2017-2018版高中数学 第二章 算法初步 1 算法的基本思想学案 北师大版必修3

1 算法的基本思想

学习目标 1.了解算法的含义，体会算法的思想，能够用自然语言叙述算法.2.掌握正确的算法应满足的要求.3.学会将一整数分解成素因数之积，会设计求两整数的最大公因数的算法，了解“韩信点兵”问题及二分法求方程近似解．

知识点一算法的概念

思考有一碗酱油，一碗醋和一个空碗．现要把两碗盛的物品交换一下，试用自然语言表述你的操作方法．

梳理一般地，算法是解决某类问题的一系列____________，只要按照这些步骤执行，都能使问题得到解决．一般来说，“用算法解决问题”都是可以利用________帮助完成的．

同一个问题可能存在____种算法，一个算法也可以解决某一类问题．

知识点二算法的特点

思考设想一下电脑程序需要计算无限多步，会怎么样？

梳理一般地，算法的特点有：

(1)有穷性

一个算法应包括________的操作步骤，能在执行有穷的操作步骤之后________．

(2)确定性

算法的计算规则及相应的计算步骤必须是唯一确定的．

(3)可行性

算法中的每一个步骤都是可以在________的时间内完成的基本操作，并能得到________的结果．

类型一生活中的算法案例

例1 在电视台的某个娱乐节目中，要求参与者快速猜出物品价格．主持人出示了一台价值在1 000元以内的随身听，并开始了竞猜．下面是主持人和参与者之间的一段对话：

参与者：800元！

主持人：高了！

参与者：400元！

主持人：低了！

参与者：600元！

主持人：低了！

……

试把参与者的竞猜策略概括成一系列的步骤．

反思与感悟按照上述方法，继续判断，直到游戏结束．像这样的一系列步骤通常称为解决这个问题的一个算法．生活中有很多蕴含算法思想的案例．

跟踪训练1 一个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡1个大人或两个小孩，他们三人都会划船，但都不会游泳．试问他们怎样渡过河去？请写出一个渡河方案．

类型二数学中的算法思想

例2 设计一个算法，求840与1 764的最大公因数．

反思与感悟以上这个算法的思想具有一般性，它可以帮助设计求三个或者三个以上正整数的最大公因数的算法．

跟踪训练2 设计一个算法，求98与63的最大公因数．

例3 “韩信点兵”问题

韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为建立汉朝立下了汗马功劳．据说他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力．采用下述点兵方法：

先令士兵从1～3报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从1～5报数，结果最后一个士兵报3；又令士兵从1～7报数，结果最后一个士兵报4.这样，韩信很快就算出了自己部队士兵的总人数．请设计一个算法，求出士兵至少有多少人．

反思与感悟在完成上述步骤后，就找到了所求的数53，这5个步骤称为解决“韩信点兵”问题的一个算法．

跟踪训练3 在例3中，我们颠倒一下3,5,7的顺序，请再设计一个算法．

类型三用二分法求方程近似解

例4 求方程x3＋x2－1＝0在[0,1]上的近似解，精度为0.1.

反思与感悟 二分法求方程近似解的基本思想：逐渐缩小有解区间的长度，直到满足精度的要求．虽然看似烦琐，但很适合计算机执行．

跟踪训练4 用二分法设计一个求方程x 2－2＝0的近似正根的算法，精度为0.05.

1．下列关于算法的说法，正确的个数为( )

①求解某一类问题的算法是唯一的；

②算法必须在有限步操作之后停止；

③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；

④算法执行后一定产生确定的结果．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2．已知一个算法：

(1)给出三个数x 、y 、z ；

(2)计算M ＝x ＋y ＋z ；

(3)计算N ＝13M ；

(4)得出每次计算的结果．

则上述算法是( )

A ．求和

B ．求余数

C ．求平均数

D ．先求和再求平均数

3．看下面的四段话，其中不是解决问题的算法是________．

(1)从济南到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达；

(2)解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；

(3)方程x2－1＝0有两个实根；

(4)求1＋2＋3＋4＋5的值，先计算1＋2＝3，再计算3＋3＝6,6＋4＝10,10＋5＝15，最终结果为15.

4．已知直角三角形两直角边长为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步：

(1)计算c＝a2＋b2；

(2)输入直角三角形两直角边长a，b的值；

(3)输出斜边长c的值．

其中正确的顺序是________．

算法是建立在解法基础上的操作过程，算法不一定要有运算结果，答案可以由计算机解决，算法没有一个固定的模式，但有以下几个基本要求：

(1)符合运算规则，计算机能操作；

(2)每个步骤都有一个明确的计算任务；

(3)对重复操作步骤返回处理；

(4)步骤个数尽可能少；

(5)每个步骤的语言描述要准确、简明．

答案精析

问题导学

知识点一

思考先把醋倒入空碗，再把酱油倒入原来盛醋的碗，最后把倒入空碗中的醋倒入原来盛酱油的碗，就完成了交换．

梳理

步骤或程序计算机多

知识点二

思考若有无限步，必将陷入死循环，解决不了问题．故算法必须在有限步内解决问题．梳理

(1)有限结束(3)有限确定

题型探究

例1 解 1.报出首次价格T1；

2．根据主持人的回答确定价格区间：(1)若报价小于商品价格，则商品的价格区间为(T1,1 000)；(2)若报价大于商品价格，则商品的价格区间为(0，T1)；(3)若报价等于商品价格，则游戏结束．

3．如果游戏没有结束，则报出上面确定的价格区间的中点T2.

跟踪训练1 解 1.两个小孩同船过河去；

2．一个小孩划船回来；

3．一个大人划船过河去；

4．对岸的小孩划船回来；

5．两个小孩同船渡过河去．

例2 解算法步骤如下：

1．先将840进行素因数分解：840＝23×3×5×7；

2．然后将1 764进行素因数分解：1 764＝22×32×72；

3．确定它们的公共素因数：2,3,7；

4．确定公共素因数的指数：公共素因数2,3,7的指数分别为2,1,1；

5．最大公因数为22×31×71＝84.

跟踪训练2 解算法步骤如下：

1．先将98进行素因数分解：98＝2×72；

2．然后将63进行素因数分解：63＝32×7；

3．确定它们的公共素因数：7；