中考数学中档题突破 专项训练五 实际应用与方案设计

解：(1)设 B 品牌消毒酒精每桶的价格为 x 元， A 品牌消毒酒精每桶的价 格为( x＋20 )元，根据题意，得 3 000 1 800 x＋20＝ x ，解得 x＝30， 经检验：x＝30 是原分式方程的解，且符合题意， ∴x＋20＝30＋20＝50. 答：A 品牌消毒酒精每桶的价格是 50 元， B 品牌消毒酒精每桶的价格是 30 元．
解：(1)设参加社会实践活动的老师有 m 人，学生有 n 人，则家长代表有
2m 人，根据题意得
95（3m＋n）＝6 175， 60×3m＋60×0.75n＝3 150，
m＝5， 解得n＝50. 答：参加社会实践活动的老师有 5 人，家长代表有 10 人，学生有 50 人．
(2)由(1)知，所有参与人员共有 65 人，其中学生有 50 人． ①当 50≤x＜65 时，最经济的购票方案为 买二等座学生票 50 张，买二等座成人票(x－50)张，买一等座火车票(65 －x)张． ∴单程火车票的总费用 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝60×0.75×50＋ 60(x－50)＋95(65－x)， 即 y＝－35x＋5 425(50≤x＜65)；
解：设每亩山田产粮相当于实田 x 亩，每亩场地产粮相当于实田 y 亩，
3x＋6y＝4.7， x＝190， 根据题意得5x＋3y＝5.5，解得y＝31.
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1
答：每亩山田产粮相当于实田10亩，每亩场地产粮相当于实田3亩．
2．(2021·玉林)某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电．有 A，B 两个焚烧炉，每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为 100 吨，每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉比 B 焚烧炉多发电 50 度，A，B 焚烧炉每天共发电 55 000 度． (1)求焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和 B 焚烧炉各发电多少度？ (2)若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和 B 焚烧炉的发电量分别增加 a%和 2a%，则 A，B 焚烧炉每天共发电至少增 加(5＋a)%，求 a 的最小值．
20k＋b＝60， k＝－1， ∴80k＋b＝0， 解得b＝80， ∴y 关于 x 的一次函数解析式为 y＝－x＋80(20≤x≤80)．
(2)根据题意得 (x－20)(－x＋80)＝800(20≤x≤80)， 解得 x1＝40，x2＝60. 答：要使销售利润达到 800 元，销售单价应定为每千克 40 元或 60 元．
解：(1)设甲种办公桌每张 x 元，乙种办公桌每张 y 元，根据题意，得
20x＋15y＋7 000＝24 000， 10x－5y＋1 000＝2 000，
x＝400， 解得y＝600. 答：甲种办公桌每张 400 元，乙种办公桌每张 600 元．
(2)设甲种办公桌购买 a 张，则购买乙种办公桌(40－a)张，购买的总费 用为 y，则 y＝400a＋600(40－a)＋2×40×100＝－200a＋32 000， ∵a≤3(40－a)，∴a≤30.∵－200<0，∴y 随 a 的增大而减小， ∴当 a＝30 时，y 取得最小值，最小值为 26 000 元． 答：购买甲种办公桌 30 张，乙种办公桌 10 张费用最少，最少费用为 26 000 元．
解：(1)设 y 与 x 之间的函数关系式为
y＝kx＋b(k≠0)，依题意得
840＝160k＋b， 960＝190k＋b，
k＝4， 解得b＝200， ∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝4x＋200.
(2)设老张明年种植该作物的总利润为 W 元， 依题意得：W＝[2 160－(4x＋200)＋120]·x ＝－4x2＋2 080x ＝－4(x－260)2＋270 400， ∵－4＜0， ∴当 x＜260 时，W 随 x 的增大而增大，由题意知 x≤240， ∴当 x＝240 时，W 最大，最大值为 －4(240－260)2＋270 400＝268 800(元)， 答：种植面积为 240 亩时总利润最大，最大利润 268 800 元．
3．(2021·毕节模拟)“抗击疫情，八方支援”截至 2020 年 2 月 19 日， 全国已有 278 支医疗队，32 395 名医务人员从各地驰援湖北，小明和爸 爸经过商量打算用自己的压岁钱购买 A，B 两种品牌消毒酒精捐赠当地医 院，已知 A 品牌消毒酒精每桶的价格比 B 品牌消毒酒精每桶的价格多 20 元，用 3 000 元购进 A 品牌消毒酒精和用 1 800 元购进 B 品牌消毒酒精 数量相同． (1) A 品牌消毒酒精每桶的价格和 B 品牌消毒酒精每桶的价格各是多少 元； (2)小明计划用不超过 1 560 元的压岁钱购进 A，B 两种品牌消毒酒精共 40 桶，其中 A 品牌消毒酒精的数量不低于 B 品牌消毒酒精数量的一半， 小明有几种购买方案？
运行区间 票价
起点站
终点站
一等座
二等座
都匀
桂林
95(元)
60(元)
(1)参加社会实践活动的老师、家长代表与学生各有多少人？ (2)由于各种原因，二等座单程火车票只能买 x 张(x＜参加社会实践的总 人数)，其余的需买一等座单程火车票，在保证所有人员都有座位的前提 下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买单程火车票的总费用 y 与 x 之间的函数关系式； (3)在(2)的方案下，请求出当 x＝30 时，购买单程火车票的总费用．
2．( 2016·黔南州)都匀某校准备组织学生及家长代表到桂林进行社会
实践活动，为便于管理，所有人员必须乘坐同一列高铁．高铁单程票价
格如下表所示，二等座学生票可打 7.5 折．已知所有人员都买一等座单
程火车票需 6 175 元，都买二等座单程火车票需 3 150 元；如果家长代
表与教师的人数之比为 2∶1.
(2)设购买 A 品牌消毒酒精 m 桶，则购买 B 品牌消毒酒精( 40－m)桶，根
据题意，得
50m＋30（40－m）≤1 560，
m≥12（40－m），
40 解得 3 ≤m≤18，
∵m 为正整数，
∴m＝14 或 m＝15 或 m＝16 或 m＝17 或 m＝18，
答：小明共有 5 种购买方案．
类型二：一次函数的实际应
专项训练五 实际应用与 方案设计
类型一：方程(组)与不等式的实际应用
1．(2021·遵义模拟)清朝数学家梅文鼎的著作《方程论》中有这样一道 题：山田三亩，场地六亩，共折实田四亩七分；又山田五亩，场地三亩， 共折实田五亩五分，问每亩山田折实田多少，每亩场地折实田多少？译 文为：假如有山田 3 亩，场地 6 亩，其产粮相当于实田 4.7 亩；又山田 5 亩，场地 3 亩，其产粮相当于实田 5.5 亩，问每亩山田和每亩场地产粮 各相当于实田多少亩？请你解答．
1．( 2017·铜仁)某商店以 20 元/kg 的单价新进一 批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量 y(kg) 与销售单价 x(元/kg)之间为一次函数关系，如图所示． (1)求 y 与 x 的函数解析式； (2)要使销售利润达到 800 元，销售单价应定为每千克多少元？
解：(1)设 y 关于 x 的一次函数解析式为 y＝kx＋b， 由函数图象可知点(20，60)，(80，0)在该函数图象上，
2．(2021·贵阳)为庆祝“中国共产党的百年华诞”，某校请广告公司为
其制作“童心向党”文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册
的数量是展板数量的 5 倍，广告公司制作每件产品所需时间和利润如表：
产品
展板 宣传册 横幅
制作一件产品所需时间(小时) 1
1 5
1 2
制作一ห้องสมุดไป่ตู้产品所获利润(元) 20 3
解：(1)依题意当 8≤x≤32 时， 22k＋b＝150，
设 y＝kx＋b(k≠0)，则32k＋b＝120， k＝－3，
解得b＝216， ∴当 8≤x≤32 时，y＝－3x＋216， 当 32＜x≤40 时，y＝120，
－3x＋216（8≤x≤32）， ∴y＝120（32＜x≤40）.
(2)设利润为 W，则当 8≤x≤32 时， W＝(x－8)y＝(x－8)(－3x＋216)＝－3(x－40)2＋3 072， ∴开口向下，对称轴为直线 x＝40，∴当 8≤x≤32 时，W 随 x 的增大而 增大，∴x＝32 时，W 最大＝2 880， 当 32＜x≤40 时，W＝(x－8)y＝120(x－8)＝120x－960， ∵W 随 x 的增大而增大，∴x＝40 时，W 最大＝3 840，∵3 840＞2 880， ∴五一期间销售草莓获得的最大利润为 3 840 元．
2．为了增加农民收入，助力乡村振兴，某驻村干部指 导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为 8 元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售 量 y(千克)与销售单价 x(元/千克)(8≤x≤40)满足的函 数图象如图所示． (1)根据图象信息，求 y 与 x 的函数关系式； (2)求五一期间销售草莓获得的最大利润．
类型四：函数与方程(组)、不等式结合的实际应用
1.(2018·铜仁)学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张，并且每买 1 张办公桌必须买 2 把椅子，椅子每把 100 元，若学校购进 20 张甲种办公 桌和 15 张乙种办公桌共花费 24 000 元；购买 10 张甲种办公桌比购买 5 张乙种办公桌多花费 2 000 元． (1)求甲、乙两种办公桌每张各多少元？ (2)若学校购买甲、乙两种办公桌共 40 张，且甲种办公桌数量不多于乙 种办公桌数量的 3 倍，请给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需 费用．
②当 0＜x＜50 时，最经济的购票方案为： 买二等座学生票 x 张，买一等座火车票(65－x)张． ∴单程火车票的总费用 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝60×0.75x＋95(65－x)， 即 y＝－50x＋6 175(0＜x＜50)， ∴购买单程火车票的总费用 y 与 x 之间的函数关系式为
－50x＋6 175（0＜x＜50）， y＝－35x＋5 425（50≤x＜65）.
(3)∵x＝30＜50， ∴y＝－50x＋6 175＝－50×30＋6 175＝4 675(元)． 答：当 x＝30 时，购买单程火车票的总费用为 4 675 元．
类型三：一次函数与二次函数结合的实际应用
1．( 2021·鄂州)为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府 大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴 120 元．张远村 老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明 年每亩土地种植该作物的成本 y(元)与种植面积 x(亩)之间满足一次函数 关系，且当 x＝160 时，y＝840；当 x＝190 时，y＝960. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式(不求自变量的取值范围)； (2)受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过 240 亩．若老张明 年销售该作物每亩的销售额能达到 2 160 元，当种植面积为多少时，老 张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？(每亩种植利润＝ 每亩销售额－每亩种植成本＋每亩种植补贴)
解：(1)设焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉发电 m 度，B 焚烧炉发电 n 度，
m－n＝50，
m＝300，
根据题意得100（m＋n）＝55 000，解得n＝250，
答：焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉发电 300 度，B 焚烧炉发电 250 度．
(2)改进工艺后每焚烧一吨垃圾 A 焚烧炉发电 300(1＋a%)度，B 焚烧炉发 电 250(1＋2a%)度，依题意有 100×300(1＋a%)＋100×250(1＋2a%)≥55 000×[1＋(5＋a)%]， 整理得 5a≥55，解得 a≥11， ∴a 的最小值为 11.
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(1)若制作三种产品共计需要 25 小时，所获利润为 450 元，求制作展板、
宣传册和横幅的数量；
(2)若广告公司所获利润为 700 元，且三种产品均有制作，求制作三种产
品总量的最小值．
解：(1)设制作展板数量为 x 件，横幅数量为 y 件，则宣传册数量为 5x
件，由题意得x2＋0x51＋×35×x5＋x12＋y＝102y5＝，450，解得xy＝＝1100，. 答：制作展板数量 10 件，宣传册数量 50 件，横幅数量 10 件．