24.6(2)实数与向量
九年级数学上册246实数与向量相乘教案沪教版五四制
实数与向量相乘教学内容：一、实数与向量相乘的运算设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作ka 。
若是0k ≠，且0a ≠，那么ka 的长度ka k a =； ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时ka 与a 反方向，若是0k =或0a =，那么0ka =。
二、 实数与向量相乘知足的运算律：设m 、n 为实数，那么（1）实数与向量相乘的结合律：()()m na mn a =；（2）实数与向量相乘关于实数加法的分派律：()m n a ma na +=+； （3）实数与向量相乘关于向量加法的分派律：()m a b ma mb +=+。
3、平行向量定理 若是向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =。
4、单位向量长度为1的向量叫单位向量。
设e 为单位向量，那么1e =。
单位向量有无数个，不同的单位向量，是指它们的方向不同。
关于任意非零向量a ，与它同方向的单位向量记作0a 。
由实数与向量的乘积可知：0a a a =，01a a a =。
精解名题： 例一、如图，已知非零向量a ，求作：（1）223a a -+； (2) 532a a - −→−a例2、 计算：（1）33()22a a b -+-； （2） 1112()5(2)324a b a b +-+例3、如图，已知△ABC ，AD 、BE 、CF 是中线，G 为重心，且BC a =， AD b =。
用a 、b 表示以下向量：（1）AB ；（2）CA ；（3）BE ；（4）CF 。
例4、以下语句中，错误的选项是（ ） A ．单位向量与任何向量都平行；B ．已知a 、b 、c 是非零向量，若是a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；C ．已知a 、b 、c 是非零向量，若是2a b c +=，3a b c -=，那么a 与b 是平行向量；D ．关于非零向量a ，它的长度为5，与它同方向的单位向量记作0a ，由实数与向量的乘积，可知015a a =． 例5、如图，在△ABC 中，AB a =，AC b =，延长AB 到点1B ，使15AB AB =，延长AC 到点1C ，使15AC AC =，连接11B C ，求BC 和11B C ，并判定BC 与11B C 是不是平行。
沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》(第2课时)教学设计
沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》（第2课时）教学设计一. 教材分析《实数与向量相乘》是沪教版数学九年级上册第24.6节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了实数和向量的基本概念，以及向量的数乘运算的基础上进行学习的。
实数与向量相乘是向量运算中的一个重要部分，它不仅加深了学生对向量运算的理解，也为后续学习向量的线性组合以及向量空间等高级内容打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对于实数和向量的基本概念有一定的了解。
但是，对于实数与向量相乘的理解可能会存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要教师通过生动的例子和实际操作，帮助学生理解和掌握这一概念。
三. 教学目标1.让学生理解实数与向量相乘的概念和运算规则。
2.培养学生运用实数与向量相乘解决实际问题的能力。
3.提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
四. 教学重难点1.实数与向量相乘的概念。
2.实数与向量相乘的运算规则。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法进行教学。
通过生动具体的例子，引导学生思考和探索实数与向量相乘的概念和运算规则，通过小组合作，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实例。
2.准备教学PPT和板书设计。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出实数与向量相乘的概念。
例如，在平面直角坐标系中，给定一个向量和一个实数，如何通过平移的方式得到一个新的向量。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示实数与向量相乘的定义和运算规则，同时给出相关的实例，让学生直观地理解和感受实数与向量相乘的概念。
3.操练（10分钟）让学生通过实际的例题，练习实数与向量相乘的运算，教师在这个过程中，及时给予指导和反馈，帮助学生理解和掌握实数与向量相乘的规则。
4.巩固（5分钟）通过一些选择题和填空题，让学生巩固实数与向量相乘的概念和运算规则。
5.拓展（5分钟）让学生思考和探索实数与向量相乘的应用，例如，在物理中，实数与向量相乘可以表示力的大小和方向，引导学生将数学知识应用到实际问题中。
沪教版(上海)九年级上册数学 24.6-24.7实数与向量相乘 向量的线性运算 同步练习
24.6-24.7实数与向量相乘 向量的线性运算 同步练习一、选择题1. 若四边形ABCD 的对角线交于点O ，且有，则以下结论正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．2.在正六边形ABCDEF 中，O 为其中心，则2FA AB BO ED +++=u u u r u u u ru u u ru u u r（）A.FE u u u rB.AC u u u rC.DC u u u rD.FC u u u r3.已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C)，则AP =u u u r( )A ．(),(0,1)AB AD λλ+∈u u u r u u u r B ．2(),(0,)2AB BC λλ+∈u u u r u u u rC ．(),(0,1)AB AD λλ-∈u u u r u u u r D ．2(),(0,)2AB BC λλ-∈u u u r u u u r4. 已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于 ( )A ．2B ．3C ．4D ．55.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，，那么等于（ ）A ．B ．C ．D ．6.在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，123AD DB CD CA CB λ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，，则λ=( )A.23B.13C.13-D.23-二、填空题7．已知向量,a b r r ，且AB →＝2a b +rr ，BC →＝56a b -+r r ，CD →＝72a b -r r ，共线的三点是__________．8. 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若 AC →＝λAE →＋μAF → ，其中λ、μ均为实数，则λ＋μ＝________.9. 已知AD 是△ABC 的中线，点G 是△ABC 的重心，=，那么用向量表示向量为 ．10.如图所示，已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量为123 r r r u r u r u r 、、，则OD u u u r=_______________.11. 如图，已知四边形ABCD ，点P ，Q ，R 分别是对角线AC,BD 和边AB 的中点，设,BC a DA b ==u u u r r u u u r r ，则向量PQ uuu r 关于向量,a b r r的分解式为 .12.如图，在△ABC 中，点E 、F 分别在边AC 、BC 上，EF ∥AB ，CE=AE ，若=，=，则= ．三、解答题13. 如右图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知 AM →＝c r ，AN →＝d ur ，试用c r ，d u r 表示 AB →，AD →.14. 已知O 、A 、B 是不共线的三点，且 OP →＝mOA →＋nOB →(m 、n 均为实数)．(1)若m ＋n ＝1，求证：A 、P 、B 三点共线； (2)若A 、P 、B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.15.如图，在△ABC中，AB=AC=12，DC=4，过点C作CE∥AB交BD的延长线于点E，=，=．（1）求（用向量、的式子表示）；（2）求作向量+（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．答案与解析 一、选择题 1.【答案】A ． 【解析】解：A 、∵，∴AB ∥CD ，AB=2DC ， ∴△OAB ∽△OCD ，∴OA ：OC=AB ：DC=2：1， ∴OA=2OC ， ∴=2；故正确； B 、||不一定等于||；故错误；C 、≠，故错误；D 、=；故错误．2.【答案】B【解析】,FA BO AB ED OC =-==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2BO AB BO OC AB BO OC AO OC AC ∴-+++=++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r原式=.3.【答案】A4.【答案】B【解析】由 MA →＋MB →＋MC →＝0得： MB →＋MC →＝－MA →①由向量的减法的三角形法则得： 2MB MA ABMB MC MA AB ACMC MA AC ⎧-=⎪⇒+-=+⎨-=⎪⎩u u u r u u u r u u u ru u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ②将②代入①得：1()3AM AB AC =+u u u u ru u ur u u u r ∴M 为△ABC 的重心设BC 的中点为D ，得，AB →＋AC →＝2AD →，又AM →＝23AD →，故m ＝3.5.【答案】B【解析】∵▱ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，∴OA=OC=AC ， ∵=，=，∴==（+）=+，故选B ．6．【答案】A【解析】在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD u u u r =2DB u u u r ，13CD CA CB λ=+u u u r u u u r u u u r，则22()33CD CA AD CA AB CA CB CA =+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1233CA CB =+u u u r u u u r ，∴23λ=.二、填空题7.【答案】A 、B 、D 【解析】AB →＋BC →＋CD →＝AD →＝36a b +r r ，∵AD →＝3AB →，∴A 、B 、D 三点共线． 8．【答案】43【解析】设AB →＝a r ，AD →＝b r， 那么AE →＝12a b +r r，AF →＝12a b +r r. 又∵AC →＝a b +r r， ∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.9.【答案】﹣．【解析】∵三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍 ∴=﹣．∴用向量表示向量为﹣．10.【答案】132r r r +-u r u r u r【解析】∵132OD OA AD OA BC OA OC OB r r r =+=+=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u r u r u r .11.【答案】1122a b --r r【解析】∵点P ，Q ，R 分别是对角线AC,BD 和边AB 的中点 ∴1122PR BC a =-=-u u u ru u u r r ，1122RQ DA b =-=-u u u ru u ur r又∵PQ PR RQ =+u u u r u u u r u u u r∴1122PQ a b =--u u u rrr 12.【答案】﹣【解析】∵=，=， ∴=﹣=﹣，∵EF ∥AB ，∴△CEF ∽△CAB ， ∴，∵CE=AE ， ∴==﹣．三、解答题： 13．【解析】解法一：设AB →＝a r ，AD →＝b r，则a r ＝AN →＋NB →＝d u r ＋(－12b r)①b r ＝AM →＋MD →＝c r ＋(－12a r)②将②代入①得a r ＝d u r ＋(－12)[c r ＋(－12a r)]⇒a r ＝43d u r －23c r，代入②得b r ＝c r ＋(－12)(43d u r －23c r )＝43c r －23d ur .即AB →＝43d ur －23c r ，AD →＝43c r －23d u r .解法二：设AB →＝a r ，AD →＝b r.因为M ，N 分别为CD ，BC 的中点， 所以BN →＝12b r ，DM →＝12a r ，1212c b ad a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩r r r u r r r 解得：2(2)3a d c =-r u r r ，2(2)3b c d =-r r u r即AB →＝43d ur －23c r ，AD →＝43c r －23d u r ．14. 【解析】证明：(1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m)OB →＝OB →＋m(OA →－OB →)， ∴OP →－OB →＝m(OA →－OB →)， 即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线, 又因为BP 与BA 有公共点B ， ∴A 、P 、B 三点共线．(2)若A 、P 、B 三点共线，则BP →与BA →共线，故存在实数λ，使BP →＝λBA →， ∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)，由条件得：mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →， 即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0. 因O 、A 、B 不共线，∴OA →、OB →不共线，由平面向量基本定理知⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0∴m ＋n ＝1. 15. 【解析】 解：（1）∵CE ∥AB ， ∴，∵AB=AC=12，DC=4，∴AD=8； ∴=，∴AB=2CE ， ∵， ∴， ∴=﹣=﹣；（2）如图，即为所求．∵AB∥CE，∴BD：DE=AB：CE=2，∴===﹣，∵=+=+，∴+=+．。
沪教版九年级上册 24.4 平面向量的运算 讲义
,a b作图++=)()()a a a+-+-=？a a a即几个相同的向量相加，是否能像几个相同的数相加一样呢？以上面问题作图说明一下。
-；,3a a=++，又由于OC与a方向相同且3 OA AB BC a===，此时OC a a a=OC a++=同理：()()()3a a a aOC a=，∴33-+-+-=-a a a a13OC OA =根据实数与向量相乘的意义画图后与学生共同归纳，数与向量相乘的积是一个与原向量平行的向量．a 为向量，我们用na 表示n 个a 相加；用na 表示n 个a 相加．又当a 表示与a 同向且长度为|na m的向量. 在此基础上规定向量的另一种新的运算，即实数与向量相乘的运算：为实数，a 为向量；如果0,0k a ≠≠，那么ka 的长度ka k a =；ka 的方向：当0k >a 同方向；当0时，ka 与a 反方向。
如果或0a =，那么0ka =；根据实数与向量相乘的意义：ka a、DC 的三等分点，,AB a DA b ==试用向量,a b 表示向量1,3AE a AD b ==-；,a b ，求作（a a + （2）32a （3）2()ab + （4）2a b + （5）2(3a 。
观察、比较（）与（2），（3）与（），（5）与（6）的结果，你有什么发现？ 参考答案：图略；32a a a +=；2()22ab a b +=+；2(3)6a a = 讨论：通过前面的发现，讨论总结一下实数与向量相乘运算的一般规律。
注意引导实数变成一般字母的规律；同时注意让学生体会实数为负数同样成立的举例验证,a b 为向量，则）实数与向量相乘的结合律：)()na mn a =；）实数与向量相乘对于实数加法的分配律：()m n a ma ma +=+；）实数与向量相乘对于向量加法的分配律：()m a b ma nb +=+． ,a b 恒有：)m a b ma mb -=-和向量a ，恒有()m n a ma na -=-a ，若(0)ma na a =≠，则m 11322)8()63443a b c a b c -++-+⨯. ,,a b x 满足关系式)5()a b b x +=-，试用向量,a b 表示向量x .．C ．5710a b c -+ 3．3255x a b =-+ a 是非零向量，(0)b ma m =≠，那么向量a 与b 有什么位置关系？m 为正数，则a 与b 同向，a b ；m 为负数，则a 与b 反向，a b ．ABCD 中，AD BC ，EF 是梯形中位线，AD a =,能将向量a 表示出来吗？参考答案：∵AD BC EF ∴AD CB EF 且EF CB 与a 同向，EF 与a 反向；又2,4,3,a CB EF ===32,2CB EF aa==∴32,2CB a EF a =-=备注：老师适当给出规范过程供学生模仿；讨论：已知a 是非零向量，如果a b ，那么b 能用a 表示出来吗？b 是非零向量，那么由a b 可知a 与b 同向或反向；设b k a=，得b k a =；当a 与b 同向时，b ka =；当a 与b 反向时，b ka =-，如果0b =，那么0b a =；平行向量定理：如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一实数m ，使b ma =. a ，b ，满足2()a b a b -=+，判断向量a ，b 是否平行？15,3a cbc ==-，其中c 是非零向量，判断向量a ，b 是否平行？参考答案：1．平行； 2．平行 e 表示，模长表示为：1e =，则下列说法e 有无数个不同的单位向量，它们的方向不同 设a 是非零向量，且a e ，则a a e = D a 是非零向量，且a e ，则a a e =± 参考答案：C 备注：重点强调单位向量的概念；试一试：若向量b 与单位向量e 的方向相同，且1||||2b e =，则b ＝________．（用e 表示） 参考答案：12e例题2： 如图，已知两个不平行的向量,a b ．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）解： 如图：,2OA a AB b =-=则2OB a b =-+为所求备注：老师注意总结引出以下概念：1．向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 2．如果,a b 是两个不平行的向量，x 、y 是实数，那么xa yb +叫做,a b 线性组合.例题3：如图，梯形ABCD 中，AB //CD ，E 、F 是AD 、BC 的中点，若AB a =，CD b =，那么用a 、b 的线性组合表示向量EF = ．解：∵AB CD EF ∵2AB CDEF +=13(3)()22a b a b +-+13(3)()22a b a b +-+13322a b a b =+--2a b =-+)AB EF a b =-． 备注：注意已知向量和所求向量的方向，要求学生习惯性在图中标出。
沪教版九年级上册数学-24.7-实数与向量相乘-向量的线性运算-教案
一般地，设 为正整数， 为向量，我们用 表示 个 相加；用 表示 个 相加.又当 为正整数时， 表示与 同向且长度为 的向量.
要点诠释：
设P为一个正数，P 就是将 的长度进行放缩，而方向保持不变；-P 也就是将 的长度进行放缩，但方向相反.
2．向量数乘的定义
一般地，实数 与向量 的相乘所得的积是一个向量，记作 ，它的长度与方向规定如下：
【答案】A．
【解析】
解：如图所示：∵在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，
∴BD=DC，
∵ = ，
∴ = ，
∵ = ，
∴ = + = + ．
故选：A．
类型二、向量的线性运算
例题3．（1）3( - )-2( +2 )； （2）2(2 +6 -3 )-3(-3 +4 -2 )
【答案与解析】
解：（1）原式＝（3 -3 )+（－2） +（－2）2
一组基底中，必不含有零向量．
(2) 一个平面向量用一组基底 表示为 形式，叫做向量的分解，当 相互垂直时，就称为向量的正分解.
(3)以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同．
3．用向量方法解决平面几何问题：
（1）利用已知向量表示未知向量
（2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
2．向量的分解：
平面向量基本定理：如果 是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ，使得 .
要点诠释：
（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量 叫做这一平面内所有向量的一组基底.
24.6(1)实数与向量相乘(一)
（5）向量模： 向量的长度。
模可以比较大小但向量不可以
课前复习:
1.向量的加法运算
三角形法则
AB+BC= AC
A B
C
平行四边形法则
B C
OA+OB= OC
O A
首尾相接首尾连
课前复习:
多边形法则
E
F
D
AB + BC+ CD+ DE+ EF
C
A
= AF
九年级第一学期数学
24.6（1）实数与向量相乘
课前复习:
向量定义： 既有大小 又有方向 的量叫向量。
向量的表示：
几何表示： 有向线段
字母表示： a 、 AB 等
课前复习:
重要概念：
（1）零向量： 长度为0的向量，记作0.
（2）平行向量：方向相同或相反的向量.
（3）相等向量： 长度相等且方向相同的向量.
ka 与a同方向； 3. ka 的方向：1)当k＞0时，
2)当k＜0时， ka 与a反方向；
ka ＝0. 3)若K＝0或a＝0，则：
1.如图：设A,B为两定点，且PA=mAB (m为实数）， O为直线外一点，若OA=a,OB=b,试用a，b表示OP． A B P
OP OA AP
解:
CF CA AF 1 1 1 a m (m a ) 2 2 2 1 3 m a 2 4
B A
F
E G
D
C
1.实数与向量相乘的意义及表示法；
2.若 k≠O，且a ≠O,则：ka的长度为： ka k a .
沪教版九年级(上)数学一课一练及单元测试卷和参考答案
第16题图
三、解答题
17.若 与 是相似形，点A与点 ，点B与点 ，点C与点 分别是对应顶点， ， ，AB=2, =5,BC=3, =6求 的度数与边AC, 的长
18如图所示ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ相似四边形中，求未知边x，y的长度和角 的大小
（A） 8 (B) 6 (C) 10 (D) 4
3．如图，已知梯形ABCD中，AB//CD，如果S△ODC: S△OBC=1:2,S△ODC：S△OBA（）
（A）1:2（B）1:3（C）1:4（D）1:6
第3题图第4题图第5题图
4.如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，垂足分别为B、D，AE与BD相交于点C，则下列各式错误的是（）
（A）1:7（B）1:6 (C). 1:5 (D). 1:3
第4题图第5题图第6题图
5.如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE//AC，已知AB=12，AC=6,则DE的长（）
（A）3（B）4（C）5（D）6
6.在ABC中，AB//EF∥CD，AB=16，CD=48，则EF的长.为（）
（A）8（B）10 (C). 12 (D). 14
21、在梯形ABCD中，AD∥BC,点E在BD的延长线上，且CE∥AB，AC与BD相交于点O，求证：OB2=OD•OE。
数学九年级上第二十四章相似三角形
24.3 三角形一边的平行线 第二课时（1）
一、选择题
1、在△ABC中，DE//BC，DF//AC， ,则 等于 （ ）
(A) (B) (C) (D)
24.6 实数与向量相乘 第一课时（1）57
24.7向量的线性运算 第一课时（1）62
沪教版(上海)九年级上册数学 24.6 实数与向量相乘 课件(共17张ppt)
(2) a≠0
当λ>0时,λa的方向与a方向相同； 当λ<0时,λa的方向与a方向相反；
特别地，当λ=0 或a=0时, λa=0
λa中实数的λ,叫做向量a 的系数
λa
a a 数乘向量的几何意义就是把向量 沿 的方向或反 方向放大或缩短.若a 0,当 1时，沿 a的方 a 向放大了 倍.当〈 0 〈1时沿， 的方向缩短了 倍. a 当 1时,沿 的反方向放大了 倍.当 〈1 〈0时， a沿 的反方向缩短了 倍.由其几何意义可以看出
导入新课
a
3a = a +
a
+
a
A
B
C
D
a
-
3a
＝(-
a
)
+ (-
a
) + (-
a)
A
B
C
D
? 相同向量相加后,和的长度与方向有什么变化
a
aaa
-a -a -a O
A 3a B
C
N
M
Q
P
-3a
一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa，
它的长度和方向规定如下：
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。
a、b,
、1、2，
对于任意的向量
以及任意实数
恒有
(1a 2b)=1a 2b
基础知识反馈
(1).设 a 是非零向量, 是非零实数,下列结论正确的是
( B).
A. a与 a的方向相反 C. a a
B. a与2 a的方向相同 D. a a
(2).下列四个说法正确的个数有( C ).
沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》(第1课时)教学设计
沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》（第1课时）教学设计一. 教材分析沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》是本册教材中的一个重要内容，主要让学生了解实数与向量相乘的定义和性质。
本节课的内容对于学生来说是比较抽象的，需要通过具体实例和实际操作来理解和掌握。
教材中通过丰富的例题和练习题，帮助学生逐步掌握实数与向量相乘的方法和应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的实数和向量的基础知识，对于实数与向量的乘法有一定的了解。
但是，对于实数与向量相乘的定义和性质，以及其在实际问题中的应用，还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，需要注重学生的实际操作和思考，通过具体的实例和问题，引导学生理解和掌握实数与向量相乘的概念和方法。
三. 教学目标1.了解实数与向量相乘的定义和性质。
2.能够运用实数与向量相乘的方法解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.实数与向量相乘的定义和性质。
2.实数与向量相乘的方法和应用。
五. 教学方法1.实例教学法：通过具体的实例，引导学生理解和掌握实数与向量相乘的概念和方法。
2.问题驱动法：通过提出实际问题，引导学生运用实数与向量相乘的方法解决问题。
3.小组合作法：通过小组合作讨论，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教材和教学参考书。
2.教学PPT或者黑板。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如一个人在平面上向右移动3个单位，向上移动2个单位，引导学生思考如何用数学语言来描述这个人的移动。
2.呈现（15分钟）介绍实数与向量相乘的定义和性质，通过具体的实例来解释和展示实数与向量相乘的方法。
3.操练（15分钟）让学生分组进行实际操作，利用实数与向量相乘的方法解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题，检验学生对实数与向量相乘的理解和掌握程度。
实数与向量相乘及向量的线性运算(基础) 知识讲解
实数与向量相乘及向量的线性运算（基础） 知识讲解【学习目标】1．理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律；2. 对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得的向量； 3．认识两个平行向量的代数表达形式；4. 在向量的线性运算和平行向量定理的学习与应用中体会代数与几何的联系. 【要点梳理】要点一、实数与向量相乘 1. 实数与向量相乘的意义：一般地，设n 为正整数，a 为向量，我们用a n表示n 个a 相加；用an -表示n 个-相加.又当m 为正整数时，a m n 表示与同向且长度为a mn的向量. 要点诠释：设P 为一个正数，P a 就是将a 的长度进行放缩，而方向保持不变；-P a 也就是将a 的长度进行放缩，但方向相反.2．向量数乘的定义一般地，实数k 与向量a 的相乘所得的积是一个向量，记作ka ，它的长度与方向规定如下：（1）如果k 0,a 0且≠≠时，则：①ka 的长度：||||||ka k a =；②ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a 反方向；（2）如果k 0,a=0=或时，则：0ka =，ka 的方向任意.实数k 与向量a 相乘，叫做向量的数乘.要点诠释：（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算；（4）ka 表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（5）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3. 实数与向量的相乘的运算律： 设m n 、为实数，则：（1）()()m na mn a =（结合律）；（2）()m n a ma na +=+（向量的数乘对于实数加法的分配律）；（3）m （+b ）=m a a mb + （向量的数乘对于向量加法的分配律） 要点二、平行向量定理1.单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点诠释：任意非零向量a 与它同方向的单位向量0a 的关系：0a a a =，01a a a=.2.平行向量定理：如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =. 要点诠释： （1）定理中，b m a=，m 的符号由b 与a 同向还是反向来确定.（2）定理中的“a 0≠”不能去掉，因为若a 0=，必有b 0=，此时m 可以取任意实数，使得b ma =成立.（3）向量平行的判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数m ，使b ma =，则向量b 与非零向量a 平行.（4）向量平行的性质定理：若向量b 与非零向量a 平行，则存在一个实数m ，使b ma =. （5）A 、B 、C 三点的共线⇔AB//BC ⇔若存在实数λ，使 AB BC λ=. 要点三、向量的线性运算 1．向量的线性运算定义：向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 要点诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．向量的分解：平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+. 要点诠释：（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量12,e e 叫做这一平面内所有向量的一组基底. 一组基底中，必不含有零向量．(2) 一个平面向量用一组基底12,e e 表示为1122a e e λλ=+形式，叫做向量的分解，当12,e e 相互垂直时，就称为向量的正分解.(3) 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同． 3．用向量方法解决平面几何问题： （1）利用已知向量表示未知向量用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．（2）用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算，研究几何元素的关系. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 【典型例题】类型一、实数与向量相乘1. 已知非零向量a，求作,a 3,a 25- 并指出它们的长度和方向. 【答案与解析】解：如下图， (1)在平面内任取一点O ，作OA a =； (2)在射线OA 上，取5OB OA 2=，则5OB a 2=；a 25的长度是5a 2且与a 同向.(3)在射线OA 的反向延长线上，取OC =，则OC 3a =-a 且与a 反向.【总结升华】向量既有大小又有方向，作实数与向量相乘的积向量时两方面都要考虑. 举一反三：【变式】已知单位向量e ，若向量a 与e 的方向相同，且长度为4，则向量a = （用e 表示）.【答案】4e2. 已知平行四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是各边的中点，EG 与FH 相交于点O.设AD a =，BA b =，请用向量a 或b 表示向量,OE OF ，并写出图中与向量OE 相等的量.【答案与解析】解：11OE FA BA b 22===；11OF EA AD a 22==-=-与OE 相等的向量有：BF ，FA ，GO ，CH ，HD【总结升华】用已知向量表示未知向量，既要看未知向量与已知向量之间的大小关系又要看方向关系.类型二、向量的线性运算3．（1）3(a -b )-2(a +2b )； （2）2(2a +6b -3c )-3(-3a +4b -2c )【答案与解析】解：（1）原式＝（3a -3b )+（－2）a +（－2）2b ＝ 3a -3b －2a －4b ＝a -7b（2）原式＝2(2a )+2（6b ）-2（3c ）+（-3）(-3a )+（-3）)（4b ）+（-3）(-2c )＝（4a +12b -6c )+9a -12b +6c ＝（4+9）a +（12-12）b +（-6+6）c ＝13a【总结升华】向量的线性运算与多项式的运算相类似. 举一反三：【变式】计算：（1）(3)4a -⨯； （2）3()2()a b a b a +---； 【答案】解：（1）原式=12a -； （2）原式=5b ．4．已知向量a 和向量b ，求作向量a -2b .【答案与解析】解：如图，在平面内任取一点O ，作OA a =，2OB b =，则2BA OA OB a b =-=-即BA 即为所求.【总结升华】解题的关键是向量加法，减法及数乘运算法则，掌握数形结合思想的应用. 举一反三：【变式】已知向量a 表示“向东航行1km ”，向量b 表示“向南航行1km ”，则向量a+b 表（ ）.A ．向东南航行2km C ．向东北航行2km D ．向东北航行2km 【答案】A5.如图，点M 是△ABC 的边AB 的中点.设CA a =，CB b =，试用a b、的线性组合表示向量CM .【答案与解析】解：∵ M 是线段AB 的中点， ∴12AM AB =,得12AM AB =. 又∵AB b a =-∴111()222CM CA AM a b a a b =+=+-=+【总结升华】若点M 是△ABC 的边AB 的中点，则1122CM CA CB =+，应熟练记忆并灵活运用.举一反三：【变式】如图，AD 是△ABC 中BC 边上的中线，点G 是△ABC 的重心，设AB a =，AC b = 则向量AG ＝ （用a ，b 表示）．【答案】1()3a b +【答案与解析】解：∵AD 是△ABC 中BC 边上的中线，点G 是△ABC 的重心， AB=a ，AC=b ， ∴1()2AD a b =+，而2211()()3323AG AG a b a b ==⨯+=+ ．类型三、平面向量定理的应用6. 如果2,3a b c a b c +=-=，其中c 是非零向量，求证：//a b【答案与解析】证法一：由2,3a b c a b c +=-=，可得：3()2()a b a b +=-， 化简得：5a b =- 由平面向量定理得：//a b证法二：把已知的向量关系式看作关于,a b 的方程，得向量组：23a b ca b c⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 解得: 51,22a cbc ==-由平行向量定理得：//,//a c b c 所以//a b【总结升华】已知条件是两个向量的关系式，其中有三个向量.为判断a 与 b 是否平行，一种思路是利用已知两个向量的关系式，消去c ，找到a 与 b 之间的关系式；另一种思路是把这两个向量的关系式看作关于a 、b 的向量方程，通过解由它们组成的向量方程组，可将这两个向量用c 表示出来.7.如图，已知向量,OA OB 和,p q ，求作：（1）向量p 分别在,OA OB 方向上的分向量； （2）向量q 分别在,OA OB 方向上的分向量.【答案与解析】解：(1)如图1，作向量OP p =；再过点P 分别作//PE OA ,//PD OB ,E 为直线PE 与直线OB 的交点，D 为直线PD 与直线OA 的交点，作向量,OD OE , 则,OD OE 是向量p 分别在,OA OB 方向上的分向量.(2) 如图2，作向量OQ q =；再过点Q 分别作//QF OA ,//QG OB ,F 为直线QF 与直线OB 的交点，G 为直线QG 与直线OA 的交点，作向量,OG OF , 则,OG OF 是向量q 分别在,OA OB 方向上的分向量.【总结升华】这种分解与向量加、减法及数乘运算紧密联系，实际上是这些运算的综合应用. 类型四、综合应用8.如图，已知点A 、B 、C 在射线OM 上，点A 1、B 1、C 1在射线ON 上，111OB OB k OA OA ==，121OC OC k OA OA ==.设OA a =，1OA b =. （1） 分别求向量111AA BB CC 、、关于a 、b 的分解式；（2） 判断向量111AA BB CC 、、是否平行，再指出直线111AA BB CC 、、的位置关系. 【答案与解析】 解：（1）111OB OB k OA OA ==，121OC OC k OA OA ==. 设OA a =，1OA b =可得：12,OB k a OC k a ==，1112,OB k b OC k b == 由向量减法的三角形法则可得：11AA OA OA b a =-=-，11111()BB OB OB k b k a k b a =-=-=-； 11222()CC OC OC k b k a k b a =-=-=-(2)由（1）得：111BB k AA =, 121CC k AA = 由平行向量基本定理得： 11//BB AA ,11//CC AA , 所以 111////BB AA CC ，又它们所在的直线不共线， 所以直线111AA BB CC 、、相互平行. 【总结升华】若证直线AA 1与BB 1平行，需证向量1AA 与1BB 平行且没有公共点；若证A 、A 1 、B 、B 1四点共线，需证向量1AA 与1BB 平行且有公共点. 举一反三：【变式】设1e 和2e 是两个不共线的非零向量，若向量1232AB e e =-，1224BC e e =-+ ，1224CD e e =--，试证明：A 、C 、D 三点共线.【答案】证明：12121232(24)2,AC AB BC e e e e e e =+=-+-+=+∴122,CA e e =--又1224,CD e e =-- ∴2,CD CA =∴CD 与CA 共线， ∴A 、C 、D 三点共线.。
24.6 实数与向量相乘
第四节 平面向量的线性运算§24.6实数与向量相乘教学目标(1)理解实数与向量相乘的意义，掌握实数与向量相乘的表示方法；对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得的向量。
(2)知道实数与向量相乘的运算律，会根据运算律对向量算式进行计算、化简。
(3)知道平行向量定理，会用向量关系式表示两个向量的平行关系；知道单位向量的意义，知道一个非零向量与同方向的单位向量之间的联系。
(4)在从数的运算到向量的运算的认识过程中体会类比的思想；在实数与向量相乘和平行向量定理的学习中体会代数与几何的联系。
教学重点引进实数与向量相乘的运算，使学生掌握实数与向量相乘的表示方法和画图方法。
引进实数与向量相乘的运算律，并用于化简关于向量的算式。
引进平行向量定理和单位向量，并让学生了解利用向量关系式判断两个向量平行的方法。
知识精要1.实数与向量相乘的意义：一般地，设n 为正整数，a 为向量，那么我们用na 表示n 个a 相加；用na -表示n 个a -相加。
又当m 为正整数时，n a m 表示与a 同向且长度为na m的向量。
2.实数与向量相乘的运算规定：设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作ka 。
如果0k ≠，且0a ≠，那么ka 的长度ka k a =；ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a 反方向。
如果0k =或0a ≠，那么0ka =。
根据实数与向量相乘的意义，可知//ka a 。
ka 实际上将a 的长度进行放缩，方向与a 相同或相反。
ka 表示实数k 与a 相乘的运算，规定应把实数写在向量的前面并省略乘号；注意不要将表示向量的箭头写在数字上面。
3.同向的两个向量相加，和向量的方向取同向，长度取和；反向的两个向量相加，和向量的方向同较长向量，长度取差正；相反向量的和向量为零向量。
4.一般地，如果m n 、是非零实数，a 是非零向量，那么 ()m n a ma na +=+。
沪教版数学九年级(上学期)一课一练及单元测试卷和参考答案
沪教版数学九年级上学期一课一练、单元测试卷和参考答案目录第二十四章相似三角形24.1放缩与相似形（1）324.2比例线段（1）624.324.324.324.324.424.4（1）43（1）47（1）52（1）57（1）6267第二十五章锐角三角比25.1锐角三角比的意义（1）7225.2求锐角的三角比的值（1）7525.3解直角三角形（1）7925.4解直角三角形的应用（1）84九年级(上)数学第二十五章锐角的三角比单元测试卷一90第二十六章二次函数26.1二次函数的概念（1）9426.2特殊二次函数的图像第一课时（1）9826.2特殊二次函数的图像第二课时（1）10226.2特殊二次函数的图像第三课时（1）10626.3二次函数y=ax2+bx+c的图像第一课时（1）11126.3二次函数y=ax2+bx+c26.3二次函数y=ax2+bx+c九年级(上)24.1放D.两个等边三角形B.两个正方形D.两个菱形315厘米，则在地图上的距离与实际的4.下列不一定是相似形的是（）A.边数相同的正多边形B.两个等腰直角三角形C.两个圆D.两个等腰三角形5.下列给出的图形中，是相似形的是（）A.三角板的内、外三角形B.两张孪生兄弟的照片C.行书中的“中”楷书中的“中”D.同一棵树上摘下的两片树叶6.下列各组图形中，一定是相似多边形的是（）A.两个直角三角形B.两个平行四边形C.两个矩形D.两个等边三角形7下列图形中，相似的有（）①放大镜下的图片与原来图片；②幻灯的底片与投影在屏幕上的图像③天空中两朵白云的照片④用同一张底片洗出的两张大小不同的照片A.4组B.3组C.2组D.1组8.对一个图形进行放缩时，下列说法正确的是（）A.图形中线段的长度与角的大小都保持不变B.C.D.9.ABC ∆与'''A B C ∆10.11.（1）对应边（2）对应角14.AB=3，A ’B ’=2，则C 四边形ABCD ：C 四，=''C A AC 15.若∆B 与点'B ，点C 与点'C 分别是对应顶点，那么'''B C A ∠的对应角是16.是正方形，若矩形ABCD 与矩形CDEF 相似，则AD 的长为。
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2
22
1m3a
F
24
A
E G
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B
C
D
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五、课堂小结:
1.实数与向量相乘的意义及表示法； 2.若 k≠O，且a ≠O,则：ka的长度为： ka k a .
3
2a 2 a
3
3
2a
3
与a
的关系是什么?
2a 方向与 a 相反
3
2a 2 a 33
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三、归纳总结
设k是一个实数，a是向量，那么k与a 相乘所得的积 是一个向量，记作： ka
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例3. 如图：已知点D、E在△ABC的边AB，AC上， DE∥BC，AD=4DB，试用向量BC表示向量DE．
A
解: ∵DE∥BC，AD=4DB
DE AD 4
D
E
BC AB 5
B
即DE 4 BC
C
5
又 ∵DE与BC同向
3.ka 的方向：1)当k＞0时，ka 与a同方向； 2)当k＜0时，ka 与a反方向； 3)若K＝0或a＝0，则：ka ＝0.
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九年级数学上册246实数与向量相乘教案沪教版五四制
实数与向量相乘教学内容：1、实数与向量相乘的运算设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作ka 。
如果0k ≠，且0a ≠，那么ka 的长度ka k a =；ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时ka 与a 反方向，如果0k =或0a =，那么0ka =。
2、 实数与向量相乘满足的运算律：设m 、n 为实数，则（1）实数与向量相乘的结合律：()()m na mn a =；（2）实数与向量相乘对于实数加法的分配律：()m n a ma na +=+；（3）实数与向量相乘对于向量加法的分配律：()m a b ma mb +=+。
3、平行向量定理如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =。
4、单位向量长度为1的向量叫单位向量。
设e 为单位向量，则1e =。
单位向量有无数个，不同的单位向量，是指它们的方向不同。
对于任意非零向量a ，与它同方向的单位向量记作0a 。
由实数与向量的乘积可知：0a a a =，01a a a =。
精解名题：例1、如图，已知非零向量a ，求作：（1）223a a -+； (2) 532a a - −→−a例2、 计算：（1）33()22a a b -+-； （2） 1112()5(2)324a b a b +-+（3）(3)2(3)a b c a b c +--+- （4）3(22)(32)a b c a b ----例3、如图，已知△ABC ，AD 、BE 、CF 是中线，G 为重心，且BC a =， AD b =。
用a 、b 表示下列向量：（1）AB ；（2）CA ；（3）BE ；（4）CF 。
例4、下列语句中，错误的是（ ）A ．单位向量与任何向量都平行；B ．已知a 、b 、c 是非零向量，如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；C ．已知a 、b 、c 是非零向量，如果2a b c +=，3a b c -=，那么a 与b 是平行向量；D ．对于非零向量a ，它的长度为5，与它同方向的单位向量记作0a ，由实数与向量的乘积，可知015a a =． 例5、如图，在△ABC 中，AB a =，ACb =，延长AB 到点1B ，使15AB AB =，延长AC 到点1C ，使15AC AC =，连接11B C ，求BC 和11B C ，并判断BC 与11B C 是否平行。
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沪教版数学九年级上学期一课一练、单元测试卷和参考答案目录第二十四章相似三角形24.1放缩与相似形（1）324.2比例线段（1）624.324.324.324.324.424.4（1）43（1）47（1）52（1）57（1）6267第二十五章锐角三角比25.1锐角三角比的意义（1）7225.2求锐角的三角比的值（1）7525.3解直角三角形（1）7925.4解直角三角形的应用（1）84九年级(上)数学第二十五章锐角的三角比单元测试卷一90第二十六章二次函数26.1二次函数的概念（1）9426.2特殊二次函数的图像第一课时（1）9826.2特殊二次函数的图像第二课时（1）10226.2特殊二次函数的图像第三课时（1）10626.3二次函数y=ax2+bx+c的图像第一课时（1）11126.3二次函数y=ax2+bx+c26.3二次函数y=ax2+bx+c九年级(上)24.1放D.两个等边三角形B.两个正方形D.两个菱形315厘米，则在地图上的距离与实际的4.下列不一定是相似形的是（）A.边数相同的正多边形B.两个等腰直角三角形C.两个圆D.两个等腰三角形5.下列给出的图形中，是相似形的是（）A.三角板的内、外三角形B.两张孪生兄弟的照片C.行书中的“中”楷书中的“中”D.同一棵树上摘下的两片树叶6.下列各组图形中，一定是相似多边形的是（）A.两个直角三角形B.两个平行四边形C.两个矩形D.两个等边三角形7下列图形中，相似的有（）①放大镜下的图片与原来图片；②幻灯的底片与投影在屏幕上的图像③天空中两朵白云的照片④用同一张底片洗出的两张大小不同的照片A.4组B.3组C.2组D.1组8.对一个图形进行放缩时，下列说法正确的是（）A.图形中线段的长度与角的大小都保持不变B.C.D.9.ABC ∆与'''A B C ∆10.11.（1）对应边（2）对应角14.AB=3，A ’B ’=2，则C 四边形ABCD ：C 四，=''C A AC 15.若∆B 与点'B ，点C 与点'C 分别是对应顶点，那么'''B C A ∠的对应角是16.是正方形，若矩形ABCD 与矩形CDEF 相似，则AD 的长为。
沪教版九年级上册数学(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)
沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习相似形及比例线段（基础）知识讲解【学习目标】1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；2、了解比例线段的概念及有关性质；3、探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征，并根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形或相似形.要点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；要点二、相似多边形【：图形的相似二、图形的相似 2】相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比．要点三、比例线段【：图形的相似预备知识】1．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．2．比例的性质：（1）基本性质：若a:b=c:d，则ad=bc；（2）合比性质：如果如果（3）等比性质：如果（4）比例中项：若a:b=b:c，则=ac，b称为a、c的比例中项．要点诠释：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以。
要点四、黄金分割如果点P把线段AB分割成AP和PB,(AP>PB)两段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么就称这种分割为黄金分割，点P是线段AB的黄金分割点.≈0.618AB(叫做黄金分割值).要点诠释：线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似图形1. 下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（）（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C.【解析】解：（1）所有菱形的对应角不一定相等，故菱形不一定都相似；（2）等腰直角三角形都相似，正确；（3）正方形都相似，正确；（4）矩形对应边比值不一定相等，不矩形不一定都相似；（5）正六边形都相似，正确，故符合题意的有3个．故选：C．【总结升华】此题主要考查了相似图形，应注意：①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．举一反三：【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们的相似性.类型二、相似多边形2. 如图，已知四边形相似于四边形，求四边形的周长.【答案与解析】∵四边形相似于四边形∴，即∴∴四边形的周长.【总结升华】先根据相似多边形的对应边的比相等，求出四边形的未知边的长，然后即可求出该四边形的周长举一反三：【变式】如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角的大小.【答案】根据题意，两个四边形是相似形，得，解得.3. 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相似.令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？【答案与解析】解：∵矩形MFGN与矩形ABCD相似，当时，S有最大值，为.【总结升华】借助相似，把最值问题转移到函数问题上，是解决这类题型最好方法之一.类型三、比例线段4.（2016•兰州模拟）若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（）A．2a=3b B．3a=2b C．D．【思路点拨】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．【答案】B．【解析】A、2a=3b⇒a：b=3：2，故选项错误；B、3a=2b⇒a：b=2：3，故选项正确；C、=⇒b：a=2：3，故选项错误；D、=⇒a：b=3：2，故选项错误．故选B．【总结升华】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．举一反三：【变式】判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：(1)a=4，b=6，c=5，d=10；(2)a=2，b=，c=，d=．【答案】(1) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d不是成比例线段．(2) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d是成比例线段．5. 主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台AB长为20米，一个主持人现站在舞台AB的黄金分割点点C处，则下列结论一定正确的是（）①AB：AC=AC：BC；②AC≈6.18米；③；④．A. ①②③④B. ①②③C. ①③D. ④【答案】D.【解析】解：AB的黄金分割点为点C处，若AC＞BC，则AB：AC=AC：BC，所以①不一定正确；AC≈0.618AB≈12.36或AC≈20﹣12.36=7.64，所以②错误；若AC为较长线段时，AC=AB=10（﹣1），BC=10（3﹣）；若BC为较长线段时，BC=AB=10（﹣1），AC=10（3﹣），所以③不一定正确，④正确．故选D．【总结升华】黄金分割知识的理解和运用要结合生活实践.沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习相似形及比例线段（基础）巩固练习【巩固练习】一．选择题1. 在比例尺为1︰1 000 000的地图上，相距3 cm的两地，它们的实际距离为（）A.3 kmB.30 kmC.300 kmD.3 000 km2. （2016•滨江区模拟）由5a=6b（a≠0），可得比例式（）A．B．C．D．3.如图，用放大镜将图形放大，这种图形的改变是（）A．相似B．平移 C．轴对称D．旋转4. 某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是相似图形，如图所示，则小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点( )A．(-2a，-2b) B．(-a，-2b) C．(-2b，-2a) D．(-2a，-b)5. 一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则此三角形其它两边的和是（）A．19 B．17 C．24 D．216. .△ABC与△A1B1C1相似且相似比为，△A1B1C1与△A2B2C2相似且相似比为，则△ABC与△A2B2C2的相似比为 ( )A．B．C．或D．二. 填空题7. 两地实际距离为1 500 m，图上距离为5 cm，这张图的比例尺为_______.8. （2016•浦东新区一模）已知，那么= ．9．判定两个多边形相似的方法是：当两个多边形的对应边_______,对应角_______时，两个多边形相似.10.已知则11.两个三角形相似，其中一个三角形两个内角分别是40°，60°，则另一个三角形的最大角为______,最小角为____________.12. （2015春·庆阳校级月考）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一条最短边长为2，则另外一个三角形的周长为 .三综合题13. 已知，求的值.14. （1）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3dcm,b=2cm,c=6cm,求线段d的长；（2）已知线段a、b、c，a=4cm，b=9cm，线段c是线段a和b的比例中项，求线段c的长．15. 市场上供应的某种纸有如下特征：每次对折后，所得的长方形均和原长方形相似，则纸张(矩形)的长与宽应满足什么条件？【答案与解析】一、选择题1．【答案】B．【解析】图上距离︰实际距离＝比例尺．2.【答案】D.【解析】A、⇒ab=30，故选项错误；B、⇒ab=30，故选项错误；C、⇒6a=5b，故选项错误；D、⇒5（a﹣b）=b，即5a=6b，故选项正确．故选D．3．【答案】A【解析】根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选A．4．【答案】 A【解析】由图可知，小鱼和大鱼的相似比为1：2，若将小鱼放大1倍，则小鱼和大鱼关于原点对称.5．【答案】C【解析】相似三角形对应边的比相等6．【答案】A【解析】相似比AB︰A1B1=，A1B1︰A2B2=，计算出AB︰A2B2.二、填空题7.【答案】.1：30 000【解析】比例尺=图上距离︰实际距离.8.【答案】．【解析】∵的两个内项是y、1，两个外项是x、3，∴，根据合比定理，知==4；又∵上式的两个内项是x和4，两个外项是x+y和1，∴．9.【答案】成比例；相等.10.【答案】【解析】提示：设11.【答案】80°，40°.12.【答案】7.5.【解析】设另一个三角形周长是x.∵一个三角形的三边长是4,5,6，∴这个三角形的周长为：4+5+6=15.∵与它相似的另一个三角形最短的一边长是2，∴，解得：x=7.5.∴另一个三角形的周长是7.5.三、解答题13.【解析】设=k则∴==14.【解析】解：（1）∵a、b、c、d是成比例线段，∴a：b=c：d，∵a=3cm，b=2cm，c=6cm，∴d=4cm；(2)∵线段c是线段a和b的比例中项，a=4cm，b=9cm.∴c2=ab=36，解得：c=±6，又∵线段是正数，∴c=6cm.15.【解析】如图，为了方便分析可先画出草图，根据题意知两个矩形的长边之比应等于短边之比.设矩形的长为，宽为，由相似多边形的特征得，即纸张的长与宽之比为.沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习三角形一边的平行线知识讲解【学习目标】1、掌握三角形一边的平行线性质定理及推论；判定定理及推论；以及平行线分线段成比例定理的推导与应用；2、了解三角形的重心的意义和性质并能应用它解题；3、经历运用分类思想针对图形运动的不同位置分别探究的过程,初步领略运用运动观点、化归和分类讨论等思想进行数学思考的策略.【要点梳理】要点一、三角形一边的平行线性质定理及推论1.性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.要点诠释：(1)主要的基本图形：分A型和X型；A型 X型（2）常用的比例式：3.三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.要点诠释：(1)重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍.（2）重心的画法：两条中线的交点.要点二、三角形一边的平行线判定定理及推论1.判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.2.推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.要点诠释：判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的平行线本身不能参与作比例).要点三、平行线分线段成比例定理1.性质定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.2.平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.要点诠释：（1）平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例；（2）平行线分线段成比例没有逆定理；(3) 由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中.【典型例题】类型一、三角形一边的平行线性质定理1. 如图已知直线截△ABC三边所在的直线分别于E、F、D三点且AD=BE.求证：EF：FD=CA：CB.【答案与解析】过D作DK∥AB交EC于K点.则，，即又∵AD=BE，∴.【总结升华】运用三角形一边的平行线性质定理，即只要有平行线就可推出对应线段成比例.举一反三【变式】如图,在⊿ABC, DG∥EC, EG∥BC,求证:【答案】∵DG∥EC,∴,∵EG∥BC,∴,∴,即.2.已知，△ABC中，G是三角形的重心， AG⊥GC，AG=3，GC=4，求BG的长.【答案与解析】延长BG交AC于点D,∵G是三角形的重心，∴点D是线段AC的中点，又∵AG⊥GC，AG=3，GC=4，∴AC=5，即DG=2.5，∵BG:GD=2:1.∴BG=5.【总结升华】三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍.类型二、三角形一边的平行线判定定理3. 如图，AM是△ABC的中线，P是AM上任意一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、D两点.求证：DE∥BC.【答案与解析】延长AM到H，使HM=MP，连接BH、CH∵BM=MC∴四边形BPCH是平行四边形∵BH∥CD，CH∥BE在△ABH和△ACH中，有，∴DE∥BC【总结升华】平行线所截得的对应线段成比例，而两条平行线中的线段与所截得的线段不成比例.举一反三【变式】如图，在△ABC（AB＞AC）的边AB上取一点D，在边AC 上取一点E,使AD=AE,直线DE和BC的延长线交于点P,求证：.【答案】过点C作CF∥AB交DP于点F,∵CF∥AB，∴∠ADE=∠EFC∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=∠FEC∴∠EFC=∠FEC∴CF=CE∵CF∥AB∴,即.类型三、平行线分线段成比例定理4. （2016•兰州）如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（）A．B．C．D．【思路点拨】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可．【答案】C．【解析】解：∵DE∥BC，∴==，故选C．【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关键，属于基础定义或定理，难度不大．举一反三【变式】（2015•舟山）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC 与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（）A. B. 2 C. D.【答案】D提示：∵AG=2，GB=1，∴AB=AG+BG=3，∵直线l1∥l2∥l3，∴=，沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习三角形一边的平行线【巩固练习】一．选择题1.（2016•杭州）如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c 于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若=，则=（）A．B．C．D．12. 如图，在△ABC中，DE∥BC，则下列比例式成立的是( )A．B． C．D．3. 在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC，，则等于( )A．B．C． D．4. 如图，△ABC中，DE∥AC交AB、BC于D、E，如果AB=7cm，AC=5cm，AD=3cm，则DE=( )A．B． C．D．5. 如图，在△ABC中，如果DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中不正确的是( )A．B．C． D．6. 如图，△ABC中，G是BC中点，E是AG中点，CE的延长线交AB于D，则EC：DE的值为( )A．2 B．3 C．D．二. 填空题7. （2016•无锡一模）如图，直线AD∥BE∥CF，BC=AC，DE=4，那么EF的值是．8. 如图，DE∥BC,BF:EF=4:3，则AC:AE=____________.9．已知点G是△ABC的重心，AD是BC边上的中线，如果GD=2cm，那么AD=______.10. 如图，△PMN,点A,B分别在MP,NP的延长线上，,则________.11. 如图，四边形ABCD中，AC、BD相交于点P,若AP=8，CP=12，BC=15.则AD=_________.12.（2015•香坊区三模）如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G 在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB=3：2：1，若AG=15，则EC 的长为 .三.综合题13. 如图，已知，AB∥CD∥EF，OA=14，AC=16，CE=8，BD=12，求OB、DF的长.14.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，且，EG∥CD．证明：AE=AF．15. 如图，△ABC中，AD是中线，点F在AD上，且AF：FD=1：2，BF的延长线交AC于E，求AE：EC=？【答案与解析】一、选择题1.【答案】B．【解析】∵a∥b∥c，∴==．故选B．2．【答案】 D.3．【答案】 C.【解析】∵DE∥BC，∴,又∵，∴,即=.4．【答案】D.【解析】∵DE∥AC，∴，又∵AB=7cm，AC=5cm，AD=3cm，∴BD=4，即DE=.5．【答案】C.【解析】提示：∵ DE∥BC，DF∥AC，∴DE=CF, DF=CE.6.【答案】B.【解析】作GM∥CD交AB于点M,∵E是AG中点，∴MG=2DE,又∵G是BC中点，∴CD=2MG=4DE∴EC=3DG,即EC:DE=3:1.二、填空题7.【答案】2．【解析】∵BC=AC，∴=，∵AD∥BE∥CF，∴=，∵DE=4，∴=2，∴EF=2．8.【答案】4:3.【解析】∵DE∥BC, BF:EF=4:3，∴9.【答案】6cm.【解析】∵点G是重心，∴AG:GD=2:1，又∵GD=2，∴AG=4，即AD=6cm.10.【答案】3:2.【解析】∵，∴.11.【答案】10.12.【答案】9.【解析】∵DE∥FG∥BC，∴=，而AD：DF：FB=3：2：1，∴=，∴=，∴EC=9．三、解答题13. 【解析】∵AB∥CD∥EF，∴,又∵OA=14，AC=16，BD=12，∴OB=.同理,CE=8，∴DF=6.14.【解析】证明：∵EG∥CD，∴=，且，∴=，∴=，即=，∵AB=AC，∴AE=AF．15.【解析】作DG∥BE,∵AD是中线，∴EG=GC,又∵AF：FD=1：2，∴EG=2AE,即EC=4AE,∴AE:EC=1:4.沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习相似三角形的判定--知识讲解（基础）【学习目标】1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的判定定理【高清课程名称：相似三角形的判定（1）高清：394497：相似三角形的判定】1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：【典型例题】类型一、相似三角形1. 下列能够相似的一组三角形为( ).A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形【答案】C【解析】A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等；C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.举一反三：【变式】给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有（填序号）．【答案】①②④⑤.类型二、相似三角形的判定2. 如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.【思路点拨】充分利用平行寻找等角，以确定相似三角形的个数. 【答案与解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC，∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.∴△BEF∽△CDF∽△AED.∴当△BEF∽△CDF时，相似比；当△BEF∽△AED时，相似比；当△CDF∽△AED时，相似比.【总结升华】此题考查了相似三角形的判定（有两角对应相等的两三角形相似）与性质（相似三角形的对应边成比例）.解题的关键是要仔细识图，灵活应用数形结合思想.举一反三：【高清课程名称：相似三角形的判定（2）高清：394499：例4及变式应用】【变式】如图，AD、CE是△ABC的高，AD和CE相交于点F，求证：AF·FD=CF·FE．【答案】∵ AD、CE是△ABC的高,∴∠AEF=∠CDF=90°,又∵∠AFE=∠CFE,∴△AEF∽△CDF.∴, 即AF·FD=CF·FE．3. （2016•福州）如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．【思路点拨】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值，从而可得到AD2与AC•CD的关系；（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．【答案与解析】解：（1）∵AD=BC=1，BC=，∴AD=，DC=1﹣=．∴AD2==，AC•CD=1×=．∴AD2=AC•CD．（2）∵AD=BC，AD2=AC•CD，∴BC2=AC•CD，即．又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB．∴，∠DBC=∠A．∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°．【总结升华】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．4. 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2＝PE·PF．【思路点拨】从求证可以判断是运用相似，再根据BP2＝PE·PF，可以判定所给的线段不能组成相似三角形，这就需要考虑线段的等量转移了.【答案与解析】连接，，，是的中垂线，，，，．，．又，∽，，．【总结升华】根据求证确定相似三角形，是解决此类题型的捷径.举一反三：【变式】如图，F是△ABC的AC边上一点，D为CB延长线一点，且AF=BD,连接DF, 交AB于E. 求证：.【答案】过点F作FG∥BC,交AB于G.则△DBE∽△FGE△AGF∽△ABC∵,又∵AF=BD,∴∵△AGF∽△ABC∴,即.沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习相似三角形的判定--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 下列判断中正确的是( ).A.全等三角形不一定是相似三角形B.不全等的三角形一定不是相似三角形C.不相似的三角形一定不全等D.相似三角形一定不是全等三角形2．已知△ABC的三边长分别为、、 2, △A′B′C′的两边长分别是1和, 如果△ABC与△A′B′C′ 相似, 那么△A′B′C′ 的第三边长应该是 ( ).A. B. C. D.3．（2015•大庆校级模拟）如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．4. （2016•盐城）如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有（）.A．ΔADE∽ΔAEF B．ΔECF∽ΔAEF C．ΔADE ∽ΔECF D．ΔAEF∽ΔABF6. 如图所示在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为( ).A. B.8 C.10 D.16二、填空题7. （2016•娄底）如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）8如图所示，∠C=∠E=90°，AD=10，DE=8，AB=5，则AC=________.9.如图所示，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C 在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为________或________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标).10.如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=__________.11.如图，CD∥AB，AC、BD相交于点O,点E、F分别在AC、BD上，且EF∥AB,则图中与△OEF相似的三角形为_________.12．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE 交CD于点F,则图中相似三角形共有_________对.三．解答题13. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，求的值及AC、EC的长度．14. 如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，且，求证：BD⊥CD．15.如图，在△ABC中，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AB上一点，AF⊥CE于F，AD交CE于G点，（1）求证：AC2=CE•CF；（2）若∠B=38°，求∠CFD的度数．【答案与解析】一．选择题1.【答案】C.2.【答案】A.【解析】根据三边对应成比例，可以确定，所以第三边是3.【答案】B.【解析】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选B．4.【答案】C．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，∴与△AEF相似的三角形有2个．5.【答案】C.【解析】∵∠AEF＝90°, ∴∠1+∠2=90°，又∵∠D=∠C=90°，∴∠3+∠2=90°，即∠1=∠3，∴△ADE∽△ECF.6.【答案】C.【解析】∵ EF∥AB，∴，∵，∴，，∴ CD=10，故选C.二. 填空题7.【答案】AB∥DE．【解析】∵∠A=∠D，∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．8.【答案】 3 .【解析】∵∠C=∠E，∠CAB=∠EAD，∴△ACB∽△AED，∴，BC=4，在Rt△ABC中，.9．【答案】；.10.【答案】4.【解析】∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B=∠D=90°，又∵AC⊥CE，∴∠BCA+∠DCE=90°，∴∠BCA=∠E,∴△ABC∽△CDE.∵C是线段BD的中点，ED=1，BD=4∴BC=CD=2∴,即AB=4.11.【答案】△OAB,△OCD.12.【答案】3.【解析】∵平行四边形ABCD，∴AD∥BE.AB∥CD∴△EFC∽△EAB; △EFC∽△AFD; △AFD∽△EAB.三综合题13.【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵，，∴，∴AC＝，∴EC＝AC－AE＝．14.【解析】∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，又∵，∴△ABD∽△DCB，∴∠A＝∠BDC，∵∠A＝90°，∴∠BDC＝90°，∴BD⊥CD ．15.【解析】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠CFA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠C FA=∠BAC，∵∠ACF=∠FCA，∴△CAF∽△CEA，∴=，∴CA2=CE•CF；（2）∵∠CAB=∠CDA，∠ACD=∠BCA，∴△CAD∽△CB A，∴=，∴C A2=CB×CD，同理可得：CA2=CF×CE，∴CD•BC=CF•CE，∴=，∵∠DCF=∠ECB，∴△CDF∽△CEB，∴∠CFD=∠B，∵∠B=38°，∴∠CFD=38°．沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习相似三角形的性质及应用--知识讲解（基础）【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）. 【要点梳理】要点一、相似三角形的性质【高清课程名称：相似三角形的性质及应用高清：394500：相似形的性质】1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.3. 相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.要点二、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.【高清课程名称：相似三角形的性质及应用高清：394500：应用举例及总结】要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
实数与向量
课题：实数与向量的积(1)教学目的：1. 掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；2. 掌握实数与向量的积的运算律；3. 理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行教学重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件教学难点：对向量共线的充要条件的理解授课类型：新授课.课时安排：1课时一教具：多媒体、实物投影仪, 教学过程：、复习引入：1. 向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量，有二个要素：大小、方向.2. 向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；3. 零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.4. 平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量a、b、c平行，记作a//b//c .5. 相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.6. 共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.7. 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法•向量加法的三角形法则和平行四边形法则，&向量加法的交换律:9. 向量加法的结合律:10. 向量的减法向量a与b的差-即：a b = a + ( b)11.差向量的意义：OA = a, OB = b,则BA = a b即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量■、讲解新课：1. 示例：已知非零向量a，作出a + a + a和(a)+(OC =OA AB BC=a + a + a=3aPN = PQ QM MN =( a)+(a)+( a)= 3a(1) 3a与a方向相同且|3a|=3| a| ； (2) 3a与a方向相反且| 3a|=3| a |2 .实数与向量的积：实数入与向量a的积是一个向量，记作：入a(1)| 入a|=| 入|| a|（2）入＞0时入a 与a 方向相同；入＜0时入a 与a 方向相反；入=0时入a = 0 3.运算定律结合律：入（旧）=（入^a ① 第一分配律：（入+ ^ a =入a + u a ② 第二分配律：入（a + b ）=入a +入b③结合律证明：如果入=0, u =0, a =0至少有一个成立，则①式成立 如果入0，卩0, a 0有：|入（旧）|=|入II u a |=|入II 训a |1（入U a |=|入训a |=|入||训a | -| 入（u a ）|=|（入卩）|如果入、卩同号，则①式两端向量的方向都与 a 同向； 如果入、卩异号，则①式两端向量的方向都与 a 反向+从而入（旧）=（入卩） 第一分配律证明：如果入=0, u =0, a = 0至少有一个成立，则②式显然成立 如果入0,卩0, a 0当入、□同号时，则入a 和u a 同向， •••|（入+U a|=|入 +U |a|=（|入|+| U ）| a||入 a + ^a |=|入 a|+|u a |=| 入 || a |+| U |a |=（|入 |+| U ）| a |•••入、u 同号•••②两边向量方向都与a 同向即 | （入 + u ） |=| 入 a + u a |当入、u 异号，当入 ＞卩时 ②两边向量的方向都与入方向都与 u a 同向，且|（入+ u ）|=|入a + u a |•••②式成立 第二分配律证明:如果a = 0 , b =0中至少有一个成立，或入当a 0 , b 0且入0,入1时（1）当入＞0且入1时在平面内任取一点 O ,作 OA a AB b OA 1 入 aA ）入 b则 OB a + bOB 1入a +入ba 同向；当入＜u 时②两边向量的=0,入=1则③式显然成立因此，0, B , B i 在同一直线上，| OB r |=|入OB |0B 1与入0B 方向也相同• •入（a + b ）=入 a +入 b当入＜0时可类似证明：入（a + b ）=入a +入b •③式成立4 •向量共线的充要条件若有向量a （a 0）、b ，实数入，使b =^ a ，则a 与b 为共线向量. 若a 与b 共线（a 0 ）且|b | ： | a |= □，则当a 与b 同向时b =^ a ； 当a 与b 反向时b = ^a •从而得 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件 是：有且只有一个非零实数入，使 b =入a - 三、讲解范例：例1若3m +2n = a , m — 3 n = b ，其中a , b 是已知向量，求 m , n .分析：此题可把已知条件看作向量 m 、n 的方程，通过方程组的求解获得 m 、n . 解：记 3m + 2n = a ① m — 3n = b ②3X ②得3 m —9 n = 3 b ③I3 ①一③得 11 n = a —3 b .•- n = — a ---------- b ④II11 3 2 将④代入②有： m =b +3 n = 一 a ---------------- b1111评述：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、 结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致一 1 一 一例2凸四边形ABCD 勺边AD BC 的中点分别为 E 、F ,求证EF = - （ AB +DC ）.2解法一：构造三角形，使 EF 作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决由作法知，AB // A I B 1 有 0AB= OA 1B 1 | AB |=入 | AB j |... |0A i | |0A| ... |0B ； ||0B|| A 1B 1 | 入 | AB|• △ OAB s^ OA 1B 1AOB= A 1OB 1过点C 在平面内作CG = AB ，则四边形 ABG （是平行四边形，故F 为AG 中点.DG = DC + CG = DC + AB••• EF = 1( AB + DC ).2解法二：创造相同起点，以建立向量间关系如图，连EB EC则有EB = EA + AB ,EC = ED + DC , 又••• E是AD之中点，.••有EA + ED= 0.即有EB + EC = AB + DC ；以EB与EC为邻边作平行四边形EBGC则由F是BC之中点，可得F也是EG之中点.1——1 1•EF = EG =丄(EB + EC )=丄(AB + DC )2 2 2四、课堂练习：1. 错例分析判断向量a=—2 e与b = 2 e是否共线?对此题，有同学解答如下：解：T a =—2 e, b =2 e,「. b =- a ,•• a 与b 共线.分析：乍看上述解答，真是简单明快.然而，仔细研究题目已知，却发现其解答存有问题，这是因为，原题已知中对向量e并无任何限制，那么就应允许 e = 0,而当e= 0时，显然a= 0, b = 0，此时，a不符合定理中的条件，且使b= X a成立的入值也不惟一(如入=—1，入=1，X = 2等均可使b = X a成立)，故不能应用定理来判断它们是否共线.可见，对e=0的情况应另法判断才妥.综上分析，此题应解答如下：解：(1)当e= 0 时，贝U a =—2 e= 0由于“零向量与任一向量平行” 且“平行向量也是共线向量”，所以，此时a与b共线.(2)当0 时，贝U a =—2 0，b = 2 e^ 0•- b =—a (这时满足定理中的a工0，及有且只有一个实数X ( X =—1 )，使得b = X a 成立)•a与b共线.综合(1)、(2)可知，a与b共线•2. 用向量法解决几何问题向量是数学中重要概念之一，是解决数学问题的得力工具，它简洁明快，许多几何里的命题，如果用向量知识来解决就显得格外简练.1如图，MN^A ABC的中位线，求证：MN=丄BC 且M M BC21证明：••• M N分别是AB AC边上的中点，所以AM =— AB，2一1 一一一•——1 一1 ——1 一——AN = — AC，MN =AN —AM =—AC - —AB =—( AC - AB )2 2 2 21 二一BC .21因此，NM=_EC 且MN// BC2五、小结：通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律，理解两个向量共线的充要条件，并能在解题中加以运用六、课后作业：1 .当入Z时，验证：入(a + b)=入a +入b证：当入=0时，左边=0?(a + b )=0 右边=0?a+0?b =0 分配律成立当入为正整数时，令入=n,则有：n(a + b )=(a + b )+(a + b )+^ +(a + b )= a+a+…+ a + b+ b+ b+…+ b =n a+n b即入为正整数时，分配律成立当为负整数时，令入=n ( n为正整数)，有n(a + b )=n[ (a + b )]=n[( a)+( b )]=n( a)+n( b )= n a+( n b)= n a n b分配律仍成立综上所述，当入为整数时，入(a + b )=入a +入b恒成立.2.如图，在△ ABC 中，AB=a, BC =b , AD 为边BC 的ABC的重心，求向量AG解法一：••• AB=a, BC =b 则BD=- BC = - b2 2——- —- 1 2 —AD = AB + BD = a+ b 而AG = —AD2 3—2 1•- AG = — a + b3 3解法二：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、FA•/△ AEF^A ABC,2 2AE = 2AB = 2aEF=2 —BC :=2b EG」EF：」b3 33323• AG = AE + EG =2—1 a +-b33AC =a, BD =b 试用a,3 .在一ABCD中，设对角线b表示AB , BC解法一：AO=OC =中线，G---- ■ ------ ■ ------- ・AB = A0+0B =A01 1 BC = BO + OC = OC + BO = — a + b2 2解二：设 AB =x , BC = y则 AB + BC = AC ，即 x + y =a ;AD AB = BD ，即 x y = b1 x =—(a b ),2 1 AB = i (a b )2y =〔(a +b )2三点A, B, D 共线，求k 的值一解: ----------」---------- ---------------b - E- - 卜----- 卜-----1> - +-----卜BD = CD CB =(2ei e?) (G+3e2 )=e 4e?••• AB ,BD 共线 •••存在入使 AB =入BD即 2 & +k e 2 =入(e 4e 2) 七、 板书设计（略）八、 课后记：实数与向量的积的定义可以看作是数与数的积的概念的推广 .启发学生在掌握向量加法的基础上，学习实数与向量的积的概念及运算律，弓I 导学生从特殊归纳到一般.在学习实数与向量的积的运算律时，应启发学生寻求其与代数运算中实数乘法的运算律的相似性，但应注意它们之间的区别，从而掌握实数与向量的积及其应用4•设e, e 2是两个不共线向量,已知 AB =2e )+k e 2,CB = e ( +3 e 2, CD =2 e e 2,右BC =-(a + b )2••• A, B, D 共线• k= 8。
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一、教学目标：
知识与技能：理解并掌握实数与向量相乘的运算律；
过程与方法：.经历问题发生、解决、抽象、概括的过程；
情感、态度与价值观：培养学生善于思考问题的习惯和知识迁移的能力；对数学的学习兴趣。
二、教学重点和难点：
重点：实数与向量相乘的运算律
难点：.运算律的推倒及理解，分配律的区分。
三、教学资源：前期：向量的加减运算及实数的乘法运算律。后期：平面向量的分解。
四、教学过程：
集体教案
个人备注
新课探索一（1）
试一试
小杰：
猜想
因此可直接作出
你认为小杰的猜想有道理吗？请议一议
新课探索一（2）
将向量OB、PR分别与向量a比较:(1)它们的方向之间有什么关系?(2)长度之间有什么关系?从而看看小杰的猜想是否正确.
实数与向量相乘的意义.
你能用作图的方法严整这一结论吗？不妨试一试。
新课探索三（2）
新课探索三（3）
新课探索四
新课探索五
新课探索六
课内练习一
课内练习二
课内练习三
板书
实数与向量相乘的运算率：
作业ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、判断下列语句是否正确，如果不正确，请改正。
教学
反思
即
新课探索二
由上述探究，可知
反之
实数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律,实数与向量相乘同样有类似的运算律.
一般地,如果m、n是非零实数, 是非零向量,那么
这个等式是实数与向量相乘对于实数加法的分配律.新课探索三（1）
思考已知非零向量 、 ,那么等式
实数与向量相乘的意义.
向量加法的交换律和结合律.