二次函数动点问题拔高题-教师版学生版(含答案)

二次函数专题—动点问题一、因动点而产生的面积问题例1：如图10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y 轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x …-3 -2 1 2 …y …-52-4 -520 …(1) 求A、B、C三点的坐标；(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述(2)、(3)小题换为下列问题解答(已知条件及第(1)小题与上相同，完全正确解答只能得到5分)：(2) 若点D的坐标为(1，0)，求矩形DEFG的面积.解析考点：二次函数综合题．专题：压轴题；探究型．分析：（1）可任选三组坐标，用待定系数法即可求出抛物线P的解析式．然后根据抛物线P的解析式即可得出A、B、C三点的坐标；（2）求矩形的面积需知道矩形的长和宽，可先在直角三角形AOC中，根据AD，OA，DG，CD的比例关系式，用m表示出DG的长，同理可在直角三角形BCO中表示出OE的长，进而可根据ED=EO+OD得出ED的长，然后由矩形的面积公式即可得出S与m的函数关系式；（3）根据（2）的函数关系式即可得出S的最大值及对应的m的值．进而可得出D，E，F，G的坐标．如果设DF的延长线交抛物线于N点，那么可先求出FN与DF的比例关系．如果过N作x轴的垂线设垂足为H，那么我们可得出EF：DF=DF：DN，而EF，DF均为F，N点的纵坐标的绝对值，因此要先求出N点的纵坐标，可先根据D、F的坐标求出直线DF的解析式，然后联立直线DF的解析式与抛物线P的解析式求出N点的坐标，然后根据上述比例关系求出FN、DF 的比例关系，如果求出此时FN=k1DF，那么由于M不在抛物线上，因此k的取值范围就是k＞0，且k ≠k1．若选（2）可参照上面（2）的求解过程进行计算．解答：解：（1）解法一：设y=ax2+bx+c（a≠0），任取x，y的三组值代入，4a−2b+c＝−4 a+b+c＝−5 2 4a+2b+c＝0 ，解得a＝1 2 b＝1 c＝−4 ，∴解析式为y＝1 2 x2+x−4，令y=0，求出x1=-4，x2=2；令x=0，得y=-4，∴A、B、C三点的坐标分别是A（2，0），B（-4，0），C（0，-4）．（2）由题意，AD AO ＝DG OC ，而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m，又BE BO ＝EF OC ，EF=DG，得BE=4-2m，∴DE=3m，∴SDEFG=DG•DE=（4-2m）3m=12m-6m2（0＜m＜2）．图10注：也可通过解Rt △BOC 及Rt △AOC ，或依据△BOC 是等腰直角三角形建立关系求解．（3）∵SDEFG=-6m2+12m=-6（m-1）2+6，（0＜m ＜2）， ∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6．当矩形面积最大时，其顶点为D （1，0），G （1，-2），F （-2，-2），E （-2，0）， 设直线DF 的解析式为y=kx+b ，易知，k=2 3 ，b=-2 3 ， ∴y ＝2 3 x −2 3 ，又可求得抛物线P 的解析式为：y ＝1 2 x2+x −4， 令2 3 x −2 3 =1 2 x2+x −4，可求出x=−1± 61 3 ． 设射线DF 与抛物线P 相交于点N ，则N 的横坐标为−1− 61 3 ，过N 作x 轴的垂线交x 轴于H ，有FN DF ＝HE DE =−2−−1− 61 3 3 =−5+ 61 9 ，点M 不在抛物线P 上，即点M 不与N 重合时，此时k 的取值范围是 k ≠−5+ 61 9 且k ＞0．若选择另一问题：（2）∵AD AO ＝DG OC ，而AD=1，AO=2，OC=4，则DG=2， 又∵FG AB ＝CP OC ，而AB=6，CP=2，OC=4，则FG=3， ∴SDEFG=DG •FG=6．二、 因动点而产生的等腰三角形问题例2：如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴； （2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．分析：（1（2）令x=0，可求出C 点坐标，由BC∥x 轴可知B ，C 点坐标，根据AC=BC 可求出A 点坐标．（3）分三种情况讨论：①以AB 为腰且顶角为∠A，先求出AB 的值，的长，即可求出P 1的坐标；②以AB 为腰且顶角为角B ，根据MN 的长和MP 2的长，求出P 2的纵坐标，已知其横坐标，可得其坐标；③以AB为底，顶角为角P时，依据Rt△P3C K∽Rt△BAQ即可求出OK和P3K的长，可得P3坐标解答：解：（1）抛物线的对称轴x=-−5a 2a =5 2 ；（2分）（2）由抛物线y=ax2-5ax+4可知C（0，4），对称轴x=-−5a 2a =5 2 ，∴BC=5，B（5，4），又AC=BC=5，OC=4，在Rt△AOC中，由勾股定理，得AO=3，∴A（-3，0）B（5，4）C（0，4）（5分）把点A坐标代入y=ax2-5ax+4中，解得a=-1 6 ，（6）∴y=−1 6 x2+5 6 x+4．（7分）（3）存在符合条件的点P共有3个．以下分三类情形探索．设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M．过点B作BQ⊥x轴于Q，易得BQ=4，AQ=8，AN=5.5，BM=5 2 ．①以AB为腰且顶角为角A的△PAB有1个：△P1AB．∴AB2=AQ2+BQ2=82+42=80（8分）在Rt△ANP1中，P1N= AP12−AN2 = AB2−AN2 = 80−(5.5)2 = 199 2 ，∴P1（5 2 ，- 199 2 ）．（9分）②以AB为腰且顶角为角B的△PAB有1个：△P2AB．在Rt△BMP2中MP2= BP 22 −BM2 = AB2−BM2= 80−25 4= 295 2 ，（10分）∴P2=（5 2 ，8−295 2 ）．（11分）③以AB为底，顶角为角P的△PAB有1个，即△P3AB．画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P3，此时平分线必过等腰△ABC的顶点C．过点P3作P3K垂直y轴，垂足为K，∵∠CP3K=∠ABQ，∠CKP3=∠AQB，∴Rt△P3CK∽Rt△BAQ．∴P3K CK =BQ AQ =1 2 ．∵P3K=2.5∴CK=5于是OK=1，（13分）∴P3（2.5，-1）．（14分点评：此题考查了用对称轴公式求函数对称轴方程，用待定系数法求函数解析式等基础知识，还结合等腰三角形的性质考查了点的存在性问题，有一定的开放性．三、因动点而产生的直角三角形问题例3：如图12，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P连结MQ．（1）点（填M或N）能到达终点；（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．分析：（1）（BC÷点N的运动速度）与（OA÷点M的运动速度）可知点M能到达终点．（2）经过t秒时可得NB=y，OM-2t．根据∠BCA=∠MAQ=45°推出QN=CN，PQ的值．求出S与t的函数关系式后根据t的值求出S的最大值．（3）本题分两种情况讨论（若∠AQM=90°，PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高；若∠QMA=90°，QM与QP重合）求出t值．解答：解：（1）点M．（1分）（2）经过t秒时，NB=t，OM=2t，则CN=3-t，AM=4-2t，∵A（4，0），C（0，4），∴AO=CO=4，∵∠AOC=90°，∴∠BCA=∠MAQ=45°，∴QN=CN=3-t∴PQ=1+t，（2分）∴S△AMQ=1 2 AM•PQ=1 2 （4-2t）（1+t）=-t2+t+2．（3分）∴S=-t2+t+2=-t2+t-1 4 +1 4 +2=-（t-1 2 ）2+9 4 ，（5分）∵0≤t≤2∴当t＝1 2 时，S的值最大．（6分）（3）存在．（7分）设经过t秒时，NB=t，OM=2t则CN=3-t，AM=4-2t∴∠BCA=∠MAQ=45°（8分）①若∠AQM=90°，则PQ 是等腰Rt △MQA 底边MA 上的高 ∴PQ 是底边MA 的中线 ∴PQ=AP=1 2 MA ∴1+t=1 2 （4-2t ） ∴t=1 2∴点M 的坐标为（1，0）（10分） ②若∠QMA=90°，此时QM 与QP 重合 ∴QM=QP=MA ∴1+t=4-2t ∴t=1∴点M 的坐标为（2，0）．（12分）点评：本题考查的是二次函数的有关知识，考生还需注意的是要学会全面分析问题的可行性继而解答．四、 因动点而产生的相似形问题例4：设抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m ，0)，与y 轴交于点C .且∠ACB=90°． (1)求m 的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A 的直线1y x =+交抛物线于另一点E ．若点P 在x 轴上，以点P 、B 、D 为顶点的三角形与△AEB 相似，求点P 的坐标．分析：（1）根据抛物线的解析式可知C 点坐标为（0，-2），即OC=2，由于∠ACB=90度，根据射影定理OC 2=OA•OB，可求出OB 的长，进而可求出B 点的坐标，也就求出了m 的值，然后将A 、B 的坐标代入抛物线中即可求出其解析式．（2）可先根据抛物线的解析式和直线AE 的解析式求出E 点和D 点的坐标，经过求解不难得出∠FAB=∠DBO=45°，因此本题要分两种情况进行讨论： ①∠DPB=∠ABE；②∠PDB=∠ABE．可根据对应的相似三角形得出的成比例线段求出OP 的长，进而可求出P 点的坐标．解答：解：（1）令x=0，得y=-2， ∴C （0，-2），∵∠ACB=90°，CO ⊥AB ， ∴△AOC ∽△COB ， ∴OA •OB=OC2，∴OB=OC2 OA ＝22 1 ＝4， ∴m=4，将A （-1，0），B （4，0）代入y=ax2+bx-2， 得 a ＝1 2 b ＝−3 2 ，∴抛物线的解析式为y=1 2 x2-3 2 x-2．（2）D （1，n ）代入y=1 2 x2-3 2 x-2，得n=-3，∴D （1，-3）． 解方程组 y ＝1 2 x2−3 2 x −2 y ＝x+1 ， 得 x1＝−1 y1＝0 x2＝6 y2＝7 ． ∴E （6，7）．过E 作EH ⊥x 轴于H ，则H （6，0）． ∴AH=EH=7， ∴∠EAH=45°．过D 作DF ⊥x 轴于F ，则F （1，0）． ∴BF=DF=3， ∴∠DBF=45°，∴∠EAH=∠DBF=45°， ∴∠DBH=135°，∵90°＜∠EBA ＜135°，则点P 只能在点B 的左侧，有以下两种情况： ①若△DBP1∽△EAB ，则 BP1 AB ＝BD AE ， ∴BP1=AB •BD AE =5×3 2 7 2 =15 7 ， ∴OP1=4-15 7 =13 7 ， ∴P1（ 13 7 ，0）．②若△DBP2∽△BAE ，则 BP2 AE ＝BD AB ， ∴BP2=AE •BD AB =7 2 ×3 2 5 =42 5 ， ∴OP2=42 5 -4=22 5 ， ∴P2（-22 5 ，0）．综合①、②，得点P 的坐标为：P1（ 13 7 ，0）或P2（-22 5 ，0）．点评：本题考查二次函数解析式的确定、函数图象交点、三角形相似以及综合应用知识、解决问题的能力．本题是一道应用能力较强的题，比较好．五、 因动点而产生的平行四边问题例5：如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -，，(20)B -，，(08)E ，．（1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式；（2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值； （4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出 此时t 的值；若不能，请说明理由．分析：（1）可先求出A 、B 、E 关于原点对称的对称点的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式．（2）根据中心对称图形的性质不难得出OA=OD ，OM=ON ，因此四边形AMDN 是平行四边形，那么其面积就是三角形ADN 面积的2倍，可据此来求S ，t 的函数关系式．（3）根据（2）得出的函数的性质和自变量的取值范围即可得出S 的最大值及对应的t 的值．（4）根据矩形的性质可知：当AD=MN 时，平行四边形AMDN 是矩形，那么OD=ON ，据此可求出t 的值解答：解：（1）点A （-4，0），点B （-2，0），点E （0，8）关于原点的对称点分别为D （4，0），C （2，0），F （0，-8）． 设抛物线C2的解析式是y=ax2+bx+c （a ≠0）， 则 16a+4b+c ＝0 4a+2b+c ＝0 c ＝−8 ， 解得 a ＝−1 b ＝6 c ＝−8 ，所以所求抛物线的解析式是y=-x2+6x-8．（2）由（1）可计算得点M （-3，-1），N （3，1）． 过点N 作NH ⊥AD ，垂足为H ．当运动到时刻t 时，AD=2OD=8-2t ，NH=1+2t ． 根据中心对称的性质OA=OD ，OM=ON ， 所以四边形MDNA 是平行四边形． 所以S=2S △ADN ．所以，四边形MDNA 的面积S=（8-2t ）（1+2t ）=-4t2+14t+8． 因为运动至点A 与点D 重合为止，据题意可知0≤t ＜4． 所以所求关系式是S=-4t2+14t+8，t 的取值范围是0≤t ＜4．（3）S=-4（t-7 4 ）2+81 4 ，（0≤t ＜4）． 所以t ＝7 4 时，S 有最大值81 4 ． 提示：也可用顶点坐标公式来求．（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形．由（2）知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是AD ，MN ， 所以当AD=MN 时四边形MDNA 是矩形， 所以OD=ON ．所以OD2=ON2=OH2+NH2，所以t2+4t-2=0．解之得t1= 6 -2，t2=- 6 -2（舍）．所以在运动过程中四边形MDNA 可以形成矩形，此时t= 6 -2．点评：本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高．六、 因动点而产生的梯形问题例6：已知，在Rt △OAB 中，∠OAB ＝900，∠BOA ＝300，AB ＝2。