相似三角形综合大题

相似三角形综合大题

一．解答题（共30小题）

1．（2012•昌平区二模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，过点B作BD⊥AC于D，BE平分∠DBC,交AC于E，过点A作AF⊥BE于G，交BC于F，交BD于H．（1）若∠BAC=45°，求证：①AF平分∠BAC；②FC=2HD．

(2)若∠BAC=30°，请直接写出FC与HD的等量关系．

2．（2012•香坊区二模）已知:在△ABC中，∠ACB=90°,AC=2BC,D是线段AC上一点，E是线段CD上一点，过点D作DF⊥BE交BE的延长线于点F，连接CF．(1）当点D是线段AC的中点时(如图1)，求证：BF﹣DF=CF：

（2）当点D与点A重合时,在线段EF上取点G，使GF=DF，连接DG并延长交CF于点H，交BC延长线相交于点P（如图2）,CH：HF=4:5,EG=，求PH的长．

3．(2012•西青区一模）在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°,将△ABC绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．

（Ⅰ)如图①,当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D．证明：△A′CD是等边三角形；（Ⅱ)如图②,连接AA′、BB′，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S1、S2．求证：S1:S2=1：3;

（Ⅲ)如图③，设AC的中点为E，A′B′的中点为P，AC=a，连接EP．求当θ为何值时，EP的长度最大，并写出EP的最大值（直接写出结果即

可)．

4．（2012•南岗区校级二模）在△ABC中，已知∠BAC=45°，高线CD与高线AE 相交于点H,连接DE．

（1）如图1,△ABC为锐角三角形时，求证:AE﹣CE=DE；

（2）如图2，在（1)的条件下,作∠AEC的平分线交AC于点F，连接DF交AE于点G，若BD=CF，AE=6，求GH的长．

5．（2012•徐汇区校级模拟）在△OAC中，∠AOC=90°，OB=6，BC=12，

∠ABO+∠C=90°,M、N分别在线段AB、AC上．

（1）填空:cosC=．

(2)如图1,当AM=4，且△AMN与△ABC相似时，△AMN与△ABC的面积比为；

（3)如图2，当MN∥BC时，将△AMN沿MN翻折，点A落在四边形BCNM所在平面的点为点E，EN与射线AB交于点F，设MN=x，△EMN与△ABC重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围．

6．（2012•道外区二模)已知：如图1，四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°，连接AC，tan∠CAD=，过点D作DE⊥AB，点E为垂足．

（1)求证：AE+BC=DE；

(2）连接BD，设BD与AC交于点F,DE与AC交于点G，若AG：FG=3：2,AE=6（如图2）,求线段BC的长．

7．(2012•路南区一模）如图①,在△ABC中,AB=BC，∠ABC=120°，点P是线段AC上的动点（点P与点A、点C不重合），连接BP．将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，连接AA1，直线AA1分别交直线PB、直线BB1于点E,F．

（1)如图①，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△APA1与△BPB1始终存在关系(填“相似”或“全等”），同时可得∠A1AP∠B1BP（填“=”或“＜”“＞”关系)．请说明△BEF与△AEP之间具有相似关系；

（2）如图②，设∠ABP=β，当120°＜α＜180°时,在α角变化过程中，是否存在△BEF 与△AEP全等?若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；(3)如图③，当α=120°时，点E、F与点B重合．已知AB=4，设AP=x,S=△A1BB1面积，求S关于x的函数关系式

8．（2012•上虞市模拟）复习完“四边形”内容后，老师出示下题：

如图1，直角三角板的直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上移动，一直角边始终经过点C，另一直角边交直线AB于点Q，连接QC．求证：∠PQC=∠DBC．（1）请你完成上面这道题；

（2）完成上题后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出许多问题，如：

①如图2，若将题中的条件“正方形ABCD"改为“矩形ABCD”，其余条件都不变，是否仍能得到∠PQC=∠DBC？

②如图3，若将题中的条件“正方形ABCD”改为“直角梯形ABCD”，其余条件都不变,是否仍能得到∠PQC=∠DBC？

请你对上述反思①和②作出判断,在下列横线上填写“是"或“否"：

①;②．并对①、②中的判断，选择其中一个说明理由．

9．（2012•上海模拟）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4，∠A=60°，CD是边AB上的中线,直线BM∥AC,E是边CA延长线上一点，ED交直线BM于点F，将△EDC沿CD翻折得△E′DC，射线DE′交直线BM于点G．

(1）如图1,当CD⊥EF时，求BF的值;

（2）如图2,当点G在点F的右侧时；

①求证：△BDF∽△BGD；

②设AE=x,△DFG的面积为y，求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围; (3）如果△DFG 的面积为，求AE的长．

10．（2012•道外区一模）已知：点P为正方形ABCD内部一点，且∠BPC=90°,过点P的直线分别交边AB、边CD于点E、点F．

（1）如图1，当PC=PB时，则S△PBE、S△PCF S△BPC 之间的数量关系为；(2）如图2，当PC=2PB时，求证：16S△PBE+S△PCF=4S△BPG；

（3）在（2）的条件下，Q为AD边上一点，且∠PQF=90°，连接BD，BD交QF 于点N，若S△bpc=80，BE=6．求线段DN的长．

11．(2012•太原一模)如图1,已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点E，以点E为顶点作正方形EFGH,使点A、D分别在EH和EF上，连接BH、AF．

（1）判断并说明BH和AF的数量关系;

（2)将正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转θ（0°≤θ≤360°),设AB=a，EH=b，且a ＜2b．①如图2，连接AG，设AG=x，请直接写出x的取值范围;当x取最大值时,直接写出θ的值;

②如果四边形ABDH是平行四边形,请在备用图中补全图形,并求a与b的数量关系．

12．（2012•武汉模拟）（1)如图1，在△ABC中，点D，E在边BC上，BD：DE:CE=1：2：3,线段FG∥BC，分别交线段AD，AE于M、N两点,则有FM：MN：NG=（2)如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEGF的四个顶点有△ABC的三边上，线段FG分别交线段AD，AE于M、N两点，若BD=4，EC=9,求MN的长? （3)如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEGF的四个顶点在△ABC的三边所在的直线上,DA与EN的延长线分别交直线FG于M、N两点，求证：

MN2=MF•NG．

13．（2012•香坊区校级模拟）已知，等边△ABC中,D为BC上一点，DE∥AC交AB于C，M是AE上任意一点（M不与A、E重合），连DM，作DN平分∠MDC 交AC于N．

（1）若BD=DC（如图1)，求证：EM+NC=DM；

（2）在（1）的条件下，如图2，作DF⊥AC于F，若NF:FC=3：5，AM=4,连接MN将∠DMN沿MN翻折,翻折后的射线MD交AC于P,连接DP交MN于点Q，求PQ的长．