流体力学_纳维尔斯托克斯_欧拉方程的推导
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一、流体力学基本公式
公式的含义：质量守恒、动量守恒、能量守恒
()0D V Dt
ρδ=
(0.1)
(
)D VU
V f Dt
ρδδρδτ=+
(0.2)
()
(
)(
)
2/2D V e U V f U U V q Dt
ρδδρδ
τδρ+=⋅+⋅+
(0.3)
将(0.1)式应用于(0.2)、(0.3)两式可得
()
()()()
()()()()()
222
2/2/2/2/2 D VU D V DU DU U V V V f Dt Dt Dt Dt D V e U D e U D V e U V Dt Dt Dt D e U V V f U U V q Dt V f ρδρδρδρδδρδτ
ρδρδρδρδδρδτδρδρ=+==+++=+++==⋅+⋅+=+ ()
U U V q δττδδρ⎧⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⋅+⋅+⎩
即
DU f Dt V δτ
δρ
=+
()2/2D e U U f U q Dt
V V δττδδρδρ+⎛⎫⋅=+⋅+
+ ⎪⎝⎭
而(0.1)式本身作如下简化：
()
()
()
()00D V D D V V Dt
Dt Dt
D V D D U Dt VDt Dt ρδρδδρ
δρ
ρρρδ=+=+=+∇⋅=
那么三个控制方程可以表示为
()20/2D U Dt
DU
f Dt V D e U U f U q Dt V V ρρδτδρδττδδρδρ⎧⎪+∇⋅=⎪⎪⎪=+⎨⎪
⎪+⎛⎫⋅⎪=+⋅++ ⎪⎪⎝⎭⎩
(0.4)
将
()()()D U Dt
t
∂=+⋅∇
∂ 应用于(0.4)式，可以得到
()
0U t ρ
ρ∂+∇⋅=∂ (0.5)
U U U f t V δτδρ
∂+⋅∇=+∂
(0.6)
()()22
/2/2e U U U e U f U q t V V δττδδρδρ∂+⎛⎫⋅+⋅∇+=+⋅+
+ ⎪∂⎝
⎭
(0.7)
将(0.6)式代入(0.7)式化简，可得
()()()()22
2
2
/2/2/2/2e U U e U t U e U e U U t t U U U U U q
t V ρρρτδρδρ⎛⎫
∂+ ⎪+⋅∇+ ⎪∂⎝⎭
⎛⎫∂∂⎛⎫ ⎪=+⋅∇++⋅∇ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭
⎛⎫∂⋅=+⋅∇⋅++ ⎪∂⎝⎭
其中，
()()()()()2/2/21122i i i i i i i i U U U U U U U U U U U t
t
t t t t
∂⎛⎫∂∂∂∂∂=
=+==⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭
()()
2
1/22j j j i i j i i
U U U U U U U U U U U x x ∂∂⋅∇===⋅∇⋅∂∂
所以
e U U e q t V τδδρ
∂⋅+⋅∇=+∂
(0.8)
于是，三个控制方程化简为
()
0U t U U U f t V e U U e q
t
V ρ
ρδτδρτδδρ⎧∂+∇⋅=⎪∂⎪⎪∂⎪+⋅∇=+⎨
∂⎪⎪∂⋅⎪+⋅∇=+∂⎪⎩
(0.9)
其中，τ
为剪应力对微元体的力，故
()1,2,31,2,31,2,3
1,2,31111
ij i i j k ij i i i i j k
i j j ij j k i
j i ij i i j k i j T dx e dx dx T x e T
V dx dx dx x U T dx dx dx U x U T T U V dx dx dx x δτδρρρρτδδρρρρ====∂⎧
⎪∂∂⎪===∇⋅∂⎪⎪
⎨
∂⎪⎪∂∂⋅===⋅∇⋅⎪
∂⎪⎩
∑∑ 所以，三个控制方程最终可以写为
()
()01
1
U t U U U f T t e U e T U q
t
ρ
ρρρ⎧∂+∇⋅=⎪∂⎪⎪∂+⋅∇=+∇⋅⎨∂⎪
⎪∂+⋅∇=⋅∇⋅+⎪∂⎩
(0.10)
其中，T 为微元体受到的表面应力
()22j k
i ij kk ij ij ij k j i u u u T p S S p x x
x λδμμδμ⎛⎫
∂⎛⎫
∂∂=-++=--++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝
⎭⎝⎭
即
(
)()
2T p U I U U μμ=--∇⋅+∇+∇
(0.11)
将(0.11)代入(0.10)式可以得到
()
()()
(
)()
()
2
323011U t U U U f p U U U t
e U e p U I U U U q t
ρ
ρμμρμμρ⎧∂+∇⋅=⎪∂⎪⎪∂⎡⎤+⋅∇=+∇--∇⋅+∇⋅∇+∇⎨⎣⎦∂⎪⎪∂⎡⎤+⋅∇=--∇⋅+∇+∇⋅∇⋅+⎪⎣⎦∂⎩
(0.12)
将(0.12)式写为张量形式
()2
22232
3011i i j j i
i i j i j i i j j i j j j j j i i j i j i i U t x U U U U U p U f t x x x x x x x x U U U U U e U e p q t x x x x x ρρμμρμμρ⎧
∂∂⎪+=⎪∂∂⎪
⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪∂∂∂∂∂∂⎪+=+--++⎢⎥ ⎪ ⎪⎨ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎪
⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎪+⋅∇=--+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎩
(0.13) 再将(0.13)式写为分量形式，得