ija 组成的记号称为n 阶行列式。

（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N 阶（n ≥3）行列式的计算：降阶法定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。

特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；◊行列式值为0的几种情况：Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。

3.概念：全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式ijM 、代数余子式ijj i ijM A+-=)1(定理：一个排列中任意两个元素对换，改变排列的奇偶性。

奇排列变为标准排列的对换次数为基数，偶排列为偶数。

n 阶行列式也可定义：nq q q n a aa⋯=∑21t211-D ）（，t 为nq q q ⋯21的逆序数4.行列式性质：1、行列式与其转置行列式相等。

2、互换行列式两行或两列，行列式变号。

若有两行(列)相等或成比例，则为行列式0。

3、行列式某行（列）乘数k,等于k 乘此行列式。

行列式某行（列）的公因子可提到外面。

4、行列式某行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。

5、行列式某行（列）乘一个数加到另一行（列）上，行列式不变。

6、行列式等于他的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。

（按行、列展开法则）7、行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和为0.5.克拉默法则：：若线性方程组的系数行列式0D ≠，则方程有且仅有唯一解DD D Dx D D n =⋯==n 2211x ,x，，。

线性分解定理

线性分解定理线性分解定理，又称为线性组合定理，是线性代数中的一个基本定理。

它将一个向量空间中的向量表示为一组基向量的线性组合，从而展示了向量空间的基本性质和结构。

线性分解定理可以用于表示任意一个向量在一组基向量下的坐标。

具体来说，设V是一个n维向量空间，B={v1,v2,...,vn}是V的一组基向量。

对于任意一个向量v∈V，存在唯一的一组标量c1,c2,...,cn，使得v=c1v1+c2v2+...+cnvn。

这就是线性分解定理的主要内容。

线性分解定理的证明可以通过数学归纳法来完成。

首先，当n=1时，线性分解定理显然成立。

假设对于任意n-1维的向量空间，线性分解定理都成立，即任意一个向量都可以表示为n-1个基向量的线性组合。

下面考虑n维向量空间的情况。

设v∈V是一个n维向量，B={v1,v2,...,vn}是V的一组基向量。

可以将B中的最后一个基向量vn表示为vn=b1v1+b2v2+...+bn-1vn-1，其中b1,b2,...,bn-1是标量。

然后，将vn代入到v的表达式中，可得v=c1v1+c2v2+...+cn-1vn-1+bnv1+bn-1v2+...+b1vn，其中c1,c2,...,cn-1,cn是待定的标量。

为了证明线性分解定理成立，需证明上述表达式中的cn=0。

假设cn≠0，则可以将上述表达式重新排列，得到v=c1v1+c2v2+...+cn-1vn-1+(bn+1)v1+bnv2+...+b1vn-1。

将它与已知条件v=c1v1+c2v2+...+cn-1vn-1+bnv1+bn-1v2+...+b1vn进行比较，可以发现这两个表达式表示的向量是相等的。

由于B是向量空间V的一组基向量，根据向量的唯一性原则，这说明了(v1,v2,...,vn-1,(bn+1))也是向量空间V的一组基向量。

然而，这与假设矛盾。

因为bn+1≠0，所以(bn+1)v1+bnv2+...+b1vn-1不等于零向量。

考研数学公式定理背诵手册(数学二)：线性代数

性质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式．
推论行列式中某一（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．
性质 4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零．
性质 5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，如第 i 列的元素都是两数之和：
（2）若 A 可逆，则 A−1 亦可逆，且 ( A−1)−1 = A ．（3）若 A 可逆，数 λ ≠ 0 ，则 λ A 可逆，且 (λ A)−1 = 1 A−1 ．
λ （4）若 A, B 为同阶矩阵且均可逆，则 AB 亦可逆，且 ( AB)−1 = B−1A−1 ．
（5）若 A 可逆，则 AΤ 亦可逆，且 ( AΤ )−1 = ( A−1)Τ ．
A = O 或 B = O ；A2 = O
A=O；
109
AB = AC
B = C ．但是 A, B 为方阵，则有 | AB |=| BA |=| A || B | ；
| AB |= 0 ⇔| A |= 0 或| B |= 0 ．
2．逆矩阵的性质
（1）若矩阵 A 是可逆的，则 A−1 是唯一的．
定理设非齐次线性方程组 Ax = b ，其系数矩阵的秩 r( A) = r(r > 0) ，增广矩阵的秩
第二部分线性代数
一、行列式
1. 行列式的重要定理及公式
定理对换改变 n 元排列的奇偶性．定理任一 n 元排列与排列1 2 3 n 可以经过一系列对换互变，并且所作对换的次数与这个 n 元排列有相同的奇偶性．
2．行列式的基本性质性质 1 行列式与它的转置行列式相等．性质 2 互换行列式的两行（列），行列式变号．推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零．

线性代数基本性质定理

线性代数基本性质、定理、公式，解法，计算(),nTA r A nA A AxxAxAAxA A A E 可逆的列（行）向量线性无关的特征值全不为只有零解，0总有唯一解是正定矩阵R 12,si Ap p p p n B ABE ABE是初等阵存在阶矩阵使得或○注：全体n 维实向量构成的集合nR 叫做n 维向量空间.()A r A nAA A AxA 不可逆0的列（行）向量线性相关0是的特征值有非零解,其基础解系即为关于0的特征向量○注()()abr aEbA naE bA aE bA x有非零解=-具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同()√关于12,,,n e e e ：①称为n的标准基，n中的自然基，单位坐标向量；②12,,,n e e e 线性无关；③12,,,1n e e e ；④tr =E n ；⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e 线性表示.行列式的定义1212121112121222()1212()n nnn nj j j nj j nj j j j n n nna a a a a a D a a a a a a 1√行列式的计算：①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.②若A B 与都是方阵（不必同阶）,则==()mnAO A A O A BO B O B BO A A A BBOBO1（拉普拉斯展开式）③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.④关于副对角线：(1)211212112111()n n nnnnn n n n n a Oa a a a a a a Oa O1（即：所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和）⑤范德蒙德行列式：1222212111112n i jnj i nn n n nx x x x x x x x xxx111矩阵的定义由m n 个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mna a a a a a Aa a a 称为m n 矩阵.记作：ijm nAa 或mnA 伴随矩阵1121112222*12n Tn ijnnnnA A A A A A AA A A A ，ij A 为A 中各个元素的代数余子式.√逆矩阵的求法:①1A AA○注：1a b d b cdcaadbc1主换位副变号②1()()A E E A 初等行变换③1231111213a a a a a a 3211111213a a a a a a √方阵的幂的性质：m nm nA AA()()m nmnA A √设,,m n n s A B A 的列向量为12,,,n,B 的列向量为12,,,s，则msABC 1112121222121212,,,,,,s s nsn n nsb b b b b bc c c b b b iiAc ，(,,)i s 1,2i为i Axc 的解121212,,,,,,,,,sss AA AAc c c 12,,,s c c c 可由12,,,n线性表示.即：C 的列向量能由A 的列向量线性表示，B 为系数矩阵. 同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，TA 为系数矩阵. 即：1112111212222212n n n n mnn ma a a c a a a c a a a c 111122*********22211222n n m m mnma a a c a a a c a a a c √用对角矩阵○左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；用对角矩阵○右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量. √两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.√分块矩阵的转置矩阵：TT T TTA B A C C DBD分块矩阵的逆矩阵：111AAB B111AB BA1111A C A A CB OBOB1111A O AO CBB CAB分块对角阵相乘：11112222,A B ABA B 11112222A B ABA B ,1122nnn AAA分块对角阵的伴随矩阵：***ABABAB *(1)(1)mnmnAA BBB A√矩阵方程的解法(0A )：设法化成AXBXAB(I)或 (II)A B E X 初等行变换(I)的解法：构造()()TTTTA XB X X(II)的解法：将等式两边转置化为，用(I)的方法求出，再转置得√初等矩阵的性质：(,)E i j 1[()]E i k k [,()]E i j k 1(,)(,)TE i j E i j [()][()]TE i k E i k [,()][,()]TE i j k E j i k 1(,)(,)E i j E i j 11[()][()]kE i k E i 1[,()][,()]E i j k E i j k *(,)(,)E i j E i j *1[()][()]k E i k kE i *[,()][,()]E i j k E i j k ①矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.√矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对A 施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A ；对A 施行一次初等○列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○右乘A . ②零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.③单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.④部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）⑤原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.（向量维数变动）⑥两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关114p 教材. ⑦向量组12,,,n中任一向量i(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑧向量组12,,,n线性相关向量组中至少有一个向量可由其余n 1个向量线性表示.向量组12,,,n 线性无关向量组中每一个向量i都不能由其余n 1个向量线性表示.⑨m 维列向量组12,,,n 线性相关()r A n ；m 维列向量组12,,,n线性无关()r A n .⑩若12,,,n 线性无关，而12,,,,n线性相关,则可由12,,,n线性表示,且表示法唯一.?矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简形矩阵矩阵的秩如果矩阵A 存在不为零的r 阶子式，且任意r 1阶子式均为零，则称矩阵A 的秩为r .记作()r A r向量组的秩向量组12,,,n 的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)nr 矩阵等价A 经过有限次初等变换化为B . 记作：AB向量组等价12,,,n和12,,,n可以相互线性表示. 记作：1212,,,,,,n n?矩阵A 与B 等价PAQB ，,P Q 可逆()(),,,r A r B A B A B 为同型矩阵作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A 与B 作为向量组等价1212(,,,)(,,,)nnr r 1212(,,,,,,)nnr 矩阵A 与B 等价. ?向量组12,,,s 可由向量组12,,,n线性表示AX B 有解12(,,,)=nr 1212(,,,,,,)nsr 12(,,,)sr ≤12(,,,)nr .?向量组12,,,s 可由向量组12,,,n线性表示,且s n ，则12,,,s线性相关.向量组12,,,s 线性无关,且可由12,,,n线性表示,则s ≤n .?向量组12,,,s 可由向量组12,,,n线性表示,且12(,,,)sr 12(,,,)nr ,则两向量组等价；?任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ?向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.?若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.?设A 是mn 矩阵,若()r A m ，A 的行向量线性无关；若()r A n ，A 的列向量线性无关,即：12,,,n 线性无关.√矩阵的秩的性质：①()A Or A 若≥1()0A O r A 若0≤()m n r A ≤min(,)m n ②()()()TTr A r A r A A ③()()r kA r A k若0④()(),,()0mnn s r A r B nA B r AB B Ax若若0的列向量全部是的解⑤()r AB ≤min (),()r A r B ⑥()()()()A r AB r B B r AB r A 若可逆若可逆即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦若()()()m n Axr AB r B r A nAB O B O A ABACB C只有零解在矩阵乘法中有左消去律；若()()()n s r AB r B r B nB 在矩阵乘法中有右消去律.⑧()r r E O E O r A rA A OOOO若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型.⑨()r A B ≤()()r A r B max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B ⑩()()A O O Arr A r B OBB O()()A C r r A rB OB○注：AxAx有无穷多解其导出组有非零解有唯一解其导出组只有零解线性方程组的矩阵式Ax 向量式1122nnx x x 1112111212222212,,n n m m mnnma a a xb a a a x b Axa a a xb 12,,2,,j jjmjjn11212(,,,)nnx x x 矩阵转置的性质：()T TA A()TT TAB B A()TTkA kATAA()TTTA B AB(矩阵可逆的性质：11()A A111()AB B A 111()kA k A 11A A 111()A B A B (伴随矩阵的性质：2()n A AA()AB B A1()n kA kA1n AA***()A B AB(()()1 ()10 ()1nr A nr A r A n r A n 若若若AB A BnkA k AkkAAA B A B线性方程组解的性质：1212121211221212(1),,(2),,(3),,,,,,,,(4),,(5),,(6k kkkAx Axk k Axk AxAxAx Ax Ax是的解也是它的解是的解对任意也是它的解齐次方程组是的解对任意个常数也是它的解是的解是其导出组的解是的解是的两个解是其导出组的解211212112212112212),(7),,,,100kk k kkkkAx AxAxAx Ax是的解则也是它的解是其导出组的解是的解则也是的解是的解√设A 为m n 矩阵,若()r A m()()r A r A Ax一定有解，当m n 时,一定不是唯一解方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A和的上限.√判断12,,,s是Ax的基础解系的条件：①　12,,,s线性无关；②　12,,,s都是Ax的解；③　()s n r A 每个解向量中自由未知量的个数.√一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.√若是Ax 的一个解，1,,,s是Ax的一个解1,,,,s线性无关√Ax 与Bx同解（,A B 列向量个数相同）,则：① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等；② 它们对应的部分组有一样的线性相关性；③ 它们有相同的内在线性关系.√两个齐次线性线性方程组Ax 与Bx同解()()A rr A r B B. √两个非齐次线性方程组Ax 与Bx都有解，并且同解()()A rr A r B B.√矩阵m n A 与l n B 的行向量组等价齐次方程组Ax 与Bx同解PA B （左乘可逆矩阵P ）；101p 教材矩阵m n A 与l n B 的列向量组等价AQ B （右乘可逆矩阵Q ）.√关于公共解的三中处理办法：①把(I)与(II)联立起来求解；②通过(I)与(II)各自的通解，找出公共解；当(I)与(II)都是齐次线性方程组时，设123,,是(I)的基础解系,45,是(II)的基础解系，则 (I)与(II)有公共解基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示.即：1231231425(,,)(,,)r r c c 当(I)与(II)都是非齐次线性方程组时，设11122c c 是(I)的通解，233c 是(II)的通解，两方程组有公共解2331c 可由12,线性表示. 即：12122331(,)(,)r r c ③设(I)的通解已知，把该通解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求出公共解。

线性代数基本定理

线性代数基本定理一、矩阵的运算1.不可逆矩阵的运算不满足消去律 AB=O,A 也可以不等于O11-1-1æèçöø÷1-1-11æèçöø÷=0000æèçöø÷ 2.矩阵不可交换(A +B )2=A 2+AB +BA +B2(AB )k=ABABABAB ...AB3.常被忽略的矩阵运算规则(A +B )T =A T +B T(l A )T=l AT4.反称矩阵对角线元素全为0 4.矩阵逆运算的简便运算(diag(a1,a2,...,an))-1=diag(1a1,1a2,...,1an)(kA)-1=1kA-1方法1.特殊矩阵的乘法A．对角矩阵乘以对角矩阵，结果仍为对角矩阵。

且：B．上三角矩阵乘以上三角矩阵，结果为上三角矩阵2.矩阵等价的判断A@BÛR(A)=R(B)任何矩阵等价于其标准型3.左乘初等矩阵为行变换，右乘初等矩阵为列变换如：m*n的矩阵，左乘m阶为行变换，右乘n阶为列变换4. 给矩阵多项式求矩阵的逆或证明某个矩阵可逆如：A2-A-2I=O，证明(A+2I)可逆。

把2I项挪到等式右边，左边凑出含有A+2I的一个多项式，在确保A平方项与A 项的系数分别为原式的系数情况下，看I项多加或少加了几个。

5.矩阵的分块进行计算加法：分块方法完全相同矩阵乘法（以A*B为例）：A的列的分法要与B行的分法一致，如：如红线所示：左边矩阵列分块在第2列与第3列之间，那么，右边矩阵分块在第二行与第三行之间至于蓝线，如何画，画不画，只画在哪个矩阵里都无所谓，分块数只决定了最后结果矩阵的行列，并不能决定矩阵是否能做乘法的原则性问题。

求逆：如果均可逆，若，则反块对角阵也一样，把反对角线上的矩阵求逆。

求转置：块转置，每一块里面的也要转置 6.把普通线性组合式写成矩阵形式二、行列式的计算计算一般行列式时需注意： A ．代数余子式的正负B ．初等变换用等号，行列式的值可能变化A 1,A 2,...,A m1. 特殊形状行列式上下三角行列式、反上下三角行列式 det(kA)=det(A) det(AB)=det(A)det(B)块对角行列式（用拉普拉斯展开定理证明）2. 一般行列式的计算原则A.按0多的行或者列展开，进行行列式的降阶B.行列式中一行（列）出现加法的，可变成两个行列式C.行列式如果某一行（列）有公因子的，可以提出来其中，B 点最容易被忽略掉！！！例题：已知abcd=1k nA nn O *B mm =A nn *OB mm =A BO A nn B mm*=*A nn B mmO=(-1)mnA Bdet(diag (A 1,A 2,...A n ))=det(A i )i =1nÕD=a2+1a2a1a1 b2+1b2b1b1 c2+1c2c1c1 d2+1d2d1d1=abcd a11a21ab11b21bc11c21cd11d21d+1a2a1a11b2b1b11c2c1c11d2d1d1不用计算每一个行列式值为多少，观察发现此式正好得03. 范德蒙德行列式注意：范德蒙德行列式第一行（列）从1开始到n-1次方，从上到下或从左到右升幂不同底数来说，右边减左边或下边减上边，这就是i 和j 的用处=(x i-x j)n ³i >j ³1Õ4.几种n阶行列式的巧算办法：见笔记本5.克拉默法则：解决伴随矩阵问题的好方法。

线性代数公式大全

线性代数公式大全1、行列式n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ；代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)22(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =；行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C AB CB O B==、(1)m n CA OA AB B OB C==-⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nn k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1. A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）；⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关； ⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解；⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；⇔A 的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则： Ⅰ、12s A A A A =；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O B B O AO ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） ⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1.一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：r m nE OF O O ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭；等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ ；行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1x A b -=；初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵； ②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k -=，例如：1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =； ③、若AB ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnn m a b C a C a b C ab Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑；注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：111102---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C C CC CCrC nC ；③、利用特征值和相似对角化：伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A-=关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程；线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩；②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数） ③、()1212n n x x a a a x β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1. m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T TTm βββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程）矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14) ()()T r A A r A =；(101P 例15)n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关⇔0α=； ②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；线性相关与无关的两套定理：若12,,,s ααα线性相关，则121,,,,s s αααα+必线性相关；若12,,,s ααα线性无关，则121,,,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤(二版74P 定理7)；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；（86P 定理3）向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解； ()(,)r A r A B ⇔=（85P 定理2）向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==（85P 定理2推论）方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P =；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价：~cA B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）；对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩；若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯线性表示为：（110P 题19结论）1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =（B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法）注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用； ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E =()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；（87P ）②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E =()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关；12,,,s ααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立；（定义）⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-；若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关；（111P 题33结论）5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩；②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±； ③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =；121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ，其中可逆； ⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ；相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则T C AC B =⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； A 为对称阵，则A 为二次型矩阵； n 元二次型T x Ax 为正定：A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =； A ⇔的所有特征值均为正数； A ⇔的各阶顺序主子式均大于0；0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)。

考研线性代数知识点全面总结

《线性代数》复习提纲第一章、行列式1．行列式的定义：用2n 个元素ij a 组成的记号称为n 阶行列式。

（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；<2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N 阶（n ≥3）行列式的计算：降阶法定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。

~特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；◊行列式值为0的几种情况：Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。

3.概念：全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(。

定理：一个排列中任意两个元素对换，改变排列的奇偶性。

奇排列变为标准排列的对换次数为基数，偶排列为偶数。

n 阶行列式也可定义：n q q q na a a ⋯=∑21t211-D ）（，t 为n q q q ⋯21的逆序数4.行列式性质：1、行列式与其转置行列式相等。

%2、互换行列式两行或两列，行列式变号。

若有两行(列)相等或成比例，则为行列式0。

3、行列式某行（列）乘数k,等于k 乘此行列式。

行列式某行（列）的公因子可提到外面。

4、行列式某行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。

5、行列式某行（列）乘一个数加到另一行（列）上，行列式不变。

6、行列式等于他的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。

（按行、列展开法则）}7、行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和为0.5.克拉默法则：：若线性方程组的系数行列式0D ≠，则方程有且仅有唯一解DD D Dx D D n =⋯==n 2211x ,x ，，。

线性代数重要公式定理大全

线性代数重要公式定理大全线性代数是数学中的一个重要分支，它研究矩阵、向量、线性方程组等基本概念和性质，并运用线性代数的理论和方法解决实际问题。

在学习线性代数时，了解一些重要的公式和定理，不仅可以帮助我们更好地理解和应用线性代数的知识，还能为进一步学习和研究提供基础。

在线性代数中，有许多公式和定理与行列式、矩阵、向量、线性变换和特征值等相关。

下面我将介绍一些重要的公式和定理，希望对你的学习有所帮助。

一、行列式的公式和定理1. 行列式的定义：设有n阶方阵A，它的行列式记作，A，或det(A)，定义为：A，=a₁₁A₁₁-a₁₂A₁₂+...+(-1)^(1+n)a₁ₙA₁其中，a₁₁，a₁₂，...，a₁ₙ分别是矩阵第一行元素，A₁₁，A₁₂，...，A₁ₙ是矩阵去掉第一行和第一列的余子式。

2.行列式的性质：（1）行互换改变行列式的符号，列互换改变行列式的符号。

（2）行列式相邻行（列）对换，行列式的值不变。

（3）行列式其中一行（列）中的各项都乘以同一个数k，行列式的值也乘以k。

（4）互换行列式的两行（列），行列式的值不变。

（5）若行列式的行（列）的元素都是0，那么行列式的值为0。

（6）行列式的其中一行（列）的元素都是两数之和，那么行列式的值等于两个行列式的值之和。

3.行列式的计算：（1）按第一行展开计算行列式：将行列式的第一行元素与其所对应的代数余子式相乘，然后加上符号，得到行列式的值。

（2）按第一列展开计算行列式：将行列式的第一列元素与其所对应的代数余子式相乘，然后加上符号，得到行列式的值。

4.行列式的性质定理：（1）拉普拉斯定理：行列式等于它的每一行（列）的元素与其所对应的代数余子式的乘积之和。

（2）行（列）对阵定理：行列式的值等于它的转置矩阵的值。

（3）行列式的转置等于行列式的值不变。

二、矩阵的公式和定理1.矩阵的定义：将一个复数域上的m行n列数排成一个长方形，并按照一定的顺序进行排列，这个排列称为一个m×n矩阵，其中m是矩阵的行数，n是矩阵的列数。

大一线性代数知识点公式

大一线性代数知识点公式线性代数是大一数学课程中的一门重要学科，涵盖了许多核心概念和基本公式。

下面将介绍一些大一线性代数中常见的知识点和相关公式。

1. 向量的加法和标量乘法向量的加法和标量乘法是线性代数中最基本的运算。

对于向量v和w，其加法定义为：v + w = (v₁ + w₁, v₂ + w₂, ..., vₙ + wₙ)其中vᵢ和wᵢ是向量v和w的第i个分量。

标量乘法定义为：k · v = (k · v₁, k · v₂, ..., k · vₙ)其中k是一个实数。

2. 向量的点乘和模长向量的点乘也称为向量的内积或数量积。

对于向量v和w，其点乘定义为：v ∙ w = v₁w₁ + v₂w₂ + ... + vₙwₙ点乘的结果是一个实数。

另外，向量的模长定义为：‖v‖ = √(v₁² + v₂² + ... + vₙ²)模长表示向量的长度或大小。

3. 矩阵的加法和标量乘法矩阵的加法和标量乘法也是线性代数中常见的操作。

对于m×n 的矩阵A和B，其加法定义为：A +B = [aᵢₙ + bᵢₙ]其中aᵢₙ和bᵢₙ是矩阵A和B的第i行第j列的元素。

标量乘法定义为：k · A = [kaᵢₙ]其中k是一个实数。

4. 矩阵的乘法矩阵的乘法是线性代数中最重要的运算之一。

对于m×n的矩阵A和n×p的矩阵B，它们的乘积AB定义为：AB = [cᵢₙ]其中cᵢₙ是矩阵乘积的第i行第j列的元素，计算公式为：cᵢₙ = aᵢ₁b₁ₙ + aᵢ₂b₂ₙ + ... + aᵢₙbₙₙ5. 行列式的计算行列式是线性代数中独特的概念，用于描述矩阵的性质。

对于n阶方阵A，其行列式定义为|A|或det(A)。

行列式的计算公式较复杂，可以通过展开定理、高斯消元法等方法进行计算。

6. 矩阵的转置和逆矩阵的转置是将其行和列对调得到的新矩阵。

线性代数重要知识点总结

线性代数N阶行列式定理1：任意一个排列经过对换后，其奇偶性改变。

推论：奇排列变成自然数顺序排列的对换次数为奇数，偶排列变成自然数顺序排列的对换次数为偶数。

定理2：n个自然数（n-1）共有n!个n级排列，其中奇偶排列各占一半。

行列式的性质性质1：行列式与它的转置行列式相等。

性质2：交换行列式的两行（列），行列式变号。

*注2：交换i,j两列，记为ri↔ri（ci↔cj）。

推论1：如果行列式中有两行（列）的对应元素相同，那么该行列式必为零。

性质3：用数k乘行列式的某一行（列），等于用k乘此行列式。

注3：第i行（列）乘以k，记为ri×k（ci×k）。

推论2：行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。

推论3：在一个行列式中，如果有两行（列）元素成比例，则这个行列式必等于零。

性质4：如果将行列式的某一行（列）的每个元素都改写成两个数的和，则此行列式可写为两个行列式的和，且这两个行列式分别为所在行（列）对应位置的元素，其它元素不变。

#注4：上述结果可推广到有限个数和的情形。

性质5：将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数k后加到另一个行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变。

注5：以数k乘第j行加到第i行上，记作ri+krj；以数k乘第j列加到第i列上，记作ci+kcj。

行列式按行（列）展开余子式：Mij 代数余子式：Aij=（-1）i+j Mij引理：一个n阶行列式D,若其中第i行所有元素除aij外都为0，则该行列式等于aij 与它代数余子式的乘积，即D=aijAij[定理：行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。

推论：行列式某一行（列）的每元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零。

k阶行列式：在n阶行列式D中，任意选定k行k列，位于这些行和列交叉处的k²个元素，按原来顺序构成一个k阶行列式M,称为D的一个k阶子式，划去这k行k列，余下的元素按原来的顺序构成一个n-k阶行列式，在其前面冠以符号(-1)的（i1+i2+…+i k+j1+j2+…+j k）次方，称为M的代数余子式，其中i1,i2,…,i k为k阶子式M在D中的各行标，j1,j2,…,j k为M在D 中的各列标。

线性代数重要定理

=（ a1 , a2 ,..., an ）
有时，向量也可以写成一列：
a1 a 2 = an
称为列向量。二、把分量全是零的向量，称为零向量，记作 0，即 0=（0，0，...，0）把向量（ - a1 ,-a2 ,...,-an ）称为向量 =（ a1 , a2 ,..., an ）的负向量，记作- ，即 - =（ - a1 ,-a2 ,...,-an ）三、设向量 =（ a1 , a2 ,..., an ）和向量 (b1 , b2 ,..., bn ) ，如果它们对应的分量均相等，即
k1 1, k 2 k3 ... k m 0 ，于是 1, k 2 ,..., k m 是一组不全为 0 的数，从而有 k11 k 2 2 ... k m m 1 1 0 2 ... 0 m 0 ，
因此向量组 1 , 2 ,..., m 线性相关。十一、两个向量线性相关的充分必要条件是它们的各对应分量成比例。十二、如果一个向量组的一部分向量线性相关，则整个向量组就线性相关。十三、如果一个向量组线性无关，那么它的任意一个部分分向量也线性无关。十四、设向量 1 , 2 ,..., m 线性无关，若添加向量β后所得向量组 1 , 2 ,..., m , 线性相关，则β可由 1 , 2 ,..., m 线性表示。十五、设
ai bi
（i=1，2，...，n），
则称这两个向量相等，记作 =β。 n 维向量之间的基本关系是以向量的加法和数量乘法来表示的。四、设向量 = （ a1 , a2 ,..., an ）和向量 (b1 , b2 ,..., bn ) ，则向量 ( a1 b1 , a2 b2 ,..., an bn ) 称为向量和β的和，记作 +β，即

线性代数重要结论大全

线性代数必考知识点1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)22(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C ABC B O B ==、(1)m n C A O AA B B O B C==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nn k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；7. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）；⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关； ⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解；⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A 的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是nR 的一组基； ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则： Ⅰ、12s A A A A = ； Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； ②、111A O A O O B OB ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O B B O AO ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） ⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nE OF OO ⨯⎛⎫=⎪⎝⎭；等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ ； 2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1x A b -=； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k-=，例如：1111(0)11kk k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =；③、若A B ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnn m a b C a C a b C a b Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑ ；注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====- m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：11112---+-===+==∑nm n mmm m r nr r n nn n nnn n r C C CC CCrC nC ； ③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0；③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩ ； ②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax ba a a xb ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数）③、()1212n n x x aa a x β⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ）； ④、1122n n a x a x a x β+++= （线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα 构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A = ααα； m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T T Tm βββ 构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14)4. ()()T r A A r A =；(101P 例15)5.n 维向量线性相关的几何意义： ①、α线性相关 ⇔0α=；②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s ααα 线性相关，则121,,,,s s αααα+ 必线性相关；若12,,,s ααα 线性无关，则121,,,s ααα- 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解；()(,)r A r A B ⇔= 向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P = ；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价：~c A B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 9.对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10.若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； ①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯ 可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯ 线性表示为：1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K = （B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴= ；充分性：反证法）注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关； 14. 12,,,s ααα 线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++= 成立；（定义）⇔1212(,,,)0s s x x x ααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r s ααα< ，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-； 16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ- 为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ- 线性无关；5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i ja a i j n i j=⎧==⎨≠⎩ ； ②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±； ③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=---- ; 3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B ，P 、Q 可逆；()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ，其中可逆；⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ； 5. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则T C AC B =⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵； 7. n 元二次型T x Ax 为正定：A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =； A ⇔的所有特征值均为正数； A ⇔的各阶顺序主子式均大于0； 0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)。

线性代数基本定理

线性代数基本定理行列式1、对于线性方程组，若系数行列式的值D≠0，则方程组有唯一解。

2、若线性方程组的系数行列式D≠0，则方程组有唯一解。

3、若线性方程组无解或有无穷多个解，则它的系数行列式必为零。

4、若齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则齐次线性方程组只有0解，没有非零解。

5、若齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零，即D=0。

矩阵1、方阵为满秩矩阵的充分必要条件是|A|≠0；（方阵A可逆的充分必要条件是A为满秩矩阵）。

2、设A是m×n矩阵，则齐次线性方程组A x=0有非零解得充分必要条件为R（A）＜n。

向量组的线性相关性1、一个向量线性相关的充分必要条件是α=0；α是线性无关的充分必要条件是α≠0。

两个向量线性相关的充分必要条件是它们对应的分量成比例。

2、向量b能由向量组α1，α2，…，αn线性表示的充分必要条件是：线性方程组x1α1+ x2α2+…+ x nαn=b有解。

3、向量组α1，α2，…，αn线性相（无）关的充分必要条件是齐次线性方程组有（无）非零解。

阐述：根据向量线性相关的定义，若向量组α1，α2，…，αn线性相关，则存在一组不全为零的数λ1，λ2，…，λn，使λ1α1+λ2α2+…+λnαn=0,即齐次线性方程组x1α1+ x2α2+…+ x nαn=0有非零解。

反之，若齐次方程组有非零解，则向量组线性相关。

向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组仅有零解。

4、n个n维向量线性相关的充分必要条件是它们排成的n阶行列式的值等于零。

5、当m＞n时，m个n维向量一定线性相关。

6、向量组线性无关的充分必要条件是向量组的秩等于该向量组所含向量的个数；向量组线性相关的充分必要条件是向量组的秩小于该向量所含向量的个数。

7、向量组与它的任意一个极大无关组等价。

8、一个向量组的任意两个极大无关组等价。

9、若向量组A能由向量组B线性表示，则R(A)≤R(B)，即“秩小的可以表示秩大的”。

线性代数-考研笔记

第一章行列式性质1 行列式与它的转置行列式相等。

性质2互换行列式的两行（列），行列式变号。

推论如果行列式的两行（列）完全相同，则此行列式等于零。

性质3行列式的某一行（列）中所以的元素都乘以同一个数，等于用数乘以此行列式。

第行（或者列）乘以，记作(或)。

推论行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。

第行（或者列）提出公因子，记作(或)。

性质4行列式中如果两行（列）元素成比例，此行列式等于零。

性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第列的元素都是两数之和，则等于下列两个行列式之和：′′′=′′′性质 6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。

定义在阶行列式，把（）元所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做（）元的余子式，记作；记，叫做（）元的代数余子式。

引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除（）元外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即定理3(行列式按行按列展开法则) 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即，，，或，，推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。

和范德蒙德行列式克拉默法则①如果线性方程组①的系数行列式不等于零，即，那么，方程组①有唯一解，，，其中，，，是把系数行列式矩阵中第列的元，，素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即，，定理4 如果非齐次线性方程组的系数行列式，则非齐次线性方程组一定有解，且解是唯一的。

定理如果非齐次线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。

定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式，则齐次线性方程组没有非零解定理如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零第二章矩阵级其运算定义1 由个数，，，排成的行列的数表，称为行列矩阵；以数为，元的矩阵可简记作（）或（）矩阵也记作。

行数和列数都等于的矩阵称为阶矩阵或阶方阵。

线性代数拉普拉斯定理

线性代数拉普拉斯定理
拉普拉斯定理是线性代数中一个重要的定理，它指出，一个多项式的定义域为实数系数的函数f（x）可以写成一系列的导数，而其积分可以写成多项式的形式。

拉普拉斯定理提供了一个易于研究与应用的工具，用于解决多项式的极值问题，以及获取与之相关的应用。

拉普拉斯定理的基本原理是，对某个多项式的定义域的函数f （x）的求导和求积分是一个完全等价的操作。

拉普拉斯定理
蕴含着一个强大的思想：积分总是可以转换成相应的分析。

因此，它为确定函数f（x）的极大值、极小值等极值问题提供
了一种强有力的方法。

拉普拉斯定理还可用于解决许多经典数学问题，如求一个特定多项式f（x）的零点。

当求取函数f（x）的零点时，拉普拉
斯定理被用来代替穷举法。

同样，它也可用于求解函数f（x）的极值问题，从而节省了我们的计算时间。

拉普拉斯定理在数学和科学至关重要，它已经成为解决许多复杂问题的简单而有效的解决方案。

它提供了一种有效的方法，可以用于分析多项式的表示，从而加快科学上的计算准确度和优化经济上的效率。

因此，拉普拉斯定理的应用被广泛使用在社会各个领域，如统计学、运筹学、物理学、计算机科学等等。