二次函数动点问题拔高题-教师版学生版(含答案)

二次函数专题—动点问题

一、因动点而产生的面积问题

例1：如图10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y 轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：

x …-3 -2 1 2 …

y …-5

2

-4 -

5

2

0 …

(1) 求A、B、C三点的坐标；

(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；

(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.

若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述(2)、(3)小题换为下列问题解答(已知条件及第(1)小题与上相同，完全正确解答只能得到5分)：

(2) 若点D的坐标为(1，0)，求矩形DEFG的面积.

解析考点：二次函数综合题．专题：压轴题；探究型．分析：（1）可任选三组坐标，

用待定系数法即可求出抛物线P的解析式．然后根据抛物线P的解析式即可得出A、

B、C三点的坐标；

（2）求矩形的面积需知道矩形的长和宽，可先在直角三角形AOC中，根据AD，

OA，DG，CD的比例关系式，用m表示出DG的长，同理可在直角三角形BCO中

表示出OE的长，进而可根据ED=EO+OD得出ED的长，然后由矩形的面积公式即

可得出S与m的函数关系式；

（3）根据（2）的函数关系式即可得出S的最大值及对应的m的值．进而可得出D，

E，F，G的坐标．如果设DF的延长线交抛物线于N点，那么可先求出FN与DF的

比例关系．如果过N作x轴的垂线设垂足为H，那么我们可得出EF：DF=DF：DN，而EF，DF均为F，N点的纵坐标的绝对值，因此要先求出N点的纵坐标，可先根据D、F的坐标求出直线DF的解析式，然后联立直线DF的解析式与抛物线P的解析式求出N点的坐标，然后根据上述比例关系求出FN、DF 的比例关系，如果求出此时FN=k1DF，那么由于M不在抛物线上，因此k的取值范围就是k＞0，且k ≠k1．

若选（2）可参照上面（2）的求解过程进行计算．

解答：解：（1）解法一：设y=ax2+bx+c（a≠0），

任取x，y的三组值代入，4a−2b+c＝−4 a+b+c＝−5 2 4a+2b+c＝0 ，

解得a＝1 2 b＝1 c＝−4 ，

∴解析式为y＝1 2 x2+x−4，

令y=0，求出x1=-4，x2=2；

令x=0，得y=-4，

∴A、B、C三点的坐标分别是A（2，0），B（-4，0），C（0，-4）．

（2）由题意，AD AO ＝DG OC ，

而AO=2，OC=4，AD=2-m，

故DG=4-2m，

又BE BO ＝EF OC ，EF=DG，得BE=4-2m，

∴DE=3m，

∴SDEFG=DG•DE=（4-2m）3m=12m-6m2（0＜m＜2）．

图10

注：也可通过解Rt △BOC 及Rt △AOC ，或依据△BOC 是等腰直角三角形建立关系求解．

（3）∵SDEFG=-6m2+12m=-6（m-1）2+6，（0＜m ＜2）， ∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6．

当矩形面积最大时，其顶点为D （1，0），G （1，-2），F （-2，-2），E （-2，0）， 设直线DF 的解析式为y=kx+b ，易知，k=2 3 ，b=-2 3 ， ∴y ＝2 3 x −2 3 ，

又可求得抛物线P 的解析式为：y ＝1 2 x2+x −4， 令2 3 x −2 3 =1 2 x2+x −4，可求出x=−1± 61 3 ． 设射线DF 与抛物线P 相交于点N ，则N 的横坐标为−1− 61 3 ，过N 作x 轴的垂线交x 轴于H ，有FN DF ＝HE DE =−2−−1− 61 3 3 =−5+ 61 9 ，

点M 不在抛物线P 上，即点M 不与N 重合时，此时k 的取值范围是 k ≠−5+ 61 9 且k ＞0．

若选择另一问题：

（2）∵AD AO ＝DG OC ，而AD=1，AO=2，OC=4，则DG=2， 又∵FG AB ＝CP OC ，而AB=6，CP=2，OC=4，则FG=3， ∴SDEFG=DG •FG=6．

二、 因动点而产生的等腰三角形问题

例2：如图，抛物线2

54y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．

（1）求抛物线的对称轴； （2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；

（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．

分析：（1

（2）令x=0，可求出C 点坐标，由BC∥x 轴可知B ，C 点坐标，根据AC=BC 可求出A 点坐标．

（3）分三种情况讨论：

①以AB 为腰且顶角为∠A，先求出AB 的值，的长，即可求出P 1的坐标；

②以AB 为腰且顶角为角B ，根据MN 的长和MP 2的长，求出P 2的纵坐标，已知其横坐标，可得其坐标；

③以AB为底，顶角为角P时，依据Rt△P

3C K∽Rt△BAQ即可求出OK和P3K的长，可得P3

坐标

解答：解：（1）抛物线的对称轴x=-−5a 2a =5 2 ；（2分）

（2）由抛物线y=ax2-5ax+4可知C（0，4），对称轴x=-−5a 2a =5 2 ，

∴BC=5，B（5，4），又AC=BC=5，OC=4，

在Rt△AOC中，由勾股定理，得AO=3，

∴A（-3，0）B（5，4）C（0，4）（5分）

把点A坐标代入y=ax2-5ax+4中，

解得a=-1 6 ，（6）

∴y=−1 6 x2+5 6 x+4．（7分）

（3）存在符合条件的点P共有3个．以下分三类情形探索．

设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M．

过点B作BQ⊥x轴于Q，

易得BQ=4，AQ=8，AN=5.5，BM=5 2 ．

①以AB为腰且顶角为角A的△PAB有1个：△P1AB．

∴AB2=AQ2+BQ2=82+42=80（8分）

在Rt△ANP1中，P1N= AP12−AN2 = AB2−AN2 = 80−(5.5)2 = 199 2 ，

∴P1（5 2 ，- 199 2 ）．（9分）

②以AB为腰且顶角为角B的△PAB有1个：△P2AB．

在Rt△BMP2中MP2= BP 22 −BM2 = AB2−BM2

= 80−25 4

= 295 2 ，（10分）

∴P2=（5 2 ，8−295 2 ）．（11分）

③以AB为底，顶角为角P的△PAB有1个，即△P3AB．

画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P3，此时平分线必过等腰△ABC的顶点C．

过点P3作P3K垂直y轴，垂足为K，

∵∠CP3K=∠ABQ，∠CKP3=∠AQB，

∴Rt△P3CK∽Rt△BAQ．

∴P3K CK =BQ AQ =1 2 ．

∵P3K=2.5

∴CK=5于是OK=1，（13分）

∴P3（2.5，-1）．（14分

点评：此题考查了用对称轴公式求函数对称轴方程，用待定系数法求函数解析式等基础知识，还结合等腰三角形的性质考查了点的存在性问题，有一定的开放性．

三、因动点而产生的直角三角形问题

例3：如图12，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1

个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P