流体力学_纳维尔斯托克斯_欧拉方程的推导

纳维-斯托克斯方程(N-S方程)详细推导

深入研究非牛顿流体和复杂流体的运动规律
针对非牛解方法，以揭示其复杂的流动行为和机理。
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N-S方程的改进和发展
数值方法
为了解决N-S方程的求解问题，研究者们发展出了许多数值方法，
如有限差分法、有限元法、谱方法等。
近似模型
针对某些特定流动，研究者们提出了许多近似模型，如雷诺平均N-S 方程、湍流模型等，以简化求解过程。
多物理场耦合
随着计算技术的发展，多物理场耦合成为研究流体流动的重要方向，如流固耦合、流热耦合等。
应力张量
01
应力张量是描述流体内部应力的二阶张量，包括正应力和剪切应力。
02
正应力表示流体在单位面积上受到的压力，而剪切应力表示流
体在单位面积上受到的切向力。
应力张量是流体的状态函数，其值取决于流体的状态和所处的
03
边界条件。
03 纳维-斯托克斯方程的推导
纳维方程的推导
01
02
03
从质量守恒、动量守恒和牛顿第二定律出发，推导出描述流体运动的
考虑流体的粘性和惯性
02
N-S方程中包含了流体的粘性和惯性力，能够描述粘性流体在运
动过程中的受力情况和运动规律。
涉及到复杂的数学处理
03
N-S方程的推导涉及到复杂的数学处理，包括微积分、线性代数
和偏微分方程等。
02 流体的基本性质
流体的定义和分类
流体是能够流动的物质，具有连续性和不可压缩性。根据其流动特性，流体可分为牛顿流体和非牛顿流体两大类。
04 N-S方程的应用和限制
N-S方程的应用领域
流体力学
N-S方程是描述流体运动的基本方程，广泛应用于航空、航海、气象、环境等领域。

流体力学中三个主要力学模型

流体力学中三个主要力学模型流体力学是研究流体运动的一门学科，涉及到物理学、数学、工程学等多个领域。

在流体力学中，有三个主要的力学模型，分别是欧拉方程、纳维-斯托克斯方程和边界层方程。

这三个模型在不同的情况下有不同的应用，下面将分别介绍它们的基本原理和应用。

一、欧拉方程欧拉方程是描述流体运动的最基本的方程之一，它是由欧拉在1755年提出的。

欧拉方程是基于质点运动的牛顿第二定律得出的，它描述了流体在不受外力作用时的运动状态。

欧拉方程的基本形式如下：ρ/t + ·(ρu) = 0ρ(dv/dt) = -p其中，ρ是流体的密度，t是时间，u是流体的速度，p是压力，v是速度的随时间的变化率，是向量微分算子。

欧拉方程的应用范围很广，可以用来描述各种不可压缩流体的运动，例如水、油、气体等。

欧拉方程可以用来研究流体的基本运动规律，如速度分布、压力分布等。

欧拉方程还可以用来研究流体的力学性质，如流体的动量、能量守恒等。

二、纳维-斯托克斯方程纳维-斯托克斯方程是描述流体运动的另一个重要方程，它是由纳维和斯托克斯在19世纪提出的。

纳维-斯托克斯方程是基于牛顿第二定律和连续性方程导出的，它描述了流体在受外力作用时的运动状态。

纳维-斯托克斯方程的基本形式如下：ρ(dv/dt) = -p + μ^2v + f·v = 0其中，μ是流体的动力粘度，f是体积力，如重力、电磁力等。

纳维-斯托克斯方程适用于各种流体的运动，包括不可压缩流体和可压缩流体。

它可以用来研究流体的运动规律、流体的力学性质和流体的稳定性等问题。

纳维-斯托克斯方程还可以用来模拟流体在各种工程应用中的运动，如飞机、汽车、船舶等。

三、边界层方程边界层方程是描述流体在边界层内的运动的方程，它是由普拉特在1904年提出的。

边界层是指流体与固体表面接触的区域，它的厚度很小，但是流体的速度和压力在这个区域内发生了显著的变化。

边界层方程是基于牛顿第二定律和连续性方程导出的，它描述了流体在边界层内的运动状态。

流体力学欧拉方程公式

流体力学欧拉方程公式流体力学中的欧拉方程公式可是个相当重要的家伙！它就像是流体世界的密码，能帮我们解开很多关于流体运动的谜团。

欧拉方程公式描述了无黏性流体的运动规律。

咱们先来说说它的表达式：$\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \vec{g}$ 。

这里面的每一项都有它独特的含义。

$\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}$ 这一项表示的是流体速度随时间的变化率，就好比你在操场上跑步，速度一会儿快一会儿慢，这个变化率就是在描述这种快慢的改变。

$(\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v}$ 这部分稍微有点复杂，它描述的是流体速度的空间变化对速度本身的影响。

想象一下河里的水，水流在不同位置速度不一样，这种速度的差异会影响整体的流动。

$-\frac{1}{\rho} \nabla p$ 这里的 $p$ 是压强，这一项表示压强梯度对流体运动的作用。

比如说，高压区的流体就会往低压区跑。

$\vec{g}$ 就是重力啦，很容易理解，在地球上，流体都会受到重力的影响。

给您讲讲我之前的一次经历，那回我去参观一个大型的水坝。

站在水坝边上，看着那汹涌奔腾的水流，我就在想，这背后不就是欧拉方程在起作用嘛！水从高处冲下来，速度越来越快，这就是重力在发挥作用。

而且不同位置的水速不同，也是因为水流所受的压力不同。

在实际应用中，欧拉方程公式可是大有用处。

比如说在航空领域，设计飞机的外形时，就得考虑空气这个流体的流动情况，通过欧拉方程来计算和优化，让飞机飞得更稳更快。

在水利工程中，像修建渠道、水闸，也得靠它来预测水流的情况，保证工程的安全和效率。

在研究气象的时候，欧拉方程也能帮上大忙。

预测风的走向、风速的变化，都离不开对流体力学的深入理解和运用欧拉方程公式进行的精确计算。

高等工程流体力学-纳维—斯托克斯方程的解

第三章纳维—斯托克斯方程的解
29
第六节沿有吹吸作用的壁面上的流动
一、沿均匀抽吸的平面上的定常流动
第三章纳维—斯托克斯方程的解
第六节沿有吹吸作用的壁面上的流动
一、沿均匀抽吸的平面上的定常流动如图3-16所示，流体以速度U平行流过一
无限长的多孔平壁面，由于流体黏性的作用，在近壁面区域形成了较大速度梯度的薄层。
由实验数据拟合所得的经验公式如下
此式的C误D 差在R24e± 110%6 R之e 间 0。.4,
0 Re 2 105
（3-34a）
第三章纳维—斯托克斯方程的解
21
第四节低雷诺数流动
二、滑动轴承内的流动（略）
（参见吴望一书§9.11）
第三章纳维—斯托克斯方程的解
第五节楔形区域的流动
第三章纳维—斯托克斯方程的解
3
第三节平行非定常流动
第三章纳维—斯托克斯方程的解
4
第三节平行非定常流动
得其运动方程为
vx 2vx
t
y 2
（3-20）
，定解条件为作无量纲变换
t 0, y 0 : vx 0
t 0, y 0 :
vx
U0
（3-21）
y : vx =0
y ， 2 t
第三章纳维—斯托克斯方程的解
2
第三节平行非定常流动
一、突然加速平板引起的流动设有一无限长、无限宽的平板，平板上
部充满黏性不可压缩流体。平板在某一时刻突然由静止启动，并沿其自身平面加速至某一固定速度U0，从而带动其周围原来静止的流体流动。该问题为斯托克斯第一问题，由斯托克斯解得，取直角坐标系，如图3-6所示。

欧拉方程推导全过程

欧拉方程推导全过程嘿，数学爱好者们！今天我要带大家走进一个超级有趣的数学世界，那就是欧拉方程的推导。

这可不像在公园散步那么简单，但也绝不是无法攀登的高山，只要跟着我一步一步来，保准你能搞明白。

咱先来说说什么是欧拉方程。

想象一下，在数学这个大王国里，有一个神秘的方程式，就像一颗璀璨的明珠，它把指数函数、三角函数这些看似不太相关的家伙巧妙地联系在了一起。

这就是欧拉方程，$e^{ix} = \cos x + i\sin x$，其中$e$是自然常数，$i$是虚数单位，$x$是一个实数。

这个方程就像一把魔法钥匙，能打开很多数学难题的大门呢。

那咱们怎么推导这个神奇的方程呢？咱们得从泰勒级数这个有力的工具开始。

泰勒级数就像是一个超级放大镜，可以把一个函数展开成无穷项的多项式。

对于指数函数$e^x$，它的泰勒级数展开式是：$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^4}{4!}+ \cdots$。

这个式子看起来有点吓人，但是别怕，咱们一点点分析。

这里的$n!$就是$n$的阶乘，也就是从$1$乘到$n$。

再来看三角函数$\cos x$和$\sin x$的泰勒级数展开式。

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^4}{4!}- \frac{x^6}{6!}+ \cdots$，$\sin x = x - \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^5}{5!}- \frac{x^7}{7!}+ \cdots$。

现在咱们把$x$换成$ix$代入到$e^x$的泰勒级数展开式中。

$e^{ix} = 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!}+ \frac{(ix)^3}{3!}+ \frac{(ix)^4}{4!}+ \cdots$。

那这个式子要怎么化简呢？咱们来仔细瞧瞧。

$(ix)^2 = -x^2$，$(ix)^3 = -ix^3$，$(ix)^4 = x^4$等等。

N-S(纳维斯托克斯)方程推导过程

很多人一听到N-S 方程就有点头皮发麻，因为涉及到流体力学的知识比较多，如果没有一个完整有逻辑的思路，理解N-S 方程是有点困难。

其中涉及到欧拉法，场论，随体导数，流体力学连续性方程（即质量守恒方程），流体力学N-S 方程（即动量方程），动量方程在流体力学中有两种，一种是理想流体动量方程，一种是粘性流体动量方程，粘性流体的动量方程也叫纳维-斯托克斯方程，也简称N-S 方程。

我试图想把N-S 方程弄清楚点，所以写了一点东西，分享一下。

首先要讲一下流体力学的欧拉法，在课本中还讲了拉格朗斯法，因为连续性方程和N-S 方程是用欧拉法得出的，和拉格朗日法没什么关系。

我就不讲拉格朗日法，以免产生混乱。

欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。

设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时间的变化状况。

如果每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了。

欧拉方法中流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式：假设空间一点的坐标(x,y,z,t)，其中x,y,z 是该空间的坐标，t 是此刻时间。

u,v,w 是这一空间点的三个方向速度。

p,ρ,T 是这一空间点的压力，密度和温度。

这样就有了每一个点的速度，压力，密度，温度，就可以描述运动流体的状态。

这里需要强调一点的是下面这六个式子，可以换一个角度把他们看成方程，对后面理解连续性方程和N-S 方程有帮助，比如u=x+2y+3z),,,();,,,();,,,();,,,();,,,();,,,(t z y x T T t z y x t z y x p p t z y x w w t z y x v v t z y x u u ======ρρ因为后面需要随体导数的概念，还需要把速度函数表示成矢量的形式。

前面u,v,w 是标量，是ν在(x,y,z,t)直角坐标系三个方向的速度。

),(t rνν=M 点（x,y,z,t ），速度为),(t M ν ，过了t ∆之后，在M '点，速度为),(t t M ∆+'ν。

理想流体动量传输方程——欧拉方程

pxx dx x
xz dx y
x
xy dx
x
0
实际流体微小平行六面体
x
3.4 实际流体动量传输方程——纳维尔-斯托克斯方程
微元体受力分析（续）：
垂直于 y轴的两个平面
z
后面
压应力： pyy
切应力： yx、 yz
pyy
yx
前面压应切力应：力p：yyyyxzpxyyyyyyydzx yddyyy
x方向：（1）压力
p p dy
y
z
D
C
P
P
P x
dx
dydz
P x
dxdydz
E
p
pF
p p dx x
（2）体积力
A
B
Xρdxdydz
（3）流体加速度
ma dxdydz dux
dt
H
p p dz
G
p
0
z
x
y
理想流体微小平行六面体
ma F dxdydz dux Xdxdydz p dxdydz
后面： yxdxdz
前面： yxdxdz 底面： zx dxdy
yx
y
0
dydxdz
y
zx
yx
yx
y
dy
x
微小平行六面体在x方向受力分析
顶面： zxdxdy
zx
z
dzdxdy
3.4 实际流体动量传输方程——纳维尔-斯托克斯方程
体积力：同理想流体，x方向分量→Xρdxdydz
惯性力：ma( x方向)→ dxdydz dux
用矢量表示—— W 1 P Du
Dt
(3.39)

欧拉方程推导过程

欧拉方程推导过程概述欧拉方程（Euler’s equation）是描述流体运动的基本方程之一，它是由瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）在18世纪提出的。

欧拉方程在流体力学、空气动力学等领域具有广泛的应用。

本文将介绍欧拉方程的推导过程，以及一些相关的概念。

基本假设在推导欧拉方程之前，我们需要先明确一些基本假设和定义： 1. 流体是连续的：假设流体是连续、无限可分的。

这意味着我们可以对流体的性质进行连续的观察和分析。

2. 流体是可压缩的：假设流体在运动过程中可以发生密度的变化。

3. 流体满足牛顿力学：假设流体的运动可以用牛顿力学描述，即满足牛顿第二定律。

推导过程为了推导欧拉方程，我们首先需要从基本假设出发，利用牛顿第二定律来描述流体运动。

1. 守恒方程守恒方程是流体力学中的基本方程，描述了质量、动量和能量的守恒。

在欧拉方程的推导中，我们主要关注质量守恒和动量守恒。

1.1 质量守恒质量守恒可以表达为以下形式：∂ρ+∇⋅(ρv)=0∂t其中，ρ表示流体的密度，v表示流体的速度。

该方程描述了密度在空间和时间上的变化。

1.2 动量守恒动量守恒可以表达为以下形式：ρ(∂v ∂t+v ⋅∇v)=−∇p +∇⋅T +ρg 其中，p 表示流体的压强，T 表示应力张量，g 表示重力加速度。

该方程描述了流体的动量在空间和时间上的变化。

2. 应力张量欧拉方程中的应力张量T 描述了流体内部的相互作用力。

它可以通过牛顿第二定律和基本假设推导得到。

2.1 应力张量的定义应力张量是一个二阶张量，它描述了流体内部各点沿不同方向的力和应变之间的关系。

在流体力学中，应力张量可以表示为：T ij =−pδij +σij其中，p 是流体的压强，δij 是克罗内克（Kronecker ）δ符号，σij 是剪切应力张量。

2.2 应力张量的推导为了推导应力张量，我们考虑流体中某一点的受力情况。

由牛顿第二定律可知，该点受到的合力等于质量乘以加速度：F =ma将质量表示为体积乘以密度m =ρV ，并将加速度表示为速度的时间导数a =dv dt ，可以得到：F =ρV dv dt将体积表示为面积乘以厚度V =SΔz ，并将速度的导数表示为时间的偏导数dv dt =∂v ∂t ，可以得到：F =ρSΔz ∂v ∂t当体积趋近于0时，左侧的合力可以表达为面积上的应力乘以面积元dS，即F= TdS。

流体力学中的欧拉方程

流体力学中的欧拉方程流体力学是研究流体（包括气体和液体）运动规律和性质的科学。

欧拉方程是流体力学中的重要方程之一，它描述了流体在宏观尺度上的动力学行为。

本文将介绍欧拉方程的起源、基本形式和应用领域。

一、欧拉方程的起源欧拉方程由18世纪的瑞士数学家和物理学家欧拉提出，是基于动量守恒和质量守恒原理推导得到的。

这个方程描述了流体的整体动力学行为，不考虑微观粒子之间的相互作用。

二、欧拉方程的基本形式欧拉方程可以用偏微分方程的形式表示：∂u/∂t + u∇u = -1/ρ ∇p + g其中，u是流体速度矢量，t是时间，ρ是流体的密度，p是压强，g 是重力加速度。

方程左边表示流体速度随时间变化的部分，右边表示压强和重力对流体速度的影响。

这个方程在各个坐标轴方向上都有相应的分量。

三、欧拉方程的应用领域1. 空气动力学：欧拉方程可以用来研究飞行器等物体在空气中的运动规律，以及空气动力学性能的优化设计。

2. 水力学：欧拉方程可以应用于水流的研究，例如河流的水位、流速等参数的计算和预测，有助于水利工程的规划和管理。

3. 汽车工程：欧拉方程可以用来模拟车辆在道路上的运动情况，对于提高汽车性能和安全性有重要意义。

4. 燃烧工程：欧拉方程可以用来研究燃烧物质的速度和温度分布等参数，对于燃烧过程的优化和控制具有指导意义。

四、欧拉方程的数值求解方法欧拉方程是一个非线性偏微分方程，解析求解较为困难。

因此，通常采用数值方法进行求解，如有限差分法、有限元法和控制体积法等。

这些方法可以将连续的欧拉方程转化为离散的方程组，通过迭代计算获取数值解。

五、欧拉方程的改进和扩展除了基本形式的欧拉方程外，还有一些改进和扩展的版本，如纳维-斯托克斯方程和雷诺-欧拉方程。

纳维-斯托克斯方程考虑了流体的粘滞效应，适用于高速、大粘性流体的研究；雷诺-欧拉方程则结合了欧拉方程和统计力学理论，可以用来研究湍流流动等复杂问题。

六、总结欧拉方程是流体力学中的基本方程之一，用于描述流体的整体运动规律。

《流体力学》Ⅰ主要公式及方程式

《流体力学》Ⅰ主要公式及方程式流体力学是研究流动的力学学科，它使用了一系列的公式和方程式来描述和解释流体的运动和性质。

以下是流体力学中的一些主要公式和方程式：1.连续性方程式：连续性方程式描述了质量守恒定律，即在一个封闭的流体系统中，质量的流入量等于流出量。

连续性方程式的公式如下：∇·(ρV)=0其中，∇表示向量的散度操作符，ρ表示流体的密度，V表示流体的速度矢量。

2.动量方程式：动量方程式描述了物体所受到的力和加速度之间的关系。

对于流体力学，动量方程式可以分为欧拉方程和纳维尔-斯托克斯方程两种形式。

欧拉方程描述了无粘性流体的动量方程，其公式如下：∂V/∂t+(V·∇)V=-(1/ρ)∇p+F其中，∂V/∂t表示速度V对时间t的偏导数，·表示向量点乘，p表示压力，F表示外力。

纳维尔-斯托克斯方程描述了粘性流体的动量方程，其公式如下：∂V/∂t+(V·∇)V=-(1/ρ)∇p+μ∇²V+F其中，μ表示流体的动力黏度，∇²表示向量的拉普拉斯算子。

3.质量守恒方程：质量守恒方程描述了流体的质量守恒定律，其公式如下：∂ρ/∂t+∇·(ρV)=0其中，ρ表示流体的密度，V表示流体的速度矢量。

4.能量守恒方程：能量守恒方程描述了流体的能量守恒定律，其公式如下：∂(ρe)/∂t+∇·(ρeV)=∇·(k∇T)+Q其中，e表示流体的单位质量内部能量，T表示流体的温度，k表示热传导系数，Q表示热源。

5.状态方程：状态方程描述了流体的状态，在流体力学中常用的状态方程有理想气体状态方程和液体状态方程。

理想气体状态方程公式如下：p=ρRT其中，p表示压力，ρ表示密度，R表示气体常数，T表示温度。

以上是流体力学中的一些主要公式和方程式。

这些方程式通过数学描述和解析，可以帮助我们理解和预测流体的运动和行为，对于各种工程和科学应用都具有重要的意义。

纳维-斯托克斯方程(N-S方程)详细推导

xx 附加粘性正应力
xxpxx
附加粘性正应力的产生是速度沿流动方向的变化所导致的。
正应力与压力：
由于粘性正应力的存在，流动流体的压力在数值上一般不等于正应力值。但有：
pmxx 3 yy zzp' v
这说明：三个正压力在数值上一般不等于压力，但它们的平均值却总是与压力大小相等。
平移运动、旋转运动、线变形运动和角变形运动右图为任意t时刻在平面流场中所取的一个正方形流体微团。由于流体微团上各点的运动速度不一致，经过微小的时间间隔后，该流体微团的形状和大小会发生变化，变成了斜四边形。
流体微团的运动形式与微团内各点速度的变化有关。设方形流体微团中心 M 的流速分量为 ux 和 uy ，则微团各侧边的中点 A 、 B 、 C 、 D 的流速分量分别为：
以应力表示的运动方程，需补充方程才能求解。
对一维流动问题：补充方程：牛顿剪切定律
对粘性流体流动问题：补充方程：广义的牛顿剪切定律
即：牛顿流体本构方程
关键：寻求流体应力与变形速率之间的关系
目的
将应力从运动方程中消去，得到由速度分量和压力表示的粘性流体运动微分方程，即N-S方程。
牛顿流体的本构方程
z
1(uy 2 x
ux y
)
亥姆霍兹速度分解定理
整理推广得
不可压缩流体连续性微分方程
直角坐标系中的连续性方程质量守恒
z dy
输的入质微量元流体量－
输出微元体的质量流量
dz vx dydz
dx

vx

xvxdxdydz
x
y
微元体及其表面的质量通量
＝
微元体内的质量变化率

流体力学中的纳维斯托克斯方程

流体力学中的纳维斯托克斯方程纳维斯托克斯方程是描述流体力学中流体运动规律的基本方程之一，它由质量守恒定律和动量守恒定律组成。

纳维斯托克斯方程的求解对于研究流体的运动特性以及许多实际问题的解决具有重要意义。

本文将详细介绍纳维斯托克斯方程及其应用。

一、纳维斯托克斯方程的基本形式纳维斯托克斯方程是一组偏微分方程，描述了流体运动的速度场和压力场。

对于二维不可压缩定常流体来说，纳维斯托克斯方程可以写作：∇·(ν∇u)-ρ(u·∇)u+∇p=0∇·u=0其中，∇表示梯度运算符，u是速度场矢量，p表示压力场，ρ是流体的密度，ν是运动黏度。

第一个方程是动量守恒定律表达的动量平衡关系，第二个方程是质量守恒定律表达的质量平衡关系。

二、纳维斯托克斯方程的物理意义纳维斯托克斯方程描述了流体在外力作用下的运动规律。

第一个方程中的第一项表示速度场的扩散运动，第二项表示速度场的对流运动，第三项表示压力场的梯度。

这三项共同描述了速度场和压力场之间的相互作用关系。

第二个方程则表明了流体在运动过程中质量守恒的特性。

三、纳维斯托克斯方程的求解方法由于纳维斯托克斯方程的非线性和复杂性，一般情况下难以直接求解。

目前常用的求解方法主要有解析解法和数值解法两种。

解析解法适用于简单的流体模型以及特殊边界条件的情况，例如某些流体运动的解析解。

数值解法则通过将流体区域划分为网格，利用数值计算方法对纳维斯托克斯方程进行离散化处理，从而通过迭代求解获得数值解。

四、纳维斯托克斯方程的应用领域纳维斯托克斯方程广泛应用于流体力学领域的研究和工程实践中。

通过求解纳维斯托克斯方程，可以得到流体的速度分布、压力分布以及其他相关物理量，进而研究流体的流动特性、稳定性以及其他流体力学问题。

例如在工程领域中，纳维斯托克斯方程被用于模拟空气动力学问题、流体输送管道中的流动以及海洋流体运动等情况。

总结：纳维斯托克斯方程是流体力学中的重要方程，用于描述流体运动规律。

怎么定量描述流体的内摩擦《张朝阳的物理课》推导纳维尔-斯托克斯方程

怎么定量描述流体的内摩擦《张朝阳的物理课》推导纳维尔-斯托克斯方程要定量描述流体的内摩擦，我们可以使用纳维尔-斯托克斯方程。

《张朝阳的物理课》在推导纳维尔-斯托克斯方程时，可以按照以下步骤进行：1.引入流体的黏性属性：流体的内摩擦力是由黏性引起的。

黏性是指流体分子间相互作用力导致的抵抗流体运动的特性。

在《张朝阳的物理课》中，可以从分子层面解释黏性的机制，并介绍黏性系数的概念。

2.推导基本方程：基于牛顿第二定律和连续性方程，可以推导出流体力学基本方程。

其中，牛顿第二定律用于描述流体受力和加速度之间的关系，连续性方程用于描述流体在运动中的质量守恒。

这些方程是描述流体运动的基础。

3.推导本构关系：本构关系是用于描述流体应力与流体变形速率之间的关系。

在《张朝阳的物理课》中，可以讲解流体的黏性导致应力与变形速率成正比的关系，并引入黏性系数来进行定量描述。

4.推导纳维尔-斯托克斯方程：纳维尔-斯托克斯方程是描述粘性流体运动的基本方程。

通过将基本方程和本构关系结合，可以得到纳维尔-斯托克斯方程。

该方程分别描述了质量守恒、动量守恒和能量守恒，是研究流体力学问题的重要工具。

在推导纳维尔-斯托克斯方程时，可以参考《张朝阳的物理课》中相关章节的内容，并结合具体案例和实验数据进行讲解。

同时，可以介绍纳维尔-斯托克斯方程的应用领域，比如工程流体力学、生物流体力学等。

推导过程中，应注意理论的逻辑性和推导的严谨性。

总的来说，推导纳维尔-斯托克斯方程需要涉及到流体力学的基本概念和原理，以及黏性流体的特性和本构关系。

通过详细讲解和案例分析，可以帮助学生更好地理解流体的内摩擦现象，并掌握纳维尔-斯托克斯方程的应用。

最终完成的推导内容应该包括基本方程的推导过程、本构关系的引入和推导、以及最终得到的纳维尔-斯托克斯方程。

推导过程要清晰逻辑，详细说明每一步的依据和目的，总字数应在1200字以上。

流体力学_纳维尔斯托克斯_欧拉方程的推导

一、流体力学基本公式公式的含义：质量守恒、动量守恒、能量守恒()0D V Dtρδ=(0.1)()D VUV f Dtρδδρδτ=+(0.2)()()()2/2D V e U V f U U V q Dtρδδρδτδρ+=⋅+⋅+(0.3)将(0.1)式应用于(0.2)、(0.3)两式可得()()()()()()()()()2222/2/2/2/2 D VU D V DU DU U V V V f Dt Dt Dt Dt D V e U D e U D V e U V Dt Dt Dt D e U V V f U U V q Dt V f ρδρδρδρδδρδτρδρδρδρδδρδτδρδρ=+==+++=+++==⋅+⋅+=+ ()U U V q δττδδρ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋅+⋅+⎩即DU f Dt V δτδρ=+()2/2D e U U f U q DtV V δττδδρδρ+⎛⎫⋅=+⋅++ ⎪⎝⎭而(0.1)式本身作如下简化：()()()()00D V D D V V DtDt DtD V D D U Dt VDt Dt ρδρδδρδρρρρδ=+=+=+∇⋅=那么三个控制方程可以表示为()20/2D U DtDUf Dt V D e U U f U q Dt V V ρρδτδρδττδδρδρ⎧⎪+∇⋅=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+⎛⎫⋅⎪=+⋅++ ⎪⎪⎝⎭⎩(0.4)将()()()D U Dtt∂=+⋅∇∂ 应用于(0.4)式，可以得到()0U t ρρ∂+∇⋅=∂ (0.5)U U U f t V δτδρ∂+⋅∇=+∂(0.6)()()22/2/2e U U U e U f U q t V V δττδδρδρ∂+⎛⎫⋅+⋅∇+=+⋅++ ⎪∂⎝⎭(0.7)将(0.6)式代入(0.7)式化简，可得()()()()2222/2/2/2/2e U U e U t U e U e U U t t U U U U U qt V ρρρτδρδρ⎛⎫∂+ ⎪+⋅∇+ ⎪∂⎝⎭⎛⎫∂∂⎛⎫ ⎪=+⋅∇++⋅∇ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂⋅=+⋅∇⋅++ ⎪∂⎝⎭其中，()()()()()2/2/21122i i i i i i i i U U U U U U U U U U U ttt t t t∂⎛⎫∂∂∂∂∂==+==⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭()()21/22j j j i i j i iU U U U U U U U U U U x x ∂∂⋅∇===⋅∇⋅∂∂所以e U U e q t V τδδρ∂⋅+⋅∇=+∂(0.8)于是，三个控制方程化简为()0U t U U U f t V e U U e qtV ρρδτδρτδδρ⎧∂+∇⋅=⎪∂⎪⎪∂⎪+⋅∇=+⎨∂⎪⎪∂⋅⎪+⋅∇=+∂⎪⎩(0.9)其中，τ为剪应力对微元体的力，故()1,2,31,2,31,2,31,2,31111ij i i j k ij i i i i j ki j j ij j k ij i ij i i j k i j T dx e dx dx T x e TV dx dx dx x U T dx dx dx U x U T T U V dx dx dx x δτδρρρρτδδρρρρ====∂⎧⎪∂∂⎪===∇⋅∂⎪⎪⎨∂⎪⎪∂∂⋅===⋅∇⋅⎪∂⎪⎩∑∑ 所以，三个控制方程最终可以写为()()011U t U U U f T t e U e T U qtρρρρ⎧∂+∇⋅=⎪∂⎪⎪∂+⋅∇=+∇⋅⎨∂⎪⎪∂+⋅∇=⋅∇⋅+⎪∂⎩(0.10)其中，T 为微元体受到的表面应力()22j ki ij kk ij ij ij k j i u u u T p S S p x xx λδμμδμ⎛⎫∂⎛⎫∂∂=-++=--++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭即()()2T p U I U U μμ=--∇⋅+∇+∇(0.11)将(0.11)代入(0.10)式可以得到()()()()()()2323011U t U U U f p U U U te U e p U I U U U q tρρμμρμμρ⎧∂+∇⋅=⎪∂⎪⎪∂⎡⎤+⋅∇=+∇--∇⋅+∇⋅∇+∇⎨⎣⎦∂⎪⎪∂⎡⎤+⋅∇=--∇⋅+∇+∇⋅∇⋅+⎪⎣⎦∂⎩(0.12)将(0.12)式写为张量形式()2222323011i i j j ii i j i j i i j j i j j j j j i i j i j i i U t x U U U U U p U f t x x x x x x x x U U U U U e U e p q t x x x x x ρρμμρμμρ⎧∂∂⎪+=⎪∂∂⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪∂∂∂∂∂∂⎪+=+--++⎢⎥ ⎪ ⎪⎨ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎪+⋅∇=--+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎩(0.13) 再将(0.13)式写为分量形式，得()()()222222222220 113 113x y u v w t x y z u u u u u v w tx y z p u v w u u u f x x x y z xy z v v v v u v w t x y z p u v w v v f y y x y z x y ρρρρμμρμμρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂∂∂+++∂∂∂∂⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+-++++++⎢⎥⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦∂∂∂∂+++∂∂∂∂⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+-++++++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭222222223113 2z v z w w w wu v w tx y z p u v w w w w f z z x y z x y z e e e e u v w t x y z p u v w u v w x y z x y z u μμρνρν⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪∂⎝⎭⎣⎦∂∂∂∂+++∂∂∂∂⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+-++++++⎢⎥⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦∂∂∂∂+++∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂=--++++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂+∂222222+v w u v u w v w q x y z y x z x z y ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭⎩(0.14)当流体不可压缩时，ρ为常数，(0.14)式可以化简为22222222222222220111x y z u v w x y z u u u u pu u u u v wf t x y z x x y z v v v v p v v v u v w f t x y z y x y z w w w w pw w uv w f t x y z z x y μρμρμρ∂∂∂++=∂∂∂⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂+++=+-+++⎢⎥ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂+++=+-+++⎢⎥ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦∂∂∂∂∂∂∂∂+++=+-+++∂∂∂∂∂∂∂22w z ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥ ⎪∂⎝⎭⎪⎣⎦⎩(0.15)此时方程已经封闭，最后一个方程不需要再给出。

N-S(纳维斯托克斯)方程推导过程

很多人一听到N-S 方程就有点头皮发麻，因为涉及到流体力学的知识比较多，如果没有一个完整有逻辑的思路，理解N-S 方程是有点困难。

其中涉及到欧拉法，场论，随体导数，流体力学连续性方程（即质量守恒方程），流体力学N-S 方程（即动量方程），动量方程在流体力学中有两种，一种是理想流体动量方程，一种是粘性流体动量方程，粘性流体的动量方程也叫纳维-斯托克斯方程，也简称N-S 方程。

我试图想把N-S 方程弄清楚点，所以写了一点东西，分享一下。

首先要讲一下流体力学的欧拉法，在课本中还讲了拉格朗斯法，因为连续性方程和N-S 方程是用欧拉法得出的，和拉格朗日法没什么关系。

我就不讲拉格朗日法，以免产生混乱。

欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。

设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时间的变化状况。

如果每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了。

欧拉方法中流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式：假设空间一点的坐标(x,y,z,t)，其中x,y,z 是该空间的坐标，t 是此刻时间。

u,v,w 是这一空间点的三个方向速度。

p,ρ,T 是这一空间点的压力，密度和温度。

这样就有了每一个点的速度，压力，密度，温度，就可以描述运动流体的状态。

这里需要强调一点的是下面这六个式子，可以换一个角度把他们看成方程，对后面理解连续性方程和N-S 方程有帮助，比如u=x+2y+3z),,,();,,,();,,,();,,,();,,,();,,,(t z y x T T t z y x t z y x p p t z y x w w t z y x v v t z y x u u ======ρρ因为后面需要随体导数的概念，还需要把速度函数表示成矢量的形式。

前面u,v,w 是标量，是ν在(x,y,z,t)直角坐标系三个方向的速度。

),(t rνν=M 点（x,y,z,t ），速度为),(t M ν ，过了t ∆之后，在M '点，速度为),(t t M ∆+'ν。

欧拉方程与纳维-斯托克斯方程

欧拉方程与纳维-斯托克斯方程一发展历史以克劳德-路易·纳维(Claude-Louis Navier)和乔治·加布里埃尔·斯托克斯命名，是一组描述象液体和空气这样的流体物质的方程。

这些方程建立了流体的粒子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及重力之间的关系。

这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。

这样，纳维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。

他们是最有用的一组方程之一，因为它们描述了大量对学术和经济有用的现象的物理过程。

它们可以用于模拟天气、洋流、管道中的水流、星系中恒星的运动、翼型周围的气流；它们也可以用于飞行器和车辆的设计、血液循环的研究、电站的设计、污染效应的分析等等。

纳维-斯托克斯方程依赖微分方程来描述流体的运动。

这些方程，和代数方程不同，不寻求建立所研究的变量（譬如速度和压力）的关系，而是建立这些量的变化率或通量之间的关系。

用数学术语来讲，这些变化率对应于变量的导数。

这样，最简单情况的0粘滞度的理想流体的纳维-斯托克斯方程表明加速度（速度的导数，或者说变化率）是和内部压力的导数成正比的。

这表示对于给定的物理问题的纳维-斯托克斯方程的解必须用微积分的帮助才能取得。

实际上，只有最简单的情况才能用上述方法解答，而它们的确切答案是已知的。

这些情况通常涉及稳定态（流场不随时间变化）的非湍流，其中流体的粘滞系数很大或者其速度很小（小的雷诺数）。

对于更复杂的情形，例如厄尔尼诺这样的全球性气象系统或机翼的升力，纳维-斯托克斯方程的解必须借助计算机。

这本身是一个科学领域，称为计算流体力学。

虽然湍流是日常经验中就可以遇到的，但这类问题极难求解。

一个$1,000,000的大奖由克雷数学学院于2000年5月设立，奖给对于能够帮助理解这一现象的数学理论作出实质性进展的任何人。

二表达式1纳维-斯托克斯方程⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=z u y u x u x z u y u xu x pX D Du z y x x x x x μμρθρ31222222 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=z u y u x u y z u y u x u y pY D Du z y x y y y yμμρθρ31222222 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=z u y u x u y z u y u x u z p Z D Du z y x y y y z μμρθρ31222222 2欧拉方程欧拉方程就是纳维－斯托克斯方程的0=μ时的特殊形式。

流体欧拉方程

流体欧拉方程流体力学是研究流体运动规律或流体静力学问题的一门学科。

欧拉方程是描述无黏流动的基本方程之一。

下面我们就来了解一下流体欧拉方程吧。

一、欧拉方程的定义和作用欧拉方程是描述无黏流动的基本方程之一，它是由欧拉基于质量守恒与动量守恒定律得出的。

欧拉方程的作用是描述流体在宏观上的运动规律，对于大规模的流体运动问题具有非常重要的意义。

二、欧拉方程的形式和推导欧拉方程可以写为：∂ρ/∂t + ∇·(ρu) = 0∂u/∂t +(u·∇)u + (1/ρ)∇p = f其中，ρ是流体的密度，u是流体的速度，p是流体的压强，f是流体所受到的外力。

这两个方程分别代表了质量守恒方程和动量守恒方程。

欧拉方程的推导基于牛顿第二定律：F=ma，也就是力等于质量乘以加速度。

在流体力学中，力是由压强和粘性力组成的。

将牛顿第二定律写成流体力学中的形式，就可以得到欧拉方程。

三、欧拉方程的应用欧拉方程可以应用于各种流体运动问题中，例如：1. 定常流：在定常流中，流体的速度和压强在整个流场中保持不变，因此可以通过欧拉方程来描述流体的运动规律。

2. 喷流：喷流是一种流体由高压区域流向低压区域的运动方式，在喷流问题中，欧拉方程可以用来描述流体在各个位置的速度和压强等参数的变化规律。

3. 涡流：涡流是一种流体圆周运动的形式，在涡流问题中，欧拉方程可以用来描述流体圆周运动的速度和压强等参数的变化规律。

四、欧拉方程的局限性欧拉方程是一种描述无黏流动的基本方程，因此只适用于无黏流动问题。

在黏性流体中，由于黏性力的存在，欧拉方程并不能完全描述流体的运动，需要补充其他方程进行描述。

此外，欧拉方程还忽略了流体内部的微观结构，因此只适用于宏观问题，对于微观问题的描述必须采用其他的理论。

流体主要计算公式

主要的流体力学事件有：∙1738年瑞士数学家：伯努利在名著《流体动力学》中提出了伯努利方程。

∙1755年欧拉在名著《流体运动的一般原理》中提出理想流体概念，并建立了理想流体基本方程和连续方程，从而提出了流体运动的解析方法，同时提出了速度势的概念。

∙1781年拉格朗日首先引进了流函数的概念。

∙1826年法国工程师纳维，1845年英国数学家、物理学家斯托克思提出了著名的N-S方程。

∙1876年雷诺发现了流体流动的两种流态：层流和紊流。

∙1858年亥姆霍兹指出了理想流体中旋涡的许多基本性质及旋涡运动理论，并于1887年提出了脱体绕流理论。

∙19世纪末，相似理论提出，实验和理论分析相结合。

∙1904年普朗特提出了边界层理论。

∙20世纪60年代以后，计算流体力学得到了迅速的发展。

流体力学内涵不断地得到了充实与提高。

理想势流伯努利方程（3-14）或（3-15）物理意义:在同一恒定不可压缩流体重力势流中，理想流体各点的总比能相等即在整个势流场中，伯努利常数C 均相等。

（应用条件：“”所示）符号说明二、沿流线的积分1.只有重力作用的不可压缩恒定流，有2.恒定流中流线与迹线重合：沿流线（或元流）的能量方程：（3-16）注意：积分常数C，在非粘性、不可压缩恒定流流动中，沿同一流线保持不变。

一般不同流线各不相同（有旋流）。

（应用条件：“”所示，可以是有旋流）流速势函数（势函数）观看录像>>•存在条件：不可压缩无旋流，即或必要条件存在全微分d直角坐标（3-19）式中： ——无旋运动的流速势函数，简称势函数。

•势函数的拉普拉斯方程形式对于不可压缩的平面流体流动中，将（3-19）式代入连续性微分方程（3-18），有：或（3-20）适用条件：不可压缩流体的有势流动。

点击这里练习一下极坐标（3-21）流函数1.流函数存在条件：不可压缩流体平面流动。

直角坐标连续性微分方程：必要条件存在全微分d y（3-22）式中：y——不可压缩流体平面流动的流函数。

流体力学欧拉方程

流体力学欧拉方程
流体力学欧拉方程:(ax²D²+bxD+c）y=f(x）
欧拉方程，即运动微分方程，属于无黏性流体动力学中最重要的基本方程，是指对无黏性流体微团应用牛顿第二定律得到的运动微分方程。

欧拉方程应用十分广泛。

1755年，瑞士数学家L.欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程。

在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程：ax²D²y+bxDy+cy=f(x)
其中a、b、c是常数，这是一个二阶变系数线性微分方程。

它的系数具有一定的规律：二阶导数D²y 的系数是二次函数ax²，一阶导数Dy的系数是一次函数bx，y的系数是常数。

这样的方程称为欧拉方程。

例如：(x²D²-xD+1)y=0,(x²D²-2xD+2)y=2x³-x等都是欧拉方程。

化学中足球烯即C-60和此方程有关。