第17章勾股定理复习与小结

2. 对三角形高的分类.
图1
图2
（三）分类讨论的题型
【思考】本组题，利用勾股定理解决了哪些类型题目？注意事项是什么？ 利用勾股定理能求三角形的边长和高等线段的长度.注意没有图形的题目，先画图，再考虑是否需分类讨论.
1. 在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（ ） A．一定不会 B．可能会 C．一定会 D．以上答案都不对
A
题型二
用勾股定理解决简单的实际问题
2. 如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？
A
E
C
B
D
答案：解：设AE的长为x 米，依题意 得CE=AC - x ,∵AB=DE=2.5,BC=1.5, ∠C=90°，∴AC=2.∵BD=0.5,∴AC=2. ∴在Rt△ECD中，CE=1.5. ∴2- x =1.5， x =0.5. 即AE=0.5 . 答：梯子下滑0.5米．
（三）分类讨论的题型
已知：在△ABC中，AB＝15 cm，AC＝13 cm，高AD＝12 cm，求S△ABC． 答案：第1种情况：如图1，在Rt△ADB和Rt△ADC中，分别由勾股定理，得BD＝9，CD＝5，所以BC＝BD+ CD＝9+5＝14． 故S△ABC＝84（cm2）． 第2种情况，如图2，可得：S△ABC=24（ cm2 ）．
【思考6】 图中共有几个直角三角形？每一个直角三角形的作用是什么？折叠的作用是什么？
答案： 四个，两个用来折叠，将线段和角等量转化，一个用来知二求一，最后一个建立方程.
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长.
答案：证明：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=90°.∵在Rt△ADB中，AB=10，AD=8，∴BD=6 .∵BC=12, ∴DC=6.∵在Rt△ADC中，AD=8，∴AC=10，∴AB=AC.即△ABC是等腰三角形.
分析：利用勾股定理求出线段BD的长，也能求出线段AC的长，最后得出AB=AC，即可.
题型三
会用勾股定理解决较综合的问题
【思考1】由AB=8，BC=10,你可以知道哪些线段长？请在图中标出来.
答案：AD=10，DC=8 .
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长.
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长.
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长.
【思考4】 设BE = x，你可以用含有x的式子表示出哪些线段长？请在图中标出来.
答案：EF = x，AE = 8-x，CF = 10 .
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长.
思考：利用勾股定理解题决实际问题时，基本步骤是什么？Zx```xk 答案：1.把实际问题转化成数学问题，找出相应的直角三角形. 2.在直角三角形中找出直角边，斜边. 3.根据已知和所求，利用勾股定理解决问题.
1．证明线段相等. 已知：如图，AD是△ABC的高，AB=10，AD=8，BC=12 .求证： △ABC是等腰三角形.
题型一
勾股定理的直接应用
考题分类
2.在Rt△ABC中，∠C=90°. （1）如果a=3，b=4， 则c= ； （2）如果a=6，c=10， 则b= ； （3）如果c=13，b=12，则a= ； （4）已知b=3，∠A=30°，求a，c.
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5
8
5
（一）知两边或一边一角型
3.做高线，构造直角三角形. 已知：如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=2.求（1）BC 的长；（2）S△ABC .
思考 ：在不是直角三角形中如何求线段长和面积？
解一般三角形的问题常常通过作高转化成直角三角形，利用勾股定理解决问题.
【思考7】 请把你的解答过程写下来.
答案： 设BE=x，折叠，∴△BCE ≌△FCE， ∴BC=FC=10. 令BE=FE=x，长方形ABCD， ∴ AB=DC=8 ，AD=BC=10，∠D=90°， ∴DF=6, AF=4，∠A=90°, AE=8-x ， ∴ ，解得 x = 5 .∴BE的长为5.
答案：3. b=5，c=13.
3
5
16
30
（二）知一边及另两边关系型
1. 对三角形边的分类. 已知一个直角三角形的两条边长是3 cm和4 cm，求第三条边的长． 注意：这里并没有指明已知的两条边就是直角边，所以4 cm可以是直角边，也可以是斜边，即应分情况讨论．
答案：5 cm或 cm.
其中直角三角形有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
课后演练
2.观察下列图形，正方形1的边长为7，则正方形2、3、4、5 的面积之和为 .
49
3.折叠矩形ABCD的一边AD，折痕为AE，且使D落在BC 边上的点F处，已知AB=8cm,BC=10cm,则点F的坐标是 ，点E的坐标是 。
思考：利用勾股定理解决综合题的基本步骤是什么？
画图与标图，根据题目要求添加辅助线，构造直角三角形. 将已知量与未知量集中到同一个直角三角形中. 利用勾股定理列出方程. 解方程，求线段长，最后完成解题.
1．下列线段不能组成直角三角形的是（ ） A．a=8，b=15，c=17 B．a=9，b=12，c=15 C．a= ，b= ，c= D．a：b：c=2：3：4 2.如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的是（ ） Ａ．CD,EF,GH Ｂ．AB,EF,GH Ｃ．AB,CD,GH Ｄ．AB,CD,EF
由形到数
实际问题 (直角三角形边长计算)
勾股定理
勾股定理的逆定理
实际问题 (判定直角三角形)
由数到形
互逆 定理
复习归纳
勾股定理
勾股定理的逆定理
题设
在Rt△ABC 中,∠C=900
在△ABC 中, 三边a,b,c满足a2+b2=c2
结论
a2+b2=c2
∠C=900
作用
1.用勾股定理进行计算 2.证明与平方有关的问题 3.解决实际问题
3.做高线，构造直角三角形. 已知：如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=2.求（1）BC 的长；（2）S△ABC .
分析：由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以添加BC边上的高这条辅助线，就可以求得BC及S△ABC .
答案：过点A作AD⊥BC于D,∴∠ADB=∠ADC=90°. 在△ABD中，∠ADB=90°， ∠B=45°，AB=2，∴AD=BD= .∵在△ABD中，∠ADC=90°，∠C=60°，AD= ， ∴CD= ,∴BC= ，S△ABC =1+
【思考2】 在Rt△DFC中，你可以求出DF的长吗？请在图中标出来.
答案： DF=6 .
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长.
答案： AF=4 .
【思考3】 由DF的长，你还可以求出哪条线段长？ 请在图中标出来.
1.判断某三角形是否为直角三角形 2.解决实际问题
联系
1.两个定理都与“三角形的三边关系a2+b2=c2”有关; 2.都与直角三角形有关； 3.都是数形结合思想的体现.
1.有四个三角形，分别满足下列条件：
①一个内角等于另两个内角之和；
②三个角之比为3：4：5；
③三边之比分别为7、24、25；
④三边之比分别为5：12：13
答案:（4）a= ，c= .
1.如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，若BC＝4 ， AB＝x ，AC=8-x，则AB= ,AC= . 2.在Rt△ABC 中,∠B=90°，b=34,a:c=8:15,则 a= , c= . 3.（选做题）在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=12,c-b=8,求b,c.
C
E
B
H
D
F
A
G
D
B
题型四
勾股定理的逆定理的应用
已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3， 且AB⊥BC.求四边形 ABCD的面积.
分析：本题解题的关键是恰当的添加辅助线，利用勾股定理的逆定理判定△ADC的形状为直角三角形，再利用勾股定理解题.
答案：连接AC,∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°. ∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，BC=2， ∴AC= .∵CD=2，AD=3, ∴△ACD是直角三角形；∴四边形的面积为1+ .
同学们，请认真观察这四张图片中都有一种我们学过的几何图形，它是哪种图形？
情景引入
1.如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，一直角边为a，斜边为b，则另一直角边c满足c2 = .
【思考】为什么不是 ？
答案：因为∠B 所对的边是斜边.
答案：
（一）知两边或一边一角型
【思考5】 你在哪个直角三角形中，应用勾股定理建立方程？你建立的方程是 .
答案：直角三角形△AEF, ∵∠A=90°, AE=8-x， ∴ .
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长.
第2题图
第3题图
（6，0）
（0,3）
4.