2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第2章 函数的概念及其表示

解析 ∵f(x)－2f 1x＝2x，
①
以1x代替①中的 x，得 f 1x－2f(x)＝2x，
②
①＋②×2 得－3f(x)＝2x＋4x，
∴f(x)＝－23x－34x.
题型三 分段函数
命题点1 求分段函数的函数值
例 2 已知 f(x)＝cfoxs－π1x，＋x1≤，1x，>1， 则 f 43＋f －43的值为
ZHUGANSHULI JICHULUOSHI
知识梳理
1.函数的概念 一般地，设A，B是非空的 数集 ，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合 A中的任意一个数x在集合B中都有 唯一确定 的数f(x)和它对应，那么就称f： A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2.函数的定义域、值域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 定义域 ； 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域 . (2)如果两个函数的 定义域 相同，并且 对应关系 完全一致，我们就称这两个函 数相等.
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4.如图，△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是 四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB 于点Q，设AP＝x(0<x<2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ(或APQD) 的面积为y，则函数y＝f(x)的大致图象是
(2)设函数 f(x)＝x2＋x，1x，>0x，≤0， 则满足 f(x)＋f x－12>1 的 x 的取值范围 是__－__14_，__＋__∞__ .
解析
当
x>12时，2x＋2
x
1 2
>1
恒成立，∴x>12，
当 0<x≤12时，2x＋x－12＋1>1，即 2x＋x>12恒成立，∴0<x≤12，
当 x≤0 时，x＋1＋x－12＋1>1，解得－14<x≤0，
2.已知函数 f(x)＝21x－＋1l，ogx2≤x，0x，>0， 则 f(f(8))等于
A.－1
B.－12
√C.12
D.2
解析 ∵f(8)＝1－log28＝1－3＝－2， ∴f(f(8))＝f(－2)＝2－2＋1＝12.
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题型二 求函数的解析式
例1 求下列函数的解析式： (1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；
解 (换元法)设1－sin x＝t，t∈[0,2]， 则sin x＝1－t，∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， ∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]. 即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2].
解析 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b， ∴2ax＋b＝2x＋2，则a＝1，b＝2. ∴f(x)＝x2＋2x＋c， 又f(x)＝0，即x2＋2x＋c＝0有两个相等实根. ∴Δ＝4－4c＝0，则c＝1. 故f(x)＝x2＋2x＋1.
(3)已知f(x)满足f(x)－2f 1x＝2x，则f(x)＝－__2_3x_－__3_4x_.
师生共研
(2)已知 f x＋1x＝x2＋x12，求 f(x)的解析式；
解 (配凑法)∵f x＋1x＝x2＋x12＝x＋1x2－2， ∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
解 (待定系数法)∵f(x)是一次函数， 可设f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17. 即ax＋(5a＋b)＝2x＋17， ∴a5＝ a＋2， b＝17， 解得ab＝ ＝27， . ∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.
跟踪训练2 (1)(2021·河北冀州一中模拟)设f(x)＝x＋2x－3，x≥1，则 x2＋1，x<1.
f(f(－1))＝__0__，f(x)的最小值是_2___2_－__3_.
解析 ∵f(－1)＝2， ∴f(f(－1))＝f(2)＝2＋22－3＝0， 当 x≥1 时，f(x)＝x＋2x－3≥2 2－3， 当且仅当 x＝ 2时取等号，f(x)min＝2 2－3， 当x<1时，f(x)＝x2＋1≥1，x＝0时取等号， ∴f(x)min＝1， 综上有 f(x)的最小值为 2 2－3.
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
大一轮复习讲义
考试要求
1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域. 2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列
表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数，并能简单应用.
内容 索引
主干梳理 基础落实
题型突破 核心探究
课时精练
主干梳理 基础落实
√
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解析 观察可知阴影部分的面积y的变化情况为： (1)当0<x≤1时，y随x的增大而增大，而且增加的速度 越来越快. (2)当1<x<2时，y随x的增大而增大，而且增加的速度 越来越慢. 分析四个选项中的图象，只有选项A符合条件.
A.(－∞，2]
B.(－∞，0]∪(1,2]
C.[0,2]
√D.(－∞，0]∪[1,2]
解析 ∵当x≥1时，log2x≤1，∴1≤x≤2. 当 x<1 时，1－1 x≤1，解得 x≤0， ∴f(x)≤1的解集为(－∞，0]∪[1,2].
思维升华
(1)分段函数的求值问题的解题思路 ①求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值. ②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然 后求出相应自变量的值，切记要代入检验. (2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路 依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来.
√A.－3
B.－1
C.1
D.3
解析 ∵f(1)＝21＝2，∴f(a)＋2＝0，∴f(a)＝－2， 当a≤0时，f(a)＝a＋1＝－2，∴a＝－3， 当a>0时，f(a)＝2a＝－2，方程无解， 综上有a＝－3.
(2)已知函数f(x)＝1lo－1g2xx，，xx<≥1，1，则不等式f(x)≤1的解集为
A.12
B.－12
C.－1
√D.1
解析 f 43＝f 43－1＋1＝f 13＋1＝cos π3＋1＝32， f －43＝cos－43π＝cos 23π＝－12， ∴f 43＋f －43＝32－12＝1.
多维探究
命题点2 分段函数与方程、不等式问题 例3 (1)(2021·长春模拟)已知函数f(x)＝2x＋x，1x，>0x，≤0. 若f(a)＋f(1)＝0， 则实数a的值等于
(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.
解 (方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，
①
∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，
②
由①②解得f(x)＝3x.
思维升华
函数解析式的求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，
然后以x替代g(x)，便得f(x)型(如一次函数、二次函数)可用待定系
数法.
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新
元的取值范围.
(4)方程思想：已知关于f(x)与f
1 x
或f(－x)等的表达式，可根据已知条件
再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
题型突破 核心探究
TIXINGTUPO HEXINTANJIU
第1课时 函数的概念及其表示
题型一 函数的概念 1.下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是
√
2.(多选)下列各组函数相等的是
√A.f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
x2－1 B.f(x)＝x－1，g(x)＝ x＋1
3.设函数 f 11＋－xx＝x，则 f(x)的表达式为
1＋x A.1－x(x≠－1)
1＋x B.x－1(x≠－1)
√C.11－ ＋xx(x≠－1)
D.x＋2x1(x≠－1)
解析 令 t＝11－＋xx，则 x＝11－ ＋tt， ∴f(t)＝11－ ＋tt，即 f(x)＝11－ ＋xx(x≠－1).
√C.f(x)＝ x2，g(x)＝x－，xx，≥x0<，0
D.f(x)＝ －x3，g(x)＝x －x
3.已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关 系f不是函数的是___③_____.(填序号) ①f：x→y＝12x；②f：x→y＝13x； ③f：x→y＝23x；④f：x→y＝ x.
3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不 同的式子来表示，这种函数称为分段函数. (2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的定 义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集.
4.函数f(x)＝x－1x 在区间[2,4]上的值域为__32_，__1_45__.
解析 f(x)＝x－1x在区间[2,4]上单调递增， 又 f(2)＝32，f(4)＝145， 故 f(x)的值域为32，145.
题组三 易错自纠 5.下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为 值域的函数的图象是
微思考
1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有多少个交点？ 提示 0个或1个. 2.函数定义中，非空数集A，B与函数的定义域、值域有什么关系？ 提示 函数的定义域即为集合A，值域为集合B的子集.
基础自测
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数.( × ) (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( × ) (3)y＝ x－3＋ 2－x是一个函数.( × ) (4)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭的曲线.( × )
解析 ③中，f：x→y＝23x，x∈[0,4]时，y＝23x∈0，83⊈Q，故不满足函 数的定义.
思维升华
(1)函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数 集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对 多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素. (2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同.
综上有 x 的取值范围是－14，＋∞.
课时精练
KESHIJINGLIAN
基础保分练 1.下列所给图象是函数图象的个数为
A.1
√B.2
C.3
D.4
解析 图象①关于x轴对称，x>0时，每一个x对应2个y，图象②中x0 对应2个y，所以①②均不是函数图象； 图象③④是函数图象.
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跟踪训练 1 (1)若 f 1x＝1－x x，则 f(x)＝__x－_1_1_(_x_≠__0_且___x_≠__1_)_.
解析
1 f(x)＝1－x 1x＝x－1 1(x≠0 且 x≠1).
(2)已知y＝f(x)是二次函数，若方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝ 2x＋2，则f(x)＝_x_2_＋__2_x_＋__1_.
解析 A选项中的值域不 满足， B选项中的定义域不满足， D选项不是函数的图象， 由函数的定义可知选项C 正确.
√
6.已知 f( x)＝x＋ x－1，则 f(x)＝__x_2＋__x_－__1_，__x_≥__0__.
解析 令 t＝ x，则 t≥0，x＝t2， ∴f(t)＝t2＋t－1(t≥0)， ∴f(x)＝x2＋x－1，x≥0.
题组二 教材改编 2.函数f(x)＝ 2x－1＋x－1 2 的定义域为_[_0_,2_)_∪__(_2_，__＋__∞__)_.
解析 依题意2x－x－21≠≥00， 解得x≥0且x≠2， ∴原函数的定义域为[0,2)∪(2，＋∞).
3.已知函数f(x)＝2fxx，－x1≤，1，x>1，则f(2)＝__2__. 解析 f(2)＝f(1)＝21＝2.