高中数学 综合测试题3 新人教A版选修2-2

高中新课标数学选修（2-2）综合测试题
一、选择题
1．函数2y x =在区间[12]，上的平均变化率为（ ） Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5 答案：Ｂ
2．已知直线y kx =是ln y x =的切线，则k 的值为（ ）
Ａ．1e
Ｂ．1e - Ｃ．2e Ｄ．2e -
答案：Ａ 3．如果1N 的力能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm （在弹性限度内）所耗费的功为（ ） 答案：Ａ
4．方程2(4)40()x i x ai a ++++=∈R 有实根b ，且z a bi =+，则z =（ ）
Ａ．22i - Ｂ．22i + Ｃ．22i -+ Ｄ．22i -- 答案：Ａ
5．ABC △内有任意三点不共线的2002个点，加上A B C ，，三个顶点，共2005个点，把这2005个点连线形成不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为（ ） Ａ．4005 Ｂ．4002 Ｃ．4007 Ｄ．4000 答案：Ａ
6．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，的第50项（ ） Ａ．8 Ｂ．9 Ｃ．10 Ｄ．11 答案：Ｃ
7．在证明()21f x x =+为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数()21f x x =+满足增函数的定义是大前提；④函数()21f x x =+满足增函数的定义是大前提．其中正确的命题是（ ） Ａ．①②
Ｂ．②④
Ｃ．①③
Ｄ．②③
答案：Ｃ
8．若a b ∈R ，，则复数22(45)(26)a a b b i -++-+-表示的点在（ ） Ａ．第一象限
Ｂ．第二象限
Ｃ．第三象限
Ｄ．第四象限
答案：Ｄ
9．一圆的面积以210πcm /s 速度增加，那么当圆半径20cm r =时，其半径r 的增加速率u 为（ ） Ａ．
1
2
cm/s Ｂ．1
3
cm/s
Ｃ．
1
4 cm/s Ｄ．1
5
cm/s
答案：Ｃ
10．用数学归纳法证明不等式“
11113
(2)12
224
n n n n +++
>>++”时的过程中，由n k =到1n k =+时，不等式的左边（ ）
Ａ．增加了一项1
2(1)
k +
Ｂ．增加了两项11
212(1)
k k +
++ Ｃ．增加了两项11212(1)k k +
++，又减少了一项1
1k + Ｄ．增加了一项12(1)k +，又减少了一项1
1
k +
答案：Ｃ
11
．在下列各函数中，值域不是[的函数共有（ ） （1）(sin )(cos )y x x ''=+
（2）(sin )cos y x x '=+ （3）sin (cos )y x x '=+
（4）(sin )(cos )y x x ''=· Ａ．1个
Ｂ．2个
Ｃ．3个
Ｄ．4个
答案：Ｃ
12．如图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则22
12x x +等于
（ ）
Ａ．
23 Ｂ．4
3 Ｃ．83
Ｄ．
123
答案：Ｃ 二、填空题
13．函数3()31f x x x =-+在闭区间[30]-，上的最大值与最小值分别为 ． 答案：3，17-
14．若113z i =-，268z i =-，且12
111
z z z +=，则z 的值为 ．
答案：422
55
i -+
15．用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数n a 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以
是 ．
答案：21n a n =+
16．物体A 的运动速度v 与时间t 之间的关系为21v t =-（v 的单位是m/s ，t 的单位是s ），物体B 的运动速度v 与时间t 之间的关系为18v t =+，两个物体在相距为405m 的同一直线上同时相向运动．则它们相遇时，A 物体的运动路程为 ． 答案：72m 三、解答题
17．已知复数1z ，2z 满足22
12
121052z z z z +=，且122z z +为纯虚数，求证：123z z -为实数． 证明：由2212
121052z z z z +=，得22
112210250z z z z -+=， 即221212(3)(2)0z z z z -++=，那么222121212(3)(2)[(2)]z z z z z z i -=-+=+，
由于，122z z +为纯虚数，可设122(0)z z bi b b ==∈≠R ，且， 所以2212(3)z z b -=，从而123z z b -=±，
故123z z -为实数．
解：设该容器底面矩形的短边长为x cm ，则另一边长为(0.5)x +m ，此容器的高为14.8
(0.5) 3.224
y x x x =
--+=-， 于是，此容器的容积为：32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V x x x x x x x =+-=-++，其中0 1.6x <<， 即2()6 4.4 1.60V x x x '=-++=，得11x =，24
15
x =-
（舍去）， 因为，()V x '在(01.6)，内只有一个极值点，且(01)x ∈，时，()0V x '>，函数()V x 递增； (11.6)x ∈，时，()0V x '<，函数()V x 递减；
所以，当1x =时，函数()V x 有最大值3(1)1(10.5)(3.221) 1.8m V =⨯+⨯-⨯=， 31.8m ．
19．如图所示，已知直线a 与b 不共面，直线c a M =，直线b c N =，又a 平面A α=，
b 平面B α=，
c 平面C α=，求证：A B C ，，三点不共线． 证明：用反证法，假设A B C ，，三点共线于直线l ， A B C α∈，，∵，l α⊂∴．
c l C =∵，c ∴与l 可确定一个平面β． c a M =∵，M β∈∴．
又A l ∈，a β⊂∴，同理b β⊂，
∴直线a ，b 共面，与a ，b 不共面矛盾．
所以A
B C ，，三点不共线． 20．已知函数32()31f x ax x x =+-+在R 上是减函数，求a 的取值范围． 解：求函数()f x 的导数：2()361f x ax x '=+-． （1）当()0()f x x '<∈R 时，()f x 是减函数．
23610()0ax x x a +-<∈⇔<R 且36120a ∆=+<3a ⇔<-．
所以，当3a <-时，由()0f x '<，知()()f x x ∈R 是减函数； （2）当3a =-时，3
3
2
18()331339f x x x x x ⎛
⎫=-+-+=--+ ⎪⎝
⎭，
由函数3y x =在R 上的单调性，可知当3a =-时，()()f x x ∈R 是减函数； （3）当3a >-时，在R 上存在使()0f x '>的区间，
所以，当3a >-时，函数()()f x x ∈R 不是减函数． 综上，所求a 的取值范围是(3)--，∞．
21．若0(123)i x i n >=，，，，，观察下列不等式：121211()4x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
≥，
123123111()9x x x x x x ⎛⎫
++++ ⎪⎝⎭
≥，
，请你猜测1212
111()n n
x x x x x x ⎛⎫
++
+++
+
⎪⎝⎭
满足的不等式，并用数学归纳法加以证明． 解：满足的不等式为2
1212
111()(2)n n
x x x n n x x x ⎛⎫+++++
+ ⎪⎝⎭
≥≥，证明如下： 1．当2n =时，结论成立；
2．假设当n k =时，结论成立，即21212
111()k k
x x x k x x x ⎛⎫++
+++
+ ⎪⎝⎭
2221(1)k k k ++=+≥．
显然，当1n k =+时，结论成立．
22．设曲线2(0)y ax bx c a =++<过点(11)-，，(11)
，． （1）用a 表示曲线与x 轴所围成的图形面积()S a ； （2）求()S a 的最小值． 解：（1）曲线过点(11)-，及(11)，，故有1a b c a b c =-+=++，
于是0b =且1c a =-，令0y =，即2
(1)0ax a +-=
，得x = 记α=，β=，由曲线关于y 轴对称， 有2300
()2[(1)]2(1)3a S a
ax a dx x a x
ββ
⎡⎤=+-=
+-⎢⎥⎣⎦
⎰|
2(13a a
⎡=-=
⎢⎣· （2）()S a =3
(1)()(0)a f a a a
-=<，
则223
22
1(1)()[3(1)(1)](21)a f a a a a a a a -'=---=+．
令()0f a '=，得1
2
a =-或1a =（舍去）．
又12a ⎛
⎫∈-- ⎪⎝
⎭，∞时，()0f x '<；
102a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
，时，()0f x '>．
所以，当12
a =-时，()f a 有最小值27
4
，此时()S a
高中新课标数学选修（2-2）综合测试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．函数cos sin y x x x =-的导数为 （ ） （A ）cos x x （B ）sin x x - （C ）sin x x （D ）cos x x -
2．下列说法正确的是 （ ） （A ）当0()0f x '=时，0()f x 为()f x 的极大值
（B ）当0()0f x '=时，0()f x 为()f x 的极小值 （C ）当0()0f x '=时，0()f x 为()f x 的极值 （D ）当0()f x 为()f x 的极值时， 0()0f x '=
3．如果z 是34i +的共轭复数，则z 对应的向量OA 的模是 （ ）
（A ）1 （B （C （D ）5
4．若函数3
()y a x x =-的递减区间为(，则a 的取值范围是 （ ） （A ）(0,)+∞ （B ）(1,0)- （C ）(1,)+∞ （D ）(0,1)
5．下列四条曲线（直线）所围成的区域的面积是 （ ） (1)sin y x =;(2) s y co x =; (3)4
x π
=-
;(4) 4
x π
=
(B)2
6．由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，叫 （ ） （A ）合情推理 （B ）演绎推理 （C ）类比推理 （D ）归纳推理
7．复数a bi -与c di +的积是实数的充要条件是 （ ） （A ）0ad bc += （B ）0ac bd += （C ）0ad bc -= （D ）0ac bd -= 8．已知函数1
sin 2sin 2
y x x =
+，那么y '是 （ ） （A ）仅有最小值的奇函数 （B ）既有最大值又有最小值的偶函数 （C ）仅有最大值的偶函数 （D ）非奇非偶函数 9．用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒。

当所做的铁盒的容积最大时，在四角截去的正方形的边长为 （ ） （A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）6 10．用数学归纳法证明：22
1
11(1)1n n a a a a
a a
++-+++
+=≠-，在验证n ＝1时，左端计
算所得的式子是 （ ） （A ）1 （B ）1+a （C ）21a a ++ （D ）231a a a +++ 11．给出下列四个命题：（1）任一两个复数都不能比较大小；（2）z z 为实数z ⇔为实数（3）虚轴上的点都表示纯虚数；（4）复数集与复平面内的向量所成的集合是一一对应的。

其中正确命题的个数是 （ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 12．用数学归纳法证明：
*1111
1(,2)12
2n N n n n n n
++++
<∈≥++，由n k =到1n k =+，不等式左端变化的是 （ ） （A ）增加
12(1)k +一项 （B ）增加1
21k +和12(1)k +两项
（C ）增加
121k +和12(1)k +两项，同时减少1
k 一项 （D ）增加
121k +一项，同时减少1
k
一项 二、填空题：（每小题4分，四小题共16分）
13．已知()x
a
f x a x =（a 为常数），则()f x '= ； 14．在数列{}n a 中，11a =， *14()4n
n n
a a n N a +=
∈+，则n a = ； 15．已知：△ABC 中，AD ⊥BC 于D,三边分别是a ，b ，c ，则有cos cos a c B b C =+；类比
上述结论，写出下列条件下的结论：四面体P-ABC 中，△ABC ，△PAB ，△PBC ，△PCA
的面积分别是123,,,S S S S ，二面角,,P AB C P BC A P AC B ------的度数分别是
,,αβγ，则S = ；
16．对于函数()f x 定义域中任意的12,x x (12x x ≠)，有如下结论： （1）1212()()()f x x f x f x +=+；（2）1212()()()f x x f x f x =+； （3）
1212()()0f x f x x x ->-；（4）1212()()
()22
x x f x f x f ++<
；试分别写出对应上述一个结论成立的四个函数：
适合结论（1） ； 适合结论（2） ； 适合结论（3） ； 适合结论（4） 。

三、解答题（17－19，21题，每题12分；20，22题，每题14分；共76分）
17．求过点（1，2
）且与曲线y =
18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ,且1cos 3
A =。

（1）求2
sin cos 22
B C
A ++的值；
（2
）若a =bc 的最大值。

19．半径为a 的球的内接圆柱，问圆柱的底半径与高多大，才能使圆柱的体积最大。

20．在数列{}n a 中，11
3
a =
，且前n 项的算术平均数等于第n 项的2n －1倍（*n N ∈）。

（1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想{}n a 的通项公式，并加以证明。

21．求由抛物线2
43y x x =-+-与它在点A （0，－3
的面积。

22．已知函数()ln f x x =，2
1(),02
g x ax bx a =
+≠。

（1） 若2b =，且函数()()()h x f x g x =- （2）当3,2a b ==时，求函数()()()h x f x g x =-以下为参考答案
高中新课标数学选修（2-2）综合测试题参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．解析：(cos sin )(cos )(sin )cos sin cos sin y x x x x x x x x x x x x ''''=-=-=--=- 故选B
2．反例：3
()f x x =，(0)0f '=，但(0)f =0既不是极大值也不是极小值， 故选D 3．解析：34z i =-，所以(3,4)OA =-，235OA == 故选D
4．解析：2
3y ax a '=-，令0y '<，则230ax a -<，当0a <时，2310x ->不合题意；
当0a >时，2
310x -<，x <<， 故选A 5．解析：
4
4444
4
4
4
cos sin sin cos x x x
x
ππ
π
π
πππ
π
-
-
-
-
-=+=
+=⎰
⎰ A 6．解析：概念题 选D 7．解析：2
()()()()a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i -+=+--=++- 选C
8．解析：221
(sin 2sin )cos 2cos 2cos cos 1()
2
199
2(cos ) cosx [-1,1] y [-,2]
488
y x x x x x x x ''=+=+=+-'=+-∈∈偶函数 故选B
9．解析：设小正方形的边长为x 厘米，则2
3
2
(482)41922304V x x x x x =-=-+ 令2
2
1238423040 321920 x=824V x x x '=-+=-+=即 x 或（舍去） 故选C 10．解析：n ＝1时，左端最后一项为2a ，所以左端的式子是21a a ++ 故选C 11．解析：（1）两个实数可以比较大小，（2）z z 为实数，z 可以为纯虚数；（3）原点，（4）正确， 故选A 12．解析：当n k =时，左端=
111
112
2k k k k
++++
++； 当1n k =+时，左端=
1111112
2212(2)
k k k k k +++
++++++ 显然选C 二、填空题：（每小题4分，四小题共16分）
13．解析：11
()()ln x a x a x a f x a x a x a a x +-''==+，故填11ln x a x a a x a a x +-+ ；
14．解析：
1411144n n n n a a a a ++==+，11114n n a a +-=，111a =，所以113
1(1)44
n n n a +=+-= 43n a n =
+ 也可以用归纳法。

故填43
n + 15．解析：作PD ⊥面ABC 于D,连结DA,DB ，可得1cos ADB S S α=，同理可得：
2cos BDC S S β=3,cos CDA S S γ=，所以123cos cos cos S S S S αβγ=++，
故填123cos cos cos S S S αβγ++
16．解析：（1）()(0)f x kx k =≠；（2）()log (01)a f x x a a =>≠且；（3）
3(),3,lg x f x x x =（4）()(1)x f x a a =>
三、解答题（17－19
，21题，每题12分；20，22
题，每题14分；共76分） 17．解析：因为点（1，2
）不在曲线y =y =
0x ，
则0
x x k y ='
=
=
，所以切线方程为21)y x -=-，1x =-
代入y =
2(0)x y y =≥
，得，210y -+=，
所以0440x ∆=-=
，即010x -=
2=
或2
所求的切线方程为(4(70x y -+-+=
或(4(70x y ----= 18．解析：（1）2
21
sin cos 2[1cos()](2cos 1)22
B C A B C A ++=-++- （2）由余弦定理得
2221cos 23b c a A bc +-==，所以22222
23bc b c a bc a =+-≥- 23944bc a ≤
=，当且仅当32b c ==时，等号成立，即bc 的最大值为9
4。

19．解析：设球的内接圆柱的底半径为x
，则其高为h =
()2(0,)V x x
x a π=∈
，322()4V x π'==
令()0V x '=，则22
2(23)0x a x π-=，
3
x a =
，列表： 所以函数()V x
在3
x a =
时取得最大
值，此时h =
，即当圆柱的底半径
时，圆柱的体积最
大，是
3
9
a 。

20．解析：（1）由已知113a =，123(21)n
n a a a a n a n
+++
+=-，分别取2,3,4,5n =，
得：
2111153515a a ===⨯， 312111
()145735a a a =+==⨯，
4123111()277963a a a a =++==⨯， 51234111
()4491199
a a a a a =+++==⨯
所以数列的前5项是：113a =，2115a =，3135a =，4163a =， 51
99
a =
（2）由（1）中的分析可以猜想1
(21)(21)
n a n n =
-+。

下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，公式显然成立。

②假设当n k =时成立，即1
(21)(21)
k a k k =-+，那么由已
知，得
1231
1(21)1
k k k a a a a a k a k +++++++=++，
即21231(23)k k a a a a k k a ++++
+=+ 所以221(2)(23)k k k k a k k a +-=+
即1(21)(23)k k k a k a +-=+，又归纳假设，得：11
(21)
(23)(21)k k k a k +-=+-(2k+1)
所以11
(21)(23)
k a k k +=
++，即当1n k =+时，公式也成立
由①，②，对一切*n N ∈，都有1
(21)(21)
n a n n =
-+成立。

21．解析：24y x '=-+，1(0)
4,(3)2k y y y '''====-，所以过点A （0，－3）和点B(3，0)的切线方程分别是
43y 26y x x =-=-+和，两条切线的交点是（3
,32
），围
成的区域如图所示：区域被直线3
2
x =分成了两部分，分别
计算再相加，得： 即所求区域的面积是
94。

22．解析：（１）2b =时，2
1()ln 22h x x ax x =--，则2121()2ax x h x ax x x --+'=--= 因为函数()h x 存在单调递减区间，所以()0h x '<有解，即221
0ax x x
--+<，又因为0x >，
则2
2100ax x x +->>有的解。

①当0a >时，2
21y ax x =+-为开口向上的抛物线，
22100ax x x +->>总有的解；②当0a <时，221y ax x =+-为开口向下的抛物线，22100ax x x +->>要有的解，所以440a ∆=+>，且方程2210ax x +-=至少有一个
正根，所以10a -<<。

综上可知，a 得取值范围是(1,0)
(0,)-+∞。

（2）3,2a b ==时，2
3()ln 22
h x x x x =--，2221321()ax x x x h x x x --+--+'==，
令()0h x '=，则23210x x x --+=，所以213210,13
x x x +-==-或（舍去） 列表： 所以当13x =时，()h x 取的最大值15ln 36
- 又当x →+∞时，()h x →-∞
所以()h x 的取值范围是15(,ln ]36-∞-。